Tài liệu ôn thi vào 10 năm 2019 - Chuyên đề 6: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình – Phương trình

Nội dung text: Tài liệu ôn thi vào 10 năm 2019 - Chuyên đề 6: Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình – Phương trình

1. ÔN THI VÀO 10 - NĂM 2019 facebook: tailieutoan9999@gmail.com Chuyên đề 6: Giai bài toán bằng cách lập hệ phương trình – phương trình. Dạng 1: Bài toán về tìm số I.Lí thuyết Những kiến thức cần nhớ: + Biểu diễn số có hai chữ số : ab10abí=+ i 0<a9; ( v 0b9;a,bN) + Biểu diễn số có ba chữ số : abc100a10bcí=++ i 0<a9; ( v 0b,c9;a,b,cN) + Tổng hai số x; y là: x + y + Tổng bình phương hai số x, y là: x2 + y2 + Bình phương của tổng hai số x, y là: (x + y)2. 11 + Tổng nghịch đảo hai số x, y là: + . xy Ví dụ 1. Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng tổng các chữ số của nó bằng 14 và nếu đổi chỗ hai chữ số của nó thì được số nhỏ hơn số ban đầu 18 đơn vị. Hướng Dẫn: Gọi số cần tìm là ab , điều kiện: 19 a ; 09 b ; a b; N Vì tổng hai chữ số của nó là 14 nên ta có ptrinh: a + b = 14 (1) Do đổi chỗ hai chữ số của số thì ta được số mới nhỏ hơn số ban đầu 18 đơn vị nên ta có phương trình: baabbaab=− +=+−18101018 Hay a – b = 2 (2) Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: aba+== 148 (Thỏa đk) abb−== 26 Vậy số cần tìm là 86 Ví dụ 2. Cho một số tự nhiên có hai chữ số. Biết rằng tổng của chữ số hàng chục và hai lần chữ số hàng đơn vị là 12. Nếu thêm số 0 vào giữa hai chữ số thì ta được một số mới có ba chữ số lớn hơn số ban đầu 180 đơn vị. Tìm số ban đầu. Hướng Dẫn: Gọi số ban đầu là , điều kiện: ; ; Vì tổng của chữ số hàng chục và hai lần chữ số hàng đơn vị là 12 nên ta có phương trình: a + 2b = 12 Do thêm số 0 vào giữa hai chữ số của số thì được số mới có ba chữ số lơn hơn số ban đầu 180 đơn vị nên ta có phương trình: a0 b= ab + 180 100 a + b = 10 a + b + 180 a = 2 (thỏa mãn ) Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 1
2. ÔN THI VÀO 10 - NĂM 2019 facebook: tailieutoan9999@gmail.com Thay a = 2 vào a + 2b = 12 ta được 2 + 2b = 12 hay b = 5 (thỏa mãn) Vậy số ban đầu là 25 Ví dụ 3.Cho một số tự nhiên có hai chữ số. Biết tổng hai chữ số của nó bằng 9. Nếu lấy số đó chia cho số viết theo thứ tự ngược lại thì được thương là 2 và dư 18. Tìm số ban đầu. Hướng Dẫn: Gọi số cần tìm là ab , điều kiện: 19 a ; 09 b ; a b; N Vì tổng hai chữ số của nó là 9 nên ta có phương trình a + b = 9 (1) Do lấy số chia cho số viết theo thứ tự ngược lại thì được thương là 2 và dư 18 nên ta có phương trình: abbaabba=+ +=++2.18102(10)18 Hay: 8a – 19b = 18 (2) aba+== 97 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: 819182abb−== Vậy số cần tìm là 72 II.Bài tập tự luyện Bài 1 : Tổng của chữ số hàng trăm và chữ số hàng đơn vị của một số có ba chữ số là 14. Nếu viết số đó theo thứ tự ngược lại thì được số mới nhỏ hơn số ban đầu là 396.Tìm số đó biết rằng chữ số hàng chục nhỏ hơn chữ số hàng đơn vị là 1 đơn vị. Hướng Dẫn : Gọi số cần tìm có dạng abca cNb(,*,) Theo đề bài ta có: +)Tổng của chữ số hàng trăm và chữ số hàng đơn vị là 141414(1) a + cac = =− +)Chữ số hàng chục nhỏ hơn chữ số hàng đơn vị là 1 đơn vị =−bc1(2) Khi viết ngược số ban đầu ta được số mới có dạng cba Ta có số mới nhỏ hơn số ban đầu là 396 abc−= cba 396 100a + 10 b + c − 100 c − 10 b − a = 396 100a − 100 c + c − a = 396 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 2
3. ÔN THI VÀO 10 - NĂM 2019 facebook: tailieutoan9999@gmail.com 99(a − c ) = 396 a − c = 4 14 −c − c = 4 2 c = 10 c =5( tm ) a = 14 − 5 = 9( tm ) (2) b = c − 1 = 5 − 1 = 4( tm ) Vậy số cần tìm là 945. Bài 2 : Trong lúc học nhóm, bạn Nam yêu cầu bạn Linh và bạn Mai mỗi người chọn một số tự nhiên sao cho hai số này hơn kém nhau là 6 và tích của chúng bằng 280 . Vậy hai bạn Linh và Mai phải chọn những số nào. Hướng Dẫn : Gäilµ1trong2sètùnhiªxxx n*,sècßnl¹i( ) lµ+6 . x =14(chän) Theo®Òtacã:(+6)xx = 280 xx2 +6- 280 =0 x =-20(lo¹i) VËy2sèLinhvµMai chänlµ14vµ20 Dạng 2: Toán có nội dung hình học: I.Lí thuyết Kiến thức cần nhớ: - Diện tích hình chữ nhật S = x.y ( xlà chiều rộng; y là chiều dài) 1 - Diện tích tam giác Sx.y= ( x là chiều cao, y là cạnh đáy tương ứng) 2 - Độ dài cạnh huyền : c2 = a2 + b2 (c là cạnh huyền; a,b là các cạnh góc vuông) Ví dụ 1. Một khu vườn hình chữ nhật. Nếu tăng mỗi cạnh thêm 4m thì diện tích của mảnh vườn tăng thêm 216 m2 . Nếu chiều rộng tăng thêm 2m và chiều dài giảm đi 5 m thì diện tích mảnh vườn sẽ giảm đi 50 m2 . Tính độ dài các cạnh của khu vườn. Hướng Dẫn: Chiều Chiều Diện tích rộng dài Khu vườn x y xy Trường hợp x + 4 y + 4 (x + 4)( y + 4) 1 Trường hợp x + 2 y - 5 (x + 2)( y - 5) 2 Gọi chiều rộng và chiều dài của khu vườn lần lượt là x và y (m) Điều kiện: x > 0; y > 5 và x < y Trường hợp 1: Chiều rộng là x + 4 (m), chiều dài là y + 4 (m) Suy ra diện tích trong trường hợp 1 là: (x + 4)(y + 4) (m2) Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 3
4. ÔN THI VÀO 10 - NĂM 2019 facebook: tailieutoan9999@gmail.com Do diện tích tăng thêm 216 m2 nên ta có phương trình (x + 4)(y + 4) = xy + 216 hay x + y = 50 (1) Trường hợp 2: Chiều rộng là x + 2 (m) , chiều dài là y – 5 (m) Suy ra diện tích trong trường hợp 2 là: (x + 2)(y - 5) (m2) Do diện tích tăng thêm 50 m2 nên ta có phương trình (x + 2)(y - 5) = xy - 50 hay -5x + 2y = -40 (2) xyx+== 5020 Từ (1) và (2) ta có hệ: (thỏa điều kiện) −+=−=524030xyy Vậy chiều dài và chiều rộng của khu vườn lần lượt là 20m và 30m Ví dụ 2. Trong một phòng họp hình chữ nhật, ghế được sắp theo hàng và số ghế trong mỗi hàng là như nhau. Nếu kê bợt đi 2 hàng và mỗi hàng bớt đi 2 ghế thì tổng số ghế trong phòng họp đó giảm đi 80 ghế so với ban đầu. Nếu kê thêm 1 hàng và mỗi hàng kê thêm 2 ghế thì tổng số ghế trong phòng học đó tăng thêm 68 ghế so với ban đầu. Tính số hàng ghế và số ghế trong phòng họp đó lúc ban đầu. Hướng Dẫn: Số hàng Số ghế / Tổng số ghế ghế hàng Ban đầu x y xy Trường x - 2 y - 2 (x - 2)( y - 2) hợp 1 Trường x +1 y + 2 (x +1)( y + 2) hợp 2 Gọi số hàng ghế và số ghế trong một hàng lúc đầu lần lượt là x (hàng) và y (ghế) Điều kiện: x > 2, y > 2 và y là số tự nhiên Tổng số ghế lúc đầu là: xy (ghế) Trường hợp 1: số ghế là x – 2 (ghế), số ghế trong một hàng là: y – 2 (ghế) Suy ra tổng số ghế trong trường hợp 1 là: (x – 2)(y – 2) (ghế) Do tổng số ghế trong trường hợp 1 giảm đi 80 ghế so với ban đầu nên ta có phương trình: (x – 2)(y – 2) = xy – 80 hay x + y = 42 (1) Trường hợp 2: số ghế là x + 1 (ghế), số ghế trong một hàng là: y + 2 (ghế) Suy ra tổng số ghế trong trường hợp 2 là: (x +1)(y + 2) (ghế) Do tổng số ghế trong trường hợp 2 tăng thêm 68 ghế so với ban đầu nên ta có phương trình: (x +1)(y + 2) = xy + 68 hay 2x + y = 66 (2) x+ y =42 x = 24 Từ (1) và (2) ta có hẹ phương trình: (thỏa điều kiện) 2x+ y = 66 y = 18 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 4
5. ÔN THI VÀO 10 - NĂM 2019 facebook: tailieutoan9999@gmail.com Vậy trong phòng họp lúc ban đầu có 24 (hàng ghế) và có tổng số ghế là: 432 (ghế) Ví dụ 3. Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi bằng 28 mét và một đường chéo bằng 10 mét. Tính chiều dài chiều rộng mảnh đất đó theo đơn vị là mét.) Hướng Dẫn: Gọi chiều dài và chiều rộng của mảnh đất đó lần lượt là x,y (m) Điều kiện x > 0; y > 0; x > y Do chu vi mảnh đất là 28m nên ta có phương trình: 2(x + y) = 28 suy ra y = 14 – x (1) Vì độ dài đường chéo bằng 10m nên theo định lý Pitago, ta có: x2 + y2 = 10 (2) Thay (1) vào (2) ta được : x2 – 14x + 48 = 0 Giải phương trình ta được: x = 6 (thỏa mãn); x = 8 (thỏa mãn) Khi x = 6 suy ra : y = 8 Khi x = 8 suy ra: y = 6 Kết hợp với điều kiện x > y ta được: x = 8 ; y = 6 Vậy chiều dài và chiều rộng của mảnh đất đó lần lượt là 8m và 6m. Ví dụ 4. Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi là 200 m. Sau khi người ta làm một lối đi rộng 2m xung quanh vườn (thuộc đất của vườn) thì phần đất còn lại để trồng cây là một hình chữ nhật có diện tích là 2016 m2. Tính các kích thước của khu vườn lúc đầu. Hướng Dẫn: Chiều rộng Chiều dài Diện tích Ban đầu x y xy x - 4 y - 4 (x-4)(y-4) Sau Gọi chiều dài và chiều rộng của khu vườn lần lượt là x,y (m) Điều kiện: x > 0; y > 0; x > y Do khu vườn lúc đầu có chu vi là 200m nên ta có phương trình 2(x + y) = 200 hay y = 100 – x (1) Sau khi làm lối đi rộng 2m xung quanh vườn thì chiều rộng là: x – 4 (m) và chiều dài là: y – 4 (m) nên diện tích là: (x – 4)(y – 4) = 2016 (2) thay (1) vào (2) ta được: x2 – 100x + 2400 = 0 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 5
6. ÔN THI VÀO 10 - NĂM 2019 facebook: tailieutoan9999@gmail.com Giải phương trình trên ta được: x = 40 hoặc x = 60 Khi x = 40 suy ra: y = 60 Khi x = 60 suy ra: y = 40 Kêt hợp điều kiện x > y, ta được: x = 60; y = 40 Vậy khu vườn lúc ban đầu có chiều rộng và chiều dài lần lượt là 40m và 60m II.Bài tập tự luyện Bài 1 : Cho vườn hoa hình chữ nhật có diện tích bằng 91m2 và chiều dài lớn hơn chiều rộng 6m . Tìm chu vi của vườn hoa? Hướng Dẫn : Gọi xm( ) là chiều rộng của vườn hoa, x 0 . Chiều dài của vườn hoa là xm+ 6 ( ) . Theo đề bài ta có phương trình: x = 7 nhân 2 ( ) x( xxxxx+= +−=691691) 07130 −+= ( )( ) x =−13 ( loai) Vậy chu vi vườn hoa hình chữ nhật là 40m . Bài 2 : Một đám đất hình chữ nhật có chu vi 24 m. Nếu tăng độ dài một cạnh lên 2 m và giảm độ dài cạnh còn lại 1 m thì diện tích mảnh đất tăng thêm 1 m2. Tìm độ dài các cạnh của hình chữ nhật ban đầu. Hướng Dẫn : Gọi x (m) là cạnh thứ nhất của mảnh đất hình chữ nhật. y (m) là cạnh thứ hai của mảnh đất hình chữ nhật. Điều kiện: 0 x 12, 112 y . Diện tích mảnh đất ban đầu: xy. (m2). Theo đề ta có phương trình: 224(xy+=) (m). (1) Giả sử tăng độ dài một cạnh lên 2 m và giảm độ dài cạnh còn lại 1 m. Độ dài cạnh thứ nhất khi tăng 2 m: x + 2 (m). Độ dài cạnh còn lại khi giảm 1 m: y −1 (m). Diện tích mảnh đất khi thay đổi: (xy+− 2)( 1) (m2). Theo đề ta có phương trình: (x+ 2)( y − 1) − xy = 1. (2) Từ ( 1 ) , (2) ta có hệ phương trình: 2( xy+=) 24 x+ y =12 x = 7 (x+ 2)( y − 1) − xy = 1 −x +2 y = 3 y = 5 Vậy kích thước mảnh đất lúc đầu là: 7 m; 5 m. Bài 3 : Tính chiều dài và chiều rộng của một hình chữ nhật. Biết rằng nếu tăng cả chiều dài và chiều rộng lên 4 cm thì ta được hình chữ nhật có diện tích tăng thêm 80 cm2 so với diện Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 6
7. ÔN THI VÀO 10 - NĂM 2019 facebook: tailieutoan9999@gmail.com tích hình chữ nhật ban đầu, còn nếu tằng chiều dài lên 5 cm và giảm chiều rộng xuống 2 cm thì ta được một hình chữ nhật có diện tích bằng diện tích của hình chữ nhật ban đầu. Hướng Dẫn : Gọi x ; y (cm) lần lượt là chiều dài, chiều rộng hình chữ nhật ban đầu. ĐK: xy 2 . Diện tích hình chữ nhật sau khi tăng hai kích thước là: (xy++44)( ) (cm2 ) . Diện tích hình chữ nhật sau khi tăng chiều dài và giảm chiều rộng là: (xy+−52)( ) . (xyxy++−=4480)( ) xyx+== 1610 Theo đề ta có hệ: (Thỏa mãn). (xyxy+−−=520)( ) −+==25106xyy Vậy chiều dài và chiều rộng lần lượt là 10c m và 6cm . Bài 4 : Một miếng đất HCN có chu vi 10 0 m . Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh đất biết rằng 5 lần chiều rộng hơn 2 lần chiều dài là 40 cm. Hướng Dẫn : Gọi x là chiều dài hình chữ nhật ( x 0 , m ) y là chiều rộng hình chữ nhật( y 0 , m ) xy+=50 Theo đề bài ta cóhệ phương trình: 5240yx−= Giải hệ phương trình ta được: x = 30 ( nhận) y = 20 Vậy chiều dài hình chữ nhật là30 m, chiều rộng hình chữ nhật là 20 m. Bài 5 : Một mảnh vườn hình chữ nhật có chiều dài lớn hơn chiều rộng 15 m. Nếu giảm chiều dài 2 m và tăng chiều rộng 3 m thì diện tích mảnh vườn tăng thêm 44 m 2 .Tính diện tích mảnh vườn. Hướng Dẫn : Gọi x, y( m) lần lượt là chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn điều kiện xy 0,0 suy ra diện tích mảnh vườn là: xy( m2 ) . Do chiều dài lớn hơn chiều rộng của mảnh vườn là 15 m nên ta có phương trình: xy−=15 (1) . Khi giảm chiều dài 2 m, tăng chiều rộng 3 m thì diện tích mảnh vườn tăng 44 m 2 nên ta có phương trình : (x−2)( y + 3) = xy + 44 3xy − 2 = 50 (2) . xy−=15 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: . 3xy−= 2 50 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 7
