Tài liệu bồi dưỡng HSG Hình học 7 - Năm học 2021-2022

Nội dung text: Tài liệu bồi dưỡng HSG Hình học 7 - Năm học 2021-2022

1. 1. Cho hình vuông ABCD. Trên tia đối E BA lấy 1 điểm E, trên I tia đối của CB lấy 1 C điểm F sao cho EA = B F FC. a. Chứng minh rằng tam giác FED O vuông cân. b. Gọi O là giao điểm của 2 đường chéo AC và BD, A D gọi I là Trung điểm FE. Chứng minh rằng O,C,I thẳng hàng HD GIẢI: a. C/m : ADE = CDF DE = DF ; ADE = CDF b. C/m : OB =  OD; CB = CD; IB = ID 2. Cho tam giác ABC vuông tại A. Q (AC>AB),Đường cao B H AH. Trong nửa mặt G2 phẳng bờ có chứa AH K I vẽ hình vuông AHKE. a. Chứng minh rằng 0 B > 45 . A C b. Gọi P là giao điểm H2 P của AC và KE. E Chứng minh rằng tam giác ABP HD GIẢI: vuông cân. b.C/m : AHB = AEP c. Gọi Q là đỉnh thứ c.C/m : ABQP là hình vuông tư của Cho hình H; I ;K cách đều AK bình hành APQB, d. C/m AQK vuông ( Tính chất t/tuyến = ½ cạnh) gọi I là giao điểm của BP và AQ. Chứng minh rằng H,I,E thẳng hàng. d. Chứng minh rằng HE//QK
2. 3. Cho hình vuông A B ABCD . Trên cạnh BC E lấy 1 điểm tùy ý. Đường thẳng vuông góc với AM tại M cắt M CD tại E và AB tại F. Chứng minh rằng MA D C = FE G F HD GIẢI: Kẻ EG // BC.C/m : AME= EGF. 4. Cho hình vuông A B ABCD; điểm E thuộc cạnh CD,điểm F thuộc cạnh BC. Biết E FAE = 450 .Chứng minh rằng chu vi tam giác CFE bằng nửa chu vi hình vuông ABCD I D F C HD GIẢI: Lấy ID = BE.C/m EF = IF 5. Cho hình vuông ABCD; điểm E thuộc A B cạnh CD,điểm F thuộc cạnh BC sao cho chu vi tam giác CFE bằng nửa chu vi hình vuông E ABCD . Chứng minh rằng FAE = 450 .  I D F C HD GIẢI: C/m : AID = AEB; AIF = AEF
3. 6. Cho hình thang H vuông ABCD có đáy D CD = 9 cm,AB = 4 C cm,cạnh xiên BC = 13 cm. Trên cạnh BC lấy điểm M sao cho BM = BA. Đường thẳng vuông góc với BC tại N M cắt AD tại N. a. Chứng minh rằng : M điểm N nằm trên tia phân giác góc ABM. A B b. Chứng minh rằng : 2 2 2 BC = BN + ND b.C/m N nằm trên tia p/g DCM BNC vuông 2 + DC c.Tính BH = 12cm  c. Tính diện tích hình thang ABCD 7. Cho các điểm E và F H nằm trên các cạnh AB A E B và BC của Cho hình bình hành ABCD sao I cho FA = EC. Gọi I là F giao điểm của FA và EC. Chứng minh rằng D C ID là phân giác của K góc AIC mDAB = 33,33 HD: S AFD = S CED = SABCD DH = DK 8. Cho hình thoi ABCD B C có góc B tù . Kẻ BM và BN lần lượt vuông góc với các cạnh AD và CD tại M và N. Biết MN 1 N rằng . Tính các A M D DB 2 góc hình thoi HD: IMN đều MBN = 300 DBC = 750 ABC = 1500   
