Một số phương pháp giải bài toán cực trị đại số Lớp 9 - Nguyễn Văn Anh

Nội dung text: Một số phương pháp giải bài toán cực trị đại số Lớp 9 - Nguyễn Văn Anh

1. Một số phương pháp giải bài toán cực trị đại số I) CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM CỰC TRỊ CỦA MỘT BIỂU THỨC: a) Phương pháp 1: PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN  Phương pháp: -Cho A = f(x) có miền xác định là D . Để tìm GTLN hoặc GTNN của A ta có thể sử dụng các bất đẳng thức cơ bản đã biết để chứng minh f(x) M hoặc f(x) ≥ m, từ đó suy ra GTLN hoặc GTNN của A. - Đây là phương pháp thường được sử dụng , bởi vì rất nhiều các bất đẳng thức học sinh được học từ chuyên đề “Bất đẳng thức” được ứng dụng rộng rãi trong nhiều dạng loại toán , đặc biệt trong dạng toán tìm cực trị .Khi sử dụng các bất đẳng thức đã biết ta cần lưu ý các điều kiện để bất đẳng thức trở thành đẳng thức. *Các bất đẳng thức cơ bản thường dùng : Bất đẳng thức Cô-si và các hệ quả . Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki . Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối ,  Các ví dụ minh hoạ: Ví dụ 1 : Với a,b,c là các số dương, hãy tìm GTNN của biểu thức: a b c P= 1 1 1 5b 5c 5a (Thi HSG lớp 9 – huyện Phù Mỹ- năm học 2002-2003) Hướng dẫn: Thực hiện phép nhân các biểu thức ta được: 1 a b c 1 a b c 1 P= 1 5 b c a 25 c a b 125 a b c a b c Ta thấy các tổng và có dạng hóan vị vòng quanh và tích của các số hạng b c a c a b bằng 1 do đó ta sử dụng BĐT Cô si để khử các biến, do đó: 1 1 1 216 216 P ≥ 1 .3 .3 min P = a=b=c 5 25 125 125 125 Ví dụ 2 : Cho 3x – 4y = 7 . Tìm GTNN của S = 3x2 + 4y2 Hướng dẫn : Khi tìm cực trị của các biểu thức có điều kiện ràng buộc của các biến , ta thường sử dụng hợp lý các BĐT đã biết để ghép điều kiện đó vào biểu thức cần tìm cực trị. 2 2 2 2 S = 3.x + 4. y = ( 3.x) ( 2y) 3x – 4y = 3. 3.x ( 2).2y Do đó ta áp dụng BĐT Bu nhi a côpxki cho các số : 3, 3.x,( 2),2y Giải : Theo BĐT Bu-nhi-a-cốpxki , ta có : 2 2 2 ( 3).( 3.x) ( 2).(2y) (3 4)(3x 4y ) 49 7S S 7 3.x 2y x 1 Dấu đẳng thức xảy ra khi : 3 2 y 1 3x 4y 7 Vậy Min S = 7 x = 1 , y = -1 . Ví dụ 3: Cho x > 0, y > 0, z > 0 và x2007 + y2007 + z2007 = 3 . Tìm GTLN của : E = x2 + y2 + z2 . Nguyễn Văn Anh – Tổ Tốn – Trường THCS Hồi Đức Trang 1
2. Một số phương pháp giải bài toán cực trị đại số Hướng dẫn : Ta thấy x2 = 2007 x2007.x2007 , do đó để sử dụng được giả thiết x2007 + y2007 + z2007 = 3 , ta áp dụng BĐT Cô-si để hạ bậc biểu thức điều kiện và sử dụng quy tắc cộng các BĐT cùng chiều. Giải : Aùp dụng BĐT Cô-si cho 2005số 1 và hai số x2007 , ta có : 1 1 x2007 . x2007 2005 2x2007 2007 x2007 .x2007 x2 2007 2007 2005 2y2007 2005 2z2007 Tương tự y2 ; z2 2007 2007 3.2005 2(x2007 y2007 z2007 ) E = x2 + y2 + z2 3 2007 Vậy Max E = 3 x = y = z = 1 . Bài tập tham khảo:  