Tuyển tập đề thi học sinh giỏi môn Toán học Lớp 6

Nội dung text: Tuyển tập đề thi học sinh giỏi môn Toán học Lớp 6

1. TUYỂN TẬP ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 6 ĐỀ SỐ 1 PHÒNG GD&ĐT HUYỆN TƯ KÌ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NGHĨA Năm học: 2016 - 2017 Môn thi: Toán 6 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) 12n 1 Câu 1. (3,0 điểm) Cho A = . Tìm giá trị của n để: 2n 3 a) A là một phân số. b) A là một số nguyên Câu 2. (4,0 điểm) 1 1 1 1 1 1 a) Không quy đồng hãy tính tổng sau: A = 20 30 42 56 72 90 2010 2011 2012 2010 2011 2012 b) So sánh P và Q, biết: P = và Q = 2011 2012 2013 2011 2012 2013 Câu 3. (3,0 điểm): Tìm x, biết: a) (7x - 11)3 = 25.52 + 200 b) 3 x + 16 = - 13,25 3 Câu 4. (3,0 điểm) Ở lớp 6A, số học sinh giỏi học kỳ I bằng số còn lại. Cuối năm có 7 2 thêm 4 học sinh đạt loại giỏi nên số học sinh giỏi bằng số còn lại. Tính số học sinh của lớp 3 6A. Câu 5. (2,0 điểm) Cho ababab là số có sáu chữ số, chứng tỏ số ababab là bội của 3. Câu 6. (5,0 điểm) Cho xAy, trên tia Ax lấy điểm B sao cho AB = 5 cm. Trên tia đối của tia Ax lấy điểm D sao cho AD = 3 cm, C là một điểm trên tia Ay. a) Tính BD.
2. b) Biết BCD = 850, BCA = 500. Tính ACD c) Biết AK = 1 cm (K thuộc BD). Tính BK Đáp án đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 6 Câu Đáp án Điểm 12n 1 a) A = là phân số khi: 12n + 1 Z , 2n + 3 Z và 2n + 3 2n 3 0,5 0 0,5 Câu 1 n Z và n -1,5 (3,0 điểm) 12n 1 0,5 b) A = = 6- 2n 3 0,5 A là số nguyên khi 2n + 3 Ư(17) 2n + 3 1; 17 0,5 0,5 n 10; 2; 1;7 1 1 1 1 1 1 a) Tính A = 20 30 42 56 72 90 Câu 2. 1 1 1 1 1 1 = - ( ) 0,5 (4,0 điểm) 4.5 5.6 6.7 7.8 8.9 9.10 0,5 1 1 1 1 1 1 1 1 = - ( ) 4 5 5 6 6 7 9 10 0,5 1 1 = - ( ) 4 10 0,5 3 = 20 b) So sánh P và Q 2010 2011 2012 2010 2011 2012 0,75 Biết: P = và Q = 2011 2012 2013 2011 2012 2013 0,25 2010 2011 2012 2010 Q = = + 2011 2012 2013 2011 2012 2013 0,25 2011 2011 2012 2013 2012 0,25 + 2011 2012 2013
3. 2010 Ta có: + + Q a) (7x-11)3 = 25.52 + 200 0,25 => (7x -11)3 = 32.25 + 200 0,25 => (7x -11)3 = 800 + 200 0,25 => (7x -11)3 = 1000 = 103 0,25 => 7x - 11 = 10 0,25 => 7x = 21 0,25 => x = 3 b) 3 x + 16 = - 13,25 Câu 3 0,5 (3,0 điểm) => x + = 0,5 => x = - => x = -30 0,25 => x = -9 0,25 3 0,75 Số học sinh giỏi kỳ I bằng 10 số học sinh cả lớp 2 Câu 4 0,75 Số học sinh giỏi cuối bằng 5 số học sinh cả lớp. (3,0 điểm) 2 3 0,75 4 học sinh là 5 - 10 số học sinh cả lớp. 0,75
