Sáng kiến kinh nghiệm Một số phương pháp giúp học sinh Lớp 6 giải toán chia hết ở trường Trung học Cơ sở Lạc Hòa

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Một số phương pháp giúp học sinh Lớp 6 giải toán chia hết ở trường Trung học Cơ sở Lạc Hòa

1. Phần 1: Mở đầu 1. Lí do chọn đề tài. Như ta đã biết, mục tiêu giáo dục và đào tạo là “nâng cao mặt bằng dân trí, đảm bảo những tri thức cần thiết để mọi người gia nhập cuộc sống xã hội và kinh tế, theo kịp tiến trình đổi mới của đất nước, đào tạo bồi dưỡng và nâng cao chất lượng nguồn nhân lực để đáp ứng yêu cầu công nghiệp hóa, hiện đại hóa đất nước”. Số học là một môn khoa học nó có vai trò khá quan trọng trong việc rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh. Số học giúp chúng ta có cái nhìn tổng quát hơn, suy luận chặt chẽ lôgíc hơn. Thế giới những con số cũng thật gần gũi nhưng cũng đầy bí ẩn. Ở trường THCS phân môn số học tuy chỉ được học ở lớp 6 nhưng nó xuyên suốt quá trình học toán ở các cấp. Đối với học sinh THCS, Số học là một mảng khó trong chương trình toán THCS. Phần lớn học sinh chưa có phương pháp giải bài tập. Nguyên nhân cơ bản của những khó khăn mà học sinh gặp phải khi giải bài tập số học chính là ở chỗ: lúc giải bài tập mới học sinh không biết bắt đầu từ đâu? giải như thế nào? áp dụng kiến thức nào để giải bài tập? . Bởi vậy vấn đề đặt ra là chúng ta cần làm cho học sinh lớp 6 nắm chắc được kiến thức nền tảng này. Muốn vậy, bên cạnh việc dạy nội dung kiến thức, ta phải dạy cho học sinh tri thức phương pháp hay thuật giải các bài tập trong chương. Mà muốn làm được điều đó tốt thì phải kết hợp với rèn kĩ năng giải bài tập. Điều này tuy không mới nhưng không dễ để thực hiện ở cả hai phía giáo viên và học sinh. Tuy nhiên không thể suy rằng mọi học sinh đều học tập dễ dàng như nhau, có học sinh tiếp thu tri thức toán học rất nhanh chóng và sâu sắc mà không cần sự cố gắng đặc biệt, trong khi đó một số em khác có cố gắng nhiều nhưng không đạt được kết quả như vậy. Nhiệm vụ của giáo viên dạy toán là tìm hiểu, nghiên cứu những mặt mạnh và khắc phục mặt yếu, có như vậy mới giúp được tất cả học sinh phát triển và làm cho mọi học sinh nắm được những kiến thức cơ bản, đồng thời góp phần phát hiện, đào tạo nhân tài ngay từ những năm đầu ở bậc THCS. Trong quá trình giảng dạy môn số học 6, tôi nhận thấy ở học sinh kỹ năng xác định “một số có chia hết hay không chia hết cho một số nào đó mà không cần thực hiện phép chia” thì đa số học sinh không vận dụng được các dấu hiệu chia hết, hoặc dẫu học sinh có làm được thì đa số là thực hiện phép tính, thậm chí nhiều học sinh không biết bắt đầu giải toán chia hết như thế nào? Do vậy kết quả môn toán lớp 6 qua các kỳ thi thường không cao chủ yếu do học sinh yếu về kỹ năng làm bài. Nhằm đáp ứng yêu cầu về đổi mới phương pháp giảng dạy, giúp học sinh tháo gỡ và giải quyết những khó khăn, vướng mắc trong học tập, nên bản thân tôi đã luôn trăn trở và tìm hiểu nguyên nhân. Từ đó đã thúc đẩy tôi suy nghĩ chọn đề tài: “Một số phương pháp giúp học sinh lớp 6 giải toán chia hết ở trường trung học cơ sở Lạc Hòa”. 1