Cho x1,x2 là hai nghiệm của phương trình : 2x2 + 2mx + m2 - 2 = 0 . Tìm GTLN của A = 2x1.x2 x1 x2 4 (Thi HSG lớp 9 – TP Hồ Chí Minh – năm học 2003-2004) a b c x 1  Cho a , b , c ,x thoả 2 2 2 2 a b c x 1 Tìm GTLN và GTNN của x ? b) Phương pháp 2: PHƯƠNG PHÁP ĐƯA DẦN CÁC BIẾN VÀO TRONG CÁC BÌNH PHƯƠNG CỦA TỔNG  Phương pháp: - Sử dụng các hằng đẳng thức (a b)2 ; (a b c)2, và phương pháp tách các hạng tử , thêm- bớt các hạng tử để đưa dần các biến vào trong các bình phương của tổng, đưa biểu thức đã cho về dạng A2+B2+ + m để suy ra GTNN hoặc -A2 -B2 - + M để suy ra GTLN của biểu thức. - Phương pháp này thường được sử dụng để tìm cực trị của các đa thức bậc hai. Khi sử dụng phương pháp này cần lưu ý về điều kiện xảy ra đồng thời đối với các biến để A = 0, B = 0,.  Các ví dụ minh hoạ: Ví dụ1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = (x + 1)2 + (x – 3)2 Hướng dẫn: A = (x + 1)2 + (x – 3)2 = 2(x – 1)2 + 8 8 Vậy Min A = 8 x = 1 Ví dụ2: Tìm giá trị lớn nhất của B = -5x2 – 2xy – 2y+ 2y2 + 14x + 10y – 1 Hướng dẫn: B = -5x2 – 2xy – 2y+ 2y2 + 14x + 10y – 1 = - (x + y – 3)2 – 4(x – 1)2 – (y – 2)2 + 16 16 Vậy Max B = 16 x= 1; y = 2. Ví dụ3: Tìm gia trị nhỏ nhất của C= x2 + 6y2 + 14z2 – 8yz + 6xz – 4xy Hướng dẫn: C= x2 + 2(3z – 2y)x + 6y2 + 14z2 – 8yz = (x + 3z – 2y)2 + 6y2 + 14z2 – 8yz - (3z – 2y)2 = (x + 3z – 2y)2 + 2(y + z)2 + 3z2 ≥ 0 Vậy Min C = 0 x = y = z = 0 Nguyễn Văn Anh – Tổ Tốn – Trường THCS Hồi Đức Trang 2
3. Một số phương pháp giải bài toán cực trị đại số Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của D = x2 + xy + y2 – 3x – 3y + 2008 Hướng dẫn: 4D = 4x2 +4 xy + 4y2 – 12x – 12y + 8032 = (4x2 + y2 + 9 + 4xy – 12x – 6y) + (3y2 – 6y + 3 ) + 8020 1 2 3 2 = 2x y 3 y 1 2005 2005 4 4 2x y 3 0 Dấu đẳng thức xảy ra x y 1 y 1 0 Vậy MinD = 2005 x = y = 1 Ví dụ 5: Cho x, y liên hệ với nhau bởi hệ thức: x2 + 2xy +7(x+y) + 2y2 + 10 = 0 (1) Hãy tìm GTLN, GTNN của E = x + y + 1 Hướng dẫn: (1) (2x + 2y + 7)2 + 4y2 = 9 (2) Vì 4y2 ≥ 0, y (2x + 2y + 7)2 ≤ 9 (x + y + 5)(x + y + 2) ≤ 0 x y 5 0 (Vì x + y + 5 > x + y + 2 , (x;y) ) x y 2 0 Vậy minE= -4 y = 0, x = -5 ; maxE = -1 y = 0, x = -2 Bài tập tham khảo:  Tìm GTNN của biểu thức : F = x2 + 2y2 + 3z2 -2xy + 2xz - 2x -2y - 8z + 2008  Cho x + y + z = 3. Tìm GTLN của biểu thức : G = xy + yz + zx. c) Phương pháp 3: PHƯƠNG PHÁP MIỀN GIÁ TRỊ HÀM SỐ  Phương pháp:: -Dùng kỹ năng biện luận phương trình để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f(x) như sau: Giả sử y = yo (yo là hằng số) Xét phương trình yo = f(x) f(x) – yo = 0 (1) Trong đó x là ẩn số , yo là tham số yo thuộc miền giá trị của f phương trình (1) có nghiệm. m yo M m y M Kết luận: Max y = M Min y = m - Phương pháp này thường được chuyển về xét điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai với ≥ 0.  