8. ÔN THI VÀO 10 - NĂM 2019 facebook: tailieutoan9999@gmail.com Giải hệ phương trình ta được : x = 20 , y = 5 ( TMĐK ). Vậy diện tích của mảnh vườn là: S x== y m 100 2 . Bài 6 : Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích là300m2 . Nếu giảm chiều dài đi 2m và tăng chiều rộng thêm3mthì mảnh vườn trở thành hình vuông. Tính chiều dài, chiều rộng của mảnh vườn. Hướng Dẫn : Gọi chiều dài là xm( ), chiều rộng là ym( ) (xy,0 ) ta có hệ phương trình xyx==30020 x =−15 ()TM hoặc ()KTM . xyy−=+=2315 y =−20 Bài 7 : Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 6m và độ dài đường chéo 65 bằng lần chiều rộng . Tính diện tích của mảnh đất hình chữ nhật đã cho. 4 Hướng Dẫn : Bài 8 : Một tam giác vuông có cạnh huyền bằng 5c m và diện tích bằng 6c m 2 . Tính độ dài các cạnh góc vuông của tam giác vuông đó. Hướng Dẫn : Gọi x (c m) là độ dài một cạnh góc vuông ( x 0 ). Khi đó cạnh góc vuông kia là: 12 x (cm) 2 2242 12 Theo đề bài ta có phương trình: xxx+= −+= 5251440 x Đặt xt2 = , t 0, phương trình trở thành: tt2 −+=251440 Giải phương trình bậc 2 theo biến t ta được: t1 =16 (thỏa điều kiện); t2 = 9 (thỏa điều kiện) Với t =16 =x 4 (vì x 0 ) Với t = 9 =x 3 (vì x 0 ) Vậy hai cạnh góc vuông cần tìm là 3cm và 4cm . Cách 2: Gọi hai cạnh góc vuông của tam giác là xy(cm),(cm) (ĐK: xy,0 ). 22 Theo định lí Py-ta-go, ta có: xy+=25 . 1 Diện tích tam giác là 6cm2 nên: xy=6 xy = 12 2 2 2 Ta có: (x + y) −2x y = 25 ( xy +) = 49 xy + = 7 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 8
9. ÔN THI VÀO 10 - NĂM 2019 facebook: tailieutoan9999@gmail.com xyx+== 73 x = 4 Do đó, ta có: hoặc xyy==124 y = 3 Vậy 2 cạnh góc vuông cần tìm là: 3cm và 4cm . Bài 9 : Cho tam giác vuông cạnh huyền bằng 1 3cm . Tính các cạnh góc vuông của tam giác, biết hai cạnh góc vuông hơn kém nhau 7cm Hướng Dẫn : Gọi độ dài cạnh góc vuông nhỏ của tam giác đã cho là xcmx( ),013( ) Độ dài các cạnh góc vuông hơn kém nhau 7cm độ dài cạnh góc vuông lớn là x c+ m7( ) Áp dụng định lý Pytago ta có phương trình: x2+( x +7)2 = 13 2 x 2 + x 2 + 14 x + 49 = 169 2x22 + 14 x − 120 = 0 x + 7 x − 60 = 0 x2 −5 x + 12 x − 60 = 0 x( x − 5) + 12( x − 5) = 0 x= 5( tm ) ( xx +12)( − 5) = 0 x=−12( ktm ) Vậy độ dài cạnh góc vuông nhỏ của tam giác là 5,cm độ dài cạnh góc vuông lớn của tam giác là 5712+= cm Bài 10 : Một mảnh đất hình chữ nhật có diện tích 80 .m2 Nếu giảm chiều rộng 3mvà tăng chiều dài 10m thì diện tích mảnh đất tăng thêm 2 0 .m2 Tìm kích thước của mảnh đất Hướng Dẫn : Gọi chiều rộng của mảnh đất là x (mét) ( 3x ) Chiều dài của mảnh đất là y mét ( yx 3) Diện tích mảnh đất là 80m2 nên ta có phương trình xy = 80(1) Nếu giảm chiều rộng đi 3m thì chiều rộng mới là xm− 3 ( ) Nếu tăng chiều dài lên 10m thì chiều dài mới là ym+10( ) Diện tích mảnh đất mới là 8020100()+= m2 nên ta có phương trình: (xy−+=310100(2))( ) Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 9
10. ÔN THI VÀO 10 - NĂM 2019 facebook: tailieutoan9999@gmail.com xy = 80 xy = 80 ( xy−+=310100)( ) xyyx−+−−=310301000 xyxy==8010800 +=(350800yy) 80103130010350+−−=++xyxy 10350xy=+ ytm=10() 80 3508000yy2 +−= yktm=− () x = 8 3 ()tm 10350xy=+ y =10 80 x = y Vậy chiều dài mảnh đất là 10 m và chiều rộng mảnh đất là 8m Bài 11 : Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích bằng 1 2 0 0m . 2 Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn hình chữ nhật đó, biết rằng chiều dài hơn chiều rộng 10 .m Hướng Dẫn : Gọi xm()là chiều dài (x 10) Chiều rộng là: x −10 Theo bài ta có phương trình: 2 xtm= 40() x( xxx−= −−= 1012001012000) xktm=−30() Vậy chiều dài là 4 0m , chiều rộng là 30m Bài 12 : Cho một thửa ruộng hình chữ nhật, biết rằng nếu chiều rộng tăng thêm 2,m chiều dài giảm đi 2mthì diện tích thửa ruộng đó tăng thêm 3 0m ; 2 và nếu chiều rộng giảm đi 2,m chiều dài tăng thêm 5mthì diện tích thửa ruộng giảm đi 2 0 .m2 Tính diện tích thửa ruộng trên. Hướng Dẫn : Gọi chiều dài của thửa ruộng là xmx( ) (2) Chiều rộng của thửa ruộng là ymy()(2) Diện tích của thửa ruộng là x y m()2 (x−2)( y + 2) = xy + 30 Theo đề bài ta có hệ phương trình: (x+5)( y − 2) = xy − 20 223425(xyxtm−== ) −+=25108(xyytm −= ) Vậy thửa ruộng có chiều dài 25m ,chiều rộng là 8m Diện tích thửa ruộng là 25.8= 200(m2 ) Bài 13 : Ông Khôi sở hữu một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi là 100m .Ông ta định bán mảnh đất đó với giá thị trường là 15 triệu đồng cho một mét vuôn. Hãy xác định giá tiền của mảnh đất đó biết rằng chiều dài mảnh đất gấp bốn lần chiều rộng Hướng Dẫn : Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 10
11. ÔN THI VÀO 10 - NĂM 2019 facebook: tailieutoan9999@gmail.com Nửa chu vi mảnh đất là : 1 0 0:2 5= 0 m Gọi chiều rộng của mảnh đất là xmx( )(050 ) Chiều dài của mảnh đất là: 5 0 (− ) xm Vì chiều dài mảnh đất gấp 4 lần chiều rộng nên ta có phương trình: 50−x = 4 x 5 x = 50 x = 10( m ) Chiều dài của mảnh đất là: 4.10= 40m Diện tích của mảnh đất là: 1 0 . 4 0 4= 0 0 m2 Số tiền ông Khôi thu được khi bán mảnh đất với giá 15 triệu cho một mét vuông là: 1 5 . 4 0 0 6= . 0 0 0 (triệu đồng )=6 tỉ đồng Bài 14 : Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi là 58mvà diện tích là 1 9 0 .m2 Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh đất đó Hướng Dẫn : Gọi chiều rộng mảnh đất hình chữ nhật là xm( ) Chiều dài mảnh đất hình chữ nhật là ym( ) Điều kiện : yx 0 Nửa chu vi mảnh đất hình chữ nhật là: 58:229()= m nên xy+=29 Diện tích mảnh đất hình chữ nhật là 190m2 nên xy =190 xy+=29 Theo bài ra ta có hệ phương trình: xy =190 Khi đó xy, là nghiệm của phương trình: XX2 −29 + 190 = 0 ( XX −19)( − 10) = 0 X=19( tm ) X=10( tm ) Vì xyxy == 10;19 Vậy chiều rộng mảnh đất là 10,m chiều dài mảnh đất là 19m . Bài 15 : Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích 150m2 . Biết rằng, chiều dài mảnh vườn hơn chiều rộng mảnh vườn là 5.m Tính chiều rộng mảnh vườn. Hướng Dẫn : Gọi chiều rộng mảnh vườn hình chữ nhật là x( m) x 0 Khi đó chiều dài mảnh vườn là xm+ 5( ) Diện tích mảnh vườn là: xm+ 5( ) Diện tích mảnh vườn hình chữ nhật là 150m2 nên ta có phương trình: Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 11
12. ÔN THI VÀO 10 - NĂM 2019 facebook: tailieutoan9999@gmail.com xx( +=5150) +−=xx2 51500 +−−=xxx2 15101500 +−+=xxx( 1510150) ( ) −+=( xx10150)( ) xtm=10() xktm=−15() Vậy chiều rộng của mảnh vườn là 10m Bài 16 : Một sân trường hình chữ nhật có chu vi là 220 m. Ba lần chiều dài hơn 4 lần chiều rộng là 50 m. Tính diện tích sân trường. Hướng Dẫn : Gọi x (m) là chiều dài sân trường (0 x 110). Thì chiều rộng sân trường là 110 − x (m). Vì 3 lần chiều dài hơn 4 lần chiều rộng là 50 m nên ta có phương trình 3504110xx−=− ( ) −=−3504404xx = =749070xx. Vậy diện tích sân trường là 70.402= 800 (m2). Bài 17 : Cạnh huyền của một tam giác vuông bằng 17cm . Hai cạnh góc vuông có độ dài hơn kém nhau 7cm . Tính diện tích của tam giác vuông đó. Hướng Dẫn : Gọi độ dài một cạnh góc vuông lớn hơn của tam giác vuông là x (cm), (717 x ) . Khi đó độ dài cạnh góc vuông còn lại của tam giác vuông đó là: x −7 (cm). Áp dụng định lí Pi – ta – go cho tam giác vuông này ta có phương trình: xx22+ −72 = 17 ( ) 2 −+=21449289xx 2 2xx − 14 − 240 = 0 −+=21580xx ( )( ) x −=15 0 x=15 ( tm) . x +=80 x=−8 ( ktm) độ dài cạnh còn lại của tam giác vuông là: 15−= 7 8 cm. Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 12
13. ÔN THI VÀO 10 - NĂM 2019 facebook: tailieutoan9999@gmail.com 1 Vậy diện tích của tam giác vuông đó là: S ==.8.1 5 60 cm2. 2 Bài 18 : Một hình chữ nhật có diện tích bằng 360 (m2 ) . Nếu tăng chiều rộng lên 3m và giảm chiều dài đi 1 0 mthì được một hình chữ nhật mới có diện tích bằng diện tích hình chữ nhật ban đầu. Tính chu vi hình chữ nhật ban đầu. Hướng Dẫn : 360 Gọi a (m) là chiều dài (a 0) , suy ra chiều rộng là . a Nếu tăng chiều rộng lên 3 m và giảm chiều dài đi 1 0 m thì diện tích không đổi nên ta có phương trình: 360 (aaaa−+= −+=103360103603360) ( )( ) a +−−=3603360030360aaaa 2 −−=33036000aa2 −−=aa2 1012000 a = 40 (n) a =−30 (l) Vậy chiều dài là 4 0 m và chiều rộng là 360 : 409= m ( ) . Chu vi hình chữ nhật ban đầu là (409.298+=) m ( ) . Bài 19 : Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi bằng 28 mét và độ dài đường chéo bằng 10 mét. Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh đất đó theo đơn vị mét. Hướng Dẫn : Nửa chu vi là: 28 : 2 = 14 (m) Gọi chiều dài mảnh đất là x (mét). Điều kiện: 014 x . Suy ra chiều rộng mảnh đất là 14 − x (mét). Ta có chiều dài lớn hơn chiều rộng nên x 14 − x x 7 . Vì độ dài đường chéo là 10 mét nên ta có phương trình xx22+−=(1410 )2 228196100xx2 −+= xx2 −14 + 48 = 0 x= 8 7 ( TM ) xL= 6 7( ) Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 13
14. ÔN THI VÀO 10 - NĂM 2019 facebook: tailieutoan9999@gmail.com Vậy chiều dài mảnh đất là 8 mét, chiều rộng là 1 4 8−= 6 (mét). Bài 20 : Một tam giác vuông có chu vi bằng 24 cm. Độ dài hai cạnh góc vuông hơn kém nhau 2 cm. Tính diện tích tam giác vuông đó. Hướng Dẫn : Gọi x (cm) và x + 2 (cm) là hai cạnh góc vuông của tam giác vuông đó(0 2 4x ) Khi đó độ dài cạnh huyền của tam giác vuông là: 242222−−−=−xxx (cm) Mặt khác, theo định lý Pitago ta có: 22 xxx2 ( +=−2222) ( ) −+=2924800xx2 (1) x1 = 40 Giải phương trình ta được: Với x = 6 (thỏa mãn điều kiên đề bài) x2 = 6 Độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông đó là 6 cm và 8 cm 1 Diện tích của hình vuông là: S ==.6.8 24 (cm2 ) 2 Bài 21 : Một hình chữ nhật có chu vi bằng 28cm. Tính chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật, biết rằng nếu tăng chiều dài thêm 1cmvà tăng chiều rộng thêm 2 cmthì diện tích của hình chữ nhật đó tăng thêm 25 cm2. Hướng Dẫn : Nửa chu vi hình chữ nhật là: 28: 214= (cm) Gọi chiều rộng của hình chữ nhật là x(cm, 014 x ) Thì chiều dài của hình chữ nhật là 14 − x(cm) Theo bài ra ta có phương trình: (2)(141)(14)25xxxx+−+=−+ (x + 2)(15 − x ) = 14 x − x2 + 25 −x22 +13 x + 30 = 14 x − x + 25 =x 5 (tháa m·n ®k) Vậy chiều rộng của hình chữ nhật là 5(cm) chiều dài của hình chữ nhật là 14−= 5 9(cm) Bài 22 : Nhà bạn Dũng được ông bà nội cho một mảnh đất hình chữ nhật. Khi bạn Nam đến nhà bạn Dũng chơi, Dũng đố Nam tìm ra kích thước của mảnh đất khi biết: mảnh đất có chiều dài gấp 4 lần chiều rộng và nếu giảm chiều rộng đi 2m, tăng chiều dài lên gấp đôi thì diễn tích mảnh đất đó sẽ tăng thêm 20 m2. Các em hãy giúp bạn Nam tìm ra chiều dài và chiều rộng của mảnh đất nhà bạn Dũng đó. Hướng Dẫn : Gọi chiều rộng của mảnh đất là x (m) (điều kiện: x > 2) Khi đó chiều dài của mảnh đất là: 4x (m) Diện tích mảnh đất nhà bạn Dũng là: 4x2 (m2) Diện tích mảnh đất sau khi giảm chiều rộng 2m và tăng chiều dài lên gấp đôi là: Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 14
15. ÔN THI VÀO 10 - NĂM 2019 facebook: tailieutoan9999@gmail.com 8x.(x – 2) (m2) Theo bài ra ta có phương trình: 8x.(x – 2) – 4x2 = 20 Giải phương trình ta được x = 5 và x = -1. Đối chiếu với điều kiện ta được x = 5. Vậy chiều rộng mảnh đất là 5m và chiều dài mảnh đất là 20m. Bài 23 : Một mảnh đất hình chữ nhật có chu vi bằng 28m. Đường chéo của hình chữ nhật dài 10m. Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh đất hình chữ nhật đó. Hướng Dẫn : Gọi chiều dài của mảnh đất hình chữ nhật là a (m) ( 0 b = 14 – a thay vào (2) được : aa22+−=(14)100 +−+=aaa2219628100 −+=228960aa2 2 ++=aa14480 =−='49481 abloai=−== =7168() abtm=+== =7186() Vậy chiều dài của HCN là 8m Chiều rộng của HCN là 6m Bài 24 : Cho mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích 360 m2. Nếu tăng chiều rộng 2m và giảm chiều dài 6m thì diện tích không thay đổi. Tính chu vi của mảnh vườn lúc ban đầu. Hướng Dẫn : Gọi x(m) là chiều rộng của mảnh vườn hình chữ nhật (x >0) 360 Chiều dài của mảnh vườn hình chữ nhật : ()m x 360 Theo đề bài ta có pt: (x+2)( -6)=360 x -6x2-12x+720=0 x2+2x-120=0 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 15
16. ÔN THI VÀO 10 - NĂM 2019 facebook: tailieutoan9999@gmail.com x TM=1 0 ( ) xL=−1 2 ( ) Với x=10=> 360 =36.Chu vi của mảnh vườn : 2(10+36) = 92 (m2) x Bài 25 : Một hình chữ nhật có chiều dài gấp 3 lần chiều rộng. Nếu cả chiều dài và chiều rộng cùng tăng thêm 5 cm thì được một hình chữ nhật mới có diện tích bằng 153 cm2. Tìm chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật ban đầu. Hướng Dẫn : Gọi x là chiều rộng hình chữ nhật lúc đầu (x > 0) (cm) Chiều dài hình chữ nhật lúc đầu: 3x (cm) Chiều rộng hình chữ nhật lúc sau: x + 5 (cm) Chiều dài hình chữ nhật lúc sau: 3x + 5 (cm) Theo đề bài ta có phương trình: (x + 5)(3x + 5) = 153 −32  3x2 + 20x – 128 = 0  x = 4 (thỏa mãn) hay x = 0( )L 3 Vậy chiều dài và chiều rộng hình chữ nhật ban đầu là: 12 cm và 4 cm. Bài 26 : Một miếng bìa hình chữ nhật có chiều rộng bằng 3 chiều dài. Nếu chiều rộng giảm 5 đi 1cm và chiều dài giảm đi 4cm thì diện tích của nó bằng nửa diện tích ban đầu. Tính chu vi miếng bìa đó. Hướng Dẫn : Gọi chiều dài của hình chữ nhật đó là x (cm) (x > 4) 3 Vì chiều rộng bằng chiều dài nên chiều rộng của hình chữ nhật là x(cm) 5 Diện tích của hình chữ nhật ban đầu là x2(cm2) Khi giảm chiều rộng 1cm và giảm chiều dài 4cm thì diện tích của hình chữ nhật mới 3 là (x−− 1)( x 4)( cm2 ) 5 Diện tích hình chữ nhật mới bằng một nửa diện tích ban đầu nên ta có phương trình: 3 1 3 (x− 1)( x − 4) = . x2 5 2 5 3 17 = xx2 − +40 = 10 5 x=10( TM ) = 4 xL= () 3 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 16
