Tuyển tập 40 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án)

166 trang Thái Huy 14/09/2023 4206

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Tuyển tập 40 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

tuyen_tap_40_de_thi_hoc_sinh_gioi_toan_lop_8_co_dap_an.docx

Nội dung text: Tuyển tập 40 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án)

Bộ 40 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn DeThi.edu.vn
Bộ 40 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 1 ĐỀ BÀI Câu 1. ( 5 điểm) Tìm số tự nhiên n để: a) A n3 n2 n 1 là số nguyên tố n4 3n3 2n2 6n 2 b) B có giá trị là một số nguyên n2 2 c) D n5 n 2 là số chính phương. Câu 2. (5 điểm) Chứng minh rằng: a b c a) 1 biết abc 1 ab a 1 bc b 1 ac c 1 b) Với a b c 0 thì a4 b4 c4 2 ab bc ca 2 a2 b2 c2 c b a c) b2 c2 a2 b a c Câu 3. (5 điểm) Giải các phương trình sau: x 214 x 132 x 54 a) 6 86 84 82 b) 2x 8x 1 2 . 4x 1 9 c) x2 y2 2x 4y 10 0 với x, y nguyên dương. Câu 4. (5 diểm) Cho hình thang ABCD AB / /CD , O là giao điểm hai đường chéo. Qua O kẻ đường thẳng song song với AB cắt DAtại E, cắt BC tại F a) Chứng minh : Diện tích tam giác AOD bằng diện tích tam giác BOC 1 1 2 b) Chứng minh: AB CD EF c) Gọi K là điểm bất kỳ thuộc OE.Nêu cách dựng đường thẳng đi qua K và chia đôi diện tích tam giác DEF DeThi.edu.vn
Bộ 40 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐÁP ÁN Câu 1. a) A n3 n2 n 1 n2 1 n 1 Để A là nguyên tố thì n 1 1 n 2 . Khi đó A 5 2 b) B n2 3n n2 2 B có giá trị nguyên 2Mn2 2 n2 2 1 n2 1(ktm) n2 2 là ước tự nhiên của 2 2 n 2 2 n 0 (tm) Vậy với n 0thì B có giá trị nguyên. c) D n5 n 2 n n4 1 2 n n 1 n 1 n2 1 2 2 n n 1 n 1 n 4 5 2 n n 1 n 1 n 2 n 2 5n n 1 n 1 2 Mà n n 1 n 1 n 2 n 2 M5(tích 5 số tự nhiên liên tiếp) Và 5n n 1 n 1 M5. Vậy D chia 5 dư 2 Do đó D có tận cùng là 2 hoặc 7 nên D không phải là số chính phương. Vậy không có giá trị nào của n để D là số chính phương. Câu 2. a) a b c ac abc c ab a 1 bc b 1 ac c 1 abc ac c abc2 abc ac ac c 1 ac abc c abc ac 1 1 1 ac c c 1 ac ac c 1 abc ac 1 b) a b c 0 a2 b2 c2 2 ab ac bc 0 a2 b2 c2 2 ab ac bc (1) a4 b4 c4 2 a2b2 a2c2 b2c2 4 a2b2 a2c2 b2c2 8abc a b c (Vì a b c 0 ) 2 ab ac bc 2 a2b2 a2c2 b2c2 (2) Từ (1) và (2) a4 b4 c4 2 ab ac bc 2 c) Áp dụng bất đẳng thức x2 y2 2xy . Dấu bằng xảy ra khi x y DeThi.edu.vn
Bộ 40 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn a2 b2 a b a 2. . 2. b2 c2 b c c a2 c2 a c c 2. . 2. b2 a2 b a b c2 b2 c b b 2. . 2. a2 c2 a c a Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên ta có: a2 b2 c2 a c b a2 b2 c2 a c b 2 2 2 2 2 2 2 2 b c a c b a b c a c b a Dấu " "xảy ra khi a b c Câu 3. a) x 214 x 132 x 54 6 86 84 82 x 214 x 132 x 54 1 2 3 0 86 84 82 x 300 x 300 x 300 0 86 84 82 1 1 1 x 300 0 x 300 0 x 300 86 84 82 Vậy S 300 b) 2x 8x 1 2 . 4x 1 9 64x2 16x 1 8x2 2x 9 64x2 16x 1 64x2 16x 72 1 Đặt 64x2 16x k 2 Ta có: k 0,5 k 0,5 72 k 2 72,25 k 8,5 Với k 8,5ta có phương trình : 1 x 2 2 64x 16x 8 0 2x 1 4x 1 0 1 x 4 Với k 8,5 ta có phương trình: 64x2 16x 9 0 8x 1 2 8 0(vô nghiệm) DeThi.edu.vn
Bộ 40 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 1 1 Vậy S ;  2 4 c) x2 y2 2x 4y 10 0 x2 2x 1 y2 4y 4 7 0 x 1 2 y 2 2 7 x y 1 x y 3 7 Vì x, y nguyên dương nên x y 3 x y 1 x 3 x y 3 7và x y 1 1 y 1 Phương trình có nghiệm dương duy nhất x; y 3;1 Câu 4. A B E K F I O M N D C a) Vì AB / /CD SDAB SCBA (cùng đáy và cùng đường cao) SDAB SAOB SCBA SAOB hay SAOD SBOC EO AO b) Vì EO / /DC .Mặt khác AB / /DC DC AC AB AO AB AO AB AO EO AB DC OC AB BC AO OC AB BC AC DC AB DC EF AB AB DC 2 1 1 2 2DC AB DC AB.DC EF DC AB EF c) Dựng trung tuyến EM , dựng EN / /MK N DF Kẻ đường thẳng KN là đường phải dựng. Chứng minh: SEDM SEFM (1) Gọi giao điểm của EM và KN là I thì SIKE SIMN 2 Từ (1) và (2) suy ra SDEKN SKFN DeThi.edu.vn
Bộ 40 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 2 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MÔN TOÁN 8 Bài 1. (4 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a) x y z 3 x3 y3 z3 b)x4 2010x2 2009x 2010 Bài 2. (2 điểm) Giải phương trình: x 241 x 220 x 195 x 166 10 17 19 21 23 Bài 3. (3 điểm) 2 2 2009 x 2009 x x 2010 x 2010 19 Tìm x biết: 2009 x 2 2009 x x 2010 x 2010 2 49 Bài 4. (3 điểm) 2010x 2680 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A x2 1 Bài 5. (4 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A,D là điểm di động trên cạnh BC. Gọi E,F lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm D lên AB, AC a) Xác định vị trí của điểm D để tứ giác AEDF là hình vuông b) Xác định vị trí của điểm D sao cho 3AD 4EF đạt giá trị nhỏ nhất. Bài 6. (4 điểm) Trong tam giác ABC,các điểm A,E,F tương ứng nằm trên các cạnh BC,CA, AB sao cho ·AFE B· FD;B· DF C· DE;C· ED ·AEF a) Chứng minh rằng: B· DF B· AC b) Cho AB 5,BC 8,CA 7.Tính độ dài đoạn BD. DeThi.edu.vn
Bộ 40 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐÁP ÁN Bài 1. a) x y z 3 x3 y3 z3 x y z 3 x3 y3 z3 y z x y z 2 x y z x x2 y z y2 yz z2 2 y z 3x 3xy 3yz 3zx 3 y z x x y z x y 3 x y x z y z b) x4 2010x2 2009x 2010 x4 x 2010x2 2010x 2010 x x 1 x2 x 1 2010 x2 x 1 x2 x 1 x2 x 2010 Bài 2 x 241 x 220 x 195 x 166 10 17 19 21 23 x 241 x 220 x 195 x 166 1 2 3 4 0 17 19 21 23 x 258 x 258 x 258 x 258 0 17 19 21 23 1 1 1 1 x 258 0 17 19 21 23 x 258 Bài 3 2 2 2009 x 2009 x x 2010 x 2010 19 2009 x 2 2009 x x 2010 x 2010 2 49 ĐKXĐ: x 2009; x 2010. Đặt a x 2010 a 0 , ta có hệ thức: 2 a 1 a 1 a a2 19 a2 a 1 19 a 1 2 a 1 a a2 49 3a 49 DeThi.edu.vn
Bộ 40 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 49a2 49a 49 57a2 57a 19 8a2 8a 30 0 3 a (tm) 2 2 2 2a 1 4 0 2a 3 2a 5 0 5 a (tm) 2 4023 x 2 (TMDK) 4015 x 2 Bài 4 2010x 2680 A x2 1 2 335x2 335 335x2 2010x 3015 335 x 3 335 335 x2 1 x2 1 Vậy giá trị nhỏ nhất của Alà 335khi x 3 Bài 5 C F D A E B a) Tứ giác AEDF là hình chữ nhật (vì Eµ µA Fµ 900 ) Để tứ giác AEDF là hình vuông thì AD là tia phân giác của B· AC b) Do tứ giác AEDF là hình chữ nhật nên AD EF 3AD 4EF 7AD 3AD 4EF nhỏ nhất AD nhỏ nhất D là hình chiếu vuông góc của Alên BC DeThi.edu.vn
Bộ 40 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Bài 6. A E F O B D C a) Đặt ·AFE B· FD ,B· DF C· DE ;C· ED ·AEF  Ta có: B· AC   1800 * Qua D,E,F lần lượt kẻ các đường thẳng vuông góc với BC, AC, AB cắt nhau tại O. Suy ra O là giao điểm ba đường phân giác của tam giác DEF O· FD O· ED O· DF 900 (1) Ta có: O· FD  O· ED  O· DF 2700 (2) 1 & 2   1800 Từ * & B· AC B· DF b) Chứng minh tương tự câu a) ta có: Bµ ,Cµ  AEF : DBF : DEC : ABC BD BA 5 5BF 5BF 5BF BD BD BD BF BC 8 8 8 8 CD CA 7 7CE 7CE 7CE CD CD CD CE CB 8 8 8 8 AE AB 5 7AE 5AF 7 7 CE 5 5 BF 7CE 5BF 24 AF AC 7 CD BD 3 (3) Ta lại có: CD BD 8 (4) Từ (3) và (4) BD 2,5 DeThi.edu.vn
Bộ 40 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 3 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MÔN: TOÁN LỚP 8 Thời gian: 150 phút Bài 1.(3đ) a) Phân tích đa thức x3 5x2 8x 4thành nhân tử b) Tìm giá trị nguyên của x để AMB biết A 10x2 7x 5và B 2x 3 c) Cho x y 1và xy 0.Chứng minh rằng: x y 2 x y 0 y3 1 x3 1 x2 y2 3 Bài 2. (3đ) Giải các phương trình sau: 2 a) x2 x 4 x2 x 12 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 b) 2008 2007 2006 2005 2004 2003 Bài 3. (2đ) Cho hình vuông ABCD;Trên tia đối của tia BA lấy E, trên tia đối tia CB lấy F sao cho AE CF a) Chứng minh EDF vuông cân b) Gọi O là giao điểm của 2 đường chéo AC và BD. Gọi I là trung điểm EF. Chứng minh O,C,I thẳng hàng Bài 4.(2đ) Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Các điểm D, E theo thứ tự di chuyển trên AB, AC sao cho BD AE.Xác định vị trí điểm D, E sao cho a) DE có độ dài nhỏ nhất b) Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ nhất DeThi.edu.vn
Bộ 40 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐÁP ÁN Bài 1. a)x3 5x2 8x 4 x3 4x2 4x x2 4x 4 x x2 4x 4 x2 4x 4 x 1 x 2 2 A 10x2 7x 5 7 b) Xét 5x 4 B 2x 3 2x 3 7 với x ¢ thì AMB khi ¢ 7M 2x 3 2x 3 Mà Ư(7)= 1;1; 7;7 x 5; 2;2;1thì AMB c) Biến đổi: x y x4 x y4 y y3 1 x3 1 y3 1 x3 1 x4 y4 x y x y 1 y 1 x & x 1 y xy y2 y 1 x2 x 1 x y x y x2 y2 x y xy x2 y2 y2 x y2 yx2 xy y x2 x 1 x y x2 y2 1 2 2 2 2 xy x y xy x y x y xy 2 x y x2 x y2 y x y x x 1 y y 1 xy x2 y2 x y 2 2 xy x2 y2 3 x y x y y x x y 2xy xy x2 y2 3 xy x2 y2 3 2 x y dfcm x2 y2 3 Bài 2. 2 a) x2 x 4 x2 x 12, đặt y x2 x DeThi.edu.vn
Bộ 40 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 2 y 6 y 4y 12 0 y 6 y 2 0 y 2 2 VN x x 6 x 2 2 x x 2 x 1 Vậy S 2;1 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 b) 2008 2007 2006 2005 2004 2003 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 1 1 1 1 1 1 2008 2007 2006 2005 2004 2003 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 2008 2007 2006 2005 2004 2003 1 1 1 1 1 1 x 2009 0 2008 2007 2006 2005 2004 2003 x 2009 Bài 3. E I C B F O A D a) Ta có ADE CDF cgc EDF cân tại D µ µ Mặt khác ADE CDF cgc E1 F2 µ ¶ µ 0 µ ¶ µ 0 · 0 Mà E1 E2 F1 90 F2 E2 F1 90 EDF 90 Vậy EDF vuông cân b) Theo tính chất đường chéo hình vuông CO là trung trực BD 1 1 Mà EDF vuông cân DI EF , tương tự: BI EF DI BI 2 2 I thuộc đường trung trực của DB I thuộc đường thẳng CO Hay O,C,I thẳng hàng DeThi.edu.vn
Bộ 40 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Bài 4. B D A E C a) Đặt AB AC a không đổi ; AE BD x 0 x a Áp dụng định lý Pytago với ADE vuông tại A có: DE 2 AD2 AE 2 a x 2 x2 2x2 2ax a2 2 2 2 2 2 2 a a a 2 x ax a 2 x 4 2 2 a Ta có DE DE 2 x min min 2 a BD AE D,E là trung điểm AB, AC 2 b) Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ nhất . 1 1 1 1 2 Ta có: SADE AD.AE AD.BD AD. AB AD . AD AB.AD 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 AB AB AB 1 AB AB AB AD 2 AD AD 2 2 4 8 2 4 2 8 AB2 AB2 3 Vậy S S S AB2 (Không đổi) BDEC ABC ADE 2 8 8 3 Do đó min S AB2 khi D, E lần lượt là trung điểm AB, AC BDEC 8 DeThi.edu.vn
Bộ 40 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 4 UBND HUYỆN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN PHÒNG GD&ĐT NĂM HỌC MÔN THI: TOÁN, LỚP 8 Thời gian 150 phút(Không kể thời gian giao đề) Câu 1. (4 điểm) Cho biểu thức x 1 x 1 x2 4x 1 x 2013 A = 2  x 1 x 1 x 1 x a) Tìm điều kiện của x để biểu thức xác định. b) Rút gọn biểu thức A. c) Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức A nhận giá trị nguyên. Câu 2. (4 điểm) a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x4 + 2013x2 + 2012x + 2013. b) Tìm giá trị nguyên của x để đa thức f(x) = x3 - 3x2 - 3x - 1 chia hết cho g(x) = x2 + x + 1 Câu 3. (4 điểm) Giải các phương trình sau : x 241 x 220 x 195 x 166 a) 10 17 19 21 23 b) Giải bài toán bằng cách lập phương trình. Một phân số có tử số bé hơn mẫu số là 11. Nếu bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng mẫu lên 4 đơn vị thì sẽ được phân số nghịch đảo của phân số đã cho. Tìm phân số đó. Câu 4. (6 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy một điểm M bất kỳ trên cạnh AC. Từ C vẽ một đường thẳng vuông góc với tia BM, đường thẳng này cắt tia BM tại D, cắt tia BA tại E. a) Chứng minh: EA.EB = ED.EC và E· AD E· CB · 0 2 b) Cho BMC 120 và SAED 36cm . Tính SEBC? c) Chứng minh rằng khi điểm M di chuyển trên cạnh AC thì tổng BM.BD + CM.CA có giá trị không đổi. d) Kẻ DH  BC H BC . Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng BH, DH. Chứng minh CQ  PD . Câu 5. (2 điểm) Cho a,b, c, là các số dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của 1 1 1 P = (a + b + c)( ). a b c Hết DeThi.edu.vn
