4 Đề thi học kì I môn Toán Lớp 8

Nội dung text: 4 Đề thi học kì I môn Toán Lớp 8

1. Đề 1 Câu 1: (2,0 điểm) Thực hiện các phép tính: a) 3x(y2 – 2x) ;b) 2x 1 x 2 ; c) (6x3y – 4x2y3 + 5xy ) : xy ;d) x(x2 + 3) – (x – 3)(x2 + 3x + 9) . x2 9 Câu 2. (2,0 điểm): a) Rút gọn phân thức: 2 . x 6x 9 1 2x 1 2x x 1 1 x 2x(1 x) b) Thực hiện phép tính: : . c): . x 2 4x x x 3 x 3 x2 9 2 Câu 3. (2,0 điểm): a) Tìm x biết: x 5 x 7 x 5 0 . b) Rút gọn, rồi tính giá trị của biểu thức: A= (2x + 1)2 + (2x – 1)2 – (2x + 1)(4x – 2) + xy tại x = 1; y = 2023. Câu 4. (3,0 điểm): Cho góc vuông xOy. Lấy điểm M nằm trong góc xOy. Kẻ MH//Ox (H Oy) và MK//Oy (K Ox). a) Tứ giác OHMK là hình gì? Vì sao? b) Gọi P là điểm đối xứng với O qua K. Chứng minh: HK=MP và HK//MP. c) Chứng minh: O và P đối xứng với nhau qua MK và OM2 2.OH.OK Câu 5. (1,0 điểm): a) Cho x; y thỏa mãn: x + y = 7; xy =5. Không tính x, y hãy tính x2 + y2. 3x2 4x b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = x 1 2 Câu Nội dung Điểm a) 3x(y2 – 2x) = 3xy2 – 6x2 0,5 b) 2x 1 x 2 2x 2 4x x 2 0,25 0,25 = 2x2 + 3x – 2 c) (6x3y – 4x2y3 + 5xy ) : xy = 6x2 – 4xy2 + 5 0,5 Câu 1 (2,0 đ) d) x(x2 + 3) – (x – 3)(x2 + 3x + 9) = x3 + 3x – (x3 – 27) 0,25 = x3 + 3x – x3 +27 = 3x + 27 0,25 a) x2 9 (x 3)(x 3) x2 6x 9 (x 3)2 0,25 x 3 0,25 x 3 1 4x 2 1 2x b) : Câu 2 x 2 4x x (2,0 đ) (1 2x)(1 2x) x 0,5 =  x(x 4) 1 2x 0,25 =1 2x x 4 c) 2 Câu 3 a) x 5 x 7 x 5 0 0,25 (2,0 đ) 0,25 (x + 5)(x + 5 + x - 7) = 0
2. (x + 5)(2x-2) = 0 0,25 Vậy x = -5 ; x = 1 0,25 b) A= (2x + 1)2 – 2(2x + 1)(2x – 1) + (2x – 1)2 + xy = (2x + 1 – 2x + 1)2 + xy = 4 + xy 0,25 Thay x=1 ; y=2023 ta được A = 4+1.2023 = 2027 0,25 0,5 Câu 4 (3,0đ) y M H x 0,25 O K P a) Ta có: MH//OK, MK//OH (gt) 0,25 Tứ giác OHMK là hình bình hành 0,25 mà góc HOK = 900 (gt) 0,25 Tứ giác OHMK là hình chữ nhật (Đpcm) 0,25 b) Ta có: MH//KP (vì MH//OK) 0,25 MH=KP(cùng bằng OK) 0,25 Tứ giác HMPK là hình bình hành 0,25 HK=MP và HK//MP 0,25 c) Ta có K là trung điểm của OP và MK  OP O và P đối xứng với nhau qua MK 0,25 Tứ giác OHMK là hình chữ nhật (theo a) OM=HK. Xét tam giác OHK vuông tại O OH2+OK2= HK2= OM2 0,25 Lại có: OH2+OK2 – 2.OH.OK = (OH-OK)2 0 OH2+OK2 2.OH.OK OM2 2.OH.OK 0,25 Dấu bằng xảy ra khi OH=OK Câu 5 a) Ta có : x2 + y2 = (x + y)2 - 2xy 0,25 (1,0đ) = 49 -10 = 39 0,25 2 3x2 4x 3 x 2x 1 2 x 1 1 2 1 b) P = 3 0,25 x 1 2 x 1 2 x 1 x 1 2 2 1 2 1 1 4 1 4 4 2 x 1 x 1 x 1 0,25 1 Dấu “=” xảy ra 1 0 x 1 1 x 2 x 1 Vậy max P = 4 khi x=2 Đề 2 Câu 1: (2,0 điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử: a. 2x - 4 b. 5x2y - 10xy2 c. xy + xz +5y + 5z d. x2 - 2xy + y2 – 4z2 2 3 1 3 2 2 2 Câu 2: (2,0 điểm) 1. Cho biểu thức A 3x y x y và B = 25x y 2
