Ôn tập Đại số Lớp 11 - Bài 4: Cấp số cộng

Nội dung text: Ôn tập Đại số Lớp 11 - Bài 4: Cấp số cộng

1. Bài 4. CẤP SỐ CỘNG •Chương 3. CẤP SỐ CỘNG - CẤP SỐ NHÂN Lý thuyết 1. Cấp số cộng là một dãy số (vô hạn hay hữu hạn) mà trong đó, kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tổng của số hạng đứng ngay trước nó và một số d không đổi, nghĩa là: (un ) là cấp số cộng n 2,un un 1 d Số d được gọi là công sai của cấp số cộng. 2. Định lý 1: Nếu (un ) là một cấp số cộng thì kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng ( trừ số hạng cuối đối với cấp số cộng hữu hạn) đều là trung bình cộng của hai số hạng đứng kề nó trong dãy, u u tức là u k 1 k 1 k 2 Hệ quả: Ba số a,b,c (theo thứ tự đó) lập thành một cấp số cộng a c 2b . 3. Định lý 2: Nếu một cấp số cộng có số hạng đầu u1 và công sai d thì số hạng tổng quát un của nó được xác định bởi công thức sau: un u1 n 1 d Chuyên đề Toán 10+11 tác giả Nguyễn Bảo Vương 2022 rất hay, có đầy đủ lý thuyết, bài tập tự luận, bài tập trắc nghiệm, phân dạng đầy đủ, tài liệu chia thành 2 bản học sinh (không giải) và bản giáo viên có giải chi tiết, rất thuận tiện cho quý thầy cô dạy học, liên hệ Zalo nhóm 0988166193 để mua tài liệu ạ 4. Định lý 3: Giả sử un là một cấp số cộng có công sai d . n Gọi Sn uk u1 u2 un k 1 ( Sn là tổng của n số hạng đầu tiên của cấp số cộng). Ta có: n u u n 2u1 n 1 d S 1 n . n 2 2 DẠNG 1: CHỨNG MINH MỘT DÃY SỐ un LÀ CẤP SỐ CỘNG. A. Phương pháp giải Để chứng minh dãy số un là một cấp số cộng, ta xét A un 1 un • Nếu A là hằng số thì un là một cấp số cộng với công sai d A . • Nếu A phụ thuộc vào n thì un không là cấp số cộng. B. Bài tập tự luận Câu 1. Trong các dãy số sau, dãy nào là cấp số cộng. Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng đó: a). Dãy số un với un 19n 5 b). Dãy số un với un 3n 1 2 n c). Dãy số un với un n n 1 d). Dãy số un với un 1 10n Lời giải Trang 1
2. Chuyên đề Toán 10+11 tác giả Nguyễn Bảo Vương 2022 rất hay, có đầy đủ lý thuyết, bài tập tự luận, bài tập trắc nghiệm, phân dạng đầy đủ, tài liệu chia thành 2 bản học sinh (không giải) và bản giáo viên có giải chi tiết, rất thuận tiện cho quý thầy cô dạy học, liên hệ Zalo nhóm 0988166193 để mua tài liệu ạ a). Dãy số un với un 19n 5 Ta có un 1 un 19 n 1 5 19n 5 19 . Vậy un là một cấp số cộng với công sai d 19 và số hạng đầu u1 19.1 5 14. b). Dãy số un với un 3n 1 Ta có un 1 un 3(n 1) 1 ( 3n 1) 3. Vậy un là một cấp số cộng với công sai d 3và số hạng đầu u1 3.1 1 2 . 2 c). Dãy số un với un n n 1 2 2 Ta có un 1 un n 1 n 1 1 n n 1 2n 2 , phụ thuộc vào n Vậy un không là cấp số cộng. n d). Dãy số un với un 1 10n Ta có u u 1 n 1 10 n 1 1 n 10n 1 n 10 1 n 10 2 1 n , phụ n 1 n thuộc vào n . Vậy un không là cấp số cộng. Câu 2. Định x để 3 số 10 3x,2x2 3,7 4x theo thứ tự đó lập thành 1 cấp số cộng. Lời giải Theo tính chất cấp số cộng ta có: 10 3x 7 4x 2 2x2 3 11 17 7x 4x2 6 4x2 7x 11 0 x 1 x . 