›
›
›

Bài tập Toán Lớp 12 vận dụng cao: Hàm đặc trưng - Phạm Văn Hoàn

pdf 36 trang thaodu 10820
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài tập Toán Lớp 12 vận dụng cao: Hàm đặc trưng - Phạm Văn Hoàn", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfbai_tap_toan_lop_12_van_dung_cao_ham_dac_trung_pham_van_hoan.pdf

Nội dung text: Bài tập Toán Lớp 12 vận dụng cao: Hàm đặc trưng - Phạm Văn Hoàn

  1. Trung Tâm Luyện Thi SH Academy Thạc sĩ Phạm Văn Hoan VẬN DỤNG CAO: HÀM ĐẶC TRƯNG A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT Bài toán 1. Cho hàm số y = f (x) liên tục và đơn điệu (đồng biến hoặc nghịch biến) trên khoảng D . Khi đó, với mọi u, v Î D sao cho f (u)= f (v) Û u = v . 2 Ví dụ 1. Giải phương trình 2x-1 + x -1= 2x -3x-1 + x2 -3x -1 Xét hàm đặc trưng f (t)= 2t +t TXĐ: D = ¡ Đạo hàm: f ¢(t)= 2t.ln 2 +1> 0 "t Do đó hàm số luôn đồng biến trên ¡ . 2 Từ đề bài 2x-1 + x -1= 2x -3x-1 + x2 -3x -1 suy ra f (x -1)= f (x 2 -3x -1) Û x -1= x 2 - 3x -1 Û x2 - 4x = 0 éx = 0 Û ê ëêx = 4 Bài toán 2. Cho hàm số y = f (x) liên tục và đồng biến trên khoảng D . Khi đó, với mọi u, v Î D sao cho: f (u) f (v) Û u > v x2 - 2x Ví dụ 2. Giải bất phương trình sau log + x2 -4x +3 £0 . 5 2x -3 é 3 x2 - 2x ê0 0 Û ê 2 2x -3 ê ëêx > 2 Khi đó, bất phương trình tương đương với 2 2 log5 (x -2x)-log(2x -3)+ x -2x -2x +3 £ 0 2 2 Û log5 (x - 2x)+ x - 2x £ log5 (2x-3)+ 2x-3 Xét hàm đặc trưng f (t)= log5 t +t TXĐ: D = (0;+ ¥) 1 Đạo hàm f ¢(t)= +1> 0 "t > 0 t.ln5 Do đó hàm số đồng biến trên (0;+ ¥) 2 2 Theo bài log5 (x -2x)+ x -2x £ log5 (2x -3)+ 2x -3 suy ra f (x2 - 2x)£ f (2x -3)Û x2 - 2x £ 2x -3 x2 4x + 3 0 1 x 3 §Þa chØ: Sè nhµ 37, ng¸ch 66/36, ngâ 66 ®ường Hå Tïng MËu, Trang 1 quËn CÇu GiÊy, Tp Hµ Néi. §iÖn tho¹i liªn hÖ: 0988.258.350. Facebook: SH Academy ThÇy c« cÇn mua file Word xin liªn hÖ qua sè ®iÖn thoai 0988.258.350
  2. Trung Tâm Luyện Thi SH Academy Thạc sĩ Phạm Văn Hoan 3÷ Kết hợp với ĐKXĐ, ta được tập nghiệm của bất phương trình là T = ê1; ÷È(2;3]. ëê 2ø Bài toán 3. Cho hàm số y = f (x) liên tục và nghịch biến trên khoảng D . Khi đó, với mọi u, v Î D sao cho: f (u) v f (u)> f (v) Û u -1+ 6 ì 2 ïê ïx + 2x -5> 0 ïê ĐKXĐ: êx -1+ 6 x +1> 0 ë î ï îïx > -1 Bất phương trình tương đương với: 2 2 x +1- x + 2x -5 ³ log 1 (x +1)- log 1 (x + 2x -5 ) 2 2 2 2 Û log 1 (x + 2x-5)- x + 2x-5 ³ log 1 (x +1)- x +1 2 2 Xét hàm đặc trưng f (t)= log 1 t - t 2 TXĐ: D = (0;+ ¥) 1 1 Đạo hàm f ¢(t)= - 0 1 t.ln 2 t 2 Hàm