Bài tập Đại số Lớp 10 - Bài 2: Hàm số bậc hai (Có đáp án)

Nội dung text: Bài tập Đại số Lớp 10 - Bài 2: Hàm số bậc hai (Có đáp án)

1. Bài 2. HÀM SỐ BẬC HAI P1-LỜI GIẢI CHI TIẾT •Chương 2. HÀM SỐ BẬC NHẤT - HÀM SỐ BẬC HAI I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM 1. Định nghĩa 1 Hàm số bậc hai là hàm số được cho bởi công thức y = ax2 + bx + c . Trong đó a,b,c Î R và a ¹ 0 . • Tập xác định D = R . æ b D ö • Đỉnh Iç- ;- ÷ với D = b2 - 4ac . èç 2a 4aø÷ - b • Trục đối xứng là đường x = 2a Chuyên đề Toán 10+11 tác giả Nguyễn Bảo Vương 2022 rất hay, có đầy đủ lý thuyết, bài tập tự luận, bài tập trắc nghiệm, phân dạng đầy đủ, tài liệu chia thành 2 bản học sinh (không giải) và bản giáo viên có giải chi tiết, rất thuận tiện cho quý thầy cô dạy học, liên hệ Zalo nhóm 0988166193 để mua tài liệu ạ 2. Sự biến thiên a > 0 a < 0 • Hàm số đồng biến trên khoảng æ ö ç b ÷ æ ö • Hàm số nghịch biến trên khoảng ç- ¥ ;- ÷ ç b ÷ èç 2aø÷ ç- ¥ ;- ÷ và nghịch biến trên khoảng èç 2aø÷ æ ö ç b ÷ æ ö và đồng biến trên khoảngç- ;+ ¥ ÷. ç b ÷ èç 2a ø÷ ç- ;+ ¥ ÷. èç 2a ø÷ • Bảng biến thiên • Bảng biến thiên 3. Cách vẽ đồ thị Để vẽ đường parabol y = ax2 + bx + c (a ¹ 0), ta thực hiện các bước æ b D ö a) Xác định tọa độ đỉnh Iç- ;- ÷. èç 2a 4aø÷ - b b) Vẽ trục đối xứng x = 2a c) Xác định tọa độ giao điểm của parabol với trục tung và trục hoành (nếu có). d) Căn cứ vào tính đối xứng, bề lõm và hình dạng parabol để nối các điểm đó lại. Trang 1
2. a 0 a 0 II. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP DẠNG 1. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ A. Bài tập tự luận Câu 1. Cho hàm số y = x2 - 4x + 3 , có đồ thị là (P). a) Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị (P). b) Nhận xét sự biến thiên của hàm số trong khoảng (0; 3). c) Tìm tập hợp giá trị x sao cho y £ 0 . d) Tìm các khoảng của tập xác định để đồ thị (P) nằm hoàn toàn phía trên đường thẳng y = 8 . e) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [- 2;1]. Lời giải a) Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị (P). • Tọa độ đỉnh I(2;- 1) . • Trục đối xứng x = 2 . • Hệ số a = 1> 0 : bề lõm quay lên trên. • Hàm số nghịch biến trên khoảng (- ¥ ; 2) và đồng biến trên khoảng (2;+ ¥ ). • Bảng biến thiên • Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm A(0; 3), cắt trục hoành tại hai điểm B(1;0) và C(3;0). Trang 2
3. Chuyên đề Toán 10+11 tác giả Nguyễn Bảo Vương 2022 rất hay, có đầy đủ lý thuyết, bài tập tự luận, bài tập trắc nghiệm, phân dạng đầy đủ, tài liệu chia thành 2 bản học sinh (không giải) và bản giáo viên có giải chi tiết, rất thuận tiện cho quý thầy cô dạy học, liên hệ Zalo nhóm 0988166193 để mua tài liệu ạ b) Ta có (0; 3)= (0; 2)È{2} È(2; 3). Trên khoảng (0; 2) hàm số nghịch biến, tại x = 2 thì hàm số đạt giá trị bằng - 1 , trên khoảng (2; 3) hàm số đồng biến. c) Dựa vào đồ thị, ta thấy tập hợp các giá trị của x để y £ 0 (đồ thị hàm số nằm phía dưới trục hoành) là 1£ x £ 3 . d) Ta thấy đồ thị (P) cắt đường thẳng y = 8 tại hai điểm có hoành độ lần lượt là - 1 và 5 . Do đó để đồ thị (P) nằm hoàn toàn phía trên đường thẳng y = 8 thì x Î (- ¥ ;- 1) hoặc x Î (5;+ ¥ ) . e) Hàm số nghịch biến