Sáng kiến kinh nghiệm Một số sai lầm học sinh thường mắc phải khi phân tích đa thức thành nhân tử và biện pháp khắc phục

Nội dung text: Sáng kiến kinh nghiệm Một số sai lầm học sinh thường mắc phải khi phân tích đa thức thành nhân tử và biện pháp khắc phục

1. Sáng kiến kinh nghiệm A. ĐẶT VẤN ĐỀ: Như ta đã biết, mục tiêu giáo dục và đào tạo là “nâng cao mặt bằng dân trí, đảm bảo những tri thức cần thiết để mọi người gia nhập cuộc sống xã hội và kinh tế, theo kịp tiến trình đổi mới của đất nước, đào tạo bồi dưỡng và nâng cao chất lượng nguồn nhân lực để đáp ứng yêu cầu cơng nghiệp hố, hiện đại hố đất nước”. Mơn tốn với vị trí là mơn học cĩ tiềm năng phát triển trí tuệ và hình thành các phẩm chất trí tuệ “linh hoạt, độc lập, sáng tạo”. Hoạt động học tốn gĩp phần phát triển đạo đức và nhân cách cho học sinh như: say mê và cĩ hồi bão trong học tập, mong muốn gĩp phần mình cho sự nghiệp chung của đất nước, ý chí vượt khĩ, bảo vệ chân lý, cảm nhận được cái đẹp, trung thực, tự tin, khiêm tốn . Ngồi ra mơn tốn cũng là mơn cơng cụ để giúp học sinh học tốt các mơn học khác. Trong chương trình Đại số 8, dạng tốn “phân tích đa thức thành nhân tử” là nội dung rất quan trọng. Việc áp dụng dạng tốn này rất phong phú, đa dạng cho việc học sau này như: rút gọn phân thức, quy đồng mẫu thức nhiều phan thức, giải phương trình Qua thực tế giảng dạy các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử thì tơi nhận thấy rằng: Đa số học sinh làm sai do chưa nắm vững phương pháp giải, chưa vận dụng kỹ năng biến đổi một cách linh hoạt, sáng tạo cho từng bài tốn cụ thể. Đây cũng là vấn đề băn khoăn của rất nhiều giáo viên dạy tốn 8. Nhằm đáp ứng nhu cầu này và tháo gỡ những vướng mắc trong học tập của học sinh. Từ đĩ đã thúc đẩy tơi suy nghĩ chọn đề tài : “Một số sai lầm học sinh thường mắc phải khi phân tích đa thức thành nhân tử và biện pháp khắc phục” B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ: 1. Thực trạng của vấn đề nghiên cứu: Trang 1
2. Sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2008 – 2009 được sự phân cơng của Ban giám hiệu tơi đảm nhận giảng dạy mơn tốn 8. Sau khi tơi dạy xong các “phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử” tơi cho học sinh làm bài kiểm tra (nội dung phần tự luận như sau): Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) 3x (x – y) – 5 (y – x)2 b) (x + y)2 – 9 x2 c) x2y – xy2 – 5x + 5y d) x4 – 9x3 + x2 – 9x Qua việc chấm bài và chữa bài cho học sinh, tơi thống kê điểm làm bài kiểm tra của học sinh ở bài tự luận như sau: Chất lượng làm bài (tự luận) Tỉ lệ (%) Giỏi 6,8 Khá 27,4 Trung bình 25,8 Yếu, kém 40 Trước kết quả thu được của lần kiểm tra ny tơi thấy rằng nhiều học sinh thường mắc sai lầm trong cách giải. Vì vậy mà tơi luơn trăn