›
›
›

Tài liệu Đại số Lớp 9 - Chuyên đề 1: Biểu thức đại số - Nhóm Toán học sơ đồ

pdf 53 trang thaodu 10490
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Tài liệu Đại số Lớp 9 - Chuyên đề 1: Biểu thức đại số - Nhóm Toán học sơ đồ", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdftai_lieu_dai_so_lop_9_chuyen_de_1_bieu_thuc_dai_so_nhom_toan.pdf

Nội dung text: Tài liệu Đại số Lớp 9 - Chuyên đề 1: Biểu thức đại số - Nhóm Toán học sơ đồ

  1. 1 Nhĩm Tốn Học Sơ Đồ Tài Liệu Word Tốn THCS Chất-Đẹp-Tiện CHUYÊN ĐỀ 1: BIỂU THỨC SỐ FB: Tốn Học Sơ Đồ-Link nhĩm
  2. 2 Nhĩm Tốn Học Sơ Đồ Tài Liệu Word Tốn THCS Chất-Đẹp-Tiện 1. CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Biểu thức đơn giản chứa căn Phương pháp giải FB: Tốn Học Sơ Đồ-Link nhĩm
  3. 3 Nhĩm Tốn Học Sơ Đồ Tài Liệu Word Tốn THCS Chất-Đẹp-Tiện 2. Bài tập mẫu Câu 1: Rút gọn các biểu thức sau: a) A 12 27 48 . (Đề thi vào 10 tỉnh Đak Lak năm học 2013 - 2014) b) B 8 18 2 32 . (Đề thi vào 10 tỉnh Hà Tĩnh năm học 2013 - 2014) c) C= 5 20 5 1. (Đề thi vào 10 tỉnh Bắc Giang năm học 2018 - 2019) Giải chi tiết a) Ta cĩ: A 12 27 48 22 .3 3.3 2 3.4 2 2 3 3 3 4 3 3 Vậy A 3 . b) Ta cĩ: B 2.22 3.2 2 24.2 2 22 32 82 72 Vậy B 72. 2 C) Ta cĩ: C 5.20 5.51 100 5 110516 Vậy C 6 . Câu 2: Rút gọn các biểu thức sau: a) 20 45 3 18 72 . b) 28 2 3 7 7 84 . 2 1 1 3 4 1 c) 6 5 120 . d) 2 200 : 2 2 2 5 8 Giải chi tiết a) 20 45 3 18 72 22 .5 3 2 .5 3 3 2 .2 6 2 .2 25359262 235 96 2152 5 . b) 2823 7 7 84 2.72322 7 7 2.21 FB: Tốn Học Sơ Đồ-Link nhĩm
  4. 4 Nhĩm Tốn Học Sơ Đồ Tài Liệu Word Tốn THCS Chất-Đẹp-Tiện 27.7 23.7 7.7 221 2.7 2 21 7 2 21 14 7 21. 2 c) 6 5 120 6 2.6.5 5 2.302 65 230 230 11. 1 1 3 4 1 1 2 3 42 1 d) 2 200 : 2 2.10 : 2 2 2 5 8 2 2 2 5 8 1 3 4 1 3 2 2 .10 2 .8 8 . 2.8 54 2 . 4 2 5 4 2 Dạng 2: Biểu thức chứa căn cĩ ẩn hằng đẳng thức bên trong Phương pháp giải *Áp dụng hằng đẳng thức AA2 *Nếu các biểu thức cĩ dạng m p n (trong đĩ p n 2 ab với a22 b m ) thì đều viết được dưới dạng bình phương của một biểu thức. 2. Bài tập mẫu Câu 1: Tính giá trị của biểu thức: 2 a) M 5 1 5 . (Đề thi vào 10 tỉnh Hải Phịng năm học 2018 - 2019) b) N 6 2 5 6 2 5 . (Đề thi vào 10 tỉnh Hải Phịng năm học 2013 - 2014) Phân tích đề bài a) Áp dụng hằng đẳng thức và chú ý 5 1 0 2ab  2 5 2.1. 5 2 6 2 5   1 5 22 2  ab 6 12 5 Giải chi tiết a) M 5 1 5 5 1 5 1. 22 b) N 625 625 52515251 51 51 5 1 5 1 5 1 5 1 2 Nhận xét Ở câu b) các biểu thức 6 2 5 và 6 2 5 là hai biểu thức liên hợp. FB: Tốn Học Sơ Đồ-Link nhĩm
  5. 5 Nhĩm Tốn Học Sơ Đồ Tài Liệu Word Tốn THCS Chất-Đẹp-Tiện Do vậy để tính giá trị của N ta cịn cĩ thể tính N 2 trước rồi suy ra giá trị của N. Chẳng hạn: N 2 6252625625 625122640. Vì 6 2 5 6 2 5 nên N 0. Do đĩ N 2 . Câu 2: Tính giá trị của các biểu thức: 1 a) A 7 2 10 20 8 . 2 22 b) B 212 3 3 5 62 3 3 5 1515 . Phân tích đề bài a) Đưa 7 2 10 về dạng bình phương của một hiệu và hai căn thức cịn lại ta phân tích và đưa thừa số ra ngồi căn. b) Đưa thừa số 2 vào trong căn để biến đổi các căn thức về dạng bình phương. Giải chi tiết 112 a) A 7210 20 8 5 2 25 .22 22 5 225 2 5 225 235 . 21 22 b) B 423 625 3423 625 1515 2 212 2 15 2 31 51 331 51 1515 3 5 151560 . 22 Dạng 3: Biểu thức chứa căn ở mẫu Phương pháp giải FB: Tốn Học Sơ Đồ-Link nhĩm
  6. 6 Nhĩm Tốn Học Sơ Đồ Tài Liệu Word Tốn THCS Chất-Đẹp-Tiện 2. Bài tập mẫu Câu 1: Rút gọn các biểu thức sau: 11 a) P . (Đề thi vào 10 tỉnh Hải Phịng năm học 2015-2016) 5 2 5 2 3 6 2 8 b) Q . 1 2 1 2 Giải chi tiết 5 2 5 2 a) Ta cĩ: P 5 2 5 2 5 2 5 2 5 2 5 2 2 5 . Vậy P 25. b) 3 1 2 2 1 2 32 1 2 1 2 Vậy Q 32. a) Nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp của mẫu. b) Phân tích tử thành nhân tử rồi rút gọn với mẫu. Câu 2: Rút gọn các biểu thức sau: 1 15 12 1 1 2 2 6 a) A . b) B . 3 2 5 2 3 1 3 1 2 Giải chi tiết 1 15 12 3 2 3 5 2 a) Ta cĩ: A 3 2 5 2 3 2 3 2 5 2 3 2 3 2 Vậy A 2 . 3 1 3 12 2 3 2 3 b) B 2 3 3 2 3 2 3 1 2 31 Vậy B 2 . FB: Tốn Học Sơ Đồ-Link nhĩm
  7. 7 Nhĩm Tốn Học Sơ Đồ Tài Liệu Word Tốn THCS Chất-Đẹp-Tiện Câu 3: Khơng sử dụng máy tính cầm tay, tính giá trị của các biểu thức sau: 1 8 10 2 a) A . b) B 28 54 . 2 1 2 5 76 23 5 5 5 3 5 c) C 27 . d) D . 3 1 3 5 2 5 1 3 5 Giải chi tiết 1 8 10 2 1 2 2 5 a) A 2 1 2 1 2 1 2 5 2 1 2 1 2 5 Vậy A 1. 22 7 6 2 7 2 6 b) B 28 54 7.4 9.6 2 7 3 6 76 7 6 7 6 76 2 7 2 6 2 7 3 6 5 6 Vậy B 56. 2 3 1 2 3 1 c) C 233 23312313 3 1 3 1 31 Vậy C 13. 5 5 5 3 5 5552 551 3535 d) D 5 2 5 1 3 5 5252 5151 3535 5 59515 5 59515 355 355 3555255 4 4 4 Vậy D 5 . Dạng 4: Biểu thức phức tạp Phương pháp giải Thường gặp những biểu thức vừa cĩ ẩn hằng đẳng thức trong căn, vừa chứa căn thức ở mẫu. Để giải dạng này ta thường kết hợp phương pháp giải ở dạng 1, dạng 2 và dạng 3. 2. Bài tập mẫu Câu 1: Rút gọn các biểu thức sau: 21 a) A . 18 . (Đề thi vào 10 tỉnh Đồng Nai năm hoc 2015 - 2016) 22 3 FB: Tốn Học Sơ Đồ-Link nhĩm
