120 Bài tập giải toán bằng cách lập phương trình

Nội dung text: 120 Bài tập giải toán bằng cách lập phương trình

1. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VÀ ĐỊNH LÍ VIET Bài 1: Cho phương trình x2 – 2(m -1)x + 2m – 5 = 0 (m là tham số) a) Chứng minh rằng phương trình trên luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m. b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu. 2 2 c) Với giá trị nào của m thì A = x1 + x2 đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị đó. Bài 2: Cho phương trình x2 – 2(m +1)x + m2 + 3m +2 = 0 (m là tham số) a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt. 2 2 b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa x1 + x2 = 12. Bài 3: Cho phương trình x2 – 2(m -1)x + m – 3 = 0 (m là tham số) a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m. b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm đối nhau. Bài 4: Cho phương trình x2 – mx – 1 = 0 a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm trái dấu. 2 2 x1 x1 1 x2 x2 1 b) Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình. Tính P x1 x2 Bài 5: Cho phương trình x2 + 2(m -2)x – m2 = 0 (m là tham số) a) Giải phương trình khi m = 0 b) Trong trường hợp phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 (x1< x2). Tìm m sao cho x1 x2 6. Bài 6: Cho phương trình x2 – (3m +1)x + 2m2 + m – 1 = 0 (m là tham số) a) Giải phương trình khi m = -1. 2 2 b) Giả sử x1 , x2 là hai nghiệm phân biệt của phương trình. 2 2 Tìm m để B = x1 + x2 - 3 x1 x2 đạt max Bài 7: Cho phương trình x2 + 2(m + 1)x – m - 4 = 0 (m là tham số). Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt và biểu thức M = x1(1 - x2) + x2(1 - x1) không phụ thuộc vào m. Bài 8: Cho phương trình bậc hai x2 - (2m + 1)x + m2 = 0 (m là tham số) a) Giải phương trình khi m = 1. b) Tìm m để phương trình có nghiệm kép. Tìm nghiệm kép đó. 2 2 2 Bài 9: Tìm m để phương trình x - 2x - m + 3 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn x1 + x2 = 20 Bài 10: Cho phương trình x2 + 2mx - 2m - 6 = 0 a) Giải phương trình khi m = 1. 2 2 b) Xác định m để phương trình có hai nghiệm sao cho x1 + x2 nhỏ nhất Bài 11: Cho phương trình x2 + 2(m + 1)x – 2m4 +m2 = 0 (m là tham số). a) Giải phương trình khi m = 1. b) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m. Bài 12: Tìm m để phương trình x2 + 2(m + 1)x + 2m2 + 2m + 1 = 0 vô nghiệm Bài 13: Cho phương trình x2 - 2x + m + 3 = 0 a) Tìm m để phương trình có nghiệm x = 3. Tìm nghiệm còn lại 3 3 b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa x1 + x1 = 8. Bài 14: Cho phương trình x2 - 4x + 4m + 3 = 0 a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2. 2 2 b) Tìm m để biểu thức x1 + x2 đạt giá trị là 9 Bài 15: Cho phương trình x2 - 4mx + 4m2 - m + 2 = 0 Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa x1 x2 2 Bài 16: Cho phương trình x2 + 3x - m = 0.
2. a) Giải phương trình khi m = 4 . b) Tìm m để một nghiệm x = 2, tìm nghiệm kia c) Tìm m để phương trình thỏa 2x1 + 3x2 = 13, nghiệm này lớn hơn nghiệm kia 3 đơn vị. Bài 17: Cho phương trình x2 - (m + 4)x + 3m + 3 = 0. a) Xác định m để phương trình có một nghiệm bằng 2. Tìm nghiệm còn lại. 3 3 b) Xác định m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện .x1 x2 0 2 Bài 18: Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình x - 2(m - 1)x - 4 = 0. Tìm m để .x1 x2 5 Bài 19: Cho phương trình x2 - (m + 2)x + m2 - 4 = 0. Tìm m để phương trình có nghiệm kép. Tìm nghiệm kép đó. Bài 20: Cho phương trình x2 - 2x - 2m = 0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa 2 2 (1 + x1 )(1+ x2 ) = 5 Bài 21: Cho phương trình x2 - 2(m + 1)x + m2 - 1 = 0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân 2 2 biệt thỏa: x1 + x2 = x1x2 + 8 Bài 22: Cho phương trình x2 - 3x + m = 0. a) Giải phương trình khi m = 1 2 2 b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa x1 1 x2 1 3 3 Bài 23: Cho phương trình x2 - 2(m + 1) +2m = 0 a) Giải phương trình khi m = 1. b) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m c) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình. Tìm m để x 1, x2 là độ dài của hai cạnh của một tam giác vuông có độ dài cạnh huyền bằng 12 2 2 Bài 24: Tìm m để phương trình x - 2(2m + 1)x + 4m + 4m = 0 có hai nghiệm x1, x2 thỏa điều kiện x1 x2 x1 x2 Bài 25: Cho phương trình x2 - 2x - 2m + 1 = 0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt 2 2 2 2 thỏa điều kiện: x2 x1 1 x2 1 x1 8 Bài 26: Tìm m để phương trình x2 - 2(2m + 1)x + m2 - 3 = 0 có nghiệm kép. Tìm nghiệm kép đó. Bài 27: Cho phương trình x2 - 5x + m -3 = 0. a) Giải phương trình khi m = - 1 2 b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa x1 - 2 x1x2 + 3x2 = 1 Bài 28: Cho phương trình 3x2 - 2(k + 1)x + k = 0 a) Giải phương trình khi k = 1 2 2 5 b) Tìm giá trị của k để phương trình có hai nghiệm thỏa điều kiện x1 + x2 = 12 Bài 29: Cho phương trình x2 - (2m + 1)x + m2 +m - 6 = 0 a) Tìm các nghiệm của phương trình theo m b) Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm đều âm 2 Bài 30: Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình x - (2m - 3)x + 1 - m = 0. Tìm các giá trị của 2 2 m để x1 + x2 + 3x1x2(x1 + x2) đạt giá trị lớn nhất Bài 31: Cho phương trình x2 - 2(m - 1)x + 2m - 4 = 0 a) Chứng minh rằng phương trình có hai nghiệm phân biệt 2 2 b) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình, tìm GTNN của y = x1 + x2 Bài 32: Cho phương trình 4x2 + 2(3 - 2m)x + m2 - 3m + 2 = 0 a) Chứng tỏ rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m b) Tìm m để tích hai nghiệm của phương trình đạt giá trị nhỏ nhất Bài 33: Cho phương trình x2 - (m + 5)x - m + 6 = 0
