39 Đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 7

Nội dung text: 39 Đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 7

1. §Ò sè 1 ®Ò thi häc sinh giái huyÖn M«n To¸n Líp 7 (Thêi gian lµm bµi 120 phót) Bµi 1. T×m gi¸ trÞ n nguyªn d­¬ng: 1 a) .16n 2n ; b) 27 < 3n < 243 8 Bµi 2. Thùc hiÖn phÐp tÝnh: 1 1 1 1 1 3 5 7 49 ( ) 4.9 9.14 14.19 44.49 89 Bµi 3. a) T×m x biÕt: 2x 3 x 2 b) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A =x 2006 2007 x khi x thay ®æi Bµi 4. HiÖn nay hai kim ®ång hå chØ 10 giê. Sau Ýt nhÊt bao l©u th× 2 kim ®ång hå n»m ®èi diÖn nhau trªn mét ®­êng th¼ng. Bµi 5. Cho tam gi¸c vu«ng ABC (Aµ 90o ), ®­êng cao AH, trung tuyÕn AM. Trªn tia ®èi tia MA lÊy ®iÓm D sao cho DM = MA. Trªn tia ®èi của tia CD lÊy ®iÓm I sao cho CI = CA, qua I vÏ ®­êng th¼ng song song víi AC c¾t ®­êng th¼ng AH t¹i E. Chøng minh: AE = BC. §Ò sè 2 ®Ò thi häc sinh giái HUYÖN M«n To¸n Líp 7 (Thêi gian lµm bµi 120 phót) Bài 1:(4 điểm) a) Thực hiện phép tính: 212.35 46.92 510.73 255.492 A 6 3 22.3 84.35 125.7 59.143 b) Chứng minh rằng : Với mọi số nguyên dương n thì : 3n 2 2n 2 3n 2n chia hết cho 10 Bài 2:(4 điểm) Tìm x biết: 1
2. 1 4 2 a. x 3,2 3 5 5 x 1 x 11 b. x 7 x 7 0 Bài 3: (4 điểm) 2 3 1 a) Số A được chia thành 3 số tỉ lệ theo : : . Biết rằng tổng các bình phương của 5 4 6 ba số đó bằng 24309. Tìm số A. a c a 2 c2 a b) Cho . Chứng minh rằng: c b b2 c2 b Bài 4: (4 điểm) Cho tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Trên tia đối của của tia MA lấy điểm E sao cho ME = MA. Chứng minh rằng: a) AC = EB và AC // BE b) Gọi I là một điểm trên AC; K là một điểm trên EB sao cho AI = EK. Chứng minh ba điểm I, M, K thẳng hàng. c) Từ E kẻ EH  BC H BC . Biết H· BE = 50o ; M· EB = 25o . Tính H·EM và B·ME . Bài 5: (4 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A có Aµ 200 , vẽ tam giác đều DBC (D nằm trong tam giác ABC). Tia phân giác của góc ABD cắt AC tại M. Chứng minh: a) Tia AD là phân giác của góc BAC b) AM = BC §Ò sè 3 ®Ò thi häc sinh giái HUYÖN M«n To¸n Líp 7 (Thêi gian lµm bµi 120 phót) C©u 1: T×m tÊt c¶ c¸c sè nguyªn a biÕt a 4 9 9 C©u 2: T×m ph©n sè cã tö lµ 7 biÕt nã lín h¬n vµ nhá h¬n 10 11 C©u 3. Cho 2 ®a thøc P x = x2 + 2mx + m2 vµ Q x = x2 + (2m+1)x + m 2 T×m m biÕt P (1) = Q (-1) 2
3. C©u 4: T×m c¸c cÆp sè (x; y) biÕt: x y a / ; xy = 84 3 7 1+3y 1+5y 1+7y b/ 12 5x 4x C©u 5: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt hoÆc lín nhÊt cña c¸c biÓu thøc sau : A = x 1 +5 x2 15 B = x2 3 C©u 6: Cho tam gi¸c ABC cã ¢ < 900. VÏ ra phÝa ngoµi tam gi¸c ®ã hai ®o¹n th¼ng AD vu«ng gãc vµ b»ng AB; AE vu«ng gãc vµ b»ng AC. a. Chøng minh: DC = BE vµ DC  BE b. Gäi N lµ trung ®iÓm cña DE. Trªn tia ®èi cña tia NA lÊy M sao cho NA= NM. Chøng minh: AB = ME vµ ABC = EMA c. Chøng minh: MA  BC §Ò sè 4 ®Ò thi häc sinh giái HUYÖN (Thêi gian lµm bµi 120 phót) C©u 1 ( 2 ®iÓm) Thùc hiÖn phÐp tÝnh : 2 1 1 1 a) 6. 3. 1 : ( 1 3 3 3 3 2 2 3 2003 . . 1 3 4 b) 2 3 2 5 . 5 12 C©u 2 ( 2 ®iÓm) a 2 a 3 a- T×m sè nguyªn a ®Ó lµ sè nguyªn a 1 b- T×m sè nguyªn x,y sao cho x - 2xy + y = 0 C©u 3 ( 2 ®iÓm) a c a- Chøng minh r»ng nÕu a + c = 2b vµ 2bd = c (b + d) th× víi b, d 0 b d 3
4. b- CÇn bao nhiªu sè h¹ng cña tæng S = 1 + 2 + 3 + ®Ó ®­îc mét sè cã ba ch÷ sè gièng nhau . C©u 4 ( 3 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC cã gãc B b»ng 450, gãc C b»ng 1200. Trªn tia ®èi cña tia CB lÊy ®iÓm D sao cho CD=2CB . TÝnh gãc ADB. C©u 5 ( 1®iÓm) T×m mäi sè nguyªn tè tho¶ m·n : x2- 2y2 = 1 §Ò sè 5 ®Ò thi häc sinh giái (Thêi gian lµm bµi 120 phót) Bài 1 (3đ): 1 1 1 2 2 2 1, Tính: P = 2003 2004 2005 2002 2003 2004 5 5 5 3 3 3 2003 2004 2005 2002 2003 2004 2, Biết: 13 + 23 + . . . + 103 = 3025. Tính: S = 23 + 43 + 63 + . . + 203 x3 3x 2 0,25xy2 4 3, Cho: A = x 2 y 1 Tính giá trị của A biết x ; y là số nguyên âm lớn nhất. 2 Bài 2 (1đ): Tìm x biết: 3x + 3x + 1 + 3x + 2 = 117 Bài 3 (1đ): Một con thỏ chạy trên một con đường mà hai phần ba con đường băng qua đồng cỏ và đoạn đường còn lại đi qua đầm lầy. Thời gian con thỏ chạy trên đồng cỏ bằng nửa thời gian chạy qua đầm lầy. Hỏi vận tốc của con thỏ trên đoạn đường nào lớn hơn ? Tính tỉ số vận tốc của con thỏ trên hai đoạn đường ? Bài 4 (2đ): Cho ∆ABC nhọn. Vẽ về phía ngoài ∆ABC các tam giác đều ABD và ACE. Gọi M là giao điểm của BE và CD. Chứng minh rằng: 1) ∆ABE = ∆ADC 2) B·MC A·MB 1200 Bài 5 (3đ): Cho ba điểm B, H, C thẳng hàng, BC = 13 cm, BH = 4 cm, HC = 9 cm. Từ H vẽ tia Hx vuông góc với đường thẳng BC. Lấy A thuộc tia Hx sao cho HA = 6 cm. 1) ∆ABC là các tam giác gì ? Chứng minh điều đó. 4