Các ví dụ minh hoạ: x2 4 2x 3 Ví dụ1: Tìm GTLN và GTNN của biểu thức: y = x2 1 2 Hướng dẫn: Vì x + 1 > 0 với mọi x , nên y xác định với mọi x . Do đó , để y đạt giá trị yo thì 2 2 2 phương trình : yo (x + 1) = x + 4 2x 3 (yo – 1)x - 4 2x + yo – 3 = 0 (1) phải có nghiệm đối với ẩn x . Khi đó ta xét các trường hợp: 2 +/ Nếu yo = 1 thì (1) x = . Vậy yo = 1 thuộc miền giá trị của f(x) (1) 4 2 +/ Nếu yo 1 thì (1) có nghiệm = - yo + 4 yo + 5 0 ( yo- 5) (yo + 1) 0 -1 yo 5 (y 1) Nguyễn Văn Anh – Tổ Tốn – Trường THCS Hồi Đức Trang 3
4. Một số phương pháp giải bài toán cực trị đại số 2 Với yo = -1 , từ (1) x 2 ; y 5 x (2) o 2 2 Từ (1) và (2) suy ra: Min y = -1 khi x = -2 ; Max y = 5 khi x 2 Ví dụ 2 : Cho x,y thỏa mãn hệ thức 36x2 + 16y2 – 9 = 0. (1) Tìm GTLN và GTNN của biểu thức : P = -2x + y + 5 (2) Hướng dẫn : Để thành lập phương trình chỉ có một ẩn x hoặc y và P là tham số ,ta cần rút x hoặc y ở phương trình (2) và thế vào phương trình (1) nhằm khử bớt một ẩn , để cho đơn giản ta nên rút y. y = 2x + P - 5 36x2 + 16(2x + P - 5)2 – 9 = 0 100x2 + 64(P - 5)x + 16(P - 5)2 – 9 = 0 (3) 15 25 (3) có nghiệm ’ ≥ 0 576 (P - 5)2 ≤ 900 P 4 4 15 2 9 Với P= : Từ (3) x = ; (2) y = 4 5 20 25 2 9 P= x = - ; y = 4 5 20 25 2 9 15 2 9 Vậy max P= khi (x,y) = (- ; ) , min P = khi (x,y) = ( ; ) 4 5 20 4 5 20 3 7 Ví dụ 3: Tìm GTLN và GTNN của biểu thức : C = 2 x 1 x 2 2 Hướng dẫn : Điều kiện : 0 x 1. Đặt z = x , y = 1 x thì z2 + y2 = 1 (1) Ta cần tìm GTLN , GTNN của d = 4z + 3y với 2C = d + 7. Điều kiện : 0 z, y 1 và 0 < d < 7 Thay 9y2 = (d – 4z)2 vào (1) ta được : 25z2 – 8dz + d2 – 9 = 0. Để phương trình này có nghiệm z thì 0 d2 25 d 5 4d 4 16 + GTLN của d là 5 GTLN của C là 6 ,khi z = x z2 (thoả) 25 5 25 + d = 4z + 3y 212yz . Đẳng thức xảy ra khi 4z = 3y 3 4 9 Thay vào (1) ta được z ; y x (thỏa) 5 5 25 4 3 24 59 Khi đó GTNN của d là 2 12. . GTNN của C là 5 5 5 10 Bài tập tham khảo: 2x2 7x 3  Tìm GTLN và GTNN của biểu thức : P = x2 2x 10 x 2y 1  Tìm GTLN và GTNN của biểu thức : Q = x2 y2 7 Nguyễn Văn Anh – Tổ Tốn – Trường THCS Hồi Đức Trang 4
5. Một số phương pháp giải bài toán cực trị đại số d) Phương pháp 4: PHƯƠNG PHÁP XÉT BIỂU THỨC PHỤ  Phương pháp:: Khi tìm cực trị của một biểu thức , nhiều khi ta thay điều kiện để biểu thức này đạt cực trị bởi điều kiện tương đương là biểu thức khác đạt cực trị và việc tìm cực trị của biểu thức sau đơn giản hơn. 1 Để tìm cực trị của A , ta có thể xét các biểu thức phụ khác là : - A; ; A2; A hoặc biểu A thức B sai khác với A một hằng số . Ví dụ : -A lớn nhất A nhỏ nhất . 1 lớn nhất B nhỏ nhất (B > 0) B C lớn nhất C2 lớn nhất ( C > 0),  Các ví dụ minh hoạ: 1 Ví dụ 1 : Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A = . 