3. a) Giải phương trình với m = 1 2 2 b) Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa x1 + x2 = 13 Bài 34: Cho phương trình mx2 + (2m - 1)x + (m - 2) = 0 2 2 Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa x1 + x2 = 2003 Bài 35: Cho phương trình bậc hai x2 - 2(m - 1)x + m - 3 = 0 a) Giải phương trình khi m = 0 b) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm x1, x2 với mọi m c) Tìm một hệ thức liên hệ giữa x1, x2 không phụ thuộc vào m d) Xác định giá trị của m sao cho phương trình có hai nghiệm bằng nhau về giá trị tuyệt đối và trái dấu nhau Bài 36: Cho phương trình x2 - (m - 2)x - m2 + 3m - 4 = 0 a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m b) Tìm m để tỉ số hai nghiệm của phương trình có giá trị tuyệt đối bằng 2 1 Bài 37: Cho phương trình x2 - 2mx + m2 - = 0 2 a) Tìm m để phương trình có nghiệm và các nghiệm có giá trị tuyệt đối bằng nhau b) Tìm m để phương trình có nghiệm và các nghiệm là độ dài của hai cạnh của một tam giác vuông có độ dài cạnh huyền bằng 3 Bài 38: Cho phương trình 3x2 - 6(m + 1)x + 9 = 0 Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa x1 x2 2 x 2m x m 3 Bài 39 : Cho phương trình 0 x 1 a) Tìm m để phương trình trên có hai nghiệm phân biệt x1, x2 2 2 2 b) Tìm m để x1 + x2 - 5x1x2 = 14m - 30m + 4 Bài 40 Tìm m để phương trình x2 - (m - 1)x - m = 0 có hai nghiệm phân biệt nhỏ hơn 1 Bài 41: Cho phương trình x2 - 2(m + 1)x + 2m + 3 = 0 a) Giải phương trình khi m = - 3 2 b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1,x2 thỏa (x1 - x2) = 4 Bài 42: Cho phương trình x2 - 2mx - m2 - 1 = 0 a) Chứng minh phương trình có nghiệm với mọi m b) Tìm hệ thức giữa x1, x2 của phương trình độc lập với m x x 5 c) Tìm m để 1 2 x2 x1 2 Bài 43: Cho phương trình x2 - 2(m - 1)x + 2m - 4 = 0 a) Giải phương trình khi m = 2 2 2 b) Tìm giá trị nhỏ nhất của M = x1 + x2 với x1, x2 là các nghiệm của phương trình trên Bài 44: Tìm m để phương trình 2x - 2mx + m2 - 2 = 0 có hai nghiệm phân biệt 2 Bài 45: Tìm m để phương trình bậc hai 2x + (2m - 1)x + m - 1 = 0 có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn 3x1 - 4x2 = 11 Bài 46: Cho phương trình x2 - (2k + 1)x + k2 + 2 = 0 a) Tìm k để phương trình có nghiệm này bằng nửa nghiệm kia b) Tìm k để phương trình có tổng bình phương hai nghiệm nhỏ nhất Bài 47: Cho phương trình x2 - (m + 2)x + 2m = 0 a) Giải phương trình khi m = - 1 2 b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa (x1 + x2 ) - x1x2 5 Bài 48: Tìm m để phương trình 2x2 - 4x + 5(m-1) = 0 có hai nghiệm phân biệt nhỏ hơn 3
4. Bài 49: Tìm giá trị của m dương để phương trình x 3 - (m + 1)x2 + (m + 2)x - 2 = 0 có ba nghiệm 1 1 1 phân biệt thỏa 3 x1 x2 x3 Bài 50: Cho phương trình bậc hai x2 - 2mx + m - 2 = 0 a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1,x2 thỏa mãn 2 2 (1 + x1)(2 - x2) + (1 + x2)(2 - x1) = x1 + x2 + 2 1. Hệ thức Viet 2 Định lí Viet: Nếu x1, x2 là các nghiệm của phương trình ax bx c 0 (a 0) thì: b c x x ; x x 1 2 a 1 2 a Nếu hai số có tổng bằng S và tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình: X2 SX P 0 (Điều kiện để có hai số đó là: S2 4P 0 ). 2. Dấu nghiệm số của phương trình bậc hai Cho phương trình bậc hai:ax2 bx c 0 (a 0) (1) (1) có hai nghiệm trái dấu P 0 0 (1) có hai nghiệm cùng dấu P 0 0 (1) có hai nghiệm dương phân biệt P 0 S 0 0 (1) có hai nghiệm âm phân biệt P 0 S 0 Chú ý: Giải phương trình bằng cách nhẩm nghiệm: Nếu nhẩm được: x1 x2 m n; x1x2 mn thì phương trình có nghiệm x1 m, x2 n . c Nếu a b c 0 thì phương trình có nghiệm x 1, x . 1 2 a c Nếu a b c 0 thì phương trình có nghiệm x 1, x . 1 2 a
5. ChuyênđềII:GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH Bài 1: Một ô tô và một xe đạp chuyển động đi từ hai đầu một quãng đường sau ba giờ thì gặp nhau. Nếu đi cùng chiều và xuất phát tại một điểm sau một giờ hai xe cách nhau 28 km. Tính vận tốc của ô tô và xe đạp. Biết quãng đường dài 156 km. Bài 2: Trong một phòng họp có 360 ghế được xếp thành các dãy và số ghế trong mỗi dãy đều bằng nhau. Có một lần phòng họp phải xếp thêm một dãy ghế và mỗi dãy tăng một ghế(số ghế trong mỗi dãy vẫn bằng nhau) để đủ chỗ cho 400 đại biểu. Hỏi bình thường trong phòng có bao nhiêu dãy ghế. Bài 3: Một công ti vận tải dự định dùng loại xe lớn để chở 15 tấn rau theo một hợp đồng. Nhưng khi làm việc công ti không còn xe lớn nên phải thay bằng những xe có trọng tải nhỏ hơn nửa tấn. Để đảm bảo thời gian đã hợp đồng công ti phải dùng một số lượng xe nhiều hơn số xe dự định là 1 xe. Hỏi trọng tải mỗi xe nhỏ là bao nhiêu tấn? Bài 4: Một xuồng máy xuôi dòng sông 30 km và ngược dòng 28 km hết một thời gian bằng thời gian mà xuồng đi 59,5 km trên mặt hồ yên lặng. Tính vận tốc của xuồng khi đi trên hồ biết vận tốc của dòng nước chảy trong sông là 3 km/h. Bài 5: Một đội thợ mỏ phải khai thác 216 tấn than trong một thời gian nhất định. Ba ngày đầu mỗi ngày đội khai thác theo đúng định mức. Sau đó mỗi ngày họ đều khai thác vượt mức 8 tấn. Do đó họ đã khai thác được 232 tấn và xong trước thời hạn 1 ngày. Hỏi theo kế hoạch mỗi ngày đội thợ phải khai thác bao nhiêu tấn than. Bài 6: Hai đội công nhân cùng làm một con đường thì 12 ngày xong việc. Nếu đội thứ nhất làm một mình hết nửa công việc rồi đội thứ hai tiếp tục làm một mình phần việc còn lại thì hết tất cả 25 ngày. Hỏi mỗi đội làm một mình thì bao lâu xong việc Bài 7: Hai xe khởi hành đồng thời từ hai ga cách nhau 750 km và đi ngược chiều