5. 2) Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD = HA. Từ D vẽ đường thẳng song song với AH cắt AC tại E. Chứng minh: AE = AB.* §Ò sè 6 ®Ò thi häc sinh giái HUYÖN (Thêi gian lµm bµi 120 phót) Bài 1 (4đ): Cho các đa thức: A(x) = 2x5 – 4x3 + x2 – 2x + 2 B(x) = x5 – 2x4 + x2 – 5x + 3 3 C(x) = x4 + 4x3 + 3x2 – 8x + 4 16 1) Tính M(x) = A(x) – 2B(x) + C(x) 2) Tính giá trị của M(x) khi x = 0,25 3) Có giá trị nào của x để M(x) = 0 không ? Bài 2 (4đ): 1) Tìm ba số a, b, c biết: 3a = 2b; 5b = 7c và 3a + 5b – 7c = 60 2) Tìm x biết: 2x 3 x 2 x Bài 3 (4đ): Tìm giá trị nguyên của m và n để biểu thức 2 1) P = có giá trị lớn nhất. 6 m 8 n 2) Q = có giá trị nguyên nhỏ nhất. n 3 Bài 4 (5đ): Cho tam giác ABC có AB < AC; AB = c, AC = b. Qua M là trung điểm của BC kẻ đường vuông góc với đường phân giác trong của góc A, cắt các đường thẳng AB, AC lần lượt tại D, E. 1, Chứng minh BD = CE. 2, Tính AD và BD theo b, c Bài 5 (3đ): Cho ∆ABC cân tại A, B·AC 1000 . D là điểm thuộc miền trong của ∆ABC sao cho D· BC 100 , D· CB 200 . Tính góc ADB ? §Ò sè 7 5
6. ®Ò thi häc sinh giái HUYÖN (Thêi gian lµm bµi 120 phót) Bài 1 (3đ): Tính: 3 1 1 1 1, 6. 3. 1 1 3 3 3 2, (63 + 3. 62 + 33) : 13 9 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3, 10 90 72 56 42 30 20 12 6 2 Bài 2 (3đ): a b c 1, Cho và a + b + c ≠ 0; a = 2005. b c a Tính b, c. a b c d a c 2, Chứng minh rằng từ hệ thức ta có hệ thức: a b c d b d Bài 3 (4đ): Độ dài ba cạnh của tam giác tỉ lệ với 2; 3; 4. Ba chiều cao tương ứng với ba cạnh đó tỉ lệ với ba số nào ? Bài 4 (3đ): 2x ; x 0 Vẽ đồ thị hàm số: y = x ; x 0 Bài 5 (3đ): Chứng tỏ rằng: A = 75. (42004 + 42003 + . . . . . + 42 + 4 + 1) + 25 là số chia hết cho 100 Bài 6 (4đ): Cho tam giác ABC có góc A= 600. Tia phân giác của góc B cắt AC tại D, tia phân giác của góc C cắt AB tại E. Các tia phân giác đó cắt nhau tại I. Chứng minh: ID = IE.* §Ò sè 8 ®Ò thi häc sinh giái HUYÖN (Thêi gian lµm bµi 120 phót) Bài 1 (5đ): 1, Tìm n N biết (33 : 9)3n = 729 2, Tính : 6
7. 1 2 3 2 4 2 A = + 0,(4) 3 5 7 2 4 6 9 2 3 5 7 Bài 2 (3đ): Cho a,b,c R và a,b,c 0 thoả mãn b2 = ac. Chứng minh rằng: a (a 2007b)2 = c (b 2007c)2 Bài 3 (4đ): Ba đội công nhân làm 3 công việc có khối lượng như nhau. Thời gian hoàn thành công việc của đội І, ІІ, ІІІ lần lượt là 3, 5, 6 ngày. Biêt đội ІІ nhiều hơn đội ІІІ là 2 người và năng suất của mỗi công nhân là bằng nhau. Hỏi mỗi đội có bao nhiêu công nhân ? Câu 4 (6đ): Cho ∆ABC nhọn. Vẽ về phía ngoài ∆ABC các tam giác đều ABD và ACE. 1, Chứng minh: BE = DC. 2, Gọi H là giao điểm của BE và CD. Tính số đo góc BHC. Bài 5 (2đ): p m n Cho m, n N và p là số nguyên tố thoả mãn: = . m 1 p Chứng minh rằng : p2 = n + 2. §Ò sè 9 ®Ò thi häc sinh giái HUYÖN (Thêi gian lµm bµi 120 phót) Bµi 1: (2 ®iÓm) 4 a, Cho A (0,8.7 0.82 ).(1,25.7 .1,25) 31,64 5 (11,81 8,19).0,02 B 9:11,25 Trong hai sè A vµ B sè nµo lín h¬n vµ lín h¬n bao nhiªu lÇn ? b) Sè A 101998 4 cã chia hÕt cho 3 kh«ng? Cã chia hÕt cho 9 kh«ng? C©u 2: (2 ®iÓm) Trªn qu·ng ®­êng AB dµi 31,5 km. An ®i tõ A ®Õn B, B×nh ®i tõ B ®Õn A. VËn tèc An so víi B×nh lµ 2: 3. §Õn lóc gÆp nhau, thêi gian An ®i so víi B×nh ®i lµ 3: 4. TÝnh qu·ng ®­êng mçi ng­êi ®i tíi lóc gÆp nhau ? C©u 3: a) Cho f (x) ax 2 bx c víi a, b, c lµ c¸c sè h÷u tØ. Chøng tá r»ng: f ( 2).f (3) 0 . BiÕt r»ng 13a b 2c 0 7
8. 2 b) T×m gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó biÓu thøc A cã gi¸ trÞ lín nhÊt. 6 x C©u 4: (3 ®iÓm) Cho ABC, dùng tam gi¸c vu«ng c©n BAE; B·AE = 900, B vµ E n»m ë hai nöa mÆt ph¼ng kh¸c nhau bê AC. Dùng tam gi¸c vu«ng c©n FAC, F·AC = 900. F vµ C n»m ë hai nöa mÆt ph¼ng kh¸c nhau bê AB. a) Chøng minh r»ng: ABF = ACE b) FB  EC.* C©u 5: (1 ®iÓm) T×m ch÷ sè tËn cïng cña 0 9 89 96 A 1951 291 §Ò sè 10 ®Ò thi häc sinh giái HUYÖN (Thêi gian lµm bµi 120 phót) C©u 1: (2 ®iÓm) 3 3 1,5 1 0,75 0,375 0,3 1890 a) TÝnh A 11 12 : 115 5 5 5 2,5 1,25 0,625 0,5 2005 3 11 12 1 1 1 1 1 1 b) Cho B 3 32 33 34 32004 32005 1 Chøng minh r»ng B . 2 C©u 2: (2 ®iÓm) a c 5a 3b 5c 3d a) Chøng minh r»ng nÕu th× (gi¶ thiÕt c¸c tØ sè ®Òu cã b d 5a 3b 5c 3d nghÜa). x 1 x 2 x 3 x 4 b) T×m x biÕt: 2004 2003 2002 2001 C©u 3: (2®iÓm) a) Cho ®a thøc f (x) ax 2 bx c víi a, b, c lµ c¸c sè thùc. BiÕt r»ng f(0); f(1); f(2) cã gi¸ trÞ nguyªn. Chøng minh r»ng 2a, 2b cã gi¸ trÞ nguyªn. b) §é dµi 3 c¹nh cña tam gi¸c tØ lÖ víi 2; 3; 4. Ba ®­êng cao t­¬ng øng víi ba c¹nh ®ã tØ lÖ víi ba sè nµo ? 8
9. C©u 4: (3 ®iÓm) Cho tam gi¸c c©n ABC (AB = AC). Trªn c¹nh BC lÊy ®iÓm D, trªn tia ®èi cña tia CB lÊy ®iÓm E sao cho BD = CE. C¸c ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi BC kÎ tõ D vµ E c¾t AB, AC lÇn l­ît ë M, N. Chøng minh r»ng: a) DM = EN b) §­êng th¼ng BC c¾t MN t¹i trung ®iÓm I cña MN. c) §­êng th¼ng vu«ng gãc víi MN t¹i I lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh khi D thay ®æi trªn c¹nh BC. C©u 5: (1 ®iÓm) 7n 8 T×m sè tù nhiªn n ®Ó ph©n sè cã gi¸ trÞ lín nhÊt. 2n 3 §Ò sè 11 ®Ò thi häc sinh giái HUYÖN (Thêi gian lµm bµi 120 phót) C©u 1: (2 ®iÓm) a) TÝnh: 3 3 11 11 A = 0,75 0,6 : 2,75 2,2 7 13 7 13 10 1,21 22 0,25 5 225 B = : 7 3 49 9 b) T×m c¸c gi¸ trÞ cña x ®Ó: x 3 x 1 3x C©u 2: (2 ®iÓm) a b c a) Cho a, b, c > 0. Chøng tá r»ng: M kh«ng lµ sè nguyªn. a b b c c a b) Cho a, b, c tho¶ m·n: a + b + c = 0. Chøng minh r»ng: ab bc ca 0 . C©u 3: (2 ®iÓm) a) T×m hai sè d­¬ng kh¸c nhau x, y biÕt r»ng tæng, hiÖu vµ tÝch cña chóng lÇn l­ît tØ lÖ nghÞch víi 35; 210 vµ 12. b) VËn tèc cña m¸y bay, « t« vµ tµu ho¶ tØ lÖ víi c¸c sè 10; 2 vµ 1. Thêi gian m¸y bay bay tõ A ®Õn B Ýt h¬n thêi gian « t« ch¹y tõ A ®Õn B lµ 16 giê. Hái tµu ho¶ ch¹y tõ A ®Õn B mÊt bao l©u ? C©u 4: (3 ®iÓm) Cho c¹nh h×nh vu«ng ABCD cã ®é dµi lµ 1. Trªn c¸c c¹nh AB, AD lÊy c¸c ®iÓm P, Q sao cho chu vi APQ b»ng 2. Chøng minh r»ng gãc PCQ b»ng 450. C©u 5: (1 ®iÓm) 9