  8. 8 Nhĩm Tốn Học Sơ Đồ Tài Liệu Word Tốn THCS Chất-Đẹp-Tiện 3 14 2 b) B 72 . 7 2 7 21 7 10 5 1 c) C : . (Đề thi vào 10 TP Đà Nẵng năm học 2015 - 2016) 3 1 2 1 7 5 Giải chi tiết 2 9.22 2 1 3 2 a) Ta cĩ: A 12 3 2 1 3 22 2 2 2 2 2 1 Vậy A 2 . 2 3 7 2 2. 7 b) B 72 7 2 7 2 7 3 7 2 2 7 7 2 7 2 7 2 0 3 Vậy B 0 . 7 3 1 5 2 1 c) Ta cĩ C . 7 5 7 5 7 5 7 5 2 3 1 2 1 Vậy C 2. a) Nhân với biểu thức liên hợp của mẫu và đưa thừa số ra ngồi căn. b) Trục căn thức ở mẫu và áp dụng hằng đẳng thức AA2 . c) Nhân với biểu thức liên hợp của mẫu và phân tích tử thức để giản ước với mẫu. Câu 2: Rút gọn các biểu thức sau: 7 4 3 2 3 2 3 a) A 5 2 5 2 . b) B . 32 7 4 3 7 4 3 3 3 4 3 4 c) C . 2 3 1 5 2 3 Giải chi tiết 2 2 23 23 a) A 5 22 5 4 1 1 2 3 2 3 2 FB: Tốn Học Sơ Đồ-Link nhĩm
  9. 9 Nhĩm Tốn Học Sơ Đồ Tài Liệu Word Tốn THCS Chất-Đẹp-Tiện Vậy A 2 . 23 23 23 232323 b) B 222 3 2 3 7 4 3 7 4 3 2 3 2 3 22 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 22 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 4.2 3 8 3 Vậy B 83. 3 3 4 3 4 334231 34523 c) C 22 2 3 1 5 2 3 2 3 1 5 2 2 3 22113 26133 423 423 2 3 2 3 11 13 2 2 1 22 1 1 31 31 3131 .2 2 2 2 2 Vậy C 2 . a) Sử dụng hằng đẳng thức: a b a b a22 b và phân tích 7 4 3 thành bình phương. b) Phân tích 7 4 3 thành bình phương. c) Nhân với biểu thức liên hợp của mẫu. 2. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1: Rút gọn các biểu thức sau: a) A 3 50 5 18 3 8 2 . (Đề thi vào 10 tỉnh Hải Phịng năm học 2013 - 2014) 1 b) B 4 2 3 12 . (Đề thi vào 10 tỉnh Tiền Giang năm học 2018 - 2019) 2 2 c) C 5 2 40 . (Đề thi vào 10 tỉnh Bình Dương năm học 2018 - 2019) d) D 5 8 50 2 18 . (Đề thi vào 10 tỉnh Bến Tre năm học 2015 - 2016) e) E 232 527 48 375 . (Đề thi vào 10 tỉnh Long An năm học 2015 - 2016) FB: Tốn Học Sơ Đồ-Link nhĩm
  10. 10 Nhĩm Tốn Học Sơ Đồ Tài Liệu Word Tốn THCS Chất-Đẹp-Tiện Câu 2: Rút gọn các biểu thức sau: a) 125 4 45 3 20 80 . b) B 3 2 6 6 3 3 . (Đề thi vào 10 tỉnh Hải Phịng năm học 2015 - 2016) Câu 3: Rút gọn các biểu thức sau: 11 a) A . (Đề thi vào 10 tỉnh Bình Thuận năm học 2015 - 2016) 3 7 3 7 22 b) B 3 2 3 2 . (Đề thi vào 10 tỉnh Hưng Yên năm học 2015 - 2016) 3 3 3 3 c) C 2 . 2 . 3 1 3 1 5 5 5 5 d) D 2 . 2 5 1 5 1 14 6 3 e) E 31 53 Gợi ý giải Câu 1: a) A 3 50 5 18 3 8 2 15 2 15 2 6 2 2 6 2. 2 12 . 2 b) B 3 1 3 3 1 3 1. 2 c) C 5 2 40521022107 . d) D 58 502181025262 1056 2 92 . e) E 232 527 48 375 82 153 82 153 0 . Câu 2: a) A=551256545 55 . b) B 32 6 633 3 31263 3333 3333936 . Câu 3: 1 1 6 6 a) A 2 3. 3 7 3 7 372 97 FB: Tốn Học Sơ Đồ-Link nhĩm
  11. 11 Nhĩm Tốn Học Sơ Đồ Tài Liệu Word Tốn THCS Chất-Đẹp-Tiện b) B 3 2 3 2 3 2 3 2 4 . 3 3 3 3 3 3 1 3 3 1 c) C 2 . 2 2 2 3 1 3 1 3 1 3 1 2 3 2 3 1. 5 5 5 5 5 5 1 5 5 1 d) D 2 . 2 2 2 5 1 5 1 5 1 5 1 2 5 2 5 1 14 6 3 14 6 3 5 3 e) Cách 1: E 3 1 3 1 53 5 3 5 3 88 44 3 31 31423 31312 . 22 14 6 3 4 2 3 14 6 3 20 4 3 Cách 2: E 3 1 4 2 . 5 3 5 3 5 3 CHUYÊN ĐỀ 2: BIỂU THỨC CHỨA CHỮ Thơng thường bài tốn này cho dưới dạng tổng hợp gồm: -Một câu hỏi chính: Rút gọn biểu thức. -Các câu hỏi phụ: + Tìm điều kiện để biểu thức cĩ nghĩa (hay tìm điều kiện xác định). + Tính giá trị của biểu thức khi biết giá trị của biến. + Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức. + Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức. + Tìm giá của biến để biểu thức thỏa mãn điều kiện cho trước. I. CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Tìm điều kiện để biểu thức cĩ nghĩa Phương pháp giải FB: Tốn Học Sơ Đồ-Link nhĩm
  12. 12 Nhĩm Tốn Học Sơ Đồ Tài Liệu Word Tốn THCS Chất-Đẹp-Tiện A được xác định khi và chỉ khi A 0. 1 được xác định khi và chỉ khi A 0 . A Bài tập mẫu x y y y x x Câu 1: Cho biểu thức M . Tìm điều kiện xác định và rút gọn M. 1 xy (Đề thi vào 10 tỉnh Khánh Hịa năm học 2015 - 2016) Giải chi tiết x 0 x 0 Điều kiện: y 0 y 0 10 xy x y y y x x x y y x x y Với xy 0, 0 ta cĩ: M 11 xy xy xy x y x y x y 1 xy xy 11 xy xy Vậy M x y với . 11x Câu 2: Cho biểu thức N : . Tìm điều kiện xác định và rút gọn N. xx 11x 1 Giải chi tiết x 0 xx 1 0 0 Điều kiện: xx 1 0 1 x 10 11x x x Với xx 0, 1 ta cĩ: N . x 1 . x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 11 .1 x xx 11 x 1 1 Vậy N với . x 1 FB: Tốn Học Sơ Đồ-Link nhĩm
  13. 13 Nhĩm Tốn Học Sơ Đồ Tài Liệu Word Tốn THCS Chất-Đẹp-Tiện x 11 Câu 3: Cho biểu thức Px 3 . x 9 x 3 Tìm điều kiện xác định và rút gọn N. Giải chi tiết x 0 x 0 Điều kiện: x 90 x 9 x 30 Với xx 0, 9 ta cĩ: x 1 1 x 1 x 3 P x 33 x (x +3)( x -3) x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 xx 13 4 .3 x xx 33 x 3 4 Vậy P với xx 0, 9 . x 3 x 11 x 2 x 1 Câu 4: Cho biểu thức Q . Tìm điều kiện của x để biểu thức Q cĩ x x 2 x 1 x 2 nghĩa, khi đĩ rút gọn Q. Giải chi tiết x 0 x x 2 0 x 0 x 0 Để Q cĩ nghĩa, điều kiện là: xx 2 0 2 x 4 x 10 x 1 x 2 x 1 x 11 x 2 x 1 Với điều kiện trên ta cĩ: Q x x 2 x 1 x 2 xx 12 x 1 x 2 x 11 x x 2211 x x x 112 x x 2 x x 1 x 1 x 2 x 1 x 2 x 4 x 12 xx 26 x 6 x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 FB: Tốn Học Sơ Đồ-Link nhĩm