17. ÔN THI VÀO 10 - NĂM 2019 facebook: tailieutoan9999@gmail.com Chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật ban đầu lần lượt là 10cm và 3 .10=6cm 5 Chu vi miếng bìa là 2.(10 + 6) = 32 (cm) Bài 27 : Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích 720 m2. Nếu tăng chiều dài thêm 10m và giảm chiều rộng 6m thì diện tích mảnh vườn không đổi. Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn. Hướng Dẫn : Gọi chiều rộng của mảnh vườn hình chữ nhật là x (x>0; đơn vị: m) Vì diện tích của của mảnh vườn hình chữ nhật là 720 m2 nên chiều dài là: 720 (m) x Sau khi thay đổi kích thước: Chiều rộng của của mảnh vườn hình chữ nhật là: x – 6 (m) Chiều dài của của mảnh vườn hình chữ nhật là: +10(m) Vì diện tích của của mảnh vườn hình chữ nhật không đổi nên ta có phương trình: (x-6).( +10)=720 =>(x-6)(72+x)=72x x2-6x-432=0 Phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1=24 (thỏa mãn điều kiện); x2=-18 (loại) Vậy chiều rộng mảnh đất hình chữ nhật đó là 24 m; chiều dài mảnh đất hình chữ nhật đó là: 720:24 = 30 (m) Bài 28 : Một khu vườn hình chữ nhật có chiều dài lớn hơn chiều rộng 3m và diện tích bằng 270m2. Tìm chiều dài, chiều rộng của khu vườn. Hướng Dẫn : Gọi chiều rộng của mảnh vườn hình chữ nhật là x (m) (x > 0) Vì chiều dài lớn hơn chiều rộng 3m nên chiều dài của hình chữ nhật là x+3 (m) Lại có diện tích hình chữ nhật là 270m2 nên ta có phương trình: x(x+3)=270 x2+3x-270=0 (x-15)(x+18)=0 x = 15 (TMDK x > 0) hoặc x = -18 (loại vì x > 0) Vậy chiều rộng của hình chữ nhật là 15m chiều dài của hình chữ nhật là 15 + 3 = 18 (m) Bài 29 : Cho tam giác vuông có cạnh huyền băng 20 cm. Hai cạnh góc vuông có độ dài hơn kém nhau 4cm. Tính độ dài mỗi cạnh góc vuông của tam giác vuông đó. Hướng Dẫn : Gọi độ dài cạnh góc vuông nhỏ hơn của tam giác vuông đó là x (cm) (x > 0) Cạnh góc vuông lớn hơn của tam giác vuông đó dài là x + 4 (cm) Theo Pitago, cạnh huyền của tam giác vuông đó dài là xx22++( 4) (cm) Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 17
18. ÔN THI VÀO 10 - NĂM 2019 facebook: tailieutoan9999@gmail.com Vì cạnh huyền bằng 20cm nên xx22++( 4) =20 = xx22 +( + 4) = 400 = 2xx2 + 8 − 384 = 0 x = 12 (tm) hoặc x = –16 (loại) Vậy độ dài 2 cạnh góc vuông của tam giác vuông đó lần lượt là 12cm và 12 + 4 = 16cm. Bài 30 : Một mảnh vườn hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 12m . Nếu tăng chiều dài thêm 12m và chiều rộng thêm 2m thì diện tích mảnh vườn đó tăng gấp đôi. Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn đó. Hướng Dẫn : Gọi chiều rộng của mảnh vườn hình chữ nhật là x (m) ĐK : x > 0 Thì chiều dài của khu vườn hình chữ nhật là : x + 12 (m) Diện tích của khu vườn khi đó là: x(x + 12) ( m2) Nếu tăng chiều dài 12m và chiều rộng lên 2m thì : Chiều dài mới là : x + 12 + 12 = x + 24 (m) Chiều rộng mới là : x + 2 (m) Diện tích của hình chữ nhật mới là : ( x +2)( x + 24) (m2) Vì diện tích sau khi thay dổi gấp đôi diện tích ban đầu nên : (x +2)( x + 24) = 2x( x+ 12)  x2 -2x – 48 = 0  '( = 1)1( −−−= = =2 48)490'7 x1 = 8  x2 =−6 Vậy chiều rộng của khu vườn hình chữ nhật là 8(m), chiều dài của khu vườn là 20m Bài 31 : Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 5m. Tính kích thước của mảnh đất, biết rằng diện tích mảnh đất là 150m2. Hướng Dẫn : Gọi chiều rộng của mảnh đất là a (m), a > 0 Khi đó ta có chiều dài của mảnh đất là a + 5 (m) Theo bài ra ta có diện tích của mảnh đất là 150 m2 nên: a(a-15)=150=>a=10(tm) ; a=-15 (loại) Vậy chiều rộng là 10m, chiều dài là 15m Bài 32 : Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi 100 m. Nếu tăng chiều rộng 3 m và giảm chiều dài 4 m thì diện tích mảnh vườn giảm 2 m2. Tính diện tích của mảnh vườn. Hướng Dẫn : Gọi x (m) là chiều rộng của mảnh vườn ( 0<x<25) Chiều dài của mảnh vườn là: 50-x. Diện tích của mảnh vườn là: x(50-x). Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 18
19. ÔN THI VÀO 10 - NĂM 2019 facebook: tailieutoan9999@gmail.com Nếu tăng chiều rộng 3m thì chiều rộng mới là x+3; giảm chiều dài 4 m thì chiều dài mới là 46-x. Diện tích mới của mảnh vườn là: (x+3)(46-x) Theo bài ra ta có phương trình: x(50-x)-(x+3)(46-x)=2 50x-x2-43x+x2-138=2 7x=140 x=20 (TM) Vậy diện tích của mảnh vườn là 20(50-20)=600 m2. Bài 33 : Một thửa ruộng hình chữ nhật có chiều dài hơn chiều rộng 8m. Nếu tăng chiều dài thêm 2m và tăng chiều rộng thêm 3m thì diện tích thửa ruộng tăng thêm 90 m2. Tính diện tích thửa ruộng đã cho ban đầu. Hướng Dẫn : Gọi hình chiếu của thửa ruộng đã cho ban đầu là x (đơn vị: m, đk: x > 0) (0.25 đ) Khi đó chiều dài của thửa ruộng đã cho ban đầu là x + 8 Diện tích của thửa ruộng đã cho ban đầu la x(x + 8) (0.25 đ) Chiều rộng của thửa ruộng khi tăng thêm 3m là x + 3. Chiều dài của thửa ruộng khi tăng thêm 2m là x + 10. Diện tích của thửa ruộng sau khi tăng chiều dài và chiều rộng là (x + 3)(x +10) Theo đề bài ta có phương trình: (x+3)(x+10) - x(x+8) = 90 (0.25 đ) = ++−+=xxx221330(x8)90 = =560x = =xTM12() (0,25d) Vậy diện tích của thửa ruộng ban đầu là 12(12+8)=240 (m2) (0.25 đ) Bài 34 : Một thửa ruộng hình chữ nhật có diện tích 100 m2. Tính độ dài các cạnh của thửa ruộng. Biết rằng nếu tăng chiều rộng của thửa ruộng lên 2m và giảm chiều dài của thửa ruộng đi 5m thì diện tích của thửa ruộng tăng thêm 5m2. Hướng Dẫn : Gọi chiều dài ban đầu của thửa ruộng là a (m) (a > 0) Chiều rộng ban đầu của thửa ruộng là b (m) (0<b<a) Diện tích ban đầu của thửa ruộng là 100m2 nên ta có : a.b=100 (1) Chiều rộng của thửa ruộng sau khi tăng m là : b + 2 (m) Chiều dài của thửa ruộng sau khi giảm 5m là : a – 5 (m) Diện tích sau của thửa ruộng là :(b + 2) (a – 5) Diện tích sau của thửa ruộng tăng thêm m2 là 100 + 5 = 105 (m2) (b+2)(a-5)=105 (2) ab =100(1) Từ (1) và (2) ta có hpt: (ba+ 2)( − 5) = 105(2) Từ (2) ta có : ab-5b+2a-10=105 100-5b+2a-10=105 -5b+2a=15(*) Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 19
20. ÔN THI VÀO 10 - NĂM 2019 facebook: tailieutoan9999@gmail.com 100 Từ (1) ta có: a = thay vào (*) ta được : b 100 2.−= 5b 15 b = 5bb2 + 15 − 200 = 0 = bb2 +3 − 40 = 0 = (bb + 8)( − 5) = 0 bL=−8( ) = b= 5( TM ) =>a = 20. Vậy chiều dài là 20m, chiều rộng là 5m. Bài 35 : Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích 168m2. Nếu giảm chiều dài đi 1m và tăng chiều rộng thêm 1m thì mảnh vườn trở thành hình vuông.Tính chiều dài,chiều rộng của mảnh vườn. Hướng Dẫn : Gọi chiều dài của mảnh vườn là x(m) ĐK x> 1. Thì chiều rộng của mảnh vườn là 168 (m) x Nếu giảm chiều dài đi 1m và tăng chiều rộng thêm 1m thì mảnh vườn có: chiều dài là x-1(m) 168 chiều rộng là +1 (m) x Vì mảnh vườn trở thành hình vuông lên ra có phương trình =x-1 = +=− = −−=16821680xxxxx22 = −+=(14)(12)0xx xTM=14() = xL=−12() Vậy mảnh vườn có chiều dài là 14m,chiều rộng là 168:14=12m Bài 36 : Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích là 360 m2. Nếu tăng chiều dài thêm 1m và tăng chiều rộng thêm 1m thì diện tích của mảnh vườn sẽ là 400 m2. Xác định chiều dài và chiều rộng của mảnh vườn ban đầu. Hướng Dẫn : Gọi chiều dài của mảnh đất hình chữ nhật là x (m); chiều rộng của mảnh đất hình chữ nhật là y (m). (điều kiện: x > y > 0) Diện tích mảnh vườn hình chữ nhật ban đầu là 360 m2. Khi tăng chiều dài thêm 1 m, tăng chiều rộng thêm 1 m thì diện tích của mảnh vườn mới là 400 m2. Tức là: Chiều dài: x +1 (m) ; chiều rộng: y + 1 (m) Khi đó diện tích của hình chữ nhật mới là: (x + 1)(y + 1) = 400  xy + x + y +1 = 400  x + y = 39 (2). Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 20
21. ÔN THI VÀO 10 - NĂM 2019 facebook: tailieutoan9999@gmail.com xy+=39 Từ (1) và (2) ta có hệ: xy = 360 Theo Vi-et x, y là nghiệm của phương trình: X2 – 39X + 360 = 0. Giải phương trình ta được hai nghiệm: X1 = 15; X2 = 24 Vậy chiều dài hình chữ nhật ban đầu là 24 cm, chiều rộng là 15 cm. Dạng 3: Toán năng xuất - Toán làm chung công việc Dạng 3.1: Toán năng xuất (giải bằng cách lập hệ phương trình) Những kiến thức cần nhớ: Năng suất là lượng công việc làm được trong một đơn vị thời gian. Tổng lượng công việc = Năng suất x Thời gian. Năng suất = Tổng lượng công việc : Thời gian. Thời gian = Tổng lượng công việc : Năng suất. Ví dụ 1. Để hoàn thành một công việc theo dự định thì cần một số công nhân làm trong một số ngày nhất định. Nếu tăng thêm 10 công nhân thì công việc hoàn thành sớm được 2 ngày. Nếu bớt đi 10 công nhân thì phải mất thêm 3 ngày nữa mới hoàn thành công việc. Hỏi theo dự định thì cần bao nhiêu công nhân và làm trong bao nhiêu ngày? Hướng Dẫn: Số công nhân Số ngày Lượng công việc Dự định x y xy Trường hợp 1 x +10 y − 2 ( x +10)( y − 2) Trường hợp 2 x −10 y + 3 ( x −10)( y + 3) Gọi số công nhân và số ngày theo dự định lần lượt là x (công nhân), y (ngày) Điều kiện: x > 10 ; y > 2 , x là số tự nhiên Lượng công việc theo dự định là xy (ngày công) Trường hợp 1: Số công nhân là x + 10 (công nhân), số ngày là y – 2 (ngày) Do đó lượng công việc là (x + 10)(y – 2) (ngày công) Vì lượng công việc không đổi nên ta có phương trình: (x + 10)( y – 2) = xy hay -2x + 10y = 20 (1) Trường hợp 2: Số công nhân là x - 10 (công nhân), số ngày là y + 3 (ngày) Do đó lượng công việc là (x - 10)(y + 3) (ngày công) Vì lượng công việc không đổi nên ta có phương trình: (x - 10)( y +3) = xy hay 3x - 10y = 30 (2) Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 21
22. ÔN THI VÀO 10 - NĂM 2019 facebook: tailieutoan9999@gmail.com −+==2102050xyx Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: (thỏa đk) 3103012xyy−== Vậy số công nhân và số ngày theo dự định lần lượt là 50 (công nhân), 12 (ngày) Dạng 3.2: Toán làm chung công việc (giải bằng cách lập hệ phương trình) Những kiến thức cần nhớ: + Nếu một đội làm xong công việc trong x ngày thì một ngày đội đó làm được 1 x công việc. + Xem toàn bộ công việc là 1 Bài toán cơ bản 1 Nếu hai người làm chung thì sau k ngày (giờ, phút, ) xong công việc. Nếu người I làm một mình m ngày rồi nghỉ và người II làm tiếp n ngày (giờ, phút, ) nữa thì xong công việc. Hỏi nếu làm một mình thì để hoàn thành công việc mỗi người mất mấy ngày (giờ, phút, )? Phương pháp giải: Gọi thời gian người I, người II làm một mình xong công việc lần lượt là x,y (ngày) Điều kiện: x > 0; y > 0 1 1 1 ngày người I là làm được , người II làm được (công việc) x y k k k ngày người I là làm được , người II làm được (công việc) x y Do hai người làm chung thì sau k ngày xong công việc nên ta có phương trình: kk +=1 (1) xy m n m ngày người I là làm được , n ngày người II làm được (công việc) x y Do người I làm một mình m ngày rồi nghỉ và người II làm tiếp n ngày nữa thì xong mn công việc nên ta có phương trình: +=1 (2) xy Giải hệ (1) ; (2) và đối chiếu điều kiện , trả lời bài toán Bài toán cơ bản 2 Nếu hai người làm chung thì sau k ngày (giờ, phút, ) xong công việc. Làm chung được m ngày thì người I nghỉ và người II làm tiếp n ngày (giờ, phút, ) nữa thì xong công việc. Hỏi nếu làm một mình thì để hoàn thành công việc mỗi người mất mấy ngày (giờ, phút, )? Phương pháp giải: Gọi thời gian người I, người II làm một mình xong công việc lần lượt là x, y (ngày) Điều kiện: x > 0, y > 0 1 ngày người I là làm được , người II làm được (lượng công việc) k ngày người I là làm được , người II làm được (lượng công việc) Do hai người làm chung thì sau k ngày xong công việc nên ta có phương trình: Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 22
23. ÔN THI VÀO 10 - NĂM 2019 facebook: tailieutoan9999@gmail.com kk +=1 (1) xy mm m ngày cả hai người làm được + (lượng công việc) xy n n ngày người II làm được (lượng công việc) y Do làm chung được m ngày thì người I nghỉ và người II làm tiếp n ngày nữa thì xong m m n công việc nên ta có phương trình: + + = 1 (2) x y y Giải hệ (1) ; (2) và đối chiếu điều kiện , trả lời bài toán Ví dụ 1. Hai người thợ cùng làm một công việc trong 4 giờ 30 phút thì xong. Nếu người thứ nhất làm một mình trong 3 giờ và người thứ hai làm một mình trong 2 giờ thì tổng số họ làm được 50% công việc. Hỏi mỗi người làm công việc đó một mình thì trong bao lâu sẽ xong? Hướng Dẫn: 9 Đổi 4 giờ 30 phút = giờ 2 Gọi thời gian người I, người II làm một mình xong công việc lần lượt là x,y (giờ) Điều kiện : x > 0; y > 0 1 1 Suy ra 1 giờ người I và người II lần lượt làm được và (lượng công việc) x y 9 1 1 4 giờ 30 phút cả hai người làm được: + (lượng công việc) 2 xy Do cả hai người thợ cùng làm một công việc trong 4 giờ 30 phút thì xong nên ta có 911112 phương trình : += +=1 (1) 29 xyxy 3 + 3 giờ người thứ I làm được: (lượng công việc) x 2 + 2 giờ người thứ II làm được: (lượng công việc) y Vì người I làm một mình trong 3 giờ và người II làm một mình trong 2 giờ thì tổng 3 2 1 số họ làm được 50% công việc nên ta có phương trình: += (2) xy2 1 1 2 11 += = xy9 x 18 x =18 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình 3 2 111 y = 6 (thỏa đk) += = xy2 y 6 Vậy nếu làm một mình xong công việc, người I cần 18 giờ, người II cần 6 giờ Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 23