trên khoảng (- 1; 2) nên nghịch biến trên đoạn [- 2;1]. Do đó • Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [- 2;1] đạt tại x = - 2 , khi đó ymax = y(- 2) = 15 . • Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [- 2;1] đạt tại x = 1, khi đó ymin = y(1)= 0 . Câu 2. Tìm giá trị lớn nhất, bé nhất (nếu có) của các hàm số sau a) y = 7x2 - 3x + 10 . b) y = - 2x2 - x + 1 . Lời giải a) Hàm số y = 7x2 - 3x + 10 có a = 7 > 0 nên y đạt giá trị bé nhất tại đỉnh. D 271 Suy ra y = - = và không tồn tại giá trị lớn nhất. min 4a 8 b) Hàm số y = - 2x2 - x + 1 có a = - 2 < 0 nên y đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh. D 9 Suy ra y = - = và không tồn tại giá trị nhỏ nhất. max 4a 8 Câu 3. Tìm giá trị lớn nhất, bé nhất (nếu có) của các hàm số sau a) y = x2 - 3x với 0 £ x £ 2 . b) y = - x2 - 4x + 3 với 0 £ x £ 4 . Trang 3
4. Lời giải a) Hàm số y = x2 - 3x có a = 1> 0 nên bề lõm hướng lên. b 3 Hoành độ đỉnh x = - = Î é0; 2ù. I 2a 2 ë û æ3ö 9 Vậy min y = f ç ÷= - ; max y = max{ f (0); f (2)} = max{0;- 2} = 0 . èç2÷ø 4 b) Hàm số y = - x2 - 4x + 3 có a = - 1 0 nên bề lõm hướng lên. a Hoành độ đỉnh x = I 2 a • Nếu 2 Û a > 4 thì x > 2 > 0 . Suy ra f nghịch biến trên é0; 2ù. 2 I ë û Do đó min f (x) = f (2)= a2 - 10a + 18 . Theo yêu cầu bài toán a2 - 10a + 18 = 3 Û a2 - 10a + 15 = 0 Û a = 5± 10 Vì a > 4 nên ta chọn a = 5+ 10 . Vậy a = 1- 2 hoặc a = 5+ 10 thỏa mãn yêu cầu bài toán. Câu 5. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau a) y = x(x + 1)(x- 2)(x- 3) . b) y = (2x- 1)2 - 4 2x- 1 + 3 . Lời giải é ùé ù 2 2 a) Ta có y = x(x + 1)(x- 2)(x- 3) = ëx(x- 2)û.ë(x + 1)(x- 3)û= (x - 2x)(x - 2x- 3) . Đặt t = x2 - 2x + 1= (x- 1)2 ³ 0 , ta được y = f (t) = (t - 1)(t - 4) = t2 - 5t + 4,t ³ 0 . Trang 4
5. Chuyên đề Toán 10+11 tác giả Nguyễn Bảo Vương 2022 rất hay, có đầy đủ lý thuyết, bài tập tự luận, bài tập trắc nghiệm, phân dạng đầy đủ, tài liệu chia thành 2 bản học sinh (không giải) và bản giáo viên có giải chi tiết, rất thuận tiện cho quý thầy cô dạy học, liên hệ Zalo nhóm 0988166193 để mua tài liệu ạ Hàm số y = t2 - 5t + 4 có a = 1> 0 nên bề lõm hướng lên. b 5 Hoành độ đỉnh x = - = Î é0;+ ¥ ). I 2a 2 ë æ5ö 9 2 5 2 ± 10 Do đó min y = min f (t) = f ç ÷= - đạt được khi (x- 1) = Û x = . èç2ø÷ 4 2 2 Hàm số không có giá trị lớn nhất. b) Đặt t = 2x- 1 ³ 0 thì y = t2 - 4t + 3,t ³ 0 . Hàm số y = t2 - 4t + 3 có a = 1> 0 nên bề lõm hướng lên. b Hoành độ đỉnh x = - = 2 Î é0;+ ¥ ). I 2a ë 1 3 Do đó min y = min f (t) = f (2)= - 1 đạt được khi 2x- 1 = 2 Û x = hoặc x = . 2 2 Hàm số không có giá trị lớn nhất. Câu 6. Cho hàm số y = - x2 + 5x- 4 , có đồ thị là (P). a) Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị (P). b) Dựa vào đồ thị trên, tùy theo giá trị của m , hãy cho biết số nghiệm của phương trình x2 - 5x + 7 + 2m = 0 . 2 é ù c) Tìm m để phương trình x - 5x + 7 + 2m = 0 có nghiệm x Î ë1; 5û. Lời giải a) Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị (P). æ5 9ö • Tọa độ đỉnh Iç ; ÷. èç2 4ø÷ 5 • Trục đối xứng x = . 2 • Hệ số a = - 1< 0 : bề lõm quay xuống dưới. æ 5ö æ5 ö • Hàm số đồng biến trên khoảng ç- ¥ ; ÷ và nghịch biến trên khoảng ç ;+ ¥ ÷. èç 2ø÷ èç2 ø÷ • Bảng biến thiên • Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm A(0;- 4), cắt trục hoành tại hai điểm B(1;0) vàC(4;0). Trang 5