  14. 14 Nhĩm Tốn Học Sơ Đồ Tài Liệu Word Tốn THCS Chất-Đẹp-Tiện x 6 Vậy Q với x 0 và x 4. x 1 Dạng 2: Tính giá trị của biểu thức khi biết giá trị của biến Phương pháp giải Bài tập mẫu x 1 Câu 1: Tính giá trị của biểu thức A khi x 9 . x 1 Giải chi tiết 9 1 3 1 4 Thay vào A ta được: A 2 91 3 1 2 Vậy A 2 khi . 2xx 3 2 Câu 2: Cho biểu thức A . Tính giá trị của A khi x 4 2 3 . x 2 (Thi thử THPT Thăng Long - Hà Nội - Lần 1 năm học 2018 - 2019) Giải chi tiết 2xx 3 2 2x 4 x x 2 2 x x 2 x 2 Với xx 0, 4 ta cĩ: A x 2 x 2 x 2 xx 2 2 1 21x x 2 22 Khi x 423 3 2.3.11 2 31 x 31 , thay vào A ta được: 2 Ax 2 12 31 12311231 Vậy x 4 2 3 thì A 2 3 1. Ta thấy cĩ thể rút gọn bằng cách đưa về bình phương của một hiệu. Do vậy, ta cần rút gọn x trước khi thay vào biểu thức A. FB: Tốn Học Sơ Đồ-Link nhĩm
  15. 15 Nhĩm Tốn Học Sơ Đồ Tài Liệu Word Tốn THCS Chất-Đẹp-Tiện 22 xx Câu 3: Cho biểu thức B , điều kiện xx 0, 1. xx 11 a) Rút gọn biểu thức B. b) Tính giá trị B khi x 17 12 2 (Đề thi vào 10 tỉnh Ninh Thuận năm học 2015 - 2016) Giải chi tiết a) Với ta cĩ: 2 x x 1 2 x x 1 x x 2 x x 2 2 x B x 1 x 1 x 1 x 1 xx 11 2 x Vậy B với . x 1 2 b) Ta cĩ: x 17 12 2 9 2.3.2 2 8 3 2 2 3 2 2 (thỏa mãn điều kiện ). 2 x 322 22.2.11 21 21 2 2 1 2 2 1 Thay x 21 vào B ta được: B 1 3 2 2 1 2 1 2 Vậy x 17 12 2 thì B 1. x x 11 x Câu 4: Cho biểu thức: C (với xx 1; 0 ). Rút gọn C, sau đĩ tính giá trị C 1 x 1 x 1 khi x 2020 2 2019 . Giải chi tiết Với ta cĩ: 33 x 1x 1 x 1 x 1 x 1 C x 1 x 1 xx 11 x 1 x 1 x 1 x x 1 x 1 x 1 xx 1 x 1 xx 11 xx 11 FB: Tốn Học Sơ Đồ-Link nhĩm
  16. 16 Nhĩm Tốn Học Sơ Đồ Tài Liệu Word Tốn THCS Chất-Đẹp-Tiện 2 x x 1 x 1 x x 1 x 2 x 1 x x 1 x 1 x 1 x Vậy C với xx 1; 0 . x 1 xx 1 1 Suy ra C 1 xx 11 Ta cĩ x 2020 2 2019 (thỏa mãn điều kiện xx 1, 0 ). 22 Cĩ xx 2019 2 2019 1 2019 2. 2019.1 12 2019 1 2019 1 11 Thay vào biểu thức C 1 ta được :C 1 2019 1 1 2019 1 Vậy C 1 khi . 2019 Dạng 3: Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức Phương pháp giải Chứng minh đẳng thức: Ta biến đổi vế trái về vế phải hoặc vế phải về vế trái hoặc biến đổi cả hai vế về biểu thức trung gian. Chứng minh bất đẳng thức Am . Bài tập mẫu xx11 Câu 1: Chứng minh rằng với x 0 và x 1 thì . x 1 x x x Giải chi tiết Với và ta cĩ: FB: Tốn Học Sơ Đồ-Link nhĩm
  17. 17 Nhĩm Tốn Học Sơ Đồ Tài Liệu Word Tốn THCS Chất-Đẹp-Tiện x1 x 1 x x 1 VT x 11 x x x x x 11 x x xx 11 xx 11 x x 11 x x x xx11 Vậy với với x 0 và x 1 thì . x 1 x x x xx 1 2 4 Câu 2: Cho biểu thức Px .1 (với x 0 và x 4). xx 2 x 4 Chúng minh rằng Px 3. Giải chi tiết Với và ta cĩ: xx 1 2 4 Px .1 xx 2 x 4 x 1 x 2 24 x 1 x x . xx 44 xx x 2 x x 2 2 x x x 4 x 3 x x 4 xx 3 . . x 3 xx 44x x x Vậy Px 3 với mọi xx 0, 4 . 2 1 3a 5 a 1 P 1 aa 0, 1 Câu 3: Cho biểu thức với . a 1 a a a a 14 a a) Rút gọn P. b) Đặt Q a a 1 P . Chứng minh Q 1. Giải chi tiết Với ta cĩ: 1 35a (21)4 a a a 1 35 a a 21 a P aa 11a a 1 a 1 44aa a 1 a 1 FB: Tốn Học Sơ Đồ-Link nhĩm
  18. 18 Nhĩm Tốn Học Sơ Đồ Tài Liệu Word Tốn THCS Chất-Đẹp-Tiện 22 a 1 3 a 5 aa 11 4 a 4 4 a 4 a 1 a 1 a 1 4a a 1 a 1 4 aa 1 4 a 41 a a 11 . . aa 11 4 aa aa 1 b) Ta cĩ: Q a a 1 P a 2 a a 1 a a 1 a a 2 a 1 a 1 Xét Q 11 a a a a 2 Vì a 10 và a 0,  a 0, a 1 nên QQ 1 0 1 Vậy Q 1 với mọi aa 0, 1. Dạng 4: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của một biểu thức Phương pháp giải FB: Tốn Học Sơ Đồ-Link nhĩm
  19. 19 Nhĩm Tốn Học Sơ Đồ Tài Liệu Word Tốn THCS Chất-Đẹp-Tiện x 4 xx 1 2 3 Câu 1: Cho hai biểu thức: A (với xx 0, 1) và B : (với x 1 x 2 x 1 x 1 xx 0, 4). 18 Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức P . AB. (Phịng GD & ĐT Ba Đình – Hà Nội – Lần 1 năm học 2018 – 2019) Phân tích đề bài FB: Tốn Học Sơ Đồ-Link nhĩm
  20. 20 Nhĩm Tốn Học Sơ Đồ Tài Liệu Word Tốn THCS Chất-Đẹp-Tiện 18 x 1 Rút gọn B và tính P. Ta thấy P cĩ dạng bậc tử thức băng bậc của mẫu thức x 2 m (phương pháp 3) nên phân tích tử để biến đổi P về dạng Pn . x 2 Giải chi tiết Với xx 0, 1 ta cĩ: x 1 x 2 3 x 1 x 1 x 2 x 2 x 1 B :. x 2 x 1 x 1 xx 21 3 x 1 x 4 x 1 3 x 1 1 x 2 x 1 33 x 2 x 1 x 2 1818 x 1 54 P 18 AB. xx 22 54 54 54 Vì xx 0 2 2 27 nên P 18 18 27 9 x 2 2 x 2 Hay Px 9,  0 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x 0 Vậy minP 9 khi . Câu 2: Rút gọn và tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 1x 2 x x 1 A : , với . 1 x x x 1 x x 1 3 (Đề thi vào 10 tỉnh Đak Lak năm học 2018 - 2019) Giải chi tiết Với ta cĩ: 1x 2 x x 1 x x 1 x 2 x x 1 3 A :. 1 x x x 1 x x 13 x 11 x x x 1 2 31 x 3 2 x 11 x x xx 1 3 Vậy A với xx 1 FB: Tốn Học Sơ Đồ-Link nhĩm
  21. 21 Nhĩm Tốn Học Sơ Đồ Tài Liệu Word Tốn THCS Chất-Đẹp-Tiện A đạt giá trị lớn nhất xx 1 đạt giá trị nhỏ nhất 3 Vì x 0 nên x x 1 1 A 3 xx 1 Đẳng thức xảy ra x 0. Vậy maxA 3 khi x 0 . m Ta thấy A cĩ dạng A (với m là hằng số dương, px là một biểu thức chứa biến x), do px vậy áp dụng phương pháp 2. x 3 xx 1 5 2 Câu 3: Cho hai biểu thức P và Q với xx 0, 4 . x 2 x 2 x 4 P Tìm giá trị của x để biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất. Q (Đề thi vào 10 TP Hà Nội năm học 2015 - 2016) Phân tích đề bài Px 3 Rút gọn biểu thức Q và tính . Nhận thấy cĩ dạng bâc tử lớn hơn bâc mẫu nên đưa Q x Pm về dạng Px . Sau đĩ áp dụng bất đẳng thức Cơ-si để tìm giá trị nhỏ nhất. Q 1 x Giải chi tiết Với ta cĩ: x 1 5 x 2 x 1 x 2 5 x 2 x 3 x 2 5 x 2 Q x 2 x 4 x 4 x 4 x 2 xxx 2 x x 4 xx 22 x 2 Px 33 x 23 (Do bất đẳng thức Cơ-si). Q xx 3 Đẳng thức xảy ra khi xx 3 x Vậy giá trị nhỏ nhất của là 23 khi x 3. 3xx 2 2 3 3 3x 5 Câu 4: Cho biểu thức P x 1 3 x x 2 x 3 FB: Tốn Học Sơ Đồ-Link nhĩm
