Tài liệu ôn tập môn Toán vào Lớp 10 - Nguyễn Thanh Hải

Nội dung text: Tài liệu ôn tập môn Toán vào Lớp 10 - Nguyễn Thanh Hải

1. Tài liệu ôn tập vào lớp 10 Lí THUYẾT Mục lục Error! Bookmark not defined. Phần I: đại số 2 Chủ đề 1: Căn thức – Biến đổi căn thức 2 Dạng 1: Tìm điều kiện để biểu thức có chứa căn thức có nghĩa. 2 Dạng 2: Biến đổi đơn giản căn thức 2 Dạng 3: Bài toán tổng hợp kiến thức và kỹ năng tính toán. 3 Chủ đề 2: Phương trình bậc hai và định lí Viét. 11 Dạng 1: Giải phương trình bậc hai 11 Dạng 2: Chứng minh phương trình có nghiệm, vô nghiệm 11 Dạng 3: Tính giá trị của biểu thức đối xứng, lập phương trình bậc hai nhờ nghiệm của phương trình bậc hai cho trước. 11 Dạng 4: Tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm, có nghiệm kép, vô nghiệm. 11 Dạng 5: Xác định tham số để các nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 thoả mãn điều kiện cho trước. 12 Dạng 6: So sánh nghiệm của phương trình bậc hai với một số Dạng 7: Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình bậc hai không phụ thuộc tham số. 12 Dạng 8: Mối quan hệ giữa các nghiệm của hai phương trình bậc hai 13 Chủ đề 3: Hệ phương trình 10 Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn: 10 Dạng 1: Giải hệ phương trình cơ bản và đưa được về dạng cơ bản 10 Dạng 2: Giải hệ bằng phương pháp đặt ẩn phụ 10 Dạng 3: Xác định giá trị của tham số để hệ có nghiệm thoả mãn điều kiện cho trước 10 Một số hệ bậc hai đơn giản: Error! Bookmark not defined. Dạng 1: Hệ đối xứng loại I Dạng 2: Hệ đối xứng loại II Error! Bookmark not defined. Dạng 3: Hệ bậc hai giải bằng phương pháp thế hoặc cộng đại số Error! Bookmark not defined. Chủ đề 4: Hàm số và đồ thị 14 Dạng 1: Vẽ đồ thị hàm số 16 Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng 16 Dạng 3: Vị trí tương đối giữa đường thẳng và parabol 17 Chủ đề 5: Giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình 17 Dạng 1: Chuyển động (trên đường bộ, trên đường sông có tính đến dòng nước chảy) 17 Dạng 2: Toán làm chung – làn riêng (toán vòi nước) 17 Dạng 3: Toán liên quan đến tỉ lệ phần trăm 18 Dạng 4: Toán có nội dung hình học 18 Dạng 5: Toán về tìm số. 18 Chủ đề 6: Phương trình quy về phương trình bậc hai 19 Dạng 1: Phương trình có ẩn số ở mẫu 19 Dạng 2: Phương trình chứa căn thức 19 Dạng 3: Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối. 19 Dạng 4: Phương trình trùng phương. 19 Dạng 5: Phương trình bậc cao 19 Phần II: Hình học 21 Chủ đề 1: Nhận biết hình, tìm điều kiện của một hình 21 Chủ đề 2: Chứng minh tứ giác nội tiếp, chứng minh nhiều điểm cùng nằm trên một đường tròn 21 Chủ đề 3: Chứng minh các điểm thẳng hàng, các đường thẳng đồng quy 23 Chủ đề 4: Chứng minh điểm cố định. 24 Chủ đề 5: Chứng minh hai tam giác đồng dạng và chứng minh đẳng thức hình học. 25 Chủ đề 6: Các bài toán về tính số đo góc và số đo diện tích. 25 Chủ đề 7: Toán quỹ tích. 26 Chủ đề 8: Một số bài toán mở đầu về hình học không gian. 26 GV:NGUYỄN THỊ THANH HẢI 1
2. Tài liệu ôn tập vào lớp 10 Phần I: đại số Chủ đề 1: Căn thức – Biến đổi căn thức. Dạng 1: Tìm điều kiện để biểu thức có chứa căn thức có nghĩa. Điều kiện để A xác định là A 0 Bài 1: Tìm x để các biểu thức sau có nghĩa.( Tìm ĐKXĐ của các biểu thức sau). 2 1) 3x 1 8) x 3 2 2) 5 2x 9) x 2 1 2 3) 10) x 3x 7 7x 14 2 4) 2x 1 11) 2x 5x 3 3 x 1 5) 12) 2 7x 2 x 5x 6 x 3 1 3x 6) 13) 7 x x 3 5 x 1 7) 14) 6x 1 x 3 2 2x x Dạng 2: Biến đổi đơn giản căn thức. Bài 2: Thực hiện phép tính. a) ( 28 2 14 7)  7 7 8; d) 6 2 5 6 2 5; b) ( 8 3 2 10)( 2 3 0,4); e) 11 6 2 11 6 2 c) (15 50 5 200 3 450) : 10; f) 3 5 2 7 3 5 2 7 g) 3 20 14 2 3; 20 14 2 ; h) 3 26 15 3 3 26 15 3 Bài 3: Thực hiện phép tính. 2 3 6 216 1 14 7 15 5 1 5 2 6 8 2 15 a) ( )  b) ) : c) 8 2 3 6 1 2 1 3 7 5 7 2 10 BBài 4: Thực hiện phép tính. a) (4 15)( 10 6) 4 15 b) (3 5) 3 5 (3 5) 3 5 c) 3 5 3 5 2 d) 4 7 4 7 7 e) 6,5 12 6,5 12 2 6 Bài 5: Rút gọn các biểu thức sau: 1 1 3 3 a) b) 7 24 1 7 24 1 3 1 1 3 1 1 5 2 6 5 2 6 3 5 3 5 c) d) 5 6 5 6 3 5 3 5 GV:NGUYỄN THỊ THANH HẢI 2
3. Tài liệu ôn tập vào lớp 10 Bài 7: Rút gọn biểu thức sau: a b b a 1 a) : , với a 0, b 0 và a b. ab a b a a a a b) 1 1 , với a 0 và a 1. a 1 a 1 a a 8 2a 4 a c) ; a 4 1 4 2 d)  5a (1 4a 4a ) 2a 1 2 2 2 3x 6xy 3y e)  2 2 x y 4 Dạng 3: Bài toán tổng hợp kiến thức và kỹ năng tính toán. x 3 Bài 1: Cho biểu thức P x 1 2 a) Rút gọn P. b) Tính giá trị của P nếu x = 4(2 - 3 ). c) Tính giá trị nhỏ nhất của P. a 2 a 2a a Bài 2: Xét biểu thức A 1. a a 1 a a) Rút gọn A. b) Biết a > 1, hãy so sánh A với A . c) Tìm a để A = 2. d) Tìm giá trị nhỏ nhất của A. 1 1 x Bài 3: Cho biểu thức C 2 x 2 2 x 2 1 x a) Rút gọn biểu thức C. 4 b) Tính giá trị của C với x . 9 1 c) Tính giá trị của x để C . 3 a a b Bài 4: Cho biểu thức M 1 : 2 2 2 2 2 2 a b a b a a b a) Rút gọn M. a 3 b) Tính giá trị M nếu . b 2 c) Tìm điều kiện của a, b để M 0. c) Tìm giá trị lơn nhất của P. 2 x 9 x 3 2 x 1 Bài 6: Xét biểu thức Q . x 5 x 6 x 2 3 x a) Rút gọn Q. GV:NGUYỄN THỊ THANH HẢI 3
4. Tài liệu ôn tập vào lớp 10 b) Tìm các giá trị của x để Q 1. c) Tính các giá trị của A nếu a 2007 2 2006 . 3x 9x 3 x 1 x 2 Bài 9: Xét biểu thức M . x x 2 x 2 1 x a) Rút gọn M. b) Tìm các giá trị nguyên của x để giá trị tương ứng của M cũng là số nguyên. 15 x 11 3 x 2 2 x 3 Bài 10: Xét biểu thức P . x 2 x 3 1 x x 3 a) Rút gọn P. 1 2 b) Tìm các giá trị của x sao cho P .c) So sánh P với . 2 3 x x 1 x x 1 x 1 Bài 11 :Cho biểu thức : P x x x x x 1/ Rút gọn biểu thức P : 9 2/ Tìm x để P : 2 1 x 2 Bài 12 : Cho biểu thức : M x 1 x 1 x x 1 1/ Tìm x để M có nghĩa: 2/ Rút gọn biểu thức M : 3/ Tìm giá trị của M khi x 4 2 3 : x 2 x 1 x 1 Bài 13 : Cho biểu thức : A 1: x x 1 x x 1 x 1 1/ Tìm x để A có nghĩa: 2/ Rút gọn biểu thức P : 3/ Chứng minh rằng A > 1 với mọi x > 0 và x 1: x 2 x 1 x 1 Bài 14 : Cho biểu thức : P x x 1 x x 1 x 1 1/ Rút gọn biểu thức P : 1 2/ Chứng minh rằng : P 0: GV:NGUYỄN THỊ THANH HẢI 4
5. Tài liệu ôn tập vào lớp 10 53 3/ Tìm giá trị của B khi x : 9 2 7 4/ Tìm các giá trị nguyên của x để B nhận giá trị nguyên. a 2 a 2a a Bài 16: Cho biểu thức : A 1 a a 1 a 1/ Rút gọn biểu thức A: 2/ Tìm giá trị của a để biểu thức A 2 . 3/ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A. x 2 x 2 1 x 2 Bài 17 : Cho biểu thức : P . x 1 x 2 x 1 2 1/ Rút gọn biểu thức P : 2/ Chứng minh rằng : nếu 0 0. 3/ Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P. x 2 x 1 1 Bài 18 : Cho biểu thức : P x x 1 x x 1 x 1 1/ Rút gọn biểu thức P : 2/ Tìm giá trị của P khi x 28 6 3 . 3/ Tìm giá trị lớn nhất của P. 2a a 1 2a a a a a a Bài 19: Cho biểu thức : Q 1 . 1 a 1 a a 2 a 1 1/ Rút gọn biểu thức Q : 6 2/ Tìm giá trị của a để Q . 1 6 2 3/ Chứng minh rằng : Q > . 3 2 a 1 2 a Bài 20 : Cho biểu thức : P 1 : a 1 a 1 a a a a 1 1/ Rút gọn biểu thức P : 2/ Tìm các giá trị của a sao cho P > 1. 3/ Tìm giá trị của P khi a 19 8 3 . 1 1 1 1 1 Bài 21 : Cho biểu thức : A : 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1/ Rút gọn biểu thức A : 2/ Tính A khi x 7 4 3 . 3/ Tìm giá trị nhỏ nhất của A. x 1 x 1 2 x 1 Bài 22 : Cho biểu thức : A : x 1 x 1 x 2 1 x 1 x 1 1/ Rút gọn biểu thức A : 2/ Tính A khi x 3 8 . 3/ Tìm x khi A 5 . x 1 2 x Bài 23 : Cho biểu thức : B 1 : x 1 x 1 x x x x 1 1/ Rút gọn biểu thức B : 2/ Tìm x để B > 3. 3/ Tìm x khi B = 7. GV:NGUYỄN THỊ THANH HẢI 5
6. Tài liệu ôn tập vào lớp 10 4/ Tìm B khi x 4 2 3 . 5/ Tìm x để B > 1. x 1 1 2 Bài 24 : Cho biểu thức : C : x 1 x x x 1 x 1 1/ Rút gọn biểu thức C: 2/ Tính C khi x 3 2 2 . 3/ Tìm x khi C 5 . a a a a a Bài 25 : Cho biểu thức : M : a b b a a b a b 2 ab 1/ Tìm x để M có nghĩa: 2/ Rút gọn biểu thức M : a 1 3/ Khi ; M 1: Tìm a, b b 4 x 1 1 8 x 3 x 2 Bài 26 : Cho biểu thức : Q : 1 3 x 1 3 x 1 9x 1 3 x 1 1/ Rút gọn biểu thức Q: 2/ Tính Q khi x 6 2 5 . 6 3/ Tìm x khi Q . 5 15 x 11 3 x 2 2 x 3 Bài 27 : Cho biểu thức : U x 2 x 3 1 x x 3 1/ Rút gọn biểu thức U: 1 2/ Tìm x khi U . 2 3/ Tìm giá trị lớn nhất của U. 4/ Tìm các giá trị của x nguyên để U nhận giá trị nguyên. x x 3 x 2 x 2 Bài 28 : Cho biểu thức : U 1 : 1 x x 2 3 x x 5 x 6 1/ Rút gọn biểu thức U: 2/ Tìm x để N < 0. 3/ Tìm các giá trị của x nguyên để N nguyên. b 2 b b 5 b Bài 29 : Cho biểu thức : B 2 . 2 b 2 b 5 1/ Tìm b để B có nghĩa: 2/ Rút gọn biểu thức B. 2 x 9 x 3 2 x 1 Bài 30 : Cho biểu thức : Q x 5 x 6 x 2 3 x 1/ Tìm x để Q có nghĩa: 2/ Rút gọn biểu thức Q. 3/ Tìm các giá trị của x nguyên để Q nguyên. x 1 x 1 x 2 4x 1 x 2003 Bài 31 : Cho biểu thức : K . 2 x 1 x 1 x 1 x 1/ Tìm x để K có nghĩa: 2/ Rút gọn biểu thức K. 3/ Tìm các giá trị của x nguyên để K nguyên. GV:NGUYỄN THỊ THANH HẢI 6
7. Tài liệu ôn tập vào lớp 10 2x x x x x x x 1 x Bài 32 : Cho biểu thức : P . x x 1 x 1 2x x 1 2 x 1 1/ Tìm x để P có nghĩa: 2/ Rút gọn biểu thức P. 3/ Tìm các giá trị của x nguyên để P nguyên. 4a 2 10a 2 2a 20 Bài 33 : Cho biểu thức : A a 1 a 2 a 1 a 3 a 2 a 3 1/ Tìm x để A có nghĩa: 2/ Rút gọn biểu thức A. 1 1 a 2 2 Bài 34 : Cho biểu thức : P 2 1 a 2 1 a 1 a 3 1/ Tìm a để P có nghĩa: 2/ Rút gọn biểu thức P. 3/ Tìm các giá trị của a nguyên để P nguyên. 4/ Tìm giá trị nhỏ nhất của P . x x 1 x x 1 1 x 1 x 1 Bài 35 : Cho biểu thức : Q x . x x x x x x 1 x 1 1/ Rút gọn biểu thức Q: 2/ Tìm x khi Q 6. 3 a 3a 1 a 1 a b Bài 36 : Cho biểu thức : M : a ab b a a b b a b 2a 2 ab 2b 1/ Rút gọn biểu thức M: 2/ Tìm a nguyên để M nguyên. x 5 x 25 x x 3 x 5 Bài 37 : Cho biểu thức : M 1 : x 25 x 2 x 15 x 5 x 3 1/ Rút gọn biểu thức M: 2/ Tìm x nguyên để M nguyên. 3/ Tìm x để M < 1 . 2 x 1 x Bài 38 : Cho biểu thức : P : 1 x x x x 1 x 1 x 1 1/ Rút gọn biểu thức M: 2/ Tìm x để biểu thức P 0 . x 1 2 x 2 5 x Bài 39 : Cho biểu thức : P x 2 x 2 4 x 1/ Rút gọn biểu thức P: 2/ Tìm x để biểu thức P 2 . 1 1 a a 2 1 Bài 40 : Cho biểu thức : P : a 1 a a a 1 a 1 1/ Rút gọn biểu thức P: 2/ Tìm x để biểu thức P 3. 1 x 4 Bài 41 : Cho biểu thức : P x 1 x 1 x x 1 1/ Rút gọn biểu thức P: 2/ Tìm x nguyên để P nguyên. GV:NGUYỄN THỊ THANH HẢI 7
8. Tài liệu ôn tập vào lớp 10 2 x 1 3 x 1 x 2 Bài 42 : Cho biểu thức : Q : 1 x 1 x 1 x 1 x 1 1/ Rút gọn biểu thức Q: 2/ Tính Q khi x 6 2 5 . x y x y Bài 43 : Cho biểu thức : Q xy y xy x xy 1/ Rút gọn biểu thức Q: x x 1 2/ Tính Q khi . y y 5 2 5 x 1 x 1 Bài 44 : Cho biểu thức : Q 1 : 1 2 x 4 1 1 2 x 4x 4 x 1 1/ Rút gọn biểu thức Q: 1 2/ Tìm x khi Q . 2 x x 9 3 x 1 1 Bài 45 : Cho biểu thức : Q : 3 x 9 x x 3 x x 1/ Rút gọn biểu thức Q: 2/ Tìm x khi Q 1. 2x 1 x 8 x 1 x x Bài 46 : Cho biểu thức : Q x x x 1 x x 1 9x 1 1 x 1/ Rút gọn biểu thức Q: 3/ Tìm x khi Q 3. x 1 x 1 1 Bài 47 : Cho biểu thức : Q x x 1 x 1 x 1/ Rút gọn biểu thức Q: 2/ Chứng minh rằng : Q 2 3 x 3x 1 Bài 48 : Cho biểu thức : P x x 1 x x 1 x 1 1/ Rút gọn biểu thức P: 2/ Tìm x để biểu thức P 0 . x 2 1 Bài 49 : Cho biểu thức : Q 1 x x x 1 x 1 1/ Rút gọn biểu thức Q: 2/ Tính giá trị của Q khi x 4 2 3 x 4 1 Bài 50 : Cho biểu thức : Q 1 x x x 1 x 1 1/ Rút gọn biểu thức Q: 2/ Tính giá trị của Q khi x 4 2 3 x x x x Bài 51 : Chứng minh rằng với mọi 0 x 1 : 1 1 1 x x 1 x 1 2 1 x x 1 x Bài 52 : Chứng minh rằng với mọi 0 x 1 : x 1 1 x 1 x GV:NGUYỄN THỊ THANH HẢI 8
