›
›
›

Tuyển tập 500 đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 7 từ Internet - Hồ Khắc Vũ

pdf 390 trang thaodu 5030
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Tuyển tập 500 đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 7 từ Internet - Hồ Khắc Vũ", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdftuyen_tap_500_de_thi_hoc_sinh_gioi_mon_toan_lop_7_tu_interne.pdf

Nội dung text: Tuyển tập 500 đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 7 từ Internet - Hồ Khắc Vũ

  1. TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 MÔN TOÁN Success has only one destination, but has a lot of ways to go 1 TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN: TOÁN LỚP 7 TỪ INTERNET Họ và tên: Lớp: Trường: Người tổng hợp, sưu tầm : Thầy giáo Hồ Khắc Vũ Thầy giáo: Hồ Khắc Vũ – Giáo viên Toán cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN, NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI
  2. TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 MÔN TOÁN Success has only one destination, but has a lot of ways to go 2 Giáo viên Toán cấp 2 -3 "Hòa Thuận – Tam Kỳ - Quảng Nam" QU ẢNG NAM, THÁNG 03- 2018 LỜI NÓI ĐẦU Sơ lược bản thân, tôi là Hồ Khắc Vũ, Sinh năm 1994, giáo viên sư phạm Toán cấp 2-3 tốt nghiệp đại học Quảng Nam Với mong muốn tìm tòi, sưu tầm và tập hợp tất cả các đề Toán lớp 7 của kỳ thi Học sinh giỏi các cấp để các anh chị em đồng nghiệp, các bậc phụ huynh và các em học sinh có tài liệu để tham khảo, ôn tập và luyện thi Với lý do đó, tôi đã sưu tầm được 500 đề thi HSG toán 7 trên mạng để cho vào file PDF này, file này mang giá trị vô giá, với mục đích tới tận tay người học mà không tốn một đồng phí nào. Lý do tôi chọn file PDF chứ không phải file word chỉ đơn giản là để khỏi lỗi font chữ và nếu anh chị em nào có thể chỉnh sửa font chữ được thì tôi sẵn sàng chia sẻ file word vô tư Tôi mong rằng, với tập tài liệu đồ sộ này, hy vọng sẽ giúp các anh chị em đồng nghiệp ôn tập được tốt hơn và cũng như các em học sinh lớp 7 sẽ luyện nhuần nhuyễn hơn trước khi bước vào kỳ thi Cuối lời, không có gì hơn tôi xin gửi lời chúc bằng 1 câu thơ tâm đắc mà thầy tôi đã để lại cho tôi "Thao trường đổ mồ hôi, chiến trường bớt đổ máu Cờ lau trận giả nhận thất bại, Bạch Đằng tranh đấu thắng dội vang" Thầy giáo: Hồ Khắc Vũ – Giáo viên Toán cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN, NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI
  3. TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 MÔN TOÁN Success has only one destination, but has a lot of ways to go 3 ĐỀ SỐ 1 C©u1: (2 ®iÓm) 2abcda 2 bcdab 2 cdabc 2 d Cho d·y tØ sè b»ng nhau: a b c d a b b c c d d a T×m gi¸ trÞ biÓu thøc: M= c d d a a b b c C©u2: (1 ®iÓm) . Cho S = abc bca cab . Chøng minh r»ng S kh«ng ph¶i lµ sè chÝnh ph•¬ng. C©u3: (2 ®iÓm) Mét « t« ch¹y tõ A ®Õn B víi vËn tèc 65 km/h, cïng lóc ®ã mét xe m¸y ch¹y tõ B ®Õn A víi vËn tèc 40 km/h. BiÕt kho¶ng c¸ch AB lµ 540 km vµ M lµ trung ®iÓm cña AB. Hái sau khi khëi hµnh bao l©u th× «t« c¸ch M mét kho¶ng b»ng 1/2 kho¶ng c¸ch tõ xe m¸y ®Õn M. C©u4: (2 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC, O lµ ®iÓm n»m trong tam gi¸c. a. Chøng minh r»ng: BOC A ABO ACO A b. BiÕt ABO ACO 900 vµ tia BO lµ tia ph©n gi¸c cña gãc B. Chøng minh 2 r»ng: Tia CO lµ tia ph©n gi¸c cña gãc C. C©u 5: (1,5®iÓm). Cho 9 ®•êng th¼ng trong ®ã kh«ng cã 2 ®•êng th¼ng nµo song song. CMR Ýt nhÊt còng cã 2 ®•êng th¼ng mµ gãc nhän gi÷a chóng kh«ng nhá h¬n 200. C©u 6: (1,5®iÓm). Khi ch¬i c¸ ngùa, thay v× gieo 1 con sóc s¾c, ta gieo c¶ hai con sóc s¾c cïng mét lóc th× ®iÓm thÊp nhÊt lµ 2, cao nhÊt lµ 12. c¸c ®iÓm kh¸c lµ 3; 4; 5 ;6 11. H·y lËp b¶ng tÇn sè vÒ kh¶ n¨ng xuÊt hiÖn mçi lo¹i ®iÓm nãi trªn? TÝnh tÇn xuÊt cña mçi lo¹i ®iÓm ®ã. ĐỀ SỐ 2 C©u 1: T×m c¸c sè a,b,c biÕt r»ng: ab =c ;bc= 4a; ac=9b C©u 2: T×m sè nguyªn x tho¶ m·n: a, 5x-3 4 c, 4- x +2x =3 C©u3: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: A = x + 8 -x C©u 4: BiÕt r»ng :12+22+33+ +102= 385. TÝnh tæng : S= 22+ 42+ +202 Thầy giáo: Hồ Khắc Vũ – Giáo viên Toán cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN, NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI
  4. TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 MÔN TOÁN Success has only one destination, but has a lot of ways to go 4 C©u 5 : Cho tam gi¸c ABC ,trung tuyÕn AM .Gäi I lµ trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng AM, BI c¾t c¹nh AC t¹i D. a. Chøng minh AC=3 AD b. Chøng minh ID =1/4BD ĐỀ SỐ 3 C©u 1(2®): 3 4 5 100 a) TÝnh: A = 1 + 23 2 4 2 5 2 100 b) T×m n Z sao cho : 2n - 3 n + 1 C©u 2 (2®): a) T×m x biÕt: 3x - 21x = 2 b) T×m x, y, z biÕt: 3(x-1) = 2(y-2), 4(y-2) = 3(z-3) vµ 2x+3y-z = 50. 213 C©u 3(2®): Ba ph©n sè cã tæng b»ng , c¸c tö cña chóng tØ lÖ víi 3; 4; 5, c¸c mÉu cña 70 chóng tØ lÖ víi 5; 1; 2. T×m ba ph©n sè ®ã. C©u 4(3®): Cho tam gi¸c ABC c©n ®Ønh A. Trªn c¹nh AB lÊy ®iÓm D, trªn tia ®èi cña tia CA lÊy ®iÓm E sao cho BD = CE. Gäi I lµ trung ®iÓm cña DE. Chøng minh ba ®iÓm B, I, C th¼ng hµng. C©u 5(1®): T×m x, y thuéc Z biÕt: 2x + 1 = 1 7 y ĐỀ SỐ 4 C©u 1: TÝnh : 1 1 1 1 a) A = . 1.2 2.3 3.4 99.100 1 1 1 1 b) B = 1+ (1 2) (1 2 3) (1 2 3 4) (1 2 3 20) 2 3 4 20 C©u 2: a) So s¸nh: 17 26 1 vµ 99 . 1 1 1 1 b) Chøng minh r»ng: 10. 1 2 3 100 C©u 3: Thầy giáo: Hồ Khắc Vũ – Giáo viên Toán cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN, NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI
  5. TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 MÔN TOÁN Success has only one destination, but has a lot of ways to go 5 T×m sè cã 3 ch÷ sè biÕt r»ng sè ®ã lµ béi cña 18 vµ c¸c ch÷ sè cña nã tØ lÖ theo 1:2:3 C©u 4 Cho tam gi¸c ABC cã gãc B vµ gãc C nhá h¬n 900 . VÏ ra phÝa ngoµi tam gi¸c Êy c¸c tam gi¸c vu«ng c©n ABD vµ ACE ( trong ®ã gãc ABD vµ gãc ACE ®Òu b»ng 900 ), vÏ DI vµ EK cïng vu«ng gãc víi ®•êng th¼ng BC. Chøng minh r»ng: a. BI=CK; EK = HC; b. BC = DI + EK. C©u 5: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc : A = x 2001 x 1 ĐỀ SỐ 5 C©u 1: (1,5 ®) T×m x biÕt: a, x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 349 =0 327 326 325 324 5 b, 5x 3 7 C©u2:(3 ®iÓm) 0 1 2 2007 1 1 1 1 a, TÝnh tæng: S 7 7 7 7 1 2 3 99 b, CMR: 1 2! 3! 4! 100! c, Chøng minh r»ng mäi sè nguyªn d•¬ng n th×: 3n+2 – 2n+2 +3n – 2n chia hÕt cho 10 C©u3: (2 ®iÓm) §é dµi ba c¹nh cña mét tam gi¸c tØ lÖ víi 2;3;4. Hái ba chiÒu cao t•¬ng øng ba c¹nh ®ã tØ lÖ víi sè nµo? C©u 4: (2,5®iÓm) Cho tam gi¸c ABC cã gãc B 600 hai ®•êng ph©n gi¸c AP vµ CQ cña tam gi¸c c¾t nhau t¹i I. a, TÝnh gãc AIC b, CM : IP = IQ 1 C©u5: (1 ®iÓm) Cho B . T×m sè nguyªn n ®Ó B cã gi¸ trÞ lín nhÊt. 2(n 1)2 3 ĐỀ SỐ 6 C©u 1 : (3®) T×m sè h÷u tØ x, biÕt : a) x 1 5 = - 243 . x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 b) 11 12 13 14 15 Thầy giáo: Hồ Khắc Vũ – Giáo viên Toán cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN, NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI
  6. TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 MÔN TOÁN Success has only one destination, but has a lot of ways to go 6 c) x - 2 x = 0 (x 0 ) C©u 2 : (3®) 5 y 1 a, T×m sè nguyªn x vµ y biÕt : x 4 8 x 1 b, T×m sè nguyªn x ®Ó A cã gi¸ trÞ lµ 1 sè nguyªn biÕt : A = (x 0 ) x 3 C©u 3 : (1®) T×m x biÕt : 2. 5x 3 - 2x = 14 C©u 4 : (3®) a, Cho ABC cã c¸c gãc A, B , C tØ lÖ víi 7; 5; 3 . C¸c gãc ngoµi t•¬ng øng tØ lÖ víi c¸c sè nµo . b, Cho ABC c©n t¹i A vµ ¢ < 900 . KÎ BD vu«ng gãc víi AC . Trªn c¹nh AB lÊy ®iÓm E sao cho : AE = AD . Chøng minh : 1) DE // BC 2) CE vu«ng gãc víi AB ĐỀ SỐ 7 xx 2 C©u 1: (2®) Rót gän A= xx2 8 20 C©u 2 (2®) Ba líp 7A,7B,7C cã 94 häc sinh tham gia trång c©y. Mçi häc sinh líp 7A trång ®•îc 3 c©y, Mçi häc sinh líp 7B trång ®•îc 4 c©y, Mçi häc sinh líp 7C trång ®•îc 5 c©y,. Hái mçi líp cã bao nhiªu häc sinh. BiÕt r»ng sè c©y mçi líp trång ®•îc ®Òu nh• nhau. 2006 C©u 3: (1,5®) Chøng minh r»ng 10 53 lµ mét sè tù nhiªn. 9 C©u 4 : (3®) Cho gãc xAy = 600 vÏ tia ph©n gi¸c Az cña gãc ®ã . Tõ mét ®iÓm B trªn Ax vÏ ®•êng th¼ng song song víi víi Ay c¾t Az t¹i C. vÏ Bh  Ay,CM Ay, BK  AC. Chøng minh r»ng: a, K lµ trung ®iÓm cña AC. b, BH = AC 2 c, ΔKMC ®Òu C©u 5 (1,5 ®) Trong mét kú thi häc sinh giái cÊp HuyÖn, bèn b¹n Nam, B¾c, T©y, §«ng ®o¹t 4 gi¶i 1,2,3,4 . BiÕt r»ng mçi c©u trong 3 c©u d•íi ®©y ®óng mét nöa vµ sai 1 nöa: Thầy giáo: Hồ Khắc Vũ – Giáo viên Toán cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN, NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI
  7. TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 MÔN TOÁN Success has only one destination, but has a lot of ways to go 7 a, T©y ®¹t gi¶i 1, B¾c ®¹t gi¶i 2. b, T©y ®¹t gi¶i 2, §«ng ®¹t gi¶i 3. c, Nam ®¹t gi¶i 2, §«ng ®¹t gi¶i 4. Em h·y x¸c ®Þnh thø tù ®óng cña gi¶i cho c¸c b¹n. ĐỀ SỐ 8 xx 2 C©u 1: (2®) Rót gän A= xx2 8 20 C©u 2 (2®) Ba líp 7A,7B,7C cã 94 häc sinh tham gia trång c©y. Mçi häc sinh líp 7A trång ®•îc 3 c©y, Mçi häc sinh líp 7B trång ®•îc 4 c©y, Mçi häc sinh líp 7C trång ®•îc 5 c©y,. Hái mçi líp cã bao nhiªu häc sinh. BiÕt r»ng sè c©y mçi líp trång ®•îc ®Òu nh• nhau. 2006 C©u 3: (1,5®) Chøng minh r»ng 10 53 lµ mét sè tù nhiªn. 9 C©u 4 : (3®) Cho gãc xAy = 600 vÏ tia ph©n gi¸c Az cña gãc ®ã . Tõ mét ®iÓm B trªn Ax vÏ ®•êng th¼ng song song víi víi Ay c¾t Az t¹i C. vÏ Bh  Ay,CM Ay, BK  AC. Chøng minh r»ng: a, K lµ trung ®iÓm cña AC. b, BH = AC 2 c, ΔKMC ®Òu C©u 5 (1,5 ®) Trong mét kú thi häc sinh giái cÊp HuyÖn, bèn b¹n Nam, B¾c, T©y, §«ng ®o¹t 4 gi¶i 1,2,3,4 . BiÕt r»ng mçi c©u trong 3 c©u d•íi ®©y ®óng mét nöa vµ sai 1 nöa: a, T©y ®¹t gi¶i 1, B¾c ®¹t gi¶i 2. b, T©y ®¹t gi¶i 2, §«ng ®¹t gi¶i 3. c, Nam ®¹t gi¶i 2, §«ng ®¹t gi¶i 4. Em h·y x¸c ®Þnh thø tù ®óng cña gi¶i cho c¸c b¹n. ĐỀ SỐ 9 Bµi 1: (2,5®) Thùc hiÖn phÐp tÝnh sau mét c¸ch hîp lÝ: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 90 72 56 42 30 20 12 6 2 Bµi 2: (2,5®) TÝnh gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: A = x 2 5 x Thầy giáo: Hồ Khắc Vũ – Giáo viên Toán cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN, NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI
  8. TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 MÔN TOÁN Success has only one destination, but has a lot of ways to go 8 Bµi 3: (4®) Cho tam gi¸c ABC. Gäi H, G,O lÇn l•ît lµ trùc t©m , träng t©m vµ giao ®iÓm cña 3 ®•êng trung trùc trong tam gi¸c. Chøng minh r»ng: a. AH b»ng 2 lÇn kho¶ng c¸ch tõ O ®Õn BC b. Ba ®iÓm H,G,O th¼ng hµng vµ GH = 2 GO Bµi 4: (1 ®) T×m tæng c¸c hÖ sè cña ®a thøc nhËn ®•îc sau khi bá dÊu ngoÆc trong biÓu thøc (3-4x+x2)2006.(3+ 4x + x2)2007. ĐỀ SỐ 10 x 5 Bµi 1: (2®) Cho biÓu thøc A = x 3 a) TÝnh gi¸ trÞ cña A t¹i x = 1 4 b) T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó A = - 1 c) T×m gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó A nhËn gi¸ trÞ nguyªn. Bµi 2. (3®) a) T×m x biÕt: 7 x x 1 b) TÝnh tæng M = 1 + (- 2) + (- 2)2 + +(- 2)2006 c) Cho ®a thøc: f(x) = 5x3 + 2x4 – x2 + 3x2 – x3 – x4 + 1 – 4x3. Chøng tá r»ng ®a thøc trªn kh«ng cã nghiÖm Bµi 3.(1®) Hái tam gi¸c ABC lµ tam gi¸c g× biÕt r»ng c¸c gãc cña tam gi¸c tØ lÖ víi 1, 2, 3. Bµi 4.(3®) Cho tam gi¸c ABC cã gãc B b»ng 600. Hai tia ph©n gi¸c AM vµ CN cña tam gi¸c ABC c¾t nhau t¹i I. a) TÝnh gãc AIC b) Chøng minh IM = IN Bµi 5. (1®) Cho biÓu thøc A = 2006 x . T×m gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó A ®¹t gi¸ trÞ 6 x lín nhÊt. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt ®ã ĐỀ SỐ 11 C©u I: (2®) a 1 b 3 c 5 1) Cho vµ 5a - 3b - 4 c = 46 . X¸c ®Þnh a, b, c 2 4 6 a c 2a 2 3ab 5b2 2c 2 3cd 5d 2 2) Cho tØ lÖ thøc : . Chøng minh : . Víi ®iÒu b d 2b2 3ab 2d 2 3cd kiÖn mÉu thøc x¸c ®Þnh. Thầy giáo: Hồ Khắc Vũ – Giáo viên Toán cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN, NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI
  9. TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 MÔN TOÁN Success has only one destination, but has a lot of ways to go 9 C©u II : TÝnh : (2®) 1 1 1 1) A = 3.5 5.7 97.99 1 1 1 1 1 2) B = 3 32 33 350 351 C©u III : (1,5 ®) §æi thµnh ph©n sè c¸c sè thËp ph©n sau : a. 0,2(3) ; b. 1,12(32). C©u IV : (1.5®) X¸c ®Þnh c¸c ®a thøc bËc 3 biÕt : P(0) = 10; P(1) = 12; P(2) = 4 ; p(3) = 1 C©u V : (3®) Cho tam gi¸c ABC cã 3 gãc nhän. Dùng ra phÝa ngoµi 2 tam gi¸c vu«ng c©n ®Ønh A lµ ABD vµ ACE . Gäi M;N;P lÇn l•ît lµ trung ®iÓm cña BC; BD;CE . a. Chøng minh : BE = CD vµ BE  víi CD b. Chøng minh tam gi¸c MNP vu«ng c©n ĐỀ SỐ 12 Bµi 1 (1,5®): Thùc hiÖn phÐp tÝnh: 33 0,375 0,3 1,5 1 0,75 a) A = 11 12 5 5 5 0,265 0,5 2,5 1,25 11 12 3 b) B = 1 + 22 + 24 + + 2100 Bµi 2 (1,5®): a) So s¸nh: 230 + 330 + 430 vµ 3.2410 b) So s¸nh: 4 + 33 vµ 29 + 14 Bµi 3 (2®): Ba m¸y xay xay ®•îc 359 tÊn thãc. Sè ngµy lµm viÖc cña c¸c m¸y tØ lÖ víi 3:4:5, sè giê lµm viÖc cña c¸c m¸y tØ lÖ víi 6, 7, 8, c«ng suÊt c¸c m¸y tØ lÖ nghÞc víi 5,4,3. Hái mçi m¸y xay ®•îc bao nhiªu tÊn thãc. Bµi 4 (1®): T×m x, y biÕt: 1 1 1 1 a) 34x 3 b) 2x 1.2 2.3 99.100 2 Bµi 5 ( 3®): Cho ABC cã c¸c gãc nhá h¬n 1200. VÏ ë phÝa ngoµi tam gi¸c ABC c¸c tam gi¸c ®Òu ABD, ACE. Gäi M lµ giao ®iÓm cña DC vµ BE. Chøng minh r»ng: a) BMC 1200 b) AMB 1200 Thầy giáo: Hồ Khắc Vũ – Giáo viên Toán cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN, NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI
  10. TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 MÔN TOÁN Success has only one destination, but has a lot of ways to go 10 Bµi 6 (1®): Cho hµm sè f(x) x¸c ®Þnh víi mäi x thuéc R. BiÕt r»ng víi mäi x ta ®Òu cã: 1 f( x ) 3. f ( ) x2 . TÝnh f(2). x ĐỀ SỐ 13 C©u 1 (2®) T×m x, y, z Z, biÕt a. xx = 3 - x x 1 1 b. 6 y 2 c. 2x = 3y; 5x = 7z vµ 3x - 7y + 5z = 30 C©u 2 (2®) 1 1 1 1 1 a. Cho A =( 1).( 1).( 1) ( 1) . H·y so s¸nh A víi 22 32 42 100 2 2 x 1 b. Cho B = . T×m x Z ®Ó B cã gi¸ trÞ lµ mét sè nguyªn d•¬ng x 3 C©u 3 (2®) Mét ng•êi ®i tõ A ®Õn B víi vËn tèc 4km/h vµ dù ®Þnh ®Õn B lóc 11 giê 45 phót. Sau khi ®i ®•îc 1 qu·ng ®•êng th× ng•êi ®ã ®i víi vËn tèc 3km/h nªn ®Õn B lóc 12 giê tr•a. 5 TÝnh qu·ng ®•êngAB vµ ng•êi ®ã khëi hµnh lóc mÊy giê? C©u 4 (3®) Cho ABC cã Aˆ > 900. Gäi I lµ trung ®iÓm cña c¹nh AC. Trªn tia ®èi cña tia IB lÊy ®iÓm D sao cho IB = ID. Nèi c víi D. a. Chøng minh AIB CID b. Gäi M lµ trung ®iÓm cña BC; N lµ trung ®iÓm cña CD. Chøng minh r»ng I lµ trung ®iÓm cña MN c. Chøng minh AIB AIB BIC d. T×m ®iÒu kiÖn cña ABC ®Ó AC CD 14 x C©u 5 (1®) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: P = ;x Z . Khi ®ã x nhËn gi¸ 4 x trÞ nguyªn nµo? ĐỀ SỐ 14 102006 1 10 2007 1 Bµi 1:(1®iÓm) H·y so s¸nh A vµ B, biÕt: A= ; B = . 102007 1 10 2008 1 Thầy giáo: Hồ Khắc Vũ – Giáo viên Toán cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN, NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI
  11. TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 MÔN TOÁN Success has only one destination, but has a lot of ways to go 11 Bµi 2:(2®iÓm) Thùc hiÖn phÐp tÝnh: 1 1 1 A= 1 . 1 1 1 2 1 2 3 1 2 3 2006 x 1 1 Bµi 3:(2®iÓm) T×m c¸c sè x, y nguyªn biÕt r»ng: 8 y 4 Bµi 4:(2 ®iÓm) Cho a, b, c lµ ba c¹nh cña mét tam gi¸c. Chøng minh r»ng: 2(ab + bc + ca) > a2 + b2 + c2. Bµi 5:(3 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC cã B = C = 500 . Gäi K lµ ®iÓm trong tam gi¸c sao cho KBC = 1000 KCB = 30 a. Chøng minh BA = BK. b. TÝnh sè ®o gãc BAK. ĐỀ SỐ 15 Bµi 1. (4 ®iÓm) a) Chøng minh r»ng 76 + 75 – 74 chia hÕt cho 55 b) TÝnh A = 1 + 5 + 52 + 53 + . . . + 549 + 55 0 Bµi 2. (4 ®iÓm) a b c a) T×m c¸c sè a, b, c biÕt r»ng : vµ a + 2b – 3c = -20 2 3 4 b) Cã 16 tê giÊy b¹c lo¹i 20 000®, 50 000®, 100 000®. TrÞ gi¸ mçi lo¹i tiÒn trªn ®Òu b»ng nhau. Hái mçi lo¹i cã mÊy tê? Bµi 3. (4 ®iÓm) a) Cho hai ®a thøc f(x) = x5 – 3x2 + 7x4 – 9x3 + x2 - 1 x 4 g(x) = 5x4 – x5 + x2 – 2x3 + 3x2 - 1 4 TÝnh f(x) + g(x) vµ f(x) – g(x). b) TÝnh gi¸ trÞ cña ®a thøc sau: A = x2 + x4 + x6 + x8 + + x100 t¹i x = -1. Bµi 4. (4 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC cã gãc A b»ng 900, trªn c¹nh BC lÊy ®iÓm E sao cho BE = BA. Tia ph©n gi¸c cña gãc B c¾t AC ë D. a) So s¸nh c¸c ®é dµi DA vµ DE. Thầy giáo: Hồ Khắc Vũ – Giáo viên Toán cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN, NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI
  12. TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 MÔN TOÁN Success has only one destination, but has a lot of ways to go 12 b) TÝnh sè ®o gãc BED. Bµi 5. (4 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC, ®êng trung tuyÕn AD. KÎ ®êng trung tuyÕn BE c¾t AD ë G. Gäi I, K theo thø tù lµ trung ®iÓm cña GA, GB. Chøng minh r»ng: a) IK// DE, IK = DE. b) AG = 2 AD. 3 ĐỀ SỐ 16 Bài 1: (3 điểm): Tính 1 1 2 2 3 18 (0,06: 7 3 .0,38) : 19 2 .4 6 2 5 3 4 ac Bài 2: (4 điểm): Cho chứng minh rằng: cb a22 c a b22 a b a a) b) b22 c b a22 c a Bài 3:(4 điểm) Tìm x biết: 1 15 3 6 1 a) x 42 b) xx 5 12 7 5 2 Bài 4: (3 điểm) Một vật chuyển động trên các cạnh hình vuông. Trên hai cạnh đầu vật chuyển động với vận tốc 5m/s, trên cạnh thứ ba với vận tốc 4m/s, trên cạnh thứ tư với vận tốc 3m/s. Hỏi độ dài cạnh hình vuông biết rằng tổng thời gian vật chuyển động trên bốn cạnh là 59 giây Bài 5: (4 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A có A 200 , vẽ tam giác đều DBC (D nằm trong tam giác ABC). Tia phân giác của góc ABD cắt AC tại M. Chứng minh: a) Tia AD là phân giác của góc BAC b) AM = BC Bài 6: (2 điểm): Tìm xy, biết: 25 yx22 8( 2009) ĐỀ SỐ 17 7 5 5 2 5 18 Bài 1 a. Tính giá trị biểu thức    13 9 9 13 9 13 Thầy giáo: Hồ Khắc Vũ – Giáo viên Toán cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN, NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI
  13. TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 MÔN TOÁN Success has only one destination, but has a lot of ways to go 13 1 1 1 1 2011 2011 2011 2011 b. Cho AB & 1.2 3.4 5.6 99.100 51 52 53 100 Chứng minh rằng : B là một số nguyên . A x32 Bài 2 Cho biểu thức A . x2 a. Tìm điều kiện của x để giá trị của biểu thức A không xác định được. b. Với những giá trị nào của x thì biểu thức A nhận giá trị là số âm ? c. Tính A khi /x - 3 /= 5 Bài 3 a. Cho 3 số x; y; z thỏa mãn các điều kiện sau: 5z 6y 6x 4z 4y 5x và 3x 2y 5z 96. Tìm x; y; z. 4 5 6 b. Cho đa thức f(x) = ax2 + bx + c . Biết f(0) = 0, f(1) = 2013 và f(-1) = 2012. Tính a; b ; c Bài 4: Cho tam giác ABC, vuông cân tại A. D là một điểm bất kì trên BC. Vẽ hai tia Bx và Cy cùng vuông góc với BC và nằm cùng một nữa mặt phẳng chúa điểm A bờ là đường thẳng BC. Qua A vẽ một đường thẳng vuông góc với AD cắt Bx và Cy theo thứ tự tại M và N. Chứng minh: a. AM = AD b. A là trung điểm MN c. BC = BM + CN d. Tam giác DMN vuông cân. ĐỀ SỐ 18 Câu 1: Sắp xếp theo thứ tự tăng dần: 266 1 15 2 27 1998 133 ; ; ;0; ; ; ; 281 173 31 347 53 1997 141 Câu 2: Trong 3 số x, y, z có 1 số dương , một số âm và một số 0. Hỏi mỗi số đó thuộc loại nào biết: x y32 y z 8x Câu 3: Cho biểu thức: A x3 a. Tìm giá trị thích hợp của biến x? b. Với giá trị nào của x thì A > 0? Thầy giáo: Hồ Khắc Vũ – Giáo viên Toán cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN, NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI
  14. TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 MÔN TOÁN Success has only one destination, but has a lot of ways to go 14 c. Tính giá trị của A sao cho : 2 a b a c ac 169 và x 13 2a b c b c 27 Câu 4: Cho tam giác ABC. Dựng phía ngoài tam giác các tia Ax  AB; Ay AC, Mz BC ( M là trung điểm của BC). Trên tia Ax, Ay, Mz lấy các điểm theo thứ tự D, E, O1 sao cho AD = AB; AE = AC; MO1 =MB. Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với BC tại H và cắt DE ở K. Gọi O2, O3 là trung điểm của BD và CE . Chứng minh rằng: a. K là trung điểm của DE. b. Tam giác O2MO3 vuông cân. c. CO2 và O1O3 bằng nhau và vuông góc với nhau. Trên hình vẽ có những cặp đoạn thẳng nào có tính chất tương tự cặp CO2 và O1O3 ? ĐỀ SỐ 19 Câu 1: (2 điểm) 32 23 5 . .( 1) 34 a) Thực hiện phép tính 23 25 . 5 12 1 5 3 b) Tìm x biết x 1 x 2 x 1 4,5 4 6 8 Câu 2 (2 điểm): x z a x 32 z a 1) Cho 4 hãy tính A y t b y 32 t b 2) Cho p = 2aa 1 ( 5) a) Rút gọn P b) Có giá trị nào của a để P = 4 không Câu 3 (1, 5điểm) :Cho 3 số a,b,c đôi 1 khác nhau . Chứng minh rằng b c c a a b 2 2 2 (abac )( )( bcba )( )( cacb )( ) abbcca Câu IV: (3 điểm). Cho tam giác ABC Cân tại A, có A 200 . Từ B và C kẻ các đườngthẳng BD, và CE cắt các cạnh đối diện tại D , E và F biết.CBD 600 , BCE 500 và CF = BD a) Tính góc BEC b) Tính góc BDE Câu V : (1,5 điểm). Một lớp học sinh có 33 bạn và tổng số tuổi của các bạn là 430 , chứng tỏ rằng luôn tìm được 20 bạn trong lớp đó có tổng số tuổi lớn hơn 260 Thầy giáo: Hồ Khắc Vũ – Giáo viên Toán cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN, NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI
  15. TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 MÔN TOÁN Success has only one destination, but has a lot of ways to go 15 ĐỀ SỐ 20 Câu 1 ( 1,5 điểm ) Cho x, y, z là các số khác 0 và x2 = yz , y2 = xz , z 2 = xy. Chứng minh rằng: x = y = z Câu 2( 2 điểm ) a) Tỡm x biết: 5x + 5x+2 = 650 b) Tỡm số hữu tỷ x,y biết: (3x – 33 )2008 + y 7 2009 0 Câu 3 ( 2 điểm ) Cho hàm số : f(x) = a.x2 + b.x + c với a, b, c, d Z Biết f(1) 3; f (0) 3; f ( 1) 3. Chứng minh rằng a, b, c đều chia hết cho 3 Câu 4( 3,5 điểm ) Cho tam giác ABC cân tại đỉnh A , trên cạnh BC lần lượt lấy hai điểm M và N: sao cho BM = MN = NC . Gọi H là trung điểm của BC . a) Chứng minh AM = AN và AH  BC b) Tính độ dài đoạn thẳng AM khi AB = 5cm , BC = 6cm c) Chứng minh MAN > BAM = CAN Câu 5 ( 1 điểm ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 a) Cho S 1 và P . 2 3 4 2011 2012 2013 1007 1008 2012 2013 Tính SP 2013 . x 1 b) Cho A= Tìm x Z để A có giá trị là một số nguyên x 3 Thầy giáo: Hồ Khắc Vũ – Giáo viên Toán cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN, NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI
  16. TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 MÔN TOÁN Success has only one destination, but has a lot of ways to go 16 ĐỀ SỐ 21 C©u1: (1,75 ®) 5 11 3 4 2 1 3 a) TÝnh: A = 2 3 5 42 5 53 b) T×m x; y biÕt: (2x – 1)2008 + (y +3.1)2008 = 0. C©u 2: (1,5 ®) Minh ®em ra cöa hµng mét sè tiÒn vµ nhÈm tÝnh nÕu dïng sè tiÒn Êy cã thÓ mua ®•îc 2 kg nho; hoÆc 3 kg lª; hoÆc 5 kg cam. BiÕt r»ng gi¸ tiÒn 2 kg lª th× ®¾t h¬n 3 kg cam lµ 4 ngh×n ®ång. TÝnh gi¸ tiÒn 1 kg mçi lo¹i. C©u 3: (1,5 ®) 219 .27 3 15.4 9 .9 4 Rót gän: 69 .2 10 12 10 C©u 4: (1,25 ®) 1 1 1 1 4949 Chøng tá: 1.2.3 2.3.4 3.4.5 98.99.100 19800 C©u 5: (2,5 ®) Cho tam gi¸c nhän ABC; cã ®•êng cao AH. Trªn nöa mÆt ph¼ng bê AC chøa ®iÓm B vÏ tia AE  AC vµ AE = AC; Trªn nöa mÆt ph¼ng bê AB chøa ®iÓm C vÏ tia AF  AB vµ AF = AB. a) Chøng minh: EB = FC. b) Gäi giao ®iÓm cña EF víi AH lµ N. Chøng minh: N lµ trung ®iÓm cña EF. C©u 6: (1,5 ®) T×m c¸c sè tù nhiªn abc cã ba ch÷ sè kh¸c nhau sao cho: 3a 5 b 8 c Thầy giáo: Hồ Khắc Vũ – Giáo viên Toán cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN, NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI
  17. TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 MÔN TOÁN Success has only one destination, but has a lot of ways to go 17 ĐỀ SỐ 22 Bài 1: (1,5đ) 52 .6 9 .10 6 5 .2 3 .15 3 a/ Rút gọn: 52 .6 8 .10 2.6 8 .10 3 b/ Biết 14 + 24 + 34 + + 94 + 104 = 25333 Tính tổng S = 24 + 44 + 64 + + 184 + 204 Bài 2: (2,0đ) x 22 y x y Cho tỉ lệ thức 22 14 x a/ Tính tỉ số y b/ Tìm x, y biết x2 + y2 = 82 Bài 3: (3,0đ) xy22 3x a/ Cho M = x2 1 N = (x + 1)2 + (y - 2 )2 + 2008 Tính giá trị của M tại x, y thỏa mãn N đạt giá trị nhỏ nhất 1 b/ Cho A = 2x4y2 – 7x3y5 ; B = x4y2 + 2x3y5 ; C = 5x3y5 2 Chứng tỏ rằng trong ba biểu thức A, B, C có ít nhất một biểu thức luôn có giá trị không âm với mọi x, y. c/ Tìm x N biết 2x+1 + 2x+4 + 2x+5 = 26.52 Bài 4: (2,5đ) Cho ABC cân tại A (AB > AC). M là trung điểm AC. Đường thẳng vuông góc với AC tại M cắt BC tại P. Trên tia đối tia AP lấy điểm Q sao cho AQ = BP. a/ Chứng minh rằng: +/ APC BAC +/ PC = QC b/ ABC cần thêm điều kiện gì để CQ  CP Bài 5: (1,0đ) Cho ABC có A = 300. Dựng bên ngoài tam giác đều BCD. Chứng minh: AD2 = AB2 + AC2 ĐỀ SỐ 23 Bài 1: (1,5đ) Thực hiện phép tính sau một cách hợp lí: Thầy giáo: Hồ Khắc Vũ – Giáo viên Toán cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN, NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI
  18. TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 MÔN TOÁN Success has only one destination, but has a lot of ways to go 18 45 .9 5 6 9 .30 a/ 611 8 4 .3 12 3 3 3 0,375 0,3 1,5 1 11 12 4 b/ 5 5 5 5 0,625 0,5 2,5 11 12 3 4 Bài 2: (3,0đ) a/ Cho hai đa thức P(x) = x2 + 2mx + m2 và Q(x) = x2 – (2m + 1)x + m2. Tìm m biết P(3) = Q(-2) b/ Tìm giá trị lớn nhất của M = 2009 - x 7 - (2y + 4)2008 c/ Tìm x biết xx 2 4 5 Bài 3: (2,5đ) 1 1 1 1 a/ Cho a + b + c = 2009 và a b b c c a 7 a b c Tính S = b c a c a b b/ Tổng các lũy thừa bậc ba của 3 số là -1009. Biết tỉ số của số thứ nhất với số thứ 2 4 hai là , giữa số thứ nhất với số thứ ba là . Tìm 3 số đó. 3 9 Bài 4: (2,0đ) Cho ABC có A < 900. Trên nữa mặt phẳng bờ AC không chứa B vẽ tia Ax vuông góc với AC và lấy trên tia đó điểm E sao cho AE = AC. Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa C vẽ tia Ay vuông góc với AB và lấy trên đó điểm D sao cho AD = AB. a/ Chứng minh DC = BE và DC  BE. b/ Gọi N là trung điểm của DE. Trên tia đối của tia NA lấy điểm M sao cho NA = NM. Chứng minh AB = ME và ABC = EMA Bài 5: (1,0đ) Cho ABC vuông tại A, một đường thẳng d cắt hai cạnh AB và AC lần lượt tại D và E. Chứng minh rằng CD2 – CB2 = ED2 – EB2. ĐỀ SỐ 24 Bài 1: (1,0đ) Thực hiện phép tính sau: 212 .3 5 4 6 .9 2 5 10 .7 3 25 5 .49 2 63 22 .3 8 4 .3 5 125.7 593 .14 Bài 2: (2,0đ) Tìm các số x, y, z biết. Thầy giáo: Hồ Khắc Vũ – Giáo viên Toán cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN, NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI
  19. TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 MÔN TOÁN Success has only one destination, but has a lot of ways to go 19 a/ (x – 1)3 = -8 b/ 9 7xx 5 3 c/ x - 3 x = 0 d/ 12x = 15y = 20z và x + y + z = 48 Bài 3: (1,5đ) a/ Với a, b là các số nguyên dương sao cho a + 1 và b + 2007 chia hết cho 6. Chứng minh rằng: 4a + a + b chia hết cho 6. b/ Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: 6x2 + 5y2 = 74 Bài 4: (2,0đ) ac a22 ac b bd a/ Cho . Chứng minh rằng: bd c22 ac d bd b/ Cho x, y, z, t N. Chứng minh rằng: x y z t M = có giá trị không phải là số tự nhiên. xyzxytyztztx Bài 5: (3,0đ) Cho ABC có góc A nhọn. Về phía ngoài ABC vẽ BAD vuông cân tại A, CAE vuông cân tại A. Chứng minh: a/ DC = BE; DC  BE b/ BD2 + CE2 = BC2 + DE2 c/ Đường thẳng qua A vuông góc với DE cắt BC tại K. Chứng minh K là trung điểm của BC. Bài 6: (0,5đ) Cho ABC nhọn với BAC = 600. Chứng minh rằng: BC2 = AB2 + AC2 – AB.AC ĐỀ SỐ 25 Bài 1. (2,5 điểm) a) Tính giá trị A 1000 ( 5)3.( 2)3 11.72 5.23 8(112 121) 9 19 2 4 b) Tìm x biết 3 x 2 : 1 1 10 10 5 5 c) Tìm x thỏa mãn x 10 10 x 1111 1 Bài 2. (3 điểm) a) Tìm hai số dương khác nhau x, y biết rằng: Tổng, hiệu và tích của chúng lần lượt tỉ lệ nghịch với 35; 210 và 12. Thầy giáo: Hồ Khắc Vũ – Giáo viên Toán cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN, NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI
  20. TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 MÔN TOÁN Success has only one destination, but has a lot of ways to go 20 b) Cho a, b, c là các số thực khác 0. Tìm các số thực x, y, z khác 0 thoả mãn: xy yz zx x 2 y 2 z 2 ay bx bz cy cx az a 2 b 2 c 2 Bài 3. (2,5 điểm) a) Tìm x, y nguyên thoả mãn 3xy – 5 = x2 + 2y b) Tìm số có bốn chữ số abcd thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau: i) ab, ad là hai số nguyên tố; ii) db + c = b2+ d. Bài 4. (2 điểm) Cho tam giác ABC có Bˆ < 900 và Bˆ 2Cˆ . Trên tia đối của tia BA lấy điểm E sao cho BE = BH (với H là chân đường vuông góc kẻ từ A đến BC), đường thẳng EH cắt AC ở D. a) Chứng minh rằng: DA = DC. b) Chứng minh rằng: AE = HC. ĐỀ SỐ 26 Câu 1: (2đ) Thực hiện phép tính sau một cách hợp lí: 1 1 1 3 3 3 3 5 3 7 13. 4 16 64 256 1/ A = 2 2 2 1 1 1 1 8 3 7 13 4 16 64 2.522 9.5 21 5.(3.7 15 19.7 14 ) : 2/ B = 2510 7 16 3.7 15 Câu 2: (3đ) a/ Tính giá trị của biểu thức M = (2x – 1)(2y – 1) biết x + y = 10 và xy = 16 1 b/ Tìm x, y để biểu thức N = (x + 2)2010 + y - 10 đạt giá trị nhỏ nhất. 5 c/ Cho đa thức f(x) = ax2 + bx + c, xác định a, b, c biết f(-2) = 0; f(2) = 0 và a là số lớn hơn c ba đơn vị Câu 3: (1,5đ) Thầy giáo: Hồ Khắc Vũ – Giáo viên Toán cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN, NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI
  21. TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 MÔN TOÁN Success has only one destination, but has a lot of ways to go 21 Cho 4 số nguyên dương a, b, c, d trong đó b là trung bình cộng của a và c đồng 1 1 1 1 ac thời . Chứng minh c2 b d bd Câu 4: (2,5đ) Cho ABC (AB < AC), qua trung điểm D của cạnh BC vẽ đường thẳng vuông góc với đường phân giác trong của góc A, nó cắt các đường thẳng AB, AC lần lượt tại M và N. Qua B vẽ đường thẳng Bx song song với AC, Bx cắt MN tại E. a/ Chứng minh AMN và BME là những tam giác cân. b/ Chứng minh BM = CN c/ Tính AM và BM theo b và c biết AC = b và AB = c. Câu 5: (1,0đ) Cho một điểm M bất kì trong hình chữ nhật ABCD. Chứng minh: MA2 + MC2 = MB2 + MD2 ĐỀ SỐ 27 Bài 1. (1đ) Chứng minh : S = 1 + 3 + 5 + + 2n – 1 là số chính phương. Bài 2. (1đ) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A = x 1,45 - 3 5 Bài 3. (2đ) Ba lớp 7A, 7B, 7C có tất cả 114 học sinh. Biết số học sinh lớp 7A bằng số học 6 3 sinh lớp 7B, số học sinh lớp 7B bằng số học sinh lớp 7C. Tính số học sinh của mỗi lớp. 4 Bài 4. (2đ) Tìm x biết : a) 3x+1 = 243 1 1 1 b) x 2 5 3 Bài 5. (2đ) Cho xOy 1400 , tia Oz nằm giữa hai tia Ox và Oy. Gọi Om là tia phân giác của góc xOz, On là tia phân giác của góc yOz. Tính mOn . x A Bài 6. (2đ) Cho hình vẽ, biết A 1100 ,ABC 100 0 ,C 30 0 . 1100 Chứng minh rằng : Ax Cy. 1000 B 300 C y ĐỀ SỐ 28 Bµi 1. T×m gi¸ trÞ n nguyªn d•¬ng: 1 a) .16nn 2 ; b) 27 < 3n < 243 8 Bµi 2. Thùc hiÖn phÐp tÝnh: Thầy giáo: Hồ Khắc Vũ – Giáo viên Toán cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN, NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI
  22. TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 MÔN TOÁN Success has only one destination, but has a lot of ways to go 22 1 1 1 11357 49 ( ) 4.9 9.14 14.19 44.49 89 Bµi 3. a) T×m x biÕt: 2x 3 x 2 b) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A = x 2006 2007 x Khi x thay ®æi Bµi 4. HiÖn nay hai kim ®ång hå chØ 10 giê. Sau Ýt nhÊt bao l©u th× 2 kim ®ång hå n»m ®èi diÖn nhau trªn mét ®•êng th¼ng. Bµi 5. Cho tam gi¸c vu«ng ABC ( A = 1v), ®•êng cao AH, trung tuyÕn AM. Trªn tia ®èi tia MA lÊy ®iÓm D sao cho DM = MA. Trªn tia ®èi tia CD lÊy ®iÓm I sao cho CI = CA, qua I vÏ ®•êng th¼ng song song víi AC c¾t ®•êng th¼ng AH t¹i E. Chøng minh: AE = BC ĐỀ SỐ 29 C©u 1: T×m tÊt c¶ c¸c sè nguyªn a biÕt a4 9 9 C©u 2: T×m ph©n sè cã tö lµ 7 biÕt nã lín h¬n vµ nhá h¬n 10 11 C©u 3. Cho 2 ®a thøc P x = x 2 + 2mx + m 2 vµ Q x = x + (2m+1)x + m T×m m biÕt P (1) = Q (-1) C©u 4: T×m c¸c cÆp sè (x; y) biÕt: xy a / ; xy=84 37 1+3y 1+5y 1+7y b/ 12 5x 4x C©u 5: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt hoÆc lín nhÊt cña c¸c biÓu thøc sau : A = x 1 +5 x2 15 B = x2 3 C©u 6: Cho tam gi¸c ABC cã ¢ < 900. VÏ ra phÝa ngoµi tam gi¸c ®ã hai ®o¹n th¼ng AD Thầy giáo: Hồ Khắc Vũ – Giáo viên Toán cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN, NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI
  23. TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 MÔN TOÁN Success has only one destination, but has a lot of ways to go 23 vu«ng gãc vµ b»ng AB; AE vu«ng gãc vµ b»ng AC. a. Chøng minh: DC = BE vµ DC  BE b. Gäi N lµ trung ®iÓm cña DE. Trªn tia ®èi cña tia NA lÊy M sao cho NA = NM. Chøng minh: AB = ME vµ ABC = EMA c. Chøng minh: MA BC ĐỀ SỐ 30 C©u 1 ( 2 ®iÓm) Thùc hiÖn phÐp tÝnh : 2 1 1 1 a- 6. 3. 1 : ( 1 3 3 3 3 2 2 3 2003 . . 1 3 4 b- 2 3 2 5 . 5 12 C©u 2 ( 2 ®iÓm) 2 a- T×m sè nguyªn a ®Ó a a 3 lµ sè nguyªn a 1 b- T×m sè nguyªn x,y sao cho x - 2xy + y = 0 C©u 3 ( 2 ®iÓm) a c a- Chøng minh r»ng nÕu a + c = 2b vµ 2bd = c (b+d) th× víi b,d kh¸c 0 b d b- CÇn bao nhiªu sè h¹ng cña tæng S = 1+2+3+ ®Ó ®•îc mét sè cã ba ch÷ sè gièng nhau . C©u 4 ( 3 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC cã gãc B b»ng 450 , gãc C b»ng 1200. Trªn tia ®èi cña tia CB lÊy ®iÓm D sao cho CD = 2CB . TÝnh gãc ADE C©u 5 ( 1®iÓm) T×m mäi sè nguyªn tè tho¶ m·n : x2 - 2y2 =1 ĐỀ SỐ 31 Bài 1:(4 điểm) a) Thực hiện phép tính: 212 .3 5 4 6 .9 2 5 10 .7 3 25 5 .49 2 A 63 22 .3 8 4 .3 5 125.7 593 .14 Thầy giáo: Hồ Khắc Vũ – Giáo viên Toán cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN, NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI
  24. TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 MÔN TOÁN Success has only one destination, but has a lot of ways to go 24 b) Chứng minh rằng : Với mọi số nguyên dương n thì : 3n 22 2 n 3 n 2 n chia hết cho 10 Bài 2:(4 điểm) Tìm x biết: 1 4 2 a. x 3,2 3 5 5 xx 1 11 b. xx 7 7 0 Bài 3: (4 điểm) 2 3 1 a) Số A được chia thành 3 số tỉ lệ theo ::. Biết rằng tổng các bình phương của ba số 5 4 6 đó bằng 24309. Tìm số A. ac a22 c a b) Cho . Chứng minh rằng: cb b22 c b Bài 4: (4 điểm) Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của của tia MA lấy điểm E sao cho ME = MA. Chứng minh rằng: a) AC = EB và AC // BE b) Gọi I là một điểm trên AC ; K là một điểm trên EB sao cho AI = EK . Chứng minh ba điểm I , M , K thẳng hàng c) Từ E kẻ EH BC H BC . Biết HBE = 50o ; MEB =25o . Tính HEM và BME Bài 5: (4 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A có A 200 , vẽ tam giác đều DBC (D nằm trong tam giác ABC). Tia phân giác của góc ABD cắt AC tại M. Chứng minh: c) Tia AD là phân giác của góc BAC d) AM = BC ĐỀ SỐ 32 Bài 1 (3đ): 1 1 1 2 2 2 1, Tính: P = 2003 2004 2005 2002 2003 2004 5 5 5 3 3 3 2003 2004 2005 2002 2003 2004 2, Biết: 13 + 23 + . . . . . . .+ 103 = 3025. Tính: S = 23 + 43 + 63 + . . . .+ 203 Thầy giáo: Hồ Khắc Vũ – Giáo viên Toán cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN, NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI
  25. TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 MÔN TOÁN Success has only one destination, but has a lot of ways to go 25 3 2 2 3, Cho: A = x 3 x 0,25 xy 4 xy2 1 Tính giá trị của A biết xy ; là số nguyên âm lớn nhất. 2 Bài 2 (1đ): Tìm x biết: 3x + 3x + 1 + 3x + 2 = 117 Bài 3 (1đ): Một con thỏ chạy trên một con đường mà hai phần ba con đường băng qua đồng cỏ và đoạn đường còn lại đi qua đầm lầy. Thời gian con thỏ chạy trên đồng cỏ bằng nửa thời gian chạy qua đầm lầy. Hỏi vận tốc của con thỏ trên đoạn đường nào lớn hơn ? Tính tỉ số vận tốc của con thỏ trên hai đoạn đường ? Bài 4 (2đ): Cho ∆ABC nhọn. Vẽ về phía ngoài ∆ABC các ∆ đều ABD và ACE. Gọi M là giao điểm của BE và CD. Chứng minh rằng: 1, ∆ABE = ∆ADC 2, BMC 1200 Bài 5 (3đ): Cho ba điểm B, H, C thẳng hàng, BC = 13 cm, BH = 4 cm, HC = 9 cm. Từ H vẽ tia Hx vuông góc với đường thẳng BC. Lấy A thuộc tia Hx sao cho HA = 6 cm. 1, ∆ABC là ∆ gì ? Chứng minh điều đó. 2, Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA. Từ D vẽ đường thẳng song song với AH cắt AC tại E. Chứng minh: AE = AB ĐỀ SỐ 33 Bài 1 (4đ): Cho các đa thức: A(x) = 2x5 – 4x3 + x2 – 2x + 2 B(x) = x5 – 2x4 + x2 – 5x + 3 3 C(x) = x4 + 4x3 + 3x2 – 8x + 4 16 1, Tính M(x) = A(x) – 2B(x) + C(x) 2, Tính giá trị của M(x) khi x = 0,25 3, Có giá trị nào của x để M(x) = 0 không ? Bài 2 (4đ): 1, Tìm ba số a, b, c biết: Thầy giáo: Hồ Khắc Vũ – Giáo viên Toán cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN, NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI
  26. TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 MÔN TOÁN Success has only one destination, but has a lot of ways to go 26 3a = 2b; 5b = 7c và 3a + 5b – 7c = 60 2, Tìm x biết: 2x 3 x 2 x Bài 3 (4đ): Tìm giá trị nguyên của m và n để biểu thức 1, P = 2 có giá trị lớn nhất 6 m 2, Q = 8 n có giá trị nguyên nhỏ nhất n 3 Bài 4 (5đ): Cho tam giác ABC có AB < AC; AB = c, AC = b. Qua M là trung điểm của BC kẻ đường vuông góc với đường phân giác trong của góc A, cắt các đường thẳng AB, AC lần lượt tại D, E. 1, Chứng minh BD = CE. 2, Tính AD và BD theo b, c Bài 5 (3đ): Cho ∆ABC cân tại A, BAC 1000 . D là điểm thuộc miền trong của ∆ABC sao cho DBC 1000 , DCB 20 . Tính góc ADB ? ĐỀ SỐ 34 Bài 1 (3đ): Tính: 3 1 1 1 1, 6. 3. 1 1 3 3 3 2, (63 + 3. 62 + 33) : 13 9 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3, 10 90 72 56 42 30 20 12 6 2 Bài 2 (3đ): a b c 1, Cho và a + b + c ≠ 0; a = 2005. b c a Tính b, c. a b c d 2, Chứng minh rằng từ hệ thức ta có hệ thức: a b c d ac bd Bài 3 (4đ): Độ dài ba cạnh của tam giác tỉ lệ với 2; 3; 4. Ba chiều cao tương ứng với ba cạnh đó tỉ lệ với ba số nào ? Thầy giáo: Hồ Khắc Vũ – Giáo viên Toán cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN, NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI
  27. TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 MÔN TOÁN Success has only one destination, but has a lot of ways to go 27 Bài 4 (3đ): Vẽ đồ thị hàm số: 2xx ; 0 y = xx;0 Bài 5 (3đ): Chứng tỏ rằng: A = 75. (42004 + 42003 + . . . . . + 42 + 4 + 1) + 25 là số chia hết cho 100 Bài 6 (4đ): Cho tam giác ABC có góc A = 600. Tia phân giác của góc B cắt AC tại D, tia phân giác của góc C cắt AB tại E. Các tia phân giác đó cắt nhau tại I. Chứng minh: ID = IE ĐỀ SỐ 35 Bài 1 (5đ): 3 n 1, Tìm n N biết (3 : 9)3 = 729 2, Tính : 1 2 3 2 4 2 A = + 0,(4) 3 5 7 9 2 2 4 6 3 5 7 Bài 2 (3đ): Cho a,b,c R và a,b,c 0 thoả mãn b2 = ac. Chứng minh rằng: 2 a = (a 2007b) c (b 2007c) 2 Bài 3 (4đ): Ba đội công nhân làm 3 công việc có khối lượng như nhau. Thời gian hoàn thành công việc của đội І, ІІ, ІІІ lần lượt là 3, 5, 6 ngày. Biêt đội ІІ nhiều hơn đội ІІІ là 2 người và năng suất của mỗi công nhân là bằng nhau. Hỏi mỗi đội có bao nhiêu công nhân ? Câu 4 (6đ): Cho ∆ABC nhọn. Vẽ về phía ngoài ∆ABC các ∆ đều ABD và ACE. 1, Chứng minh: BE = DC. 2, Gọi H là giao điểm của BE và CD. Tính số đo góc BHC. Bài 5 (2đ): p m n Cho m, n N và p là số nguyên tố thoả mãn: = . m 1 p Chứng minh rằng : p2 = n + 2. Thầy giáo: Hồ Khắc Vũ – Giáo viên Toán cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN, NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI
  28. TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 MÔN TOÁN Success has only one destination, but has a lot of ways to go 28 ĐỀ SỐ 36 Bài 1:(4 điểm) a) Thực hiện phép tính: 212 .3 5 4 6 .9 2 5 10 .7 3 25 5 .49 2 A 63 22 .3 8 4 .3 5 125.7 593 .14 b) Chứng minh rằng : Với mọi số nguyên dương n thì : 3n 22 2 n 3 n 2 n chia hết cho 10 Bài 2:(4 điểm) Tìm x biết: 1 4 2 a. x 3,2 3 5 5 xx 1 11 b. xx 7 7 0 Bài 3: (4 điểm) 2 3 1 c) Số A được chia thành 3 số tỉ lệ theo ::. Biết rằng tổng các bình phương của 5 4 6 ba số đó bằng 24309. Tìm số A. ac a22 c a d) Cho . Chứng minh rằng: cb b22 c b Bài 4: (4 điểm) Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của của tia MA lấy điểm E sao cho ME = MA. Chứng minh rằng: a) AC = EB và AC // BE b) Gọi I là một điểm trên AC ; K là một điểm trên EB sao cho AI = EK . Chứng minh ba điểm I , M , K thẳng hàng c) Từ E kẻ EH BC H BC . Biết HBE = 50o ; MEB =25o . Tính HEM và BME Bài 5: (4 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A có A 200 , vẽ tam giác đều DBC (D nằm trong tam giác ABC). Tia phân giác của góc ABD cắt AC tại M. Chứng minh: e) Tia AD là phân giác của góc BAC f) AM = BC Thầy giáo: Hồ Khắc Vũ – Giáo viên Toán cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN, NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI
  29. TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 MÔN TOÁN Success has only one destination, but has a lot of ways to go 29 ĐỀ SỐ 37 Câu1(3điểm).Choa,b,clà ba số thực dương, thoả mãn điều kiện: a b c b c a c a b b a c . Hãy tính giá trị của biểu thức B 1 1 1 . c a b a c b Câu 2. (5điểm) 3 a b c a b c a 1) Cho: . Chứng minh: . b c d b c d d a 1 b 3 c 5 2)Cho và 5a - 3b - 4 c = 46 . xác định a,b,c 2 4 6 3) Ba lớp 7A, 7B, 7C cùng mua một số gói tăm từ thiện, lúc đầu số gói tăm dự định chia cho ba lớp tỉ lệ với 5:6:7 nhưng sau đó chia theo tỉ lệ 4:5:6 nên có một lớp nhận nhiều hơn dự định 4 gói. Tính tổng số gói tăm mà ba lớp đã mua. Câu 3. (2 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 2xx 2 2 2013 với x là số nguyên Câu 4. (7 điểm)  Cho xAy =600 có tia phân giác Az . Từ điểm B trên Ax kẻ BH vuông góc với Ay tại H, kẻ BK vuông góc với Az và Bt song song với Ay, Bt cắt Az tại C. Từ C kẻ CM vuông góc với Ay tại M . Chứng minh : a ) K là trung điểm của AC. b ) KMC là tam giác đều c)Cho BK = 2cm. Tính các cạnh AKM. Câu 5. (3 điểm) Cho biết(x-1).f(x)=(x+4) .f(x+8) với mọi x .Chứng minh rằng f(x) có ít nhất 2 nghiệm ĐỀ SỐ 38 Bài 1: (5,0 điểm) Cho a,b,c,d là 4 số khác 0, thoả mãn điều kiện: b2 = ac; c2 = bd; a3 b 3 c 3 a b3 + c3 + d3 ≠ 0Chứng minh rằng: b3 c 3 d 3 d 2) Ba lớp 7A, 7B, 7C cùng mua một số gói tăm từ thiện, lúc đầu số gói tăm dự định chia cho ba lớp tỉ lệ với 5:6:7 nhưng sau đó chia theo tỉ lệ 4:5:6 nên có một lớp nhận nhiều hơn dự định 4 gói. Tính tổng số gói tăm mà ba lớp đã mua. Bài 2: (6,0 điểm)1) Cho hai đa thức: A 5xy2 6x – 3x 2 y 7y 2 1 Thầy giáo: Hồ Khắc Vũ – Giáo viên Toán cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN, NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI
  30. TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 MÔN TOÁN Success has only one destination, but has a lot of ways to go 30 B 5x 13xy2 3y 2 – 6x 2 y 5. Tính A+B; A-B 2) Cho đa thức f(x) = (m - 2)x + 2m - 3 a) Tìm nghiệm của f(x) khi m = 1. b) Tìm giá trị của m khi f(x) có nghiệm là -4. c) Tìm giá trị của m khi f(x) có nghiệm nguyên, tìm nghiệm nguyên đó. Bài 3: (2,0 điểm) Tìm GTNN của biểu thức A x 2013 x 2014 x 2015 Câu 4. (7,0 điểm) Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của của tia MA lấy điểm E sao cho ME = MA. Chứng minh rằng: a) AC = EB và AC // BE b) Gọi I là một điểm trên AC ; K là một điểm trên EB sao cho AI = EK . Chứng minh ba điểm I , M , K thẳng hàng c) Từ E kẻ EH BC H BC . Biết HBE = 50o ; MEB =25o . Tính HEM và BME d) Từ H kẻ HF BE F BE . CMR: HF BE BH HE ĐỀ SỐ 39 Bài 1 ( 5 điểm) a) Số A được chia thành 3 số tỉ lệ theo 2 : 3 : 1 . Biết tổng các bình 5 4 6 phương của ba số đó bằng 24309. Tìm số A a 2 c 2 b) Cho a = c . Chứng minh rằng : = a c b b 2 c 2 b Bài 2 ( 4 điểm) a) Cho x = y = z = t y z t z t x t x y x y z CMR: Biểu thức sau có giá trị nguyên A= x y + y z + z t + t z z t t x x y y z b)Chứng minh rằng: B = 1 + 1 + 1 + .+ 1 + 1 < 1 3 32 33 32012 32013 2 Bài 3:(2 điểm)Cho đa thức f(x) = x14 – 14x13 + 14x12 - + 13x2 – 14x + 14 Tính f(13) Thầy giáo: Hồ Khắc Vũ – Giáo viên Toán cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN, NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI
  31. TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 MÔN TOÁN Success has only one destination, but has a lot of ways to go 31 Bài 4:(7 điểm)Cho tam giác ABC có AB<AC. Gọi M là trung điểm của BC , từ M kẻ đường thẳng vuông góc với phân giác của góc A , cắt tia này tại N, cắt tia AB tại E và cắt tia AC tại F. Chứng minh rằng : a) BE = CF b) AE = AB AC c) Tính AE, BE theo AC = b, AB = c 2 Bài 5:Tìm số nguyên x để M đạt giá trị nhỏ nhất ,tìm giá trị nhỏ nhất đó M = x 14 4 x ĐỀ SỐ 40 Câu 1: (4,0 ®iÓm) Tính hợp lí 7 18 4 5 19 7 8 7 3 12 a) b)   25 25 23 7 23 19 11 19 11 19 7 10 7 9 2 c) (-25) . 125. 4 .(-8). (-17) d)   35 19 35 19 35 Câu 2: (3,0 điểm) Tính giá trị các biểu thức sau: 1 1 1 1 1 a. A 1 1 1 1 . 2 1.3 2.4 3.5 2015.2017 1 b. B = 2x2 – 3x + 5 với x . 2 0 2015 c. C = 2x 2y 13x3 y2 x y 15 y 2 x x2 y , biết x – y = 0. 2016 Câu 3: (4,0 điểm) 2 1 1. Tìm x, y biết: 2x 3y 12 0. 6 3x 2y 2z 4x 4y 3z 2. Tìm x, y, z biết: và x + y + z = 18. 4 3 2 Câu 4: (3,0 điểm) 1. Tìm các số nguyên x, y biết: x – 2xy + y – 3 = 0. 2. Cho đa thức f(x) = x10 – 101x9 + 101x8 – 101x7 + – 101x + 101. Tính f(100). Câu 5: (5,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC). Vẽ về phía ngoài tam giác ABC các tam giác đều ABD và ACE. Gọi I là giao của CD và BE, K là giao của AB và DC. a) Chứng minh rằng: ADC = ABE. b) Chứng minh rằng: DIB = 600. c) Gọi M và N lần lượt là trung điểm của CD và BE. Chứng minh rằng AMN Thầy giáo: Hồ Khắc Vũ – Giáo viên Toán cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN, NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI
  32. TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 MÔN TOÁN Success has only one destination, but has a lot of ways to go 32 đều. d) Chứng minh rằng IA là phân giác của góc DIE. Câu 5: (1,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A có AB= 3cm, AC=4 cm. Điểm I nằm trong tam giác và cách đều 3 cạnh tam giác ABC. Gọi M là chân đường vuông góc kẻ từ I đến BC. Tính MB . ĐỀ SỐ 41 Bài 1: Thực hiện phép tính (6 điểm). 3 2 5 9 a. : .; 4 3 9 4 1 1 1 45 1 1 1 b. ; 19 2 3 4 15 9 20 9 c. 5.4 .9 4.3 .8 . 5.210.619 7.229.276 Bài 2: (6 điểm) a. Tìm x, biết: 2(x-1) – 3(2x+2) – 4(2x+3) = 16; 1 21 b. Tìm x, biết: 3 : 2x 1 = 2 22 2x y 3y 2z c. Tìm x, y, z biết: và x + z = 2y. 5 15 a c Bài 3: (1,5 điểm) Cho tỉ lệ thức . b d Chứng minh rằng : (a+2c)(b+d) = (a+c)(b+2d). Bài 4: (4,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A; K là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia KA lấy D , sao cho KD = KA. a. Chứng minh: CD // AB. b. Gọi H là trung điểm của AC; BH cắt AD tại M; DH cắt BC tại N . Chứng minh rằng: ABH = CDH. Thầy giáo: Hồ Khắc Vũ – Giáo viên Toán cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN, NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI
  33. TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 MÔN TOÁN Success has only one destination, but has a lot of ways to go 33 c. Chứng minh: HMN cân. Bài 5: (2 điểm): Chứng minh rằng số có dạng abcabc luôn chia hết cho 11. ĐỀ SỐ 42 Bài 1: (3,5 điểm) Thực hiện phép tính: 3 4 7 4 7 7 a) :: 7 11 11 7 11 11 1 1 1 1 1 b) 99.97 97.95 95.93 5.3 3.1 Bài 2: (3,5 điểm) Tìm x; y; z biết: a) 2009 – x 2009 = x 2008 2008 2 b) 2x 1 y x y z 0 5 Bài 3: (3 điểm) 3a 2 b 2 c 5 a 5 b 3 c Tìm 3 số a; b; c biết: và a + b + c = – 50 5 3 2 Bài 4: (7 điểm) Cho tam giác ABC cân (AB = AC ; góc A tù). Trên cạnh BC lấy điểm D, trên tia đối của CB lấy điểm E sao cho BD = CE. Trên tia đối của CA lấy điểm I sao cho CI = CA. Câu 1: Chứng minh: a) ABD ICE b) AB + AC < AD + AE Câu 2: Từ D và E kẻ các đường thẳng cùng vuông góc với BC cắt AB; AI theo thứ tự tại M; N. Chứng minh BM = CN. Câu 3: Chứng minh rằng chu vi tam giác ABC nhỏ hơn chu vi tam giác AMN. Bài 5 (3 điểm): Tìm các số tự nhiên a; b sao cho (2008.a + 3.b + 1).(2008a + 2008.a + b) = 225 Thầy giáo: Hồ Khắc Vũ – Giáo viên Toán cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN, NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI
  34. TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 MÔN TOÁN Success has only one destination, but has a lot of ways to go 34 ĐỀ SỐ 43 Câu 1: (4,5 điểm). 4 2 2 3 3 2 a) Tính giá trị của biểu thức A:: 7 5 3 7 5 3 1 b) Tính giá trị của biểu thức B = 2x2 – 3x + 1 với x . 2 xyyz c) Tìm 3 số x, y, z biết rằng: ; và x + y + z = - 110. 3725 Câu 2: (4,5 điểm). a) Tìm tập hợp các số nguyên x, biết rằng: 5 5 1 31 1 4 :2 7 x 3:3,2 4,5.1 : 21 9 18 5 45 2 1 1 1 1 1 b) T×m x, biÕt: x x x x x 11x 2 6 12 20 110 c) Tính giá trị của biểu thức:C = 2x5 – 5y3 + 2015 tại x, y thỏa mãn: x 1 + (y + 2)20 = 0 Câu 3: (3,5 điểm). a) Tìm số tự nhiên có ba chữ số, biết rằng số đó là bội của 18 và các chữ số của nó tỉ lệ theo 1: 2: 3. b) Tìm tất cả các số tự nhiên a, b sao cho : 2a + 37 = b 45 + b - 45. Câu 4: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB < AC). Vẽ về phía ngoài tam giác ABC các tam giác đều ABD và ACE. Gọi I là giao của CD và BE, K là giao của AB và DC. a) Chứng minh rằng: ADC = ABE. b) Chứng minh rằng: DIB = 600. c) Gọi M và N lần lượt là trung điểm của CD và BE. Chứng minh rằng AMN đều. d) Chứng minh rằng IA là phân giác của góc DIE. Câu 5: (1,5 điểm) Cho 20 số nguyên khác 0 : a1, a2, a3, , a20 có các tính chất sau: * a1 là số dương. * Tổng của ba số viết liền nhau bất kì là một số dương. * Tổng của 20 số đó là số âm. Chứng minh rằng : a1.a14 + a14a12 < a1.a12. Thầy giáo: Hồ Khắc Vũ – Giáo viên Toán cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN, NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI
  35. TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 MÔN TOÁN Success has only one destination, but has a lot of ways to go 35 ĐỀ SỐ 44 Bài 1 (3đ) Tìm x Z sao cho a, x 5 2 b, (x2 20)(x 2 15)(x 2 10)(x 2 5) 0 Bài 2 (4đ) Tìm tất cả các cặp số nguyên (m,n) thỏa mãn a, 2mn 2 2048 b, 3m 4n mn 16 Bài 3 (4đ) a, Cho x, y, z, t là 4 số khác 0 và thỏa mãn các điều kiện sau: y3 z 3 x 3 x y2 xz, z 2 yt và y 3 z 3 t 3 0 CM : y3 z 3 t 3 t b, Cho x+y – z = a-b; x - y + z = b – c ; -x+y + z = c – a. Chứng minh : x+y+z=0 Bài 4 (4đ) a, Cho đa thức f(x) x2015 2000x 2014 2000x 2013 2000x 2012 2000x 1 Tính giá trị của đa thức tại x=1999 b, Cho đa thức f(x) ax2 bx c chứng tỏ rằng: f( 2).f(3) 0 nếu 13a b 2c 0 Bài 5 (5đ) a,Cho tam giác ABC, đường cao AH. Vẽ ra phía ngoài của tam giác ABC các tam giác vuông cân ABD, ACE ABD ACE 9O0 1, Qua C vẽ đường thẳng vuông góc với BE cắt đường thẳng AH tại K. Chứng minh CD vuông góc với BK 2, Chứng minh ba đường thẳng AH, BE, CD đồng quy. b, Cho 2 điểm B và C nằm trên đoạn thẳng AD sao cho AB=CD. Lấy điểm M tùy ý trong mặt phẳng. Chứng minh rằng: MA MD MB MC ĐỀ SỐ 45 ac a22 c a b22 a b a Câu 1: (5 điểm) Cho chứng minh rằng:a) b) cb b22 c b a22 c a Câu 2 : (6điểm) a b b c c a a) Các số a,b và c làm cho giá trị các biểu thức , và bằng nhau . Tính giá c a b trị đó? 2 3 1 b)Số A được chia thành 3 số tỉ lệ theo ::. Biết rằng tổng các bình phương của ba số 5 4 6 đó bằng 24309. Tìm số A. Câu 3 : (2 điểm) Cho biểu thức A = 2014 x . Tìm giá trị nguyên của x để A đạt giá trị lớn nhất .Tìm Giá 14 x trị lớn nhất đó Câu 4 (7điểm) Cho góc xAy = 600 vẽ tia phân giác Az của góc đó . Từ một điểm B trên Ax vẽ đường Thầy giáo: Hồ Khắc Vũ – Giáo viên Toán cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN, NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI
  36. TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 MÔN TOÁN Success has only one destination, but has a lot of ways to go 36 thẳng song song với Ay cắt Az tại C. vẽ BH  Ay, CM Ay, BK  AC. Chứng minh rằng: AC a, K là trung điểm của AC. b, BH = c, ΔKMC đều 2 ĐỀ SỐ 46 a c Câu 1: (5 điểm) Cho Chứng minh rằng: b d a1005 b1005 a b 1005 a) (a + 2c) . (b + d) = (a + c) . (b + 2d) b) c1005 d 1005 c d 1005 Câu 2: (6 điểm) a) Tìm nghiệm của đa thức sau: x2 + 8x + 25. x y z b) Cho ba số dương 0 x y z 1. Chứng minh: 2 yz 1 xz 1 xy 1 Câu 3: (2 điểm). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A 2x 2 2x 2013 Câu 4: (7 điểm) Cho ABC vuông tại A, đường cao AH trung tuyến AM. Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho DM = MA. Trên đia đối của tia CD, lấy điểm I sao cho CI = CA. Qua I vẽ đường thẳng song song với AC cắt đường thẳng AH tại E. Chứng minh: AE = BC. ĐỀ SỐ 47 ac Câu 1:( 5điểm): Cho chứng minh rằng: cb a c c b a22 c a b22 a b a a) b) b) a c c b b22 c b a22 c a Câu 2: (2 điểm): Tìm x; y biết: 1+3y 1+5y 1+7y 12 5x 4x 1 1 1 1 1 1 Câu 3:(4 điểm)a).Chứng minh rằng : . 6 52 6 2 7 2 100 2 4 2a 9 5 a 17 3 a b) Tìm số nguyên a để: là số nguyên. a 3 a 3 a 3 x 1996 Câu 4: (2 điểm): Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau: A 1997 Câu 5: (7 điểm) Thầy giáo: Hồ Khắc Vũ – Giáo viên Toán cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN, NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI
  37. TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 MÔN TOÁN Success has only one destination, but has a lot of ways to go 37 Cho tam giác ABC vuông ở A, có góc C=300, đường cao AH. Trên đoạn HC lấy điểm D sao cho HD=HB. Từ C kẻ CE vuông góc với AD. Chứng minh: a) Tam giác ABD là tam giác đều. b) AH = CE. c) EH song song với AC. ĐỀ SỐ 48 Bài 1 (4 điểm): a) So sánh hai số: (– 5)39 và (– 2)91 n+2 2n+1 b) Chứng minh rằng: Số A = 11 + 12 chia hết cho 133, với mọi n N Bài 2 (4 điểm): 2012 2013 a) Tìm tất cả các cặp số (x; y) thỏa mãn: 2x y 7 x 3 0 b) Tìm số tự nhiên n và chữ số a biết rằng: 1 2 3 . . . n aaa 1 Bài 3 (4 điểm): Ba lớp 7 ở trường K có tất cả 147 học sinh. Nếu đưa số học sinh của 3 1 1 lớp 7A1, số học sinh của lớp 7A2 và số học sinh của lớp 7A3 đi thi học sinh giỏi cấp 4 5 huyện thì số học sinh còn lại của ba lớp bằng nhau. Tính tổng số học sinh của mỗi lớp 7 ở trường K. Bài 4 (4 điểm): Cho tam giác ABC có ABCˆˆ 36ˆ . a) Tính số đo các góc của tam giác ABC. b) Kẻ AD vuông góc với BC (D thuộc BC). Chứng minh: AD < BD < CD. Bài 5 (4 điểm): Cho tam giác ABC cân ở A. Trên cạnh AB lấy điểm M, trên tia đối của tia CA lấy điểm N sao cho AM + AN = 2AB. a) Chứng minh rằng: BM = CN b) Chứng minh rằng: BC đi qua trung điểm của đoạn thẳng MN. c) Đường trung trực của MN và tia phân giác của góc BAC cắt nhau tại K. Chứng minh rằng: KC  AC. ĐỀ SỐ 49 Câu 1 : ( điểm) a c (1) Cho tỉ lệ thức b d Thầy giáo: Hồ Khắc Vũ – Giáo viên Toán cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN, NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI
  38. TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 MÔN TOÁN Success has only one destination, but has a lot of ways to go 38 Cmr : ta có tỉ lệ thức sau (giả thiết các tỉ lệ thức đều có nghĩa) a 2 b 2 c 2 d 2 (a b)2 (c d)2 a) b) ab cd a 2 b2 c 2 d 2 ab b (2) Cho a, b, c đôi một khác nhau và 0. Biết ab là số nguyên tố và . Tìm bc c abc Câu 2 : ( điểm) 1) Tìm x, y biết : a) x2 5x 6 b) x2 6y 2 1 (x, y là số nguyên tố) 2) Chứng minh rằng đa thức f(x) = x8 x5 x2 x 1 không có nghiệm. Câu 3 : ( điểm) 32 2x Tìm x z để A đạt GTLN. Tìm GTLN của A. 11 x Câu 4 : ( điểm) Cho ABC nhọn, AD vuông góc với BC tại D. Xác định I ; J sao cho AB là trung trực của DI, AC là trung trực của DJ ; IJ cắt AB ; AC lần lượt ở L và K. Chứng minh rằng : a) AIJ cân b) DA là tia phân giác của góc LDK c) BK  AC ; CL  AB d) Trực tâm của ABC chính là giao của 3 đường phân giác của DLK e) Nếu D là một điểm tùy ý trên cạnh BC. Chứng minh rằng góc IAJ có số đo không đổi và tìm vị trí điểm D trên cạnh BC để IJ có độ dài nhỏ nhất. ĐỀ SỐ 50 ac Câu 1(5 điểm) Cho tỉ lệ thức với a; b ; c ; d 0; a b ; c d . Chứng minh: bd 2013 b d c d c a b a2013 b 2013 a) và b) 2013 2013 b a d c a b a c d c d Câu 2(6 điểm) 1)Tìm x thỏa mãn một trong các điều kiện sau: a)3xx 2 3 810 b) x 3 x 7 4 x 2) Chứng minh đa thức sau không có nghiệmC x10 x 5 x 2 x 1 Câu 3 (2 điểm)a) Chứng minh với mọi a,b Q ta có a b a b b) Áp dụng tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B x 28 x Câu 4 (7 điểm)1) Cho tam giác cân ABC, AB = AC. Trên tia đối của các tia BC và CB lấy theo thứ tự hai điểm D và E sao cho BD=CE a) Chứng minh tam giác ADE cân. Thầy giáo: Hồ Khắc Vũ – Giáo viên Toán cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN, NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI
  39. TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 MÔN TOÁN Success has only one destination, but has a lot of ways to go 39 b) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh AM là tia phân giác của góc DAE. c) Từ B và C kẻ BH  AD; CK AE . Chứng minh BH = CK. d) Chứng minh AM;BH;CK gặp nhau tại một điểm 2) Cho tam giác ABC có AB = AC; góc A bằng 1000. Điểm M nằm trong tam giác ABC sao cho góc MBC bằng 100; góc MCB bằng 200. Tình số đo góc AMB. ĐỀ SỐ 51 Câu 1. (5điểm ) a 2 c 2 a b 2 a 2 b a 1. Cho c2=ab Chứng minh rằng: a ; b; = b 2 c 2 b a 2 c 2 a 2. Ba phân số có tổng bằng 213 , các tử của chúng tỉ lệ vối 3;4;5, các mẫu của 70 chúng tỉ lệ vối 5;1;2 .Tìm ba phân số đó. Câu 2. (6 điểm ) 1. Cho đa thức:f(x) = x17- 2000x16 + 2000x15 - 2000x14 + .+ 2000x – 1 Tính giá trị của đa thức tại x = 1999. 2. Chứng minh rằng nếu m và n là các số tự nhiên thì số: A = (5m + n + 1) (3m – n + 4) là số chẵn. Câu 3.(2 điểm ). Tìm số tự nhiên x để phân số 7x 8 có giá trị lớn nhất. 2x 3 Câu 4. (7 điểm ). 1. Cho tam giác ABC cân tại A, B = 500.Gọi K là điểm trong tam giác sao cho KBC =100, KCB = 300. a, Chứng minh BA=BK b, Tính số đo BAK 2. Cho  xAy = 600 có tia phân giác Az. Từ điểm B trên Ax kẻ BH vuông góc với Ay tại H, kẻ BK vuông góc với Az và Bt song song với Ay ,Bt cắt Az tại C. Từ C kẻ CM vuông góc với Ay tại M. Chứng minh : a, K là trung điểm của AC b, KMC là tam giác đều c, Cho BK = 2 cm . Tính các cạnh AKM ĐỀ SỐ 52 Câu 1 (5 điểm) a c 3a 6 c6 (a c)6 a, Cho = . Chứng minh rằng: = (b +d b d 3b6 d 6 (b d)6 0) b, Tìm hai số dương, biết rằng tổng, hiệu, tích của chúng lần lượt tỉ lệ nghịch với 15; 60 và 8. Câu 1 (3 điểm) a, Tính giá trị của biểu thức: 2a 5b với = 3 . a 3b 5 Thầy giáo: Hồ Khắc Vũ – Giáo viên Toán cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN, NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI
  40. TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 MÔN TOÁN Success has only one destination, but has a lot of ways to go 40 b, Tìm các số a, b, c biết ab = 2, bc = 6 và ac = 3. Câu 3 (3 điểm) a, Tìm các số tự nhiên abc có ba chữ số khác nhau sao cho 3a + 5b = 8c. b, Chứng minh đa thức x2 + 4x + 10 không có nghiệm. Câu 4 (2 điểm) x 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = với x là số nguyên. x Câu 5 (7 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, AB < AC < BC. Các tia phân giác của góc A và góc C cắt nhau tại O. Gọi F là hình chiếu của O trên BC; H là hình chiếu của O trên AC. Lấy điểm I trên đoạn FC sao cho FI = AH. Gọi K là giao điểm của FH và AI. a/ Chứng minh tam giác FCH cân và AK = KI. b/ Chứng minh ba điểm B, O, K thẳng hàng. ĐỀ SỐ 53 Câu 1 ( 5 điểm ) a c a c a)Cho tỉ lệ thức Chứng minh rằng : (a,b,c,d 0; a b; c d) b d a b c d b)cho 4 số a;b;c;d sao cho a+b+c+d 0 b c d c d a a b d a b c Biết k Tính giá trị của k ? a b c d Câu 2 ( 3 điểm )Cho đa thức f(x) thỏa mãn : f(x) + x.f(-x) = x+1 với mọi giá trị của x Tính f(1) = ? Câu 3 (3 điểm )Cho đa thức f(x) = x2+mx+2 a) Xác định m để f(x) nhận -2 làm một nghiệm ? b) Tìm tập hợp các nghiệm của f(x) ứng với giá trị vừa tìm được của m ? Câu 4 (2 điểm )Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : A= 4 (2x 3) 2 5 Câu 5 (7 điểm )Cho tam giác ABC vuông tại A. Kẻ AH vuông góc với BC, kẻ HP vuông góc với AB và kéo dài để có PE = PH. Kẻ HQ vuông góc với AC và kéo dài để có QE = QH. a) Chứng minh rằng : APE APH, AQH AQF b) Chứng minh ba điểm E, A, F thẳng hàng Chứng minh rằng : BE // CF ĐỀ SỐ 54 Câu1: (6đ) 1 1 1 1 1 a, Tính: B = 3 32 33 350 351 1 1 1 1 1 1 b, Chứng minh : . 6 52 6 2 7 2 100 2 4 Thầy giáo: Hồ Khắc Vũ – Giáo viên Toán cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN, NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI
  41. TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 MÔN TOÁN Success has only one destination, but has a lot of ways to go 41 Câu 2: (5đ) 3 a b c a b c a a, Cho: . Chứng minh: . b c d b c d d b, Tìm một số có ba chữ số, biết rằng số đó là bội của 18 và các chữ số của nó tỉ lệ theo 1:2:3 ? Câu 3: (7đ) Cho góc xAy = 600 vẽ tia phân giác Az của góc đó . Từ một điểm B trên Ax vẽ đường thẳng song song với Ay cắt Az tại C. Vẽ Bh  Ay,CM Ay, BK  AC. Chứng minh rằng: a, K là trung điểm của AC. b, BH = AC 2 c, ΔKMC đều Câu 4: ( 2đ) Với giá trị nào của x thì biểu thức : P = -x2 – 8x +5 có giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó? ĐỀ SỐ 55 Câu 1(5điểm) a, Chứng minh rằng : Nếu 2( x + y ) = 5 ( y + z ) = 3 ( z + x ) Thì b, Tìm hai số dương biết tổng, hiệu, tích của chúng tỉ lệ nghịch với ba số 30; 120; 16 Câu 2(4điểm ). Cho f(x) = ax3 + 4x( x2 – 1 ) + 8 g(x) = x3 -4x(bx + 1 ) + c -3 Trong đó a , b , c là hằng. Xác định a, b, c để f(x) = g(x) . Câu 3 (2 điểm). Chứng minh rằng đa thức : f(x) = -4x4 + 3x3 – 2x2 + x – 1 không có nghiệm nguyên . Câu 4 (2 điểm). Tìm GTNN của biểu thức sau : | | | | khi x thayđổi . Câu 5 (7 điểm). Cho tam giác ABC cântại A , có ̂ . Gọi O là một điểm nằm trên tia phân giác của góc C saocho ̂ vẽ tam giác đều BOM (M và A cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ BO). Chứng minh rằng : a, Ba điểm C, A, M thẳnghàng. b, Tam giác AOB cân. Thầy giáo: Hồ Khắc Vũ – Giáo viên Toán cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN, NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI
  42. TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 MÔN TOÁN Success has only one destination, but has a lot of ways to go 42 ĐỀ SỐ 56 Câu1: (5đ) a c 1. cho tỷ lệ thức ( a ;b ;c ;d 0 ; a b ;c d) b d a b c d ab a 2 b2 Chứng minh rằnga. b. a b c d cd c 2 d 2 a b c 2. cho (a;b;c 0) . Chứng minh rằng a=b=c b c a Câu 2: (4đ)1. chứng tỏ rằng với mọi x;y Q . Thì giá trị của biểu thức sau luôn luôn là số 2 2 2 2 dươngM= 3 x 1 x y y 2 x y 2 5 y 2 x 1 x 1 y 2 x 1 2x 2 2. So sánh hai biểu thức sauA = B = y 2 1 y 2 2 Câu 3: (2đ) Tìm x biế x2 2xn 1 5xn 4xn 1 0 (n N;n 0) 2 2 Câu 4(2đ)Tìm giá trị lớn nhất của biểu thứcP= x y 3 x 2 y 2 2 Câu 5 ( 7đ)Cho tam giác ABC vuông ở A. Các tia phân giác của góc B và góc C cắt nhau ở I. Gọi D;E;F là hình chiếu của điểm I xuống AB;AC;BC. a. chứng minh rằng AD=AE b. tính độ dài của đoạn AD,AE nếu biết AB=8cm; AC=15cm c. trong trường hợp tam giác ABC cân tại A. Hãy chứng minh rằng tam giác DEF là tam giác cân. ĐỀ SỐ 57 C©u1: (5 ®iÓm) xyz T×m c¸c sè x, y, z biÕt: a. và 5x+y-2z =28 10 6 21 2x 3 y 4 z b. 3x=2y; 7y=5z và x-y+z =32 c. và x+y+z =49 3 4 5 C©u2: (3 ®iÓm)TÝnh gi¸ trÞ c¸c biÓu thøc: 2 1 2 a. A= 2a2 4 a 3 a 1 lần lượt tại a= ; a= -2 b. B = 2x22 3 xy 6 y tại x và y= 3 2 3 C©u3: (3 ®iÓm) TÝnh gi¸ trÞ c¸c biÓu thøc: 32ab a 10 a 84 a b a. A = với b. B = với a - b =3 và b # 5; b # -4 ab 3 b 3 b 53 a a C©u4: (2 ®iÓm) Thầy giáo: Hồ Khắc Vũ – Giáo viên Toán cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN, NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI
  43. TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 MÔN TOÁN Success has only one destination, but has a lot of ways to go 43 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: A x 2008 x 2009 y 2010 x 2011 2011 C©u2: (7 ®iÓm)Cho tam gi¸c ABC c©n t¹i A. Trªn c¹nh BC lÇn l•ît lÊy 2 ®iÓm M vµ N sao cho BM=MN=NC. Gäi H lµ trung ®iÓm BC. a. Chøng minh: AM=AN vµ AH  BC b. Chøng minh MAN  BAM c. KÎ ®•êng cao BK. BiÕt AK= 7cm; AB=9cm. TÝnh ®é dµi BC. ĐỀ SỐ 58 Câu 1 ( 5 điểm ): ac a a22 c b a b22 a 1. Cho . Chứng minh rằng: a) b) cb b b22 c a a22 c 25 2. Tổng ba phân số tối giản bằng 5 các tử của chúng tỉ lệ nghịch với 63 20; 4; 5. Các mẫu của chúng tỉ lệ thuận với 1; 3; 7. Tìm ba phân số đó. 51y Câu 2 ( 3 điểm ): Tìm số nguyên x, y biết: x 48 x 1 Câu 3 ( 3 điểm ): Tìm số nguyên x để A có giá trị là một số nguyên biết A x 3 x 0 Câu 4 ( 2 điểm): Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau A x 2013 x 2014 x 2015 Câu 5 ( 7 điểm ): Cho tam giác ABC vuông cân tại A có trung tuyến AM. E là điểm thuộc cạnh BC. Kẻ BH, CK vuông góc với AE ( H, K thuộc AE ). a) Chứng minh BH AK . b) Cho biết MHK là tam giác gì? Tại sao? ĐỀ SỐ 59 C©u 1 : (3®) T×m sè h÷u tØ x, biÕt : x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 a) x 1 5 = - 243 .b) c) x - 2 x = 0 (x 0 ) 11 12 13 14 15 5 y 1 C©u 2 : (3®)a, T×m sè nguyªn x vµ y biÕt : x 4 8 x 1 b, T×m sè nguyªn x ®Ó A cã gi¸ trÞ lµ 1 sè nguyªn biÕt : A = (x 0 ) x 3 a 1 b 3 c 5 C©u 3 : (5®) 1) Cho vµ 5a - 3b - 4 c = 46 . X¸c ®Þnh a, b, c 2 4 6 a c 2a 2 3ab 5b2 2c 2 3cd 5d 2 2) Cho tØ lÖ thøc : . Chøng minh : . Víi ®iÒu b d 2b2 3ab 2d 2 3cd kiÖn mÉu thøc x¸c ®Þnh. Thầy giáo: Hồ Khắc Vũ – Giáo viên Toán cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN, NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI
  44. TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 MÔN TOÁN Success has only one destination, but has a lot of ways to go 44 C©u 4: (2 ®iÓm).T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc : A = x 2001 x 1 C©u 5: (7® ) Cho tam gi¸c c©n ABC, AB=AC. Trªn c¹nh BC lÊy ®iÓm D. Trªn Tia đối cña tia BC lÊy ®iÓm E sao cho BD=BE. C¸c ®•êng th¼ng vu«ng gãc víi BC kÎ tõ D vµ E c¾t AB vµ AC lÇn l•ît ë M vµ N. Chøng minh: a. DM= ED b. §•êng th¼ng BC c¾t MN t¹i ®iÓm I lµ trung ®iÓm cña MN. c. §•êng th¼ng vu«ng gãc víi MN t¹i I lu«n lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh khi D thay ®æi trªn BC. ĐỀ SỐ 60 2 3 2000 Câu1: (6 điểm) a- Tính ( 3 - 81)( 3 - 81)( 3 - 81). . .( 3 - 81) 4 5 6 2003 b- Tính giá trị của biểu thức : 6x2 + 5x - 2 tại x thoả mãn x - 2 =1 x 1 y 3 z 2 Câu 2: ( 5 điểm ) 1/ Tìm x, y, z biết : và x - 3y + 4z = 4 2 4 3 câu 3:(2 điểm)Tìm giá trị nguyên lớn nhất của biểu thức M = 15 x ? 5 x Câu4: ( 7 điểm ) Cho tam giác ABC vuông ở A có góc C bằng 30o . Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho góc BCM bằng 2 góc ACB, trên cạnh AC lấy điểm N sao cho góc CBN bằng 2 3 3 góc ABC. Gọi giao điểm của CM và BN là K. 1/ Tính góc CKN. 2/ Gọi F và I theo thứ là hình chiếu của điểm K trên BC và AC. Trên tia đối của tia IK lấy điểm D sao cho IK = ID, trên tia KF lấy điểm E sao cho KF = FE ( E K). Chứng minh DBC là tam giác đều. ĐỀ SỐ 61 Câu 1. (2,5 điểm) 11 a. Tìm x biết: : 2015x . 2016 2015 3n 1 b. Tìm các giá trị nguyên của n để phân số M = có giá trị là số nguyên. n 1 c. Tính giá trị của biểu thức: N = xyz2 3 xyz 2 3 4 xyz 3 4 5 x 2014 y 2015 z 2016 tại: x -1; y -1; z -1. Câu 2. (2,0 điểm) Thầy giáo: Hồ Khắc Vũ – Giáo viên Toán cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN, NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI
  45. TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 MÔN TOÁN Success has only one destination, but has a lot of ways to go 45 2bz 3 cy 3 cx az ay 2 bx x y z a. Cho dãy tỉ số bằng nhau . Chứng minh: . a23 b c a23 b c b. Tìm tất cả các số tự nhiên m, n sao cho : 2m + 2015 = n 2016 + n - 2016. Câu 3.(1,5 điểm) a. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x 2015 x 2016 x 2017 . b. Cho bốn số nguyên dương khác nhau thỏa mãn tổng của hai số bất kì chia hết cho 2 và tổng của ba số bất kì chia hết cho 3. Tính giá trị nhỏ nhất của tổng bốn số này ? Câu 4. (3,0 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A, BH vuông góc AC tại H. Trên cạnh BC lấy điểm M bất kì ( khác B và C). Gọi D, E, F là chân đường vuông góc hạ từ M đến AB, AC, BH. a) Chứng minh ∆DBM = ∆FMB. b) Chứng minh khi M chạy trên cạnh BC thì tổng MD + ME có giá trị không đổi. c) Trên tia đối của tia CA lấy điểm K sao cho CK = EH. Chứng minh BC đi qua trung điểm của DK. Câu 5. (1,0 điểm) Có sáu túi lần lượt chứa 18, 19, 21, 23, 25 và 34 bóng. Một túi chỉ chứa bóng đỏ trong khi năm túi kia chỉ chứa bóng xanh. Bạn Toán lấy ba túi, bạn Học lấy hai túi. Túi còn lại chứa bóng đỏ. Biết lúc này bạn Toán có số bóng xanh gấp đôi số bóng xanh của bạn Học. Tìm số bóng đỏ trong túi còn lại. ĐỀ SỐ 62 Bµi 1: (3,5 ®iÓm) Thùc hiÖn phÐp tÝnh: 3 4 7 4 7 7 a) :: 7 11 11 7 11 11 1 1 1 1 1 b) 99.97 97.95 95.93 5.3 3.1 Bµi 2: (3,5 ®iÓm) T×m x; y; z biÕt: a) 2009 – x 2009 = x Thầy giáo: Hồ Khắc Vũ – Giáo viên Toán cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN, NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI
  46. TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 MÔN TOÁN Success has only one destination, but has a lot of ways to go 46 2008 2008 2 b) 2x 1 y x y z 0 5 Bµi 3: (3 ®iÓm) 3a 2 b 2 c 5 a 5 b 3 c T×m 3 sè a; b; c biÕt: vµ a + b + c = – 50 5 3 2 Bµi 4: (7 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC c©n (AB = AC ; gãc A tï). Trªn c¹nh BC lÊy ®iÓm D, trªn tia ®èi cña CB lÊy ®iÓm E sao cho BD = CE. Trªn tia ®èi cña CA lÊy ®iÓm I sao cho CI = CA. C©u 1: Chøng minh: a) ABD ICE b) AB + AC < AD + AE C©u 2: Tõ D vµ E kÎ c¸c ®•êng th¼ng cïng vu«ng gãc víi BC c¾t AB; AI theo thø tù t¹i M; N. Chøng minh BM = CN. C©u 3: Chøng minh r»ng chu vi tam gi¸c ABC nhá h¬n chu vi tam gi¸c AMN. Bµi 5 (3 ®iÓm): T×m c¸c sè tù nhiªn a; b sao cho (2008.a + 3.b + 1).(2008a + 2008.a + b) = 225 ĐỀ SỐ 63 Bµi 1: TÝnh 2 3 3 3 2 1 3 1 a) A = 5 2 : 5 4 4 2 0 2010 2009 4 1 7 1 82 b) B =  2: 24 11 25 22 2 4 Bµi 2 : T×m x biÕt 11 ax) 1 : 4 b) 2 x 1 x 4 55 Bµi 3: a) T×m a , b , c BiÕt: 3a = 2b ; 4b = 5c vµ - a - b + c = - 52 . Thầy giáo: Hồ Khắc Vũ – Giáo viên Toán cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN, NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI
  47. TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 MÔN TOÁN Success has only one destination, but has a lot of ways to go 47 2 2xx 5 3 3 b) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc C = t¹i x 21x 2 Bµi 4: Bèn con Ngùa ¨n hÕt mét xe cá trong mét ngµy , mét con Dª ¨n hÕt mét xe cá trong s¸u ngµy , hai con Cõu trong 24 ngµy ¨n hÕt hai xe cá . Hái chØ ba con (Ngùa , Dª vµ Cõu) ¨n hÕt hai xe cá trong mÊy ngµy ? Bµi 5: Cho tam gi¸c ABC (AB > AC ) , M lµ trung ®iÓm cña BC . §•êng th¼ng vu«ng gãc víi tia ph©n gi¸c cña gãc A t¹i M c¾t c¹nh AB , AC lÇn l•ît t¹i E vµ F . Chøng minh : a) EH = HF b) 2BME ACB B . FE 2 c) AH22 AE . 4 d) BE = CF . ĐỀ SỐ 64 Bài 1(4 điểm) a/ Tính: 3 3 3 1 1 1 A= 4 11 13 2 3 4 5 5 5 5 5 5 7 11 13 4 6 8 b/ Cho 3 số x,y,z là 3 số khác 0 thỏa mãn điều kiện: y z x z x y x y z x y z Hãy tính giá trị biểu thức: x y z B = 111 . y z x Bài 2 (4điểm) 12 a/ Tìm x,y,z biết: x y x2 xz 0 23 b/ CMR: Với mọi n nguyên dương thì 3n 22 2 n 3 n 2 n chia hết cho 10. Thầy giáo: Hồ Khắc Vũ – Giáo viên Toán cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN, NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI
  48. TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 MÔN TOÁN Success has only one destination, but has a lot of ways to go 48 Bài 3 (4 điểm) Một bản thảo cuốn sách dày 555 trang được giao cho 3 người đánh máy. Để đánh máy một trang người thứ nhất cần 5 phút, người thứ 2 cần 4 phút, người thứ 3 cần 6 phút. Hỏi mỗi người đánh máy được bao nhiêu trang bản thảo, biết rằng cả 3 người cùng nhau làm từ đầu đến khi đánh máy xong. Bài 4 (6 điểm): Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia MA lấy điểm E sao cho ME=MA. Chứng minh rằng: a/ AC=EB và AC // BE b/ Gọi I là một điểm trên AC, K là một điểm trên EB sao cho : AI=EK. Chứng minh: I, M, K thẳng hàng. 0 0 c/ Từ E kẻ EH  BC (H BC). Biết góc HBE bằng 50 ; góc MEB bằng 25 , tính các góc HEM và BME ? Bài 5(2điểm): Tìm x, y N biết: 36 yx2 8 2010 2 ĐỀ SỐ 65 Bài 1 (2,0 điểm) a. Thực hiện phép tính: 3 2 4 1,2 : (1 .1,25) (1,08 ) : 2 M = 5 25 7 0,6.0,5: 1 5 9 36 0,64 (5 ). 5 25 9 4 17 b. Cho N = 0,7. (20072009 – 20131999). Chứng minh rằng: N là một số nguyên. Bài 2: (2,0điểm)Tìm x, y biết: x 1 60 2x 1 3 y 2 2 x 3 y 1 a. b. 15x 1 5 7 6x Bài 3: (2,0 điểm) Cho biểu thức: P = 3xx 3 2 1 a. Rút gọn P? b. Tìm giá trị của x để P = 6? Bài 4: (2,0 điểm) Cho đoạn thẳng AB có O là trung điểm. Trên hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ AB kẻ hai tia Ax // By. Lấy hai điểm C,E và D,F lần lượt trên Ax và By sao cho AC = BD; Thầy giáo: Hồ Khắc Vũ – Giáo viên Toán cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN, NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI
  49. TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 MÔN TOÁN Success has only one destination, but has a lot of ways to go 49 CE = DF. Chứng minh: a. Ba điểm: C, O, D thẳng hàng; E, O, F thẳng hàng. b. ED = CF . Bài 5: (2,0 điểm) Tam giác ABC cân tại C và C 1000 ; BD là phân giác góc B. Từ A kẻ tia Ax tạo với AB một góc 300 . Tia Ax cắt BD tại M, cắt BC lại E. BK là phân giác góc CBD, BK cắt Ax tại N. a. Tính số đo góc ACM. So sánh MN và CE ĐỀ SỐ 66 Câu 1.(2đ). 48 30 8 30 49 10 a) Rút gọn biểu thức A= 7 .5 .2 5 .7 .2 . 529 .2 8 .7 48 xy 53xy22 b) Cho . Tính giá trị biểu thức: B = . 35 10xy22 3 Câu 2 (2đ) Cho biểu thức E = 5 x . Tính giá trị nguyên của x để: x 2 a)Biểu thức E có giá trị nguyên. b)Có giá trị nhỏ nhất. Câu 3(2đ). Cho ABC cân tại A, điểm M là trung điểm của BC. Kẻ MH vuông góc với AB. Gọi E là một điểm thuộc đoạn thẳng AH.Trên cạnh AC lấy điểm F sao cho AEE = 2 EMH . Chứng minh FM là tia phân giác của EFC . Câu 4 (2đ). 1 1 1 2 2009 a)Tìm x biết: 3 6 10xx ( 1) 2011 b)Cho biết (x-1)f(x) = (x+4).f(x+8) với mọi x. Chứng minh f(x) có ít nhất 2 nghiệm. Câu 5(2đ). a)Cho x,y,z 0 và x-y-z =0 z x y Tính giá trị biểu thức A = 1 1 1 . x y z c) Cho x,y,z thoả mãn x.y.z =1. Thầy giáo: Hồ Khắc Vũ – Giáo viên Toán cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN, NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI
  50. TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 MÔN TOÁN Success has only one destination, but has a lot of ways to go 50 11y Chứng minh: 1 xy x 11 yz y xyz yz y ĐỀ SỐ 67 C©u 1: (1.75 ®) 5 11 3 4 2 1 a) TÝnh : A = 3 2 3 5 42 5 53 b) T×m x; y biÕt : (2x - 1)2008 + (y + 3.1)2008 = 0 C©u 2: (1.5 ®) Minh ®em ra cöa hµng mét sè tiÒn vf nhÉm tÝnh nÕu dïng sè tiÒn Êy cã thÓ mua ®•îc 2kg nho; hoÆc 3 kg lª hoÆc 5 kg cam . BiÕt r»ng gi¸ tiÒn 2 kg lª th× ®¾t h¬n 3 kg cam lµ 4 ngh×n ®ång. TÝnh gi¸ tiÒn 1 kg mçi lo¹i. C©u 3: (1.5 ®) 19 3 9 4 Rót gän : 2 .27 15.4 .9 69 .2 10 12 10 C©u 4: (1.25 ®) 1 1 1 1 4949 Chøng tá : 1.2.3 2.3.4 3.4.5 98.99.100 19800 C©u 5: (2.5 ®) Cho tam gi¸c nhän ABC; cã ®•êng cao AH. Trªn n÷a mÆt ph¼ng bê AC chøa ®iÓm B vÏ tia AE  AC vµ AE = AC. Trªn n÷a mÆt ph¼ng bê Ab chøa ®iÓm C vÏ tia AF AB vµ AF = AB. a) C/M : EB = FC b) Gäi giao ®iÓm cña EF víi AH lµ N. C/M : N lµ trung ®iÓm cña EF. C©u 6: (1.5 ®) T×m c¸c sè tù nhiªn abc cã ba ch÷ sè kh¸c nhau sao cho : 3a + 5b = 8c. ĐỀ SỐ 68 C©u 1: (1.75 ®) Thầy giáo: Hồ Khắc Vũ – Giáo viên Toán cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN, NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI
  51. TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 MÔN TOÁN Success has only one destination, but has a lot of ways to go 51 5 11 3 4 2 1 a) TÝnh : A = 3 2 3 5 42 5 53 b) T×m x; y biÕt : (2x - 1)2008 + (y + 3.1)2008 = 0 C©u 2: (1.5 ®) Minh ®em ra cöa hµng mét sè tiÒn vf nhÉm tÝnh nÕu dïng sè tiÒn Êy cã thÓ mua ®•îc 2kg nho; hoÆc 3 kg lª hoÆc 5 kg cam . BiÕt r»ng gi¸ tiÒn 2 kg lª th× ®¾t h¬n 3 kg cam lµ 4 ngh×n ®ång. TÝnh gi¸ tiÒn 1 kg mçi lo¹i. C©u 3: (1.5 ®) 19 3 9 4 Rót gän : 2 .27 15.4 .9 69 .2 10 12 10 C©u 4: (1.25 ®) 1 1 1 1 4949 Chøng tá : 1.2.3 2.3.4 3.4.5 98.99.100 19800 C©u 5: (2.5 ®) Cho tam gi¸c nhän ABC; cã ®•êng cao AH. Trªn n÷a mÆt ph¼ng bê AC chøa ®iÓm B vÏ tia AE  AC vµ AE = AC. Trªn n÷a mÆt ph¼ng bê Ab chøa ®iÓm C vÏ tia AF AB vµ AF = AB. a) C/M : EB = FC b) Gäi giao ®iÓm cña EF víi AH lµ N. C/M : N lµ trung ®iÓm cña EF. C©u 6: (1.5 ®) T×m c¸c sè tù nhiªn abc cã ba ch÷ sè kh¸c nhau sao cho : 3a + 5b = 8c. ĐỀ SỐ 69 C©u I: (2 ®) 1 1 62 4 a) TÝnh : 3 .1,9 19,5: 4 . 3 3 75 25 x 1 2 2 b) T×m x: 3 2 24 4 2 1 C©u II: (2 ®) Häc sinh mét tr•êng THCS cã 4 khèi líp gåm khèi líp 6, líp 7, líp 8 vµ líp 9. Sè Thầy giáo: Hồ Khắc Vũ – Giáo viên Toán cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN, NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI
  52. TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 MÔN TOÁN Success has only one destination, but has a lot of ways to go 52 HS tõng khèi líp tû lÖ víi 9,8,7 vµ 6. BiÕt r»ng HS khèi 9 Ýt h¬n HS khèi 7 lµ 70 HS. TÝnh sè HS mçi khèi . C©u III: (2 ®) Cho ABC vµ ABC/// cã AB = A/B/, AC = A/C/. M thuéc BC sao cho MC = MB, M/ thuéc B/C/ sao cho M/C/ = M/B/ vµ AM = A/M/. Chøng minh : = . C©u IV: (2 ®) a b c a 1) BiÕ . Chøng minh : a2 = b.c a b c a 1 1 1 1 1 1 1 1 2) Chøng minh r»ng: 1 2 3 4 2000 2001 2002 1002 2002 C©u V: (2 ®) T×m gi¸ trÞ nguyªn cña x vµ y tho· m·n : 3xy + x – y = 1 ĐỀ SỐ 70 Bµi 1(2 ®iÓm). Cho A x 5 2 x . a.ViÕt biÓu thøc A d•íi d¹ng kh«ng cã dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi. b.T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A. 1 1 1 1 1 1 Bµi 2 ( 2 ®iÓm) a.Chøng minh r»ng : . 6 52 6 2 7 2 100 2 4 2a 9 5 a 17 3 a b.T×m sè nguyªn a ®Ó : lµ sè nguyªn. a 3 a 3 a 3 Bµi 3(2,5 ®iÓm). T×m n lµ sè tù nhiªn ®Ó : A n 5 n 6 6 n . Bµi 4(2 ®iÓm). Cho gãc xOy cè ®Þnh. Trªn tia Ox lÊy M, Oy lÊy N sao cho OM + ON = m kh«ng ®æi. Chøng minh : §•êng trung trùc cña MN ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh. Bµi 5(1,5 ®iÓm).T×m ®a thøc bËc hai sao cho : f x f x 1. x ¸p dông tÝnh tæng : S = 1 + 2 + 3 + + n. ĐỀ SỐ 71 C©u 1 (2®) T×m x, y, z Z, biÕt a. xx = 3 - x x 1 1 b. 6 y 2 Thầy giáo: Hồ Khắc Vũ – Giáo viên Toán cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN, NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI
  53. TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 MÔN TOÁN Success has only one destination, but has a lot of ways to go 53 c. 2x = 3y; 5x = 7z vµ 3x - 7y + 5z = 30 C©u 2 (2®) 1 1 1 1 a. Cho A =( 1).( 1).( 1) ( 1) 22 32 42 100 2 1 H·y so s¸nh A víi 2 x 1 b. Cho B = T×m x Z ®Ó B cã gi¸ trÞ lµ mét sè nguyªn d•¬ng x 3 C©u 3 (2®) Mét ng•êi ®i tõ A ®Õn B víi vËn tèc 4km/h vµ dù ®Þnh ®Õn B lóc 11 giê 45 phót. Sau khi ®i ®•îc 1 qu·ng ®•êng th× ng•êi ®ã ®i víi vËn tèc 3km/h nªn ®Õn B lóc 12 giê 5 tr•a TÝnh qu·ng ®•êngAB vµ ng•êi ®ã khëi hµnh lóc mÊy giê? C©u 4 (3®) Cho ABC cã Aˆ > 900. Gäi I lµ trung ®iÓm cña c¹nh AC. Trªn tia ®èi cña tia IB lÊy ®iÓm D sao cho IB = ID. Nèi c víi D. a. Chøng minh AIB CID b. Gäi M lµ trung ®iÓm cña BC; N lµ trung ®iÓm cña CD. CMR I lµ trung ®iÓm cña MN c. Chøng minh AIB < BIC d. T×m ®iÒu kiÖn cña ABC ®Ó AC vuông góc với CD C©u 5 (1®) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: 14 x P = ;x Z 4 x Khi ®ã x nhËn gi¸ trÞ nguyªn nµo. ĐỀ SỐ 72 Bài 1: (1,5 điểm): So sánh hợp lý: 200 1000 1 1 27 39 a) và b) (-32) và (-18) 16 2 Bài 2: (1,5 điểm): Tìm x biết: a) (2x-1)4 = 16 b) (2x+1)4 = (2x+1)6 c) x 3 8 20 Bài 3: (1,5 điểm): Tìm các số x, y, z biết : a) (3x - 5)2006 +(y2 - 1)2008 + (x - z) 2100 = 0 Thầy giáo: Hồ Khắc Vũ – Giáo viên Toán cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN, NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI
  54. TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 MÔN TOÁN Success has only one destination, but has a lot of ways to go 54 x y z b) và x2 + y2 + z2 = 116 2 3 4 Bài 4: (1,5 điểm): Cho đa thức : A = 11x4y3z2 + 20x2yz - (4xy2z - 10x2yz + 3x4y3z2) - (2008xyz2 + 8x4y3z2) a) Xác định bậc của A. b) Tính giá trị của A nếu 15x - 2y = 1004z. x y z t Bài 5: (1 điểm): Chứng minh rằng: M có giá trị x y z x y t y z t x z t không phải là số tự nhiên.( x, y, z, t N* ). Bài 6: (3 điểm): Cho tam giác ABC vuông cân tại A, M là trung điểm BC. Lấy điểm D bất kì thuộc cạnh BC. H và I thứ tự là hình chiếu của B và C xuống đường thẳng AD. Đường thẳng AM cắt CI tại N. Chứng minh rằng: a) BH = AI. b) BH2 + CI2 có giá trị không đổi. c) Đường thẳng DN vuông góc với AC. d) IM là phân giác của góc HIC. ĐỀ SỐ 73 Bài 1 (2điểm) Cho bốn số dương a, b, c, d thỏa điều kiện a + c = 2b và c( b 8 8 + d) = 2bd . Chứng minh ( a c ) 8 = a c b d b8 d 8 Bài 2 (2điểm) a/ Tìm x biết: 3 2 5. x - 3,25 = -2{(1,25)2 – 2,5 . 0,25 + (-0,25)2} 4 3 b/ Tìm x , y biết: 3 y + 2x y = 0 Bài 3 (2điểm) a/ Tìm nghiệm của đa thức 7x2 - 35x + 42 b/ Đa thức f(x) = ax2 + bx + c có a, b, c là các số nguyên , và a 0. Biết với mọi giá trị nguyên của x thì f(x) chia hết cho 7. Chứng minh a, b, c cũng chia hết cho 7. Bài 4 (2điểm) a/ Tìm các số nguyên x, y biết x2 + 2x - 8y2 = 41 Thầy giáo: Hồ Khắc Vũ – Giáo viên Toán cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN, NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI
  55. TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 MÔN TOÁN Success has only one destination, but has a lot of ways to go 55 n b/ Biết x Q và 0 AC, ba đường cao BD, CE và AF cắt nhau tại H. Lấy điểm M trên cạnh AB sao cho AM = AC. Gọi N là hình chiếu của M trên AC ; K là giao điểm của MN và CE. a/ Chứng minh hai góc KAH và MCB bằng nhau. b/ Chứng minh AB + CE > AC + BD. ĐỀ SỐ 74 x32 x 03y 1 Bài 1: (1,5 điểm) Cho A biết x ; y là số nguyên âm lớn nhất xy2 2 x 16 y 25 z 9 9 x 11 x Bài 2: (2 điểm) Cho và 2.Tìm x+y+z 9 16 25 79 Bài 3: (1,5 điểm) Tìm x,y Z biết 2xy+3x = 4 16 - 72 + 90. Bài 4: (2 điểm) Cho đa thức: P = 3x3 + 4x2 - 8x+1 a/ Chứng minh rằng x= 1 là nghiệm của đa thức. b/ Tính giá trị của P biết x2+x-3 = 0 Bài 5: (3 điểm) Cho tam giác ABC có vuông tại A(AB<AC) trên cạnh Aclấy điểm Esao cho AE = AB. Tia phân giác của góc BAC cắt đường trung trực của CE tại F. a/ Chứng minh tam giác BFC b/ Biết góc ACB bằng 300.Chứng minh tam giác BFE đều. ĐỀ SỐ 75 x2 y2 z2 Bài 1: (1 điểm) Tìm số xyz biết: , và x – y + z = 4 4 9 25 b2 b2 Bài 2: (1 điểm) Biếta2 ab 25;c2 9 ; a2 ac c2 16 3 3 Thầy giáo: Hồ Khắc Vũ – Giáo viên Toán cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN, NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI
  56. TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 MÔN TOÁN Success has only one destination, but has a lot of ways to go 56 2c b c và a 0; c ≠ 0; a ≠ -c. Chứng minh rằng: . a a c Bài 3: (2,5 điểm0 a/ Tìm giá trị của m để đa thức sau là đa thức bậc 3 theo biến x: f (x) = (m2- 25) x4+ (20 + 4m) x3 + 7 x2 - 9 b/ Tìm giá trị nhỏ nhất của đa thức g(x) = 16 x4 - 72 x2 + 90. Bài 4: (2 điểm) Tìm số chia và số dư biết rằng số bị chia bằng 112 và thương bằng 5. Bài 5: (3 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, AB < AC < BC. Các tia phân giác của góc A và góc C cắt nhau tại O. Gọi F là hình chiếu của O trên BC; H là hình chiếu của O trên AC. Lấy điểm I trên đoạn FC sao cho FI = AH. Gọi K là giao điểm của FH và AI. a/ Chứng minh tam giác FCH cân và AK = KI. b/ Chứng minh ba điểm B, O, K thẳng hàng. ĐỀ SỐ 76 Bài 1. (4,0 điểm). 132 8 19 23 a) Tính: A = 1 . 0,5 .3 1 :1 15 15 60 24 b) So sánh: 1620 và 2100 Bài 2. (3,0 điểm). 11 a) Tìm x biết: 2x 7 1 22 b) Tìm số tự nhiên n biết: 3 15 .3nn 4.3 13.3 Bài 3. (4,5 điểm). 2a b c d a 2b c d a b 2c d a b c 2d a) Cho dãy tỉ số bằng nhau: a b c d a b b c c d d a Tính giá trị biểu thức Q, biết Q = c d d a a b b c Thầy giáo: Hồ Khắc Vũ – Giáo viên Toán cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN, NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI
  57. TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 MÔN TOÁN Success has only one destination, but has a lot of ways to go 57 x y z t b) Cho biểu thức M với x, y, z, t là các số xyzxytyztxzt tự nhiên khác 0. Chứng minh M 10 1025 . Bài 4. (6,5 điểm). 1) Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Gọi M là trung điểm BC, D là điểm thuộc đoạn BM (D khác B và M). Kẻ các đường thẳng BH, CI lần lượt vuông góc với đường thẳng AD tại H và I. Chứng minh rằng: a) BAM = ACM và BH = AI. b) Tam giác MHI vuông cân. 2) Cho tam giác ABC có góc  = 900. Kẻ AH vuông góc với BC (H thuộc BC). Tia phân giác của góc HAC cắt cạnh BC ở điểm D và tia phân giác của góc HAB cắt cạnh BC ở E. Chứng minh rằng AB + AC = BC + DE. Bài 5. (2,0 điểm). Cho x, y, z là 3 số thực tùy ý thỏa mãn x + y + z = 0 và 11 x , 11 y , 11 z . Chứng minh rằng đa thức x2 y 4 z 6 có giá trị không lớn hơn 2. ĐỀ SỐ 77 Bài 1: (1,5 điểm): So sánh hợp lý: 200 1000 1 1 27 39 a) và b) (-32) và (-18) 16 2 x 2 Bài 2: (1,5 điểm) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức C = với x là nguyên. x Bài 3: Tìm x, y, z biết a) (3x - 5)2006 +(y2 - 1)2008 + (x - z) 2100 = 0 x y z b) và x2 + y2 + z2 = 116 2 3 4 Bài 4: (1,5 điểm): Cho đa thức A = 11x4y3z2 + 20x2yz - (4xy2z - 10x2yz + 3x4y3z2) - (2008xyz2 + 8x4y3z2) a/ Xác định bậc của A. b/ Tính giá trị của A nếu 15x - 2y = 1004z. Bài 5: (1 điểm): Cho x, y, z, t N* . x y z t Chứng minh rằng: M có giá trị không phải x y z x y t y z t x z t Thầy giáo: Hồ Khắc Vũ – Giáo viên Toán cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN, NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI
  58. TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 MÔN TOÁN Success has only one destination, but has a lot of ways to go 58 là số tự nhiên. Bài 6: (3 điểm): Cho tam giác ABC vuông cân tại A, M là trung điểm BC. Lấy điểm D bất kì thuộc cạnh BC. H và I thứ tự là hình chiếu của B và C xuống đường thẳng AD. Đường thẳng AM cắt CI tại N. Chứng minh rằng: a) BH = AI. b) BH2 + CI2 có giá trị không đổi. c) Đường thẳng DN vuông góc với AC. d) IM là phân giác của góc HIC. ĐỀ SỐ 78 Câu 1 (5 điểm) a c 3a 6 c6 (a c)6 a, Cho = . Chứng minh rằng: = (b +d 0) b d 3b6 d 6 (b d)6 b, Tìm hai số dương, biết rằng tổng, hiệu, tích của chúng lần lượt tỉ lệ nghịch với 15; 60 và 8. Câu 1 (3 điểm)a, Tính giá trị của biểu thức: 2a 5b với = 3 . a 3b 5 b, Tìm các số a, b, c biết ab = 2, bc = 6 và ac = 3. Câu 3 (3 điểm) a, Tìm các số tự nhiên abc có ba chữ số khác nhau sao cho 3a + 5b = 8c. b, Chứng minh đa thức x2 + 4x + 10 không có nghiệm. Câu 4 (2 điểm) x 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = với x là số nguyên. x Câu 5 (7 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, AB < AC < BC. Các tia phân giác của góc A và góc C cắt nhau tại O. Gọi F là hình chiếu của O trên BC; H là hình chiếu của O trên AC. Lấy điểm I trên đoạn FC sao cho FI = AH. Gọi K là giao điểm của FH và AI. a/ Chứng minh tam giác FCH cân và AK = KI. b/ Chứng minh ba điểm B, O, K thẳng hàng. ĐỀ SỐ 79 Câu 1: ( 5 điểm) a b c b c a c a b a) Cho a, b, c là ba số thực dương, thoả mãn điều kiện: . c a b b a c Hãy tính giá trị của biểu thức B 1 1 1 . a c b Thầy giáo: Hồ Khắc Vũ – Giáo viên Toán cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN, NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI
  59. TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 MÔN TOÁN Success has only one destination, but has a lot of ways to go 59 ac b) Cho tỉ lệ thức với a 0;b 0;c 0;d 0;a b;c d . Chứng minh: bd 2013 a b a2013 b 2013 2013 2013 c d c d Câu 2. (6điểm) a) Cho x = y = z = t y z t z t x t x y x y z CMR: Biểu thức sau có giá trị nguyên A= x y + y z + z t + t x z t t x x y y z b) Tìm x biết: x2 – 5x +6 = 0 2 3 1 c) Số A được chia thành 3 số tỉ lệ theo ::. Biết rằng tổng các bình phương của ba 5 4 6 số đó bằng 24309. Tìm số A. Câu 3. (2 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A x 2013 x 2014 x 2015 Câu 4. (2 điểm) Tìm hai số dương biết tổng, hiệu, tích của chúng tỉ lệ nghịch với ba số 30; 120; 16. Câu 5. (5 điểm) Cho tam giác ABC vuông ở A, có góc C=300, đường cao AH. Trên đoạn HC lấy điểm D sao cho HD=HB. Từ C kẻ CE vuông góc với AD. Chứng minh: a) Tam giác ABD là tam giác đều. b) AH = CE. c) EH song song với AC. ĐỀ SỐ 80 Bµi 1: (2 ®iÓm) 4 a, Cho A (0,8.7 0.82 ).(1,25.7 .1,25) 31,64 5 (11,81 8,19).0,02 B 9 :11,25 Trong hai sè A vµ B sè nµo lín h¬n vµ lín h¬n bao nhiªu lÇn ? b) Sè A 101998 4 cã chia hÕt cho 3 kh«ng ? Cã chia hÕt cho 9 kh«ng ? C©u 2: (2 ®iÓm) Trªn qu·ng ®•êng AB dµi 31,5 km. An ®i tõ A ®Õn B, B×nh ®i tõ B ®Õn A. VËn tèc An so víi B×nh lµ 2: 3. §Õn lóc gÆp nhau, thêi gian An ®i so víi B×nh ®i lµ 3: 4. Thầy giáo: Hồ Khắc Vũ – Giáo viên Toán cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN, NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI
  60. TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 MÔN TOÁN Success has only one destination, but has a lot of ways to go 60 TÝnh qu·ng ®•êng mçi ng•êi ®i tíi lóc gÆp nhau ? C©u 3: a) Cho f (x) ax2 bx c víi a, b, c lµ c¸c sè h÷u tØ. Chøng tá r»ng: f ( 2). f (3) 0 . BiÕt r»ng 13a b 2c 0 2 b) T×m gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó biÓu thøc A cã gi¸ trÞ lín nhÊt. 6 x C©u 4: (3 ®iÓm) Cho ABC dùng tam gi¸c vu«ng c©n BAE; BAE = 900, B vµ E n»m ë hai nöa mÆt ph¼ng kh¸c nhau bê AC. Dùng tam gi¸c vu«ng c©n FAC, FAC = 900. F vµ C n»m ë hai nöa mÆt ph¼ng kh¸c nhau bê AB. a) Chøng minh r»ng: ABF = ACE b) FB  EC. C©u 5: (1 ®iÓm) T×m ch÷ sè tËn cïng cña 0 9 89 96 51 91 A 19 2 ĐỀ SỐ 81 C©u 1: (2 ®iÓm) 3 3 0,375 0,3 1,5 1 0,75 1890 a) TÝnh A 11 12 : 115 5 5 5 2005 2,5 1,25 0,625 0,5 3 11 12 1 1 1 1 1 1 b) Cho B 3 32 33 34 32004 32005 1 Chøng minh r»ng B . 2 C©u 2: (2 ®iÓm) a c 5a 3b 5c 3d a) Chøng minh r»ng nÕu th× b d 5a 3b 5c 3d (gi¶ thiÕt c¸c tØ sè ®Òu cã nghÜa). x 1 x 2 x 3 x 4 b) T×m x biÕt: 2004 2003 2002 2001 C©u 3: (2®iÓm) a) Cho ®a thøc f (x) ax2 bx c víi a, b, c lµ c¸c sè thùc. BiÕt r»ng f(0); f(1); f(2) cã gi¸ trÞ nguyªn. Chøng minh r»ng 2a, 2b cã gi¸ trÞ nguyªn. b) §é dµi 3 c¹nh cña tam gi¸c tØ lÖ víi 2; 3; 4. Ba ®•êng cao t•¬ng øng víi ba c¹nh Thầy giáo: Hồ Khắc Vũ – Giáo viên Toán cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN, NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI
  61. TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 MÔN TOÁN Success has only one destination, but has a lot of ways to go 61 ®ã tØ lÖ víi ba sè nµo ? C©u 4: (3 ®iÓm) Cho tam gi¸c c©n ABC (AB = AC0. Trªn c¹nh BC lÊy ®iÓm D, trªn tia ®èi cña tia CB lÊy ®iÓm E sao cho BD = CE. C¸c ®•êng th¼ng vu«ng gãc víi BC kÎ tõ D vµ E c¾t AB, AC lÇn l•ît ë M, N. Chøng minh r»ng: a) DM = EN b) §•êng th¼ng BC c¾t MN t¹i trung ®iÓm I cña MN. c) §•êng th¼ng vu«ng gãc víi MN t¹i I lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh khi D thay ®æi trªn c¹nh BC. C©u 5: (1 ®iÓm) T×m sè tù nhiªn n ®Ó ph©n sè 7n 8 cã gi¸ trÞ lín nhÊt. 2n 3 ĐỀ SỐ 82 C©u 1: (2 ®iÓm) a) TÝnh: 3 3 11 11 A = 0,75 0,6 : 2,75 2,2 7 13 7 13 10 1,21 22 0,25 5 225 B = : 7 3 49 9 b) T×m c¸c gi¸ trÞ cña x ®Ó: x 3 x 1 3x C©u 2: (2 ®iÓm) a b c a) Cho a, b, c > 0 . Chøng tá r»ng: M kh«ng lµ sè nguyªn. a b b c c a b) Cho a, b, c tho¶ m·n: a + b + c = 0. Chøng minh r»ng: ab bc ca 0. C©u 3: (2 ®iÓm) a) T×m hai sè d•¬ng kh¸c nhau x, y biÕt r»ng tæng, hiÖu vµ tÝch cña chóng lÇn l•ît tØ lÖ nghÞch víi 35; 210 vµ 12. b) VËn tèc cña m¸y bay, « t« vµ tµu ho¶ tØ lÖ víi c¸c sè 10; 2 vµ 1. Thêi gian m¸y bay bay tõ A ®Õn B Ýt h¬n thêi gian « t« ch¹y tõ A ®Õn B lµ 16 giê. Hái tµu ho¶ ch¹y tõ A ®Õn B mÊt bao l©u ? C©u 4: (3 ®iÓm) Cho c¹nh h×nh vu«ng ABCD cã ®é dµi lµ 1. Trªn c¸c c¹nh AB, AD lÊy c¸c ®iÓm P, Q sao cho chu vi APQ b»ng 2. Chøng minh r»ng gãc PCQ b»ng 450. C©u 5: (1 ®iÓm) 1 1 1 1 9 Chøng minh r»ng: 5 15 25 1985 20 Thầy giáo: Hồ Khắc Vũ – Giáo viên Toán cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN, NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI
  62. TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 MÔN TOÁN Success has only one destination, but has a lot of ways to go 62 ĐỀ SỐ 83 Bµi 1: (2 ®iÓm) a) Chøng minh r»ng víi mäi sè n nguyªn d•¬ng ®Òu cã: A= 5n (5n 1) 6n (3n 2)  91 b) T×m tÊt c¶ c¸c sè nguyªn tè P sao cho P2 14 lµ sè nguyªn tè. Bµi 2: ( 2 ®iÓm) a) T×m sè nguyªn n sao cho n2 3  n 1 bz cy cx az ay bx b) BiÕt a b c a b c Chøng minh r»ng: x y z Bµi 3: (2 ®iÓm) An vµ B¸ch cã mét sè b•u ¶nh, sè b•u ¶nh cña mçi ng•êi ch•a ®Õn 100. Sè b•u ¶nh hoa cña An b»ng sè b•u ¶nh thó rõng cña B¸ch. + B¸ch nãi víi An. NÕu t«i cho b¹n c¸c b•u ¶nh thó rõng cña t«i th× sè b•u ¶nh cña b¹n gÊp 7 lÇn sè b•u ¶nh cña t«i. + An tr¶ lêi: cßn nÕu t«i cho b¹n c¸c b•u ¶nh hoa cña t«i th× sè b•u ¶nh cña t«i gÊp bèn lÇn sè b•u ¶nh cña b¹n. TÝnh sè b•u ¶nh cña mçi ng•êi. Bµi 4: (3 ®iÓm) Cho ABC cã gãc A b»ng 1200 . C¸c ®•êng ph©n gi¸c AD, BE, CF . a) Chøng minh r»ng DE lµ ph©n gi¸c ngoµi cña ADB. b) TÝnh sè ®o gãc EDF vµ gãc BED. Bµi 5: (1 ®iÓm) T×m c¸c cÆp sè nguyªn tè p, q tho¶ m·n: 2 52 p 1997 52 p q2 ĐỀ SỐ 84 Bµi 1: (2 ®iÓm) 1 5 5 1 3 13 2 10 . 230 46 TÝnh: 4 27 6 25 4 3 10 1 2 1 : 12 14 10 3 3 7 Bµi 2: (3 ®iÓm) a) Chøng minh r»ng: A 3638 4133 chia hÕt cho 77. b) T×m c¸c sè nguyªn x ®Ó B x 1 x 2 ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt. c) Chøng minh r»ng: P(x) ax3 bx2 cx d cã gi¸ trÞ nguyªn víi mäi x nguyªn Thầy giáo: Hồ Khắc Vũ – Giáo viên Toán cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN, NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI
  63. TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 MÔN TOÁN Success has only one destination, but has a lot of ways to go 63 khi vµ chØ khi 6a, 2b, a + b + c vµ d lµ sè nguyªn. Bµi 3: (2 ®iÓm) a c a) Cho tØ lÖ thøc . Chøng minh r»ng: b d 2 ab a2 b2 a b a2 b2 vµ cd c2 d 2 c d c2 d 2 b) T×m tÊt c¶ c¸c sè nguyªn d•¬ng n sao cho: 2n 1 chia hÕt cho 7. Bµi 4: (2 ®iÓm) Cho c¹nh h×nh vu«ng ABCD cã ®é dµi lµ 1. Trªn c¸c c¹nh AB, AD lÊy c¸c ®iÓm P, Q sao cho chu vi APQ b»ng 2. Chøng minh r»ng gãc PCQ b»ng 450. Bµi 5: (1 ®iÓm) Chøng minh r»ng: 3a 2b 17 10a b 17 (a, b Z ) ĐỀ SỐ 85 Bµi 1: (2 ®iÓm) a) T×m sè nguyªn d•¬ng a lín nhÊt sao cho 2004! chia hÕt cho 7a. 1 1 1 1 b) TÝnh P 2 3 4 2005 2004 2003 2002 1 1 2 3 2004 Bµi 2: (2 ®iÓm) x y z t Cho y z t z t x t x y x y z chøng minh r»ng biÓu thøc sau cã gi¸ trÞ nguyªn. x y y z z t t x P z t t x x y y z Bµi 3: (2 ®iÓm) Hai xe m¸y khëi hµnh cïng mét lóc tõ A vµ B, c¸ch nhau 11 km ®Ó ®i ®Õn C. VËn tèc cña ng•êi ®i tõ A lµ 20 km/h. VËn tèc cña ng•êi ®i tõ B lµ 24 km/h. TÝnh qu·ng ®•êng mçi ng•êi ®· ®i. BiÕt hä ®Õn C cïng mét lóc vµ A, B, C th¼ng hµng. Bµi 4: (3 ®iÓm) Cho tam gi¸c nhän ABC. KÎ AH  BC (H BC). VÏ AE  AB vµ AE = AB (E vµ C kh¸c phÝa ®èi víi AC). KÎ EM vµ FN cïng vu«ng gãc víi ®•êng th¼ng AH (M, N AH). EF c¾t AH ë O. Chøng minh r»ng O lµ trung ®iÓm cña EF. Bµi 5: (1 ®iÓm) So s¸nh: 5255 vµ 2579 Thầy giáo: Hồ Khắc Vũ – Giáo viên Toán cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN, NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI
  64. TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 MÔN TOÁN Success has only one destination, but has a lot of ways to go 64 ĐỀ SỐ 86 x y y z Bµi 1: (6 điểm): a, T×m x, y, z biÕt: , vµ 2x 3y z 6 3 4 3 5 x y b, T×m hai sè x, y biÕt r»ng: vµ x.y 40 2 5 c, T×m x, biÕt: 5x 4 x 2 ac a22 c a Bài 2: (3 điểm): Cho chứng minh rằng: cb b22 c b 212 .3 5 4 6 .9 2 5 10 .7 3 25 5 .49 2 A Bài 3: (4 điểm): Thực hiện phép tính: 63 22 .3 8 4 .3 5 125.7 593 .14 Bài 4: (6 điểm): Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của của tia MA lấy điểm E sao cho: ME = MA. Chứng minh rằng: a) AC = EB và AC // BE b) Gọi I là một điểm trên AC ; K là một điểm trên EB sao cho AI = EK. Chứng minh ba điểm I , M , K thẳng hang. c) Từ E kẻ EH BC H BC . Biết HBE = 50o ; MEB =25o. Tính HEM và BME Bài 5: (1 điểm): Tìm xy, biết: 25 yx22 8( 2009) ĐỀ SỐ 87 C©u 1: (2 ®iÓm) 1 1 1 512 512 512 512 TÝnh : A 6 39 51 ; B 512 1 1 1 2 3 10 2 2 2 2 8 52 68 C©u 2: (2 ®iÓm) a) T×m x, y nguyªn biÕt: xy + 3x - y = 6 x y z b) T×m x, y, z biÕt: x y z (x, y, z 0 ) z y 1 x z 1 x y 2 C©u 3: (2 ®iÓm) a) Chøng minh r»ng: Víi n nguyªn d•¬ng ta cã: S 3n 2 2n 2 3n 2n chia hÕt cho 10. b) T×m sè tù nhiªn x, y biÕt: 7(x 2004)2 23 y2 C©u 4: (3 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC, AK lµ trung tuyÕn. Trªn nöa mÆt ph¼ng kh«ng chøa B, bê lµ Thầy giáo: Hồ Khắc Vũ – Giáo viên Toán cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN, NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI
  65. TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 MÔN TOÁN Success has only one destination, but has a lot of ways to go 65 AC, kÎ tia Ax vu«ng gãc víi AC; trªn tia Ax lÊy ®iÓm M sao cho AM = AC. Trªn nöa mÆt ph¼ng kh«ng chøa C, bê lµ AB, kÎ tia Ay vu«ng gãc víi AB vµ lÊy ®iÓm N thuéc Ay sao cho AN = AB. LÊy ®iÓm P trªn tia AK sao cho AK = KP. Chøng minh: a) AC // BP. b) AK  MN. C©u 5: (1 ®iÓm) Cho a, b, c lµ sè ®o 3 c¹nh cña mét tam gi¸c vu«ng víi c lµ sè ®o c¹nh huyÒn. Chøng minh r»ng: a2n b2n c2n ; n lµ sè tù nhiªn lín h¬n 0. ĐỀ SỐ 88 A/ PhÇn ®Ò chung C©u 1 (1,5®iÓm): a. (0,75®) TÝnh tæng B = 1+5+52+53+ +52008+52009 1 1 1 1 b. (0,75®) Thùc hiÖn phÐp tÝnh 1 : 1 625 5 25 25 C©u 2 (2®iÓm): 2x 1 3y 2 2x 3y 1 a. (1®) T×m x, y biÕt : 5 7 6x x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 b. (1®) T×m x biÕt 10 11 12 13 14 C©u 3 (1,5®iÓm): 2 VÏ ®å thÞ hµm sè: y = - x 3 C©u 4 (3®iÓm): a. (1,5®) HiÖn nay anh h¬n em 8 tuæi. Tuæi cña anh c¸ch ®©y 5 n¨m vµ tuæi cña em sau 8 n¨m n÷a tØ lÖ víi 3 vµ 4. Hái hiÖn nay anh bao nhiªu tuæi? Em bao nhiªu tuæi? b. (1,5®) Cho ABC (gãc A=900). KÎ AH  BC, kÎ HP  AB vµ kÐo dµi ®Ó cã PE = PH. KÎ HQ  AC vµ kÐo dµi ®Ó cã QF = QH. a./ Chøng minh APE = APH vµ AQH = AQF b./ Chøng minh 3 ®iÓm E, A, F th¼ng hµng. B/ PhÇn ®Ò riªng C©u 5 A (2®iÓm): (Dµnh cho häc sinh chuyªn to¸n) a. (1,5®) TÝnh tæng Thầy giáo: Hồ Khắc Vũ – Giáo viên Toán cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN, NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI
  66. TUYỂN TẬP 500 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7 MÔN TOÁN Success has only one destination, but has a lot of ways to go 66 3n 1 1 S = 1 + 2 + 5 + 14 + + (víi n Z ) 2 + b. (0,5®) Cho ®a thøc f(x) = x4 + 2x3 – 2x2 – 6x + 5 Trong c¸c sè sau: 1, -1, 5, -5 sè nµo lµ nghiÖm cña ®a thøc f(x) C©u 5 B (2®iÓm): (Dµnh cho häc sinh kh«ng chuyªn to¸n) a. (1,5®) T×m x Z ®Ó A cã gi¸ trÞ nguyªn A = 5x 2 x 2 b. (0,5®) Chøng minh r»ng: 76 + 75 – 74 chia hÕt cho 55 ĐỀ SỐ 89 C©u 1 (1,5®iÓm) 4 4 4 4 a. (1®) TÝnh tæng: M = -  1.5 5.9 9.13 n 4 n b. (0,5®) T×m x biÕt: -4x(x – 5) – 2x(8 – 2x) = -3 C©u 2 (1,5®iÓm) a. (1®) T×m x, y, z biÕt: x3 y3 z3 vµ x2 + y2 + z2 = 14 8 64 216 b. (0,5®) Cho x1 + x2 + x3 + + x50 + x51 = 0 vµ x1 + x2 = x3 + x4 = x5 + x6 = = x49 + x50 = 1 tÝnh x50 C©u 3 (2®iÓm) a. (1®) Trªn mÆt ph¼ng to¹ ®é, cho 2 ®iÓm M(-3;2) vµ N(3;-2). H·y gi¶i thÝch v× sao gèc to¹ ®é O vµ hai ®iÓm M, N lµ 3 ®iÓm th¼ng hµng? 2 x 1 3 1 1 4 2 b. (1®) Cho ®a thøc: Q(x) = x x x x x 2 2 2 2 a./ T×m bËc cña ®a thøc Q(x) 1 b./ TÝnh Q 2 c./ Chøng minh r»ng Q(x) nhËn gi¸ trÞ nguyªn víi mäi sè nguyªn x C©u 4 (3®iÓm) a. (1®) Ba tæ c«ng nh©n A, B, C ph¶i s¶n xuÊt cïng mét sè s¶n phÈm nh• nhau. Thêi gian 3 tæ hoµn thµnh kÕ ho¹ch theo thø tù lµ 14 ngµy, 15 ngµy vµ 21 ngµy. Tæ A nhiÒu h¬n tæ C lµ 10 ng•êi. Hái mçi tæ cã bao nhiªu c«ng nh©n? (N¨ng suÊt lao ®éng cña c¸c c«ng nh©n lµ nh• nhau) b. (2®) Cho h×nh vu«ng ABCD. Trªn nöa mÆt ph¼ng chøa ®iÓm B bê lµ ®•êng th¼ng AD vÏ tia AM (M CD) sao cho gãc MAD = 200. Còng trªn nöa mÆt ph¼ng nµy vÏ tia Thầy giáo: Hồ Khắc Vũ – Giáo viên Toán cấp II-III Phường Hòa Thuận – TP Tam Kỳ - Tỉnh Quảng Nam THÀNH CÔNG CÓ DUY NHẤT MỘT ĐIỂM ĐẾN, NHƯNG CÓ RẤT NHIỀU CON ĐƯỜNG ĐỂ ĐI