Bộ 40 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn UBND HUYỆN HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH PHÒNG GD&ĐT GIỎI CẤP HUYỆN MÔN THI: TOÁN, LỚP 8 Ngày thi: Câu 1. (4 điểm) Cho biểu thức x 1 x 1 x2 4x 1 x 2013 A = 2  x 1 x 1 x 1 x d) Tìm điều kiện của x để biểu thức xác định. e) Rút gọn biểu thức A. f) Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức A nhận giá trị nguyên. Đáp án Thang điểm x 1 a) §iÒu kiÖn: x 0 0,5 điểm (x 1)2 (x 1)2 x2 4x 1 x 2013 b) A =  x2 1 x 0,5 điểm (x 1 x 1)(x 1 x 1) x2 4x 1 x 2013 =  x2 1 x 1,0 điểm 4x x2 4x 1 x 2006 = 2  0,5 điểm x 1 x x 2006 = 0,5 điểm x c) Ta có A nguyên (x + 2013) Mx 2013Mx 0,5 điểm Vậy x là ước của 2013 ; x 1 0,5 điểm Câu 2. (4 điểm) a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x4 + 2010x2 + 2009x + 2010. x4 + 2013x2 + 2012x + 2013 = x4 x 2013x2 2013x 2013 ( 0,75 điểm) = x x 1 x2 x 1 2013 x2 x 1 ( 0,75 điểm) = x2 x 1 x2 x 2013 ( 0,5 điểm) DeThi.edu.vn
Bộ 40 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn b) Tìm giá trị nguyên của x để đa thức f(x) = x3 - 3x2 - 3x - 1 chia hết cho g(x) = x2 + x + 1 Thực hiện phép chia ta có: x3 - 3x2 - 3x - 1 x2 + x + 1 x3 + x2 + x - 4x2 - 4x – 1 x - 4 - 4x2 - 4x – 4 3 Để f(x) M g(x) thì 3 M x2 + x + 1 ( 0,5 điểm ) x 2 x 1 -1 2 x x 1 -3 Vậy x 2 x 1 1 2 x x 1 3 ( 0,5 điểm ) 1 3 Do x2 +x + 1 = (x+ ) 2 + > 0 nên loại x2 + x + 1 = -1 và x2 + x + 1 = -3 2 4 Suy ra x 2 x 1 1 x 1; x 0 2 ( 0,75 điểm ) x x 1 3 x 1; x 2 Vậy có 4 giá trị của x là 0 ; -1 ; 1 ; -2 thì f(x) chia hết cho g(x) ( 0,25 điểm ) Câu 3. (4 điểm) Giải phương trình x 241 x 220 x 195 x 166 a) 10 17 19 21 23 x 241 x 220 x 195 x 166 1 2 3 4 0 ( 0,75 điểm) 17 19 21 23 x 258 x 258 x 258 x 258 0 ( 0,5 điểm) 17 19 21 23 1 1 1 1 x 258 0 ( 0,5 điểm) 17 19 21 23 x 258 ( 0,25 điểm) b) Giải bài toán bằng cách lập phương trình. Một phân số có tử số bé hơn mẫu số là 11. Nếu bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng mẫu lên 4 đơn vị thì sẽ được phân số nghịch đảo của phân số đã cho. Tìm phân số đó. 0,25đ Gọi tử số của phân số cần tìm là x thì mẫu số của phân số cần tìm là x+11. Phân số cần tìm là x (x là số nguyên khác -11) x 11 DeThi.edu.vn
Bộ 40 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Khi bớt tử số đi 7 đơn vị và tăng mẫu số 4 đơn vị ta được phân số 0,25đ x 7 x 15 (x khác -15) Theo bài ra ta có phương trình x = x 15 0,5đ x 11 x 7 Giải phương trình và tìm được x= -5 (thoả mãn) 0,75đ 5 Từ đó tìm được phân số 0,25đ 6 Câu 4. (6 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy một điểm M bất kỳ trên cạnh AC. Từ C vẽ một đường thẳng vuông góc với tia BM, đường thẳng này cắt tia BM tại D, cắt tia BA tại E. a) Chứng minh: EA.EB = ED.EC và E· AD E· CB · 0 2 b) Cho BMC 120 và SAED 36cm . Tính SEBC? c) Chứng minh rằng khi điểm M di chuyển trên cạnh AC thì tổng BM.BD + CM.CA có giá trị không đổi. d) Kẻ DH  BC H BC . Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng BH, DH. Chứng minh CQ  PD . E D A M Q B C P I H - Vẽ hình chính xác (0,5 điểm) a) 1,5 điểm * Chứng minh EA.EB = ED.EC (0,75 điểm) - Chứng minh EBD đồng dạng với ECA (gg) 0,5 điểm EB ED - Từ đó suy ra EA.EB ED.EC 0,25 điểm EC EA * Chứng minh E· AD E· CB (0,75 điểm) DeThi.edu.vn
Bộ 40 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn - Chứng minh EAD đồng dạng với ECB (cgc) 0,75 điểm - Suy ra E· AD E· CB 0,25 điểm b) 1,5 điểm - Từ B· MC = 120o ·AMB = 60o ·ABM = 30o 0,5 điểm - Xét EDB vuông tại D có Bµ = 30o 1 ED 1 ED = EB 0,5 điểm 2 EB 2 2 SEAD ED 2 - Lý luận cho từ đó SECB = 144 cm 0,5 điểm SECB EB c) 1,5 điểm - Chứng minh BMI đồng dạng với BCD (gg) 0,5 điểm - Chứng minh CM.CA = CI.BC 0,5 điểm - Chứng minh BM.BD + CM.CA = BC2 có giá trị không đổi 0,5 điểm Cách 2: Có thể biến đổi BM.BD + CM.CA = AB2 + AC2 = BC2 d) 1,0 điểm - Chứng minh BHD đồng dạng với DHC (gg) BH BD 2BP BD BP BD 0,5 điểm DH DC 2DQ DC DQ DC - Chứng minh DPB đồng dạng với CQD (cgc) B· DP D· CQ   CQ  PD 0,5 điểm · · o ma`BDP PDC 90  Câu 5. (2 điểm) Cho a,b, c, là các số dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của 1 1 1 P = (a + b + c)( ). a b c a a b b c c a b a c b c P 1 1 1 3 (1,0 điểm) b c a c a b b a c a c b x y Mặt khác 2 với mọi x, y dương. y x P ≥ 3 + 2 + 2 + 2 = 9 (0,75 điểm) Vậy Pmin = 9 khi a = b = c (0,25 điểm) DeThi.edu.vn
Bộ 40 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 5 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN MÔN TOÁN 8 Bài 1 (3 điểm) Chứng minh rằng: 5 11 a) 8 2 chia hết cho 17 19 19 b) 19 69 chia hết cho 44 Bài 2. (3 điểm) x2 x 6 3 2 a) Rút gọn biểu thức : x 4x 18x 9 1 1 1 yz xz xy 0 x, y, z 0 . 2 2 2 b) Cho x y z Tính x y z Bài 3. (3 điểm) Cho tam giác ABC.Lấy các điểm D, E theo thứ tự thuộc tia đối của các tia BA,CA sao cho BD CE BC.Gọi O là giao điểm của BE và CD. Qua O vẽ đường thẳng song song với tia phân giác của góc A, đường thẳng này cắt AC ở K. Chứng minh rằng AB CK Bài 4. (1 điểm) Tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của biểu thức sau (nếu có): M 4x2 4x 5 DeThi.edu.vn
Bộ 40 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐÁP ÁN Bài 1. 5 85 211 23 211 215 211 211. 24 1 211.17 a) Ta có: Rõ ràng kết quả trên chia hết cho 17 b) Áp dụng hằng đẳng thức an bn a b an 1 an 2b an 3b2 abn 2 bn 1 với mọi n lẻ Ta có: 1919 6919 19 69 1918 1917.69 6918 88. 1918 1917.69 6918 chia hết cho 44 Bài 2. a) Ta có: *)x2 x 6 x2 3x 2x 6 x x 3 2 x 3 x 2 x 3 *)x3 4x2 18x 9 x3 3x2 7x2 21x 3x 9 x2 x 3 7x x 3 3 x 3 x 3 x2 7x 3 2 x x 6 x 3 x 2 x 2 2 3 2 2 x 1; x 7x 3 0 x 4x 18x 9 x 3 x2 7x 3 x 7x 3 1 1 1 1 1 1 0 x y z z x y 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 3 3 3. 2 . 3. . 2 3 z x y z x x y x y y 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3. . . 3. x3 y3 z3 x y x y x3 y3 z3 xyz b) Vì 1 1 1 xyz xyz xyz yz zx xy Do đó: xyz 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2 3 x y z x y z x y z Bài 3. DeThi.edu.vn
Bộ 40 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn A 2 K 1 1 C B 1 O E M D Vẽ hình bình hành ABMC ta có: AB CM Để chứng minh AB KC ta cần chứng minh KC CM. µ µ Thật vậy, xét tam giác BCE có BC CE gt CBE cân tại C B1 E Vì góc C1 là góc ngoài của tam giác BCE 1 1 Cµ Bµ Eµ Bµ Cµ mà AC / /BM (ta vẽ) Cµ C· BM Bµ C· BM 1 1 1 2 1 1 1 2 nên BO là tia phân giác của C· BM.Hoàn toàn tương tự ta có CD là tia phân giác của B· CM . Trong tam giác BCM, OB, CO, MO đồng quy tại O MO là tia phân giác của C· MB Mà B· AC,B· MC là hai góc đối của hình bình hành BMCA MO / / với tia phân giác của góc A theo giả thiết tia phân giác của góc A còn song song với OK K,O,M thẳng hàng 1 Ta lại có: M¶ B· MC(cmt); µA M¶ M¶ µA mà µA K¶ (2 góc đồng vị) 1 2 1 2 2 1 ¶ ¶ K1 M1 CKM cân tại C CK CM. Kết hợp AB CM AB CK dfcm Bài 4. 2 Ta có M 4x2 4x 5 4x2 4x 1 4 2x 1 4 2 2 Vì 2x 1 0 2x 1 4 4 M 4 1 Vậy Min 4 x M 2 DeThi.edu.vn
Bộ 40 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 6 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MÔN: TOÁN LỚP 8 Bài 1. Phân tích đa thức thành nhân tử a) x2 y2 5x 5y b) 2x2 5x 7 4x2 16 A Bài 2. Tìm đa thức A, biết rằng x2 2 x 5x 5 Bài 3. Cho phân thức 2x2 2x a) Tìm điều kiện của x để giá trị của phân thức được xác định b) Tìm giá trị của x để giá trị của phân thức bằng 1 x 2 1 2 Bài 4. a) Giải phương trình : x 2 x x x 2 b) Giải bất phương trình : x 3 x 3 x 2 2 3 Bài 5. Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình Một tổ sản xuất lập kế hoạch sản xuất, mỗi ngày sản xuất được 50 sản phẩm. Khi thực hiện, mỗi ngày tổ đó sản xuất được 57 sản phẩm. Do đó đã hoàn thành trước kế hoạch 1 ngày và còn vượt mức 13 sản phẩm. Hỏi theo kế hoạch tổ phải sản xuất bao nhiêu sản phẩm và thực hiện trong bao nhiêu ngày Bài 6. Cho ABC vuông tại A, có AB 15 cm, AC 20cm.Kẻ đường cao AH và trung tuyến AM a) Chứng minh ABC : HBA b) Tính BC; AH; BH; CH c) Tính diện tích AHM ĐÁP ÁN ĐỀ THI HSG TOÁN 8 CẤP HUYỆN Bài 1. a) x2 y2 5x 5y x2 y2 5 x y x y x y 5 x y x y x y 5 b) 2x2 5x 7 2x2 2x 7x 7 2x2 2x 7x 7 2x x 1 7 x 1 x 1 2x 7 Bài 2. A 2 x 4x 16 x 2x 4 2x 4 4x(x 2)(x 2) 4x 8 x2 2x x(x 2) x(x 2) Bài 3. a) 2x2 2x 2x(x 1) 0 2x 0 va x 1 0 x 0 và x 1 DeThi.edu.vn
Bộ 40 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn b) Rút gọn 5x 5 5(x 1) 5 2x2 2x 2x(x 1) 2x 5 5 1 5 2x x (t / m) 2x 2 5 x 2 Bài 4. a) Điều kiện xác định x 0; x 2 x(x 2) (x 2) 2 x2 2x x 2 2 x(x 2) x(x 2) x 0(loai)vs x 1 Vậy S 1 2 b) x 3 x 3 x 2 3 x2 9 x2 4x 7 x2 x2 4x 7 9 4x 16 x 4 Vậy nghiệm của phương trình là x 4 Bài 5. - Gọi số ngày tổ dự đinh sản xuất là : x ngày ( x ¥ *, x 1) - Vậy số ngày tổ đã thực hiện x 1 (ngày) - Số sản phẩm làm theo kế hoạch là : 50x (sản phẩm) - Số sản phẩm thực hiện là : 57.(x 1) (sản phẩm) Theo đề bài ta có phương trình : 57(x 1) 50x 13 57x 57 50x 13 7x 70 x 10 (thỏa mãn) Vậy số ngày dự định sản xuất là 10 ngày Số sản phẩm phải làm theo kế hoạch là : 50.10 500 (sản phẩm) Bài 6 A C B H M µ µ 0 a) Xét ABC và HBA có: A H 90 ; Bµ chung ABC : HBA(g.g) b) Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông ABC có DeThi.edu.vn
Bộ 40 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn BC AB2 AC 2 152 202 625 25(cm) AB AC BC 15 20 25 Vì ABC : HBA nên hay HB HA BA HB HA 15 20.15 15.15 AH 12(cm) ; BH 9(cm); HC BC BH 25 9 16(cm) 25 25 BC 25 c) HM BM BH BH 9 3,5(cm) 2 2 1 1 S AH.HM .12.3,5 21(cm2 ) AHM 2 2 DeThi.edu.vn
Bộ 40 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 7 TRƯỜNG THCS XUÂN PHÚ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG MÔN: TOÁN 8 Thời gian: 150 phút Bài 1. (2 điểm) a) Phân tích đa thức thành nhân tử: x2 2x x2 2x 1 6 b) Đa thức f x 4x3 ax b chia hết cho các đa thức x 2; x 1.Tính 2a 3b Bài 2. (2 điểm) a) Cho an 1 2 3 n.Chứng minh rằng an an 1 là một số chính phương 10n2 9n 4 b) Chứng minh rằng vơi mọi số tự nhiên n thì phân số tối 20n2 20n 9 giản Bài 3. (3 điểm) a) Cho x3 y3 z3 3xyz.Hãy rút gọn phân thức : xyz P x y y z z x 14 4 54 4 94 4 174 4 b) Tìm tích: M . . 34 4 74 4 114 4 194 4 Bài 4. (4 điểm) a) Cho x by cz; y ax cz; z ax by và x y z 0; xyz 0 . 1 1 1 CMR: 2 1 a 1 b 1 c 1 1 1 yz xz xy b) Cho 0,tính giá trị của biểu thức P x y z x2 y2 z2 x2 x x 1 1 2 x2 Bài 5. (3 điểm) Cho biểu thức : P 2 : 2 x 2x 1 x 1 x x x a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm x để P 1 c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P khi x 1 Bài 6. (3 điểm). Cho hình vuông ABCD, gọi E,F thứ tự là trung điểm của AB,BC. a) Chứng minh rằng: CE  DF b) Gọi M là giao điểm của CE và DF.Chứng minh rằng: AM AD Bài 7. (3 điểm) Cho tam giác ABC.Vẽ ở ngoài tam giác các hình vuông ABDE, ACFH. DeThi.edu.vn