4. 1 1 10 số học sinh cả lớp là 4 nên số học sinh cả lớp là 4: 10 = 40 (học sinh) 0,5 ababab = ab .10000 + ab .100 + ab 0,5 Câu 5 = 10101. ab (2,0 điểm) Do 10101 chia hết cho 3 nên ababab chia hết cho 3 0,5 0,5 hay ababab là bội của 3. 0,25 C y D A B a) Tính BD Vì B thuộc tia Ax, D thuộc tia đối của tia Ax 0,25 A nằm giữa D và B Câu 6 BD = BA + AD = 5 + 3 = 8 (cm) 0,5 (5,0 điểm) b) Biết BCD = 850, BCA = 500. Tính ACD 0,5 Vì A nằm giữa D và B => Tia CA nằm giữa 2 tia CB và CD 0,5 => ACD + ACB = BCD => ACD = BCD - ACB = 850 - 500 = 350 0,25 c) Biết AK = 1 cm (K thuộc BD). Tính BK * Trường hợp 1: K thuộc tia Ax 0,5 - Lập luận chỉ ra được K nằm giữa A và B - Suy ra: AK + KB = AB KB = AB – AK = 5 – 1 = 4 (cm) 0,25 0,5 0,25 * Trường hợp 2: K thuộc tia đối của tia Ax 0,25 - Lập luận chỉ ra được A nằm giữa K và B
5. - Suy ra: KB = KA + AB KB = 5 + 1 = 6 (cm) 0,5 0,25 0,25 * Kết luận: Vậy KB = 4 cm hoặc KB = 6 cm (Bài thi của thí sinh giải theo cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa) ĐỀ SỐ 2
6. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KIỂM TRA KHẢO SÁT HỌC SINH ĐỘI TUYỂN TỈNH ĐỒNG THÁP Năm học 2016 - 2017 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn kiểm tra: TOÁN – LỚP 6 (Đề gồm có 01 trang) Ngày kiểm tra: 27/01/2017 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Câu I: (4.0 điểm). Thực hiện phép tính 5.(22.32 )9.(22 )6 2.(22.3)14.34 1) A = 5.228.318 7.229.318 12 12 12 5 5 5 12 5 158158158 2) B = 81. 7 289 85 : 13 169 91 . 4 4 4 6 6 6 4 6 711711711 7 289 85 13 169 91 Câu II: (4.0 điểm) 1) So sánh P và Q 2010 2011 2012 2010 2011 2012 Biết P = và Q = 2011 2012 2013 2011 2012 2013 2) Tìm hai số tự nhiên a và b, biết: BCNN(a, b) = 420; ƯCLN(a, b) = 21 và a + 21 = b. Câu III: (4.0 điểm) 1) Chứng minh rằng: Nếu 7x + 4y37 thì 13x +18y37 1 3 3 3 3 3 3 2) Cho A = ( )2 ( )3 ( )4 ( )2012 và B = ( )2013 : 2 2 2 2 2 2 2 2 Tính B – A Câu IV. (6.0 điểm) Cho xÂy, trên tia Ax lấy điểm B sao cho AB = 6 cm. Trên tia đối của tia Ax lấy điểm D sao cho AD = 4 cm. 1) Tính BD. 2) Lấy C là một điểm trên tia Ay. Biết BĈD = 800, BĈA = 450. Tính AĈD 3) Biết AK = 2 cm (K thuộc BD). Tính BK Câu V: (2.0 điểm)
7. x 3 1 1) Tìm các số tự nhiên x, y sao cho: 9 y 18 10n 3 2) Tìm số tự nhiên n để phân số B đạt GTLN. Tìm giá trị lớn nhất đó. 4n 10 Đáp án đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 6 Câu Nội dung Điểm 5.(22.32 )9.(22 )6 2.(22.3)14.34 0.5 a) Ta có: A 5.228.318 7.229.318 5.218.318.212 2.228.314.34 0.5 5.228.318 7.229.318 5.230.318 229.318 0.5 228.318 (5 7.2) 229.318 (5.2 1) 2.9 0.5 2 228.318 (5 14) 9 KL: Câu 1 12 12 12 5 5 5 12 5 158158158 b) Ta có: B 81. 7 289 85 : 13 169 91 . 0.5 4 4 4 6 6 6 4 6 711711711 7 289 85 13 169 91 1 1 1 1 1 1 12 1 5 1 7 289 85 13 169 91 158.1001001 81. : . 0.5 1 1 1 1 1 1 711.1001001 4 1 6 1 7 289 85 13 169 91 0.5 12 5 158 81. : . 4 6 711 0.5 18 2 324 81. . 64,8 5 9 5 KL: Câu 2 a) Ta có: 1.0