2. 2. Phạm vi đề tài: Đề tài này được áp dụng trong khi dạy chương trình toán 6 THCS và cụ thể là học sinh lớp 6a3 của Trường trung học cơ sở Lạc Hòa. 3. Lịch sử đề tài: Tôi bắt đầu nghiên cứu đề tài này từ khi tôi nhận thấy ở học sinh kỹ năng xác định “một số có chia hết hay không chia hết cho một số nào đó mà không cần thực hiện phép chia” thì đa số học sinh không vận dụng được các dấu hiệu chia hết, hoặc dẫu học sinh có làm được thì đa số là thực hiện phép tính, thậm chí nhiều học sinh không biết bắt đầu giải toán chia hết như thế nào? Do vậy kết quả môn toán lớp 6 qua các kỳ thi thường không cao chủ yếu do học sinh yếu về kỹ năng làm bài. 4. Mục đích nghiên cứu: * Đối với giáo viên: - Để nâng cao trình độ chuyên môn, phục vụ cho quá trình giảng dạy. - Làm quen với công tác nghiên cứu khoa học để ngày càng phục vụ cho việc giảng dạy hiệu quả hơn. * Đối với học sinh: - Giúp học sinh hệ thống kiến thức về một số phương pháp giải bài toán về phép chia hết. - Nhằm rèn luyện tư duy, óc sáng tạo của học sinh trung học cơ sở. 5. Tính mới mẻ của đề tài: - Hệ thống hóa kiến thức về phương pháp giải toán chia hết. - Đối với mỗi tiết học “Tính chất chia hết của một tổng và các dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5, 9” giáo viên luôn đưa ra những lưu ý trong giảng dạy lý thuyết. - Xây dựng những phương pháp giải các dạng toán có vận dụng “Tính chất chia hết của một tổng và các dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5, 9”. - Tìm tòi cách giải hay, khai thác bài toán dành cho học sinh khá giỏi. 2
3. Phần 2: Nội dung 1. Cơ sở lí luận của đề tài: Hiện nay chúng ta đang dạy học theo sự đổi mới là “dạy học theo chuẩn kiến thức kỹ năng” vì thế những gì gọi là chuẩn – là cơ bản nhất thì học sinh cần phải nắm vững. Do đó rèn kỹ năng giải toán chia hết cũng là chuẩn mà học sinh cần phải nắm. Hệ thống bài tập về dạng toán “chia hết” có vai trò quan trọng trong việc giúp cho học sinh phát triển khả năng tư duy, khả năng vận dụng kiến thức một cách linh hoạt vào giải toán, trình bày lời giải chính xác và logic. Có như thế mới phù hợp với sự cải tiến dạy học là “phát huy tính tích cực, tư duy sáng tạo của học sinh trong quá trình học tập”. 2. Thực trạng vấn đề: 2.1. Đặc điểm tình hình: 2.1.1. Thuận lợi: - Được sự quan tâm chỉ đạo sát sao Ban giám hiệu của nhà trường. - Được Ban giám hiệu nhà trường phân công giảng dạy đúng chuyên môn. - Được sự giúp đỡ nhiệt tình của các đồng chí đồng nghiệp. - Đa số các em học sinh ngoan, lễ phép một số em tỏ ra thích học môn toán, và có năng khiếu về bộ môn toán. 2.1.2. Khó khăn: - Các tài liệu về “phương pháp giải toán chia hết” để giáo viên tham khảo rất hiếm nên giáo viên cũng ít có cơ hội để bổ sung kiến thức, phương pháp. - Mặt khác đối với mỗi tiết dạy của giáo viên, việc tìm được một phương pháp tối ưu cho từng dạng bài toán và đưa ra hệ thống những lời chỉ dẫn rõ ràng cho học sinh là rất khó. - Với giáo viên việc dạy bài bài toán chia hết là khó thì với học sinh kiểu bài toán này càng khó hơn. - Việc học tập các phương pháp tổng quát và đặc biệt là để giải các bài toán; việc hình thành khả năng, kỹ xảo vận dụng toán học của học sinh chưa hệ thống. - Trong khi học toán, có những kiến thức, nội dung tài liệu học tập, các em hiểu được các định lý và quy tắc nhưng không hiểu các phương pháp chung để giải các bài toán. Những chỉ dẫn của giáo viên thông thường học sinh không ghi nhớ và hệ thống hoá được. Vì thế tất cả những chỉ dẫn đó chỉ trông vào trí nhớ của học sinh nhưng học sinh lại nhanh quên. - Bên cạnh đó nhiều học sinh rỗng nhiều kiến thức, không nắm được các kiến thức, kĩ năng cơ bản, và còn lười học. - Mặt khác nhiều gia đình chưa thực sự quan tâm tạo điều kiện cho các em học tập một cách có hiệu quả. 2.2. Thực trạng: 2.2.1. Số liệu thống kê: Năm học 2015 – 2016 được sự phân công của Ban giám hiệu tôi đảm nhận dạy môn Toán 6. Sau khi dạy hết chương I tôi cho học sinh lớp 6a3 làm bài kiểm tra 3
