Tài liệu học tập Toán 10 – Học kỳ 2 - Nguyễn Phúc Đức

72 trang thaodu 5460

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Tài liệu học tập Toán 10 – Học kỳ 2 - Nguyễn Phúc Đức", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

tai_lieu_hoc_tap_toan_10_hoc_ky_2_nguyen_phuc_duc.docx

Nội dung text: Tài liệu học tập Toán 10 – Học kỳ 2 - Nguyễn Phúc Đức

GV: Nguyeãn Phuùc Ñöùc - 0902855798  TAØI LIEÄU HOÏC TAÄP TOAÙN 10 – HOÏC KYØ 2 Ninh Thuaän, thaùng 1 naêm 2019 1
MỤC LỤC PHẦN ĐẠI SỐ CHƯƠNG IV: BẤT ĐẲNG THỨC-BẤT PHƯƠNG TRÌNH 1 §1: BẤT ĐẲNG THỨC 1 §2-3: BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN 5 §4: BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN 10 §5: DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI 14 CHƯƠNG VI: GÓC – CUNG LƯỢNG GIÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC 21 §1: GÓC VÀ CUNG LƯỢNG GIÁC 21 §2: GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG 24 §3: CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC 30 PHẦN HÌNH HỌC CHƯƠNG II: TÍCH VÔ HƯỚNG 37 §2: TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VEC TƠ 37 §3 : HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC- GIẢI TAM GIÁC 42 CHƯƠNG III: PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG 47 §1 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG 47 §2 KHOẢNG CÁCH VÀ GÓC 53 §3 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRÒN 60 §4: PHƯƠNG TRÌNH ELIP 67 2
PHẦN ĐẠI SỐ CHƯƠNG IV: BẤT ĐẲNG THỨC-BẤT PHƯƠNG TRÌNH §1: BẤT ĐẲNG THỨC A. TÓM TẮC LÝ THUYẾT. Ñieàu kieän Noäi dung Cộng hai vế với số bất kì a b a c b c (1) Nhân hai vế một số dương: c 0 a b ac bc (2a) một số âm: c 0 a b ac bc (2b) Cộng vế theo vế các BĐT cùng chiều a b (3) a c b d c d Nhân từng vế BĐT khi biết nó dương a b 0 (4) ac bd c d 0 Nâng lũy thừa với n ¢ Mũ lẻ a b a2n 1 b2n 1 (5a) Mũ chẵn 0 a b a2n b2n (5b) Lấy căn hai vế a 0 a b a b (6a) a bất kỳ a b 3 a 3 b (6b) Nếu a, b cùng dấu: ab 0 1 1 (7a) a b Nghịch đảo a b Nếu a, b trái dấu: ab 0 1 1 (7b) a b a b BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY (AM – GM) a b  a 0; b 0 thì ta có: ab. Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi a b. 2 a b c  a 0; b 0; c 0 thì ta có: 3 abc. Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi a b c. 3 BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACÔPXKI (CAUCHY SCHWARZ) 2 2 2 2 2 (a.x b.y) (a b )(x y ) x y  x; y; a; b ¡ thì:  Dấu " " xảy ra khi , (a; b 0). 2 2 2 2 a.x b.y (a b )(x y ) a b 2 2 2 2 2 2 2 (a.x b.y c.z) (a b c )(x y z )  x; y; z; a; b; c ¡ thì:  2 2 2 2 2 2 a.x b.y c.z (a b c )(x y z ) x y z Dấu " " xảy ra khi và chỉ khi (a; b; c 0). a b c x2 y2 (x y)2 x y  x; y ¡ và a 0, b 0 thì  Dấu " " xảy ra khi  a b a b a b x2 y2 z2 (x y z)2 x y z  x; y; z ¡ và a 0, b 0, c 0 thì  Dấu " "  a b c a b c a b c BẤT ĐẲNG THỨC VỀ GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Điều kiện Nội dung x 0, x x, x x x a a x a a > 0 x a x a x a a b a b a b BẤT ĐẲNG THỨC VỀ CẠNH CỦA TAM GIÁC 1
Với a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác, ta có: + a, b, c > 0. + a b c a b ; b c a b c ; c a b c a . B. BÀI TẬP TỰ LUẬN. Bài 1: Cho a, b, c, d, e R. Chứng minh các bất đẳng thức sau: a) a2 b2 c2 ab bc ca b) a2 b2 1 ab a b c) a2 b2 c2 3 2(a b c) d) a2 b2 c2 2(ab bc ca) HD: a) (a b)2 (b c)2 (c a)2 0 b) (a b)2 (a 1)2 (b 1)2 0 c) (a 1)2 (b 1)2 (c 1)2 0 d) (a b c)2 0 Bài 2: Cho a, b, c 0. Chứng minh các bất đẳng thức sau: a) (a b)(b c)(c a) 8abc b) (a b c)(a2 b2 c2 ) 9abc 3 bc ca ab c) (1 a)(1 b)(1 c) 1 3 abc d) a b c ; với a, b, c > 0. a b c HD: a) a b 2 ab; b c 2 bc; c a 2 ca đpcm. b) a b c 33 abc; a2 b2 c2 33 a2b2c2 đpcm. c) (1 a)(1 b)(1 c) 1 a b c ab bc ca abc a b c 33 abc ab bc ca 33 a2b2c2 3 (1 a)(1 b)(1 c) 1 33 abc 33 a2b2c2 abc 1 3 abc bc ca abc2 ca ab a2bc ab bc ab2c d) 2 2c , 2 2a , 2 2b đpcm a b ab b c bc c a ac Bài 3: Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh: a) ab bc ca a2 +b2 c2 <2(ab bc ca) b) abc (a b c)(b c a)(a c b) c) 2a2b2 2b2c2 2c2a2 a4 b4 c4 0 d) a(b c)2 b(c a)2 c(a b)2 a3 b3 c3 HD: a) Sử dụng BĐT tam giác, ta có: a b c a2 b2 2bc c2 . Cùng với 2 BĐT tương tự, cộng vế theo vế, ta suy ra đpcm. b) Ta có: a2 a2 (b c)2 a2 (a b c)(a b c) . Cùng với 2 BĐT tương tự, cộng vế theo vế, ta suy ra đpcm. c) (a b c)(a b c)(b c a)(c a b) 0 . d) (a b c)(b c a)(c a b) 0 . Bài 3: Áp dụng BĐT Cô–si để tìm GTNN của các biểu thức sau: x 18 x 2 a) y ; x 0 . b) y ; x 1 . 2 x 2 x 1 3 HD: a) Miny = 6 khi x = 6 b) Miny = khi x = 3 2 Bài 4: Áp dụng BĐT Cô–si để tìm GTLN của các biểu thức sau: a) y (x 3)(5 x); 3 x 5 b) y x(6 x); 0 x 6 HD: a) Maxy = 16 khi x = 1 b) Maxy = 9 khi x = 3 121 1 625 5 c) Maxy = khi x = d) Maxy = khi x = 8 4 8 4 2
C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM. Câu 1. Cho bất đẳng thức a b a b . Dấu đẳng thức xảy ra khi nào? A aB. .C.b .D ab 0 ab 0 ab 0 Câu 2. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức x2 3 x với x ¡ là: 9 3 3 A B C. .0 D 4 2 2 Câu 3. Cho biểu thức f x 1 x2 . Kết luận nào sau đây đúng? A.Hàm số f x chỉ có giá trị lớn nhất, không có giá trị nhỏ nhất. B.Hàm số f x chỉ có giá trị nhỏ nhất, không có giá trị lớn nhất. C. Hàm số f x có giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất. D. Hàm số f x không có giá trị nhỏ nhất và không có giá trị lớn nhất. 1 Câu 4. Cho hàm số f x . Mệnh đề nào sau đây là đúng? x2 1 A. f x có giá trị nhỏ nhất là 0 , giá trị lớn nhất bằng 1 . B. f x không có giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất bằng 1 . C. f x có giá trị nhỏ nhất là 1 , giá trị lớn nhất bằng 2 . D. f x không có giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất. Câu 5. Cho biết hai số a và b có tổng bằng 3 . Khi đó, tích hai số a và b 9 9 A. có giá trị nhỏ nhất là . B. có giá trị lớn nhất là . 4 4 3 C. có giá trị lớn nhất là .D. không có giá trị lớn nhất. 2 Câu 6. Cho ba số a ; b ; c thoả mãn đồng thời: a b c 0 ; b c a 0 ; c a b 0 . Để ba số a ; b ; c là ba cạnh của một tam giác thì cần thêm đều kiện gì ? A. Cần có cả a,b,c 0 . B. Cần có cả a,b,c 0 . C. Chỉ cần một trong ba số a,b,c dươngD. Không cần thêm điều kiện gì. Câu 7. Trong các hình chữ nhật có cùng chi vi thì A. Hình vuông có diện tích nhỏ nhất. B. Hình vuông có diện tích lớn nhất. C. Không xác định được hình có diện tích lớn nhất. D. Cả A, B, C đều sai. Câu 8. Tìm mệnh đề đúng? 1 1 A a b ac bc B. a b . a b C. a b và c d ac bd .D a b ac bc, c 0 Câu 9. Suy luận nào sau đây đúng? a b a b a b A ac bd B c d c d c d a b a b 0 C D a c b d ac bd c d c d 0 Câu 10. Trong các tính chất sau, tính chất nào sai? a b 0 a b a b A. . B a c b d c d 0 c d d c 0 a b a b C D ac bd a c b d 0 c d c d Câu 11. Tìm mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau? 3
1 1 a b A aB. .C.b . D. Cả A, B, C đềua sai.b ac bc ac bd a b c d Câu 12. Mệnh đề nào sau đây sai? a b a b A a c b d B ac bd c d c d a b C D. a c b . d ac bc a b c 0 c d Câu 13. Cho biểu thức P a a với a 0 . Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng? 1 1 A.Giá trị nhỏ nhất của P là . B.Giá trị lớn nhất của P là . 4 4 1 1 C.Giá trị lớn nhất của P là .D. P đạt giá trị lớn nhất tại . a 2 4 2 Câu 14. Giá trị lớn nhất của hàm số f x bằng x2 5x 9 11 4 11 8 A B C D 4 11 8 11 Câu 15. Chof x x x2 . Kết luận nào sau đây là đúng? 1 1 A. f x có giá trị nhỏ nhất bằng. B. f cóx giá trị lớn nhất bằng . 4 2 1 1 C. f x có giá trị nhỏ nhất bằng .D. có giá ftrị x lớn nhất bằng . 4 4 Câu 16. Bất đẳng thức m n 2 4mn tương đương với bất đẳng thức nào sau đây? A n m 1 2 m n 1 2B. .0 m2 n2 2mn C D.m. n 2 m n 0 m n 2 2mn Câu 17. Với mọi a,b 0 , ta có bất đẳng thức nào sau đây luôn đúng? A a b 0 B C D.a.2 ab b2 0 a2 ab b2 0 a b 0 Câu 18. Với hai số x , y dương thoả xy 36 , bất đẳng thức nào sau đây đúng? 2 2 2 x y A xB. . y C.2 . xy 12D x y 2xy 72 4xy x y xy 36 2 Câu 19. Cho hai số x , y dương thoả x y 12 , bất đẳng thức nào sau đây đúng? 2 x y 2 2 A B.x.y C. 6. D xy 36 2xy x y xy 6 2 Câu 20. Cho x , y là hai số thực bất kỳ thỏavà xy 2 . Giá trị nhỏ nhất của A x2 y2 . A 2B C 1D 0 4 Câu 21. Với a,b,c,d 0 . Trong các mệnh đề sau đây mệnh đề sai? a a a c a a a c A. . 1 B. . 1 b b b c b b b c a c a a c c C. . D. Có ít nhất hai trong ba mệnh đề trên là sai. b d b b d d 2 a2 b2 a b Câu 22. Hai số a,b thoả bất đẳng thức thì 2 2 A. .a b B. . a b C. . a D.b . a b 4
§2-3: BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬC NHẤT – BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT 1.Định nghĩa: Bất phương trình bậc nhất là bất phương trình có dạng: + ≤ 0, + ≥ 0 ax + b> 0, ax + b 0 S = ; a b a 0, ∀ ― 푃( ) 푃( ). ( ) 푛ế ( ) 0 (1) (trong đó P(x), Q(x) là những nhị thức bậc nhất.) Cách giải: Lập bảng xét dấu của P(x).Q(x). Từ đó suy ra tập nghiệm của (1). 6.2. Bất phương trình chứa ẩn ở mẫu P(x) Dạng: 0 (2) (trong đó P(x), Q(x) là những nhị thức bậc nhất.) Q(x) P(x) Cách giải: Lập bảng xét dấu của . Từ đó suy ra tập nghiệm của (2). Q(x) Chú ý: Không nên qui đồng và khử mẫu. 6.3. Bất phương trình chứa ẩn trong dấu GTTĐ Tương tự như giải phương trình chứa ẩn trong dấu GTTĐ, ta thường sử dụng định nghĩa hoặc tính chất của GTTĐ để khử dấu GTTĐ. g(x) 0 Dạng 1: f (x) g(x) g(x) f (x) g(x) g(x) 0 f (x) coù nghóa Dạng 2: f (x) g(x) g(x) 0 f (x) g(x) f (x) g(x) A B Chú ý: Với B > 0 ta có:A B B A B ;A B . A B 5
B. BÀI TẬP TỰ LUẬN: Bài 1. Giải các bất phương trình sau: 3(x 1) x 1 2x 1 3 5(x 1) 2(x 1) a)2 3 b) 3 x c) 1 8 4 5 4 6 3 Bài 2. Giải và biện luận các bất phương trình sau: a) mx 1 m2 x b) mx 6 2x 3m m(x 2) x m x 1 c) (m 1)x m 3m 4 d) 6 3 2 Bài 3. Tìm m để các bất phương trình sau vô nghiệm: a) 3 mx 2(x m) (m 1)2 b) m2x 1 m (3m 2)x c) mx m2 mx 4 Bài 4. Giải các hệ bất phương trình sau: 4x 5 4 1 x 3 12x x 3x 1 2x 7 a) b) 7 c) 3 2 4x 3 2x 19 3x 8 4x 3 2 x 2x 5 4 2 3 x 4 11 x 1 x 2x 5 15x 2 2x d) 2 3 e) 2 f) 3 2x 9 19 x x 8 3x 14 2 3x 1 2 x 4 3 2 2 2 Bài 5. Giải các bất phương trình sau: a) (x 1)(x 1)(3x 6) 0 b) (2x 7)(4 5x) 0 c) x2 x 20 2(x 11) d) 3x(2x 7)(9 3x) 0 e) x3 8x2 17x 10 0 f) x3 6x2 11x 6 0 Bài 6. Giải các bất phương trình sau: 2x 5 3x 2 x 3 x 5 x 3 1 2x a) b) c) 3x 2 2x 5 x 1 x 2 x 5 x 3 3x 4 2x 5 2 5 d) 1 e) 1 f) x 2 2 x x 1 2x 1 Bài 7. Giải các bất phương trình sau: a) 3x 2 7 b) 5x 12 3 c) 2x 8 7 x 1 x d) 3x 15 3 e) x 1 f) x 2 2 2 g) 2x 5 x 1 h) 2x 1 x i) x 2 x 1 C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM: Câu 1. Cho nhị thức bậc nhất f x 23x 20 . Khẳng định nào sau đây đúng? 20 A. vớif x 0 . x ¡ B. với f x 0 . x ; 23 5 20 C. vớif x 0 .D.x với f x 0 x ; 2 23 Câu 2. Với x thuộc tập hợp nào dưới đây thì đa thức f x x x 6 5 2x 10 x x 8 luôn dương? A  B. R. C D ;5 5; 1 1 Câu 3. Các giá trị của x thoả mãn điều kiện đa thức f x x 1 x2 1 x 2 x 1 A. x 2 và x 1 .B x 1 C. . x D. 1. x 2 2 Câu 4. Với x thuộc tập hợp nào dưới đây thì nhị thức bậc nhất f x 1 âm? 1 x 6