nhau, sau 10 giờ chúng gặp nhau. Nếu xe thứ nhất khởi hành trước xe thứ hai 3 giờ 45 phút thì sau khi xe thứ hai đi được 8 giờ chúng gặp nhau. Tính vận tốc mỗi xe? Bài 8: Một xe lửa phải vận chuyển một lượng hàng. Nếu xếp vào mỗi toa 15 tấn hàng thì còn thừa lại 3 tấn, nếu xếp vào mỗi toa 16 tấn thì còn có thể chở thêm 5 tấn nữa. Hỏi xe lửa có mấy toan và phải chở bao nhiêu tấn hàng? Bài 9: Trong phòng học có một số ghế dài. Nếu xếp mỗi ghế 3 học sinh thì 6 học sinh không có chỗ. Nếu xếp mỗi ghế 4 học sinh thì thừa một ghế. Hỏi lớp có bao nhiêu học sinh và có bao nhiêu ghế? Bài 10: Để sửa một ngôi nhà cần một số thợ làm việc trong một thời gian quy định. Nếu giảm ba người thì thời gian kéo dài sáu ngày. Nếu tăng thêm hai người thì xong sớm hai ngày. Hỏi theo quy định thì cần bao nhiêu thợ và làm trong bao nhiêu ngày. Bài 11: Trên một cánh đồng cấy 60 ha lúa giống mới và 40 ha lúa giống cũ. Thu hoạch tất cả 460 tấn thóc. Hỏi năng suất mỗi loại lúa trên một ha là bao nhiêu biết rằng 3 ha trồng lúa mới thu hoạch được ít hơn 4 ha trồng lúa cũ là 1 tấn. Bài 12: Năm nay nhờ áp dụng kĩ thuật mới trên cánh đồng trồng lúa của một xã nên trên cánh đồng thứ nhất tăng thêm 30% so với năm ngoái, trên cánh đồng thứ hai tăng 20% . Tổng cộng cả hai cánh đồng thu được 630 tấn. Hỏi trên mỗi cánh đồng năm nay thu được bao nhiêu tấn lúa, biết năm ngoái cả hai cánh đồng chỉ thu được 500 tấn. DẠNG BÀI: GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH DẠNG TOÁN LÀM CHUNG, RIÊNG, VÒI NƯỚC:(Công việc đồng thời) Bài 1( Toán làm chung riêng): Hai người đồng thời đào chung một cái giếng có thể đào xong sau 2 ngày. Hỏi sau bao nhiêu ngày mỗi người đào riêng rẽ có thể xong cái giếng đó, biết để đào xong cái giếng đó một mình người thứ hai phải tốn 3 ngày nhiều hơn người thứ nhất đào một mình./. HD giải
6. Gọi thời gian đào một mình xong cái giếng đó của người thứ nhất là x( x > 0, ngày) thì người thứ hai đào một mình xong cái giếng đó hết x + 3(ngày) 1 1 Một ngày người thứ nhất đào được giếng, người thứ hai đào được , cả hai người đào x x 3 1 được giếng. Theo bài ra ta có pt: 2 1 1 1 x x 3 2 2  x – x – 6 = 0 => x1 = 3; x2 = - 2. Vậy để đào một mình người thứ nhất cần 3 ngày, người thứ hai cần 6 ngày. Bài 2: Hai người cùng làm chung một công việc thì sau 16 giờ sẽ xong công việc. Nếu người thứ nhất 1 làm một mình trong 3 giờ và người thứ hai làm một mình trong 6 giờ thì cả hai làm được công 4 việc. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi người làm trong bao lâu thì xong công việc. HD giải. Gọi thời gian làm một mình xong công việc của người thứ nhất là x( x> 16, giờ), một giờ người 1 1 đó làm được công việc. trong một giờ cả hai người làm được công việc, người thứ hai làm x 16 1 1 1 được công việc. Người thứ nhất làm trong 3 giờ được 3. công việc, người thứ hai trong 16 x x 1 1 6 giờ làm được 6( ) công việc. 16 x 1 1 1 1 Theo bài ra ta có phương trình: 3. 6.( ) ; x = 24 (giờ). Người thứ nhất làm một x 16 x 4 mình xong công việc hết 24 giờ, người thứ hai hết 48 giờ. Bài 3: 12 Nếu hai người cùng làm chung một công việc thì trong giờ xong công việc. Nếu mỗi người 5 làm một mình thì người thứ nhất hoàn thành công việc nhanh hơn người thứ hai là 2 giờ. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi người phải làm trong bao nhiêu giờ để xong công việc. HD giải. 12 Gọi thời gian làm một mình xong công việc của người thứ nhất là x(x > , giờ), người thứ hai 5 1 làm hết x + 2 (giờ). Trong một giờ người đó làm được công việc, người thứ hai làm được x 1 5 công việc, cả hai người trong một giờ làm được công việc. Theo bài ra ta có phương x 2 12 1 1 5 6 trình: , => x1 =4(TM), x2 = (L) x x 2 12 5 Vậy nếu làm một mình thì người thứ nhất làm hết 4 giờ, người thứ hai làm trong 6 giờ. Bài toán 4: Nếu hai vòi nước cùng chảy vào một bể cạn thì sau 1h30 phút bể sẽ đầy. Nếu vòi thứ nhất chảy trong 20 phút rồi khóa lại và mở tiếp vòi thứ hai trong 15 phút thì sẽ đầy một phần năm bể. Hỏi nếu chảy riêng thì sau bao lâu sẽ đầy bể.
7. 3 * Gọi thời gian vòi thứ nhất chảy một mình đầy bể là x(x> , giờ), trong một giờ vòi I chảy được 2 1 2 1 1 1 bể, vòi hai chảy được phần bể. Sau 20 phút vòi I chảy được . , vòi II chảy trong 15 x 3 x 3 x 1 2 1 phút đầy bể. Theo bài ra ta có phương trình: 4 3 x 1 1 1 2 1 1 . 3 x 4 3 x 5 5 Giải ra ta được x = (h) 2 5 15 Kết luận: ; 2 4 Bài toán 5: Hai vòi nước cùng chảy vào một bể cạn thì sau 2 giờ 30 phút sẽ đầy bể. Nếu từng vòi chảy riêng thì vòi I chảy trong 3 giờ, bằng lượng nước vòi II chảy trong 2 giờ. Hỏi nếu chảy riêng thì mỗi vòi chảy trong bao lâu? 1 * Gọi thời gian vòi I chảy đầy bể một mình là x, một giờ chảy được phần bể, vòi II chảy được x 2 1 phần bể. 5 x Theo bài ra ta có phương trình: 3 2 1 2 x 5 x 25 Giải phương trình được x = 4 Kết luận: * Bài toán 6: Nếu mở cả hai vòi chảy vào một bể cạn thì sau 2 giờ 55 phút bể đầy nước. Nếu mở riêng từng vòi thì vòi thứ nhất chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai là hai giờ. Hỏi nếu mở riêng từng vòi thì mỗi vòi chảy bao lâu thì đầy bể? * Gọi thời gian vòi một chảy một mình đầy bể là x (giờ, x > 0), thời gian vòi hai chảy một mình đầy bể là x + 2(giờ) 35 12 2 giờ 55 phút = giờ. Trong một giờ cả hai vòi chảy được (bể). 12 35 1 1 Trong một giờ vòi thứ nhất chảy được (bể). vòi hai chảy được (bể) x x 2 1 1 12 Ta có phương trình x x 2 35 Hay 6x2 - 23x - 35 = 0, giải ra ta được x = 5 7 x = (loại) 6 Trả lời: Vòi thứ nhất chảy một mình trong 5 giờ thì đầy bể, còn vòi thứ hai chảy trong 7 giờ thì đầy bể.