10. 1 1 1 1 9 Chøng minh r»ng: 5 13 25 1985 20 §Ò sè 12 ®Ò thi häc sinh giái HUYÖN (Thêi gian lµm bµi 120 phót) Bµi 1: (2 ®iÓm) a) Chøng minh r»ng víi mäi sè n nguyªn d­¬ng ®Òu cã: A= 5n (5n 1) 6n (3n 2) M 91 b) T×m tÊt c¶ c¸c sè nguyªn tè P sao cho P2 14 lµ sè nguyªn tè. Bµi 2: ( 2 ®iÓm) a) T×m sè nguyªn n sao cho n 2 3Mn 1 bz cy cx az ay bx b) BiÕt a b c a b c Chøng minh r»ng: x y z Bµi 3: (2 ®iÓm) An vµ B¸ch cã mét sè b­u ¶nh, sè b­u ¶nh cña mçi ng­êi ch­a ®Õn 100. Sè b­u ¶nh hoa cña An b»ng sè b­u ¶nh thó rõng cña B¸ch. + B¸ch nãi víi An. NÕu t«i cho b¹n c¸c b­u ¶nh thó rõng cña t«i th× sè b­u ¶nh cña b¹n gÊp 7 lÇn sè b­u ¶nh cña t«i. + An tr¶ lêi: cßn nÕu t«i cho b¹n c¸c b­u ¶nh hoa cña t«i th× sè b­u ¶nh cña t«i gÊp bèn lÇn sè b­u ¶nh cña b¹n. TÝnh sè b­u ¶nh cña mçi ng­êi. Bµi 4: (3 ®iÓm) Cho ABC cã gãc A b»ng 1200. C¸c ®­êng ph©n gi¸c AD, BE, CF . a) Chøng minh r»ng DE lµ ph©n gi¸c ngoµi cña ADB. b) TÝnh sè ®o gãc EDF vµ gãc BED. Bµi 5: (1 ®iÓm) T×m c¸c cÆp sè nguyªn tè p, q tho¶ m·n: 52p 1997 52p2 q2 §Ò sè 13 ®Ò thi häc sinh giái HUYÖN (Thêi gian lµm bµi 120 phót) Bµi 1: (2 ®iÓm) 10
11. 1 5 5 1 3 13 2 10 . 230 46 4 27 6 25 4 TÝnh: 3 10 1 2 1 : 12 14 10 3 3 7 Bµi 2: (3 ®iÓm) a) Chøng minh r»ng: A 3638 4133 chia hÕt cho 77. b) T×m c¸c sè nguyªn x ®Ó B x 1 x 2 ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt. c) Chøng minh r»ng: P(x) ax3 bx 2 cx d cã gi¸ trÞ nguyªn víi mäi x nguyªn khi vµ chØ khi 6a, 2b, a + b + c vµ d lµ sè nguyªn. Bµi 3: (2 ®iÓm) a c a) Cho tØ lÖ thøc . Chøng minh r»ng: b d 2 ab a 2 b2 a b a 2 b2 2 2 vµ 2 2 cd c d c d c d b) T×m tÊt c¶ c¸c sè nguyªn d­¬ng n sao cho: 2n 1 chia hÕt cho 7. Bµi 4: (2 ®iÓm) Cho c¹nh h×nh vu«ng ABCD cã ®é dµi lµ 1. Trªn c¸c c¹nh AB, AD lÊy c¸c ®iÓm P, Q sao cho chu vi APQ b»ng 2. Chøng minh r»ng gãc PCQ b»ng 450. Bµi 5: (1 ®iÓm) Chøng minh r»ng: 3a 2bM17 10a bM17 (a, b Z ) §Ò sè 14 ®Ò thi häc sinh giái HUYÖN (Thêi gian lµm bµi 120 phót) Bµi 1: (2 ®iÓm) a) T×m sè nguyªn d­¬ng a lín nhÊt sao cho 2004! chia hÕt cho 7a. 1 1 1 1 b) TÝnh P 2 3 4 2005 2004 2003 2002 1 1 2 3 2004 Bµi 2: (2 ®iÓm) x y z t Cho . y z t z t x t x y x y z Chøng minh r»ng biÓu thøc sau cã gi¸ trÞ nguyªn. x y y z z t t x P z t t x x y y z Bµi 3: (2 ®iÓm) 11
12. Hai xe m¸y khëi hµnh cïng mét lóc tõ A vµ B, c¸ch nhau 11 km ®Ó ®i ®Õn C. VËn tèc cña ng­êi ®i tõ A lµ 20 km/h. VËn tèc cña ng­êi ®i tõ B lµ 24 km/h. TÝnh qu·ng ®­êng mçi ng­êi ®· ®i. BiÕt hä ®Õn C cïng mét lóc vµ A, B, C th¼ng hµng. Bµi 4: (3 ®iÓm) Cho tam gi¸c nhän ABC. KÎ AH  BC (H BC). VÏ AE  AB vµ AE = AB (E vµ C nằm kh¸c phÝa ®èi víi AB). VÏ AF  AC vµ AF = AC (F vµ B nằm kh¸c phÝa ®èi víi AC). KÎ EM vµ FN cïng vu«ng gãc víi ®­êng th¼ng AH (M, N AH). EF c¾t AH ë O. Chøng minh r»ng O lµ trung ®iÓm cña EF. Bµi 5: (1 ®iÓm) So s¸nh: 5255 vµ 2579 §Ò sè 15 ®Ò thi häc sinh giái (Thêi gian lµm bµi 120 phót) C©u 1: (2 ®iÓm) 1 1 1 512 512 512 512 TÝnh : A 6 39 51 ; B 512 1 1 1 2 3 10 2 2 2 2 8 52 68 C©u 2: (2 ®iÓm) a) T×m x, y nguyªn biÕt: xy + 3x - y = 6 x y z b) T×m x, y, z biÕt: x y z (x, y, z 0 ) z y 1 x z 1 x y 2 C©u 3: (2 ®iÓm) a) Chøng minh r»ng: Víi n nguyªn d­¬ng ta cã: S 3n 2 2n 2 3n 2n chia hÕt cho 10. b) T×m sè tù nhiªn x, y biÕt: 7(x 2004)2 23 y2 C©u 4: (3 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC, AK lµ trung tuyÕn. Trªn nöa mÆt ph¼ng kh«ng chøa B, bê lµ AC, kÎ tia Ax vu«ng gãc víi AC; trªn tia Ax lÊy ®iÓm M sao cho AM = AC. Trªn nöa mÆt ph¼ng kh«ng chøa C, bê lµ AB, kÎ tia Ay vu«ng gãc víi AB vµ lÊy ®iÓm N thuéc Ay sao cho AN = AB. LÊy ®iÓm P trªn tia AK sao cho AK = KP. Chøng minh: a) AC // BP. b) AK  MN. C©u 5: (1 ®iÓm) Cho a, b, c lµ sè ®o 3 c¹nh cña mét tam gi¸c vu«ng víi c lµ sè ®o c¹nh huyÒn. Chøng minh r»ng: a 2n b2n c2n ; n lµ sè tù nhiªn lín h¬n 0. 12