trở, luơn đạt ra những câu hỏi: Tại sao học sinh thường mắc phải sai lầm trong lời giải? Nguyên nhân là do đâu? Làm thế nào để học sinh khơng mắc phải sai lầm trong lời giải? Rất nhiều vấn đề đặt ra cho bản thân tơi và những câu hỏi khơng ai trả lời này trong suốt quá trình giảng dạy tơi đã tìm ra sai lầm học sinh mắc phải trong giải tĩan “phân tích đa thức thành nhân tử” và biện pháp khắc phục. Cụ thể như sau: 2. Giải quyết vấn đề: 2.1. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung: Ví dụ 1: Phân tích đa thức: 5x3y + 15x2y – 10xy2 thành nhân tử: Học sinh phân tích thiếu sĩt như sau: 5x3y + 15x2y – 10xy2 = xy(5x2 + 15x – 10y) (phân tích chưa triệt để) Để khắc phục thiếu sĩt trên trong giảng dạy giáo viên cần nhấn mạnh cho học sinh cách tìm nhân tử chung như sau: Nhân tử chung của tất cả các hạng tử trong một đa thức là “một tích” được chọn như sau: -Nhân tử chung bằng “hệ số” là ước chung lớn nhất (ƯCLN) của các hệ số nguyên dương của các hạng tử. -Nhân tử chung của các biến (mỗi biến chung lấy số mũ nhỏ nhất). Giáo viên gợi ý học sinh làm ví dụ 1 cụ thể như sau: Trang 2
3. Sáng kiến kinh nghiệm -Tìm nhân tử chung của các hệ số 5, 15,10 trong các hạng tử trên là? -Học sinh: ƯCLN (5,15,10) = 5 -Tìm nhân tử chung của các biến x3y, x2y, xy2 ? Học sinh: xy. Nhân tử chung của các hạng tử trong đa thức là 5xy. Lời giải đúng (ví dụ 1): 5x3y + 15x2y – 10xy2 = 5xy. x2 + 5xy. 3x – 5xy. 2y = 5xy (x2 + 3x – 2y) Ví dụ 2: Phân tích đa thức 12(x – y) – 6x (y – x) thành nhân tử. Học sinh tìm nhân tử chung của các hệ số 12 và 6 là 6, vì: ƯCLN (12,6) = 6 Đến tìm nhân tử chung của (x – y) và x(y – x) thì nhiều học sinh lúng túng khơng biết chọn như thế nào. Bên cạnh đĩ một số học sinh nghĩ rằng: “(x – y) và (y – x) là như nhau” nên đã phân tích đa thức trên như sau: 12(x – y) – 6x (y – x) = 6(x – y). 2 – 6(y – x). x (hiểu nhầm x – y = y – x) = 6(x – y)(2 – x) (kết quả sai) Để sửa sai cho học sinh, giáo viên cần nhấn mạnh rằng: x – y ≠ y – x (phép trừ khơng cĩ tính giao hĩan) Vậy để xuất hiện nhân tử chung ta cần đổi dấu các hạng tử theo tính chất: A = - (-A) Do đĩ trong giảng dạy giáo viên cần hướng dẫn học sinh áp dụng tính chất trên để làm ví dụ 2 theo hai cách: Cách 1: Đổi dấu x – y để xuất hiện nhân tử chung của biến là y – x: Ta cĩ: (x – y) = - [-(x – y)] = -( -x + y) = -(y – x) Nhân tử chung của các hạng tử trong đa thức là: 6(y – x) Giải: 12(x – y) – 6x (y – x) = 12[-(y – x)] – 6x(y – x) =-12(y – x) – 6x(y – x) =-6(y – x).2 – 6(y – x).x = -6(y – x)(2 + x) Cách 2: Đổi dấu y – x để xuất hiện nhân tử chung của biến là x – y Ta cĩ: (y – x) = -[-(y – x)] = -(-y + x) = -(x - y) Nhân tử chung của các hạng tử trong đa thức là: 6(x – y) Giải: 12(x – y) – 6x (y – x) = 12(x – y)- 6x[-(x - y)] = 12(x – y) + 6x(x – y) Trang 3
