Tổng hợp 13 Đề thi Toán vào 10 Long An (Kèm đáp án)

Nội dung text: Tổng hợp 13 Đề thi Toán vào 10 Long An (Kèm đáp án)

1. Tổng hợp 13 Đề thi Toán vào 10 Long An (Kèm đáp án) - DeThi.edu.vn HƯỚNG DẪN CHẤM Câu 1 (2 điểm). Cách giải: a. Tính giá trị biểu thức = 2 2 + 18 ― 32. Ta có: = 2 2 + 18 ― 32 = 2 2 + 2 ⋅ 32 ― 42 ⋅ 2 = 2 2 +3 2 ―4 2 = 2. b. Rút gọn biểu thức = 3 + 1 ⋅ ― 1 với ≥ 0, ≠ 1. 3 1 ĐKXĐ: ≥ 0, ≠ 1 + 3 ― = + 1 ⋅ ― 1 + 3 ― 1 ( + 3) ( ― 1) = + 1 ⋅ ― 1 + 3 ― 1 = ( + 1) ⋅ ( ― 1) = ― 1 Vậy = ―1 c. Giải phương trình 2 ― 6 + 9 = 1. 2 2 ― 3 = 1 = 4 Ta có: ― 6 + 9 = 1⇔ ( ― 3) = 1⇔| ―3| = 1⇔ ― 3 = ―1⇔ = 2 Vậy ∈ {2;4}. Câu 2 (1,5 điểm). Cách giải: a. Giải phuơng trình 2 ―7 +10 = 0. (Không giải trực tiếp bằng máy tính) 7 9 1 = = 2 Ta có: Δ = ( ― 7)2 ―4.10 = 9 > 0⇒ Phương trình có hai nghiệm phân biệt 2 . = 7 9 = 5 2 2 2 + = 1 b. Giải hệ phương trình ― = 5 (Không giải trực tiếp bằng máy tính) 2 + = 1 3 = 6 = 2 = 2 ― = 5 ⇔ ― = 5⇔ ― = 5⇔ = ―3 Vậy hệ phương trình có nghiệm ( ; ) = (2; ― 3). c. Ta có: Δ = ( ― 3)2 ―4 ⋅ ( ―1) = 13 ― 4 13 Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thị . 1, 2 Δ > 0⇔13 ― 4 > 0⇔ < 4 1 + 2 = ― = 3 Áp dụng định lí Vi - et ta có: = = ― 1 1 2 1 + 2 + 2 1 2 = 5 ⇔3 + 2( ― 1) = 5 ⇔ = 2(푡 ) Vậy với = 2 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt 1, 2 thoả mãn 1 + 2 +2 1 2 = 5. Câu 3 (0,5 điểm). DeThi.edu.vn
2. Tổng hợp 13 Đề thi Toán vào 10 Long An (Kèm đáp án) - DeThi.edu.vn Cách giải: Gọi , ( , > 0) lần lượt là giá 1 quả trứng gà, trứng vịt. 5 quả trứng gà và 5 quả trứng vịt hết 27500:5 +5 = 27500 3 quả trứung gả và 7 quả trứng vịt chỉ hết 26500 đồng: 3 +7 = 26500 5 + 5 = 27500 Ta có hệ phương trình: 3 + 7 = 26500 = 3000 ⇔ = 2500(tm) Vậy giá quả trứng gà là: 3000 đồng, trứng vịt: 2000 đồng. Câu 4 (1 điểm). Cách giải: a. Vẽ parabol (P): = 2 trên mặt phẳng tọa độ Oxy. Ta có bảng giá trị sau: -2 -1 0 1 2 = 2 4 1 0 1 4 ⇒ Đồ thị hàm số là đường cong parabol đi qua các điểm (0;0); ( ― 2;4); ( ― 1;1); (1;1); (2;4) Hệ số = 1 > 0 nên parabol có bề cong hướng lên. Đồ thị hàm số nhận Oy làm trục đối xứng. Ta vẽ được đồ thị hàm số = 2 như sau: b. Xét phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d), ta có: 2 = ― + 2 ⇔ 2 + ― 2 = 0 ⇔ 2 ― + 2 ― 2 = 0 ⇔ ( ― 1) + 2( ― 1) = 0 ⇔( + 2)( ― 1) = 0 = ―2 = 4 ⇔ = 1 ⇒ = 1 Vây tọa độ giao điểm của (P) và (d) là ( ― 2;4) và (1;1). Câu 5 (1,5 điểm) Cách giải: a. Ta có = + = 3,6 + 6,4 = 10cm Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có: 2 = . = 3,6 ⋅ 6,4 = 23,04⇒ = 4,8cm 2 = . = 6,4 ⋅ 10 = 64⇒ = 8cm DeThi.edu.vn