4. để khảo sát chất lượng hiểu bài của học sinh là thế nào? Trong đề kiểm tra có nội dung phần tự luận như sau: 1. Trong các số sau: 213; 435; 156; 3240; 5319 a) Số nào chia hết cho 2 mà không chia hết cho 5. b) Số nào chia hết cho 5 mà không chia hết cho 2. c) Số nào chia hết cho 3 mà không chia hết cho 9. d) Số nào chia hết cho cả 2, 3, 5, 9. 2. Tìm các chữ số a và b sao cho a – b = 4 và 87ab9 3. Chứng minh rằng 995 984 973 962 2 và 5 Qua việc chấm bài và chữa bài cho học sinh, tôi thống kê điểm làm bài kiểm tra của học sinh lớp 6a3 ở phần tự luận như sau: Chất lượng làm bài Số lượng (bài) Tỉ lệ (%) Giỏi 5 10.6% Khá 8 17.0% Trung bình 12 25.5% Yếu, kém 22 46.9% 2.2.2. Nguyên nhân thực trạng: Trước kết quả thu được của lần kiểm tra này, tôi thấy rằng: - Trong quá trình học toán, học sinh hiểu phần lý thuyết có khi chưa chắc chắn hoặc còn mơ hồ về các công thức nên thường không làm được bài tập. - Có những dạng bài tập, học sinh chưa nhận dạng được số nào chia hết cho cả 2, 3, 5, 9. (Cụ thể ở câu 1d) - Đối với học sinh yếu, kém toán: Không nắm được kiến thức, kĩ năng cơ bản. Thậm chí không biết làm bài toán bắt đầu từ đâu? Làm như thế nào? . - Có những học sinh đã nhận dạng được các dấu hiệu chia hết nhưng không biết suy luận để làm bài (cụ thể câu 2) - Đối với học sinh khá giỏi thì không biết áp dụng phương pháp nào để giải bài toán (cụ thể ở bài 3) Từ những nguyên nhân trên, trong suốt quá trình giảng dạy tôi luôn hình thành cho học sinh kĩ năng giải toán, tạo điều kiện giúp các em tiếp thu bài một cách chủ động, sáng tạo và tránh sai sót. Cụ thể như sau: 3. Các biện pháp thực hiện để nâng cao cải tiến thực trạng: 3.1. Một số lí thuyết về phép chia hết: 3.1.1 Định lý về phép chia hết: Cho a, b là các tự nhiên tuỳ ý, b 0 , khi đó có hai số tự nhiên q, r duy nhất sao cho : a bq r với 0 r b , a là só bị chia, b là số chia, q là thương số và r là số dư. Đặc biệt với r = 0 thì a = b.q Khi đó ta nói a chia hết cho b hay b là ước của a, ký hiệu ab . 4
5. 3.1.2. Tính chất chia hết của một tổng, một hiệu, một tích. am - Nếu  a bm bm am - Nếu  a bm bm am - Nếu  a .b m bm n - Nếu am a m (n là số tự nhiên) 3.1.3. Các dấu hiệu chia hết: a) Dấu hiệu chia hết cho 2: Một số chia hết cho 2 chữ số tận cùng của nó là chữ số chẵn. b) Dấu hiệu chia hết cho 5: Một số chia hết cho 5 chữ số tận cùng của nó là 0 hoặc 5. c) Dấu hiệu chia hết cho 3 và 9: Một số chia hết cho 3 (hoặc 9) tổng các chữ số của nó chia hết cho 3 (hoặc 9). 3.2. Một số lưu ý khi dạy lý thuyết. Trong quá trình giảng dạy môn số học 6, giáo viên cần lưu ý học sinh các dấu hiệu chia hết cho 2, cho 5, cho 3 và cho 9 theo hai nhóm số. - Nhóm số được xét xem chữ số tận cùng của các số tự nhiên để số đó: “chia hết cho 2, cho 5”. Từ đó mở rộng cho học sinh dấu hiệu chia hết cho 4, cho 8, cho 25, cho 125. - Nhóm số được xem tổng các chữ số của số tự nhiên để số đó: “chia hết cho 3, cho 9”. Từ đó mở rộng cho học sinh dấu hiệu chia hết cho 11. 3.2.1. Nhóm số được xét chữ số tận cùng của các số tự nhiên. Số tự nhiên A bất kỳ có thể viết được dưới dạng: A = an an 1an 2 a1a0 n n 1 1 = 10 an 10 an 1 10 a1 a0 Giáo viên hướng dẫn học sinh suy luận: a a A  2 0  2 0 0;2;4;6;8 Vậy số tự nhiên A chia hết cho 2 khi chữ số tận cùng là số chẵn. a a A  5 0  5 0 0;5 Vậy số tự nhiên A chia hết cho 5 khi chữ số tận cùng là 0 hoặc 5. Sau khi dạy xong các dấu hiệu chia hết cho 2, cho 5, giáo viên có thể mở rộng thêm cho học sinh khá giỏi: A  4 a1 a0  4 (hai chữ số tận cùng chia hết cho 4) 5