Bộ 40 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn a) Chứng minh rằng EC BH;EC  BH b) Gọi M , N thứ tự là tâm của các hình vuông ABDE, ACFH.Gọi I là trung điểm của BC.Tam giác MNI là tam giác gì ? Vì sao ? DeThi.edu.vn
Bộ 40 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐÁP ÁN Bài 1. a) x 1 x 3 x2 2x 2 b) Đa thức f (x) 4x3 ax bchia hết cho các đa thức x 2; x 1nên: f 2 0 32 2a b 0(1) f ( 1) 0 4 a b 0 (2) Từ 1 và 2 ta tìm được a 12;b 8 Vậy 2a 3b 0 Bài 2. a) Ta có: an 1 1 2 3 n n 1 n n 1 a a 2 1 2 3 n n 1 2. n 1 n2 2n 1 n n 1 2 n 1 2 là một số chính phương. b) Gọi d là ƯCLN của 10n2 9n 4và 20n2 20n 9 10n2 9n 4Md 20n2 18n 8Md 2n 1Md d là số tự nhiên 2 2 20n 20n 9Md 20n 20n 9Md lẻ Mặt khác : 2n 1Md 4n2 4n 1Md 20n2 20n 5Md 4Md , mà d lẻ nên d 1 Vậy phân số trên tối giản Bài 3. a) Từ x3 y3 z3 3xyz chỉ ra được x y z 0 hoặc x y z TH1: x y z 0 x y z; x z y; y z x P 1 1 TH 2: x y z P 8 b) Nhận xét được: n4 4 n 1 2 1 n 1 2 1 . Do đó: 2 2 2 2 2 1. 2 1 4 1 . 6 1 16 1 . 18 1 1 1 M . 22 1 . 42 1 62 1 . 82 1 182 1 . 202 1 202 1 401 Bài 4. a) Từ giả thiết 2cz z x y 2cz x y z DeThi.edu.vn
Bộ 40 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn x y z x y z 1 2z c c 1 2z 2z c 1 x y z 1 2x 1 2y 1 1 1 Tương tự: ; . Khi đó: 2 1 a x y z 1 b x y z 1 a 1 b 1 c 1 1 1 1 1 1 3 b) Từ 0 x y z x3 y3 z3 xyz Khi đó: yz xz xy xyz xyz xyz 1 1 1 3 P 2 2 2 3 3 3 xyz. 3 3 3 xyz. 3 x y z x y z x y z xyz Bài 5. a) ĐKXĐ: x 0; x 1; x 1 x2 Rút gọn P ta có: P x 1 2 1 3 2 2 2 x x x x x 1 2 4 b) P 1 1 1 0 0 0 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 0 x 1 Vậy với x 1và x 0; x 1thì P 1 x2 x2 1 1 1 1 c) Ta có: P x 1 x 1 2 x 1 x 1 x 1 x 1 1 Khi x 1; x 1 0.Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có: x 1 2. Dấu x 1 " "xảy ra khi và chỉ khi x 2.Vậy GTNN của P bằng 4 x 2 DeThi.edu.vn
Bộ 40 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Bài 6. A E B M F 1 1 N 2 D K C µ µ a) Chứng minh được CBE DFC c.g.c C1 D1 µ ¶ 0 µ ¶ 0 Lại có: C1 C2 90 D1 C2 90 CE  DF b) Gọi K là trung điểm của CD. Chứng mnh được tứ giác AECK là hình bình hành suy ra AK / /CE Gọi N là giao điểm của AK và DF. DCM có DK KC và KN / /CM nên N là trung điểm của DM. Vì CM  DM ( câu a), KN / /CM KN  DM Tam giác ADM có AN là đường cao đồng thời là trung tuyến nên là tam giác cân tại A. AM AD Bài 7. H E N F A M D C B I DeThi.edu.vn
Bộ 40 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn a) Chứng minh được: EAC BAH c.g.c EC BH, ·AEC ·ABH Gọi K và O thứ tự là giao điểm của EC với BA và BH Xét AEK và OBK có: ·AEK O· BK; ·AKE O· KB E· AK B· OK B· OK 900.Vậy EC  BH 1 1 b) Ta có: MI / /EC;MI EC;IN / /BH;IN BH 2 2 Mà EC  BH và EC BH nên MI IN và MI  IN Vậy tam giác MIN vuông cân tại I DeThi.edu.vn
Bộ 40 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 8 TRƯỜNG THCS BẠCH ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI - ĐỢT II SAM Môn: Toán 8 (Thời gian làm bài: 120 phút) 1 2 5 x 1 2x Bài 1 (2 điểm): Cho biểu thức: C = 2 : 2 1 x x 1 1 x x 1 a) Rút gọn biểu thức C b) Tìm giá trị nguyên của x để giá trị của biểu thức B là số nguyên. Bài 2 (2 điểm): a) Tìm các số nguyên a và b để đa thức A(x) = x4 3x3 ax b chia hết cho đa 2 thức B(x) x 3x 4 b) Cho x, y, z > 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x y z P = y z z x x y Câu 3: (2,0 điểm) a) Tìm x, y ,z thỏa mãn phương trình sau : 9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = 0. x y z a b c x2 y2 z2 b) Cho 1 và 0 . Chứng minh rằng : 1. a b c x y z a2 b2 c2 Câu 4(3 điểm): Cho tam giác ABC vuông tại A (AC > AB), đường cao AH. Trong nửa mặt phẳng bờ AH có chứa C, vẽ hình vuông AHKE. Gọi P là giao điểm của AC và KE. a) Chứng minh ABP vuông cân? b) Gọi Q là đỉnh thứ tư của hình bình hành APQB, gọi I là giao điểm của BP và AQ. Chứng minh H, I, E thẳng hàng? c) Tứ giác HEKQ là hình gì? Câu 5 (1 điểm): Tính diện tích hình thang ABCD ( AB // CD), biết AB = 42cm,  A = 450;  B = 600, chiều cao của hình thang bằng 18m? @ @ @ DeThi.edu.vn
Bộ 40 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐÁP ÁN - BIỂU ĐIỂM Bài ĐÁP ÁN BIỂU ĐIỂM 1 a) Ñkxñ: x 1; x (2 điểm) 1 2 5 x 1 2x 2 : 2 1 x x 1 1 x x 1 0,25 đ 1 x 2(1 x) 5 x (x 1)(x 1) C = . 0,5 đ (1 x)(1 x) 1 2x 2 2x 1 0,25 đ b) Tìm giaù trò nguyeân cuûa x ñeå giaù trò cuûa bieåu thöùc B laø soá nguyeân? 2 B coù giaù trò nguyeân khi x laø soá nguyeân thì 2x 1 0,25 đ coù giaù trò nguyeân x 1(loai) 2x 1 1 x 0(TM ) 2x 1 1 3 2x – 1 laø Ö(2) x (TM ) 2x 1 2 2 2x 1 2 1 x (TM ) 2 0,5 đ Ñoái chieáu Ñkxñ thì coù x = 0 hoặc x = hoặc x = 0,25 đ thoaû maõn. 2 a) tìm caùc soá nguyeân a vaø b ñeå ña thöùc A(x) = ( 2điểm) x4 3x3 ax b chia heát cho ña thöùc B(x) x2 3x 4 Ta coù: 0,5 đ A(x) =B(x).(x2-1) + ( a – 3)x + b + 4 0,5 đ a 3 0 a 3 Ñeå A(x)MB(x) thì b 4 0 b 4 b) Cho x, y, z > 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức DeThi.edu.vn
Bộ 40 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn x y z 0,5 đ P = y z z x x y Đặt y + z = a ; z + x = b ; x + y = c x + y + z = a b c 2 a b c a b c a b c x = ; y = ; z = 0,25 đ 2 2 2 a b c a b c a b c P = = 0,25 đ 2a 2b 2c 1 b c a c a b ( 1 1 1 ) 2 a a b b c c 1 b a c a b c 3 = ( 3 ( ) ( ) ( )) 2 a b a c c b 2 3 Min P = Khi và chỉ khi a = b = c x = y = z 2 3 a) Tìm x,y,z thỏa mãn phương trình sau : ( 9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = 0. 2điểm) BL.a/ 9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = 0 (9x2 – 18x + 9) + (y2 – 6y + 9) + 2(z2 + 2z + 1) = 0 0,5 đ 9(x - 1)2 + (y - 3)2 + 2 (z + 1)2 = 0 (*) 0,25 đ Do : (x 1)2 0;(y 3)2 0;(z 1)2 0 Nên : (*) x = 1; y = 3; z = -1 0,25 đ Vậy (x,y,z) = (1,3,-1). x y z a b c b)Cho 1 và 0 . Chứng minh a b c x y z x2 y2 z2 rằng : 2 2 2 1. a b c 0,25 đ a b c ayz+bxz+cxy Từ : 0 0 x y z xyz ayz + bxz + cxy = 0 x y z x y z Ta có : 1 ( )2 1 a b c a b c 0,5 đ x2 y2 z2 xy xz yz 2( ) 1 a2 b2 c2 ab ac bc x2 y2 z2 cxy bxz ayz 0,25 đ 2 1 a2 b2 c2 abc DeThi.edu.vn
Bộ 40 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn x2 y2 z2 1(dfcm) a2 b2 c2 4 a/ CM được BHA PEA(g.c.g) 0.5 0 ( AB = AP mà BA P = 90 (gt) A 0.25E 3điểm) Vậy BPA vuông cân 0.25 b/Ta có : HA = HK P H nằm trên đường trung trực của AK B I 0.25C Ta có : AE = KE H K 0.25 E nằm trên đường trung trực của KA Q PBK vuông có IB = IP (t/c đ/c hbh ABQP) IK IP IB (*) Ta có ABQP là hbh(gt), có BA= AP ( BPA vuông cân tại A) APQB là hình thoi, mà BA P = 900 (gt) 0.5 0.25 APQB là hình vuông nên PI = IA( ). Từ (*) và( ) suy ra IK = IA nên I nằm trên đường 0.25 trung trực của AK Vậy H, I, E thẳng hàng. 0.25 c/ Ta có APQB là hình vuông (cmt) nên AP = BQ PB AQ mà IK = IK 2 2 0.5 AKQ có AI = IQ(t/c đ/c hv) AQ Mà IK (cmt) AKQ vuông ở K 2 AK  KQ mà AK  HE (EAHK là hv) QK // HE Vậy HEKQ là hình thang 5 Qua A và B kẻ AA’ và BB’ vuông góc với CD. ( Tứ giác ABB’A’là hcn và A’A = BB’ = 18m;  1điểm) A’AB = 900  DAB = 450 =>  A’AD = 450 D C Do đó A’AD vuông cân A' B' A’D = A’A = 18m A B 0.25  B’BA = 900;  CBA = 600 =>  B’BC = 300 0.25 vì thế trong tam giác vuông B’BC ta có B’C = BC . Theo định lí Pi ta go, ta có: 2 B’C2 = BC2 – B’B2 B’C2 = 4B’C2 – B’B2 0.25 DeThi.edu.vn
Bộ 40 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 3B’C2 = B’B2 B ' B 18 B’C = (cm) 3 3 Suy ra : 18 18 CD = A’B’ – A’D – B’C = 42 – 18 - 24 3 3 (cm) Vậy SABCD = 1 1 18 2 AB CD .A' A 42 24 18 498,6 (cm ) 2 2 3 DeThi.edu.vn
Bộ 40 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 9 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN MÔN : TOÁN LỚP 8 Bài 1. (6 điểm) 2x 3 2x 8 3 21 2x 8x2 P 2 2 : 2 1 4x 12x 5 13x 2x 20 2x 1 4x 4x 3 a) Rút gọn P 1 b) Tính giá trị của P khi x 2 c) Tìm giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên d) Tìm x để P 0 Bài 2. (3 điểm) 15x 1 1 a) 2 1 12 x 3x 4 x 4 3x 3 148 x 169 x 186 x 199 x b) 10 25 23 21 19 c) x 2 3 5 Bài 3. (2 điểm) Một người đi xe gắn máy từ Ađến B dự định mất 3giờ 20 phút. Nếu người ấy tăng vận tốc thêm 5km / h thì sẽ đến B sớm hơn 20 phút. Tính khoảng cách AB và vận tốc dự định đi của người đó Bài 4. (7 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD.Trên đường chéo BD lấy điểm P, gọi M là điểm đối xứng của C qua P. a) Tứ giác AMDB là hình gì ? b) Gọi E và F lần lượt là hình chiếu của điểm M lên AB, AD. Chứng min EF / / AC và ba điểm E,F,P thẳng hàng c) Chứng minh rằng tỉ số các cạnh của hình chữ nhật MEAF không phụ thuộc vào vị trí điểm P. PD 9 d) Giả sử CP  BD và CP 2,4cm, .Tính các cạnh của hình chữ PB 16 nhật ABCD Bài 5. (2 điểm) a) Chứng minh rằng : 20092008 20112010 chia hết cho 2010 b) Cho x, y, z là các số lớn hơn hoặc bằng 1. Chứng minh rằng: 1 1 2 1 x2 1 y2 1 xy DeThi.edu.vn
Bộ 40 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐÁP ÁN Bài 1. 4x2 12x 5 2x 1 2x 5 13x 2x2 20 x 4 5 2x Phân tích: 21 2x 8x2 3 2x 7 4x 4x2 4x 3 2x 1 2x 3 1 5 3 7  Điều kiện: x ; ; ; ;4 2 2 2 4  2x 3 a) Rút gọn: P 2x 5 1 1 x P 1 2 2 b) x 2 1 2 x P 2 3 2x 3 2 c) P 1 2x 5 x 5 2 Vậy P ¢ ¢ x 5 U (2) 1; 2 x 5 x 5 2 x 3(tm) x 5 1 x 4(tm) x 5 1 x 6(tm) x 5 2 x 7(tm) 2x 3 2 d) P= 1 2x 5 x 5 2 Ta có: 1 0 P 0 0 x 5 0 x 5 x 5 Với x 5thì P 0 DeThi.edu.vn
Bộ 40 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Bài 2. 15x 1 1 a) 2 1 12 x 3x 4 x 4 3x 3 15x 1 1 1 12 (DK : x 4; x 1) x 4 x 1 x 4 3 x 1 3.15x 3 x 4 x 1 3.12 x 1 12 x 4 x 0(tm) 3x x 4 0 x 4(ktm) S 0 148 x 169 x 186 x 199 x b) 10 25 23 21 19 148 x 169 x 186 x 199 x 1 2 3 4 0 25 23 21 19 1 1 1 1 123 x 0 25 23 21 19 x 123 c) Ta có: x 2 0x x 2 3 0 nên x 2 3 x 2 3 Phương trình được viết lại: x 2 3 5 x 2 2 x 2 2 x 4 x 2 2 x 0 Vậy S 0;4 Bài 3. Gọi khoảng cách giữa A và B là x(km / h)(x 0) x 3x 1 Vận tốc dự định của người đi xe máy là (km / h) 3h20' 3 h 1 3 10 3 3 3x Vận tốc của người đi xe gắn máy khi tăng lên 5km / h : 5(km / h) 10 Theo đề bài ta có phương trình : DeThi.edu.vn
Bộ 40 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 3x 5 .3 x x 150(tm) 10 Vậy khoảng cách giữa A và B là : 150km 3.150 Vận tốc dự định: 45km / h 10 Bài 4. D C P M O I F E A B a) Gọi O là giao điểm 2 đường chéo của hình chữ nhật ABCD PO là đường trung bình tam giác CAM AM / /PO AMDB là hình thang. b) Do AM / /BD nên O· BA M· AE (đồng vị) AOB cân ở O nên O· BA O· AB Gọi I là giao điểm 2 đường chéo của hình chữ nhật AEMF thì tam giác AIE cân ở I nên I·AE I·EA Từ chứng minh trên F· EA O· AB EF / / AC(1) Mặt khác IP là đường trung bình MAC nên IP / / AC (2) Từ (1) và(2) suy ra ba điểm E, F, P thẳng hàng MF AD c) MAF : DBA(g.g) không đổi FA AB PD 9 PD PB d) Nếu k PD 9k,PB 16k PB 16 9 16 DeThi.edu.vn