A. ; 1 . B ; 1  1; C D.1; . 1;1 Câu 5. Với x thuộc tập hợp nào dưới đây thì nhị thức bậc nhất f x x 1 x 3 không âm A B. 3.C.,1 .D  3,1 , 31, , 3 1, 4x 1 Câu 6. Với x thuộc tập hợp nào dưới đây thì nhị thức bậc nhất f x 3 không dương 3x 1 4 1 4 1 4 4 A. , B. , C D. . , , 5 3 5 3 5 5 4 Câu 7. Với x thuộc tập hợp nào dưới đây thì nhị thức bậc nhất f x 2 không dương x 3 A B. .C., .D.3 . 1, 3, 1  1, , 1 Câu 8. Với x thuộc tập hợp nào dưới đây thì nhị thức bậc nhất f x 2x 5 3 không dương 5 A 1B. .C.x .D.4 . x x 0 x 1 2 x 1 Câu 9. Với x thuộc tập hợp nào dưới đây thì nhị thức f x không dương? x2 4x 3 A. S ;1 . B. S 3; 1 1; . C. S ; 3  1;1 . D. S 3;1 . 2 x Câu 10. Với x thuộc tập hợp nào dưới đây thì nhị thức bậc nhất f x không âm? 2x 1 1 1 A. S ;2 . B. S ;  2; . 2 2 1 1 C. S ; 2; . D. S ;2 . 2 2 Câu 11. Với x thuộc tập hợp nào dưới đây thì nhị thức f x x x2 1 không âm? A. ; 1 1; . B.  1;01; . C. .D ; 10;1  1;1 Câu 12. Với x thuộc tập hợp nào dưới đây thì nhị thức bậc nhất f x 2x 3 1 không dương? A.1 x 3 . B. 1 x 1 . C. 1 x 2 . D. 1 x 2 . x 1 Câu 13. Với x thuộc tập hợp nào dưới đây thì f x 5x 4 2x 7 luôn âm 5 A.  . B. R. C. ; 1 . D. 1; . Câu 14. Với x thuộc tập hợp nào dưới đây thì f x x2 2x 3 luôn dương A.  . B. R.C D ; 1  3; 1;3 Câu 15. Với x thuộc tập hợp nào dưới đây thì đa thức f x x2 9 6x luôn dương A ¡ \3 B. R. C D 3; ;3 Câu 16. Tìm tham số thực m để tồn tại x thỏa f x m2 x 3 mx 4 âm A. m 1 . B. m 0 . C. m 1hoặc m 0 . D. m ¡ . 3 3 Câu 17. Với x thuộc tập hợp nào dưới đây thì đa thức f x 2x 3 âm 2x 4 2x 4 3 3 A 2 x 3 B. vàx .C.x . D.2 Tất cả đềux đúng. 2 2 Câu 18. Vớix thuộc tập hợp nào dưới đây thì đa thức f x 2 x 1 x 3 x 1 2x 5 luôn dương 7
A xB. .C.¡ .D. Vô nghiệm. x 3,24 x 2,12 Câu 19. Với x thuộc tập hợp nào dưới đây thì nhị thức bậc nhất f x 5 x 1 x 7 x x2 2x luôn dương A. Vô nghiệm.B. x ¡ . C x 2,5 D x 2,6 Câu 20. Với x thuộc tập hợp nào dưới đây thì đa thức f x x2 6x 8 không dương. A. 2;3 . B. ;24; . C. 2;4 . D. 1;4 . Câu 21. Số các giá trị nguyên âm của xđể đa thức f x x 3 x 2 x 4không âm là A 0B C D 1 2 3 5x 13 x 9 2x Câu 22. Với x thuộc tập hợp nào dưới đây thì đa thức f x luôn âm 5 21 15 25 35 257 5 A x 0 B.x C D x x 5 295 2 x 2 Câu 23. Với x thuộc tập hợp nào dưới đây thì nhị thức bậc nhất f x không dương x 5 A  2,5 B. 2,5 C D 2,5  2,5 1 1 Câu 24. Với x thuộc tập hợp nào dưới đây thì nhị thức bậc nhất f x luôn âm x 1 x 1 A. R.B C D. Một đáp số khác. 1,1 2x Câu 25. Các số tự nhiên bé hơn 4 để đa thức f x 23 2x 16 luôn âm 5 35 A B. 4. ; 3; 2; 1;0;1;2;3 x 4 8 C D.0;1;2;3 0;1;2; 3 Câu 26. Với x thuộc tập hợp nào dưới đây thì f x x 5x 2 x x2 6 không dương A. ;14; . B. 1;4 . C. 1;4 . D. 0;14; Câu 27. Với giá trị nào của m thì không tồn tại giá trị của x để f x mx m 2x luôn âm A mB. .C.0. D m 2 m 2 m ¡ Câu 28. Với x thuộc tập hợp nào dưới đây thì f x x2 – 4x 3 luôn âm A. ;1 3; . B. ;1  4; . C. 1;3 . D.1;3 . Câu 29. Với x thuộc tập hợp nào dưới đây thì f x 2x2 7x –15 không âm 3 3 A. ; 5; . B. ; 5 ; . 2 2 3 3 C. 5; . D. ;5 . 2 2 Câu 30. Với x thuộc tập hợp nào dưới đây thì nhị thức bậc nhất f x x2 6x 7 không âm A. ; 17; B.  1;7 C. ; 71; D.  7;1 . x 5 Câu 31. Tìm số nguyên nhỏ nhất của x để f x luôn dương x 7 x 2 A. x –3. B. x 4. C. x –5. D. x –6. 1 2x Câu 32. Các số tự nhiên bé hơn 6 để đa thức f x 5x 12 luôn dương 3 3 A B.2;.3C.;4.D.;5. 3;4;5 0;1;2;3;4;5 3;4;5;6 8
3x 5 x 2 Câu 33. Vớix thuộc tập hợp nào dưới đây thì nhị thức bậc nhất f x 1 x luôn âm 2 3 A. Vô nghiệm.B. Mọi đều là nghiệm. x C xD. 4,11 x 5. x 1 x 2 Câu 34. Với x thuộc tập hợp nào dưới đây thì f x không âm? x 2 x 1 1 1 1 A. 2; . B. 2. ;C. .D. . 2;  1; ; 2  ;1 2 2 2 9
§4: BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN 1. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn và miền nghiệm của nó. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y là bất phương trình có một trong các dạng: ax by c 0,ax by c 0,ax by c 0,ax by c 0 trong đó a, b, c là những số thực đã cho, a và b không đồng thời bằng 0; x và y là các ẩn số. - Mỗi cặp số (x0; y0) sao cho ax0 + by0 < c gọi là một nghiệm của bất phương trình ax by c 0 , - Nghiệm của các bất phương trình dạng ax by c,ax by c,ax by c cũng được định nghĩa tương tự. Trong mặt phẳng tọa độ thì mỗi nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn được biểu diễn bởi một điểm và tập nghiệm của nó được biểu diễn bởi một tập hợp điểm. Ta gọi tập hợp điểm ấy là miền nghiệm của bất phương trình. 2. Cách xác định miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn. * Định lí : Trong mặt phẳng tọa độ đường thẳng d : ax by c 0 chia mặt phẳng thành hai nửa mặt phẳng. Một trong hai nửa mặt phẳng ấy (không kể bờ (d)) gồm các điểm có tọa độ thỏa mãn bất phương trình ax by c 0 , nửa mặt phẳng còn lại (không kể bờ (d)) gồm các điểm có tọa độ thỏa mãn bất phương trình ax by c 0 . * Vậy để xác định miền nghiệm của bất phương trình ax by c 0 , ta có quy tắc thực hành biểu diễn hình học tập nghiệm (hay biểu diễn miền nghiệm) như sau: Bước 1. Vẽ đường thẳng (d): ax by c 0 Bước 2. Xét một điểm M x0 ; y0 không nằm trên (d). Nếu ax0 by0 c 0 thì nửa mặt phẳng (không kể bờ (d)) chứa điểm M là miền nghiệm của bất phương trình ax by c 0 . Nếu ax0 by0 c 0 thì nửa mặt phẳng (không kể bờ (d)) không chứa điểm M là miền nghiệm của bất phương trình ax by c 0 . Chú ý: Đối với các bất phương trình dạng ax by c 0 hoặc ax by c 0 thì miền nghiệm là nửa mặt phẳng kể cả bờ. HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN  Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn Tương tự hệ bất phương trình một ẩn, ta có hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Trong mặt phẳng tọa độ, ta gọi tập hợp các điểm có tọa độ thỏa mãn mọi bất phương trình trong hệ là miền nghiệm của hệ. Vậy miền nghiệm của hệ là giao các miền nghiệm của các bất phương trình trong hệ. Để xác định miền nghiệm của hệ, ta dùng phương pháp biểu diễn hình học như sau: Với mỗi bất phương trình trong hệ, ta xác định miền nghiệm của nó và gạch bỏ (tô màu) miền còn lại. Sau khi làm như trên lần lượt đối với tất cả các bất phương trình trong hệ trên cùng một mặt phẳng tọa độ, miền còn lại không bị gạch (tô màu) chính là miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho. B. BÀI TẬP TỰ LUẬN Bài 1. Biểu diễn hình học tập nghiệm của bất pt: a) 3x y 2 0 b) x 3 2(2y 5) 2(1 x) 10
2x 3y 6 0 Bài 2. Biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất pt: x 0 2x 3y 1 0 C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1: Câu nào sau đây sai?. Miền nghiệm của bất phương trình x 2 2 y 2 2 1 x là nửa mặt phẳng chứa điểm A. . 0;0 B. . 1;1 C. . 4;D.2 . 1; 1 Câu 2: Câu nào sau đây đúng?. Miền nghiệm của bất phương trình 3 x 1 4 y 2 5x 3 là nửa mặt phẳng chứa điểm A. . 0;0 B. . 4;2 C. . D. .2;2 5;3 Câu 3: Câu nào sau đây sai?. Miền nghiệm của bất phương trình x 3 2 2y 5 2 1 x là nửa mặt phẳng chứa điểm A. . 3; 4 B. . 2C.; 5. D. . 1; 6 0;0 Câu 4: Câu nào sau đây đúng?. Miền nghiệm của bất phương trình 4 x 1 5 y 3 2x 9 là nửa mặt phẳng chứa điểm A. . 0;0 B. . 1;1 C. . D.1;1 . 2;5 Câu 5: Câu nào sau đây đúng?. x y 1 0 2 3 3y Miền nghiệm của hệ bất phương trình 2(x 1) 4 là phần mặt phẳng chứa điểm 2 x 0 A. . 2;1 B. . 0;0 C. . 1;1D. . 3;4 2x 3y 1 0 Câu 6: Điểm nào sau đây không thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình ? 5x y 4 0 A. . 1;4 B. . 2;4C. . D. 0 ;.0 3;4 2x 5y 1 0 Câu 7: Điểm nào sau đây thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình 2x y 5 0 ? x y 1 0 A. . 0;0 B. . 1;0 C. . D.0; .2 0;2 x y 0 Câu 8: Miền nghiệm của hệ bất phương trình x 3y 3 0 là phần mặt phẳng chứa điểm x y 5 0 A. . 5;3 B. . 0;0 C. . 1D.; 1. 2;2 3x y 9 x y 3 Câu 9: Miền nghiệm của hệ bất phương trình là phần mặt phẳng chứa điểm 2y 8 x y 6 A. . 0;0 B. . 1;2 C. . 2;D.1 . 8;4 Câu 10: Miền nghiệm của bất phương trình3x 2 y 3 4 x 1 y 3 là phần mặt phẳng chứa điểm nào? 11
A. . 3;0 B. . 3;1 C. . 1;1 D. . 0;0 . Câu 11: Miền nghiệm của bất phương trình 5 x 2 9 2x 2y 7 là phần mặt phẳng không chứa điểm nào? A. . 2;1 B. . 2;3 C. . D. 2; . 1 0;0 Câu 12: Trong các cặp số sau đây, cặp nào không là nghiệm của bất phương trình 2x y 1 ? A. . 2;1 B. . 3; 7 C. . D.0; 1. 0;0 Câu 13: Trong các cặp số sau đây, cặp nào không là nghiệm của bất phương trình x 4y 5 0 ? A. . 5;0 B. . 2;1 C. . D. 1 ;. 3 0;0 Câu 14: Miền nghiệm của bất phương trình 2x y 1 không chứa điểm nào sau đây? A.A 1 ; 1 . B BC. .2D.; 2 C 3 ; 3 D 1 ; 1 Câu 15: Miền nghiệm của bất phương trình 1 3 x 1 3 y 2 chứa điểm nào sau đây? A. .A 1 ; 1 B. . C.B . 1 ; 1 D. . C 1 ; 1 D 3 ; 3 Câu 16: Miền nghiệm của bất phương trình x 2 2 y 1 2x 4 chứa điểm nào sau đây? A. A 1 ; 1 . B. B 1 ; 5 . C. C 4 ; 3 . D. D 0 ; 4 . Câu 17: Miền nghiệm của bất phương trình 2x 2y 2 2 0 chứa điểm nào sau đây? A. A 1 ; 1 . B. .B 1 ; 0 C. . D.C 2 ; 2 D 2 ; 2 . x y 2 0 Câu 18: Trong các cặp số sau, cặp nào không là nghiệm của hệ bất phương trình là 2x 3y 2 0 A. . 0;0 B. . 1;1 C. . D.1;1 . 1; 1 Câu 19: Cho bất phương trình2x 4y 5 có tập nghiệm là S . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng ? A. . 1;1 S B. . 1C.;1 0. S D. . 1; 1 S 1;5 S Câu 20: Cho bất phương trình x 2y 5 0 có tập nghiệm là S . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? A. . 2;2 S B. . 1C.;3 . S D. 2;2 S 2;4 S x y 0 Câu 21: Cho hệ bất phương trình có tập nghiệm là S . Khẳng định nào sau đây là khẳng định 2x 5y 0 đúng? 1 1 2 A. . 1;1 S B. . C. 1.; 1 SD. . 1; S ; S 2 2 5 x 0 Câu 22: Cho hệ bất phương trình có tập nghiệm là S . Khẳng định nào sau đây là khẳng x 3y 1 0 định đúng? A. . 1; 1 B.S . C. 1 ;. 3 S D. . 1; 5  S 4; 3 S x 0 Câu 23: Cho hệ bất phương trình có tập nghiệm là S . Khẳng định nào sau đây là khẳng x 3y 1 0 định đúng? 12
A. . 1;2 SB. . C. . 2;0 D.S . 1; 3 S 3;0 S x y 3 Câu 24: Cho hệ bất phương trình 1 có tập nghiệm S . Khẳng định nào sau đây là khẳng định 1 x y 0 2 đúng ? A. . 1; 2 S B. . C.2; 1. S D. . 5; 6 S S  13
§5: DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT ĐỊNH LÝ VỀ DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI 1.Tam thức bậc hai: (đối với x ) là biểu thức dạng ax 2 + bx + c . Trong đó a,b,c là số cho trước với ≠ 0. Nghiệm của phương trình ax 2 + bx + c = 0 được gọi là nghiệm của tam thức bậc hai f (x ) = ax 2 + bx + c . 2. Dấu của tam thức bậc hai: f(x) = ax2 bx c (a 0) 0 a.f(x) > 0, x (–∞; x1)  (x2; +∞) (lập bảng xét dấu) a.f(x) 0 x -∞ x1 x2 +∞ f(x) Cùng dấu với a 0 trái dấu với a 0 cùng dấu với a BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Bất phương trình bậc hai một ẩn ax2 bx c 0 (hoặc 0; 0 ta có:A B B A B ;A B . A B A B A B AB 0 ; A B A B AB 0 2. Phương trình – Bất phương trình chứa ẩn trong dấu căn Để giải phương trình, bất phương trình chứa ẩn trong dấu căn ta thường dùng phép nâng luỹ thừa hoặc đặt ẩn phụ để khử dấu căn. 14
