Trắc nghiệm Toán 9 - Bài 10: Phương trình hệ phương trình (Có lời giải chi tiết)

45 trang xuanha23 07/01/2023 3072

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Trắc nghiệm Toán 9 - Bài 10: Phương trình hệ phương trình (Có lời giải chi tiết)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

trac_nghiem_toan_9_bai_10_phuong_trinh_he_phuong_trinh_co_lo.docx

Nội dung text: Trắc nghiệm Toán 9 - Bài 10: Phương trình hệ phương trình (Có lời giải chi tiết)

3 PHÖÔNG TRÌNH - HEÄ PHÖÔNG TRÌNH BÀI ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH 1. I – KHÁI NIỆM PHƯƠNG TRÌNH 1. Phương trình một ẩn Phương trình ẩn x là mệnh đề chứa biến có dạng f (x)= g(x) (1) trong đó f (x) và g(x) là những biểu thức của x. Ta gọi f (x) là vế trái, g(x) là vế phải của phương trình (1). Nếu có số thực x0 sao cho f (x0 )= g(x0 ) là mệnh đề đúng thì x0 được gọi là một nghiệm của phương trình (1). Giải phương trình (1) là tìm tất cả các nghiệm của nó (nghĩa là tìm tập nghiệm). Nếu phương trình không có nghiệm nào cả thì ta nói phương trình vô nghiệm (hoặc nói tập nghiệm của nó là rỗng). 2. Điều kiện của một phương trình Khi giải phương trình (1), ta cần lưu ý với điều kiện đối với ẩn số x để f (x) và g(x) có nghĩa (tức là mọi phép toán đều thực hiện được). Ta cũng nói đó là điều kiện xác định của phương trình (hay gọi tắt là điều kiện của phương trình). 3. Phương trình nhiều ẩn Ngoài các phương trình một ẩn, ta còn gặp những phương trình có nhiều ẩn số, chẳng hạn 3x + 2y = x 2 - 2xy + 8, (2) 4x 2 - xy + 2z = 3z 2 + 2xz + y2 . (3) Phương trình (2) là phương trình hai ẩn ( x và y ), còn (3) là phương trình ba ẩn ( x, y và z ). Khi x = 2, y = 1 thì hai vế của phương trình (2) có giá trị bằng nhau, ta nói cặp (x; y)= (2;1) là một nghiệm của phương trình (2). Tương tự, bộ ba số (x; y;z)= (- 1;1;2) là một nghiệm của phương trình (3). 4. Phương trình chứa tham số Trong một phương trình (một hoặc nhiều ẩn), ngoài các chữ đóng vai trò ẩn số còn có thể có các chữ khác được xem như những hằng số và được gọi là tham số. II – PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG VÀ PHƯƠNG TRÌNH HỆ QUẢ 1. Phương trình tương đương Hai phương trình được gọi là tương đương khi chúng có cùng tập nghiệm. 2. Phép biến đổi tương đương Định lí Nếu thực hiện các phép biển đổi sau đây trên một phương trình mà không làm thay đổi
điều kiện của nó thì ta được một phương trình mới tương đương a) Cộng hay trừ hai vế với cùng một số hoặc cùng một biểu thức; b) Nhân hoặc chia hai vế với cùng một số khác 0 hoặc với cùng một biểu thức luôn có giá trị khác 0. Chú ý: Chuyển vế và đổi dấu một biểu thức thực chất là thực hiện phép cộng hay trừ hai vế với biểu thức đó. 3. Phương trình hệ quả Nếu mọi nghiệm của phương trình f (x)= g(x) đều là nghiệm của phương trình f1 (x)= g1 (x) thì phương trình f1 (x)= g1 (x) được gọi là phương trình hệ quả của phương trình f (x)= g(x). Ta viết f (x)= g(x)Þ f1 (x)= g1 (x). Phương trình hệ quả có thể có thêm nghiệm không phải là nghiệm của phương trình ban đầu. Ta gọi đó là nghiệm ngoại lai. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Vấn đề 1. ĐIỀU KIỆN XÁC ĐỊNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH 2x 3 Câu 1. Điều kiện xác định của phương trình - 5 = là x 2 + 1 x 2 + 1 A. x ¹ 1. B. x ¹ - 1. C. x ¹ ± 1. D. x Î ¡ . Câu 2. Điều kiện xác định của phương trình x - 1 + x - 2 = x - 3 là A. x > 3. B. x ³ 2. C. x ³ 1. D. x ³ 3. x 2 + 5 Câu 3. Điều kiện xác định của phương trình x - 2 + = 0 là 7- x A. x ³ 2. B. x 0. C. x > 0 và x 2 - 1³ 0. D. x ³ 0 và x 2 - 1> 0. x 2 8 Câu 5. Điều kiện xác định của phương trình = là x - 2 x - 2 A. x ¹ 2. B. x ³ 2. C. x 2. 1 Câu 6. Điều kiện xác định của phương trình = x + 3 là: x 2 - 4 A. x ³ - 3 và x ¹ ± 2. B. x ¹ ± 2. C. x > - 3 và x ¹ ± 2. D. x ³ - 3. 1 Câu 7. Điều kiện xác định của phương trình x 2 - 4 = là x - 2 A. x ³ 2 hoặc x £ - 2. B. x ³ 2 hoặc x 2 hoặc x 2 hoặc x £ - 2.
1 3- 2x Câu 8. Điều kiện xác định của phương trình x + = là 2x + 4 x 3 A. x > - 2 và x ¹ 0. B. x > - 2, x ¹ 0 và x £ . 2 3 C. x > - 2 và x - 2 và x ¹ - 1. B. x > - 2 và x - 2, x ¹ - 1 và x £ . D. x ¹ - 2 và x ¹ - 1. 3 2x + 1 Câu 10. Điều kiện xác định của phương trình = 0 là x 2 + 3x 1 1 A. x ³ - . B. x ³ - và x ¹ - 3. 2 2 1 C. x ³ - và x ¹ 0. D. x ¹ - 3 và x ¹ 0. 2 Vấn đề 2. PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG – PHƯƠNG TRÌNH HỆ QUẢ Câu 11. Hai phương trình được gọi là tương đương khi A. Có cùng dạng phương trình.B. Có cùng tập xác định. C. Có cùng tập hợp nghiệm.D. Cả A, B, C đều đúng. Câu 12. Phương trình nào sau đây tương đương với phương trình x 2 - 4 = 0 ? A. (2 + x)(- x 2 + 2x + 1)= 0. B. (x - 2)(x 2 + 3x + 2)= 0. C. x 2 - 3 = 1. D. x 2 - 4x + 4 = 0. Câu 13. Phương trình nào sau đây tương đương với phương trình x 2 - 3x = 0 ? 1 1 A. x 2 + x - 2 = 3x + x - 2. B. x 2 + = 3x + . x - 3 x - 3 C. x 2 x - 3 = 3x x - 3. D. x 2 + x 2 + 1 = 3x + x 2 + 1. Câu 14. Cho phương trình (x 2 + 1)(x –1)(x + 1)= 0 . Phương trình nào sau đây tương đương với phương trình đã cho ? A. x - 1 = 0. B. x + 1 = 0. C. x 2 + 1 = 0. D. (x –1)(x + 1)= 0. 1 Câu 15. Phương trình nào sau đây không tương đương với phương trình x + = 1 ? x A. x 2 + x = - 1. B. 2x - 1 + 2x + 1 = 0. C. x x - 5 = 0. D. 7 + 6x - 1 = - 18. Câu 16. Khẳng định nào sau đây là đúng? A. 3x + x - 2 = x 2 Û 3x = x 2 - x - 2. B. x - 1 = 3x Û x - 1 = 9x 2 .
2x - 3 2 C. 3x + x - 2 = x 2 + x - 2 Û 3x = x 2 . D. = x - 1 Û 2x - 3 = (x - 1) . x - 1 Câu 17. Khẳng định nào sau đây là sai? x - 1 A. x - 1 = 2 1- x Û x - 1 = 0. B. x 2 + 1 = 0 Û = 0. x - 1 2 2 C. x - 2 = x + 1 Û (x - 2) = (x + 1) . D. x 2 = 1 Û x = 1. Câu 18. Chọn cặp phương trình tương đương trong các cặp phương trình sau: A. x + x - 1 = 1+ x - 1 và x = 1. B. x + x - 2 = 1+ x - 2 và x = 1. C. x (x + 2)= x và x + 2 = 1. D. x (x + 2)= x và x + 2 = 1. Câu 19. Chọn cặp phương trình tương đương trong các cặp phương trình sau: x x + 1 A. 2x + x - 3 = 1+ x - 3 và 2x = 1. B. = 0 và x = 0. x + 1 2 C. x + 1 = 2- x và x + 1 = (2- x) . D. x + x - 2 = 1+ x - 2 và x = 1. Câu 20. Chọn cặp phương trình không tương đương trong các cặp phương trình sau: 2 A. x + 1 = x 2 - 2x và x + 2 = (x - 1) . B. 3x x + 1 = 8 3- x và 6x x + 1 = 16 3- x. C. x 3- 2x + x 2 = x 2 + x và x 3- 2x = x. D. x + 2 = 2x và x + 2 = 4x 2 . Câu 21. Tìm giá trị thực của tham số m để cặp phương trình sau tương đương: 2x 2 + mx - 2 = 0 (1) và 2x 3 + (m + 4)x 2 + 2(m - 1)x - 4 = 0 (2) . 1 A. m = 2. B. m = 3. C. m = . D. m = - 2. 2 Câu 22. Tìm tất cả các giá trị thực của tham sốm để cặp phương trình sau tương đương: mx 2 - 2(m - 1)x + m - 2 = 0 (1) và (m - 2)x 2 - 3x + m2 - 15 = 0 (2) . A. m = - 5. B. m = - 5; m = 4. C. m = 4. D. m = 5. Câu 23. Khẳng định nào sau đây là sai? x (x - 1) A. x - 2 = 1 Þ x - 2 = 1. B. = 1 Þ x = 1. x - 1 C. 3x - 2 = x - 3 Þ 8x 2 - 4x - 5 = 0. D. x - 3 = 9- 2x Þ 3x - 12 = 0. Câu 24. Cho phương trình 2x 2 - x = 0 . Trong các phương trình sau đây, phương trình nào không phải là hệ quả của phương trình đã cho? x A. 2x - = 0. B. 4x 3 - x = 0. 1- x 2 2 C. (2x 2 - x) + (x - 5) = 0. D. 2x 3 + x 2 - x = 0. x (x - 2) Câu 25. Cho hai phương trình: x (x - 2)= 3(x - 2) (1) và = 3 (2). Khẳng định nào x - 2 sau đây là đúng? A. Phương trình (1) là hệ quả của phương trình (2).
B. Phương trình (1) và (2) là hai phương trình tương đương. C. Phương trình (2) là hệ quả của phương trình (1). D. Cả A, B, C đều sai. Vấn đề 3. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH Câu 26. Tập nghiệm của phương trình x 2 - 2x = 2x - x 2 là: A. S = {0}. B. S = Æ. C. S = {0;2}. D. S = {2}. Câu 27. Phương trình x (x 2 - 1) x - 1 = 0 có bao nhiêu nghiệm? A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. Câu 28. Phương trình - x 2 + 6x - 9 + x 3 = 27 có bao nhiêu nghiệm? A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. 2 Câu 29. Phương trình (x - 3) (5- 3x)+ 2x = 3x - 5 + 4 có bao nhiêu nghiệm? A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. Câu 30. Phương trình x + x - 1 = 1- x có bao nhiêu nghiệm? A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. Câu 31. Phương trình 2x + x - 2 = 2- x + 2 có bao nhiêu nghiệm? A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. Câu 32. Phương trình x 3 - 4x 2 + 5x - 2 + x = 2- x có bao nhiêu nghiệm? A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. 1 2x - 1 Câu 33. Phương trình x + = có bao nhiêu nghiệm? x - 1 x - 1 A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. Câu 34. Phương trình (x 2 - 3x + 2) x - 3 = 0 có bao nhiêu nghiệm? A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. Câu 35. Phương trình (x 2 - x - 2) x + 1 = 0 có bao nhiêu nghiệm? A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. BAØI PHÖÔNG TRÌNH QUY VEÀ 2. PHÖÔNG TRÌNH BAÄC NHAÁT, BAÄC HAI I – ÔN TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI 1. Phương trình bậc nhất Cách giải và biện luận phương trình dạng ax + b = 0 được tóm tắt trong bảng sau ax + b = 0 (1) Hệ số Kết luận b a ¹ 0 (1) có nghiệm duy nhất x = - a
b ¹ 0 (1) vô nghiệm a = 0 b = 0 (1) nghiệm đúng với mọi x Khi a ¹ 0 phương trình ax + b = 0 được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn. 2. Phương trình bậc hai Cách giải và công thức nghiệm của phương trình bậc hai được tóm tắt trong bảng sau ax 2 + bx + c = 0 (a ¹ 0) (2) D = b2 - 4ac Kết luận - b ± D D > 0 (2) có hai nghiệm phân biệt x = 1, 2 2a b D = 0 (2) có nghiệm kép x = - 2a D < 0 (2) vô nghiệm 3. Định lí Vi–ét 2 Nếu phương trình bậc hai ax + bx + c = 0 (a ¹ 0) có hai nghiệm x1, x2 thì b c x + x = - , x x = . 1 2 a 1 2 a Ngược lại, nếu hai số u và v có tổng u + v = S và tích uv = P thì u và v là các nghiệm của phương trình x 2 - Sx + P = 0. II – PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI Có nhiều phương trình khi giải có thể biến đổi về phương trình bậc nhất hoặc bậc hai. Sau đây ta xét hai trong các dạng phương trình đó. 1. Phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối Để giải phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối ta có thể dùng định nghĩa của giá trị tuyệt đối hoặc bình phương hai vế để khử dấu giá trị tuyệt đối. Ví dụ 1. Giải phương trình x - 3 = 2x + 1. (3) Giải Cách 1 a) Nếu x ³ 3 thì phương trình (3) trở thành x - 3 = 2x + 1. Từ đó x = - 4. Giá trị x = - 4 không thỏa mãn điều kiện x ³ 3 nên bị loại. 2 b) Nếu x < 3 thì phương trình (3) trở thành - x + 3 = 2x + 1. Từ đó x = . 3 Giá trị này thỏa mãn điều kiện x < 3 nên là nghiệm. 2 Kết luận. Vậy nghiệm của phương trình là x = . 3 Cách 2. Bình phương hai vế của phương trình (3) ta đưa tới phương trình hệ quả
2 2 (3)Þ (x - 3) = (2x + 1) Þ x 2 - 6x + 9 = 4x 2 + 4x + 1 Þ 3x 2 + 10x - 8 = 0. 2 Phương trình cuối có hai nghiệm là x = - 4 và x = . 3 2 Thử lại ta thấy phương trình (3) chỉ có nghiệm là x = . 3 2. Phương trình chứa ẩn dưới dấu căn Để giải các phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai, ta thường bình phương hai vế để đưa về một phương trình hệ quả không chứa ẩn dưới dấu căn. Ví dụ 2. Giải phương trình 2x - 3 = x - 2. (4) Giải. 3 Điều kiện của phương trình (4) là x ³ . 2 Bình phương hai vế của phương trình (4) ta đưa tới phương trình hệ quả (4)Þ 2x - 3 = x 2 - 4x + 4 Þ x 2 - 6x + 7 = 0. Phương trình cuối có hai nghiệm là x = 3+ 2 và x = 3- 2. Cả hai giá trị này đều thỏa mãn điều kiện của phương trình (4), nhưng khi thay vào phương trình (4) thì giá trị x = 3- 2 bị loại (vế trái dương còn vế phải âm), còn giá trị x = 3+ 2 là nghiệm (hai vế cùng bằng 2 + 1 ). Kết luận. Vậy nghiệm của phương trình (4) là x = 3+ 2. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Vấn đề 1. HÀM SỐ BẬC NHẤT Câu 1. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình (m2 - 4)x = 3m + 6 vô nghiệm. A. m = 1. B. m = 2. C. m = ± 2. D. m = - 2. Câu 2. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình mx - m = 0 vô nghiệm. A. m Î Æ. B. m = {0}. C. m Î ¡ + . D. m Î ¡ . Câu 3. Tìm giá trị thực của tham số m để phương trình (m2 - 5m + 6)x = m2 - 2m vô nghiệm. A. m = 1. B. m = 2. C. m = 3. D. m = 6. 2 Câu 4. Cho phương trình (m + 1) x + 1 = (7m - 5)x + m . Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình đã cho vô nghiệm. A. m = 1. B. m = 2; m = 3. C. m = 2. D. m = 3. y = (m + 1)x 2 + 3m2 x + m y = (m + 1)x 2 + 12x + 2 Câu 5. Cho hai hàm số và . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hai hàm số đã cho không cắt nhau. A. m = 2. B. m = - 2. C. m = ± 2. D. m = 1.