3. Tổng hợp 13 Đề thi Toán vào 10 Long An (Kèm đáp án) - DeThi.edu.vn Vậy = 10cm; = 4,8cm; = 8cm b. Đặt các điểm A,B,C ở vị trí như hình vẽ ta được tam giác ABC vuông tại A,∠ = 30∘ ⇒ = .푡an 30∘ = 8,5 ⋅ tan 30∘ = 4,9 Vậy chiều cao của đoạn tre từ gốc đến vị trí gãy là 4.9 m. Câu 6 (2,5 điểm). Cách giải: a. Do DA, DC là tiếp tuyến nên ∠ = ∠ = 90∘ Xét tứ giác OADC có ∠ +∠ = 90∘ + 90∘ = 180∘ Mà hai góc này ở vị trí đối diện nên tứ giác OADC nội tiếp (dhnb) b. Ta có = (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau), = = 푅 ⇒ là trung trực của AC ⇒ ⊥ tại E là trung điểm của AC ⇒ △ vuông tại C, đường cao CE có 2 = (hệ thức lượng) △ 퐹 vuông tại C, đường cao CH nên 2 = . 퐹 ⇒ ⋅ = ⋅ 퐹 c. Gọi N là giao điểm của AC và BD 1 Ta có sd ∠퐹 = ∠ = 2 ∠ = ∠ (cùng phụ với ∠ ) ⇒∠퐹 = ∠ ⇒ là phân giác trong của góc FCH Mà ⊥ ⇒ là phân giác ngoài của góc FCH Suy ra CN và CB lần lượt là phân giác trong và phân giác ngoài của DCM ⇒ = = Mà và (talet) = = DeThi.edu.vn
4. Tổng hợp 13 Đề thi Toán vào 10 Long An (Kèm đáp án) - DeThi.edu.vn ⇒ = ⇒ = ⇒ là trung điểm của CH Mà E, T lần lượt là trung điểm của AC,BC ⇒ ‖ , ‖ (đường trung bình) ⇒ , , thẳng hàng Câu 7 (1 điểm). Cách giải: Τa có: 2024 ⋅ (1 + 2004) + (1 + 2004) 2 ― 2 + 2026 = 1 + 2024 = 2024 + 2 ― 2 + 2026 = 2024 + ( ― 1)2 + 2025 ≥ 2024 + 2025 = 2069 (Do ( ―1)2 ≥ 0∀ ) Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi = 1 Vậy giá trị nhỏ nhất của T là 2069 tại = 1 DeThi.edu.vn
5. Tổng hợp 13 Đề thi Toán vào 10 Long An (Kèm đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 3 KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LONG AN NĂM HỌC 2023-2024 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) Câu 1. (2,0 điểm) a. Tính giá trị biểu thức = 50 + 32 ―3 18. b. Rút gọn biểu thức = 2 + ― 2 : với > 0. c. Giải phương trình 2 ― 2 + 1 = 3. Câu 2. (1,5 điểm) a. Giải phương trình 3 2 ―7 +4 = 0. 3 + = 9 b. Giải hệ phương trình 2 ― = 1. c. Cho phương trình 2 ―2 + +3 = 0 ( là ẩn số, là tham số). Với giá trị nào của thì phương 2 2 trình có hai nghiệm phân biệt 1, 2 thỏa mãn 1 2 + 1 ⋅ 2 = ―4. Câu 3. (1,5 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ cho parabol (푃): = 2 2 và đường thẳng ( ): = ―2 +4. a. Vẽ parabol (푃) và đường thẳng ( ) trên cùng mặt phẳng tọa độ. b. Tìm tọa độ giao điểm của (푃) và ( ) bằng phép tính. Câu 4. (1,5 điểm). a. Cho tam giác vuông tại , đường cao . Biết = 3cm, = 4cm. Tính độ dài đoạn thẳng , và số đo góc (kết quả làm tròn đến độ). b. Để xác định chiều cao của một tòa tháp cao tầng (hình vẽ bên), một người đứng tại điểm cách chân tháp một khoảng = 60m, sử dụng giác kế nhìn thấy đỉnh tòa tháp với góc = 60∘. Hãy tính chiều cao của tòa tháp. Biết rằng khoảng cách từ mặt đất đến ống ngắm của giác kế là = 1m, (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị). Câu 5. (2,5 điểm) Cho tam giác có ba góc nhọn. Hai đường cao của tam giác là , cắt nhau tại . a. Chứng minh tứ giác CDHE nội tiếp đường tròn. b. Chứng minh . = . . c. Gọi điểm là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác . Chứng minh là tiếp tuyến của đường tròn đường kính . Câu 6. (1,0 điểm) Cho các số thực , thỏa mãn + +2 = 0. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức = 3 2 + 2 + 10 . DeThi.edu.vn