24. ÔN THI VÀO 10 - NĂM 2019 facebook: tailieutoan9999@gmail.com Ví dụ 2. Hai người thợ cùng làm một công việc thì sau 2 giờ 40 phút sẽ hoàn thành. Nếu người thứ nhất làm một mình và 3 giờ sau người thứ hai cùng vào làm thì mất 40 phút nữa mới hoàn thành. Hỏi mỗi người đó làm một mình thì trong mấy giờ sẽ xong? Hướng Dẫn: 8 2 Đổi 2 giờ 40 phút = giờ; 40 phút = giờ 3 3 Gọi thời gian người I, người II làm một mình xong công việc lần lượt là x,y (giờ) Điều kiện : x > 0; y > 0 1 1 Suy ra 1 giờ người I và người II lần lượt làm được và (lượng công việc) x y 8 1 1 +2 giờ 40 phút cả hai người làm được: + (lượng công việc) 3 xy Do cả hai người thợ cùng làm một công việc trong 2 giờ 40 phút thì xong nên ta có 811113 phương trình : += +=1 (1) 38 xyxy 3 + 3 giờ người thứ I làm được: (lượng công việc) x 211 + 40 phút cả hai người làm được: + (lượng công việc) 3 xy Vì người thứ nhất làm một mình và 3 giờ sau người thứ hai cùng vào làm thì mất 40 3 2 1 1 phút nữa mới hoàn thành nên ta có phương trình: + + =1 (2) x3 x y 1 1 3 99 += = xy8 x 4 x = 4 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình (thỏa đk) 3 2 1 1 11 2 y = 8 ++= 1 +=3 xx3 y xy Vậy nếu làm một mình xong công việc, người I cần 4 giờ, người II cần 8 giờ Ví dụ 3. Hai vòi nước cùng chảy vào bể cạn thì sau 2 giờ đầy bể. Nếu mở vời I trong 45 phút rồi khóa lại và mở vòi II trong 30 phút thì cả hai vòi chảy được 1/3 bể. Hỏi mỗi vời chảy riêng đầy bể trong bao lâu? Hướng Dẫn: Đổi 45 phút = 0,75 giờ; 30 phút = 0,5 giờ Gọi thời gian vòi I, vòi II chảy một mình đầy bề lần lượt là x,y (giờ) Điều kiện : x > 0; y > 0 Suy ra 1 giờ vòi I và vòi II lần lượt chảy được và (bể) Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 24
25. ÔN THI VÀO 10 - NĂM 2019 facebook: tailieutoan9999@gmail.com 11 + 1giờ cả hai vòi chảy được: 2 + (bề) xy Do cả hai vòi cùng chảy thì sau 2 giờ đầy bể nên ta có phương trình: 1 1 1 1 1 21 + = + = (1) x y x y 2 0,75 +45 phút vòi 1 chảy được : (bể) x 0 ,5 + 30 phút vòi 2 chảy được : (bể) y Vì mở vòi I trong 45 phút rồi khóa lại và mở vòi II trong 30 phút thì cả hai vòi chảy 0,750,51324 được 1/3 bể nên ta có phương trinh: += += (2) xyxy 33 111 11 += = xy2 x 3 x = 3 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình 3246 11 y = (thỏa đk) += = xy3 y 6 Vậy nếu chảy riêng để đầy bể thì vòi 1 cần 3 giờ, vòi 2 cần 6 giờ. Ví dụ 4. Hai vòi nước cùng chảy vào một bể cạn thì sau 6 giờ đầy bể. Cùng chảy được 2 giờ thì khóa vòi I lại và vòi II phải chảy thêm 12 giờ nữa mới đầy bể. Hỏi mỗi vòi chảy riêng đầy bể trong bao lâu? Hướng Dẫn: Gọi thời gian vòi I, vòi II chảy một mình đầy bề lần lượt là x,y (giờ) Điều kiện : x > 0; y > 0 1 1 Suy ra 1 giờ vòi I và vòi II lần lượt chảy được và (bể) x y 11 + 6 giờ cả hai vòi chảy được: 6 + (bề) xy Do cả hai vòi cùng chảy thì sau 6 giờ đầy bể nên ta có phương trình: 11111 61 += += (1) xyxy 6 11 + 2 giờ cả hai vòi chảy được: 2 + (bề) xy 12 + 12 giờ vòi II chảy được: (bề) y Vì cùng chảy được 2 giờ thì khóa vòi I lại và vòi II phải chảy thêm 12 giờ nữa mới 1 1 12 đầy bể nên ta có phương trình: 21 + + = (2) x y y Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 25
26. ÔN THI VÀO 10 - NĂM 2019 facebook: tailieutoan9999@gmail.com 111 11 += = xy6 x 9 x = 9 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình (thỏa đk) 1112 11 y =18 21 ++= = xyy y 18 Vậy nếu chảy riêng để đầy bể thì vòi 1 cần 9 giờ, vòi 2 cần 18 giờ. Dạng 3.3: Toán Năng Suất (giải bằng cách lập phương trình) Năng suất là lượng công việc làm được trong một đơn vị thời gian. Tổng lượng công việc = Năng suất x thời gian Năng suất = Tổng lượng công việc : Thời gian Thời gian = Tổng lượng công việc : Năng xuất Ví dụ 1: Một phân xưởng theo kế hoạch cần sản xuất 1100 sản phẩm trong một số ngày quy định. Do mỗi ngày phân xưởng đó vượt mức 5 sản phẩm nên phân xưởng đó đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn thời gian quy định là 2 ngày. Hỏi theo kế hoạch thì mỗi ngày phân xưởng đó cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm? Hướng dẫn: Số sản phẩm / Số ngày Tổng số sản phẩm ngày Kế hoạch x 1100 1100 x Thực tế x + 5 1100 1100 x + 5 Gọi số sản phẩm mỗi ngày xưởng đó cần làm theo kế hoạch là x (sản phẩm) Điều kiện: x > 0 Số sản phẩm mỗi ngày phân xưởng đó làm được trong thực tế là: x + 5 (sản phẩm) 1100 Số ngày phân xưởng đó cần làm theo kế hoạch là: (ngày) x 1100 Số ngày phân xưởng đó cần làm trong thực tế là: (ngày) x + 5 Vì phân xưởng đó hoàn thành kế hoạch sơm hơn 2 ngày nên ta có phương trình: 1100 1100 2750 − =21 = x x++55 x2 x Hay: x2 + 5x – 2750 = 0 Giai phương trình ta được: x = 50 (thỏa mãn) x = - 55 (loại) Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 26
27. ÔN THI VÀO 10 - NĂM 2019 facebook: tailieutoan9999@gmail.com vậy theo kế hoạch thì mỗi ngày phân xưởng đó cần làm 50 (sản phẩm) Ví dụ 2. Một đội xe dự định dùng một số xe cùng loại để chở 60 tấn hàng. Lúc sắp khởi hành có 3 xe phải điều đi làm việc khác nên không thể tham gia chở hàng. Vì vậy, mỗi xe còn lại phải chở nhiều hơn dự định 1 tấn hàng. Tính số xe theo dự định của đội đó, biết mỗi xe chở khối lượng hàng như nhau. Hướng Dẫn: Số xe Số hàng/ xe Tổng số hàng x Dự định 60/x 60 x − 3 Thực tế 60/( x-3) 60 Gọi số xe theo dự định của đội là x (xe). Điều kiện : x > 3 Thực tế số xe là : x – 3 (xe) 60 60 Số hàng trên mỗi xe theo dự định và trong thực tế lần lượt là: và (tấn) x x − 3 Vì mỗi xe thực tế phải chở nhiều hơn dự định 1 tấn hàng nên ta có phương trình: 6060180 −= =11 xxx−−3(3) x Hay: x2 – 3x – 180 = 0 Giải phương trình ta được: x = -12 (loại) x = 15 (thỏa mãn) Vậy số xe dự định của đội là 15 (xe) Ví dụ 3. Một tổ sản xuất phải làm 600 sản phẩm trong một thời gian quy định với năng suất như nhau. Sau khi làm được 400 sản phẩm, tổ đã tăng năng suất thêm mỗi ngày 10 sản phẩm, do đó đã hoàn thành công việc sớm hơn một ngày. Tính số sản phẩm làm trong mỗi ngày theo quy định. Hướng Dẫn: Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 27
28. ÔN THI VÀO 10 - NĂM 2019 facebook: tailieutoan9999@gmail.com Số sản Số ngày Tổng số sản phẩm/ngày phẩm 600 x Dự kiến x 600 400 x x 400 Thực tế 200 x +10 x + 10 200 Gọi số sản phẩm dự kiến làm trong mỗi ngày là x (sản phẩm) Điều kiện: x > 0 600 Thời gian dự kiến là: (ngày) x 400 Thời gian làm 400 sản phẩm đầu là : (ngày) x 200 Thời gian làm 600 -400 = 200 sản phẩm sau là: (ngày) x +10 Vì thực tế côgn việc hoàn thành sớm hơn dự kiến 1 ngày nên ta có phương trình: 600400200200(10)200 xx+− −+= = 11 xxxx x ++10(10) Hay: x2 + 10x – 2000 = 0 Giải phương trình ta được: x = 40 (thỏa mãn) x = - 50 (loại) Vậy so sản phẩm dự kiến làm trong mỗi ngày là 40 (sản phẩm) Ví dụ 4. Một người thợ làm 120 sản phẩm trong một thời gian và năng suất dự định. Khi làm được 50 sản phẩm, người thợ đó nhận thấy làm với năng suất như vậy sẽ thấp hơn năng suất dự định là 2 sản phẩm một ngày. Do đó, để hoàn thành đúng thời gian đã định, người thợ đó tăng năng suất thêm 2 sản phẩm một ngày so với dự định. Tính năng suất dự định của người thợ đó. Hướng Dẫn: Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 28
29. ÔN THI VÀO 10 - NĂM 2019 facebook: tailieutoan9999@gmail.com Số sản Số ngày Tổng số sản phầm/ngày phẩm 120 x Dự định x 120 50 x − 2 x − 2 50 Thực tế 70 x + 2 x + 2 70 Gọi số sản phẩm mỗi ngày người thợ đó cần làm theo dự định là x (sản phẩm) Điều kiện: x > 2 120 Số ngày theo dự định là: (ngày) x Trong 50 sản phẩm, mooix ngày người thợ đó làm được: x – 2 (sản phẩm) 50 Nên số ngày làm 50 sản phẩm đầu là: (ngày) x − 2 Trong 120 – 50 = 70 sản phẩm sau, mỗi ngày người thợ đớ làm được x + 2 (sản 70 phẩm) nên số ngày làm 70 sản phẩm đầu là: (ngày) x + 2 Do thực tế người đó hoàn thành đúng như dự định nên ta có phương trình: 507012012040120 x − += = xxxxx−+−224 2 Hay: 120x2 – 40x = 120x2 – 480 Giải phương trình ta được: x = 12 (thỏa mãn) Vậy số sản phẩm mỗi ngày người thợ đó cần làm theo dự định là 12 (sản phẩm) Dạng 3.4: Dạng toán làm chung công việc( giải bằng cách lập phương trình) Bài toán cơ bản: Nếu hai người làm chung thì sau k ngày (giờ, phút, ) xong công việc. Nếu làm một mình thì người thứ nhất hoàn thành công việc sớm hơn người thứ hai là m ngày (giờ, phút, ). Hỏi nếu làm một mình thì để hoàn thành công việc mỗi người mất mấy ngày (giờ, phút, )? Phương pháp giải: Gọi thời gian người I, người II làm một mình xong công việc lần lượt là x,y (ngày) Điều kiện: x > 0; y > 0 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 29
30. ÔN THI VÀO 10 - NĂM 2019 facebook: tailieutoan9999@gmail.com 1 1 1 ngày người I là làm được , người II làm được (công việc) x y k k k ngày người I là làm được , người II làm được (công việc) x y Do hai người làm chung thì sau k ngày xong công việc nên ta có phương trình: kk +=1 (1) xy Vì làm một mình thì người thứ nhất hoàn thành công việc nhanh hơn người thứ hai là m ngày nên ta có phương trình: y = x + m (2) kk Thay (2) vào (1) ta được phương trình: +=1 (3) x x m + Đưa (3) về phương trình bậc hai, giải x, đối chiếu điều kiện và trả lời bài toán. Ví dụ 1. Hai người thợ cùng làm chung một công việc trong 6 giờ thì xong. Nếu họ làm riêng thì người thứ nhất hoàn thành công việc nhanh hơn người thứ hai là 5 giờ. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người cần bao nhiêu giờ để xong công việc đó? Hướng Dẫn: Gọi thời gian người I, người II làm một mình xong công việc lần lượt là x,y (giờ) Điều kiện: x > 0; y > 0 1 giờ người I là làm được , người II làm được (công việc) 11 6 giờ cả hai người làm được 6 + (công việc) xy Do hai người làm chung thì sau 6 giờ xong công việc nên ta có phương trình: 11111 61 += += (1) xyxy 6 Vì làm một mình thì người thứ nhất hoàn thành công việc nhanh hơn người thứ hai là 5 giờ nên ta có phương trình: y = x + 5 (2) 1 1 1 2x + 5 1 Thay (2) vào (1) ta được: + = = x x++5 6 x2 5 x 6 Hay : x2 – 7x – 30 = 0 Giải phương trình ta được: x = -3 (loại) x = 10(thỏa mãn) suy ra: y = 15 (thỏa mãn) Vậy , nếu làm một mình để xong công việc, thì người I cần làm 10 giờ, người II cần làm 15 giờ. Ví dụ 2. Hai vòi nước cùng chảy vào một bể cạn thì sau 1 giờ 20 phút đầy bể. Nếu để chảy một mình thì vòi thứ nhất chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai là 2 giờ. Hãy tính thời gian mỗi vòi chảy một mình đầy bể. Hướng Dẫn: Gọi thời gian vòi I, vòi II chảy một mình đầy bể lần lượt là x,y (giờ) Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 30
31. ÔN THI VÀO 10 - NĂM 2019 facebook: tailieutoan9999@gmail.com Điều kiện: x > 0; y > 0 1 1 +1 giờ vòi I là chảy được (bể), vòi II chảy được (bể) x y 4 1 1 + 1 giờ 20 phút = 4/3 giờ cả hai vòi chảy được + (bể) 3 xy Do cả hai vòi cùng chảy thì sau 1 giờ 20 phút sẽ đầy bể nên ta có phương trình: 4 1 1 1 1 4 + =1 + = (1) 33 x y x y Vì chảy một mình cho đến khi đầy bể thì vòi I nhanh hơn vòi II là 2 giờ nên ta có phương trình: y = x + 2 (2) 113223 x + Thay (2) vào (1) ta được: += = xxxx ++2424 2 Hay: 3x2 – 2x – 8 = 0 Giải phương trình ta được: x = -4/3 (loại) x = 2 suy ra y = 4 (thỏa mãn) Vậy nếu chảy một mình thì để đầy bể, vòi I cần 2 giờ, vòi II cần 4 giờ II.Bài tập tự luyện Bài 1 : Một xưởng mỹ nghệ dự định sản xuất thủ công một lô hàng gồm 300 cái giỏ tre. Trước khi tiến hành, xưởng được bổ sung thêm 5 công nhân nên số giỏ trẻ phải làm của mỗi người giảm 3 cái so với dự định. Hỏi lúc dự định, xưởng có bao nhiêu công nhân? Biết năng suất làm việc của mỗi người như nhau. Hướng Dẫn : Gọi x là số công nhân ban đầu của xưởng.(điều kiện x N* ) 300 Khi đó, theo dự định mỗi công nhân phải làm cái giỏ. x Sau khi xưởng được bổ sung thêm 5 công nhân thì số giỏ mỗi người phải làm là 300 . x+ 5 300 300 Theo đề bài ta có phương trình: - = 3 300(x+5 - x)= 3x(x+5) x x+5 2 x = 20 x(x+5)= 500 x +5x - 500 = 0 x = -25 Kiểm tra điều kiện ta chọn x= 20 Vậy lúc dự định xưởng có 20 công nhân. Bài 2 : Tháng đầu hai tổ sản xuất được 900 chi tiết máy. Tháng thứ hai do cải tiến kỹ thuật nên tổ I vượt mức 10% và tổ II vượt mức 12% so với tháng đầu vì vậy hai tổ đã sản xuất được 1000 chi tiết máy. Hỏi trong tháng đầu mỗi tổ sản xuất được bao nhiêu chi tiết máy? Hướng Dẫn : Gọi tháng đầu tổ I sản xuất được x chi tiết máy, tổ II sản xuất được y chi tiết máy. Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 31