8. 2010 2011 2012 2010 2011 Q = = + + 2011 2012 2013 2011 2012 2013 2011 2012 2013 2012 + 0.75 2011 2012 2013 Lần lượt so sánh từng phân số của P và Q với các tử là: 2010; 2011; 0.25 2012 thấy được các phân thức của P đều lớn hơn các phân thức của Q Kết luận: P > Q b) Từ dữ liệu đề bài cho, ta có: + Vì ƯCLN(a, b) = 21, nên tồn tại các số tự nhiên m và n khác 0, sao cho: a = 21m; b = 21n (1) và ƯCLN(m, n) = 1 (2) 0.5 + Vì BCNN(a, b) = 420, nên theo trên, ta suy ra: BCNN 21m; 21n 420 21.20 0.5 BCNN m; n 20 (3) + Vì a + 21 = b, nên theo trên, ta suy ra: 21m 21 21n 0.5 21. m 1 21n m 1 n (4) Trong các trường hợp thoả mãn các điều kiện (2) và (3), thì chỉ có Trường hợp: m = 4, n = 5 hoặc m = 2, n = 3 là thoả mãn điều kiện 0.5 (4). Vậy với m = 4, n = 5 hoặc m = 2, n = 3 ta được các số phải tìm là: a = 21.4 = 84; b = 21.5 = 105 a) Ta có: 5(13x 18y) 4(7x 4y) 65x 90y 28x 16y 0.5 37x 74y 37(x 2y)37 Hay5(13x 18y) 4(7x 4y)37 (*) 0.5 0.5 Vì 7x 4y37 , mà (4; 37) = 1 nên 4(7x 4y)37 0.5 Do đó, từ (*) suy ra: 5(13x 18y)37 , mà (5; 37) = 1 nên
9. 13x 18y37 b) Ta có: Câu 3 1 3 3 3 3 3 A ( )2 ( )3 ( )4 ( )2012 (1) 2 2 2 2 2 2 0.5 3 3 3 3 3 3 A ( )2 ( )3 ( )4 ( )2013 (2) 2 4 2 2 2 2 Lấy (2) – (1), ta được: 0.5 3 3 3 1 3 A A ( )2013 2 2 4 2 2 1 3 1 32013 1 0.5 A ( )2013 A 2 2 4 22012 2 32013 32013 5 Vậy B A 0.5 22014 22012 2 Hình vẽ: y . C 0.5 D A B x a) Vì B thuộc tia Ax, D thuộc tia đối của tia Ax Câu 4 A nằm giữa D và B 0.5 BD = BA + AD = 6 + 4 = 10 (cm) 0.5 KL: 0.5 b) Vì A nằm giữa D và B => Tia CA nằm giữa 2 tia CB và CD => ACD + ACB = BCD 0.5 => ACD = BCD – ACB = 800 – 450 = 350 0.5 KL: . 0.5 c) * Trường hợp 1: K thuộc tia Ax 0.5 - Lập luận chỉ ra được K nằm giữa A và B 0.25
10. - Suy ra: AK + KB = AB 0.25 KB = AB – AK = 6 – 2 = 4 (cm) 0.25 0.25 * Trường hợp 2: K thuộc tia đối của tia Ax - Lập luận chỉ ra được A nằm giữa K và B 0.25 - Suy ra: KB = KA + AB 0.25 KB = 6 + 2 = 8 (cm) 0.25 0.25 * Kết luận: Vậy KB = 4 cm hoặc KB = 8 cm x 3 1 x 1 3 2x 1 3 a) Từ 9 y 18 9 18 y 18 y 0.25 (2x – 1).y = 54 = 1.54 = 2.27 = 3.18 = 6.9 Vì x là số tự nhiên nên 2x – 1 là ước số lẻ của 54. Ta có bảng sau: 2x – 1 1 3 9 27 0.25 x 1 2 5 14 0.25 y 54 18 6 2 0.25 Câu 5 Vầy (x; y) = (1; 54); (2; 18); (5; 6); (14; 2) 10n 3 22 0.25 b) B = 2,5 + 4n 10 4n 10 22 22 0.25 Vì n N nên B = 2,5 + đạt GTLN khi đạt GTLN. 4n 10 4n 10 22 Mà đạt GTLN 4n – 10 là số nguyên dương nhỏ nhất. 4n 10 0.25 11 - Nếu 4n – 10 = 1 thì n = N (loại) 4 0.25 - Nếu 4n – 10 = 2 thì n = 3. Vậy GTLN của B = 13,5 khi n = 3.