g(x) 0 Dạng 1: f (x) g(x) 2 f (x) g(x) f (x) 0 (hoaëc g(x) 0) Dạng 2: f (x) g(x) f (x) g(x) t f (x), t 0 Dạng 3: a. f (x) b. f (x) c 0 2 at bt c 0 u f (x) Dạng 4:f (x) g(x) h(x) . Đặt ; u,v 0 đưa về hệ u, v. v g(x) f (x) 0 Dạng 5: f (x) g(x) g(x) 0 2 f (x) g(x) g(x) 0 f (x) 0 Dạng 6: f (x) g(x) g(x) 0 2 f (x) g(x) B. BÀI TẬP TỰ LUẬN: Bài 1. Xét dấu các biểu thức sau: a)2x2 7x 5 b) x2 4x 5 c) 4x2 12x 9 d) 3x2 2x 8 e) x2 2x 1 f) 2x2 7x 5 (3x2 x)(3 x2 ) g) (3x2 10x 3)(4x 5) h) (3x2 4x)(2x2 x 1) i) 4x2 x 3 Bài 2. Giải các bất phương trình sau: a) x2 x 6 0 b) 5x2 4x 12 0 c) 16x2 40x 25 0 3x2 x 4 d) 2x2 3x 7 0 e) 3x2 4x 4 0 f) 0 x2 3x 5 Bài 3. Giải và biện luận các bất phương trình sau: a) mx2 2x 4 0 b) (1 m)x2 2mx 2m 0 c) Bài 4. Giải các hệ bất phương trình sau: x2 x 5 0 2x2 x 6 0 2x2 5x 4 0 a) b) c) 2 2 2 x 6x 1 0 3x 10x 3 0 x 3x 10 0 x2 4x 3 0 x2 4x 7 0 x2 2x 7 d) 2x2 x 10 0 e) f) 4 1 2 2 2 x 2x 1 0 x 1 2x 5x 3 0 Bài 5. Tìm m để các phương trình sau: i) có nghiệm ii) vô nghiệm a)(1 m)x2 2mx 2m 0 b) (m 2)x2 2(2m 3)x 5m 6 0 c) (3 m)x2 2(m 3)x m 2 0 d) (m 2)x2 4mx 2m 6 0 e) ( m2 2m 3)x2 2(2 3m)x 3 0 Bài 6. Tìm m để các bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x: a) 3x2 2(m 1)x m 4 0 b) x2 (m 1)x 2m 7 0 c) 2x2 (m 2)x m 4 0 d) mx2 (m 1)x m 1 0 e) (m 1)x2 2(m 1)x 3(m 2) 0 f) 3(m 6)x2 3(m 3)x 2m 3 3 15
Bài 7. Tìm m để các bất phương trình sau vô nghiệm: a) (m 2)x2 2(m 1)x 4 0 b) (m 3)x2 (m 2)x 4 0 c) (m2 2m 3)x2 2(m 1)x 1 0 d) mx2 2(m 1)x 4 0 e) (3 m)x2 2(2m 5)x 2m 5 0 f) mx2 4(m 1)x m 5 0 Bài 8. Giải các phương trình sau: a) x2 5x 4 x2 6x 5 b) x2 1 x2 2x 8 c) 2 3x2 6 x2 0 x2 1 x 1 d) 2 x x 3 3 e) x2 1 1 x f) 2 x (x 2) Bài 9. Giải các bất phương trình sau: a) 2x2 5x 3 0 b) x 8 x2 3x 4 c) x2 1 2x 0 d) x2 4x 3 x2 4x 5 e) x 3 x 1 2 f) x2 3x 2 x2 2x x2 4x 2x 5 x 2 g) 1 h) 1 0 i) 3 x2 x 2 x 3 x2 5x 6 Bài 10. Giải các phương trình sau: a) 2x 3 x 3 b) 5x 10 8 x c) x 2x 5 4 d) x2 2x 4 2 x e) 3x2 9x 1 x 2 f) 3x2 9x 1 x 2 21 x 21 x 21 g) 3x 7 x 1 2 h) x2 9 x2 7 2 i) 21 x 21 x x Bài 11. Giải các phương trình sau: (đặt ẩn phụ) a) (x 4)(x 1) 3 x2 5x 2 6 b) (x 3)2 3x 22 x2 3x 7 c) (x 1)(x 2) x2 3x 4 Bài 12. Giải các bất phương trình sau: a) x2 x 12 8 x b) x2 x 12 7 x c) x2 4x 21 x 3 d) x2 3x 10 x 2 e) 3x2 13x 4 x 2 f) 2x 6x2 1 x 1 g) x 3 7 x 2x 8 h) 2 x 7 x 3 2x i) 2x 3 x 2 1 Bài 13. Giải các bất phương trình sau: a) (x 3)(8 x) 26 x2 11x b) (x 5)(x 2) 3 x(x 3) 0 c) (x 1)(x 4) 5 x2 5x 28 d) 3x2 5x 7 3x2 5x 2 1 Bài 14. Giải các bất phương trình sau: x2 4x 2x2 15x 17 a) 2 b) 0 3 x x 3 x2 x 6 x2 x 6 c) (x 3) x2 4 x2 9 d) 2x 5 x 4 C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM. 2 Câu 1: Tập nghiệm của bất phương trình + 3 có nghiệm là 5 20 5 A. x > B. x 23 2 16
Câu 3: Bất phương trình 2x 1 > x có tập nghiệm là 1 1 A. ;  1; B.  C. R D. ;1 3 3 Câu 4: Tập nghiệm của bất phương trình x(x – 6) + 5 – 2x > 10 + x(x – 8) là A.  B. (– ; 5) C. (5;+ ) D. R 1 Câu 5: Tập nghiệm của bất phương trình 1 là : x 1 A. 1; B. 1;2 C. ;1  2; D. ;1 Câu 6: Bất phương trình 2x 1 x có nghiệm là 1 1 A. ;  1; B.  C. R D. ;1 3 3 x 1 Câu 7: Tập nghiệm của bất phương trình 1 là x 3 A. 3; B. R C.  D. ;5 Câu 8: Tập nghiệm của bất phương trình x 2006 > 2006 x là A.  B. [2006; + ) C. (– ; 2006) D. {2006} 3 Câu 9: Tập nghiệm của bất phương trình 1 là 2 x A. ; 1  2 B. ;2 C. 1;2 D. 1; Câu 10: Cho bất phương trình x2 –6 x + 8 ≤ 0 (1). Tập nghiệm của (1) là A. [2; 8] B. [2; 3] C. (– ∞ ; 2] [4 ; + ∞) D. [1; 4] x 1 Câu 11: Tập nghiệm của bất phương trình 5x 4 2x 7 là 5 A. ; 1 B. 1; C.  D. R x 1 Câu 12: Nghiệm của bất phương trình 0 là x2 4x 3 A. (– ;–3)  (–1;1) B. (–3;–1)  [1;+ ) C. (– ;1) D. (–3;1) Câu 13: Tìm tập nghiệm của bất phương trình x2 4x 6 B. m - 6 D. m 0, x ¡ . 3 3 3 3 A. 1 C. m > D. < m < 4 2 4 2 Câu 20: Giá trị nào của m thì phương trình x2 – mx +1 –3m = 0 có 2 nghiệm trái dấu? 17
1 1 A. m > B. m > 2 C. m –11 B. m ≥ –11 C. m 1 C. m =1 D. m 1 (x 3)(4 x) 0 Câu 29: Hệ bất phương trình có nghiệm khi: x m 1 A. m > –2 B. m 5 D. m = – 2 2x 1 x 1 3 Câu 30: Cho hệ bất phương trình (1). Tập nghiệm của (1) là 4 3x 2 4 4 4 4 A. (–2; ) B. [–2; ] C. (–2; ] D. [–2; ) 5 5 5 5 18
2x 1 3x 2 Câu 31: Tập nghiệm của hệ bất phương trình là : x 3 0 A. 3;3 B. ; 3  3; C. 3: D. ;3 5 6x 4x 7 7 Câu 32: Cho hệ bất phương trình (1). Số nghiệm nguyên của (1) là 8x 3 2x 25 2 A. 8 B. 0 C. Vô số D. 4 x2 4x 3 0 Câu 33: Tập nghiệm của hệ bất phương trình là 2 x 6x 8 0 A. (– ;1)  (4;+ ) B. (– ;1)  (3;+ ) C. (1;4) D. (– ;2)  (3;+ ) 2 x 0 Câu 34: Tập nghiệm của hệ bất phương trình là 2x 1 x 2 A. (–3;2) B. (2;+ ) C. (–3;+ ) D. (– ;–3) Câu 35: Phương trình x 4 1 x2 x2 16 có bao nhiêu nghiệm: A. 0 B. 1 C. 3 D. 2 Câu 36: Cho phương trình x3 4x 0 (1). Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình hệ quả của phương trình (1): A. x2 4 x2 5x 0. B. x2 4x 4 0. C. x 2 x2 4x 0. D. x2 4x 0. Câu 37: Trong các phép biến đổi sau, phép biến đổi nào là tương đương: 2x 3 x2 A. 2x 3 x2 . 2 2x 3 x 3x 3x B. x2 2x x2 2x 0. x 2 x 2 2 C. 2x 1 3x 2 2x 1 3x 2 . 2 x 4 2 x D. x 4 2 x . 2 x 0 Câu 38: Trong các cách viết dưới đây, cách nào là sai: x 0 x 0 A. x3 4x 0 . B. x3 4x 0 x 2 . 2 x 4 0 x 2 C. x3 4x 0 x 0; x 2; x 2. D. x3 4x 0 x 0 hoặc x2 4 0. Câu 39: Phương trình x2 2x x 1 có bao nhiêu nghiệm: A. 2 B. 1 C. 3 D. 4 Câu 40: Phương trình m 1 x2 2 m 1 x m 2 0 , có hai nghiệm phân biệt khi: m 3 m 2 A. . B. m 3. C. m 2. D. . m 1 m 1 19
Câu 41: Phương trình x3 2x 4 2 x có bao nhiêu nghiệm: A. 1 B. 2 C. 3 D. 0 Câu 42: Phép biến đổi tương đương là: A. Phép biến đổi không làm thay đổi điều kiện xác định của phương trình. B. Phép rút gọn, qui đồng, bình phương. C. Phép biến đổi không làm thay đổi tập hợp nghiệm của phương trình. D. Các phép biến đổi trừ phép qui đồng, bình phương, rút gọn. Câu 43: Với giá trị nào của m thì ptr mx2 x 1 0 có nghiệm: 1 1 A. m ; . B. m ; \ 0. 4 4 1 1 C. m ; . D. m ;0 . 4 4 Câu 44: Phương trình x2 6x 9 2x 5 có bao nhiêu nghiệm: A. 2 B. 1 C. 3 D. 0 2x2 5 2 Câu 45: Điều kiện xác định của phương trình 0 : 3 3x 6 2 5 x x 2 x 2 A. 3. B. x 5 . C. 2 x 5. D. 2 x 5. x 5 x 2 3 Câu 46: Trong các phép biến đổi sau, phép nào là phép biến đổi nào là đúng: 2 A. 3x 5 2x 1 3x 5 2x 1 . 2 5x 3 3x 2 B. 5x 3 3x 2 . 3x 2 0 3x 1 0 C. 3x 1 2 3x 0 . 2 3x 0 2 2 3 2x x 1 x D. 3 2x x 1 x . 1 x 0 Câu 47: Phương trình m2 x m2 25x 3m 10 0 có nghiệm khi: A. m 5. B. m 5. C. m 5. D. m 5. 20
CHƯƠNG VI GÓC – CUNG LƯỢNG GIÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC §1: GÓC VÀ CUNG LƯỢNG GIÁC A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT. + I. Khái niệm cung và góc lượng giác. A 1. Đường tròn định hướng và cung lượng giác D - 2. Góc lượng giác Kí hiệu góc lượng giác đó là (OC, OD). O M C 3. Đường tròn lượng giác Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, vẽ đường tròn định hướng tâm O bán B(0;1) kính R = 1 . + Đường tròn này cắt hai trục tọa độ tại bốn điểm A(1;0), A'(- 1;0), B(0;1), B '(0;- 1). A'(- 1;0) O A(0;1) Ta lấy A(1;0) làm điểm gốc của đường tròn đó. Đường tròn xác định như trên được gọi là đường tròn lượng giác (gốc A ). II. Số đo của cung và góc lượng giác. B '(0;- 1) 1. Độ và radian a) Đơn vị radian Trên đường tròn tùy ý, cung có độ dài bằng bán kính được gọi là cung có số đo 1 rad. b) Quan hệ giữa độ và radian 1800 10 rad và 1rad 180 c) Độ dài của một cung tròn Cung có số đo a rad của đường tròn bán kính R có độ dài: l = Ra. 2. Số đo của một cung lượng giác. sđ AM a k2 ,k trong đó a là số đo của một cung lượng giác tùy ý có điểm đầu làA , điểm cuối làM . 3. Số đo của một góc lượng giác Số đo của góc lượng giác (OA, OC ) là số đo của cung lượng giác AC tương ứng. B. BÀI TẬP TỰ LUẬN. Bài 1: Đổi số đo của các góc sau ra Radian. o a) 720 c) - 37045'30'' e) 225 o b)6000 d) 270o . f) 720 Bài 2: Đổi số đo của các góc sau ra độ 5p c) - 4 4p a) e) - 18 9p 7 d) 3p 5p b) 2 f) - 5 3 Bài 3: Một đường tròn có bán kính 36m . Tìm độ dài của cung trên đường tròn đó có số đo là 3p 0 1 a) b) 51 c) d) 700 e) 1050 4 3 2p 3p 0 4 f) g) h) 49 i) 3 7 3 C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM. 21
Câu 1: Góc có số đo 108o đổi ra radian là 3 3 A.B.C D. . . . 5 10 2 4 3 Câu 2: Biết một số đo của góc Ox,Oy 2001 . Giá trị tổng quát của góc Ox,Oy là 2 3 A. Ox,Oy k .B. . Ox,Oy k2 2 C. Ox,Oy k .D. . Ox,Oy k2 2 2 2 Câu 3: Góc có số đo đổi sang độ là 5 A 240o B. .C. .D. 135o . 72o 270o Câu 4: Góc có số đo đổi sang độ là 9 A 15o B C. .D. 1 .8o 20o 25o Câu 5: Cho Ox,Oy 22o30' k360o . Với k bằng bao nhiêu thì Ox,Oy 1822o30' ? A.Bk. C.D k 3. k 5. k 5. Câu 6: Góc có số đo đổi sang độ là 24 A 7o B. .C D. 7o .30' 8o 8o30' Câu 7: Góc có số đo 120o đổi sang rađian là góc 3 2 A B C D. . 10 2 4 3 Câu 8: Số đo góc 22o30 đổi sang rađian là: 7 A B C D. . 8 12 6 5 Câu 9: Đổi số đo góc 105o sang rađian bằng 5 7 9 5 A B C. D. . 12 12 12 8 Câu 10: Giá trị k để cung k2 thỏa mãn 10 11 là 2 A.k 4. B.k 6. C.k 7. D. k 5. 10 Câu 11: Một đường tròn có bán kính R cm . Tìm độ dài của cung trên đường tròn. 2 20 2 A. 10cm . B. .5C.cm. D. . cm cm 2 20 Câu 12: Một đường tròn có bán kínhR 10cm . Độ dài cung 40o trên đường tròn gần bằng: A. .7 cm B. .C 9cm D. . 11cm 13cm Câu 13: Góc 18o có số đo bằng rađian là A. . B. . C. . D. . 18 10 360 Câu 14: Góc có số đo bằng độ là: 18 A. .1 8o B. . 36o C. . 10o D. . 12o Câu 15: Một đường tròn có bán kính20cm . Tìm độ dài của cung trên đường tròn đó có số đo (tính gần 15 đúng đến hàng phần trăm). A 4B.,1.9C.c.mD 4,18cm 95,49cm 95,50cm 22 | P a g e
Câu 16: Chọn điểm A 1;0 làm điểm đầu của cung lượng giác trên đường tròn lượng giác. Tìm điểm cuối 25 M của cung lượng giác có số đo . 4 A. M là điểm chính giữa của cung phần tư thứ I . B. M là điểm chính giữa của cung phần tư thứ II . C. M là điểm chính giữa của cung phần tư thứ III . D. M là điểm chính giữa của cung phần tư thứ.IV Câu 17: Cho đường tròn có bán kính 6 cm . Tìm số đo (rad ) của cung có độ dài là 3 cm : A. .0 ,5 B. . 3 C. . 2 D. . 1 Câu 18: Cho a k2 k ¢ . Để a 19;27 thì giá trị của k là 3 A.k 2 , k 3 .B. , k .C3 . k 4 , .D. k 4 , k 5 . k 5 k 6 Câu 19: Một bánh xe có 72 răng. Số đo góc mà bánh xe đã quay được khi di chuyển 10 răng là A.30o. B.40o. C.50o. D. 60o. 63 Câu 20: Nếu góc lượng giác có sđ Ox,Oz thì hai tia Ox và Oz 2 A. Trùng nhau. B. Vuông góc. 3 C. Tạo với nhau một góc bằng . D. Đối nhau. 4 23 | P a g e
§2: GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG. A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT I. Giá trị lượng giác của góc (cung) lượng giác 1. Định nghĩa các giá trị lượng giác T Cho (OA,OM) . Giả sử M(x; y) . tang cos x OH sin B S cotang sin y OK K M sin tan AT k cos 2 cosin cos O H A cot BS k sin Nhận xét:  , 1 cos 1; 1 sin 1 tan xác định khi cot xác k định,k khiZ k ,k Z 2 s in( k2 ) sin tan( k ) tan cos( k2 ) cos cot( k ) cot 2. Dấu của các giá trị lượng giác Phần tư I II III IV Giá trị lượng giác cos + – – + sin + + – – tan + – + – cot + – + – 3. Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt. 2 3 3 0 2 6 4 3 2 3 4 2 00 300 450 600 900 1200 1350 1800 2700 3600 1 sin 0 2 3 1 3 2 0 –1 0 2 2 2 2 2 3 2 1 1 2 cos 1 0 –1 0 1 2 2 2 2 2 3 tan 0 1 3 3 –1 0 0 3 3 3 cot 3 1 0 –1 0 3 3 4. Hệ thức cơ bản: sin a cosa  tan a = . . cot a = cosa sin a  sin2 a + cos2 a = 1 . tan a.cot a = 1 1 1  1+ tan2 a = . . 1+ cot 2 a = cos2 a sin2 a 5. Giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt 24 | P a g e
