Bài tập ôn tập Toán 6 - Chuyên đề dãy số

Nội dung text: Bài tập ôn tập Toán 6 - Chuyên đề dãy số

1. BÀI TẬP ÔN TẬP TOÁN 6- CHUYÊN ĐỀ DÃY SỐ Bài 1. Phân tích số 8030028 thành tổng của 2004 số tự nhiên chẵn liên tiếp. Lời giải: Gọi a là số tự nhiên chẵn, ta có tổng của 2004 số tự nhiên chẵn liên tiếp là: a (a 4006) S = a + (a + 2) + + (a + 4006) = .2004 (a 2003).2004 . 2 Khi đó ta có: (a + 2003).2004 = 8030028 a = 2004. Vậy ta có: 8030028 = 2004 + 2006 + 2008 + + 6010 Bài 2. Tính A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + + n.(n + 1) Lời giải: Ta thấy mỗi số hạng của tổng trên là tích của hai số tự nhên liên tiếp, khi đó: Gọi a1 = 1.2 3a1 = 1.2.3 3a1= 1.2.3 - 0.1.2 a2 = 2.3 3a2 = 2.3.3 3a2= 2.3.4 - 1.2.3 a3 = 3.4 3a3 = 3.3.4 3a3 = 3.4.5 - 2.3.4 an-1 = (n - 1)n 3an-1 =3(n - 1)n 3an-1 = (n - 1)n(n + 1) - (n - 2)(n - 1)n an = n(n + 1) 3an = 3n(n + 1) 3an = n(n + 1)(n + 2) - (n - 1)n(n + 1) Cộng từng vế của các đẳng thức trên ta có: 3(a1 + a2 + + an) = n(n + 1)(n + 2) n(n 1)(n 2) 31.2 2.3 n(n 1) = n(n + 1)(n + 2) A = 3 Cách 2: Ta có 3A = 1.2.3 + 2.3.3 + + n(n + 1).3 = 1.2.(3 - 0) + 2.3.(3 - 1) + + n(n + 1)[(n - 2) - (n - 1)] = 1.2.3 - 1.2.0 + 2.3.3 - 1.2.3 + + n(n + 1)(n + 2) - n(n 1)(n 2) - (n - 1)n(n + 1) = n(n + 1)(n + 2) A = 3 * Tổng quát hoá ta có: k(k + 1)(k + 2) - (k - 1)k(k + 1) = 3k(k + 1). Trong đó k = 1; 2; 3; Ta dễ dàng chứng minh công thức trên như sau: k(k + 1)(k + 2) - (k - 1)k(k + 1) = k(k + 1)[(k + 2) - (k - 1)] = 3k(k + 1) Bài 3. Tính B = 1.2.3 + 2.3.4 + + (n - 1)n(n + 1) Lời giải: 4B = 1.2.3.4 + 2.3.4.4 + + (n - 1)n(n + 1).4 = 1.2.3.4 - 0.1.2.3 + 2.3.4.5 - 1.2.3.4 + + (n - 1)n(n + 1)(n + 2) - [(n - 2)(n - 1)n(n + 1)] = (n - 1)n(n + 1)(n + 2) - 0.1.2.3 = (n - 1)n(n + 1)(n + 2) (n 1)n(n 1)(n 2) B = 4
2. Bài 4. Tính C = 1.4 + 2.5 + 3.6 + 4.7 + + n(n + 3) Lời giải: Ta thấy: 1.4 = 1.(1 + 3) 2.5 = 2.(2 + 3) 3.6 = 3.(3 + 3) 4.7 = 4.(4 + 3) . n(n + 3) = n(n + 1) + 2n Vậy C = 1.2 + 2.1 + 2.3 + 2.2 + 3.4 + 2.3 + + n(n + 1) +2n = 1.2 + 2 +2.3 + 4 + 3.4 + 6 + + n(n + 1) + 2n = [1.2 +2.3 +3.4 + + n(n + 1)] + (2 + 4 + 6 + + 2n) 3C = 3.[1.2 +2.3 +3.4 + + n(n + 1)] + 3.(2 + 4 + 6 + + 2n) = = 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 + + n(n + 1).3 + 3.(2 + 4 + 6 + + 2n) = 3(2n 2)n n(n 1)(n 2) 3(2n 2)n n(n 1)(n 5) = n(n + 1)(n + 2) + C= = 2 3 2 3 Bài 5. Tính D = 12 + 22 + 32 + + n2 Ta có: A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + + n.(n + 1) = 1.(1 + 1) + 2.(1 + 2) + + + n.