4. 9. Cho hình thang ABCD E có độ dài 2 đáy là AB = 5 cm và CD = 15 cm, độ dài 2 đường D chéo là AC = 16 cm, BD = 12 cm. Từ A vẽ đường thẳng song song A với BD cắt CD tại E. a. Chứng minh rằng ACE là tam giác B C vuông tại A. HD: b. Tính diện tích hình a.Tính AE ; CE ,sử dụng định lí PItago đảo thang ABCD. b. 3 tam giác AED; ADB;ACB có cùng diện tích SABCD = S CAE 10.Ở bên ngoài hình bình F hành ABCD vẽ 2 hình vuông ABEF và Q E ADGH .Chứng minh : a. AC = FH; AC H A  FH. b. CEG là tam B giác vuông G cân. D C HD: a. ACB = FHA (c-g-c) b. GDC = CBE (c-g-c) .Dựa vào t/c 2 góc có cạnh tương ứng vuông góc (đảo) 11. Cho tam giác ABC có A BC = a và đường cao AH = h.Từ một điểm trên AH vẽ đườnh thẳng song song với x BC cắt AB và AC tại P M Q và Q.Vẽ và QR P vuông góc với BC. a.Tính diện tích PQRS B C theo a, h, x (AM = x). S H R b.Xác định vị trí M trên AH để diện tích HD: này lớn nhất? a.SABC = S APQ + SBPQC (Đặt PQ = y) y = SPQRS = x.(h - x) b.x + (h - x) = h (không đổi) x.(h - x) lớn nhất khi x
5. = h - x x = 12. Cho tứ giác ABCD có A B hai đường chéo cắt K nhau tại O.Kí hiệu S là O diện tích. Cho SAOB = 2 2 a ; SCOD = b với a H , b là 2 số cho trước. Hãy tìm GTNN của D S ? C ABCD HD: 2 2 = = SAOD .SBOC =a b Áp dụng ( x + y)2 4xy 2 2 SAOD + SBOC 4SAOD .SBOC = 2.| a b | 2 SABCD ( | a | + | b |) . Dấu bằng xảy ra khi SAOD = SBOC AB//CD 13. Cho tam giác ABC cân A tại A với A là góc nhọn; CD là đường phân giác góc ACB, Qua D kẻ đường thẳng D vuông góc với CD; đường nay cắt đường thẳng CB tại E , Chứng minh rằng BD = E B G C EC HD: DBG = DGB = 2 GCD    14. Cho hình vuông M ABCD cạnh a. điểm M B A di động trên cạnh AB; N di động trên cạnh H AD sao cho chu vi tam giác AMN không đổi N và bằng 2a.Xác định vị trí của MN để diện tích C D tam giác CMN đạt giá 2 2 trị lớn nhất và tính giá HD: SCMN = (a - SAMN) a . trị lớn nhất đó
6. 15. Cho tam giác ABC D vuông cân tại A.Lấy điểm M tùy ý trên cạnh AC. Kẻ tia Ax vuông góc với BM. Gọi H là A giao điểm của Ax với BC và K là điểm đối xứngvới C qua H. Kẻ M I tia Ky vuông góc với B BM. Gọi I là giao điểm C H K của Ky với AB. Tính HD:I là trực tâm MBD MI BD AIM CD  BD  AIM = 450. 16. Cho hình vuông  A B ABCD. Trên các tia đối của CB và DC, lấy các điểm M,N sao cho DN =BM. Các đường H D C thẳng song song kẻ từ N M với AN và từ N với O AM cắt nhau tại F . M Chứng minh rằng : a. Tứ giác ANFM là hình vuông. a. Điểm F nằm trên K tia phân giác của F góc MCN và góc FCA = 900 HD: b. Ba điểm B,O,D b.Kẻ FK  BC; FH  CD ; CKFH là hình vuông thẳng hàng và tứ c. OA = OC; = DC; BA = BC. giác BOFC là hình thang ( O là trung điểm FA) 17. Cho hình vuông A B ABCD . Trên cạnh CD, lấy M bất kì. Các tia phân giác của các E góc BAM và DAM lần lượt cắt cạnh BC tại E và cắt cạnh CD tại F . K C Chứng minh rằng MA D F M  FE HD: DK = BE; ADE = AIF ( Ilà giao điểm AM và EF)