6. b) Ta có x2 - 5x + 7 + 2m = 0 Û - x2 + 5x- 4 = 2m+ 3 (∗). Phương trình (∗) là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị (P) và đường thẳng y = 2m+ 3 (song song với Ox ). Do đó số nghiệm của phương trình chính là số giao điểm của đồ thị và đường thẳng. Dựa vào đồ thị ta có 9 3 • 2m+ 3 > Û m > - : phương trình vô nghiệm. 4 8 9 3 • 2m+ 3 = Û m = - : phương trình có nghiệm kép. 4 8 9 3 • 2m+ 3 < Û m < - : phương trình có hai nghiệm phân biệt. 4 8 é ù c) Ta có bảng biến thiên của hàm số trên ë1; 5û như sau é ù é ù ê 9ú Dựa vào bảng biến ta thấy x Î ë1; 5û thì y Î - 4; . ëê 4ûú é ù Do đó để phương trình có nghiệm x Î ë1; 5û khi và chỉ khi 9 7 3 - 4 £ 2m+ 3 £ Û - £ m £ - . 4 2 8 Chuyên đề Toán 10+11 tác giả Nguyễn Bảo Vương 2022 rất hay, có đầy đủ lý thuyết, bài tập tự luận, bài tập trắc nghiệm, phân dạng đầy đủ, tài liệu chia thành 2 bản học sinh (không giải) và bản giáo viên có giải chi tiết, rất thuận tiện cho quý thầy cô dạy học, liên hệ Zalo nhóm 0988166193 để mua tài liệu ạ Câu 7. Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = x2 + 2x- 3 . Từ đó suy ra đồ thị của các hàm số sau a) y = x2 + 2x- 3 . b) y = x2 + 2 x - 3 . Lời giải Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = x2 + 2x- 3 . • Tọa độ đỉnh I(- 1;- 4). Trang 6
7. • Trục đối xứng x = - 1. • Hệ số a = 1> 0 : bề lõm quay lên trên. • Hàm số nghịch biến trên khoảng (- ¥ ;- 1) và đồng biến trên khoảng(- 1;+ ¥ ). • Bảng biến thiên • Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm A(0;- 3), cắt trục hoành tại hai điểm B(1;0) vàC(- 3;0) . ì 2 2 ï x + 2x- 3 khi x + 2x- 3 ³ 0 a) Ta có y = x2 + 2x- 3 = íï ï - 2 + - 2 + - 0 : bề lõm quay lên trên. Hàm số nghịch biến trên khoảng (- ¥ ;- 1) và đồng biến trên khoảng (- 1;+ ¥ ). Bảng biến thiên x - ¥ - 1 + ¥ + ¥ + ¥ y - 4 Trang 7
8. Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm A(0;- 3), cắt trục hoành tại hai điểm B(1;0) và C(- 3;0). - 3 - 1 1 - 3 - 4 ì 2 2 ï f (x)= x + 2x- 3 khi x + 2x- 3 ³ 0 a) Ta có y = x2 + 2x- 3 = = íï ï - = - 2 + - 2 + - < îï f (x) (x 2x 3) khi x 2x 3 0 Do đó từ đồ thị hàm số y = f (x)= x2 + 2x- 3 suy ra đồ thị hàm số y = x2 + 2x- 3 như sau : Đồ thị hàm số y = f (x) phần phía trên trục hoành ta giữ nguyên. Đồ thị hàm số y = f (x) phần phía dưới trục hoành ta lấy đối xứng qua trục hoành. y -3 - 1 O 1 x -3 -4 ïì 2 + - ³ 2 ï x 2x 3 khi x 0 b) Ta có y = h(x)= x + 2 x - 3 = í ï 2 îï x - 2x- 3 khi x < 0 Hơn nữa hàm số h(x) là hàm số chẵn nên đồ thị đối xứng qua trục tung. Do đó từ đồ thị hàm số y = f (x)= x2 + 2x- 3 suy ra đồ thị hàm số y = h(x)= x2 + 2 x - 3 như sau : Giữ nguyên phần đồ thị hàm số y = f (x) phần bên phải trục tung. Trang 8