Bộ 40 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn CP PB Nếu CP  BD CBD : DCP g.g PD CP Do đó: CP2 PB.PD hay 2,4 2 9.16k 2 k 0,2 PD 9k 1,8cm; PB 16k 3,2cm; BD 5cm 2 BC 4cm Chứng minh BC BP.BD 16 CD 3cm Bài 5. a) Ta có: 20092008 20112010 20092008 1 20112010 1 Vì 20092008 1 2009 1 20092007 M2010(1) 20112010 1 2011 1 20112009 M2010 (2) Từ (1) và (2) ta có dpcm. 1 1 2 (1) 1 x2 1 y2 1 xy 1 1 1 1 2 2 0 1 x 1 xy 1 y 1 xy b) x y x y x y 0 1 x2 1 xy 1 y2 1 xy y x 2 xy 1 0 (2) 1 x2 1 y2 1 xy Vì x 1; y 1 xy 1 xy 1 0 Suy ra BĐT (2) đúng nên BĐT (1) đúng, dấu " "xảy ra x y DeThi.edu.vn
Bộ 40 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 10 PHÒNG GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN Môn : Tóan Thời gian : 120 phút ( không kể thời gian phát đề ) Câu 1 : ( 2 ñieåm ) Phân tích biểu thức sau ra thừa số M = 3 xyz + x ( y2 + z2 ) + y ( x2 + z2 ) + z ( x2 + y2 ) Câu 2 : ( 4 ñieåm ) Định a và b để đa thức A = x4 – 6 x3 + ax2 + bx + 1 là bình phương của một đa thức khác . Câu 3 : ( 4 ñieåm ) Cho biểu thức : x2 6 1 10 x2 P = : x 2 3 x 4x 6 3x x 2 x 2 a) Rút gọn p . 3 b) Tính giá trị của biểu thức p khi /x / = 4 c) Với giá trị nào của x thì p = 7 d) Tìm giá trị nguyên của x để p có giá trị nguyên . Câu 4 : ( 3 ñieåm ) Cho a , b , c thỏa mãn điều kiện a2 + b2 + c2 = 1 Chứng minh : abc + 2 ( 1 + a + b + c + ab + ac + bc ) ≥ 0 Câu 5 : ( 3ñieåm) Qua trọng tâm G tam giác ABC , kẻ đường thẳng song song với AC , cắt AB và BC lần lượt tại M và N . Tính độ dài MN , biết AM + NC = 16 (cm) ; Chu vi tam giác ABC bằng 75 (cm) Câu 6 : ( 4 ñieåm ) Cho tam giác đều ABC . M, N là các điểm lần lượt chuyển động trên hai cạnh BC và AC sao cho BM = CN xác định vị trí của M , N để độ dài đoạn thẳng MN nhỏ nhất . Hết DeThi.edu.vn
Bộ 40 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM Câu 1 : ( 2 ñieåm ) Ta có M = 3 xyz + x ( y2 + z2 ) + y ( x2 + z2 ) + z ( x2 + y2 ) = ( xyz + xy2 + yx2 ) + ( xyz + xz2 + zx2 ) + ( xyz + yz2 + y2Z ) ( ½ ñ ) = xy ( x + y + z ) + xz ( x + y + z ) + yz ( x + y + z ) ( ½ ñ ) = ( x + y + z ) ( xy + xz + yz ) ( ½ ñ ) Vậy M = ( x + y + z ) ( xy + xz + yz ) ( ½ ñ ) Câu 2 : ( 4 ñieåm ) Ta có thể viết : A = x4 – 6x3 + ax2 + bx + 1 = ( x2 – 3x + k )2 = x4 + 9x2 + k2 – 6x3 + 2kx2 – 6kx ( 1/2ñ ) = x4 – 6x3 + ( 9 + 2k )x2 – 6kx + k2 ( 1/2 ñ ) Đồng nhất 2 vế ta có : a = 9 + 2k (1) ( 1/2ñ ) b = - 6k (2) 1 = k2 (3) Từ (3) ta suy ra : k = ± 1 ( 1/2 ñ ) Nếu k = - 1 ; b = 6 và a = 7 ( ½ ñ ) Ta có : A = x4 – 6 x3 + 7 x2 + 6 x + 1 = ( x2 – 3 x – 1 )2 ( ½ ñ ) Nếu k = 1 ; b = - 6 ; a = 11 ( ½ ñ ) Ta có : A = x4 – 6 x3 + 11 x2 – 6x + 1 = ( x2 – 3x + 1 )2 ( ½ ñ ) Câu 3 : ( 4 ñieåm ) x 2 1 6 a) p = : (x 2)(x 2) x 2 x 2 x 2 x 2(x 2) x 2 6 1 1 = : ( ½ ñ (x 2)(x 2) x 2 x 2 2 x ) b) Với x ≠ 0 ; x ≠ ± 2 thì biểu thức p xác định ( 1/4 ñ ) 3 3 3 /x/ = nên x = hoặc x = - ( 1/4 4 4 4 ñ ) 3 1 4 + Nếu x = thì p = ( ½ 3 4 2 5 4 ñ ) DeThi.edu.vn
Bộ 40 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 3 1 4 + Nếu x = - thì p = ( ½ 3 4 2 11 4 ñ ) 1 13 c) Với p = 7 thì 7 x = ( thỏa mãn điều kiện của x ) ( ½ 2 x 7 ñ ) d) Để p có giá trị nguyên thì 2 - x phải là ước của 1 . ( ½ ñ ) Từ đó ta có : x = 1 ; x = 3 ; ( ½ ñ ) Vậy để p nguyên lúc đó x = 1 ; x = 3 ; ( ½ ñ ) Câu 4 : ( 3 ñieåm ) Vì a2 + b2 + c2 = 1 nên - 1 ≤ a , b , c ≤ 1 a + 1 ≥ 0 ; b + 1 ≥ 0 ; c + 1 ≥ 0 ( ¼ ñ ) Do đó : ( a + 1 ) ( b + 1 ) ( c + 1 ) ≥ 0 ( ¼ ñ ) 1 + a + b + c + ab + ac + bc + abc ≥ 0 (1) ( 1/2 ñ ) Cộng 2 vế của (1) cho 1 + a + b +c + ab + bc + ca . Ta có : abc + 2 ( 1 + a + b + c + ab + bc + ac ) ≥ 1 + a + b + c + ab + bc + ac ( 1/2 ñ ) Ta biết : 1 + a + b + c + ab + bc + ac = 1 ( 1 + a2 + b2 + c2+ 2a + 2b + 2c + 2 ab + 2 bc + 2 ac ) = ( 1/2 2 ñ ) 1 ( 1 + a + b + c )2 ≥ 0 ( vì a2 + b2 + c2 = 1 ) ( 1/2 ñ 2 ) Vậy abc + 2 ( 1 + a + b + c + ab + bc + ac ) ≥ 0 ( 1/2 ñ Câu 5 : ( 3ñieåm ) A M K G B C N DeThi.edu.vn
Bộ 40 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn GK 1 BG 2 ta có : ; ( ¼ ñ ) BK 3 BK 3 AM CN GK 1 Do MN // AC nên ( ¼ ñ ) AB BC BK 3 AM NC 1 Mà ( ¼ ñ ) AB BC 3 vì AM + NC = 16 (cm) và AB + BC = 75 – AC ( 3/4 ñ ) 16 1 Do đó : AC = 27 (cm) ( 3/4 ñ ) 75 AC 3 MN 2 MN 2 Ta lại có : MN 18 (cm) ( 3/4ñ ) AC 3 27 3 Câu 6 : ( 4 ñieåm ) A Q ( 1/2 ñ ) p H N B M C Gọi p và Q là chân đường vuông góc kẻ từ M và N xuống AB . Ta có tam giác ANQ vuông ở Q có góc A = 600 ANQ = 300 ( 1/2 ñ ) 1 AQ = AN ( 1/2 ñ ) 2 1 Tương tự đối với tam giác MpB ta có pB = BM ( 1/2 ñ ) 2 1 1 1 1 Do đó : AQ + pB = AN BM (AN + NC ) = AC ( 1/2 ñ ) 2 2 2 2 Kẻ MH  QN . Tứ giác MpQH là hình chữ nhật ( 1/4 ñ ) 1 1 Ta có MN ≥ MH = AB – ( AQ + Bp ) = AB - AC AB ( 1/2 ñ ) 2 2 1 Vậy đọan MN có độ dài nhỏ nhất bằng AB . ( 1/4 ñ ) 2 Khi M,N lần lượt là trung điểm của BC và AC ( 1/2 ñ ) DeThi.edu.vn
Bộ 40 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 11 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 Câu 1. (4,0 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a)3x2 7x 2 b) a x2 1 x a2 1 Câu 2. (5,0 điểm) 2 x 4x2 2 x x2 3x Cho biểu thức : A 2 : 2 3 2 x x 4 2 x 2x x a) Tìm ĐKXĐ rồi rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị của x để A 0 c) Tính giá trị của A trong trường hợp x 7 4 Câu 3. (5,0 điểm) a) Tìm x, y, z thỏa mãn phương trình sau: 9x2 y2 2z2 18x 4z 6y 20 0 x y z a b c x2 y2 z2 b) Cho 1 và 0.Chứng minh rằng: 1 a b c x y z a2 b2 c2 Câu 4. (6,0 điểm) Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn hơn đường chéo BD. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của B và D xuống đường thẳng AC. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của C xuống đường thẳng AB và AD a) Tứ giác BEDF là hình gì ? Vì sao ? b) Chứng minh rằng : CH.CD CB.CK c) Chứng minh rằng: AB.AH AD.AK AC 2 DeThi.edu.vn
Bộ 40 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐÁP ÁN Câu 1. a)3x2 7x 2 3x2 6x x 2 3x x 2 x 2 3x 1 x 2 b)a x2 1 x a2 1 ax2 a a2 x x ax x a x a x a ax 1 Câu 2. ĐKXĐ: x 0; 2;3 2 2 2 x 4x2 2 x x2 3x 2 x 4x2 2 x x2 2 x a)A 2 : 2 3 . 2 x x 4 2 x 2x x 2 x 2 x x x 3 4x2 8x x 2 x 4x x 2 x 2 x 4x2 . 2 x 2 x x 3 2 x 2 x x 3 x 3 4x2 b) A 0 0 x 3 0 x 3(tmdk) x 3 Vậy x 3thì A 0 x 7 4 x 11(tm) 121 c) x 7 4 A khi x 11 x 7 4 x 3(ktm) 2 Câu 3. a) 9x2 y2 2z2 18x 4z 6y 20 0 9x2 18x 9 y2 6y 9 2 z2 2z 1 0 9 x 1 2 y 3 2 2 z 1 2 0(*) Do x 1 2 0; y 3 2 0; z 1 2 0 Nên : x 1; y 3; z 1 a b c ayz bxz cxy b) Từ 0 0 x y z xyz ayz bxz cxy 0 DeThi.edu.vn
Bộ 40 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 2 x y z x y z Ta có: 1 1 a b c a b c x2 y2 z2 xy xz yz 2 2 2 2 1 a b c ab ac bc x2 y2 z2 cxy bxz ayz 2 1 a2 b2 c2 abc x2 y2 z2 1(dfcm) a2 b2 c2 Câu 4. H B C F O E A D K a) Ta có BE  AC(gt);DF  AC(gt) BE / /DF Chứng minh BEO DFO(g.c.g) BE DF Suy ra tứ giác BEDF là hình bình hành b) Ta có : ·ABC ·ADC H· BC K· DC CH CK Chứng minh CBH : CDK(g.g) CH.CD CK.CB CB CD DeThi.edu.vn
Bộ 40 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn AF AK c) Chứng minh AFD : AKC g.g AD.AK AF.AC AD AC CF AH Chứng minh CFD : AHC(g.g) CD AC CF AH Mà CD AB AB.AH CF.AC AB AC Suy ra AB.AH AB.AH CF.AC AF.AC CF AF .AC AC 2 DeThi.edu.vn
Bộ 40 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 12 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 8 Thời gian: 150 phút Bài 1: (1 điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử a)x4 1 2x2 b) x2 28x 27 Bài 2: (2 điểm) Giải phương trình 1 2x2 5 4 a) 2 3x 4 2 0 b) x 1 x3 1 x2 x 1 Bài 3 (1 điểm) x 1 Với giá trị nào của x thì 0 x 1 Bài 4 (2 điểm) Hai người làm chung một công việc trong 12 ngày thì xong. Năng suất làm việc 2 trong một ngày của người thứ hai chỉ bằng người thứ nhất. Hỏi nếu làm riêng, 3 mỗi người làm trong bao lâu sẽ xong công việc Bài 5 (3,5 điểm) Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a . Gọi E,F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,BC.M là giao điểm của CE và DF. a) Chứng minh CE vuông góc với DF CM.CE b) Chứng minh a CF c) Tính diện tích MDC theo a Bài 6. (0,5 điểm) 1 1 Cho x 3.Tính giá trị biểu thức A x3 x x3 DeThi.edu.vn
Bộ 40 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐÁP ÁN Bài 1. 2 a)x4 1 2x2 x2 1 b) x2 28x 27 x 1 x 27 Bài 2. a) 2 3x 4 2 0 3x 4 1(khẳng định sai vì 3x 4 0x ) Vậy phương trình đã cho vô nghiệm 1 2x2 5 4 b) ĐKXĐ: x 1 x 1 x3 1 x2 x 1 x2 x 1 2x2 5 4 x 1 x3 1 x3 1 x3 1 x2 x 1 2x2 5 4 x 1 x3 1 x3 1 3x2 3x 0 3x x 1 0 x 0 (tm) x 1 (ktm) Vậy S 0 Bài 3. x 1 0 x 1 x 1 x 1 x 1 0 x 1 0 x 1 x 1 0 x 1 x 1 x 1 0 x 1 Vậy x 1hoặc x 1 Bài 4. Gọi x (ngày) là thời gian để người thứ nhất hoàn thành công việc x 0 . 1 Một ngày người thứ nhất làm được (công việc) x 2 Một ngày người thứ hai làm được (công việc) 3x 1 2 Một ngày hai người làm chung được (công việc) x 3x DeThi.edu.vn
Bộ 40 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 1 2 1 Theo bài ta có phương trình x 20 x 3x 12 Vậy người thứ nhất làm xong trong 20 ngày Người thứ hai làm xong trong 30ngày. Bài 5. A B E F M D C a) BEC CFD c.g.c E· CB F· DC CDF vuông tại C D· FC F· DC 900 D· FC E· CB 900 CMF vuông tại M Hay CE  DF b) Xét CMF và CBE có: C· MF C· BE 900 ; M· CF chung CMF : CBE(g g) CM CF CM.CE BC BC CE CF CM.CE Mà BC a do đó: a CF CD CM c) CMD : FCD(g.g) FD FC 2 2 S CMD CD CD Do đó: S CMD .S FCD S FCD FD FD 1 1 Mà: S .CF.CD CD2 FCD 2 4 CD2 1 Vậy: S . .CD2. CMD FD2 4 Trong DCF theo Pitago ta có: DeThi.edu.vn
Bộ 40 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 2 2 2 2 1 2 2 1 2 5 2 DF CD CF CD BC CD CD .CD 2 4 4 CD2 1 1 1 Do đó: S . CD2 CD2 a2 MCD 5 CD2 4 5 5 4 Bài 6. 3 3 1 3 2 1 1 1 1 1 3 A x 3 x 3.x . 3.x. 2 3 x 3 x 3 3.3 18 x x x x x x DeThi.edu.vn
Bộ 40 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 13 MÔN: TOÁN - LỚP 8 THỜI GIAN LÀM BÀI: 150 phút (không kể thời gian phát đề) §Ò bµi Bµi 1 (4 ®iÓm) 1 x3 1 x2 x : Cho biÓu thøc A = 2 3 víi x kh¸c -1 vµ 1. 1 x 1 x x x a, Rót gän biÓu thøc A. 2 b, TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc A t¹i x 1 . 3 c, T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó A < 0. Bµi 2 (3 ®iÓm) 2 2 2 2 2 2 Cho a b b c c a 4. a b c ab ac bc . Chøng minh r»ng a b c. Bµi 3 (3 ®iÓm) Gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh. Mét ph©n sè cã tö sè bÐ h¬n mÉu sè lµ 11. NÕu bít tö sè ®i 7 ®¬n vÞ vµ t¨ng mÉu lªn 4 ®¬n vÞ th× sÏ ®îc ph©n sè nghÞch ®¶o cña ph©n sè ®· cho. T×m ph©n sè ®ã. Bµi 4 (2 ®iÓm) 4 3 2 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc A = a 2a 3a 4a 5. Bµi 5 (3 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A cã gãc ABC b»ng 600, ph©n gi¸c BD. Gäi M,N,I theo thø tù lµ trung ®iÓm cña BD, BC, CD. a, Tø gi¸c AMNI lµ h×nh g×? Chøng minh. b, Cho AB = 4cm. TÝnh c¸c c¹nh cña tø gi¸c AMNI. Bµi 6 (5 ®iÓm) H×nh thang ABCD (AB // CD) cã hai ®êng chÐo c¾t nhau t¹i O. §êng th¼ng qua O vµ song song víi ®¸y AB c¾t c¸c c¹nh bªn AD, BC theo thø tù ë M vµ N. a, Chøng minh r»ng OM = ON. 1 1 2 b, Chøng minh r»ng . AB CD MN 2 2 c, BiÕt SAOB= 2008 (®¬n vÞ diÖn tÝch); SCOD= 2009 (®¬n vÞ diÖn tÝch). TÝnh SABCD. DeThi.edu.vn