9. Tài liệu ôn tập vào lớp 10 x x x x Bài 53 : Chứng minh rằng với mọi 0 x 1 : 1 1 1 x x 1 x 1 1 1 x 1 x 1 Bài 54 : Chứng minh rằng với mọi 0 x 1 : : x x x 1 x 2 x 1 x Chứng minh rằng với mọi 0 x 1 : Bài 55 : 2 x 3x x 1 x x 1 x 2 x 1 1 2 x x 1 Bài 56 : Chứng minh rằng với mọi a 0,b 0, a b : a b a b 2b 2 b 2 a 2 b 2 a 2 b b a a b 2 a b 4 ab a b b a Bài 57 : Cho biểu thức : Q a b ab Rút gọn biểu thức Q: 2 x 2 x 2 Bài 58 : Cho biểu thức : Q 1 1 x 1 2 x 3 1/ Rút gọn biểu thức Q: 2/ Tìm x nguyên để Q nguyên 1 x x 1 x Bài 59 : Cho biểu thức : Q 3 x x 1 1 x 1/ Rút gọn biểu thức Q: 2/ Tính giá trị của Q khi x 4 2 3 3/ Tìm giá trị nhỏ nhất của Q. 1 x x 2 x Bài 60 : Cho biểu thức : Q x 1 1 x 1 x 1/ Rút gọn biểu thức Q: 2/ Tính giá trị của Q khi x 4 2 3 3/ Tìm x ngyên để Q nguyên. x 3 x 9 x x 3 x 2 Bài 61 : Cho biểu thức : Q 1 : x 9 x x 6 x 2 x 3 1/ Rút gọn biểu thức Q: 2/ Tìm giá trị lớn nhất của Q. 1 3 2 Bài 62 : Cho biểu thức : Q x 1 x x 1 x x 1 1/ Rút gọn biểu thức Q: 2/ Tìm giá trị lớn nhất của Q. x 14 x 3 x 2 Bài 63 : Cho biểu thức : Q x x 6 x 2 x 3 1/ Rút gọn biểu thức Q: 2/ Tìm x ngyên để Q nguyên. x 3 x 1 x 3 Bài 64 : Cho biểu thức : Q x 4 x 3 3 x 1 x 1/ Rút gọn biểu thức Q: 2/ Tìm x ngyên để Q nguyên . GV:NGUYỄN THỊ THANH HẢI 9
10. Tài liệu ôn tập vào lớp 10 Chủ đề 3: Hệ phương trình. A - Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn: áp dụng phương pháp cộng đại số hoặc phương pháp thế sao cho phù hợp Dạng 1: Giải hệ phương trình cơ bản và đưa được về dạng cơ bản Bài 1: Giải các hệ phương trình 3x 2y 4 4x 2y 3 2x 3y 5 1) ; 2) ; 3) 2x y 5 6x 3y 5 4x 6y 10 3x 4y 2 0 2x 5y 3 4x 6y 9 4) ; 5) ; 6) 5x 2y 14 3x 2y 14 10x 15y 18 Bài 2: Giải các hệ phương trình sau: 3x 2 2y 3 6xy 2x - 3 2y 4 4x y 3 54 1) ; 2) ; 4x 5 y 5 4xy x 1 3y 3 3y x 1 12 2y - 5x y 27 7x 5y - 2 5 2x 8 3 4 x 3y 3) ; 4) x 1 6y 5x 6x - 3y 10 y 5 3 7 5x 6y Dạng 2: Giải hệ bằng phương pháp đặt ẩn phụ Giải các hệ phương trình sau 2 1 3x 2 x 1 3y 3 4 7 x 2y y 2x x 1 y 4 x 1 y 2 1) ; 2) ; 3) ; 4 3 2x 5 2 5 1 9 4 x 2y y 2x x 1 y 4 x 1 y 2 2 2 x 2x y 1 0 5 x 1 3 y 2 7 4) ; 5) 2 2 2 3 x 2x 2 y 1 7 0 2 4x 8x 4 5 y 4y 4 13. Dạng 3: Xác định giá trị của tham số để hệ có nghiệm thoả mãn điều kiện cho trước Bài 1: a) Định m và n để hệ phương trình sau có nghiệm là (2 ; - 1). 2mx n 1 y m n m 2 x 3ny 2m 3 b) Định a và b biết phương trình: ax2 - 2bx + 3 = 0 có hai nghiệm là x = 1 và x = -2. Bài 2: Định m để 3 đường thẳng sau đồng quy: a) 2x – y = m ; x = y = 2m ; mx – (m – 1)y = 2m – 1 b) mx + y = m2 + 1 ; (m + 2)x – (3m + 5)y = m – 5 ; (2 - m)x – 2y = - m2 + 2m – 2. Bài 3: Cho hệ phương trình mx 4y 10 m (m là tham số) x my 4 a) Giải hệ phương trình khi m = 2 . b) Giải và biện luận hệ theo m. c) Xác định các giá tri nguyên của m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) sao cho x > 0, y > 0. d) Với giá trị nguyên nào của m thì hệ có nghiệm (x ; y) với x, y là các số nguyên dương. e) Định m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) sao cho S = x2 – y2 đạt giá trị nhỏ nhất. (câu hỏi tương tự với S = xy). f) Chứng minh rằng khi hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) thì điểm M(x ; y) luôn nằm trên một đường thẳng cố định khi m nhận các giá trị khác nhau. GV:NGUYỄN THỊ THANH HẢI 10
11. Tài liệu ôn tập vào lớp 10 Chủ đề 3 Phương trình bậc hai và định lí Viét. Dạng 1: Giải phương trình bậc hai. Sử dụng công thức nghiệm hoặc công thức nghiệm thu gọn sao cho phù hợp Bài 1: Giải các phương trình 1) x2 – 6x + 14 = 0 ; 2) 4x2 – 8x + 3 = 0 ; 3) 3x2 + 5x + 2 = 0 ; 4) -30x2 + 30x – 7,5 = 0 ; 5) x2 – 4x + 2 = 0 ; 6) x2 – 2x – 2 = 0 ; 7) x2 + 2 2 x + 4 = 3(x + 2 ) ; 8) 2 3 x2 + x + 1 = 3 (x + 1) ; 9) x2 – 2( 3 - 1)x - 2 3 = 0. Bài 2: Giải các phương trình sau bằng cách nhẩm nghiệm: Sử dụng điều kiện a+b+c=0 hoặc a-b+c=0. Hoặc dùng tổng hai nghiệm, tích hai nghiệm 1) 3x2 – 11x + 8 = 0 ; 2) 5x2 – 17x + 12 = 0 ; 3) x2 – (1 + 3 )x + 3 = 0 ; 4) (1 - 2 )x2 – 2(1 + 2 )x + 1 + 3 2 = 0 ; 5) 3x2 – 19x – 22 = 0 ; 6) 5x2 + 24x + 19 = 0 ; 7) ( 3 + 1)x2 + 2 3 x + 3 - 1 = 0 ; 8) x2 – 11x + 30 = 0 ; 9) x2 – 12x + 27 = 0 ; 10) x2 – 10x + 21 = 0. Dạng 2: Chứng minh phương trình có nghiệm, vô nghiệm. Sử dụng điều kiện có nghiệm, vô nghiệm của phương trình bậc hai Bài 1: Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có nghiệm. 1) x2 – 2(m - 1)x – 3 – m = 0 ; 2) x2 + (m + 1)x + m = 0 ; 3) x2 – (2m – 3)x + m2 – 3m = 0 ; 4) x2 + 2(m + 2)x – 4m – 12 = 0 ; 5) x2 – (2m + 3)x + m2 + 3m + 2 = 0 ; 6) x2 – 2x – (m – 1)(m – 3) = 0 ; 7) x2 – 2mx – m2 – 1 = 0 ; 8) (m + 1)x2 – 2(2m – 1)x – 3 + m = 0 9) ax2 + (ab + 1)x + b = 0. Dạng 3: Tính giá trị của biểu thức đối xứng, lập phương trình bậc hai nhờ nghiệm của phương trình bậc hai cho trước. áp dụng định lý Vi-et thuận về tổng hai nghiệm và tích hai nghiệm Sử dụng định lý Vi-et đảo về hai số có tổng là S và có tích là P 2 Bài 1: Gọi x1 ; x2 là các nghiệm của phương trình: x – 3x – 7 = 0. Tính: 2 2 A x1 x 2 B x1 x 2 1 1 C D 3x1 x 2 3x 2 x1 x1 1 x 2 1 3 3 4 4 E x1 x 2 F x1 x 2 2 Bài 2: Gọi x1 ; x2 là hai nghiệm của phương trình: 5x – 3x – 1 = 0. Không giải phương trình, tính giá trị của các biểu thức sau: 2 2 2 3x 5x x 3x 3 2 3 2 x x x x 1 1 1 2 A 2x 3x x 2x 3x x B 1 1 2 2 C 1 2 1 1 2 2 1 2 2 2 x2 x2 1 x1 x1 1 x1 x2 4x x 4x x 1 2 1 2 Bài 3: Không giải phương trình 3x2 + 5x – 6 = 0. Hãy tính giá trị các biểu thức sau: x1 x 2 A 3x 1 2x 2 3x 2 2x 1 ; B ; x 2 1 x1 1 x1 2 x 2 2 C x 1 x 2 ; D x1 x 2 GV:NGUYỄN THỊ THANH HẢI 11
12. Tài liệu ôn tập vào lớp 10 Dạng 4: Tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm, có nghiệm kép, vô nghiệm. Sử dụng điều kiện của đen ta khi phương trình có 2 nghiệm, nghiệm kép và vô nghiệm Bài 1: a) Cho phương trình (m – 1)x2 + 2(m – 1)x – m = 0 (ẩn x). Xác định m để phương trình có nghiệm kép. Tính nghiệm kép này. b) Cho phương trình (2m – 1)x2 – 2(m + 4)x + 5m + 2 = 0. Tìm m để phương trình có nghiệm. a) Cho phương trình: (m – 1)x2 – 2mx + m – 4 = 0. - Tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm. - Tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm kép. Tính nghiệm kép đó. b) Cho phương trình: (a – 3)x2 – 2(a – 1)x + a – 5 = 0. Tìm a để phương trình có hai nghiệm phân biệt. 4x 2 2 2m 1 x Bài 2: a. Cho phương trình: m 2 m 6 0 . x 4 2x 2 1 x 2 1 Xác định m để phương trình có ít nhất một nghiệm. b. Cho phương trình: (m2 + m – 2)(x2 + 4)2 – 4(2m + 1)x(x2 + 4) + 16x2 = 0. Xác định m để phương trình có ít nhất một nghiệm. Dạng 5: Xác định tham số để các nghiệm của phương trình bậc hai thoả mãn điều kiện cho trước. Sử dụng định lý Vi-et thuận kết hợp với điều kiệm bài cho Bài 1: Cho phương trình: x2 – 2(m + 1)x + 4m = 0 1) Xác định m để phương trình có nghiệm kép. Tìm nghiệm kép đó. 2) Xác định m để phương trình có một nghiệm bằng 4. Tính nghiệm còn lại. 3) Với điều kiện nào của m thì phương trình có hai nghiệm cùng dấu (trái dấu) 4) Với điều kiện nào của m thì phương trình có hai nghiệm cùng dương (cùng âm). 5) Định m để phương trình có hai nghiệm sao cho nghiệm này gấp đôi nghiệm kia. 6) Định m để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mãn 2x1 – x2 = - 2. 2 2 7) Định m để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 sao cho A = 2x1 + 2x2 – x1x2 nhận giá trị nhỏ nhất. Bài 2: Định m để phương trình có nghiệm thoả mãn hệ thức đã chỉ ra: 2 a) (m + 1)x – 2(m + 1)x + m – 3 = 0 ; (4x1 + 1)(4x2 + 1) = 18 2 2 2 b) mx – (m – 4)x + 2m = 0 ; 2(x1 + x2 ) = 5x1x2 2 2 2 2 2 c) (m – 1)x – 2mx + m + 1 = 0 ; 4(x1 + x2 ) = 5x1 x2 2 2 d) x – (2m + 1)x + m + 2 = 0 ; 3x1x2 – 5(x1 + x2) + 7 = 0. Bài 3: Định m để phương trình có nghiệm thoả mãn hệ thức đã chỉ ra: 2 a) x + 2mx – 3m – 2 = 0 ; 2x1 – 3x2 = 1 2 2 b) x – 4mx + 4m – m = 0 ; x1 = 3x2 2 c) mx + 2mx + m – 4 = 0 ; 2x1 + x2 + 1 = 0 2 2 2 d) x – (3m – 1)x + 2m – m = 0 ; x1 = x2 2 3 2 e) x + (2m – 8)x + 8m = 0 ; x1 = x2 2 2 2 f) x – 4x + m + 3m = 0 ; x1 + x2 = 6. Bài 4: a) Cho phươnmg trình: (m + 2)x2 – (2m – 1)x – 3 + m = 0. Tìm điều kiện của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 sao cho nghiệm này gấp đôi nghiệm kia. 2 b) Chư phương trình bậc hai: x – mx + m – 1 = 0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 2x1x2 3 sao cho biểu thức R 2 2 đạt giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó. x1 x2 2(1 x1x2 ) c) Định m để hiệu hai nghiệm của phương trình sau đây bằng 2. mx2 – (m + 3)x + 2m + 1 = 0. Bài 5: Cho phương trình: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0). Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để phương trình có hai nghiệm mà nghiệm này gấp đôi nghiệm kia là 9ac = 2b2. Bài 6: Cho phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0). Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để phương trình có hai nghiệm mà nghiệm này gấp k lần nghiệm kia (k > 0) là : kb2 = (k + 1)2.ac Dạng 6: Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình bậc hai không phụ thuộc tham số. GV:NGUYỄN THỊ THANH HẢI 12
13. Tài liệu ôn tập vào lớp 10 Sử dụng định lý Vi-et thuận coi như hệ phương trình sau đó khử tham số (Bằng phương pháp thế hoặc phương pháp cộng) Bài 1: a. Cho phương trình: x2 – mx + 2m – 3 = 0. Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình không phụ thuộc vào tham số m. b. Cho phương trình bậc hai: (m – 2)x2 – 2(m + 2)x + 2(m – 1) = 0. Khi phương trình có nghiệm, hãy tìm một hệ thức giữa các nghiệm không phụ thuộc vào tham số m. 2 c. Cho phương trình: 8x – 4(m – 2)x + m(m – 4) = 0. Định m để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2. Tìm hệ thức giữa hai nghiệm độc lập với m, suy ra vị trí của các nghiệm đối với hai số – 1 và 1. Bài 2: Cho phương trình bậc hai: (m – 1)2x2 – (m – 1)(m + 2)x + m = 0. Khi phương trình có nghiệm, hãy tìm một hệ thức giữa các nghiệm không phụ thuộc vào tham số m. Bài 3: Cho phương trình: x2 – 2mx – m2 – 1 = 0. a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm x1 , x2 với mọi m. b) Tìm biểu thức liên hệ giữa x1 ; x2 không phụ thuộc vào m. x1 x2 5 c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mãn: . x2 x1 2 Bài 4: Cho phương trình: (m – 1)x2 – 2(m + 1)x + m = 0. a) Giải và biện luận phương trình theo m. b) Khi phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2: - Tìm một hệ thức giữa x1 ; x2 độc lập với m. - Tìm m sao cho |x1 – x2| ≥ 2. Bài 5: Cho phương trình (m – 4)x2 – 2(m – 2)x + m – 1 = 0. Chứng minh rằng nếu phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 thì: 4x1x2 – 3(x1 + x2) + 2 = 0. Dạng 7: Mối quan hệ giữa các nghiệm của hai phương trình bậc hai. (Nâng cao) Bài 1: Xác định m và tìm nghiệm còn lại biết rằng a) Phương trình 2x2- (m+3)x- 5m = 0 có một nghiệm bằng 1 b) Phương trình 4x2+ (2m+ 1)x- m2 = 0 có một nghiệm bằng -1 Bài 2: Tìm m để phương trình sau không có nghiệm cho trước được viết trong dấu ( ) a) 2x2+ (m- 2)x+ m- 1 = 0 ( x = 2) b) mx2+ (5m- 2)x +1 = 0 (x = 1) Bài 3: Không giải pt , xét dấu các nghiệm của phương trình a) 3x2- 7x+ 2 = 0 b)5x2+ 3x- 1 = 0 c)2x2+ 13x+ 8 = 0 d) 4x2- 8x +49 = 0 e) 4x2-11x+ 8 = 0 Bài 4: Tìm giá trị của m để phương trình sau có hai nghiệm trái dấu a) x2- 5mx+ 2m- 1 = 0 b) x2- 6x+ (7- m2) = 0 Bài 5: Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu, khi đó hai nghiệm mang dấu gì? a) x2- 5x+ m = 0 b) mx2 + mx +3 = 0 c) x2- 2mx+ (5m- 4) = 0 Bài 6: Tìm m để phương trình a) x2- x+ 2(m- 1) = 0 có hai nghiệm dương b) 4x2+ 2x+ m- 1= 0 có hai nghiệm âm c) m2x2+ 2mx- 2 = 0 có hai nghiệm pb Bài 7: Tìm m để phương trình 2x2- 4x+5(m- 1) = 0 có hai nghiệm phân biệt nhỏ hơn 3 2 2 Bài 8: Cho pt ẩn x sau: x - 2(m+ 4)x+ m - 8 = 0. Định m để phương trình có hai nghiệm x1 và x2 sao cho 2 2 a) x1+ x2- 3x1x2 đạt GTLN b) x1 + x2 - x1x2 đạt GTNN 2 2 Bài 9: Cho pt x - (2m+ 5)x- m = 0 có hai nghiệm x1, x2 . Tìm m để a) x1 và x2 đều lớn hơn -5 b) x1< 2 < x2 2 Bài 10: Cho pt: x - 4x 3 + 8 = 0 có hai nghiệm x1và x2 . Không giải pt , hãy tính giá trị của biểu thức: 2 2 6x1 10x1 x2 6x2 Q = 3 3 5x1 x2 5x1 x2 Bài 12: Cho phương trình x2- 2(m+1)x+ m- 4 = 0 (1) 1) Giải pt khi m = 1 2) Chứng minh pt(1) luôn có nghiệm với mọi m GV:NGUYỄN THỊ THANH HẢI 13