6. A  25 a1 a0  25 (hai chữ số tận cùng chia hết cho 25) A  8 a2 a1 a0  8 (ba chữ số tận cùng chia hết cho 8) A  125 a2 a1 a0  125 (ba chữ số tận cùng chia hết cho 125) 3.2.2. Nhóm số được xét xem tổng các chữ số của số tự nhiên. Xét số tự nhiên A có dạng: a a a a a A = n n 1 n 2 1 0 Giáo viên hướng dẫn học sinh suy luận: A  9 an an 1 a1 a0  9 Vậy số tự nhiên A chia hết cho 9 khi tổng các chữ số chia hết cho 9. A  3 an an 1 a1 a0  3 Vậy số tự nhiên A chia hết cho 3 khi tổng các chữ số chia hết cho 3. • Giáo viên nên nhấn mạnh cho học sinh: Số chia hết cho 9 thì luôn chia hết cho 3 nhưng số chia hết cho 3 thì chưa chắc sẽ chia hết cho 9. Ví dụ: a) Xét số 3291 + Số 3291 có tổng các chữ số là: 3 + 2 + 9 + 1 = 15 và 15 3 nhưng 15  9 số này chia hết cho 3 nhưng không thể chia hết cho 9. b) Xét số 4653 + Số 4653 có tổng các chữ số là: 4 + 6 + 5 + 3 = 18 và 18  3; 18 9 nên số này chia hết cho cả 3 và 9. Sau khi dạy xong các dấu hiệu chia hết cho 3, cho 9, giáo viên có thể mở rộng thêm cho học sinh khá giỏi: a a a a a Xét số tự nhiên A = n n 1 n 2 1 0 Ta gọi an ,an 2 , ,a2 ,a0 là các chữ số hàng chẵn, an 1,an 3, ,a3,a1 là các chữ số hàng lẻ. Giáo viên hướng dẫn học sinh suy luận: A chia hết cho 11 khi tổng các chữ số hàng chẵn trừ tổng các chữ số hàng lẻ chia hết cho 11. Tức là: A11 ( a0 a2 an 2 an ) - ( a1 a3 an 3 an 1 ) 11 A chia hết cho 11 khi tổng các chữ số hàng lẻ trừ tổng các chữ số hàng chẵn chia hết cho 11. Tức là: A 11 ( a1 a3 an 3 an 1 ) - ( a0 a2 an 2 an ) 11 3.2.3. Sau khi học xong các dấu hiệu trên, giáo viên cần mở rộng cho học sinh biết cách kết hợp với các dấu hiệu chia hết. 3.2.3.1. Dấu hiệu chia hết cho 2, cho 5. Những số có tận cùng bằng 0 thì chia hết cho cả 5 và 2. Ví dụ: Các số 80; 100; 370; 190; Các số này chia hết cho cả 2 và 5 vì có chữ số tận cùng là số 0. 3.2.3.2. Số chia hết cho cả 2 và 3. 6
7. Xét hai điều kiện: - Điều kiện 1: Xét chữ số tận cùng có chia hết cho 2 không? - Điều kiện 2: xét tổng các chữ số có chia hết cho 3 không? Kết luận: Nếu số tự nhiên đó thỏa mãn hai điều kiện trên thì nó chia hết cho cả 2 và 3 (ngược lại thì không chia hết cho cả 2 và 3). Mở rộng cho học sinh: Những số chia hết cho 2 và 3 thì những số đó đều chia hết cho 6. Ví dụ: Xét số 390 Ta có : 390  2 vì có chữ số tận cùng là 0 390  3 vì có 3 + 9 + 0 = 12 và 12 3. Vậy 390 chia hết cho cả 2 và 3 nên 390 chia hết cho 6. 3.2.3.3. Số chia hết cho cả 2, 3, 5, và 9. Xét hai điều kiện: - Điều kiện 1: Xét chữ số tận cùng có chia hết cho 2 và 5 không? - Điều kiện 2: xét tổng các chữ số có chia hết cho 3 và 9 không? Kết luận: Nếu số tự nhiên đó thỏa mãn hai điều kiện trên thì nó chia hết cho cả 2, 3, 5 và 9 (ngược lại thì không chia hết cho cả 2, 3, 5 và 9). 3.3. Hướng dẫn học sinh áp dụng các dấu hiệu chia hết để làm bài tập. Vận dụng các dấu hiệu chia hết trong làm bài tập là kĩ năng được sử dụng thường xuyên, khi dạy lý thuyết xong giáo viên nên phân bậc các dạng bài tập từ dễ đến khó, nhằm nâng dần quá trình phát triển tư duy, bài tập trước đã có những tiền đề gợi ý cho các bài tập sau từ đó củng cố kiến thức và kĩ năng làm bài cho học sinh. 3.3.1. Giúp học sinh rèn luyện kỹ năng nhận dạng nhanh dấu hiệu chia hết: Dạng 1: Tìm nhanh số chia hết. Phương pháp : - Xét chữ số tận cùng. - Xét tổng các chữ số. - Kết hợp các dấu hiệu chia hết. Ví dụ: Trong các số sau: 213; 435; 156; 3240; 5319 a) Số nào chia hết cho 2 mà không chia hết cho 5. b) Số nào chia hết cho 5 mà không chia hết cho 2. c) Số nào chia hết cho 3 mà không chia hết cho 9. d) Số nào chia hết cho cả 2, 3, 5, 9. e) Số nào chia hết cho 6. f) Số nào chia hết cho cả 3 và 9. Bài giải: a) Số 152 nào chia hết cho 2 mà không chia hết cho 5 vì có chữ số tận cùng là 2 (là chữ số chẵn). b) 435 chia hết cho 5 mà không chia hết cho 2 vì có chữ số tận cùng là 5 (là chữ số lẻ). 7
