Tổng hợp các chuyên đề luyện thi Đại học môn Toán - Bùi Trần Duy Tuấn

Nội dung text: Tổng hợp các chuyên đề luyện thi Đại học môn Toán - Bùi Trần Duy Tuấn

1. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn “Nơi nào có ý chí, nơi đó có con đường.” Tài liệu gần 500 trang bao gồm các chủ đề sau: Chủ đề 1. Tính đơn điệu của hàm số Chủ đề 2. Cực trị của hàm số Chủ đề 3. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số Chủ đề 4. Đường tiệm cận của đồ thị hàm số Chủ đề 5. Đồ thị của hàm số Chủ đề 6. Tương giao giữa hai đồ thị Chủ đề 7. Bài toán tiếp tuyến, sự tiếp xúc của đồ thị hàm số Chủ đề 8. Điểm đặc biệt của đồ thị hàm số Bố cục của các chủ đề gồm các phần sau: 1. Kiến thức cơ bản cần nắm 2. Các dạng toán và phương pháp giải (kèm theo các bài toán minh họa) 3. Thủ thuật Casio giải nhanh 4. Bài tập trắc nghiệm rèn luyện (có lời giải chi tiết) Tài liệu được tôi sưu tầm và biên soạn để làm tư liệu cho các em lớp 12 ôn thi kỳ thi THPT Quốc gia tham khảo, giúp các em ôn lại kiến thức nhanh chóng và hiệu quả hơn. Trong quá tình tổng hợp và biên soạn không tránh khỏi những sai sót đáng tiếc do số lượng kiến thức và bài tập khá nhiều. Mong các đọc giả thông cảm và đóng góp ý kiến để những tài liệu sau của tôi được chỉnh chu hơn! Mọi đóng góp xin gửi về: Facebook: Hoặc qua Gmail: btdt94@gmail.com. Các em có thể xem thêm các chuyên đề luyện thi Đại học môn Toán tại Website: Xin chân thành cảm ơn!!! Quảng Nam  02.2018 Bùi Trần Duy Tuấn Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Lời nói đầu
2. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn MỤC LỤC CHỦ ĐỀ 1. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ 7 A. LÝ THUYẾT VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ 7 I. LÝ THUYẾT CƠ BẢN CẦN NẮM 7 II. CÁC KIẾN THỨC VÀ KỸ NĂNG BỔ TRỢ 8 III. CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ 9 1. Xét tính đơn điệu của hàm số y f() x trên tập xác định 9 2. Tìm m để hàm số tăng hoặc giảm trên từng khoảng xác định 14 3. Tìm m để hàm số tăng hay giảm trong khoảng con của 16 4. Tìm m để hàm số y ax3 bx 2 cx d có độ dài khoảng đồng biến (nghịch biến) bằng l . 21 5. Tìm tập nghiệm của phương trình 23 6. Tìm tập nghiệm của bất phương trình 28 7. Giải hệ phương trình 31 B. THỦ THUẬT CASIO GIẢI ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN 34 I. KIẾN THỨC CẦN NẮM 34 II. MỘT SỐ BÀI TOÁN MINH HỌA 34 C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 43 I. ĐỀ BÀI 43 II. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI 52 CHỦ ĐỀ 2. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 70 A. LÝ THUYẾT VỀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 70 B. CÁC DẠNG TOÁN VỀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 73 I. TÌM CỰC TRỊ CỦA CÁC HÀM SỐ 73 II. TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC TRỊ THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC 82 1. Hàm số bậc 3: y ax3 bx 2 cx d a 0 . 82 2. Hàm trùng phương : y ax4 bx 2 c a 0 94 a2 bx c 3. Hàm số dạng y 103 mx n C. THỦ THUẬT CASIO GIẢI CỰC TRỊ 106 I. KIẾN THỨC CẦN NẮM 106 II. MỘT SỐ BÀI TOÁN MINH HỌA 106 D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 112 I. ĐỀ BÀI 112 II. ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI CHI TIẾT 125 Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Mục lục
3. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn CHỦ ĐỀ 3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ 148 A. LÝ THUYẾT 148 I. ĐỊNH NGHĨA 148 II. PHƯƠNG PHÁP TÌM GTLN, GTNN 148 B. CÁC DẠNG TOÁN TÌM GTLN, GTNN CỦA HÀM SỐ 150 I. TÌM GTLN, GTNN CỦA HÀM SỐ BẰNG PHƯƠNG PHÁP KHẢO SÁT TRỰC TIẾP 150 II. TÌM GTLN, GTNN CỦA HÀM SỐ BẰNG PHƯƠNG PHÁP DÙNG MIỀN GIÁ TRỊ 153 III. TÌM GTNN, GTLN CỦA HÀM SỐ TRÊN MỘT ĐOẠN 155 IV. TÌM GTLN, GTNN CỦA HÀM SỐ, BIỂU THỨC BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ 161 V. ỨNG DỤNG GTLN, GTNN CỦA HÀM SỐ TRONG BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH THAM SỐ ĐỂ PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM 174 1. Tìm m để phương trình có nghiệm 174 2. Tìm m để bất phương trình có nghiệm 185 VI. BÀI TOÁN THỰC TẾ LIÊN QUAN ĐẾN GTLN, GTNN 191 C. THỦ THUẬT CASIO GIẢI BÀI TOÁN MIN MAX 203 I. PHƯƠNG PHÁP 203 II. MỘT SỐ BÀI TOÁN MINH HỌA 203 D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 211 I. ĐỀ BÀI 211 II. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI 223 CHỦ ĐỀ 4. ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ 251 A. KIẾN THỨC CƠ BẢN 251 I. ĐƯỜNG TIỆM CẬN NGANG 251 II. ĐƯỜNG TIỆM CẬN ĐỨNG 251 III. QUY TẮC TÌM GIỚI HẠN VÔ CỰC 251 B. THỦ THUẬT CASIO GIẢI TIỆM CẬN 253 I. KIẾN THỨC CẦN NẮM 253 II. MỘT SỐ BÀI TOÁN MINH HỌA 253 C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 263 I. ĐỀ BÀI 263 II. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI 270 CHỦ ĐỀ 5. KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ 284 A. KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ DẠNG ĐỒ THỊ CỦA CÁC HÀM SỐ 284 I. SƠ ĐỒ BÀI TOÁN KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 284 II. CÁC DẠNG ĐỒ THỊ CỦA CÁC HÀM SỐ THƯỜNG GẶP 284 Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Mục lục
4. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn III. MỘT SỐ BÀI TOÁN KHẢO SÁT HÀM SỐ 286 B. MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒ THỊ 292 C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 295 I. ĐỀ BÀI 295 II. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI 318 CHỦ ĐỀ 6. SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA HAI ĐỒ THỊ 328 A. KIẾN THỨC CƠ BẢN 328 B. CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN THƯỜNG GẶP 329 I. SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐỒ THỊ HÀM SỐ BẬC BA 329 1. Kiến thức trọng tâm 329 2. Một số bài toán minh họa 330 II. SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VỚI ĐỒ THỊ HÀM SỐ TRÙNG PHƯƠNG 333 1. Kiến thức trọng tâm 333 2. Một số bài toán minh họa 333 ax b III. SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VỚI ĐỒ THỊ HÀM SỐ y 337 cx d 1. Kiến thức trọng tâm 337 2. Một số bài toán minh họa 337 C. THỦ THUẬT CASIO GIẢI BÀI TOÁN TƯƠNG GIAO 340 I. NHẮC LẠI KIẾN THỨC CẦN NẮM 340 II. MỘT SỐ BÀI TOÁN MINH HỌA 340 D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 347 I. ĐỀ BÀI 347 II. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI 360 CHỦ ĐỀ 7. BÀI TOÁN TIẾP TUYẾN, TIẾP XÚC CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ 394 A. KIẾN THỨC CẦN NẮM 394 B. CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN 395 I. CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN THƯỜNG GẶP 395 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số C : y f x tại M xo;. y o 395 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số C : y f x có hệ số góc k cho trước. 308 3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số C : y f x biết tiếp tuyến đi qua điểm A xAA;. y 401 4. Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đồ thị hàm số C1 : y f x và C2 : y g x . 403 Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Mục lục
5. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn II. MỘT SỐ CÔNG THỨC TÍNH NHANH VÀ TÍNH CHẤT CẦN BIẾT 404 C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 408 I. ĐỀ BÀI 408 II. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI 416 CHỦ ĐỀ 8. ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ 430 A. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP 430 I. BÀI TOÁN TÌM ĐIỂM CỐ ĐỊNH CỦA HỌ ĐƯỜNG CONG 430 II. BÀI TOÁN TÌM ĐIỂM CÓ TỌA ĐỘ NGUYÊN 433 III. BÀI TOÁN TÌM ĐIỂM CÓ TÍNH CHẤT ĐỐI XỨNG 435 IV. BÀI TOÁN TÌM ĐIỂM ĐẶC BIỆT KHÁC, BÀI TOÁN KHOẢNG CÁCH 439 B. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 444 I. ĐỀ BÀI 444 II. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI 453 Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Mục lục
6. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn Chủ đề 1 TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ  A. LÝ THUYẾT VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ I. LÝ THUYẾT CƠ BẢN CẦN NẮM 1. Định nghĩa : Cho hàm số y f() x xác định trên K. o Hàm số y f() x đồng biến trên K nếu x1,:()() x 2 K x 1 x 2 f x 1 f x 2 o Hàm số y f() x nghịch biến trên K nếu x1,:()() x 2 K x 1 x 2 f x 1 f x 2 2. Định lý : Cho hàm số y f() x xác định trên K. o Nếu f'( x ) 0,  x K thì hàm số f() x đồng biến trên K. o Nếu f'( x ) 0,  x K thì hàm số f() x nghịch biến trên K. o Nếu f'( x ) 0,  x K thì hàm số f() x không đổi trên K. 3. Định lý mở rộng : Giả sử hàm số y f() x có đạo hàm trên K. o Nếu f'( x ) 0,  x K và f'( x ) 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến trên K. o Nếu f'( x ) 0,  x K và f'( x ) 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số nghịch biến trên K. o Nếu f'( x ) 0,  x K thì f() x không đổi trên K.  Chú ý : o Nếu K là một đoạn hoặc nửa khoảng thì phải bổ sung giả thiết “ Hàm số y f() x liên tục trên đoạn hoặc nửa khoảng đó”. Chẳng hạn: Nếu hàm số y f() x liên tục trên đoạn a; b và có đạo hàm f x 0,  x K trên khoảng a; b thì hàm số đồng biến trên đoạn a; b . o Nếu f x 0,  x K ( hoặc f x 0,  x K ) và f x 0 chỉ tại một số điểm hữu hạn của K thì hàm số đồng biến trên khoảng K (hoặc nghịch biến trên khoảng K ). Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 7
7. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn II. CÁC KIẾN THỨC VÀ KỸ NĂNG BỔ TRỢ 1. Lập bảng xét dấu của một biểu thức P() x Bước 1. Tìm nghiệm của biểu thức P() x , hoặc giá trị của x làm biểu thức P() x không xác định. Bước 2. Sắp xếp các giá trị của x tìm được theo thứ tự từ nhỏ đến lớn. Bước 3. Sử dụng máy tính tìm dấu của P() x trên từng khoảng của bảng xét dấu. 2. Một số kiến thức liên quan đến tam thức bậc hai Cho tam thức g( x ) ax2 bx c ( a 0) Định lí về dấu của tam thức bậc hai g( x ) ax2 bx c ( a 0) : a 0 a 0 g ( x ) 0,  x g ( x ) 0,  x 0 0 a 0 a 0 g ( x ) 0,  x g ( x ) 0,  x 0 0 2 So sánh các nghiệm x1, x 2 của tam thức bậc hai g() x ax bx c với số 0: 0 0 x1 x 2 0 P 0 0 x1 x 2 P 0 x1 0 x 2 P 0 S 0 S 0 2 So sánh các nghiệm x1, x 2 của tam thức bậc hai g() x ax bx c với số a bất kỳ: 0 0 x2 x 1 a x 1 a . x 2 a 0 x1 x 2 a x 1 a . x 2 a 0 x1 x 2 2 a x1 x 2 2 a 0 x a x 1 2 x1 a . x2 a 0 3. Kiến thức liên quan đến xác định tham số m. ()fxhm ,  xab (;) max() fxhm (;)a b fxhm ( ) ,  xab ( ; ) min fxhm ( ) (;)a b 4. Đạo hàm một số hàm số thường gặp 1 1 x x 1.x . x 7. e e 13. sinx cos x 19. cot x 2 sin x u 1 u u 2.u . u . u 8. e u e 14. sinu u .cos u 20. cotu 2 sin u 1 x x 1 3. x 9.a a ln a 15. cosx sin x 21. ln x 2 x x Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 8
8. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn u u u u 4. u 10.a u a ln a 16. cosu u .sin u 22. lnu 2 u u 1 1 1 1 5. 11. loga x 17. tan x 2 x x2 x.ln a cos x 1 u u u 12. log u 18. tanu 6. a 2 u u2 u.ln a cos u Công thức tính nhanh đạo hàm hàm phân thức: a b a c b c x2 2 x 2 ax b ad bc ax bx c d e d f e f 23. 2 24. 2 2 cx d cx d dx ex f dx2 ex f III. CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ 1. Xét tính đơn điệu của hàm số y f() x trên tập xác định  Phương pháp Bước 1: Tìm tập xác định D. Bước 2: Tính đạo hàm y f () x . Bước 3: Tìm nghiệm f ( x ) 0 hoặc những giá trị x làm cho f () x không xác định. Bước 4: Xác định dấu của f () x tại các khoảng giá trị vừa tìm được. Bước 5: Kết luận. MỘT SỐ BÀI TOÁN MINH HỌA Bài toán 1: Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số: y x3 6 x 2 9 x 4 . Lời giải: Hàm số đã cho xác định trên D . 2 x 1 Ta có: y 3 x2 12 x 9 . Cho y 0 3 x 12 x 9 0 . x 3 Bảng xét dấu của y : x 1 3 y 0 0 Kết luận: Dựa vào bảng xét dấu trên, hàm số nghịch biến trên ;1 và 3; , đồng biến trên 1; 3 . Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 9
9. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn Bài toán 2: Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số: y x4 4 x 2 3 . Lời giải: Hàm số đã cho xác định trên D . Ta có: y 4 x3 8 x . 4x 0 x 0 x 0 3 2 Cho y0 4 x 8 x 0 4 x ( x 2) 0 2 2 . x 2 0 x 2 x 2 Bảng xét dấu của y : x 2 0 2 y 0 0 0 Kết luận: Dựa vào bảng xét dấu trên, hàm số đồng biến trên: ; 2 và 0; 2 , hàm số nghịch biến trên: 2; 0 và 2; . 3 2x Bài toán 3: Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số: y . x 7 Lời giải: 3 2x 2 x 3 Ta có: y x 7 x 7 Hàm số đã cho xác định và liên tục trên: D \ 7. 2 .7 1.3 17  Ta có: y2 2 0, x D \ 7 . x 7 x 7 Bảng xét dấu của y : x 7 y Kết luận: Dựa vào bảng xét dấu trên, hàm số luôn nghịch biến trên: ; 7 và 7; . x2 2 x 1 Bài toán 4: Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số: y . x 2 Lời giải: Hàm số đã cho xác định trên: D \ 2 . x2 4 x 5  Ta có: y2 ,D x . x 2 Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 10
10. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn x2 4 x 5 x 5 2 Cho y' 02 0 x 4 x 5 0 . x 2 x 1 Bảng xét dấu y : x 5 2 1 y 0 0 Kết luận: Dựa vào bảng xét dấu, hàm số nghịch biến trên: ; 5 và 1; , hàm số đồng biến trên 5; 2 và 2;1 . Bài toán 5: Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số: y 4 3 x 6 x2 1 . Lời giải: Hàm số đã cho xác định trên D . 6x 4 3 x 36x2 24 x 3 Ta có: y 3 6 x2 1 . 6x2 1 6 x 2 1 1 x 36x2 24 x 3 Cho y 0 0 36 x2 24 x 3 0 2 . 2 1 6x 1 x 6 Bảng xét dấu của y : 1 1 x 6 2 y 0 0 1 1 Kết luận: Dựa vào bảng xét dấu, hàm số đã cho đồng biến trên ; và ; , hàm số 6 2 1 1 nghịch biến trên: ; . 6 2 Bài toán 6: Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số: y x2 2 x . Lời giải: 2 x 0 Hàm số đã cho xác định khi: x 2 x 0 Tập xác định: D ; 0  2; . x 2 x 1 Ta có: y ,  x ; 0  2; . Hàm số không có đạo hàm tại: x 0; x 2 . x2 2 x x 1 Cho y 0 0 x 1 0 x 1 . x2 2 x Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 11
11. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn Bảng xét dấu y : x 0 1 2 y Kết luận: Dựa vào bảng xét dấu, hàm số nghịch biến trên ;0 và đồng biến trên 2; . Bài toán 7: Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số: y x sin x , x 0; . Lời giải: Hàm số đã cho xác định trên đoạn 0; . Ta có: y 1 cos x . x 0; x 0; x 0; Trên đoạn 0; :y 0 x 0 . 1 cosx 0 cos x 1 x k2 , k Bảng xét dấu y : x 0 y Kết luận: Dựa vào bảng xét dấu, hàm số đã cho đồng biến trên 0; . Bài toán 8: Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số: y 2sin x cos 2 x , x 0; Lời giải: Hàm số đã cho xác định trên đoạn 0; . Ta có: y 2 cos x 2 sin 2 x 2 cos x 4 cos x .sin x 2cos x 1 2 sin x , x 0; . x x 0; 2 cosx 0 Trên đoạn 0; :y 0 x . 6 1 sin x 5 2 x 6 Bảng xét dấu của y : 5 x 0 6 2 6 y 0 0 0 Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 12
12. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn 5 Kết luận: Dựa vào xét dấu trên, hàm số đồng biến trên 0; và ; , hàm số nghịch biến 6 2 6 5 trên: ; và ; . 6 2 6 Bài toán 9: Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số: y x2 2 x 3 . Lời giải: 2 x 2 x 3 khi x ; 1  3; 2 Ta có: y x2 x 3 2 x 2 x 3 khi x 1; 3 TXĐ: D . 2x 2 khi x ; 1  3; Tìm y . 2x 2 khi x 1; 3 Hàm số không có đạo hàm tại x 1 và x 3 . Ta lại có: Trên khoảng 1; 3 : y 0 x 1 . Trên khoảng ; 1 : y 0 . Trên khoảng 3; : y 0 Bảng xét dấu y : x 1 1 3 y 0 Kết luận: Dựa vào bảng xét dấu, hàm số nghịch biến trong các khoảng ; 1 và 1; 3 , hàm số đồng biến trong các khoảng 1;1 và 3; . Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 13
13. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn 2. Tìm m để hàm số tăng hoặc giảm trên từng khoảng xác định  Phương pháp Nếu y fxm , ax3 bx 2 cxda 0 , y f ( x , m ) 3 a2 x 2 2 bx c có biệt thức a 0 o Hàm số đồng biến trên 0 a 0 o Hàm số nghịch biến trên 0 ax b ad bc Nếu y f x, m có y f x, m 2 cx d cx d o Hàm số đồng biến trên D y f ( x , m ) 0,  x D ad bc 0 o Hàm số nghịch biến trên D y f ( x , m ) 0,  x D ad bc 0 MỘT SỐ BÀI TOÁN MINH HỌA 3 2 Bài toán 1: Tìm tham số m để hàm số: y x 3 x 3( m 2) x 3 m 1 đồng biến trên . Lời giải: Hàm số đã cho xác định trên D . Ta có: y 3 x2 6 x 3 m 2 có 9 9 m 2 a 0 3 0 Hàm số đồng biến trên m 1 . 0 9 9(m 2) 0 Kết luận: m 1 thì hàm số đồng biến trên . Bài toán 2: Tìm tham số m để hàm số: y x3 3 x 2 3 m 2 1 x 3 m 2 1 nghịch biến trên . Lời giải: Hàm số đã cho xác định trên D . Ta có: y 3 x2 6 x 3 m 2 1 có 9 3.3 m2 1 9 m 2 a 0 a 3 0 Hàm số luôn giảm trên 2 m 0 . 0 9m 0 Kết luận: m 0 thì hàm số nghịch biến trên . Bài toán 3: 1 Tìm tham số m để hàm số: y 3 m x3 m 3 x 2 m 2 x 3 luôn tăng trên . 3 Lời giải: Hàm số đã cho xác định trên D . Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 14
14. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn Xét a 3 m 0 m 3 khi đó a 0 loại m 3 vì hàm số bậc 2 với hệ số a 0 không đồng biến hoặc không nghịch biến trên . Xét a 3 m 0 m 3 2 Ta có: y 3 m x2 2 m 3 x m 2 có m 3 3 m m 2 2 m2 5 m 3 . m 3 a 3 m 0 3 Hàm số luôn tăng trên 2 3 m 1. 2m 5 m 3 0 m 1 2 2 3 Kết luận: m 1 thì hàm số luôn tăng trên . 2 Bài toán 4: mx 2 Tìm tham số m để hàm số: y nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó. x m 1 Lời giải: Hàm số đã cho xác định trên: D \m 1 . Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định m2 m 2 m 1  2 y2 0, x m 1 m m 2 0 . x m 1 m 2 Kết luận: m ; 1  2; thì hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định. Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 15
15. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn 3. Tìm m để hàm số tăng hay giảm trong khoảng con của  Phương pháp Nếu y f () x ax2 bx c hoặc y f () x là một hàm bất kỳ nào khác, mà ta cần y f ( x ) 0 hay y f ( x ) 0 trên khoảng a, b hoặc đoạn a, b (hoặc trên nửa đoạn hay nửa khoảng nào đó). Trường hợp 1: Tách được tham số m (Phương pháp cô lập tham số) o Bước 1: Tìm miền xác định của y f () x . o Bước 2: Độc lập (tách) m (hay biểu thức chứa m ) ra khỏi biến x và chuyển m về một vế. Đặt vế còn lại là g() x . Lưu ý khi chuyển vế thành phân thức thì phải để ý điều kiện xác định của biểu thức để khi xét dấu g () x ta đưa vào bảng xét dấu g () x . o Bước 3: Tính g () x . Cho g ( x ) 0 và tìm nghiệm. o Bước 4: Lập bảng biến thiên của g () x . o Bước 5: Kết luận: “Lớn hơn số lớn – Bé hơn số bé”. Nghĩa là: khi ta đặt m g( x ) 1 hoặc m g( x ) 2 thì dựa vào bảng biến thiên ta sẽ lấy giá trị m số lớn nhất trong bảng biến thiên ứng với 1 hoặc m số nhỏ nhất trong bảng ứng với 2 . Trường hợp 2: Không tách được tham số m . (Phương pháp delta) y f () x ax2 bx c o 0 : y f () x sẽ cùng dấu với a  a 0 thì f x 0,  x nên hàm số đồng biến trên , suy ra hàm số đồng biến trên a; b .  a 0 thì f x 0,  x nên hàm số nghịch biến trên , suy ra hàm số nghịch biến trên a; b . o 0: y f() x có 2 nghiệm x1, x 2 và đổi dấu khi qua hai nghiệm. x x1 x2 f() x cùng dấu với a 0 trái dấu với a 0 cùng dấu với a Lúc đó bài toán đưa về dạng “So sánh hai nghiệm của phương trình bậc hai g( x ) ax2 bx c 0 với 1 số a bất kì “. 0 0 x2 x 1 a x 1 a . x 2 a 0 x1 x 2 a x 1 a . x 2 a 0 x1 x 2 2a x1 x 2 2a 0 x a x 1 2 x1 a . x2 a 0 Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 16
16. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn ax b d  ad bc Nếu f x có tập xác định D \  , y' . cx d c  ()cx d 2 Tìm điều kiện để hàm số đồng biến hay nghịch biến trên (x0 ; ), ( ; x 0 ) . ad bc 0 ad bc 0 o Hàm số đồng biến trên (;)x0 d , trên (;) x0 d x0 x0 c c ad bc 0 ad bc 0 o Hàm số nghịch biến trên (;)x0 d , trên (;) x0 d x0 x0 c c MỘT SỐ BÀI TOÁN MINH HỌA 3 2 Bài toán 1: Tìm tham số m để hàm số: y x 2 mx m 1 x 1 đồng biến trên đoạn 0; 2 . Lời giải: 3 2 Hàm số y x 2 mx m 1 x 1 đồng biến (tăng) trên đoạn 0; 2 2 2 y 3 x 4 mx m 1 0 ,  x 0; 2 3x 1 m 4 x 1 ,  x 0; 2 3x2 1 m ,  x 0; 2 . 4x 1 3x2 1 12x2 6 x 4  Đặt g x , ta có g( x )2 0, x 0; 2 . 4x 1 4x 1 Bảng biến thiên của g x x 0 2 g x 11 g x 9 1 Dựa vào bảng biến thiên: m 1 (Vì m g() x nên lấy m nhỏ hơn số nhỏ trong bảng biến thiên). Bài toán 2: Tìm tham số m để hàm số: y x3 3 x 2 m 1 x 4 m nghịch biến trên khoảng 1;1 . Lời giải: Hàm số: y x3 3 x 2 m 1 x 4 m nghịch biến trên khoảng 1;1 y 3 x2 6 x m 1 0,  x 1;1 m 3 x2 6 x 1 g x ,  x 1;1 . Đặt g x 3 x2 6 x 1. Ta có g x 6 x 6 . Cho g x 0 6 x 6 0 x 1 . Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 17
17. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn Bảng biến thiên: x 1 1 g x 0 2 g x 10 Dựa vào bảng biến thiên, để hàm số nghịch biến trên khoảng 1;1 thì m 10 . Bài toán 3: Tìm m để hàm số y x3 m 1 x 2 2 m 2 3 m 2 x 2 m 2 m đồng biến trên nửa khoảng 2; . Lời giải: Ta có: y 3 x2 2 m 1 x 2 m 2 3 m 2 . Để hàm số đồng biến trên nửa khoảng 2; y 0,  x 2; Tam thức bậc hai y có 7m2 7 m 7 0,  m nên y 0 có hai nghiệm là: m 1 m 1 x ; x . 13 2 3 x x 1 Vì x1 x 2 nên y 0 . x x2 m 1  Suy ra y0, x 2; x2 2 2 5 m 3 m 5 m 5 3 2 2 2 m . 5 m 2m m 6 0 2 3 Vậy 2 m thỏa YCBT. 2 Bài toán 4: 13 2 1 Tìm tham số m để hàm số: y x m 2 x m m 3 x nghịch biến trên 1; . 3 3 Lời giải: Hàm số đã cho xác định trên . Ta có: y x2 2 m 2 x m m 3 . Hàm số nghịch biến trên 1; y 0,  x 1; x2 2 m 2 x m m  3 0, x 1; 2 Ta có m 2 m m 3 4 m . Trường hợp 1: 0 4 m 0 m 4 Mà a 1 0 nên y 0,  x y 0,  x 1; Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 18
18. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn Vậy m 4 thỏa mãn. Trường hợp 2: 0 4 m 0 m 4 . Khi đó y' có 2 nghiệm x1 x 2 x x1 x2 y 0 0 Dựa vào bảng xét dấu trên, hàm số đã cho nghịch biến trên 1; x1 1 x 2 1 0 x 1 x 2 x 1 x 2 1 0 x1 x 2 1 x1 x 2 2 0 x 1 x 2 2 0 x1 x 2 2 m 2 Theo Viet ta có: x1 x 2 m m 3 5 5 m 2 2 m m 3 2 m 2 1 0 m 5 m 5 0 5 5 Do đó 5 5 m 2 m 2 2 0 m 2 1 m 2 2 m 3 5 5 Vậy m  m 4 thỏa YCBT. 2 Bài toán 5: Tìm tham số m để hàm số: y x mcos x đồng biến trên . Lời giải: Hàm số đã cho xác định trên . Ta có: y 1 m sin x . Hàm số đồng biến trên  y 0 , x 1 m sin x  0, x m sin x  1,, x Với m 0 thì luôn đúng. 1 1 Với m 0 thì sinx ,  x 1 0 m 1. m m 1 1 Với m 0 thì sinx ,  x 1 1 m 0. m m Vậy: 1 m 1 thỏa yêu cầu bài toán. mx 2 Bài toán 6: Tìm m để hàm số y đồng biến trên 2; . x 2 m Lời giải: mx 2 2m2 2 Hàm số y có tập xác định là \ 2m , y 2 x 2 m x 2 m 2m2 2 0 m 2 1 Hàm số đồng biến trên 2; m 1 . 2m 2 m 1 Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 19
19. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn Vậy m 1 thỏa YCBT. Bài toán 7: tanx 2 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y đồng biến trên (0; ) . tan x m 4 A. m 0 hoặc 1 m 2 B. m 0 C. 1 m 2 D. m 2 ( Đề minh họa Kỳ thi THPTQG 2017 của Bộ giáo dục đào tạo) Lời giải: Đặt t tan x thì với x (0; ) t (0;1) . 4 t 2 Hàm số đã cho trở thành y , t 0;1 , TXĐ: \m t m m 2 m 2 m 2 0 m 0 Ta có y2 , t 0;1 . Khi đó điều kiện bài toán m 1 . t m m(0;1) 1 m 2 m 0 Ta chọn đáp án A. Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 20
20. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn 4. Tìm m để hàm số y ax3 bx 2 cx d có độ dài khoảng đồng biến (nghịch biến) bằng l.  Phương pháp Bước 1: Tính y f () x . a 0 Bước 2: Tìm điều kiện để hàm số có khoảng đồng biến và nghịch biến: 1 . 0 2 2 Bước 3: Biến đổi x1 x 2 l thành x1 x 2 4 x 1 . x 2 l 2 . Bước 4: Sử dụng định lý Viét đưa (2) thành phương trình theo m . Bước 5: Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm. MỘT SỐ BÀI TOÁN MINH HỌA Bài toán 1: Tìm tham số m để hàm số: y x3 3 x 2 mx m nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1. Lời giải: Hàm số đã cho xác định trên D . Ta có: y 3 x2 6 x m và 9 3m o Với 9 3m 0 m 3 Lúc đó y 0,  x , do đó hàm số tăng trên , không thỏa YCBT. o Với 9 3m 0 m 3 Khi đó y 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x 2 (giả sử x1 x 2 ) và hàm số nghịch biến trong đoạn x1; x 2 với độ dài l x1 x 2 x x 2 1 2 Theo định lý Vi – ét ta có: m m 3 x1 x 2 3 Hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1 . 2 2 4 9 l x x 1 x x 12 x x 4 x x 1 4 m 1 m (thỏa ĐK). 1 2 1 2 1 2 1 2 3 4 9 Vậy m thỏa YCBT. 4 Bài toán 2: Tìm tham số m để hàm số: y x3 x 2 2 m x 1 đồng biến trên đoạn có độ dài bằng 2 Lời giải: Hàm số đã cho xác định trên D . y 3 x2 2 x 2 m có 5 m . Nếu 5 m 0 m 5 thì y 0,  x , do đó hàm số tăng trên , không thỏa YCBT. Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 21
21. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn Nếu 5 m 0 m 5 . Khi đó y 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x 2 (giả sử x1 x 2 ) và hàm số nghịch biến trong đoạn x1; x 2 với độ dài l x1 x 2 . 2 x1 x 2 3 Theo định lý Viét ta có: m 5 2 m x x 1 2 3 Hàm số đồng biến trên đoạn có độ dài bằng 2 2 l x1 x 2 2 x 1 x 2 4 2 4 2 m 14 x x 4 x x 4 4. 4 m (thỏa). 1 2 1 2 9 3 3 14 Vậy m thỏa YCBT. 3 Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 22
22. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn 5. Tìm tập nghiệm của phương trình  Phương pháp Phương pháp 1 Bước 1: Đưa phương trình về dạng: f() x k , (1). Bước 2: Xét hàm số y f() x . Dùng lập luận khẳng định hàm số đồng biến (nghịch biến). Bước 3: Lúc đó phương trình (1) có nghiệm duy nhất x x0 ( mà ta nhẩm được). Phương pháp 2 Bước 1: Đưa phương trình về dạng: f()() x g x , (1) Bước 2: Xét hai hàm số y f() x và y g() x . Dùng lập luận để khẳng định y f() x là hàm đồng biến (nghịch biến) và y g() x là hàm nghịch biến (đồng biến). Bước 3: Lúc đó nếu phương trình (1) có nghiệm x x0 là nghiệm duy nhất. Phương pháp 3 Bước 1: Đưa phương trình về dạng f()() u f v , (1) Bước 2: Xét hàm số : y f() t . Dùng lập luận khẳng định hàm số đồng biến (nghịch biến). Bước 3: Khi đó từ (1) suy ra : u v . MỘT SỐ BÀI TOÁN MINH HỌA Bài toán 1: Giải phương trình: 4x 1 4 x2 1 1 Lời giải: 4x 1 0 1 Điều kiện: 2 x 4x 1 0 2 Nhận xét: Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của hàm số y f x 4 x 1 4 x2 1 và y 1 2 1 Xét hàm số f x 4 x 1 4 x 1 , tập xác định : D , 2 2 4x 1 Đạo hàm f x 0,  x 4x 1 4x2 1 2 1 1 Suy ra hàm số đồng biến trên , và f 1 2 2 1 Do đó hàm số có nghiệm duy nhất và đó là x . 2 Bài toán 2: Giải phương trình: 3 sinx 2 sin x 1. Lời giải: Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 23
23. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn Đặt t sin x , điều kiện t 1 Khi đó phương trình có dạng : 3 t 2 t 1 3 t 1 2 t * Xét hàm số : Hàm số f( t ) 3 t là hàm đồng biến trên D 1,1 Hàm số g( t ) 1 2 t là hàm nghịch biến trên D 1,1 Từ (*) suy ra : f()() t g t nếu có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất Ta thấy t 1 là nghiệm phương trình * , do đó: sinx 1 x k 2 , k 2 3x x2 1 2 1 Bài toán 3: Giải phương trình: log3 (x 3 x 2 2) 2 * 5 Lời giải: 2 x 1 Điều kiện: x 3 x 2 0 x 2 Đặt u x2 3 x 2 0 u2 x 2 3 x 2 3 x x 2 1 1 u 2 1 u2 1 Khi đó : (*) log3 (u 2) 2 ( ) 5 1 x2 1 Xét hàm số: f( x ) log3 ( x 2) 5 Miền xác định: D 0, 1 1 2 Đạo hàm : f ( x ) .2 x .5x .ln 3 0 ,x D (x 2)ln 3 5 Suy ra hàm số tăng trên D Mặc khác: f (1) 2 . Do đó ( ) có dạng : f( u ) f (1) u 1 3 5 Với u 1 x 2 3 5 Vậy phương trình có nghiệm x . 2 2 Bài toán 4: Giải phương trình: 2x 1 2 x x (x 1) 2 Lời giải: 2 Biến đổi phương trình về dạng : 2x 1 x 1 2 x x x 2 x (*) Xét hàm số f( x ) 2t t Miền xác định : DR Đạo hàm : f ( t ) ln 2.2t 1 0  t D Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 24
24. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn Suy ra hàm số đồng biến Từ (*) có dạng f( x 1) f ( x2 x ) x 1 x2 x x 1 Vậy x 1 là nghiệm của phương trình . 8sinx 5 4sin x 1 1 1 Bài toán 5: Giải phương trình: e e 8sinx 5 4sin x 1 Lời giải: Tập xác định D . 8sinx 51 4sin x 1 1 Biến đổi phương trình về dạng: e e (*) 8sinx 5 4sin x 1 1 Xét hàm số f() t et t Miền xác định : DR 1 Đạo hàm : f ( x ) et 0,  x D t2 Suy ra hàm số đồng biến. Từ (*) có dạng : f(8sin x 5) f (4sin x 1) 8sin x 5 4sin x 1 sinx 1 8sinx 5 4sin x 1 1 8sinx 5 1 4sin x sin x 2 x k2 2 k 5 x k2  x k 2 6 6 Bài toán 6: Giải phương trình: 2x3 x 2 3 x 1 2 3 x 1 3 x 1 1 Lời giải: 1 Điều kiện: x . 3 3 2 Ta có: 12 x3 x 2 1231 x 311 x f x f 31 x . Xét hàm số f t 2 t3 t 2 1 liên tục trên khoảng 0; . Ta có: f t 6 t2 2 t 0,  t 0; Hàm số f t đồng biến trên 0; . 3 5 1 x N f x f 3 x 1 x 3 x 1 x2 3 x 1 2 3 . 3 5 1 x N 2 3 Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 25
25. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn Bài toán 7: Giải phương trình: 2x3 7 x 2 5 x 4231 x 31 2 x Lời giải: 1 Điều kiện: x . 3 3 2 3 2x 7 x 5 x 4 2 y 3 Đặt y 3 x 1 0 . Khi đó: 2 . 2 3x 1 y 4 3 2 Cộng vế theo vế của 3 cho 4 , ta được: 2 x 1 x 1 2 y3 y 2 f x 1 f y . Xét hàm số: f t 2 t3 t 2 liên tục trên khoảng 0; . f t 6 t2 2 t 0,  t 0; Hàm số f t đồng biến trên 0; . f x 1 f y x 1 y . Thay y x 1vào 3 , ta được: 2x3 6 x 2 6 x 2 2 x 3 7 x 2 5 x 4 x 2 x 2 0 . Phương trình đã cho vô nghiệm. Bài toán 8: Giải phương trình: x3 4 x 2 5 x 6 3 7 x 2 9 x 4 . Lời giải: Tập xác định: D . Đặt y 3 7 x2 9 x 4 . Khi đó, phương trình đã cho được viết lại thành h 3 2 x3 4 x 2 5 x 6 y x 3 4 x 2 5 x 6 y x 4 x 5 x 6 y a 2 3 3 3 2 3 3 7x 9 x 4 y y y x 3 x 4 x 2 y y x 1 x 1 Khi đó, có dạng: f y f x 1 . Xét hàm số: f t t3 t,  t . Ta có: f t 3 t2 1 0,  t f t đồng biến trên . Lúc này, y x 1 . x 5 x3 4 x 2 5 x 6 y x 3 4 x 2 6 x 5 0 Và hệ phương trình a 1 5 . y x 1 y x 1 x 2 Bài toán 9: Giải phương trình: 3x 2 9 x2 3 4 x 2 1 x x 2 1 0 1 . Lời giải: Tập xác định: D . 2 2 Lúc này phương trình 1 32x 3 x 3 212 x 213 2 x . Đặt u 3 x ; v 2 x 1với u, v 0 . Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 26
26. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn Khi đó ta có 2 u 2 u2 3 v 2 v 2 3 3 . Xét hàm: f t 2 t t4 3 t 2 liên tục trên khoảng 0; . 2t3 3 t Ta có: f ( t ) 2 0;  t 0 f t đồng biến trên 0; . t4 3 t 2 1 Khi đó phương trình 3 f u f v u v 3 x 2 x 1 x . 5 1 Vậy x là nghiệm của phương trình. 5 Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 27
27. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn 6. Tìm tập nghiệm của bất phương trình  Phương pháp Phương pháp 1 Bước 1: Đưa phương trình về dạng : f() x k (1). Bước 2: Xét hàm số y f() x . Dùng lập luận khẳng định hàm số đồng biến (nghịch biến). Bước 3: Từ (1) ta thấy f()() x f Bước 4: Dựa vào định nghĩa về đơn điệu suy ra x nếu hàm số đồng biến hay x nếu hàm số nghịch biến. Phương pháp 2 Bước 1: Đưa phương trình về dạng : f()() u f v (1) Bước 2: Xét hàm số y f() x . Dùng lập luận khẳng định hàm số đồng biến (nghịch biến). Bước 3: Khi đó từ (1) suy ra: u v nếu đồng biến ,u v nếu nghịch biến. MỘT SỐ BÀI TOÁN MINH HỌA Bài toán 1: Giải bất phương trình: 5x 1 x 3 4 . Lời giải: 1 Điều kiện: x . 5 1 Xét hàm số: y 5 x 1 x 3 liên tục trên nửa khoảng ; . 5 5 1 1 1 Ta có: f x 0,  x f x là hàm số đồng biến trên ; . 2 5x 1 2 x 3 5 5 Mặt khác: f 1 4 . Khi đó bất phương trình đã cho f x f 1 x 1. Vậy x 1 là nghiệm của bpt đã cho. Bài toán 2: Giải bất phương trình: x 9 2 x 4 5 (1) Lời giải: x 9 0 Điều kiện: x 2 2x 4 0 Xét hàm số y f( x ) x 9 2 x 4 liên tục trên nửa khoảng 2; . 1 1 Ta có: f'( x ) 0,  x 2 f x là hàm số đồng biến trên 2; . 2x 9 2 x 4 Mặt khác: f (0) 5,do đó : Nếu x 0 thì f( x ) f (0) x 9 2 x 4 5 , nên x 0 là nghiệm Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 28
28. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn Nếu 2 x 0 thì f( x ) f (5) x 9 2 x 4 5 nên 2 x 0 không là nghiêm. Vậy với x 0 là nghiệm của (1) 5 Bài toán 3: Giải bất phương trình: 3 3 2x 2 x 6 1 2x 1 Lời giải: 1 3 Điều kiện: x . 2 2 5 Bất phương trình: 1 3 3 2x 2 x 6 f x g x . 2x 1 5 1 3 Xét hàm số: f( x ) 3 3 2 x liên tục trên nửa khoảng ; . 2x 1 2 2 3 5 1 3 1 3 Ta có: y f x 0 ;  x ; f x nghịch biến trên ; . 3 2 2 3 2x 2x 1 2 2 Hàm số g x 2 x 6 là hàm số đồng biến trên và f 1 g 1 8 . o Nếu x 1 f x g 1 8 g 1 g x đúng. o Nếu x 1 f x f 1 8 g 1 g x vô nghiệm. 3 Kết hợp với điều kiện ta chọn nghiệm: 1 x . 2 Bài toán 4: Giải bất phương trình: 2x3 3 x 2 6 x 16 2 3 4 x 1 . Lời giải: 2x3 3 x 2 6 x 16 0 Điều kiện: 2 x 4 . 4 x 0 Lúc đó: 1 2x3 3 x 2 6 x 16 4 x 2 3 f x 2 3 2 . 3 2 Xét hàm số: f x 2 x 3 x 6 x 16 4 x liên tục trên đoạn 2; 4 . 2 3 x x 1 1 Ta có: f x 0,  x 2; 4 2x3 3 x 2 6 x 16 2 4 x f x luôn đồng biến trên khoảng 2; 4 và có f 1 2 3 nên: 2 f x f 1 x 1 . Kết hợp với điều kiện, nghiệm của bất phương trình là: 2 x 1. Bài toán 5: Giải bất phương trình: x 2213 x x 64 x 6213 x x 2 1 . Lời giải: 1 Điều kiện: x . 2 Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 29
29. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn Khi đó, phương trình: 1 x 2 x 6 2 x 1 3 4 2 . Với 2x 1 3 0 x 5 2 : luôn đúng. Với x 5 : Xét hàm số: f x x 2 x 6 2 x 1 3 liên tục trên khoảng 5; . 1 1 x 2 x 6 Ta có: f x 2 x 1 3 0;  x 5 . 2x 2 2 x 6 2 x 1 f x luôn đồng biến trên khoảng 5; và có f 7 4 . Do đó: 2 f x f 7 x 7 . 1 Kết hợp với điều kiên, nghiệm của bất phương trình là: x 7 . 2 Bài toán 6: Giải bất phương trình: x2 2 x 3 x 2 6 x 11 3 x x 1 Lời giải: x2 2 x 3 0 x2 6 x 11 0 Điều kiện: 1 x 3 (*) 3 x 0 x 1 0 Biến đổi bất phương trình thành: x2 2 x 3 x 1 x 2 6 x 11 3 x (x 1)2 2 x 1 (3 x ) 2 2 3 x (1) 2 Xét hàm số f( t ) t 2 t trên 1; 3 t 1 Ta có: f t 0,  t 1; 3 . Suy ra hàm số f t đồng biến trên 1,3 t2 2 t Từ (1) ta có f( x 1) f (3 x ) x 1 3 x x 2 So điều kiện nghiệm bất phương trình là 2 x 3 . Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 30
30. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn 7. Giải hệ phương trình  Phương pháp Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có). Bước 2: Biến đổi 1 hoặc kết hợp nhiều phương trình của hệ về dạng f u f v . Bước 3: Khảo sát hàm số f t . Nhận xét hàm số luôn đồng biến hoặc luôn nghịch biến rồi từ đó suy ra u v . Bước 4: Giải phương trình u v và kết luận nghiệm. MỘT SỐ BÀI TOÁN MINH HỌA 2x 3 4 y 4 1 Bài toán 1: Giải hệ phương trình: . 2y 3 4 x 4 2 Lời giải: 3 Điều kiện: x, y 4 . 2 Lấy 1 trừ 2 ta được: 2x 3 4 x 2 y 3 4 y 3 . 3 Xét hàm số: f t 2 t 3 4 t liên tục trên đoạn ; 4 . 2 1 1 3 3 Ta có: f t 0 ;  x ; 4 f t luôn đồng biến trên khoảng ; 4 . 2t 3 2 4 t 2 2 3 f x f y x y . x 3 y 3 Thay x y vào 1 . Giải phương trình ta tìm được: 11 11 . x y 9 9 11 11  Vậy nghiệm của hệ là: S x; y 3; 3 , ; . 9 9  2 4x 1 x 1 y 5 2 y 1 Bài toán 2: Giải hệ phương trình: ÐH A .2010 2 2 4x y 2 3 4 x 7 2 Lời giải: 3 x 4 Điều kiện: 5 y 3 Khi đó: 1 41x2 x y 352041223520 y x 2 x y y 2 2 2x 12 x 6252 y y 2 x 12 x 52152 y y Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 31
31. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn 2 2 2x 1 2 x 5 2 y 1 5 2 y có dạng f 2 x f 5 2 y . Xét hàm số f t t t2 1 liên tục trên . Ta có: f t 3 t2 1 0,  t f t luôn đồng biến trên . 3 0 x x 0 4 Do đó: f 2 x f 5 2 y 2 x 5 2 y 2 . 2x 5 2 y 5 4x2 y 2 2 5 4x2 Lúc này, phương trình 2 4x2 2 3 4 x 7 3 . 2 2 2 2 5 4x 3 Xét hàm số: g x 4 x 2 3 4 x 7 liên tục trên khoảng 0; . 2 4 2 4 3 Ta có: g x 4 x 4 x 3 0,  x 0; 3 4x 4 3 1 1 g x nghịch biến trên 0; và có g 0 3 có nghiệm duy nhất là x y 2 . 4 2 2 1 So với điều kiện, nghiệm của hệ là: S x; y ; 2 . 2 3 3 x 3 x y 3 y 1 Bài toán 3: Giải hệ phương trình: . 6 6 x y 1 2 Lời giải: 1 x 1 Từ 1 và 2 Điều kiện: . 1 y 1 Từ 1 f x f y . 3 Xét hàm số f t t 3 t liên tục trên đoạn 1;1 . 2 Ta có: f t 3 t 1 0;  t 1;1 f t luôn nghịch biến trên đoạn 1;1 nên x y . 1 Thay x y vào 2 , ta được nghiệm của hệ là: x y . 6 2 3 x 2 x y 1 Bài toán 4: Giải hệ phương trình: 3 y 2 y x 2 Lời giải: Xét hàm số f t t3 2 t liên tục trên . Ta có: f t 3 t2 2 0,  t f t đồng biến trên . Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 32
32. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn f x y 3 Hệ phương trình đã cho trở thành: . f y x 4 Nếu: x y f x f y y x (do 3 và 4 dẫn đến mâu thuẫn). Nếu: x y f x f y y x (mâu thuẫn). x y Thay x y vào 1 , ta được: x3 x 0 x x 2 1 0 x 0 (do x2 1 0,  x ). Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất: x; y 0; 0 . Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 33
33. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn B. THỦ THUẬT CASIO GIẢI ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN I. KIẾN THỨC CẦN NẮM Tính đồng biến nghịch biến : Cho hàm số y f x có đạo hàm trên khoảng I . Nếu f' x 0 với mọi x I (hoặc f' x 0 với mọi x I ) và f' x 0 tại hữu hạn điểm của I thì hàm số y f x đồng biến (hoặc nghịch biến) trên I . Các cách sử dụng Casio giải đồng biến, nghịch biến Cách 1 : Sử dụng chức năng lập bảng giá trị MODE 7 của máy tính Casio . Quan sát bảng kết quả nhận được , khoảng nào làm cho hàm số luôn tăng thì là khoảng đồng biến, khoảng nào làm cho hàm số luôn giảm là khoảng ngịch biến. Cách 2 : Tính đạo hàm, thiết lập bât phương trình đạo hàm, cô lập m và đưa về dạng m f x hoặc m f x . Tìm Min, Max của hàm f x rồi kết luận. Cách 3 : Tính đạo hàm, thiết lập bất phương trình đạo hàm. Sử dụng tính năng giải bất phương trình INEQ của máy tính Casio (đôi với bất phương trình bậc hai, bậc ba) II. MỘT SỐ BÀI TOÁN MINH HỌA Bài toán 1: Hỏi hàm số y 2 x4 1 đồng biến trên khoảng nào ? 1 1 A. ; B. 0;  C. ;  D. ;0 2 2 [Đề minh họa thi THPT Quốc Gian lần 1 năm 2017] Lời giải: Cách 1 : CASIO MODE 7 Để kiểm tra đáp án A ta sử dụng chức năng lập bảng giá trị MODE 7 với thiết lập Start 10 End 1 Step 0.5 2 w72Q)^4$+1==p10=p0.5=0.5= Ta thấy ngay khi x càng tăng thì f x càng giảm Đáp án A sai Tương tự như vậy, để kiểm tra đáp án B ta cũng sử dụng chức năng MODE 7 với thiết lập Start 0 End 9 Step 0.5 w72Q)^4$+1==0=9=0.5= Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 34
34. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn Ta thấy khi x càng tăng thì tương ứng f x càng tăng Đáp án B đúng Cách 2 : CASIO ĐẠO HÀM 1 1 Kiểm tra khoảng ; ta tính f ' 0.1 2 2 qy2Q)^4$+1$pa1R2$p0.1= 1 Đạo hàm ra âm (hàm số nghịch biến) Giá trị 0.1 vi phạm Đáp án A sai 2 Kiểm tra khoảng ;0 ta tính f ' 0 0.1 !!!!!!oooooo= Điểm 0 0.1 vi phạm Đáp án D sai và C cũng sai Đáp án chính xác là B 1331 Xác minh thêm 1 lần nữa xem B đúng không . Ta tính f ' 1 0.1 Chính xác 125 !!!!!o1+= Cách 3 : CASIO MODE 5 INEQ Hàm số bậc 4 khi đạo hàm sẽ ra bậc 3. Ta nhẩm các hệ số này trong đầu. Sử dụng máy tính Casio để giải bất phương trình bậc 3 wR1238=0=0=0== Rõ ràng x 0 Cách tham khảo : Tự luận Tính đạo hàm y' 8 x3 Để hàm số đồng biến thì y' 0 x3 0 x 0 . Vậy hàm số đồng biến trên khoảng 0;  Bình luận : Khi sử dụng Casio ta phải để ý : Hàm số đồng biến trên khoảng a; b thì sẽ luôn tăng khi x tăng. Nếu lúc tăng lúc giảm thì không đúng . Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 35
35. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn Bài toán 2: Hàm số y x3 3 x 2 mx m đồng biến trên tập xác định khi giá trị của m là : A. m 1 B. m 3 C. 1 m 3 D. m 3 [Thi thử báo Toán học tuổi trẻ lần 4 năm 2017] Lời giải: Cách 1 : CASIO Để giải các bài toán liên quan đến tham số m thì ta phải cô lập m Hàm số đồng biến y' 0 3 x2 6 x m 0 m 3 x 3 6 x f x Vậy để hàm số y đồng biến trên tập xác định thì m f x hay m max f x với mọi x thuộc R Để tìm Giá trị lớn nhất của f x ta vẫn dùng chức năng MODE 7 nhưng theo cách dùng của kỹ thuật Casio tìm min max w7p3Q)dp6Q)==p9=10=1= Quan sát bảng giá trị ta thấy giá trị lớn nhất của f x là 3 khi x 1 Vậy m 3 Cách tham khảo : Tự luận Tính đạo hàm y' 3 x2 6 x m Để hàm số đồng biến thì y' 0 3 x2 6 x m 0 với mọi x R (*) ' 0 9 3m 0 m 3 Bình luận : Kiến thức (*) áp dụng định lý về dấu của tam thức bậc 2 : “Nếu tam thức bậc hai ax2 bx c có 0 thì dấu của tam thức bậc 2 luôn cùng dấu với a ” . tanx 2 Bài toán 3: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y đồng biến tan x m trên khoảng 0; 4 m 0 A. B. m 2 C.1 m 2 D. m 2 1 m 2 [Đề minh họa thi THPT Quốc Gian lần 1 năm 2017] Lời giải: Cách 1 : CASIO Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 36
36. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn Để bài toán dễ nhìn hơn ta tiến hành đặt ẩn phụ : Đặt tan x t . Đổi biến thì phải tìm miền giá trị của biến mới. Để làm điều này ta sử dụng chức năng MODE 7 cho hàm f x tan x . qw4w7lQ))==0=qKP4=(qKP4)P1 9= Ta thấy 0 tanx 1 vậy t 0;1 t 2 Bài toán trở thành tìm m để hàm số y đồng biến trên khoảng 0;1 t m t m t 2 2 m Tính đạo hàm : y' 2 2 t m t m 2 m y' 02 0 m 2 (1) t m Kết hợp điều kiện xác định t m 0 m t m  0;1 (2) m 0 Từ (1) và (2) ta được Đáp án A là chính xác 1 m 2 Bình luận : Bài toán chứa tham só m ở dưới mẫu thường đánh lừa chúng ta. Nếu không tỉnh táo chúng ta sẽ chọn luôn đáp án B Tuy nhiên điểm nhấn của bài toán này là phải kết hợp điều kiện ở mẫu số. m t mà t 0;1 vậy m 0;1 . Bài toán 4: Với giá trị nào của tham số m thì hàm số y sin x cos x 2017 2 mx đồng biến trên R 1 1 A. m 2017 B. m 0 C. m D. m 2017 2017 [Thi thử báo Toán học tuổi trẻ lần 3 năm 2017] Lời giải: Cách 1 : CASIO Tính đạo hàm y' cos x sin x 2017 2 m sinx cos x y' 0 m f x 2017 2 Để hàm số luôn đồng biến trên R thì m f x đúng với mọi x R hay m max f x Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 37
37. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn Để tìm giá trị lớn nhất của hàm số ta lại sử dụng chức năng MODE 7. Vì hàm f x là hàm lượng giác mà hàm lượng giác sinx ,cos x thì tuần hoàn với chu kì 2 vậy ta sẽ thiết lập Start 0 2 End 2 Step 19 qw4w7apjQ))pkQ))R2017s2==0= 2qK=2qKP19= Quan sát bảng giá trị của FX ta thấy f max f 3.9683 5.10 4 1 1 Đây là 1 giá trị vậy m Đáp án chính xác là C 2017 2017 Cách tham khảo : Tự luận sinx cos x Tính đạo hàm y' cos x sin x 2017 2 m. y' 0 m f x 2017 2 2 2 2 Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki thì sinx cos x 1 1 sin2 x cos 2 x 2 2 sinx cos x 2 2 2 f x 2017 2 2017 2 2 1 1 f x đạt giá trị lớn nhất là m f max 2017 2 2017 2017 Bình luận : Vì chu kì của hàm sinx ,cos x là 2 nên ngoài thiết lập Start 0 End 2 thì ta có thể thiết lập Start End Nếu chỉ xuất hiện hàm tanx , cot x mà hai hàm này tuần hoàn theo chu kì thì ta có thể thiết lập Start 0 End Step 19 Bài toán 5: Cho hàm số y x4 2 x 2 1 . Mệnh đền nào dưới đây đúng ? A. Hàm số đồng biến trên khoảng ; 1 B. Hàm số đồng biến trên khoảng ;0 C. Hàm số đồng biến trên khoảng 0;  D. Hàm số đồng biến trên khoảng 1;  [Thi thử chuyên KHTN –HN lần 2 năm 2017] Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 38
38. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn Lời giải: Giải bất phương trình đạo hàm với lệnh MODE 5 INEQ wR123p4=0=4=0== Rõ ràng hàm số đồng biến trên miền ; 1 và 0;1 Đáp số chính xác là A Bài toán 6: Trong các hàng số sau, hãy chỉ ra hàm số giảm (nghịch biến) trên R x x x 5 3x 1 A. y B. y C. y D. y 3 3e 2 2 [Thi thử báo Toán học tuổi trẻ lần 3 năm 2017] Lời giải: Hàm số ngịch biến trên R tức là luôn giảm x Kiểm tra tính nghịch biến y của hàm với chức năng MODE 7 Start 9 End 10 Step 1 3 w7(aqKR3$)^Q)==p9=10=1= Ta thấy f x luôn tăng A sai x 1 Tương tự như vậy , với hàm y ta thấy f x luôn giảm Đáp án chính xác là D 2 2 w7(a1R2s2$$)^Q)==p9=10=1= m 1 x 1 Bài toán 7: Tìm các giá trị thực của tham số m để hàm số y đồng biến trên từng 2x m khoảng xác định m 1 A. m 2 B. C. m 2 D. 1 m 2 m 2 [Thi Học sinh giỏi tỉnh Ninh Bình năm 2017] Lời giải: 3 1 x 1 Chọn m 3 . Khảo sát hàm y với chức năng MODE 7 x 3 w7a(p3p1)Q)+1R2Q)p3==p9=10= 1= Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 39
39. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn Ta thấy hàm số lúc tăng lúc giảm m 3 sai A, B, C đều sai Đáp số chính xác là D Chú ý : Việc chọn m khéo léo sẽ rút ngắn quá trình thử đáp án m sin x Bài toán 8: Tìm các giá trị thực của tham số m để hàm số y nghịch biến trên cos2 x khoảng 0; 6 5 5 5 5 A. m B. m C. m D. m 2 2 4 4 [Thi thử chuyên Hạ Long – Quảng Ninh lần 1 năm 2017] Lời giải: 3 sin x Chọn m 3 . Khảo sát hàm y với chức năng MODE 7 cos2 x qw4w7a3pjQ))RkQ))d==0=qKP6 =qKP6P19= Ta thấy hàm số lúc tăng lúc giảm m 3 sai A, D đều sai 1.3 sin x Chọn m 1.3 . Khảo sát hàm y với chức năng MODE 7 cos2 x w7a1.3pjQ))RkQ))d==0=qKP6=q KP6P19= Ta thấy hàm số luôn m 1.3 đúng B là đáp số chính xác (Đáp án C không chứa 1.3 nên sai) Bài toán 9: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số 3 2 y 2 sin x 3sin x m sin x đồng biến trên khoảng 0; 2 3 3 3 A. m 0 B. m C. m D. m 2 2 2 [Thi thử chuyên Vị Thanh – Hậu Giang lần 1 năm 2017] Lời giải: Chọn m 5 . Khảo sát hàm y 2sin3 x 3sin 2 x 5sin x với chức năng MODE 7 Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 40
40. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn w72jQ))^3$p3jQ))dp5jQ))==0= qKP2=qKP20= Ta thấy hàm số luôn giảm m 5 sai B sai Chọn m 1 . Khảo sát hàm y 2 sin3 x 3sin 2 x sin x với chức năng MODE 7 C!!!!oo+=== Ta thấy hàm số lúc tăng lúc giảm m 1 sai A sai 3 3 Chọn m . Khảo sát hàm y 2sin3 x 3sin 2 x sin x với chức năng MODE 7 2 2 C!!!!(3P2)=== 3 Ta thấy hàm số luôn tăng m đúng C sai 2 Bài toán 10: Tìm m để hàm số y mx3 x 2 3 x m 2 đồng biến trên khoảng 3; 0 ? A. m 0 B. m 1 C. 3m 1 D. m 1 [Thi thử chuyên Lương Văn Tụy lần 1 năm 2017] Lời giải: 2x 3 Tính đạo hàm y' 3 mx2 2 x 3 . Hàm số đồng biến 3mx2 2 x 3 0 m f x 3x2 Vậy m f max trên miền 3; 0 . Tìm f max bằng lệnh MODE 7 w7a2Q)p3R3Q)d==p3=0=3P19= 1 1 Ta thấy f max 0.3333 m sai D là đáp số chính xác 3 3 ex m 2 Bài toán 11: Tìm tất cả giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y đồng biến ex m2 1 trong khoảng ln ; 0 4 1 1 1 1 A. m 1; 2 B. m ; C. m 1; 2 D. m ;  1; 2 2 2 2 2 Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 41
41. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn [Thi thử THPT Bảo Lâm – Lâm Đồng lần 1 năm 2017] Lời giải: ex 1 2 Chọn m 1 . Khảo sát hàm y với chức năng MODE 7 ex 12 w7aQK^Q)$p1p2RQK^Q)$p1d==h 1P4)=0=ph1P4)P19= Ta thấy hàm số luôn tăng trên m 1 nhận A, D có thể đúng ex 1 2 Chọn m 1 . Khảo sát hàm y 2 với chức năng MODE 7 ex 1 C$$$$$$(p$)R$$$$$(p$)=== Ta thấy hàm số luôn không đổi (hàm hằng) m 1 loại A sai và D là đáp số chính xác. Bài toán 12: Tìm tất cả các giá trị thực m để hàm số y 2 x3 3 m 1 x 2 6 m 2 x 3 nghịch biến trên khoảng có độ dài lớn hơn 3. m 6 A. B. m 6 C. m 0 D. m 9 m 0 [Thi thử chuyên Trần Phú – Hải Phòng lần 1 năm 2017] Lời giải: x x 1 m Tính y' 6 x2 6 m 1 x 6 m 2 . Theo Vi-et ta có : 1 2 x1 x 2 m 2 2 2 Khoảng nghịch biến lớn hơn 3 x1 x 2 3 x 1 x 2 9 x1 x 2 4 x 1 x 2 9 0 2 1 m 4 m 2 9 0 Sử dụng MODE 7 với Start 3 End 10 Step 1 để giải bất phương trình trên w7(1pQ))dp4(Q)p2)p9==p3=10= 1= m 6 Ta nhận được A là đáp số chính xác. m 0 Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 42
42. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM I. ĐỀ BÀI x 1 Câu 1. Cho hàm số y . Khẳng định nào sao đây là khẳng đinh đúng? 1 x  A. Hàm số nghịch biến trên khoảng ;1 1; . B. Hàm số đồng biến trên khoảng ;1  1; . C. Hàm số nghịch biến trên các khoảng ;1 và 1; . D. Hàm số đồng biến trên các khoảng ;1 và 1; . Câu 2. Cho hàm số y x3 3 x 2 3 x 2 . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? A. Hàm số luôn nghịch biến trên . B. Hàm số nghịch biến trên các khoảng ;1 và 1; . C. Hàm số đồng biến trên khoảng ;1 và nghịch biến trên khoảng 1; . D. Hàm số luôn đồng biến trên . Câu 3. Cho hàm số y x4 4 x 2 10 và các khoảng sau: (I): ; 2 ; (II): 2; 0 ; (III): 0; 2 ; Hỏi hàm số đồng biến trên các khoảng nào? A. Chỉ (I). B. (I) và (II). C. (II) và (III). D. (I) và (III). 3x 1 Câu 4. Cho hàm số y . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? 4 2x A. Hàm số luôn nghịch biến trên . B. Hàm số luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định. C. Hàm số đồng biến trên các khoảng ; 2 và 2; . D. Hàm số nghịch biến trên các khoảng ; 2 và 2; . Câu 5. Hỏi hàm số nào sau đây luôn nghịch biến trên ? A. h( x ) x4 4 x 2 4 . B. g( x ) x3 3 x 2 10 x 1. 4 4 C. f() x x5 x 3 x . D. k( x ) x3 10 x cos 2 x . 5 3 x2 3 x 5 Câu 6. Hỏi hàm số y nghịch biến trên các khoảng nào ? x 1 A. ( ; 4)và (2; ) . B. 4; 2 . C. ; 1 và 1; . D. 4; 1 và 1; 2 . x3 Câu 7. Hỏi hàm số y 3 x2 5 x 2 nghịch biến trên khoảng nào? 3 A. (5; ) B. 2; 3 C. ;1 D. 1; 5 Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 43
43. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn 3 Câu 8. Hỏi hàm số y x5 3 x 4 4 x 3 2 đồng biến trên khoảng nào? 5 A. ( ;0) . B. . C. (0;2). D. (2; ) . Câu 9. Cho hàm số y ax3 bx 2 cx d . Hỏi hàm số luôn đồng biến trên khi nào? a b 0, c 0 a b 0, c 0 A. 2 . B. 2 . a 0; b 3 ac 0 a 0; b 3 ac 0 a b 0, c 0 a b c 0 C. . D. . 2 2 a0; b 3 ac 0 a0; b 3 ac 0 Câu 10. Cho hàm số y x3 3 x 2 9 x 15 . Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai? A. Hàm số nghịch biến trên khoảng 3;1 . B. Hàm số đồng biến trên . C. Hàm số đồng biến trên 9; 5 . D. Hàm số đồng biến trên khoảng 5; . Câu 11. Cho hàm số y 3 x2 x 3 . Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai? A. Hàm số đồng biến trên khoảng 0; 2 . B. Hàm số đồng biến trên các khoảng ; 0 ; 2; 3 . C. Hàm số nghịch biến trên các khoảng ;0 ; 2; 3 . D. Hàm số nghịch biến trên khoảng 2; 3 . x Câu 12. Cho hàm số y sin2 x , x 0; . Hỏi hàm số đồng biến trên các khoảng nào? 2 7 11 7 11 A. 0; và ; . B. ; . 12 12 12 12 7 7 11 7 11 11 C. 0; và ; . D. ;; và . 12 12 12 12 12 12 Câu 13. Cho hàm số y x cos2 x . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? A. Hàm số luôn đồng biến trên . B. Hàm số đồng biến trên k ; và nghịch biến trên khoảng ; k . 4 4 C. Hàm số nghịch biến trên k ; và đồng biến trên khoảng ; k . 4 4 D. Hàm số luôn nghịch biến trên . Câu 14. Cho các hàm số sau: 1 x 1 (I) :y x3 x 2 3 x 4 ; (II) : y ; (III) :y x2 4 3 x 1 (IV) :y x3 4 x sin x ; (V) :y x4 x 2 2 . Có bao nhiêu hàm số đồng biến trên những khoảng mà nó xác định? Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 44
44. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn A. 2. B. 4. C. 3. D. 5. Câu 15. Cho các hàm số sau: (I) :y x3 3 x 2 3 x 1; (II) :y sin x 2 x ; x 2 (III) :y x3 2 ; (IV) : y 1 x Hỏi hàm số nào nghịch biến trên toàn trục số? A. (I), (II). B. (I), (II) và (III). C. (I), (II) và (IV). D. (II), (III). Câu 16. Xét các mệnh đề sau: (I). Hàm số y ( x 1)3 nghịch biến trên . x (II). Hàm số y ln( x 1) đồng biến trên tập xác định của nó. x 1 x (III). Hàm số y đồng biến trên . x2 1 Hỏi có bao nhiêu mệnh đề đúng? A. 3. B. 2. C. 1. D. 0. Câu 17. Cho hàm số y x 1 x 2 . Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai? 1 A. Hàm số nghịch biến trên khoảng 1; . 2 B. Hàm số nghịch biến trên khoảng ( ; 1) . 1 C. Hàm số đồng biến trên các khoảng ( ; 1) và ; . 2 1 1 D. Hàm số nghịch biến trên khoảng 1; và đồng biến trên khoảng ; . 2 2 Câu 18. Cho hàm số y x 3 2 2 x . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng? A. Hàm số nghịch biến trên khoảng ; 2 và đồng biến trên khoảng 2; 2 . B. Hàm số đồng biến trên khoảng ; 2 và nghịch biến trên khoảng 2; 2 . C. Hàm số đồng biến trên khoảng ;1 và nghịch biến trên khoảng 1; 2 . D. Hàm số nghịch biến trên khoảng ;1 và đồng biến trên khoảng 1; 2 . Câu 19. Cho hàm số y cos 2 x sin 2 x .tan x ,  x ; . Khẳng định nào sau đây là khẳng 2 2 định đúng? A. Hàm số luôn giảm trên ; . B. Hàm số luôn tăng trên ; . 2 2 2 2 C. Hàm số không đổi trên ; . D. Hàm số luôn giảm trên ;0 2 2 2 x m 2 Câu 20. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y giảm trên các x 1 khoảng mà nó xác định ? Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 45
45. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn A. m 3. B. m 3. C. m 1. D. m 1. Câu 21. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số sau luôn nghịch biến trên ? 1 y x3 mx 2 (2 m 3) x m 2 3 A. 3 m 1. B. m 1. C. 3 m 1. D. m 3; m 1. x2 ( m 1) 2 m 1 Câu 22. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y tăng x m trên từng khoảng xác định của nó? A. m 1. B. m 1. C. m 1. D. m 1. Câu 23. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y f( x ) x m cos x luôn đồng biến trên ? 3 1 A. m 1 . B. m . C. m 1 . D. m . 2 2 Câu 24. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y ( m 3) x (2 m 1)cos x luôn nghịch biến trên ? 2 m 3 A. 4 m . B. m 2 . C. . D. m 2 . 3 m 1 Câu 25. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số sau luôn đồng biến trên ? y 2 x3 3( m 2) x 2 6( m 1) x 3 m 5 A. 0. B. –1. C. 2. D. 1. x3 Câu 26. Tìm giá trị nhỏ nhất của tham số m sao cho hàm số y mx2 mx m luôn đồng 3 biến trên ? A. m 5 . B. m 0 . C. m 1. D. m 6 . (m 3) x 2 Câu 27. Tìm số nguyên m nhỏ nhất sao cho hàm số y luôn nghịch biến trên các x m khoảng xác định của nó? A. m 1. B. m 2 . C. m 0 . D. Không có m . mx 4 Câu 28. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y giảm trên khoảng x m ;1 ? A. 2 m 2 . B. 2 m 1. C. 2 m 1. D. 2 m 2 . Câu 29. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y x3 6 x 2 mx 1 đồng biến trên khoảng 0; ? A. m 0 . B. m 12 . C. m 0 . D. m 12 . Câu 30. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y x4 2( m 1) x 2 m 2 đồng biến trên khoảng (1; 3) ? A. m 5; 2 . B. m ; 2 . C. m 2, . D. m ; 5 . Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 46
46. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn 1 1 Câu 31. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y x3 mx 2 2 mx 3 m 4 3 2 nghịch biến trên một đoạn có độ dài là 3? A. m 1; m 9 . B. m 1. C. m 9 . D. m 1; m 9 . tanx 2 Câu 32. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y đồng biến trên tan x m khoảng 0; ? 4 A. 1 m 2 . B. m 0;1 m 2 . C. m 2 . D. m 0 . Câu 33. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số mx3 y f( x ) 7 mx2 14 x m 2 giảm trên nửa khoảng [1; ) ? 3 14 14 14 14 A. ; . B. ; . C. 2; . D. ; . 15 15 15 15 Câu 34. Tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y x4 (2 m 3) x 2 m nghịch p p biến trên khoảng 1; 2 là ; , trong đó phân số tối giản và q 0 . Hỏi tổng p q q q là? A. 5. B. 9. C. 7. D. 3. x2 2 mx m 2 Câu 35. Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m sao cho hàm số y x m đồng biến trên từng khoảng xác định của nó? A. Hai. B. Bốn. C. Vô số. D. Không có. Câu 36. Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m sao cho hàm số 2x2 (1 m ) x 1 m y đồng biến trên khoảng (1; ) ? x m A. 3. B. 1. C. 2. D. 0. Câu 37. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số và  sao cho hàm số x3 1 3 y f( x ) (sin cos ) x2 x sin cos  2 luôn giảm trên ? 3 2 2 5 A. k k , k  và  2 . B. k k , k  và  2 . 12 4 12 12 5 C. k , k  và  2 . D. k , k  và  2 . 4 12 Câu 38. Tìm mối liên hệ giữa các tham số a và b sao cho hàm số y f( x ) 2 x a sin x b cos x luôn tăng trên ? 1 1 1 2 A. 1. B. a 2 b 2 3 . C. a2 b 2 4 . D. a 2 b . a b 3 Câu 39. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phương trình x3 3 x 2 9 x m 0 có đúng 1 nghiệm? Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 47
47. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn A. 27 m 5 . B. m 5 hoặc m 27 . C. m 27 hoặc m 5 . D. 5 m 27 . Câu 40. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phương trình 2x 1 x m có nghiệm thực? A. m 2 . B. m 2 . C. m 3 . D. m 3 . Câu 41. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phương trình x2 4 x 5 m 4 x x 2 có đúng 2 nghiệm dương? A. 1 m 3 . B. 3 m 5 . C. 5 m 3 . D. 3 m 3. Câu 42. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho mọi nghiệm của bất phương trình: x2 3 x 2 0 cũng là nghiệm của bất phương trình mx2 m 1 x m 1 0 ? 4 4 A. m 1. B. m . C. m . D. m 1. 7 7 Câu 43. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phương trình: log2x log 2 x 1 2 m 1 0 có ít nhất một nghiệm trên đoạn 1; 3 3 ? 3 3 A. 1 m 3 . B. 0 m 2 . C. 0 m 3 . D. 1 m 2 . Câu 44. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phương trình x2 mx 2 2 x 1 có hai nghiệm thực? 7 3 9 A. m . B. m . C. m . D. m . 2 2 2 Câu 45. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho phương trình 3x 1 m x 1 24 x2 1 có hai nghiệm thực? 1 1 1 1 A. m 1 . B. 1 m . C. 2 m . D. 0 m . 3 4 3 3 Câu 46. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho bất phương trình 2 1 (1 2x )(3 x ) m 2 x 5 x 3 nghiệm đúng với mọi x ; 3 ? 2 A. m 1. B. m 0 . C. m 1. D. m 0 . Câu 47. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho bất phương trình 3 1 x 3 x 2 (1 x )(3 x ) m nghiệm đúng với mọi x [ 1; 3]? A. m 6 . B. m 6 . C. m 6 2 4 . D. m 6 2 4 . Câu 48. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho bất phương trình 3 x 6 x 18 3 x x2 m 2 m 1 nghiệm đúngx  3,6? A. m 1. B. 1 m 0 . C. 0 m 2 . D. m 1 hoặc m 2 . Câu 49. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho bất phương trình m.4x m 1 .2 x 2 m 1 0 nghiệm đúng x ? A. m 3 . B. m 1. C. 1 m 4 . D. m 0 . Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 48
48. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn 1 Câu 50. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho bất phương trình: x3 3 mx 2 x3 nghiệm đúng x 1 ? 2 2 3 1 3 A. m . B. m . C. m . D. m . 3 3 2 3 2 2 2 2 Câu 51. Tìm giá trị lớn nhất của tham số m sao cho bất phương trình 2cosx 3 sin x m .3 cos x có nghiệm? A. m 4 . B. m 8 . C. m 12 . D. m 16 . 3 2 Câu 52. Bất phương trình 2x 3 x 6 x 16 4 x 2 3 có tập nghiệm là a; b . Hỏi tổng a b có giá trị là bao nhiêu? A. 2 . B. 4. C. 5. D. 3. 2 2 Câu 53. Bất phương trình x 2 x 3 x 6 x 11 3 x x 1 có tập nghiệm a; b . Hỏi hiệu b a có giá trị là bao nhiêu? A. 1. B. 2. C. 3. D. 1 . Câu 54. (NGÔ GIA TỰ - VP) Tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y 2 x3 3 m 1 x 2 6 m 2 x 2017 nghịch biến trên khoảng a; b sao cho b a 3 là m 0 A. m 6 . B. m 9 . C. m 0 . D. . m 6 3 2 Câu 55. (CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU) Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số y 2x x mx đồng biến trên 1,2 . 1 1 A. m . B. m . C. m 1. D. m 8 . 3 3 Câu 56. (CHUYÊN HÙNG VƯƠNG – GL) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số mđể đồ thị hàm số y sin x cos x mx đồng biến trên . A. 2 m 2. B. m 2. C. 2 m 2. D. m 2. x2 4 x Câu 57. (BIÊN HÒA – HÀ NAM) Hàm số y đồng biến trên 1; thì giá trị của m x m là: 1 1 1 A. m ; 2 \ 1. B. m 1; 2 \ 1. C. m 1; . D. m 1; . 2 2 2 Câu 58. (LÊ HỒNG PHONG) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y ln 16 x2 1 m 1 x m 2 nghịch biến trên khoảng ;. A. m ; 3 . B. m 3; . C. m ; 3 . D. m 3; 3 . cotx 1 Câu 59. (LÊ HỒNG PHONG) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y mcot x 1 đồng biến trên khoảng ; . 4 2 Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 49
49. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn A. m ;0  1; . B. m ;0 . C. m 1; . D. m ;1 . Câu 60. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y f( x ) x m cos x luôn đồng biến trên ? 3 1 A. m 1 . B. m . C. m 1. D. m . 2 2 Câu 61. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y ( m 3) x (2 m 1)cos x luôn nghịch biến trên ? 2 m 3 A. 4 m . B. m 2 . C. . D. m 2 . 3 m 1 Câu 62. Tìm mối liên hệ giữa các tham số avà b sao cho hàm số y f( x ) 2 x a sin x bcos x luôn tăng trên ? 1 1 1 2 A. 1. B. a 2 b 2 3 . C. a2 b 2 4 . D. a 2 b . a b 3 Câu 63. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y x3 6 x 2 mx 1 đồng biến trên khoảng 0; ? A. m 0 . B. m 12 . C. m 0 . D. m 12 . Câu 64. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y x4 2( m 1) x 2 m 2 đồng biến trên khoảng (1; 3) ? A. m 5; 2 . B. m ; 2 . C. m 2, . D. m ; 5 . 1 1 Câu 65. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y x3 mx 2 2 mx 3 m 4 3 2 nghịch biến trên một đoạn có độ dài là 3? A. m 1; m 9 . B. m 1. C. m 9 . D. m 1; m 9 . tanx 2 Câu 66. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y đồng biến trên tan x m khoảng 0; ? 4 A.1 m 2 . B. m 0;1 m 2 . C. m 2 . D. m 0 . Câu 67. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số mx3 y f( x ) 7 mx2 14 x m 2 giảm trên nửa khoảng [1; ) ? 3 14 14 14 14 A. ; . B. ; . C. 2; . D. ; . 15 15 15 15 Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 50
50. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn Câu 68. Tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số y x4 (2 m 3) x 2 m nghịch p p biến trên khoảng 1; 2 là ; , trong đó phân số tối giản và q 0 . Hỏi tổng p q q q là? A. 5. B. 9. C. 7. D. 3. Câu 69. Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m sao cho hàm số 2x2 (1 m ) x 1 m y đồng biến trên khoảng (1; ) ? x m A. 3. B. 1. C. 2. D. 0. Câu 70. (CHUYÊN THÁI BÌNH – L4) Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số y m x3 1 x 3 đồng biến trên 0; 1 . A. m 2. B. m 2. C. m 1. D. m 1. Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 51
51. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn II. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI 1D 2A 3D 4B 5C 6D 7D 8B 9A 10B 11B 12A 13A 14C 15A 16A 17B 18C 19C 20D 21A 22B 23A 24A 25A 26C 27D 28C 29D 30B 31A 32B 33B 34C 35C 36D 37B 38C 39C 40B 41B 42C 43B 44C 45D 46D 47D 48D 49B 50A 51A 52C 53A 54D 55D 56D 57D 58B 59B 60A 61A 62C 63D 64B 65A 66B 67B 68C 69D 70B Câu 1. Chọn D. 2 TXĐ: D \ 1. Ta có y' 0,  x 1 (1 x )2 Hàm số đồng biến trên các khoảng ( ;1) và (1; ) Câu 2. Chọn A. TXĐ: D . Ta có y' 3 x2 6 x 3 3( x 1) 2 0 ,  x Câu 3. Chọn D. x 0 TXĐ: D . y' 4 x3 8 x 4 x (2 x 2 ) . Giải y' 0 x 2 Trên các khoảng ; 2 và 0; 2 , y' 0 nên hàm số đồng biến. Câu 4. Chọn B. 10 TXĐ: D \ 2 . Ta có y' 0,  x D . ( 4 2x )2 Câu 5. Chọn C. Ta có: f'( x ) 4 x4 4 x 2 1 (2 x 2 1) 2 0,  x . Câu 6. Chọn D. x2 2 x 8 x 2 2 TXĐ: D \ 1. y' 2 . Giải y' 0 x 2 x 8 0 (x 1) x 4 y' không xác định khi x 1. Bảng xét dấu: x 4 1 2 y 0 – – 0 Hàm số nghịch biến trên các khoảng 4; 1 và 1; 2 Câu 7. Chọn D. 2 x 1 TXĐ: D . y' x 6 x 5 0 x 5 Trên khoảng 1; 5 , y ' 0 nên hàm số nghịch biến. Câu 8. Chọn B. Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 52
52. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn 4 3 2 2 2 TXĐ: D . y' 3 x 12 x 12 x 3 x ( x 2) 0 ,  x Câu 9. Chọn A. a b 0, c 0 2  y' 3 ax 2 bx c 0, x 2 a 0; b 3 ac 0 Câu 10. Chọn B. TXĐ: D . Do y' 3 x2 6 x 9 3( x 1)( x 3) nên hàm số không đồng biến trên . Câu 11. Chọn B. 2 2 3 6x 3 x HSXĐ: 3x x 0 x 3 suy ra D ( ; 3]. y' , x ; 3 . 2 3x2 x 3 x 0 x 0 Giải y' 0 . y' không xác định khi . x 2 x 3 Bảng xét dấu: x 0 2 3 y 0 Hàm số nghịch biến ( ;0) và (2;3). Hàm số đồng biến (0;2) Câu 12. Chọn A. x k 1 1 TXĐ: D . y' sin 2 x . Giải y' 0 sin 2 x 12 , k 2 2 7 x k 12 7 11 Vì x 0; nên có 2 giá trị x và x thỏa mãn điều kiện. 12 12 Bảng xét dấu: 7 11 x 0 12 12 y 0 0 7 11 Hàm số đồng biến 0; và ; 12 12 Câu 13. Chọn A. TXĐ: D ; y 1 sin 2 x 0  x suy ra hàm số luôn đồng biến trên Câu 14. Chọn C. 2 (I): y x2 2 x 3 x 1 2 0,  x . x 1 2 x (II): y 0,  x 1 (III): y x2 4 2 x 1 (x 1) x2 4 2 3 2 (IV): y 3 x 4 cos x 0,  x (V): y 4 x 2 x 2 x (2 x 1) Câu 15. Chọn A. (I): y' ( x3 3 x 2 3 x 1)' 3 x 2 6 x 3 3( x 1) 2  0, x ; Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 53
53. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn (II): y' (sin x 2 x )' cos x 2 0,  x ; 3x2 (III) y x3 2 0,  x 3 2; ; 2x3 2 x 2 x 2 1 (IV) y' 0,  x 1 1 x x 1 (1 x )2 Câu 16. Chọn A. 3 2 (I) y ( x 1) 3( x 1) 0,  x x x  (II) y ln( x 1) 2 0, x 1 x 1 x 1 2 x 2 2 x 1 x . 1.x 1 x . x 1 2 x 1 1 (III) y 0, x x2 1 x 2 1 2 2 x 1 x 1 Câu 17. Chọn B. 2x 1 khi x 1 1 y ; y 0 x 2x 1 khi x 1 2 1 x 1 2 y 0 Câu 18. Chọn C. 2 x 1 TXĐ: D ; 2 . Ta có y ,  x ; 2 . 2 x Giải y 0 2 x 1 x 1; y' không xác định khi x 2 Bảng xét dấu: x 1 2 y 0 Dựa vào bảng xét dấu, hàm số đồng biến trên khoảng ;1 và nghịch biến trên khoảng 1; 2 . Câu 19. Chọn C. Xét trên khoảng ; . 2 2 cos2x .cos x sin 2 x .sin x Ta có: y cos 2 x sin 2 x .tan x 1 y 0 cos x Hàm số không đổi trên ; . 2 2 Câu 20. Chọn D Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 54
54. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn m 1 Tập xác định: D \ 1. Ta có y 2 x 1 Để hàm số giảm trên các khoảng mà nó xác định y 0,  x 1 m 1 Câu 21. Chọn A Tập xác định: D . Ta có y x2 2 mx 2 m 3 . Để hàm số nghịch biến trên thì a 0 1 0 (hn )  y y0, x 2 3m 1 0 m 2 m 3 0 Câu 22. Chọn B. x2 2 mx m 2 m 1 Tập xác định: D \ m . Ta có y ()x m 2 Để hàm số tăng trên từng khoảng xác định của nó 1 0(hn )  y 0, x D x2 2 mx m 2  m 1 0, x D m 1 m 1 0 Câu 23. Chọn A. Tập xác định: D . Ta có y 1 m sin x . Hàm số đồng biến trên y' 0,  x m sin x 1,  x Trường hợp 1: m 0 ta có 0 1, x . Vậy hàm số luôn đồng biến trên 1 1 Trường hợp 2: m 0 ta có sinx ,  x 1 m 1 m m 1 1 Trường hợp 3: m 0 ta có sinx ,  x 1 m 1. Vậy m 1 m m Câu 24. Chọn A. Tập xác định: D . Ta có: y' m 3 (2 m 1)sin x Hàm số nghịch biến trên y' 0,  x (2 m 1)sin x 3 m ,  x 1 7 TH1: m ta có 0 , x . Vậy hàm số luôn nghịch biến trên . 2 2 1 3 m 3 m TH 2: m ta có sinx ,  x 1 3 m 2 m 1 m 4 2 2m 1 2 m 1 1 TH 3: m ta có: 2 3 m 3 m 2 2 sinx ,  x 1 3 m 2 m 1 m . Vậy m 4; 2m 1 2 m 1 3 3 Câu 25. Chọn A. 2 x 1 Tính nhanh, ta có f ( x ) 0 6 x 6 m 2 x 6 m 1 0 x m 1 Phương trình f ( x ) 0 có nghiệm kép khi m 0 , suy ra hàm số luôn đồng biến trên Trường hợp m 0 , phương trình f ( x ) 0 có hai nghiệm phân biệt (không thỏa YCBT) Câu 26. Chọn C. Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 55
55. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn Tập xác định: D . Ta có y x2 2 mx m 1 0(hn )  Hàm số đồng biến trên y0, x 2 1 m 0 m m 0 Vậy giá trị nhỏ nhất của m để hàm số đồng biến trên là m 1 Câu 27. Chọn D. m2 3 m 2 Tập xác định: D\ m . Ta có y 2 x m Yêu cầu đề bài y  0, x D m2 3 m 2 0 2 m 1 Vậy không có số nguyên m nào thuộc khoảng 2; 1 . Câu 28. Chọn C m2 4 Tập xác định D\ m . Ta có y 2 . Để hàm số giảm trên khoảng ;1 x m m2 4 0 y 0,  x ;1 2 m 1. 1 m Câu 29. Chọn D. Cách 1: Tập xác định: D . Ta có y 3 x2 12 x m Trường hợp 1: 3 0 (hn ) Hàm số đồng biến trên y 0,  x m 12 36 3m 0 Trường hợp 2: Hàm số đồng biến trên 0; y 0 có hai nghiệm x1, x 2 thỏa x1 x 2 0 (*) Trường hợp 2.1: y 0 có nghiệm x 0 suy ra m 0 . Nghiệm còn lại của y 0 là x 4(không thỏa (*)) Trường hợp 2.2: y 0 có hai nghiệm x1, x 2 thỏa 0 36 3m 0 x1 x 2 0 S 0 4 0(vl ) không có m .Vậy m 12 P 0 m 0 3 Cách 2: Hàm số đồng biến trên 0; m 12 x 3 x2 g ( x ),  x (0; ) . Lập bảng biến thiên của g() x trên 0; . x 0 2 g + 0 – 12 g 0 Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 56
56. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn Câu 30. Chọn B. Tập xác định D . Ta có y' 4 x3 4( m 1) x . Hàm số đồng biến trên (1; 3) y' 0,  x (1; 3) g ( x ) x2 1 m ,  x (1; 3) . Lập bảng biến thiên của g() x trên (1; 3) . x 1 3 g + 0 10 g 2 Dựa vào bảng biến thiên, kết luận: m min g ( x ) m 2 . Câu 31. Chọn A. Tập xác định: D . Ta có y x2 mx 2 m Ta không xét trường hợp y 0,  x vì a 1 0 Hàm số nghịch biến trên một đoạn có độ dài là 3 y 0 có 2 nghiệm x1, x 2 thỏa 2 0 m 8 m 0 m 8 hay m 0 m 1 x x 3 2 1 2 2 m2 8 m 9 m 9 x1 x 2 9 S 4 P 9 Câu 32. Chọn B. +) Điều kiện tan x m . Điều kiện cần để hàm số đồng biến trên 0; là m 0;1 4 2 m +) y' . cos2x (tan x m ) 2 1 +) Ta thấy: 0 x 0; ; m  0;1 cos2x (tan x m ) 2 4 y' 0 m 2 0 +) Để hs đồng biến trên 0; m 0 hoặc 1 m 2 4 m(0;1) m 0; m 1 Câu 33. Chọn B. Tập xác định D  , yêu cầu của bài toán đưa đến giải bất phương trình 14 mx2 14 mx 14 0,  x 1, tương đương với g() x m (1) x2 14 x 14 Dễ dàng có được g() x là hàm tăng x 1; , suy ra ming ( x ) g (1) x 1 15 14 Kết luận: (1) ming ( x ) m m x 1 15 Câu 34. Chọn C. Tập xác định D . Ta có y 4 x3 2(2 m 3) x . 3 Hàm số nghịch biến trên (1; 2) y 0,  x (1; 2) m x2 g ( x ),  x (1; 2) . 2 Lập bảng biến thiên của g() x trên (1; 2). g ( x ) 2 x 0 x 0 Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 57
57. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn Bảng biến thiên x 1 2 g + 0 11 g 5 2 2 5 Dựa vào bảng biến thiên, kết luận: m min g ( x ) m . Vậy p q 5 2 7 . 2 Câu 35. Chọn C. x2 2 mx 2 m 2 m 2 g() x Tập xác định D \ m . Ta có y . ()()x m2 x m 2 Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định khi và chỉ khi g( x ) 0,  x D . 2 m 1 Điều kiện tương đương là g() x m m 2 0 m 2 Kết luận: Có vô số giá trị nguyên của m thỏa yêu cầu bài toán. Câu 36. Chọn D. 2x2 4 mx m 2 2 m 1 g() x Tập xác định D \ m . Ta có y ()()x m2 x m 2 Hàm số đồng biến trên (1; ) khi và chỉ khi g( x ) 0,  x 1 và m 1 (1) 2 Vì g 2(m 1) 0,  m nên (1) g( x ) 0 có hai nghiệm thỏa x1 x 2 1 2g (1) 2( m2 6 m 1) 0 Điều kiện tương đương là S m 3 2 2 0,2 . m 1 2 Do đó không có giá trị nguyên dương của m thỏa yêu cầu bài toán. Câu 37. Chọn B. Điều kiện xác định:  2 1 Yêu cầu của bài toán đưa đến giải bất phương trình sin 2 1 2 5 Kết luận: k k , k  và  2 . 12 12 Câu 38. Chọn C. Tập xác định D  . Ta có: y 2 a cos x b sin x Áp dụng bất đẳng thức Schwartz ta có 2 a2 b 2 y 2 a 2 b 2 Yêu cầu của bài toán đưa đến giải bất phương trình y 0,  x 2 a2 b 2 0 a 2 b 2 4 . Câu 39. Chọn C. (1) m x3 3 x 2 9 x f ( x ) . Bảng biến thiên của f() x trên . x 1 3 Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 58
58. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn y 0 0 5 y 27 Từ đó suy ra pt có đúng 1 nghiệm khi m 27 hoặc m 5 Câu 40. Chọn B. Đặt t x 1, t 0 . Phương trình thành: 2t t2 1 m m t 2 2 t 1 Xét hàm số f() t t2 21, t t 0;() f t 22 t Bảng biến thiên của f t : t 0 1 f t 0 2 f t 1 Từ đó suy ra phương trình có nghiệm khi m 2 . Câu 41. Chọn B x 2 Đặt t f( x ) x2 4 x 5 . Ta có f () x . f ( x ) 0 x 2 x2 4 x 5 Xét x 0 ta có bảng biến thiên x 0 2 f x 0 f x 5 1 Khi đó phương trình đã cho trở thành m t2 t 5 t 2 t 5 m 0 (1). Nếu phương trình (1) có nghiệm t1, t 2 thì t1 t 2 1. (1) có nhiều nhất 1 nghiệm t 1 . Vậy phương trình đã cho có đúng 2 nghiệm dương khi và chỉ khi phương trình (1) có đúng 1 nghiệm t 1; 5 . Đặt g( t ) t2 t 5. Ta đi tìm m để phương trình g() t m có đúng 1 nghiệm t 1; 5 . Ta có g ( t ) 2 t 1 0,  t 1; 5 . Bảng biến thiên: t 1 5 g t 5 g t 3 Từ bảng biến thiên suy ra 3 m 5 là các giá trị cần tìm. Câu 42. Chọn C. Bất phương trình x2 3 x 2 0 1 x 2. x 2 Bất phương trình mx2 m 1 x m 1 0 m( x2 x 1) x 2 m x2 x 1 Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 59
59. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn x 2 x2 4x 1 Xét hàm số f() x với 1 x 2 . Có f ( x ) 0,  x [1;2] x2 x 1 (x2 x 1) 2 4 Yêu cầu bài toán m max f ( x ) m [1;2] 7 Câu 43. Chọn B. 2 Đặt t log3 x 1 . Điều kiện: t 1 . 2 x 1; 33 t [1; 2] Phương trình thành: t t2 m 2 0 (*) . Khi t2 t 2 (*) f ( t ) m . Bảng biến thiên : 2 t 1 2 f t 2 f t 0 Từ bảng biến thiên ta có : 0 m 2 Câu 44. Chọn C 1 Điều kiện: x 2 Phương trình x2 mx 2 2 x 1 3x2 4 x 1 mx (*) 3x2 4 x 1 Vì x 0 không là nghiệm nên (*) m x 3x2 4 x 1 3x2 1 1 Xét f() x . Ta có f ( x ) 0  x ; x 0 x x2 2 Bảng biến thiên 1 x 0 2 f x + + 9 f x 2 9 Từ bảng biến thiên ta có để phương trình có hai nghiệm thì m . 2 Câu 45. Chọn D. Điều kiện : x 1 x 14 x2 1 x 1 x 1 Pt 3 m 2 3 m 2 4 x 1 4 (x 1)2 x 1 x 1 x 1 t 4 với x 1 ta có 0 t 1. Thay vào phương trình ta được m 2 t 3 t2 f ( t ) x 1 1 Ta có: f ( t ) 2 6 t ta có: f ( t ) 0 t 3 Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 60
60. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn Bảng biến thiên: 1 t 0 1 3 f t 0 1 f t 0 3 1 1 Từ bảng biến thiên ta có để phương trình có hai nghiệm khi 0 m 3 Câu 46. Chọn D. 1 7 2 Đặt t (1 2 x )(3 x ) khi x ; 3 t 0; 2 4 Thay vào bất phương trình ta được f() t t2 t m Bảng biến thiên: 7 2 t 0 4 f t 49 14 2 f t 8 0 Từ bảng biến thiên ta có : m 0 Câu 47. Chọn D. Đặt t 1 x 3 x t2 4 2 (1 x )(3 x ) 2 (1 x )(3 x ) t 2 4 Với x [ 1; 3] t [2; 2 2]. Thay vào bất phương trình ta được: m t2 3 t 4 3 Xét hàm số f( t ) t2 3 t 4 ; f ( t ) 2 t 3 ; f ( t ) 0 t 2 2 t 2 2 2 f t 6 f t 6 2 4 Từ bảng biến thiên ta có m 6 2 4 thỏa đề bài Câu 48. Chọn D. 2 Đặt t 3 x 6 x 0 t2 3 x 6 x 9 2 3 x 6 x 9t2 9 2 3 x 6 x 9 3 x 6 x 18 18 3x x2 3 x 6 x 1 t 2 9 ; t 3; 3 2 2 Xét fttt 1 2 9 ; fttt  1 0; 3; 3 2 max ftf 3 3 2 2 3;3 2 Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 61
61. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn ycbt maxf t 3 m2 m 1 m 2 m 2 0 m 1hoặc m 2 3;3 2 Câu 49. Chọn B Đặt t 2x 0 thì m.4x m 1 .2 x 2 m 1 0 , đúng x mtmtm.42 1.  10, t 0 mtt 2  4141, tt 0 g t 4t 1 m,  t 0 . t2 4 t 1 2 4t 2 t Ta có g t 2 0 nên g t nghịch biến trên 0; t2 4 t 1 ycbt maxg t g 0 1 m t 0 Câu 50. Chọn A. Bpt 3mx  x31 2, x 1 3 m x 2 1 2 f x ,  x 1 . x3 x 4 x 4 2 2 Ta có f x 2 x 4 2 2 2 x 4 2 0 suy ra f x tăng. x5 x 2 x 5 x 2 x 2 Ycbt f x 3 m ,  x 1 min f x f 1 2 3 m 2 m x 1 3 Câu 51. Chọn A. cos2x cos 2 x 2 1 2 (1) 3 m . Đặt t cos x ,0 t 1 3 9 t t t t 2 1 2 1 (1) trở thành 3 m (2). Đặt f( t ) 3 . 3 9 3 9 Ta có (1) có nghiệm (2) có nghiệm t [0;1] m Max f ( t ) m 4 t [0;1] Câu 52. Chọn C 3 2 Điều kiện: 2 x 4 . Xét f( x ) 2 x 3 x 6 x 16 4 x trên đoạn 2; 4 . 2 3 x x 1 1 Có f ( x ) 0,  x 2; 4 . 2x3 3 x 2 6 x 16 2 4 x Do đó hàm số đồng biến trên 2; 4 , bpt f( x ) f (1) 2 3 x 1. So với điều kiện, tập nghiệm của bpt là S [1;4] a b 5. Câu 53. Chọn A. 2 2 Điều kiện: 1 x 3 ; bpt x 1 2 x 1 3 x 2 3 x t 1 Xét f( t ) t2 2 t với t 0 . Có f'( t ) 0,  t 0 . 2t2 2 2 t Do đó hàm số đồng biến trên [0; ) . (1) f( x 1) f (3 x ) x 1 3 x 2 So với điều kiện, bpt có tập nghiệm là S (2; 3]. Câu 54. Chọn D. Ta có y 6 x2 6 m 1 x 6 m 2 Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 62
62. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn Hàm số nghịch biến trên a; b x2 m 1 x m 2 0  x a ; b m2 6 m 9 TH1: 0x2 m 1 x m 2 0  x Vô lí TH2: 0 m 3 y có hai nghiệm x1, x 2 x 2 x 1 Hàm số luôn nghịch biến trên x1; x 2 . Yêu cầu đề bài: 2 2 x2 x 1 3 x 2 x 1 9 S 4 P 9 2 2 m 6 m 1 4 m 2 9 m 6 m 0 m 0 Câu 55. Chọn C. 3 2 Ta có y 3 x2 2 x m 2x x mx ln 2 . Hàm số đã cho đồng biến trên 2 1,2 y ' 0,  x 1,2 3 x 2 x m 0,  x 1,2 * b 1 Vì f x 3 x2 2 x m có a 3 0, 2 nên 2a 3 1 3m 0 0 1 m 0 1 3m 0 3 * x1 x 2 1 1 m 1 1 1 m 2 3 3 x 1 x 1 0 m 2 m 1 1 2 1 0 3 3 Câu 56. Chọn D. Ta có: y sin x cos x mx y' cos x sin x m Hàm số đồng biến trên y 0,  x . m sin x cos x ,  x . m max x , với x sin x cos x . Ta có: x sin x cos x 2 sin x 2. 4 Do đó: max x 2. Từ đó suy ra m 2. Câu 57. Chọn D. x2 4 x x2 2 mx 4 m y có tập xác định là D\ m và y' 2 . x m x m m 1 Hàm số đã cho đồng biến trên 1; 2 x 2 mx 4 m 0,  x 1; 2 2 x 240, mx m  x 1; 2 m x 2 x ,  x 1; (1) Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 63
63. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn Do x 2 thỏa bất phương trình 2m x 2 x2 với mọi m nên ta chỉ cần xét x 2. x2 2m ,  x 1; 2 x 2 Khi đó 1 (2) x2 2m ,  x 2; x 2 x2 x2 4 x Xét hàm số f x trên 1; \ 2 có f x 2 x 2 x 2 x 0 f x 0 x 4 Bảng biến thiên x 1 2 4 y 0 8 y 1 m 1 1 YCBT 2 m 1 1 m . 2 2m 8 Cách khác x2 4 x x2 2 mx 4 m y có tập xác định là D\ m và y' 2 . x m x m m 1 Hàm số đã cho đồng biến trên 1; 2 x 2 mx 4 m 0,  x 1; 4 m 0 2 m 0 0 m 4 m 0 m 4 2 2 x 2 mx 4 m 0,  x 1; 0 m 4 m 0 m 1 x x 1 2 1 2 m m4 m 1 1 m 2 Câu 58. Chọn B. Ta có: y ln 16 x2 1 m 1 x m 2 32x y m 1 16x2 1 Hàm số nghịch biến trên khi và chỉ khi y 0,  x 32x m 1 0,  x 16x2 1 Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 64
64. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn 32x  2  Cách 1: 2 m1 0, x 32x m 1 16 x 1 0, x 16x 1 16 m 1 x2 32 x m 1 0,  x m 1 16 m 1 0 m 1 2 2 m 5 m 3. 162 16 m 1 0 16m 32 m 240 0 m 3 32x Cách 2: m 1 0  x 16x2 1 32x 32x m 1,  x m 1 max g ( x ), với g() x 16x2 1 16x2 1 512x2 32 Ta có: g() x 2 16x2 1 1 g ( x ) 0 x 4 1 1 limg ( x ) 0; g 4; g 4 x 4 4 Bảng biến thiên: 1 1 x 4 4 g x 0 0 4 g x 0 0 4 Dựa vào bảng biến thiên ta có maxg ( x ) 4 Do đó: m 1 4 m 3. Câu 59. Chọn B. 1 cot2x m cot x 1 m 1 cot 2 x cot x 1 1 cot 2 x 1 m Ta có: y 2 2 . mcot x 1 m cot x 1 Hàm số đồng biến trên khoảng ; khi và chỉ khi: 4 2 mcot x 1 0,  x ; 4 2 m 0  m 1 2 m 0 . 1 cotx 1 m 1 m 0 y 0,  x ; 2 4 2 mcot x 1 Câu 60. Chọn A. Tập xác định: D . Ta có y 1 m sin x . Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 65
65. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn Hàm số đồng biến trên y' 0,  x m sin x 1,  x Trường hợp 1: m 0 ta có 0 1, x . Vậy hàm số luôn đồng biến trên 1 1 Trường hợp 2: m 0 ta có sinx ,  x 1 m 1 m m 1 1 Trường hợp 3: m 0 ta có sinx ,  x 1 m 1 m m Vậy m 1 Câu 61. Chọn A. Tập xác định: D . Ta có: y' m 3 (2 m 1)sin x Hàm số nghịch biến trên y' 0,  x (2 m 1)sin x 3 m ,  x 1 7 Trường hợp 1: m ta có 0 , x . Vậy hàm số luôn nghịch biến trên . 2 2 1 3 m 3 m Trường hợp 2: m ta có sinx ,  x 1 2 2m 1 2 m 1 3 m 2 m 1 m 4 1 Trường hợp 3: m ta có: 2 3 m 3 m 2 2 sinx ,  x 1 3 m 2 m 1 m . Vậy m 4; 2m 1 2 m 1 3 3 Câu 62. Chọn C. Tập xác định D  . Ta có: y 2 acos x b sin x Áp dụng bất đẳng thức Schwartz ta có 2 a2 b 2 y 2 a 2 b 2 Yêu cầu của bài toán đưa đến giải bất phương trình y 0,  x 2 a2 b 2 0 a 2 b 2 4 . Câu 63. Chọn D. Cách 1:Tập xác định: D . Ta có y 3 x2 12 x m  Trường hợp 1: 3 0 (hn ) Hàm số đồng biến trên y 0,  x m 12 36 3m 0  Trường hợp 2: Hàm số đồng biến trên 0; y 0 có hai nghiệm x1, x 2 thỏa x1 x 2 0 (*) Trường hợp 2.1: y 0 có nghiệm x 0 suy ra m 0 . Nghiệm còn lại của y 0 là x 4(không thỏa (*)) Trường hợp 2.2: y 0 có hai nghiệm x1, x 2 thỏa Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 66
66. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn 0 36 3m 0 x1 x 2 0 S 0 4 0(vl ) không có m.Vậy m 12 P 0 m 0 3 Cách 2:Hàm số đồng biến trên 0; m 12 x 3 x2 g ( x ),  x (0; ) . Lập bảng biến thiên của g() x trên 0; . x 0 2 +∞ g + 0 – 12 g 0 –∞ Câu 64. Chọn B. Tập xác định D . Ta có y' 4 x3 4( m 1) x . Hàm số đồng biến trên (1; 3) y' 0,  x (1; 3) g ( x ) x2 1 m ,  x (1; 3) . Lập bảng biến thiên của g() x trên (1; 3) . x 1 3 g + 0 10 g 2 Dựa vào bảng biến thiên, kết luận: m min g ( x ) m 2 . Câu 65. Chọn A. Tập xác định: D . Ta có y x2 mx 2 m Ta không xét trường hợp y 0,  x vì a 1 0 Hàm số nghịch biến trên một đoạn có độ dài là 3 y 0 có 2 nghiệm x1, x 2 thỏa 2 0 m 8 m 0 m 8 hay m 0 m 1 x x 3 2 1 2 2 m2 8 m 9 m 9 x1 x 2 9 S 4 P 9 Câu 66. Chọn B. +) Điều kiện tan x m . Điều kiện cần để hàm số đồng biến trên 0; là m 0;1 4 2 m +) y' . cos2x (tan x m ) 2 1 +) Ta thấy: 0 x 0; ; m  0;1 cos2x (tan x m ) 2 4 Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 67
67. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn y' 0 m 2 0 +) Để hs đồng biến trên 0; m 0 hoặc 1 m 2 4 m(0;1) m 0; m 1 Câu 67. Chọn B. Tập xác định D  , yêu cầu của bài toán đưa đến giải bất phương trình 14 mx2 14 mx 14 0,  x 1, tương đương với g() x m (1) x2 14 x 14 Dễ dàng có được g() x là hàm tăng x 1; , suy ra ming ( x ) g (1) x 1 15 14 Kết luận: (1) ming ( x ) m m x 1 15 Câu 68. Chọn C. Tập xác định D . Ta có y 4 x3 2(2 m 3) x . 3 Hàm số nghịch biến trên (1; 2) y 0,  x (1; 2) m x2 g ( x ),  x (1; 2) . 2 Lập bảng biến thiên của g() x trên (1;2) . g ( x ) 2 x 0 x 0 Bảng biến thiên x 1 2 g + 0 11 g 5 2 2 5 Dựa vào bảng biến thiên, kết luận: m min g ( x ) m . Vậy p q 5 2 7 . 2 Câu 69. Chọn D. 2x2 4 mx m 2 2 m 1 g() x Tập xác định D \ m . Ta có y ()()x m2 x m 2 Hàm số đồng biến trên (1; ) khi và chỉ khi g( x ) 0,  x 1 và m 1 (1) 2 Vì g 2(m 1) 0,  m nên (1) g( x ) 0 có hai nghiệm thỏa x1 x 2 1 2g (1) 2( m2 6 m 1) 0 Điều kiện tương đương là S m 3 2 2 0,2 . m 1 2 Do đó không có giá trị nguyên dương của mthỏa yêu cầu bài toán. Câu 70. Chọn B. + Tập xác định: D ;1 . 3x2 3 x 2 + y 3 x2 1 x 3 . m x 3 3 x 3 m 2 . 2 1 x3 2 1 x 3 Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 68
68. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn x 0 y 0 m 2 . x 3 3 * Trường hợp 1: m 2 , ta có bảng xét dấu: x 0 1 y 0 Dựa vào BXD, ta có y 0,  x 0; 1 hàm số nghịch biến trên 0;1 . * Trường hợp 2: m 2 . m 2 Để hàm số nghịch biến trên 0; 1 thì 3 0 m 2 . 3 Vậy m 2 thì hàm số nghịch biến trên 0;1 . Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 69
69. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn Chủ đề 2 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ  A. LÝ THUYẾT VỀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ I. ĐỊNH NGHĨA Giả sử hàm số f xác định trên tập K và x0 K . Ta nói: o x0 là điểm cực tiểu của hàm số f nếu tồn tại một khoảng a; b chứa x0 sao cho a; b  K và f x f x0 ,;\  x a b  x 0 . Khi đó f x0 được gọi là giá trị cực tiểu của hàm số f . o x0 là điểm cực đại của hàm số f nếu tồn tại một khoảng a; b chứa x0 sao cho a; b  K và f x f x0 ,;\  x a b  x 0  . Khi đó f x0 được gọi là giá trị cực đại của hàm số f .  Chú ý: Bảng sau đây tóm tắt các khái niệm được sử dụng trong phần này: x0 f x0 x0; f x 0 Điểm cực đại của f Giá trị cực đại (cực đại) của f Điểm cực đại của đồ thị hàm số f Điểm cực tiểu của f Giá trị cực tiểu (cực tiểu) của f Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số f Điểm cực trị của f Cực trị của f Điểm cực trị của đồ thị hàm số f Nếu x0 là điểm cực trị của hàm số thì điểm x0; f x 0 gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm số f .  Nhận xét: o Giá trị cực đại (cực tiểu) f x0 nói chung không phải là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số f trên tập D; f x0 chỉ là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số f trên một khoảng a; b nào đó chứa x0 hay nói cách khác khi x0 điểm cực đại (cực tiểu) sẽ tồn tại khoảng a; b chứa x0 sao cho f x0 là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số f trên khoảng a; b . o Hàm số f có thể đạt cực đại hoặc cực tiểu tại nhiều điểm trên tập K. Hàm số có thể không có cực trị trên một tập cho trước. Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 70
70. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn II. ĐIỀU KIỆN CẦN ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC TRỊ  Định lí 1: Giả sử hàm số y f x đạt cực trị tại điểm x0 . Khi đó, nếu y f x có đạo hàm tại điểm x0 thì f x0 0.  Chú ý: o Đạo hàm f x có thể bằng 0 tại điểm x0 nhưng hàm số f không đạt cực trị tại điểm x0 . o Hàm số có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm. Như vậy: Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0 hoặc tại đó hàm số không có đạo hàm. III. ĐIỀU KIỆN ĐỦ ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC TRỊ  Định lí 2: Giả sử hàm số f liên tục trên a; b chứa điểm x0 và có đạo hàm trên các khoảng a; x0 và x0 ; b . Khi đó: o Nếu f x 0 trên khoảng a; x0 và f x 0 trên khoảng x0 ; b thì x0 là một điểm cực đại của hàm số f x . o Nếu f x 0 trên khoảng a; x0 và f x 0 trên khoảng x0 ; b thì x0 là một điểm cực tiểu của hàm số f x .  Nói cách khác: Nếu f' x đổi dấu từ âm sang dương khi x qua điểm x0 (theo chiều tăng) thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm x0 . Nếu f' x đổi dấu từ dương sang âm khi x qua điểm x0 (theo chiều tăng) thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm x0 . Minh họa bằng bảng biến thiến x a x0 b x a x0 b f x f x fCD f x f x fCT Minh họa bằng đồ thị: Giả sử hàm số f xác định trên một khoảng a; b chứa điểm c . Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 71
71. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn Hàm số f đạt cực đại tại x c . Hàm số f đạt cực tiểu tại x c . IV. QUY TẮC TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ  Quy tắc 1: Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số. Bước 2. Tính f x . Tìm các điểm tại đó f x 0 hoặc f x không xác định. Bước 3. Lập bảng biến thiên. Bước 4. Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.  Quy tắc 2: Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số. Bước 2. Tính f x . Giải phương trình f x và ký hiệu xi i 1,2,3, là các nghiệm của nó. Bước 3. Tính f x và f xi . Bước 4. Dựa vào dấu của f xi suy ra tính chất cực trị của điểm xi . Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 72
72. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn B. CÁC DẠNG TOÁN VỀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ I. TÌM CỰC TRỊ CỦA CÁC HÀM SỐ  Phương pháp: Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số. Bước 2. Tính f x . Tìm các điểm tại đó f x 0 hoặc f x không xác định. Bước 3. Lập bảng biến thiên. Bước 4. Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị. ax b  Nhận xét: Hàm số y a , c 0, ad bc 0 không có cực trị, hàm số luôn đồng biến cx d hoặc luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó. MỘT SỐ BÀI TOÁN MINH HỌA 1. Tìm cực trị của hàm bậc 3: y ax3 bx 2 cx d a 0 Bài toán 1: Tìm cực trị của hàm số y 2 x3 6 x 2 . Lời giải: Tập xác định D . Ta có: y 6 x2 6 . Cho y 0 6 x2 6 0 x 1. Bảng biến thiên: x 1 1 y + 0 0 + 6 y 2 Vậy hàm số đạt cực đại tại x 1, y 6 và hàm số đạt cực tiểu tại x 1, y 2 . Bài toán 2: Tìm cực trị của hàm số y x3 3 x 2 4 . Lời giải: Tập xác định D . 2 x 0 Ta có: y 3 x2 6 x . Cho y 0 3 x 6 x 0 x 2 Bảng biến thiên: x 0 2 y 0 0 0 y 4 Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x 0, y 4 và hàm số đạt cực đại tại x 2, y 0 . Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 73
73. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn Bài toán 3: Tìm cực trị của hàm số y x3 3 x 2 3 x 2 . Lời giải: Tập xác định D . Ta có: y 3 x2 6 x 3 . Cho y 0 3 x2 6 x 3 0 x 1 . Bảng biến thiên: x 1 y 0 y 1 Vậy hàm số đã cho không có cực trị. Bài toán 4: Gọi AB, là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số y 2 x3 3 x 2 12 x 1. Tìm tọa độ AB, và phương trình đường thẳng qua hai điểm đó. Lời giải: Tập xác định D . x 1 Ta có: y 6 x2 6 x 12 . Cho y 0 x 2 Bảng biến thiên: x 1 2 y + 0 0 + 8 y 19 Suy ra tọa độ hai điểm cực trị là AB 1;8 , 2; 19 . Vậy phương trình đường thẳng AB là 9x y 1 0 . Bài toán 5: Cho hàm số y x3 3 x 2 có đồ thị C . Tìm các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị C và khoảng cách giữa hai điểm cực trị đó. Lời giải: x 0 Tập xác định D . Ta có: y 3 x2 6 x . Cho y 0 . x 2 Bảng biến thiên: x 0 2 y + 0 0 + 0 y 4 2 2 Vậy tọa độ hai điểm cực trị là AB 1;8 , 2; 19 . Khi đó AB 2 0 4 0 2 5 . Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 74
74. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn Bài toán 6: Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M( 1;1) và vuông góc với đường thẳng đi qua điểm cực trị của C : y x3 6 x 2 9 x 2 . Lời giải: Tập xác định D . x 1 Ta có: y 3 x2 12 x 9 . Cho y 0 . x 3 Bảng biến thiên: x 1 3 y + 0 0 + 2 y 2  Vậy tọa độ hai điểm cực trị là AB 1; 2 , 3; 2 . Suy ra AB 2; 4 là y 2 x 4 . Ta có phương trình đường thẳng d đi qua M( 1;1) và vuông góc với AB có phương trình là d: 2 x y 1 0 . 2. Tìm cực trị của hàm trùng phương: y ax4 bx 2 c a 0 Bài toán 1: Tìm cực trị của hàm số y x4 2 x 2 2 . Lời giải: Tập xác định D . 3 x 0 Ta có: y 4 x3 4 x . Cho y 0 4 x 4 x 0 . x 1 Bảng biến thiên: x 1 0 1 y 0 0 0 2 y 1 1 Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x 1, y 1 và hàm số đạt cực đại tại x 0 , y 2 . x4 Bài toán 2: Tìm cực trị của hàm số y x2 2 . 4 Lời giải: Tập xác định D . Ta có: y 2 x3 2 x . 3 x 0 Cho y 0 4 x 4 x 0 . x 1 Bảng biến thiên: Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 75
75. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn x 1 0 1 y 0 0 0 2 y 3 3 2 2 3 Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x 1, y và hàm số đạt cực đại tại x 0 , y 2 . 2 Bài toán 3: Tìm cực trị của hàm số y x4 3 x 2 6 . Lời giải: Tập xác định D . Ta có: y 4 x3 6 x . Cho y 0 4 x3 6 x 0 x 0 . Bảng biến thiên: x 0 y 0 y 6 Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x 0 , y 6 . Bài toán 4: Tìm cực trị của hàm số y x4 5 x 2 2 . Lời giải: Tập xác định D . Tính y 4 x3 10 x . Cho y 0 4 x3 10 x 0 x 0 . Bảng biến thiên: x 0 y + 0 2 y Vậy hàm số đạt cực đại tại x 0 , y 2 . ax b 3. Tìm cực trị của các hàm số y cx d 2x 3 Bài toán 1: Tìm cực trị của hàm số y . x 2 Lời giải: Tập xác định D \ 2 . 1  Ta có: y 2 y0 x D x 2 Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 76
76. Biên soạn: Bùi Trần Duy Tuấn Bảng biến thiên: x 2 y 2 y 2 Vậy hàm số đã cho không có cực trị. x 2 Bài toán 2: Tìm cực trị của hàm số y . x 1 Lời giải: Tập xác định D \ 1. 1  Ta có: y 2 y0 x D x 1 Bảng biến thiên: x 1 y 1 y 1 Vậy hàm số đã cho không có cực trị. ax2 bx c 4. Tìm cực trị của hàm số y . dx e x2 x 2 Bài toán 3: Tìm cực trị của hàm số y . x 1 Lời giải: Tập xác định D \ 1. x2 2 x 3 x 1 2 Ta có: y 2 . Cho y0 x 2 x 3 0 x 1 x 3 Bảng biến thiên: x 3 1 1 y + 0 0 7 y 1 Vậy hàm số đạt cực đại tại x 3 , y 7 và đạt cực tiểu tại x 1, y 1. x2 2 x 1 Bài toán 4: Tìm cực trị của hàm số y . x 1 Tổng hợp các chuyên đề luyện thi đại học Trang 77