14. Tài liệu ôn tập vào lớp 10 3) Tìm m để pt (1) có hai nghiệm trái dấu 4) Tìm m để pt (1) có hai nghiệm cùng dấu? Khi đó hai nghiệm mang dấu gì? 2 2 5) Tìm m để pt(1) có hai nghiệm phân biệt sao cho x1 +x2 = 22 2 2 6) Tìm GTNN của x1 x2+ x1x2 7) Tìm m để p t (1) có hai nghiệm phân biệt và tích hai nghiệm này bằng 4 8) Tìm m để pt (1) có hai nghiệm phân biệt và trong hai nghiệm đó có một nghiệm bằng 6 9) Tìm m để pt (1) có nghiệm mà nghiệm này gấp đôi nghiệm kia 11) Chứng minh biểu thức A = x1(1-x2)+ x2(1- x1) không phụ thuộc vào giá trị của m Bài 13: Cho 3 phương trình ax2+ 2bx+ c = 0 (1); bx2 + 2cx + a = 0 (2); cx2+2ax+b = 0 (3) Trong đó a,b,c khác 0. Chứng minh rằng có ít nhất một trong các pt trên có nghiệm. Bài 14 :a) Tìm cặp số (x;y) thỏa mãn pt 3x2- 6x+ y- 2 = 0 sao cho y đạt giá tị lớn nhất (x 1) 2 b)Tìm GTLN và GTNN của biểu thức P = 1 x 2 x 2 x 1 c)Tìm GTNN của biểu thức Q = (x 1) 2 Bài 15 Giải các pt sau a) x2- 2(1 3)x 2 3 0 b) (x2- 5x)2- 30(x2- 5x) + 216 = 0 1 1 1 c) (x+1)(x+3)(x+5)(x+7) = 360 d) x 3 x 2 x 4 Bài 16 Cho hai pt: x2 + (m- 1)x +m2 = 0 và -x2- 2mx + m = 0. Chứng minh rằng ít nhất một trong hai pt có nghiệm. Bài 17: Tìm m để hai pt x2+ mx +1 = 0 và x2- (m+1)x- 2m = 0 có ít nhất một nghiệm chung. Bài 18: Cho pt x2- 2(m- 1)x- 2m + 5 = 0 a) Tìm điều kiện để pt có nghiệm x1 và x2 2 2 b) Tìm GTLN của biểu thức A =12- 10x1x2- (x1 + x2 ) Bài 19 Cho pt: x2+ mx- 5 = 0. Tìm m để tổng bình phương các nghiệm bằng 11. Bài 20 : Giải và biện luận theo m số nghiệm của các phương trình sau: a) x 2 2mx m 2 2m 6 0 b) m 1 x 2 2 m 1 x m 2 0 c) m 1 x 2 2 m 2 x m 2 0 d) x 2 2 m 1 x 3m 5 0 e) m 3 x 2 2 m 2 3m x m 3 12 0 f) x 2 2x 2 x m 2 0 Bài 21 : Giải và biện luận theo m số nghiệm của các phương trình sau: a) x 2 2 m 1 x m 2 3 0 b) m 1 x 2 2 2m 1 x 2m 1 0 c) x 2 2 m 2 x m 2 8 0 d) x 2 2 m 1 x m 2 5 0 e) m 2 x 2 2 2m 1 x 1 2m 0 f) m 2 x 2 2 m 2 x 4 0 Bài 22 : Giải và biện luận theo m số nghiệm của các phương trình sau: a) m 1 x 2 2 2m 3 x 2m 3 0 b) m 2 x 2 2 2m 1 x 2m 1 0 c) x 2 2 m 3 x m 2 9 0 d) x 2 2 m 1 x m 2 1 0 e) x 2 2 2m 1 x 4m 2 1 0 f) x 2 m 1 x m 2 0 g) m 2 x 2 2 3m 1 x 1 3m 0 h) m 1 x 2 2 2m 3 x 3 2m 0 k ) m 3 x 2 2 2m 1 x 2m 1 0 l) mx 2 2 2m 1 x 2m 1 0 GV:NGUYỄN THỊ THANH HẢI 14
15. Tài liệu ôn tập vào lớp 10 n) mx 2 2 2m 3 x 2m 3 0 m) m 3 x 2 2 m 1 x 2 0 Bài 23 : Tìm các giá trị của m để các phương trình sau : a) Có nghiệm b) Có hai nghiệm phân biệt c) Có nghiệm kép d) Vô nghiệm 1/ mx 2 2 m 1 x m 4 0 2/ m 1 x 2 2 m 2 m 5 0 3/ x 2 2 m 2 x 2m 1 0 4/ x 2 2 m 1 x m 2 5 0 5/ x 2 2 m 2 x m 2 8 0 6/ m 1 x 2 2 2m 3 x 3 2m 0 7/ m 2 x 2 2 2m 1 x 2m 1 0 8/ x 2 2 m 3 x m 2 3 0 9/ x 2 2 2m 1 x 4m 2 3 0 10/ m 3 x 2 2 2m 1 x 1 2m 0 11/ m 3 x 2 2 m 1 x 2 0 12/ m 2 x 2 2 2m 1 x 2m 1 0 Bài 24 : Biết x1 = 2 là nghiệm của các phương trình sau. Hãy tìm nghiệm còn lại của chúng, a) x 2 2 m 2 x 3m 4 0 b) x 2 mx 4m 8 0 c) 2x 2 2 m 1 x 2m 1 0 d) 3x 2 2 m 3 x 4m 3 0 3 Bài 25 : Biết x là nghiệm của các phương trình sau. Hãy tìm nghiệm còn lại của chúng. 1 2 a) x 2 2 m 5 x 4m 2 0 b) x 2 m 4 x 2m 3 0 c) x 2 2 2m 1 x 5m 3 0 Bài 26 : Cho phương trình bậc hai: x2 – 2(m + 1)x + m2 + 3m + 2 = 0 1) Tìm các giá trị của m để phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt. 2 2 2) Tìm giá trị của m thoả mãn x1 + x2 = 12 (trong đó x1, x2 là hai nghiệm của phương trình). Bài 27 : Cho phương trình: x2 – 2mx + 2m – 5 = 0. 1) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m. 2) Tìm điều kiện của m để phương trình có hai nghiệm trái dấu. 3) Gọi hai nghiệm của phương trình là x1 và x2, tìm các giá trị của m để: 2 2 2 2 x1 (1 – x2 ) + x2 (1 – x1 ) = -8. Bài 28 Cho phương trình: x2 – 2(m + 1)x + 2m – 15 = 0. 1) Giải phương trình với m = 0. 2) Gọi hai nghiệm của phương trình là x1 và x2. Tìm các giá trị của m thoả mãn 5x1 + x2 = 4. Bài 29: 2) Gọi hai nghiệm của phương trình là x1 và x2. Tìm các giá trị của m thoả mãn 5x1 + x2 = 4. Cho phương trình: x2 – 2(m + 1)x + 2m – 15 = 0. 1) Giải phương trình với m = 0. 2) Gọi hai nghiệm của phương trình là x1 và x2. Tìm các giá trị của m thoả mãn 5x1 + x2 = 4. 2 Bài 5 : Gọi x1; x2 là hai nghiệm của phương trình x - 2(m - 1)x - 4 = 0 (m là tham số). Tìm m để x1 x2 5 . Bài 30 Cho phương trình: (m – 1)x2 + 2mx + m – 2 = 0 (*) 1) Giải phương trình khi m = 1. 2) Tìm m để phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt. GV:NGUYỄN THỊ THANH HẢI 15
16. Tài liệu ôn tập vào lớp 10 Bài 31 Cho pt: x2 + 3x - m2 - 4 = 0 (1) 1) Giải phương trình (1) khi m = 0 2) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm trái dấu với mọi m 3) Gọi x1; x2 là nghiệm của phương trình (1). Hãy tìm giá trị của m để: 2 x1 x2 x1x2 1 0 Bài 32 Cho phương trình: x2 - 2(m + 2)x + m + 1 = 0 a) Giải phương trình khi m = - 3 2 b) Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm trái dấu. c) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình. Tìm giá trị của m để: 2 x1(1 - 2x2) + x2(1 - 2x1) = m Bài 33 Cho pt bậc hai có ẩn x: x2 - 2mx + 2m - 1 = 0 1/ CMR phương trình có nghiệm x1, x2 với m. 2 2 2/ Đặt A = 2 x1 x2 5x1 x2 a) CM: A = 8m2 - 18m + 9 b) Tìm m sao cho A = 27 c) Tìm m sao cho phương trình có nghiệm này bằng hai nghiệm kia Bài 34 2 2 2 Cho pt: x - 2(m + 1)x + 2m + 10 = 0 có hai nghiệm x1, x2. Tìm giá trị của m để 10x1x2 + x1 x2 đạt giá trị nhỏ nhất. Bài 35 Cho phương trình bậc hai: x2-2(k-2)x - 2k - 5 = 0 (k - tham số) a) Chứng minh rằng phương trình có 2 nghiệm phân biệt với k. 2 2 b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình. tìm giá trị của k sao cho: x1 x2 18 Bài 36 Cho pt: (2m - 1)x2 - 4mx + 4 = 0 a) Giải phương trình với m = 1 b) Giải phương trình với m bất kỳ c) Tìm giá trị của m để phương trình có một nghiệm bằng m Chủ đề 4: Hàm số và đồ thị. Dạng 1: Vẽ đồ thị hàm số Bài 1: Vẽ đồ thị các hàm số sau: (Hướng dẫn:Hàm số bậc nhất y=ax+b. Xác định giao điểm với trục tung, giao điểm với trục hoành) a) y = 2x – 5 ; b) y = - 0,5x + 3 Bài 2: Vẽ đồ thị hàm số y = ax2 khi: ( Hướng dãn: Hàm số bậc hai y =ax2. Lập bảng giá trị tương ứng giữa x và y ) a) a = 2 ; b) a = - 1. Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng (Hướng dẫn:Giả sử đường thẳng cần viết có phương trình y=ax+b. Thay x, y vào điều kiện đề bài cho tìm ra a vag b) Bìa 1: Viết phương trình đường thẳng (d) biết: a) (d) đi qua A(1 ; 2) và B(- 2 ; - 5) b) (d) đi qua M(3 ; 2) và song song với đường thẳng ( ) : y = 2x – 1/5. c) (d) đi qua N(1 ; - 5) và vuông góc với đường thẳng (d’): y = -1/2x + 3. d) (d) đi qua D(1 ; 3) và tạo với chiều dương trục Ox một góc 300. e) (d) đi qua E(0 ; 4) và đồng quy với hai đường thẳng GV:NGUYỄN THỊ THANH HẢI 16
17. Tài liệu ôn tập vào lớp 10 f) ( ): y = 2x – 3; ( ’): y = 7 – 3x tại một điểm. g) (d) đi qua K(6 ; - 4) và cách gốc O một khoảng bằng 12/5 (đơn vị dài). Bài 2: Gọi (d) là đường thẳng y = (2k – 1)x + k – 2 với k là tham số. a) Định k để (d) đi qua điểm (1 ; 6). b) Định k để (d) song song với đường thẳng 2x + 3y – 5 = 0. c) Định k để (d) vuông góc với đường thẳng x + 2y = 0. d) Chứng minh rằng không có đường thẳng (d) nào đi qua điểm A(-1/2 ; 1). e) Chứng minh rằng khi k thay đổi, đường thẳng (d) luôn đi qua một điểm cố định. Dạng 3: Vị trí tương đối giữa đường thẳng và parabol Sử dụng điều kiện có nghiệm, vô nghiệm, có nghiệm kép của phương trình hoành độ Bài 1: a. Biết đồ thị hàm số y = ax2 đi qua điểm (- 2 ; -1). Hãy tìm a và vẽ đồ thị (P) đó. b. Gọi A và B là hai điểm lần lượt trên (P) có hoành độ lần lượt là 2 và - 4. Tìm toạ độ A và B từ đó suy ra phương trình đường thẳng AB. 1 Bài 2: Cho hàm số y x2 2 a) Khảo sát và vẽ đồ thị (P) của hàm số trên. b) Lập phương trình đường thẳng (d) qua A(- 2; - 2) và tiếp xúc với (P). Bài 3: 1 Trong cùng hệ trục vuông góc, cho parabol (P): y x2 và đường thẳng (D): y = mx - 2m - 1. 4 a) Vẽ độ thị (P). b) Tìm m sao cho (D) tiếp xúc với (P). c) Chứng tỏ rằng (D) luôn đi qua một điểm cố định A thuộc (P). 1 Bài 4: Cho hàm số y x2 2 a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số trên. b) Trên (P) lấy hai điểm M và N lần lượt có hoành độ là - 2; 1. Viết phương trình đường thẳng MN. c) Xác định hàm số y = ax + b biết rằng đồ thị (D) của nó song song với đường thẳng MN và chỉ cắt (P) tại một điểm. Bài 5: Trong cùng hệ trục toạ độ, cho Parabol (P): y = ax2 (a 0) và đường thẳng (D): y = kx + b. 1) Tìm k và b cho biết (D) đi qua hai điểm A(1; 0) và B(0; - 1). 2) Tìm a biết rằng (P) tiếp xúc với (D) vừa tìm được ở câu 1). 3)Vẽ (D) và (P) vừa tìm được ở câu 1) và câu 2). 3 4) Gọi (d) là đường thẳng đi qua điểm C ; 1 và có hệ số góc m 2 a) Viết phương trình của (d). b) Chứng tỏ rằng qua điểm C có hai đường thẳng (d) tiếp xúc với (P) (ở câu 2) và vuông góc với nhau. Chủ đề 5: Giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình. Ôn tập lại phương pháp giải bài toán bằng cách lập phương trình và hệ phương trình Dạng 1: Chuyển động (trên đường bộ, trên đường sông có tính đến dòng nước chảy) Bài 1: Một ôtô đi từ A đến B trong một thời gian nhất định. Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h thì đến chậm mất 2 giờ. Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h thì đến sớm hơn 1 giờ. Tính quãng đường AB và thời gian dự định đi lúc đầu. Bài 2: Một người đi xe máy từ A đến B cách nhau 120 km với vận tốc dự định trước. Sau khi 1 được quãng đường AB người đó tăng vận tốc thêm 10 km/h trên quãng đường còn lại. Tìm vận tốc 3 dự định và thời gian xe lăn bánh trên đường, biết rằng người đó đến B sớm hơn dự định 24 phút. Bài 3: Một canô xuôi từ bến sông A đến bến sông B với vận tốc 30 km/h, sau đó lại ngược từ B trở về A. Thời gian xuôi ít hơn thời gian đi ngược 1 giờ 20 phút. Tính khoảng cách giữa hai bến A và B. Biết rằng vận tốc dòng nước là 5 km/h và vận tốc riêng của canô lúc xuôi và lúc ngược bằng nhau. Bài 4: Một canô xuôi một khúc sông dài 90 km rồi ngược về 36 km. Biết thời gian xuôi dòng sông nhiều hơn thời gian ngược dòng là 2 giờ và vận tốc khi xuôi dòng hơn vận tốc khi ngược dòng là 6 km/h. Hỏi vận tốc canô lúc xuôi và lúc ngược dòng. GV:NGUYỄN THỊ THANH HẢI 17