Bộ 40 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn híng dÉn chÊm thi häc sinh giái Bµi 1( 4 ®iÓm ) a, ( 2 ®iÓm ) Víi x kh¸c -1 vµ 1 th× : 0,5® 1 x 3 x x 2 (1 x)(1 x) A= : 1 x (1 x)(1 x x 2 ) x(1 x) (1 x)(1 x x 2 x) (1 x)(1 x) 0,5® = : 1 x (1 x)(1 2x x 2 ) 1 = (1 x 2 ) : 0,5® (1 x) = (1 x 2 )(1 x) 0,5® KL b, (1 ®iÓm) 2 5 5 2 5 0,25® T¹i x = 1 = th× A = 1 ( ) 1 ( ) 3 3 3 3 25 5 = (1 )(1 ) 0,25® 9 3 34 8 272 2 . 10 0,5® 9 3 27 27 KL c, (1®iÓm) Víi x kh¸c -1 vµ 1 th× A<0 khi vµ chØ khi (1 x 2 )(1 x) 0 (1) 0,25® V× 1 x 2 0 víi mäi x nªn (1) x¶y ra khi vµ chØ khi 1 x 0 x 1 0,5® KL 0,25® Bµi 2 (3 ®iÓm) BiÕn ®æi ®¼ng thøc ®Ó ®îc 0,5® a 2 b 2 2ab b 2 c 2 2bc c 2 a 2 2ac 4a 2 4b 2 4c 2 4ab 4ac 4bc BiÕn ®æi ®Ó cã (a 2 b 2 2ac) (b 2 c 2 2bc) (a 2 c 2 2ac) 0 0,5® BiÕn ®æi ®Ó cã (a b) 2 (b c) 2 (a c) 2 0 (*) 0,5® V× (a b) 2 0 ; (b c) 2 0 ; (a c) 2 0; víi mäi a, b, c 0,5® nªn (*) x¶y ra khi vµ chØ khi (a b) 2 0 ; (b c) 2 0 vµ (a c) 2 0 ; 0,5® Tõ ®ã suy ra a = b = c 0,5® Bµi 3 (3 ®iÓm) 0,5® Gäi tö sè cña ph©n sè cÇn t×m lµ x th× mÉu sè cña ph©n sè cÇn t×m lµ x x+11. Ph©n sè cÇn t×m lµ (x lµ sè nguyªn kh¸c -11) x 11 DeThi.edu.vn
Bộ 40 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Khi bít tö sè ®i 7 ®¬n vÞ vµ t¨ng mÉu sè 4 ®¬n vÞ ta ®îc ph©n sè 0,5® x 7 x 15 (x kh¸c -15) x x 15 Theo bµi ra ta cã ph¬ng tr×nh = 0,5® x 11 x 7 Gi¶i ph¬ng tr×nh vµ t×m ®îc x= -5 (tho¶ m·n) 1® 5 Tõ ®ã t×m ®îc ph©n sè 0,5® 6 KL Bµi 4 (2 ®iÓm) 0,5® BiÕn ®æi ®Ó cã A= a 2 (a 2 2) 2a(a 2 2) (a 2 2) 3 = (a 2 2)(a 2 2a 1) 3 (a 2 2)(a 1) 2 3 0,5® V× a 2 2 0 a vµ (a 1) 2 0a nªn (a 2 2)(a 1) 2 0a do ®ã 0,5® (a 2 2)(a 1) 2 3 3a DÊu = x¶y ra khi vµ chØ khi a 1 0 a 1 0,25® KL 0,25® Bµi 5 (3 ®iÓm) B M N A D I C a,(1 ®iÓm) Chøng minh ®îc tø gi¸c AMNI lµ h×nh thang 0,5® Chøng minh ®îc AN=MI, tõ ®ã suy ra tø gi¸c AMNI lµ h×nh thang 0,5® c©n b,(2®iÓm) 4 3 8 3 0,5® TÝnh ®îc AD = cm ; BD = 2AD = cm 3 3 DeThi.edu.vn
Bộ 40 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 1 4 3 AM = BD cm 2 3 4 3 0,5® TÝnh ®îc NI = AM = cm 3 8 3 1 4 3 0,5® DC = BC = cm , MN = DC cm 3 2 3 8 3 0,5® TÝnh ®îc AI = cm 3 Bµi 6 (5 ®iÓm) A B O M N a, (1,5 ®iÓm) D C OM OD ON OC LËp luËn ®Ó cã , 0,5® AB BD AB AC OD OC LËp luËn ®Ó cã 0,5® DB AC OM ON OM = ON 0,5® AB AB b, (1,5 ®iÓm) OM DM OM AM XÐt ABD ®Ó cã (1), xÐt ADC ®Ó cã (2) 0,5® AB AD DC AD 1 1 AM DM AD Tõ (1) vµ (2) OM.( ) 1 AB CD AD AD 1 1 Chøng minh t¬ng tù ON. ( ) 1 0,5® AB CD 1 1 1 1 2 tõ ®ã cã (OM + ON). ( ) 2 0,5® AB CD AB CD MN b, (2 ®iÓm) S AOB OB S BOC OB S AOB S BOC 0,5® , S AOB .S DOC S BOC .S AOD S AOD OD S DOC OD S AOD S DOC Chøng minh ®îc S AOD S BOC 0,5® 2 S AOB .S DOC (S AOD ) 0,5® 2 2 2 Thay sè ®Ó cã 2008 .2009 = (SAOD) SAOD = 2008.2009 2 2 2 2 Do ®ã SABCD= 2008 + 2.2008.2009 + 2009 = (2008 + 2009) = 4017 0,5® (®¬n vÞ DT) DeThi.edu.vn
Bộ 40 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 14 MÃ KÍ HIỆU ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8 Môn: Toán Năm 2021 Thời gian làm bài: 150 phút (Đề thi gồm 5 câu, 01 trang) Câu 1: (4 điểm). 2 a 1 1 2a2 4a 1 a3 4a Cho biểu thức P = : 2 a3 1 a 1 4a2 3a a 1 a) Rút gọn P. b) Tìm a để P > 0. c) Tìm giá trị của a để biểu thức đạt giá trị lớn nhất.Tìm giá trị lớn nhất đó. Câu 2: ( 4 điểm). a). Chứng minh n N * thì n3 n 2 là hợp số. b) Tìm các số nguyên x, y, z thỏa mãn: x2 + y2+ z2 ≤ xy + 3y +2z - 4 .Câu 3: ( 4 điểm). a) Tìm đa thức P(x) biết rằng P(x) chia cho x - 3 dư 7; chia cho x – 2 dư 5; chia cho (x – 2)(x – 3) được thương là 3x và còn dư. b) Giải phương trình: (6x + 7)2 (3x + 4) (x + 1) = 6 Câu 4: (6 điểm) Cho hình vuông ABCD có 2 đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Trên cạnh AB lấy M (MB 0 vµ a + b + c ≤ 1. Chứng minh rằng: 1 1 1 9 a2 2bc b2 2ac c2 2ab b) Cho hình vuông ABCD và 2021 đường thẳng cùng có tính chất chia hình vuông này thành 2 hai tứ giác có tỉ số diện tích bằng . Chứng minh rằng có ít nhất 506 đường thẳng trong 2021 3 đường thẳng trên đồng quy. Hết DeThi.edu.vn
Bộ 40 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn MÃ KÍ HIỆU HƯỚNG DÂN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN: TOÁN LỚP: 8 (Hướng dẫn chấm gồm 05 trang) Câu Đáp án Điểm a (2 điểm) Điều kiện: a 0;a 1 2 a 1 1 2a2 4a 1 a3 4a Ta có: P = 2 3 : 2 3a a 1 a 1 a 1 4a 0,5 2 a 1 1 2a2 4a 1 4a2 = . a2 a 1 2 a 1 2 a 1 a a 1 a a 4 3 a 1 1 2a2 4a a2 a 1 4a = . a 1 a2 a 1 a2 4 0,5 a3 3a2 3a 1 1 2a2 4a a2 a 1 4a = . 2 0,5 a 1 a2 a 1 a 4 1 a3 1 4a 4a (4 điểm) = . = a3 1 a2 4 a2 4 0,5 4a Vậy P = với a 0;a 1 a2 4 b) (1 điểm) P > 0 khi 4a > 0 suy ra a > 0 0,5 kết hợp với ĐKXĐ a 0;a 1 Vậy P > 0 khi a > 0 và a 1 0,5 c) (1 điểm) DeThi.edu.vn
Bộ 40 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 2 2 2 4a a 4 a 4a 4 a 2 Ta có P = = 1 a2 4 a2 4 a2 4 a 2 2 a 2 2 0,5 Vì 0 với mọi a nên 1 1với mọi a a2 4 a2 4 a 2 2 Dấu “=” xảy ra khi 0 a 2 a2 4 0,5 Vậy MaxM = 1 khi a = 2. a) (2 điểm) Ta có: n3 + n + 2 = n3 + 1+ n+1= (n + 1)( n2 - n + 1) + (n + 1) 1 =(n+1)( n2 - n + 2) 0,5 * 2 3 Do n N nên n + 1 > 1 và n - n + 2 >1 Vậy n + n + 2 là hợp số 0,5 b) (2điểm) Vì x, y, z là các số nguyên thỏa mãn x2 + y2+ z2 ≤ xy + 3y +2z - 4 2 2 0,5 y y 2 x 3 1 z 1 0 (*) 2 2 2 (4 điểm) 2 2 y y 2 0,5 Mà x 3 1 z 1 0 x, y R 2 2 2 2 y y 2 0,5 (*) x 3 1 z 1 0 2 2 y x 0 2 x 1 y 1 0 y 2 2 0,5 z 1 z 1 0 Kết luận: Vậy (x;y; 2; 1)z) =(1; 2; 1) a) (2,0 điểm) Vì đa thức (x - 2)(x – 3) có bậc là 2 nên phần dư khi chia P(x) cho (x - 2)(x -3) có dạng R(x) = ax + b 0,5 P(x) = (x - 2)(x – 3). 3x + ax + b P(2) 2a b 5 0,5 P(3) 3a b 7 DeThi.edu.vn
Bộ 40 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn a =2 ; b = 1 0,5 3 P(x) = (x - 2)(x – 3). 3x + 2x + 1 = 3x3 - 15x2 + 20x + 41 0,5 (4 điểm) b) (1,5 điểm) (6x + 7)2 (3x + 4) (x + 1) = 6 2 (6x + 7) (6x + 8) (6x + 6) = 72 0,5 Đặt 6x + 7 = y thì phương trình đã cho có dạng: y2 (y + 1) (y - 1) = 72 y2 (y2 - 1) = 72 4 2 y - y - 72 = 0 0,5 (y2 + 8) (y2 - 9) = 0 y2 - 9 = 0 (vì y2 + 8 > 0  y) y = 3 + Với y = 3 6x + 7 = 3 6x = -4 0,5 4 2 x = 6 3 10 5 + Với y = -3 6x + 7 = -3 6x = -10 x = 6 3 0.5 Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: x = 2 và x = 5 3 3 A M B O N K E D C H a) (2,5 điểm): · 0 · · 0 -Ta có BOC 90 CON BON 90 ; 0,25 DeThi.edu.vn
Bộ 40 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn · 0 · · 0 · · vì MON 90 BOM BON 90 BOM CON 0,25 B· OC -Ta có BD là phân giác góc ABC M· BO C· BO 450 2 0,25 B· OC Tương tự ta có N· CO D· CO 450 Vậy ta có 2 0,5 Xét OBM và M· BO N· CO OCN có OB=OC ; B· OM C· ON ; M· BO N· CO 1,0 OBM OCN OM ON *Xét MON có M· ON 900 ;OM ON MON vuông cân 0,25 b) (2,0 điểm): -Ta có OBM OCN MB NC 0,5 4 AM BN mà AB=BC AB MB BC NC AM BM (6 MB NC 0,5 điểm) AN BN Ta có AB//CD AM // CE NE NC 0,5 AM AN Vậy ta có MN // BE ( theo định ký ta lét đảo ) MB N? 0,5 c) (1,5 điểm): Vì MN//BE B· KN M· NO 450 ( đồng vị và có tam giác MON vuông cân) BNK : ONC ( vì có B· NK O· NK; B· KN O· CN 450 ) 0,25 NB NO NK NC NB NO Xét BNO; KNC có B· NO C· NK ; BNO : KNC NK NC 0,25 N· KC N· B0 450 Vì KH//OM mà MK  OM MK  KH N· KH 900 , mà N· KC 450 C· KH 450 B· KN N· KC C· KH 450 0,25 Xét BKC có B· KN N· KC KN là phân giác trong của BKC , mà KH  KN KH là phân giác ngoài của BKC KC HC 0,25 . KB HB KN BN Chứng minh tương tự ta có 0,25 KH BH DeThi.edu.vn
Bộ 40 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn KC KN NC HC BN CN BH Vậy ta có 1 0,25 KB KH BH HB BH BH BH a) (1,0 điểm) 1 1 1 9 (1) a2 2bc b2 2ac c2 2ab §Æt x = a 2 2bc ; y = b2 2ac ; z = c2 2ab 0,25 x y z a b c 2 1 1 1 1 Ta cã (1) 9 x y z 0,25 Víi x + y + z ≤ 1 vµ x , y, z > 0 Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có: x y z 3. 3 xyz đẳng thức xảy ra x = y = z 1 1 1 1 1 1 1 3. . 3 đẳng thức xảy ra x y z xyz x y z 0,25 1 1 1 x y z . 9 Mµ x + y + z ≤ 1 x y z 1 1 1 1 => 9 đẳng thức xảy ra x = y = z = x y z 3 0,25 1 5 a = b = c = (®pcm) 3 (2 điểm) b) 1,0 điểm) Gọi E, F, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, CD, BC và AD. 0,25 Trên EF lấy các điểm I, G sao cho ÊF = EI = 3GF. Gọi M, N là giao điểm của một đường thẳng bất kì qua G và cắt hai cạnh của hình vuông. DeThi.edu.vn
Bộ 40 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Ta có: (MC ND).AB (AN BM ).CD (AN BM ).AB S ;S MNDC 2 MNAB 2 2 Vì EG là đường trung bình của hình thang MNAB, Vì FG là đường trung bình của hình thang MNDC nên 0,25 MC + ND = 2FG; AN +BM = 2EG Do đó SMNDC = AB . FG; S MNAB = AB .EG Lại có EF = 3GF nên EF – GF = 2GF suy ra EG = 2 GF Vậy SMNDC = 0,5S MNAB . Ta được 1 đường thẳng thỏa mãn đề bài. 0,25 Chứng minh tương tự ta cũng được 1 đường thảng đi qua I thỏa mãn đề bài. Suy ra từ một đường trung bình sẽ có 2 sẽ có 2 điểm nằm trên nó mà các đường thẳng đi qua nó căt 2 cạnh của tam giác thỏa mãn đề bài. MÀ hình vuông có 2 đường trung bình nên sẽ có 4 điểm mà 0,25 các đường thẳng đi qua có tính chất trên. Vì vậy các đương thẳng thỏa mãn yêu cầu đề bài phải đi qua một trong 4 điểm trên là: 2021 : 4 = 505 ( dư 1). Theo nguyên lí Diricle có ít nhất 506 đường thẳng đồng qui tại 1 trong số 4 điểm. DeThi.edu.vn
Bộ 40 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 15 Trường THCS Vinh Xuân §Ò thi häc sinh giái líp 8 (Thêi gian 120 phót kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò) C©u1:( 5®iÓm) 1.Chøng minh r»ng: (a+b+c)3 -(a3+b3+c3) Chia hÕt cho 24 nÕu a,b,c cïng tÝnh ch½n lÎ. 23 1 33 1 43 1 1003 1 3 2.So s¸nh :A . . Víi 23 1 33 1 43 1 1003 1 2 C©u 2:(3®iÓm) Cho a,b,c lµ ba c¹nh cña tam gi¸c vµ a+b+c=2. Chøng minh : a2+b2+c2+2abc<2. C©u 3: (4®iÓm)T×m x,y,z Z+ tháa m·n c¸c ph¬ng tr×nh sau: 1/ xy-4x=35-5y 2/ x+y+z=xyz C©u 4:(4®iÓm) 1/ BiÕt : 4x-3y=7 t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc M=2x2+5y2 a b 2(ab 2) 2/ Cho a+b=1 Chøng minh: b3 1 a 3 1 a 2 b 2 3 C©u 5: (4®iÓm) Trªn ®êng chÐo BD cña h×nh vu«ng ABCD lÊy ®iÓm M. Tõ M kÎ ®êng th¶ng ME vu«ng gãc víi AB; MF v«ng gãc víi AD (E AB;F AD). Chøng minh : C¸c ®êng th¼ng BF,CMvµ DE ®ång quy. HÕt . DeThi.edu.vn
Bộ 40 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ®¸p ¸n C©u 1: 1 BiÕn ®æi: B= (a+b+c)3 -(a3+b3+c3)=3(a+b)(b+c)(c+a)M3 * a,b,c ch½n thi a+b; b+c ;c+a ®Òu lµ c¸c sè ch½n nªn BM8 * a,b,c lÎ th× a+b; b+c; c+a ®Òu lµ c¸c sè ch½n nªn BM8 Mµ (3;8)=1 B M24 23 1 33 1 43 1 1003 1 3.3 4.7 5.13 101.9901 2: Ta cã: A . . = . . 23 1 33 1 43 1 1003 1 1.7 2.13 3.21 99.10101 3.4.5 101 3.7.13 9001 100.101 3 3 10100 3 A= . = . . 0 a 0 1-(a+b+c)+ab+ac+bc-abc>0 a 2 b 2 c2 a 2 b 2 c2 -1+ ab ac bc abc 0 2 2 a b c 2 a 2 b 2 c2 -1+ abc 0 2 2 2 2 2 a b c 2 2 2 1 abc 0 Hay : a +b +c +2abc<2. 2 C©u 3: 1/ BiÕn ®æi ph¬ng tr×nh vÒ d¹ng (x+5)(y-4)=15 xÐt c¸c trêng hîp vµ lo¹i ta cã c¸c cÆp (x,y) cÇn t×m lµ (10;5); (0;7) 2/ Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t ta gi¶ sö 0<x y z Suy ra : xyz=x+y+z 3z xy 3 (*) NÕu x=y=z 3x x 3 x 0;x 2 3 Kh«ng tháa m·n suy ra Ýt nhÊt hai trong ba Sèkh«ng b»ng nhau. Tõ (*) xy3 xy 1hoÆc xy=2. NÕu xy=1 x y 1(v× x,y Z ) z z 2 (v« lÝ ). NÕu xy=2 x 1;y 2 (v× x<y) Khi ®ã :2z=z+3 z 3 V©y bé (1;2;3) lµ cÇn t×m vµ c¸c ho¸n vÞ cña nã. 7 3y 49y 2 42y 49 7y 3 2 C©u 4: 1/Cã x= khi ®ã M= = 5 5 4 8 8 3 VËy Mmin =5 khi y= 7 2/Cã a=1-b DeThi.edu.vn