11. ĐỀ SỐ 3 PHÒNG GD&ĐT QUỲNH LƯU ĐỀ THI HSG CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2015 - 2016 TRƯỜNG THCS QUỲNH GIANG Môn toán lớp 6 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 120 phút Câu 1 (2,0 điểm) a) Tính nhanh: 16 + (27 - 7.6) - (94.7 - 27. 99) 2 2 2 2 b) Tính tổng: A = 1.4 4.7 7.10 97.100 Câu 2 (2,0 điểm) Cho biểu thức: M = 5 + 52 + 53 + + 580. Chứng tỏ rằng: a) M chia hết cho 6. b) M không phải là số chính phương. Câu 3 (2,0 điểm) 2n 5 a) Chứng tỏ rằng: , n N là phân số tối giản. n 3 2n 5 b) Tìm các giá trị nguyên của n để phân số B = có giá trị là số nguyên. n 3 Câu 4 (1,0 điểm) Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho khi chia số đó cho 3 dư 1; chia cho 4 dư 2; chia cho 5 dư 3; chia cho 6 dư 4 và chia hết cho 11. Câu 5 (2,0 điểm) Trên cùng nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox vẽ 3 tia Oy, Oz, Ot sao cho x· Oy 30 ; x· Oz 70 ; x· Ot 110 a) Tính ·yOz và z· Ot b) Trong 3 tia Oy, Oz, Ot tia nào nằm giữa 2 tia còn lại? Vì sao? c) Chứng minh: Oz là tia phân giác của góc yOt. 1 1 1 1 Câu 6 (1,0 điểm) Chứng minh rằng: + + + + < 1 22 32 42 1002
12. ĐÁP ÁN Câu 1 (Mỗi câu đúng, cho 1,0 điểm) a) 16 + (27 - 7.6) - (94.7 - 27. 99) = 16 + 27 - 7.6 - 94.7 + 27.99 = 16 + 27 + 27.99 - 7.6 - 94.7 = 16 + 27(99 + 1) - 7.(6 + 94) = 16 +27.100 - 7. 100 = 16 + 100(27- 7) = 16 + 100.20 = 16 + 2000 = 2016 2 2 2 2 b) A = 1.4 4.7 7.10 97.100 1 1 1 1 2 2 1 1 Ta có ( ) ( ) 1.4 3 1 4 1.4 3 1 4 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 Tương tự: ( ); ( ) ; ; ( ) 4.7 3 4 7 7.10 3 7 10 97.100 3 99 100 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 99 33 A = ( ) = ( ) . 3 1 4 4 7 7 10 99 100 3 1 100 3 100 50 Câu 2 (Mỗi câu đúng, cho 1,0 điểm) a) Ta có: M = 5 + 52 + 53 + + 580 = 5 + 52 + 53 + + 580 = (5 + 52) + (53 + 54) + (55 + 56) + + (579 + 580) = (5 + 52) + 52.(5 + 52) + 54(5 + 52) + + 578(5 + 52) = 30 + 30.52 + 30.54 + + 30.578 = 30 (1+ 52 + 54 + + 578)  30 b) Ta thấy : M = 5 + 52 + 53 + + 580 chia hết cho số nguyên tố 5. Mặt khác, do: 52+ 53 + + 580 chia hết cho 52 (vì tất cả các số hạng đều chia hết cho 52) M = 5 + 52 + 53 + + 580 không chia hết cho 52 (do 5 không chia hết cho 52) M chia hết cho 5 nhưng không chia hết cho 52 M không phải là số chính phương. (Vì số chính phương chia hết cho số nguyên tố p thì chia hết cho p2).
