Phương pháp giải hệ phương trình đối xứng loại I và một số bài tập mẫu - Phạm Thị Cảnh

Nội dung text: Phương pháp giải hệ phương trình đối xứng loại I và một số bài tập mẫu - Phạm Thị Cảnh

1. Phương pháp giải hệ đối xứng loại I và một số bài tập mẫu. 1. Hệ đối xứng loại (kiểu) I: ì ì ï f(x, y) = 0 ï f(x, y) = f(y, x) a. Là hệ có dạng : í , trong đó íï ï g(x, y) = 0 ï g(x, y) = g(y, x) îï îï b. Phương pháp giải chung: - Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có). - Bước 2: Đặt S = x + y, P = xy với điều kiện S2 ³ 4P . - Bước 3: Thay x, y bởi S, P vào hệ phương trình. Sau khi tìm được S, P thì x, y là nghiệm của phương trình t2 – St + P = 0. c. Một số biểu diễn biểu thức đối xứng qua S và P: x2 + y2 = (x + y) 2 – 2xy = S2 – 2P x3 + y3 = (x + y)(x2 – xy + y2) = S3 – 3PS x2y + xy2 = xy(x + y) = S.P x4 + y4 = (x2 + y 2) 2 – 2x 2 y 2 = (S2 – 2P) 2 – 2P 2 d. Chú ý: Ngoài phương pháp chung ta có thể sử dụng các phương pháp khác như: - Phương pháp thế. - Phương pháp hàm số. - Phương pháp điều kiện cần và đủ. - Phương pháp đánh giá. e. Các ví dụ: ïì x2y + xy2 = 30 Ví dụ 1: Giải hệ phương trình íï (1) ï x 3 + y3 = 35 îï GIẢI ïì S = x + y Đặt íï điều kiện S2 ³ 4P . Hệ phương trình (1) trở thành: ï P = xy îï ïì 30 ì ï P = ì ï SP = 30 ï ï S = 5 íï Û í S Û íï . ï S3 - 3PS) = 35 ï 30 ï P = 6 îï ï S3 - 3. S = 35 îï îï S ét = 2 => x, y là nghiệm của phương trình t2 – 5t + 6 = 0 Û ê êt = 3 ëê Vậy hệ (1) có 2 nghiệm (2;3); (3;2) * Lưu ý một số trường hợp đặc biệt: i) Có những hệ phương trình trở thành loại I sau khi đặt ẩn phụ: Giáo viên: Phạm Thị Cảnh - 1 -
2. Phương pháp giải hệ đối xứng loại I và một số bài tập mẫu. ïì x2 + xy + y2 = 1 Ví dụ 2: Giải hệ phương trình íï (2) ï x - y - xy = 3 îï GIẢI Nhận xét: Hệ trên vốn không đối xứng. ïì x2 - tx + t 2 = 1 Đặt t= - y ta được hệ đối xứng: íï ï x + t + tx = 3 îï ïì S = x + t ïì S- 3P = 1 Đặt íï , điều kiện S2 ³ 4P ta được: íï Û S2 + 3S- 10 = 0 ï P = xt ï S+ P = 3 îï îï éïì S = - 5 êíï (loai vì không thoa mãn S2 ³ 4P) ïì S = - 5 êï P = 8 Û ï Û êîï í êì . ï S = 2 êï S = 2 î íï êï P = 1 ëêîï ïì S = 2 ïì x + t = 2 Với íï ta có: íï ï P = 1 ï x.t = 1 îï îï => x, t là nghiệm của phương trình u2 – 2u + 1 = 0 => u = 1 Vậy x= t =1. t = 1 => y = -1. Vậy hệ (1) có nghiệm duy nhất (1; -1) ii) Trong một số trường hợp ta đặt ẩn phụ u = u(x); v = v(x) và sau đó đặt ïì S = u + v ïì S = x + y íï thì ta sẽ được hệ phương trình đơn giản hơn so với việc đặt íï ï P = uv ï P = xy îï îï ïì xy + x + y = 5 Ví dụ 3: Giải hệ phương trình íï (3) ï (x + 1)3 + (y + 1)3 = 35 îï GIẢI