(1 + n) = 12 + 1.1 + 22 + 2.1 + 32 + 3.1 + + n2 + n.1 = (12 + 22 + 32 + + n2 ) + (1 + 2 + 3 + + n). Mặt khác theo bài tập 1 ta có: A = n(n 1)(n 2) và 1 + 2 + 3 + + n = n(n 1) 3 2 n(n 1)(n 2) n(n 1) n(n 1)(2n 1) 12 + 22 + 32 + + n2 = = - = 3 2 6 Bài 6. Tính E = 13 + 23 + 33 + + n3 Lời giải; Ta có: B = 1.2.3 + 2.3.4 + + (n - 1)n(n + 1) = (2 - 1).2.(2 + 1) + (3 - 1).3.(3 + 1) + + (n - 1)n(n + 1) = (23 - 2) + (33 - 3) + + (n3 - n) = = (23 + 33 + + n3) - (2 + 3 + + n) = (13 + 23 + 33 + + n3) - n(n 1) - (1 + 2 + 3 + + n) = (13 + 23 + 33 + + n3) - 2 (13 + 23 + 33 + + n3) = B +n(n 1) Mà ta đã biết B = (n 1)n(n 1)(n 2) 2 4 2 (n 1)n(n 1)(n 2) n(n 1) n(n 1) E = 13 + 23 + 33 + + n3 = + = 4 2 2 3 2 Cách 2: Ta có: A1 = 1 = 1 3 3 2 A2 = 1 + 2 = 9 = (1 + 2) 3 3 3 2 A3 = 1 + 2 + 3 = 36 = (1 + 2 + 3) 3 3 3 3 2 Giả sử có: Ak = 1 + 2 + 3 + + k = (1 + 2 + 3 + + k) (1) Ta chứng minh: 3 3 3 3 2 Ak+1 = 1 + 2 + 3 + + (k + 1) = [1 + 2 + 3 + + (k + 1)] (2)
3. k(k 1) Thật vậy, ta đã biết: 1 + 2 + 3 + + k = 2 k(k 1) 2 3 Ak = [ ] (1') Cộng vào hai vế của (1') với (k + 1) ta có: 2 3 k(k 1) 2 3 k(k 1) 2 3 Ak + (k + 1) = [ ] + (k + 1) Ak+1 = [ ] + (k + 1) 2 2 2 (k 1)(k 2) = Vậy tổng trên đúng với Ak+1, tức là ta luôn có: 2 2 3 3 3 3 2 (k 1)(k 2) Ak+1 = 1 + 2 + 3 + + (k + 1) = [1 + 2 + 3 + + (k + 1)] = . 2 2 Vậy khi đó ta có: E = 13 + 23 + 33 + + n3 = (1 + 2 + 3 + + n)2 = n(n 1) 2 Bài 7. Biết rằng 12 + 22 + 32 + + 102 = 385, đố em tính nhanh được tổng S = 22 + 42 + 62 + + 202 Lời giải: Ta có: S = 22 + 42 + 62 + + 202 = (2.1)2 + (2.2)2 + + (2.10)2 = = 12.22 + 22.22 + 22.32 + + 22.102 = 22.(12 + 22 + 32 + + 102) = 4. (12 + 22 + 32 + + 102) = 4.385 = 1540. Nhận xét: Nếu đặt P = 12 + 22 + 32 + + 102 thì ta có: S = 4.P. Do đó, nếu cho S thì ta sẽ tính được P và ngược lại. Tổng quát hóa ta có: P = 12 + 22 + 32 + + n2 = n(n 1)(2n 1) (theo kết quả ở trên) 6 Khi đó S = 22 + 42 + 62 + + (2n)2 được tính tương tự như bài trên, ta có: S = (2.1)2 + (2.2)2 + + (2.n)2 = 4.( 12 + 22 + 32 + + n2) = 4n(n 1)(2n 1) = 2n(n 1)(2n 1) 6 3 2 Còn: P = 13 + 23 + 33 + + n3 = n(n 1) . Ta tính S = 23 + 43 + 63 + + (2n)3 như sau: S = 2 (2.1)3 + (2.2)3 + (2.3)3 + + (2.n)3 = 8.(13 + 23 + 33 + + n3) lúc này S = 8P, Vậy ta có: S = 2 n(n 1) 8.n2 (n 1)2 23 + 43 + 63 + + (2n)3 = 8 2n2 (n 1)2 2 4 áp dụng các kết quả trên, ta có bài tập sau: Bài 8. a) Tính A = 12 + 32 + 52 + + (2n -1)2 b) Tính B = 13 + 33 + 53 + + (2n-1)3 Lời giải