13. §Ò sè 16 ®Ò thi häc sinh giái HUYÖN (Thêi gian lµm bµi 120 phót) C©u 1: (2 ®iÓm) TÝnh: 3 1 16 1 8 . 5 3 .5 7 A 9 4 19 4 : 14 1 24 2 2 .34 17 34 1 1 1 1 1 1 1 B 3 8 54 108 180 270 378 C©u 2: ( 2, 5 ®iÓm) 1) T×m sè nguyªn m ®Ó: a) Gi¸ trÞ cña biÓu thøc m -1 chia hÕt cho gi¸ trÞ cña biÓu thøc 2m + 1. b) 3m 1 3 2) Chøng minh r»ng: 3n 2 2n 4 3n 2n chia hÕt cho 30 víi mäi n nguyªn d­¬ng. C©u 3: (2 ®iÓm) a) T×m x, y, z biÕt: x y y z ; vµ x 2 y2 16 2 3 4 5 b) Cho f (x) ax 2 bx c . BiÕt f(0), f(1), f(2) ®Òu lµ c¸c sè nguyªn. Chøng minh f(x) lu«n nhËn gi¸ trÞ nguyªn víi mäi x nguyªn. C©u 4: (2,5 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC cã ba gãc nhän, ®­êng cao AH. ë miÒn ngoµi cña tam gi¸c ABC ta vÏ c¸c tam gi¸c vu«ng c©n ABE vµ ACF ®Òu nhËn A lµm ®Ønh gãc vu«ng. KÎ EM, FN cïng vu«ng gãc víi AH (M, N thuéc AH). a) Chøng minh: EM + HC = NH. b) Chøng minh: EN // FM. C©u 5: (1 ®iÓm) Cho 2n 1 lµ sè nguyªn tè (n > 2). Chøng minh 2n 1 lµ hîp sè. §Ò sè 17 13
14. ®Ò thi häc sinh giái HUYÖN (Thêi gian lµm bµi 120 phót) C©u 1: (2 ®iÓm) TÝnh nhanh: 1 1 1 1 (1 2 3 99 100) (63.1,2 21.3,6) 2 3 7 9 A 1 2 3 4 99 100 1 2 3 2 4 . ( ) 14 7 35 15 B 1 3 2 2 5 . 10 25 5 7 C©u 2: (2 ®iÓm) 1 a) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc A 3x 2 2x 1 víi x 2 b) T×m x nguyªn ®Ó x 1 chia hÕt cho x 3 C©u 3: ( 2 ®iÓm) 3x 3y 3z a) T×m x, y, z biÕt vµ 2x 2 2y2 z2 1 8 64 216 b) Mét « t« ph¶i ®i tõ A ®Õn B trong thêi gian dù ®Þnh. Sau khi ®i ®­îc nöa qu·ng ®­êng « t« t¨ng vËn tèc lªn 20 % do ®ã ®Õn B sím h¬n dù ®Þnh 15 phót. TÝnh thêi gian « t« ®i tõ A ®Õn B. C©u 4: (3 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC, trung tuyÕn AM. Trªn nöa mÆt ph¼ng chøa ®Ønh C bê lµ ®­êng th¼ng AB dùng ®o¹n AE vu«ng gãc víi AB vµ AE = AB. Trªn nöa mÆt ph¼ng chøa ®Ønh B bê lµ ®­êng th¼ng AC dùng ®o¹n AF vu«ng gãc víi AC vµ AF = AC. Chøng minh r»ng: a) FB = EC b) EF = 2 AM c) AM  EF. C©u 5: (1 ®iÓm) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Chøng tá r»ng: 1 2 3 4 99 200 101 102 199 200 §Ò sè 18: ®Ò thi häc sinh giái HUYÖN (Thêi gian lµm bµi 120 phót) 14
15. C©u 1: (2 ®iÓm) 2 2 1 1 0,4 0,25 a) Thùc hiÖn phÐp tÝnh: M 9 11 3 5 7 7 1 1,4 1 0,875 0,7 9 11 6 1 1 1 1 1 1 b) TÝnh tæng: P 1 10 15 3 28 6 21 C©u 2: (2 ®iÓm) 1) T×m x biÕt: 2x 3 2 4 x 5 2) Trªn qu·ng ®­êng KÐp - B¾c giang dµi 16,9 km, ng­êi thø nhÊt ®i tõ KÐp ®Õn B¾c Giang, ng­êi thø hai ®i tõ B¾c Giang ®Õn KÐp. VËn tèc ng­êi thø nhÊt so víi ng­êi thø hai b»ng 3: 4. §Õn lóc gÆp nhau thêi gian ng­êi thø nhÊt ®i so víi ng­êi thø hai ®i lµ 2: 5. Hái khi gÆp nhau th× hä c¸ch B¾c Giang bao nhiªu km ? C©u 3: (2 ®iÓm) a) Cho ®a thøc f (x) ax 2 bx c (a, b, c nguyªn). Chøng minh r»ng nÕu f(x) chia hÕt cho 3 víi mäi gi¸ trÞ cña x th× a, b, c ®Òu chia hÕt cho 3. a c 7a 2 5ac 7b2 5bd b) CMR: nÕu th× (Gi¶ sö c¸c tØ sè ®Òu cã nghÜa). b d 7a 2 5ac 7b2 5bd C©u 4: (3 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC cã AB < AC. Gäi M lµ trung ®iÓm cña BC, tõ M kÎ ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi tia ph©n gi¸c cña gãc A, c¾t tia nµy t¹i N, c¾t tia AB t¹i E vµ c¾t tia AC t¹i F. Chøng minh r»ng: a) AE = AF b) BE = CF AB AC c) AE 2 C©u 5: (1 ®iÓm) §éi v¨n nghÖ khèi 7 gåm 10 b¹n trong ®ã cã 4 b¹n nam, 6 b¹n n÷. §Ó chµo mõng ngµy 30/4 cÇn 1 tiÕt môc v¨n nghÖ cã 2 b¹n nam, 2 b¹n n÷ tham gia. Hái cã nhiÒu nhÊt bao nhiªu c¸ch lùa chän ®Ó cã 4 b¹n nh­ trªn tham gia. §Ò sè 19 ®Ò thi häc sinh giái HUYÖN (Thêi gian lµm bµi 120 phót) C©u 1: (2 ®iÓm) a) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: 15
16. 11 3 1 2 1 . 4 15 6 . 31 7 3 19 14 31 A . 1 . 5 1 1 93 50 4 12 5 6 6 3 1 1 1 1 1 b) Chøng tá r»ng:B 1 22 32 42 20042 2004 C©u 2: (2 ®iÓm) 3 x 2 Cho ph©n sè: C (x Z) 4 x 5 a) T×m x Z ®Ó C ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt, t×m gi¸ trÞ lín nhÊt ®ã. b) T×m x Z ®Ó C lµ sè tù nhiªn. C©u 3: (2 ®iÓm) a c ab (a b)2 Cho . Chøng minh r»ng: b d cd (c d)2 C©u 4: (3 ®iÓm) Cho tam gi¸c vu«ng c©n ABC (AB = AC), tia ph©n gi¸c cña c¸c gãc B vµ C c¾t AC vµ AB lÇn l­ît t¹i E vµ D. a) Chøng minh r»ng: BE = CD; AD = AE. b) Gäi I lµ giao ®iÓm cña BE vµ CD. AI c¾t BC ë M, chøng minh r»ng c¸c MAB; MAC lµ tam gi¸c vu«ng c©n. c) Tõ A vµ D vÏ c¸c ®­êng th¼ng vu«ng gãc víi BE, c¸c ®­êng th¼ng nµy c¾t BC lÇn l­ît ë K vµ H. Chøng minh r»ng KH = KC. C©u 5: (1 ®iÓm) T×m sè nguyªn tè p sao cho: 3p2 1 ; 24p2 1 lµ c¸c sè nguyªn tè. §Ò sè 20: ®Ò thi häc sinh giái HUYÖN (Thêi gian lµm bµi 120 phót) C©u 1: (2 ®iÓm) a) Thùc hiÖn phÐp tÝnh: 3 3 0,75 0,6 A 7 13 ; 11 11 2,75 2,2 7 3 B ( 251.3 281) 3.251 (1 281) b) T×m c¸c sè nguyªn tè x, y sao cho: 51x + 26y = 2000. C©u 2: ( 2 ®iÓm) a) Chøng minh r»ng: 2a - 5b + 6c  17 nÕu a - 11b + 3c  17 (a, b, c Z). 16
17. bz cy cx az ay bx b) BiÕt a b c a b c Chøng minh r»ng: x y z C©u 3: ( 2 ®iÓm) B©y giê lµ 4 giê 10 phót. Hái sau Ýt nhÊt bao l©u th× hai kim ®ång hå n»m ®èi diÖn nhau trªn mét ®­êng th¼ng. C©u 4: (2 ®iÓm) Cho ABC vu«ng c©n t¹i A. Gäi D lµ ®iÓm trªn c¹nh AC, BI lµ ph©n gi¸c cña ABD, ®­êng cao IM cña BID c¾t ®­êng vu«ng gãc víi AC kÎ tõ C t¹i N. TÝnh gãc IBN ? C©u 5: (2 ®iÓm) Sè 2100 viÕt trong hÖ thËp ph©n t¹o thµnh mét sè. Hái sè ®ã cã bao nhiªu ch÷ sè ? §Ò sè 21 ®Ò thi häc sinh giái HUYÖN (Thêi gian lµm bµi 120 phót) Bµi 1: (2 ®iÓm) a) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc 3 3 5 0,375 0,3 2,5 1,25 P 2005: 11 12 . 3 5 5 0,625 0,5 1,5 1 0,75 11 12 b) Chøng minh r»ng: 3 5 7 19 1 12.22 22.32 32.42 92.102 C©u 2: (2 ®iÓm) a) Chøng minh r»ng víi mçi sè nguyªn d­¬ng n th×: 3n 3 3n 1 2n 3 2n 2 chia hÕt cho 6. b) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: D 2004 x 2003 x C©u 3: (2 ®iÓm) Mét « t« ph¶i ®i tõ A ®Õn B trong thêi gian dù ®Þnh. Sau khi ®i ®­îc nöa qu·ng ®­êng « t« t¨ng vËn tèc lªn 20 % do ®ã ®Õn B sím h¬n dù ®Þnh 10 phót. TÝnh thêi gian « t« ®i tõ A ®Õn B. C©u 4: (3 ®iÓm) 17