3. Không thực hiện phép tính chứng tỏ rằng đa thức A chia hết cho đơn thức B 2. Tìm x: a. x(5 - 3x) + 3x(x + 1) = 16 b. x2 - 2x + 1 = (x - 3)(1 - x) Câu 3: (2,0 điểm) Thực hiện phép tính sau: x 2 y y y 2 x x 4xy a. b. x y x y x 2y x 2y 4y2 x2 Câu 4: ( 3,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH. Kẻ HE vuông góc với AB (E AB), kẻ HF vuông góc với AC (F AC). a)Chứnh minh rằng FE = AH. a. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của HB, HC. Chứng minh FN//EM. 1 b. Tứ giác MNFE là hình gì? Vì sao? Và S S M EFN 2 ABC Câu 5: (1,0 điểm) a. Cho đa thức f(x) = 6x2 - 5x + a và đa thức g(x) = 2x - 3 Tìm a để f(x) chia hết cho g(x). c. Cho A = 7x2 - 12xy + 9y2 + 10x - 24y + 2032. Tìm giá trị nhỏ nhất của A. Câu Phần Nội dung 1 1.1.a Phân tích đa thức thành nhân tử:a. 2x - 4 = 2(x – 2) (2,0đ) 1.1.b b. 5x2y - 10xy2 = 5xy( x - y ) 1.1.c c. xy + xz +5y + 5z = x( y + z ) + 5( y+ z ) = ( x + 5 )( y+ z ) 1.1.d d.x2 - 2xy + y2 – 4z2 = (x2 - 2xy + y2) - 4z2= (x – y)2 – (2z) = (x – y – 2z)(x – y +2z) 2 2.1 1 Cho biểu thức A 3x 2 y 3 x 3 y 2 và B = 25x 2 y 2 (2,0đ) 2 2 3 2 2 1 3 2 2 2 Ta thấy 3x y  25x y x y  25x y => A chia hết cho B 2 2.2.a Tìm x: x(5 - 3x) + 3x(x + 1) = 16 => x = 2 Vậy x = 2 2.2.b x2 - 2x + 1 = (x - 3)(1 - x) (x - 1)2 + (x - 3)(x - 1) = 0 ( x - 1 )( x - 1 + x - 3 ) = 0 ( x - 1 )(2 x - 4 ) = 0 x 1 0 x 1 Vậy x 1; 2 2x 4 0 x 2 3 Thực hiện phép tính sau: (2,0đ) 3.a x2 y y y2 x2 y y y2 a. x y x y x y x2 y2 (x y)(x y) x y x y x y 3.b x x 4xy x x 4xy = x 2y x 2y 4y2 x2 x 2y x 2y (x 2y)(x 2y) x(x 2y) x(x 2y) 4xy = (x 2y)(x 2y) (x 2y)(x 2y) (x 2y)(x 2y) x2 2xy x2 2xy 4xy 2x2 4xy = = (x 2y)(x 2y) (x 2y)(x 2y) 2x(x 2y) 2x = = (x 2y)(x 2y) x 2y
4. 4 4 Vẽ hình đúng và ghi giả thiết và kết luận (3,0đ) O 4.a a) Ta có HE  AB, HF  AC (gt) => ·AFH 900 ; ·AEH 900 0,25 Xét tứ giác AEHF có µA 900 (gt); ·AFH 900 ; ·AEH 900 => Tứ giác AEHF là hình chữ nhật ( Dấu hiệu nhận biết) 0,5 => AH = FE ( Tính chất của hình chữ nhật) 0,25 4.b Ta có CFH vuông tại F, N là trung điểm của CH (gt) => FN = CN = 1/2 .CH (Tính chất của tam giác vuông) 0,25 0 => CFN cân tại N => C· NF = 180 2.Cµ (1) Ta có EHB vuông tại E, M là trung điểm của BH (gt) =>EM = HM = 1/2 .BH ( Tính chất của tam giác vuông) 0 0,25 => HME cân tại M => E· MH = 180 2.E· HM (2) Lại có HE  AB (gt), CA  AB ( do µA 900 ) => AC//HE ( Từ vuông góc => song song) 0,25 => Cµ = E· MH ( Đồng vị) (3) Từ (1) (2) (3) => C· NF = E· MH mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên FN // EM ( Dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song) Vậy FN // EM ( Đ.P.C.M) 0,25 4.c * Gọi giao của EF và AH là O Ta có tứ giác AEHF là hình chữ nhật ( Chứng minh trên) => OH = OE ( Tính chất của hình chữ nhật) => OHE cân tại O => O· HE O· EH (4) 0,25 Lại có HME cân tại M => M· HE M· EH (5) Từ (4) (5) => O· HE M· HE O· EH M· EH Hay O· HM O· EM = 900 => FE  EM Xét tứ giác MNFE có FN // EM (Chứng minh trên) => Tứ giác MNFE là hình thang, có FE  EM(Chứng minh trên) 0,25 => Tứ giác MNFE là hình thang vuông