ïì u = x + 1 ïì uv = 6 Đặt íï thì (3) trở thành íï (3’) ï v = y + 1 ï u3 + v3 = 35 îï îï ïì S = u + v ïì P = 6 ïì S = 5 Đặt íï , hệ (3’) trở thành íï Û íï ï P = uv ï S3 - 3PS = 35 ï P = 6 îï îï îï ïì t = 2 => u, v là nghiệm của phương trình t2 – 5t + 6 = 0 Û íï ï t = 3 îï => (3’) có nghiệm (2;3) hoặc (3;2) => Hệ phương trình (2) có 2 nghiệm (1;2); (2;1) ïì x + y + x2 + y2 = 8 Ví dụ 4: Giải hệ phương trình íï (4) ï xy(x + 1)(y + 1) = 12 îï Giáo viên: Phạm Thị Cảnh - 2 -
3. Phương pháp giải hệ đối xứng loại I và một số bài tập mẫu. GIẢI ïì S = x + y ïì S2 + S- 2P = 8 Nhận xét: Nếu đặt íï ta thu được hệ íï (-> phức tạp) ï P = xy ï P(P + S+ 1) = 12 îï îï ïì u = x(x + 1) ïì u + v = 8 Đặt íï thì (4) trở thành íï ï v = y(y + 1) ï uv = 12 îï îï ét = 6 => u, v là nghiệm của phương trình t2 – 8t + 12 = 0 ê êt = 2 ëê éïì u = 6 êíï êï v = 2 ïì x2 + x - 6 = 0 ïì x2 + x - 2 = 0 Vậy êîï Do đó ta có ï hoặc ï êì í 2 í 2 êï u = 2 ï y + y - 2 = 0 ï y + y - 6 = 0 íï î î êï v = 6 ëêîï Vậy (4) có 8 nghiệm (1; 2); (1:-3); (-2;2); (-2;-3) và (2; 1); (-3:1); (2;-2); (-3;-2) ïì 1 1 ï x + y + + = 4 ï x y Ví dụ 5: Giải hệ phương trình íï (5) ï 1 1 ï x2 + y2 + + = 4 îï x2 y2 GIẢI ïì S = x + y Nhận xét: Nếu đặt íï như thông thường thì sẽ dẫn tới 1 hệ phương trình ï P = xy îï phức tạp. Điều kiện: x ¹ 0, y ¹ 0 ïì 1 ï u = x + ï ïì u + v = 4 Đặt íï x thì (5) trở thành íï (5’) ï 1 ï u2 + v2 = 8 ï v = y + îï îï y ïì S = u + v Đặt íï điều kiện S2 ³ 4P . Hệ phương trình (5’) trở thành: ï P = uv îï ïì S = 4 ïì S = 4 íï Û íï ï S2 - 2P = 8 ï P = 4 îï îï => u, v là nghiệm của phương trình t2 – 4t + 4 = 0 Û t = 2 ïì 1 ï x + = 2 ïì u = 2 ï ïì x = 1 Vậy íï Û íï x Û íï ï v = 2 ï 1 ï y = 1 îï ï y + = 2 îï îï y Vậy hệ phương trình (5) có nghiệm duy nhất là (1;1). Giáo viên: Phạm Thị Cảnh - 3 -
4. Phương pháp giải hệ đối xứng loại I và một số bài tập mẫu. iii) Có những hệ phương trình đối xứng loại I không giải được theo cách giải quen thuộc. Ta phải dùng ẩn phụ để đưa về hệ phương trình đối xứng giải được theo phương pháp quen thuộc. ì ï x y + y x = 30 Ví dụ 6: Giải hệ phương trình íï (6) ï x x + y y = 35 îï GIẢI Điều kiện x, y ³ 0. Nhận xét: Đây là hệ đối xứng loại I không giải được theo phương pháp quen thuộc. ïì u2v + uv2 = 30 Đặt u = x ; v = y thì hệ (6) trở thành íï (6’) ï u3 + v3 = 35 îï Giải như ví dụ 1 ta được kết quả nghiệm của (6’) là (2;3) ; (3;2) => (6) có nghiệm: (4;9); (9; 4) ì ï x + y = 9 Ví dụ 7: Giải hệ phương trình íï (7) ï 3 x + 3 y = 5 îï GIẢI Điều kiện x, y ³ 0. ì 6 3 3 ï u = x ïì u + v = 9 Đặt íï thì hệ (7) trở thành