8. Bài toán 7: Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước thì sau 2h 55’ thì đầy bể. Nếu để chảy một mình thì vòi thứ nhất chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai là hai giờ. Tính thời gian mỗi vòi chảy một mình đầy bể. HD giải Gọi thời gian vòi thứ nhất chảy một mình đầy bể là x(x>2h55’, giờ), vòi hai chảy một mình hết x 1 1 + 2 giờ, trong một giờ vòi thứ nhất chảy được bể, vòi thứ hai chảy được bể. x x 2 1 1 12 Theo bài ra ta có phương trình:  12x2 – 46x – 70 = 0 => x = 5(tm) x x 2 35 Vậy chảy một mình vòi thứ nhất chảy hết 5 giờ, vòi thứ hai chảy hết 7 giờ. Bài toán 8: Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước thì sau 3 giờ đầy bể. Nếu để vòi 1 một chảy trong 20 phút, khóa lại rồi mở tiếp vòi hai trong 30 phút thì cả hai vòi chảy được bể 8 Tính thời gian mỗi vòi chảy một mình đầy bể. HD giải 1 Gọi thời gian vòi một chảy một mình đầy bể là x(x>3, giờ) trong một giờ vòi một chảy được x 1 1 1 bể, cả hai vòi chảy được bể, vòi hai chảy được ( bể). Trong 20 phút vòi một chảy được 3 3 x 1 1 1 1 1 . phần bể, trong 30 phút vòi hai chảy được .( ) bể. Theo bài ra ta có phương trình: 3 x 2 3 x 1 1 1 1 1 1 . + .( ) = giải ra x = 4. Vậy chảy một mình vòi một chảy trong 4 giờ thì đầy bể, vòi 3 x 2 3 x 8 hai chảy trong 12 giờ thì đầy bể. Bài toán 9: Hai đội công nhân cùng làm chung một công việc thì hoàn thành công việc đó trong 24 giờ. Nếu đội thứ nhất làm trong 10 giờ, đội thứ hai làm trong 15 giờ thì cả hai đội làm được một nửa công việc. Tính thời gian mỗi đội làm một mình để xong công việc. HD giải Gọi thời gian đội một hoàn thành công việc một mình là x(x >24, giờ), thì trong một giờ đội một 1 1 1 1 làm được công việc, cả hai đội làm được công việc, và đội hai làm được công x 24 24 x 1 việc. Trong 10 giờ đội một làm được 10. công việc, trong 15 giờ đội hai làm được x 1 1 1 15.( ) công việc, cả hai đội làm được Công việc, nên theo bài ra ta có phương trình: 24 x 2 1 1 1 1 10. + 15.( ) = . Giải ra ta được x = 40 (tmđk), vậy để làm một mình đội một hoàn x 24 x 2 thành công việc trong 40 giờ, đội hai hoàn thành công việc trong 60 giờ. Bài toán 10: Để làm xong một công việc, nếu A và B cùng làm thì mất 6 giờ, nếu B và C cùng làm thì mất 4,5 giờ, nếu A và C cùng làm thì mất 3 giờ 36 phút. Hỏi nếu cả ba cùng làm thì mất bao lâu thì mới làm xong công việc đó. HD giải Gọi thời gian để A, B, C làm một mình xong công việc lần lượt là x, y, z(x, y, z > 0, giờ).
9. 1 1 1 1 1 x y 6 x 9 1 1 2 1 1 Ta có hệ phương trình:  y z 9 y 18 1 1 5 1 1 z x 18 z 6 1 1 1 1 Trong một giờ cả ba người làm được công việc. Vậy thời gian để ba người cùng 9 18 6 3 làm xong công việc là 3 giờ. Bài số 11: Hai người cùng làm chung một công việc thì sau 6 giờ thì xong. Nếu một mình người thứ nhất làm trong 2 giờ, sau đó một mình người thứ hai làm trong 3 giờ thì cả hai người 2 làm được công việc. Hỏi nếu mỗi người làm một mình thì trong bao lâu thì xong công việc( 5 Giả thiết năng suất lao động của hai người bằng nhau). 1 1 1 x y 6 x 10 * ta có hpt: 2 3 2 y 15 x y 5 Bài 12: Hai tổ cùng làm chung công việc trong 12 giờ thì xong, nhưng hai tổ cùng làm trong 4 giờ thì tổ (I) đc điều đi làm việc khác , tổ (II) làm nốt trong 10 giờ thì xong công việc. Hỏi mỗi tổ làm riêng thì trong bao lâu xong việc. 1 1 1 x y 12 x 60 * ta có hpt: 1 10 y 15 1 3 y Bài 13: Hai vòi nước cùng chảy vào 1 bồn không có nước. Nếu vòi 1 chảy trong 3h rồi dừng lại, sau đó vòi 2 chảy tiếp trong 8h nữa thì đầy bồn. Nếu cho vòi 1 chảy vào bồn không có nước trong 1h, rồi cho cả 2 vòi chảy tiếp trong 4h nữa thì số nước chảy vào bằng 8/9 bồn. Hỏi nếu chảy 1 mình thì mỗi vòi sẽ chảy trong bao lâu thì đầy bồn? 3 8 1 x y x 9 * ta có hpt: 1 4 4 8 y 12 x x y 9 3 Bài 14: Hai vòi nước cùng chảy vào một bể cạn trong một giờ được bể. Nếu vòi thứ nhất chảy 10 4 trong 3 giờ, vòi thứ hai chảy trong 2 giờ thì cả hai vòi chảy được bể. Tính thời gian mỗi vòi chảy 5 một mình đầy bể . 1 1 3 x y 10 x 5 * ta có hpt: 3 2 4 y 10 x y 5 Bài toán 15: Hai đội công nhân cùng làm chung một công việc. Thời gian để đội I hoàn thành công việc ít hơn thời gian để đội II hoàn thành công việc đó là 4 giờ. Tổng hai thời gian này gấp 4,5 lần