6. Tổng hợp 13 Đề thi Toán vào 10 Long An (Kèm đáp án) - DeThi.edu.vn HƯỚNG DẪN CHẤM Câu 1. (2,0 điểm) a. Tính giá trị biểu thức = 50 + 32 ―3 18. Ta có = 50 + 32 ― 3 18 = 25.2 + 16.2 ― 3 9.2 = 5 2 + 4 2 ― 9 2 = 0 Vậy A = 0 b. Rút gọn biểu thức = 2 + ― 2 : với > 0. Ta có = 2 + ― 2 : ( + 2) = + ― 2 : 1 = ( + 2 + ― 2) ⋅ 1 = 2 ⋅ = 2 Vậy B = 2 với > 0 c. Giải phương trình 2 ― 2 + 1 = 3. ĐKXĐ: Với mọi giá trị của x Phương trình 2 ― 2 + 1 = 3 ⇔ ( ― 1)2 = 3 ⇔| ― 1| = 3 ― 1 = 3 = 4 ⇔ ― 1 = ―3⇔ = ―2( ) Vậy tập nghiệm của phương trình là 푆 = { ― 2,4} Câu 2. (1,5 điểm) Cách giải: a. Giải phương trình 3 2 ―7 +4 = 0. Xét Phương trình 3 2 ―7 +4 = 0 có + + = 3 ― 7 + 4 = 0 nên phương trình có hai nghiệm phân = 1 biệt 1 . 2 = 4 = 1 Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt 1 . 2 = 4 3 + = 9 b. Giải hệ phurong trình 2 ― = 1. Cộng vế với vế, ta có 3 + = 9 5 = 10 = 2 = 2 2 ― = 1⇔ = 2 ― 1⇔ = 2.2 ― 1⇔ = 3. DeThi.edu.vn
7. Tổng hợp 13 Đề thi Toán vào 10 Long An (Kèm đáp án) - DeThi.edu.vn Vậy hệ phương trình có nghiệm ( ; ) = (2;3). c. Cho phương trình 풙 ― 풙 + + = (x là ẩn số, là tham số). Với giá trị nào của thì phuơng trình có hai nghiệm phân biệt 풙 ,풙 thõa mãn 풙 ⋅ 풙 + 풙 ⋅ 풙 = ―ퟒ. Xét phương trình 2 ―2 + +3 = 0 có Δ′ = ( ― 1)2 ―1.( +3) = 1 ― ―3 = ― ―2 Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì Δ′ > 0⇔ ― ―2 > 0⇔ < ―2. 1 + 2 = = 2 Gọi , là hai nghiệm cùa phương trình, áp dụng định lí Vi - ét ta có: (1) 1 2 ⋅ = = + 3 1 2 2 2 Khi đó để 1 ⋅ 2 + 1 ⋅ 2 = ―4⇔ 1 ⋅ 2( 1 + 2) = ―4 (2) Thay (1) vào (2) ta có: (2)⇔( + 3)2 = ―4 ⇔ + 3 = ―2 ⇔ = ―5(tm) 2 2 Vậy với = ―5 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt 1, 2 thỏa mãn 1 ⋅ 2 + 1 ⋅ 2 = ―4. Câu 3. (1,5 điểm) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho parabol (푃): = 2 2 và đường thẳng ( ): = ―2 +4. a. Vẽ parabol (푃) và đường thẳng ( ) trên cùng măt phẳng tọa độ * Vẽ đường thẳng ( ) Với = 0⇒ = ―2.0 + 4 = 4 Với = 0⇒0 = ―2 +4⇔2 = 4⇔ = 2 ⇒ Đồ thị ( ): = ―2 +4 là đường thẳng đi qua 2 điểm (2;0) và (0;4) * Vẽ parabol (P) Ta có báng giá tri sau: -2 -1 0 1 2 = 2 2 8 2 0 2 8 ⇒ Đồ thị hàm số là đường cong parabol đi qua các điểm (0;0); ( ― 2;8); ( ― 1;2); (1;2); (2;8) Hệ số = 2 > 0 nên parabol có bề cong hướng lên. Đồ thị hàm số nhận Oy làm trục đối xứng. Ta vẽ được đồ thị hàm số = 2 2 như sau: b. Tìm tọa độ giao điểm cŭa (푷) và (풅) bằng phép tính. Xét phương trình hoành đô giao điểm của (푃) và ( ) ta được: DeThi.edu.vn