18. Cho tam gi¸c ABC, M lµ trung ®iÓm cña BC. Trªn nöa mÆt ph¼ng kh«ng chøa C cã bê AB, vÏ tia Ax vu«ng gãc víi AB, trªn tia ®ã lÊy ®iÓm D sao cho AD = AB. Trªn nöa mÆt ph¼ng kh«ng chøa B cã bê AC vÏ tia Ay vu«ng gãc víi AC. Trªn tia ®ã lÊy ®iÓm E sao cho AE = AC. Chøng minh r»ng: a) DE = 2 AM b) AM  DE. C©u 5: (1 ®iÓm) Cho n sè x1, x2, , xn mçi sè nhËn gi¸ trÞ 1 hoÆc -1. Chøng minh r»ng nÕu x1. x2 + x2. x3 + + xn x1 = 0 th× n chia hÕt cho 4. §Ò sè 22 ®Ò thi häc sinh giái HUYÖN (Thêi gian lµm bµi 120 phót) Bµi 1: (2 ®iÓm) a) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: 2 4 3 81,624: 4 4,505 125 3 4 A 2 2  11 2 13 : 0,88 3,53 (2,75) : 25 25  b) Chøng minh r»ng tæng: 1 1 1 1 1 1 1 S 0,2 22 24 26 24n 2 24n 22002 22004 Bµi 2: (2 ®iÓm) a) T×m c¸c sè nguyªn x tho¶ m·n. 2005 x 4 x 10 x 101 x 990 x 1000 b) Cho p > 3. Chøng minh r»ng nÕu c¸c sè p, p + d , p + 2d lµ c¸c sè nguyªn tè th× d chia hÕt cho 6. Bµi 3: (2 ®iÓm) a) §Ó lµm xong mét c«ng viÖc, mét sè c«ng nh©n cÇn lµm trong mét sè ngµy. Mét b¹n häc sinh lËp luËn r»ng nÕu sè c«ng nh©n t¨ng thªm 1/3 th× thêi gian sÏ gi¶m ®i 1/3. §iÒu ®ã ®óng hay sai ? v× sao ? b) Cho d·y tØ sè b»ng nhau: 2a b c d a 2b c d a b 2c d a b c 2d a b c d a b b c c d d a TÝnh M c d d a a b b c Bµi 4: (3 ®iÓm) Cho tam gi¸c nhän ABC, AB > AC ph©n gi¸c BD vµ CE c¾t nhau t¹i I. 18
19. a) TÝnh c¸c gãc cña DIE nÕu Aµ = 600. b) Gäi giao ®iÓm cña BD vµ CE víi ®­êng cao AH cña ABC lÇn l­ît lµ M vµ N. Chøng minh BM > MN + NC. Bµi 5: (1 ®iÓm) Cho z, y, z lµ c¸c sè d­¬ng. x y z 3 Chøng minh r»ng: 2x y z 2y z x 2z x y 4 §Ò sè 23 ®Ò thi häc sinh giái HUYÖN (Thêi gian lµm bµi 120 phót) Bµi 1: (2 ®iÓm) a) T×m x biÕt: x 2 6x 2 x 2 4 b) T×m tæng c¸c hÖ sè cña ®a thøc nhËn ®­îc sau khi bá dÊu ngoÆc trong biÓu thøc: A(x) = (3 4x x 2 )2004. (3 4x x 2 )2005 Bµi 2: (2 ®iÓm) Ba ®­êng cao cña tam gi¸c ABC cã ®é dµi b»ng 4; 12; x biÕt r»ng x lµ mét sè tù nhiªn. T×m x ? Bµi 3: (2 ®iÓm) x y z t Cho . Chøng minh r»ng biÓu thøc sau y z t z t x t x y x y z x y y z z t t x cã gi¸ trÞ nguyªn: P z t t x x y y z Bµi 4: (3 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A cã gãc B = . Trªn c¹nh AC lÊy ®iÓm E sao cho 1 gãc EBA= . Trªn tia ®èi cña tia EB lÊy ®iÓm D sao cho ED = BC. 3 Chøng minh tam gi¸c CED lµ tam gi¸c c©n. Bµi 5: (1 ®iÓm) T×m c¸c sè a, b, c nguyªn d­¬ng tho¶ m·n : a3 3a 2 5 5b vµ a 3 5c §Ò sè 24 ®Ò thi häc sinh giái HUYÖN (Thêi gian lµm bµi 120 phót) Bµi 1: (2 ®iÓm) 19
20. a) TÝnh A 3 32 33 34 32003 32004 b) T×m x biÕt x 1 x 3 4 Bµi 2: (2 ®iÓm) Chøng minh r»ng: x y z NÕu a 2b c 2a b c 4a 4b c a b c Th× x 2y z 2x y z 4x 4y z Bµi 3: (2 ®iÓm) Hai xe m¸y khëi hµnh cïng mét lóc tõ A vµ B, c¸ch nhau 11km ®Ó ®i ®Õn C (ba ®Þa ®iÓm A, B, C ë cïng trªn mét ®­êng th¼ng). VËn tèc cña ng­êi ®i tõ A lµ 20 km/h. VËn tèc cña ng­êi ®i tõ B lµ 24 km/h. TÝnh qu·ng ®­êng mçi ng­êi ®· ®i. BiÕt hä ®Õn C cïng mét lóc. Bµi 4: (3 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC cã gãc A kh¸c 900, gãc B vµ C nhän, ®­êng cao AH. VÏ c¸c ®iÓm D, E sao cho AB lµ trung trùc cña HD, AC lµ trung trùc cña HE. Gäi I, K lÇn l­ît lµ giao ®iÓm cña DE víi AB vµ AC. TÝnh sè ®o c¸c gãc AIC vµ AKB ? Bµi 5: (1 ®iÓm) Cho x = 2005. TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: x 2005 2006x 2004 2006x 2003 2006x 2002 2006x 2 2006x 1 §Ò sè 25 ®Ò thi häc sinh giái HUYÖN (Thêi gian lµm bµi 120 phót) 3 a b c a b c a C©u 1 . ( 2®) Cho: . Chøng minh: . b c d b c d d a c b C©u 2. (1®). T×m A biÕt r»ng: A = . b c a b c a C©u 3. (2®). T×m x Z ®Ó A Z vµ t×m gi¸ trÞ ®ã. x 3 1 2x a) A = . b) A = . x 2 x 3 C©u 4. (2®). T×m x: a) x 3 = 5 . b). ( x+ 2) 2 = 81. c). 5 x + 5 x+ 2 = 650 C©u 5. (3®). Cho ABC vu«ng c©n t¹i A, trung tuyÕn AM . E BC, BH, CK  AE, (H,K AE). Chøng minh MHK vu«ng c©n. 20