5 2 6 x2 Hướng dẫn : - Ta thấy A>0 với mọi x thuộc MXĐ của A. - Biểu thức A là nghịch đảo của biểu thức B= 5 2 6 x2 với B luôn dương, do đó ta thay việc tìm cực trị của A thành tìm cực trị của B đơn giản hơn. Giải : Điều kiện : x 6 . Ta có : A > 0 1 Xét biểu thức : B = = 5 2 6 x2 . Ta có : 0 6 x2 6 A 5 5 2 6 x2 5 2 6 1 Min B = 5 6 x2 0 x 6 . Khi đó Max A = . 5 Max B = 5+26 6 6 x2 x 0 . 1 Khi đó Min A = 5 2 6 5 2 6 3 4x2 3x4 Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức : C = (1 x2 )2 Hướng dẫn: Biểu thức C xác định với mọi giá trị của x , ngòai việc tìm cực trị bằng phương pháp miền giá trị hàm số , ta có thể tách biểu thức C để xét biểu thức phụ: 2x2 C = 3 - = 3 - D x4 2x2 1 Khi đó , vì D ≥ 0 x nên ta co:ù maxC = 3 – minD, min C = 3 – maxD + D ≥ 0 minD = 0 max C = 3 khi x=0 2x2 1 1 5 + x4 + 1 ≥ 2x2 x4 + 2x2 + 1 ≥ 4x2 D ≤ maxD = minC = 4x2 2 2 2 khi x=1 a b c Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức . Trong đó các số dương a,b,c thỏa b c a mãn điều kiện a + b + c ≥ 3. (Thi HSG lớp 9 – năm học 2004-2005) Nguyễn Văn Anh – Tổ Tốn – Trường THCS Hồi Đức Trang 5
6. Một số phương pháp giải bài toán cực trị đại số a b c Hướng dẫn: Đặt A = , suy ra: b c a a2 b2 c2 a b c a b c A2 = 2 2 2 , tiếp tục áp dụng BĐT Cô si cho 4 số dương b c a c b a a2 a b a b , , ,c để hạ bậc số mũ và loại bỏ các căn thức, tương tự cho hai bộ số còn lại. Cộng b c c theo từng vế ba BĐT cùng chiều ta được A2 ≥ 9 A ≥ 3 minA = 3 khi a = b = c = 1 Ví dụ 4 : Tìm giá trị lớn nhất của : A = x2 4x 12 x2 2x 3 Hướng dẫn : Ta thấy A>0 với mọi x, do đó ta thay việc tìm cực trị của A bằng việc tìm cực trị của A2 để làm mất bớt dấu căn . Giải : Điều kiện : x2 4x 12 0 (x 2)(6 x) 0 1 x 3 (1) x2 2x 3 0 (x 1)(3 x) 0 Xét hiệu : ( x2 4x 12) ( x2 2x 2) 2x 9 Do (1) nên 2x + 9 > 0 A > 0 2 Xét A2 = (x 2)(6 x) (x 1)(3 x) Hiển nhiên A2 0, nhưng dấu “=” không xảy ra vì A > 0 . A2 = (x 2)(6 x) (x 1)(3 x) 2 (x 2)(6 x)(x 1)(3 x) = (x 1)(6 x) (6 x) (x 2)(3 x) (3 x) 2 (x 1)(6 x)(x 2)(3 x) 2 = (x 1)(6 x) (x 2)(3 x) 3 A2 3 . Do A > 0 nên min A = 3 Khi : (x+1)(6-x) = (x+2)(3-x) x = 0 2 1 Ví dụ 5 : Tìm giá trị nhỏ nhất của C = Với 0 0. Nếu quy đồng mẫu chuyễn thành một phân thức, do có điều kiện 0 < x < 1 nên việc tìm cực trị rất khó khăn. - Ta cần tìm biểu thức D sai khác với C một hằng số và D sử dụng được BĐT để khử biến. 2x 1 x Giải : Xét biểu thức : D = . 1 x x 2x 1 x Aùp dụng bất đẳng thức Cô si với hai số dương : và 1 x x 2x 1 x 2x 1 x (1) D 2 . 2 2 D = 22 1 x x 1 x x (2) 0 x 1 (1) 2x2 (1 x)2 x 2 1 x x 2 1 x x 2 1 Như vậy Min D = 2 2 x 2 1 2 1 2x 1 x 2 2x 1 1 x Ta có : C – D = 3 1 x x 1 x x 1 x x Do đó : Min C = 2 2 3 x 2 1 Nguyễn Văn Anh – Tổ Tốn – Trường THCS Hồi Đức Trang 6