4. Sáng kiến kinh nghiệm = 6(x – y).2 + 6(x – y).x =6(x – y)(2 + x) Ví dụ 3: Phân tích đa thức 3x(x – y) – 5(y – x)2 thành nhân tử. Học sinh thường giảisai lầm như sau: 3x(x – y) – 5(y – x)2 = 3x(x – y) + 5(x – y)2 (đổi dấu sai) = (x – y)[3x + 5(x – y)] =(x – y)(3x + 5x – 5y) =(x – y)(8x – 5y) (dẫn đến kết quả sai) Để khắc phục sai lầm trên của học sinh, giáo viên cần nhắc lại kiến thức cơ bản sau cho học sinh khắc sâu: (A – B)2 = A2 – 2AB + B2 (B – A)2 = B2 – 2BA + A2 = A2 – 2AB + B2 (A – B)2 = (B – A)2 Nên ở ví dụ 3 thì nhấn mạnh rằng: (x – y)2 = (y – x)2 Lời giải đúng: 3x(x – y) – 5(y – x)2 =3x(x – y) – 5(x – y)2 = (x – y)[3x – 5(x – y)] = (x – y)(3x – 5x + 5y) = (x – y)(5y – 2x) Ví dụ 4: Phân tích đa thức x(x – y)2 – 3(y – x)3 thành nhân tử. Học sinh thường mắc phải sai lầm trong lời giải như sau: x(x – y)2 – 3(y – x)3 = x(x – y)2 – 3(x – y)3 (Sai do hiểu nhầm) = (x – y)2[x – 3(x – y)] = (x – y)(x – 3x + 3y) = (x – y)(3y – 2x) (Dẫn đến kết quả sai) Hiểu nhầm của học sinh ở đây là: (y – x)3 = (x – y)3 Để khắc phục sai lầm trên giáo viên cần nhấn mạnh: (A – B)3 ≠ (B – A)3 cho học sinh trong lúc giảng dạy, vì: (A – B)3 = A3 – 3A2B + 3AB2 – B3 (B – A)3 = B3 – 3B2A + 3BA2 – A3 = -A3 + 3A2B – 3AB2 + B3 = -(A3 – 3A2B + 3A2B – B3) = -(A – B)3 Vậy: (A – B)3 = -(B – A)3 Hoặc (B – A)3 = -(A – B)3 Trang 4
5. Sáng kiến kinh nghiệm Nên ở ví dụ 4 giáo viên kết luận: (y – x)3 = -(x – y)3 Lời giải đúng: x(x – y)2 – 3(y – x)3 = x(x – y)2 + 3(x – y)3 = (x – y)2 [x + 3(x – y)] = (x – y)2 (x + 3x – 3y) = (x – y)2(4x – 3y) Tĩm lại, Qua các ví dụ trên khi giảng dạy dạng tốn “phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung” giáo viên cần nhấn mạnh cho học sinh những điều sau: a) Cách tìm nhân tử chung: Nhân tử chung của các hạng tử trong một đa thức là “một tích” được chọn như sau: -Nhân tử chung bằng “hệ số” chính là ƯCLN của các hệ số nguyên dương của các hạng tử. -Nhân tử chung của các biến (mỗi biến chung lấy số mũ nhỏ nhất) b) Nhiều khi làm xuất hiện nhân tử chung của các hạng tử cần lưu ý: A = - (-A) (A – B)n = (B – A)n (với n chẳn) (A – B)n = -(B – A)n (với n lẻ) 2.2. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp dùng hàng đẳng thức: Ví dụ 1: Phân tích đa thức (x + y)2 – 9x2 thành nhân tử. Học sinh thường giải sai lầm như sau: (x + y)2 – 9x2 =[(x + y) – 9x][(x + y) + 9x] (Sai do hiểu nhầm) = (x + y – 9x)(x + y + 9x) = (y – 8x)(y + 10x) (Dẫn đến kết quả sai) Hiểu nhầm của học sinh ở đây là “9x2 tưởng rằng bình phương của cả số 9” Để khắc phục sai lầm trên của học sinh, trong giảng dạy giáo viên cần lưu ý cho học sinh như sau: A2 – B2 = (A – B)(A + B) (với A, B là hai biểu thức tùy ý) Do đĩ áp dụng hằng đẳng thức trên cần biến đổi đa thức đã cho về dạng bình phương của từng biểu thức. Cụ thể như sau: (x + y)2 đĩng vai trị là A2 9x2 (cĩ nghĩa là 9 nhân với x2) nên chưa đĩng vai trị là B2. Cần biến đổi thành: 9x2 = 9.x2 = 32.x2 = (3x)2 Trang 5