  22. 22 Nhĩm Tốn Học Sơ Đồ Tài Liệu Word Tốn THCS Chất-Đẹp-Tiện a) Rút gọn biểu thức P. b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P. Giải chi tiết Điều kiện: xx 0, 9. a) Với ta cĩ: 3xx 2 2 3 3 3x 5 P x 1 3 x ( x 1)( x 3) 3x 2 3 x 2 x 3 x 1 3 3 x 5 (xx 1)( 3) 39x x 2 x 622 x x 3 x 39 x 15 xx 13 517651526x x x x x xx 3 5 2 52 x x 1 x 3 x 1 x 3 x 1 x 3 x 1 52x Vậy P với . x 1 5xx 2 5 5 7 7 b) Ta cĩ P 5 x 1 x 1 x 1 7 7 Vì 0 nên P cĩ giá trị nhỏ nhất lớn nhất x 1 nhỏ nhất x 0 x 1 x 1 Khi đĩ minP 5 7 2 Vậy minP 2 khi x 0 . x 41 1 Câu 5: Cho biểu thức P 1: với x 0, x , x 1, x 4 . x 3 x 2 2 x 3 x 1 4 a) Rút gọn biểu thức P. 10 b) Với x 5, tìm giá trị nhỏ nhất của TP . x Giải chi tiết Với ta cĩ: FB: Tốn Học Sơ Đồ-Link nhĩm
  23. 23 Nhĩm Tốn Học Sơ Đồ Tài Liệu Word Tốn THCS Chất-Đẹp-Tiện xx 22 x 41 P 1 : 1 . x 1 2 x 1 x 3 x 2 2 x 3 x 1 xx 12 x 2 1 x 1 2 x 1 x 2 x 1 2 x 1 4 x 1 x 1 1 Vậy Px 41 với x 0, x , x 1, x 4 . 4 10 10 2xx 10 10 b) Xét T P 4 x 1 1 x x55 x 2xx 10 2 10 Áp dung bất đẳng thức Cơ-si ta cĩ: 2 . 4 55xx 2x 10 Đẳng thức xảy ra x 5 (do x 0 ). 5 x 18x Lại cĩ: 18 (vì x 5 ) nên T 4 18 1 21 5 Vậy minT 21 khi x 5. Nhận xét 10 T cĩ chứa biểu thức nghịch đảo là 4x và nên ta sẽ nghĩ đến áp dụng bất đẳng thức Cơ-si. x Nhưng nếu áp dụng bất đẳng thức Cơ-si cho hai số và thì: 10 10 T 4 x 1 2 4 x . 1 4 10 1 xx 10 10 5 Đẳng thức xảy ra 4x x2 x (khơng thỏa mãn điều kiện x 5). x 42 Tức là 4 10 1 khơng phải giá trị nhỏ nhất của T. Dạng 5: Tìm giá trị của biến để giá trị của biểu thức thỏa mãn điều kiện cho trước Phương pháp giải Bài tốn 1. Tìm x để biểu thức Am (m là hằng số) FB: Tốn Học Sơ Đồ-Link nhĩm
  24. 24 Nhĩm Tốn Học Sơ Đồ Tài Liệu Word Tốn THCS Chất-Đẹp-Tiện Bài tốn 2. Tìm x để biểu thức Am (hoặc Am hoặc Am hoặc Am (m là hằng số)) Bài tập mẫu x x 1 x x 1 x 2 x 1 Câu 1: Cho biểu thức A : x x x x x 1 a) Rút gọn biểu thức A. b) Tìm x để AA c) Tìm các giá trị nguyên của x để A cĩ giá trị nguyên. Giải chi tiết a) Điều kiện: xx 0, 1. x x 1 x x 1 x 2 x 1 A : x x x x x 1 2 x 1 x x 1 x 1 x x 1 x 1 : x x 1 x x 1 x 1 x 1 x x 1 x x 1 x 1 21 x . x x 11 x 21 x Vậy A với . x 1 FB: Tốn Học Sơ Đồ-Link nhĩm
  25. 25 Nhĩm Tốn Học Sơ Đồ Tài Liệu Word Tốn THCS Chất-Đẹp-Tiện 21 x b) A A A 0 0 x 1 0 x 1 x 1 Kết hợp với điều kiện ta được 01 x thì AA . 21 x 4 c) Ta cĩ: A 2 xx 11 Để A nguyên thì xU 14 hay x 1  1;1; 2;2; 4;4 Ta cĩ bảng sau: x 1 1 2 4 0 2 3 5 , ( xx 0, 1lo) ại loại 0 (loại) 4 9 25 (thỏa mãn) (thỏa mãn) (thỏa mãn) Vậy x 4;9;25 . Nhận xét Px Muốn tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức A (trong đĩ bậc tử lớn hơn hoặc bằng Qx m bậc mẫu) đạt giá trị nguyên ta cần phân tích A A1 x với m là hằng số. Qx m Khi đĩ A nguyên nguyên Qx là ước của m. Qx x 1 2 x 5 x 2 3 x x Câu 2: Cho biểu thức B : x 2 x 24 x x 4 x 4 a) Rút gọn biểu thức B. b) Tìm x để B 2 . c) Tìm các giá trị của x để B cĩ giá trị âm. Giải chi tiết Điều kiện: x 0, x 4, x 9 . a) Với ta cĩ: FB: Tốn Học Sơ Đồ-Link nhĩm
  26. 26 Nhĩm Tốn Học Sơ Đồ Tài Liệu Word Tốn THCS Chất-Đẹp-Tiện x 1 2 x 5 x 2 xx 3 B : 2 x 2 x 2 (2 x )(2 x ) x 2 2 x 1 x 2 2 x x 2 5 x 2 x 2 . x 2 x 2 x 3 x 2 x 2 x x 2 2 x 4 x 5 x 2 x 2 . x 2 x 2 x 3 x x 2 x x 2xx 2 x 2 x 2 x 2x 33 x x 2 x x x 3 x 2 Vậy B với x 0, x 4, x 9 . x 3 x 2 b) B 2 2 x 2 2 x 6 x 8 x 64 (thỏa mãn điều kiện) x 3 x 2 c) Bx 0 0 3 0 (vì x 20) x 3 xx 39 . Kết hợp với điều kiện ta được 09 x và x 4 . xx6 1 10 Câu 3: Cho biểu thức Px :2 với x 0, . x x 4 x 3 x 6 x 2 x 2 a) Rút gọn biểu thức P. b) Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức Q x 1. P đạt giá trị nguyên. (Phịng GD & ĐT Hải Hậu - Nam Định - Lần 1 năm học 2018 – 2019) Giải chi tiết a) Với , ta cĩ: xx6 1 10 Px :2 x x 4 x 3 x 6 x 2 x 2 x6 1 x 4 10 x : x x 4 32x x 2 x 2 FB: Tốn Học Sơ Đồ-Link nhĩm
  27. 27 Nhĩm Tốn Học Sơ Đồ Tài Liệu Word Tốn THCS Chất-Đẹp-Tiện xx2 1 2 . xx 22xx 226 x 2 x 2 x 2 xx 2 6 2 1 x 2 x 2 66 x 2 x 2 x 2 1 Vậy P với x 0, x 4 . x 2 1x 1 3 b) Với , ta cĩ Q x 1 . P x 1 . 1 x 2 x 2 x 2 3 Để Q nguyên thì xƯ 24 hay x 2  1;1; 3;3 x 2 Ta cĩ bảng: x 2 1 3 1 3 5 , , x 0, x 4 1 (thỏa mãn) 9 (thỏa mãn) loại 25 (thỏa mãn) Vậy x 1;9;25 thì Q nhận giá trị nguyên. x 3 xx 3 5 12 Câu 4: Cho biểu thức A và B với xx 0, 16 . x 4 x 4 x 16 a) Rút gọn biểu thức B. A b) Tìm m để phương trình m 1 cĩ nghiệm. B (THCS Mạc Đĩnh Chi - Ba Đình - Hà Nội năm học 2018 - 2019) Giải chi tiết x 3 5 x 12 xx 34 5 x 12 a) Ta cĩ: B x 4 x 16 x 4 x 4 x 4 x 4 x x 12 5 x 12 x 4 x x x 4 x 4 x 4 x 4 x 4 x Vậy B với . x 4 FB: Tốn Học Sơ Đồ-Link nhĩm