Câu 6. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình (2m - 4)x = m - 2 có nghiệm duy nhất. A. m = - 1. B. m = 2. C. m ¹ - 1. D. m ¹ 2. Câu 7. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [- 10;10] để phương trình (m2 - 9)x = 3m(m - 3) có nghiệm duy nhất ? A. 2. B. 19. C. 20. D. 21. Câu 8. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [- 5;10] để phương trình (m + 1)x = (3m2 - 1)x + m - 1 có nghiệm duy nhất. Tổng các phần tử trong S bằng: A. 15. B. 16 C D. 39. 40. Câu 9. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình( m2 + m)x = m + 1 có nghiệm duy nhất x = 1. A. m = - 1.B. m ¹ C.0. D. m ¹ - 1. m = 1. 2 Câu 10. Cho hai hàm số y = (m + 1) x - 2 và y = (3m + 7)x + m . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hai hàm số đã cho cắt nhau. A. m ¹ - 2. B. m ¹ - 3. C. D. m ¹ - 2; m ¹ 3. m = - 2; m = 3. Câu 11. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình( m2 - 1)x = m - 1 có nghiệm đúng với mọi x thuộc ¡ . A. B.m = 1. m =C.± D.1 . m = - 1. m = 0. Câu 12. Cho phương trình m2 x + 6 = 4x + 3m. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình đã cho có nghiệm. A. B.m = 2. m ¹C.- 2. và m D.¹ - 2 m ¹ 2. m Î ¡ . Câu 13. Cho phương trình (m2 – 3m + 2)x + m2 + 4m + 5 = 0. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình đã cho có nghiệm đúng với mọi x thuộc ¡ . A. B.m = - 2. m =C.- D.5 .Không tồn tại. m = 1. Câu 14. Cho phương trình (m2 - 2m)x = m2 - 3m + 2. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình đã cho có nghiệm. A. B.m = 0. m =C.2 . D. m ¹ 0; m ¹ 2. m ¹ 0. Câu 15. Cho hai hàm số y = (m + 1)x + 1 và y = (3m2 - 1)x + m . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hai hàm số đã cho trùng nhau. 2 2 A. m = 1; m = - . B. m ¹ 1 và m ¹ - . 3 3 2 C. D.m = 1. m = - . 3 Vấn đề 2. SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Câu 16. Phương trình ax 2 + bx + c = 0 có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi: ïì a ¹ 0 ïì a = 0 A. a = 0. B. íï hoặc íï . îï D = 0 îï b ¹ 0
ïì a ¹ 0 C. a = b = c = 0. D. íï . îï D = 0 Câu 17. Số - 1 là nghiệm của phương trình nào trong các phương trình sau? A. x 2 + 4x + 2 = 0. B. 2x 2 - 5x - 7 = 0. C. - 3x 2 + 5x - 2 = 0. D. x 3 - 1 = 0. Câu 18. Nghiệm của phương trình x 2 - 7x + 12 = 0 có thể xem là hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số nào sau đây? A. y = x 2 và B.y = - 7x + và12 . y = x 2 y = - 7x - 12. C. y = x 2 và D.y = 7x + 1 và2. y = x 2 y = 7x - 12. Câu 19. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực m thuộc đoạn [- 10;10] để phương trình x 2 - x + m = 0 vô nghiệm? A. 9 . B. 10. C. 20. D. 21. Câu 20. Phương trình (m + 1)x 2 - 2mx + m - 2 = 0 vô nghiệm khi: A. m £ - 2.B. m 2. m ³ 2. Câu 21. Số nguyên k nhỏ nhất thỏa mãn phương trình 2x (kx - 4)- x 2 + 6 = 0 vô nghiệm là? A. k = - 1. B. k = 1.C. D.k = 2. k = 3. Câu 22. Phương trình (m – 2)x 2 + 2x –1 = 0 có nghiệm kép khi: A. m = 1; m = 2. B. m = 1. C. m = D.2. m = - 1. Câu 23. Phương trình mx 2 + 6 = 4x + 3m có nghiệm duy nhất khi: A. mÎ Æ. B. m = 0. C. D.m Î ¡ . m ¹ 0. Câu 24. Phương trình mx 2 – 2(m + 1)x + m + 1 = 0 có nghiệm duy nhất khi: A. m = 0. B. m = C.- 1 . D. m = 0; m = - 1. m = 1. Câu 25. Phương trình (m + 1)x 2 – 6(m + 1)x + 2m + 3 = 0 có nghiệm kép khi: 6 6 6 A. m = - 1.B. C. m = - 1D.; m = - m = - . m = . 7 7 7 Câu 26. Phương trình 2(x 2 - 1)= x (mx + 1) có nghiệm duy nhất khi: 17 17 A. m = .B. m = C.2. D. m = 2; m = . m = - 1. 8 8 Câu 27. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình (m - 2)x 2 - 2x + 1- 2m = 0 có nghiệm duy nhất. Tổng của các phần tử trongS bằng: 5 7 9 A. .B. 3. C. . D. . 2 2 2 Câu 28. Phương trình (m - 1)x 2 + 6x - 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt khi: 5 5 A. m > - 8. B. m > - . C. D. m > - 8; m ¹ 1. m > - ; m ¹ 1. 4 4 Câu 29. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực m thuộc đoạn [- 5;5] để phương trình mx 2 - 2(m + 2)x + m - 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt.
A. 5 . B. 6. C. 9. D. 10. Câu 30. Phương trình (m2 + 2)x 2 + (m - 2)x - 3 = 0 có hai nghiệm phân biệt khi: A. 0 2. C. m Î ¡ . D. m £ 2. Câu 31. Tìm giá trị thực của tham số m để đường thẳng d : y = 2x + m tiếp xúc với parabol (P): y = (m –1)x 2 + 2mx + 3m –1. A. m = 1. B. m = - 1. C. m = 0. D. m = 2. Câu 32. Phương trình x 2 + m = 0 có nghiệm khi: A. m > 0. B. m - . D. m ³ - . 2 2 2 2 Câu 35. Phương trình (m - 1)x 2 + 3x - 1 = 0 có nghiệm khi: 5 5 5 5 A. m ³ - . B. m £ - . C. m = - . D. m = . 4 4 4 4 Câu 36. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [- 10;10] để phương trình mx 2 - mx + 1 = 0 có nghiệm. A. 17. B. 18. C. 20. D. 21. Câu 37. Biết rằng phương trình x 2 - 4x + m + 1 = 0 có một nghiệm bằng 3 . Nghiệm còn lại của phương trình bằng: A. - 1. B. 1. C. 2. D. 4. Câu 38. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 3x 2 - (m + 2)x + m - 1 = 0 có một nghiệm gấp đôi nghiệm còn lại. ïì 5 ïü ïì 1ïü ïì 2ïü ïì 3 ïü A. m Î íï ;7ýï . B. m Î íï - 2;- ýï . C. m Î íï 0; ýï . D. m Î íï - ;1ýï . îï 2 þï îï 2þï îï 5þï îï 4 þï Câu 39. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 3x 2 - 2(m + 1)x + 3m - 5 = 0 có một nghiệm gấp ba nghiệm còn lại. A. m = 7. B. m = 3. C. m = 3; m = 7. D. mÎ Æ. Câu 40. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình (x - 1)(x 2 - 4mx - 4)= 0 ba nghiệm phân biệt. 3 3 A. m Î ¡ . B. m ¹ 0. C. m ¹ . D. m ¹ - . 4 4 Vấn đề 3. DẤU CỦA NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Câu 41. Phương trình ax 2 + bx + c = 0 (a ¹ 0) có hai nghiệm phân biệt cùng dấu khi và chỉ khi:
ïì D > 0 ïì D ³ 0 ïì D > 0 ïì D > 0 A. íï . B. íï . C. íï . D. íï . îï P > 0 îï P > 0 îï S > 0 îï S 0 ï D > 0 ïì D > 0 ï ï ïì D > 0 A. íï . B. í P > 0 . C. í P > 0 . D. íï . îï P > 0 ï ï îï S > 0 îï S > 0 îï S 0 ï D > 0 ïì D > 0 ï ï ïì D > 0 A. íï . B. í P > 0 . C. í P > 0 . D. íï . îï P > 0 ï ï îï S > 0 îï S > 0 îï S 0 ïì D > 0 A. íï . B. íï . C. P 0. îï S 0 Câu 45. Phương trình x 2 - mx + 1 = 0 có hai nghiệm âm phân biệt khi: A. m 2. C. m ³ - 2. D. m ¹ 0. Câu 46. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc [- 5;5] để phương trình x 2 + 4mx + m2 = 0 có hai nghiệm âm phân biệt? A. 5. B. 6. C. 10. D. 11. Câu 47. Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình mx 2 + x + m = 0 có hai nghiệm âm phân biệt là: æ 1 ö æ 1 1ö æ 1ö A. m Î ç- ;0÷. B. m Î ç- ; ÷. C. m Î (0;2). D. m Î ç0; ÷. èç 2 ø÷ èç 2 2ø÷ èç 2ø÷ Câu 48. Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [- 2;6] để phương trình x 2 + 4mx + m2 = 0 có hai nghiệm dương phân biệt. Tổng các phần tử trong S bằng: A. - 3. B. 2. C. 18. D. 21. Câu 49. Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình x 2 - 2(m + 1)x + m2 - 1 = 0 có hai nghiệm dương phân biệt là: æ 1 ö A. m Î (- 1 ;1). B. m Î (1 ; + ¥ ). C. m Î ç- ;+ ¥ ÷. D. m Î (- ¥ ; - 1). èç 2 ø÷ Câu 50. Phương trình (m - 1)x 2 + 3x - 1 = 0 có hai nghiệm trái dấu khi: A. m > 1. B. m < 1. C. m ³ 1. D. m £ 1. Vấn đề 4. BIỂU THỨC ĐỐI XỨNG GIỮA CÁC NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Câu 51. Giả sử phương trình x 2 - (2m + 1)x + m2 + 2 = 0 ( m là tham số) có hai nghiệm là x1, x2 . Tính giá trị biểu thức P = 3x1x2 - 5(x1 + x2 ) theo m. A. P = 3m2 - 10m + 6. B. P = 3m2 + 10m - 5. C. P = 3m2 - 10m + 1. D. P = 3m2 + 10m + 1. 2 Câu 52. Giả sử phương trình x - 3x - m = 0 ( m là tham số) có hai nghiệm là x1, x2 . Tính giá
2 2 trị biểu thức P = x1 (1- x2 )+ x2 (1- x1 ) theo m. A. P = - m + 9. B. P = 5m + 9. C. P = m + 9. D. P = - 5m + 9. 2 Câu 53. Giả sử phương trình 2x - 4ax - 1 = 0 có hai nghiệm x1, x2 . Tính giá trị của biểu thức T = x1 - x2 . 4a2 + 2 a2 + 8 a2 + 8 A. T = . B. T = 4a2 + 2. C. T = . D. T = . 3 2 4 Câu 54. Cho phương trình x 2 + px + q = 0 trong đó p > 0, q > 0. Nếu hiệu các nghiệm của phương trình bằng 1. Khi đó p bằng A. 4q + 1. B. 4q - 1. C. - 4q + 1. D. q + 1. 2 2 Câu 55. Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình x - (2m + 1)x + m + 1 = 0 ( m là tham x x số). Tìm giá trị nguyên của m sao cho biểu thức P = 1 2 có giá trị nguyên. x1 + x2 A. m = - 2. B. m = - 1. C. m = 1. D. m = 2. 2 2 Câu 56. Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình x - 2(m + 1)x + m + 2 = 0 ( m là tham số). Tìm m để biểu thức P = x1x2 - 2(x1 + x2 )- 6 đạt giá trị nhỏ nhất. 1 A. m = . B. m = 1. C. m = 2. D. m = - 12. 2 2 2 Câu 57. Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình 2x + 2mx + m - 2 = 0 ( m là tham số). Tìm giá trị lớn nhất Pmax của biểu thức P = 2x1x2 + x1 + x2 - 4 . 1 25 9 A. P = . B. P = 2. C. P = . D. P = . max 2 max max 4 max 4 2 2 Câu 58. Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình x - 2(m - 1)x + 2m - 3m + 1 = 0 ( m là tham số). Tìm giá trị lớn nhất Pmax của biểu thức P = x1 + x2 + x1x2 . 1 9 9 A. P = . B. P = 1. C. P = . D. P = . max 4 max max 8 max 16 2 Câu 59. Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình x - mx + m - 1 = 0 ( m là tham số). Tìm m để 2x1x2 + 3 biểu thức P = 2 2 đạt giá trị lớn nhất. x1 + x2 + 2(x1x2 + 1) 1 5 A. m = . B. m = 1. C. m = 2. D. m = . 2 2 2 Câu 60. Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình x - mx + m - 1 = 0 ( m là tham số). Tìm giá trị 2x1x2 + 3 nhỏ nhất Pmin của biểu thức P = 2 2 . x1 + x2 + 2(x1x2 + 1) 1 A. P = - 2. B. P = - . C. P = 0. D. P = 1. min min 2 min min Vấn đề 5. TÍNH CHẤT NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Câu 61. Nếu m ¹ 0 và n ¹ 0 là các nghiệm của phương trình x 2 + mx + n = 0 thì tổng m+ n bằng: 1 1 A. - . B. - 1. C. . D. 1. 2 2 Câu 62. Giả sử các nghiệm của phương trình x 2 + px + q = 0 là lập phương các nghiệm của phương trình x 2 + mx + n = 0 . Mệnh đề nào sau đây đúng? 3 3 3 3 æmö p A. p + q = m . B. p = m + 3mn. C. p = m - 3mn. D. ç ÷ = . èçn ÷ø q Câu 63. Cho hai phương trình x 2 - 2mx + 1 = 0 và x 2 - 2x + m = 0. Có hai giá trị của m để phương trình này có một nghiệm là nghịch đảo của một nghiệm của phương trình kia. Tính tổng S của hai giá trị m đó. 5 1 1 A. S = - . B. S = 1. C. S = - . D. S = . 4 4 4 Câu 64. Cho hai phương trình x 2 - mx + 2 = 0 và x 2 + 2x - m = 0 . Có bao nhiêu giá trị của m để một nghiệm của phương trình này và một nghiệm của phương trình kia có tổng là 3 ? A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. Câu 65. Cho a, b, c, d là các số thực khác 0 . Biết c và d là hai nghiệm của phương trình x 2 + ax + b = 0 và a, b là hai nghiệm của phương trình x 2 + cx + d = 0. Tính giá trị của biểu thức S = a + b + c + d. - 1+ 5 A. S = - 2. B. S = 0. C. S = . D. S = 2. 2 Vấn đề 6. PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI 3 3x Câu 66. Tập nghiệm S của phương trình 2x + = là: x - 1 x - 1 ïì 3ïü ïì 3ïü A. S = íï 1; ýï . B. S = {1}. C. S = íï ýï . D. S = ¡ \{1}. îï 2þï îï 2þï x 2 - 5x 4 Câu 67. Tập nghiệm của phương trình = - là: x - 2 x - 2 A. S = {1;4}. B. S = {1}. C. S = Æ. D. S = {4}. 2x 2 - 10x Câu 68. Phương trình = x - 3 có bao nhiêu nghiệm? x 2 - 5x A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. 2 10 50 Câu 69. Gọi x là nghiệm của phương trình 1- = - . Mệnh đề nào 0 x - 2 x + 3 (2- x)(x + 3) sau đây đúng? A. x0 Î (- 5;- 3). B. x0 Î [- 3;- 1]. C. x0 Î (- 1;4). D. x0 Î [4;+ ¥ ).