10. thời gian hai đội cùng làm chung để xong công việc đó. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi đội phải mất bao lâu mới xong. HD giải Gọi thời gian đội I hoàn thành công việc một mình là x(x>0, giờ), đội II hoàn thành công việc là x 1 1 2x 4 + 4(giờ). Trong một giờ hai đội làm chung được công việc (hay ). Thời gian x x 4 x(x 4) x(x 4) để hai đội làm chung xong công việc là (giờ). Ta có phương trình: 2x 4 9 x(x 4) 2x + 4 = . hay x2 + 4x – 32 = 0; 2 2x 4 giải phương trình được x1 = -8(loại); x2 = 4(thỏa mãn) Bài 16: Hai vòi nước cùng chảy vào một bể cạn thì sau 1 giờ 20 phút bể sẽ đầy. Nếu mở vòi thứ nhất trong 10 phút và vòi thứ hai trong 12 phút thì được bể. Hỏi nếu chảy một mình thì thời gian của mỗi vòi là bao lâu. HD giải Gọi x là thời gian vòi I chảy một mình đầy bể, y là thời gian vòi II chảy một mình đầy bể (x, y > 0, 1 1 giờ). Trong một giờ vòi I chảy được bể, vòi II chảy được bể, trong 1 giờ 20 phút cả hai vòi x y 4 1 1 1 1 chảy được .( ) bể( đầy bể). Trong 10 phút( giờ), vòi I chảy được bể, trong 12 phút 3 x y 6 6x 1 vòi II chảy được bể. Ta có hệ phương trình: 5y 4 1 1 .( ) 1 5 x y giải ra ta tìm được x = 2; y = 4(thỏa mãn điều kiện) 1 1 2 6x 5y 5 Kết luận: Vòi thứ nhất chảy một mình đầy bể trong 2 giờ, vòi thứ hai chảy một mình trong 4 giờ đầy bể. Bài 17: Hai đội công nhân cùng làm một quãng đường thì 12 ngày xong việc. Nếu một đội làm một mình hết nửa công việc, rồi đội thứ hai tiếp tục một mình làm nốt phần việc còn lại thì hết tất cả 25 ngày. Hỏi mỗi đội làm một mình thì bao lâu xong việc. HD giải Gọi thời gian đội thứ nhất làm xong nửa công việc là x(ngày), 2x > 12 và x < 25 hay 6<x<25. Thời gian đội thứ hai làm xong nửa công việc là 25 – x(ngày). 1 1 Trong 1 ngày đội thứ nhất làm được (công việc); đội thứ hai làm được (công việc). 2x 2(25 x) 1 Trong 1 ngày cả hai đội làm được (công việc). 12 1 1 1 Ta có phương trình: + = hay x2 – 25x + 150 = 0 2x 2(25 x) 12 Giải ra ta được x1 = 15; x2 = 10. Vậy nếu đội I hoàn thành công việc trong 20 ngày thì đôi II trong 30 ngày và ngược lại.
11. Bài 18: Hai người thợ làm chung một công việc trong 16 giờ thì xong. Nếu người thứ nhất làm trong 3 giờ, người thứ hai làm trong 6 giờ thì được 25% công việc. Hỏi mỗi người làm một mình thì bao lâu xong việc. HD giải Gọi thời gian người thứ nhất làm một mình xong công việc là x(giờ, x>0), thời gian làm một mình xong việc của người thứ hai là y(giờ, y>0). Theo đầu bài ta có hệ phương trình: 1 1 1 x y 16 giải ra x = 24; y = 48. Trả lời: Người thứ nhất làm một mình trong 24 giờ xong việc. 3 6 1 x y 4 Người thứ hai làm một mình xong công việc trong 48 giờ. Bài 19: Hai người cùng làm chung một công việc trong 6 giờ thì xong. Nếu mỗi người làm một mình công việc ấy thì tổng số thời gian làm việc của hai người là 25 giờ. Hỏi mỗi người làm một mình thì bao lâu xong công việc. HD giải Gọi thời gian người thứ nhất làm một mình xong công việc là x(giờ, 0<x<25). Khi đó thời gian làm 1 một mình xong việc của người thứ hai là 25 – x(giờ). Trong một giờ người thứ nhất làm được x 1 1 (công việc). Người thứ hai làm được (công việc), hai người làm chung được (công việc). 25 x 6 1 1 1 Ta có phương trình: giải ra ta được x 1 = 15; x2 = 10. x 25 x 6 Trả lời: Làm một mình người thứ nhất hết 15 giờ thì xong việc, người thứ hai làm một mình xong việc hết 10 giờ. Và ngược lại. Bài 20: Hai đội lao động nếu cùng làm chung thì sau 4 ngày sẽ hoàn thành công việc. Nhưng lúc đầu đội một đã làm được 9 ngày thì đội hai mới tới và hai đội làm chung một ngày nữa thì công việc mới hoàn thành. Hỏi mỗi đội làm một mình thì sau bao lâu sẽ xong công việc? HD giải Gọi x là số ngày đội I làm một mình xong công việc, y là số ngày đội II hoàn thành xong công việc(x và y nguyên dương). Ta có hệ phương trình: 1 1 1 9. ( ) 1 x x y Giải ra ta được x = 12; y = 6. Trả lời: 1 1 1 x y 4 Bài 21: Hai vòi nước cùng chảy vào một bể cạn thì sau 2 giờ 30 phút sẽ đầy bể. Nếu từng vòi chảy riêng thì vòi I chảy trong 3 giờ bằng lượng nước vòi II chảy vào bể trong 2 giờ. Hỏi từng vòi nước chảy riêng thì sau bao lâu bể nước sẽ đầy. HD giải Gọi x, y là số giờ vòi I, vòi II chảy một mình đầy bể(x và y dương) 1 1 2 x y 3 Ta có hệ phương trình: Giải ra ta được x = 6 giờ 15 phút; y = 4 giờ 10 phút. 3 2 0 x y
12. Trả lời: Bài 22: Hai tổ sản xuất cùng làm một công việc trong 20 giờ thì xong. Nếu tổ thứ nhất làm 6 giờ và tổ thứ hai làm trong 3 giờ thì họ làm được 25% công việc. Hỏi mỗi tổ làm công việc đó trong mấy giờ thì xong. HD giải Gọi x, y lần lượt là số giờ tôt thứ nhất và tổ thứ hai làm xong công việc(x>0; y>0). Ta có hệ phương 1 1 1 x y 20 trình: Giải hệ phương trình này được x = 30; y = 60. 6 3 1 x y 4 Bài 23: Hai người thợ cùng xây một bức tường trong 7 giờ 12 phút thì xong( vữa và gạch do thợ phụ làm). Nếu người thứ nhất làm trong 5 giờ, người thứ hai và người thứ hai làm trong 6 giờ thì 3 cả hai xây được bức tường. Hỏi mỗi người làm một minh thì bao lâu xây xong bức tường. 