  28. 28 Nhĩm Tốn Học Sơ Đồ Tài Liệu Word Tốn THCS Chất-Đẹp-Tiện A x 33 x x b) ta cĩ: m 1 : m 1 m 1 B x 44 x x x 31 x m mx 3 00 xx A mx 3 Để phương trình m 1 cĩ nghiệm thì phương trình 0 cĩ nghiệm, tức là: B x x 0 x 0 3 0 m 0 3 m cĩ nghiệm m x 30 x 3 m 3 m x 16 4 4 x 16 m 3 Vậy mm 0, thì phương trình cĩ nghiệm. 4 2. BÀI TẬP TỰ LUYỆN x x x 11 x Câu 1: Rút gọn biểu thức: B : với xx 0, 1. x 1 x x x Tính giá trị của B khi x 12 8 2 . (Đề thi vào 10 tỉnh Bình Dương năm học 2018 - 2019) xx 1 xx 1 5 8 Câu 2: Cho biểu thức A và B với x 0, x 4, x 16 . x 4 x 22 x x a) Tính giá trị của A khi x 25 . b) Rút gọn biểu thức B. c) Cho PAB . . So sánh P với 2. (Thi thử Quận Hai Bà Trưng năm học 2018 - 2019) x 3 x 3 x 2 1 x 3 Câu 3: Cho biểu thức A và B . với xx 0, 9 . x 3 x 9 xx 31 a) Tính giá trị của A khi x 16 . b) Rút gọn biểu thức B. A c) Cho P . Tìm giá tri nhỏ nhất của P. B (Thi thử THCS Thái Thịnh năm học 2018 - 2019) FB: Tốn Học Sơ Đồ-Link nhĩm
  29. 29 Nhĩm Tốn Học Sơ Đồ Tài Liệu Word Tốn THCS Chất-Đẹp-Tiện xx2 x 12 5 Câu 4: Cho biểu thức P . với x 0, x 9, x 64 . xx 38x 9 a) Rút gọn biểu thức P. b) Tìm điều kiện của x để P 1. (Phịng GD & ĐT Giao Thủy - Nam Định năm học 2018 - 2019) x 1 14xx Câu 5: Cho hai biểu thức A và B với xx 0, 1. x 3 x 3 x 1 x 2 x 3 16 a) Tính giá trị của biểu thức A khi x . 9 b) Rút gọn biểu thức B. A 11 c) Tìm x để . B 2 (THPT Nhân Chính - Hà Nội năm học 2018 - 2019) 2x 1 1 1 2017 2018 Câu 6: Cho biểu thức: A : . Tìm x để A x x 2 . x 1 xx 11 (THCS Bạch Liêu - Nghệ An năm học 2018 - 2019) x 1 x14 x x Câu 7: Cho biểu thức A và B với xx 0, 4. x 2 x 1 x 2 x x 2 a) Tính giá trị của A khi x 7 4 3 . 3 b) Chứng minh rằng: B . 2 x B c)Tìm x để 1. A (Phịng GD & ĐT Thanh Trì - Hà Nội năm học 2018 - 2019) 2x 9 x 3 2 x 1 x 3 x Câu 8: Cho biểu thức A . . x 5 x 6 x 2 3 x x x 1 a) Rút gọn biểu thức A. b) Tính giá trị của biểu thức A khi x 3 2 2 11 6 2 12 . c) Tính giá trị lớn nhất của A. (THCS Sơn Tây - Hà Nội năm học 2018 - 2019) FB: Tốn Học Sơ Đồ-Link nhĩm
  30. 30 Nhĩm Tốn Học Sơ Đồ Tài Liệu Word Tốn THCS Chất-Đẹp-Tiện 7 xx2 24 Câu 9: Cho hai biểu thức A và B với xx 0, 9 . x 8 x 3 x 9 a) Tính giá trị của biểu thức A khi x 25 . x 8 b) Chứng minh B . x 3 c) Tìm x để biểu thức PAB . cĩ giá trị là số nguyên. (Đề thi vào 10 TP Hà Nội năm học 2016 - 2017) 1 xx 1 1 Câu 10: Cho biểu thức px : . x x x x a) Chứng minh rằng P 0,  x 0, x 1 . 2 b) Tính giá trị của P biết x 23 c) Tìm giá trị x thỏa mãn: P x 6 x 3 x 4 . Gợi ý giải Câu 1: x x x 1 x 1 1 x 1 x 1 x B : ( x ) : . x 1 x 11 x x x x x x x Với x 12 8 2 thay vào B ta được: 2 B 12821 222 12221122 Câu 2: 25 25 1 a) Thay x 25 (thỏa mãn điều kiện) vào A ta được: A 31. 25 4 x 1 5 x 8 x 1 5 x 8 x x 1 5 x 8 b) B x 2 2 x x x 2 x x 22 x x x x 5 x 8 x 6 x 8 xx 24 x 4 x x 2 x x 2 x x 2 x x x 1 x 4 x x 1 c) Ta cĩ: PAB x 4 x x FB: Tốn Học Sơ Đồ-Link nhĩm
  31. 31 Nhĩm Tốn Học Sơ Đồ Tài Liệu Word Tốn THCS Chất-Đẹp-Tiện 2 13 x x x 11 x x 24 Xét Px 2 2 0,  0 x x x Vậy P 2 với x 0, x 4, x 16 . Câu 3: 16 3 19 a) Thay x 16 (thỏa mãn điều kiện) vào A ta được: A . 16 3 7 x 3 x 2 1 x 3x 3 x 2 x 3 x 3 b) B x 3 x 3x 3 x 1 x 3 x 3 x 1 2 x 2 x 1 x 3 x 1 x 3 x 1 x 3 x 3 x 1 x 3 x 3 x 1 x 3 A x 3 x 1 x 3 4 c) Ta cĩ: Px : 1 2 B x 3 x 3 x 1 x 1 4 Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si cho hai số x 10 và 0 ta được: x 1 44 x 1 2 2 x 1 . 2 2 P 2 xx 11 4 Đẳng thức xảy ra xx 11 (thỏa mãn) x 1 Vậy minP 2 khi x 1. Câu 4: x2 xx 12 x 55 x 2 12 x a) Ta cĩ: P x 3x 9 x 8 x 3xx 33 x 8 x x 3 2 x 24 x 5 x 5 x 24 x 5 x 3 x 3 xx 88 x 3 x 3 xx 38 xx 55 . xx 33 xx 83 x 5 Vậy P với x 0, x 9, x 64 . x 3 FB: Tốn Học Sơ Đồ-Link nhĩm
  32. 32 Nhĩm Tốn Học Sơ Đồ Tài Liệu Word Tốn THCS Chất-Đẹp-Tiện xx 5 5 8 b) Ta cĩ P 1 1 1 0 0 x 3 0 x 9 x 3 x 3 x 3 Kết hợp với điều kiện 09 x và x 64 Vậy với và thì P 1. Câu 5: 16 1 16 9 1 13 1 a) Thay x (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức A cĩ: A : . 9 16 3 3 13 3 9 1 Vậy A khi . 13 1x 4 x 1 x 4 x b) Ta cĩ: B x 3 x 1 x 2 x 3 x 3 x 1 xx 31 x 1 x x 3 4 x xx 11 x 3 x 1 x 3 x 1 x 3 x 1 Vậy B với xx 0, 1. x 3 A 1 x 1 x 1 x 1 x 3 x 3 4 c) Ta cĩ: 1 : . B x 3 x 3 x 3 x 1 x 1 Ax 1 1 4 1 7 Khi đĩ: 0 0xx 7 0 0 49 B 22x 1 21 x (vì 2 x 1 0 ). Câu 6: x 2 Rút gọn được biểu thức A với xx 0, 1. x 1 x 2 1 1 Ta cĩ: VT A 1 1 2 (vì x 0 ) xx 1 1 0 1 Vì nên AVP x2017 x 2018 22 . Do đĩ VT VP 2. Vậy x 0 . Câu 7: 2 a) Ta cĩ: xx 7 4 3 2 3 2 3 , thay vào A ta được: A 23 FB: Tốn Học Sơ Đồ-Link nhĩm
  33. 33 Nhĩm Tốn Học Sơ Đồ Tài Liệu Word Tốn THCS Chất-Đẹp-Tiện b) HS tự rút gọn biểu thức B. B c) 12 x . Tìm x và đối chiếu với điều kiện ta được 04 x . A Câu 8: x a) Đáp số: A với x 0, x 4, x 9 . xx 1 22 b) Ta cĩ: x 322 116212 1 2 3 2 1216 4 Thay x 16 vào A ta được: A . 13 c) Khi x 0 thì A 0 xx Khi ta cĩ: A 1 xx 1 x 1 x 1 1 1 Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si ta cĩ: x 2 x 1 1 1 A 1 1 xxx 1 x 1 Đẳng thức xảy ra xx 1 (thỏa mãn). x Vậy maxA 1 khi x 1. Câu 9: 7 a) a . 13 b) HS tự rút gọn biểu thức B. 7x 8 7 c) Ta cĩ: PAB x 8 x 3 x 3 1 Để P nhận giá trị nguyên thì xU 37 hay xx 3  1;1; 7;7  ;16 . 4 Câu 10: 2 x 1 a) Rút gọn được biểu thức P 0,  x 0, x 1 . x 2 2 2 3 2 b) Ta cĩ xx 4 2 3 3 1 3 1 23 2 3 2 3 FB: Tốn Học Sơ Đồ-Link nhĩm
  34. 34 Nhĩm Tốn Học Sơ Đồ Tài Liệu Word Tốn THCS Chất-Đẹp-Tiện 2 3 1 1 3 3 3 1 Do đĩ P . 3 1 3 1 2 c) Điều kiện: x 4 . Ta cĩ: P x 6 x 3 x 4 2 x 1 .x 6 x 3 x 4 x 2 x 1 6 x 3 x 4 0 x 2 2 x 20 x4 x 4 x 4 0 x 2 x 4 0 x 4. x 40 HỆ THỐNG BÀI LUYỆN TỔNG HỢP THƯỜNG GẶP TRONG ĐỀ THI VÀO 10 Bài 1.( 2 điểm) 1) Thực hiện phép tính 3 20 80 4 5 . 1 1 2 2) Cho biểu thức Q 1 (với xx 0, 4). x 22 x x a) Rút gọn Q . 1 b) Tìm giá trị của x để Q . 2 Lời giải 1) Ta cĩ 3 20 8045 654545 65 . 2) a) Với xx 0, 4 ta cĩ 1 1 2 Q 1 x 22 x x 22xx  xx 22 x 2 . x 2 b) 1 2 1 4 xx 2 2 Q 0 0 2 x 0 (do x 20) 22x 2 x 2 x 2 Vậy 04 x Mà xx 0, 4 nên 04 x FB: Tốn Học Sơ Đồ-Link nhĩm