4 Câu 3. Một tam giác vuông có chu vi bằng 3a, và 3 cạnh lập thành một CSC. Tính độ dài ba cạnh của tam giác theo a. Lời giải Gọi x, y, z theo thứ tự tăng dần của độ dài ba cạnh của tam giác. Chu vi của tam giác: x y z 3a (1) Tính chất của CSC có x z 2y (2) Vì tam giác vuông nên có: x2 y2 z2 (3) Thay (2) vào (1) được 3y 3a y a , thay y = a vào (2) được: x z 2a x 2a z 2 5a 3a Thay x và y vào (3) được: 2a z a2 z2 5a2 4az 0 z x 4 4 3a 5a Kết luận độ dài ba cạnh của tam giác thỏa yêu cầu: ,a, . 4 4 Câu 4. Ba góc của một tam giác vuông lập thành một CSC. Tìm số đo các góc đó. Lời giải Gọi 3 góc A, B, C theo thứ tự đó là ba góc của tam giác ABC lập thành CSC. Trang 2
3. A B C 180 A B 90 A 30 Ta có A C 2B A 2B 90 B 60 C 90 C 90 C 90 Chuyên đề Toán 10+11 tác giả Nguyễn Bảo Vương 2022 rất hay, có đầy đủ lý thuyết, bài tập tự luận, bài tập trắc nghiệm, phân dạng đầy đủ, tài liệu chia thành 2 bản học sinh (không giải) và bản giáo viên có giải chi tiết, rất thuận tiện cho quý thầy cô dạy học, liên hệ Zalo nhóm 0988166193 để mua tài liệu ạ C. Bài tập trắc nghiệm DÀNH CHO HỌC SINH TRUNG BÌNH – KHÁ Câu 1. Dãy số nào sau đây là một cấp số cộng? u1 1 u1 3 A. un : . B. un : . un 1 un 2, n 1 un 1 2un 1, n 1 C. un : 1; 3 ; 6 ; 10; 15; . D. un : 1; 1; 1; 1; 1; . Lời giải Chọn A Dãy số ở đáp án A thỏa un 1 un 2 với mọi n 1 nên là cấp số cộng. Câu 2. Trong các dãy số sau, có bao nhiêu dãy số là cấp số cộng? 2 a) Dãy số un với un 4n . b) Dãy số vn với vn 2n 1. n b) Dãy số w với w 7 . d) Dãy số t với t 5 5n . n n 3 n n A. 4 . B. 2 . C. 1. D. 3 . Lời giải Chọn D * Dãy số un với un 4n có un 1 4 n 1 4n 4 un 1 un 4 , n ¥ dãy số un là cấp số cộng với công sai d 4 . 2 Dãy số vn với vn 2n 1 có v1 3, v2 9 , v3 19 nên dãy số vn không là cấp số cộng. n n 1 n 1 1 Dãy số w với w 7 có w 7 7 u u , n ¥ * dãy n n 3 n 1 3 3 3 n 1 n 3 1 số w là cấp số cộng với công sai d . n 3 * Dãy số tn với tn 5 5n có tn 1 5 5n 5 un 1 un 5, n ¥ dãy số wn là cấp số cộng với công sai d 5. Vậy có 3 dãy số là cấp số cộng. Câu 3. Trong các dãy số sau, dãy số nào là một cấp số cộng? A. 1; 2; 4; 6; 8 . B. 1; 3; 6; 9; 12. C. 1; 3; 7; 11; 15. D. 1; 3; 5; 7; 9 . Lời giải Chọn C Trang 3
4. Chuyên đề Toán 10+11 tác giả Nguyễn Bảo Vương 2022 rất hay, có đầy đủ lý thuyết, bài tập tự luận, bài tập trắc nghiệm, phân dạng đầy đủ, tài liệu chia thành 2 bản học sinh (không giải) và bản giáo viên có giải chi tiết, rất thuận tiện cho quý thầy cô dạy học, liên hệ Zalo nhóm 0988166193 để mua tài liệu ạ Dãy số un có tính chất un 1 un d thì được gọi là một cấp số cộng. Ta thấy dãy số: 1; 3; 7; 11; 15 là một cấp số cộng có số hạng đầu là 1 và công sai bằng 4. Câu 4. Trong các dãy số sau, dãy số nào không phải cấp số cộng? 1 3 5 7 9 A. ; ; ; ; . B. 1;1;1;1;1. C. 8; 6; 4; 2;0 . D. 3;1; 1; 2; 4 . 