9. Chuyên đề Toán 10+11 tác giả Nguyễn Bảo Vương 2022 rất hay, có đầy đủ lý thuyết, bài tập tự luận, bài tập trắc nghiệm, phân dạng đầy đủ, tài liệu chia thành 2 bản học sinh (không giải) và bản giáo viên có giải chi tiết, rất thuận tiện cho quý thầy cô dạy học, liên hệ Zalo nhóm 0988166193 để mua tài liệu ạ Lấy đối xứng phần đồ thị vừa giữ nguyên ở trên qua trục tung, ta được toàn bộ đồ thị hàm số y = h(x). y -3 - 1 O 1 x -3 -4 Câu 9. Cho hàm số y = x2 - 6x + 8 có đồ thị là (P). a) Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị (P). b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình (x- 4) x- 2 + m = 0 . Lời giải a) Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị (P) : y = x2 - 6x + 8 . I(3;- 1) Tọa độ đỉnh Trục đối xứng x = 3 Hệ số a = 1> 0 : bề lõm quay lên trên. Hàm số nghịch biến trên khoảng (- ¥ ; 3) và đồng biến trên khoảng (3;+ ¥ ). Bảng biến thiên x - ¥ 3 + ¥ + ¥ + ¥ y - 1 Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm A(0;8), cắt trục hoành tại hai điểm B(4;0) và C(2;0). Trang 9
10. y 8 3 x O 2 4 -1 Chuyên đề Toán 10+11 tác giả Nguyễn Bảo Vương 2022 rất hay, có đầy đủ lý thuyết, bài tập tự luận, bài tập trắc nghiệm, phân dạng đầy đủ, tài liệu chia thành 2 bản học sinh (không giải) và bản giáo viên có giải chi tiết, rất thuận tiện cho quý thầy cô dạy học, liên hệ Zalo nhóm 0988166193 để mua tài liệu ạ b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình (x- 4) x- 2 + m = 0 . ì ì 2 ï (x- 4)(x- 2) khi x- 2 ³ 0 ï x - 6x + 8 khi x ³ 2 Ta có y = (x- 4) x- 2 = íï hay y = íï . ï - - - - < ï - 2 - + < îï (x 4)(x 2) khi x 2 0 îï (x 6x 8) khi x 2 Do đó từ đồ thị hàm số y = x2 - 6x + 8 suy ra đồ thị hàm số y = (x- 4) x- 2 như sau Đồ thị hàm số y = f (x) phần bên phải đường x = 2 ta giữ nguyên. Đồ thị hàm số y = f (x) phần bên trái đường x = 2 ta lấy đối xứng qua trục hoành. Trang 10
11. y 8 x O 2 3 4 -1 -8 Phương trình (x- 4) x- 2 + m = 0 Û (x- 4) x- 2 = - m là phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = (x- 4) x- 2 và đường thẳng y = - m (song song với Ox ). Do đó số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của đồ thị và đường thẳng. Dựa vào đồ thị, ta có é- m > 0 ém 1 é- m = 0 ém = 0 ê Û ê ê- = - ê = ë m 1 ëm 1 : phương trình có 2 nghiệm. - 1< - m < 0 Û 0 < m < 1 : phương trình có 3 nghiệm. Chuyên đề Toán 10+11 tác giả Nguyễn Bảo Vương 2022 rất hay, có đầy đủ lý thuyết, bài tập tự luận, bài tập trắc nghiệm, phân dạng đầy đủ, tài liệu chia thành 2 bản học sinh (không giải) và bản giáo viên có giải chi tiết, rất thuận tiện cho quý thầy cô dạy học, liên hệ Zalo nhóm 0988166193 để mua tài liệu ạ ïì - x + 4 khi x < 1 Câu 10. Vẽ đồ thị hàm số y = íï ï 2 îï x - 4x + 3 khi x ³ 1 Lời giải Khi x < 1 thì y = - x + 4 . Cho x = 1Þ y = 3 , ta được điểm A(1; 3). Cho x = 0 Þ y = 4 ta được điểm B(0; 4). Khi x ³ 1 thì y = x2 - 4x + 3 . Trang 11
12. Tọa độ đỉnh I(2;- 1). Hệ số a = - 1 0 : bề lõm quay lên nên hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại tung độ đỉnh và bằng - 5 b) Hàm số y = - 2x2 + 4x b Ta có x = - = 2 suy ra y = 2 2 . 2a Tọa độ đỉnh I( 2 ; 2 2) Trục đối xứng đường thẳng x = 2 . Hệ số a = - 2 < 0 : bề lõm quay xuống dưới nên hàm số đạt giá trị lớn nhất tại tung độ đỉnh và bằng 2 2 . Chuyên đề Toán 10+11 tác giả Nguyễn Bảo Vương 2022 rất hay, có đầy đủ lý thuyết, bài tập tự luận, bài tập trắc nghiệm, phân dạng đầy đủ, tài liệu chia thành 2 bản học sinh (không giải) và bản giáo viên có giải chi tiết, rất thuận tiện cho quý thầy cô dạy học, liên hệ Zalo nhóm 0988166193 để mua tài liệu ạ Trang 12