(m2 + 1)x - 1 Câu 70. Tập nghiệm S của phương trình = 1 trong trường hợp m ¹ 0 là: x + 1 ïì m + 1ïü ïì 2 ïü A. S = í 2 ý. B. S = Æ. C. S = ¡ . D. S = í 2 ý. îï m þï îï m þï (2m2 + 3)x + 6m Câu 71. Tập nghiệm S của phương trình = 3 khi m ¹ 0 là: x ïì 3 ïü A. S = Æ. B. S = íï - ýï . C. S = ¡ . D. S = ¡ \{0}. îï mþï x 2 + mx + 2 Câu 72. Có bao nhiêu giá trị của tham số m để phương trình = 1 vô nghiệm? x 2 - 1 A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. 2mx - 1 Câu 73. Phương trình = 3 có nghiệm duy nhất khi: x + 1 3 A. m ¹ . B. m ¹ 0. 2 3 1 3 C. m ¹ 0 và m ¹ . D. m ¹ - và m ¹ . 2 2 2 Câu 74. Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [- 3;5] để phương trình x - m x - 2 = có nghiệm. x + 1 x - 1 Tổng các phần tử trong tập S bằng: A. - 1. B. 8. C. 9. D. 10. Câu 75. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [1;20] để phương trình x + 1 m x + 3 + = có nghiệm. x - 2 4 - x 2 x + 2 A. 4. B. 18. C. 19. D. 20. Câu 76. Tập nghiệm S của phương trình 3x - 2 = 3- 2x là: A. S = {- 1;1}. B. S = {- 1}. C. S = {1}. D. S = {0}. Câu 77. Phương trình 2x - 4 - 2x + 4 = 0 có bao nhiêu nghiệm? A. 0. B. 1. C. 2. D. Vô số. Câu 78. Tập nghiệm S của phương trình 2x - 1 = x - 3 là: ïì 4ïü ïì 4ïü A. S = íï ýï . B. S = Æ. C. S = íï - 2; ýï . D. S = {- 2}. îï 3þï îï 3þï Câu 79. Tổng các nghiệm của phương trình x 2 + 5x + 4 = x + 4 bằng: A. - 12. B. - 6. C. 6. D. 12. 2 Câu 80. Gọi x1, x2 (x1 < x2 ) là hai nghiệm của phương trình x - 4x - 5 = 4x - 17 . Tính giá P = x 2 + x . trị biểu thức 1 2 A. P = 16. B. P = 58. C. P = 28. D. P = 22.
Câu 81. Tập nghiệm S của phương trình x - 2 = 3x - 5 là: ïì 3 7ïü ïì 3 7ïü ïì 7 3ïü ïì 7 3ïü A. S = íï ; ýï . B. S = íï - ; ýï . C. S = íï - ;- ýï . D. S = íï - ; ýï . îï 2 4þï îï 2 4þï îï 4 2þï îï 4 2þï Câu 82. Tổng các nghiệm của phương trình x + 2 = 2 x - 2 bằng: 1 2 20 A. . B. . C. 6. D. . 2 3 3 Câu 83. Phương trình 2x + 1 = x 2 - 3x - 4 có bao nhiêu nghiệm? A. 0. B. 1. C. 2. D. 4. Câu 84. Phương trình 2x - 4 + x - 1 = 0 có bao nhiêu nghiệm ? A. 0. B. 1. C. 2. D. Vô số. Câu 85. Tổng các nghiệm của phương trình 2x - 5 + 2x 2 - 7x + 5 = 0 bằng: 5 7 3 A. 6. B. . C. D. . . 2 2 2 2 Câu 86. Phương trình (x + 1) - 3 x + 1 + 2 = 0 có bao nhiêu nghiệm? A. 0. B. 1. C. 2. D. 4. Câu 87. Tổng các nghiệm của phương trình 4x (x - 1)= 2x - 1 + 1 bằng: A. 0. B. 1. C. D. 2. - 2. Câu 88. Với giá trị nào của a thì phương trình 3 x + 2ax = - 1 có nghiệm duy nhất? 3 - 3 3 - 3 - 3 3 A. a > . B. a . 2 2 2 2 2 2 Câu 89. Tìm giá trị thực của tham số m để phương trình x + 1 = x 2 + m có nghiệm duy nhất. A. m = 0. B. m = 1. C. m = - 1. D. Không có m. Câu 90. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [- 5;5] để phương trình mx + 2x - 1 = x - 1 có đúng hai nghiệm phân biệt? A. 8. B. 9. C. 10. D. 11. Câu 91. Tập nghiệm S của phương trình 2x - 3 = x - 3 là: A. S = {6;2}. B. S = {2}. C. S = {6}. D. S = Æ. Câu 92. Tập nghiệm S của phương trình x 2 - 4 = x - 2 là: A. S = {0;2}. B. S = {2}. C. S = {0}. D. S = Æ. Câu 93. Tổng các nghiệm của phương trình (x - 2) 2x + 7 = x 2 - 4 bằng: A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. x 2 - 4x - 2 Câu 94. Phương trình = x - 2 có tất cả bao nhiêu nghiệm? x - 2 A. 1. B. 2. C. 3. D. 5. 4 Câu 95. Phương trình 2- x + = 2 có tất cả bao nhiêu nghiệm? 2- x + 3
A. 0. B. 1. C. 2. D. 3. æ 2 ö2 2 ç x ÷ 2x Câu 96. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình ç ÷ + + m = 0 èçx - 1ø÷ x - 1 có đúng bốn nghiệm? A. 0. B. 1. C. 2. D. Vô số. Câu 97. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình æ 2 1 ö æ 1ö çx + ÷- 2mçx + ÷+ 1 = 0 có nghiệm. èç x 2 ø÷ èç x ø÷ æ ö é ö ç 3 3÷ 3 ÷ A. m Î ç- ; ÷. B. m Î ê ;+ ¥ ÷. èç 4 4ø ëê4 ø æ ù æ ù é ö ç 3 ç 3 3 ÷ C. m Î ç- ¥ ;- ú. D. m Î ç- ¥ ;- úÈ ê ;+ ¥ ÷. èç 4ûú èç 4ûú ëê4 ø Câu 98. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 2 4 æ 2ö x + - 4çx - ÷+ m - 1 = 0 có đúng hai nghiệm lớn hơn 1. x 2 èç x ø÷ A. m < - 8. B. - 8 < m < 1. C. 0 < m < 1. D. m £ - 8. Câu 99. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 2 (x 2 + 2x + 4) – 2m(x 2 + 2x + 4)+ 4m –1 = 0 có đúng hai nghiệm. A. m Î (3;4). B. m Î (- ¥ ;2- 3)È(2 + 3;+ ¥ ). C. m Î (4;+ ¥ )È{2 + 3}. D. m Î ¡ . Câu 100. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình x 2 + 2mx + 2m x + m + m2 + 3- 2m = 0 có nghiệm. é3 ÷ö A. m Î (¥ ;- 3]È[1;+ ¥ ). B. m Î (¥ ;- 3]È ê ;+ ¥ ÷. ëê2 ø é3 ö÷ C. m Î [1;+ ¥ ). D. m Î ê ;+ ¥ ÷. ëê2 ø BAØI PHÖÔNG TRÌNH VAØ HEÄ PHÖÔNG TRÌNH 3. BAÄC NHAÁT NHIEÀU AÅN I – ÔN TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN 1. Phương trình bậc nhất hai ẩn Phương trình bậc nhất hai ẩn x, y có dạng tổng quát là ax + by = c (1) trong đó a, b, c là các hệ số, với điều kiện a và b không đồng thời bằng 0. CHÚ Ý a) Khi a = b = 0 ta có phương trình 0x + 0y = c. Nếu c ¹ 0 thì phương trình này vô nghiệm, còn nếu c = 0 thì mọi cặp số (x0 ; y0 ) đều là nghiệm.
b) Khi b ¹ 0, phương trình ax + by = c trở thành a c y = - x + (2) b b Cặp số (x0 ; y0 ) là một nghiệm của phương trình (1) khi và chỉ khi điểm M (x0 ; y0 ) thuộc đường thẳng (2). Tổng quát, người ta chứng minh được rằng phương trình bậc nhất hai ẩn luôn luôn có vô số nghiệm. Biểu diễn hình học tập nghiệm của phương trình của phương trình (1) là một đường thẳng trong mặt phẳng tọa độ Oxy. 2. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng tổng quát là ïì a x + b y = c íï 1 1 1 (3) ï îï a2 x + b2 y = c2 Trong đó x, y là hai ẩn; các chữ số còn lại là hệ số. Nếu cặp số (x0 ; y0 ) đồng thời là nghiệm của cả hai phương trình của hệ thì (x0 ; y0 ) được gọi là một nghiệm của hệ phương trình (3). Giải hệ phương trình (3) là tìm tập nghiệm của nó. II – HỆ BA PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA ẨN Phương trình bậc nhất ba ẩn có dạng tổng quát là ax + by + cz = d, trong đó x, y, z là ba ẩn; a, b, c, d là các hệ số và a, b, c không đồng thời bằng 0. Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn có dạng tổng quát là ïì a1x + b1 y + c1z = d1 ï íï a x + b y + c z = d (4) ï 2 2 2 2 ï îï a3 x + b3 y + c3 z = d3 Trong đó x, y, z là ba ẩn; các chữ còn lại là các hệ số. Mỗi bộ ba số (x0 ; y0 ;z0 ) nghiệm đúng ba phương trình của hệ được gọi là một nghiệm của hệ phương trình (4). CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM ïì x + y + z = 11 ï Câu 1. Nghiệm của hệ phương trình íï 2x - y + z = 5 là: ï îï 3x + 2y + z = 24 A. (x; y;z)= (5;3;3). B. (x; y;z)= (4;5;2). C. (x; y;z)= (2;4;5). D. (x; y;z)= (3;5;3).