4. 2n(2n 1)(4n 1) n(2n 1)(4n 1) a)Theo kết quả bài trên, ta có: 12 + 22 + 32 + + (2n)2 = 6 3 Mà ta thấy: 12 + 32 + 52 + + (2n -1)2 = 12 + 22 + 32 + + (2n)2 - 23 + 43 + 63 + + (2n)2 = 2 = n(2n 1)(4n 1) - 2n(n 1)(2n 1) = 2n (2n 1) 3 3 3 b) Ta có: 13 + 33 + 53 + + (2n-1)3 = 13 + 23 + 33 + + (2n)3 - - 23 + 43 + 63 + + (2n)3 . áp dụng kết quả bài tập trên ta có: 13 + 23 + 33 + + (2n)3 = n2(2n + 1)2. 3 3 3 3 2 2 2 2 4 2 Vậy: B = 1 + 3 + 5 + + (2n-1) = n (2n + 1) - 2n (n + 1) = = 2n - n Một số bài tập dạng khác 2 3 63 Bài 1. Tính S1 = 1 + 2 + 2 + 2 + + 2 Lời giải Cách 1: 2 3 63 Ta thấy: S1 = 1 + 2 + 2 + 2 + + 2 (1) 2 3 63 64 2S1 = 2 + 2 + 2 + + 2 + 2 (2) Trừ từng vế của (2) cho (1) ta có: 2 3 63 64 2 3 63 2S1 - S1 = 2 + 2 + 2 + + 2 + 2 - (1 + 2 + 2 + 2 + + 2 ) 64 64 = 2 - 1. Hay S1 = 2 - 1 2 3 63 2 3 62 Cách 2: Ta có: S1 = 1 + 2 + 2 + 2 + + 2 = 1 + 2(1 + 2 + 2 + 2 + + 2 ) (1) 63 64 64 = 1 + 2(S1 - 2 ) = 1 + 2S1 - 2 S1 = 2 - 1 Bài 2. Tính giá trị của biểu thức S = 1 +3 + 32 + 33 + + 32000 (1) Lời giải: Cách 1: áp dụng cách làm của bài 1: Ta có: 3S = 3 + 32 + 33 + + 32001 (2) Trừ từng vế của (2) cho (1) ta được: 3S - 2S = (3 + 32 + 33 + + 32001) - (1 +3 + 32 + 33 + + 32000) 32001 1 Hay: 2S = 32001 - 1 S = 2 Cách 2: Tương tự như cách 2 của bài trên: Ta có: S = 1 + 3(1 +3 + 32 + 33 + + 31999) = 1 + 3(S - 32000) = 1 + 3S - 32001 32001 1 2S = 32001 - 1 S = 2 2 3 n *) Tổng quát hoá ta có: Sn = 1 + q + q + q + + q (1) Khi đó ta có: 2 3 n+1 Cách 1: qSn = q + q + q + + q (2)
5. qn 1 1 Trừ từng vế của (2) cho (1) ta có: (q - 1)S = qn+1 - 1 S = q 1 2 3 n-1 n Cách 2: Sn = 1 + q(1 + q + q + q + + q ) = 1 + q(Sn - q ) n 1 n+1 n+1 n+1 q 1 = 1 + qSn - q qSn - Sn = q - 1 hay: Sn(q - 1) = q - 1 S = q 1 Bài 3. Cho A = 1 + 2 + 22 + 23 + + 29; B = 5.28. Hãy so sánh A và B Cách 1: Ta thấy: B = 5.28 = (23 + 22 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1).26 = 29 + 28 + 27 + 26 + 26 + 26 + 26 + 26 + 26 + 26 = 29 + 28 + 27 + 26 + 26 + 26 + 26 + 26 + 26 + 25 + 25 (Vì 26 = 2.25). Vậy rõ ràng ta thấy B > A Cách 2: áp dụng cách làm của các bài tập trên ta thấy đơn giản hơn, thật vậy: A = 1 + 2 + 22 + 23 + + 29 (1) 2A = 2 + 22 + 23 + + 29 + 210 (2) Trừ từng vế của (2) cho (1) ta có: 2A - A = (2 + 22 + 23 + + 29 + 210) - (1 + 2 + 22 + 23 + + 29) = 210 - 1 hay A = 210 - 1 Còn: B = 5.28 = (22 + 1).28 = 210 + 28 Vậy B > A * Ta có thể tìm được giá trị của biểu thức A, từ đó học sinh có thể so sánh được A với B mà không gặp mấy khó khăn. Bài 4. Tính giá trị của biểu thức S = 1 + 2.6 + 3.62 + 4.63 + + 100.699 (1) Ta có: 6S = 6 + 2.62 + 3.63 + + 99.699 + 100.6100 (2) Trừ từng vế của (2) cho (1) ta được: 5S = 6 - 2.6 + (2.62 - 3.62) + (3.63 - 4.63) + + (99.699 - 100.699) + + 100.6100 - 1 = 100.6100 - 1 - (6 + 62 + 63 + + 699) (*) Đặt S' = 6 + 62 + 63 + . + 699 6S' = 62 + 63 + . + 699 + 6100 6100 6 6100 6 499.6100 1 S' = thay vào (*) ta có: 5S = 100.6100 - 1 - = 5 5 5 499.6100 1 S = 25 Bài 5. Người ta viết dãy số: 1; 2; 3; Hỏi chữ số thứ 673 là chữ số nào? Lời giải: Ta thấy: Từ 1 đến 99 có: 9 + 2.90 = 189 chữ số, theo đầu bài ta còn thiếu số các chữ số của dãy là: 673 - 189 = 484 chữ số, như vậy chữ số thứ 673 phải nằm trong dãy các số có 3 chữ số. Vậy ta xét tiếp:
6. Từ 100 đến 260 có: 3.161 = 483 chữ số Như vậy từ 1 đến 260 đã có: 189 + 483 = 672 chữ số, theo đầu bài thì chữ số thứ 673 sẽ là chữ số 2 của số 261. Một số bài tập tự giải: 1. Tính: A = 1.2.3.4 + 2.3.4.5 + + (n - 2) (n + 1) 2. Tính: B = 1.2.4 + 2.3.5 + + n(n + 1)(n + 3) 3. Tính: C = 22 + 52 + 82 + + (3n - 1)2 4. Tính: D = 14 + 24 + 34 + + n4 5. Tính: E = 7 + 74 + 77 + 710 + + 73001 6. Tính: F = 8 + 83 + 85 + + 8801 7. Tính: G = 9 + 99 + 999 + + 99 9 (chữ số cuối gồm 190 chữ số 9) 8. Tính: H = 1.1! + 2.2! + + n.n! 9. Cho dãy số: 1; 2; 3; . Hỏi chữ số thứ 2007 là chữ số nào? Thể loại toán về phân số: 1 1 1 1 Bài 1. Tính giá trị của biểu thức A = 1.2 2.3 3.4 (n 1).n 1 1 1 1 1 1 Lời giải Ta có: A = 1 2 2 3 n 1 n 1 n 1 sau khi bỏ dấu ngoặc ta có: A = 1 n n 4 4 4 4 Bài 2. Tính giá trị của biểu thức B = 3.7 7.11 11.15 95.99 4 4 4 4 B = vận dụng cách làm của phần nhận xét, ta có: 7 - 3 = 4 (đúng 3.7 7.11 11.15 95.99 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 32 bằng tử) nên ta có: B = = 3 7 7 11 11 15 95 99 3 99 99 72 72 72 72 Bài 3. Tính giá trị của biểu thức C = 2.9 9.16 16.23 65.72 Vậy ta có thể biến đổi: 7 7 7 7 1 1 1 1 1 1 1 1 C =7. =7. = 2.9 9.16 16.23 65.72 2 9 9 16 16 23 65 72 1 1 35 29 = 7. 7. 3 2 72 72 72
7. 3 3 3 3 Bài 4. Tính giá trị của biểu thức D = 1.3 3.5 5.7 49.51 Lời giải Ta lại thấy: 3 - 1 = 2 ≠ 3 ở tử của mỗi phân số trong tổng nên bằng cách nào đó ta đưa 3 ra ngoài và đưa 2 vào trong thay thế. 2 3 3 3 3 3 2 2 2 2 Ta có: D = = 2 1.3 3.5 5.7 49.51 2 1.3 3.5 5.7 49.51 3 1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 1 3 50 25 = =  2 1 3 3 5 5 7 49 51 2 1 51 2 51 17 1 1 1 1 1 1 Bài 5. Tính giá trị của biểu thức E = 7 91 247 475 775 1147 Lời giải Ta thấy: 7 = 1.7 ; 91 = 13.7 ; 247 = 13.19 ; 475 = 19.25 775 = 25.31 ; 1147 = 31.37 Tương tự bài tập trên ta có: 1 6 6 6 6 6 6 E = = 6 1.7 7.13 13.19 19.25 25.31 31.37 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 36 6 = =  1  6 1 7 7 13 13 19 19 25 25 31 31 37 6 37 6 37 37 2 2 2 2 Bài 6. So sánh: A = và 60.63 63.66 117.120 2003 5 5 5 5 B = 