số nghịch biến trên khoảng (0;+ ¥) Do đó f (x2 + 2x -5)³ f (x +1)Û x2 + 2x -5 £ x +1 x2 x - 6 0 -3 x 2 Kết hợp với ĐKXĐ ta được tập nghiệm S = -1+ 6;2ù ( ûú Xét hàm số y = x3 - 3x trên nửa khoảng -1+ 6;2ù ( ûú Đạo hàm y¢ = 3x2 -3 = 0 x 1 -1+ 6;2ù ( ûú Ta có y(-1+ 6)= -16+ 6 6 và y(2)= 2 Vậy min y = -16 +6 6 Û x = -1+ 6 . -1+ 6;2ù ( ûú §Þa chØ: Sè nhµ 37, ng¸ch 66/36, ngâ 66 ®ường Hå Tïng MËu, Trang 2 quËn CÇu GiÊy, Tp Hµ Néi. §iÖn tho¹i liªn hÖ: 0988.258.350. Facebook: SH Academy ThÇy c« cÇn mua file Word xin liªn hÖ qua sè ®iÖn thoai 0988.258.350
  3. Trung Tâm Luyện Thi SH Academy Thạc sĩ Phạm Văn Hoan B. BÀI TẬP ÁP DỤNG VẤN ĐỀ 1. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH 2 Bài 1. Phương trình sau có bao nhiêu nghiệm thực 2x 3x 1 2x 2 x2 4x 3 0 ? A. 1 B. 2 C. 3 D. 0 Lời giải 2 Ta có 2x 3x 1 2x 2 x2 4x 3 0 2 2x 3x 1 x2 3x 1 2x 2 x 2 Xét hàm đặc trưng f t 2t t TXĐ: D Đạo hàm f t 2t.ln 2 1 0 t Do đó f t là hàm đồng biến trên . 2 2 2 x 1 Vì vậy f x 3x 1 f x 2 x 3x 1 x 2 x 4x 3 0 x 3 Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm. x2 1 2 1 x Bài 2. Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình 5 x 2x 1 25 . Tính giá trị biểu thức 1 1 P 2 2 . x1 x2 A. P 6 . B. P 2 . C. P 6. D. P 2 . Lời giải 2 Phương trình tương đương: 5x 1 x2 1 52 2x 2 2x . Xét hàm đặc trưng f t 5t t TXĐ: D Đạo hàm f t 5t ln 5 1 0 x Hàm số đồng biến trên . 2 Ta có: 5x 1 x2 1 52 2x 2 2x f x2 1 f 2 2x x2 1 2 2x . x 1 2 1 1 x2 2x 1 0 1 P 6 . x2 x2 x2 1 2 1 2 a b 3 Bài 3. Gọi x là một nghiệm lớn hơn 1 của phương trình 0 c 1 1 x 1 2 2x 3 x 1 2x 1 . Giá trị của P a b c là 3 A. P 6 . B. P 0 . C. P 2 . D. P 4 . Lời giải ĐKXĐ: x 0 §Þa chØ: Sè nhµ 37, ng¸ch 66/36, ngâ 66 ®ường Hå Tïng MËu, Trang 3 quËn CÇu GiÊy, Tp Hµ Néi. §iÖn tho¹i liªn hÖ: 0988.258.350. Facebook: SH Academy ThÇy c« cÇn mua file Word xin liªn hÖ qua sè ®iÖn thoai 0988.258.350
  4. Trung Tâm Luyện Thi SH Academy Thạc sĩ Phạm Văn Hoan 1 1 x 1 2 Ta có 2x 3 x 1 2x 1 3 1 1 32x 3x 1 1 x (chia cả 2 vế cho 2x 0 ) 2x 1 1 32x 3x 1 x 1 2x Xét hàm đặc trưng f t 3t t TXĐ: D Đạo hàm f t 3t.ln 3 1 0 t Do đó f t là hàm đồng biến trên . 1 1 2 1 3 Vì vậy f f x 1 x 1 2x 2x 1 0 x 2x 2x 2 1 3 Theo bài thì x a 1, b 1, c 2 P 4 . 0 2 3 2 Bài 4. Phương trình 223x .2x 1024x 23x3 10x2 x có tổng các nghiệm gần nhất với số nào dưới đây A. 0,35. B. 0,40. C. 0,50. D. 0,45. Lời giải 3 2 3 2 Ta có 223x .2x 1024x 23x3 10x2 x 223x x 23x3 x 210x 10x2 Xét hàm đặc trưng f t 2t t TXĐ: D Đạo hàm f t 2t.ln 2 1 0 t Do đó f t là hàm đồng biến trên . 