ïì x + 2y = 1 ï Câu 2. Nghiệm của hệ phương trình íï y + 2z = 2 là: ï îï z + 2x = 3 ïì x = 0 ïì x = 1 ïì x = 1 ïì x = 1 ï ï ï ï A. íï y = 1 . B. íï y = 1. C. íï y = 1. D. íï y = 0. ï ï ï ï îï z = 1 îï z = 0 îï z = 1 îï z = 1 Câu 3. Bộ (x; y;z)= (2;- 1;1) là nghiệm của hệ phương trình nào sau đây ? ïì x + 3y - 2z = - 3 ïì 2x - y - z = 1 ï ï A. íï 2x - y + z = 6 . B. íï 2x + 6y - 4z = - 6. ï ï îï 5x - 2y - 3z = 9 îï x + 2y = 5 ïì 3x - y - z = 1 ïì x + y + z = - 2 ï ï C. íï x + y + z = 2 . D. íï 2x - y + z = 6 . ï ï îï x - y - z = 0 îï 10x - 4 y - z = 2 Câu 4. Bộ (x; y;z)= (1;0;1) là nghiệm của hệ phương trình nào sau đây ? ïì 2x + 3y + 6z - 10 = 0 ïì x + 7y - z = - 2 ï ï A. íï x + y + z = - 5 . B. íï - 5x + y + z = 1. ï ï îï y + 4z = - 17 îï x - y + 2z = 0 ïì 2x - y - z = 1 ïì x + 2y + z = - 2 ï ï C. íï x + y + z = 2 . D. íï x - y + z = 4 . ï ï îï - x + y - z = - 2 îï - x - 4 y - z = 5 ì ï 3x + y - 3z = 1 ï Câu 5. Gọi (x0 ; yo ;z0 ) là nghiệm của hệ phương trình í x - y + 2z = 2 . Tính giá trị của biểu ï îï - x + 2y + 2z = 3 2 2 2 thức P = x0 + y0 + z0 . A. P = 1. B. P = 2. C. P = 3. D. P = 14. ì ï x + y + z = 11 ï Câu 6. Gọi (x0 ; yo ;z0 ) là nghiệm của hệ phương trình í 2x - y + z = 5 . Tính giá trị của biểu ï îï 3x + 2y + z = 24 thức P = x0 y0 z0 . A. P = - 40. B. P = 40. C. P = 1200. D. P = - 1200. ïì 2x + 3y + 4 = 0 ï Câu 7. Tìm giá trị thực của tham số m để hệ phương trình íï 3x + y - 1 = 0 có duy nhất một ï îï 2mx + 5y - m = 0 nghiệm. 10 10 A. m = . B. m = 10. C. m = - 10. D. m = - . 3 3
ïì mx + y = 1 ï Câu 8. Tìm giá trị thực của tham số m để hệ phương trình íï my + z = 1 vô nghiệm. ï îï x + mz = 1 A. m = - 1. B. m = 0. C. m = 1. D. m = 1. Câu 9. Một đoàn xe tải chở 290 tấn xi măng cho một công trình xây đập thủy điện. Đoàn xe có 57 chiếc gồm ba loại, xe chở 3 tấn, xe chở 5 tấn và xe chở 7,5 tấn. Nếu dùng tất cả xe 7,5 tấn chở ba chuyến thì được số xi măng bằng tổng số xi măng do xe 5 tấn chở ba chuyến và xe 3 tấn chở hai chuyến. Hỏi số xe mỗi loại ? A. 18 xe chở 3 tấn, 19 xe chở 5 tấn và 20 xe chở 7,5 tấn. B. 20 xe chở 3 tấn, 19 xe chở 5 tấn và 18 xe chở 7,5 tấn. C. 19 xe chở 3 tấn, 20 xe chở 5 tấn và 18 xe chở 7,5 tấn. D. 20 xe chở 3 tấn, 18 xe chở 5 tấn và 19 xe chở 7,5 tấn. Câu 10. Có ba lớp học sinh 10A, 10B, 10C gồm 128 em cùng tham gia lao động trồng cây. Mỗi em lớp 10A trồng được 3 cây bạch đàn và 4 cây bàng. Mỗi em lớp 10B trồng được 2 cây bạch đàn và 5 cây bàng. Mỗi em lớp 10C trồng được 6 cây bạch đàn. Cả ba lớp trồng được là 476 cây bạch đàn và 375 cây bàng. Hỏi mỗi lớp có bao nhiêu học sinh ? A. 10A có 40 em, lớp 10B có 43 em, lớp 10C có 45 em. B. 10A có 45 em, lớp 10B có 43 em, lớp 10C có 40 em. C. 10A có 45 em, lớp 10B có 40 em, lớp 10C có 43 em. D. 10A có 43 em, lớp 10B có 40 em, lớp 10C có 45 em. ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI 3 PHÖÔNG TRÌNH - HEÄ PHÖÔNG TRÌNH BAØI ÑAÏI CÖÔNG VEÀ PHÖÔNG TRÌNH 1. Câu 1. Chọn D. Vì x 2 + 1 ¹ 0 với mọi x Î ¡ . ïì x - 1³ 0 ïì x ³ 1 ï ï Câu 2. Phương trình xác định khi íï x - 2 ³ 0 Û íï x ³ 2 Û x ³ 3. Chọn D. ï ï îï x - 3 ³ 0 îï x ³ 3 ïì x - 2 ³ 0 ïì x ³ 2 Câu 3. Phương trình xác định khi íï Û íï Û 2 £ x 0 îï x 0 Câu 4. Phương trình xác định khi í 2 . Chọn C. îï x - 1³ 0 Câu 5. Phương trình xác định khi x - 2 > 0 Û x > 2 . Chọn D. ïì x 2 - 4 ¹ 0 ïì x ¹ ± 2 Câu 6. Phương trình xác định khi íï Û íï . Chọn A. îï x + 3 ³ 0 îï x ³ - 3
ïì éx ³ 2 ïì x 2 - 4 ³ 0 ï ê éx > 2 Câu 7. Phương trình xác định khi ï Û ï êx £ - 2 Û ê . Chọn D. í í ë ê îï x - 2 ¹ 0 ï ëx £ - 2 îï x ¹ 2 ì x > - 2 ì ï ï 2x + 4 > 0 ï ï ï 3 Câu 8. Phương trình xác định khi íï 3- 2x ³ 0 Û í x £ . Chọn B. ï ï 2 îï x ¹ 0 ï îï x ¹ 0 ì x > - 2 ì ï ï x + 2 > 0 ï ï ï 4 Câu 9. Phương trình xác định khi íï 4 - 3x ³ 0 Û í x £ . Chọn C. ï ï 3 îï x + 1 ¹ 0 ï îï x ¹ - 1 ïì 1 ï x > - ï 2 ïì 1 ïì 2x + 1³ 0 ï ï x ³ - ï Û ï ¹ Û ï Câu 10. Phương trình xác định khi í 2 í x 0 í 2 . Chọn C. îï x + 3x ¹ 0 ï ï ï x ¹ - 3 îï x ¹ 0 ï îï Câu 11. Chọn C. Câu 12. Ta có x 2 - 4 = 0 Û x = ± 2 . Do đó, tập nghiệm của phương trình đã cho là S0 = {- 2;2} . Xét các đáp án: éx + 2 = 0 éx = - 2  Đáp án A. Ta có (2 + x) - x 2 + 2x + 1 = 0 Û ê Û ê . ( ) ê 2 ê ë- x + 2x + 1 = 0 ëêx = 1± 2 Do đó, tập nghiệm của phương trình là S1 = {- 2;1- 2;1+ 2} ¹ S0 . éx = 2 éx - 2 = 0 ê  Đáp án B. Ta có (x - 2) x 2 + 3x + 2 = 0 Û ê Û êx = - 1 . ( ) ê 2 ê ëx + 3x + 2 = 0 ê ëx = - 2 Do đó, tập nghiệm của phương trình là S2 = {- 2;- 1;2} ¹ S0 .  Đáp án C. Ta có x 2 - 3 = 1 Û x 2 - 3 = 1 Û x = ± 2 . Do đó, tập nghiệm của phương trình là S3 = {- 2;2} = S0 . Chọn C.  Đáp án D. Ta có x 2 - 4x + 4 = 0 Û x = 2 . Do đó, tập nghiệm của phương trình là S4 = {2} ¹ S0 . éx = 0 Câu 13. Ta có x 2 - 3x = 0 Û ê . ê ëx = 3 Do đó, tập nghiệm của phương trình đã cho là S0 = {0;3} . Xét các đáp án:
ïì x ³ 2 ïì x - 2 ³ 0 ï  Đáp án A. Ta có x 2 + x - 2 = 3x + x - 2 Û íï Û íï éx = 0 Û x = 3 . ï 2 ï ê îï x - 3x = 0 ï ê îï ëx = 3 Do đó, tập nghiệm của phương trình là S1 = {3} ¹ S0 . 1 1 ïì x - 3 ¹ 0  2 + = + Û ï Û = Đáp án B. Ta có x 3x í 2 x 0 . x - 3 x - 3 îï x - 3x = 0 Do đó, tập nghiệm của phương trình là S2 = {0} ¹ S0 . ïì x - 3 ³ 0 ïì x ³ 3 ï ï 2 ï 2 ï  Đáp án C. Ta có x x - 3 = 3x x - 3 Û í éx - 3x = 0 Û íï éx = 0 Û x = 3 . ï ê ï ê ï ê ï êx = 3 îï ëê x - 3 = 0 îï ë Do đó, tập nghiệm của phương trình là S3 = {3} ¹ S0 . éx = 0  Đáp án D. Ta có x 2 + x 2 + 1 = 3x + x 2 + 1 Û x 2 = 3x Û ê . ê ëx = 3 Do đó, tập nghiệm của phương trình là S4 = {0;3} = S0 . Chọn D. Câu 14. Ta có (x 2 + 1)(x –1)(x + 1)= 0 Û (x - 1)(x + 1)= 0 (vì x 2 + 1> 0, " x Î ¡ . Chọn D. 1 ïì x ¹ 0 + = Û ï Câu 15. Ta có x 1 í 2 (vô nghiệm). Do đó, tập nghiệm của phương trình x îï x - x + 1 = 0 đã cho là S0 = Æ. Xét các đáp án: ïì 2 ³ 0 ï x 2 2  Đáp án A. Ta có í ¾ ¾® x + x ³ 0 . Do đó, phương trình x + x = - 1 vô ï îï x ³ 0 nghiệm. Tập nghiệm của phương trình là S1 = Æ= S0 . ì ï 2x - 1 = 0  Đáp án B. Ta có 2x - 1 + 2x + 1 = 0 Û íï (vô nghiệm). Do đó, phương trình ï îï 2x + 1 = 0 2x - 1 + 2x + 1 = 0 vô nghiệm. Tập nghiệm của phương trình là S2 = Æ= S0 . ïì x - 5 ³ 0 ï  Đáp án C. Ta có x x - 5 = 0 Û íï ïì x = 0 Û x = 5 . Do đó, phương trình x x - 5 = 0 ï íï ï ï îï îï x - 5 = 0 có tập nghiệm là S3 = {5} ¹ S0 . Chọn C.  Đáp án D. Ta có 6x - 1 ³ 0 ¾ ¾® 7 + 6x - 1 ³ 7 > - 18 . Do đó, phương trình 7 + 6x - 1 = - 18 vô nghiệm. Tập nghiệm của phương trình là S4 = Æ= S0 . Câu 16. Chọn A. Câu 17. Chọn D. Vì x 2 = 1 Û x = ± 1. Câu 18. Xét các đáp án:  Đáp án A. Ta có
ïì x ³ 1 x + x - 1 = 1+ x - 1 Û íï Û x = 1 ¾ ¾® x + x - 1 = 1+ x - 1 Û x = 1 . Chọn A. îï x = 1 ïì x - 2 ³ 0  Đáp án B. Ta có x + x - 2 = 1+ x - 2 Û íï Û x Î Æ. îï x = 1 Do đó, x + x - 2 = 1+ x - 2 và x = 1 không phải là cặp phương trình tương đương. ïì x ³ 0 ï x (x + 2)= x Û íï éx = 0 Û x = 0  Đáp án C. Ta có ï ê . Do đó, x x + 2 = x và ï ê ( ) îï ëx + 2 = 0 x + 2 = 1 Û x = - 1 x + 2 = 1 không phải là cặp phương trình tương đương. éx = 0 x x + 2 = x Û ê ( ) ê  Đáp án D. Ta có ëx = - 1. Do đó, x (x + 2)= x và x + 2 = 1 không phải x + 2 = 1 Û x = - 1 là cặp phương trình tương đương. Câu 19. Xét các đáp án: ïì x ³ 3 ïì x - 3 ³ 0 ï 2x + x - 3 = 1+ x - 3 Û í Û í 1 Û x Î Æ îï 2x = 1 ï x =  Đáp án A. Ta có îï 2 . 1 2x = 1 Û x = 2 Do đó, 2x + x - 3 = 1+ x - 3 và 2x = 1 không phải là cặp phương trình tương đương. x x + 1 ïì x + 1> 0 ïì x > - 1  Đáp án B. Ta có = 0 Û íï Û íï Û x = 0 . x + 1 îï x = 0 îï x = 0 x x + 1 Do đó, = 0 và x = 0 là cặp phương trình tương đương. Chọn B. x + 1 ì ì ï x £ 2 ï 2- x ³ 0 ï 5- 13 x + 1 = 2- x Û í Û íï Û x = ï 2 ï 5± 13 îï x + 1 = (2- x) ï x = 2  Đáp án C. Ta có îï 2 . 2 5± 13 x + 1 = (2- x) Û x 2 - 5x + 3 = 0 Û x = 2 2 Do đó, x + 1 = 2- x và x + 1 = (2- x) không phải là cặp phương trình tương đương. ïì x - 2 ³ 0  Đáp án D. Ta có x + x - 2 = 1+ x - 2 Û íï Û x Î Æ. îï x = 1 Do đó, x + x - 2 = 1+ x - 2 và x = 1 không phải là cặp phương trình tương đương. Câu 20. Chọn D.