32. ÔN THI VÀO 10 - NĂM 2019 facebook: tailieutoan9999@gmail.com ĐK: x y,* N . Theo giả thiết ta có: xy+=900 (1) Sau khi cải tiến kỹ thuật, trong tháng thứ hai: Tổ I sản xuất được 1,1x chi tiết máy, tổ II sản xuất được 1,12y chi tiết máy Theo giả thiết ta có: 1,11,121000xy+= (2) xy+=900 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: 1,11,121000xy+= x = 400 Giải hệ phương trình được (thỏa mãn) y = 500 Vậy trong tháng đầu tổI sản xuất được 400 chi tiết, tổ II sản xuất được 500 chi tiết. Bài 3 : Hai vòi nước cùng chảy vào một cái bể không có nước trong 6 giờ thì đầy bể. Nếu để riêng vòi thứ nhất chảy trong 2 giờ, sau đó đóng lại và mở vòi thứ hai chảy tiếp trong 3 2 giờ nữa thì được bể. Hỏi nếu chảy riêng thì mỗi vòi chảy đầy bể trong bao lâu 5 Hướng Dẫn : Gọi thời gian vòi thứ nhất chảy riêng đầy bể là x (giờ) (x 6) thời gian vòi thứ hai chảy riêng đầy bể là y (giờ) ( y 6) Hai vòi nước cùng chảy vào một cái bể không có nước trong 6 giờ thì đầy bể 111 += (1) xy6 vòi thứ nhất chảy trong 2 giờ, sau đó đóng lại và mở vòi thứ hai chảy tiếp trong 3 2 112 giờ nữa thì được bể 2.3. += (2) 5 xy5 1 1 1 += xy6 x =10 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình 1 1 2y = 15 2.+= 3. xy5 Đối chiếu với điều kiện, giá trị xy==10; 15 thỏa mãn. Vậy thời gian vòi thứ nhất chảy riêng đầy bể là 10 giờ, thời gian vòi thứ hai chảy riêng đầy bể là 15 giờ. Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 32
33. ÔN THI VÀO 10 - NĂM 2019 facebook: tailieutoan9999@gmail.com Bài 4 : Hai đội công nhân đắp đê ngăn triều cường. Nếu hai đội cùng làm thì trong 6 ngày là xong việc. Nếu làm riêng thì đội I hoàn thành công việc chậm hơn đội II là 9 ngày. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi đội đắp xong đê trong bao nhiêu ngày? Hướng Dẫn : Gọi thời gian đội làm riêng đắp xong đê là x (ngày). Điều kiện : x 6 . Gọi thời gian đội làm riêng đắp xong đê là y (ngày). Điều kiện: xy 6 . Nếu làm riêng thì đội hoàn thành công việc chậm hơn đội là9 ngày nên ta có phương trình: xy−=9 ( 2 ) Từ (1) và ( ) ta có hệ phương trình: 1 1 1 += xy6 xy−=9 66yxxy+= xy=+9 6y + 6( 9 + y) =( 9 + y) y xy=+9 yy2 −−=3 54 0 ( 3) xy=+9 ( 4) Từ (3) yy2 −−=3 54 0 Ta có: =−−−= '34.1.542250( )2 ( ) Suy ra y1 = 9(nhận), y2 =−6 (loại). Thay y = 9 vào ( 4 )ta được x =+=9918 . Vậy thời gian đội làm riêng đắp xong đê là18 ngày. Thời gian đội II làm riêng đắp xong đê là9 ngày. Bài 5 : Một đội xe dự định chở 120 tấn hàng. Để tăng sự an toàn nên đến khi thực hiện, đội xe được bổ sung thêm 4 chiếc xe, lúc này số tấn hàng của mỗi xe chở ít hơn số tấn hàng của mỗi xe dự định chở là 1 tấn. Tính số tấn hàng của mỗi xe dự định chở, biết số tấn hàng của mỗi xe chở khi dự định là bằng nhau, khi thực hiện là bằng nhau. Hướng Dẫn : Cách 1: Gọi x(xe) là số xe của đội lúc đầu ( x nguyên dương) Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 33
34. ÔN THI VÀO 10 - NĂM 2019 facebook: tailieutoan9999@gmail.com Số tấn hàng mỗi xe dự định chở 120 (tấn) x x+4(xe) là số xe của đội lúc sau Số tấn hàng mỗi xe khi thực hiện chở 120 (tấn) x + 4 12 0 12 0 Theo đề bài ta có phương trình −=1 xx+ 4 Giải phương trình ta được x=20(thỏa đk);x=-24(không thỏađk) Vậy số tấn hàng mỗi xe dụ định chở là 120:20=6(tấn) Cách 2: Gọi x là số tấn hàng của mỗi xe ban đầu dự định chở ( x nguyên dương, x > 1 ) Số tấn hàng của mỗi xe lúc sau chở: x – 1 ( tấn ) 120 Số xe dự định ban đầu : ( xe ) x 120 Số xe lúc sau : ( xe ) x −1 120 120 Theo đề bài ta có phương trình : – = 4 x −1 x Giải pt ta được : x1 = 6 ( nhận ); x2 = –5 ( loại ) Vậy số tấn hàng của mỗi xe ban đầu dự định chở là : 6( tấn ) Bài 6 : Để đặt Một đội xe cần vận chuyển 160 tấn gạo với khối lượng gạo mỗi xe chở bằng nhau. Khi sắp khởi hành thì được bổ sung thêm 4 xe nữa nên mỗi xe chở ít hơn dự định lúc đầu 2 tấn gạo (khối lượng gạo mỗi xe chở vẫn bằng nhau). Hỏi đội xe ban đầu có bao nhiêu chiếc ? Hướng Dẫn : Gọi x ( xe) là số xe ban đầu (điều kiện nguyên dương ) 160 Lượng gạo mỗi xe phải chở lúc đầu là (tấn) x Số xe sau khi bổ sung chiếc là: x+ 4 160 Lượng gạo mỗi xe phải chở sau khi bổ sung là: x + 4 Vì sau khi bổ sung 4 xe thì mỗi xe chở ít hơn dự định 2 tấn nên ta có phương trình: Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 34
35. ÔN THI VÀO 10 - NĂM 2019 facebook: tailieutoan9999@gmail.com 16 0 16 0 −=2 xx+ 4 +−=+160416024(xxxx) ( ) +−=xx2 43200 xtm=16() xktm=−20() Vậy ban đầu có 16 chiếc xe. Bài 7 : Một đội xe dự định chở 120 tấn hàng. Để tăng sự an toàn nên đến khi thực hiện, đội xe được bổ sung thêm 4 chiếc xe, lúc này số tấn hàng của mỗi xe chở ít hơn số tấn hàng của mỗi xe dự định chở là 1tấn. Tính số tấn hàng của mỗi xe dự định chở, biết số tấn hàng của mỗi xe dự định chở là bằng nhau, khi thực hiện là bằng nhau. Hướng Dẫn : Gọi x (xe) là số xe chuẩn bị theo dự định (điều kiện x > 0) Khi đó: 120 Theo dự định mỗi xe cần chở x (tấn) Nhưng thực tế bổ sung thêm 4 xe nên số xe là: x + 4 (xe). 120 Vì vậy mà mỗi xe cần chở: x4+ (tấn) Vì theo thực tế mỗi xe chở ít hơn so với dự định 1 tấn nên ta có phương trình: 120120−=1 xx4 + +−=+ +−=120(x4) 120x(x4)xx4x4800 2 x = 20 (nhận) hoặc x =−24 (loại) Vậy theo dự định có 20 xe và mỗi xe phải chở 6 tấn hàng Bài 8 : Một tổ công nhân may lập kế hoạch may 60 bộ quần áo. Khi thực hiện, mỗi ngày tổ này may nhiều hơn kế hoạch 2 bộ nên đã hoàn thành công việc ít hơn kế hoạch 1 ngày. Biết số bộ quần áo may trong mỗi ngày là như nhau. Hỏi tổ công nhân may đã lập kế hoạch để hoàn thành công việc trong bao nhiêu ngày? Hướng Dẫn : Gọi x ( x * ) là số ngày mà tổ công nhân may đã lập kế hoạch để hoàn thành công việc. Gọi y ( y * ) là số bộ quần áo mà tổ công nhân may đã lập kế hoạch để hoàn thành công việc. Theo kế hoạch, tổ công nhân may bộ quần áo nên xy = 60 (1) Số ngày may thực tế là x −1. Số bộ quần áo may được thực tế là y + 2 . Theo đề bài, ta có (xy−1)( + 2) = 60 xy +2 x − y = 62. Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 35
36. ÔN THI VÀO 10 - NĂM 2019 facebook: tailieutoan9999@gmail.com Kết hợp với (1) ta được 6026222+−= =−xyyx . Thế vào ta được xxxx(2260300−= −−=) 2 x = 6 −+−= −+= xxxxx( 6560650) ( ) ( )( ) . x =−5 Mà xx * = 6 thỏa mãn =y 10 (thỏa mãn y * ). Vậy tổ công nhân may đã lập kế hoạch để hoàn thành công việc trong 6 ngày. Bài 9 : Một phòng họp có 240 ghế (mỗi ghế một chỗ ngồi) được xếp thành từng dãy, mỗi dãy có số ghế bằng nhau. Trong một cuộc họp có 315 người tham dự nên ban tổ chức phải kê them 3 dãy ghế và mỗi dãy tang them 1 gế so với ban đầu thì vừa đủ chỗ ngồi. Tính số ghế có trong phòng họp lúc đầu, biết rằng số dãy ghế nhỏ hơn 50. Hướng Dẫn : Gọi số dãy ghế ban đầu là x (dãy) (xxÎ<¥ * , 5 0 ). 240 Số ghế mỗi dãy ban đầu là: (ghế). x Trong cuộc họp: Số dãy ghế có là: x+ 3 (dãy) 240 Số ghế mỗi dãy là: + 1 (ghế). x æö240 Tổng số ghế có trong phòng họp là: (x ++31)ç ÷ (ghế). çèøx ÷ Vì số ghế vừa đủ chỗ ngồi cho 315 người tham dự nên ta có: æö240 720 (x ++=31315)ç ÷ Û+-=x 720 èøç x ÷ x Ûxx2 -72 + 720 = 0 éxloai= 60 ê ( ) Û ê . ë xtm= 12( ) Vậy số dãy ghế có trong phòng họp lúc đầu là 12 (dãy). Bài 10 : Một đội xe cần chở 48 tấn hàng. Trước khi đi làm việc đội được bổ sung thêm 4 xe nữa nên mỗi xe chở ít hơn 1 tấn so với dự định. Hỏi đội xe lúc đầu có bao nhiêu chiếc? Biết rằng số hàng chở trên tất cả các xe có trọng lượng như nhau. Hướng Dẫn : Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 36
37. ÔN THI VÀO 10 - NĂM 2019 facebook: tailieutoan9999@gmail.com 48 Gọi xx() * , là số xe lúc đầu, khi đó số hàng mỗi xe: (tấn). x 48 Trên thực tế có x + 4 (xe), khi đó số hàng mỗi xe trên thực tế: (tấn). x + 4 48 48 Vì mỗi xe chở ít hơn 1 tấn so với dự định nên ta có pt: −=1 xx+ 4 +−=+484484(xxxx) 2 +−=xx2 41920 =x 12  =x − 16 (loại vì x 0 ) Vậy số xe ban đầu là 12 xe. Bài 11: Cho hai vòi nước cùng chảy vào một vể không có nước thì sau 5 giờ đầy bể. Nếu lúc đầu chỉ mở vòi thứ nhất chảy trong 2 giờ rồi đóng lại, sau đó mở vòi thứ hai chảy trong 1 1giờ thì ta được bể nước. Hỏi nếu mở riêng từng vòi thì thời gian để mỗi vòi chảy đầy bể 4 là bao nhiêu? Hướng Dẫn : Gọi xh( ) là thời gian vòi thứ nhất chảy một mình đầy bể ( x 0 ) Gọi yh( ) là thời gian vòi thứ hai chảy một mình đầy bể ( y 0 ) 1 Suy ra trong 1h vòi thứ nhất chảy được (bể) x trong vòi thứ hai chảy được 1 (bể) y cả hai vòi chảy vào một bể không có nước thì sau 5 giờ đầy bể nên 1 giờ cả hai vòi 1 chảy được bể 5 111 suy ra += (1) xy5 1 Vòi thứ nhất chảy trong 2 giờ, vòi thứ hai chảy trong 1 giờ thì được bể 4 2 1 1 suy ra += (2) xy4 Từ (1) và (2) ta có hệ: Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 37
38. ÔN THI VÀO 10 - NĂM 2019 facebook: tailieutoan9999@gmail.com 111 211111 += −=−= xx==2020 x = 20 xy5 xxx 4520 11113 20 211 111111 +== y = += +=+= 20520yy 3 xy4 xyxy 55 Vậy vòi thứ nhất chảy một mình đầy bể trong 20 giờ. 20 Vòi thứ hai chảy một mình đầy bể trong giờ. 3 Bài 12 : Hai vòi nước cùng chảy vào một cái bể không có nước trong 6 giờ thì đầy bể. Nếu để riêng vòi thứnhất chảy trong2 giờ, sau đó đóng lại và mở vòi thứ hai chảy tiếp trong 3 giờ nữa thì được 2 bể. Hỏi nếu chảy riêng thì mỗi vòi chảy đầy bể trong bao lâu? 5 Hướng Dẫn : Gọi thời gian vòi thứ nhất chảy riêng đầy bể là x (giờ) (x 6) thời gian vòi thứ hai chảy riêng đầy bể là y (giờ) ( y 6) Hai vòi nước cùng chảy vào một cái bể không có nước trong 6 giờ thì đầy bể 111 += (1) xy6 Vòi thứ nhất chảy trong 2 giờ, sau đó đóng lại và mở vòi thứ hai chảy tiếp trong 3 giờ 112 nữa thì được bể 2.3. += (2) xy5 111 += xy6 x =10 Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình 11215 y = 2.3. += xy5 Đối chiếu với điều kiện, giá trị xy==10; 15 thỏa mãn. Vậy thời gian vòi thứ nhất chảy riêng đầy bể là 10 giờ, thời gian vòi thứ hai chảy riêng đầy bể là 15 giờ. Bài 13 : Một phòng họp có tổng số 80 ghế ngồi, được xếp thành từng hàng, mỗi hàng có số lượng ghế bằng nhau. Nếu bớt đi 2 hàng mà không làm thay đổi số lượng ghế trong phòng thì mỗi hàng còn lại phải xếp thêm 2 ghế. Hỏi lúc đầu trong phòng có bao nhiêu ghế? Hướng Dẫn : Gọi số hàng ghế lúc đầu là x ( xxx *;2;80 ) . 80 Số ghế ở mỗi hàng lúc đầu là (chiếc). x Nếu bớt đi 2 hàng thì số hàng còn lại là x − 2. 80 Khi đó, số ghế ở mỗi hàng là (chiếc). x − 2 Vì lúc đó mỗi hàng còn lại phải xếp thêm 2 ghế nên ta có phương trình: Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 38
39. ÔN THI VÀO 10 - NĂM 2019 facebook: tailieutoan9999@gmail.com 80 80 −=2 xx− 2 Giải phương trình được: x1 =10 (thỏa mãn điều kiện) x2 =−8 (không thỏa mãn điều kiện) Vậy lúc đầu có 10hàng ghế. 2 Bài 14 : Hai đội công nhân cùng làm chung trong 4 giờ thì hoàn thành được công việc. 3 Nếu làm riêng thì thời gian hoàn thành công việc đội thứ hai ít hơn đội thứ nhất là 5giờ. Hỏi nếu làm riêng thì thời gian hoàn thành công việc của mỗi đội là bao nhiêu Hướng Dẫn : Gọi thời gian làm riêng hoàn thành công việc của đội I là x (giờ) ( x 5) Vì nếu làm riêng thì thời gian hoàn thàn công việc đội thứ hai ít hơn đội thứ nhất 5 giờ Nên thời gian đội 2 làm riêng để hoàn thành công việc là x − 5giờ 1 Trong 1 giờ đội thứ nhất làm riêng được (công việc) x 4 Trong 4 giờ đội thứ nhất làm được (công việc) x 4 Trong 4 giờ đội thứ hai làm được (công việc) x − 5 442 Trong 4 giờ cả hai đội làm được: +=(công việc) xx− 53 Giải phương trình 442112 += += 4. x xx−−5 x 353 11151 xx−+ += = x xx−−5 x 656 ( ) −=− −+=123051730xxxxx 22 0 xktm= 2() −−=( xx2150 )( ) xtm=15( ) Vậy thời gian hoàn thành công việc của đội I là 15 giờ, của đội II là 10 giờ Bài 15 : Một tổ công nhân theo kế hoạch phải làm 140 sản phẩm trong một thời gian nhất định. Nhưng khi thực hiện năng suất của tổ đã vượt năng suất dự định là 4 sản phẩm mỗi ngày. Do đó tổng đã hoàn thành công việc sớm hơn dự định 4 ngày. Hỏi thực tế mỗi ngày tổ đã làm được bao nhiêu sản phẩm. Hướng Dẫn : Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 39