  35. 35 Nhĩm Tốn Học Sơ Đồ Tài Liệu Word Tốn THCS Chất-Đẹp-Tiện 1 Vậy 04 x để Q . 2 x 1 x 3 x 1 Bài 2.(2 điểm ) Cho biểu thức A  ; với 0 x 1. x 1 x 2 x 5 a) Tính giá trị của biểu thức A khi x 4. b) Rút gọn biểu thức A. 4 c) Tìm x để A . 5 Lời giải a) Tính giá trị của biểu thức A khi x 4. Thay x 4 vào biểu thức A , ta được: 414341 21233 533 A  . 3 . 4 1 4 2 4 5 2 1 2 2 2 5 4 7 4 b) Rút gọn biểu thức A. x 1 x 2 x 1 x 3 x 1 A  xx 12 x 5 x 3 x 2 x 2 x 3 xx 11 x 1  xx 12 xx 52 4 c) Tìm x để A . 5 4x 1 4 Để A 55x 2 5x 5 4 x 8 x 3 x 9 (thỏa mãn). Vậy x 9. Bài 3 (2.0 điểm 1. Tính: 125 20 300 15 675 5 75 : 15 . xx2 24 x 8 2. Cho biểu thức: Q với xx 0; 9 . Chứng minh Q . x 3 x 9 x 3 x 5 3. Cho biểu thức: P . Tìm x nguyên để biểu thức MPQ . cĩ giá trị là số nguyên. x 8 Lời giải 1. 125 20 300 15 675 5 75 : 15 5 5 200 3 225 3 25 3 : 15 5 5 0: 15 5 5 . 2. Với xx 0; 9 ta cĩ: xx2 24 Q x 3 xx 33 FB: Tốn Học Sơ Đồ-Link nhĩm
  36. 36 Nhĩm Tốn Học Sơ Đồ Tài Liệu Word Tốn THCS Chất-Đẹp-Tiện xx 3 2x 24 Q x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 2 x 24 Q xx 3 . 3 xx 5 24 Q xx 3 . 3 xx 38 x 8 Q xx 33 x 3 x 8 Vậy khi xx 0; 9 thì Q x 3 3. Với x ; x 0; x 9 ta cĩ: x 5 x 8 x 5 8 MPQ . . 1 x 8 x 3 x 3 x 3 8 M cĩ giá trị nguyên khi và chỉ khi cĩ giá trị nguyên. 8 xx 3 3  1; 2; 4; 8. x 3 Vì x 33 nên x 3 4;8. 1) x 3 4 x 1 x 1 tm . 2) x 3 8 x 5 x 25 tm . Vậy x 1;25 là các giá trị cần tìm. x 1 1x 1 Bài 4 (2,0 điểm) Cho biểu thức: A và B : x 2 x x x 1 x 2 x 1 (với x 0 ; x 1) 16 a) Tính giá trị của A khi x . 25 b) Rút gọn biểu thức B . c) Tìm các giá trị nguyên của tham số m sao cho tồn tại x thỏa mãn: 15 AB m. Lời giải 16 a) x (thỏa mãn điều kiện xác định) 25 16 4 16 x 4 14 4 5 2 Thay x vào biểu thức A ta được: A 25 5 :  . 25 x 2 16 4 5 5 5 14 7 2 2 25 5 16 2 Vậy khi x thì A . 25 7 b) Với x 0 ; x 1. Ta cĩ: FB: Tốn Học Sơ Đồ-Link nhĩm
  37. 37 Nhĩm Tốn Học Sơ Đồ Tài Liệu Word Tốn THCS Chất-Đẹp-Tiện 1 1x 1 B : x x x 1 x 2 x 1 11xx B : 2 x x 11 x x x 1 2 11 xx x 1 B  xx 1 xx 1 x 1 Vậy với x 0 ; x 1 thì B x c) Với x 0 ; x 1 xx 1 5x 5 5 16 Ta cĩ: m 1 5 AB 1 5   xx 2 xx 22 11 5 5 5 7 Vì xx 0 2 2 m 6 1 x 2 2 xx 2222 5 5 Mặt khác: x 00 m 66 2 x 2 x 2 7 Từ 1 và 2 m 6 , mà mm 4 hoặc m 5 2 Thử lại: 5 5 1 1 Với m 42 x 2 x x (thỏa mãn) x 2 2 2 4 5 Với m 51 x 2 5 x 3 x 9 (thỏa mãn) x 2 Vậy với m 4;5 tồn tại x thỏa mãn: 15 AB m. 2xx 3 14 Bài 5 .(2,0 điểm) Cho biểu thức S với xx 0, 4. xx 2 x 4 2 x a) Rút gọn . xx 2 b) Rút gọn biểu thức S c) Tìm tất cả giá trị của x để biểu thức của S nhận giá trị nguyên. Lời giải 2xx 2 2 a) . x 22 xxx 2 x 2xx 3x 14 2 3 14 b) S . x 22 xx 4 x x 2 . x 2 FB: Tốn Học Sơ Đồ-Link nhĩm
  38. 38 Nhĩm Tốn Học Sơ Đồ Tài Liệu Word Tốn THCS Chất-Đẹp-Tiện 2x 4 3 x 14 5 x 10552 x x 2 . x 2 x 2 . x 2 x 2. x 2 x 2 5 c) S x 2 55 5 Cĩ x 22 S x 2 2 2 5 Lại cĩ x 20 0 S 0 x 2 5 Vậy 0 S mà S cĩ giá trị nguyên S 1;2 2 5 Với S 1 1 x 25 x 9 (thỏa mãn) x 2 5 5 1 Với S 2 2 x 2 x (thỏa mãn) x 2 2 4 1 Vậy x ;9 thì biểu thức của S nhận giá trị nguyên. 4 x 1 x 1 1 2 Bài 6.(2,0 điểm).Cho biểu thức: A và B : với x 0 ; x x11 x x x x 1 x 1. a) Tính giá trị của biểu thức A khi x 16 . x 1 b) Chứng minh rằng B . x c) Tìm x nguyên để PAB: đạt giá trị lớn nhất. Lời giải a) Ta thấy x 16 thỏa mãn điều kiện xác định 16 1 4 1 5 Thay x 16 vào biểu thức A , ta được: A 16 44 5 Vậy khi x 16 thì giá trị của biểu thức là A . 4 b) Với x 0 ; x 1. Ta cĩ: x 1 1 2 B : x11 x x x x 1 x 1 1 2 : xx11x x1 x 1 x 1 FB: Tốn Học Sơ Đồ-Link nhĩm
  39. 39 Nhĩm Tốn Học Sơ Đồ Tài Liệu Word Tốn THCS Chất-Đẹp-Tiện xx1 1 2 : x x1 x x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x1 x 1 2xx11 x 1 :: x x1 x 1 x 1 x x 1 x 1 x 1 x1 1 x 1 x 1 x 1 : x x1 x1 x x 1 Vậy với x 0 ; x 1 thì B . x x1 x 1 x 1 x 1 c) Với x 0 ; x 1. Ta cĩ: PAB:: x x xxx11 x 1 Với x nguyên; x 0 ; x 1 thì P đạt giá trị lớn nhất khi x 1 là số dương nhỏ nhất x là số nguyên 1 dương nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện xác định x 2. Khi đĩ: P 21 21 Vậy xZ2 thì biểu thức PAB: đạt giá trị lớn nhất là P 21. 1 x x Bài 7.(2,0 điểm). Cho hai biểu thức P = và Q = 1 với xx 0 ; 1 x 1 x 1 x 1 1. Tính giá trị của Q khi x 16. 2. Rút gọn biểu thức MPQ : . 3 3. Tìm x để M . 2 Lời giải Ta cĩ: 1x 1 x 2 x 1 P = xx 11xx 11 xx 11 x 1 Q = 1 . xx 11 1. Thay vào biểu thức Q 11 Q . 16 1 3 2xx 1 1 2 1 2. MPQ : : x 1 xx 11 3 3. Ta cĩ: M 2 21x 3 x 1 2 FB: Tốn Học Sơ Đồ-Link nhĩm
  40. 40 Nhĩm Tốn Học Sơ Đồ Tài Liệu Word Tốn THCS Chất-Đẹp-Tiện 2 2xx 1 3 1 0 21 x x 1 0 2 x 1 x 1 0 (vì 21 x 0 ) với mọi xx 0 ; 1 x 0 01 x . x 1 Vậy 0 x 1 3 Cách 2: Ta cĩ: M 2 21x 3 2 21xx 3 1 (vì x 1 0 với mọi ) x 1 2 xx 1 0 1 Cho hai biểu thức: xx 1 1 2x 1 A và B (với x 0 , x 1). 21 x x xx 1 x x Bài 8.(2 điểm ) a) Tính giá trị của biểu thức A khi x 4 . b) Rút gọn biểu thức B. c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức PAB . với x 1. Lời giải a) Tính giá trị của biểu thức khi . Điều kiện xác định: , x 4 (thỏa mãn điều kiện) Thay x 4 vào A ta cĩ: 4. 4 1 2.5 A 5 2. 4 1 2.1 Vậy A 5 khi x 4 . b) Rút gọn biểu thức B. 1 2x 1 B x xx 1 x x 1 2x 1 B x x 1 x 1 x 1 x x 1 FB: Tốn Học Sơ Đồ-Link nhĩm