ïì x ³ 0 ïì 2x ³ 0 ï 1+ 33 + = Û ï Û ï Û = x 2 2x í 2 í 1± 33 x îï x + 2 = 4x ï x = 8 Ta có îï 8 . 1± 33 x + 2 = 4x 2 Û x = 8 Do đó, x + 2 = 2x và x + 2 = 4x 2 không phải là cặp phương trình tương đương. éx = - 2 Câu 21. Ta có (2)Û (x + 2) 2x 2 + mx - 2 = 0 Û ê . ( ) ê 2 ë2x + mx - 2 = 0 Do hai phương trình tương đương nên x = - 2 cũng là nghiệm của phương trình (1). 2 Thay x = - 2 vào (1), ta được 2(- 2) + m(- 2)- 2 = 0 Û m = 3 . Với m = 3 , ta có 1 · (1) trở thành 2x 2 + 3x - 2 = 0 Û x = - 2 hoặc x = . 2 2 1 · (2) trở thành 2x 3 + 7x 2 + 4x - 4 = 0 Û (x + 2) (2x + 1)= 0 Û x = - 2 hoặc x = . 2 Suy ra hai phương trình tương đương. Vậy m = 3 thỏa mãn. Chọn B. éx = 1 Câu 22. Ta có 1 Û x - 1 mx - m + 2 = 0 Û ê . . ( ) ( )( ) ê ëmx - m + 2 = 0 Do hai phương trình tương đương nên x = 1 cũng là nghiệm của phương trình (2). ém = - 5 Thay x = 1 vào 2 , ta được m - 2 - 3+ m2 - 15 = 0 Û m2 + m - 20 = 0 Û ê . ( ) ( ) ê ëm = 4 Với m = - 5 , ta có 7 (1) trở thành - 5x 2 + 12x - 7 = 0 Û x = hoặc x = 1. 5 10 (2) trở thành - 7x 2 - 3x + 10 = 0 Û x = - hoặc x = 1. 7 Suy ra hai phương trình không tương đương Với m = 4 , ta có 1 (1) trở thành 4x 2 - 6x + 2 = 0 Û x = hoặc x = 1. 2 1 (2) trở thành 2x 2 - 3x + 1 = 0 Û x = hoặc x = 1. 2 Suy ra hai phương trình tương đương. Vậy m = 4 thỏa mãn. Chọn C. Câu 23. Chọn C. Ta có:
ì ï x ³ 3 ï ì x - 3 ³ 0 ì ï é 5 ï ï x ³ 3 ï êx =  3x - 2 = x - 3 Û í 2 2 Û í Û í ê 4 Û x Î Æ. ï (3x - 2) = (x - 3) ï 8x 2 - 6x - 5 = 0 ï ê îï îï ï ê 1 ï êx = - îï ëê 2 1± 11  8x 2 - 4x - 5 = 0 Û x = . 4 Do đó, phương trình 8x 2 - 4x - 5 = 0 không phải là hệ quả của phương trình 3x - 2 = x - 3 . éx = 0 2 ê Câu 24. Ta có 2x - x = 0 Û ê 1 . êx = ëê 2 ïì 1ïü Do đó, tập nghiệm của phương trình đã cho là S0 = í 0; ý . îï 2þï Xét các đáp án: ïì x ¹ 1 ï é ì ï x = 0 x ï 1- x ¹ 0 ï éx = 0 ê  Đáp án A. Ta có 2x - = 0 Û í Û í ê Û ê 1 . 1- x ï 2x (1- x)- x = 0 ï ê êx = îï ï 1 ê ï êx = ë 2 îï ëê 2 ïì 1ïü Do đó, tập nghiệm của phương trình là S1 = í 0; ýÉ S0 . îï 2þï ì ï x = 0 3 ï  Đáp án B. Ta có 4x - x = 0 Û í 1 . ï x = ± îï 2 ïì 1 1ïü Do đó, tập nghiệm của phương trình là S2 = í - ;0; ýÉ S0 . îï 2 2þï 2 2 2 2 ïì 2x - x = 0 ïì 2x - x = 0  Đáp án C. Ta có (2x 2 - x) + (x - 5) = 0 Û íï Û íï (vô nghiệm). Do îï x - 5 = 0 îï x = 5 đó, tập nghiệm của phương trình là S3 = ÆÉ S0 . Chọn C. éx = 0 ê ê 1  Đáp án D. Ta có 2x 3 + x 2 - x = 0 Û êx = . Do đó, tập nghiệm của phương trình là ê ê 2 ê ëx = - 1 ïì 1ïü S2 = í - 1;0; ýÉ S0 . îï 2þï Câu 25. Ta có: éx - 2 = 0 éx = 2  Phương trình 1 Û ê Û ê . ( ) ê ê ëx = 3 ëx = 3 Do đó, tập nghiệm của phương trình (1) là S1 = {2;3} .
ïì x - 2 ¹ 0  Phương trình (2)Û íï Û x = 3 . îï x = 3 Do đó, tập nghiệm của phương trình (2) là S2 = 3 . Vì S2 Ì S1 nên phương trình (1) là hệ quả của phương trình (2). Chọn A. ïì x 2 - 2x ³ 0 ïì x 2 - 2x ³ 0 éx = 0 Câu 26. Điều kiện: íï Û íï Û x 2 - 2x = 0 Û ê . ï 2 ï 2 ê îï 2x - x ³ 0 îï x - 2x £ 0 ëx = 2 Thử lại ta thấy cả x = 0 và x = 2 đều thỏa mãn phương trình. Chọn C. Câu 27. Điều kiện: x - 1³ 0 Û x ³ 1. éx = 0 éx = 0 ê ê ê 2 - = Û ê = ± Phương trình tương đương với êx 1 0 êx 1. ê ê = 1 ëê x - 1 = 0 ëx Đối chiếu điều kiện, ta được nghiệm của phương trình đã cho là x = 1. Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất. Chọn B. 2 Câu 28. Điều kiện: - x 2 + 6x - 9 ³ 0 Û - (x - 3) ³ 0 Û x = 3 . Thử lại ta thấy x = 3 thỏa mãn phương trình. Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất. Chọn B. ì 2 ï (x - 3) (5- 3x)³ 0 Câu 29. Điều kiện: í . (*) ï îï 3x - 5 ³ 0 Ta thấy x = 3 thỏa mãn điều kiện (*). ïì 5 ï x £ ïì 5- 3x ³ 0 ï 3 5 Nếu x ¹ 3 thì (*)Û íï Û íï Û x = . ï 3x - 5 ³ 0 ï 5 3 îï ï x ³ îï 3 5 Do đó điều kiện xác định của phương trình là x = 3 hoặc x = . 3 5 Thay x = 3 và x = vào phương trình thấy chỉ có x = 3 thỏa mãn. 3 Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất. Chọn B. ïì x - 1³ 0 ïì x ³ 1 Câu 30. Điều kiện íï Û íï Û x = 1. îï 1- x ³ 0 îï x £ 1 Thử lại x = 1 thì phương trình không thỏa mãn phương trình. Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. Chọn A. ïì x ³ 0 ï Câu 31. Điều kiện: íï x - 2 ³ 0 Û x = 2 . ï îï 2- x ³ 0 Thử lại phương trình thấy x = 2 thỏa mãn. Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất. Chọn B.
3 2 ì 2 ïì x - 4x + 5x - 2 ³ 0 ï (x - 1) (x - 2)³ 0 éx = 1 Câu 32. Điều kiện: íï Û í Û ê . ï ï ê = îï 2- x ³ 0 ïî x £ 2 ëx 2 Thay x = 1 và x = 2 vào phương trình thấy chỉ có x = 1 thỏa mãn. Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất. Chọn B. Câu 33. Điều kiện: x ¹ 1. Với điều kiện trên phương trình tương đương x 2 - x + 1 = 2x - 1 Û x = 1 hoặc x = 2 . Đối chiếu điều kiện ta được phương trình có nghiệm duy nhất x = 2. Chọn B. Câu 34. Điều kiện: x ³ 3 . Ta có x = 3 là một nghiệm. Nếu x > 3 thì x - 3 > 0 . Do đó phương trình tuong đương (x 2 - 3x + 2) x - 3 = 0 Û x 2 - 3x + 2 = 0 Û x = 1 hoặc x = 2 . Đối chiếu điều kiện ta được phương trình có nghiệm duy nhất x = 3. Chọn B. Câu 35. Điều kiện: x ³ - 1 . Ta có x = - 1 là một nghiệm. Nếu x > - 1 thì x + 1 > 0 . Do đó phương trình tương đương x 2 - x - 2 = 0 Û x = - 1 hoặc x = 2 . Đối chiếu điều kiện ta được nghiệm của phương trình là x = - 1, x = 2 . Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm. Chọn C. BAØI PHÖÔNG TRÌNH QUY VEÀ 2. PHÖÔNG TRÌNH BAÄC NHAÁT, BAÄC HAI ïì m2 - 4 = 0 ïì m = ± 2 Câu 1. Phương trình đã cho vô nghiệm khi íï Û íï Û m = 2 . Chọn B. îï 3m + 6 ¹ 0 îï m ¹ - 2 Câu 2. Phương trình viết lại mx = m . ïì m = 0 Phương trình đã cho vô nghiệm khi íï Û m Î Æ. Chọn A. îï m ¹ 0 ïì ém = 2 ï ê ì 2 ï ê ï m - 5m + 6 = 0 ï ëm = 3 Câu 3. Phương trình đã cho vô nghiệm khi íï Û íï Û m = 3 . ï 2 ï îï m - 2m ¹ 0 ï m ¹ 0 ï îï m ¹ 2 Chọn C. Câu 4. Phương trình viết lại (m2 - 5m + 6)x = m - 1 . ïì ém = 2 ïì m2 - 5m + 6 = 0 ï ê ém = 2 Phương trình vô nghiệm khi ï Û ï êm = 3 Û ê . Chọn B. í í ë ê îï m - 1 ¹ 0 ï ëm = 3 îï m ¹ 1 Câu 5. Đồ thị hai hàm số không cắt nhau khi và chỉ khi phương trình
(m + 1)x 2 + 3m2 x + m = (m + 1)x 2 + 12x + 2 vô nghiệm Û 3(m2 - 4)x = 2- m vô nghiệm ïì m2 - 4 = 0 ïì m = ± 2 Û íï Û íï Û m = - 2. Chọn A. îï 2- m ¹ 0 îï m ¹ 2 Câu 6. Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi 2m - 4 ¹ 0 Û m ¹ 2 . Chọn D. Câu 7. Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi m2 - 9 ¹ 0 Û m ¹ ± 3 mÎ [- 10;10] ¾ ¾m¾Î ¢ ¾® có 19 giá trị của tham số m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn B. Câu 8. Phương trình viết lại (3m2 - m - 2)x = 1- m . ì ï m ¹ 1 2 ï Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi 3m - m - 2 ¹ 0 Û í 2 ï m ¹ - îï 3 mÎ [- 5;10] ¾ ¾mÎ¾¢ ¾® m Î {- 5;- 4;- 3;- 2;- 1;0;2;3;4;5;6;7;8;9;10}. Do đó, tổng các phần tử trong S bằng 39 . Chọn C. ïì m ¹ 0 Câu 9. Phương trình có nghiệm duy nhất khi m2 + m ¹ 0 Û íï . (*) îï m ¹ - 1 1 Khi đó, nghiệm của phương trình là x = . m 1 Yêu cầu bài toán Û = 1 Û m = 1 (thỏa mãn (*)). Chọn D. m Câu 10. Đồ thị hai hàm số cắt nhau khi và chỉ khi phương trình 2 (m + 1) x - 2 = (3m + 7)x + m có nghiệm duy nhất Û (m2 - m - 6)x = 2 + m có nghiệm duy nhất ïì m ¹ 3 Û m2 - m - 6 ¹ 0 Û íï . Chọn C. îï m ¹ - 2 Câu 11. Phương trình đã cho nghiệm đúng với " x Î ¡ hay phương trình có vô số nghiệm khi ïì m2 - 1 = 0 íï Û m = 1. Chọn A. îï m - 1 = 0 Câu 12. Phương trình viết lại (m2 - 4)x = 3m - 6 . ïì m2 - 4 = 0 ïì m = ± 2 Phương trình đã cho vô nghiệm khi íï Û íï Û m = - 2 . îï 3m - 6 ¹ 0 îï m ¹ 2 Do đó, phương trình đã cho có nghiệm khi m ¹ - 2 . Chọn B. Câu 13. Phương trình đã cho nghiệm đúng với " x Î ¡ hay phương trình có vô số nghiệm khi ì é ì 2 ï m = 1 ï m - 3m + 2 = 0 ï ê ï Û ï ê = Û Î Æ. Chọn D. í 2 í ëm 2 m ï - m + 4m + 5 = 0 ï îï ( ) ï îï m Î Æ
ïì ém = 0 ï ê ì 2 ï ê ï m - 2m = 0 ï ëm = 2 Câu 14. Phương trình đã cho vô nghiệm khi íï Û íï Û m = 0 . ï 2 ï îï m - 3m + 2 ¹ 0 ï m ¹ 2 ï îï m ¹ 1 Do đó, phương trình đã cho có nghiệm khi m ¹ 0 . Chọn D. Câu 15. Đồ thị hai hàm số trùng nhau khi và chỉ khi phương trình (m + 1)x + 1 = (3m2 - 1)x + m có vô số nghiệm Û (3m2 - m - 2)x = 1- m có vô số nghiệm ïì 3m2 - m - 2 = 0 Û íï Û m = 1. Chọn C. îï 1- m = 0 Câu 16. Chọn B.  Với a = 0 . Phương trình trở thành bx = - c . Khi đó, phương trình có nghiệm duy nhất khi b ¹ 0 .  Với a ¹ 0 . Khi đó, phương trình có nghiệm duy nhất khi D = 0 . Câu 17. Xét các đáp án:  Đáp án A. Ta có (- 1)2 + 4.(- 1)+ 2 = - 1 ¹ 0 .  Đáp án B. Ta có 2.(- 1)2 - 5.(- 1)- 7 = 0 .  Đáp án C. Ta có - 3.(- 1)2 + 5.(- 1)- 2 = - 10 ¹ 0 .  Đáp án D. Ta có (- 1)3 - 1 = - 2 ¹ 0 . Chọn B. Câu 18. Ta có x 2 - 7x + 12 = 0 Û x 2 = 7x - 12 . Do đó, nghiệm của phương trình đã cho có thể xem là hoành độ giao điểm của 2 đồ thị hàm số y = x 2 và y = 7x - 12 . Chọn D. Câu 19. Ta có D = 1- 4m . 1 Phương trình vô nghiệm khi D 4 ïì m Î ¢ Do íï ¾ ¾® m Î {1;2;3; ;10} ¾ ¾® Có 10 giá trị thỏa mãn. Chọn B. ï îï m Î [- 10;10] Câu 20.  Với m + 1 = 0 Û m = - 1. 3 Khi đó phương trình trở thành 2x - 3 = 0 Û x = . 2  Với m + 1 ¹ 0 Û m ¹ - 1. Ta có D ¢= m2 - (m - 2)(m + 1)= m + 2 . Phương trình vô nghiệm khi D ¢< 0 Û m + 2 < 0 Û m < - 2. Chọn B. Câu 21. Phương trình viết lại (2k - 1)x 2 - 8x + 6 = 0 . 1  Với 2k - 1 = 0 Û k = . 2
3 Khi đó, phương trình trở thành - 8x + 6 = 0 Û x = . 4 1 2  Với 2k - 1 ¹ 0 Û k ¹ . Ta có D ¢= (- 4) - (2k - 1).6 = - 12k + 22 . 2 11 Khi đó, phương trình đã cho vô nghiệm khi D ¢ . 6 Do đó, số nguyên k nhỏ nhất thỏa mãn yêu cầu bài toán là k = 2 . Chọn C. ïì m - 2 ¹ 0 ïì m ¹ 2 Câu 22. Phương trình đã cho có nghiệm kép khi íï Û íï Û m = 1 . îï D ¢= m - 1 = 0 îï m = 1 Chọn B. Câu 23. Phương trình viết lại mx 2 - 4x + (6- 3m)= 0 . 3  Với m = 0 . Khi đó, phương trình trở thành 4x - 6 = 0 Û x = . Do đó, m = 0 là một giá 2 trị cần tìm. 2 2  Với m ¹ 0 . Ta có D ¢= (- 2) - m(6- 3m)= 3m2 - 6m + 4 = 3(m - 1) + 1> 0 Khi đó, phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt nên m ¹ 0 không thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn B. Câu 24. 1  Với m = 0 . Khi đó, phương trình trở thành - 2x + 1 = 0 Û x = . Do đó, m = 0 là một 2 giá trị cần tìm. ¢ é ù2  Với m ¹ 0 . Ta có D = ë- (m + 1)û - m(m + 1)= m + 1. Khi đó, phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi D ¢= 0 Û m + 1 = 0 Û m = - 1 . Chọn C. ïì m + 1 ¹ 0 Câu 25. Phương trình đã cho có nghiệm kép khi íï îï D ¢= 0 ïì m ¹ - 1 ï ïì m + 1 ¹ 0 ï ém = - 1 6 Û ï Û ï Û = - . Chọn C. í 2 í ê m îï 7m + 13m + 6 = 0 ï ê 6 7 ï êm = - îï ëê 7 Câu 26. Phương trình viết lại (2- m)x 2 - x - 2 = 0 .  Với 2- m = 0 Û m = 2 . Khi đó, phương trình trở thành - x - 2 = 0 Û x = - 2 . Do đó, m = 2 là một giá trị cần tìm. 2  Với 2- m ¹ 0 Û m ¹ 2 . Ta có D = (- 1) - 4(2- m).(- 2)= - 8m + 17 . Khi đó, phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi 17 D = 0 Û - 8m + 17 = 0 Û m = . 8 Chọn C.