7. Một số phương pháp giải bài toán cực trị đại số Bài tập tham khảo: x2 4 2x 3  Tìm GTNN,GTLN của biểu thức y = x2 1  Tìm GTNN,GTLN của biểu thức A = 2x + 3y biết 2x2 + 3y2 ≤ 5 e) Phương pháp 5: PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ  Phương pháp:: - Để đơn giản hoá biểu thức đang xét hoặc để khai thác hết các giả thiết ta có thể đổi biến số và tìm cực trị đối với biến mới . Cần lưu ý rằng biến số mới sẽ có những điều kiện giới hạn mới và ta phải kiểm soát được các điều kiện mới đó. - Phương pháp này thường sử dụng với các biểu thức có chứa các biểu thức giống nhau của biến, đặt biến số mới là các biểu thưcù giống nhau đó. - Phương pháp này thường được ứng dụng trong việc tìm cực trị của biểu thức nhiều biến kèm theo điều kiện . Nếu khéo léo đổi biến , ta có thể làm giảm số biến và đưa việc xét biểu thức phức tạp về một biểu thức quen thuộc, đơn giản hơn, phù hợp với kiến thức bậc trung học cơ sở.  Các ví dụ minh hoạ: Ví dụ1:Tìm GTNN của biểu thức A = (x – 1)2 + (x – 3)2 Hướng dẫn: Ta thấy x – 2 chênh lệch so với x-1 và x-3 là 1 đơn vị , do đó ta có thể đặt biến số mới là y = x -2. Khi đó A = 2y2 + 2 2 . Vậy Min A = 2 y = 0 x = 2 Ví dụ 2: Cho a + b = 4. Tìm GTNN của biểu thức B = a4 + b4. Hướng dẫn: Lưu ý rằng: Một biểu thức nhiều biến thường đạt GTNN (hoặc GTLN) khi một số biến số có giá trị bằng 0 hoặc tất cả các biến có giá trị bằng nhau. a 2 m Điều này gợi ý cho ta cách đổi biến như sau: Do a + b = 4 nên ta có thể đặt , với b 2 m m tùy ý. Khi đó B = 2m4 + 48m2 + 32 ≥ 32 m minB = 32 m = 0 a = b = 2. Ví dụ 3: Cho a,b,c > 0 và abc = 1. Tìm GTNN của bc ac ab P a2b a2c b2a b2c c2a c2b Hướng dẫn: Biến đổi biểu thức đã cho về dạng : 1 1 1 2 2 2 1 1 1 x, y, z 0 P a b c . Đặt x ; y ; z 1 1 1 1 1 1 a b c xyz 1 c b c a b a x2 y2 z2 Khi đó P = Aùp dụng BĐT Bunhiacôpxki ta dược: y z z x x y 2 2 2 x y z 2 x y z y z z x x y (x y z) P y z z x x y 2 x y z 3 3 Aùp dụng BĐT Côsi ta có: 3 xyz 2 2 2 3 3 Do đó P Min P = x = y = z = 1 a = b = c = 1 2 2 Nguyễn Văn Anh – Tổ Tốn – Trường THCS Hồi Đức Trang 7
8. Một số phương pháp giải bài toán cực trị đại số Bài tập tham khảo:  Cho x + y + z = 3. Tìm GTNN của x2 + y2 + z2 + xy + yz + zx.  Tìm GTLN, GTNN của A = (x4 + 1)(y4 + 1) Biết x,y 0 và x + y = 10 (HD: Đặt xy = t) f) Phương pháp 6: PHƯƠNG PHÁP CHIA KHOẢNG ĐỂ TÌM CỰC TRỊ  Phương pháp: - Để tìm cực trị của một biểu thức, ta có thể chia tập xác định ra từng khoảng. Sau đó ta tiến hành tìm cực trị của biểu thức đó trong từng khoảng của biến, rồi so sánh các cực trị đó để tìm giá trị cực trị (GTNN; GTLN) trong toàn bộ tập xác định của biểu thức. - Phương pháp này thường được sử dụng khi biểu thức có dạng tích mà dấu của biểu thức phụ thuộc vào dấu của một vài nhân tử nào đó. Đồng thời, tính biến thiên của biểu thức không thay đổi trong từng khoảng chia. - Phương pháp này còn được áp dụng với các biểu thức chứa giá trị tuyệt đối. - Phương pháp này giúp cho ta giới hạn được khoảng giá trị của biến để biểu thức đạt giá trị cực trị cần tìm. Do đó, sử dụng phương pháp này cho phép ta giải bài toán đơn giản hơn.  