Góc đối nhau Góc bù nhau Góc phụ nhau cos( ) cos sin( ) sin sin cos 2 sin( ) sin cos( ) cos cos sin 2 tan( ) tan tan( ) tan tan cot 2 cot( ) cot cot( ) cot cot tan 2 Góc hơn kém Góc hơn kém 2 sin( ) sin sin cos 2 cos( ) cos cos sin 2 tan( ) tan tan cot 2 cot( ) cot cot tan 2 B. BÀI TẬP TỰ LUẬN. Bài 1. Tính giá trị còn lại của góc x, biết 1 4 1/ sin x = với 900 < x < 1800 . 2/ sin x = - với 2700 < x < 3600 . 2 5 3 3p 1 p 3/ sin x = - với p < x < . 4/ cosx = với 0 < x < . 5 2 4 2 3 5 5/ cosx = với 0 < x < 900 . 6/ cosx = - với 1800 < x < 2700 . 5 13 2 p 4 7/ cosx = với - < x < 0 . 8/ cosx = với 2700 < x < 3600 . 5 2 5 5 p 1 9/ sin x = với < x < p . 10/ sin x = - với 1800 < x < 2700 . 13 2 3 3p p 11/ tan x = 3 với p < x < . 12/ tan x = - 2 với < x < p . 2 2 1 p 3p 13/ tan x = - với < x < p . 14/ cot x = 3 với p < x < . 2 2 2 3 3p p 15/ tan x = với p < x < . 16/ tan x = - 2 với < x < p . 4 2 2 2 p p 17/ cot x = với 0 < x < . 18/ cot x = - 3 với < x < p . 3 2 2 3p 19/ cot x = - 3 với < x < 2p . 20/ cot 150 = 2 + 3 2 25 | P a g e
Bài 2. Tính giá trị của các biểu thức lượng giác sau 5cot x + 4tan x 2sin x + cosx 1/ Cho tan x = - 2 . Tính: A = , A = . 1 5cot x - 4tan x 2 cosx - 3sin x 3sin x - cosx sin x - 3cosx 2/ Cho cot x = 2 . Tính: B = , B = . 1 sin x + cosx 2 sin x + 3cosx 2sin x + 3cosx 2 3/ Cho cot x = 2 . Tính: C = , C = . 1 3sin x - 2cosx 2 cos2 x - sin x cosx 2sin x + 3cosx 3sin x - 2cosx 4/ Cho tan x = 2 . Tính: D = , D = , 1 4sin x - 5cosx 2 5sin3 x + 4cos3 x Bài 3. Diễn tả giá trị lượng giác của các góc sau bằng giá trị lượng giác của góc x 1/ sin(x - 900) . 2/ cos(1800 + x) . 3/ sin(2700 - x) . 4/ sin(x - 1800) . 5/ cos(x + 5400) . 6/ cot (1800 + x) . 7/ sin(x - 5400) . 8/ tan(3600 - x) . Bài 4. Diễn tả giá trị lượng giác của các góc sau bằng giá trị lượng giác của góc x 1/ cot (x - p) . 2/ sin(p + x) . 3/ tan(2p - x) . 4/ cot (3p - x) . æ ö æ ö ç5p ÷ ç3p ÷ 5/ sin(x - 7p) . 6/ tan(x - 5p) . 7/ sinç + x÷ . 8/ cosç + x÷ . èç 2 ø÷ èç 2 ø÷ Bài 5. Rút gọn (đơn giản) các biểu thức æ ö ç p÷ 1/. A = cosçx - ÷+ sin(x - p) èç 2ø÷ æ ö æ ö æ ö æ ö çp ÷ çp ÷ çp ÷ çp ÷ 2/. B = cosç - x÷+ sinç - x÷- cosç + x÷- sinç + x÷ èç2 ÷ø èç2 ÷ø èç2 ÷ø èç2 ø÷ æ ö æ ö ç7p ÷ ç3p ÷ 3/. C = 2cosx + 3cos(p - x)- sinç - x÷+ tanç - x÷ èç 2 ø÷ èç 2 ø÷ æp ö æ3p ö æp ö 4/. D = 2sinç + x÷+ sin(5p - x) + sinç + x÷+ cosç + x÷ èç2 ø÷ èç 2 ø÷ èç2 ø÷ Bài 6. Rút gọn và tính giá trị của biểu thức (không dùng máy tính) A = cos00 + cos200 + cos400 + + cos1800 . C = cos100 + cos400 + cos700 + + cos1700 F = sin 50 + sin100 + sin150 + + sin 3600 I = tan100.tan 200.tan 300 tan 800 L = cos2 20 + cos2 40 + cos2 60 + + cos2 880 Bài 7. Chứng minh các đẳng thức sau 1/ cos2 x - sin2 x = 1- 2sin2 x . 2/ 2cos2 x - 1 = 1- 2sin2 x . 3/ 3 - 4sin2 x = 4cos2 x - 1 . 4/ sin x cot x + cosx tan x = sin x + cosx . 5/ sin4 x + cos4 x = 1- 2sin2 x cos2 x . 6/ cos4 x - sin4 x = cos2 x - sin2 x . 7/ 4cos2 x - 3 = (1- 2sin x)(1+ 2sin x) . 8/ (1+ cosx)(sin2 x - cosx + cos2 x) = sin2 x . 9/ sin4 x - cos4 x = 1- 2cos2 x = 2sin2 x - 1 . 10/ sin3 x cosx + sin x cos3 x = sin x cosx . 11/ tan2 x - sin2 x = tan2 x sin2 x . 12/ cot 2 x - cos2 x = cot 2 x cos2 x . 1 1- cosx sin x 13/ tan x + cot x = . 14/ = . sin x cosx sin x 1+ cosx æ öæ ö 1 1 ç 1 ÷ç 1 ÷ 2 15/ + = 1 . 16/ ç1- ÷ç1+ ÷+ tan x = 0 . 1+ tan x 1+ cot x èç cosx ø÷èç cosx ø÷ Bài 8. Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x 26 | P a g e
1/. A = cos4 x - sin4 x + 2sin2 x 2/. B = sin4 x + sin2 x cos2 x + cos2 x 3/. C = cos4 x + sin2 x cos2 x + sin2 x 4/. D = cos4 x (2cos2 x - 3)+ sin4 x (2sin2 x - 3) C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM. Câu 1. Đơn giản biểu thức A 1– sin2 x .cot2 x 1– cot2 x , ta có A. .A sin2 x B. . C.A . cos2 xD. . A – sin2 x A – cos2 x Câu 2. Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng ? A. .s in 1800 – a – cos aB. . sin 1800 – a sin a C. sin 1800 – a sin a . D. .sin 1800 – a cos a Câu 3. Chọn đẳng thức sai trong các đẳng thức sau A. .s in x cos x B. . sin x cos x 2 2 C. .t an x cot x D. . tan x cot x 2 2 cos7500 sin 4200 Câu 4. Giá trị của biểu thức A bằng sin 3300 cos 3900 2 3 1 3 A. 3 3 . B. .2 3 3 C. . D. . 3 1 3 Câu 5. Đơn giản biểu thức A cos sin cos sin , ta có : 2 2 2 2 A. A 2sin a . B. .A 2cosC.a . D. . A sin a – cos a A 0 Câu 6. Giá trị của cot1458 là A. 1. B. 1 . C. .0 D. 5 2 5. Câu 7. Trong các giá trị sau, sin có thể nhận giá trị nào? 4 5 A. 0,7 . B. . C. . 2 D. . 3 2 Câu 8. Trong các công thức sau, công thức nào sai? 2 2 2 1 A. .s in cos 1 B. . 1 tan 2 k ,k ¢ cos 2 2 1 k C. .1 cot D. . 2 k ,k ¢ tan cot 1 ,k ¢ sin 2 1 Câu 9. Cho biết tan . Tính cot 2 1 1 A. .c ot 2 B. . cC.ot . D. . cot cot 2 4 2 3 Câu 10. Cho sin và . Giá trị của cos là : 5 2 4 4 4 16 A. . B. . C. . D. . 5 5 5 25 3 cot 2 tan Câu 11. Cho sin và 900 1800 . Giá trị của biểu thức E là : 5 tan 3cot 2 2 4 4 A. . B. . C. . D. . 57 57 57 57 27 | P a g e
3sin cos Câu 12. Cho tan 2 . Giá trị của A là : sin cos 5 7 A.5 . B. .C D 7 3 3 Câu 13. Các cặp đẳng thức nào sau đây đồng thời xảy ra? 1 3 A. sin 1 và cos 1 . B. sin và cos . 2 2 1 1 C. sin và cos . D. sin 3 và cos 0 . 2 2 4 Câu 14. Cho cos với 0 . Tính sin . 5 2 1 1 3 3 A. .s in B. . C.sin . D. . sin sin 5 5 5 5 Câu 15. Tính biết cos 1 A. . k k ¢ B. . k2 k ¢ C. . k2 k ¢ D. . k2 k ¢ 2 3 5 7 Câu 16. Giá trị của A cos2 cos2 cos2 cos2 bằng 8 8 8 8 A. 0 . B. .1 C. . 2 D. . 1 Câu 17. Cho tam giác ABC. Hãy tìm mệnh đề sai A C B A C B A. sin cos . B. .cos sin 2 2 2 2 C. .s in A B sin C D. . cos A B cosC Câu 18. Đơn giản biểu thức A cos sin , ta có 2 A. A cos a sin a . B. .A 2sin aC. . D. . A sin a – cos a A 0 sin 2340 cos 2160 Câu 19. Rút gọn biểu thức A .tan 360 , ta có A bằng sin1440 cos1260 A. 2 . B. . 2 C. . 1 D. . 1 cot 440 tan 2260 .cos 4060 Câu 20. Biểu thức B cot 720.cot180 có kết quả rút gọn bằng cos3160 1 1 A. 1 . B. .1 C. . D. . 2 2 12 Câu 21. Cho cos – và . Giá trị của sin và tan lần lượt là 13 2 5 2 2 5 5 5 5 5 A. ; . B. ; . C. ; . D. ; . 13 3 3 12 13 12 13 12 Câu 22. Biết tan 2và 180 270 . Giá trị cos sin bằng 3 5 3 5 5 1 A. . B. . 1– 5 C. . D. . 5 2 2 Câu 23. Biểu thức D cos2 x.cot2 x 3cos2 x – cot2 x 2sin2 x không phụ thuộc x và bằng A. 2. B. .– 2 C. 3. D. . –3 4 3 Câu 24. Cho tan với 2 . Khi đó : 5 2 28 | P a g e
4 5 4 5 A. sin , cos . B. sin , cos . 41 41 41 41 4 5 4 5 C. sin cos .D. , sin . cos 41 41 41 41 2cos2 x 1 Câu 25. Đơn giản biểu thức A ta có sin x cos x A. .A cB.os .x sC.in x. D. . A cos x – sin x A sin x – cos x A sin x – cos x Câu 26. Tính giá trị của biểu thức A sin6 x cos6 x 3sin2 x cos2 x . A. .A –1 B. . A 1 C. . AD. .4 A –4 0 0 1 2sin 2550 .cos 188 Câu 27. Giá trị của biểu thức A = bằng : tan 3680 2cos6380 cos980 A. 1 . B. .2C. .D. . 1 0 tan2 a sin2 a Câu 28. Biểu thức rút gọn của A = bằng : cot 2 a cos2 a A. .tB.an 6a .C. .D. cos6a . tan4a sin6a 29 | P a g e
§3: CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC. A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Công thức cộng  si n (a + b) = sin a.cosb + sin b.cosa . sin(a - b) = sin a.cosb - sin b.cosa  co s(a + b) = cosa.cosb - sin a.sin b cos(a - b) = cosa.cosb + sin a.sin b . tan a + tan b tan a - tan b  tan(a + b)= . tan(a - b) .= 1- tan a.tan b 1+ tan a.tan b Hệ quả: æ ö æ ö çp ÷ 1+ tan a çp ÷ 1- tan a  tanç + a÷= . ta .nç - a÷= èç4 ø÷ 1- tan a èç4 ø÷ 1+ tan a 1. 2. Công thức nhân đôi Công thức nhân đôi  sin 2a = 2sin a.cosa .  cos2a = cos2 a - sin2 a = 2cos2 a - 1 = 1- 2sin2 a . 2tan a  tan 2a = . 1- tan2 a cot2 a - 1  cot 2a = . 2cot a Công thức hạ bậc Công thức nhân ba (mở rộng) 1- cos2a  sin2 a = . sin . 3a = 3sin a - 4sin3 a 2 1+ cos2a  cos2 a = . cos .3a = 4cos3 a - 3cosa 2 3 2 1- cos2a 3tan a - tan a  tan a = . tan .3a = 1+ cos2a 1- 3tan2 a 3. Công thức biến đổi 30 | P a g e
 Công thức biến đổi tổng thành tích a + b a - b sin(a + b) ● cosa + cosb = 2cos .cos .● tan a + tan b = . 2 2 cosa.cosb a + b a - b sin(a - b) ● cosa - cosb = - 2sin .sin .● tan a - tan b = . 2 2 cosa.cosb a + b a - b sin(a + b) ● sin a + sin b = 2sin .cos .● cot a + cot b = . 2 2 sin a.sin b a + b a - b sin(b - a) ● sin a - sin b = 2cos .sin .● cot a - cot b = . 2 2 sin a.sin b  Hệ quả æ ö æ ö ç p÷ ç p÷ ● sin a + cosa = 2.sinça + ÷= 2.cosça - ÷ . èç 4ø÷ èç 4ø÷ æ p÷ö æ p÷ö ● sin a - cosa = 2 sinça - ÷= - 2 cosça + ÷ . èç 4ø÷ èç 4÷ø  Công thức biến đổi tích thành tổng 1 ● cosa.cosb = écos(a - b)+ cos(a + b)ù . 2 ëê ûú 1 ● sin a.sin b = écos(a - b)- cos(a + b)ù . 2 ëê ûú 1 ● sin a.cosb = ésin(a - b)+ sin(a + b)ù . 2 ëê ûú B. BÀI TẬP TỰ LUẬN. Bài 1. Không dùng máy tính. Hãy tính giá trị của các biểu thức 1/. A = sin120.cos480 + cos120.sin 480 2/. B = cos380.cos220 - sin 380.sin 220 3/. C = sin100.cos550 - cos100.sin 550 4/. D = sin 360.cos60 - sin1260.cos840 5/. E = cos1120.cos230 - sin1120.sin 230 6/. F = sin 2000.sin 3100 + cos3400.cos500 Bài 2. Tính giá trị của các biểu thức sau 1+ tan150 tan 250 + tan 200 1/ A = . 2/ B = . 1- tan150 1- tan 250 tan 200 sin100 cos200 + sin 200 cos100 tan 2250 - cot 810 cot 690 3/ C = . 4/ D = . cos170 cos130 - sin170 sin130 cot 2610 + tan 2010 sin 730 cos30 - sin 870 cos170 cot 2250 - cot 79o0 ot 710 5/ E = . 6/ F = . cos1320 cos620 + cos420 cos280 cot 2590 + cot 2510 Bài 3. Tính giá trị của các biểu thức sau æ pö 1 p ç ÷ 1/ biếtA = cosx çx + và ÷ sin x .= 0 < x < èç 3ø÷ 3 2 31 | P a g e
æ ö çp ÷ 12 3p 2/ biếtB = sinç - x ÷và cosx = - . p < x < èç3 ø÷ 13 2 3/ biếtC = cos(x - 3 và00 ) tan x = . 2 0 < x < 900 æ pö 3 p 4/ biếtD = tançx +và ÷ sin x . = < x < p èç 3ø÷ 5 2 æp ö 12 3p 5/ biếtE = cosç - x và÷ sin x = - . < x < 2p èç3 ø÷ 13 2 æ ö ç p÷ 4 3p 6/ biếtF = cot çx - và÷ sin x = - . p < x < èç 4ø÷ 5 2 4 8 Bài 4. Biết sin a = , 00 < a < 900 và sin b = , 900 < b < 1800 . Hãy tính giá trị của biểu thức 5 ( ) 17 ( ) A = cos(a + b) và B = sin(a - b) . Bài 5. Rút gọn các biểu thức 1/. A = sin x cos5x - cosx sin 5x 2/. B = sin 4x cot 2x - cos4x 3/. C = cos6x tan 3x - sin 6x 4/. D = sin(x + y)cos(x - y)+ sin(x - y)cos(x + y) 5/. E = cos(400 - x)cos(x + 200)- sin(400 - x)sin(x + 200) 6/. G = sin(x + 100)cos(2x - 800)+ sin(x + 1000)cos(2x + 100) Bài 6. Cho tam giác ABC với A,B,C lần lượt là ba góc của tam giác. Chứng minh 1/. sin C = sin A.cosB + sin B.cosA 2/. sin A = sin B cosC + sin C cosB 3/. cosA = sin B sin C - cosB cosC sin C 4/. = tan A + tan B, A,B ¹ 900 cosA.cosB ( ) 5/. tan A + tan B + tan C = tan A.tan B.tan C, (A,B,C ¹ 900) 6/. cot A.cot B + cot B.cot C + cot C.cot A = 1 Bài 7. Tính giá trị của các biểu thức sau (không dùng máy tính bỏ túi) p p 1/ A = cos2 - sin2 . 2/ B = 3cos100 - 4cos3 100 . 8 8 3/ C = sin 200 (1- 4cos2 200) . 4/ D = 4sin3 400 + 3sin1300 . tan150 5/ E = 4sin3 500 + 3cos1400 . 6/ F = . 1- tan2 150 Bài 8. Rút gọn các biểu thức 2 1/ A = (sin x + cosx) . 2/ B = 1- 4sin2 x cos2 x . 3/ C = sin x cosx cos2x . 4/ D = cos4 2x - sin4 2x . æ ö æ ö 2 ç p÷ 2 ç p÷ 5/ E = cos çx + ÷- sin çx + ÷ . 6/ F = sin x cosx cos2x . èç 2ø÷ èç 2ø÷ Bài 9. Tính giá trị của các biểu thức sau (không dùng máy tính bỏ túi) 2cos2 x - 1 1- 2sin2 2x 1/ A = . 2/ B = . sin x + cosx cos2x - sin 2x 32 | P a g e