Bộ 40 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn a b 1 b b 1 1 VÕ tr¸i : 3 3 3 3 2 2 b 1 a 1 b 1 1 b 1 b b 1 b 3b 3E 2b 1 b 2  2 ab 2 = Suy ra ddpcm b 2 1 b 2 3 a 2 b 2 3 A B O F/ C©u 5: F M Goi giao ®iÓm cña EM vµ DC ; FM vµ BC ; BF vµ DE lÇn lît lµ E/ ;F/ vµ O Ta cã c¸c h×nh chò nhËt MEAF vµ ME/CF/ / / b»ng nhau EFM CE M MCE MEF / / C E CM  EF(1). D MÆt kh¸c h×nh ch÷ nhËt AE E/D b»ng h×nh ch÷ nhËt CF/FD AED DFC ADE DCF CF  DE .T¬ng tù cã:FB  CE 0lµ trùc t©m tam gi¸c CEF CO  EF (2).Tõ (1)vµ(2) C,M,O th¼ng hµng, hay DE,CM,BF ®ång quy. . DeThi.edu.vn
Bộ 40 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 16 M«n : To¸n Thêi gian lµm bµi: 120 phót Bµi 1: (2 ®iÓm) Ph©n tÝch ®a thøc sau ®©y thµnh nh©n tö: 1. x2 7x 6 2. x4 2008x2 2007x 2008 Bµi 2: (2®iÓm) Gi¶i ph¬ng tr×nh: 1. x2 3x 2 x 1 0 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2. 8 x 4 x 2 4 x 2 x x 4 x x x x Bµi 3: (2®iÓm) 1. C¨n bËc hai cña 64 cã thÓ viÕt díi d¹ng nh sau: 64 6 4 Hái cã tån t¹i hay kh«ng c¸c sè cã hai ch÷ sè cã thÓ viÕt c¨n bËc hai cña chóng díi d¹ng nh trªn vµ lµ mét sè nguyªn? H·y chØ ra toµn bé c¸c sè ®ã. 2. T×m sè d trong phÐp chia cña biÓu thøc x 2 x 4 x 6 x 8 2008 cho ®a thøc x2 10x 21. Bµi 4: (4 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A (AC > AB), ®êng cao AH (H BC). Trªn tia HC lÊy ®iÓm D sao cho HD = HA. §êng vu«ng gãc víi BC t¹i D c¾t AC t¹i E. 1. Chøng minh r»ng hai tam gi¸c BEC vµ ADC ®ång d¹ng. TÝnh ®é dµi ®o¹n BE theo m AB . 2. Gäi M lµ trung ®iÓm cña ®o¹n BE. Chøng minh r»ng hai tam gi¸c BHM vµ BEC ®ång d¹ng. TÝnh sè ®o cña gãc AHM GB HD 3. Tia AM c¾t BC t¹i G. Chøng minh: . BC AH HC HÕt DeThi.edu.vn
Bộ 40 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn M«n : To¸n §¸p ¸n vµ thang ®iÓm: Bµi C© Néi dung §iÓ 1 u m 1. 2,0 1.1 (0,75 ®iÓm) x2 7x 6 x2 x 6x 6 x x 1 6 x 1 0.5 x 1 x 6 0,5 1.2 (1,25 ®iÓm) x4 2008x2 2007x 2008 x4 x2 2007x2 2007x 2007 1 0,25 4 2 2 2 2 2 2 x x 1 2007 x x 1 x 1 x 2007 x x 1 0,25 2 2 2 2 2 x x 1 x x 1 2007 x x 1 x x 1 x x 2008 0,25 2. 2,0 2.1 x2 3x 2 x 1 0 (1) 2 + NÕu x 1: (1) x 1 0 x 1 (tháa m·n ®iÒu kiÖn x 1). + NÕu x 1: (1) 0,5 x2 4x 3 0 x2 x 3 x 1 0 x 1 x 3 0 x 1; x 3 (c¶ hai ®Òu kh«ng bÐ h¬n 1, nªn bÞ lo¹i) 0,5 VËy: Ph¬ng tr×nh (1) cã mét nghiÖm duy nhÊt lµ x 1. 2.2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 8 x 4 x 2 4 x 2 x x 4 (2) x x x x §iÒu kiÖn ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm: x 0 2 2 1 2 1 2 1 1 2 0,25 (2) 8 x 4 x 2 x 2 x x 4 x x x x 2 1 2 1 2 2 0,5 8 x 8 x 2 x 4 x 4 16 x x x 0 hay x 8 vµ x 0 . 0,25 VËy ph¬ng tr×nh ®· cho cã mét nghiÖm x 8 DeThi.edu.vn
Bộ 40 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 3 2.0 3.1 Gäi sè cÇn t×m lµ ab 10a b (a, b lµ sè nguyªn vµ a kh¸c 0) Theo gi¶ thiÕt: 10a b a b lµ sè nguyªn, nªn ab vµ b lµ c¸c sè chÝnh ph¬ng, do ®ã: b chØ cã thÓ lµ 1 hoÆc 4 hoÆc 9 Ta cã: 10a b a b 10a b a2 2a b b 2a 5 b a2 0,5 2 5 b a (v× a 0 ) Do ®ã a ph¶i lµ sè ch½n: a 2k , nªn 5 b k NÕu b 1 a 8 81 8 1 9 (tháa ®iÒu kiÖn bµi to¸n) NÕu b 4 a 6 64 6 4 8 (tháa ®iÒu kiÖn bµi to¸n) 0,5 NÕu b 9 a 4 49 4 9 7 (tháa ®iÒu kiÖn bµi to¸n) 3.2 Ta cã: P(x) x 2 x 4 x 6 x 8 2008 x2 10x 16 x2 10x 24 2008 0,5 §Æt t x2 10x 21 (t 3; t 7) , biÓu thøc P(x) ®îc viÕt l¹i: P(x) t 5 t 3 2008 t 2 2t 1993 Do ®ã khi chia t 2 2t 1993 cho t ta cã sè d lµ 1993 0,5 4 4,0 4.1 + Hai tam gi¸c ADC vµ BEC cã: Gãc Cµ chung. CD CA (Hai tam gi¸c CE CB vu«ng CDE vµ CAB 1,0 ®ång d¹ng) Do ®ã, chóng dång d¹ng (c.g.c). Suy ra: B· EC ·ADC 1350 (v× tam gi¸c AHD vu«ng c©n t¹i H theo gi¶ thiÕt). Nªn ·AEB 450 do ®ã tam gi¸c ABE vu«ng c©n t¹i A. Suy ra: 0,5 BE AB 2 m 2 4.2 BM 1 BE 1 AD 0,5 Ta cã:   (do BEC : ADC ) BC 2 BC 2 AC mµ AD AH 2 (tam gi¸c AHD vu«ng v©n t¹i H) BM 1 AD 1 AH 2 BH BH 0,5 nªn   (do ABH : CBA ) BC 2 AC 2 AC AB 2 BE · · 0 · 0 Do ®ã BHM : BEC (c.g.c), suy ra: BHM BEC 135 AHM 45 0,5 4.3 Tam gi¸c ABE vu«ng c©n t¹i A, nªn tia AM cßn lµ ph©n gi¸c gãc BAC. 0,5 DeThi.edu.vn
Bộ 40 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn GB AB Suy ra: , mµ GC AC AB ED AH HD ABC : DEC ED // AH AC DC HC HC GB HD GB HD GB HD 0,5 Do ®ã: GC HC GB GC HD HC BC AH HC DeThi.edu.vn
Bộ 40 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 17 Câu 1: (4,0 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : a) 3x2 – 7x + 2; b) a(x2 + 1) – x(a2 + 1). Câu 2: (5,0 điểm) Cho biểu thức : 2 x 4 x 2 2 x x 2 3 x A ( ) : ( ) 2 x x 2 4 2 x 2 x 2 x 3 a) Tìm ĐKXĐ rồi rút gọn biểu thức A ? b) Tìm giá trị của x để A > 0? c) Tính giá trị của A trong trường hợp : |x - 7| = 4. Câu 3: (5,0 điểm) a) Tìm x,y,z thỏa mãn phương trình sau : 9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = 0. x y z a b c x2 y2 z2 b) Cho 1 và 0 . Chứng minh rằng : 1. a b c x y z a2 b2 c2 Câu 4: (6,0 điểm) Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn hơn đường chéo BD. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của B và D xuống đường thẳng AC. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của C xuống đường thẳng AB và AD. a) Tứ giác BEDF là hình gì ? Hãy chứng minh điều đó ? b) Chứng minh rằng : CH.CD = CB.CK c) Chứng minh rằng : AB.AH + AD.AK = AC2. DeThi.edu.vn
Bộ 40 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn HƯỚNG DẪN CHẤM THI Nội dung đáp án Điểm Bài 1 a 2,0 3x2 – 7x + 2 = 3x2 – 6x – x + 2 = 1,0 = 3x(x -2) – (x - 2) 0,5 = (x - 2)(3x - 1). 0,5 b 2,0 a(x2 + 1) – x(a2 + 1) = ax2 + a – a2x – x = 1,0 = ax(x - a) – (x - a) = 0,5 = (x - a)(ax - 1). 0,5 Bài 2: 5,0 a 3,0 ĐKXĐ : 2 x 0 2 x 4 0 x 0 1,0 2 x 0 x 2 2 x 3 x 3x 0 2 3 2x x 0 2 x 4x2 2 x x2 3x (2 x)2 4x2 (2 x)2 x2 (2 x) A ( ) : ( ) . 1,0 2 x x2 4 2 x 2x2 x3 (2 x)(2 x) x(x 3) 4x2 8x x(2 x) . 0,5 (2 x)(2 x) x 3 4x(x 2)x(2 x) 4x2 0,25 (2 x)(2 x)(x 3) x 3 4x2 Vậy với x 0, x 2, x 3 thì A . 0,25 x 3 b 1,0 4x2 Với x 0, x 3, x 2 : A 0 0 0,25 x 3 x 3 0 0,25 x 3(TMDKXD) 0,25 Vậy với x > 3 thì A > 0. 0,25 c 1,0 x 7 4 x 7 4 0,5 x 7 4 x 11(TMDKXD) 0,25 x 3(KTMDKXD) DeThi.edu.vn
Bộ 40 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 121 Với x = 11 thì A = 0,25 2 Bài 3 5,0 a 2,5 9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = 0 (9x2 – 18x + 9) + (y2 – 6y + 9) + 2(z2 + 2z + 1) = 0 1,0 9(x - 1)2 + (y - 3)2 + 2 (z + 1)2 = 0 (*) 0,5 Do : (x 1)2 0;(y 3)2 0;(z 1)2 0 0,5 Nên : (*) x = 1; y = 3; z = -1 0,25 Vậy (x,y,z) = (1,3,-1). 0,25 b 2,5 a b c ayz+bxz+cxy Từ : 0 0 0,5 x y z xyz ayz + bxz + cxy = 0 0,25 x y z x y z Ta có : 1 ( )2 1 0,5 a b c a b c x2 y2 z2 xy xz yz 2( ) 1 0,5 a2 b2 c2 ab ac bc x2 y2 z2 cxy bxz ayz 2 1 0,5 a2 b2 c2 abc x2 y2 z2 1(dfcm) 0,25 a2 b2 c2 Bài 4 6,0 H C B 0,25 F O E A K D a 2,0 Ta có : BE  AC (gt); DF  AC (gt) => BE // DF 0,5 Chứng minh : BEO DFO(g c g) 0,5 => BE = DF 0,25 Suy ra : Tứ giác : BEDF là hình bình hành. 0,25 b 2,0 DeThi.edu.vn
Bộ 40 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Ta có: ·ABC ·ADC H· BC K· DC 0,5 Chứng minh : CBH : CDK(g g) 1,0 CH CK CH.CD CK.CB 0,5 CB CD b, 1,75 Chứng minh : AFD : AKC(g g) 0,25 AF AK AD.AK AF.AC 0,25 AD AC Chứng minh : CFD : AHC(g g) 0,25 CF AH 0,25 CD AC CF AH Mà : CD = AB AB.AH CF.AC 0,5 AB AC Suy ra : AB.AH + AB.AH = CF.AC + AF.AC = (CF + AF)AC = AC2 0,25 (đfcm). DeThi.edu.vn
Bộ 40 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 18 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8. Môn thi: TOÁN. Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1:(2,0 điểm). Phân tích đa thức thành nhân tử. x 3 + 3xy + y 3 - 1 Bài 2 (1,50 điểm): Giải phương trình: x + 4 x + 3 x + 2 x + 1 +1 +1 +1 +1 2006 2007 2008 2009 Bài 3 (1,50 điểm): Chứng tỏ rằng không có giá trị nào của x thỏa mãn bất đẳng thức sau: - 2x2 - x - 3 > 0 Bài 4(1,0 điểm): Tìm giá trị nguyên của x để phân thức sau có giá trị là một số nguyên: x3- 5x2 + 9x - 2 A = x - 3 Bài 5(1,0 điểm):(Không sử dụng MTBT tính trực tiếp). Tìm chữ số tận cùng của số A = 22009 Bài 6 (3,0đ): Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ ra phía ngoài của tam giác đó các tam giác ABD vuông cân ở B, ACF vuông cân ở C. Gọi H là giao điểm của AB với CD, K là giao điểm của AC với BF. Chứng minh rằng: a). HA = KA b). HA2 = HB.KC DeThi.edu.vn
Bộ 40 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP 8 Môn thi: TOÁN Bài 1:(2,0 điểm). x 3 + 3xy + y 3 - 1 = ( x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 + y 3 - 1) - 3x 2 y - 3xy 2 + 3xy (0,50 đ) =  (x + y) 3 - 1  - 3xy(x + y – 1) (0,50 đ) = (x + y – 1)(x 2 + 2xy + y 2 +x +y +1 – 3xy) (0,50 đ) = (x + y – 1)(x 2 - xy + y 2 +x +y +1). (0,50 đ) Bài 2 (1,50 điểm): x + 4 x + 3 x + 2 x + 1 +1 +1 +1 +1 2006 2007 2008 2009 x + 4 + 2006 x + 3 + 2007 x + 2 + 2008 x + 1 + 2009 (0,25 đ) 2006 2007 2008 2009 x + 2010 x + 2010 x + 2010 x + 2010 (0,25 đ) 2006 2007 2008 2009 1 1 1 1 x + 2010 0 (*) (0,25 đ) 2006 2007 2008 2009 1 1 1 1 Do 0 (0,25 đ) 2006 2007 2008 2009 nên: (*) x + 2010 = 0 (0,25 đ) x = - 2010 (0,25 đ) Bài 3 (1,50 điểm): 2 1 24 Ta có: -2x – x – 3 = -2. x 2x. (0,25 đ) 4 16 x 1 23 -2 x2 + 2 (0,25 đ) 4 16 16 2 1 23 -2 x + (0,25 đ) 4 16 2 1 23 2 x + (0,25 đ) 4 8 2 1 Với mọi x ta luôn có: -2 x + 0 (0,25 đ) 4 2 23 1 23 Lại có 0 nên ta có: 2 x + 0 (0,25 đ) DeThi.edu.vn
Bộ 40 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Bài 4 (1,0 điểm): 3 2 x - 5x + 9x - 2 2 7 A = x - 2x + 3 + (0,25 đ) x - 3 x - 3 7 A có giá trị nguyên khi là nguyên, tức là phải có (x – 3) là ước của 7 (0,25 đ) x - 3 Do đó: x – 3 = - 1 => x = 2 (0,125đ) x – 3 = 1 => x = 4 (0,125đ) x – 3 = -7 => x = -4 (0,125đ) x – 3 = 7 => x = 10 (0,125đ) Bài 5 (1,0 điểm): Ta thấy: 2 2009 2 2008  2 (0,25 đ) 502 4 2 2 = 16 502  2 (0,25 đ) Số có chữ số tận cùng bằng 6 dù nâng lên luỹ thừa nào cũng tận cùng bằng 6, do đó 16502 có chữ số tận cùng bằng 6. (0,25 đ) Suy ra số A = 22009 = 16502.2 có chữ số tận cùng bằng 2. (0,25 đ) Bài 6 (3,0 đ): F A D K H B C a). (2,25đ) Gọi các cạnh AB, AC của tam giác ABC lần lượt là c, b. AC  AB Theo gi¶ thiÕt  AC // BD (0,25 đ) BD  AB  Tương tự ta cũng có: AB // CF (0,25 đ) Theo định lý Talet, ta có: HA HC AC b = = = (1) (0,25 đ) HB HD BD c KA KB AB c = = = (2) (vì A C F vu«ng c©n nªn C F = C A ) (0,25 đ) KC KF CF b HA b HA b Từ (1): (0,25 đ) HB c HA + HB b + c DeThi.edu.vn
Bộ 40 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn HA b bc HA = (0,25 đ) c b + c b + c KA c KA c Từ (2): (0,25 đ) KC b KA + KC b + c KA c bc KA = (0,25 đ) b b + c b + c bc Vậy HA = KA = (0,25 đ) b + c HA KC b).Từ (1) và (2) ở trên ta có: HA.KA = HB.KC (0,25 đ) HB KA mà HA = KA (C/m trên) nên suy ra HA2 = HB.KC (0,50 đ) Lưu ý: - Ở các bài toán trên học sinh có thể giải theo các cách khác mà có kết quả đúng vẫn cho điểm tối đa. - Với bài 6, nếu không có hình vẽ mà chứng minh đúng thì không cho điểm ). ĐỀ SỐ 19 DeThi.edu.vn