13. Câu 3 (Mỗi câu đúng, cho 1,0 điểm) 2n 5 a). Chứng tỏ rằng: , n N là phân số tối giản. n 3 Gọi d là ước chung của n + 3 và 2n + 5 với d N n + 3  d và 2n + 5  d (n + 3) - (2n + 5)  d 2(n + 3) - (2n + 5) d 1d d = 1 N ƯC( n + 3 và 2n + 5) = 1 2n 5 ƯCLN (n + 3 và 2n + 5) = 1 , n N là phân số tối giản. n 3 2n 5 b). Tìm các giá trị nguyên của n để phân số B = có giá trị là số nguyên. n 3 2n 5 2(n 3) 1 1 Ta có: = = 2 - n 3 n 3 n 3 1 Để B có giá trị nguyên thì nguyên. n 3 1 Mà nguyên 1 M(n +3) hay n + 3 là ước của 1. n 3 Do Ư(1) = 1; Ta tìm được n = {-4 ; - 2} Câu 4: Giải Gọi số phải tìm là x. Theo bài ra ta có x + 2 chia hết cho 3, 4, 5, 6. x + 2 là bội chung của 3, 4, 5, 6 Mà BCNN(3; 4; 5; 6) = 60 nên x + 2 = 60.n . Do đó x = 60.n – 2; (n = 1; 2; 3 ) Mặt khác xM11 nên lần lượt cho n = 1; 2; 3 . Ta thấy n = 7 thì x = 418 M11 Vậy số nhỏ nhất phải tìm là 418. Câu 5 (Vẽ hình đúng, cho 0,5 điểm. Còn lại mỗi ý 0,5 điểm) a). x· Oy x· Oz (300 < 700)
14. Tia Oy nằm giữa 2 tia Ox và Oz ·yOz = 700 - 300 = 400 x· Oz x· Ot (700 < 1100) Tia Oz nằm giữa 2 tia Ox và Ot z· Ot = 1100 - 700 = 400 b) x· Oy x· Ot (300 < 1100) Tia Oy nằm giữa 2 tia Ox và Ot t ·yOt = 1100 - 300 = 800 z y Theo trên, ·yOz = 400 300 ·yOz < ·yOt (400 < 800) O x Tia Oz nằm giữa 2 tia Oy và Ot c). Theo trên: Tia Oz nằm giữa 2 tia Oy và Ot và có: ·yOz = 400; z· Ot = 400 Oz là tia phân giác của góc yOt. 1 1 1 1 Câu 6 Chứng minh rằng : + + + + < 1 22 32 42 1002 1 1 1 1 Ta có < = - 22 2.1 1 2 1 1 1 1 < = - 32 2.3 2 3 1 1 1 1 < = - 1002 99.100 99 100 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + < - + - + + - = 1- <1 22 32 1002 1 2 2 3 99 100 100 Chú ý: Nếu học sinh làm theo cách khác đúng, vẫn cho điểm tối đa.
15. ĐỀ SỐ 4 TRƯỜNG THCS NÔNG ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI TRANG - T.P VIỆT TRÌ CẤP TRƯỜNG 2014 - 2015 MÔN: TOÁN 6 Thời gian làm bài: 120 phút (không tính thời gian giao đề) Câu 1 (1,5 điểm): Thực hiện phép tính. 3 3 3 3 3 24.47 23 a) A . 7 11 1001 13 24 47 23 9 9 9 9 9 1001 13 7 11 1 2 22 23 22012 b) M = 22014 2 Câu 2 (2,5 điểm) a) Cho S = 5 + 52 + 53 + 54 + 55 + 56 + + 52012. Chứng tỏ S chia hết cho 65. b) Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho khi chia cho 11 dư 6, chia cho 4 dư 1và chia cho 19 dư 11. c) Chứng tỏ: A = 10n + 18n - 1 chia hết cho 27 (với n là số tự nhiên) Câu 3 (2,0 điểm) a) Tìm x, y nguyên biết : 2x (3y – 2) + (3y – 2) = -55 1 1 1 1 1 b) Chứng minh rằng: 42 62 82 (2n)2 4 Câu 4 (2,5 điểm): Cho nửa mặt phẳng bờ AB chứa hai tia đối OA và OB. a) Vẽ tia OC tạo với tia OA một góc bằng ao, vẽ tia OD tạo với tia OCC một góc bằng (a + 10)o và với tia OB một góc bằng (a + 20)o Tính ao b) Tính góc xOy, biết góc AOx bằng 22o và góc BOy bằng 48o c) Gọi OE là tia đối của tia OD, tính số đo góc kề bù với góc xOD khi góc AOC bằng ao Câu 5 (1,5 điểm): Cho A 102012 102011 102010 102009 8 a) Chứng minh rằng A chia hết cho 24 b) Chứng minh rằng A không phải là số chính phương.
16. HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2014 - 2015 Môn: TOÁN 6 Câu Ý Nội dung, đáp án Điểm 1,5 Đặt A=B.C 24.47 23 1128 23 1105 0,25 B 24 47 23 71 23 48 1 1 1 1 3 1 a 7 11 1001 13 1 C 0,25 1 1 1 1 3 9 1 1001 13 7 11 1105 1 Suy ra A 144 0,25 1 2 22 23 22012 M = 22014 2 2 3 2012 - Đặt A = 1+2+2 +2 + +2 0,25 b - Tính được A = 22013 – 1 - Đặt B = 22014 – 2 - Tính được B = 2.(22013 – 1) 0,25 1 0,25 - Tính được M = 2 2,5 S = 5 + 52 + 53 + 54 + 55 + 56 + + 52012. 0,25 S = (5+52+53+54)+55(5+52+53+54)+ +52009(5+52+53+54) 0,25 a 2 Vì (5+52+53+54) =78065 Vậy S chia hết cho 65 0,25 Gọi số cần tìm là a ta có: (a-6)  11 ;(a-1)  4; (a-11)  19. 0,25 b (a-6 +33)  11; (a-1 + 28)  4; (a-11 +38 )  19. 0,25
17. (a +27)  11; (a +27)  4; (a +27)  19. Do a là số tự nhiên nhỏ nhất nên a+27 nhỏ nhất 0,25 Suy ra: a +27 = BCNN (4 ;11 ; 19 ) . Từ đó tìm được : a = 809 0,25 A 10n 18n 1 10n 1 9n 27n 0,25 99  9 9n 27n n 9.(11 1 n) 27n  n 0,25 Ta biết số n và số có tổng các chữ số bằng n có cùng số dư khi chia cho 9 11 1 n9 9.(11 1 n)27 A27 do đó  nên  . Vậy 0,25 n n 2 Tìm x, y nguyên biết : 2x (3y – 2) + (3y – 2) = -55 =>(3y – 1)(2x + 1) = -55 55 => 2x 1 (1) 3y 2 0,25 Để x nguyên thì 3y – 2 Ư(-55) = 1;5;11;55; 1; 5; 11; 55 0,25 +) 3y – 2 = 1 => 3y = 3 => y = 1, thay vào (1) => x = 28 7 3 +) 3y – 2 = 5 => 3y = 7 => y = (Loại) a 3 13 +) 3y – 2 = 11 => 3y = 13 => y = (Loại) 0,25 3 +) 3y – 2 = 55 => 3y = 57 => y = 19 , thay vào (1) => x = -1 1 +) 3y – 2 = - 1 => 3y = 1 => y = (Loại) 3 +) 3y – 2 = -5 => 3y = -3 => y = -1, thay vào (1) => x = 5 +) 3y – 2 = -11 => 3y = -9 => y = -3 , thay vào (1) => x = 2
18. 53 0,25 +) 3y – 2 = -55 => 3y = -53 => y = (Loại) 3 Vậy ta có 4 cặp số x, y nguyên thoả mãn là (x ; y ) = (28 ; 1) , (-1 ; 19) , (5 ; -1), (2 ; -3) 1 1 1 1 1 0,25 b/ Chứng minh rằng : 42 62 82 2n2 4 Ta có 1 1 1 1 A 42 62 82 (2n)2 1 1 1 1 A (2.2)2 (2.3)2 (2.4)2 (2.n)2 b 0,25 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A 2 2 2 2 4 2 3 4 n 4 1.2 2.3 3.4 (n 1)n 0,25 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A 4 1 2 2 3 3 4 (n 1) n 1 1 1 A 1 (ĐPCM) 4 n 4 0,25 2,5 Vẽ đúng hình C D y o (a+10)o (a+20) 4 x 22o ao 48o A O B E 0,25 Cho nửa mặt phẳng bờ AB chứa hai tia đối OA và OB.