2 3/ C = . 4/ D = (1- tan2 x)cot x . (1- tan x)(1+ cot x) sin 2x cos2x cot x - tan x 5/ E = - . 6/ F = . sin x cosx cos2x Bài 10. Tính giá trị của biểu thức lượng giác, khi biết 3 p 1/. sin 2x, cos2x khi sin x = , < x < p 5 2 2/. sin 2x, cos2x khi sin x + cosx = 2 5 3p 3/. cos2x, sin 2x, tan 2x khi cosx = - , p < x < 13 2 4/. cos2x, sin 2x, tan 2x khi tan x = 2 4 p 3p 5/. sin x, cosx khi sin 2x = - , < x < 5 2 2 Bài 11. Chứng minh các đẳng thức sau 1/ cos4 x - sin4 x = cos2x . 2/ sin 4x = 4sin x cosx (1- 2sin2 x) . 3/ cos2 2x - sin2 x = cosx cos3x . 4/ cos4x = 8cos4 x - 8cos2 x + 1 . 3 1 5/ 8sin4 x = 3 - 4cos2x + cos4x . 6/ sin4+ cos4 x = + cos4x . 4 4 5 3 7/ sin4+ cos4 x - 6cos2 x sin2 x = cos4x . 8/ sin6 x + cos6 x = + cos4x . 8 8 Bài 12. Biến đổi thành tích các biểu thức sau đây 1/ A = cos3x + cosx . 2/ B = sin 3x + sin 2x . 3/ C = cos4x - cosx . 4/ D = sin 5x - sin x . Bài 13. Biến đổi thành tổng các biểu thức sau p 2p 1/ A = sin sin . 2/ B = sin 5x cos3x . 5 5 3p p p 7p 3/ C = sin cos . 4/ D = sin cos . 4 6 12 12 5/ E = sin(x + y)cos(x - y) . 6/ F = sin(x + 300)cos(x - 300) . Bài 14. Tính giá trị của biểu thức cos2x - cos4x 1/. A = khi x = 200 sin 4x - sin 2x cosx.cos13x p 2/. B = khi x = cos3x + cos5x 17 cosx.cos10x p 3/. C = khi x = cos2x + cos4x 13 tan 2x - sin 2x 2 4/ D = khi tan x = tan 2x + sin 2x 15 Bài 15. Biến đổi thành tích các biểu thức sau đây 1/ 1+ cosx + cos2x + cos3x . 2/ sin x - sin 3x + sin 7x - sin 5x . 3/ sin x - sin 2x + sin 5x + sin 8x . 4/ cos7x + sin 3x + sin 2x - cos3x . Bài 16. Trong ΔABC có ba góc làn lượt là A,B,C . Chứng minh rằng A B C 1/ sin A + sin B + sin C = 4cos cos cos . 2 2 2 33 | P a g e
A B C 2/ sin A + sin B - sin C = 4sin sin cos . 2 2 2 A B C 3/ cosA + cosB + cosC = 1+ 4sin sin sin . 2 2 2 4/ sin 2A + sin 2B + sin 2C = 4sin A sin B sin C . C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1. Trong các công thức sau, công thức nào sai? cot2 x 1 2 tan x A. cot 2x . B. tan 2x . 2cot x 1 tan2 x C. cos3x 4cos3 x 3cos x .D. sin 3x 3sin x 4sin3 x Câu 2. Trong các công thức sau, công thức nào sai? A. cos 2a cos2 a – sin2 a. B. cos 2a cos2 a sin2 a. C. D.co s 2a 2cos2 a –1. cos 2a 1– 2sin2 a. Câu 3. Trong các công thức sau, công thức nào đúng? A. cos a – b cos a.cosb sin a.sin b. B. cos a b cos a.cosb sin a.sin b. C. sin a – b sin a.cosb cos a.sin b. D. sin a b sin a.cosb cos.sin b. Câu 4. Trong các công thức sau, công thức nào đúng? tan a tan b A. tan a b . B. tan a – b tan a tan b. 1 tan a tan b tan a tan b C. D.tan a b . tan a b tan a tan b. 1 tan a tan b Câu 5. Trong các công thức sau, công thức nào sai? 1 1 A. cos a cosb cos a – b cos a b . B. sin asin b cos a – b – cos a b . 2 2 1 1 C. sin a cosb sin a – b sin a b . D. sin a cosb sin a b cos a b . 2 2 Câu 6. Trong các công thức sau, công thức nào sai? a b a b a b a b A. cos a cosb 2cos .cos . B. cos a – cosb 2sin .sin . 2 2 2 2 a b a b a b a b C. D.sin a sin b 2sin .cos . sin a – sin b 2cos .sin . 2 2 2 2 Câu 7. Rút gọn biểu thức : sin a –17 .cos a 13 – sin a 13 .cos a –17 , ta được : 1 1 A. sin 2a. B. cos 2a. C. D. . . 2 2 3 1 Câu 8. Cho x, y là các góc nhọn, cot x , cot y . Tổng x y bằng : 4 7 3 A. B. .C. D. . . . 4 4 3 Câu 9. Cho cot a 15 , giá trị sin 2a có thể nhận giá trị nào dưới đây: 11 13 15 17 A. B. C D. . . . 113 113 113 113 Câu 10. trị của sin 2 a b là : 2 2 7 3 3 2 7 3 4 2 7 3 5 2 7 3 A. B. C. D. . . . . 18 18 18 18 2 2 2 Câu 11. Biểu thức A cos x cos x cos x không phụ thuộc x và bằng : 3 3 34 | P a g e
3 4 3 2 A. B C. D. . . . 4 3 2 3 sin a b Câu 12. Biểu thức bằng biểu thức nào sau đây? (Giả sử biểu thức có nghĩa) sin a b sin a b sin a sin b sin a b sin a sin b A. . B. . sin a b sin a sin b sin a b sin a sin b sin a b tan a tan b sin a b cot a cot b C. D. . . sin a b tan a tan b sin a b cot a cot b Câu 13. Cho A , B , C là ba góc của một tam giác. Hãy chỉ ra hệ thức SAI. A B 3C A. sin cosC. B. cos A B – C – cos 2C. 2 A B 2C 3C A B 2C C C. D.tan cot . cot tan . 2 2 2 2   Câu 14. Nếu tan 4 tan thì tan bằng : 2 2 2 3sin 3sin 3cos 3cos A. B. C. D. . . . . 5 3cos 5 3cos 5 3cos 5 3cos Câu 15. Kết quả nào sau đây SAI ? sin 9 sin12 A. sin 33 cos60 cos3. B. . sin 48 sin81 1 1 4 C. cos 20 2sin2 55 1 2 sin 65. D. . cos 290 3 sin 250 3 Câu 16. Nếu 5sin 3sin 2 thì : A. tan  2 tan . B. tan  3tan . C. D.tan  4 tan . tan  5tan . 3 3 Câu 17. Cho cos a ; sin a 0 ; sin b ; cosb 0 . Giá trị của cos a b . bằng : 4 5 3 7 3 7 3 7 3 7 A. B. C.1 D. . 1 . 1 . 1 . 5 4 5 4 5 4 5 4 Câu 18. Rút gọn biểu thức : cos 120 – x cos 120 x – cos x ta được kết quả là A. 0. B. – cos x. C. –2cos x. D. sin x – cos x. Câu 19. Cho biểu thức A sin2 a b – sin2 a – sin2 b. Hãy chọn kết quả đúng : A. A 2cos a.sin b.sin a b . B. A 2sin a.cosb.cos a b . C. A 2cos a.cosb.cos a b . D. A 2sin a.sin b.cos a b . 3 3 Câu 20. Cho sin a ; cos a 0 ; cosb ; sin b 0 . Giá trị sin a b bằng : 5 4 1 9 1 9 1 9 1 9 A. B. C. D.7 . 7 . 7 . 7 . 5 4 5 4 5 4 5 4 1 1 Câu 21. Cho hai góc nhọn a và b . Biết cos a , cosb . Giá trị cos a b .cos a b bằng : 3 4 113 115 117 119 A. B. C. D . . . 144 144 144 144 sin x sin 2x sin 3x Câu 22. Rút gọn biểu thức A cos x cos 2x cos3x A. A tan 6x. B. A tan 3x. 35 | P a g e
C. D.A tan 2x. A tan x tan 2x tan 3x. Câu 23. Biến đổi biểu thức sin a 1 thành tích. a a a a A. sin a 1 2sin cos . B. sin a 1 2cos sin . 2 4 2 4 2 4 2 4 C. D.sin a 1 2sin a cos a . sin a 1 2cos a sin a . 2 2 2 2 Câu 24. Cho A , B , C là ba góc của một tam giác. Hãy chọn hệ thức đúng trong các hệ thức sau. A. cos2 A cos2 B cos2 C 1 cos A.cos B.cosC. B. cos2 A cos2 B cos2 C 1– cos A.cos B.cosC. C. cos2 A cos2 B cos2 C 1 2cos A.cos B.cosC. D. cos2 A cos2 B cos2 C 1– 2cos A.cos B.cosC. 36 | P a g e
PHẦN HÌNH HỌC CHƯƠNG II: TÍCH VÔ HƯỚNG §2: TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VEC TƠ A.TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Góc giữa hai vectơ   a b Cho a,b 0 . Từ một điểm O bất kì vẽ OA a,OB b . A a · 0 · 0 Khi đó a,b AOB với 0 AOB 180 . O Chú ý: b B + a,b = 900 a  b + a,b = 00 a,b cùng hướng + a,b = 1800 a,b ngược hướng + a,b b,a 2. Tích vô hướng của hai vectơ Định nghĩa:. a.b a . b .cos a,b 2 Đặc biệt:. a.a a2 a Tính chất: Với a,b,c bất kì và k R, ta có: + a.b b.a ; a b c a.b a.c ; ka .b k a.b a. kb ; a2 0; a2 0 a 0 . 2 2 + a b a2 2a.b b2 ; a b a2 2a.b b2 ; a2 b2 a b a b . + a.b > 0 a,b nhoïn + a.b < 0 a,b tuø a.b = 0 a,b vuoâng. 3. Biểu thức toạ độ của tích vô hướng Cho a = (a1, a2), b = (b1, b2). Khi đó: a.b a1b1 a2b2 . 2 2 a1b1 a2b2 a a1 a2 ;cos(a,b) ; a  b a1b1 a2b2 0 2 2 2 2 a1 a2 . b1 b2 2 2 Cho A(xA; yA ), B(xB; yB ) . Khi đó: AB (xB xA ) (yB yA ) . B. BÀI TẬP TỰ LUẬN Baøi 1. Cho tam   giác ABC vuông tại A, AB = a, BC = 2a. Tính các tích vô  hướng: a) AB.AC b) AC.CB c) AB.BC Baøi 2. Cho tam   giác ABC đều cạnh bằng a. Tính các tích vô hướng:   a) AB.AC b) AC.CB c) AB.BC Baøi 3. Cho hình  vuông ABCD cạnh a. Tính giá trị các biểu  thức sau:     a) AB.AC b) (AB AD)(BD BC) c) (AC AB)(2AD AB)         d) AB.BD e) (AB AC AD)(DA DB DC) Baøi 4. Cho tam giác ABC có A(1; –1), B(5; –3), C(2; 0). a) Tính chu vi và nhận dạng tam giác ABC. b) Tìm toạ độ điểm M biết CM 2AB 3AC . c) Tìm tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Baøi 5. Cho tam giác  ABC có A(1; 2), B(–2; 6), C(9; 8). a) Tính AB.AC . Chứng minh tam giác ABC vuông tại A. b) Tìm tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. 37 | P a g e
c) Tìm toạ độ trực tâm H và trọng tâm G của tam giác ABC. d) Tính chu vi, diện tích tam giác ABC. e) Tìm toạ độ điểm M trên Oy để B, M, A thẳng hàng. f) Tìm toạ độ điểm N trên Ox để tam giác ANC cân tại N. g) Tìm toạ độ điểm D để ABDC là hình chữ nhật. h) Tìm toạ độ điểm K trên Ox để AOKB là hình thang đáy AO.    i) Tìm toạ độ điểm T thoả TA 2TB 3TC 0 k) Tìm toạ độ điểm E đối xứng với A qua B. l) Tìm toạ độ điểm I chân đường phân giác trong tại đỉnh C của ABC. Bài 6. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(1;3) và B(4;2) a) Tìm tọa độ điểm D nằm trên trục Ox sao cho DA=DB b) Tính chu vi tam giác OAB c) Chứng tỏ OA vuông góc với AB và từ đó tính diện tích tam giác OAB Bài 7. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho 3 điểm A(7;-3) ; B(8;4) và C(0;-2) a) Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông b) Tính chu vi và diện tích tam giác ABC C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM   Câu 1: Cho tam giác ABC vuông tại A có góc ·ABC 650 . Khi đó góc AB, BC có giá trị A. 115o B. 65o C. 25o D. 155o   Câu 2: Cho tam giác ABC vuông tại A có góc ·ABC 650 . Gọi M là trung điểm BC. Khi đó góc AM ; BC có giá trị là: A. 65o B. 130o C. 50o D. 100o Câu 3: Cho tam giác ABC vuông tại A có góc ·ABC 350 . Gọi M là trung điểm của BC. Khi đó góc   AM , BA có giá trị. A. 35o B. 55o C. 125o D. 145o   Câu 4: Cho ABC đều. Khi đó góc AB, BC có giá trị là: A. 60o B. 120o C. 90o D. 300   Câu 5: Cho ABC đều.Gọi M là trung điểm của BC. Khi đó góc AM , BA có giá trị là: A. 120o B. 60o C. 150o D. 300   Câu 6: Cho hình vuông ABCD có tâm O. Góc AO, BA có giá trị là: A. 60o B. 135o C. 450 D. 90o   Câu 7: Cho hình vuông ABCD có tâm O. Góc CO, BA có giá trị là: A. 135o B. 300 C. 450 D. 90o   Câu 8: Cho hình vuông ABCD có tâm O. Góc CO, AO có giá trị là: A. 450 B. 90o C. 180o D. 135o   Câu 9: Cho hình vuông ABCD có tâm O. Khi đó cos OB, AB có giá trị là: 2 3 2 A. B. C. D. 0 2 2 2   Câu 10: Cho tam giác ABC đều. Gọi M là trung điểm của BC. Khi đó sin AM ,CA có giá trị là: 1 1 3 A. B. C. 0 D. 2 2 2   Câu 11: Cho tam giác ABC đều. Gọi M là trung điểm của BC. Khi đó sin BM , AC có giá trị là: 1 3 1 3 A. B. C. D. 2 2 2 2 38 | P a g e
1 Câu 12: Cho tam giác đều ABC cạnh AB 6cm . Gọi M là một điểm trên AC sao cho AM AM . Khi đó   3 tích vô hướng AM.CA bằng: A. 6 B. C.12 6 D. 12 1 Câu 13: Cho ABC đều cạnh bằng 6cm . Gọi M là một điểm trên AC sao cho AM AC . Khi đó tích vô   3 hướng AM.BA bằng: A. 6 B. 6 C. 6 3 D. 6 2     Câu 14: Cho hình thoi ABCD cạnh a và µA 600 . Tính các tích vô hướng sau đây: AB.AD ; AC.BD a2 a2 a2 3 a2 a2 a2 A. B. ;0 C. ; D. ; ;0 2 2 2 2 2 2 Câu 15: Cho hai véc tơ a và b . Cho biết a 6, b 3 , a;b 450 . Đặt M a 2a 3b ; N 3a 4b 3a 4b . Tính 2M 3N A. B.68 4 54 2 C. 684 54 2 D. 585 81 2 585 81 2     Câu 16: Cho tam giác đều ABC cạnh bằng a. Tính giá trị của biểu thức:: F AB 2AC AB 3BC 13a2 7a2 a2 A. B. C. 5a2 D. 2 2 2 Câu 17: Cho hai véc tơ a;b thỏa mãn a b 1 , 4a 3b 13 . Lập c xa yb . Biết c có độ dài bằng 1 và vuông góc với a b . Tính 2x2 3y2 5 5 A. 0 B. C. 5 D. 2 3   Câu 18: Cho tam giác ABC cân tại A và B· AC 1200 . Hãy xác định góc của các véc tơ AB,CB A. 900 B. 30o C. 600 D. 150o Câu 19: Cho a 1; b 2; a;b 300 . Tính a.b 2 6 6 A. B. C. D. 1 2 2 2 Câu 20: Cho a 3; b 6; a;b 450 . Tính a.b 3 2 A. 3 B. 3 C. 3 2 D. 2 1 Câu 21: Cho a ; b 3 3; a;b 600 . Tính a.b 3 3 3 3 3 2 3 A. B. C. D. 2 2 2 2 Câu 22: Cho a 3 3; b 5 6; a;b 1350 . Tính a.b 45 2 A. 45 3 B. 45 C. 45 D. 2 Câu 23: Cho a 3 2; b 3 2; a;b 1800 . Tính a.b 1 3 A. B. C. 1 D. 1 2 2     Câu 24: Cho hình vuông ABCD có cạnh AB =1. Tính giá trị của biểu thức sau: AB 2AD 3AB CD A. 1 B. 3 C. 2 D. 4 39 | P a g e