40.44 44.48 76.80 2003 Lời giải 2 3 3 3 2 Lại áp dụng cách làm ở bài trên ta có: A= = 3 60.63 63.66 117.120 2003 2 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 = =  = 3 60 63 63 66 117 200 2003 3 60 120 2003 3 120 2003 1 2 = Tương tự cách làm trên ta có: 180 2003 5 1 1 5 5 1 5 1 5 B =  4 40 80 2003 4 80 2003 64 2003 1 2 2 4 1 4 Ta lại có: 2A =2 Từ đây ta thấy ngay 180 2003 180 2003 90 2003 B > 2A thì hiển nhiên B > A Bài 7. So sánh hai biểu thức A và B:
8. 1 1 1 1 A = 124 1.1985 2.1986 3.1987 16.2000 1 1 1 1 B = 1.17 2.18 3.19 1984.2000 Lời giải 124 1 1 1 1 1 1 1 Ta có: A = . 1 = 1984 1985 2 1986 3 1987 16 2000 1 1 1 1 1 1 = . 1 16 2 16 1985 1986 2000 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Còn B = . 1 =. 1 = 16 17 2 18 1984 2000 16 2 1984 17 18 2000 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = . 1 16 2 16 17 18 1984 17 18 1984 1985 2000 1 1 1 1 1 1 = 1 16 2 16 1985 1986 2000 Vậy A = B Thể loại toán về phân số (tiếp) 1 1 1 1 1 Bài 8. Chứng tỏ rằng: với mọi n N 5 13 25 n2 n 1 2 2 Lời giải Ta không thể áp dụng ngay cách làm của các bài tập trên, mà ta thấy: 1 2 1 2 1 2 1 2 ; ; ta phải so sánh: với: 5 2.4 13 4.6 25 6.8 n2 (n 1)2 2n(2n 1) 1 1 1 2 1 1 Thật vậy: = còn n2 (n 1)2 n2 (n 1)2 2n2 2n 1 2n(2n 2) n(2n 2) 2n2 2n 1 2 nên hiển nhiên < n N . n2 (n 1)2 2n(2n 1) 1 1 1 1 2 2 2 2 Vậy ta có: 5 13 25 n2 n 1 2 2.4 4.6 6.8 2n(2n 2) 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 Mà: ; ; nên: 2.4 2 4 4.6 4 6 6.8 6 8 2n(2n 2) 2n 2n 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = 2.4 4.6 6.8 2n(2n 2) 2 4 4 6 6 8 2n 2n 2 2 2n 2 2 là hiển nhiên với mọi số tự nhiên n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Vậy: hay 5 13 25 n2 (n 1)2 2 4 4 6 6 8 2n 2n 2
9. 1 1 1 1 1 5 13 25 n2 (n 1)2 2 3 5 2n 1 Bài 9. Tính giá trị của biểu thức M = (1.2)2 (2.3)2 n(n 1)2 Lời giải 1 1 1 1 1 1 1 1 Ta có ngay: M = 12 22 22 32 (n 1)2 n2 n2 (n 1)2 1 (n 1)2 1 (n 1)(n 1) 1 n2 2n 1 1 n2 2n n(n 2) = 1 = (n 1)2 (n 1)2 (n 1)2 (n 1)2 (n 1)2 (n 1)2 1 1 1 1 Bài 10. Tính giá trị của biểu thức N = 1.2.3 2.3.4 3.4.5 n(n 1)(n 2) 1 2 2 2 2 Lời giải: Ta có: N = 2 1.2.3 2.3.4 3.4.5 n.(n 1)(n 2) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = 2 1.2 2.3 2.3 3.4 3.4 4.5 n.(n 1) (n 1)(n 2) 1 1 1 = 2 2 (n 1)(n 2) 1 1 1 Bài 11. Tính giá trị của biểu thức: H = 1.2.3.4 2.3.4.5 (n 1).n(n 1)(n 2) 1 3 3 3 Lời giải Ta có: H =  3 1.2.3.4 2.3.4.5 (n 1).n.(n 1).(n 2) 1 1 1 1 1 1 1 = 3 1.2.3 2.3.4 2.3.4 3.4.5 (n 1).n.(n 1) n.(n 1).