8. Tổng hợp 13 Đề thi Toán vào 10 Long An (Kèm đáp án) - DeThi.edu.vn 2 2 = ―2 + 4 ⇔ 2 = ― + 2 ⇔ 2 + ― 2 = 0 ⇔ 2 + 2 ― ― 2 = 0 ⇔ ( + 2) ― ( + 2) = 0 ⇔( ― 1)( + 2) = 0 ― 1 = 0 = 1 ⇔ + 2 = 0⇔ = ―2 Với = 1⇒ = 2.12 = 2 Với = ―2⇒ = 2.( ― 2)2 = 8 Vậy (푃) và (d) cắt nhau tại 2 giao điểm là: ( ― 2;8) và (1;2). Câu 4. (1,5 điểm). a. Do tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH nên áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông có: 2 32 9 2 = ⋅ ⇒ = = = cm 4 4 9 25 Suy ra = + = 4 +4 = 4 cm 25 ⇒ 2 = ⋅ = 4 ⋅ = 25⇒ = 5cm 4 3 ⇒sin = = ⇒∠ ≈ 36,87∘ 5 b. Do tam giác ABO vuông tại B, góc AOB = 60o nên = ⋅ tan ∠ = ⋅ tan 60∘ = 60 ⋅ tan 60∘ = 60 3m Lại có BD = CO = 1m ⇒ = + = 60 3 + 1 ≈ 105m Vậy tòa nhà cao khoàng 105 m Câu 5 (2,5 điểm) Cách giải: a) Chứng minh tứ giác CDHE nội tiếp dường tròn. Ta có: DeThi.edu.vn
9. Tổng hợp 13 Đề thi Toán vào 10 Long An (Kèm đáp án) - DeThi.edu.vn ∠ = 90∘(do ⊥ ) ∠ = 90∘(do ⊥ ) ⇒∠ + ∠ = 90∘ + 90∘ = 180∘ Mà 2 góc này ở vị trị đối nhau của tứ giác CDHE. ⇒CDHE là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180∘). (đpcm) b) Chứng minh HA.HD = HB.HE. Xét △ và △ có: ∠ = ∠ = 90∘(do ⊥ , ⊥ ) ∠ = ∠ (đối đỉnh) ⇒ △ ∼△ ( ⋅ ) ⇒ = (cặp cạnh tương ứng tỉ lệ) ⇒ ⋅ = ⋅ (đpcm) c) Xét tứ giác nội tiếp CDHE có: ∠ = 90∘( 푡) nên ∠ là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn. ⇒ là đường kính cùa đường tròn ngoại tiếp tứ giác CDHE. ⇒ là trung điểm của HC. Gọi O là trung điểm của AB⇒O là tâm đường tròn đường kính AB. Ta cần chứng minh ⊥ tại E. Vì tam giác AEB vuông tại E có EO là trung tuyến ứng với cạnh huyền AB nên 1 = = = ⇒ ∈ ( ). 2 Vì tam giác ADB vuông tại D có DO là trung tuyến ứng với cạnh huyền AB nên 1 = = = ⇒ ∈ ( ) 2 Vì CDHE là tứ giác nội tiếp (cmt) nên ∠ = ∠ ⇒∠ = ∠ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung HE). Mà ∠ = ∠ = ∠ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung EA của (O)). ⇒∠ = ∠ (1) Vì tứ giác CDHE nội tiếp đường tròn tâm I đường kính HC nên IE = IC ⇒ △ cân tại I (định nghĩa) (2) ⇒∠ = ∠ (tính chất tam giác cân). Vì E thuộc (O) nên OB = OE ⇒ △ cân tai (định nghĩa) (3) ⇒∠ = ∠ (tính chất tam giác cân). Từ (1), (2), (3) ⇒∠ = ∠ ⇒∠ + ∠ = ∠ + ∠ ⇒∠ = ∠ ⇒90∘ = ∠ Vậy ⊥ tại E hay IE là tiếp tuyến của đường tròn (O) đường kính AB (đpcm). Câu 6 (1,0 điểm) Cách giải: Cho các số thực 풙,풚 thoả mãn 풙 + 풚 + = . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức DeThi.edu.vn
10. Tổng hợp 13 Đề thi Toán vào 10 Long An (Kèm đáp án) - DeThi.edu.vn = 풙 + 풚 + 풙풚 Theo bài ra ta có: + +2 = 0⇔ + = ―2. Ta có: = 3 2 + 2 + 10 = 3 2 + 2 + 2 + 4 = 3( + )2 + 4 = 3 ⋅ ( ― 2)2 + 4 = 12 + 4 2 2 Ta có: ≤ = 2 = 1. 2 2 ⇒ ≤ 12 + 4 = 16. = Vậy max = 16⇔ + + 2 = 0⇔ = = ―1. DeThi.edu.vn