40. ÔN THI VÀO 10 - NĂM 2019 facebook: tailieutoan9999@gmail.com Gọi số sản phẩm thực tế mỗi ngày tổ công nhân sản xuất được là x (sản phẩm) (xx * , 4 ) 140 Thời gian thực tế mà tổ công nhân hoàn thành xong 140 sản phẩm là ngày x Theo kế hoạch mỗi ngày tổ công nhân đó sản xuất được số sản phẩm: x − 4 Thời gian theo kế hoạch mà tổ công nhân hoàn thành xong 140 sản 140 phẩm: (ngày) x − 4 Theo đề bài ta có thời gian thực tế hoàn thành xong sớm hơn so với thời gian dự định là 4 ngày nên ta có phương trình: 140140 −=4 xx− 4 −−=−140140444xxxx ( ) ( ) −−=−353544xxxx ( ) ( ) −−=xx2 41400 −+−=xxx2 14101400 −+−=xxx( 1410140) ( ) +−=( xx10140)( ) xxktm+==10010() − xxtm−==14014() Vậy thực tế mỗi ngày tổ công nhân đã làm được 14 sản phẩm . Bài 16 : Nông trường cao su Minh Hưng phải khai thác 260 tấn mủ trong một thời gian nhất định. Trên thực tế, mỗi ngày nông trường đều khai thác vượt định mức 3 tấn. Do đó, nông trường đã khai thác được 261 tấn và xong trước thời hạn 1 ngày. Hỏi theo kế hoạch mỗi ngày nông trường đã khai thác được bao nhiêu tấn mủ cao su. Hướng Dẫn : Gọi số tấn mủ cao su mỗi ngày nông trường khai thác được là x (tấn) (0260 x ) 260 Thời gian theo dự định khai thác mủ cao su của nông trường là (ngày) x Theo thực tế mỗi ngày nông trường khai thác được số tấn mủ cao su là x + 3(tấn) 261 Thời gian theo thực tế khai thác mủ cao su của nông trường là (ngày) x + 3 Vì nông trường khai thác xong trước thời hạn 1 ngày nên ta có phương trình: Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 40
41. ÔN THI VÀO 10 - NĂM 2019 facebook: tailieutoan9999@gmail.com 261261 += ++=+126132603 xxxx ( ) ( ) xx+ 3 ++=+2613260780xxxx 2 +−=xx2 47800 −+−=xxx2 26307800 −+−=xxx( 2630260) ( ) −+=( xx26300)( ) xxtm−==26026() xxktm+==30030() − Vậy theo kế hoạch mỗi ngày nông trường khai thác 26 tấn mủ cao su. Bài 17 : Hai đội công nhân cùng làm một công việc thì xong trong 4 giờ. Nếu mỗi đội làm riêng xong được công việc ấy, thì đội thứ hai cần nhiều hơn đội thứ nhất là 6giờ. Hỏi mỗi đội làm riêng xong công việc ấy trong bao lâu ? Hướng Dẫn : Gọi thời gian làm riêng công việc của đội thứ nhất là x (giờ) x 0 Thời gian làm riêng xong công việc của đội thứ hai là x + 6 (giờ) 1 Trong 1 giờ, đội thứ nhất làm được : (công việc) x 1 Trong 1 giờ, đội thứ hai làm được: (công việc) x + 6 Hai đội cùng làm một công việc thì xong trong 4 giờ nên ta có: 1 1 1 1 1 4. + = 1 + = x x++6 x x 6 4 4.( x++ 6) 4x x( x 6) + = 4x( x+ 6) 4 x( x + 6) 4 x( x + 6) 2 4.( x + 6) + 4 x = x( x + 6) 4 x + 24 + 4 x = x + 6 x x22 +6 x − 4 x − 24 − 4 x = 0 x − 2 x − 24 = 0 x2 −6 x + 4 x − 24 = 0 x( x − 6) + 4( x − 6) = 0 x=−4( ktm ) ( xx +4)( − 6) = 0 x= 6( tm ) Vậy đội thứ nhất làm riêng xong công việc trong 6 giờ, đội thứ hai làm riêng xong công việc trong 12 giờ. Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 41
42. ÔN THI VÀO 10 - NĂM 2019 facebook: tailieutoan9999@gmail.com Bài 18 : Hai người thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong. Nếu người thứ nhất làm trong 3 giờ và người thứ hai làm trong 6 giờ thì họ làm được 1 công việc. Hỏi mỗi 4 người làm công việc đó một mình trong mấy giờ thì xong . Hướng Dẫn : Bµi3.Gäi x(giê)lµthêi gianxongviÖccñang- êi thø1(x 16) Gäi y(giê)lµthêi gianxongviÖccñang- êi thøII (y 16) 1 1giê ng- êi thøI lµm®-î c: x 1 1giê ng- êi thøII lµm®-î c: y 1 11 11 += = xy16 x24 x= 24 Theo®ÒtacãhÖph- ¬ngtrinh: (chän) 3 61 1 1 x= 48 += = xy4 y48 vËyng- êi thønhÊtmÊt24hxong;ng- êi thøhai mÊt 48hxong Bài 19 : Hai đội công nhân cùng làm chung một công việc thì sau 15 ngày làm xong. Nếu đôi thứ nhất làm riêng trong 3 ngày rồi dừng và đội thứ hai làm tiếp công việc đó trong 5 ngày thì cả hai đội hoàn thành được 25%công việc. Hỏi nếu mỗi đội làm riêng thì trong bao nhiêu ngày mới xong công việc trên ? Hướng Dẫn : Gọi số ngày làm một mình xong công việc của đội 1 là x (ngày) ( x 15) Số ngày làm một mình xong công việc của đội 2 là y (ngày ) ( y 1 5 ) 1 Trong một ngày đội 1 làm được số phần công việc là (công việc) x 1 Trong một ngày đội 2 làm được số phần công việc là (công việc) y 15 15 Vì hai đội làm chung trong 15 ngày thì xong nên ta có phương trình: +=1(1) xy 3 5 Trong 3 ngày đội 1 làm được công việc, trong 5 ngày đội 2 làm được công việc x y 1 Đội 1 làm trong 3 này và đội hai làm trong 5 ngày được 25% = công việc nên ta có 4 3 5 1 phương trình += (2) xy4 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 42
43. ÔN THI VÀO 10 - NĂM 2019 facebook: tailieutoan9999@gmail.com 15 15 +=1 xy Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: 3 5 1 += xy4 1 1 11 = a 15ab+= 15 1 a = = x 24 x 24 x= 24( tm ) Đặt ta được: 1 1 35ab+= 1 11 y= 40( tm ) = b 4 b = = y 40 y 40 Vậy đội 1 mất 24 ngày làm xong, đội 2 mất 40 ngày làm xong Bài 20 : Một đội xe vận tải được phân công chở 112tấn hàng. Trước giờ khởi hành có 2 xe phải đi làm nhiệm vụ khác nên mỗi xe còn lại phải chở thêm 1 tấn hàng so với dự tính. Tính số xe ban đầu của đội xe, biết rằng mỗi xe đều chở khối lượng hàng như nhau. Hướng Dẫn : Gọi số xe ban đầu của đội là x (xe) (x 2) 144 Theo kế hoạch mỗi xe phải chở số hàng (tấn hàng) x Do có 2 xe đi làm nhiệm vụ nên số xe thực tế là x − 2 xe 144 Nên mỗi xe thực tế phải chở số hàng: (tấn hàng) x − 2 Theo đề ta có phương trình: 144144 2 xktm=−16() −= −−= 122880xx xx− 2 xtm=18() Vậy ban đầu đội có 18 xe Bài 21 : Theo kế hoạch, một xưởng may phải may xong 360 bộ quần áo trong một thời gian quy định. Đến khi thực hiện, mỗi ngày xưởng đã may nhiều hơn 4 bộ quần áo so với số bộ quần áo phải may trong một ngày theo kế hoạch. Vì thế xưởng đã hoàn thành kế hoạch trước 1 ngày. Hỏi theo kế hoạch, mỗi ngày xưởng phải may bao nhiêu bộ quần áo? Hướng Dẫn : Gọi x là số bộ quần áo mà xưởng may phải may trong một ngày theo kế hoạch (0 xx 360, ) 360 Suy ra số ngày mà xưởng may phải hoàn thành theo kế hoạch là (ngày) x Số bộ quần áo mà xưởng thực tế đã may trong mọt ngày là x + 4 (bộ) 360 Số ngày thực tế mà xưởng may đã hoàn thành là (ngày) x + 4 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 43
44. ÔN THI VÀO 10 - NĂM 2019 facebook: tailieutoan9999@gmail.com 360360 Theo bài ta có phương trình: +=1(1) xx+ 4 2 x= 36( tm ) (1) xx + 4 − 1440 = 0 x=−40( ktm ) Vậy theo kế hoạch mỗi ngày xưởng phải may 36bộ quần áo Bài 22 : Bác Bình dự định trồng 300 cây cam theo nguyên tắc trồng thành các hàng, mỗi hàng có số cây bằng nhau. Nhưng khi thực hiện bác Bình đã trồng thêm 2 hàng, mỗi hàng thêm 3 cây so với dự kiến ban đầu nên đã trồng được tất cả 391cây. Tính số cây trên một hàng mà bác Bình dự kiến trồng ban đầu Hướng Dẫn : 300 Gọi x là số cây trên 1 hàng (xx * , 3 0 0 ) Số hàng là: x Theo đề ta có phương trình: 300 ++=23391( x ) x 900 +++=30026391x x 45 xktm= () −+= 2859000xx2 2 xtm= 20() Vậy dự định bác Bình trồng 20 cây/ 1 hàng Bài 23 : Một đội công nhân đặt kế hoạch sản xuất 250 sản phẩm. Trong 4 ngày đầu, họ thực hiện đúng theo kế hoạch. Mỗi ngày sau đó, họ đều làm vượt mức 5 sản phẩm nên đã hoàn thành công việc sớm hơn 1 ngày so với dự định. Hỏi theo kế hoạch, mỗi ngày đội công nhân đó làm được bao nhiêu sản phẩm ? Biết rằng năng suất làm việc của mỗi công nhân là như nhau. Hướng Dẫn : Gọi số sản phẩm mỗi ngày đội công nhân làm được theo kế hoạch là x (sản phẩm) (x *) Khi đó số sản phẩm mỗi ngày đội công nhân làm được thực tế là x + 5(sản phẩm) 250 Số ngày làm hết 250 sản phẩm theo kế hoạch là (ngày) x Trong 4 ngày đầu đội công nhân làm được 4x (sản phẩm) Số sản phẩm cần làm thêm để hoàn thành kế hoạch là 250− 4x (sản phẩm) Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 44
45. ÔN THI VÀO 10 - NĂM 2019 facebook: tailieutoan9999@gmail.com 2 5 0 4− x Số ngày làm xong 2 5 0 4− x sản phẩm là (ngày) x + 5 Do đội đó hoàn thành công việc sớm hơn 1 ngày nên ta có phương trình: 25025042502504−−xx −=+ −=145 xxxx ++55 25052504( xxx+−−) ( ) = +−+=+ 525012502504525xxxxx 22 xx( + 5) +−= −+−=xxxxx222512500255012500 −+−= −+=xxxxx( 255025025500) ( ) ( )( ) xtm= 25() xktm=−50() Vậy số sản phẩm mỗi ngày đội công nhân phải làm theo kế hoạch là 25sản phẩm. Bài 24 : Hai người thợ cùng làm một công việc trong 9 ngày thì xong. Mỗi ngày, lượng công việc của người thứ hai làm được nhiều gấp 3 lần lượng công việc của người thứ nhất. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi người làm xong công việc đó trong bao nhiêu ngày. Hướng Dẫn : Gọi thời gian người thứ nhất làm một mình xong công việc là x (ngày) (x 0) Gọi thời gian người thứ hai làm một mình xong công việc là y (ngày) ( y 0) 1 Mỗi ngày người thứ nhất làm được: (công việc) x 1 Mỗi ngày người thứ hai làm được (công việc) y Vì hai người cùng làm một công việc trong 9 ngày thì xong nên mỗi ngày hai người làm 1 111 chung được công việc, do đó ta có phương trình +=(1) 9 xy9 Lại có mỗi ngày, lượng công việc của người thứ hai làm được gấp ba lần lượng công việc 13 của người thứ nhất nên ta có phương trình: = (2) yx Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 45
46. ÔN THI VÀO 10 - NĂM 2019 facebook: tailieutoan9999@gmail.com 111 13141 += +== xy9 xxx 99 xtm= 36() 3112() 3131 ytm= = == xy xyxy Vậy người thứ nhất làm một mình xong công việc hết 36 ngày và người thứ hai làm một mình xong công việc hết 12 ngày. Bài 25 : Hưởng ứng ngày Chủ nhật xanh do UBND tỉnh phát động với chủ đề “Hãy hành động để Thừa Thiên Huế thêm Xanh, Sạch, Sáng”, một trường THCS đã cử học sinh của 35 hai lớp 9A và 9B cùng tham gia làm tổng vệ sinh một con đường, sau giờ thì lầm xong 12 công việc. Nếu làm riêng từng lớp thì thời gian học sinh lớp 9Alàm xong công việc ít hơn thời gian học sinh lớp 9B là 2 giờ. Hỏi nếu mỗi lớp làm riêng thì sau bao nhiêu giờ sẽ làm xong công việc ? Hướng Dẫn : 35 Gọi thời gian lớp 9A làm một mình xong công việc là x (giờ) x 12 Gọi thời gian lớp 9B làm một mình xong công việc là y (giờ) ( y 2) 1 Mỗi giờ lớp 9Alàm được phần công việc là (công việc) x 1 Mỗi giờ lớp 9B làm được phần công việc là (công việc) y 3512 Mỗi giờ thì cả hai lớp 9A và 9B làm được phần công việc là 1: = (công việc) 1235 35 Theo đề bài ta có hai lớp cùng làm chung công việc trong giờ thì xong công việc nên ta 12 1112 có phương trình: += (1) xy35 Nếu làm riêng từng lớp thì thời gian học sinh lớp 9A làm xong công việc ít hơn thời gian học sinh lớp 9B là 2 giờ nên ta có phương trình yx=+2 (2) Thế phương trình (2) vào phương trình (1) ta được: Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 46
47. ÔN THI VÀO 10 - NĂM 2019 facebook: tailieutoan9999@gmail.com 1112 (135235122) += ++=+ ( xxxx ) ( ) xx+ 235 ++=+3570351224xxxx 2 −−=1246700xx2 −+−=126014700xxx2 −+−=1251450xxx( ) ( ) xtm= 5() x −=50 −+ ( xx51214)( ) 7 12140x += xktm=− () 6 Vậy nếu làm việc một mình thì lớp 9A làm xong công việc trong 5 giờ, lớp 9B làm xong công việc trong 5 2+= 7 giờ Bài 26 : Một công ty vận tải dự định dùng loại xe lớn để vận chuyển 20 tấn hàng hóa theo một hợp đồng. Nhưng ki vào việc công ty không còn xe lớn nên phải thay bằng những xe nhỏ. Mỗi xe nhỏ vận chuyển được khối lượng ít hơn 1 tấn so với mỗi xe lớn theo dự định. Để đảm bảo thời gian đã hợp đồng, công tỷ phải dùng một số lượng xe nhiều hơn số xe dự định là 1 xe. Hỏi mỗi xe nhỏ vận chuyển bao nhiêu tấn hàng hóa (Biết các xe cùng loại thì có khối lượng vận chuyển như nhau). Hướng Dẫn : Gọi số tấn hàng hóa mỗi xe nhỏ vận chuyển là x (tấn) (x 0) Mỗi loại xe lớn vận chuyển được số tấn hàng: x +1(tấn) 20 Khi đó số lượng xe nhỏ dự định phải dùng để chở hết 20 tấn hàng hóa : (xe) x 20 Số xe lớn dự định phải dùng để chở hết 20 tấn hàng hóa là: (xe) x +1 Vì thực tế số xe nhỏ dùng nhiều hơn dự định là 1xe. 20 20 20xx+− 20 20 − =11 = x x++11 x( x ) x22 + x =20 x + x − 20 = 0 x=−5( ktm ) x= 4( tm ) Vậy mỗi xe nhỏ vận chuyển được 4 tấn hàng hóa. Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 47
48. ÔN THI VÀO 10 - NĂM 2019 facebook: tailieutoan9999@gmail.com Bài 27 : Hai người công nhân cùng làm chung một công việc thì hoàn thành trong 16 giờ. Nếu người thứ nhất làm 3 giờ và người thứ hai làm hai giờ thì họ làm được 1 công việc. 6 Hỏi nếu làm một mình thì mỗi người hoàn thành việc đó trong bao lâu? Hướng Dẫn : Gọi thời gian người công nhân A làm một mình xong công việc là x (giờ), (x > 16). Thời gian người công nhân B làm một mình xong công việc là y (giờ), (y > 16). Mỗi giờ A làm được 1 (công việc), B làm được 1 (công viêc), cả hai làm được 1 x y 16 (công việc). 1 1 1 1 1 1 Ta có phương trình: + = = − (1) x y16 y 16 x Vì A làm 3 giờ và B làm 2 giờ thì họ làm được 1 công viêc, nên ta có phương trình: 6 3 2 1 +=(2) xy6 322111 Từ (1) thế vào (2) ta được: +−= = = x 24, thay vài (1), ta được: xxx16624 11111 =− = = y 48. yy162448 Đối chiếu bđiều kiện ta có thời gian người thứ nhất làm một mình xong công việc là 24 giờ, người thứ hai là 48 giờ. Bài 28 : Do cải tiến kỹ thuật nên tổng sản lượng thu hoạch cam nhà bác Minh năm 2017 đạt 80 tấn, tăng 20% so với năm 2016. Hỏi năm 2016 nhà bác Minh thu hoạch được bao nhiêu tấn cam? Hướng Dẫn : Năm 2016, bác Minh thu hoạch được số cam là: 180:120%150= (tấn) Bài 29 : Hai người cùng xây một bức tường. Sau khi làm được 4 giờ, người thứ nhất nghỉ, người thứ hai tiếp tục xây thêm 8 giờ nữa thì hoàn thành bức tường. Hỏi nếu ngay từ đầu chỉ một người xây thì sau bao lâu bức tường được hoàn thành, biết rằng người thứ nhất xây bức tường đó nhanh hơn người thứ hai 6 giờ ? Hướng Dẫn : Gọi x (giờ) là thời gian người thứ nhất xây xong bức tường. Gọi y (giờ) là thời gian người thứ hai xây xong bức tường. ( x 0 , y 0 ) Người thứ nhất xây bức tường đó nhanh hơn người thứ hai giờ nên ta có phương trình: −xy + = 6 ( 2 ) Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 48