íï (7’) ï v = 6 y ï u2 + v2 = 5 îï îï Giải theo phương pháp thông thường 1 ta được kết quả nghiệm của (7’) là (2;1) ; (1;2) => nghiệm của hệ (7): (64; 1); (1; 64) ïì 2x2 + 2y2 = 5 Ví dụ 8: Giải hệ phương trình íï (8) ï x - y + x + y + x2 - y2 = 35 îï GIẢI Nhận xét: Đây là hệ phương trình đối xứng loại I đối với 2 ẩn x, y và không giải được theo cách giải quen thuộc. ïì u2 + v2 = 5 Dùng ẩn phụ đặt u = x + y ; v = x - y đưa hệ (8) về dạng íï (8’) ï u + v + uv = 5 îï Hệ (8’) giải được theo phương pháp quen thuộc. Ta thu được kết quả nghiệm của (8) æ1 3ö æ3 1ö æ 1 3ö æ 3 1ö æ3 1ö æ 1 3ö æ 3 1ö æ1 3ö là ç ; ÷ ; ç ; ÷ ; ç- ;- ÷ ; ç- ;- ÷ ; ç ;- ÷ ; ç- ; ÷ ; ç- ; ÷ ; ç ;- ÷ èç2 2ø÷ èç2 2ø÷ èç 2 2ø÷ èç 2 2ø÷ èç2 2ø÷ èç 2 2ø÷ èç 2 2ø÷ èç2 2ø÷ Giáo viên: Phạm Thị Cảnh - 4 -
5. Phương pháp giải hệ đối xứng loại I và một số bài tập mẫu. * Nhiều hệ ở dang ban đầu chưa thấy sự xuất hiện ẩn phụ, trong trường hợp này ta cần sử dụng một vài phép biến đổi phù hợp. ì ï x + y = 4 Ví dụ 9: Giải hệ phương trình íï (9) ï x + 5 + y + 5 = 6 îï GIẢI Điều kiện x, y >0. ïì ïì ï x + 5 + x + y + 5 + y = 10 ï x + 5 + x + y + 5 + y = 10 ï (9) Û í Û í 5 5 ï x + 5 - x + y + 5 - y = 2 ï + = 2 îï ï îï x + 5 + x y + 5 + y ì ï ( x + 5 + x) + ( y + 5 + y) = 10 Û íï ï ( x + 5 + x).( y + 5 + y) = 25 îï ì ï u = x + 5 + x ïì u + v = 10 Đặt íï (u, v > 0) Khi đó ta có hệ íï ï v = y + 5 + y ï u + v = 25 îï îï => u, v là nghiệm của phương trình t2 – 10t + 25 = 0 Û t = 5 vậy ì ïì u = 5 ï x + 5 + x = 5 íï hay íï (9’) ï v = 5 ï y + 5 + y = 5 îï îï Giải hệ (9’) ta được nghiệm là (4;4) => Vậy hệ (9) có nghiệm duy nhất (4;4) iv) Trong một số trường hợp khi gặp hệ phương trình dối xứng loại I ta không thể giải được theo cách giải quen thuộc và cũng không chọn được ẩn phụ nào thích hợp để đưa về cách giải “quen thuộc” khi đó ta sẽ dùng phương pháp đánh giá, hay sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải quyết. ì 2 2 ï x - y = ( 3y - 1 - 3x - 1)(x + y + 2) Ví dụ 10: Giải hệ phương trình í (10) ï x 3 + y3 = 16 îï GIẢI Điều kiện x, y >1 . 3 ì ï 3y - 1 - 3x - 1 1 ï = - Nếu x¹ y thì (10) Û í y - x x2 + y2 + 2 (10’) ï ï x 3 + y3 = 16 îï Giáo viên: Phạm Thị Cảnh - 5 -
6. Phương pháp giải hệ đối xứng loại I và một số bài tập mẫu. 3y - 1 - 3x - 1 3y - 1- 3x + 1 3 Ta nhận thấy = = >0 y - x (y - x)( 3y - 1 + 3x - 1) 3y - 1 + 3x - 1 - 1 và < 0 suy ra (x; y) : x= y không thỏa hệ. x2 + y2 + 2 ïì x = y ïì x = 2 Với x = y thì (10) Û íï Û íï ï x 3 + y3 = 16 ï y = 2 îï îï Vậy hệ phương trình (10) có nghiệm duy nhất (2; 2). Giáo viên: Phạm Thị Cảnh - 6 -