Các ví dụ minh hoạ: Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức: A x2 2 x với x 4  Nhận xét – Phân tích – Hướng dẫn giải: - Ta thấy: x2 0 với mọi x  , nên dấu của A phụ thuộc vào dấu của 2 x * Với x 2 A 0 * Với 2 x 4 A 0 Do đó để tìm GTNN ta chỉ xét giá trị của A với x 2;4  GIẢI: * Với x 2 A 0 (1) * Với 2 x 4 A 0 . Khi đó: Xét biểu thức: A x2 x 2 . Aùp dụng bất đẳng thức Cô – si cho 3 số không âm: x x ; ; x 2 . 2 2 3 x x x 2 3 A x x 2x 2 Ta có: . . x 2 2 2 8 A 32 A 32 (2) 4 2 2 3 3 Từ (1) và (2) min A 32 với x 4 Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất (GTLN) giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức: B x 1 x  Nhận xét – Phân tích – Hướng dẫn giải: - Ta thấy: 1 x 0 với mọi 1 x 1 , nên dấu của B phụ thuộc vào dấu của x * Với 0 x 1 B 0 * Với 1 x 0 B 0 Nguyễn Văn Anh – Tổ Tốn – Trường THCS Hồi Đức Trang 8
9. Một số phương pháp giải bài toán cực trị đại số Do đó để tìm GTLN ta chỉ xét giá trị của B với x 0;1 ; GTNN ta chỉ xét giá trị của B với x  1;0  GIẢI: * Điều kiện xác định củaB là: x 1 1 x 1 * Với 0 x 1 B 0 . 2 2 2 2 1 1 x 1 x 2 Ta có: B x 1 x (BĐT Cô – si) max B x 2 2 0 x 1 2 * Với 1 x 0 B 0 . Ta có: 2 2 2 2 1 1 1 x 1 x 2 B x 1 x (BĐT Cô – si) B min B x 2 2 2 1 x 0 2 y Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất (GTLN) của biểu thức: C với x; y  5 x y  Nhận xét – Phân tích – Hướng dẫn giải: - Ta thấy: vì y  , nên dấu của C phụ thuộc vào dấu của 5 x y  * Với 0 x y 4 C 0 * Với x y 6 C 0 Do đó để tìm GTLN của C ta chỉ xét giá trị của với x; y thoả: 0 x y 4  GIẢI: * Điều kiện xác định của C là: 5 x y 0 x y 5 Vì x; y  ; nên: * Với 0 x y 4 0 y 4 . Do đó ta xét các trường hợp sau: + Nếu y 0 thì C 0 (a) + Nếu 1 y 3 thì C 3 (b) + Nếu y 4 x 0 thì C 4 (c) * Với x y 6 C 0 (d) - Từ (a); (b); (c) và (d) suy ra: maxC 4 x 0; y 4 Bài tập tham khảo:  Tìm GTNN của M x 2004 x 2005 HD: Xét M trong các khoảng: x 2004;2004 x 2005;2005 x  Tìm GTNN của N 2x 1 2 3 2x 1 2 1 1 HD: Xét N trong các khoảng: x ; x 2 2 g) Phương pháp 7: PHƯƠNG PHÁP SẮP THỨ TỰ  Phương pháp: - Nếu việc sắp thứ tự lại các hằng số; các biến số không làm mất tính tổng quát của bài toán thì nên thực hiện vì chúng cho thêm giả thiết để tìm GTLN và GTNN. - Khi sắp thứ tự lại các hằng số và các biến ta nên chú ý đến phần tử Min và Max của chúng. Nguyễn Văn Anh – Tổ Tốn – Trường THCS Hồi Đức Trang 9