  41. 41 Nhĩm Tốn Học Sơ Đồ Tài Liệu Word Tốn THCS Chất-Đẹp-Tiện x 1 2 x . x x 1 B x x 11 x 22x B x x 11 x 21 x B xx 1 2 B x c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức PAB . với x 1. xx 1 2x 1 2 2 P A. B . x 1 x 1 2 21 x x x 1 x 1 x 1 x 10 Vì x 1 nên 2 0 x 1 Áp dụng bất đẳng thức Cơsi, ta cĩ: 22 xx 1 2 1 . xx 11 2 x 1 2 2 2 2 x 1 P 2 2 2 2 Dấu “=” xảy ra x 1 x 1 2 x 12 x 12 x 12 x 21 x 1 2 0(loại) x 3 2 2 (thỏa mãn điều kiện) Vậy MinP 2 2 2 x 3 2 2 . 15 x x2 x 3 x 4 x 1 Bài 9.(2 điểm) Cho A và B .1 với xx 0, 4. x 1 xx 22x 42 a) Tính giá trị của A khi x 9. x 1 b) Chứng minh rằng B . x 2 c) Gọi MAB . . So sánh M và M . FB: Tốn Học Sơ Đồ-Link nhĩm
  42. 42 Nhĩm Tốn Học Sơ Đồ Tài Liệu Word Tốn THCS Chất-Đẹp-Tiện Lời giải a) Thay x 9 (tmđk) vào viểu thức A, ta được 1 5 9 1 5.3 14 7 A 91 3 1 4 2 7 Vậy với thì biểu thức B 2 b) Với xx 0, 4 x2 x 3 x 4 x 1 B .1 xx 22x 42 x x 2 2 x x 2 3 x 4 x 12 B . xx 22 2 x 2 x 2 x 4 x 3 x 4 x 1 B . xx 22 2 2x 4 x 122 x x 1 x 1 B x 2 x 222 x 2 x 2 x 2 x 1 Vậy với thì B . x 2 c) Với , ta cĩ: 1 5x x 1 1 5 x MAB x 1 x 2 x 2 1 15 x M cĩ nghĩa 0 x 0 1 5x 0 ( vì xx 2 0,  0) 25 x 2 11 1 15 x x x . Kết hợp với điều kiện xx 0; 4 0 x (*) 5 25 25 1 5xx 1 6 M 11 0 do x 2 0; 1 6 x 0,  x 0 xx 22 1 MM 1 0 1 0 Mx 1, 0 MMM 1 25 xx 1 xx 1 5 8 Bài 10.(2 điểm) Cho A và B với x 0, x 4, x 16 x 4 x 22 x x a) Tính giá trị của A khi x 25 . b) Rút gọn biểu thức B . c) Cho SAB . . So sánh S với 2. Lời giải FB: Tốn Học Sơ Đồ-Link nhĩm
  43. 43 Nhĩm Tốn Học Sơ Đồ Tài Liệu Word Tốn THCS Chất-Đẹp-Tiện a) Tính giá trị của A khi x 25 . 25 25 1 Thay x 25 (thỏa mãn điều kiện) vào A ta cĩ A 31. 25 4 Vậy A 31 khi x 25 . b) Rút gọn biểu thức B . xx 1 5 8 B với x 0, x 4, x 16 x 22 x x xx 1 58 x B x 2 xx 2 xx 68 B xx 2 xx 42 B xx 2 x 2 B . x c) Cho SAB . . So sánh S với 2 . x x 1 x 4 x x 1 Ta cĩ SAB . x 4 x x x x 11 x x Xét S 22 . xx 2 13 x x 10 x xx 1 Cĩ x 0 24 0 S 2 0 S 2 x x 0 Vậy S 2 . x 1 x 1 8 x x x 3 1 Bài 11.(2 điểm) Cho A : với xx 0; 1 . x 1 x 1xx 11 x 1 a) Rút gọn biểu thức A . 4 b) Tính giá trị của x để A . 5 c) Tính giá trị lớn nhất của biểu thức A . Lời giải a) Điều kiện xx 0; 1 x 1 x 1 8 x x x 3 1 A : ( với xx 0, 1 ) x 1 x 1xx 11 x 1 FB: Tốn Học Sơ Đồ-Link nhĩm
  44. 44 Nhĩm Tốn Học Sơ Đồ Tài Liệu Word Tốn THCS Chất-Đẹp-Tiện 22 xx 11 8x x x 3 x 1 A : x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 8 x x x 3 x 1 A : xx 11 41xx A . xx 14 4 x A x 4 4 x Vậy A với xx 0; 1 x 4 4 4x 4 b) A 5 x x 4 x 5 x 4 0 x 1 x 4 0 5x 4 5 x 1 0 x 1 x 1 xx 4 0 4 x 16 Do xx 0; 1nên x 16 4 Vậy x 16 thì A . 5 2 4x x 4 x 4 x 2 2 c) Ta cĩ A 1 1 1 ( vì xx 4 0; 2 0) x 4 x 4 x 4 Vậy giá trị lớn nhất của A 1 x 2 x 4 . Bài 12.(2 điểm). x 1 2xx 3 18 Cho các biểu thức: A ; B ( với xx 0; 9 ) x 3 xx 339 x 4 a) Tính giá trị của A tại x 9 x 3 b) Chứng minh B với x 0; x 9 x 3 1 c) Cho PAB : . Tìm giá trị nguyên của x để P . 2 Lời giải a) Thay (t/m) vào biểu thức A , ta cĩ: 4 5 1 5 A 9 3 4 11 11 3 9 3 FB: Tốn Học Sơ Đồ-Link nhĩm
  45. 45 Nhĩm Tốn Học Sơ Đồ Tài Liệu Word Tốn THCS Chất-Đẹp-Tiện 5 4 Vậy A tại x . 11 9 2xx 3 18 b) B xx 339 x Với ĐKXĐ: xx 0; 9 ta cĩ: 2x 3 x 3 x x 3 18 xx 33 2x 6 x 3 x 9 x 3 x 18 xx 33 xx 69 xx 33 2 x 3 x 3 . xx 33 x 3 x 3 Vậy B ( với ). x 3 x 1 x 31x c) Ta cĩ: P : ( với ) x 3 xx 33 1x 1 1 x 5 Cĩ: P 0 0 1 22x 3 x 3 Do x 50, nên 1 xx 3 0 9 Kết hợp ĐKXĐ: , ta cĩ 09 x Mà x x 0;1;2;3;4;5;6;7;8 Vậy x 0;1;2;3;4;5;6;7;8  . Bài 13.(2 điểm ) x 3 xx13 Câu 1. Cho hai biểu thức A và B với x 0 , x 1 xx 12 12 xx x 1. 1) Tính giá trị của biểu thức A khi x 9 . 2) Rút gọn biểu thức B . FB: Tốn Học Sơ Đồ-Link nhĩm
  46. 46 Nhĩm Tốn Học Sơ Đồ Tài Liệu Word Tốn THCS Chất-Đẹp-Tiện 4 3) Tìm x để B . 5 Lời giải 1) Với x 9 , thỏa mãn điều kiện xác định thay vào biểu thức A ta cĩ: 9 3 3 3 6 3 A . 91 3 1 4 2 2) Với x 0 , x 1 thì xx13 B xx 12 12 xx x x 2 1  x 1 3 x x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 x 2 x 2 x x 1 3 x x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 x 2 x 2 x x 1 3 x xx 12 x 1 xx 12 xx 11 xx 12 x 1 . x 2 4 3) Để B thì 5 xx 1 4 1 4 0 xx 2255 xx 1  5 4  2 0 xx 2  5 5  2 5xx 5 4 8 0 xx 2  5 2  5 5xx 5 4 8 0 x 25 5xx 5 4 8 0 x 25 FB: Tốn Học Sơ Đồ-Link nhĩm
  47. 47 Nhĩm Tốn Học Sơ Đồ Tài Liệu Word Tốn THCS Chất-Đẹp-Tiện x 3 0 . x 25 Với mọi x thỏa mãn điều kiện xác định thì x 0 x 2 2 0 x 2  5 0 . Suy ra x 3 0 x 3 0 x 3 x 9. x 25 Đối chiếu với điều kiện ta cĩ 09 x và x 1 thỏa mãn. 4 Vậy với 09 x và x 1 thì B . 5 Bài 14.(2 điểm ) x 2 1x 2 Cho hai biểu thức: A và B : (với xx 0; 9 ). x 3 x 33 x x x 1) Tính giá trị của biểu thức A khi x 49 . 2) Rút gọn biểu thức B . 3) Với PAB . , tìm tất cả các giá trị của x để PP . Lời giải 1) Thay (thỏa mãn ĐKXĐ) vào biểu thức A ta được 49 7 7 A . 49 3 7 3 4 2 1x 2 2 x x 3 x 2 2) Ta cĩ B :: x 3 x x 3 xxx 3 x 3 x x 3 x 2 x 3xx 3 x 3 :. . x x 3 x x 3 x x 3 xx 22 x x 3 x 3) Ta cĩ PAB (với ). x 3 x 2 x 2 x Vì khi và chỉ khi P 0 nên P P 0 x 2 x 4 . x 2 Kết hợp với điều kiện xác định của P ta kết luận khi và chỉ khi xx 4, 9 . Bài 15.(2 điểm) 11 x 1 Cho biểu thức A ; B x 0 . x 1 x 3 x 2 21 xx a) Tính giá trị của biểu thức A với x 4 . A b) Tìm x để 0 . B FB: Tốn Học Sơ Đồ-Link nhĩm