8. c) Số 213, 156 chia hết cho 3 mà không chia hết cho 9 vì có tổng các chữ số chia hết cho 3 (số chia hết cho 3 thì không chia hết cho 9). d) 3240 chia hết cho cả 2, 3, 5 và 9 (vì có chữ số tận cùng là 0 và có tổng các chữ số chia hết cho 9). e) Số 156, 3240 chia hết cho 6 vì vừa chia hết cho cả 2 và 3. f) Số 3240; 5319 chia hết cho cả 3 và 9 (vì có tổng các chữ số chia hết cho 9) Dạng 2: “Ghép số” tạo thành số chia hết và tìm số dư. Phương pháp : - Xét tổng các chữ số. Ví dụ 1: Dùng ba trong bốn chữ số: 8; 3; 1; 0. hãy ghép thành các số tự nhiên có ba chữ số sao cho số đó: a) Chia hết cho 9. b) Chia hết cho 3 mà không chia hết cho 9. Bài giải: Trong 4 chữ số 8; 3; 1; 0 có ba chữ số có tổng chia hết cho 9 là 8; 1; 0. Vậy các số lập được là: 810; 180; 108; 801 Trong 4 chữ số 8; 3; 1; 0 có ba chữ số có tổng chia hết cho 3 mà không chia hết cho 9 là 8; 3; 1. Vậy các số lập được là: 813; 831; 381; 318; 183; 138 Ví dụ 2: Cho các số 213; 827; 1546; 468; 1527; 2468; 3666; 10 11. Hãy tìm số dư khi chia mỗi số trên cho 9. Bài giải: - Số chia cho 9 dư 1 là 1011 (vì tổng các chữ số chia cho 9 dư 1). - Số chia cho 9 dư 2 là 2468 (vì tổng các chữ số chia cho 9 dư 2). - Số chia cho 9 dư 3 là 3666 (vì tổng các chữ số chia cho 9 dư 3). - Số chia cho 9 dư 6 là 213; 1527 (vì tổng các chữ số chia cho 9 dư 6). - Số chia cho 9 dư 7 là 1546 (vì tổng các chữ số chia cho 9 dư 7). - Số chia cho 9 dư 8 là 827 (vì tổng các chữ số chia cho 9 dư 8). - Số chia cho 9 dư 0 là 468 (vì tổng các chữ số chia hết cho 9). Mở rộng : Đối với học sinh khá giỏi giáo viên có thể đưa ra một số bài tập mở rộng sau. Ví dụ 1: Từ 1 đến 100 có bao nhiêu số chia hết cho 2, bao nhiêu số chia hết cho 5. Bài giải: Các số chia hết cho 2 là 2 ;4 ;6 ; . ; 98; 100 (các số cách nhau hai đơn vị) Vậy: Từ 1 đến 100 gồm các số chia hết cho 2 là : (100 – 2):2 + 1 = 50 (số) Các số chia hết cho 5 là 5; 10 ;15 ; .95; 100 (các số cách nhau năm đơn vị) Vậy: Từ 1 đến 100 gồm các số chia hết cho 5 là : (100 – 5):5 + 1 = 20 (số) Ví dụ 2: Từ 1 đến 100 có bao nhiêu số chia hết cho 3, bao nhiêu số chia hết cho 9. Bài giải: Các số chia hết cho 3 là 3 ;6 ;9 ; . ; 99 (các số cách nhau ba đơn vị) 8
9. Vậy: Từ 1 đến 100 gồm các số chia hết cho 3 là : (99 – 3):3 + 1 = 33 (số) Các số chia hết cho 9 là 9; 18; 27 ; .99 (các số cách nhau chín đơn vị) Vậy: Từ 1 đến 100 gồm các số chia hết cho 5 là : (99 – 9):9 + 1 = 11 (số) 3.3.2. Loại bài tập điền chữ số thích hợp vào dấu * để được các số chia hết. Phương pháp : - Tính chất chia hết của một tổng. - Dấu hiệu chia hết cho 2, cho 5. - Dấu hiệu chia hết cho 3, cho 9. Ví dụ 1: Điền chữ số vào dấu * để được số 54* chia hết cho 2 Bài giải: Số 54* = 540 + * Để 54* chia hết cho 2 thì * 0;4;6;8 Vậy các số tìm được là: 540; 542; 546; 548. Ví dụ 2: Điền chữ số vào dấu * để được số *85 thoả mãn: a) Chia hết cho 2. b) Chia hết cho 5 Bài giải: a) Số *85 có chữ số tận cùng là 5 số *85  2 Vậy ta không tìm được * để *85 chia hết cho 2. b) Số *85 = *8 + 5 có chữ số tận cùng là 5. Vậy ta có thể thay * bằng bất cứ số nào từ 1 đến 9 thì số *85 đều chia hết cho 5. Nên các số tìm được là: 185; 285; 385; 485; 585; 685; 785; 885; 985. Ví dụ 3: Điền chữ số vào dấu * để 3* 2 chia hết cho 9. Bài giải: Ta có 3* 2 chia hết cho 9 thì (3 + * + 2)  9 Do đó (3 + * + 2) = ( 5 + * )  9 Vậy * = 4 Ta có số cần tìm là 342 Ví dụ 4: Tìm các chữ số a và b sao cho a – b = 4 và 87ab9 . Bài giải: Để 87ab9 thì (8 + 7 + a + b) 9 15 + a + b 9 a + b 3;12 Ta có a – b = 4 nên loại a + b = 3 Từ a – b = 4; a + b = 12 tìm được a = 8; b = 4 Vậy số cần tìm là 8784. Mở rộng : Đối với học sinh khá giỏi giáo viên có thể đưa ra một số bài tập một số có thể chia hết cho nhiều số tự nhiên. Ví dụ 1: Điền chữ số vào dấu * để số *81* chia hết cho cả 2; 3; 5 và 9 (trong một số có nhiều dấu * các dấu * không nhất thiết phải thay bởi các số giống nhau). Bài giải: 9