49. ÔN THI VÀO 10 - NĂM 2019 facebook: tailieutoan9999@gmail.com Từ (1) và ( 2 ) ta có hệ phương trình: 4 12 +=1 4 12y x+= x y 4( 6 +x) + 12 x =( 6 + x) x xy yx=+6 yx=+6 − +xy = 6 yy2 −10 − 24 = 0 ( 3) xy=+6 ( 4) Từ (3) yy2 − −1 0= 2 4 0 Ta có: =−−−= '51.24490( )2 ( ) Suy ra x1 =12 (nhận), x2 =−2 (loại). Thay x =12 vào ( 4 ) ta được y = +12 = 6 18 . Vậy nếu chỉ một người xây thì người thứ nhất hoàn thành sau 12 giờ, người thứ hai hoàn thành sau 18 giờ. Bài 30 : Nếu mở cả hai vòi nước chảy vào một bể cạn thì sau 3 giờ bể đầy nước. Nếu mở riêng từng vòi thì vòi thứ nhất làm đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai là 2 giờ 30 phút. Hỏi nếu mở từng vòi thì mỗi vòi chảy bao lâu đầy bể. Hướng Dẫn : Phương pháp: + Gọi thời gian vòi thứ nhất chảy 1 mình đầy bể là xh( ) (ĐK: x 0 ) Gọi thời gian vòi thứ hai chảy 1 mình đầy bể là yh( ) (ĐK: y 0 ) + TÍnh trong 1h mỗi vòi chảy được bao nhiêu phần của bể. + Dựa vào các dữ kiện đã cho lập hệ phương trình và giải hệ phương trình. Cách giải: Gọi thời gian vòi thứ nhất chảy 1 mình đầy bể là xh( ) (ĐK: x 0 ) Gọi thời gian vòi thứ hai chảy 1 mình đầy bể là yh( ) (ĐK: y 0 ) 1 Khi đó mỗi vòi giờ thứ nhất chảy được bể và vòi thứ hai chảy được 1 bể. x y Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 49
50. ÔN THI VÀO 10 - NĂM 2019 facebook: tailieutoan9999@gmail.com Vì nếu mở cả hai vòi nước chảy vào một bể cạn thì sau 3 giờ bể đầy nên mỗi giờ cả 1 1 1 1 hai vòi chảy được bể, do dó ta có phương trình += (1). 3 xy3 5 Vòi thứ nhất làm đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai là 2 giờ 30 phút = (h) nên ta có 3 5 phương trình: xy+= (2) 2 11155 Thay (2) vào (1) ta có += ++=+ 33xxxx . 5 x x + 322 2 155715 ++=+ −−= −−=33027150xxxxxxxx 222 2222 2x2 −+−= 10 x 3 x 15 0 2 x ( x −+−= − 5) 3( x 5) 0 ( x 5)(2 x += 3) 0 xtm= 5() 5 =+= −3 ytm57,5() xktm= () 2 2 Vậy thời gian vòi 1 chảy một mình đầy bể là 5 giờ và thời gian vòi 2 chảy 1 mình đầy bể là 7,5 giờ. Bài 31 : Theo kế hoạch, một người công nhân phải hoàn thành 84 sản phẩm trong một thời gian nhất định. Do cải tiến kĩ thuật, nên thực tế mỗi giờ người đó đã làm được nhiều hơn 2 sản phẩm so với số sản phẩm phải làm trong một giờ theo kế hoạch. Vì vậy, người đó đã hoàn thành công việc sớm hơn dự định 1 giờ. Hỏi theo kế hoạch, mỗi giờ người công nhân phải làm bao nhiêu sản phẩm ? Hướng Dẫn : Gọi x là số sản phẩm mỗi giờ mà người công nhân phải hoàn thành theo kế hoạch (sp/h, x Є N*, x < 84) Theo bài ra ta có: Số sản phẩm mỗi giờ mà người công nhân phải hoàn thành theo thực tế: x+2 (sp/h) 84 Thời gian mà công nhân hoàn thành theo kế hoạch: ()h x 84 Thời gian mà công nhân hoàn thành theo thực tế: ()h x + 2 Người công nhân đó hoàn thành công việc sớm hơn định 1h nên ta có phương trình: Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 50
51. ÔN THI VÀO 10 - NĂM 2019 facebook: tailieutoan9999@gmail.com 84 84 −=1 xx+ 2 Giải phương trình ta được: x1 = 12 (TMĐK) ; x2 = -14 (KTMĐK) Vậy theo kế hoạch mỗi giờ người công nhân phải làm 12 sản phẩm. Bài 32 : Hai đội công nhân cùng làm chung một công việc thì hoàn thành sau 12 giờ, nếu làm riêng thì thời gian hoàn thành công việc của đội thứ hai ít hơn đội thứ nhất là 7 giờ. Hỏi nếu làm riêng thì thời gian để mỗi đội hoàn thành công việc là bao nhiêu? Hướng Dẫn : Gọi x(giờ) là thời gian đội I làm xong công việc (x >12) Thời gian đội thứ II làm xong công việc là: x – 7 (giờ) Trong một giờ: 1 +) Đội I làm được (công việc) x +) Đội II làm được 1 (công việc) x − 7 1 +) Cả hai đội làm được (công việc) 12 Theo bài ra ta có phương trình: + = 12(x-7)+12x=x(x-7)  12x-84+12x=x2-7x x2-31x+84=0 =( −−= 31)4.842 = 625 0;25 31+ 25 xTM==28() 1 2 31− 25 xL==3( ) 2 2 Vậy thời gian đội I làm xong công việc là 28 giờ, thời gian đội II làm xong công việc là: 28 – 7 = 21(giờ). Bài 33 : Một công ty vận tải dự định dùng loại xe lớn để chở 20 tấn rau theo một hợp đồng. Nhưng khi vào việc, công ty không còn xe lớn nên phải thay bằng những xe có trọng tải nhỏ hơn 1 tấn. Để đảm bảo thời gian đã hợp đồng, công ty phải dùng một số lượng xe nhiều hơn số xe dự định là 1 xe. Hỏi trọng tải của mỗi xe nhỏ là bao nhiêu tấn? Hướng Dẫn : Gọi trọng tải của mỗi xe nhỏ là x (tấn) (x > 0) Trọng tải của mỗi xe lớn là x + 1 (tấn) Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 51
52. ÔN THI VÀO 10 - NĂM 2019 facebook: tailieutoan9999@gmail.com Số xe (lớn) dự định phải dùng là 20 (xe); số xe (nhỏ) thực tế phải dùng là 20 (xe) x +1 x Vì số xe nhỏ thực tế phải dùng nhiều hơn dự định 1 xe nên: - =1 20 = = += = +−=1(1)20(5)(4)0xxxx xx(1)+ xTM= 4() = xL=−5() Vậy trọng tải của mỗi xe nhỏ là 4 tấn. Bài 34 : Một xưởng có kế hoạch in xong 6000 quyển sách giống nhau trong một thời gian quy định, biết số quyển sách in được trong một ngày là bằng nhau. Để hoàn thành sớm kế hoạch , mỗi ngày xưởng đã in nhiều hơn 300 quyển sách so với số quyển sách phải in trong kế hoạch, nên xưởng in xong 6000 quyển sách nói trên sớm hơn kế hoạch 1 ngày. Tính số quyển sách xưởng in được trong 1 ngày theo kế hoạch. Hướng Dẫn : Gọi x là số quyển sách xưởng in được trong mỗi ngày theo kế hoạch (x nguyên dương) 6000 Số ngày in theo kế hoạch: (ngày) x Số quyển sách xưởng in được thực tế trong mỗi ngày : x+300 ( quyển sách) 6000 Số ngày in thực tế: ( ngày) x + 300 Theo đề bài ta có phương trình: - =1 x2+300x-1800000=0 x1=1200(nhận); x2 = -1500(loại) Vậy số quyển sách xưởng in được trong mỗi ngày theo kế hoạch là:1200 (quyển sách) Bài 35 : Một phân xưởng theo kế hoạch cần phải sản xuất 1100 sản phẩm trong một số ngày quy định. Do mỗi ngày phân xưởng đó sản xuất vượt mức 5 sản phẩm nên phân xưởng đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn thời gian quy định 2 ngày. Hỏi theo kế hoạch, mỗi ngày phân xưởng phải sản xuất bao nhiêu sản phẩm? Hướng Dẫn : Gọi x là sản phẩm xưởng sản xuất trong 1 ngày theo kế hoạch (x > 0) 1100 =>Số ngày theo kế hoạch là: x 1100 Số ngày thực tế là Theo giả thiết của bài toán ta có : x + 5 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 52
53. ÔN THI VÀO 10 - NĂM 2019 facebook: tailieutoan9999@gmail.com 1100 - 1100 =2 x x + 5 1100(x+5)-1100x=2x(x+5) 2x2+10x-5500=0 x=50 hay x=-55(loại) Vậy theo kế hoạch mỗi ngày phân xưởng phải sản xuất là 50 sản phẩm. Bài 36 : Một đội xe nhận vận chuyển 72 tấn hàng nhưng khi sắp khởi hành thì có 3 xe bị hỏng, do đó mỗi xe phải chở nhiều hơn 2 tấn so với dự định. Hỏi lúc đầu đội xe có bao nhiêu chiếc, biết khối lượng hàng mỗi xe phải chở là như nhau. Hướng Dẫn : Gọi số xe lúc đầu của đoàn xe là x chiếc (x > 3, x nguyên dương) Số hàng mỗi xe phải chở theo dự định là 72 (tấn) x Số xe thực tế chở hàng là: x – 3 (chiếc) Số hàng mỗi xe thực tế phải chở là: ( +2) (tấn) Theo bài ra ta có pt: 72 (x3)(2)72−+= x = −+=(3)(722)72xxx x2 – 3x – 108 = 0 x = – 9 hoặc x = 12 . Đối chiếu đk, ta có : x = 12. Vậy đoàn xe lúc đầu có 12 chiếc. Bài 37 : Một đội xe phải chuyên chờ 36 tấn hàng. Trước khi làm việc, đội xe đó được bổ sung thêm 3 xe nữa nên mỗi xe chở ít hơn 1 tấn so với dự định. Hỏi đội xe lúc đầu có bao nhiêu xe? Biết rằng số hàng chở trên tất cả các xe có khối lượng bằng nhau Hướng Dẫn : Gọi số xe của đội lúc đầu là x (xe), (x > 0) Sau khi bổ sung thêm 3 xe thì số xe của đội là: x + 3 (xe) 36 Theo dự định thì mỗi xe phải chở số tấn hàng là: (tấn) x 36 Thực tế mỗi xe phải chở số tấn hàng là: (tấn) x + 3 Theo bài ra ta có phương trình: - =1 36(x+3)-36x=x(x+3) 36x+108-36x-x2-3x=0 x2+3x-108=0 Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 53
54. ÔN THI VÀO 10 - NĂM 2019 facebook: tailieutoan9999@gmail.com =−−= 34.(108)44102 −−3441 x ==− 12 = 2 −+3441 xTM==9() 2 Vậy số xe lúc đầu của đội là 9 xe. Bài 38 : Một lâm trường dự định trồng 75 ha rừng trong một số tuần (mỗi tuần trồng được diện tích bằng nhau). Thực tế, mỗi tuần lâm trường trồng vượt mức 5 ha so với dự định nên cuối cùng đã trồng được 80 ha và hoàn thành sớm hơn dự định một tuần. Hỏi mỗi tuần lâm trường dự định trồng bao nhiêu ha rừng? Hướng Dẫn : Gọi diện tích rừng mà mỗi tuần lâm trường dự định trồng là x (ha). (Điều kiện: x > 0) Theo dự định, thời gian trồng hết 75 ha rừng là: 75 (tuần) x Vì mỗi tuần lâm trường trồng vượt mức 5 ha so với dự định nên thực tế mỗi tuần lâm trường trồng được x + 5 (ha) Do đó thời gian thực tế lâm trường trồng hết 80 ha rừng là 80 (tuần) x + 5 Vì thực tế, lâm trường trồng xong sớm so với dự định là 1 tuần nên ta có phương trình: - =1 Giải ra ta được: x = 15 (thỏa mãn điều kiện); x = -20 (loại) Vậy mỗi tuần lâm trường dự định trồng 15 ha rừng. Bài 39 : Có hai can đựng dầu, can thứ nhất đang chứa 38 lít và can thứ hai đang chứa 22 lít. Nếu rót từ can thứ nhất sang cho đầy can thứ hai thì lượng dầu trong can thứ nhất chỉ còn lại một nửa thể tích của nó. Nếu rót từ can thứ hai sang cho đầy can thứ nhất thì lượng dầu trong can thứ hai chỉ còn lại một phần ba thể tích của nó. Tính thể tích của mỗi can. Hướng Dẫn : Gọi thể tích của can thứ nhất và can thứ hai lần lượt là x và y (lít) (x > 38, y > 22) Rót từ can 1 sang cho đầy can 2, thì lượng rót là y – 22 (lít), nên can 1 còn 38 – (y – 22) = 60 – y (lít), bằng 1 nửa thể tích can 1 do đó x = 2(60 – y) ⇔ x + 2y = 120 (1) Rót từ can 2 sang cho đầy can 1, thì lượng rót là x – 38 (lít), nên can 2 còn 22 – (x – 38) = 60 – x (lít), bằng một phần ba thể tích can 2 do đó y = 3(60 – x) ⇔ 3x + y = 180 (2) Từ (1) và (2), giải hệ ta có x = 48; y = 36 (tm) Vậy thể tích của can thứ nhất và can thứ hai lần lượt là 48 lít và 36 lít Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 54
55. ÔN THI VÀO 10 - NĂM 2019 facebook: tailieutoan9999@gmail.com Bài 40 : Một công ty vận tải dự định điều một số xe tải để vận chuyển 24 tấn hàng. Thực tế khi đến nơi thì công ty bổ sung thên 2 xe nữa nên mỗi xe chở ít đi 2 tấn so với dự định. Hỏi số xe dự định được điều động là bao nhiêu? Biết số lượng hàng chở ở mỗi xe như nhau và mỗi xe chở một lượt. Hướng Dẫn : 24 Gọi số xe ban đầu là x (xe) nên số hàng thực tế mỗi xe chở là (tấn) x 24 Số xe thực tế là x + 2 (xe) nên số hàng thực tế mỗi xe chở là (tấn) x + 2 Theo bài ra ta có phương trình: 2424 −=2 xx+ 2 1212 = −= 1 xx+ 2 = +−=+12(2)12(2)xxxx = +−=x22402 x =−−='11.(24)252 Từ đó ta tìm được x1 = 4 ( thỏa mãn điều kiện) và x2 = - 6 (loại). Vậy số xe ban đầu là 4 xe. Bài 41 : Một tổ công nhân phải may xong 420 bộ đồng phục trong khoảng thời gian nhất định. Nếu thêm 3 công nhân vào tổ thì mỗi người sẽ may ít hơn lúc ban đầu là 7 bộ đồng phục. Tính số công nhân có trong tổ lúc đầu. Hướng Dẫn : Gọi số công nhân của tổ lúc đầu là x (công nhân) (x >0, x nguyên) thì số công nhân của tổ lúc sau là x + 3 (công nhân) 420 Suy ra số bộ đồng phục mỗi người phải may lúc đầu là (bộ) x 420 Suy ra số bộ đồng phục mỗi người phải may lúc sau là (bộ) x + 3 Theo đề bài ta có = +7 x2+3x-180=0 0,25 x=12( TM )  0,25 x =−15(L) Vậy số công nhân của tổ lúc đầu là 12 người Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 55
56. ÔN THI VÀO 10 - NĂM 2019 facebook: tailieutoan9999@gmail.com Bài 42 : Một phòng học có 10 băng ghế. Học sinh của lớp 9A được sắp xếp chỗ ngồi đều nhau trên mỗi băng ghế. Nếu bớt đi 2 băng ghế, thì mỗi băng ghế phải bố trí thêm một học sinh ngồi nữa mới đảm bảo chỗ ngồi cho tất cả học sinh của lớp. Hỏi lớp 9A có bao nhiêu học sinh. Hướng Dẫn : Gọi số học sinh lớp 9A là x (học sinh) (x ∈ N*) Nếu có 10 băng ghế thì mỗi băng có số học sinh là x (học sinh) 10 Nếu bớt đi 2 băng ghế, còn 8 băng thì mỗi băng có số học sinh là x (học sinh) 8 Theo bài ra ta có phương trình: xx 11 −= = −=1()1 x 810810 1 1 = = x 40 40() = =xTM Vậy lớp 9A có 40 học sinh. Bài 43 : Một tổ công nhân dự định làm xong 240 sản phẩm trong một thời gian nhất định. Nhưng khi thực hiện, nhờ cải tiến kĩ thuật nên mỗi ngày tổ đã làm tăng thêm 10 sản phẩm so với dự định. Do đó tổ đã hoàn thành công việc sớm hơn dự định 2 ngày. Hỏi khi thực hiện, mỗi ngày tổ đã làm được bao nhiêu sản phẩm? Hướng Dẫn : Gọi số sản phẩm tổ đã thực hiện trong mỗi ngày là x (sản phẩm). ĐK: x>10; x Z Do đó: Số sản phẩm tổ dự định làm trong mỗi ngày là: x −10 (sản phẩm). Thời gian tổ hoàn thành công việc trong thực tế là: 240 (ngày) x 240 Thời gian tổ hoàn thành công việc theo dự định là: ngày x −10 Vì tổ đã hoàn thành công việc sớm hơn dự định 2 ngày, do đó ta có phương trình: 240 240 −=2 xx−10 120 120 = − =1 xx−10 2 = 120x − 120 x + 1200 = x − 10 x = xx2 −10 − 1200 = 0 x= 40( TM ) = xL=−30( ) Vậy số sản phẩm tổ đã thực hiện trong mỗi ngày là 40 sản phẩm. Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 56