Câu 27. 3  Với m = 2 , phương trình trở thành - 2x - 3 = 0 Û x = - . Do đó m = 2 là một giá trị 2 cần tìm.  Với m ¹ 2 , phương trình đã cho là phương trình bậc hai có D ¢= 2m2 - 5m + 3 . Để 3 phương trình có nghiệm duy nhất Û D ¢= 0 Û m = hoặc m = 1. 2 ïì 3 ïü 3 9 Vậy S = íï 1; ; 2ýï ¾ ¾® tổng các phần tử trong S bằng 1+ + 2 = . Chọn D. îï 2 þï 2 2 Câu 28. Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi ïì m - 1 ¹ 0 ïì m ¹ 1 ïì m ¹ 1 í Û í Û íï . Chọn C. îï D ¢> 0 îï m + 8 > 0 îï m > - 8 Câu 29. Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi . Do Có 5 giá trị nguyên của thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn A. Câu 30. Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi ïì m2 + 2 ¹ 0 íï Û 13m2 - 4m + 28 > 0 Û m Î ¡ . Chọn C. îï D > 0 Câu 31. Phương trình hoành độ giao điểm (m - 1)x 2 + 2mx + 3m - 1 = 2x + m Û (m - 1)x 2 + 2(m - 1)x + 2m - 1 = 0. (*) Để d tiếp xúc với (P) khi và chỉ khi phương trình (*) có nghiệm kép ì m ¹ 1 ì ï ï m - 1 ¹ 0 ï Û í Û íï ém = 0 Û m = 0. Chọn C. ï 2 ï ê îï D ' = (m –1) – (m –1)(2m –1)= –m(m –1)= 0 ï ê îï ëm = 1 Câu 32. Phương trình tương đương với x 2 = - m . Do vế trái của phương trình không âm nên để phương trình có nghiệm khi và chỉ khi - m ³ 0 Û m £ 0. Chọn C. ém ³ 12 Câu 33. Phương trình có nghiệm khi D / = m2 - 144 ³ 0 Û m2 ³ 122 Û ê ê ëm £ - 12 mÎ [- 20;20] ¾ ¾m¾Î ¢ ¾® S = {- 20;- 19;- 18; ;- 12;12;13;14; ;20} . Do đó tổng các phần tử trong tập S bằng 0. Chọn D. Câu 34. Phương trình hoành độ giao điểm - x 2 - 2x + 3 = x 2 - m Û 2x 2 + 2x - m - 3 = 0 . (*) Để hai đồ thị hàm số có điểm chung khi và chỉ khi phương trình (*) có nghiệm 7 Û D / = 1- 2(- m - 3)³ 0 Û m ³ - . Chọn D. 2 Câu 35. 1 · Với m = 1, phương trình trở thành 3x - 1 = 0 Û x = . Do đó m = 1 thỏa mãn. 3
· Với m ¹ 1, ta có D = 9 + 4(m - 1)= 4m + 5 . 5 5 Phương trình có nghiệm khi D ³ 0 Û 4m + 5 ³ 0 Û m ³ - ¾ m¾¹ - ¾1® - £ m ¹ - 1. 4 4 5 Hợp hai trường hợp ta được m ³ - là giá trị cần tìm. Chọn A. 4 Câu 36. Nếu m = 0 thì phương trình trở thành 1 = 0 : vô nghiệm. Khi m =/ 0, phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi ém £ 0 D = m2 - 4m ³ 0 Û ê ê ëm ³ 4 Kết hợp điều kiện m =/ 0, ta được: ém 0 2 Û m2 - 8m + 16 > 0 Û (m - 4) > 0 Û m =/ 4. (*) Theo định lí Viet, ta có ïì 2 1 ì m - 1 m + 2 ï = + 2 , = + 2 ï ï x1 (m ) x2 (m ) ï x1 ×x2 = ;x1 + x2 = ï 9 9 í 3 3 Û ïí ï ï m - 1 îï x1 = 2x2 ï x1 ×x2 = îï 3 é 5 2 2 m - 1 êm = ¾ ¾® (m + 2) = Û 2m2 - 19m + 35 = 0 Û ê 2 (thỏa mãn(*)). Chọn A. 81 3 ê ëêm = 7 Câu 39. Phương trình có hai nghiệm phân biệt Û D ' > 0 2 2 æ 7ö 15 Û m - 7m + 16 > 0 Û çm - ÷ + > 0," m Î ¡ . èç 2ø÷ 4 ïì m + 1 m + 1 ïì 2 + 1 ï ï 3m - 5 (m ) ï x1 = , x2 = ï x1 ×x2 = ;x1 + x2 = ï 2 6 Theo định lí Viet, ta có í 3 3 Û í ï ï 3m - 5 ï ï × = ï x1 = 3x2 ï x1 x2 î îï 3 2 (m + 1) 3m - 5 ém = 3 ¾ ¾® = Û m2 - 10m + 21 = 0 Û ê . Chọn C. ê 12 3 ëm = 7 éx = 1 Câu 40. Ta có x - 1 x 2 - 4mx - 4 = 0 Û ê . ( )( ) ê 2 ëêg(x)= x - 4mx - 4 = 0 (*)
Phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi (*) có hai nghiệm phân biệt ì 2 ï D ¢= 4m + 4 > 0 3 khác 1 Û í Û m =/ - . Chọn D. ï îï g(1)= 1- 4m - 4 =/ 0 4 Câu 41. Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi D > 0 . Khi đó, gọi hai nghiệm của phương trình là x1 và x2 . Do x1 và x2 cùng dấu nên x1x2 > 0 hay P > 0 . Chọn A. Câu 42. Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi D > 0 . Khi đó, gọi 2 nghiệm của phương trình là x1 và x2 . Do x1 và x2 là hai nghiệm âm nên ì ì ï x1 + x2 0 îï P > 0 Câu 43. Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi D > 0 . Khi đó, gọi hai nghiệm của phương trình là x1 và x2 . Do x1 và x2 là hai nghiệm dương nên ì ì ï x1 + x2 > 0 ï S > 0 í hay íï . Chọn B. ï ï îï x1x2 > 0 îï P > 0 Câu 44. Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi D > 0 . Khi đó, gọi hai nghiệm của phương trình là x1 và x2 . Do x1 và x2 là hai nghiệm trái dấu nên x1x2 0 . Do đó, phương trình có hai nghiệm a trái dấu khi và chỉ khi P 0 ïì m2 - 4 > 0 ïì ém 2 Û m 0 îï 1> 0 îï m 0 ï 3m > 0 ï ï ïì m ¹ 0 í S 0 . ï ï ï > 0 ï ï 2 îï m îï P > 0 îï m > 0 ïì m Î ¢ Do íï ¾ ¾® m Î {1;2;3;4;5} ¾ ¾® Có 5 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán. ï îï m Î [- 5;5] Chọn A. Câu 47. Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt khi ïì m ¹ 0 ïì a ¹ 0 ï ïì m ¹ 0 ï ï 2 ï ï ï 1- 4m > 0 ï ï D > 0 ï ï 1 1 1 í Û í 1 Û í - 0 îï P > 0 ï îï m îï 1> 0
ïì D ¢> 0 ïì 3m2 > 0 ï ï Câu 48. Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt khi íï S > 0 Û íï - 4m > 0 ï ï ï ï 2 îï P > 0 îï m > 0 ì ï m ¹ 0 mÎ [- 2;6] Û í Û m 0 ïì m > - 1 ï ï ï ï Û í S = 2(m + 1)> 0 Û ï m > - 1 Û m > 1 . ï í ï P = m2 - 1> 0 ï ém > 1 îï ï ê ï ê îï ëm 1 thì thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn B. Câu 50. Phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu khi ïì m - 1 ¹ 0 ïì a ¹ 0 ï í Û í - 1 Û m - 1> 0 Û m > 1 . Chọn A. îï P 0. Chọn B. èç 2ø÷ 2 Câu 54. Giả sử x1, x2 là hai nghiệm phân biệt của phương trình x + px + q = 0. ïì x + x = - p 0 ). (1) ï îï x1x2 = q > 0 2 2 Từ giả thiết, ta có x1 - x2 = 1 Û (x1 - x2 ) = 1 Û (x1 + x2 ) - 4x1x2 = 1. (2) Từ (1), (2) suy ra p2 - 4q = 1 Û p2 = 4q + 1 Û p = 4q + 1 > 0. Chọn A. 2 Câu 55. Ta có D = (2m + 1) - 4(m2 + 1) = 4m - 3 .
