Bài giải đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 tỉnh Đồng Nai - Năm học 2018-2019

Nội dung text: Bài giải đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 tỉnh Đồng Nai - Năm học 2018-2019

1. Bài giải đề thi HSG toỏn 9 tỉnh Đồng Nai 2018-2019 BÀI GIẢI ĐỀ THI HSG MễN TOÁN-TỈNH ĐỒNG NAI 2018-2019 Bài 1: (4,5 điểm) x y m 1 1.1)Cho HPT: ;m là tham số thực 2x 3y m 3 Tỡm m để P = x2 + 8y đạt GTNN? 1 1 a b Vỡ nờn HPT luụn cú nghiệm với mọi m 2 3 a ' b' x y m 1 2x 2y 2m 2 x 2m x 2m 2x 3y m 3 2x 3y m 3 x y m 1 y m 1 P 4m2 8(m 1) 4m2 8m 4 12 2m 2 2 12 min P 12 2m 2 0 m 1 x2 y2 1 1.2)Giải HPT ;x, y là cỏc số thực 3 3 x y 1 x2 t 2 1 Đặt t = -y. HPT thành 3 3 x t 1 Đặt S = x + t ; P = x.t; S 2 4P HPT thành : S 2 2P 1 3S 2 6PS 3S S 2 2P 1 (1) 3 3 3 S 3PS 1 2S 6PS 2 S 3S 2 0 (2) (2) (S + 1)(S2- S - 2) = 0 (nhẩm nghiệm bằng hooc-ne) S = -1; S = -2 gS = -1 P = 0 ( thỏa S 2 4P ) X, t là hai nghiệm PT: u2 + u = 0 u = 0; u = -1 (x;t) = {(0;-1), (-1;0)} (x;y) = {(0;1), (-1;0)} gS = -2 P = 3/2 (khụng thỏa S 2 4P ) Vậy hệ PT cúa hai nghiệm là (0;1) và (-1;0) Bài 2: (4,5 điểm) 2.1) Giải PT: x4 9x3 24x2 27x 9 0 X = 0 khụng là nghiệm. Chia hai vế PT cho x2. 27 9 x4 9x3 24x2 27x 9 0 x2 9x 24 0 x x2 2 9 3 x 2 9 x 24 0 x x 3 9 Đặt t x t 2 6 x2 x x2 PT thành t2 – 9t + 18 = 0 t = 3; t = 6 3 gt = 3 x 3 x2 3x 3 0 ( 0 : PTVN) x 3 gt = 6 x 6 x2 6x 3 0 x 3 6 x Vậy S 3 6;3 6 GV: Nguyễn Trung Dũng – Trần Quang Hoàng ( PGD Cẩm Mỹ - Đồng Nai) 1
2. Bài giải đề thi HSG toỏn 9 tỉnh Đồng Nai 2018-2019 2.2) Cho a, b, c là cỏc số thực dương . Chứng minh rằng : a b c a b c 3 4 b c a a b b c c a Ta cú : 2 2 a 4a a b 4a a b 4ab a b 1 0;a,b 0 (1) b a b b a b b(a b) b(a b) Tương tự, ta cũng cú: b 4b c 4c 1 0;b,c 0 (2); 1 0;a,c 0 (3) c b c a c a Cộng (1), (2), (3) vế theo vế , ta được đpcm a b 0 Dấu đẳng thức xảy ra b c 0 a b c 0 c a 0 Bài 3 : 1 1 1 3.1) Cho a,b,c là ba số nguyờn khỏc 0 thỏa . Chứng minh : abcN 4 a b c 1 1 1 bc a(b c) (1) a b c Nếu b,c cựng chẵn thỡ abcN 4 Nếu b, c cựng lẻ thỡ b.c lẻ và b + c chẵn (1) a(b + c) chẵn ( vụ lớ) Nếu b, c khỏc tớnh chẵn lẻ thỡ b.c chẵn và b + c lẻ (1) a chẵn abcN 4 3.2) Tỡm cỏc số nguyờn dương khụng vượt quỏ 1000 nguyờn tố cựng nhau với 999 Ta cú : 999 = 33.37 YCBT Tỡm cỏc số nguyờn dương khụng vượt quỏ 1000 khụng là bội của 3 và 37 Từ 1 đến 1000. Cú: (999 – 3 )3 + 1 = 333 số là bội của 3 (999 – 37)37 + 1 = 27 số là bội của 37 (999 – 111)111 + 1 = 9 số là bội của 111 ( 111 = 3. 37) Số cỏc số nguyờn dương khụng vượt quỏ 1000 nguyờn tố cựng nhau với 999 là: 1000-(333 + 27 - 9) = 649 Bài 4 : (2 điểm) 4.1) Tớnh A + B . Biết: 1 2 99 A ; B 2 3 100 1 2 2 3 99 100 1 2 99 1 2 2 3 99 100 A 1 2 2 3 99 100 1 1 1 1 2 2 2 2 3 99 99 99 100 1 2 3 99 990 A B 1 990 10 999 GV: Nguyễn Trung Dũng – Trần Quang Hoàng ( PGD Cẩm Mỹ - Đồng Nai) 2
3. Bài giải đề thi HSG toỏn 9 tỉnh Đồng Nai 2018-2019 Bài 5: (4,5 điểm) Cho ABC nhọn ngoại tiếp đường trũn (I). D, E thứ tự là hai tiếp điểm của AB, AC với (I). M, N thứ tự là trung điểm của BC, CA 1) Chứng minh : 2AD = AB + AC – BC 2) Chứng minh : BI, DE, MN đồng qui. A K E 2 1 N D 1 I 1 1 C B M 1)Gọi F là hỡnh chiếu của I trờn BC . Ta cú : AD = BD, BF = CF , CE = AE 2AD = AD + AE = AB – BD + AC – CE = AB + AC – (BF + CF) = AB +AC – BC 2)Gọi K là giao điểm của DE và BI. Ta cú : 1 1 àA Ià Bà Cà ãABC ãACB 1800 àA 900 1 1 1 2 2 2 1 àA Do AD=AE Eả Eà 1800 àA 900 2 1 2 2 à à I1 E1 Tứ giỏc IEKC nội tiếp đường trũn ã ã 0 ã à ã IKC IEC 90 M là tõm đường trũn ngoại tiếp KBC KMC 2.B1 ABC KM / / AB Mà MN//AB ( đường trung bỡnh) K, N, N thẳng hàng ( tiờn đề Ơ-clit) BI, DE, MN đồng qui tại K. Bài giải mang tớnh chủ quan nờn khụng khỏi cú những sai sút nhất định, mong bạn đọc gúp ý thờm GV: Nguyễn Trung Dũng – Trần Quang Hoàng ( PGD Cẩm Mỹ - Đồng Nai) 3