Bộ 40 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn PHÒNG GD&ĐT TP HẢI DƯƠNG ĐỀ THI HSG LỚP 9 T8 MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút ( Đề này gồm 5 câu, 1 trang) Câu 1 (2 điểm) 2015 a) Cho hàm số f (x)= (x3 + 6x - 7) . Tính f(a) với a = 3 3 + 17 + 3 3- 17 . b)Cho các số dương x, y, z thỏa mãn: xy + yz + zx = 1. æ y ö ç x z ÷ Tính giá trị của biểu thức P = (1+ x)(1+ y)(1+ z)ç + + ÷ èç1+ x 1+ y 1+ z÷ø Câu 2 (2 điểm) 2 x 2 x a) Giải phương trình : 2 2 2 x 2 2 x b) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 1. ab bc ca 1 Chứng minh : . c 1 a 1 b 1 4 Câu 3 (2 điểm) a) Tìm tất cả các tam giác vuông có độ dài cạnh là số nguyên và số đo diện tích bằng số đo chu vi. b)Chứng minh biểu thức P n3 (n2 7)2 36n chia hết cho 210 với mọi số nguyên n. Câu 4 (3 điểm) Cho D ABC có 3 góc nhọn nội tiếp đường tròn (O; R). Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Kéo dài AO cắt đường tròn tại K. 1. Chứng minh tứ giác BHCK là hình bình hành 2. Kẻ OM ^ BC tại M. Gọi G là trọng tâm của D ABC. Chứng minh SAHG = 2SAGO AD BE CF 3. Chứng minh + + ³ 9 HD HE HF Câu 5 (1 điểm) Cho ba số dương a,b,c thoả mãn: a 2 b 2 b 2 c 2 c 2 a 2 2015. a2 b2 c2 1 2015 Chứng minh rằng: . b c c a a b 2 2 PHÒNG GD&ĐT TP HẢI DƯƠNG HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HSG LỚP 9 DeThi.edu.vn
Bộ 40 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Mã: T-Nguyễn Tuấn Anh- VH - MÔN: TOÁN TPHD (hướng dẫn chấm gồm 6 .trang) Câu Đáp án Điểm a. (1 điểm) a = 3 3 + 17 + 3 3 - 17 3 3 3 3 3 3 3 Û a = ( 3 + 17 ) + ( 3- 17 ) + 3.3 (3 + 17)(3- 17)( 3 + 17 + 3- 17 ) 0.5 = 6 - 6a Û a 3 + 6 a - 7 = - 1 đ 2015 2015 Vậy f(a)= (a3 + 6a- 7) = (- 1) = - 1 0,5 đ b. (1 điểm) 2 b) Từ xy + yz + zx = 1 Þ 1 + x = xy + yz + zx + ( x ) 1 = x ( x + y)+ z ( x + y) = ( x + z)( x + y). 0.25 (2 điểm) Tương tự ta có :1+ y = y + x y + z ; 1+ z = z + x z + y ( )( ) ( )( ) 0.25 Thay vào P ta được: 2 2 2 P = ( x + y) ( y + z) ( z + x) . æ ö ç ÷ ç x y z ÷ ç + + ÷ ç ÷ èç( x + y)( x + z) ( y + x)( y + z) ( z + x)( z + y)ø÷ é ù x ( y + z)+ y ( x + z)+ z ( x + y) = ê( x + y)( y + z)( z + x )ú. 0.25 ëê ûú ( x + y)( y + z)( z + x) = 2( xy + yz + zx)= 2 0.25 2 a) (1 điểm) (2 điều kiện : 0 x 4 điểm) 2 x 2 x 2 x 2 x 2 2 (1) 2 2 x 2 2 x 2 4 2 x 2 4 2 x 0.25 Đặt 4 2 x = a ; 4 2 x = b ( a ; b 0) . 0.25 DeThi.edu.vn
Bộ 40 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn a 2 b 2 8 T a có : a 2 b 2 2 2 a 2 b 2 2 2 2 a b 8 a b 8 0.25 2 2 2 a b ab a b 8 4 a b 2ab a b ab 4 2 ab 4 0 2 2 a b 8 (I) a b 2 ab 4 0 Vì ab + 4 > 0 nên : 2 2 b 2 b 2 a b 2ab 8 ab 2 a b a I a a b 2 2 a 1 3 a b 2 a 2 a 2 2a 2 0 a a 1 0.253 ( loai vì a 0) a 3 1 4 2 x 3 1 x 3 b 3 1 4 2 x 3 1 b)(1 điểm) 0.25 2 1 1 4 1 1 1 1 Ta có với x, y > 0 thì: (x+y) 4 xy (*)dấu x y x y x y 4 x y bằng xảy ra khi x = y. Áp dụng bất đẳng thức (*) và do a+b+c = 1 nên ta có: 0.25 ab ab ab 1 1 ; c 1 (c a) (c b) 4 c a c b bc bc 1 1 ; 0.25 a 1 4 a b a c Tương tự ta có: ca ca 1 1 . b 1 4 b a b c ab bc ca 1 ab bc ab ca bc ca 1 1 a b c c 1 a 1 b 1 4 c a b c a b 4 4 ab bc ca 1 1 0.25 . Dấu bằng xảy ra a b c c 1 a 1 b 1 4 3 Câu Đáp án Điểm a. 1 đ + Gọi a, b, c là số đo 3 cạnh của tam giác vuông cần tìm. Giả 3 sử 1 a b c . (2 a2 b2 c2 (1) điểm) Ta có hệ phương trình : 0.25 ab 2(a b c) (2) đ DeThi.edu.vn
Bộ 40 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 2 2 2 2 Từ (1) c = (a + b) − 2ab c = (a + b) − 4(a + b + c) (theo (2)) (a + b)2 − 4(a + b) = c2 + 4c (a + b)2 − 4(a + b) + 4 = c2 + 4c + 4. 2 2 0.25 (a + b − 2) = (c + 2) a + b − 2 = c + 2 (do a + b 2) đ c = a + b − 4. Thay vào (2) ta được: ab = 2(a + b + a + b − 4) ab −4a−4b + 8 = 0 b(a −4) −4(a−4) = 8 (a −4)(b−4) 0.25 = 8 đ Phân tích 8 = 1.8 = 2.4 nên ta có: a 4 1 a - 4 = 2 a = 5 a = 6 hoÆc hoÆc b 4 8 b - 4 = 4 b = 12 b = 8 Từ đó ta có 2 tam giác vuông có các cạnh (5 ; 12 ; 13) và (6 ; 0.25 8 ; 10) thỏa mãn yêu cầu của bài toán. đ b. (1 điểm) 2 + P n n3 7n 36 n n3 7n 6 n3 7n 6 3 2 2 3 n n n (n n) 6(n 1) n n 6(n 1) = (n 3)(n 2)(n 1)n (n 1)(n 2)(n 3) 0.5 đ Ta có: P là tích của 7 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 5,6,7 mà 5,6,7 là các số nguyên tố cùng nhau đôi một nên P chia hết cho 5.6.7 = 210 . 0.5 đ DeThi.edu.vn
Bộ 40 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 4 A (3 điểm) E F G H O B D M C K a/ (1 điểm) Chứng minh tứ giác BHCF là hình bình hành + VìD ACK nội tiếp đường tròn (O) đường kính AK nên D ACK vuông tại C 0.5 đ + Suy ra KC ^ AC Ta có BE ^ AC (gt) + Suy ra KC // BE hay KC // BH + Chứng minh tương tự ta có KB // CH 0.5 đ + Kết luận tứ giác BHCK là hình bình hành b/ (1 điểm) 0.5 đ Chứng minh 3 điểm H, M, K thẳng hàng + Chứng minh M là trung điểm của BC + Ta có tứ giác BHCK là hình bình hành (cmt). Suy ra 2 đường chéo BC và HK cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Mà M là trung điểm của BC (cmt) Suy ra M cũng là trung điểm của HK + Suy ra 3 điểm H, M, K thẳng hàng Chứng minh SAHG = 2SAGO 0.5 đ + Vì M là trung điểm của BC (cmt). Suy ra AM là đường trung tuyến của D ABC + D ABC có AM là đường trung tuyến, G là trọng tâm (gt) 2 Suy ra G thuộc đoạn AM, AG = AM 3 DeThi.edu.vn
Bộ 40 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn + Vì M là trung điểm của HK (cmt) Suy ra D AHK có AM là đường trung tuyến. Mà G thuộc 2 đoạn AM, AG = AM (cmt). Suy ra G là trọng tâm của D 3 AHK + Chứng minh HO đi qua G, HG = 2GO + D AHG và D AGO có chung đường cao kẻ từ A đến HO, HG = 2GO Do đó SAHG = 2SAGO c/(1 điểm) AD BE CF Chứng minh + + ³ 9 HD HF HF 1 1 1 HD.BC HE.AC HF.AB HD HE HF Ta có: + + = 2 + 2 + 2 1 1 1 AD BE CF AD.BC BE.BC CE.AB 2 2 2 S S S = HBC + HAC + HAB SABC SABC SABC 0.5 đ S + S + S S = HBC HAC HAB = ABC = 1 SABC SABC + Chứng minh bài toán phụ: Cho x > 0, y > 0, z > 0. Chứng minh rằng 0.25 æ1 1 1ö đ (x+ y+ z)ç + + ÷³ 9 èçx y zø÷ Ta có: æ ö æ ö æ ö ç1 1 1÷ çx y÷ æx zö çz y÷ (x+ y+ z)ç + + ÷= 3+ ç + ÷+ ç + ÷+ ç + ÷ èçx y zø÷ èçy x÷ø èçz xø÷ èçy zø÷ x 2 + y2 x 2 + z 2 z 2 + y2 = 3 + + + xy xz zy (x - y)2 + 2xy (z- x)2 + 2xz (z- y)2 + 2yz = 3+ + + xy zx yz (x - y)2 (z- x)2 (z- y)2 = 3+ 2+ 2+ 2+ + + ³ 9 xy zx yz (Vì với x > 0, y > 0, z > 0 thì (x - y)2 (z- x)2 (z- y)2 ³ 0; ³ 0; ³ 0 ) xy zx yz DeThi.edu.vn
Bộ 40 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 1 1 1 1 Cách 2: Sử dụng x y z 33 xyz ta có + + ³ 33 suy ra x y z xyz æ1 1 1ö (x+ y+ z)ç + + ÷³ 9 . èçx y zø÷ + Áp dụng kết quả bài toán trên ta có 0.25 æHD HE HFöæAD BE CFö HD HE HF đ ç + + ÷.ç + + ÷³ 9 . Mà + + = 1 èçAD BE CFø÷èçHD HE HFø÷ AD BE CF (cmt) AD BE CF Do đó + + ³ 9 HD HF HF Đáp án Điểm (1 điểm) Ta có 2(a2 b2 ) (a b)2 . 0.25 đ Suyra a2 b2 c2 a2 b2 c2 b c c a a b 2 b2 c2 2 c2 a2 2 c2 a2 Đặt x b2 c2 , y c2 a2 , z a2 b2 , y2 z2 x2 z2 x2 y2 x2 y2 z2 suy ra VT 2 2x 2 2y 2 2z 5 1 ( y z)2 (z x)2 (x y)2 0.25 đ (1 x y z điểm) 2 2 2x 2 y 2z 1 ( y z)2 (z x)2 (x y)2 2x 3x 2 y 3y 2z 3z 2 2 2x 2 y 2z 0.25 đ 1 2( y z) 3x 2(z x) 3y 2(x y 3z 2 2 1 1 2015 Suy ra VT (x y z) 0.25 2 2 2 2 đ Hết ĐỀ SỐ 20 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 DeThi.edu.vn
Bộ 40 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Câu 1. Tìm một số có 8 chữ số: a1a 2 a8 thỏa mãn 2 điều kiện a và b sau: 2 3 a) a1a2a3 a7a8 b) a4a5a6a7a8 a7a8 Câu 2. Chứng minh rằng: xm xn 1 chia hết cho x2 x 1 khi và chỉ khi mn 2 M3 Áp dụng phân tích đa thức thành nhân tử: x7 x2 1 Câu 3. Giải phương trình: 1 1 1 x 1.2 2.3 3.4 2006.2007 1.2.3 2.3.4 2005.2006.2007 Câu 4. Cho hình thang ABCD (đáy lớn CD).Gọi O là giao điểm của A C và BD; các đường kẻ từ A và B lần lượt song song với BC và AD cắt các đường chéo BD và AC tương ứng ở F và E. Chứng minh: a) E F / / A B b) AB2 EF.CD c) Gọi S1,S2,S3 và S4 theo thứ tự là diện tích của tam giác OAB,OCD,OAD và O BC . Chứng minh S1.S2 S3.S4 Câu 5. Tìm giá trị nhỏ nhất : A x 2 2xy 6 y 2 12x 2 y 45 ĐÁP ÁN Câu 1. 2 3 Ta có: a1a2a3 a7a8 (1) a4a5a6a7a8 a7a8 (2) Từ (1) và (2) 22 a7 a8 31 DeThi.edu.vn
Bộ 40 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 3 3 a7a8 a4a5a6 00 a7a8 a7a8 a7a8 a4a5a6 00 a7a8 1 a7a8 a7a8 1 4.25.a4a5a6 Do a7a8 1 ;a7a8; a7a8 1 là 3 số tự nhiên liên tiếp nên có 3 khả năng: a)a7 a8 24 a1a2 a3 a8 là số 57613824 b) a7 a8 1 24 a7 a8 25 số đó là 62515625 c) a7 a8 26 không thỏa mãn Câu 2. Đặt m 3k r với 0 r 2 ;n 3t svới 0 s 2 xm xn 1 x3k r x3t s 1 x3k xr xr x3t xs xs xr xs 1 xr x3k 1 xs x3t 1 xr xs 1 Ta thấy: x3k 1 M x2 x 1 và x3t 1 M x2 x 1 Vậy xm xn 1 M x2 x 1 xr xs 1 M x2 x 1 với 0 r,s 2 r 2 và s 1 m 3k 2 và n 3t 1 r 1và s 2 m 3k 1 và n 3t 2 mn 2 3k 2 3t 1 2 9kt 3k 6t 3 3kt k 2t mn 2 3k 1 3t 2 2 9kt 6k 3t 3 3kt 2k t mn 2 M3,Điều phải chứng minh. Áp dụng: m 7,n 2 mn 2 12M3 x7 x2 1 M x2 x 1 x7 x2 1 : x2 x 1 x5 x4 x2 x 1 Câu 3. 1 1 1 x 1.2 2.3 3.4 2006.2007 1.2.3 2.3.4 2005.2006.2007 Nhân cả 2 vế với 6ta được: 2 2 2 3. x 2 1.2. 3 0 2.3. 4 1 2006.2007. 2008 2005 1.2.3 2.3.4 2005.2006.2007 1 1 1 1 1 3. x 1.2 2.3 2.3 3.4 2006.2007 2. 1.2.3 2.3.4 1.2.3 2006.2007.2008 2005.2006.2007 1 1 1003.1004.669 3. x 2.2006.2007.2008 x 1.2 2006.2007 5.100.651 Câu 4. DeThi.edu.vn
Bộ 40 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn A B O K E H F D B1 A1 C OE OA OB OC a) Do A E / / B C và BF / / AD OF OB OA OD OA OB OE OF Mặt khác A B / /C D ta lại có: nên EF / /AB OC OD OB OA b) ABCA1và ABB1D là hình bình hành A1C DB1 AB EF AB 2 Vì EF / / AB / /C D nên AB EF.CD AB DC 1 1 1 1 c) Ta có: S AH .OB;S CK.OD;S AH .OD;S .OK.OD 1 2 2 2 3 2 4 2 1 1 S .AH.OB AH S .AH.OD AH 1 2 ; 3 2 S 1 CK S 1 CK 4 .CK.OB 2 .CK.OD 2 2 S1 S3 S1.S2 S3.S4 S4 S2 Câu 5. A x2 2xy 6y2 12x 2y 45 x2 y2 36 2xy 12x 12y 5y2 10y 5 4 x y 6 2 5 y 1 2 4 4 DeThi.edu.vn
Bộ 40 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn y 1 0 x 7 Giá trị nhỏ nhất A 4 khi x y 6 0 y 1 DeThi.edu.vn
Bộ 40 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 21 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 Câu 1. (4,0 điểm) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: a)3x 2 7 x 2 b) a x2 1 x a2 1 Câu 2. (5,0 điểm) 2 x 4x2 2 x x2 3x Cho biểu thức : A 2 : 2 3 2 x x 4 2 x 2x x a) Tìm ĐKXĐ rồi rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị của x để A 0 c) Tính giá trị của A trong trường hợp x 7 4 Câu 3. (5,0 điểm) a) Tìm x, y, z thỏa mãn phương trình sau: 9x 2 y 2 2z 2 18x 4z 6 y 20 0 x y z x2 y2 z2 1 a b c 2 2 2 1 b) Cho a b c và 0.Chứng minh rằng: a b c x y z Câu 4. (6,0 điểm) Cho hình bình hành ABCD có đường chéo A C lớn hơn đường chéo B D . Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của B và D xuống đường thẳng AC. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của C xuống đường thẳng AB và AD a) Tứ giác BEDF là hình gì ? Vì sao ? b) Chứng minh rằng : CH .CD CB.CK 2 c) Chứng minh rằng: AB.AH AD.AK AC ĐÁP ÁN Câu 1. a)3x2 7x 2 3x2 6x x 2 3x x 2 x 2 3x 1 x 2 b)a x2 1 x a2 1 ax2 a a2 x x ax x a x a x a ax 1 Câu 2. ĐKXĐ: x 0; 2;3 DeThi.edu.vn