6. Sáng kiến kinh nghiệm (3x)2 đĩng vai trị là B2 Lời giải đúng: (x + y)2 – 9x2 = (x + y)2 – (3x)2 = (x + y – 3x)(x + y + 3x) = (y – 2x)(4x + y) Ví dụ 2: Phân tích đa thức (x + y)2 – (x – y)2 thành nhân tử. Học sinh thường giải sai lầm như sau: -Trường hợp 1: (x + y)2 – (x – y)2 = (x + y – x – y)(x + y + x – y) (Sai do thiếu dấu ngoặc) = 0 . (2x) = 0 (Dẫn đến kết quả sai) -Trường hợp 2: (x + y)2 – (x – y)2 = [(x + y) – (x – y)][(x + y) + (x – y)] = (x + y – x – y)(x + y + x – y) (Bỏ dấu ngoặc sai) = 0 . 2x = 0 (Dẫn đến kết quả sai) Để khắc phục sai lầm trên của học sinh. Trong giảng dạy giáo viên cần hướng dẫn học sinh “lấy dấu ngoặc, bỏ dấu ngoặc” cho chính xác. Cụ thể làm như sau: +Trong đa thức (x + y)2 – (x – y)2: (x + y)2 đĩng vai trị là A2 (x – y)2 đĩng vai trị là B2 Lúc này A là biểu thức x + y, cịn B là biểu thức x – y. Nên khi áp dụng hằng đẳng thức: “A 2 – B2 = (A – B)(A + B)” cần đặt các biểu thức x + y và x – y trong dấu ngoặc. Tức là: (x + y)2 – (x– y)2 =[(x + y) – (x – y)][(x + y) + (x – y)] +Khi bỏ dấu ngoặc: .Phía trước dấu ngoặc là dấu “+” những hạng tử trong ngoặc khơng đổi dấu. Ví dụ: (x + y) = x + y .Phía trước dấu ngoặc là dấu “_” những hạng tử trong ngoặc thay đổi dấu. Ví du: -(x - y) = - x + y Lời giải đúng cho ví dụ 2: (x + y)2 – (x– y)2 Trang 6
7. Sáng kiến kinh nghiệm = [(x + y) – (x – y][(x + y) + (x – y)] = (x + y – x + y)(x + y + x – y) = (2y) . (2x) = 4xy 2.3. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhĩm hạng tử: Ví dụ 1: Phân tích đa thức x2 +xy – x – y thành nhân tử: Học sinh thường mắc sai lầm trong lời giải như sau: x2 + xy – x – y = (x2 + xy) – (x + y) = x(x +y) – (x + y) = (x +y) . (x – 0) (Bỏ sĩt hạng tử sau khi đặt nhân tử chung) = x(x + y) (Dẫn đến kết quả sai vì bỏ sĩt số 1) Để khắc phục sai lầm trên, trong giảng dạy giáo viên cần nhấn mạnh: Đối với nhĩm hạng tử (x + y) thì nhân tử chung của nhĩm Này là 1, nên cĩ thể viết thành: (x + y) = 1.(x +y) Từ đĩ giáo viên dẫn dắt học sinh làm bài tốn như sau sẽ tránh được sai sĩt (bỏ sĩt hạng tử sau khi đặt nhân tử chung): x2 + xy – x – y = (x2 + xy) – (x + y) = x(x + y) – 1.(x + y) = (x + y)(x – 1) Ví dụ 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) x2y – xy2 – 5x + 5y b) x2 – 2x – 4y2 – 4y Học sinh thường giải sai lầm như sau: a) x2y – xy2 – 5x + 5y = (x2y – 5x) + (xy2 – 5y) (Đặt dấu sai) = x(xy – 5x) + y(xy – 5) = (xy – 5)(x + y) (Dẫn đấn kết quả sai dấu) b) x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2) – (2x – 4y) (Đặt dấu sai) = (x – 2y)(x + 2y) – 2(x – 2y) = (x – 2y)(x + 2y – 2) (Kết quả sai dấu) Để khắc phục sai lầm trên. Trong giảng dạy giáo viên cần lưu ý cho học sinh “quy tắc dấu ngoặc” như sau: Trang 7