21. §Ò sè 26 ®Ò thi häc sinh giái HUYÖN (Thêi gian lµm bµi 120 phót) C©u 1: (2®) x x 2 Rót gän A = x2 8x 20 C©u 2 (2®) Ba líp 7A,7B,7C cã 94 häc sinh tham gia trång c©y. Mçi häc sinh líp 7A trång ®­îc 3 c©y, Mçi häc sinh líp 7B trång ®­îc 4 c©y, Mçi häc sinh líp 7C trång ®­îc 5 c©y,. Hái mçi líp cã bao nhiªu häc sinh. BiÕt r»ng sè c©y mçi líp trång ®­îc ®Òu nh­ nhau. C©u 3: (1,5®) 102006 53 Chøng minh r»ng lµ mét sè tù nhiªn. 9 C©u 4 : (3®) Cho x·Ay = 600 vÏ tia ph©n gi¸c Az cña gãc ®ã . Tõ mét ®iÓm B trªn Ax vÏ ®­êng th¼ng song song víi víi Ay c¾t Az t¹i C. vÏ Bh  Ay,CM Ay, BK  AC. Chøng minh r»ng: a, K lµ trung ®iÓm cña AC. AC b, BH = 2 c, KMC ®Òu C©u 5 (1,5 ®) Trong mét kú thi häc sinh giái cÊp HuyÖn, bèn b¹n Nam, B¾c, T©y, §«ng ®o¹t 4 gi¶i 1, 2, 3, 4. BiÕt r»ng mçi c©u trong 3 c©u d­íi ®©y ®óng mét nöa vµ sai 1 nöa: a, t©y ®¹t gi¶i 1, B¾c ®¹t gi¶i 2. b, T©y ®¹t gi¶i 2, §«ng ®¹t gi¶i 3. c, Nam ®¹t gi¶i 2, §«ng ®¹t gi¶i 4. Em h·y x¸c ®Þnh thø tù ®óng cña gi¶i cho c¸c b¹n §Ò sè 27 ®Ò thi häc sinh giái HUYÖN (Thêi gian lµm bµi 120 phót) Bài 1: (3 điểm): Tính 1 1 2 2 3 18 (0,06: 7 3 .0,38) : 19 2 .4 6 2 5 3 4 a c Bài 2: (4 điểm): Cho chứng minh rằng: c b 21
22. a 2 c2 a b2 a 2 b a a) b) b2 c2 b a 2 c2 a Bài 3:(4 điểm) Tìm x biết: 1 15 3 6 1 a) x 4 2 b) x x 5 12 7 5 2 Bài 4: (3 điểm) Một vật chuyển động trên các cạnh hình vuông. Trên hai cạnh đầu vật chuyển động với vận tốc 5m/s, trên cạnh thứ ba với vận tốc 4m/s, trên cạnh thứ tư với vận tốc 3m/s. Hỏi độ dài cạnh hình vuông biết rằng tổng thời gian vật chuyển động trên bốn cạnh là 59 giây Bài 5: (4 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A có Aµ 200 , vẽ tam giác đều DBC (D nằm trong tam giác ABC). Tia phân giác của góc ABD cắt AC tại M. Chứng minh: c) Tia AD là phân giác của góc BAC d) AM = BC Bài 6: (2 điểm): Tìm x,y ¥ biết: 25 y2 8(x 2009)2 §Ò sè 28 ®Ò thi häc sinh giái HUYÖN (Thêi gian lµm bµi 120 phót) 1 1 1 1 Bµi 1. TÝnh 1.6 6.11 11.16 96.101 1 1 1 Bµi 2. T×m gi¸ trÞ nguyªn d­¬ng cña x vµ y, sao cho: x y 5 Bµi 3. T×m hai sè d­¬ng biÕt: tæng, hiÖu vµ tÝch cña chóng tû lÖ nghÞch víi c¸c sè 20, 140 vµ 7 Bµi 4. T×m x, y tho¶ m·n: x 1 x 2 y 3 x 4 = 3 Bµi 5. Cho tam gi¸c ABC cã gãc ABC = 500 ; gãc BAC = 700. Ph©n gi¸c trong gãc ACB c¾t AB t¹i M. Trªn MC lÊy ®iÓm N sao cho gãc MBN = 400. Chøng minh: BN = MC. §Ò sè 29 ®Ò thi häc sinh giái HUYÖN (Thêi gian lµm bµi 120 phót) C©u 1: T×m tÊt c¶ c¸c sè nguyªn a biÕt a 4 9 9 C©u 2: T×m ph©n sè cã tö lµ 7 biÕt nã lín h¬n vµ nhá h¬n 10 11 22
23. C©u 3: Trong 3 sè x, y, z cã 1 sè d­¬ng , mét sè ©m vµ mét sè 0. Hái mçi sè ®ã thuéc lo¹i nµo biÕt: x y3 y2z C©u 4: T×m c¸c cÆp sè (x; y) biÕt: x y a, ; xy=84 3 7 1+3y 1+5y 1+7y b, 12 5x 4x 3n 1 1 C©u 5: TÝnh tæng: S 1 2 5 14 (n Z ) 2 * C©u 6: Cho tam gi¸c ABC cã ¢ < 900. VÏ ra phÝa ngãi tam gi¸c ®ã hai ®o¹n th¼ng AD vu«ng gãc vµ b»ng AB; AE vu«ng gãc vµ b»ng AC. d. Chøng minh: DC = BE vµ DC  BE e. Gäi N lµ trung ®iÓm cña DE. Trªn tia ®èi cña tia NA lÊy M sao cho NA = NM. Chøng minh: AB = ME vµ ABC EMA f. Chøng minh: MA  BC. §Ò sè 30 ®Ò thi häc sinh giái HUYÖN (Thêi gian lµm bµi 120 phót) C©u 1: So s¸nh c¸c sè: a. A 1 2 22 250 B = 251 b. 2300 vµ 3200 C©u 2: T×m ba sè a, b, c biÕt a tØ lÖ thuËn víi 7 vµ 11; b vµ c tØ lÖ nghÞch víi 3 vµ 8 vµ 5a - 3b + 2c = 164 1 1 1 761 4 5 C©u 3: TÝnh nhanh: 3   4 417 762 139 762 417.762 139 C©u 4. Cho tam gi¸c ACE ®Òu sao cho B vµ E ë hai nöa mÆt ph¼ng ®èi nhau cã bê AC. a. Chøng minh tam gi¸c AED c©n. b. TÝnh sè ®o gãc ACD? §Ò sè 31 ®Ò thi häc sinh giái HUYÖN (Thêi gian lµm bµi 120 phót) 23
24. C©u 1: chøng minh r»ng : a3 - 13a  6 víi  az vµ a>1 C©u 2 a) Gi¶ sö a vµ b lµ nh÷nh sè nguyªn ®Ó : (16a+17b)(17a+16b)  11.chøng minh r»ng tÝch (16a+17b)(17a+16b)  121 b) Chøng minh r»ng: nÕu hµm sè y=f(x)=a2+bx+c nhËn gi¸ trÞ nguyªn khi biÕn sè x nhËn gi¸ trÞ nguyªn víi mäi x th× 2a,a+b,c Z vµ ng­îc l¹i C©u 3 : T×m x biÕt a) 3x+1+ 2x.3x -18x -27 = 0 b) x +x 1 +x 2 =2 C©u 4 1 1. Cho tam gi¸c abc cã gãc acb b»ng 300 ®­êng cao ah = bc. D lµ trung 2 ®iÓm cña AB tÝnh gãc BCD 2. cho tam gi¸c abc vu«ng c©n ®Ønh a diÓm D võa n»m trªn nöa mÆt ph¼ng bê AB cã chøa ®iÓm C võa n»m trªn nöa mÆt ph¼ng bê AC kh«ng chøa ®iÓm B sao cho AB = AD ®ång thêi D kh«ng trïng C h¹ CI vu«ng gãc víi BD a- so s¸nh chu vi tam gi¸c ADB vµ chu vi tø gi¸c ABCI b-t×m vÞ trÝ cña ®iÓm D sao cho chu vi tam gi¸c BCD ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt cã thÓ ®¹t ®­îc. §Ò sè 32 ®Ò thi häc sinh giái HUYÖN (Thêi gian lµm bµi 120 phót) C©u 1 ( 4 ®iÓm ) thùc hiÖn phÐp tÝnh 3 4 7 5 ( ).( ) 5 a) 10 15 20 19 : 1 1 3 1 24 . 1 14 7 35 3 1 1 1 1 1 1 b) 10 40 88 154 238 340 C©u 2 : ( 4 ®iªm ) 1) t×m sè nguyªn m ®Ó : a) Gi¸ trÞ cña biÓu thøc m-1 chia hÕt cho gi¸ tri cña biÓu thøc 2m +1 b) 2m 5 5 2) chøng minh r»ng : 3n+2 -2n+2 + 3n - 2n chia hÕt cho 10 víi n nguyªn d­¬ng C©u 3 : ( 4 ®iÓm ) 24