10. Một số phương pháp giải bài toán cực trị đại số - Phương pháp này thường được sử dụng trong các biểu thức đối xứng, hóan vị vòng quanh và một số biểu thức có điều kiện ràng buộc của biến. - Phương pháp này giúp cho ta giảm số lượng biến. Do đó, sử dụng phương pháp này cho phép ta giải bài toán đơn giản hơn.  Các ví dụ minh hoạ: Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất (GTLN) của biểu thức: S x2 y y2 z z 2 x Với x, y, z 0; x y z 1  Nhận xét – Phân tích – Hướng dẫn giải: - Ta thấy: Biểu thức S có dạng hoán vị vòng quanh x→y→z→x , do đó ta giả sử x là số lớn nhất để có thêm giả thiết và so sánh S với biểu thức trung gian.  GIẢI: * Giả sử: x Maxx, y, z. Ta có: z 2 x z 2 x z 2 x z 2 x zx S x2 y y2 z z 2 x x2 y y2 z S x2 y xyz S xy x z x z 2 2 2 2 2 3 z x x z z x y z 4 S x x z y S 4. . y 4 (BĐT Cô – si ) 2 2 2 2 2 3 27 4 x x z z 2 1 S y z 0; x ; y 27 2 2 2 2 3 3 4 2 1 2 1 1 2 Vậy MaxS khi x, y, z = ; ;0 , 0; ; , ;0; 27 3 3 3 3 3 3 Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất (GTLN) của biểu thức: x y x3 y3 x6 y6 P Với x, y 0 x10 y10  Nhận xét – Phân tích – Hướng dẫn giải: - Ta thấy: P là một biểu thức đối xứng có dạng phân thức tử và mẫu cùng bậc, nên không mất tính tổng quát ta có thể sắp thứ tự các biến để có thêm giả thiết và so sánh P với biểu thức trung gian là một hằng số  GIẢI: * Giả sử: x y x3 y3; x4 y4 , x6 y6 . Khi đó: Aùp dụng bất đẳng thức Trê – bư – sep ta có: x y x3 y3 2 x4 y4 (1) x4 y4 x6 y6 2 x10 y10 (2) * Từ (1) và (2) x y x3 y3 x6 y6 4 x10 y10 P 4 . Vậy MaxP 4 khi x y Bài tập tham khảo: a b c  Cho ba số a,b,c 0 . Tìm GTNN của A b c c a a b a3 b3 c3  Cho ba số a,b,c và0 a2 b2 c2 . Tìm1 GTNN của B b c c a a b Nguyễn Văn Anh – Tổ Tốn – Trường THCS Hồi Đức Trang 10
11. Một số phương pháp giải bài toán cực trị đại số a b c 1 (HD: Aùp dụng kết quả bài  với B a2 b2 c2 MinB khi b c c a a b 2 3 a b c ) 3 III) ỨNG DỤNG CỦA BÀI TOÁN TÌM CỰC TRỊ: 1. Giải phương trình và giải hệ phương trình: Như ta đã biết: A x, y, m * MinA x, y, m Tồn tại các bộ giá trị x , y , sao cho A m m  0 0 x0 , y0 , A x, y, n * MaxA x, y, n Tồn tại các bộ giá trị x , y , sao cho A n 0 0 x0 , y0 , n  Điều đó chứng tỏ các bộ giá trị x0 , y0 , chính là nghiệm của các phương trình: A m và A n . Từ đó cho phép ta sử dụng cực trị trong việc giải một số phương x0 , y0 , x0 , y0 , trình và hệ phương trình dạng đặc biệt.  Các ví dụ minh hoạ: Ví dụ 1: Giải phương trình: 2x 3 5 2x x2 4x 6 0 (*) HD Giải: Ta có: + (*) 2x 3 5 2x x2 4x 6 + Aùp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki: Ta có: 2 2x 3 5 2x 12 12 2x 3 5 2x 4 2x 3 5 2x 2 . Dấu " " xảy ra khi x 2 (1) + Mặt khác: x2 4x 6 x 2 2 2 2 . Dấu " " xảy ra khi x 2 (2) * Từ (1) và (2) suy ra: Phương trình đã cho có một nghiệm x 2 Ví dụ 2: Giải hệ phương trình: 2008 (1) 1 x1 1 x2 1 x2007 2007 2007 2006 1 x1 1 x2 1 x2007 2007 (2) 2007 HD Giải: ĐK: 1 xi 1 Với : i 1;2007 + Aùp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki: Từ (1), ta có: 2008 2 20072. 1 x 1 x 1 x 2007 2007 x x x 2007 1 2 2007 1 2 2007 x1 x2 x2007 1   x1 x2 x2007 1 Tương tự từ (2) ta có: x1 x2 x2007 1  Lúc đó hệ phương trình đã cho tương đương với hệ: Nguyễn Văn Anh – Tổ Tốn – Trường THCS Hồi Đức Trang 11