8. Sáng kiến kinh nghiệm + Khi nhĩm hạng tử mà đặt dấu “ _” trước ngoặc thì phải đổi dấu tất cả các hạng tử trong ngoặc. Ví dụ: – 2x – 4y = -(2x + 4y) + Khi nhĩm hạng tử mà đặt dấu “+” trước ngoặc thì khơng đổi dấu các hạng tử trong ngoặc (tức là giữ nguyên dấu của các hạng tử) Ví dụ: –2x – 4y = +(–2x – 4y) Giáo viên dẫn dắt học sinh giải đúng hai bài tốn trên như sau: a) x2y – xy2 – 5x + 5y = (x2y – 5x) – (xy2 – 5y) Trước dấu ngoặc là dấu “+” Trước dấu ngoặc là dấu “–” = x(xy – 5) – y(xy – 5) = (xy – 5)(x – y) b)x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2) – (2x + 4y) Trước dấu ngoặc là dấu “+” Trước dấu ngoặc là dấu “–” =(x – 2y)(x + 2y) – 2(x + 2y) =(x + 2y)(x – 2y – 2) 2.4. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp: Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x4 - 9x3 + x2 – 9x Đối với bài này cĩ nhiều cách phân tích nhưng học sinh thường phân tích thiếu sĩt như sau: o Cách 1: x4 - 9x3 + x2 – 9x = x(x3 – 9x2 + x – 9) (Phân tích chưa triệt để) o Cách 2: x4 - 9x3 + x2 – 9x = (x4 – 9x3) + (x2 – 9x) = x3(x – 9) + x(x – 9) = (x – 9)(x3 + x) (Phân tích chưa triệt để) Đối với cách làm như thế đã đúng yêu cầu “phân tích đa thức thành nhân tử” nhưng chưa triệt để vì cịn phân tích tiếp tục được trong cả hai cách trên. Do đĩ, trong giảng dạy giáo viên cần dẫn dắt học sinh làm như sau: • Cách 1: Sau khi học sinh viết được đến bước 2: x(x3 – 9x2 + x – 9). Giáo viên nên gợi ý: .Đa thức x3 – 9x2 + x – 9 cịn phân tích thành nhân tử được theo phương pháp nhĩm hạng tử. .Hãy phân tích đa thức x3 – 9x2 + x – 9 thành nhân tử ? Trang 8
9. Sáng kiến kinh nghiệm Học sinh làm: x3 – 9x2 + x – 9 = (x3 – 9x2) + (x – 9) = x2 (x – 9) + 1(x – 9) = (x – 9)(x2 + 1) Dẫn dắt học sinh giải hồn chỉnh cách 1: x4 - 9x3 + x2 – 9x = x(x3 – 9x2 + x – 9) (Đặt nhân tử chung) = x[(x3 – 9x2) + (x – 9)] (Nhĩm hạng tử) = x[x2(x – 9) + 1(x – 9) (Đặt nhân tử chung cho từng nhĩm) = x(x – 9)(x2 + 1) (Đặt nhân tử chung) • Cách 2: Sau khi học sinh viết đến (x – 9)(x 3 + 1). Giáo viên nên gợi ý: .Đa thức x3 + x cịn phân tích được thành nhân tử khơng? Vì sao? Học sinh: Được. Vì x3 + x cĩ thể dùng phương pháp đặt nhân tử chung là x. ( x3 + x = x(x2 + x) ) Dẫn dắt học sinh giải hồn chỉnh cách 2: x4 - 9x3 + x2 – 9x = (x4 – 9x+3 ) + (x2 – 9x) (Nhĩm hạng tử) = x3 (x – 9) + x(x – 9) (Đặt nhân tử chung cho từng nhĩm) = (x – 9) (x3 + x) (Đặt nhân tử chung) = (x – 9).x (x2 + 1) (Đặt nhân tử chung) = x(x – 9)(x2 + 1) *Tĩm lại, Để học sinh làm bài tốn phân tích đa thức thành nhân tử một cách triệt để, khi giảng dạy giáo viên cần lưu ý học sinh làm theo những bước sau: -Bước 1: Quan sát