19. Vẽ tia OC tạo với tia OA một góc bằng ao, vẽ tia OD tạo với tia OCC một góc bằng (a + 10)o và với tia OB một góc bằng (a + 20)o.Tính ao 0,25 Do OC, OD nằm trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB và a C· OD C· OA(a 10 a) . Nên tia OC nằm giữa hai tia OA v à OD 0,25 => ·AOC C· OD D· OB ·AOB => ao + (a + 10)o + (a + 20)o = 180o => 3.ao + 30o = 180o => ao = 50o 0,25 Tính góc xOy, biết góc AOx bằng 22o và góc BOy bằng 48o Tia Oy nằm giữa hai tia OA v à OB 0,25 b Ta có : ·AOy 180o B· Oy 180o 48o 132o ·AOx 22o Nên tia Ox nằm giữa hai tia OA và Oy 0,25 => ·AOx x· Oy ·AOy 22o x· Oy 132o x· Oy 132o 22o 110o 0,25 Gọi OE là tia đối của tia OD, tính số đo góc kề bù với góc xOD khi góc AOC bằng ao 0,25 V ì tia OC nằm giữa hai tia OA và OD nên · · · · o o o o o o o 0,25 c AOC COD AOD AOD a a 10 2a 10 2.50 10 110 Vì A· Ox ·AOD(22o 110o ) nên tia Ox nằm giữa hai tia OA và OD => A· Ox x·OD ·AOD 22o x·OD 110o x·OD 110o 22o 88o 0,25 Vậy số đo góc kề bù với góc xOD có số đo là : 180o – 88o = 92o 1,5 Chứng minh rằng A chia hết cho 24 Ta có : A 103 102009 102008 102007 102006 8 8.125 102009 102008 102007 102006 8 5 a 0,25 2009 2008 2007 2006 A 8. 125 10 10 10 10 1 8 (1) Ta lại có các số : 102012 ; 102011 ; 102010 ; 102009 có tổng tổng các chữ số bằng
20. 1, nên các số 102012 ; 102011 ; 102010 ; 102009 khi chia cho 3 đều có số dư bằng 1 0,25 8 chia cho 3 dư 2. Vậy A chia cho 3 có số dư là dư của phép chia (1 + 1 + 1 + 1 + 2) chia cho 3 Hay dư của phép chia 6 chia cho 3 (có số dư bằng 0) Vậy A chia hết cho 3 Vì 8 và 3 là hai số nguyên tố cùng nhau nên A chia hết cho 8.3 = 24 0,25 Chứng minh rằng A không phải là số chính phương. 0,25 Ta có các số : 102012 ; 102011 ; 102010 ; 102009 đều có chữ số tận cùng là 0 b Nên A 102012 102011 102010 102009 8 có chữ số tận cùng là 8 0,25 Vậy A không phải là số chỉnh phương vì số chính phương là những số có chữ số tận cùng là 1 ; 4; 5 ; 6 ; 9 0,25 Chú ý: - Mọi cách giải thích khác nếu đúng ghi điểm tối đa. HẾT
21. ĐỀ SỐ 5 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 6 HUYỆN HOẰNG HOÁ NĂM HỌC 2014 - 2015 MÔN THI: TOÁN Ngày thi: 18/03/2015 Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) (Đề thi này có 05 câu, gồm 01 trang) Bài 1 (4,5 điểm) Tính giá trị các biểu thức sau: 2 5 1 a. A = :5 .( 3)2 3 6 18 b. B = 3.{5.[(52 + 23): 11] - 16} + 2015 1 1 1 1 c. C 1 1 1 1 1.3 2.4 3.5 2014.2016 Bài 2 (4,0 điểm) a. Tìm số tự nhiên x biết 8.6 + 288 : (x - 3)2 = 50 b. Tìm các chữ số x; y để A = x183y chia cho 2; 5 và 9 đều dư 1. c. Chứng tỏ rằng nếu p là số nguyên tố lớn hơn 3 thì p2 - 1 chia hết cho 3. Bài 3 (4,5 điểm) 5 a. Cho biểu thức: B (n Z,n 3) n 3 Tìm tất cả các giá trị nguyên của n để B là số nguyên. 2 2 b.Tìm các số nguyên tố x, y sao cho: x + 117 = y c. Số 2100 viết trong hệ thập phân có bao nhiêu chữ số . Bài 4 (5,0 điểm) Cho góc x· By = 550. Trên các tia Bx; By lần lượt lấy các điểm A; C (A B; C B). Trên đoạn thẳng AC lấy điểm D sao cho ·ABD = 300 a. Tính độ dài AC, biết AD = 4cm, CD = 3cm. b. Tính số đo của D· BC .