10. Vì *81* chia hết cho 2 và 5 nên *81* có dấu * tận cùng (chữ số hàng đơn vị của số *81*) là 0, nên ta có số *810 Mặt khác ta có *810 chia hết cho 3 và 9 nên (* + 8 + 1 + 0)  9 hay (* + 9)  9 Vây * = 9 (Vì là * chữ số hàng nghìn của một số nên không thể bằng 0) Nên ta được số cần tìm là: 9810 Ví dụ 2: Hãy viết thêm 2 chữ số vào bên phải số 283 sao cho được một số mới chia hết cho 2, cho 3, và cho 5. Bài giải: - Một số chia hết cho 2 và 5 phải có chữ số tận cùng (chữ số hàng đơn vị) bằng 0. - Vậy ta cần tìm chữ số hàng chục. - Gọi chữ số hàng chục là x. Ta có số cần tìm 283x0 . Tổng các chữ số của nó là: (2+ 8 + 3 + x + 0) = 13 + x = 12 + (1 + x) Vì 12  3 nên muốn số 283x0 3 thì (1 + x)  3 Vậy : (1 + x) = 3 x = 2 (1 + x) = 6 x = 5 (1 + x) = 9 x = 8 Vậy số cần tìm là: 28320; 28350; 28380. Ví dụ 3: Tìm số có bốn chữ số chia hết cho 3 và 5 biết rằng khi đọc xuôi hay đọc ngược lại, số đó đều không thay đổi giá trị. Bài giải: - Số đó chia hết cho 5 mà khi đọc ngược lại giá trị vẫn không thay đổi nên chữ số hàng nghìn và chữ số hàng đơn vị phải bằng 5, còn các chữ số hàng trăm và hàng chục phải giống nhau. - Vậy số đó có dạng 5xx5. - Để số 5xx5  3 thì: ( 5 + x + x + 5 )  3 hay ( 10 + 2x )  3 Do đó a 1;4;7 Vậy số phải tìm là: 5115; 5445; 5775. Ví dụ 4: Thay dấu * và các chữ bằng các chữ số thích hợp để phép tính sau là đúng. TOANHOC HOCTOAN 8*02*65 Bài giải: 10
11. Xét cột hàng triệu ta có T = 9, H = 1. Số TOANHOC và HOCTOAN có tổng các chữ số bằng nhau nên: TOANHOC - HOCTOAN  9 Ta dễ thấy dấu * ở cột trăm nghìn là 0 do đó dấu * ở hàng trăm là 6. Từ cột hàng trăm và cột hàng nghìn ta có N = 2. - Cột hàng đơn vị có C = 7 ( vì C – 2 = 5 ) - Cột hàng vạn có A = 8 ( vì A – 1 – 7 = 0 ) - Cột hàng chục có O = 4 ( vì O – 8 tận cùng là 6 ). 9482147 1479482 Vậy ta có phép tính: 8002665 3.3.3. Dạng bài tập không cần thực hiện phép tính hãy xét xem một tổng đại số có chia hết cho số nào đó không? Phương pháp: - Dựa vào tính chất chia hết của một tổng. - Kiểm tra từng số hạng của tổng xem có chia hết cho một số tự nhiên không? - Nếu tất cả các số hạng đó đều chia hết cho một số tự nhiên thì kết luận tổng đó chia hết. - Nếu một số hạng nào đó không chia hết cho một số tự nhiên thì kết luận là tổng đó không chia hết. - Nếu hai số hạng trở nên không chia hết cho một số tự nhiên thì phải xem lại. Ví dụ 1: Cho tổng A = 270 + 3105 + 150. Không thực hiện phép tính hãy xem xét tổng A có chia hết cho 2, cho 3, cho 5, cho 9 hay không? Tại sao? Bài giải: Ta có A = 270 + 3105 + 150 2702 Vì: 31052 A 270 3105 1502 1502 2705 Và: 31055 A 270 3105 1505 1505 2703 Mặt khác: 31053 A 270 3105 1503 1503 11
12. 2709 Và: 31059 A 270 3105 1509 1509 Vậy số A không chia hết cho 2, không chia hết cho 9. Số A chia hết cho 3, chia hết cho 5. Ví dụ 2: Chứng tỏ rằng với mọi m, n N ta có: a) 105m + 30n  5 b) 261m + 3204n  9 Bài giải: 1055 105m5 a) Ta có:   105m 30n5 305  30n5  2619  261m9  b) Ta có:   261m 3204n9 32049 3204n9 3.3.4. Dạng bài tập dựa vào dấu hiệu nhận biết để phân tích một số ra thừa số nguyên tố một cách nhanh chóng. Phương pháp: - Xét chữ số tận cùng. - Xét tổng các chữ số. - Dựa vào các dấu hiệu nhận biết. Ví dụ: Phân tích số 450 ra thừa số nguyên tố rồi cho biết số đó chia hết cho các ước nguyên tố nào. Bài giải: Vì