12. Một số phương pháp giải bài toán cực trị đại số 1 x1 1 x2 1 x2007 1 1 x1 1 x2 1 x2007 x1 x2 x2007 2007 x1 x2 x2007 1 1 Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm: x1 x2 x2007 . 2007 Bài tập tham khảo:  Giải các phương trình sau: a) x2 1 y2 2 z 2 8 32xyz (Với x; y; z 0 ) b) x2 2x 3 x2 x 1 x4 x2 4 c) x2 5y2 2x 4xy 3 0 Với y nhỏ nhất. 4 2 697 x y  Giải hệ phương trình: 81 2 2 x y xy 3x 4y 4 0 2. Giải toán cực trị trong hình học: Ta giả sử A là biểu thức xác định một yếu tố nào đó trong hình học. Chẳng hạn: Tổng x0 , y0 , độ dài các đoạn thẳng, chu vi hoặc diện tích của các hình hình học, .Dựa vào bài toán tìm cực trị: min A m ; max A n khi x, y, x0 , y0 , . Ta có thể xác định được giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của các yếu tố đó. Trong quá trình giảng dạy và nghiên cứu chúng tôi xin dề xuất một số dạng toán sau:  Về tìm giá trị nhỏ nhất: 2 2 2 + Dạng 1: x y 4xy hoặc x y 2xy x y 2 + Dạng 2: 4 xy + Dạng 3: Nếu x.y là hằng số thí tổng x y nhỏ nhất khi x y  Về tìm giá trị lớn nhất: + Dạng 1: 4xy x y 2 hoặc 2xy x2 y2 xy 1 + Dạng 2: x y 2 4 + Dạng 3: Nếu x y là hằng số thí tích x.y lớn nhất khi x y  Các ví dụ minh hoạ: Ví dụ 1: Cho ABC . Qua điểmM bất kì thuộc cạnh AC kẻ các đường song song với hai cạnh còn lại; chúng tạo với hai cạnh ấy một hình bình hành. Tìm vị trí củaM để hình bình hành có diện tích lớn nhất. HD Giải: Gọi S là diện tích của BEMF ; S là diện tích của ABC . Kẻ AH  BC , AH cắt EM tạiK . Ta có : A E M Nguyễn Văn Anh – Tổ Tốn – Trường THCS Hồi Đức Trang 12 B H F C
13. Một số phương pháp giải bài toán cực trị đại số S EM.KH S EM KH 1 2. . S BC.AH S BC AH 2 K EM x  BC x y S 2xy - Đặt: MA x;MC y . Ta có:  KH y S x y 2 AH x y  S ' 2xy 1 1 Theo bất đẳng thức Cô – si thì: MaxS ' S khi x y ; tức làM là trung S x y 2 2 2 điểm AC Ví dụ 2: Hai đường chéo của tứ giác lồi ABCDC cắt nhau tại O . Biết S AOB 4;S COD 9 . Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích tứ giác ABCD ? HD Giải: Ta có: S AO S AOB AOD (hai tam giác có cùng chiều cao) B O D S BOC CO S COD S BOC .S AOD S AOB .S COD 4.9 36 A 2 Mà S BOC S AOD 4.S BOC .S AOD 144 S BOC S AOD 12 S ABCD 25 - Dấu " " xảy ra khi S BOC S AOD hay AB //CD Vậy MinS ABCD 25 khi AB //CD hayABCD là hình thang Bài tập tham khảo:  Cho ABC vuông cân có cạnh huyền BC a . Các điểm D;E theo thứ tự thuộc các cạnh AB, AC . Vẽ DH  BC;EK  BC, H, K BC . Tính diện tích lớn nhất của tứ giác DEHK khi D;E thay đổi vị trí trên các cạnh AB, AC .  Cho đoạn thẳngAB và đường thẳngd song song với nhau. Từ điểmM (M vàd khác phía đối với AB ) sao cho các tia MA;MB tạo với d tam giác có diện tích nhỏ nhất. Nguyễn Văn Anh – Tổ Tốn – Trường THCS Hồi Đức Trang 13