Bộ 40 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 2 2 2 x 4x2 2 x x2 3x 2 x 4x2 2 x x2 2 x a)A 2 : 2 3 . 2 x x 4 2 x 2x x 2 x 2 x x x 3 4x2 8x x 2 x 4x x 2 x 2 x 4x2 . 2 x 2 x x 3 2 x 2 x x 3 x 3 4x2 b) A 0 0 x 3 0 x 3(tmdk) x 3 Vậy x 3 thì A 0 x 7 4 x 11(tm) 121 c) x 7 4 A khi x 11 x 7 4 x 3(ktm) 2 Câu 3. 2 2 2 a) 9x y 2z 18x 4z 6 y 20 0 9x2 18x 9 y2 6y 9 2 z2 2z 1 0 9 x 1 2 y 3 2 2 z 1 2 0(*) 2 2 2 Do x 1 0; y 3 0; z 1 0 Nên : x 1; y 3;z 1 a b c ayz bxz cxy 0 0 b) Từ x y z xyz ayz bxz cxy 0 2 x y z x y z Ta có: 1 1 a b c a b c x2 y2 z2 xy xz yz 2 2 2 2 1 a b c ab ac bc x2 y2 z2 cxy bxz ayz 2 1 a2 b2 c2 abc x2 y2 z2 1(dfcm) a2 b2 c2 Câu 4. DeThi.edu.vn
Bộ 40 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn H B C F O E A D K a) Ta có BE  AC(gt);DF  AC(gt) BE / /DF Chứng minh BEO DFO(g.c.g) BE DF Suy ra tứ giác BEDF là hình bình hành · · · · b) Ta có : ABC ADC HBC KDC CH CK Chứng minh CBH : CDK(g.g) CH.CD CK.CB CB CD AF AK AFD : AKC g.g AD.AK AF.AC c) Chứng minh AD AC CF AH Chứng minh CFD : AHC(g.g) CD AC CF AH Mà CD AB AB.AH CF.AC AB AC Suy ra AB.AH AB.AH CF .AC AF .AC CF AF .AC AC 2 DeThi.edu.vn
Bộ 40 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 22 ĐỀ THI KSCL HỌC SINH GIỎI MÔN: TOÁN 8 Bài 1. (2 điểm) 2 a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x3 x2 7 36x b) Dựa vào kết quả trên hãy chứng minh : 2 A n3 n 2 7 36n chia hết cho 210 với mọi số tự nhiên n Bài 2. (2 điểm) 1 x3 1 x2 Cho biểu thức A x : 2 3 x 1;1 1 x 1 x x x a) Rút gọn biểu thức A 2 b) Tính giá trị của biểu thức A tại x 1 3 c) Tìm giá trị của x để A 0 Bài 3. (1 điểm) Cho ba số a,b,cthỏa mãn abc 2004 2004a b c Tính M ab 2004a 2004 bc b 2004 ac c 1 Bài 4. (4 điểm) Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 4cm.Gọi M,Nlần lượt là trung điểm của AB,BC.Gọi P là giao điểm của AN với DM a) Chứng minh APM là tam giác vuông b) Tính diện tích của tam giác APM c) Chứng minh tam giác C PD là tam giác cân Bài 5. (1 điểm) Tìm các giá trị x , y nguyên dương sao cho x 2 y 2 2 y 13 DeThi.edu.vn
Bộ 40 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐÁP ÁN Bài 1. 2 2 a)x3 x2 7 36x x x3 7x 36 x x3 7x 6 x3 7x 6 x x3 x 6x 6 x3 x 6x 6 x x 1 x 1 x 3 x 2 x 2 x 3 b) Theo phần a ta có: 2 A n3 n2 7 36n n 3 n 2 n 1 n n 1 n 2 n 3 Đây là tích của 7 số nguyên liên tiếp nên có một bộ của 2, 1 bội của 3, 1 bội của 5, 1 bội của 7 Mà 2,3,5,7 1nên AM 2.3.5.7 AM210 Bài 2. a) Với x 1 thì 1 x3 x x2 1 x 1 x A : 1 x 1 x 1 x x2 x 1 x 1 x 1 x x2 x 1 x 1 x : 1 x 1 x 1 2x x2 1 1 x2 : 1 x2 1 x 1 x 2 2 b) Tại x 1 A 10 3 27 2 c) Với x 1 thì A 0 1 x 1 x 0 1 x 0 x 1 DeThi.edu.vn
Bộ 40 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Bài 3 Thay 2004 abc vào M ta có: a2bc b c M ab a2bc abc bc b abc ac c 1 a2bc b c ab(1 ac c) b c 1 ac ac c 1 ac 1 c ac c 1 1 1 ac c c 1 ac ac c 1 1 ac c Bài 4. A M B 1 1 P I N H 1 D C µ µ a) Chứng minh ADM BAN(cgc) A1 D1 µ ¶ 0 Mà D1 M1 90 ( ADM vuông tại A) µ ¶ 0 · 0 Do đó: A1 M1 90 APM 90 .Hay APM vuông tại P 4 5 2 5 4 b) Tính được AP (cm), AM cm,S (cm2 ) 5 5 APM 5 c) Gọi I là trung điểm của AD. Nối C với I; CI cắt DM tại H DeThi.edu.vn
Bộ 40 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Chứng minh tứ giác AIC N là hình bình hành AN / /C I mà AN  DM CI  DM Hay C H là đường cao trong CPD(1) Vận dụng định lý về đường trung bình trong ADP chứng minh được H là trung điểm DP suy ra C H là trung tuyến trong CPD(2) Từ (1) và (2) suy ra CPD cân tại C Bài 5. Biến đổi đẳng thức đã cho về dạng x y 1 x y 1 12 Lập luận để có x y 1 x y 1và x y 1;x y 1là các ước dương của 12 từ đó có các trường hợp x y 1 12 6 4 x y 1 1 2 3 x 13 4 7 2 2 y 9 1 1 2 2 Mà x , y nguyên dương nên x; y 4;1 DeThi.edu.vn
Bộ 40 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 23 PHÒNG GD&ĐT KÌ THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN LỚP 8 ĐỀ THI CHÍNH Môn: Toán Thời gian làm bài: 150 phút Bài 1.(5 điểm) Cho x, y là hai số thay đổi thỏa mãn điều kiện x > 0, y 3. Biết rằng có số tự nhiên n sao cho trong cách viết thập phân của số pn có đúng 20 chữ số. Chứng minh rằng trong 20 chữ số này có ít nhất 3 chữ số giống nhau. Bài 4.( 8 điểm) Cho hình vuông ABCD cạnh a và điểm N trên cạnh AB. Cho biết tia CN cắt tia DA tại E, tia Cx vuông góc với tia CE cắt tia AB tại F. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng EF. a) Chứng minh CE = CF; b) Chứng minh B, D, M thẳng hàng; c) Chứng minh EAC đồng dạng với MBC; d) Xác định vị trí điểm N trên cạnh AB sao cho tứ giác ACFE có diện tích gấp 3 lần diện tích hình vuông ABCD. Bài 5. (3 điểm) a) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn 3x – y3 = 1 b) Cho ba số a, b, c thỏa mãn điều kiện 0 ≤ a, b, c ≤ 2 và a + b + c = 3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = a2 + b2 + c2. Hết (Giám thị coi thi không giải thích gì thêm) DeThi.edu.vn
Bộ 40 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Họ và tên thí sinh: Số báo danh: HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM Bài Nội dung Biểu điểm a) Với x + y = 1, biến đổi và thu gọn A. y x y 2 2x 2 y x 2 A : 2 2 2 2 2 2 xy x y x y y x y x y 2 x y 2 2x 2 y x 2 x 2 y 2 : 2 2 xy x y x y 3(điểm) y x y 2 .1 2x 2 y x 2 x y Bài : 1 xy x y 2 .1 y x y 2 x 2 x y y x y 2 x 2 y x x y 2 x y 2 : : xy x y 2 xy x y 2 xy y 2 x 2 xy x - y 2 x y 2 1 b) A 4 4 0 (vì x > 0; y 3 nên p không chia hết cho 3. (*) 3 pn có 20 chữ số. Các chữ số chỉ có thể là 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 gồm 10 chữ số đôi một khác nhau. Nếu không có quá nhiều hơn 2 chữ số giống nhau thì mỗi chữ số phải có mặt đúng 2 lần trong cách viết số pn. Như vậy tổng các chữ số 2(điểm) của số pn là: 2(0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9) = 90M 3 nên pn M 3 Điều này mâu thuẫn (*). Vậy trong số pn phải có ít nhất 3 chữ số giống nhau. E M A B F N D C DeThi.edu.vn
Bộ 40 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Bài a) Chứng minh được 4 CDE = CBF (g.c.g) CE = CF. 2(điểm) 1 b) Chỉ ra AM MC EF M thuộc đường trung trực BD của đoạn 2 2(điểm) AC. Vậy B, D, M thẳng hàng. c) Chỉ ra ACE = BCM EAC ~ MBC (g.g). 2(điểm) Chỉ ra CAE = CBM d) Đặt BN = x AN = a – x. 1 1 *)Tính S = S + S = DC.AE CE 2 AEFC ACE ECF 2 2 - Tính AE: Lý luận để có AE AN AE AN AE a x AE.a AE(a x) a(a x) ED DC AE AD DC AE a a a(a x) AE x - Tính CE2: Lý luận để có CE2 = CD2 + DE2 = a2 + (a + AE)2 2 2(điểm) a a x a 4 CE2 a 2 a a 2 x x 2 a 3 a x Do đó SAEFC = 2x 2 2 *) Tính SABCD = a . Lý luận với SAEFC = 3SABCD để có a 6x2 – ax – a2 = 0 (2x – a)(3x + a) = 0 x (vì a, x > 0). 2 KL: N là trung điểm của AB thì SAEFC = 3SABCD. DeThi.edu.vn
Bộ 40 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Bài a) 3x – y3 = 1 3x = y3 + 1 (1) 5 - Dễ thấy x = y = 0 là một nghiệm của (1). 1 - Nếu x 0 thì 3x M 3 (1) 3x = (y + 1)3 – 3y(y + 1) (y + 1)3 M 3 nên y + 1 M 3 Đặt y + 1 = 3k ( k nguyên), suy ra y = 3k – 1. Thay vào (1) ta 1.5(điểm) được: 3x = (3k – 1)3 + 1 = 9k(3k2 – 3k + 1) nên 3k2 – 3k + 1 là ước của 2 1 1 3x mà 3k2 – 3k + 1 M 3 và 3k2 – 3k + 1= 3 k 0 2 4 nên 3k2 – 3k + 1 = 1 3k(3k – 1) = 0 k = 0 hoặc k = 1. Với k = 0 thì y = - 1 suy ra 3x = 0 phương trình vô nghiệm. Với k = 1 thì y = 2 suy ra 3x = 9 nên x = 2. Vậy các cặp số nguyên (x, y) {(0; 0), (2; 2)}. b) Từ giả thiết 0 ≤ a, b, c ≤ 2 suy ra (2 – a)(2 – b)(2 – c) + abc ≥ 0 8 – 4(a + b + c) + 2(ab + bc + ca) ≥ 0 8 – 12 + 2ab + 2bc + 2ac ≥ 0 (vì a + b + c = 3) 2ab + 2bc + 2ac ≥ 4 a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac ≥ 4 + a2 + b2 + c2 1.5(điểm) ( a + b + c)2 ≥ 4 + a2 + b2 + c2 a2 + b2 + c2 ≤ 5 (vì a + b + c = 3) Dấu đẳng thức xảy ra (a; b; c) = (0; 1; 2) và các hoán vị của bộ số này. Vậy P có GTLN nhất là 5 (a; b; c) = (0; 1; 2) và các hoán vị của bộ số này. Chú ý: - Điểm được lấy đến 0.25. - Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa. DeThi.edu.vn
Bộ 40 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 24 PHÒNG GD & ĐT HẢI LĂNG ĐỀ THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 8 Thời gian làm bài : 150 phút ĐỀ CHÍNH THỨC Bài 1. (3 điểm) Làm thế nào để đem được 6 lít nước từ sông về nếu trong tay chỉ có 2 cái can, một can có dung tích 4 lít, một can có dung tích 9 lít và không can nào có vạch chia dung tích ? Bài 2. (3 điểm) Một số gồm 4 chữ số giống nhau chia cho một số gồm 3 chữ số giống nhau thì được thương là 16 và số dư là một số r nào đó Nếu số bị chia và số chia đều bớt đi một chữ số thì thương không đổi và số dư giảm bớt 200. Tìm các số đó Bài 3. (3 điểm) Chứng minh rằng n3 n chia hết cho 6 với mọi số tự nhiên n 1 1 1 4 8 Bài 4. (3 điểm) Tính tổng S 1 x 1 x 1 x2 1 x4 1 x8 Bài 5. (4 điểm) Nhân ngày 1 – 6 một phân đội thiếu niên được tặng một số kẹo. Số kẹo này được chia hết và chia đều cho mọi người trong phân đội. Để đảm bảo nguyên tắc ấy phân đội trưởng đề xuất cách nhận phần kẹo của mỗi người như sau: 1 Bạn thứ nhất 1 cái kẹo và được lấy thêm số kẹo còn lại. Sau khi bạn 11 1 thứ nhất đã lấy phần mình, bạn thứ hai nhận 2 cái kẹo và được lấy thêm số 11 kẹo còn lại. Cứ tiếp tục như thế đến bạn cuối cùng thứ n nhận n cái kẹo và được 1 lấy thêm số kẹo còn lại. 11 Hỏi phân đội thiếu niên nói trên có bao nhiêu đội viên và mỗi đội viên nhận bao nhiêu kẹo. Bài 6. (4 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A, có µA 200.Trên AB lấy điểm D sao cho AD BC . Tính số đo B· DC ? DeThi.edu.vn
Bộ 40 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐÁP ÁN Bài 1. Ký hiệu a;b là trạng thái can 4 lít có a lít với 0 a 4 và can 9 lít có blít với 0 b 9 . Khi đó việc lấy được 6 lít nước từ sông được diễn tả qua các trạng thái sau: 0;0 0;9 4;5 0;5 4;1 0;1 1;9 4;6 Bài 2. Ta có: aaaa 16bbb r aaa 16bb r 200 Với 200 r bbb Trừ các đẳng thức ta có: a 5 1000a 1600b 200 5a 8b 1 b 3 Ta có các số 5555 và 3 3 3 thỏa mãn. Bài 3. Ta có: n 3 n n 1 .n. n 1 chia hết cho 3 vì tích của 3 số nguyên liên tiếp Ta cũng có n 1 n n 1 chia hết cho 2 vì trong 3 số liên tiếp có 1 số chẵn Mà 2,3 1. Vậy n3 n chia hết cho 6 Bài 4. 1 1 1 1 8 S 1 x 1 x 1 x2 1 x4 1 x8 2 2 4 8 4 4 8 8 8 16 1 x2 1 x2 1 x4 1 x8 1 x4 1 x4 1 x8 1 x8 1 x8 1 x16 Bài 5. Gọi số kẹo phân đội được tặng là x (cái) ; x ¥ * 1 x 10 Số kẹo bạn thứ nhất nhận: 1 (x 1) (cái) 11 11 11 DeThi.edu.vn
Bộ 40 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn x 10 10x 10 Số kẹo còn lại sau khi bạn thứ nhất nhận x (cái) 11 11 11 11 1 10x 10 10x 210 Số kẹo bạn thứ hai nhận : 2 . 2 (cái) 11 11 11 121 121 Vì số kẹo của mỗi bạn bằng nhau nên ta có phương trình: x 10 10x 210 11x 10x 210 110 x 100 11 11 121 121 121 121 121 121 100 10 Số kẹo mỗi đội viên nhận là: 10 11 11 Số đội viên là : 100 :10 10 (bạn) Bài 6. A D E B C Ở miền trong tam giác ABC ta dựng tam giác đều B C E khi đó: ABE ACE c.c.c B· AE C· AE 100 ·ABE 200 và ·AEB 1500 suy ra ADC BEA c.g.c ·ADC B· EA 1500 B· DC 300 DeThi.edu.vn