18. Tài liệu ôn tập vào lớp 10 Dạng 2: Toán làm chung – làn riêng (toán vòi nước) Bài 1: Hai người thợ cùng làm chung một công việc trong 7 giờ 12 phút thì xong. Nếu người 3 thứ nhất làm trong 5 giờ và người thứ hai làm trong 6 giờ thì cả hai người chỉ làm được công việc. 4 Hỏi một người làm công việc đó trong mấy giờ thì xong? 4 Bài 2: Nếu vòi A chảy 2 giờ và vòi B chảy trong 3 giờ thì được hồ. Nếu vòi A chảy trong 3 5 1 giờ và vòi B chảy trong 1 giờ 30 phút thì được hồ. Hỏi nếu chảy một mình mỗi vòi chảy trong bao 2 lâu mới đầy hồ. Bài 3: Hai vòi nước cùng chảy vào một bể thì sau 6 giờ đầy bể. Nếu mỗi vòi chảy một mình cho đầy bể thì vòi II cần nhiều thời gian hơn vòi I là 5 giờ. Tính thời gian mỗi vòi chảy một mình đầy bể? Dạng 3: Toán liên quan đến tỉ lệ phần trăm. Bài 1: Trong tháng giêng hai tổ sản xuất được 720 chi tiết máy. Trong tháng hai, tổ I vượt mức 15%, tổ II vượt mức 12% nên sản xuất được 819 chi tiết máy. Tính xem trong tháng giêng mỗi tổ sản xuất được bao nhiêu chi tiết máy?. Bài 2: Năm ngoái tổng số dân của hai tỉnh A và B là 4 triệu người. Dân số tỉnh A năm nay tăng 1,2%, còn tỉnh B tăng 1,1%. Tổng số dân của cả hai tỉnh năm nay là 4 045 000 người. Tính số dân của mỗi tỉnh năm ngoái và năm nay? Dạng 4: Toán có nội dung hình học. Bài 1: Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi là 280 m. Người ta làm lối đi xung quanh vườn (thuộc đất trong vườn) rộng 2 m. Tính kích thước của vườn, biết rằng đất còn lại trong vườn để trồng trọt là 4256 m2. Bài 2: Cho một hình chữ nhật. Nếu tăng chiều dài lên 10 m, tăng chiều rộng lên 5 m thì diện tích tăng 500 m2. Nếu giảm chiều dài 15 m và giảm chiều rộng 9 m thì diện tích giảm 600 m2. Tính chiều dài, chiều rộng ban đầu. Bài 3: Cho một tam giác vuông. Nếu tăng các cạnh góc vuông lên 2 cm và 3 cm thì diện tích tam giác tăng 50 cm2. Nếu giảm cả hai cạnh đi 2 cm thì diện tích sẽ giảm đi 32 cm2. Tính hai cạnh góc vuông. Dạng 5: Toán về tìm số. Bài 1: Tìm một số tự nhiên có hai chữ số, tổng các chữ số bằng 11, nếu đổi chỗ hai chữ số hàng chục và hàng đơn vị cho nhau thì số đó tăng thêm 27 đơn vị. Bài 2: Tìm một số có hai chữ số, biết rằng số đó gấp 7 lần chữ số hàng đơn vị của nó và nếu số cần tìm chia cho tổng các chữ số của nó thì được thương là 4 và số dư là 3. Bài 3: Nếu tử số của một phân số được tăng gấp đôi và mẫu số thêm 8 thì giá trị của phân số bằng 1 5 . Nếu tử số thêm 7 và mẫu số tăng gấp 3 thì giá trị phân số bằng . Tìm phân số đó. 4 24 Bài 4: Nếu thêm 4 vào tử và mẫu của một phân số thì giá trị của phân số giảm 1. Nếu bớt 1 vào cả tử 3 và mẫu, phân số tăng . Tìm phân số đó. 2 Bài tập về nhà Bài 1: Một thuyền khởi hành từ bến A. Sau 5h 20 phút một ca nô chạy từ A đuổi theo và kịp thuyền tại một địa điểm cách A 20 km. Tính vận tốc của ca nô, biết rằng ca nô đi nhanh hơn thuyền 12km/h.( coi vận tốc dòng nước là không đáng kể). Bài 2: Một ô tô dự định đi từ A đến B với vận tốc trung bình 40km/h. Lúc đầu ô tô đi với vận tốc đó, khi còn 60 km nữa thì được một nửa quãng đường AB, người lái xe tăng thêm vận 10 km/h trên quãng đường còn lại, do đó ô tô đến B sớm hơn 1 giờ so với dự định. Tính quãng đường AB. Bài 3: Hai vật chuyển động trên một đường tròn có đường kính 20m, xuất phát cùng một lúc từ cùng một điểm. Nếu nó chuyển động ngược chiều thì hai giây gặp nhau. Nếu nó chuyển động cùng chiều thì 10 giây lại gặp nhau.Tính vận tốc mỗi vật. Bài 4: Một ca nô xuôi 42 km rồi ngược dòng trở lại 20 km hết tổng cộng 5h . Biết vận tốc dòng nước là 2 km/h. Tính vận tốc ca nô khi nước yên nặng GV:NGUYỄN THỊ THANH HẢI 18
19. Tài liệu ôn tập vào lớp 10 Bài 5: Một vườn hình chữ nhật có chu vi 280 m. Người ta làm một lối đi quanh vườn (thuộc đất của vườn) rộng 2m, diện tích còn lại để trồng trọt là 4256 m2. Tính kích thước của vườn. Chủ đề 6: Phương trình quy về phương trình bậc hai. Dạng 1: Phương trình có ẩn số ở mẫu. Bước 1: Đặt điều kiện cho phương trình Bước 2: Quy đồng mẫu Bước 3: Khử mẫu, giải phương trình thu được. Giải các phương trình sau: 2 2 x x 3 2x 1 x 3 t 2t 5t a) 6 b) 3 c) t x 2 x 1 x 2x 1 t 1 t 1 Dạng 2: Phương trình chứa căn thức. A 0 (hayB 0) Loại A B A B B 0 Loại A B 2 A B Giải các phương trình sau: 2 2 2 2 a) 2x 3x 11 x 1 b) x 2 3x 5x 14 2 c) 2x 3x 5 x 1 d) x 1 2x 3 x 9 2 e) x 1 x 3x Dạng 3: Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối. A nếu A 0 A A nếu A 0 Giải các phương trình sau: a) x 1 x2 x 3 b) x 2 2x 1 x2 2x 3 c) x4 2x2 2 x2 x x4 4x d) x2 1 x2 4x 4 3x Dạng 4: Phương trình trùng phương. Giải các phương trình sau: a) 4x4 + 7x2 – 2 = 0 ; b) x4 – 13x2 + 36 = 0; c) 2x4 + 5x2 + 2 = 0 ; d) (2x + 1)4 – 8(2x + 1)2 – 9 = 0. Dạng 5: Phương trình bậc cao. Giải các phương trình sau bằng cách đưa về dạng tích hoặc đặt ẩn phụ đưa về phương trình bậc hai: Bài 1: a) 2x3 – 7x2 + 5x = 0 ; b) 2x3 – x2 – 6x + 3 = 0 ; c) x4 + x3 – 2x2 – x + 1 = 0 ; d) x4 = (2x2 – 4x + 1)2. Bài 2: a) (x2 – 2x)2 – 2(x2 – 2x) – 3 = 0 c) (x2 + 4x + 2)2 +4x2 + 16x + 11 = 0 GV:NGUYỄN THỊ THANH HẢI 19
20. Tài liệu ôn tập vào lớp 10 2 2 2 1 1 c) x x 2 x x 3 0 d) 4 x 16 x 23 0 2 x x 2 x x 5 3x 21 2 e) 4 0 f) x 4x 6 0 2 2 x x x 5 x 4x 10 2 2 2 2 x 48 x 4 g) 3 2x 3x 1 5 2x 3x 3 24 0 h) 10 0 2 3 x 3 x 2x 13x 2 2 i) 6 k) x 3x 5 x 3x 7. 2 2 2x 5x 3 2x x 3 Bài 3: a) 6x5 – 29x4 + 27x3 + 27x2 – 29x +6 = 0 b) 10x4 – 77x3 + 105x2 – 77x + 10 = 0 c) (x – 4,5)4 + (x – 5,5)4 = 1 d) (x2 – x +1)4 – 10x2(x2 – x + 1)2 + 9x4 = 0 Bài tập về nhà: Giải các phương trình sau: 1 3 1 4x x 3 1. a) b) 6 2 2 x 1 x 1 4 x 1 x 2 2 2x 2 x 2 x 2x 3 2x 2 c) x d) 8 2 2 4 x 4 x 9 x 3x 2 2. a) x4 – 34x2 + 225 = 0 b) x4 – 7x2 – 144 = 0 c) 9x4 + 8x2 – 1 = 0 d) 9x4 – 4(9m2 + 4)x2 + 64m2 = 0 e) a2x4 – (m2a2 + b2)x2 + m2b2 = 0 (a ≠ 0) 3. a) (2x2 – 5x + 1)2 – (x2 – 5x + 6)2 = 0 b) (4x – 7)(x2 – 5x + 4)(2x2 – 7x + 3) = 0 c) (x3 – 4x2 + 5)2 = (x3 – 6x2 + 12x – 5)2 d) (x2 + x – 2)2 + (x – 1)4 = 0 e) (2x2 – x – 1)2 + (x2 – 3x + 2)2 = 0 4. a) x4 – 4x3 – 9(x2 – 4x) = 0 b) x4 – 6x3 + 9x2 – 100 = 0 c) x4 – 10x3 + 25x2 – 36 = 0 d) x4 – 25x2 + 60x – 36 = 0 5. a) x3 – x2 – 4x + 4 = 0 b) 2x3 – 5x2 + 5x – 2 = 0 c) x3 – x2 + 2x – 8 = 0 d) x3 + 2x2 + 3x – 6 = 0 e) x3 – 2x2 – 4x – 3 = 0 6. a) (x2 – x)2 – 8(x2 – x) + 12 = 0 b) (x4 + 4x2 + 4) – 4(x2 + 2) – 77 = 0 2 2x 1 2x 1 c) x2 – 4x – 10 - 3 x 2 x 6 = 0 d) 4 3 0 x 2 x 2 e) x 5 x x 5 x 5 7. a) (x + 1)(x + 4)(x2 + 5x + 6) = 24 b) (x + 2)2(x2 + 4x) = 5 1 1 1 1 c) 3 x 2 16 x 26 0 d) 2 x 2 7 x 2 0 x 2 x x 2 x 8. GV:NGUYỄN THỊ THANH HẢI 20
21. Tài liệu ôn tập vào lớp 10 2 2 a) x 4x x 14 b) 2x x 9 x 1 2 3 c) 2x 6x 1 x 2 d) x 3x 4 x 2 2 2 3 2 3 e) 4x 4x 1 x 2 x 3 f) x x 1 x x 1 9. Định a để các phương trình sau có 4 nghiệm a) x4 – 4x2 + a = 0 b) 4y4 – 2y2 + 1 – 2a = 0 c) 2t4 – 2at2 + a2 – 4 = 0. Phần II: Hình học Chủ đề 1: Nhận biết hình, tìm điều kiện của một hình. Bài 1: Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn tâm O. D và E lần lượt là điểm chính giữa của các cung AB và AC. DE cắt AB ở I và cắt AC ở L. a) Chứng minh DI = IL = LE. b) Chứng minh tứ giác BCED là hình chữ nhật. c) Chứng minh tứ giác ADOE là hình thoi và tính các góc của hình này. Bài 2: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn có các đường chéo vuông góc với nhau tại I. a) Chứng minh rằng nếu từ I ta hạ đường vuông góc xuống một cạnh của tứ giác thì đường vuông góc này qua trung điểm của cạnh đối diện của cạnh đó. b) Gọi M, N, R, S là trung điểm của các cạnh của tứ giác đã cho. Chứng minh MNRS là hình chữ nhật. c) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật này đi qua chân các đường vuông góc hạ từ I xuống các cạnh của tứ giác. Bài 3: Cho tam giác vuông ABC ( A = 1v) có AH là đường cao. Hai đường tròn đường kính AB và AC có tâm là O1 và O2. Một cát tuyến biến đổi đi qua A cắt đường tròn (O1) và (O2) lần lượt tại M và N. a) Chứng minh tam giác MHN là tam giác vuông. b) Tứ giác MBCN là hình gì? c) Gọi F, E, G lần lượt là trung điểm của O1O2, MN, BC. Chứng minh F cách đều 4 điểm E, G, A, H. d) Khi cát tuyến MAN quay xung quanh điểm A thì E vạch một đường như thế nào? Bài 4: Cho hình vuông ABCD. Lấy B làm tâm, bán kính AB, vẽ 1/4 đường tròn phía trong hình vuông.Lấy AB làm đường kính , vẽ 1/2 đường tròn phía trong hình vuông. Gọi P là điểm tuỳ ý trên cung AC ( không trùng với A và C). H và K lần lượt là hình chiếu của P trên AB và AD, PA và PB cắt nửa đường tròn lần lượt ở I và M. a) Chứng minh I là trung điểm của AP. b) Chứng minh PH, BI, AM đồng qui. c) Chứng minh PM = PK = AH d) Chứng minh tứ giác APMH là hình thang cân. đ) Tìm vị trí điểm P trên cung AC để tam giác APB là đều. Chủ đề 3: Chứng minh tứ giác nội tiếp, chứng minh nhiều điểm cùng nằm trên một đường tròn. Bài 1: Cho hai đường tròn (O), (O') cắt nhau tại A, B. Các tiếp tuyến tại A của (O), (O') cắt (O'), (O) lần lượt tại các điểm E, F. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác EAF. a) Chứng minh tứ giác OAO'I là hình bình hành và OO'//BI. b) Chứng minh bốn điểm O, B, I, O' cùng thuộc một đường tròn. c) Kéo dài AB về phía B một đoạn CB = AB. Chứng minh tứ giác AECF nội tiếp. GV:NGUYỄN THỊ THANH HẢI 21
22. Tài liệu ôn tập vào lớp 10 Bài 2: Cho tam giác ABC. Hai đường cao BE và CF cắt nhau tại H.Gọi D là điểm đối xứng của H qua trung điểm M của BC. a) Chứng minh tứ giác ABDC nội tiếp được trong một đường tròn.Xác định tâm O của đường tròn đó. b) Đường thẳng DH cắt đường tròn (O) tại điểm thứ 2 là I. Chứng minh rằng 5 điểm A, I, F, H, E cùng nằm trên một đường tròn. Bài 3: Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại A và B. Tia OA cắt đường tròn (O') tại C, tia O'A cắt đường tròn (O) tại D. Chứng minh rằng: a) Tứ giác OO'CD nội tiếp. b) Tứ giác OBO'C nội tiếp, từ đó suy ra năm điểm O, O', B, C, D cùng nằm trên một đường tròn. Bài 4: Cho tứ giác ABCD nội tiếp nửa đường tròn đường kính AD. Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại E. Vẽ EF vuông góc AD. Gọi M là trung điểm của DE. Chứng minh rằng: a) Các tứ giác ABEF, DCEF nội tiếp được. b) Tia CA là tia phân giác của góc BCF. c)* Tứ giác BCMF nội tiếp được. Bài 5: Từ một điểm M ở bên ngoài đường tròn (O) ta vẽ hai tiếp tuyến MA, MB với đường tròn. Trên cung nhỏ AB lấy một điểm C. Vẽ CD  AB, CE  MA, CF  MB. Gọi I là giao điểm của AC và DE, K là giao điểm của BC và DF. Chứng minh rằng: a) Các tứ giác AECD, BFCD nội tiếp được. b) CD2 = CE. CF c)* IK // AB Bài 6: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Từ A vẽ tiếp tuyến xy với đường tròn. Vẽ hai đường cao BD và CE. a) Chứng minh rằng bốn điểm B, C, D, E cùng nằm trên một đường tròn. b) Chứng minh rằng xy// DE, từ đó suy ra OA  DE. Bài 7: Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O). Trên cung nhỏ AB lấy một điểm M. Đường thẳng qua A song song với BM cắt CM tại N. a) Chứng minh rằng tam giác AMN là tam giác đều. b) Chứng minh rằng MA + MB = MC. Bài 8: Cho ba điểm A, B, C cố định với B nằm giữa A và C. Một đường tròn (O) thay đổi đi qua B và C. Vẽ đường kính MN vuông góc với BC tại D ( M nằm trên cung nhỏ BC).Tia AN cắt đường tròn (O) Tại một điểm thứ hai là F. Hai dây BC và MF cắt nhau tại E. Chứng minh rằng: a) Tứ giác DEFN nội tiếp được. b) AD. AE = AF. AN c) Đường thẳng MF đi qua một điểm cố định. Bài 9: Từ một điểm A ở bên ngoài đường tròn ( O; R) vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn. Gọi M là trung điểm của AB. Tia CM cắt đường tròn tại điểm N. Tia AN cắt đường tròn tại điểm D. a) Chứng minh rằng MB2 = MC. MN b) Chứng minh rằng AB// CD c) Tìm điều kiện của điểm A để cho tứ giác ABDC là hình thoi. Tính diện tích cử hình thoi đó. Bài 10:Cho đường tròn (O) và một dây AB. Gọi M là điểm chính giữa của cung nhỏ AB. Vẽ đường kính MN Cắt AB tại I. Gọi D là một điểm thuộc dây AB. Tia MD cắt đường tròn (O) tại C. a) Chứng minh rằng tứ giác CDIN nội tiếp được b) Chứng minh rằng tích MC. MD có giá trị không đổi khi D di động trên dây AB. c) Gọi O' là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD. 1 Chứng minh rằng MAB =  AO'D. 2 d) Chứng minh rằng ba điểm A, O', N thẳng hàng và MA là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD. Bài 11: Cho tam giác ABC vuông ở A ( AB < AC), đường cao AH. Trên đoạn thẳng HC lấy D sao cho HD = HB. Vẽ CE vuông góc với AD ( E AD). a) Chứng minh rằng AHEC là tứ giác nội tiếp. b) Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tứ giác AHEC. c) Chứng minh rằng CH là tia phân giác của góc ACE. GV:NGUYỄN THỊ THANH HẢI 22