25. x y a) T×m x, y biÕt : vµ 2x2 - y2 = -28 3 5 b) TÝnh thêi gian tõ lóc kim giê vµ kim phót c¶ mét chiÕc ®ång hå gÆp nhau lÇn tr­íc ®Õn lóc gÆp nhau lÇn thø hai. Tõ ®ã suy ra trong mét ngµy hai kim gÆp nhau bao nhiªu lÇn ? t¹o víi nhau gãc vu«ng bao nhiªu lÇn? C©u 4 : ( 6 ®iÓm ) Cho tam gi¸c ABC cã ®é dµi c¹nh BC b»ng hai lÇn ®é dµi c¹nh AB . M lµ trung ®iÓm cña BC , N lµ trung ®iÓm cña BM . Trªn tia ®èi cña tia NA lÊy D sao cho ND = NA . chøng minh r»ng : a) Tam g¸c BCD vu«ng b)Tam gi¸c ACD c©n C©u 5 : ( 2 ®iÓm ) Cho C = 75. ( 42001 + 42000 +41999 + + 42 + 4 + 1) + 25 a) chøng minh r»ng C chia hÕt cho 42002 . b) Hái C chia cho 42003 d­ bao nhiªu ? §Ò sè 33 ®Ò thi häc sinh giái HUYÖN (Thêi gian lµm bµi 120 phót) Bµi 1 : t×m x,y , z biÕt r»ng x y x z 1) , vµ x + 2y + 3z = 164 2 3 5 7 z y z 2) = x+y+z y z 1 x z 1 x y 2 Bµi 2 T×m tû lÖ ba ®­êng cao cña mét tam gi¸c biÕt r»ng nÕu céng lÇn l­ît ®é dµi tõng cÆp hai c¹nh cña tam gi¸c ta ®­îc tû lÖ c¸c kÕt qu¶ lµ 5:7:8 Bµi 3 Lóc rêi nhµ ®i b¹n An xem giê th× thÊy kim ®ång hå chØ h¬n 1 giê vµ khi ®Õn tr­êng th× thÊy hai kim ®ång hå ®æi vÞ trÝ cho nhau ( trong thêi gian nµy hai kim ®ång hå kh«ng chËp nhau lÇn nµo ) TÝnh thêi gian An ®i tõ nhµ ®Õn tr­êng , lóc An êi nhµ , An ®Õn tr­êng lµ mÊy giê . ( hai kim nãi ë ®©y lµ kim giê vµ kim phót ) Bµi 4 Cho tam gi¸c ABC , vÏ vÒ phÝa ngoµi tam gi¸c c¸c tam gi¸c vu«ng c©n ®Ønh A lµ BAE vµ CAF 1) NÕu I lµ trung ®iÓm cña BC th× AI vu«ng gãc víi EF vµ ng­îc l¹i nÕu I thuéc BC vµ AI vu«ng gãc víi EF th× I lµ trung ®iÓm cña BC 2) chøng tá r»ng AI = EF/ 2. ( víi I lµ trung ®iÓm cña BC ) 3) GØa sö H lµ trung ®iÓm cña EF ,h·y xÐt quan hÖ cña AH vµ BC. 25
26. Bµi 5 2001 x T×m x nguyªn d­¬ng ®Ó M = ®¹t gi¸ trÞ d­¬ng bÐ nhÊt. T×m gi¸ trÞ Êy. 2002 x ®Ò thi häc sinh giái cÊp tØnh m«n : to¸n líp : 7 N¨m häc 2001-2002 C©u 1 : TÝnh 2 1 5 1 3 .4 6 .4 a) P = 13 13 13 13 3 1 2 1 .26 13 26 7 7 7 7 b) A = 1 1 1 1 9 20 33 2900 C©u 2 : T×m c¸c sè cã hai ch÷ sè biÕt r»ng khi nh©n nã víi 37 vµ lÊy kÕt qu¶ chia cho 31 ta ®­îc sè d­ lµ 15 C©u 3 : 1 1 1 1 a) Chøng minh r»ng : cã tæng kh«ng ph¶i lµ mét sè tù nhiªn 2 3 4 15 b) Hai ®Þa ®iÓm A vµ B c¸ch nhau 90 km . Hai ng­êi ®i xe ®¹p cïng mét lóc tõ A vµ tõ B , ®i ®Î gÆp nhau . Hä gÆp nhau c¸ch A lµ 50 km . NÕu ng­êi ®i nhanh h¬n xuÊt 350 ph¸t sau ng­êi kia 1 giê th× hä gÆp nhau c¸ch A lµ km. T×m vËn tèc cña mçi ng­êi . 9 C©u 4: 1 2y 1 4y 1 6y a) T×m x , y biÕt r»ng : 18 24 6x b) Cho ®a thøc f (x) = ax2+ bx + c trong ®ã c¸c hÖ sè a, b, c nguyªn. BiÕt r¨ng c¸c gi¸ trÞ cña ®a thøc chia hÕt cho 3 víi mäi gi¸ trÞ nguyªn cña x . chøng minh r»ng a, b, c ®Òu chia hÕt cho 3. C©u 5: Cho tam gi¸c ABC. Tõ trung ®iÓm D cña c¹nh BC kÎ ®­êng vu«ng gãc víi ®­êng ph©n gi¸c trong cña gãc A c¾t AB vµ AC t¹i M vµ N a) chøng minh r»ng: BM = CN b) §Æt AB = c , AC = b. TÝnh AM vµ BM theo b vµ c. 26
27. §Ò sè 34 ®Ò thi häc sinh giái HUYÖN (Thêi gian lµm bµi 120 phót) Bµi 1: (2 ®iÓm) Cho A = 2 – 5 + 8 – 11 + 14 – 17 + + 98 - 101 1. ViÕt d¹ng tæng qu¸t d¹ng thø n cña A 2. TÝnh A Bµi 2: ( 2 ®iÓm) x 1 y 2 z 3 1. T×m x, y, z biÕt: vµ x - 2y + 3z = -10 2 3 4 2. Cho bèn sè a, b, c, d kh¸c 0 vµ tho¶ m·n: b2 = ac; c2 = bd; b3 + c3 + d3 ≠ 0. Chøng a3 b3 c3 a minh r»ng: b3 c3 d3 d Bµi 3: ( 2 ®iÓm) 1 1 1 1 1. Chøng minh r»ng: 10 1 2 3 100 2. T×m x, y ®Ó C = -18-2x 6 3y 9 ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt. Bµi 4: ( 3 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC vu«ng c©n t¹i A cã trung tuyÕn AM. E lµ ®iÓm thuéc c¹nh BC. KÎ BH, CK vu«ng gãc víi AE (H, K thuéc AE). 1. Chøng minh: BH = AK 2. Cho biÕt MHK lµ tam gi¸c g×? T¹i sao? SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ CẤP TẠO TỈNH BẮC GIANG NĂM HỌC 2012-2013 MÔN THI: TOÁN; LỚP: 7 PHỔ THÔNG ĐỀ THI CHÍNH THỨC Ngày thi: 30/3/2013 Đề thi có 01 trang Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề 27
28. Câu 1. (4,0 điểm) 3 2 1 3 2 1 1) Rút gọn: A : . 2 5 10 2 3 12 2) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P x 2012 x 2013 với x là số tự nhiên. Câu 2. (5,0 điểm) 1) Tìm x biết 2x 2.3x 1.5x 10800 . 2) Ba bạn An, Bình và Cường có tổng số viên bi là 74. Biết rằng số viên bi của An và Bình tỉ lệ với 5 và 6; số viên bi của Bình và Cường tỉ lệ với 4 và 5. Tính số viên bi của mỗi bạn. Câu 3. (4,0 điểm) 1) Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng p2 2012 là hợp số. 2) Cho n là số tự nhiên có hai chữ số. Tìm nbiết n 4 và 2n đều là các số chính phương. Câu 4. (6,0 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A và có cả ba góc đều là góc nhọn. 1) Về phía ngoài của tam giác vẽ tam giác ABE vuông cân ở B. Gọi H là trung điểm của BC, trên tia đối của tia AH lấy điểm I sao cho AI BC . Chứng minh hai tam giác ABI và BEC bằng nhau và BI  CE . 2) Phân giác của các góc A·BC,B·DC cắt AC, BC lần lượt tại D, M. Phân giác 1 của góc B·DA cắt BC tại N. Chứng minh rằng: BD MN. 2 Câu 5. (1,0 điểm) 1 1 1 1 1 1 Cho S 1 và 2 3 4 2011 2012 2013 1 1 1 1 2013 P . Tính S P . 1007 1008 2012 2013 Hết Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. 28