3 Để phương trình có hai nghiệm Û D ³ 0 Û m ³ . 4 ïì x1 + x2 = 2m + 1 Theo định lý Viet, ta có íï . ï 2 îï x1x2 = m + 1 x x m2 + 1 2m - 1 5 5 Khi đó P = 1 2 = = + ¾ ¾® 4P = 2m - 1+ . x1 + x2 2m + 1 4 4(2m + 1) 2m + 1 3 5 Do m ³ nên 2m + 1³ . 4 2 Để P Î ¢ thì ta phải có (2m + 1) là ước của 5 , suy ra 2m + 1 = 5 Û m = 2 . Thử lại với m = 2 , ta được P = 1: thỏa mãn. Chọn D. 2 Câu 56. Ta có D ' = (m + 1) - (m2 + 2)= 2m - 1. 1 Để phương trình có hai nghiệm Û D ' ³ 0 Û m ³ . (*) 2 ïì x1 + x2 = 2m + 2 Theo định lý Viet, ta có íï . ï 2 îï x1.x2 = m + 2 2 2 Khi đó P = x1x2 - 2(x1 + x2 )- 6 = m + 2- 2(2m + 2)- 6 = (m - 2) - 12 ³ - 12. Dấu '' = '' xảy ra khi và chỉ khi m = 2 : thỏa (*). Chọn C. Câu 57. Ta có D ' = m2 - 2(m2 - 2)= - m2 + 4 . Để phương trình có hai nghiệm khi và chỉ khi D ' = 4 - m2 ³ 0 Û - 2 £ m £ 2. (*) ì x + x = - m ï 1 2 ï Theo định lý Viet, ta có í 2 . ï m - 2 ï x1x2 = îï 2 2 Khi đó A = 2x1x2 + x1 + x2 - 4 = m - m - 6 = (m + 2)(m - 3) = - (m + 2)(m - 3) 2 2 æ 1ö 25 25 = - m + m + 6 = - çm - ÷ + £ (do - 2 £ m £ 2 ). èç 2ø÷ 4 4 1 Dấu '' = '' xảy ra khi và chỉ khi m = : thỏa (*). Chọn C. 2 2 Câu 58. Ta có D ' = (m - 1) - (2m2 - 3m + 1)= - m2 + m = m(1- m). Để phương trình có hai nghiệm Û D ' ³ 0 Û 0 £ m £ 1. (*) ïì + = - ï x1 x2 2(m 1) Theo định lý Viet, ta có í . ï 2 îï x1.x2 = 2m - 3m + 1 Khi đó æ ö2 2 2 m 1 ç 1÷ 9 P = x1 + x2 + x1.x2 = 2(m - 1)+ 2m - 3m + 1 = 2 m - - = 2 çm - ÷ - . 2 2 èç 4ø÷ 16
1 1 3 æ 1ö2 9 æ 1ö2 9 Vì 0 £ m £ 1 ¾ ¾® - £ m - £ ¾ ¾® çm - ÷ £ ¾ ¾® çm - ÷ - £ 0. 4 4 4 èç 4ø÷ 16 èç 4ø÷ 16 æ 1ö2 9 æ9 æ 1ö2 ö 9 æ 1ö2 9 ç ÷ ç ç ÷ ÷ ç ÷ Do đó P = 2 çm - ÷ - = 2ç - çm - ÷ ÷= - 2çm - ÷ £ . èç 4ø 16 èç16 èç 4ø ø÷ 8 èç 4ø 8 1 Dấu '' = '' xảy ra khi và chỉ khi m = : thỏa mãn (*). Chọn C. 4 2 Câu 59. Ta có D = m2 - 4(m - 1)= (m - 2) ³ 0 , với mọi m . Do đó phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m . ïì x + x = m Theo định lý Viet, ta có íï 1 2 . ï îï x1x2 = m - 1 2 2 2 2 2 Suy ra x1 + x2 = (x1 + x2 ) - 2x1x2 = m - 2(m - 1)= m - 2m + 2 . 2x1x2 + 3 2m + 1 Khi đó P = 2 2 = 2 . x1 + x2 + 2(x1x2 + 1) m + 2 2 2m + 1 2m + 1- m2 - 2 (m - 1) Suy ra P - 1 = - 1 = = - £ 0, " m Î ¡ . m2 + 2 m2 + 2 m2 + 2 Suy ra P £ 1, " m Î ¡ . Dấu '' = '' xảy ra khi và chỉ khi m = 1. Chọn B. 2 Câu 60. Ta có D = m2 - 4(m - 1)= (m - 2) ³ 0 , với mọi m . Do đó phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m . ïì x + x = m Theo định lý Viet, ta có íï 1 2 . ï îï x1x2 = m - 1 2 2 2 2 2 Suy ra x1 + x2 = (x1 + x2 ) - 2x1x2 = m - 2(m - 1)= m - 2m + 2 . 2x1x2 + 3 2m + 1 Khi đó P = 2 2 = 2 . x1 + x2 + 2(x1x2 + 1) m + 2 2 1 2m + 1 1 2(2m + 1)+ m2 + 2 (m + 2) Suy ra P + = + = = ³ 0, " m Î ¡ . 2 m2 + 2 2 2(m2 + 2) 2(m2 + 2) 1 Suy ra P ³ - , " m Î ¡ . Dấu '' = '' xảy ra khi và chỉ khi m = - 2. Chọn B. 2 ïì m + n = - m ïì n = - 2m ïì m = 1 Câu 61. Theo định lý Viet, ta có íï Û íï (n ¹ 0)Û íï îï m.n = n îï m = 1 îï n = - 2 ¾ ¾® m + n = - 1. Chọn B. 2 Câu 62. Giả sử phương trình x + px + q = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 và phương trình 2 x + mx + n = 0 có hai nghiệm phân biệt x3 , x4 . ïì = 3 ï x1 x3 3 3 2 Theo bài ra, ta có í Û x + x = x + x = (x + x )é(x + x ) - 3x x ù. (*) ï 3 1 2 3 4 3 4 ëê 3 4 3 4 ûú îï x2 = x4 ïì x1 + x2 = - p ï Theo định lý Viet, ta có íï x + x = - m, thay vào (*), ta được - p = - m m2 - 3n . ï 3 4 ( ) ï îï x3 x4 = n
Vậy p = m(m2 - 3n)= m3 - 3mn. Chọn C. 2 Câu 63. Gọi x0 là nghiệm của phương trình x - 2mx + 1 = 0. Điều kiện: x0 ¹ 0. 1 Suy ra là nghiệm của phương trình x 2 - 2x + m = 0. x0 ïì x 2 - 2mx + 1 = 0 ï 0 0 ïì x 2 - 2mx + 1 = 0. 1 ï 2 ï 0 0 ( ) Khi đó, ta có hệ íï æ ö Û íï ï ç 1 ÷ 2 ï 2 ï ç ÷ - + m = 0 ï mx0 - 2x0 + 1 = 0. (2) ï ç ÷ îï îï èx0 ø x0 ém = 1 Lấy 1 - 2 , ta được x 2 1- m - 2x m - 1 = 0 Û m - 1 x 2 + 2x = 0 Û ê . ( ) ( ) 0 ( ) 0 ( ) ( )( 0 0 ) ê ëx0 = - 2 2 5 Với x = - 2 thay vào (1), ta được (- 2) - 2m.(- 2)+ 1 = 0 Û m = - . 0 4 5 1 Vậy tổng tất cả giá trị của m cần tìm là m + m = 1- = - . Chọn C. 1 2 4 4 2 Câu 64. Gọi x0 là một nghiệm của phương trình x - mx + 2 = 0. 2 Suy ra 3- x0 là một nghiệm của phương trình x + 2x - m = 0. ïì 2 - + 2 = 0 ïì 2 ï x0 mx0 ï x0 - mx0 + 2 = 0. (1) Khi đó, ta có hệ íï Û íï ï - 2 + - - = ï m = x 2 - 8x + 15. 2 îï (3 x0 ) 2(3 x0 ) m 0 îï 0 0 ( ) éx = 2 ê 0 Thay 2 vào 1 , ta được x 2 - x 2 - 8x + 15 x + 2 = 0 Û ê ¾(¾2)® cho ta 3 ( ) ( ) 0 ( 0 0 ) 0 ê 7 ± 3 5 êx0 = ë 2 giá trị của m cần tìm. Chọn D. Câu 65. Vì c, d là hai nghiệm của phương trình x 2 + ax + b = 0 suy ra c + d = - a. Vì a, b là hai nghiệm của phương trình x 2 + cx + d = 0 suy ra a + b = - c. ïì c + d = - a ïì a + c = - d Khi đó, ta có hệ íï Û íï Û b = d. îï a + b = - c îï a + c = - b ïì c 2 + ac + b = 0 éa = c Lại có íï ¾ ¾® c 2 - a2 + b - d = 0 Û a2 = c 2 Û ê . ï 2 ê îï a + ca + d = 0 ëa = - c Với a = - c thì từ c + d = - a ¾ ¾® d = 0 : mâu thuẫn giả thiết. Với a = c thì từ c + d = - a ¾ ¾® d = - 2c và từ a + b = - c ¾ ¾® b = - 2c. éc = 0(loaïi) Ta có 2 + + = 0 ¾ ¾a= c¾® 2 2 - 2 = 0 Û ê . c ac b b= - 2c c c ê ëêc = 1(thoaû maõn) Khi đó S = a + b + c + d = c - 2c + c - 2c = - 2c = - 2.1 = - 2. Chọn A. Câu 66. Điều kiện x =/ 1. Khi đó phương trình 3 3x 3(x - 1) 3 Û 2x + = Û 2x = Û x = thỏa mãn điều kiện x - 1 x - 1 x - 1 2
ïì 3ïü ¾ ¾® S = íï ýï . Chọn C. îï 2þï Câu 67. Điều kiện x > 2. 2 éx = 1 loaïi x - 5x 4 2 ê ( ) Khi đó phương trình Û = - Û x - 5x + 4 = 0 Û ê x - 2 x - 2 ëx = 4 ¾ ¾® S = {4} . Chọn D. ïì x 2 - 5x =/ 0 ï 2 2x 2 - 10x ï ïì x - 5x =/ 0 Câu 68. = x - 3 Û íï 2x (x - 5) Û íï ® S = Æ. Chọn A. x 2 - 5x ï = x - 3 ï 2 = x - 3 ï îï îï x (x - 5) ïì x ¹ 2 Câu 69. Điều kiện: íï . îï x ¹ - 3 2 10 50 Phương trình tương đương 1- = - 2- x x + 3 (2- x)(x + 3) éx = 10(thoaû maõn) 2 ê Û (2- x)(x + 3)- 2(x + 3)= 10(2- x)- 50 Û x - 7x - 30 = 0 Û ê . ëêx = - 3(loaïi) Chọn D. 2 ì (m + 1)x - 1 ï x =/ - 1 2 Câu 70. = 1 Û íï Û x = . Chọn D. + ï m2 + 1 x - 1 = x + 1 2 x 1 îï ( ) m 2 ì (2m + 3)x + 6m ï x =/ 0 3 Câu 71. = 3 Û íï Û x = - . Chọn B. ï 2m2 + 3 x + 6m = 3x x îï ( ) m ém = 0 ê x 2 + mx + 2 ïì x =/ ± 1 êïì m =/ 0 ém = 0 = Û ï ¾V¾N ® êï Û ê Câu 72. 2 1 í ï . Chọn D. x - 1 ï mx = - 3 êí êm = ± 3 îï êï 3 ë êï - = ± 1 ëîï m ïì 3 ì 2m - 3 =/ 0 ï ì x =/ - 1 ï ï m =/ 2mx - 1 ï nghieäm duy nhaát ï ï 2 Câu 73. = 3 Û íï ¾ ¾ ¾ ¾ ¾® í Û íï . ï ï 4 ï x + 1 îï (2m - 3)x = 4 ï x = =/ - 1 ï 1 îï 2m - 3 ï m =/ - îï 2 Chọn D. ïì m =/ 0 ì =/ ± ï ì =/ x - m x - 2 ï x 1 co ùnghieäm ï ï m 0 Câu 74. = Û í ¾ ¾ ¾ ¾® í 2 Û í . x + 1 x - 1 îï mx = m + 2 ï x = 1+ =/ ± 1 îï m =/ - 1 îï m Vì m Î ¢, m Î [- 3;5] nên m Î S = {- 3;- 2;1;2;3;4;5}. Chọn D. ì =/ ± ì =/ x + 1 m x + 3 ï x 2 co ùnghieäm m ï m 12 Câu 75. + 2 = Û í ¾ ¾ ¾ ¾® x = - 4 =/ ± 2 Û í . x - 2 4 - x x + 2 îï 2x = - m - 8 2 îï m =/ 4 Suy ra có tất cả 18 số nguyên m thỏa mãn yêu cầu. Chọn B.
ì ï 3- 2x ³ 0 Câu 76. Phương trình Û í ï 2 2 îï 3x - 2 = (3- 2x) ïì 3 ïì 3 ï x £ ï x £ Û íï 2 Û íï 2 Û x = ± 1 ¾ ¾® S = {- 1;1}. Chọn A. ï ï ï 2 2 ï 2 îï 9x - 12x + 4 = 4x - 12x + 9 îï 5x = 5 ïì 2x - 4 ³ 0 Câu 77. Phương trình Û 2x - 4 = 2x - 4 Û íï Û x ³ 2. îï 2x - 4 = 2x - 4 Do đó, phương trình có vô số nghiệm. Chọn D. ì ï x ³ 3 ì - ³ ï ï x 3 0 ïì x ³ 3 ï é 4 Câu 78. Phương trình Û í Û íï Û í êx = Û x Î Æ ï 2 2 ï 2 ï ê îï (2x - 1) = (x - 3) îï 3x + 2x - 8 = 0 ï 3 ï ê îï ëêx = - 2 ¾ ¾® S = Æ. Chọn B. ïì x + 4 ³ 0 ïì x ³ - 4 ï ï Câu 79. Phương trình Û í 2 2 Û í 2 2 ï x 2 + 5x + 4 = x + 4 ï x 2 + 5x + 4 - x + 4 = 0 îï ( ) ( ) îï ( ) ( ) ïì x ³ - 4 ïì x ³ - 4 éx = 0 ïì x ³ - 4 ï ï ê ï 2 ï Û íï Û íï éx + 6x + 8 = 0 Û íï éx = - 2, x = - 4 Û êx = - 2 ï (x 2 + 6x + 8)(x 2 + 4x)= 0 ï ê ï ê ê îï ï ê 2 ï ê = = - ê = - 4 îï ëêx + 4x = 0 îï ëx 0, x 4 ëx ¾ ¾® 0 + (- 2)+ (- 4)= - 6. Chọn B. ïì 4x - 17 ³ 0 ï Câu 80. Phương trình Û í 2 2 ï x 2 - 4x - 5 = 4x - 17 îï ( ) ì ï 17 ïì 17 ï x ³ ï x ³ Û íï 4 Û íï 4 ï 2 2 ï ï x 2 - 4x - 5 = 4x - 17 ï x 2 - 8x + 12 x 2 - 22 = 0 îï ( ) ( ) îï ( )( ) ïì 17 ïì 17 ï x ³ ï x ³ ï 4 ï 4 éx = 6 2 Û íï Û íï Û ê ¾ ¾® P = 22 + 6 = 28. Chọn C. ï é 2 - + = ï éx = 2 Úx = 6 ê ( ) ï êx 8x 12 0 ï ê ëêx = 22 ï ê 2 ï ê îï ë x - 22 = 0 îï ëê x = ± 22 2 2 Câu 81. Phương trình Û x - 2 = 3x - 5 Û x 2 - 4x + 4 = 9x 2 - 30x + 25 é 3 êx = 2 ê 2 ïì 3 7ïü Û 8x - 26x + 21 = 0 Û ê ¾ ¾® S = íï ; ýï . Chọn A. ê 7 ï 2 4ï êx = î þ ëê 4 2 2 Câu 82. Phương trình Û (x + 2) = 4(x - 2) Û 3x 2 - 20x + 12 = 0 . b 20 Do đó, tổng các nghiệm của phương trình bằng - = . Chọn D. a 3
é 5± 45 2 êx = é 2x + 1 = x - 3x - 4 é 2 - 5 - 5 = 0 ê ê êx x ê 2 Câu 83. Phương trình Û ê 2 Û Û . 2x + 1 = - x - 3x - 4 ê 2 - - 3 = 0 ê ëê ( ) ëx x ê 1± 13 êx = ë 2 Chọn D. ì ï 2x - 4 ³ 0 Câu 84. Ta có í Þ 2x - 4 + x - 1 ³ 0 . ï îï x - 1 ³ 0 ì ï 2x - 4 = 0 ïì x = 2 Dấu '' = '' xảy ra khi và chỉ khi í Û ïí Û x Î Æ. ï ï îï x - 1 = 0 ïî x = 1 Vậy phương trình đã cho vô nghiệm. Chọn A. ì ï 2x - 5 ³ 0 Câu 85. Ta có íï ¾ ¾® 2x - 5 + 2x 2 - 7x + 5 ³ 0. ï 2x 2 - 7x + 5 ³ 0 îï ïì 5 ï x = ïì 2x - 5 = 0 ï 2 5 Dấu '' = '' xảy ra khi và chỉ khi íï Û íï Û x = . Chọn B. ï 2x 2 - 7x + 5 = 0 ï 5 2 îï ï x = 1Úx = îï 2 Câu 86. Đặt t = x + 1 , t ³ 0 . Phương trình trở thành t 2 - 3t + 2 = 0 Û t = 1 hoặc t = 2 . Với t = 1 ta có x + 1 = 1 Û x + 1 = ± 1 Û x = - 2 hoặc x = 0 . Với t = 2 ta có x + 1 = 2 Û x + 1 = ± 2 Û x = - 3 hoặc x = 1. Vậy phương trình có bốn nghiệm là x = - 3, x = - 2, x = 0, x = 1. Chọn D. Câu 87. Phương trình tương đương với 4x 2 - 4x - 2x - 1 - 1 = 0 . Đặt t = 2x - 1 , t ³ 0 . Suy ra t 2 = 4x 2 - 4x + 1 Þ 4x 2 - 4x = t 2 - 1. ét = - 1 (loaïi) 2 2 ê Phương trình trở thành t - 1- t - 1 = 0 Û t - t - 2 = 0 Û ê . ëêt = 2 (thoûa) é 3 êx = é2x - 1 = 2 ê 2 3 æ 1ö Với t = 2 , ta có 2x - 1 = 2 Û ê Û ê ¾ ¾® + ç- ÷= 1. Chọn B. ê2x - 1 = - 2 ê 1 2 èç 2ø÷ ë êx = - ëê 2 Câu 88. Dễ thấy, x = 0 không là nghiệm của phương trình đã cho.  Xét x Î (- ¥ ;0): Phương trình trở thành - 3x + 2ax = - 1 Û (2a - 3)x = - 1 (1) 3 Phương trình (1) có nghiệm duy nhất khi 2a - 3 ¹ 0 Û a ¹ . Khi đó, nghiệm của phương 2 - 1 - 1 3 trình là x = . Mà x 0 Û a > . 2a - 3 2a - 3 2  Xét x Î (0;+ ¥ ):
Phương trình trở thành 3x + 2ax = - 1 Û (2a + 3)x = - 1 (2) 3 Phương trình (2) có nghiệm duy nhất khi 2a + 3 ¹ 0 Û a ¹ - . Khi đó, nghiệm của 2 - 1 - 1 3 phương trình là x = . Mà x > 0 Þ > 0 Û 2a + 3 < 0 Û a < - . 2a + 3 2a + 3 2 Chọn D. 2 Câu 89. Phương trình Û x - x + (m - 1)= 0 Đặt t = x , t ³ 0 , phương trình trở thành t 2 - t + m - 1 = 0 (*) Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất Û (*) có nghiệm duy nhất t = 0 . Với t = 0 là nghiệm của phương trình (*)Þ 02 - 0 + m - 1 = 0 Û m = 1 . Thử lại, thay m = 1 vào phương trình (*), thấy phương trình có 2 nghiệm t = 0 và t = 1 : Không thỏa mãn. Chọn D. émx + 2x - 1 = x - 1 é(m + 1)x = 0 (1) Câu 90. Ta có mx + 2x - 1 = x - 1 Û ê Û ê . ê + - = - - ê ëmx 2x 1 (x 1) ëê(m + 3)x = 2 (2) Xét (1), ta có: m = - 1 thì phương trình nghiệm đúng với mọi x Î ¡ . m ¹ - 1 thì phương trình có nghiệm x = 0 . Xét (2), ta có: m = - 3 thì phương trình vô nghiệm. 2 m ¹ - 3 thì phương trình có nghiệm x = . m + 3 2 Vì ¹ 0, " m ¹ - 3 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là m + 3 2 x = 0 , x = khi m ¹ - 1 và m ¹ - 3. m + 3 Mà m Î [- 5;5] và m Î ¢ ¾ ¾® m Î {- 5;- 4;- 2;0;1;2;3;4;5} ® có 9 giá trị m . Chọn B. ïì x ³ 3 ïì x ³ 3 ï Câu 91. Cách 1: 2x - 3 = x - 3 Û íï Û íï éx = 2 Û x = 6. Chọn C. ï 2 ï ê îï 2x - 3 = x - 6x + 9 ï ê îï ëx = 6 Cách 2: Thử đáp án. Thay x = 2 vào phương trình ta được 2.2- 3 = 2- 3 (sai). Thay x = 6 vào phương trình ta được 2.6- 3 = 6- 3 (đúng). Vậy x = 6 là nghiệm của phương trình. ïì x ³ 2 ïì x ³ 2 2 - = - Û ï Û ï Û = Câu 92. Cách 1: x 4 x 2 í 2 2 í x 2. Chọn B. îï x - 4 = x - 4x + 4 îï x = 2 Cách 2: Thử đáp án.