Câu 25: Cho các véc tơ a,b,c có độ dài tương ứng là 1,2,3 và a,b 300 , a,c 900 , b,c 600 . Tính giá trị của các biểu thức sau: a b 2c 2b 3c A. 49 2 3 B. 49 2 3 C. 49 2 3 D. 49 2 3 Câu 26: Cho các véc tơ a,b,c có độ dài tương ứng là 1,2,3 và a,b 300 , a,c 900 , b,c 600 . Tính 2 2 giá trị của các biểu thức sau: a b c b 2a b a 2c A. 1 3 B. 8 3 C. 8 3 D. 2 3 Câu 27: Cho tam giác ABC có A 1200 . AB=1, AC=3. Tính giá trị của các biểu thức     Q AB 2AC 2.AB AC 41 41 23 31 A. B. C. D. 2 2 2 2 1 Câu 34: Cho a 6; b 4;cos a;b . Tính góc giữa hai véc tơ a b và a 2b 6 A. 60o B. 90o C. 30o D. 45o Câu 35: Cho tam giác ABC vuông ở A và Bµ 30 0 . Tính giá trị của biểu thức sau:       AC,CB P cos AB, BC sin BA, BC tan 2 1 3 1 3 3 1 3 1 3 A. B. C. D. 2 2 2 2 Câu 36: Cho tam giác ABC cân tại A và Bµ 300 . Tính giá trị của biểu thức       AB,CA P sin AC, AB cos AC, BC tan 2 1 3 3 2 A. B. C. D. 2 2  3   2 Câu 37: Cho hình vuông ABCD cạnh bằng a . Nếu AM 2AB AD thì độ dài đoạn AB là: a A. 3a B. a C. D. 2a 2 Câu 39: Cho hình thang vuông ABCD có hai đáy là AD 2a; BC 4a đường cao AB 2a 2 . Tính góc   giữa véc tơ AC; BD . A. 93o B. 120o C. 35o D. 58o Câu 40. Tính sin x biết cos x = 3/5 (0 < x < π/2). A. sin x = 4/5 B. sin x = 2/5 C. sin x = 1/5 D. sin x = 0 Câu 41. Tính giá trị của biểu thức P = sin x cos x biết sin x – cos x = 2/3. A. P = 5/9 B. P = –5/9 C. P = –5/18 D. P = 5/18 Câu 42. Tính giá trị của biểu thức P = cos 0° + cos 10° + cos 20° + + cos 170°. A. P = 1 B. P = –1 C. P = 0 D. P = 2 Câu 43. Tính giá trị của biểu thức P = cos² 120° – sin² 150° + 2tan 135°. A. P = –1 B. P = 2 C. P = 0 D. P = –2   Câu 44. Cho tam giác đều ABC có trọng tâm G. Tính góc giữa hai vector GB, GC A. 120° B. 60° C. 30° D. 90° Câu 45. Cho A(–1; –1) và B(4; 4). Tìm tọa độ của điểm M trên trục Ox để ΔABM cân tại M. A. (2; 0) B. (2; 1) C. (3; 0) D. (3; 1) Câu 46. Cho A(–1; 1) và B(4; 4). Tìm tọa độ của điểm N trên trục Oy để ΔABN vuông tại N. A. (0; 0) hoặc (0; 3) B. (0; 1) hoặc (0; 4) C. (0; 1) hoặc (0; 5) D. (0; 0) hoặc (0; 5) Câu 47. Cho a = (4; 3) và b = (k; –4). Tìm k để hai vector a,b vuông góc nhau A. k = 3 B. k = –3 C. k = 5 D. k = –5 40 | P a g e
Câu 48. Cho ΔABC có A (–4; 1); B(2; 4); C(2; –2). Diện tích tam giác ABC là A. 12 B. 18 C. 9 D. 6 Câu 49. Cho ΔABC có A (–4; 4), B(6; 6), C(–2; –2). Tìm tọa độ trực tâm H của ΔABC. A. (–3; 1) B. (–2; 3) C. (–1; 2) D. (–3; 3)  Câu 50. Cho ABC có AB = 7, AC = 5, góc A = 120°. Giá trị của biểu thức P = AB.AC là A. P = –35/2 B. P = 35/2 C. P = –35 D. P = 35 Câu 51. Cho 2 điểm M, N  phân biệt nằm trên nửa đường tròn đường kính AB = 2R, hai đường thẳng AM và BN cắt nhau tại I. Tính AM.AI BN.BI theo R. A. R² B. 2R² C. 4R² D. 8R²   Câu 52. Cho đoạn thẳng AB cố định, AB = 2a, k là số thực dương. Tìm tập hợp điểm M thỏa MA.MB = k². A. Đường tròn có tâm là trung điểm của AB và có bán kính r = 2a + k B. Đường thẳng song song cách AB một khoảng a + k C. Đường tròn có tâm là trung điểm của AB và có bán kính r = a + k D. Đường tròn có tâm là trung điểm của AB và có bán kính r = a 2 k2 Câu 53. Cho hai điểm A(–3; 2), B(4; 3) tìm tọa độ của điểm C sao cho ΔABC vuông cân tại C. A. (1; –1) V (0; 6) B. (1; 0) V (0; 6) C. (1; 0) V (0; 5) D. (1; –1) V (0; 5) Câu 54. Cho 3 điểm A (–1; 1), B(3; 1), C(0; 4). Gọi A’ là hình chiếu vuông góc của A trên BC; tìm tọa độ A’. A. (0; 2) B. (1; 3) C. (2; 3) D. (0; 3) Câu 55. Cho tam giác ABC có A(1; 2), B(–2; 6), C(9; 8). Tính góc BAC. A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° 41 | P a g e
§3 : HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC- GIẢI TAM GIÁC A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT Cho ABC có: – độ dài các cạnh: BC = a, CA = b, AB = c – độ dài các đường trung tuyến vẽ từ các đỉnh A, B, C: ma, mb, mc – độ dài các đường cao vẽ từ các đỉnh A, B, C: ha, hb, hc – bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác: R, r – nửa chu vi tam giác: p – diện tích tam giác: S 1. Định lí côsin a2 b2 c2 2bc.cos A ;;b2 c2 a2 2ca.cos B c2 a2 b2 2ab.cosC 2. Định lí sin a b c 2R sin A sin B sinC 3. Độ dài trung tuyến 2(b2 c2 ) a2 2(a2 c2 ) b2 2(a2 b2 ) c2 m2 ;;m2 m2 a 4 b 4 c 4 4. Diện tích tam giác 1 1 1 S = ah bh ch 2 a 2 b 2 c 1 1 1 = bcsin A casin B absinC 2 2 2 abc = 4R = pr = p(p a)(p b)(p c) (công thức Hê–rông) Giải tam giác là tính các cạnh và các góc của tam giác khi biết một số yếu tố cho trước. 5. Hệ thức lượng trong tam giác vuông (nhắc lại) Cho ABC vuông tại A, AH là đường cao. A BC2 AB2 AC2 (định lí Pi–ta–go) AB2 BC.BH , AC2 BC.CH 1 1 1 AH 2 BH.CH , B H C AH 2 AB2 AC2 AH.BC AB.AC b a.sin B a.cosC c tan B c cotC ; c a.sinC a.cos B b tanC b cotC B. BÀI TẬP TỰ LUẬN Baøi 1. Giải tam giác ABC, biết: a) c 14; µA 600; µB 400 b) b 4,5; µA 300; µC 750 c) c 35; µA 400; µC 1200 d) a 137,5; µB 830; µC 570 Baøi 2. Giải tam giác ABC, biết: a) a 6,3; b 6,3; µC 540 b) b 32; c 45; µA 870 c) a 7; b 23; µC 1300 d) b 14; c 10; µA 1450 Baøi 3. Giải tam giác ABC, biết: a) a 14; b 18; c 20 b) a 6; b 7,3; c 4,8 c) a 4; b 5; c 7 d) a 2 3; b 2 2; c 6 2 Baøi 4. Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng: 42 | P a g e
2 1 1 2 2 2 a) Nếu b + c = 2a thì b) Nếu bc = a thì sin BsinC sin A, hbhc ha ha hb hc 2 2 2 c) A vuông mb mc 5ma Bài 5. Cho ABC có a =12, b =15, c =13 a. Tính số đo các góc của ABC b. Tính độ dài các đường trung tuyến của ABC c. Tính S, R, r d. Tính ha ,hb ,hc Bài 6. Cho ABC có AB = 6, AC= 8, ¶A 1200 a. Tính diện tích ABC b. Tính cạnh BC và bán kính R Bài 7. Cho ABC có a = 8, b =10, c =13 a. ABC co góc tù hay không? b. Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC c. Tính diện tích ABC Bài 8. Cho ABC có µA 600 , Bµ 450 ,b 2 tính độ dài cạnh a, c bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC và diện tích tam giác 3 Bài 9. Cho ABC AC = 7, AB = 5 và cos A tính BC, S, h , R 5 a Bài 10. Cho ABC có mb 4,mc 2 và a = 3 tính độ dài cạnh AB, AC Bài 11. Cho ABC có AB = 3, AC = 4 và diện tích S 3 3 . Tính cạnh BC Bài 12. Tính bán kính đường tròn nội tiếp ABC biết AB = 2, AC = 3, BC = 4 Bài 13. Tính µA của ABC có các cạnh a, b, c thỏa hệ thức b b2 a2 c a2 c2 C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Câu 1. Cho ABC có b 6,c 8, µA 600 . Độ dài cạnh a là: A. 2 13. B. 3 12. C. 2 37. D. 20. Câu 2. Cho ABC có S 84,a 13,b 14,c 15. Độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp R của tam giác trên là: A. 8,125. B. 130. C. 8. D. 8,5. Câu 3. Cho ABC có a 6,b 8,c 10. Diện tích S của tam giác trên là: A. 48. B. 24. C. 12. D. 30. Câu 4. Cho ABC thỏa mãn : 2cos B 2 . Khi đó: A. B 300. B. B 600. C. B 450. D. B 750. Câu 5. Cho ABC vuông tại B và có Cµ 250 . Số đo của góc A là: A. A 650. B. A 600. C. A 1550. D. A 750. Câu 6. Cho ABC có B 600 ,a 8,c 5. Độ dài cạnh b bằng: A. 7. B. 129. C. 49. D. 129 . Câu 7. Cho ABC có Cµ 450 , Bµ 750 . Số đo của góc A là: A. A 650. B. A 700 C. A 600. D. A 750. Câu 8. Cho ABC có S 10 3 , nửa chu vip 10 . Độ dài bán kính đường tròn nội tiếp r của tam giác trên là: A. 3. B. 2. C. 2. D. 3. Câu 9. Cho ABC có a 4,c 5, B 1500.Diện tích của tam giác là: A.5 3. B. 5. C. 10. D. 10 3. Câu 10. Cho tam giác ABC thỏa mãn: 2cos A 1 . Khi đó: A. A 300. B. A 450. C.A 1200. D. A 600. 43 | P a g e
3 Câu 11. Cho tam giác ABC có b = 7; c = 5, cos A . Đường cao h của tam giác ABC là 5 a 7 2 A. . B. 8. C.8 3. D.80 3. 2 Câu 12. Cho tam giác ABC , chọn công thức đúng trong các đáp án sau: b2 c2 a2 a2 c2 b2 A. m2 . B. m2 . a 2 4 a 2 4 a2 b2 c2 2c2 2b2 a2 C. m2 . D. m2 . a 2 4 a 4 Câu 13. Cho tam giác ABC . Tìm công thức sai: a a csin A A. 2R. B. sin A . C. bsin B 2R. D. sin C . sin A 2R a Câu 14. Chọn công thức đúng trong các đáp án sau: 1 1 1 1 A. S bcsin A. B. S acsin A. C. S bcsin B. D. S bcsin B. 2 2 2 2 Câu 15. Cho tam giác ABC có a 8,b 10 , góc C bằng 600 . Độ dài cạnh c là ? A. c 3 21 . B. .cC. 7 2 .D. c . 2 11 c 2 21 Câu 16. Cho tam giác ABC . Khẳng định nào sau đây là đúng ? 1 a A. S a.b.c . B. . R ABC 2 sin A b2 c2 a2 2b2 2a2 c2 C. .c os B D. . m2 2bc c 4 Câu 17. Cho tam giác ABC , chọn công thức đúng ? A. .A B2 ACB.2 BC 2 2AC.AB cosC .AB2 AC 2 BC 2 2AC.BC cosC C. AB2 AC 2 BC 2 2AC.BC cosC . D. AB2 AC 2 BC 2 2AC.BC cosC . Câu 18. Cho tam giác ABC thoả mãn hệ thức b c 2a . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng ? A. cos B cosC 2cos A. B. sin B sinC 2sin A. 1 C. sin B sin C sin A . D. sin B cosC 2sin A. 2 Câu 19. Cho tam giác ABC. Đẳng thức nào sai ? B C A A. s in(A B 2C) sin3C.B. . cos sin 2 2 A B 2C C C. sin(A B) sinC. D. cos sin . 2 2 2 2 2 Câu 20. Gọi S ma mb mc là tổng bình phương độ dài ba trung tuyến của tam giác ABC . Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng ? 3 3 A. .S B. ( a2 b2 c2 ) . C.S . a2D. b2 c2 S ( . a2 b2 c2 ) S 3(a2 b2 c2 ) 4 2 Câu 21. Độ dài trung tuyến mc ứng với cạnh c của ABC bằng biểu thức nào sau đây b2 a2 c2 b2 a2 c2 A. . B. . 2 4 2 4 1 b2 a2 c2 C. 2b2 2a2 c2 . D. . 2 4 Câu 22. Tam giác ABC có cos B bằng biểu thức nào sau đây? b2 c2 a2 a2 c2 b2 A. . B. 1 sin2 B . C. cos(A C). D. . 2bc 2ac Câu 23. Cho tam giác ABC có a2 b2 c2 0 . Khi đó : A. Góc C 900 B. Góc C 900 44 | P a g e
C. Góc C 900 D. Không thể kết luận được gì về góc C. Câu 24. Chọn đáp án sai : Một tam giác giải được nếu biết : A. Độ dài 3 cạnh B. Độ dài 2 cạnh và 1 góc bất kỳ C. Số đo 3 góc D. Độ dài 1 cạnh và 2 góc bất kỳ Câu 25. Một tam giác có ba cạnh là 13,14,15 . Diện tích tam giác bằng bao nhiêu ? A. 84. B. 84 . C. 42. D. 168. Câu 26. Một tam giác có ba cạnh là 26,28,30. Bán kính đường tròn nội tiếp là: A. 16. B. 8. C. 4. D. 4 2. Câu 27. Một tam giác có ba cạnh là 52,56,60. Bán kính đường tròn ngoại tiếp là: 65 65 A B. 40. C. 32,5. D 8 4 Câu 28. Tam giác với ba cạnh là 3,4,5. Có bán kính đường tròn nội tiếp tam giác đó bằng bao nhiêu ? A. 1. B.2. C.3. D. 2. Câu 29. Tam giác ABC có a 6,b 4 2,c 2. M là điểm trên cạnh BC sao cho BM 3 . Độ dài đoạn AM bằng bao nhiêu ? 1 A. 9 . B. 9. C. 3. D. 108. 2 Câu 30. Cho tam giác ABC có a 4,b 6,c 8 . Khi đó diện tích của tam giác là: 2 A. 9 15. B. 3 15. C. 105. D. 15. 3   Câu 31. Cho ABC , biết a AB (a1;a2 ) và b AC (b1;b2 ) . Để tính diện tích S của ABC . Một học sinh làm như sau: a.b (I) Tính cos A a . b 2 a.b (II) Tính sin A 1 cos2 A 1 2 2 a . b 1 1 2 2 2 (III) S AB.AC.sinA a b a.b 2 2 1 2 (IV ) S a2 a2 b2 b2 a b a b 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 S a b a b 2 1 2 2 1 1 S (a b a b ) 2 1 2 2 1 Học sinh đó đã làm sai bắt đàu từ bước nào? A. (I) B. (II) C. (III) D. (IV ) Câu 32. Câu nào sau đây là phương tích của điểm M (1;2) đối với đường tròn (C) . tâm I( 2;1) , bán kính R 2 : A. 6. B. 8. C. 0. D. 5. Câu 33. Khoảng cách từ A đến B không thể đo trực tiếp được vì phải qua một đầm lầy. Người ta xác định được một điểm C mà từ đó có thể nhìn được A và B dưới một góc 78o24' . Biết CA 250m,CB 120m . Khoảng cách AB bằng bao nhiêu ? A. 266m. B. 255m. C. 166m. D. 298m. Câu 34. Hai chiếc tàu thuỷ cùng xuất phát từ vị trí A , đi thẳng theo hai hướng tạo với nhau một góc 600 . Tàu thứ nhất chạy với tốc độ 30km / h , tàu thứ hai chạy với tốc độ 40km / h . Hỏi sau 2 giờ hai tàu cách nhau bao nhiêu km ? A. 13. B. 15 13. C. 10 13. D. 15. 45 | P a g e