  48. 48 Nhĩm Tốn Học Sơ Đồ Tài Liệu Word Tốn THCS Chất-Đẹp-Tiện A c) Tìm giá trị của m để cĩ ít nhất 2 giá trị x 1; x 3 thỏa mãn: m m2 11 x m x . B Lời giải a) Tính giá trị của biểu thức A với x 4 . 11 A x 1 x 3 x 2 11 x 1 xx 12 x 21 xx 12 1 . x 2 Thay (TMĐK) vào biểu thức A ta được: 1 A 42 1 . 4 1 Vậy với x 4 thì giá trị của biểu thức A bằng . 4 A b) Tìm x để 0 . B Ta cĩ: Ax11 : B x 2 21 xx 1 21 xx . xx 21 1 x . A Để 0 B 10 x x 1 ( Điều kiện x 0 ) 01 x . A Vậy để 0 thì 01 x . B c) Tìm giá trị của để cĩ ít nhất giá trị ; thỏa mãn: . Ta cĩ: m 1 x m2 1 x m x 1 FB: Tốn Học Sơ Đồ-Link nhĩm
  49. 49 Nhĩm Tốn Học Sơ Đồ Tài Liệu Word Tốn THCS Chất-Đẹp-Tiện m2 1 x m 1 0 Thay x 1; x 3 vào phương trình ta được m 0 2 m 1 mm 0 m 1. 2 m 1 3mm 2 0 2 m 3 Vậy m 1. Bài 16.(2 điểm ) x 9 3 2xx 5 3 Cho hai biểu thức A và B với xx 0; 9 . x 3 xx 33x 9 1) Khi x 81hãy tính giá trị của biểu thức A 2) Rút gọn biểu thức B 3) Với x 9 tìm giá trị nhỏ nhất B của biểu thức PAB . Lời giải: 1) Giá trị thỏa mãn điều kiện ,thay vào biểu thức A ta được: 81 9 72 72 A 12 81 3 9 3 6 Vậy khi x 81thì A 12 2) Với xx 0; 9 ta cĩ 3 2xx 5 3 B xx 33x 9 3 xx 3 2 3 xx 53 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 3 x 3 2 x 3 x 5 x 3 : xx 33 3x 9 2 x 6 x 5 x 3 xx 33 xx xx 33 x 9 x Vậy P Với x 9 FB: Tốn Học Sơ Đồ-Link nhĩm
  50. 50 Nhĩm Tốn Học Sơ Đồ Tài Liệu Word Tốn THCS Chất-Đẹp-Tiện x 9 x x x 9 9 xx 3 3 9 3) Ta cĩ: PAB x 3x 9 x 3 x 3 x 3 99 xx 3 3 6 xx 33 9 vì x 9 x 3 x 3 0 vµ 0 . x 3 Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si với 2 số khơng âm ta cĩ: 99 xx 3 2 3 . 6 xx 33 9 x 3 6 12 x 3 hay P 12 9 2 x 3 3 x 6 x 36 . Dấu "=" xảy ra khi xx 3 = 3 9 x 3 xx 3 3 0 x 0 Đối chiếu với điện ta thấy x 36 thỏa mãn điều kiện Vậy Min P 12 x=36 xx3 6 4 3 Bài 17.(2 điểm).Cho biểu thức: P vàQ với xx 0; 1. xx 11x 1 x 2 x 1 1) Chứng minh P . x 1 2) Tính giá trị của biểu thức Q khi x 6 2 5 . 3) Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức A Q x cĩ giá trị nguyên. Lời giải 1) Chứng minh với . xx3 6 4 Ta cĩ: P xx 11x 1 x( x 1) 3( x 1) 6 x 4 xx 21 (xx 1)( 1) (xx 1)( 1) (xx 1)2 1 (x 1)( x 1) x 1 Vậy với . 2) Tính giá trị của biểu thức khi . FB: Tốn Học Sơ Đồ-Link nhĩm
  51. 51 Nhĩm Tốn Học Sơ Đồ Tài Liệu Word Tốn THCS Chất-Đẹp-Tiện ĐKXĐ: xx 0; 1666 2 Ta cĩ x 6 2 5 5 2 5 1 51 (thỏa mãn ĐKXĐ) x 51 . Thay x 51 vào biểu thức Q ta cĩ: 3 3 3 5 1 3 5 3 Q 5 1 2 51 5 1 5 1 4 3 5 3 Vậy với x 6 2 5 thì Q . 4 3) Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức A Q x cĩ giá trị nguyên. ĐKXĐ: x 0; x 1; x Z 3 x Ta cĩ: x 2 3x 6 6 3 x 2 6 x 2 x 2 6 3 x 2 6 Vì3 , x nên để A Q x nhận giá trị nguyên cần  x 2 62 x hay xU 26  6; 3; 2; 1;1;2;3;6 Do x 0 nên x 22 x 2  2;3;6 x 2 2 3 6 x 0 1 16 Vì nên x 0; 16 thì A Q x nhận giá trị nguyên. x 1 x 1 Bài 18.( 2 điểm )Cho hai biểu thức A và B với xx 0, 1. x x 1 x x 11 x 1) Tính giá trị của biểu thức A khi x 4 . A 2) Rút gọn biểu thức C . B 3) Tìm các giá trị của x để biểu thức C đạt giá trị nhỏ nhất. Lời giải 4 1 3 1) Thay x 4 ( thỏa mãn điều kiện) vào ta được: A . 4 4 1 7 3 Vậy khi thì A . 7 FB: Tốn Học Sơ Đồ-Link nhĩm
  52. 52 Nhĩm Tốn Học Sơ Đồ Tài Liệu Word Tốn THCS Chất-Đẹp-Tiện 2) Với xx 0, 1, ta cĩ: A x 11 x C : B x x 1 x x 1 x 1 x 1 x 2 x 1 : xx 1 x 11 x x x 1 x 11 x x : 2 xx 1 x 1 x 1 . x 1 x 12 3) Với , ta cĩ: C 11 xx 11 2 ( vì x 11 với mọi xx 0, 1, do đĩ 2 ) x 1 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x 0 (thỏa mãn). Vậy giá trị nhỏ nhất của C là 1 khi . x 2 xx 1 5 3 Bài 19.(2 điểm )Cho hai biểu thức A và B với xx 0; 9 x 3 x 3 x 9 1) Tính giá trị của biểu thức A khi x 49. 2) Rút gọn biểu thức B . A 1 3) Tìm x để . B 2 Lời giải 1) Tính giá trị của biểu thức A khi x 49. 49 2 1 Với x 49 thỏa mãn điều kiện xx 0; 9 ta cĩ: A 49 3 2 2) Rút gọn biểu thức B . xx 1 5 3 x 1 x 3 5 x 3 Ta cĩ: B x 3 x 9 x 9 x 3 xxx 3 x x 9 xx 33 x 3 Ax 2 c) Ta cĩ: B x A1 x 2 1 2 x 4 x Để 00 B 22xx2 FB: Tốn Học Sơ Đồ-Link nhĩm
  53. 53 Nhĩm Tốn Học Sơ Đồ Tài Liệu Word Tốn THCS Chất-Đẹp-Tiện x 4 (vì 20xx ) x 16 A 1 Kết hợp với điều kiện ta cĩ: 0 x 16 và x 9 thì B 2 x 4 2 3xx 5 2 Bài 20.(2 điểm) Cho biểu thức A và B x 2 xx 224 x a. Tính giá trị của A khi x 36 b. Rút gọn B c. Với x 4, tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức PAB . Lời giải 36 4 32 a. Thay (thỏa mãn ĐKXĐ) ta được A 8. 36 2 4 b. 2 3xx 5 2 B xx 22x 4 2x 4 3 x 6 x 5 x 2 B x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 2x 4 3 x 6 x 5 x 2 B xx 22 x B xx 22 x 4 x x c. PABP xx 22 xx 22 x 4 4 4 4 P x 2 x 2 4 x 2 x 2 x 2 Với điều kiện xx 4 2 0, áp dụng BĐT Cauchy ta cĩ: 44 xx 2 2 2 . 4 xx 22 Suy ra P 8 4 Vậy GTNN P 8 x 2 x 16 (thỏa mãn ĐKXĐ) x 2 FB: Tốn Học Sơ Đồ-Link nhĩm