23. Tài liệu ôn tập vào lớp 10 d) Tính diện tích hình giới hạn bởi các đoạn thẳng CA. CH và cung nhỏ AH của đường tròn nói trên biết AC= 6cm, ACB = 300. Bài 12:Cho đường tròn tâm O có đường kính BC. Gọi A là Một điểm thuộc cung BC ( AB < AC), D là điểm thuộc bán kính OC. Đường vuông góc với BC tại D cắt AC ở E, cắt tia BA ở F. a) Chứng minh rằng ADCF là tứ giác nội tiếp. b) Gọi M là trung điểm của EF. Chứng minh rằng AME = 2 ACB. c) Chứng minh rằng AM là tiếp tuyến của đường tròn (O). d) Tính diện tích hình giới hạn bởi các đoạn thẳng BC, BA và cung nhỏ AC của đường tròn (O) biết BC= 8cm, ABC = 600. Bài 13: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R. Điểm M thuộc nửa đường tròn. Vẽ đường tròn tâm M tiếp xúc với AB ( H là tiếp điểm). Kẻ các tiếp tuyến AC, BD với đường tròn (M) ( C, D là tiếp điểm). a) Chứng minh rằng C, M, D thẳng hàng b) Chứng minh rằng CD là tiếp tuyến của đường tròn (O). c) Tính tổng AC + BD theo R. d) Tính diện tích tứ giác ABDC biết AOM = 600. Bài 14:Cho tam giác vuông cân ABC (A = 900), trung điểm I của cạnh BC. Xét một điểm D trên tia AC. Vẽ đường tròn (O) tiếp xúc với các cạnh AB, BD, DA tại các điểm tương ứng M, N, P. a) Chứng minh rằng 5 điểm B, M, O, I, N nằm trên một đường tròn. b) Chứng minh rằng ba điểm N, I, P thẳng hàng. c) Gọi giao điểm của tia BO với MN, NP lần lượt là H, K. Tam giác HNK là tam giác gì, tại sao? d) Tìm tập hợp điểm K khi điểm D thay đổi vị trí trên tia AC. Bài tập về nhà Bài Tập 1: Cho hai đường thẳng xy và x’y’ cắt nhau tại M. Trên tia Mx lấy điểm A, trên tia Mx’ lấy điểm C , trên tia My lấy điểm B vá F ( B nằm giữa M và F), trên tia My’ lấy điểm D và E ( D nằm giữa M và E. Biết MA. MB = MC.MD và MD.ME = MB.MF . Chứng minh a) 4 điểm A,B,C,D cùng nằm trên một đường tròn b) 4 điểm B,D,E,F cùng nằm trên một đường tròn c) AC song song EF Bài Tập 2: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm 0. Từ điểm M bất kì trên đường tròn kẻ MP, MQ, MK thứ tự vuông góc với BC, CA, AB . Chứng minh a) Các tứ giác BPMK , PQCM nội tiếp b) P, Q, K thẳng hàng Bài tập 3: Cho đường tròn tâm 0 và đường thẳng xy nằm ngoài đường tròn đó. Từ 0 kẻ OA vuông góc xy . Qua A kẻ cát tuyến cắt đường tròn tại B và C . Tiếp tuyến tại B và C của đường tròn tâm O cắt xy thứ tự tại D và E . Chứng minh A là tung điểm của DE. Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A. Một điểm D nằm giữa A và B. Đường tròn đường kính BD cắt BC tại E. Các đường thẳng CD, AE thứ tự cắt đường tròn tại các điểm thứ hai F, G. Chứng minh a) tam giác ABC và tam giác EBD đồng dạng b) Tứ giác ADEC và tứ giác AFBC nội tiếp c) AC song song FG d)Các đường thẳng AC,DE,BF đồng qui. Bài 5: Cho hình thang ABCD nội tiếp đường tròn tâm O. Các đường chéo AC và BD cắt nhau ở E, các cạnh AD và BC kéo dài cắt nhau ở F. Chứng minh a)Bốn điểm A,D,O,E cùng nằm trên một đường tròn. b) Tứ giác AOCF nội tiếp. Chủ đề 3: Chứng minh các điểm thẳng hàng, các đường thẳng đồng quy. Bài 1: Cho hai đường tròn (O) và (O') cắt nhau tại hai điểm A và B. Đường thẳng AO cắt đường tròn (O) và (O') lần lượt tại C và C'. Đường thẳng AO' cắt đường tròn (O) và (O') lần lượt tại D và D'. a) Chứng minh C, B, D' thẳng hàng GV:NGUYỄN THỊ THANH HẢI 23
24. Tài liệu ôn tập vào lớp 10 b) Chứng minh tứ giác ODC'O' nội tiếp c) Đường thẳng CD và đường thẳng D'C' cắt nhau tại M. Chứng minh tứ giác MCBC' nội tiếp. Bài 2: Từ một điểm C ở ngoài đường tròn ( O) kể cát tuyến CBA. Gọi IJ là đường kính vuông góc với AB. Các đường thẳng CI, CJ theo thứ tự cắt đường tròn (O) tại M, N. a) Chứng minh rằng IN, JM và AB đồng quy tại một điểm D. b) Chứng minh rằng các tiếp tuyến của đường tròn (O) tại M, N đi qua trung điểm E của CD. Bài 3:Cho hai đường tròn ( O; R) và ( O'; R' ) tiếp xúc ngoài tại A ( R> R' ). Đường nối tâm OO' cắt đường tròn (O) và (O') theo thứ tự tại B và C ( B và C khác A). EF là dây cung của đường tròn (O) vuông góc với BC tại trung điểm I của BC, EC cắt đường tròn (O') tại D. a) Tứ giác BEFC là hình gi? b) Chứng minh ba điểm A, D, F thẳng hàng. c) CF cắt đường tròn (O’) tại G. Chứng minh ba đường EG, DF và CI đồng quy. d) Chứng minh ID tiếp xúc với đường tròn (O’). Bài 4:Cho đường tròn (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại C. AC và BC là đường kính của (O) và (O’), DE là tiếp tuyến chung ngoài (D (O), E (O’)). AD cắt BE tại M. a) Tam giác MAB là tam giác gì? b) Chứng minh MC là tiếp tuyến chung của (O) và (O’). c) Kẻ Ex, By vuông góc với AE, AB. Ex cắt By tại N. Chứng minh D, N, C thẳng hàng. d) Về cùng phía của nửa mặt phẳng bờ AB, vẽ nửa đường tròn đường kính AB và OO’. Đường thẳng qua C cắt hai nửa đường tòn trên tại I, K. Chứng minh OI // AK. Bài tập về nhà: Bài 1: Cho tam giác ABC nhọn. Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. a)Chứng minh các tứ giác BFEC ; DHEC nội tiếp b)Chứng minh tam giác DBH và tam giác DAC đồng dạng c)Chứng minh H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF d) Gọi I,K thứ tự là trung điểm của AH, BC . Chứng minh IK vuông góc EF Bài 2: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. Gọi E là điểm đối xứng với H qua BC; Gọi F là điểm đối xứng với H qua trung điểm I của BC. a)Chứng minh BHCF là hình bình hành b)Chứng minh E,F nằm trên đường tròn tâm O c)C/m tứ giác BCFE là hình thang cân d) Gọi G là giao điểm của AI và OH. Chứng minh G là trọng tâm của tam giác ABC Bài 3: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Tia phân giác của góc BAC cắt BC tại I, cắt đường tròn tại M. a)Chứng minh OM vuông góc với BC. b)C/m MC 2 = MI. MA a) Kẻ đường kính MN. Các tia phân giác của góc B và C cắt đường thẳng AN tại P và Q. Chứng minh 4 điểm P, C, B, Q cùng thuộc một đường tròn. Bài 4: Cho hình vuông ABCD có cạnh a. Các điểm M,N theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB và BC. Gọi E là giao điểm của DN và CM. a) C/m tứ giác DAME nội tiếp b) Gọi P,O,S thứ tự là trung điểm của DC, CA, AD . Gọi Q là điểm bất kì trên tia đối của tia BC. Gọi R là giao điểm của QM và AC. Gọi T là giao điểm của OS với PR. Chứng minh rằng MT // PQ. Bài 5: Cho tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn tâm O và P là một điểm trên cung nhỏ BC a) Chứng minh PA = PB + PC b) Qua điểm P dựng đường thẳng d song song với BC cắt AB kéo dài ở D. Qua P dựng đường thẳng e song song với AC cắt BC ở E. Qua P dựng đường thẳng song song với AB cắt AC ở F. Chứng minh PCFE và BDPE là các tứ giác nội tiếp. Chủ đề 4: Chứng minh điểm cố định. Bài 1: Cho đường tròn (O ; R). Đường thẳng d cắt (O) tại A, B. C thuộc d ở ngoài (O). Từ điểm chính giữa P của cung lớn AB kẻ đường kính PQ cắt AB tại D. CP cắt (O) tại điểm thứ hai I, AB cắt IQ tại K. GV:NGUYỄN THỊ THANH HẢI 24
25. Tài liệu ôn tập vào lớp 10 a) Chứng minh tứ giác PDKI nội tiếp. b) Chứng minh: CI.CP = CK.CD. c) Chứng minh IC là phân giác ngoài của tam giác AIB. d) A, B, C cố định, (O) thay đổi nhưng vẫn luôn qua A, B. Chứng minh rằng IQ luôn đi qua điểm cố định. Bài 2: Cho tam giác đều ABC nội tiếp (O ; R). M di động trên AB. N di động trên tia đối của tia CA sao cho BM = CN. a) Đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN cắt (O) tại A và D. Chứng minh rằng D cố định. b) Tính góc MDN. c) MN cắt BC tại K. Chứng minh DK vuông góc với MN. d) Đặt AM = x. Tính x để diện tích tam giác AMN là lớn nhất. Bài 3: Cho (O ; R). Điểm M cố định ở ngoài (O). Cát tuyến qua M cắt (O) tại A và B. Tiếp tuyến của (O) tại A và B cắt nhau tại C. a) Chứng minh tứ giác OACB nội tiếp đường tròn tâm K. b) Chứng minh: (K) qua hai điểm cố định là O và H khi cát tuyến quay quanh M. c) CH cắt AB tại N, I là trung điểm AB. Chứng minh MA.MB = MI.MN. d) Chứng minh: IM.IN = IA2. Bài 4: Cho nửa đường tròn đường kính AB tâm O. C là điểm chính giữa cung AB. M di động trên cung nhỏ AC. Lấy N thuộc BM sao cho AM = BN. a) So sánh tam giác AMC và BCN. b) Tam giác CMN là tam giác gì? c) Kẻ dây AE//MC. Chứng minh tứ giác BECN là hình bình hành. d) Đường thẳng d đi qua N và vuông góc với BM. Chứng minh d luôn đi qua điểm cố định. Bài 5: Cho đường tròn (O ; R), đường thẳng d cắt (O) tại hai điểm C và D. Điểm M tuỳ ý trên d, kẻ tiếp tuyến MA, MB. I là trung điểm của CD. a) Chứng minh 5 điểm M, A, I, O, B cùng thuộc một đường tròn. b) Gọi H là trực tâm của tam giác MAB, tứ giác OAHB là hình gì? c) Khi M di đồng trên d. Chứng minh rằng AB luôn qua điểm cố định. d) Đường thẳng qua C vuông góc với OA cắt AB, AD lần lượt tại E và K. Chứng minh EC = EK. Chủ đề 5: Chứng minh hai tam giác đồng dạng và chứng minh đẳng thức hình học. Bài 1: Cho đường tròn (O) và dây AB. M là điểm chính giữa cung AB. C thuộc AB, dây MD qua C. a) Chứng minh MA2 = MC.MD. b) Chứng minh MB.BD = BC.MD. c) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD tiếp xúc với MB tại B. d) Gọi R1, R2 là bán kính các đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD và ACD. Chứng minh R1 + R2 không đổi khi C di động trên AB. Bài 2: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R và một điểm M trên nửa đường tròn (M khác A, B). Tiếp tuyến tại M của nửa đường tròn cắt các tiếp tuyến tại A, B lần lượt ở C và E. a) Chứng minh rằng CE = AC + BE. b) Chứng minh AC.BE = R2. c) Chứng minh tam giác AMB đồng dạng với tam giác COE. d) Xét trường hợp hai đường thẳng AB và CE cắt nhau tại F. Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên AB. HA FA + Chứng minh rằng: . HB FB + Chứng minh tích OH.OF không đổi khi M di động trên nửa đường tròn. Bài 3: Trên cung BC của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC lấy một điểm P bất kì. Các đường 1 1 1 thẳng AP và BC cắt nhau tại Q. Chứng minh rằng: . PQ PB PC Bài 4: Cho góc vuông xOy. Trên tia Ox đặt đoạn OA = a. Dựng đường tròn (I ; R) tiếp xúc với Ox tại A và cắt Oy tại hai điểm B, C. Chứng minh các hệ thức: GV:NGUYỄN THỊ THANH HẢI 25
26. Tài liệu ôn tập vào lớp 10 1 1 1 a) . AB2 AC2 a 2 b) AB2 + AC2 = 4R2. Chủ đề 6: Các bài toán về tính số đo góc và số đo diện tích. Bài 1: Cho hai đường tròn (O; 3cm) và (O’;1 cm) tiếp xúc ngoài tại A. Vẽ tiếp tuyến chung ngoài BC (B (O); C (O’)). a) Chứng minh rằng góc O’OB bằng 600. b) Tính độ dài BC. c) Tính diện tích hình giới hạn bởi tiếp tuyến BC và các cung AB, AC của hai đường tròn. Bài 2: Cho điểm C thuộc đoạn thẳng AB sao cho AC = 10 cm, CB = 40 cm. Vẽ về một phía của AB các nửa đường tròn có đường kính theo thứ tự là AB, AC, CB và có tâm theo thứ tự là O, I, K. Đường vuông góc với AB tại C cắt nửa đường tròn (O) ở E. Gọi M, N theo thứ tự là giao điểm của EA, EB với các nửa đường tròn (I), (K). a) Chứng ming rằng EC = MN. b) Chứng minh rằng MN là tiếp tuyến chung của các nửa đường tròn (I), (K). c) Tính độ dài MN. d) Tính diện tích hình được giới hạn bởi ba nửa đường tròn. Bài 3: Từ một điểm A ở bên ngoài đường tròn (O), kẻ hai tiếp tuyến AB và AC với đường tròn. Từ một điểm M trên cung nhỏ BC kẻ một tiếp tuyến thứ ba cắt hai tiếp tuyến kia tại P và Q. a) Chứng minh rằng: Khi điểm M chuyển động trên cung BC nhỏ thì chu vi tam giác APQ có giá trị không đổi. b) Cho biết BAC = 600 và bán kính của đường tròn (O) bằng 6 cm. Tính độ dài của tiếp tuyến AB và diện tích phần mặt phẳng được giới hạn bởi hai tiếp tuyến AB, AC và cung nhỏ BC. Bài 4: Cho tam giác cân ABC (AB = AC), I là tâm đường tròn nội tiếp , K là tâm đường tròn bàng tiếp góc A, O là trung điểm của IK. a) Chứng minh rằng: 4 điểm B, I, C, K cùng thuộc một đường tròn. b) Chứng minh rằng: AC là tiếp tuyến của đường tròn (O). c) Tính bán kính của đường tròn (O) biết AB = AC = 20 cm, BC = 24 cm. Bài 5: Cho đường tròn tâm O đường kính AB = 2R. E là một điểm trên đường tròn mà AE > EB. M là một điểm trên đoạn AE sao cho AM.AE = AO.AB. a) Chứng minh AOM vuông tại O. b) OM cắt đường tròn ở C và D. Điểm C và điểm E ở cùng một phía đối với AB. Chứng minh ACM đồng dạng với AEC. c) Chứng minh AC là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác CEM. 2 d) Giả sử tỉ số diện tích hai tam giác Acm và AEC là . Tính AC, AE, AM, CM theo R. 3 Chủ đề 7: Toán quỹ tích. Nâng cao Bài 1: Cho tam giác ABC cân (AB = AC) nội tiếp trong đường tròn (O) và M là điểm di động trên đường tròn đó. Gọi D là hình chiếu của B trên AM và P là giao điểm của BD với CM. a) Chứng minh BPM cân. b) Tìm quỹ tích của điểm D khi M di chuyển trên đường tròn (O). Bài 2: Đường tròn (O ; R) cắt một đường thẳng d tại hai điểm A, B. Từ một điểm M trên d và ở ngoài đường tròn (O) kẻ các tiếp tuyến MP, MQ. a) Chứng minh rằng góc QMO bằng góc QPO và đường tròn ngoại tiếp tam giác MPQ đi qua hai điểm cố định khi M di động trên d. b) Xác định vị trí của M để MQOP là hình vuông? c) Tìm quỹ tích tâm các đường tròn nội tiếp tam giác MPQ khi M di động trên d. Bài 3: Hai đường tròn tâm O và tâm I cắt nhau tại hai điểm A và B. Đường thẳng d đi qua A cắt các đường tròn (O) và (I) lần lượt tại P, Q. Gọi C là giao điểm của hai đường thẳng PO và QI. a) Chứng minh rằng các tứ giác BCQP, OBCI nội tiếp. b) Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AP, AQ, K là trung điểm của EF. Khi đường thẳng d quay quanh A thì K chuyển động trên đường nào? GV:NGUYỄN THỊ THANH HẢI 26