Thay x = 0 vào phương trình ta được 02 - 4 = 0- 2 (sai). Thay x = 2 vào phương trình ta được 22 - 4 = 2- 2 (đúng). Vậy x = 2 là nghiệm của phương trình. 7 Câu 93. Điều kiện xác định của phương trình 2x + 7 ³ 0 Û x ³ - . 2 Ta có (x - 2) 2x + 7 = x 2 - 4 Û (x - 2) 2x + 7 = (x - 2)(x + 2) éx - 2 = 0 éx = 2 Û x - 2 é 2x + 7 - x + 2 ù= 0 Û ê Û ê . ( )ëê ( )ûú ê ê ëê 2x + 7 - (x + 2)= 0 ëê 2x + 7 = x + 2 (1) Giải phương trình ì x ³ - 2 ì ï ï x ³ - 2 ïì x ³ - 2 ï (1): 2x + 7 = x + 2 Û í Û íï Û íï éx = 1 Û x = 1. ï 2 ï 2 ï ê îï 2x + 7 = (x + 2) îï x + 2x - 3 = 0 ï ê îï ëx = - 3 Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x = 1, x = 2 nên tổng hai nghiệm của phương trình là 1+ 2 = 3. Chọn D. Câu 94. Điều kiện xác định của phương trình x - 2 > 0 Û x > 2. éx = 0 Từ phương trình đã cho ta được: x 2 - 4x - 2 = x - 2 Û x 2 - 5x = 0 Û ê . ê ëx = 5 So với điều kiện x > 2 thì x = 5 là nghiệm duy nhất của phương trình. Chọn A. Câu 95. Điều kiện xác định của phương trình 2- x ³ 0 Û x £ 2. Từ phương trình đã cho ta được ïì x £ 2 2- x 2- x + 3 + 4 = 2 2- x + 3 Û íï Û x = 1 ( ) ( ) ï îï 2- x = 1 Û x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình. Chọn B. x 2 ïì x =/ 1 ïì 1- t + t =/ 0 Câu 96. Đặt = t Û íï ® íï . - 1 ï 2 - + = 0 * ï 2 x îï x tx t ( ) îï D t = t - 4t ét 0 Û ê thì (*) có hai nghiệm x phân biệt. t ê ët > 4 Mặt khác phương trình đã cho trở thành: ïì m £ 1 ï 2 2 ï t + 2t + m = 0 Û (t + 1) = 1- m Û íï ét = - 1- 1- m 0 hay íï é- 1+ 1- m 25 ë îï ëê- 1+ 1- m > 4 îï ë
ïì t ³ 2 1 ï Câu 97. Đặt x + = t ® ï . í 2 1 2 x ï x + = t - 2 îï x 2 Khi đó phương trình đã cho trở thành f (t)= t 2 - 2mt - 1 = 0 (*) (Phương trình này luôn có hai nghiệm phân biệt t1 - 1. Mặt khác phương trình đã cho trở thành f (t)= t 2 - 4t + m + 3 = 0 (* *). Phương trình đã cho có đúng hai nghiệm x1, x2 lớn hơn 1 khi và chỉ khi (* *) có hai nghiệm phân biệt t1, t2 lớn ïì D ¢= 4 - m - 3 > 0 ï ïì m 0 Û íï . Chọn B. ï 1 2 1 2 1 2 ï m > - 8 ï îï îï t1 + t2 = 4 > - 2 2 Câu 99. Ta có (x 2 + 2x + 4) – 2m(x 2 + 2x + 4)+ 4m –1 = 0. (1) Đặt t = x 2 + 2x + 4 Þ x 2 + 2x + 4 - t = 0. (2) Phương trình (1) trở thành g(t)= t 2 - 2mt + 4m - 1 = 0. (3) ¢ Phương trình (2) có nghiệm khi D(2) = t - 3 ³ 0 Û t ³ 3 . Khi t = 3 thì phương trình (2) có nghiệm kép x = - 1. Phương trình (1) có đúng hai nghiệm khi: · TH1: Phương trình (3) có nghiệm kép lớn hơn 3 . ¢ 2 Phương trình (3) có nghiệm kép khi D(3) = m - 4m + 1 = 0 Û m = 2 ± 3 . Với m = 2- 3 ¾ ¾® Phương trình (3) có nghiệm t = 2- 3 3 : Thỏa mãn. · TH2: Phương trình (3) có 2 nghiệm t1, t2 thỏa mãn t1 0 ï ê í Û í êm > 2 + 3 Û m > 4. ï g(3)= - 2m + 8 4
Hợp hai trường hợp ta được m Î (4;+ ¥ )È{2 + 3} . Chọn C. 2 Câu 100. Ta có x 2 + 2mx + 2m x + m + m2 + 3- 2m = 0 Û ( x + m + m) = m2 + 2m - 3 ïì m2 + 2m - 3 ³ 0 ï ï é 2 Û í êx + m = - m + 2m - 3 - m (1). ï ê ï ê 2 îï ëêx + m = m + 2m - 3 - m (2) ém £ - 3 Ta có m2 + 2m - 3 ³ 0 Û ê . ê ëm ³ 1 · Nếu m £ - 3 , thì m2 + 2m - 3 - m ³ 0, suy ra (2) có nghiệm, do đó phương trình đã cho có nghiệm. · Nếu m ³ 1 thì (1) vô nghiệm, do đó phương trình đã cho có nghiệm khi và và chỉ khi (2) 3 có nghiệm Û m2 + 2m - 3 - m ³ 0 Û m2 + 2m - 3 ³ m2 Û m ³ . 2 é3 ö÷ Vậy m Î (¥ ;- 3]È ê ;+ ¥ ÷. Chọn B. ëê2 ø BAØI PHÖÔNG TRÌNH VAØ HEÄ PHÖÔNG TRÌNH 3. BAÄC NHAÁT NHIEÀU AÅN Câu 1. Cách 1. Từ phương trình x + y + z = 11 suy ra z = 11- x - y. Thay vào hai phương ïì 2x - y + 11- x - y = 5 trình còn lại ta được hệ phương trình, ta được íï îï 3x + 2y + 11- x - y = 24 ïì x - 2y = - 6 ïì x = 4 Û íï Û íï . Từ đó ta được z = 11- 4 - 5 = 2. îï 2x + y = 13 îï y = 5 Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y;z)= (4;5;2). Chọn B. Cách 2. Bằng cách sử dụng MTCT ta được (x; y;z)= (4;5;2) là nghiệm của hệ phương trình. Câu 2. Cách 1. Từ phương trình z + 2x = 3 suy ra z = 3- 2x. Thay vào hai phương trình còn lại ta được hệ phương trình, ta được ïì x + 2y = 1 ïì x + 2y = 1 ïì x = 1 íï Û íï Û íï . ï ï ï îï y + 2(3- 2x)= 2 îï - 4x + y = - 4 îï y = 0 Từ đó ta được z = 3- 2.1 = 1. Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y;z)= (1;0;1). Chọn D. Cách 2. Bằng cách sử dụng MTCT ta được (x; y;z)= (1;0;1) là nghiệm của hệ phương trình. Câu 3. Bằng cách sử dụng MTCT ta được (x; y;z)= (2;- 1;1) là nghiệm của hệ phương trình ïì x + 3y - 2z = - 3 ï íï 2x - y + z = 6 . Chọn A. ï îï 5x - 2y - 3z = 9
Câu 4. Bằng cách sử dụng MTCT ta được (x; y;z)= (1;0;1) là nghiệm của hệ phương trình ïì 2x - y - z = 1 ï íï x + y + z = 2 . Chọn C. ï îï - x + y - z = - 2 ïì 3x + y - 3z = 1 (1) ï Câu 5. Ta có íï x - y + 2z = 2 (2). ï îï - x + 2y + 2z = 3 (3) Phương trình (2)Û x = y - 2z + 2 . Thay vào (1), ta được 3(y - 2z + 2)+ y - 3z = 1 Û 4 y - 9z = - 5 . (*) Phương trình (3)Û x = 2y + 2z - 3 . Thay vào (1), ta được 3(2y + 2z - 3)+ y - 3z = 1 Û 7y + 3z = 10 . (* *) ïì 4 y - 9z = - 5 ïì y = 1 Từ (*) và (* *), ta có íï Û íï . Suy ra x = 1. îï 7y + 3z = 10 îï z = 1 Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y;z)= (1;1;1)¾ ¾® P = 12 + 12 + 12 = 3. Chọn C. ì ï x + y + z = 11 (1) ï Câu 6. Ta có í 2x - y + z = 5 (2) . ï ï îï 3x + 2y + z = 24 (3) Phương trình (3)Û z = 24 - 3x - 2y . Thay vào (1) và (2) ta được hệ phương trình ïì x + y + 24 - 3x - 2y = 11 ïì - 2x - y = - 13 ïì x = 4 íï Û íï Û íï . Suy ra z = 24 - 3.4 - 2.5 = 2 . îï 2x - y + 24 - 3x - 2y = 5 îï - x - 3y = - 19 îï y = 5 Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y;z)= (4;5;2)¾ ¾® P = 4.5.2 = 40. Chọn B. ïì 2x + 3y + 4 = 0 ïì x = 1 Câu 7. Từ hệ phương trình đã cho ta suy ra íï Û íï . îï 3x + y - 1 = 0 îï y = - 2 ïì 2x + 3y + 4 = 0 ï Hệ phương trình íï 3x + y - 1 = 0 có nghiệm duy nhất khi (1;- 2) là nghiệm của phương ï îï 2mx + 5y - m = 0 trình 2mx + 5y - m = 0 tức là 2m.1+ 5.(- 2)- m = 0 Û m = 10. Chọn B. Câu 8. Cách 1. Từ hệ phương trình đã cho suy ra z = 1- my. Thay vào hai phương trình còn ïì mx + y = 1 ïì mx + y = 1 lại, ta được íï Û íï ï ï 2 îï x + m(1- my)= 1 îï x - m y = 1- m ì ïì y = 1- mx ï y = 1- mx Û íï Û íï . ï - 2 1- = 1- ï 1+ m3 x = m2 - m + 1 îï x m ( mx) m îï ( )
ïì 1+ m3 = 0 ïì m = - 1 Hệ phương trình đã cho vô nghiệm khi íï Û íï Û m = - 1. ï 2 ï 2 îï m - m + 1 ¹ 0 îï m - m + 1 ¹ 0 Chọn A. Cách 2. Thử trực tiếp ïì - x + y = 1 ï Thay m = - 1 vào hệ phương trình ta được hệ phương trình íï - y + z = 1 . ï îï x - z = 1 Sử dụng MTCT ta thấy hệ vô nghiệm. Câu 9. Gọi x là số xe tải chở 3 tấn, y là số xe tải chở 5 tấn và z là số xe tải chở 7,5 tấn. Điều kiện: x, y, z nguyên dương. ïì x + y + z = 57 ï Theo giả thiết của bài toán ta có íï 3x + 5y + 7,5z = 290. ï îï 22,5z = 6x + 15y Giải hệ ta được x = 20, y = 19, z = 18. Chọn B. Câu 10. Gọi số học sinh của lớp 10A, 10B, 10C lần lượt là x, y, z. Điều kiện: x, y, z nguyên dương. ïì x + y + z = 128 ï Theo đề bài, ta lập được hệ phương trình íï 3x + 2y + 6z = 476. ï îï 4x + 5y = 375 Giải hệ ta được x = 40, y = 43, z = 45. Chọn A.