7. 18. Cho tam giác ABC A 0. có góc A = 30 Dựng B bên ngoài tam giác đều BCD. Chứng minh rằng AD2 = AB2 + AC2 D C E HD:Dựng đều ADE ECD + DCA = 2700 19. Cho tam giác ABC cân   tại A có H là trung điểm cạnh BC. Gọi EB = 1,4I4 c làm hình chiếu vuông góc của H trên cạnh AC và O là trung điểm của HI. Chứng minh rằng AO  BI HD:M là trung điểm CI ;MH // BI O là trực tâm AMH 20. Cho tam giác ABC cân A tại A, lấy các điểm E và K lần lượt trên các tia AB và AC sao cho : AE + AK = AB + AC. Chứng minh rằng EK > BC. E C B N M O K HD: BC = MN ; OE > OM
8. 21. Cho hình thang cân D C ABCD (AB//CD) có K AC = 6cm; O BDC = 450. .O là giao điểm của 2 đường chéo.Tính diện tích hình thang ABCD A B H HD: DCO = 450 22. Cho tứ giác lồi  ABCD. Qua trung điểm của đường chéo BD dựng đường thẳng song song với đường chéo. AC , đường thẳng này cắt đoạn thẳng AD tại E. Chứng minh rằng CE chia tứ giác thành 2 phần có diện tích bằng nhau HD: SCAE = SCAO ; SABCE = SABC + SCAO = SABO + SBCO = (SBCD + SABD) = SABCD *E Đoạn AD .Không đúng 23. Các đường chéo của tứ giác lồi ABCD vuông góc với nhau. Qua Trung điểm các cạnh AB và AD kẻ những đường vuông góc theo thứ tự với các cạnh CD và CB. Chứng minh rằng 2 đường thẳng vuông góc này và đường thẳng AC đồng quy HD: E là trung điểm AC H là trực tâm MPE
9. m BC = 3,01 cm m CA = 5,00 cm 24. Cho tam giác ABC có B BC = 15 cm,AC = 20 cm, AB = 25 . H a. Tính độ dài đường cao CH của tam D giác ABC . b. Gọi CD là dường phân giác của tam giác ACH Chứng C A minh rằng tam giác BCD cân. HD: ABC vuông tại C; c. Chứng minh rằng ( ACH + BCD ) = ( ACH + BDC ) = 1V 2 2 2 BC + CD + BD     = 3CH2 + 2BH2 +DH2 25. Cho tam giác ABC có A 3 góc nhọn và M là điểm nằm trên cạnh BC. Gọi E và F lần lượt là hình chiếu của B và C xuống đường E thẳng AM. Xác định vị B trí của điểm M trên BC M m BC = 9,43 cm để tống BECE = + 1 ,8 CF7 cm lớn F C nhất HD:BE + CF BC Max(BE + CF) = BC khi E  F M AM  BC 26. Cho tam giác ABC . C Trên AB lấyEB điểm D = -4,05 sao cho BDE C = 3 DA. E Trên CB lấy điểm E K sao cho BE = 4EC. Gọi F F là giao điểm của AE H và CD .Chứng minh A B rằng FD = FC. D HD: SACE = SADE ( = SABE)
10. KC = 1,86 cm 27. Trong tất cả các hình x chữ nhật có chiều dài đường chéo không đổi d,hãy tìm hình có diện d tích lớn nhất? y HD: Vận dụng pi ta go và BĐT Cosi 28. Trên cạnh AB của hình A E B vuông ABCD ,ngưòi ta I lấy điểm E tùy ý . Tia phân giác của góc CDE cắt BC tại K. K Chứng minh rằng AE + KC = DE D C 29. Cho hình chữ nhật B C ABCD,kẻ BH  AC tại H.Gọi M và K lần lượt là trung điểm AH N và CD. Chứng minh K BM  MK H M A D HD:N là trung điểm BH N là trực tâm BCM