4 HD giải Gọi thời gian người thứ nhất xây một mình xong bức tường là x(x>0, giờ), thời gian người thứ hai 1 xây một mình xong bức tường là y(giờ, y>0). Trong một giờ người thứ nhất xây được bức tường, x 1 5 người thứ hai xây được bức tường. Trong một giờ cả hai người xây được bức tường, người y 36 thứ nhất làm trong 5 giờ, người thứ hai làm trong 6 giờ nên ta có hệ phương trình: 1 1 5 x y 36 Giải ra ta được x = 12; y = 18. Trả lời: 5 6 3 x y 4 Bài 24: Hai công nhân cùng sơn cửa cho một công trinh trong 4 ngày thì xong việc. Nếu người thứ nhất làm một minh trong chín ngày rồi người thứ hai đến cùng làm tiếp một ngày nữa thì xong việc. Hỏi mỗi người làm một minh thì bao lâu xong công việc. HD giải Gọi thời gian hoàn thành công việc một mình của người thứ nhất là x(ngày), x > 0, thời gian hoàn thành công việc của người thứ hai là y(ngày) y > 0. 1 1 1 x y 4 Lập luận ta có hệ phương trình: Giải hệ được x = 12; y = 16. Trả lời . 10 1 1 x y Bài 25: Hai cần cẩu lớn bốc dỡ một lô hàng ở cảng Sài Gòn. Sau 3 giờ có thêm 5 cần cẩu bé cùng làm việc. Cả bẩy cần cẩu làm việc 3 giờ nữa thì xong. Hỏi mỗi cần cẩu làm việc một minh thì sau bao lâu xong việc, biết rằng nếu cùng làm việc từ đầu thì 7 cần cẩu thì trong 4 giờ thì xong. HD giải Gọi thời gian một cần cẩu lớn làm một mình xong công việc là x(giờ), x > 0. Thời gian một cần cẩu bé làm một mình xong việc là y(giờ), y > 0. Hai cần cẩu lớn làm trong 6 12 15 giờ, 5 cần cẩu bé làm trong 3 giờ ta có phương trình 1: 1 x y
13. 2 5 1 Nếu 7 cần cẩu làm từ đầu giờ thì trong 4 giờ thì xong việc nên ta có phương trình 2: x y 4 Giải hệ ta được (x; y) = (24; 30). Trả lời: Bài 26: Hai người cùng làm chung một công việc dự định trong 12 giờ thì xong. Họ làm chung với nhau được 8 giờ thì người thứ nhất nghỉ, còn người thứ hai cứ tiếp tục làm. Do cố gắng tăng năng suất gấp đôi, nên người thứ hai đã làm xong phần việc còn lại trong 3 giờ 20 phút. Hỏi nếu mỗi người thợ ấy làm một mình với năng suất dự định ban đầu thì phải mất bao lâu để làm xong công việc nói trên? HD giải Gọi x giờ là thời gian người thứ nhất làm một mình xong công việc, y là thời gian người thứ hai làm một mình xong công việc, x > 0, y > 0. 1 1 1 1 Một giờ hai người làm chung được công việc, nên ta có phương trình 12 x y 12 1 Hai người làm chung trong 8 giờ nên công việc còn lại là do năng suất tăng gấp đôi nên người 3 2 thứ hai trong một giờ làm được (công việc) người thứ hai phải làm trong 3 giờ 20 phút mới y xong công việc nên ta có phương trình: 1 1 1 2 10 1 x y 12 . . Ta có hệ phương trình: ; y 3 3 2 10 1 . y 3 3 Giải hệ phương trình ta được (x; y) = (30; 20). Trả lời: Bài 27: Hai vòi nước cùng chảy vào một bể sau 4 giờ 48 phút thì đầy bể. Nếu vòi I chảy trong 4 giờ, vòi II chảy trong 6 giờ thì sẽ đầy bể. Hỏi mỗi vòi chảy trong bao lâu thì đầy bể? HD giải Gọi x là thời gian chảy một mình đầy bể của vòi I, y vòi II, x> 0, y > 0. 1 1 5 x y 24 x 8 Ta có hệ phương trình: . 6 4 y 12 1 y x 4 Bài 28: Hai vòi nước cùng chảy vào một bể cạn, sau 4 giờ thì đầy bể. Nếu lúc đầu chỉ mở vòi I, 5 6 sau 9 giờ mở vòi thứ hai thì sau nữa mới đầy bể. Nếu một mình vòi thứ hai chảy bao lâu mới 5 đầy bể. HD giải Đáp số : 8 giờ Bài 29: Hai tổ cùng làm chung một công việc trong 12 giờ thì xong. Nhưng hai tổ cùng làm chung trong 4 giờ, thì tổ I đi làm việc khác, tổ II làm nốt trong 10 giờ thì xong công việc. Hỏi mỗi tổ làm riêng trong bao lâu thì xong công việc. HD giải Nếu gọi số giờ tổ I hoàn thành công việc là x, tổ II là y: x, y > 12
14. 1 1 1 x y 12 x 60 Ta có hệ sau: 1 10 y 15 1 3 y Bài 30: Hai tổ cùng làm chung một công việc trong 15 giờ thì xong. Nếu tổ I làm trong 3 giờ, tổ II làm trong 5 giờ thì được 25% công việc. Hỏi mỗi tổ làm riêng trong bao lâu xong công việc đó? HD giải Gọi số giờ tổ I hoàn thành công việc là x(x > 15). Số giờ tổ II là y(y>12) 1 1 1 x y 15 x 24 Lập luận ta có hệ: Trả lời: . 3 5 1 y 40 x y 4 Bài 31: Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước thì sau 1 giờ 30 phút thì đầy bể. Nếu mở vòi thứ nhất trong 15 phút rồi khóa lại, sau đó mở vòi thứ hai 20 phút thì được 0,2 bể. Hỏi mỗi vòi chảy riêng thì sau bao lâu sẽ đầy bể. HD giải Gọi thời gian vòi I chảy một mình đầy bể là x(x>0), vòi II là y(y>0) 1 1 2 x y 3 x 3,75 3h45' Ta có hệ phương trình: 1 1 1 y 2,5 2h30' 4x 3y 5 Bài 31: Hai vòi cùng chảy vào một bể không có nước thì sau 4h48’ thì đầy bể. Biết rằng thời gian chảy một mình đầy bể ít hơn thời gian vòi hai chảy một mình đầy bể là 4 giờ. Hỏi nếu chảy một mình thì mỗi vòi chảy bao lâu thì đầy bể? HD giải 1 Coi toàn bộ công việc là 1 đơn vị, vậy năng suất bằng ; Lập phương trình theo mẫu thoigian Tổng các năng suất riêng = Năng suất chung. 24 Gọi thời gian vòi một chảy một mình đầy bể là x(giờ, x> ) suy ra thời gian vòi hai chảy một 5 1 1 mình đầy bể là x + 4(giờ). Trong một giờ vòi một chảy được (bể),vòi hai chảy được (bể) x x 4 24 5 Trong một giờ cả hai vòi chảy được 1 : = (bể). Ta có phương trình: 5 24 1 1 5 2 12 + =  5x – 28x – 96 = 0 => x1 = 8(tm), x2 = ( loại). x x 4 24 5 Trả lời : Vòi một chảy một mình đầy bể trong 8 giờ. Vòi hai 12 giờ. Bài 32: Hai đội cùng làm chung một công việc thì sau 4 giờ sẽ xong. Nhưng hai đội mới làm chung được 3 giờ thì đội một nghỉ đội hai làm tiếp trong 3 giờ nữa mới xong công việc. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi đội làm trong bao lâu thì xong công việc. HD giải Gọi thời gian đội một làm một mình xong công việc là x(x>4, giờ) Gọi thời gian đội hai làm một mình xong việc là y(y>4, giờ)