57. ÔN THI VÀO 10 - NĂM 2019 facebook: tailieutoan9999@gmail.com Bài 44 : Để chuẩn bị cho một chuyến đi đánh bắt cá ở Hoàng Sa, hai ngư dân đảo Lý Sơn cần chuyển một số lương thực, thực phẩm lên tàu. Nếu người thứ nhất chuyển xong một nửa số lương thực, thực phẩm; sau đó người thứ hai chuyển hết số còn lại lên tàu thì thời gian người thứ hai hoàn thành lâu hơn người thứ nhất là 3 giờ. Nếu cả hai cùng làm chung thì thời gian chuyển hết số lương thực, thực phẩm lên tàu là 20 giờ. Hỏi nếu làm riêng một 7 mình thì mỗi người chuyển hết số lương thực, thực phẩm đó lên tàu trong thời gian bao lâu? Hướng Dẫn : Gọi x (giờ) là thời gian người thứ I một mình làm xong cả công việc. và y (giờ) là thời gian người thứ II một mình làm xong cả công việc. (Với x, y > 20 ) 7 117 += 117 xy20 += (1) Ta có hệ phương trình: = xy20 yx −=3 yx−=6(2) 22 1 1 7 Từ (1) và (2) ta có phương trình: += xx+ 6 20 30 Giải phương trình được x1 = 4, x2 = − 7 Chọn x = 4. Vậy thời gian một mình làm xong cả công việc của người thứ I là 4 giờ, của người thứ II là 10 giờ. Bài 45 : Hai đội công nhân cùng làm chung trong 4 giờ thì xong một con đường. Nếu mỗi đội làm riêng để xong con đường thì thời gian đội thứ nhất ít hơn đội thứ hai là 6 giờ. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi đội làm xong con đường trong thời gian bao lâu? Hướng Dẫn : Gọi đội thứ nhất làm 1 mình xong công việc trong x (giờ) Đội thứ hai làm 1 mình xong công việc y (giờ) ( x;y>4) 1 1 giờ đội thứ nhất làm được (công việc) x 1 giờ đội thứ hai làm được 1 (công việc) y 11 1 giờ cả 2 đội làm được + (công việc) xy 1 1 1 Ta có +=(1) xy4 Theo đề ra ta có : x+6=y(2) Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 57
58. ÔN THI VÀO 10 - NĂM 2019 facebook: tailieutoan9999@gmail.com 1 1 1 +=( 1 ) Từ (1) và (2) ta có : xy4 x 6+= y (2) Thay (2) vào (1) ta có : 111 += xx+ 64 = ++=+4(6)2x xx(x6) = ++=+4 x242 xx6 2 x = −−=xx2 2240 =+='12425 xL=−=−154() = xTM=+=156() = =+=y 6612. Vậy đội 1 làm trong 6 giờ, đội 2 làm trong 12 giờ. Bài 46 : Hai người thợ cùng làm một công việc trong 6 giờ thì xong. Nếu người thứ nhất làm 3 giờ và người thứ hai làm 6 giờ thì họ làm được một phần tư công việc. Hỏi mỗi người thợ làm một mình thì trong bao nhiêu giờ mới xong công việc đó. Hướng Dẫn : Gọi thời gian người thợ thứ nhất làm một mình xong việc là x(giờ) (x>16) thời gian người thợ thứ hai làm một mình xong việc là y(giờ) (y>16) Suy ra trong thời gian 1 giờ người thợ thứ nhất làm được 1/x công việc. Trong thời gian 3giờ người thợ thứ nhất làm được 3/x công việc trong thời gian 1 giờ người thợ thứ hai làm được 1/y công việc. Trong thời gian 6 giờ người thợ thứ hai làm được 6/y công việc 111 Hai người cùng làm trong 16 giờ thì xong việc, có phương trình: += xy16 Người thứ nhất làm 3 giờ và người thứ hai làm 6 giờ thì được một phần tư công việc, ta có 361 phương trình: += xy4 3 6 1 += xy4 x = 24 Từ đó ta có hệ phương trình 1 1 1  += y = 48 xy16 Kết luận: thời gian người thợ thứ nhất làm một mình xong việc là 24 (giờ) thời gian người thợ thứ hai làm một mình xong việc là 48 giờ Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 58
59. ÔN THI VÀO 10 - NĂM 2019 facebook: tailieutoan9999@gmail.com Bài 47 : Một phòng họp có 360 ghế được xếp thành từng hàng và mỗi hàng có số ghế ngồi Một phòng họp có 360 ghế được xếp thành từng hàng và mỗi hàng có số ghế ngồi thêm một ghế mới đủ chỗ. Tính xem lúc đầu phòng họp có bao nhiêu hàng ghế và mỗi hàng có bao nhiêu ghế? (Biết rằng mỗi hàng ghế không có nhiều hơn 20 ghế) Hướng Dẫn : Gọi số hàng ghế là x ( x ∈ ℕ*, x < 360) Gọi số ghế trên mỗi hàng ban đầu là y ( y ∈ ℕ*, y ≤ 20) Vì 360 ghế được xếp thành x hàng và mỗi hàng có y ghế nên ta có phương trình: xy=360(1) Phải kê thêm một hàng ghế nên số hàng ghế sau đó là x + 1 (hàng) Mỗi hàng ghế phải kê thêm một ghế nên số ghế mỗi hàng sau đó là y + 1 (ghế) Vì 400 người ngồi đủ x + 1 hàng , mỗi hàng y + 1 ghế nên ta có phương trình: (x+1)(y+1)=400(2) Từ (1), (2) ta có hệ phương trình: xyxy==360260 = (1)(1)4001400xyxyxy++=+++= xyx+== yTM39( ;)(24;15)() = = xyx== y360( ;)(15;24)(L) Vậy có 15 hàng, mỗi hàng 24 ghế. Bài 48 : Lớp 9A dự định trồng 420 cây xanh. Đến ngày thực hiện có 7 bạn không tham gia do được triệu tập học bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi của nhà trường nên mỗi bạn còn lại phải trồng thêm 3 cây mới đảm bảo kế hoạch đặt ra. Hỏi lớp 9A có bao nhiêu học sinh. Hướng Dẫn : Gọi số học sinh lớp 9A là x ( x Z + , x 7). 420 Theo kế hoạch, mỗi em phải trồng (cây) x Trên thực tế số học sinh còn lại là : x − 7 . 420 Trên thực tế, mỗi em phải trồng (cây) x − 7 Do lượng cây mỗi em trồng trên thực tế hơn 3 cây so với kế hoạch nên ta có phương trình : 420 420 − =3(x 7) xx− 7 = 420x − 420( x − 7) = 3 x ( x − 7) = 3xx2 − 21 − 2940 = 0 = xx2 −7 − 980 = 0 = (xx − 35)( + 28) = 0 x= 35( TM ) = xL=−28( ) Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 59
60. ÔN THI VÀO 10 - NĂM 2019 facebook: tailieutoan9999@gmail.com Vậy lớp 9A có 35 học sinh. Bài 49 : Một đoàn xe vận tải nhận chuyên chở 30 tấn hàng. Khi sắp khởi hành thì được bổ sung thêm 2 xe nên mỗi xe chở t hơn 0,5 tấn hàng. Hỏi lúc đầu đoàn xe có bao nhiêu chiếc xe? Hướng Dẫn : Gọi số xe trong đoàn xe lúc đầu là x (chiếc ( x Z+) . Số xe trong đoàn xe khi bổ sung thêm là x+ 2 (chiếc) . Lúc đầu, lượng hàng mỗi xe phải chở là 30 (tấn) x Lúc thêm 2 xe, lượng hàng mỗi xe phải chở là 30 (tấn) x + 2 1 Do bổ sung thêm 2 xe thì mỗi xe chở ít hơn 0 ,5 = tấn hàng nên ta có phương trình : 2 30301 −= (xZ ) + xx+ 22 = +−=+60(2)60(2)xxx x = +−=xx2 21200 '11.( =−−= 2 120)1210 ='11 xTMxL11= −11110();11112( +== − −= − ) Vậy lúc đầu đoàn xe có 10 chiếc. Bài 50 : Một đội xe cần chở 36 tấn hàng. Trước khi làm việc, đội được bổ sung thêm 3 chiếc nữa nên mỗi xe chở ít hơn 1 tấn hàng so với dự định. Hỏi lúc đầu đội có bao nhiêu xe, biết khối lượng hàng chở trên mỗi xe như nhau. Hướng Dẫn : Gọi x (chiếc) là số xe ban đầu của đội (ĐK: x nguyên dương) Số xe lúc sau: x + 3 (chiếc) 36 Số tấn hàng được chở trên mỗi xe lúc đầu: (tấn) x 36 Số tấn hàng được chở trên mỗi xe lúc sau: (tấn) x + 3 Theo đề bài ta có phương trình: Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 60
61. ÔN THI VÀO 10 - NĂM 2019 facebook: tailieutoan9999@gmail.com 3636 −=1 xx+ 3 36(3)36(3)xxxx++ = −= xxxxxx(3)(3)(3)+++ = +−=+36108363xxxx 2 = +−=xx2 31080 xTM= 9() = xL=−12() Vậy: lúc đầu đội có 9 chiếc xe. Bài 51 : Hưởng ứng phong trào “Vì biển đảo Trường Sa” một đội tàu dự định chở 280 tấn hàng ra đảo. Nhưng khi chuẩn bị khởi hành thì số hàng hóa đã tăng thêm 6 tấn so với dự định. Vì vậy đội tàu phải bổ sung thêm 1 tàu và mối tàu chở thêm hơn dự định 2 tấn hang. Hỏi khi dự định đội tàu có bao nhiêu chiếc tàu, biết các tàu chở số tấn hàng bằng nhau. Hướng Dẫn : Gọi x (chiếc) là số tàu dự định của đội( x N*, x<140) Số tàu tham gia vận chuyển là x+1 (chiếc) Số tấn hàng trên mỗi chiếc theo dự định: 280 (tấn) x 280 Số tấn hàng trên mỗi chiếc theo thực tế : (tấn) x +1 280280 Theo đề bài ta có pt: −=2 xx+1 280(x+1)-286x=2x(x+1) = xx2 +4 − 140 = 0 x =10 = xl=−14( ) Vậy đội tàu lúc đầu là có 10 chiếc Bài 52: Nhân ngày quốc tế thiếu nhi, 13 HS ( nam và nữ) tham gia gói 80 phần quà cho các em thiếu nhi. Biết tổng số quà mà HS nam gói được bằng tổng số quà mà HS nữ gói được. Số quà mỗi bạn nam gói nhiều hơn số quà mà mỗi bạn nữ gói là 3 phần. Tính số HS nam và nữ. Hướng Dẫn : Gọi x (HS) là số HS nam. ĐK: 0<x<13, x nguyên. Số HS nữ là: 13 – x ( HS) 40 Số phần quà mà mỗi HS Nam gói được: (phần) x Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 61
62. ÔN THI VÀO 10 - NĂM 2019 facebook: tailieutoan9999@gmail.com 40 Số phần quà mà mỗi HS nữ gói được: (phần) 13− x Theo bài toán ta có phương trình: 4040 −=3 xx13− = −−=−40(13)403(13)xxxx = −+=31195200xx2 Giải phương trình ta được x = 5. Vậy số HS nam là 5, số HS nữ là 8. Bài 53 : Hai công nhân cùng làm chung một công việc trong 6 giờ thì xong. Nếu người thứ nhất làm trong 3 giờ 20 phút và người thứ hai làm trong 10 giờ thì xong công việc. Tính thời gian mỗi công nhân khi làm riêng xong công việc. Hướng Dẫn : Gọi x (h) là thời gian người thứ nhất làm 1 mình xong công việc ( x > 6) . Thì trong 1h người thứ nhất làm được 1/x (cv) y (h) là thời gian người thứ hai làm 1 mình xong công việc ( y > 6) Trong 1h người thứ hai làm được 1/y (cv) 10 1 Trong 3h20' người thứ nhất làm được . (công việc) trong 10h người thứ hai làm 3 x 1 được 10. (công việc) y Ta có hệ phương trình 111 111 111 111 + = = − = − = − x y6 x 6 y x 6 y x 6 y = = = 101 1 101 1 1011 1 2014 .+ 10. = 1 . + 10. = 1 .( − ) + 10. = 1 . = 3x y 3 x y 3 6 y y 3 y 9 1 1 1 11 =− = xy6 x 10 x =10 = = = ()TM 1 111 y = 15 = = y 15 y 15 Bài 54 : ) Một đoàn xe vận tải nhận chuyên chở 120 tấn hàng. Hôm làm việc do có 5 xe được điều đi làm nhiệm vụ khác nên mỗi xe còn lại phải chở thêm 0,8 tấn hàng so với dự định ban đầu. Biết khối lượng hang mỗi xe chuyên chở như nhau, hỏi đoàn xe ban đầu có bao nhiêu chiếc? Hướng Dẫn : Gọi số chiếc xe ban đầu của đoàn xe vận tải là x (chiếc) (x > 5, x ∈ N) Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 62
63. ÔN THI VÀO 10 - NĂM 2019 facebook: tailieutoan9999@gmail.com Số chiếc xe thực tế của đòan xe vận tải là x – 5 (chiếc) Khối lượng hàng mỗi xe phải chở ban đầu là 120 tấn x Khối lượng hàng mỗi xe phải chở thực tế là 120 tấn x − 5 Theo giả thiết ta có phương trình 1204120 −= xx− 55 = −−=42030000xx2 x = 30 = x =−25 Kết hợp với điều kiện, ta được số chiếc xe ban đầu của đoàn xe vận tải là 30 chiếc. Bài 55 : Một tổ công nhân dự định làm xong 240 sản phẩm trong một thời gian nhất định. Nhưng khi thực hiện, nhờ cải tiến kĩ thuật nên mỗi ngày tổ đã làm tăng thêm 10 sản phẩm so với dự định. Do đó tổ đã hoàn thành công việc sớm hơn dự định 2 ngày. Hỏi khi thực hiện, mỗi ngày tổ đã làm được bao nhiêu sản phẩm? Hướng Dẫn : Gọi số sản phẩm tổ đã thực hiện trong mỗi ngày là x (sản phẩm). ĐK: xxZ 10; Do đó: Số sản phẩm tổ dự định làm trong mỗi ngày là: x −10 (sản phẩm). 240 Thời gian tổ hoàn thành công việc trong thực tế là: (ngày). x 240 Thời gian tổ hoàn thành công việc theo dự định là: (ngày). x −10 Vì tổ đã hoàn thành công việc sớm hơn dự định 2 ngày, do đó ta có phương trình: 240240 −=2 xx−10 Giải pt: 240 240 120 120 −= 2 −= 1 120x −+ 120 x 1200 =− −− x22 10 x x 10 x 1200 = 0 x−−10 x x 10 x ' = 25 + 1200 = 1225 0 ' = 1224 = 35 PT có 2 nghiệm phân biệt: x1 =5 + 35 = 40 (nhận) Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 63
64. ÔN THI VÀO 10 - NĂM 2019 facebook: tailieutoan9999@gmail.com x2 = −5 = 3 − 5 3 0 (loại) Vậy số sản phẩm tổ đã thực hiện trong mỗi ngày là 40 sản phẩm. Dạng 4: Toán chuyển động Phương pháp chung Bước 1: Kẻ bảng nếu được, gọi ẩn, kèm theo đơn vị và điều kiện cho ẩn. Bước 2: Giải thích từng ô trong bảng, lập luận để thiết lập phương trình bậc hai. Bước 3: Giải phương trình, đối chiếu điều kiện và trả lời bài toán. Dạng 4.1: Chuyển động trên bộ (giải bằng cách lập hệ phương trình) Ghi nhớ công thức: Quãng đường = Vận tốc x thời gian Các bước giải Bước 1 Kẻ bảng gồm vận tốc, thời gian, quãng đường và điền các thông tin vào bảng đó rồi gọi các ẩn, kèm theo đơn vị và điều kiện cho các ẩn. Bước 2 Giải thích từng ô trong bảng, lập luận để thiết lập hệ phương trình. Bước 3 Giải hệ phương trình, đối chiếu nghiệm với điều kiện, rồi trả lời bài toán. Ví dụ 1: Một xe máy đi A từ đến B trong thời gian dự định. Nếu vận tốc tăng thêm 20km / h thì đến B sớm 1 giờ so với dự định, nếu vận tốc giảm đi 10km / h thì đến B muộn 1 giờ so với dự định. Tính quãng đường AB . Hướng Dẫn: Vận tốc Thời gian Quãng đường Dự định x y xy Trường hợp 1 x + 20 y -1 (x + 20)(y – 1) Trường hợp 2 x - 10 y + 1 (x – 10)(y + 1) Gọi vận tốc và thời gian dự định lần lượt là x (km/h) và y (giờ). Điều kiện: x > 10, y > 1 Quãng đường AB là xy (km) Trong trường hợp 1: Vận tốc là x + 20 (km/h) Thời gian là y – 1 (giờ) Suy ra quãng đường AB là : (x + 20)(y – 1) (km) Do quãng đường không đổi nên ta có phương trình: Chúc các em chăm ngoan – học giỏi !! Trang 64