đặcđiểm của bài tốn xem các hạng tử cĩ nhân tử chung hay khơng (về các hệ số và các biến). Nếu cĩ nhân tử chung thì dùng “phương pháp đặt nhân tử chung” để phân tích; nếu khơng cĩ nhân tử chung thì ta chuyển sang bước 2. -Bước 2: Nếu đa thức cĩ dạng hằng đẳng thức thì áp dụng “phương pháp dùng hằng đẳng thức” nếu khơng cĩ dạng hằng đảng thức thì ta chuyển sang bước 3. -Bước 3: Dùng phương pháp nhĩm hạng tử (thường thì nhĩm “mỗi nhĩm” cĩ nhân tử chung hoặc “mỗi nhĩm” cĩ dạng hằng đẳng thức). Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử: 2x3y – 2xy3 – 4xy2 – 2xy Giải: 2x3y – 2xy3 – 4xy2 – 2xy =2xy(x2 – y2 – 2y – 1) (Đặt nhân tử chung) Trang 9
10. Sáng kiến kinh nghiệm =2xy[x2 – (y2 + 2y + 1)] (Nhĩm hạng tử cĩ dạng hằng đẳng thức) =2xy[x2 – (y + 1)2] (Dùng hằng đẳng thức) =2xy[x – (y + 1][x + (y + 1)] (Dùng hằng đẳng thức) =2xy(x – y – 1)(x + y + 1) 3. Kết quả: Từ việc phát hiện sai lầm của học sinh trong cách giải tốn “phân tích đa thức thành nhân tử” trong năm học 2008 – 2009 và tơi đã đưa ra một số biện pháp khắc phục sai lầm. Năm học 2009 – 2010 tơi lại được đảm nhận dạy mơn tốn 8, nên tơi mạnh dạn áp dụng một số biện pháp sửa chữa sai lầm đã nêu trên trong suốt quá trình giảng dạy tốn “phân tích đa thức thành nhân tử” thì tơi nhận thấy được kết quả trước tiên là “học sinh khơng bị mắc sai lầm”. Điều đĩ thể hiện rõ nét hơn tơi cho học sinh làm bài kiểm tra cuối chương I. Kết quả như sau: Chất lượng làm bài Tỉ lệ (%) Giỏi 15,6 Khá 35 Trung bình 44,4 Yếu, kém 5 C. KẾT LUẬN: Thơng qua việc phát hiện sai lầm và khắc hục sai lầm của học sinh trong giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử, mặc dù đã đạt được kết quả khả quan. Qua đĩ bản thân tơi rút ra một số kinh nghiệm như sau: -Cần phải khảo sát chất lượng đầu năm học để nắm được năng lực học tập của học sinh. -Trong quá trình giảng dạy giáo viên cần nhấn mạnh, lưu ý những vấn đề học sinh thường nhầm lẫn nhất. -Kiểm tra chặt chẽ việc vận dụng kiến thức đã học vào bài tập về nhà, cũng như đối với tiết luyện tập trên lớp. -Kiểm tra đồng bộ từng học sinh về năng lực tiếp thu ý kiến sau tiết học. Trang 10
11. Sáng kiến kinh nghiệm -Dùng nhiều câu hỏi gợi ý để dẫn dắt học sinh tìm lời giải một cách cẩn thận, chính xác. Qua cách làm cĩ hiệu quả trên, tơi sẽ luơn vận dụng tốt cách thực hiện này trong mỗi tiết dạy, đồng thời khơng ngừng tìm hiểu thêm nhiều phương pháp tốt hơn nữa để hồn thiện kiến thức chuyên mơn cũng như phương pháp giảng dạy. Tuy nhiên, việc trình bày này chắc chắn khơng khỏi thiếu sĩt. Rất mong được sự đĩng gĩp của quý thầy cơ để giúp tơi dạy tốt hơn và học sinh tránh được những sai lầm trong giải tốn phân tích đa thức thành nhân tử. Khánh Hịa, ngày 15 tháng 12 năm 2009 Người viết Trịnh Kim Ngân Trang 11