15. 1 1 1 x y 4 Ta có hệ phương trình: giải ra x = 6; y = 12 thỏa mãn điều kiện. 3 6 1 x y Vậy đội một làm một mình trong 6 giờ thì xong, đội hai làm một mình trong 12 giờ thì xong. 2 Bài 33: Hai vòi nước cùng chảy vào một bể cạn thì sau 45’ được bể. Nếu chảy riêng thì vòi II 5 chảy chậm hơn vòi I là 2 giờ. Hỏi nếu chảy một mình thì mỗi vòi chảy trong bao lâu sẽ đầy bề. HD giải 3 2 3 2 15 Hai vòi chảy trong 45’ = giờ được bể. Hai vòi chảy đầy bể hết : = (giờ). 4 5 4 5 8 15 Gọi thời gian vòi một chảy một mình đầy bể là x(giờ, x > ). Ta có pt: 8 1 1 8 2 5  4x – 7x – 15 = 0 => x1 = 3 (tm); x2= (loại) x x 2 15 4 Vậy vòi một chảy một mình hết 3 giờ, vòi hai là 5 giờ.+ Bài 34: Hai công nhân cùng làm chung một công việc trong 10h thì xong. Người thứ nhất làm một mình trong 1h sau đó hai người cùng làm tiếp trong 2h nữa thì được 25% công việc. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi người phải làm trong bao lâu thì xong công việc. HD giải Gọi thời gian làm một mình xong công việc của người thứ nhất là x(giờ, x>10), người thứ hai là y(giờ, y>10). Ta có hệ: 1 1 1 x y 10 giải ra ta được x = ?; y = ? 1 1 1 1 2.( ) x x y 4 Bài 35: Hai người cùng làm chung một công việc dự định trong 12 giờ thì xong. Họ làm chung với nhau được 8 giờ thì người thứ nhất nghỉ, còn người thứ hai tiếp tục làm. Do cố gắng tăng năng suất gấp đôi, nên người thứ hai đã làm xong phần việc còn lại trong 3 giờ 20 phút. Hỏi nếu mỗi người thợ ấy làm một mình với năng suất dự định ban đầu thì phải mất bao lâu để làm xong công việc nói trên? HD giải Gọi x giờ là thời gian người thứ nhất làm một mình xong công việc, y là thời gian người thứ hai làm một mình xong công việc, x>0, y>0. trong một giờ hai người làm được 1 1 1 1 công việc. Vì hai người làm chung trong 8 giờ nên công việc còn lại là công việc. x y 12 3 2 Do tăng năng suất gấp đôi nên người thứ hai mỗi giờ làm được công việc. Vì người thứ hai phải y 1 2 10 1 làm trong 3h12’ = 3giờ, nên ta có phương trình: . 3 y 3 3 1 1 1 x y 12 Ta có hệ pt: ;(x; y) (30;20) . Trả lời: 2 10 1 . y 3 3 Bài 36: Có ba vòi nước cùng cung cấp nước cho một hồ nước cạn. Đúng 8 giờ cả ba vòi cùng mở, đến 10 giờ người ta đóng vòi thứ hai, đến 13 giờ 40 phút thì hồ đầy nước. Biết rằng nếu mỗi vòi
16. 4 chảy một mình làm đầy một phần ba hồ thì phải mất tất cả giờ17 mới đầy hồ và lưu lượng của 9 vòi thứ hai là trung bình cộng của vòi thứ nhất và vòi thứ ba. Hỏi nếu mỗi vòi nước chỉ được mở một mình vào đúng 8 giờ thì đến lúc nào hồ nước sẽ đầy. HD giải Gọi thời gian chảy một mình đầy bể của vòi i, vòi II, vòi III lần lượt là x; y; z(giờ, x>0; y>0; z>0). x 20 1 1 2 1 1 40 ( )(13 8) (10 8) y x y 3 y 4 3 x y z 4 z 10 Ta có hệ phương trình: 14 3 3 3 9 x 10 1 1 2 40 y x y z 3 z 20 Vậy: Trường hợp I: Vòi I chảy trong 20 giờ(12 giờ hôm sau)vòi II chảy trong 21 giờ 20 phút. Vòi III: 10giờ(18 giờ cùng ngày. Trường hợp II: 18h, 21h20’ cùng ngày, 12 giờ hôm sau. Chuyên đề: GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNGTRÌNH DẠNG BÀI THÊM, BỚT XE. I) Phương pháp giải:(Hai cách giải: trực tiếp và gián tiếp.) 1) Trường hợp thêm xe:(Tính trực tiếp). Bài toán tổng quát: Một đội xe dự định dùng một số xe cùng loại để chở S tấn hàng . Lúc sắp khởi hành đội được bổ xung thêm a xe nữa cùng loại, nhờ vậy so với ban đầu mỗi xe phải chở ít hơn b tấn. Hỏi lúc đầu có bao nhiêu xe. Biết khối lượng hàng mỗi xe phải chở như nhau. Hướng dẫn giải. Ở đó: S là số hàng cần chuyển, a là số xe bổ xung(thêm), b là lượng hàng chênh lệch Gọi số xe lúc đầu đội có là x(x N*) S Ban đầu mỗi xe phải chở (tấn), sau khi bổ xung đội xe có x + a (chiếc) nên mỗi xe phải chở x S S S (tấn). Ta có phương trình: b x a x x a Vậy ban đầu đội có xe. 2) Trường hợp bớt xe:(Tính trực tiếp). Bài toán tổng quát: Một đội xe định dùng một số xe cùng loại để chở hết S tấn hàng. Lúc sắp khởi hành có a xe phải điều đi làm việc khác. Vì vậy mỗi xe phải chở thêm b tấn hàng nữa mới hết số hàng đó. Tính số xe lúc đầu, biết rằng khối lượng hàng mỗi xe chở là như nhau. Hướng dẫn giải. Ở đó: S là số hàng cần chuyển, a là số xe bớt(chuyển đi), b là lượng hàng chênh lệch Gọi số xe lúc đầu của đội dự định dùng là x(x N*, x > a). S Số hàng mỗi xe ban đầu cần phải chở là (tấn), số xe thực chở hàng là x – a, nên số hàng mỗi x S S S xe còn lại phải chở là (tấn). Ta có phương trình - = b. x a x a x . Vậy số xe ban đầu đội có là xe.