22. c. Từ B vẽ tia Bz sao cho D· Bz = 900. Tính số đo ·ABz . Bài 5 (2,0 điểm) a. Tìm các chữ số a, b, c khác 0 thỏa mãn: abbc ab ac 7 1 2015 94 b. Cho A (72012 392 ) . Chứng minh A là số tự nhiên chia hết cho 5 2 HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI- MÔN: TOÁN 6 NĂM HỌC 2014 - 2015 Bài Nội dung cần đạt Điểm 2 5 1 2 1 1 2.2 1 1.3 2 1 1,5 đ a. A= :5 .( 3)2 = 3 6 18 3 6 2 6 6 3 b. B = 3.{5.[(52 + 23): 11] - 16} + 2015 = 3.{5.[33 : 11] - 16} + 2015 0,5 đ = 3.{15-16} + 2015 = 3.(-1) + 2015 = 2012 1,0 đ 1 1 1 1 22 32 42 20152 0,5đ c. C = 1 1 1 1 . . 1.3 2.4 3.5 2014.2016 1.3 2.4 3.5 2014.2016 1 (2.3.4 2015).(2.3.4 2015) (4,5 đ) (1.2.3 2014).(3.4.5 2016) 0,5 đ 2015.2 2015 2016 1008 0,5 đ 2 2 2 x 3 12 x 15 1.0 đ a. Biến đổi được: (x - 3) = 144 12 ( 12) x 3 12 x 9 Vì x là số tự nhiên nên x = -9 (loại). Vậy x = 15 0.5 đ b. Do A = x183y chia cho 2 và 5 đều dư 1 nên y = 1. Ta có A = x1831 0,5 đ 2 (4,0 đ) Vì A = x1831 chia cho 9 dư 1 x1831 - 1  9 x1830  9 0,5 đ x + 1 + 8 + 3 + 0  9 x + 3  9, mà x là chữ số nên x = 6 Vậy x = 6; y = 1 0,5 đ
23. c. Xét số nguyên tố p khi chia cho 3.Ta có: p = 3k + 1 hoặc p = 3k + 2 ( k N*) 0.25đ Nếu p = 3k + 1 thì p2 - 1 = (3k + 1)2 -1 = 9k2 + 6k chia hết cho 3 0.25đ Nếu p = 3k + 2 thì p2 - 1 = (3k + 2)2 -1 = 9k2 + 12k chia hết cho 3 0.25đ Vậy p2 - 1 chia hết cho 3. 0.25đ a. Để B nhận giá trị nguyên thì n - 3 phải là ước của 5 0,5 đ => n - 3 {-1; 1; -5; 5} => n { -2 ; 2; 4; 8} 0,75 đ Đối chiếu đ/k ta được n { -2 ; 2; 4; 8} 0,25 đ b. Với x = 2, ta có: 22 + 117 = y2 y2 = 121 y = 11 (là số nguyên tố) 0,5 đ * Với x > 2, mà x là số nguyên tố nên x lẻ y2 = x2 + 117 là số chẵn 3 => y là số chẵn 0,5 đ (4,5 đ) kết hợp với y là số nguyên tố nên y = 2 (loại) 0,25 đ Vậy x = 2; y = 11. 0,25 đ c. Ta có: 1030 = 100010 và 2100 = 102410. Suy ra : 1030 < 2100 (1) 0,5đ Lại có: 2100= 231.263.26 = 231.5127.64 và 1031=231.528.53=231.6257.125 0,5đ Nên: 2100< 1031 (2). Từ (1) và(2) suy ra số 2100 viết trong hệ thập phân có 31 0,5đ chữ số . 0,5 đ 4 (5,0 đ) 0,5 đ 0,5 đ a) Vì D thuộc đoạn thẳng AC nên D nằm giữa A và C
24. => AC = AD + CD = 4 + 3 = 7 cm b) Chứng minh tia BD nằm giữa hai tia BA và BC ta có đẳng thức: 0,5 đ ·ABC ·ABD D· BC => D· BC ·ABC ·ABD = 550 – 300 = 250 1,0 đ c) Xét hai trường hợp: - Trường hợp 1: Tia Bz và BD nằm về hai phía nửa mặt phẳng có bờ là AB nên 0,5 đ tia BA nằm giữa hai tia Bz và BD Tính được ·ABz 900 ·ABD = 900 300 600 0,5 đ - Trường hợp 2: Tia Bz, và BD nằm về cùng nửa mặt phẳng có bờ là AB nên tia 0,5 đ BD nằm giữa hai tia Bz và BA 0,5đ Tính được ·ABz, = 900 + ·ABD = 900 300 1200 a. Ta có: abbc ab ac 7 (1) 0,25 đ 100.ab + bc = 7. ab . ac ab (7. ac - 100) = bc bc bc 7. ac - 100 = Vì 0 0 mà 72012 392 10 suy ra 1 2015 94 0,25 đ A (72012 392 ) 5.k; k N . Suy ra A là số tự nhiên chia hết cho 5. 2