5 2 Theo bài ta thấy f 23x3 x f 10x2 23x3 x 10x2 x 0 hoặc x 23 10 Tổng các nghiệm bằng 0,4347 23 2 2 Bài 5. Tập nghiệm của bất phương trình 22x 15x 100 2x 10x 50 x2 25x 150 0 là: A. 10;15 B. 10;15 C. 10;15 D. 15; 10 Lời giải 2 2 Ta có 22x 15x 100 2x 10x 50 x2 25x 150 0 2 2 22x 15x 100 2x2 15x 100 2x 10x 50 x2 10x 50 Xét hàm đặc trưng f t 2t t TXĐ: D §Þa chØ: Sè nhµ 37, ng¸ch 66/36, ngâ 66 ®ường Hå Tïng MËu, Trang 4 quËn CÇu GiÊy, Tp Hµ Néi. §iÖn tho¹i liªn hÖ: 0988.258.350. Facebook: SH Academy ThÇy c« cÇn mua file Word xin liªn hÖ qua sè ®iÖn thoai 0988.258.350
  5. Trung Tâm Luyện Thi SH Academy Thạc sĩ Phạm Văn Hoan Đạo hàm f t 2t.ln 2 1 0 t Do đó f t là hàm đồng biến trên . Vì vậy f 2x2 15x 100 f x2 10x 50 2x2 15x 100 x2 10x 50 x2 25x 150 0 10 x 15 Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S 10;15 . x2 x 3 Bài 6. Tổng bình phương các nghiệm của phương trình log x2 3x 2 bằng ? 3 2x2 4x 5 A. 5 B. 4 C. 1 D. 10 Lời giải TXĐ: D x2 x 3 Ta có log x2 3x 2 3 2x2 4x 5 2 2 2 2 log3 x x 3 x x 3 log3 2x 4x 5 2x 4x 5 Xét hàm đặc trưng f t log3 t t TXĐ: D 0; 1 Đạo hàm f t 1 0 t 0 t ln 3 Do đó f t là hàm đồng biến trên 0; . 2 2 2 2 2 x 1 Vì vậy f x x 3 f 2x 4x 5 x x 3 2x 4x 5 x 3x 2 0 x 2 Vậy tổng bình phương các nghiệm bằng 5. 2 4x 4x 1 2 Bài 7. Biết x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình log7 4x 1 6x và 2x 1 x1 2x2 a b với a , b là hai số nguyên dương. Tính a b. 4 A. a b 16. B. a b 11. C. a b 14. D. a b 13. Lời giải x 0 Điều kiện xác định: 1 x 2 2 2 4x 4x 1 2 2x 1 2 Ta có log7 4 x 1 6 x log7 4 x 4 x 1 2 x 2x 2x 2 2 log7 2x 1 2x 1 log7 2x 2x 1 Xét hàm đặc trưng f t log7 t t §Þa chØ: Sè nhµ 37, ng¸ch 66/36, ngâ 66 ®ường Hå Tïng MËu, Trang 5 quËn CÇu GiÊy, Tp Hµ Néi. §iÖn tho¹i liªn hÖ: 0988.258.350. Facebook: SH Academy ThÇy c« cÇn mua file Word xin liªn hÖ qua sè ®iÖn thoai 0988.258.350
  6. Trung Tâm Luyện Thi SH Academy Thạc sĩ Phạm Văn Hoan TXĐ: D 0; 1 Đạo hàm f t 1 0 với mọi t 0 t ln 7 Vậy hàm số đồng biến trên 0; . Phương trình 1 trở thành 3 5 x 2 2 4 f 2x 1 f 2x 2x 1 2x 3 5 x 4 9 5 L 4 Vậy x1 2x2 a 9;b 5 a b 9 5 14. 9 5 TM 4 2x 1 2 Bài 8. Gọi x1, x2 x1 x2 là hai nghiệm của phương trình log3 2 3x 8x 5 . Tính giá trị x 1 của biểu thức T 3x1 x2 ? 