Câu 35. Từ một đỉnh tháp chiều cao CD 80m , người ta nhìn hai điểm A và B trên mặt đất dưới các góc nhìn là 72012' và 34026' . Ba điểm A, B, D thẳng hàng. Tính khoảng cách AB ? A. 71m. B. 91m. C. 79m. D. 40m. Câu 36. Khoảng cách từ A đến B không thể đo trực tiếp được vì phải qua một đầm lầy. Người ta xác định được một điểm C mà từ đó có thể nhìn được A và B dưới một góc 56016' . Biết CA 200m , CB 180m . Khoảng cách AB bằng bao nhiêu ? A. 163m. B. 224m. C. 112m. D. 168m. Câu 37. Cho đường tròn (C) đường kính AB với A( 1; 2) ; B(2;1) . Kết quả nào sau đây là phương tích của điểm M (1;2) đối với đường tròn (C) . A. 3. B. 4. C. 5. D. 2. Câu 38. Cho các điểm A(1; 2), B( 2;3),C(0;4). Diện tích ABC bằng bao nhiêu ? 13 13 A B. 13. C. 26. D. . 2 4 Câu 39. Cho tam giác ABC có A(1; 1), B(3; 3),C(6;0). Diện tích ABC là A. 12. B. 6. C. 6 2. D. 9. Câu 40. Cho a (2; 3) và b (5;m) . Giá trị của m để a và b cùng phương là: 13 15 A. 6. B. . C. 12. D. . 2 2 Câu 41. Cho các điểm A(1;1), B(2;4),C(10; 2). Góc B· AC bằng bao nhiêu? A. 900 . B. 600. C. 450. D. 300. Câu 42. Tam giác với ba cạnh là 5;12;13 có bán kính đường tròn ngoại tiếp là ? 13 11 A. 6. B. 8. C. . D. . 2 2 Câu 43. Cho tam giác ABC có a 4,b 6,c 8 . Khi đó diện tích của tam giác là: 2 A. 9 15. B. 3 15. C. 105. D. 15. 3 Câu 44. Tam giác với ba cạnh là 5;12;13 có bán kính đường tròn nội tiếp tam giác đó bằng bao nhiêu ? A. 2. B. 2 2. C. 2 3. D. 3. Câu 45. Tam giác với ba cạnh là 6;8;10 có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng bao nhiêu ? A. 5. B. 4 2. C. 5 2. D. 6 . Câu 46. Cho tam giác ABC thoả mãn : b2 c2 a2 3bc . Khi đó : A. A 300. B. A 450. C. A 600. D. A 750 . Câu 47. Tam giác ABC có a 16,8 ; Bµ 56013' ; Cµ 710 . Cạnh c bằng bao nhiêu? A. 29,9. B. 14,1. C. 17,5. D. 19,9. a b c a c a.sinC 16,8.sin 710 Mặt khác c ; 19,9. sin A sin B sinC sin A sinC sin A sin52047' Câu 48. Cho tam giác ABC , biết a 24,b 13,c 15. Tính góc A ? A. 33034'. B. 117049'. C. 28037'. D. 58024'. Câu 49. Tam giác ABC có µA 68012' , Bµ 34044' , AB 117. Tính AC ? A. 68. B. 168. C. 118. D.200. Câu 50. Tam giác ABC có a 8,c 3, Bµ 600. Độ dài cạnh b bằng bao nhiêu ? A. 49. B. 97 C. 7. D. 61. Câu 51. Cho tam giác ABC , biết a 13,b 14,c 15. Tính góc B ? A. 59049'. B. 5307'. C. 59029'. D. 62022'. 46 | P a g e
CHƯƠNG III: PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG §1 PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT. 1. Vectơ pháp tuyến và phương trình tổng quát của đường thẳng : r r r a. Định nghĩa : Cho đường thẳng D . Vectơ n ¹ 0 gọi là vectơ pháp tuyến (VTPT) của D nếu giá của n vuông góc với D . Nhận xét : r r - Nếu n là VTPT của D thì kn(k ¹ 0) cũng là VTPT của D . b. Phương trình tổng quát của đường thẳng r Cho đường thẳng D đi qua M (x ; y ) và có VTPT n = (a;b) . uuuuur 0 r0 0 uuuuur r Khi đó M(x; y) Î D Û MM0 ^ n Û MM0 .n = 0 Û a(x- x0 )+ b(y- y0 ) = 0 Û ax + by + c = 0 (c = - ax0 - by0 ) (1) (1) gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng D . Chú ý : r - Nếu đường thẳng D :ax + by + c = 0 thì n = (a;b) là VTPT của D . 3. Vectơ chỉ phương và phương trình tham số của đường thẳng : a. Định nghĩa vectơ chỉ phương : r r Cho đường thẳng D . Vectơ u ¹ 0 gọi là vectơ chỉ phương (VTCP) của đường thẳng D nếu giá của nó song song hoặc trùng với D . Nhận xét : r r - Nếu u là VTCP của D thì ku(k ¹ 0) cũng là VTCP của D . r r - VTPT và VTCP vuông góc với nhau. Do vậy nếu D có VTCP u = (a;b) thì n = (- b; a) là một VTPT của D . b. Phương trình tham số của đường thẳng : r Cho đường thẳng D đi qua M0 (x0 ; y0 ) và u = (a;b) là VTCP. uuuuur r ïì x = x + at Khi đó M(x; y) Î D .Û MM = tu Û íï 0 t Î R . (1) 0 ï = + îï y y0 bt Hệ (1) gọi là phương trình tham số của đường thẳng D , t gọi là tham số Nhận xét : Nếu D có phương trình tham số là (1) khi đó A Î D Û A(x0 + at; y0 + bt) 4. Phương trình chính tắc của đường thẳng. r Cho đường thẳng D đi qua M0 (x0 ; y0 ) và u = (a;b) (với a ¹ 0, b ¹ 0 ) là vectơ chỉ phương thì phương x- x y- y trình 0 = 0 được gọi là phương trình chính tắc của đường thẳng D . a b c) Các dạng đặc biệt của phương trình tổng quát D song song hoặc trùng với trục Ox Û D : by + c = 0 D song song hoặc trùng với trục Oy Û D : ax + c = 0 điD qua gốc tọa độ Û D : ax + by = 0 x y điD qua hai điểm A(a;0), B(0;b)Û D : + = với1 (ab ¹ 0) a b Phương trình đường thẳng có hệ số góc k là y = kx + m với k = tana , a là góc hợp bởi tia Mt của D ở phía trên trục Ox và tia Mx 5. Vị trí tương đối của hai đường thẳng. Cho hai đường thẳng d1 : a1x + b1y + c1 = 0; d2 : a2x + b2 y + c2 = 0 a1 b1 cắtd1 khid2 và chỉ khi ¹ 0 a2 b2 47 | P a g e
a1 b1 b1 c1 a1 b1 c1 a1 d1 / /d2 khi và chỉ khi = 0 và ¹ 0 , hoặc = 0 và ¹ 0 a2 b2 b2 c2 a2 b2 c2 a2 a1 b1 b1 c1 c1 a1 d1 º d2 khi và chỉ khi = = = 0 a2 b2 b2 c2 c2 a2 Chú ý: Với trường hợp a2 .b2 .c2 ¹ 0 khi đó a a + Nếu 1 ¹ 2 thì hai đường thẳng cắt nhau. b1 b2 a a c + Nếu 1 = 2 ¹ 1 thì hai đường thẳng song song nhau. b1 b2 c2 a a c + Nếu 1 = 2 = 1 thì hai đường thẳng trùng nhau. b1 b2 c2 B. BÀI TẬP TỰ LUẬN. Baøi 1. Lập PTTS, PTCT (nếu có), PTTQ của các đường thẳng đi qua điểm M và có VTCP u : a) M(–2; 3) , u (5; 1) b) M(–1; 2), u ( 2;3) c) M(3; –1), u ( 2; 5) d) M(1; 2), u (5;0) e) M(7; –3), u (0;3) f) M  O(0; 0), u (2;5) Baøi 2. Lập PTTS, PTCT (nếu có), PTTQ của các đường thẳng đi qua điểm M và có VTPT n : a) M(–2; 3) , n (5; 1) b) M(–1; 2), n ( 2;3) c) M(3; –1), n ( 2; 5) d) M(1; 2), n (5;0) e) M(7; –3), n (0;3) f) M  O(0; 0), n (2;5) Baøi 3. Lập PTTS, PTCT (nếu có), PTTQ của các đường thẳng đi qua điểm M và có hệ số góc k: a) M(–3; 1), k = –2 b) M(–3; 4), k = 3 c) M(5; 2), k = 1 d) M(–3; –5), k = –1 e) M(2; –4), k = 0 f) M  O(0; 0), k = 4 Baøi 4. Lập PTTS, PTCT (nếu có), PTTQ của các đường thẳng đi qua hai điểm A, B: a) A(–2; 4), B(1; 0) b) A(5; 3), B(–2; –7) c) A(3; 5), B(3; 8) d) A(–2; 3), B(1; 3) e) A(4; 0), B(3; 0) f) A(0; 3), B(0; –2) g) A(3; 0), B(0; 5) h) A(0; 4), B(–3; 0) i) A(–2; 0), B(0; –6) Baøi 5. Viết PTTS, PTCT (nếu có), PTTQ của các đường thẳng đi qua điểm M và song song với đường thẳng d: a) M(2; 3), d: 4x 10y 1 0 b) M(–1; 2), d  Ox c) M(4; 3), d  Oy x 1 2t x 1 y 4 d) M(2; –3), d: e) M(0; 3), d: y 3 4t 3 2 Baøi 6. Viết PTTS, PTCT (nếu có), PTTQ của các đường thẳng đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng d: a) M(2; 3), d: 4x 10y 1 0 b) M(–1; 2), d  Ox c) M(4; 3), d  Oy x 1 2t x 1 y 4 d) M(2; –3), d: e) M(0; 3), d: y 3 4t 3 2 Baøi 7. Cho tam giác ABC. Viết phương trình các cạnh, các đường trung tuyến, các đường cao của tam giác với: a) A(2; 0), B(2; –3), C(0; –1) b) A(1; 4), B(3; –1), C(6; 2) c) A(–1; –1), B(1; 9), C(9; 1) d) A(4; –1), B(–3; 2), C(1; 6) Baøi 8. Cho tam giác ABC, biết phương trình ba cạnh của tam giác. Viết phương trình các đường cao của tam giác, với: a) AB : 2x 3y 1 0, BC : x 3y 7 0, CA : 5x 2y 1 0 b) AB : 2x y 2 0, BC : 4x 5y 8 0, CA : 4x y 8 0 Baøi 9. Viết phương trình các cạnh và các trung trực của tam giác ABC biết trung điểm của các cạnh BC, CA, AB lần lượt là các điểm M, N, P, với: 3 5 5 7 a) M(–1; –1), N(1; 9), P(9; 1) b) M ; , N ; , P(2; 4) 2 2 2 2 48 | P a g e
3 1 3 7 c) M 2; , N 1; , P(1; 2) d) M ;2 , N ;3 , P(1;4) 2 2 2 2 Baøi 10. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M và chắn trên hai trục toạ độ 2 đoạn bằng nhau, với: a) M(–4; 10) b) M(2; 1) c) M(–3; –2) d) M(2; –1) Baøi 11. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M và cùng với hai trục toạ độ tạo thành một tam giác có diện tích S, với: a) M(–4; 10), S = 2 b) M(2; 1), S = 4 c) M(–3; –2), S = 3 d) M(2; –1), S = 4 Baøi 12. Tìm hình chiếu của điểm M lên đường thẳng d và điểm M đối xứng với M qua đường thẳng d với: a) M(2; 1), d : 2x y 3 0 b) M(3; – 1), d : 2x 5y 30 0 c) M(4; 1), d : x 2y 4 0 d) M(– 5; 13), d : 2x 3y 3 0 Baøi 13. Cho tam giác ABC biết A(2;0), B(0; 4), C(1; 3) . Viết phương trình tổng quát của a) Đường cao AH b) Đường trung trực của đoạn thẳng BC . c) Đường thẳng AB . d) Đường thẳng qua C và song song với đường thẳng AB . Baøi 14. Cho đường thẳng d : x- 2y + 3 = 0 và điểm M(- 1; 2) . Viết phương trình tổng quát của đường thẳng D biết: a) D đi qua điểm M và có hệ số góc k = 3 b) D đi qua M và vuông góc với đường thẳng d c) D đối xứng với đường thẳng d qua M . C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM. Câu 1: Cho phương trình: ax by c 0 1 với a2 b2 0 . Mệnh đề nào sau đây sai? A. 1 là phương trình tổng quát của đường thẳng có vectơ pháp tuyến là n a;b . B. a 0 1 là phương trình đường thẳng song song hoặc trùng với trục ox . C. b 0 1 là phương trình đường thẳng song song hoặc trùng với trục oy . D. Điểm M 0 x0 ; y0 thuộc đường thẳng 1 khi và chỉ khi ax0 by0 c 0 . Câu 2: Mệnh đề nào sau đây sai? Đường thẳng d được xác định khi biết. A. Một vecto pháp tuyến hoặc một vec tơ chỉ phương. B. Hệ số góc và một điểm thuộc đường thẳng. C. Một điểm thuộc d và biết d song song với một đường thẳng cho trước. D. Hai điểm phân biệt thuộc d . Câu 3: Cho tam giác ABC . Hỏi mệnh đề nào sau đây sai?  A. BC là một vecto pháp tuyến của đường cao AH.  B. BC là một vecto chỉ phương của đường thẳng BC. C. Các đường thẳng AB, BC, CA đều có hệ số góc. AB AB D. Đường trung trực của có là vecto pháp tuyến. Câu 4: Đường thẳng d có vecto pháp tuyến n a;b . Mệnh đề nào sau đây sai ? A. u1 b; a là vecto chỉ phương của d . B. u2 b;a là vecto chỉ phương của d .  C. n ka;kb k R là vecto pháp tuyến của d . b D. d có hệ số góc k b 0 . a Câu 5: Đường thẳng đi qua A 1;2 , nhận n 2; 4 làm véc tơ pháo tuyến có phương trình là: A. x 2y 4 0 B. x y C. 4 0 D. x 2y 4 0 x 2y 5 0 Câu 6: Cho đường thẳng (d): 2x 3y 4 0 . Vecto nào sau đây là vecto pháp tuyến của (d)? 49 | P a g e