27. Tài liệu ôn tập vào lớp 10 c) Tìm vị trí của d để tam giác PQB có chu vi lớn nhất. Chủ đề 8: Một số bài toán mở đầu về hình học không gian. Bài 1: Cho hình hộp chữ nhật ABCDA’B’C’D’. Biết AB = 4 cm; AC = 5 cm và A’C = 13 cm. Tính thể tích và diện tích xung quanh của hình hộp chữ nhật đó. Bài 2: Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ có diện tích mặt chéo ACC’A’ bằng 25 2 cm2. Tính thể tích và diện tích toàn phần của hình lập phương đó. Bài 3: Cho hình hộp chứ nhật ABCDA’B’C’D’. Biết AB = 15 cm, AC’ = 20 cm và góc A’AC’ bằng 600. Tính thể tích và diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật đó. Bài 4: Cho lăng trụ đứng tam giác đều ABCA’B’C’. Tính diện tích xung quanh và thể tích của nó biết cạnh đáy dài 6 cm và góc AA’B bằng 300. Bài 5: Cho tam giác ABC đều cạnh a. Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (ABC) tại trọng tâm G của tam giác ABC. Trên đường thẳng d lấy một điểm S. Nối SA, SB, SC. a) Chứng minh rằng SA = SB = SC. b) Tính diện tích toàn phần và thể tích của hình chóp S.ABC, cho biết SG = 2a. a 2 Bài 6: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy là a và đường cao là . 2 a) Chứng minh các mặt bên của hình chóp là các tam giác đều. b) Tính thể tích và diện tích xung quanh của hình chóp. Bài 7: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy và cạnh bên đều bằng a. a) Tính diện tích toán phần của hình chóp. b) Tính thể tích của hình chóp. Bài 8: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có chiếu cao 15 cm và thể tích là 1280 cm3. a) Tính độ dài cạnh đáy. b) Tính diện tích xung quanh của hình chóp. Bài 9: Một hình chóp cụt diện tích đáy nhỏ là 75 cm2, diện tích đáy lớn gấp 4 lần diện tích đáy nhỏ và chiều cao là 6 cm. Tính thể tích của hình chóp cụt đó. Bài 10: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA = a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD). a) Tính thể tích hình chóp. b) Chứng minh rằng bốn mặt bên là những tam giác vuông. a) Tính diện tích xung quanh của hình chóp. Bài 11: Một hình trụ có đường cao bằng đường kính đáy. Biết thể tích hình trụ là 128 cm 3, tính diện tích xung quanh của nó. Bài 12: Một hình nón có bán kính đáy bằng 5 cm và diện tích xung quanh bằng 65 cm2. Tính thể tích của hình nón đó. Bài 13: Cho hình nón cụt, bán kính đáy lớn bằng 8 cm, đường cao bằng 12 cm và đường sinh bằng 13 cm. a) Tính bán kính đáy nhỏ. b) Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình nón cụt đó. Bài 14: Một hình cầu có diện tích bề mặt là 36 cm2. Tính thể tích của hình cầu đó. Một số đề ôn luyện tổng hợp Đề 1 Câu1 : Cho biểu thức x 3 1 x 3 1 x(1 x 2 ) 2 A= x x : Với x 2 ; 1 2 x 1 x 1 x 2 .a, Ruý gọn biểu thức A .b , Tính giá trị của biểu thức khi cho x= 6 2 2 c. Tìm giá trị của x để A=3 Câu2.a, Giải hệ phương trình: GV:NGUYỄN THỊ THANH HẢI 27
28. Tài liệu ôn tập vào lớp 10 (x y) 2 3(x y) 4 2x 3y 12 b. Giải bất phương trình: x 3 4x 2 2x 15 x2-3x-2=0=> x= 2 Câu 2 : a)Đặt x-y=a ta được pt: a2+3a=4 => a=-1;a=-4 (x y) 2 3(x y) 4 Từ đó ta có 2x 3y 12 x y 1 * (1) 2x 3y 12 x y 4 * (2) 2x 3y 12 Giải hệ (1) ta được x=3, y=2 Giải hệ (2) ta được x=0, y=4 Vậy hệ phương trình có nghiệm là x=3, y=2 hoặc x=0; y=4 b) Ta có x3-4x2-2x-15=(x-5)(x2+x+3) mà x2+x+3=(x+1/2)2+11/4>0 với mọi x Vậy bất phương trình tương đương với x-5>0 =>x>5 Câu 3: Phương trình: ( 2m-1)x2-2mx+1=0 • Xét 2m-1=0=> m=1/2 pt trở thành –x+1=0=> x=1 • Xét 2m-1 0=> m 1/2 khi đó ta có , = m2-2m+1= (m-1)2 0 mọi m=> pt có nghiệm với mọi m ta thấy nghiệm x=1 không thuộc (-1,0) m m 1 1 với m 1/2 pt còn có nghiệm x= = 2m 1 2m 1 1 pt có nghiệm trong khoảng (-1,0)=> -1< <0 2m 1 GV:NGUYỄN THỊ THANH HẢI 28
29. Tài liệu ôn tập vào lớp 10 1 2m 1 0 0 2m 1 => 2m 1 =>m  BFK= 90 => E,F thuộc đường tròn đường kính BK A hay 4 điểm E,F,B,K thuộc đường tròn đường kính BK. b.  BCF=  BAF B C Mà  BAF=  BAE=450=>  BCF= 450 O Ta có  BKF=  BEF Mà  BEF=  BEA=450(EA là đường chéo của hình vuông ABED)=>  BKF=450 Vì  BKC=  BCK= 450=> tam giác BCK vuông cân tại B Đề 2 x x 1 x x 1 2 x 2 x 1 Bài 1: Cho biểu thức: P = : x x x x x 1 a,Rút gọn P b,Tìm x nguyên để P có giá trị nguyên. Bài 2: Cho phương trình: x2-( 2m + 1)x + m2 + m - 6= 0 (*) a.Tìm m để phương trình (*) có 2 nghiệm âm. 3 3 b.Tìm m để phương trình (*) có 2 nghiệm x1; x2 thoả mãn x1 x2 =50 2 Bài 3: Cho phương trình: ax + bx + c = 0 có hai nghiệm dương phân biệt x1, x2Chứng minh: 2 a,Phương trình ct + bt + a =0 cũng có hai nghiệm dương phân biệt t1 và t2. b,Chứng minh: x1 + x2 + t1 + t2 4 Bài 4: Cho tam giác có các góc nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm O . H là trực tâm của tam giác. D là một điểm trên cung BC không chứa điểm A. a, Xác định vị trí của điẻm D để tứ giác BHCD là hình bình hành. b, Gọi P và Q lần lượt là các điểm đối xứng của điểm D qua các đường thẳng AB và AC . Chứng minh rằng 3 điểm P; H; Q thẳng hàng. c, Tìm vị trí của điểm D để PQ có độ dài lớn nhất. Bài 5: Cho hai số dương x; y thoả mãn: x + y 1 1 501 Tìm giá trị nhỏ nhất của: A = x2 y2 xy Đáp án Bài 1: (2 điểm). ĐK: x 0; x 1 GV:NGUYỄN THỊ THANH HẢI 29
30. Tài liệu ôn tập vào lớp 10 2 2x x 1 2 x 1z x 1 x 1 a, Rút gọn: P = : P = x x 1 x 1 ( x 1) 2 x 1 x 1 2 b. P = 1 x 1 x 1 Để P nguyên thì x 1 1 x 2 x 4 x 1 1 x 0 x 0 x 1 2 x 3 x 9 x 1 2 x 1(Loai) Vậy với x= 0;4;9 thì P có giá trị nguyên. Bài 2: Để phương trình có hai nghiệm âm thì: 2 2m 1 4 m 2 m 6 0 25 0 2 x1 x2 m m 6 0 (m 2)(m 3) 0 m 3 x x 2m 1 0 1 1 2 m 2 b. Giải phương trình: m 2 3 (m 3) 3 50 5(3m 2 3m 7) 50 m 2 m 1 0 1 5 m1 2 1 5 m 2 2 2 2 Bài 3: a. Vì x1 là nghiệm của phương trình: ax + bx + c = 0 nên ax1 + bx1 + c =0. . 2 1 1 1 2 Vì x1> 0 => c. 1 b. a 0. Chứng tỏ là một nghiệm dương của phương trình: ct + bt x x1 x1 1 + a = 0; t1 = Vì x2 là nghiệm của phương trình: x1 2 2 ax + bx + c = 0 => ax2 + bx2 + c =0 2 1 1 1 vì x2> 0 nên c. b. a 0 điều này chứng tỏ là một nghiệm dương của phương trình x2 x2 x2 2 1 ct + bt + a = 0 ; t2 = x2 2 2 Vậy nếu phương trình: ax + bx + c =0 có hai nghiẹm dương phân biệt x1; x2 thì phương trình : ct + bt 1 1 + a =0 cũng có hai nghiệm dương phân biệt t1 ; t2 . t1 = ; t2 = x1 x2 b. Do x1; x1; t1; t2 đều là những nghiệm dương nên GV:NGUYỄN THỊ THANH HẢI 30
31. Tài liệu ôn tập vào lớp 10 1 1 t1+ x1 = + x1 2 t2 + x2 = + x2 2 x1 x2 Do đó x1 + x2 + t1 + t2 4 Bài 4 a. Giả sử đã tìm được điểm D trên cung BC sao cho tứ giác BHCD là hình bình hành . Khi đó: BD//HC; CD//HB vì H là trực tâm tam giác ABC nên A CH  AB và BH  AC => BD  AB và CD  AC . Q Do đó:  ABD = 900 và  ACD = 900 . Vậy AD là đường kính của đường tròn tâm O H O Ngược lại nếu D là đầu đường kính AD P của đường tròn tâm O thì B C tứ giác BHCD là hình bình hành. b) Vì P đối xứng với D qua AB nên  APB =  ADB D nhưng  ADB =  ACB nhưng  ADB =  ACB Do đó:  APB =  ACB Mặt khác:  AHB +  ACB = 1800 =>  APB +  AHB = 1800 Tứ giác APBH nội tiếp được đường tròn nên  PAB =  PHB Mà  PAB =  DAB do đó:  PHB =  DAB Chứng minh tương tự ta có:  CHQ =  DAC Vậy  PHQ =  PHB +  BHC +  CHQ =  BAC +  BHC = 1800 Ba điểm P; H; Q thẳng hàng c). Ta thấy APQ là tam giác cân đỉnh A Có AP = AQ = AD và  PAQ =  2BAC không đổi nên cạnh đáy PQ đạt giá trị lớn nhất  AP và AQ là lớn nhất hay  AD là lớn nhất  D là đầu đường kính kẻ từ A của đường tròn tâm O Đề 3 x y xy Bài 1: Cho biểu thức: P ( x y )(1 y ) x y ) x 1 x 1 1 y a). Tìm điều kiện của x và y để P xác định . Rút gọn P. b). Tìm x,y nguyên thỏa mãn phơng trình P = 2. Bài 2: Cho parabol (P) : y = -x2 và đờng thẳng (d) có hệ số góc m đi qua điểm M(-1 ; -2) . a). Chứng minh rằng với mọi giá trị của m (d) luôn cắt (P) tại hai điểm A , B phân biệt b). Xác định m để A,B nằm về hai phía của trục tung. Bài 3: Giải hệ phơng trình : x y z 9 1 1 1 1 x y z xy yz zx 27 Bài 4: Cho đường tròn (O) đờng kính AB = 2R và C là một điểm thuộc đường tròn (C A ; C B ) . Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm C , kẻ tia Ax tiếp xúc với đờng tròn (O), gọi M là điểm chính giữa của cung nhỏ AC . Tia BC cắt Ax tại Q , tia AM cắt BC tại N. GV:NGUYỄN THỊ THANH HẢI 31
32. Tài liệu ôn tập vào lớp 10 a). Chứng minh các tam giác BAN và MCN cân . b). Khi MB = MQ , tính BC theo R. 1 1 1 1 Bài 5: Cho x, y, z R thỏa mãn : x y z x y z 3 Hãy tính giá trị của biểu thức : M = + (x8 – y8)(y9 + z9)(z10 – x10) . 4 Đáp án Bài 1: a). Điều kiện để P xác định là :; x 0 ; y 0 ; y 1 ; x y 0 . *). Rút gọn x(1 x) y(1 y ) xy x y (x y) x x y y xy x y P: P x y 1 x 1 y x y 1 x 1 y x y x y x xy y xy x y 1 x 1 y x x 1 y x 1 y 1 x 1 x 1 x 1 y x y y y x x 1 y 1 y y 1 y x xy y. 1 y 1 y Vậy P = x xy y. b). P = 2 x xy y. = 2 x 1 y y 1 1 x 1 1 y 1 Ta có: 1 + y 1 x 1 1 0 x 4 x = 0; 1; 2; 3 ; 4 Thay vào ta cócác cặp giá trị (4; 0) và (2 ; 2) thoả mãn Bài 2: a). Đường thẳng (d) có hệ số góc m và đi qua điểm M(-1 ; -2) . Nên phơng trình đờng thẳng (d) là : y = mx + m – 2. Hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phơng trình: - x2 = mx + m – 2 x2 + mx + m – 2 = 0 (*) Vì phơng trình (*) có m 2 4m 8 m 2 2 4 0 m nên phơng trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt , do đó (d) và (P) luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B. b). A và B nằm về hai phía của trục tung phơng trình : x2 + mx + m – 2 = 0 có hai nghiệm trái dấu m – 2 < 0 m < 2. x y z 9 1 1 1 1 Bài 3 : 1 (2) x y z xy yz xz 27 3 ĐKXĐ : x 0 , y 0 , z 0. GV:NGUYỄN THỊ THANH HẢI 32