5. 1 * => S . FE. (FN + EM) (6) MEFN 2 Mà FN = CN = 1/2 .CH; EM = HM = 1/2 .BH (Chứng minh trên) => FN + EM = 1/2 ( CH + BH) = 1/2 . BC (7) Lại có AH = FE (8) 1 1 Từ (6) (7) (8) => S . AH.1/2 . BC S MEFN 2 2 ABC 0,25 1 Vậy S S MEFN 2 ABC 5.a Tìm a để f(x) chia hết cho g(x). Thực hiện phép chia hai đa thức đã sắp xếp f(x) cho g(x), 5 ta có: (1,0đ) 6x2 - 5x + a 2x - 3 6x2 - 9x 3x + 2 4x + a 4x - 6 a + 6 0,25 = > Để f(x) chia hết cho g(x) a + 6 = 0 a = - 6 Vậy khi a = - 6 thì f(x) chia hết cho g(x) 0,25 5.b Có A = 7x2 - 12xy + 9y2 + 10x - 24y + 2038. = (4x2 + 9y2 + 16 - 12xy +16x - 24y) + ( 3x2 - 6x +3) +2019 = (2x -3y +4)2 + 3.( x - 1 )2 +2019 Ta thấy (2x -3y +4)2 0 với mọi x, y 3.( x - 1 )2 0 với mọi x 2 2 => (2x -3y +4) + 3.( x - 1 ) 0 với mọi x, y 0,25 => (2x -3y +4)2 + 3.( x - 1 )2 + 2019 2019 với mọi x, y 2x 3y 4=0 y =2 Dấu “=” xảy ra x 1=0 x = 1 Vậy khi x = 1, y = 2 thì A đạt giá trị nhỏ nhất là 2019 0,25 Dề 3 Câu 1: ( 2,0 điểm) 1.Thực hiện phép tính : a) 5.(2x – 3) – 7x b) (3x – 2 ).(x + 3) 2) Phân tích đa thức sau thành nhân tử :a) x2 - xy + x - y b) 4x 2 4x y2 1 Câu 2: ( 2,0 điểm)1.Tìm x: a) (x – 3)2 – (x – 2)(x + 2) = 1 b). 4x.(2x – 5) = 6x - 15 2.Tìm a để đa thức 2x3 - 7x2 + 12x + a chia hết cho đa thức x +2
6. 4x 5 2x 8 2x 3 2x 3 Câu 3: ( 2,0 điểm) Rút gọn các biểu thức sau:a) b) 2x 1 2x 1 2x 3 2x 3 Câu 4: ( 3,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A, đường trung tuyến AM. Gọi I, K lần lượt là hình chiếu của M trên cạnh AB, AC. a) Chứng minh tứ giác AIMK là hình chữ nhật. b) Cho AB = 6cm, AC = 8cm. Tính độ dài cạnh BC và IK. c) Gọi E, F lần lượt là trung điểm của BM, CM. Chứng minh IE // KF. Nội dung 5.(2x – 3) – 7x = 10x – 15 – 7x = 3x - 15 (3x – 2 ).(x + 3) = 3x2 + 9x – 2x – 6 = 3x2 + 7x - 6 x2 - xy + x - y = ( x2 -xy) +( x – y)= x.(x – y) +( x – y) = ( x – y).( x + 1 ) 4x2 + 4x – y2 + 1 = ( 4x2 + 4x + 1) – y2= ( 2x + 1)2 – y2 = ( 2x + 1 – y)( 2x + 1 + y) (x – 3)2 – (x – 2)(x + 2) = 1 x2 - 6x + 9 - x2 + 4 = 1 => - 6 x = - 12 x = 2. Vậy x = 2. 4x.(2x – 5) = 6x – 15 x = 5/2 ; x = ¾. Vậy x = 5/2 ; x = 3/4 Đặt phép chia: 2x3 - 7x2 + 12x + a chia cho x + 2 và thực hiện đúng dư a - 68 Để đa thức 2x3 - 7x2 + 12x + a chia hết cho đa thức x + 2 thì a - 68 = 0 => a = 68 4x 5 2x 8 4x 5 2x 8 6x 3 a) 2x 1 2x 1 2x 1 2x 1 3(2x 1) 3 2x 1 2 2 2x 3 2x 3 2x 3 2x 3 b) 2x 3 2x 3 (2x 3).(2x 3) 4x2 12x 9 4x2 12x 9 24x (2x 3).(2x 3) (2x 3).(2x 3) Vẽ hình đúng, ghi GT – KL B E 5 M I 1 1 2 2 4 3 F 5 3 4 A K C Vì I; K là hình chiếu của M trên AB ; AC => MI vuông góc AB và MK vuông góc AC Tứ giác AIMK có µA I Kµ 90O => tứ giác AIMK là hình chữ nhật ( dấu hiệu nhận biết ) Tính BC: Áp dụng ĐL pitago trong tam giác vuông ABC BC2 = AB2 + AC2 Thay số ta được BC = 10 cm