2 2 2 2 2 Lời giải Chọn D Định nghĩa: Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn) mà trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tổng của số hạng đứng ngay trước nó và một số d không đổi. 1 Đáp án A: Là cấp số cộng với u ;d 1. 1 2 Đáp án B: Là cấp số cộng với u1 1;d 0 . Đáp án C: Là cấp số cộng với u1 8;d 2 . Đáp án D: Không là cấp số cộng vì u2 u1 2 ;u4 u3 1 . Câu 5. Xác định a để 3 số 1 2a;2a2 1; 2a theo thứ tự thành lập một cấp số cộng? 3 A. Không có giá trị nào của a . B. a . 4 3 C. a 3. D. a . 2 Lời giải Chọn D 3 3 Theo công thức cấp số cộng ta có: 2(2a2 1) (1 2a) ( 2a) a2 a . 4 2 Câu 6. Trong các dãy số sau đây, dãy số nào là cấp số cộng? 2 n n 1 A. un 3n 2017 . B. un 3n 2018 . C. un 3 . D. un 3 . Lời giải Chọn B Ta có un 1 un 3(n 1) 2018 (3n 2018) 3 un 1 un 3 . Vậy dãy số trên là cấp số cộng có công sai d 3. Câu 7. Dãy số nào sau đây là cấp số cộng? 1 A. u :u . B. u :u u 2,n 2 . n n n n n n 1 n C. un :un 2 1. D. un :un 2un 1,n 2 . Lời giải Chọn B Trang 4
5. Chuyên đề Toán 10+11 tác giả Nguyễn Bảo Vương 2022 rất hay, có đầy đủ lý thuyết, bài tập tự luận, bài tập trắc nghiệm, phân dạng đầy đủ, tài liệu chia thành 2 bản học sinh (không giải) và bản giáo viên có giải chi tiết, rất thuận tiện cho quý thầy cô dạy học, liên hệ Zalo nhóm 0988166193 để mua tài liệu ạ Xét dãy số un :un un 1 2,n 2 Ta có un un 1 2,n 2 Vậy dãy số đã cho là cấp số cộng với công sai d 2 Câu 8. Trong các dãy số sau đây, dãy số nào là một cấp số cộng? A. u n2 1, n 1 B. u 2n , n 1 C. u n 1,n 1 D. u 2n 3, n 1 n . n . n . n Lời giải Chọn D Theo định nghĩa cấp số cộng ta có: un 1 un d un 1 un d, n 1, d const Thử các đáp án ta thấy với dãy số: un 2n 3, n 1 thì: un 2n 3 un 1 un 2 const un 1 2 n 1 3 2n 1 Câu 9. Trong các dãy số sau, dãy nào là cấp số cộng: 2 5n 2 A. u 3n 1 . B. u . C. u n2 1 . D. u . n n n 1 n n 3 Lời giải Chọn D * Ta có dãy un là cấp số cộng khi un 1 un d , n ¥ với d là hằng số. Bằng cách tính 3 số hạng đầu của các dãy số ta dự đoán đáp ánD. 5 n 1 2 5n 2 5 Xét hiệu u u ,n ¥ * . n 1 n 3 3 3 5n 2 Vậy dãy u là cấp số cộng. n 3 Câu 10. Các dãy số có số hạng tổng quát un . Trong các dãy số sau, dãy số nào không phải là cấp số cộng? n 2 2 A. un 2n 5 . B. 49 , 43,37 , 31, 25 .C. un 1 3 . D. un n 3 n . Lời giải ChọnC. n n 1 n * n Xét dãy số un 1 3 , suy ra un 1 1 3 . Ta có un 1 un 2.3 ,n ¥ . Do đó un 1 3 không phải là cấp số cộng. Câu 11. Dãy số nào dưới đây là cấp số cộng? n * * A. un n 2 , n ¥ . B. un 3n 1, n ¥ . n * 3n 1 * C. un 3 , n ¥ . D. un , n ¥ . n 2 Lời giải Chọn B Trang 5