16 10 A. B. C. 4 D. 0 3 3 Lời giải 1 2x 1 x ĐKXĐ: 2 0 2 x 1 x 1 2x 1 2 2 2 Ta có log3 2 3x 8x 5 log3 2x 1 log3 x 2x 1 3x 8x 5 x 1 2 2 log3 2x 1 log3 x 2x 1 3 x 2x 1 2x 1 1 2 2 log3 2x 1 2x 1 log3 x 2x 1 1 3x 6x 3 2 2 log3 2x 1 2x 1 log3 3x 6x 3 3x 6x 3 CHÚ Ý Tại sao ta lại biết cách tách 3x2 8x 5 3 x2 2x 1 2x 1 1 ? Giả sử 3x2 8x 5 x2 2x 1  2x 1  . Đi đồng nhất các hệ số ta được: 3x2 8x 5 x2 2 2 x   3 3 2 2 8  1   5  1 Xét hàm đặc trưng f t log3 t t §Þa chØ: Sè nhµ 37, ng¸ch 66/36, ngâ 66 ®ường Hå Tïng MËu, Trang 6 quËn CÇu GiÊy, Tp Hµ Néi. §iÖn tho¹i liªn hÖ: 0988.258.350. Facebook: SH Academy ThÇy c« cÇn mua file Word xin liªn hÖ qua sè ®iÖn thoai 0988.258.350
  7. Trung Tâm Luyện Thi SH Academy Thạc sĩ Phạm Văn Hoan TXĐ: D 0; 1 Đạo hàm f t 1 0 t 0 t ln 3 Do đó f t là hàm đồng biến trên 0; . x 2 TM 2 2 2 Vì vậy f 2x 1 f 3x 6x 3 2x 1 3x 6x 3 3x 8x 4 0 2 x TM 3 2 2 Bài 9. Phương trình log3 x 2x 3 x x 7 log3 x 1 có số nghiệm là T và tổng các nghiệm là S . Khi đó T S bằng A. 2 . B. 4 . C. 3. D. 1. Lời giải x2 2x 3 0 Điều kiện xác định: x 1. x 1 0 2 2 Ta có log3 x 2x 3 x x 7 log3 x 1 2 2 log3 x 2x 3 x 2x 3 3 x 1 1 log3 x 1 2 2 log3 x 2x 3 x 2x 3 log3 x 1 1 3 x 1 2 2 log3 x 2x 3 x 2x 3 log3 3x 3 3x 3 Xét hàm đặc trưng f t log3 t t TXĐ: D 0; 1 Đạo hàm f t 1 0 t 0 t ln 3 Do đó f t là hàm đồng biến trên 0; . x 3 TM Suy ra f x2 2x 3 f 3x 3 x2 2x 3 3x 3 x2 x 6 0 x 2 L Vậy T S 4 . 4 x 1 Bài 10. Có bao nhiêu nghiệm nguyên thỏa mãn bất phương trình log2 2 x x ? x 2 A. 2 B. 1 C. 3 D. 0 Lời giải 4 x 1 0 ĐKXĐ: x 2 x 0 x 0 §Þa chØ: Sè nhµ 37, ng¸ch 66/36, ngâ 66 ®ường Hå Tïng MËu, Trang 7 quËn CÇu GiÊy, Tp Hµ Néi. §iÖn tho¹i liªn hÖ: 0988.258.350. Facebook: SH Academy ThÇy c« cÇn mua file Word xin liªn hÖ qua sè ®iÖn thoai 0988.258.350
  8. Trung Tâm Luyện Thi SH Academy Thạc sĩ Phạm Văn Hoan x 1 1 Do đó . x 2 2 4 x 1 Ta có log2 2 x x x 2 log2 4 x 1 log2 x 2 2 x x log2 x 1 2 log2 x 2 2 x x log2 x 1 2 x 1 log2 x 2 2 x 2 Xét hàm đặc trưng f t log2 t 2t trên nửa khoảng 1; 1 1 1 Đạo hàm f t 2 . Vì t 1 nên 2 . Do đó f t 0 . t ln 2 t ln 2 ln 2 Hàm số nghịch biến trên 1; 1 5 Suy ra f x 1 f x 2 x 1 x 2 x x 1 0 0 x 2 3+ 5 0 x < 2 3 5 Kết hợp với ĐKXĐ ta được 0 x . Vậy có ba nghiệm nguyên là x 0; 1; 2 . 2 2 1 2x 1 1 Bài 11. Cho phương trình log2 x 2 x 3 log2 1 2 x 2 . Gọi S là tổng tất 2 x x cả các nghiệm của nó. Khi đó, giá trị của S là 1 13 1 13 A. S 2 . B. S . C. S 2 . D. S . 2 2 Lời giải 1 2 x Điều kiện xác định: . 2 x 0 2 1 2x 1 1 Ta có: log2 x 2 x 3 log2 1 2 x 2 2 x x 2 1 1 log2 x 2 x 2 2 x 2 1 log2 2 1 x x 2 2 1 1 log2 x 2 x 2 1 log2 2 2 1 x x 2 Xét hàm đặc trưng f t log2 t t 1 . TXĐ: D 0; §Þa chØ: Sè nhµ 37, ng¸ch 66/36, ngâ 66 ®ường Hå Tïng MËu, Trang 8 quËn CÇu GiÊy, Tp Hµ Néi. §iÖn tho¹i liªn hÖ: 0988.258.350. Facebook: SH Academy ThÇy c« cÇn mua file Word xin liªn hÖ qua sè ®iÖn thoai 0988.258.350