(n 2) 1 1 1 = 3 6 n(n 1)(n 2) 12 12 12 12 1 Bài 12. Chứng minh rằng P = 1.4.7 4.7.10 7.10.12 54.57.60 2 6 6 6 6 Lời giải Ta có: P = 2. 1.4.7 4.7.10 7.10.13 54.57.60 1 1 1 1 1 1 1 1 = 2. = 1.4 4.7 4.7 7.10 7.10 10.13 54.57 57.60 1 1 854 427 427 1 1 = 2 2 . Vậy P < 4 57.60 3420 855 854 2 2 1 1 1 1 Bài 13. Chứng minh rằng S = 1 2 22 32 42 1002 1 1 1 1 1 1 1 1 Lời giải:Ta thấy: ; ; áp dụng cách làm bài tập trên ta có: 22 1.2 32 2.3 42 3.4 1002 99.100 1 1 1 1 1 S < 1 1 1 2 hay S < 2 1.2 2.3 3.4 99.100 100
10. 1 1 1 Bài 14. Đặt A = 1.2 3.4 2005.2006 1 1 1 A B = . Chứng minh rằng Z 1004.2006 1005.2006 2006.1004 B Lời giải: áp dụng các bài trên, ta có: 1 1 1 1 1 1 1 1 A = = 1 = 1.2 3.4 2005.2006 2 3 4 2005 2006 1 1 1 1 1 1 1 = 1 = 3 5 2005 2 4 6 2006 1 1 1 1 1 1 1 = 1 - 2 = 2 3 4 2006 2 4 2006 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = 1 - 1 = 2 3 4 2006 2 3 4 1003 1004 1005 2006 2 1 1 1 A 3010 Còn B = 1505 Z 3010 1004 1005 2006 B 2 Một số bài toán khác 2 n n n 1 Bài 1. Với n N * , kí hiệu a ( 1)  . Hãy tính tổng a1 + a2 + a3 + + a2007 n n! 2 2 n n n 1 n n n 1 n n n 1 Lời giải Ta thấy: n N * thì: an ( 1)  = ( 1)  ( 1)  n! n! n! (n 1) n! 2 3 3 4 2006 2007 Do đó: a1 + a2 + a3 + + a2007 = a1 + - 1! 2! 2! 3! 2005! 2006! 2006 2007 2 2007 2007 - 3 1 2005! 2006! 1! 2006! 2006! 1 2 3 1992 Bài 2. Xét biểu thức: S = Chứng minh rằng S < 4 20 21 22 21991 2 4 3 4 1992 2 1 3 1 1991 1 Lời giải Ta có: 2S = 0 1 1 2 1990 4 2 2 990 1990 = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 3 1991 1992 1992 1 1 1 = 3 0 1 2 1990 1991 1991 2 3 1990 = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1989 1 1 1990 1 1992 1 2 1 1992 1 1 = 3 S  3 S 1991 2 1 1991 2 2 2 1 2 2 2 2 2 1990 1992 1 S = 4 - 1991 4 hay S < 4 2 2 Bài 3. Ta viết lần lượt các phân số sau: 1 2 1 3 2 1 4 3 2 1 1990 ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; Số đứng ở vị trí nào trong các phân số trên? 1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1930
11. Lời giải Số thứ nhất của dãy số có tổng của tử số và mẫu số bằng 2, hai số tiếp theo có tổng của tử số và mẫu số bằng 3, ba số tiếp theo có tổng của tử và mẫu số bằng 4 Lại quan sát tiếp ta thấy: Kể từ phân số đầu, cách 1 phân số đến mẫu số là 2, cách 2 phân số đến mẫu số 3, vậy phân số 1đứng990 ở vị trí thứ 1930 và của nhóm các số có tổng của tử 1930 và mẫu số bằng 1990 + 1930 = 3920. Số các số đứng trước của nhóm này bằng 1 + 2 + 3 + + 3918 = 1959.3919. Vì nhóm có tổng của tử và mẫu số bằng 3920 thì gồm 3919 số nên nhóm đứng trước nhóm này gồm 3918 số. Vậy số 1đứng990 ở vị trí n = 1959.3919 + 1930 = 7679251 1930