6. Chuyên đề Toán 10+11 tác giả Nguyễn Bảo Vương 2022 rất hay, có đầy đủ lý thuyết, bài tập tự luận, bài tập trắc nghiệm, phân dạng đầy đủ, tài liệu chia thành 2 bản học sinh (không giải) và bản giáo viên có giải chi tiết, rất thuận tiện cho quý thầy cô dạy học, liên hệ Zalo nhóm 0988166193 để mua tài liệu ạ n * n 1 n n * Với dãy số un n 2 , n ¥ , xét hiệu: un 1 un n 1 2 n 2 2 1, n ¥ thay n * đổi theo n nên un n 2 , n ¥ không là cấp số cộng. (A loại) * * Với dãy số un 3n 1, n ¥ , xét hiệu: un 1 un 3 n 1 1 3n 1 3, n ¥ là hằng số * nên un 3n 1, n ¥ là cấp số cộng. (B đúng) n * n 1 n n * Với dãy số un 3 , n ¥ , xét hiệu: un 1 un 3 3 2.3 , n ¥ thay đổi theo n nên n * un 3 , n ¥ không là cấp số cộng. (C loại) 3n 1 * Với dãy số un , n ¥ , xét hiệu: n 2 3 n 1 1 3n 1 5 * un 1 un , n ¥ thay đổi theo n nên n 1 2 n 2 n 2 n 3 3n 1 * un , n ¥ không là cấp số cộng. (D loại) n 2 Câu 12. Dãy số nào sau đây là cấp số cộng ? A. 1;2;3;4;5. B. 1;2;4;8;16 . C. 1; 1;1; 1;1. D. 1; 3;9; 27;81. Lời giải Chọn A Câu 13. Dãy số nào sau đây là một cấp số cộng? u1 1 u1 3 A. un : . B. un : . un 1 un 2, n 1 un 1 2un 1, n 1 C. un : 1; 3 ; 6; 10; 15;  . D. un : 1; 1; 1; 1; 1;  . Lời giải Chọn A Dãy số ở đáp án A thỏa un 1 un 2 với mọi n 1 nên là cấp số cộng. DÀNH CHO HỌC SINH KHÁ – GIỎI Câu 14. Tam giác ABC có ba cạnh a , b , c thỏa mãn a2 , b2 , c2 theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau A. tan2 A , tan2 B , tan2 C theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng. B. cot2 A, cot2 B , cot2 C theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng. C. cos A, cos B , cosC theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng. D. sin2 A , sin2 B , sin2 C theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng. Lời giải Chọn D Áp dụng định lý sin trong tam giác ABC ta có a 2Rsin A , b 2Rsin B , c 2Rsin C Trang 6
7. Theo giả thiết a2 , b2 , c2 theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng nên a2 c2 2b2 4R2.sin2 A 4R2.sin2 C 2.4R2.sin2 B sin2 A sin2 C 2.sin2 B . Vậy sin2 A , sin2 B , sin2 C theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng. Chuyên đề Toán 10+11 tác giả Nguyễn Bảo Vương 2022 rất hay, có đầy đủ lý thuyết, bài tập tự luận, bài tập trắc nghiệm, phân dạng đầy đủ, tài liệu chia thành 2 bản học sinh (không giải) và bản giáo viên có giải chi tiết, rất thuận tiện cho quý thầy cô dạy học, liên hệ Zalo nhóm 0988166193 để mua tài liệu ạ Câu 15. Biết bốn số 5 ; x ; 15; y theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Giá trị của biểu thức 3x 2y bằng. A. 50 . B. 70 . C. 30 . D. 80 . Lời giải ChọnB. 5 15 Ta có: x 10 y 20 . Vậy 3x 2y 70 . 2 Chuyên đề Toán 10+11 tác giả Nguyễn Bảo Vương 2022 rất hay, có đầy đủ lý thuyết, bài tập tự luận, bài tập trắc nghiệm, phân dạng đầy đủ, tài liệu chia thành 2 bản học sinh (không giải) và bản giáo viên có giải chi tiết, rất thuận tiện cho quý thầy cô dạy học, liên hệ Zalo nhóm 0988166193 để mua tài liệu ạ Trang 7