  9. Trung Tâm Luyện Thi SH Academy Thạc sĩ Phạm Văn Hoan 1 2ln 2.t 2 2ln 2.t 1 Đạo hàm f t 2 t 1 0 , t 0 t ln 2 t.ln 2 Do đó hàm số f t đồng biến trên khoảng 0; . 1 1 3 2 Suy ra f x 2 f 2 x 2 2 x 2x 4x 1 0 x x x 1 3 13 x 2 3 13 x 2 x 1 Kết hợp với điều kiện ta được 3 13 . x 2 1 13 Vậy S . 2 Bài 12. Số nghiệm của phương trình sin 2x cos x 1 log2 sin x trên khoảng 0; là: 2 A. 4 . B. 3. C. 2 . D. 1. Lời giải Vì sin x 0 và cos x 0 , x 0; nên phương trình đã cho tương đương với 2 sin 2x cos x log2 cos x 1 log2 sin x log2 cos x log2 cos x cos x log2 sin 2x sin 2x * 1 Xét hàm đặc trưng f t log t t , với t 0;1 ta có f t 1 0, t 0;1 . 2 t ln 2 Do đó, hàm số f t đồng biến trên khoảng 0;1 . Từ phương trình * , ta có 1 f cos x f sin 2x cos x sin 2x sin x 2 é p êx = + k2p ê 6 Û ê (k Î ¢) ê 5p êx = + k2p ëê 6 Vì x 0; nên x . 2 6 §Þa chØ: Sè nhµ 37, ng¸ch 66/36, ngâ 66 ®ường Hå Tïng MËu, Trang 9 quËn CÇu GiÊy, Tp Hµ Néi. §iÖn tho¹i liªn hÖ: 0988.258.350. Facebook: SH Academy ThÇy c« cÇn mua file Word xin liªn hÖ qua sè ®iÖn thoai 0988.258.350
  10. Trung Tâm Luyện Thi SH Academy Thạc sĩ Phạm Văn Hoan Bài 13. Cho hàm số f (x)= 2019x -2019-x . Tìm số nguyên m lớn nhất để f (m)+ f (2m+2019)< 0 ? A. -673 B. -674 C. 673 D. 674 Lời giải Ta có f (x)= 2019x -2019-x Þ f (-x)= 2019-x -2019x = - f (x) Þ f (x)= - f (-x) Vì vậy f (m)+ f (2m + 2019)< 0 Û - f (-m)+ f (2m + 2019)< 0 Û f (2m + 2019)< f (-m) Xét hàm số f (x)= 2019x -2019-x TXĐ: D Đạo hàm f (x) 2019 x.ln 2019 2019 x.ln 2019 0 x Do đó f x là hàm đồng biến trên . Suy ra f (2m + 2019)< f (-m) Û 2m + 2019 <-m Û m <-673 Vậy số nguyên m lớn nhất thỏa mãn yêu cầu bài toán là 674 Bài 14. Cho hàm số y f (x) ln 1 x 2 x . Tập nghiệm của bất phương trình f a 1 f ln a 0 là A. 0;1 B. 0;1 C. 1; D. 0; Lời giải 1 2 2 1 2 Ta có f x ln 1 x x f x ln 1 x x ln ln 1 x x 1 x2 x ln 1 x2 x f x Do đó f x f x f a 1 f 1 a Vậy nên f a 1 f ln a 0 f 1 a f ln a 0 f ln a f 1 a Xét hàm số f x ln 1 x 2 x Vì 1 x2 1 x nên để 1 x2 x 0 thì x 1. Vậy TXĐ: D 1; x x 1 x2 1 2 2 1 Đạo hàm f x 1 x 1 x 0 x . 1 x2 x 1 x2 x 1 x2 Do đó hàm số luôn đồng biến trên khoảng 1; . Suy ra f ln a f 1 a ln a 1 a ln a a 1 0 Giải bất phương trình ln a a 1 0 ĐKXĐ: a 0 Xét hàm số g a ln a a 1 trên khoảng 0; §Þa chØ: Sè nhµ 37, ng¸ch 66/36, ngâ 66 ®ường Hå Tïng MËu, Trang 10 quËn CÇu GiÊy, Tp Hµ Néi. §iÖn tho¹i liªn hÖ: 0988.258.350. Facebook: SH Academy ThÇy c« cÇn mua file Word xin liªn hÖ qua sè ®iÖn thoai 0988.258.350