17. II) Bài tập minh họa(cách tính trực tiếp) Bài 1: Một đội xe dự định dùng một số xe cùng loại để chở 120 tấn hàng gửi tặng đồng bào nghèo ở vùng cao biên giới. Lúc sắp khởi hành đội được bổ xung thêm 5 xe nữa cùng loại, nhờ vậy so với ban đầu mỗi xe phải chở ít hơn 2 tấn. Hỏi lúc đầu có bao nhiêu xe. Biết khối lượng hàng mỗi xe phải chở như nhau. Hướng dẫn giải. Gọi số xe lúc đầu đội có là x(x N*) 120 Ban đầu mỗi xe phải chở (tấn), sau khi bổ xung đội xe có x + 5(chiếc) nên mỗi xe phải x 120 120 120 chở (tấn). Ta có phương trình: 2 x 5 x x 5 2  x – 5x – 300 = 0, x1 = 20(TM); x2 = -15(loại). Vậy ban đầu đội có 20 xe. Bài 2: Một đội xe định dùng một số xe cùng loại để chở hết 60 tấn hàng. Lúc sắp khởi hành có 3 xe phải điều đi làm việc khác. Vì vậy mỗi xe phải chở thêm một tấn hàng nữa mới hết số hàng đó. Tính số xe lúc đầu, biết rằng khối lượng hàng mỗi xe chở là như nhau. Hướng dẫn giải. Gọi số xe lúc đầu của đội dự định dùng là x(x N*, x > 3). 60 Số hàng mỗi xe ban đầu cần phải chở là (tấn), số xe thực chở hàng là x – 3, nên số hàng x 60 60 60 mỗi xe còn lại phải chở là (tấn). Ta có phương trình - = 1. x 3 x 3 x 2  x – 3x – 180 = 0 => x1 = 15(tm), x2 = - 12(L). Vậy số xe ban đầu đội có là 15 xe. Bài 3: Một đội xe phải chuyên chở 36 tấn hàng. Trước khi làm việc đội được bổ xung 3 xe nữa, nên mỗi xe chở ít hơn 1 tấn so với dự định. Hỏi đội xe lúc đầu có bao nhiêu chiếc. Biết số hàng chở trên tất cả các xe có khỗi lượng như nhau. Hướng dẫn giải 36 Gọi số xe lúc đầu đội có là x(x N*), mỗi xe dự định chở là (tấn), sau khi tăng thêm đội có x 36 36 36 x + 3 (chiếc) và mỗi xe phải chở (tấn). Ta có phương trình - = 1 x 3 x x 3 2  x + 3x – 108 = 0 => x1 = 9(tm), x2 = - 12(loại). Vậy ban đầu đội có 9 xe. Bài 4: Một công ty dự định chở 24 tấn hàng bằng xe tải nhỏ, nhưng để kịp giao hàng họ phải dùng các xe tải cỡ lớn. Do đó số xe tải được dùng giảm so với lúc đầu 2 xe. Tính số xe tải lớn dùng để chở hàng, biết rằng mỗi xe tải lớn chở được nhiều hơn xe tải nhỏ 2 tấn hàng. Hướng dẫn giải 24 Gọi số xe tải lớn là x(x N*), mỗi xe phải chở (tấn), số xe tải nhỏ là x + 2(chiếc) mỗi xe dự x 24 24 24 2 định chở (tấn). Ta có phương trình - = 2  x + 2x – 24 = 0, giải ra ta được x1 x 2 x x 2 = 4(tm), x2 = -6(L). Vậy số xe tải lớn dùng để chở hàng là 4 xe. Bài 5: Một công ty vận tải định điều một số xe để vận chuyển 24 tấn hàng. Thực tế khi đến nơi thì công ty bổ xung thêm 2 xe nữa, nên mỗi xe chở ít hơn so với dự định là 2 tấn. Hỏi số xe được điều đến theo dự định bao nhiêu. Biết số lượng hàng trên xe như nhau. Hướng dẫn giải.
18. 24 Gọi số xe ban đầu dự định chở hàng là x(x N*), mỗi xe dự định chở số hàng là (tấn), thực x 24 tế mỗi xe chở số hàng là (tấn). x 2 24 24 Ta có phương trình - = 2  x2 + 2x – 24 = 0, x x 2 giải ra ta được x1 = 4(tm), x2 = -6(L). Vậy số xe ban đầu dự định chở hàng là 4 xe. Bài 6: Một đội xe cần phải chở 100 tấn hàng ủng hộ đồng bào miền trung bị lũ lụt, nhưng do số lượng hàng nhiều nên để đạt kế hoạch đội đã bổ xung thêm 5 xe nữa vào đội xe nên mỗi xe chở ít hơn 1 tấn so với ban đầu. Hỏi số xe thực tế chở hàng ủng hộ, biết số lượng hàng mỗi xe chở như nhau. Hướng dẫn giải 100 Gọi số xe thực tế chở hàng là x(x N*, x > 5), mỗi xe chở (tấn), x 100 số xe theo dự định x – 5, mỗi xe chở theo dự định là , ta có phương trình x 5 100 100 - = 1 x1 = 25, x2 = - 20(loại). Vậy số xe thực tế chở hàng là 25 chiếc. x 5 x Bài 7: Một đoàn xe vận tải nhận chở 30 tấn hàng, nhưng do bổ xung thêm 2 xe nên mỗi xe chỉ phải chở ít hơn 0,5 tấn so với dự định. Hỏi số xe ban đầu. Hướng dẫn giải 30 30 1 Gọi số xe ban đầu là x(x N*), ta có phương trình - =  x2 + 2x – 120 = 0, x x 2 2 x1 = 10(tm), x2 = -12(loại). Vậy số xe ban đầu đội có là 10 chiếc. Bài 8: Một đội xe định chở 40 tấn hàng. Sắp khởi hành được giao thêm 14 tấn nữa, nên phải điều thêm 2 xe và mỗi xe phải chở thêm 0,5 tấn. Hỏi số xe dự định là bao nhiêu, biết số lượng hàng ở các xe là như nhau. Hướng dẫn giải 40 14 40 1 Gọi số xe dự định là x(x N*), ta có phương trình - = ; giải ra ta được kết quả. x 2 x 2 Đây là một trong những dạng bài giải bài toán bằng cách lập phương trình đưa về phương trình bậc hai mà các kì thi vào THPT hay ra, cách phân biệt dạng bài thêm xe, bớt xe, tôi cố gắng giải bài tổng quát để các bạn tham khảo. Nếu có thiếu sót trong quá trình giải hoặc trình bày mong được sửa giúp. Xin cảm ơn. Đây là các bài toán thuộc dạng có thể thi vào 10 THPT nên để làm tốt các em phải tự mình giải một bài toán theo nhiều cách, sau đó chọn cho mình cách giải hay nhất, phù hợp nhất để nếu đề thi có ra ta có thể giải trong thời gian 1 đến 2 phút, đúng và chính xác. Trên đây chỉ là gợi ý về phương pháp và cách giải, chỉ là cách giải tóm tắt chưa phải là cách giải chuẩn nhất mà cách giải hay và chuẩn nhất là do các em tự chọn kết hợp đáp án thi vào 10 những năm trước. CHÚC CÁC EM MỘT MÙA THI THẮNG LỢI