số 450 có tận cùng là 0 nên 450 chia hết cho cả 2 và 5 ta viết. 450 = 45.10 = 45.2.5 vì 45  3 do tổng các chữ số là (4 + 5) chia hết cho 3 nên ta viết 450 = 15.3.2.5 vì 15  3 nên ta viết 450 = 3.3.5.2.5 Cách làm nhanh như sau: 450 = 45.10 = 3.15.2.5 = 3.3.5.2.5 = 2.32.52 Vậy số 450 chia hết cho các ước nguyên tố là: 2, 3, 5 3.3.5. Loại bài tập tổng hợp. Giải các bài toán chia hết: (Dành cho học sinh khá giỏi) Phương pháp: Có thể vận dụng các dấu hiệu chia hết có liên quan đến số nguyên tố, số nguyên tố cùng nhau hoặc xét đến các dấu hiệu chia hết cho 2, cho 3, cho 5, cho 9, cho 11, 12
13. Ví dụ 1: Chứng minh rằng với n N thì số: A = n (n + 1) (2n + 1)  6 Bài giải: • Nếu n = 3k (k N) thì A  3 • Nếu n = 3k + 1 (k N) thì 2n + 1 = (6k + 3)  3 • Nếu n = 3k + 2 (k N) thì n + 1 = (3k + 3)  3 Ngoài ra tích n (n + 1) là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp nên n (n + 1)  2 => A  2 A3  Vì : A2  Nên A  2.3 hay A  6 UCLN(2;3) 1  Ví dụ 2: Cho số abc chia hết cho 4 có các chữ số đều chẵn và b khác 0. Chứng minh rằng số bac chia hết cho 4. Bài giải: Ta có abc 4 nên bc 4 tức là 10b + c 4. Do b là số chẵn, đặt b = 2n (n N), ta được 20n + c 4 Suy ra: c  4 (1) Xét ac 10a c . Do b là số chẵn, đặt a = 2m (m N), ta được ac 20m c (2) Từ (1) và (2) suy ra ac 4. Vậy bac 4 Ví dụ 3: Chứng minh rằng với n N thì: A = ( 10n +18n –1 )  27 Bài giải: Ta có: A = ( 10n +18n – 1 ) = 10n – 1 +18n = 999  99 18n n chữ số 9 = 9.(111  11 2n) n chữ số 1 A  9 Mà số chia hết cho 9 thì số đó chia hết cho 3 A  9 Vì A  9 và A  9 nên A  9.3 hay A  27 Vậy: A = ( 10n +18n –1 )  27 Ví dụ 3: Chứng minh rằng tổng ba số tự nhiên liên tiếp là một số chia hết cho 3 nhưng tổng của bốn số tự nhiên liên tiếp thì không chia hết cho 4. 13
14. Bài giải: Gọi ba số tự nhiên liên tiếp n, n + 1, n + 2 Tống của chúng là: n + n + 1 + n +2 = 3n +3  3 Vậy tổng ba số tự nhiên liên tiếp là một số chia hết cho 3 Tương tự: Gọi bốn số tự nhiên liên tiếp n, n + 1, n + 2, n + 3 Tổng của bốn số tự nhiên liên tiếp là: n + n + 1 + n +2 + n + 3 = 4n + 6  4(vì 6  4) Vậy tổng của bốn số tự nhiên liên tiếp không chia hết cho 4. Ví dụ 4: Chứng minh rằng tích hai số chẵn liên tiếp chia hết cho 8. Bài giải: Gọi hai số chẵn liên tiếp là 2n, 2n+2 (n N) Tích 2n.(2n+2) = 2.n.2.(n+1) = 4.n.(n+1) Ta có n.(n+1) là tích hai số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 2. Vì thế 4.n.(n+1)  8 Vậy tích hai số chẵn liên tiếp chia hết cho 8 4. Kết quả đạt được: Năm học 2016 – 2017 lại được sự phân công của Ban giám hiệu tôi đảm nhận dạy môn Toán 6. Qua thời gian tổ chức thực hiện các biện pháp trên ở lớp 6a3, đã góp phần nâng cao chất lượng môn toán 6 như sau: - Tôi thấy đa số học sinh nắm được các dấu hiệu chia hết các em có kỹ năng giải các dạng toán chia hết khá tốt và áp dụng linh hoạt các phương pháp đã học để giải quyết triệt để các dạng toán liên quan tới dạng toán “chia hết”. - Thông qua các phương pháp học sinh đã xác định được đúng hướng giải một bài toán nên kỹ năng giải toán “chia hết” nói chung và khả năng tự học ở nhà của học sinh tăng lên rõ rệt. - Rèn luyện cho học sinh tính chính xác khi phát biểu và vận dụng các dấu hiệu chia hết vào làm bài tập. - Rèn luyện cho học sinh tính ham học hỏi, tư duy khoa học, yêu thích môn toán học, tạo cảm giác hứng thú trong học tập. Điều đó thể hiện rõ nét khi tôi cho học sinh làm bài kiểm tra chương I. Kết quả đạt được như sau: Chất lượng làm bài Số lượng (bài) Tỉ lệ (%) Giỏi 10 21,3% Khá 16 34% Trung bình 18 38,3% Yếu 3 6,4% 14