29. PHÒNG GD&ĐT ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN TÂN YÊN Năm học: 2011 - 2012 Môn: Toán 7 Thời gian làm bài: 150 phút Câu 1: (4 điểm) Tính. 4 4 12 4 210.13 210.65 a) b) 19.21 21.23 23.29 29.31 28.104 Câu 2: (4 điểm) a) Chứng minh rằng: 87 218 chia hết cho 14 b) Cho x,y Z chứng minh rằng 6x 11y M31 khi và chỉ khi x 7y M31 Câu 3: (6 điểm) 2 a) Tìm x biết x 6 2 3 x y b) Tìm x,y biết và 2x2 y2 28 3 5 c) Tìm các giá trị nguyên của số n để biểu thức sau nhận giá trị nguyên n3 - 2n + 4 P n -1 Câu 4: (4 điểm) Cho ABC nhọn, đường cao AH. Ở miền ngoài tam giác ABC, vẽ các tam giác vuông cân ABE, ACF đều nhận A làm đỉnh góc vuông. Kẻ EM và FN cùng vuông góc với đường thẳng AH (M, N AH). a) Chứng minh: EM + HC = HN b) Chứng minh EN // FM Câu 5: (2 điểm) Tính giá trị của biểu thức sau: 1 1 1 Q 1 1 2 1 2 3  1 2 3  16 2 3 16 29
30. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH BẮC GIANG NĂM HỌC 2013-2014 MÔN THI: TOÁN- LỚP: 7 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Ngày thi: 21/3/2014 (Đề thi có 01 trang) Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề Câu 1. (4,0 điểm) 3 2 4 12 7 6 25 2 1) Rút gọn A 2 5 2 .(0,001) 3 5 7 (0,125) x 1 x 2 x 3 3x 12 2) Tìm x ¡ biết 2014 2013 2012 2011 Câu 2. (5,0 điểm) 1) Tìm x ¡ biết x 1 x 3  x 2013 2014x . 2) Ba tấm vải hình chữ nhật có diện tích tương ứng tỉ lệ với 5; 8; 6. Biết rằng tấm thứ nhất và tấm thứ hai có cùng chiều dài, tấm thứ hai và tấm thứ ba có cùng chiều rộng, tổng chiều dài của cả ba tấm vải là 110 mét và tổng chiều rộng của cả ba tấm vải là 2,1 mét. Tính chiều dài và chiều rộng của mỗi tấm vải. Câu 3. (4,0 điểm) 1) Cho hai số nguyên m,n . Chứng minh rằng (m2 + n2) chia hết cho 3 khi và chỉ khi m và n chia hết cho 3. x y 11 2) Tìm các số nguyên dương x, y biết rằng . x2 y2 65 Câu 4. (6,0 điểm) Cho tam giác đều ABC cạnh a, các đường trung tuyến AD, BE, CF cắt nhau tại G. 1) Tính tổng S = GA2 GB2 GC 2 theo a. 2) Tia phân giác của B·ED cắt các đoạn thẳng CG, AD, BC lần lượt tại các điểm M, N, P. Chứng minh rằng EN = PM. 3) Cho điểm T bất kỳ trong tam giác ABC. Gọi I, K, L lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm T trên AD, BE, CF. Chứng minh rằng giá trị của tổng AI + BK + CL không đổi khi T di chuyển trong tam giác ABC. Câu 5. (1,0 điểm) 2 1 1 3 5 2011 2013 1 Chứng minh rằng:     . 4028 2 4 6 2012 2014 2015 HẾT Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Giám thị 1 (Họ tên và ký) Giám thị 2 (Họ tên và ký) 30
31. Phßng gi¸o dôc ®µo t¹o Lôc Nam ®Ò thi häc sinh giái N¨m häc 2011- 2012 M«n : to¸n líp 7 (Thêi gian lµm bµi 150 phót) C©u 1 ( 4 ®iÓm) Thùc hiÖn phÐp tÝnh : 2 1 1 1 a) 6. 3. 1 : ( 1 3 3 3 3 2 2 3 2003 . . 1 3 4 b) 2 3 2 5 . 5 12 C©u 2 ( 4 ®iÓm) a2 a 3 c- T×m sè nguyªn a ®Ó lµ sè nguyªn a 1 d- T×m sè nguyªn x,y sao cho x - 2xy + y = 0 C©u 3 ( 6 ®iÓm) a) Cho d·y tØ sè b»ng nhau: 2a b c d a 2b c d a b 2c d a b c 2d a b c d a b b c c d d a TÝnh M c d d a a b b c b) Hai xe m¸y khëi hµnh cïng mét lóc tõ A vµ B, c¸ch nhau 11km ®Ó ®i ®Õn C (ba ®Þa ®iÓm A, B, C ë cïng trªn mét ®­êng th¼ng). VËn tèc cña ng­êi ®i tõ A lµ 20 km/h. VËn tèc cña ng­êi ®i tõ B lµ 24 km/h. TÝnh qu·ng ®­êng mçi ng­êi ®· ®i. BiÕt hä ®Õn C cïng mét lóc. C©u 4 ( 3 ®iÓm) a) Cho tam gi¸c ABC cã gãc B b»ng 450 , gãc C b»ng 1200. Trªn tia ®èi cña tia CB lÊy ®iÓm D sao cho CD = 2CB . TÝnh gãc ADE. b) Cho tam giác ABC có góc A bằng 900 . Kẻ AH vuông góc với BC ( H thuộc BC). Tia phân giác của góc HAC cắt cạnh BC ở điểm D và tia phân giác của góc HAB cắt cạnh BC ở điểm E. Chứng minh rằng AB + AC = BC + DE. 1 1 1 1 1 Câu 5 ( 1 điểm ). Chứng minh rằng: 53 63 73 20043 40 31
32. PHÒNG GD&ĐT ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN TÂN YÊN Năm học 2013 - 2014 Môn: Toán lớp 7 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài 150 phút Câu 1: (4 điểm) 3 1 14 1 8 5 3 5 1) Tính giá trị của biểu thức A = 17 4 17 4 . 14 1 1 1 34 17 34 3k 4 2) Cho biểu thức P = . Tìm số tự nhiên k để P có giá trị lớn nhất. Tìm giá trị 2k 1 lớn nhất đó. Câu 2: (4 điểm) 4 x Cho biểu thức B = với x. 2 x 2 1) Tìm giá trị của x để B ; 0 2) Tìm các giá trị nguyên của x để B nhận giá trị nguyên. Câu 3: (4 điểm) 1) Một người đi xe đạp từ Tân Yên xuống thành phố Bắc Giang trong một thời gian 1 dự định. Sau khi đi được quãng đường, người đó tăng vận tốc thêm 20% do đó đến 3 Bắc Giang sớm hơn dự định 10 phút. Tính thời gian người đó đi từ Tân Yên đến thành phố Bắc Giang. x y z 2) Cho x, y, z là các số khác nhau và khác 0 thỏa mãn . y z z x x y x y y z z x Tính giá trị của biểu thức: Q = . z x y Câu 4: (6 điểm) Cho tam giác ABC có AB = AC. Trên cạnh BC lấy điểm D, trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho CE = BD. Các đường thẳng vuông góc với BC kẻ từ D và E cắt AB và AC lần lượt tại M và N, đường thẳng MN cắt BC tại I. Chứng minh rằng: 1) DM = EN; 2) MI = IN; 3) Đường thẳng vuông góc với MN tại I luôn đi qua một điểm cố định khi D thay đổi trên BC. Câu 5: (2 điểm) Trường THCS TT Cao Thượng tổ chức cho các em học sinh đạt danh hiệu học sinh giỏi học kỳ I đi thăm quan tại Hà Nội bằng xe ô tô loại 7 chỗ ngồi và 12 chỗ ngồi. Hỏi mỗi loại có bao nhiêu xe, biết rằng tổng có 88 em được đi thăm quan. 32