7. + Tính TK Tam giác ABC vuông tại A, có AM là đường trung tuyến ứng với cạnh BC. => AM = 1/2BC. Thay số ta được AM = 5cm Mà IK = AM (t/c hcn) => IK = 5cm c) Tam giác ABC có MB = MC ; MK // AB => AK = KC Tương tự IB = IA Tam giác AMC có KF là đường trung bình => KF // AM Tương tự IE // AM => IE // KF Đề 4 Câu 1 (1,0 điểm) Phân tích đa thức thành nhân tử: a) x3 + 2x2 + x b) x2 – 25 + (x – 5)(2x + 1) Câu 2 (3,0 điểm) Thực hiện phép tính: a) 4x(x2 + 3) b) (2x - 1)(4x2 + 2x + 1) c) (16x2y4 – 20x3y2 + 12x2y2) : 4x2y2 5x - 15 4x - 6 7x + 6 x x 2 d) e) g) - + x2 - 9 11 11 x - 1 x + 1 x2 - 1 Câu 3 (2,0 điểm)1) Tìm x, biết: a) 2x2 - 50x = 0 b) 2(x + 3) – x2 – 3x = 0 2) Tìm a để đa thức (2x3 – 3x2 + 5x + a) chia hết cho đa thức (x + 1). Câu 4 (3,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi D và E lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ H xuống AB và AC. a) Tính diện tích tam giác ABC biết AB = 6cm, BC = 10cm. b) Chứng minh tứ giác ADHE là hình chữ nhật. c) Gọi I là trung điểm của CH. Chứng minh DE vuông góc với EI. NỘI DUNG x3 + 2x2 + x = x(x2 + 2x + 1) = x(x + 1)2 x2 – 25 + (x – 5)(2x + 1)= (x – 5)(x + 5) + (x – 5)(2x + 1) = (x – 5)(x + 5 + 2x + 1) = (x – 5)(3x + 6) = 3(x – 5)(x + 2) 4x(x2 + 3) = 4x3 + 12x (2x - 1)(4x2 + 2x + 1) = 8x3 - 1 (16x2y4 – 20x3y2 + 12x2y2) : 4x2y2 = 4y2 – 5x + 3 5x - 15 5(x - 3) 5 = = x2 - 9 (x - 3)(x + 3) x + 3 4x - 6 7x + 6 4x - 6 + 7x + 6 11x = = 11 11 11 11 11 x x 2 x(x + 1) - x(x - 1) + 2 x2 + x - x2 + x + 2 - + = = x - 1 x + 1 x2 - 1 (x - 1)(x + 1) (x - 1)(x + 1) 2(x + 1) 2 = = (x - 1)(x + 1) x - 1 a) 2x2 - 50x = 0 Vậy x = 0 hoặc x = 25 b) 2(x + 3) – x2 – 3x = 0 Vậy x = -3 hoặc x = 2
8. 2x3 – 3x2 + 5x + a x + 1 2x3 + 2x2 2x2 – 5x + 10 – 5x2 + 5x + a – 5x2 – 5x 10x + a 10x + 10 a – 10 Để đa thức (2x3 – 3x2 + 5x + a) chia hết cho đa thức (x+1) thì a – 10 = 0 a = 10 Vậy a = 10. Vẽ hình đúng: C I H E A D B Áp dụng định lí Py-ta-go tính được AC = 8cm 1 1 Diện tích ABC là: S = .AB.AC = .6.8 = 24(cm2 ) ABC 2 2 Tứ giác ADHE có: E· AD = 900 (do ABC vuông tại A) A· DH = 900 (do HDAB) A· EH = 900 (do HEAC) ADHE là hình chữ nhật Gọi O là giao điểm của AH và DE 1 1 Ta có: OA = OE = AH = DE (tính chất đường chéo hình chữ nhật ADHE) 2 2 OAE cân tại O O· AE = O· EA Ta có: O· AE = E· HC (cùng phụ với Cµ ) O· EA E· HC (1) Mặt khác ECH vuông tại H, EI là đường trung tuyến 1 EI = IH = CH 2 EIH cân tại I I·EH = I·HE hay I·EH = E· HC (2) Từ (1) và (2) suy ra O· EA = I·EH hay D· EA = I·EH Mà D· EA + D· EH 900 suy ra I·EH+ D· EH 900 Vậy DE  EI.