    A. .n 1 3;2 B. . C. . n2 D. 4 .; 6 n3 2; 3 n4 2;3 Câu 7: Cho đường thẳng d :3x 7y 15 0 . Mệnh đề nào sau đây sai? A. u 7;3 là vecto chỉ phương của . d 3 B. d có hệ số góc .k 7 C. d không đi qua góc tọa độ. 1 D. đid qua hai điểm M và;2 N 5 .;0 3 Câu 8: Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A 2;4 ; B 6;1 là: A. 3x 4y 10 0. B. 3x 4y 22 0. C. 3x 4y 8 0. D. 3x 4y 22 0 Câu 9: Cho đường thẳng d :3x 5y 15 0. Phương trình nào sau đây không phải là một dạng khác của (d). 5 x y 3 x t x 5 t A. . B. 1 y x C. 3 t D. R . 3 t R 5 3 5 y 5 y t Câu 10: Cho đường thẳng d : x 2y 1 0 . Nếu đường thẳng đi qua M 1; 1 và song song với d thì có phương trình A. x 2y 3 0 B. x 2y 5 0 C. x 2y 3 0 D. x 2y 1 0 Câu 11: Cho ba điểm A 1; 2 , B 5; 4 ,C 1;4 . Đường cao AA của tam giác ABC có phương trình A. 3x 4y 8 0 B. 3x 4y 11 0 C. 6x 8y 11 0 D. 8x 6y 13 0 Câu 12: Cho hai đường thẳng d1 : mx y m 1 , d2 : x my 2 cắt nhau khi và chỉ khi : A. m 2. B. m 1. C. m 1. D. m 1. Câu 13: Cho hai điểm A 4;0 , B 0;5 . Phương trình nào sau đây không phải là phương trình của đường thẳng AB? x 4 4t x y x 4 y 5 A. t R B. 1 C. D. y x 15 y 5t 4 5 4 5 4 Câu 14: Đường thẳng : 3x 2y 7 0 cắt đường thẳng nào sau đây? A. d1 :3x 2y 0 B. d2 :3x 2y 0 C. d3 : 3x 2y 7 0. D. d4 : 6x 4y 14 0. Câu 15: Mệnh đề nào sau đây đúng? Đường thẳng d : x 2y 5 0 : A. Đi qua A 1; 2 . x t B. Có phương trình tham số:. t R y 2t 1 C. d có hệ số góc k . 2 D. cắtd cód phương trình: x 2y . 0 Câu 16: Cho đường thẳng d : 4x 3y 5 0 . Nếu đường thẳng đi qua góc tọa độ và vuông góc với d thì có phương trình: A. 4x 3y 0 B. 3x 4y 0 C. 3x 4y 0 D. 4x 3y 0 Câu 17: Cho tam giác ABC có A 4;1 B 2; 7 C 5; 6 và đường thẳng d :3x y 11 0 . Quan hệ giữa d và tam giác ABC là: 50 | P a g e
A. Đường cao vẽ từ A. B. Đường cao vẽ từ B. C. Đường trung tuyến vẽ từ A. D. Đường Phân giác góc B· AC. x 1 2t Câu 18: Giao điểm M của d : và d :3x 2y 1 0 là y 3 5t 11 1 1 1 A. M 2; . B. M 0; . C. M 0; . D. M ;0 . 2 2 2 2 Câu 19: Phương trình nào sau đây biểu diển đường thẳng không song song với đường thẳng d : y 2x 1? A. 2x y 5 0. B. 2x y 5 0. C. 2x y 0. D. 2x y 5 0. Câu 20: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm I 1;2 và vuông góc với đường thẳng có phương trình 2x y 4 0 A. x 2y 5 0 B. x 2y C. 3 0 D. x 2y 0 x 2y 5 0 x 2 5t Câu 21: Hai đường thẳng d1 : và d2 : 4x 3y 18 0 . Cắt nhau tại điểm có tọa độ: y 2t A. 2;3 . B. 3;2 . C. 1;2 . D. 2;1 . x 2 3t 7 Câu 22: Cho đường thẳng d : và điểm A ; 2 . Điểm A d ứng với giá trị nào của t? y 1 2t 2 3 1 1 A. t . B. t . C. t . D. t 2 2 2 2 Câu 23: Phương trình tham số của đường thẳng (d) đi qua điểm M 2;3 và vuông góc với đường thẳng d :3x 4y 1 0 là x 2 4t x 2 3t x 2 3t x 5 4t A. B. C. D. y 3 3t y 3 4t y 3 4t y 6 3t Câu 24: Cho ABC có A 2; 1 ;B 4;5 ;C 3;2 . Viết phương trình tổng quát của đường cao AH . A. 3B.x 7y 1 0 C. 7x 3y 13 0 D. 3x 7y 13 0 7x 3y 11 0 Câu 25:Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm M 2 ;và1 vuông góc với đường thẳng có phương trình 2 1 x 2 1 y 0 . A. 1 2 x 2 1 y 1 2 2 0 B. x 3 2 2 y 3 2 0 C. 1 2 x 2 1 y 1 0 D. x 3 2 2 y 2 0 Câu 26: Cho đường thẳng d đi qua điểm M 1;3 và có vecto chỉ phương a 1; 2 . Phương trình nào sau đây không phải là phương trình của d ? x 1 t x 1 y 3 A. B. . C. 2x y 5 0. D. y 2x 5. y 3 2t. 1 2 Câu 27: Cho tam giác ABC có A 2;3 , B 1; 2 ,C 5;4 .Đường trung trực trung tuyến AM có phương trình tham số x 2 x 2 4t x 2t x 2 A. B. C. D. 3 2t. y 3 2t. y 2 3t. y 3 2t. x 2 3t Câu 28: Cho d : . Điểm nào sau đây không thuộc d ? y 5 4t 51 | P a g e
A. A 5;3 . B. B 2;5 . C. C 1;9 . D. D 8; 3 . x 2 3t Câu 29: Cho d : . Hỏi có bao nhiêu điểm M d cách A 9;1 một đoạn bằng 5. y 3 t. A. 1 B. 0 C. 3 D. 2 Câu 30: Cho hai điểm A 2;3 ; B 4; 1 . viết phương trình trung trực đoạn AB. A. x y 1 0. B. 2x 3y 1 0. C. 2x 3y 5 0. D. 3x 2y 1 0. Câu 31: Cho hai đường thẳng d1 : mx y m 1 , d2 : x my 2 song song nhau khi và chỉ khi A. m 2. B. m 1. C. m 1. D. m 1. Câu 32: Cho hai đường thẳng 1 :11x 12y 1 0 và 2 :12x 11y 9 0 . Khi đó hai đường thẳng này A. Vuông góc nhau B. cắt nhau nhưng không vuông góc C. trùng nhauD. song song với nhau 2 x 1 m 1 t Câu 33: Với giá trị nào của m thì hai đường thẳng sau đây vuông góc 1 : và y 2 mt x 2 3t ' 2 : y 1 4mt ' A. m 3 B. m 3 C. m 3 D. không có m Câu 34: Cho 4 điểm A 1;2 , B 4;0 ,C 1; 3 , D 7; 7 . Xác định vị trí tương đối của hai đường thẳng AB và CD . A. Song song. B. Cắt nhau nhưng không vuông góc. C. Trùng nhau. D. Vuông góc nhau. 2 Câu 35: Với giá trị nào của m thì hai đường thẳng 1 :3x 4y 1 0 và 2 : 2m 1 x m y 1 0 trùng nhau. A. m 2 B. mọi m C. không có D. m m 1 Câu 36: Cho 4 điểm A 3;1 , B 9; 3 ,C 6;0 , D 2;4 . Tìm tọa độ giao điểm của 2 đường thẳng AB và CD . A. 6; 1 B. 9; 3 C. 9;3 D. 0;4 Câu 37: Cho tam giác ABC có A 1; 2 ;B 0;2 ;C 2;1 . Đường trung tuyến BM có phương trình là: A. 5x 3y 6 0 B. 3x 5y 1C.0 0 D. x 3y 6 0 3x y 2 0 Câu 38: Cho tam giác ABC với A 2; 1 ;B 4;5 ;C 3;2 . Phương trình tổng quát của đường cao đi qua A của tam giác là A. 3x 7y 1 0 B. 7x 3y 1 3C. 0 3x 7y 1 3 D. 0 7x 3y 11 0 Câu 39: Cho tam giác ABC với A 2;3 ;B 4;5 ;C 6; 5 . M , N lần lượt là trung điểm của AB và AC . Phương trình tham số của đường trung bình MN là: x 4 t x 1 t x 1 5t x 4 5t A. B. C. D. y 1 t y 4 t y 4 5t y 1 5t Câu 40: Phương trình đường thẳng đi qua điểm M 5; 3 và cắt hai trục tọa độ tại hai điểm A và B sao cho M là trung điểm của AB là: A. 3x 5y 30 0. B. 3x 5y 30 0. C. 5x 3y 34 0. D. 5x 3y 34 0 52 | P a g e
§2 KHOẢNG CÁCH VÀ GÓC A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT I. Khoảng cách. 1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng Cho đường thẳng : ax by c 0 và điểm M0(x0; y0 ) . ax0 by0 c d(M0, ) a2 b2 2. Vị trí tương đối của hai điểm đối với một đường thẳng Cho đường thẳng : ax by c 0 và hai điểm M (x. M ; yM ), N(xN ; yN ) – M, N nằm cùng phía đối với (axM byM c)(axN byN c) 0 . – M, N nằm khác phía đối với (axM byM c)(axN byN c) 0 . 3. Phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng Cho hai đường thẳng 1: a1x b1y c1 0 và 2: a2x b2y c2 0 cắt nhau. Phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng 1 và 2 là: a x b y c a x b y c 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 a1 b1 a2 b2 Chú ý: Để lập phương trình đường phân giác trong hoặc ngoài của góc A trong tam giác ABC ta có thể thực hiện như sau: Cách 1: – Tìm toạ độ chân đường phân giác trong hoặc ngoài (dựa vào tính chất đường phân giác của góc trong tam giác). Cho ABC với đường phân giác trong AD và phân giác ngoài AE (D, E BC) ta có:  AB   AB  DB .DC ,.EB .EC AC AC – Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm. Cách 2: – Viết phương trình các đường phân giác d1, d2 của các góc tạo bởi hai đường thẳng AB, AC. – Kiểm tra vị trí của hai điểm B, C đối với d1 (hoặc d2). + Nếu B, C nằm khác phía đối với d1 thì d1 là đường phân giác trong. + Nếu B, C nằm cùng phía đối với d1 thì d1 là đường phân giác ngoài. II. Góc giữa hai đường thẳng Cho hai đường thẳng 1: a1x b1y c1 0 (có VTPT n1 (a1;b1) ) và 2: a2x b2y c2 0 (có VTPT n2 (a2;b2 ) ). (n ,n ) khi (n ,n ) 900 (· , ) 1 2 1 2 1 2 0 0 180 (n1,n2 ) khi (n1,n2 ) 90 · · n1.n2 a1b1 a2b2 cos( 1, 2 ) cos(n1,n2 ) n . n 2 2 2 2 1 2 a1 b1 . a2 b2 0 · 0 Chú ý: 0 1, 2 9 .0 1  2 a1a2 b1b2 0 . Cho 1: y k1x m1 , 2: y k2x m2 thì: + 1 // 2 k1 = k2 + 1  2 k1. k2 = –1. Cho ABC. Để tính góc A trong ABC, ta có thể sử dụng công thức: 53 | P a g e
    AB.AC cos A cos AB, AC   AB . AC B. BÀI TẬP TỰ LUẬN. Baøi 1. Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d, với: a) M(4; 5), d : 3x 4y 8 0 b) M(3;5), d : x y 1 0 x 2t x 2 y 1 c) M(4; 5), d : d) M(3;5), d : y 2 3t 2 3 Baøi 2. a) Cho đường thẳng : 2x y 3 0 . Tính bán kính đường tròn tâm I(–5; 3) và tiếp xúc với . b) Cho hình chữ nhật ABCD có phương trình 2 cạnh là: 2x 3y 5 0, 3x 2y 7 0 và đỉnh A(2; – 3). Tính diện tích hình chữ nhật đó. c) Tính diện tích hình vuông có 4 đỉnh nằm trên 2 đường thẳng song song: d1 : 3x 4y 6 0 và d2 : 6x 8y 13 0 . Baøi 3. Cho tam giác ABC. Tính diện tích tam giác ABC, với: a) A(–1; –1), B(2; –4), C(4; 3) b) A(–2; 14), B(4; –2), C(5; –4) Baøi 4. Viết phương trình đường thẳng d song song và cách đường thẳng một khoảng k, với: x 3t a) : 2x y 3 0, k 5 b) : , k 3 y 2 4t c) : y 3 0, k 5 d) : x 2 0, k 4 Baøi 5. Viết phương trình đường thẳng d song song với đường thẳng và cách điểm A một khoảng bằng k, với: a) : 3x 4y 12 0, A(2;3), k 2 b) : x 4y 2 0, A( 2;3), k 3 c) : y 3 0, A(3; 5), k 5 d) : x 2 0, A(3;1), k 4 Baøi 6. Viết phương trình đường thẳng đi qua A và cách B một khoảng bằng d, với: a) A(–1; 2), B(3; 5), d = 3 b) A(–1; 3), B(4; 2), d = 5 c) A(5; 1), B(2; –3), d = 5 d) A(3; 0), B(0; 4), d = 4. Baøi 7. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M và cách đều hai điểm P, Q, với: a) M(2; 5), P(–1; 2), Q(5; 4) b) M(1; 2), P(2; 3), Q(4; –5) c) M(10; 2), P(3; 0), Q(–5; 4) d) M(2; 3), P(3; –1), Q(3; 5) Baøi 8. Viết phương trình đường thẳng d cách điểm A một khoảng bằng h và cách điểm B một khoảng bằng k, với: a) A(1; 1), B(2; 3), h = 2, k = 4 b) A(2; 5), B(–1; 2), h = 1, k = 3 Baøi 9. Cho đường thẳng : x y 2 0 và các điểm O(0; 0), A(2; 0), B(–2; 2). a) Chứng minh đường thẳng cắt đoạn thẳng AB. b) Chứng minh rằng hai điểm O, A nằm cùng về một phía đối với đường thẳng . c) Tìm điểm O đối xứng với O qua . Baøi 10. Tính góc giữa hai đường thẳng: a) x 2y 1 0, x 3y 11 0 b) 2x y 5 0, 3x y 6 0 c) 3x 7y 26 0, 2x 5y 13 0 d) 3x 4y 5 0, 4x 3y 11 0 Baøi 11. Tính số đo của các góc trong tam giác ABC, với: a) A(–3; –5), B(4; –6), C(3; 1) b) A(1; 2), B(5; 2), C(1; –3) c) AB : 2x 3y 21 0, BC : 2x 3y 9 0, CA : 3x 2y 6 0 d) AB : 4x 3y 12 0, BC : 3x 4y 24 0, CA : 3x 4y 6 0 Baøi 12. Cho hai đường thẳng d và . Tìm m để góc giữa hai đường thẳng đó bằng , với: a) d : 2mx (m 3)y 4m 1 0, : (m 1)x (m 2)y m 2 0, 450 . b) d : (m 3)x (m 1)y m 3 0, : (m 2)x (m 1)y m 1 0, 900 . 54 | P a g e
Baøi 13. Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A và tạo với đường thẳng một góc , với: a) A(6;2), : 3x 2y 6 0, 450 b) A( 2;0), : x 3y 3 0, 450 c) A(2;5), : x 3y 6 0, 600 d) A(1;3), : x y 0, 300 C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM. 2 2 Câu 1: Cho điểm M x0 ; y0 và đường thẳng : ax by c 0 với a b 0 . Khi đó khoảng cách d M ; là ax by c ax by c d 0 0 0 0 A B. M. ; d M ; a2 b2 c2 a2 b2 c2 ax by c ax by c d 0 0 0 0 C D. M.; d M ; a2 b2 a2 b2 x 2 3t Câu 2: Khoảng cách từ điểm M 15;1 đến đường thẳng : là y t 1 16 A. . 5 B. . C. . 10 D. . 10 5 Câu 3: Khoảng cách từ điểm M 5; 1 đến đường thẳng :3x 2y 13 0 là 13 28 A. . B. . 2 C. . D. . 2 13 2 13 Câu 4: Khoảng cách từ điểm M 0;1 đến đường thẳng :5x 12y 1 0 là 11 13 A. . B. . C. . 1 D. . 13 13 17 Câu 5: Cho ba điểm A 0;1 , B 12;5 , C 3;5 . Đường thẳng nào sau đây cách đều ba điểm A , B , C ? A. .5 x y B.1 . 0 C. . 2x D.6y . 21 0 x y 0 x 3y 4 0 Câu 6: Tìm tọa độ điểm M nằm trên trục Ox và cách đều 2 đường thẳng: 1 :3x 2y 6 0 và 2 :3x 2y 3 0 1 A. . 0; 2 B. . ;0C. . D. 1 ;.0 2;0 2 x 1 3t Câu 7: Khoảng cách từ điểm M 2;0 đến đường thẳng : là y 2 4t 10 5 A. .2B C. . D. . 5 2 Câu 8: Khoảng cách từ điểm M 1; 1 đến đường thẳng :3x 4y 17 0 là 2 10 18 A. . B. . C. . 2 D. . 5 5 5 Câu 9: Khoảng cách từ điểm M 1;0 đến đường thẳng :3x 4y 1 0 là 2 10 2 A. . B. . C. . 2 D. . 5 5 25 Câu 10: Khoảng cách từ điểm M 1;1 đến đường thẳng :3x 4y 3 0 là 2 4 4 A. . B. . 2 C. . D. . 5 5 25 x y Câu 11: Khoảng cách từ điểm O 0;0 đến đường thẳng : 1 là 6 8 1 48 1 A. .4 ,8 B. . C. . D. . 10 14 14 55 | P a g e