33. Tài liệu ôn tập vào lớp 10 x y z 2 81 x2 y2 z2 2 xy yz zx 81 x2 y2 z2 81 2 xy yz zx x2 y2 z2 27 x2 y2 z2 xy yz zx 2(x2 y2 z2 ) 2 xy yz zx 0 (x y)2 (y z)2 (z x)2 0 2 (x y) 0 x y 2 (y z) 0 y z x y z 2 z x (z x) 0 Thay vào (1) => x = y = z = 3 . Ta thấy x = y = z = 3 thõa mãn hệ phơng trình . Vậy hệ phơng trình có nghiệm duy nhất x = y = z = 3. Bài 4: a). Xét ABM và NBM . Ta có: AB là đờng kính của đờng tròn (O) Q nên :AMB = NMB = 90o . M là điểm chính giữa của cung nhỏ AC N nên ABM = MBN => BAM = BNM => BAN cân đỉnh B. C M Tứ giác AMCB nội tiếp => BAM = MCN ( cùng bù với góc MCB). B A => MCN = MNC ( cùng bằng góc BAM). O => Tam giác MCN cân đỉnh M b). Xét MCB và MNQ có : MC = MN (theo cm trên MNC cân ) ; MB = MQ ( theo gt)  BMC =  MNQ ( vì :  MCB =  MNC ;  MBC =  MQN ). => MCB MNQ (c.g .c). => BC = NQ . Xét tam giác vuông ABQ có AC  BQ AB2 = BC . BQ = BC(BN + NQ) => AB2 = BC .( AB + BC) = BC( BC + 2R) => 4R2 = BC( BC + 2R) => BC = ( 5 1)R Bài 5: 1 1 1 1 1 1 1 1 Từ : => 0 x y z x y z x y z x y z x y x y z z => 0 xy z x y z 1 1 z y 0 xy z x y z zx zy z 2 xy x y 0 xyz(x y z) x y y z (z x) 0 Ta có : x8 – y8 = (x + y)(x-y)(x2+y2)(x4 + y4).= y9 + z9 = (y + z)(y8 – y7z + y6z2 - + z8) GV:NGUYỄN THỊ THANH HẢI 33
34. Tài liệu ôn tập vào lớp 10 z10- x10 = (z + x)(z4 – z3x + z2x2 – zx3 + x4)(z5 - x5) 3 3 Vậy M = + (x + y) (y + z) (z + x).A = 4 4 Đề 4 Bài 1: Một hình trụ có chiều cao gấp đôi đường kính đáy đựng đầy nước, nhúng chìm vào 2 bình một hình cầu khi lấy ra mực nước trong bình còn lại bình. Tìm tỉ số giữa bán kính hình trụ và 3 bán kính hình cầu Bìa2: 1) Giải phương trình: 2x4 - 11 x3 + 19x2 - 11 x + 2 = 0 2) Cho x + y = 1 (x > 0; y > 0) Tìm giá trị lớn nhất của A = x + y Bài 3: 1) Tìm các số nguyên a, b, c sao cho đa thức : (x + a)(x - 4) - 7 Phân tích thành thừa số được : (x + b).(x + c) 2) Cho tam giác nhọn xây, B, C lần lượt là các điểm cố định trên tia Ax, Ay sao cho AB 0 nên A lớn nhất A2 lớn nhất. Xét A2 = ( x + y )2 = x + y + 2 xy = 1 + 2 xy (1) x y Ta có: xy (Bất đẳng thức Cô si) 2 => 1 > 2 xy (2) Từ (1) và (2) suy ra: A2 = 1 + 2 xy x = y = , max A = 2 x = y = 2 2 Bài3 Câu 1Với mọi x ta có (x + a)(x - 4) - 7 = (x + b)(x + c) Nên với x = 4 thì - 7 = (4 + b)(4 + c) Có 2 trường hợp: 4 + b = 1 và 4 + b = 7 4 + c = - 7 4 + c = - 1 Trường hợp thứ nhất cho b = - 3, c = - 11, a = - 10 Ta có (x - 10)(x - 4) - 7 = (x - 3)(x - 11) Trường hợp thứ hai cho b = 3, c = - 5, a = 2 Ta có (x + 2)(x - 4) - 7 = (x + 3)(x - 5) Câu2 (1,5điểm) x GV:NGUYỄN THỊ THANH HẢI 34 B D A M C
35. Tài liệu ôn tập vào lớp 10 Gọi D là điểm trên cạnh AB sao cho: 1 AD = AB. Ta có D là điểm cố định 4 MA 1 AD 1 Mà = (gt) do đó = AB 2 MA 2 Xét tam giác AMB và tam giác ADM có MâB (chung) MA AD 1 = = AB MA 2 MB MA Do đó Δ AMB ~ Δ ADM => = = 2 MD AD => MD = 2MD (0,25 điểm) Xét ba điểm M, D, C : MD + MC > DC (không đổi) Do đó MB + 2MC = 2(MD + MC) > 2DC Dấu "=" xảy ra M thuộc đoạn thẳng DC Giá trị nhỏ nhất của MB + 2 MC là 2 DC * Cách dựng điểm M. 1 - Dựng đường tròn tâm A bán kính AB 2 N 1 - Dựng D trên tia Ax sao cho AD = AB 4 C 1 M là giao điểm của DC và đường tròn (A; AB) 2 I Bài 4: a) Dựng (I, IA) cắt AD tại M cắt tia AC tại N K 0 O Do MâN = 90 nên MN là đường kính B A Vậy I là trung điểm của MN M b) Kẻ MK // AC ta có : ΔINC = ΔIMK (g.c.g) => CN = MK = MD (vì ΔMKD vuông cân) D Vậy AM+AN=AM+CN+CA=AM+MD+CA => AM = AN = AD + AC không đổi c) Ta có IA = IB = IM = IN Vậy đường tròn ngoại tiếp ΔAMN đi qua hai điểm A, B cố định . Đề 5 Bài 1. Cho ba số x, y, z thoã mãn đồng thời : x2 2y 1 y2 2z 1 z2 2x 1 0 Tính giá trị của biểu thức : A x2007 y2007 z2007 . Bài 2). Cho biểu thức : M x2 5x y2 xy 4y 2014 . Với giá trị nào của x, y thì M đạt giá trị nhỏ nhất ? Tìm giá trị nhỏ nhất đó Bài 3. Giải hệ phương trình : 2 2 x y x y 18 x x 1 .y y 1 72 Bài 4. Cho đường tròn tâm O đường kính AB bán kính R. Tiếp tuyến tại điểm M bbất kỳ trên đường tròn (O) cắt các tiếp tuyến tại A và B lần lượt tại C và D. a.Chứng minh : AC . BD = R2. GV:NGUYỄN THỊ THANH HẢI 35
36. Tài liệu ôn tập vào lớp 10 b.Tìm vị trí của điểm M để chu vi tam giác COD là nhỏ nhất . Bài 5.Cho a, b là các số thực dương. Chứng minh rằng : 2 a b a b 2a b 2b a 2 Bài 6).Cho tam giác ABC có phân giác AD. Chứng minh : AD2 = AB . AC - BD . DC. Hướng dẫn giải Bài 1. Từ giả thiết ta có : x2 2y 1 0 y2 2z 1 0 2 z 2x 1 0 Cộng từng vế các đẳng thức ta có : x2 2x 1 y2 2y 1 z2 2z 1 0 x 1 0 2 2 2 x 1 y 1 z 1 0 y 1 0 x y z 1 z 1 0 A x2007 y2007 z2007 1 2007 1 2007 1 2007 3 Vậy : A = -3. Bài 2.(1,5 điểm) Ta có : M x2 4x 4 y2 2y 1 xy x 2y 2 2007 M x 2 2 y 1 2 x 2 y 1 2007 2 1 3 2 M x 2 y 1 y 1 2007 2 4 2 2 1 Do y 1 0 và x 2 y 1 0 x, y 2 M 2007 M min 2007 x 2; y 1 u x x 1 u v 18 Bài 3. Đặt : Ta có : u ; v là nghiệm của phương trình : v y y 1 uv 72 2 X 18X 72 0 X1 12; X 2 6 u 12 u 6 ; v 6 v 12 x x 1 12 x x 1 6 ; y y 1 6 y y 1 12 Giải hai hệ trên ta được : Nghiệm của hệ là : (3 ; 2) ; (-4 ; 2) ; (3 ; -3) ; (-4 ; -3) và các hoán vị. Bài 4. a.Ta có CA = CM; DB = DM Các tia OC và OD là phân giác của hai góc AOM và MOB nên OC  OD Tam giác COD vuông đỉnh O, OM là đường cao thuộc cạnh huyền CD nên : MO2 = CM . MD GV:NGUYỄN THỊ THANH HẢI d36 m c a b h o
37. Tài liệu ôn tập vào lớp 10 R2 = AC . BD b.Các tứ giác ACMO ; BDMO nội tiếp Mã CO Mã AO;Mã DO Mã BO VCOD : VAMB g.g (0,25đ) Chu.vi.VCOD OM Do đó : (MH1  AB) Chu.vi.VAMB MH1 OM Do MH1 OM nên 1 MH1 Chu vi VCOD chu vi VAMB ằ Dấu = xảy ra MH1 = OM M  O M là điểm chính giữa của cung AB 2 2 1 1 Bài 5 (1,5 điểm) Ta có : a 0; b 0  a , b > 0 2 2 1 1 1 1 a a 0;b b 0 (a a ) (b b ) 0  a , b > 0 4 4 4 4 1 a b a b 0 Mặt khác a b 2 ab 0 2 1 Nhân từng vế ta có : a b a b 2 ab a b 2 2 a b a b 2a b 2b a 2 Bài 6. (1 điểm) Vẽ đường tròn tâm O ngoại tiếp VABC Gọi E là giao điểm của AD và (O) Ta có:VABD : VCED (g.g) a BD AD AB.ED BD.CD ED CD AD. AE AD BD.CD AD2 AD.AE BD.CD Lại có : VABD : VAEC g.g AB AD b d c AB.AC AE.AD AE AC 2 AD AB.AC BD.CD e Đề 6 Câu 1: Cho hàm số f(x) = x 2 4x 4 a) Tính f(-1); f(5) b) Tìm x để f(x) = 10 f (x) c) Rút gọn A = khi x 2 x 2 4 GV:NGUYỄN THỊ THANH HẢI 37
38. Tài liệu ôn tập vào lớp 10 x(y 2) (x 2)(y 4) Câu 2: Giải hệ phương trình (x 3)(2y 7) (2x 7)(y 3) x x 1 x 1 x Câu 3: Cho biểu thứcA = : x với x > 0 và x 1 x 1 x 1 x 1 a) Rút gọn A b) Tìm giá trị của x để A = 3 Câu 4: Từ điểm P nằm ngoài đường tròn tâm O bán kính R, kẻ hai tiếp tuyến PA; PB. Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ A đến đường kính BC. a) Chứng minh rằng PC cắt AH tại trung điểm E của AH b) Giả sử PO = d. Tính AH theo R và d. Câu 5: Cho phương trình 2x2 + (2m - 1)x + m - 1 = 0 Không giải phương trình, tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1; x2 thỏa mãn: 3x1 - 4x2 = 11 đáp án Câu 1a) f(x) = x 2 4x 4 (x 2) 2 x 2 Suy ra f(-1) = 3; f(5) = 3 x 2 10 x 12 b) f (x) 10 x 2 10 x 8 f (x) x 2 c) A x 2 4 (x 2)(x 2) 1 Với x > 2 suy ra x - 2 > 0 suy ra A x 2 1 Với x < 2 suy ra x - 2 < 0 suy ra A x 2 Câu 2 x(y 2) (x 2)(y 4) xy 2x xy 2y 4x 8 x y 4 x -2 (x 3)(2y 7) (2x 7)(y 3) 2xy 6y 7x 21 2xy 7y 6x 21 x y 0 y 2 x x 1 x 1 x Câu 3 a) Ta có: A = : x = x 1 x 1 x 1 ( x 1)(x x 1) x 1 x( x 1) x : = ( x 1)( x 1) x 1 x 1 x 1 GV:NGUYỄN THỊ THANH HẢI 38
39. Tài liệu ôn tập vào lớp 10 x x 1 x 1 x x x x x 1 x 1 x x 2 x : = : = : = x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 2 x 1 2 x  = x 1 x x 2 x b) A = 3 => = 3 => 3x + x - 2 = 0 => x = 2/3 x Câu 4 Do HA // PB (Cùng vuông góc với BC) a) nên theo định lý Ta let áp dụng cho CPB ta có P EH CH ; (1) PB CB A Mặt khác, do PO // AC (cùng vuông góc với AB) E =>  POB =  ACB (hai góc đồng vị) B • C => AHC POB O H AH CH Do đó: (2) PB OB Do CB = 2OB, kết hợp (1) và (2) ta suy ra AH = 2EH hay E là trung điểm của AH. b) Xét tam giác vuông BAC, đường cao AH ta có AH2 = BH.CH = (2R - CH).CH Theo (1) và do AH = 2EH ta có AH.CB AH.CB AH 2 (2R ) . 2PB 2PB AH2.4PB2 = (4R.PB - AH.CB).AH.CB 4AH.PB2 = 4R.PB.CB - AH.CB2 AH (4PB2 +CB2) = 4R.PB.CB 4R.CB.PB 4R.2R.PB AH 4.PB 2 CB 2 4PB 2 (2R)2 8R 2 . d2 R 2 2.R 2 . d2 R 2 4(d2 R 2 ) 4R 2 d2 Câu 5 Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1 ; x2 thì > 0 (2m - 1)2 - 4. 2. (m - 1) > 0 Từ đó suy ra m 1,5 (1) Mặt khác, theo định lý Viét và giả thiết ta có: GV:NGUYỄN THỊ THANH HẢI 39
40. Tài liệu ôn tập vào lớp 10 2m 1 13 - 4m x x x 1 2 2 1 7 m 1 7m 7 x1 .x 2 x1 2 26 - 8m 3x1 4x 2 11 13 - 4m 7m 7 3 4 11 7 26 - 8m 13 - 4m 7m 7 Giải phương trình 3 4 11 7 26 - 8m ta được m = - 2 và m = 4,125 (2) Đối chiếu điều kiện (1) và (2) ta có: Với m = - 2 hoặc m = 4,125 thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn: x1 + x2 = 11 Đề 7 x 2 x 1 x 1 Câu 1: Cho P = + - x x 1 x x 1 x 1 a/. Rút gọn P. 1 b/. Chứng minh: P BC. Điểm D di động trên cạnh AB, ( D không trùng với A, B). Gọi (O) là đường tròn ngoại tiếp VBCD . Tiếp tuyến của (O) tại C và D cắt nhau ở K . a/. Chứng minh tứ giác ADCK nội tiếp. b/. Tứ giác ABCK là hình gì? Vì sao? c/. Xác định vị trí điểm D sao cho tứ giác ABCK là hình bình hành. Đáp án Câu 1: Điều kiện: x 0 và x 1. (0,25 điểm) x 2 x 1 x 1 P = + - x x 1 x x 1 ( x 1)( x 1) x 2 x 1 1 = + - ( x)3 1 x x 1 x 1 x 2 ( x 1)( x 1) (x x 1) = ( x 1)(x x 1) x x x = = ( x 1)(x x 1) x x 1 1 x 1 b/. Với x 0 và x 1 .Ta có: P < < 3 x x 1 3 GV:NGUYỄN THỊ THANH HẢI 40
41. Tài liệu ôn tập vào lớp 10 3 x 0 ) x - 2 x + 1 > 0 ( x - 1)2 > 0. ( Đúng vì x 0 và x 1) Câu 2:a/. Phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi ’ 0. (m - 1)2 – m2 – 3 0 4 – 2m 0 m 2. b/. Với m 2 thì (1) có 2 nghiệm. Gọi một nghiệm của (1) là a thì nghiệm kia là 3a . Theo Viet ,ta có: a 3a 2m 2 2 a.3a m 3 m 1 m 1 a= 3( )2 = m2 – 3 2 2 m2 + 6m – 15 = 0 m = –3 2 6 ( thõa mãn điều kiện). Câu 3: Điều kiện x 0 ; 2 – x2 > 0 x 0 ; x 0 x2 y2 2 (1) Ta có: 1 1 2 (2) x y 1 Từ (2) có : x + y = 2xy. Thay vào (1) có : xy = 1 hoặc xy = - 2 * Nếu xy = 1 thì x+ y = 2. Khi đó x, y là nghiệm của phương trình: X2 – 2X + 1 = 0 X = 1 x = y = 1. 1 * Nếu xy = - thì x+ y = -1. Khi đó x, y là nghiệm của phương trình: 2 1 1 3 X2 + X - = 0 X = 2 2 1 3 1 3 Vì y > 0 nên: y = x = 2 2 1 3 Vậy phương trình có hai nghiệm: x1 = 1 ; x2 = 2 A K Câu 4: c/. Theo câu b, tứ giác ABCK là hình thang. Do đó, tứ giác ABCK là hình bình hành AB // CK Bã AC ãACK 1 1 Mà ãACK sđ EằC = sđ BằD = Dã CB 2 2 D Nên Bã CD Bã AC Dựng tia Cy sao cho Bã Cy Bã AC .Khi đó, D là giao điểm của ằAB và Cy. O ằ ằ ã ã ã C Với giả thiết AB > BC thì BCA > BAC > BDC . B D AB . Vậy điểm D xác định như trên là điểm cần tìm. GV:NGUYỄN THỊ THANH HẢI 41
42. Tài liệu ôn tập vào lớp 10 Đề 8 1 Câu 1: a) Xác định x R để biểu thức :A = x 2 1 x Là một số tự nhiên x 2 1 x x y 2 z b. Cho biểu thức: P = Biết x.y.z = 4 , tính P . xy x 2 yz y 1 zx 2 z 2 Câu 2:Cho các điểm A(-2;0) ; B(0;4) ; C(1;1) ; D(-3;2) a.Chứng minh 3 điểm A, B ,D thẳng hàng; 3 điểm A, B, C không thẳng hàng. b.Tính diện tích tam giác ABC. Câu3 Giải phương trình: x 1 3 2 x 5 Câu 4 Cho đường tròn (O;R) và một điểm A sao cho OA = R 2 . Vẽ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn. Một góc xOy = 450 cắt đoạn thẳng AB và AC lần lượt tại D và E. Chứng minh rằng: a.DE là tiếp tuyến của đường tròn ( O ). 2 b. R DE R 3 đáp án Câu 1: a. x 2 1 x A = x 2 1 x x 2 1 x ( x 2 1 x) 2x ( x 2 1 x).( x 2 1 x) k A là số tự nhiên -2x là số tự nhiên x = 2 (trong đó k Z và k 0 ) b.Điều kiện xác định: x,y,z 0, kết hpọ với x.y.z = 4 ta được x, y, z > 0 và xyz 2 Nhân cả tử và mẫu của hạng tử thứ 2 với x ; thay 2 ở mẫu của hạng tử thứ 3 bởi xyz ta được: x xy 2 z x xy 2 P = 1 (1đ) xy x 2 xy x 2 z ( x 2 xy xy x 2 P 1 vì P > 0 Câu 2: a.Đường thẳng đi qua 2 điểm A và B có dạng y = ax + b Điểm A(-2;0) và B(0;4) thuộc đường thẳng AB nên b = 4; a = 2 Vậy đường thẳng AB là y = 2x + 4. Điểm C(1;1) có toạ độ không thoả mãn y = 2x + 4 nên C không thuộc đường thẳng AB A, B, C không thẳng hàng. Điểm D(-3;2) có toạ độ thoả mãn y = 2x + 4 nên điểm D thuộc đường thẳng AB A,B,D thẳng hàn b.Ta có : AB2 = (-2 – 0)2 + (0 – 4)2 =20 AC2 = (-2 – 1)2 + (0 –1)2 =10 BC2 = (0 – 1)2 + (4 – 1)2 = 10 AB2 = AC2 + BC2 ABC vuông tại C 1 Vậy S ABC = 1/2AC.BC = 10. 10 5 ( đơn vị diện tích ) 2 Câu 3: Đkxđ x 1, đặt x 1 u; 3 2 x v ta có hệ phương trình: u v 5 2 3 u v 1 Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế ta được: v = 2 x = 10. Câu 4 a.áp dụng định lí Pitago tính được GV:NGUYỄN THỊ THANH HẢI 42