15. Phần 3: Kết luận Phân môn số học tuy chỉ được học ở lớp 6 với nội dung bài học tương đối đơn giản. Song làm thế nào để phát huy tính tư duy tích cực, sự sáng tạo cho học sinh là một vấn đề không đơn giản. Để đạt được điều này đòi hỏi người giáo viên không những nắm vững các tri thức tương ứng mà còn phải nắm được các kỹ năng kỹ xảo, kỹ năng truyền thụ của các tri thức này. Giáo viên phải biết kích thích sự chú ý của học sinh, phát huy tính tự lập và tích cực sáng tạo của học sinh. Khi áp dụng đề tài này trong giảng dạy, tôi nhận thấy hầu hết học sinh đã vận dụng thành thạo các “dấu hiệu chia hết” vào giải bài tập. Qua việc áp dụng đề tài này trong giảng dạy, tôi rút ra được một số bài học kinh nghiệm sau đây: * Thuận lợi: - Giúp học sinh nắm được các kiến thức liên quan về toán chia hết. - Giúp học sinh định hướng được kiến thức cần sử dụng, nâng cao được kĩ năng làm bài cẩn thận, chính xác. - Giúp học sinh biết thêm phương pháp tính nhẩm, tính nhanh. - Học sinh được củng cố kiến thức, khắc sâu kiến thức hơn. Đồng thời kĩ năng giải toán cũng được nâng cao hơn. - Đề tài này có thể được áp dụng ngay trong tiết dạy, tại một thời điểm phù hợp của bài học, để học sinh nắm nội dung bài học một cách dễ dàng hơn. - Học sinh có phương pháp học tập đặc trưng, giúp các em tốn ít thời gian nhất mà thuộc bài mau, nhớ lâu, vận dụng tốt. - Rèn cho học sinh kỹ năng phân tích những điều kiện của bài tập để nhìn thấy cái chung, cái trừu tượng trong cái riêng, phát triển khả năng khái quát. - Rèn luyện cho học sinh tự giải các bài tập tương đối mới, những bài đòi hỏi phải có những tìm tòi sáng tạo trong cách giải. * Khó khăn: Trình độ học sinh trong lớp không đồng đều, nhiều em nhận thức chậm và còn lười học, thậm chí nhiều em rỗng nhiều kiến thức cơ bản. Tuy nhiên còn một số học sinh thực sự yếu kém thì kỹ năng làm bài chưa chắc chắn, việc vận dụng các “dấu hiệu chia hết” chưa linh hoạt. Vấn đề này tôi sẽ tiếp tục có kế hoạch kèm cặp thêm trong quá trình dạy tiếp theo để nâng cao kỹ năng giải toán cho các em. Qua cách làm có hiệu quả trên, tôi sẽ luôn vận dụng tốt cách thực hiện này trong mỗi tiết dạy. Tôi có một số ý kiến sau: - Giáo viên cần tìm hiểu phân loại đối tượng học sinh để có kế hoạch giảng dạy thích hợp. - Trong quá trình giảng dạy giáo viên cần nhấn mạnh, lưu ý những vấn đề trọng tâm nhất. - Đừng làm thay, giải thay cho học sinh mà cần chọn lựa hệ thống câu hỏi tạo ra tình huống có vấn đề để gây sự chú ý buộc học sinh phải tham gia vào bài học. 15
16. - Tăng cường thời gian cho học sinh làm việc trong giờ học toán, giáo viên chúng ta chỉ hổ trợ giúp đỡ các em khi cần. - Nên kết hợp vừa giảng vừa luyện để học sinh nắm vững kiến thức và vận dụng kiến thức. - Thường xuyên kiểm tra miệng và phần bài tập về nhà trong những giờ học nhằm giúp các em nắm vững các kiến thức cơ bản của từng bài học. - Lồng ghép nhiều dạng bài tập chia hết vào các tiết luyện tập, tự chọn. - Cần xây dựng một hệ thống bài tập đặc trưng nêu được những tính chất cơ bản của nội dung mà ta cần rèn luyện. Bên cạnh đó đưa ra những bài tập tương tự như những bài tập mà các em đã làm được. - Việc rèn luyện kỹ năng tính toán cho học sinh phải thực hiện thường xuyên, lâu dài xuyên suốt quá trình giảng dạy trong cả năm học. Trên đây là một vài biện pháp của tôi nhằm giúp học sinh vận dụng thành thạo các “dấu hiệu chia hết” để giải bài tập Toán 6. Tuy nhiên, việc trình bày này chắc chắn không khỏi thiếu sót. Rất mong được sự đóng góp của quý thầy cô để bản thân tôi được học tập, tích lũy thêm kinh nghiệm nhằm phục vụ tốt hơn cho công tác giảng dạy. Lạc Hòa, ngày 06 tháng 01 năm 2017 Người thực hiện Trịnh Kim Ngân 16