43. Tài liệu ôn tập vào lớp 10 AB = AC = R ABOC là hình vuông (0.5đ) Kẻ bán kính OM sao cho BOD = MOD MOE = EOC (0.5đ) B O Chứng minh BOD = MOD OMD = OBD = 900 D Tương tự: OME = 900 D, M, E thẳng hàng. Do đó DE là tiếp tuyến của đường tròn (O). M b.Xét ADE có DE AD; DE > AE ; DE = DB + EC 2 Cộng từng vế ta được: 3DE > 2R DE > R 3 2 Vậy R > DE > R 3 Đề 9 Câu 1: Cho hàm số f(x) = x 2 4x 4 a) Tính f(-1); f(5) b) Tìm x để f(x) = 10 f (x) c) Rút gọn A = khi x 2 x 2 4 Câu 2: Giải hệ phương trình x(y 2) (x 2)(y 4) (x 3)(2y 7) (2x 7)(y 3) Câu 3: Cho biểu thức x x 1 x 1 x A = : x với x > 0 và x 1 x 1 x 1 x 1 a) Rút gọn A 2) Tìm giá trị của x để A = 3 Câu 4: Từ điểm P nằm ngoài đường tròn tâm O bán kính R, kẻ hai tiếp tuyến PA; PB. Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ A đến đường kính BC. a) Chứng minh rằng PC cắt AH tại trung điểm E của AH b) Giả sử PO = d. Tính AH theo R và d. Câu 5: Cho phương trình 2x2 + (2m - 1)x + m - 1 = 0 Không giải phương trình, tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1; x2 thỏa mãn: 3x1 - 4x2 = 11 đáp án Câu 1 a) f(x) = x 2 4x 4 (x 2) 2 x 2 GV:NGUYỄN THỊ THANH HẢI 43
44. Tài liệu ôn tập vào lớp 10 Suy ra f(-1) = 3; f(5) = 3 x 2 10 x 12 b) f (x) 10 x 2 10 x 8 f (x) x 2 c) A x 2 4 (x 2)(x 2) 1 Với x > 2 suy ra x - 2 > 0 suy ra A x 2 1 Với x = 3 => 3x + x - 2 = 0 => x = 2/3 x P Câu 4 a) Do HA // PB (Cùng vuông góc với BC) A b) nên theo định lý Ta let áp dụng cho tam giác CPB ta có E EH CH ; (1) PB CB B • C O H Mặt khác, do PO // AC (cùng vuông góc với AB) => POB = ACB (hai góc đồng vị) GV:NGUYỄN THỊ THANH HẢI 44
45. Tài liệu ôn tập vào lớp 10 => AHC POB AH CH Do đó: (2) PB OB Do CB = 2OB, kết hợp (1) và (2) ta suy ra AH = 2EH hay E là trug điểm của AH. b) Xét tam giác vuông BAC, đường cao AH ta có AH2 = BH.CH = (2R - CH).CH Theo (1) và do AH = 2EH ta có AH.CB AH.CB AH 2 (2R ) . 2PB 2PB AH2.4PB2 = (4R.PB - AH.CB).AH.CB 4AH.PB2 = 4R.PB.CB - AH.CB2 AH (4PB2 +CB2) = 4R.PB.CB 4R.CB.PB 4R.2R.PB AH 4.PB 2 CB 2 4PB 2 (2R)2 8R 2 . d2 R 2 2.R 2 . d2 R 2 4(d2 R 2 ) 4R 2 d2 Câu 5 (1đ) Để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1 ; x2 thì > 0 (2m - 1)2 - 4. 2. (m - 1) > 0 Từ đó suy ra m 1,5 (1) Mặt khác, theo định lý Viét và giả thiết ta có: 2m 1 13 - 4m x x x 1 2 2 1 7 m 1 7m 7 x1 .x 2 x1 2 26 - 8m 3x1 4x 2 11 13 - 4m 7m 7 3 4 11 7 26 - 8m 13 - 4m 7m 7 Giải phương trình 3 4 11 7 26 - 8m ta được m = - 2 và m = 4,125 (2) Đối chiếu điều kiện (1) và (2) ta có: Với m = - 2 hoặc m = 4,125 thì phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt t Đề 10 Câu I : Tính giá trị của biểu thức: 1 1 1 1 A = + + + + 3 5 5 7 7 9 97 99 B = 35 + 335 + 3335 + + 3333 35 99số3 Câu II :Phân tích thành nhân tử : 1) X2 -7X -18 GV:NGUYỄN THỊ THANH HẢI 45
46. Tài liệu ôn tập vào lớp 10 2) (x+1) (x+2)(x+3)(x+4) 3) 1+ a5 + a10 Câu III : 1) Chứng minh : (ab+cd)2 (a2+c2)( b2 +d2) 2) áp dụng : cho x+4y = 5 . Tìm GTNN của biểu thức : M= 4x2 + 4y2 Câu 4 : Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), I là trung điểm của BC, M là một điểm trên đoạn CI ( M khác C và I ). Đường thẳng AM cắt (O) tại D, tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác AIM tại M cắt BD và DC tại P và Q. a) Chứng minh DM.AI= MP.IB MP b) Tính tỉ số : MQ Câu 5: x 2 4x 3 Cho P = 1 x Tìm điều kiện để biểu thức có nghĩa, rút gọn biểu thức. đáp án Câu 1 : 1 1 1 1 1) A = + + + + 3 5 5 7 7 9 97 99 1 1 = ( 5 3 + 7 5 + 9 7 + + 99 97 ) = ( 99 3 ) 2 2 2) B = 35 + 335 + 3335 + + 3333 35 = 99số3 =33 +2 +333+2 +3333+2+ + 333 33+2 = 2.99 + ( 33+333+3333+ +333 33) 1 = 198 + ( 99+999+9999+ +999 99) 3 1 198 + ( 102 -1 +103 - 1+104 - 1+ +10100 – 1) = 198 – 33 + 3 10101 102 B = +165 27 Câu 2: 1)x2 -7x -18 = x2 -4 – 7x-14 = (x-2)(x+2) - 7(x+2) = (x+2)(x-9) (1đ) 2)(x+1)(x+2)(x+3)(x+4) -3= (x+1)(x+4)(x+2)(x+3)-3 = (x2+5x +4)(x2 + 5x+6)-3= [x2+5x +4][(x2 + 5x+4)+2]-3 = (x2+5x +4)2 + 2(x2+5x +4)-3=(x2+5x +4)2 - 1+ 2(x2+5x +4)-2 = [(x2+5x +4)-1][(x2+5x +4)+1] +2[(x2+5x +4)-1] = (x2+5x +3)(x2+5x +7) 3) a10+a5+1 = a10+a9+a8+a7+a6 + a5 +a5+a4+a3+a2+a +1 - (a9+a8+a7 )- (a6 + a5 +a4)- ( a3+a2+a ) = a8(a2 +a+1) +a5(a2 +a+1)+ a3(a2 +a+1)+ (a2 +a+1)-a7(a2 +a+1) -a4(a2 +a+1)-a(a2 +a+1) =(a2 +a+1)( a8-a7+ a5 -a4+a3 - a +1) Câu 3: 4đ 1) Ta có : (ab+cd)2 (a2+c2)( b2 +d2) a2b2+2abcd+c2d2 a2b2+ a2d2 +c2b2 +c2d2 0 a2d2 - 2cbcd+c2b2 0 (ad - bc)2 (đpcm ) GV:NGUYỄN THỊ THANH HẢI 46
47. Tài liệu ôn tập vào lớp 10 Dấu = xãy ra khi ad=bc. 2) áp dụng hằng đẳng thức trên ta có : 52 = (x+4y)2 = (x. + 4y) (x2 + y2) (1 16) => 25 100 5 20 x2 + y2 => 4x2 + 4y2 dấu = xãy ra khi x= , y = (2đ) 17 17 17 17 Câu 4 : 5đ Ta có : góc DMP= góc AMQ = góc AIC. Mặt khác góc ADB = góc BCA=> DM MP MPD đồng dạng với ICA => => DM.IA=MP.CI hay DM.IA=MP.IB (1). CI IA Ta có góc ADC = góc CBA, Góc DMQ = 1800 - AMQ=1800 - góc AIM = góc BIA. Do đó DMQ đồng dạng với BIA => DM MQ => DM.IA=MQ.IB (2) BI IA MP Từ (1) và (2) ta suy ra = 1 MQ Câu 5 Để P xác định thì : x2-4x+3 0 và 1-x >0 Từ 1-x > 0 => x 0 Vậy với x 0. a 2 a 1 2 1 1 1 1 1 1 b. Tính giá trị của tổng. B 1 1 1 12 22 22 32 992 1002 Câu 2 : Cho pt x 2 mx m 1 0 a. Chứng minh rằng pt luôn luôn có nghiệm với m . b. Gọi x1 , x2 là hai nghiệm của pt. Tìm GTLN, GTNN của bt. 2x1 x2 3 P 2 2 x1 x2 2 x1 x2 1 Câu 3 : Cho x 1, y 1 Chứng minh. 1 1 2 1 x 2 1 y 2 1 xy Câu 4 Cho đường tròn tâm o và dây AB. M là điểm chuyển động trên đường tròn, từM kẻ MH  AB (H AB). Gọi E và F lần lượt là hình chiếu vuông góc của H trên MA và MB. Qua M kẻ đường thẳng vuông góc với è cắt dây AB tại D. 1. Chứng minh rằng đường thẳng MD luôn đi qua 1 điểm cố định khi M thay đổi trên đường tròn. 2. Chứng minh. GV:NGUYỄN THỊ THANH HẢI 47
48. Tài liệu ôn tập vào lớp 10 MA2 AH AD . MB 2 BD BH Hướng dẫn a 2 a 1 Câu 1 a. Bình phương 2 vế A (Vì a > 0). a a 1 c.áp dụng câu a. 1 1 A 1 a a 1 1 9999 B 100 100 100 Câu 2 a. : cm 0 m B (2 đ) áp dụng hệ thức Viet ta có: x1 x2 m 2m 1 P 2 (1) Tìm đk đẻ pt (1) có nghiệm theo ẩn. x1 x2 m 1 m 2 1 P 1 2 1 GTLN m 2 2 GTNN 1 m 1 Câu 3 : Chuyển vế quy đồng ta được. x y x y x y bđt 0 1 x 2 1 xy 1 y 2 1 xy x y 2 xy 1 0 đúng vì xy 1 M Câu 4: a - Kẻ thêm đường phụ. - Chứng minh MD là đường kính của (o) => b. E' o Gọi E', F' lần lượt là hình chiếu của D trên MA và MB. F Đặt HE = H1 E F' HF = H2 D AH AD HE.h .MA2 A H B . 1 1 BD BH HF.h .MB 2 2 I HEF ∞ DF ' E ' HF.h2 HE.h MA2 AH AD Thay vào (1) ta có: . MB 2 BD BH GV:NGUYỄN THỊ THANH HẢI 48
49. Tài liệu ôn tập vào lớp 10 Đề 12 a b a b a b 2ab Câu 1: Cho biểu thức D = : 1 1 ab 1 ab 1 ab a) Tìm điều kiện xác định của D và rút gọn D 2 b) Tính giá trị của D với a = 2 3 c) Tìm giá trị lớn nhất của D 2 2 Câu 2: Cho phương trình x2- mx + m2 + 4m - 1 = 0 (1) 2 3 2 3 a) Giải phương trình (1) với m = -1 1 1 b) Tìm m để phương trình (1) có 2 nghiệm thoã mãn x1 x2 x1 x2 Câu 3: Cho tam giác ABC đường phân giác AI, biết AB = c, AC = b, Aˆ ( 900 ) Chứng minh 2bc.Cos rằng AI = 2 (Cho Sin2 2Sin Cos ) b c Câu 4: Cho đường tròn (O) đường kính AB và một điểm N di động trên một nửa đường tròn sao cho NA NB.Vễ vào trong đường tròn hình vuông ANMP. a) Chứng minh rằng đường thẳng NP luôn đi qua điểm cố định Q. b) Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác NAB. Chứng minh tứ giác ABMI nội tiếp. c) Chứng minh đường thẳng MP luôn đi qua một điểm cố định. Câu 5: Cho x,y,z; xy + yz + zx = 0 và x + y + z = -1 Hãy tính giá trị của: xy zx xyz B = z y x Đáp án a 0 Câu 1: a) - Điều kiện xác định của D là b 0 ab 1 - Rút gọn D 2 a 2b a a b ab D = : 1 ab 1 ab 2 a D = a 1 2 2(2 3 b) a = ( 3 1) 2 a 3 1 2 3 1 GV:NGUYỄN THỊ THANH HẢI 49
50. Tài liệu ôn tập vào lớp 10 2 2 3 2 3 2 Vậy D = 2 1 4 3 2 3 c) áp dụng bất đẳng thức cauchy ta có 2 a a 1 D 1 Vậy giá trị của D là 1 1 9 Câu 2: a) m = -1 phương trình (1) x 2 x 0 x 2 2x 9 0 2 2 x1 1 10 x2 1 10 1 b) Để phương trình 1 có 2 nghiệm thì 0 8m 2 0 m (*) 4 1 m 2 4m 1 0 2 ( ) + Để phương trình có nghiệm khác 0 * m1 4 3 2 m2 4 3 2 1 1 x1 x2 0 + x1 x2 (x1 x2 )(x1 x2 1) 0 x1 x2 x1 x2 1 0 m 0 2m 0 m 4 19 2 m 8m 3 0 m 4 19 Kết hợp với điều kiện (*)và ( ) ta được m = 0 và m 4 19 Câu 3: 1 + S AI.cSin ; A ABI 2 2 2 1 2 + S AI.bSin ; b AIC 2 2 a 1 + S bcSin ; ABC 2 B C S ABC S ABI S AIC I c bcSin AISin (b c) N 2 1 2 M 2bcCos bcSin 2 AI 2 I b c 1 Sin (b c) A B 2 1 P Câu 4: a) Nˆ Nˆ Gọi Q = NP  (O) 1 2 QA QB Suy ra Q cố định ˆ ˆ ˆ b) A1 M 1 ( A2 ) Tứ giác ABMI nội tiếp Q c) Trên tia đối của QB lấy điểm F sao cho QF = QB, F cố định. Tam giác ABF có: AQ = QB = QF ABF vuông tại A Bˆ 450 AFˆB 450 F GV:NGUYỄN THỊ THANH HẢI 50
51. Tài liệu ôn tập vào lớp 10 ˆ 0 ˆ Lại có P1 45 AFB P1 Tứ giác APQF nội tiếp APˆF AQˆF 900 Ta có: APˆF APˆM 900 900 1800 M1,P,F Thẳng hàng 1 1 1 2 Câu 5: Biến đổi B = xyz = xyz. 2 2 2 2 x y z xyz Đề 13 x 4(x 1) x 4(x 1) 1 Bài 1: Cho biểu thức A = . 1 x2 4(x 1) x 1 a) Tìm điều kiện của x để A xác định b) Rút gọn A Bài 2 : Trên cùng một mặt phẳng tọa độ cho hai điểm A(5; 2) và B(3; -4) a) Viết phương tình đường thẳng AB b) Xác định điểm M trên trục hoành để tam giác MAB cân tại M Bài 3 : Tìm tất cả các số tự nhiên m để phương trình ẩn x sau: x2 - m2x + m + 1 = 0 có nghiệm nguyên. Bài 4 : Cho tam giác ABC. Phân giác AD (D BC) vẽ đường tròn tâm O qua A và D đồng thời tiếp xúc với BC tại D. Đường tròn này cắt AB và AC lần lượt tại E và F. Chứng minh a) EF // BC b) Các tam giác AED và ADC; àD và ABD là các tam giác đồng dạng. c) AE.AC = à.AB = AC2 Bài 5 : Cho các số dương x, y thỏa mãn điều kiện x2 + y2 x3 + y4. Chứng minh: x3 + y3 x2 + y2 x + y 2 Đáp án Bài 1: a) Điều kiện x thỏa mãn x 1 0 x 1 x 4(x 1) 0 x 1 x > 1 và x 2 x 4(x 1) 0 x 1 2 x 2 x 4(x 1) 0 KL: A xác định khi 1 2 b) Rút gọn A ( x 1 1)2 ( x 1 1)2 x 2 A = . (x 2)2 x 1 x 1 1 x 1 1 x 2 A = . x 2 x 1 2 Với 1 2 A = x 1 Kết luận 2 Với 1 2 thì A = x 1 GV:NGUYỄN THỊ THANH HẢI 51
52. Tài liệu ôn tập vào lớp 10 Bài 2: a) A và B có hoành độ và tung độ đều khác nhau nên phương trình đường thẳng AB có dạng y = ax + b A(5; 2) AB 5a + b = 2 B(3; -4) AB 3a + b = -4 Giải hệ ta có a = 3; b = -13 Vậy phương trình đường thẳng AB là y = 3x - 13 b) Giả sử M (x, 0) xx’ ta có MA = (x 5)2 (0 2)2 MB = (x 3)2 (0 4)2 MAB cân MA = MB (x 5)2 4 (x 3)2 16 (x - 5)2 + 4 = (x - 3)2 + 16 x = 1 Kết luận: Điểm cần tìm: M(1; 0) Bài 3: Phương trình có nghiệm nguyên khi = m4 - 4m - 4 là số chính phương Ta lại có: m = 0; 1 thì 5 2m2 - 4m - 5 > 0 - (2m2 - 2m - 5) < < + 4m + 4 m4 - 2m + 1 < < m4 (m2 - 1)2 < < (m2)2 E F không chính phương Vậy m = 2 là giá trị cần tìm. Bài 4: B 1 C a) Eã AD Eã FD( sdEằD) (0,25) D 2 1 Fã AD Fã DC( sdFằD) (0,25) 2 mà Eã DA Fã AD Eã FD Fã DC (0,25) EF // BC (2 góc so le trong bằng nhau) b) AD là phân giác góc BAC nên DằE DằF 1 1 sđ à CD sđ( AẳED DằF ) = sđ AằE = sđ à DE 2 2 do đó à CD à DE và Eã AD Dã AC DA  ADC (g.g) 1 1 1 Tương tự: sđ à DF sdAằF sd(AẳFD DằF) = (sdAẳFD DằE) sdà BD à DF à BD 2 2 2 do đó AFD ~ A (g.g c) Theo trên: + AED ~ ADB AE AD hay AD2 = AE.AC (1) AD AC AD AF + ADF ~ ABD AB AD AD2 = AB.AF (2) Từ (1) và (2) ta có AD2 = AE.AC = AB.AF Bài 5 (1đ): Ta có (y2 - y) + 2 0 2y3 y4 + y2 GV:NGUYỄN THỊ THANH HẢI 52