  11. Trung Tâm Luyện Thi SH Academy Thạc sĩ Phạm Văn Hoan 1 Đạo hàm g a 1 0 a 0 . Đo đó hàm số đồng biến trên khoảng 0; . a Nhận thấy g 1 0 nên bất phương trình g a g 1 a 1 Kết hợp với ĐKXĐ ta được 0 a 1. BÀI TẬP TƯƠNG TỰ DÀNH CHO BẠN ĐỌC TỰ GIẢI x -x Bài 15. Cho hàm số f (x)= 3 -3 . Gọi m1, m2 là các giá trị thực của tham số m để 2 f (3log2 m)+ f (log2 m + 2)= 0 . Tính T = m1.m2 . 1 1 1 A. B. C. D. 2 8 4 2 x -x Bài 16. Cho hàm số f (x)= 2 -2 . Gọi m0 là số lớn nhất trong các số nguyên m thỏa mãn f (m)+ f (2m-212 )< 0 . Mệnh đề nào sau đây đúng ? A. m0 Î[1;505) B. m0 Î[505;1009) C. m0 Î[1009;1513) D. m0 Î[1513;2019) Bài 17. Cho hàm số f (x) ln x 2 1 x e x e x . Hỏi phương trình f (3x )+ f (2x-1)= 0 có bao nhiêu nghiệm thực ? A. 1 B. 0 C. 2 D. 3 VẤN ĐỀ 2. PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ Bài 1. Có bao nhiêu giá trị nguyên không âm của tham số m để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt: x3 + 7x + m =10 3 3x - m ? A. 1. B. 3. C. 2 . D. Vô số. Lời giải Ta có x3 + 7x + m =10 3 3x-m Û x3 +10x = 3x-m +10 3 3x-m 3 Û x3 +10x = ( 3 3x - m ) +10 3 3x - m Xét hàm đặc trưng f (t) t 3 10t TXĐ: D Đạo hàm f (t) 3t 2 10 0 t Do đó f (t) là hàm đồng biến trên . Suy ra f x f 3 3x m x 3 3x m x 3 3x m Xét hàm số g(x) x3 3x TXĐ: D Đạo hàm g x 3x2 3 0 x 1 §Þa chØ: Sè nhµ 37, ng¸ch 66/36, ngâ 66 ®ường Hå Tïng MËu, Trang 11 quËn CÇu GiÊy, Tp Hµ Néi. §iÖn tho¹i liªn hÖ: 0988.258.350. Facebook: SH Academy ThÇy c« cÇn mua file Word xin liªn hÖ qua sè ®iÖn thoai 0988.258.350
  12. Trung Tâm Luyện Thi SH Academy Thạc sĩ Phạm Văn Hoan Bảng biến thiên x 1 1 g x 0 0 g x 2 2 Từ BBT ta thấy, phương trình g x m có ba nghiệm phân biệt khi 2 m 2 2 m 2 Vậy m 0; 1. 3 Bài 2. Gọi S là tập hợp các giá trị của tham số m sao cho phương trình x 1 3 m 3 3 3x m có đúng hai nghiệm thực. Tính tổng tất cả phần tử của tập hợp S . A. 4. B. 2. C. 6. D. 5. Lời giải 3 3 Ta có x 1 3 m 3 3 3x m x 1 3x 3 3x m 33 3x m 3 3 x 1 3 x 1 3 3x m 3 3 3x m Xét hàm đặc trưng f t t3 3t TXĐ: D Đạo hàm f t 3t 2 3 0 t Do đó f t là hàm đồng biến trên . Suy ra f x 1 f 3 3x m x 1 3 3x m x 3 3x 2 1 m Xét hàm số g(x) x3 3x 2 1 TXĐ: D 2 x 0 Đạo hàm g x 3x 6x 0 x 2 Bảng biến thiên x 2 0 g x 0 0 g x 5 1 Từ BBT ta thấy, phương trình g x m có hai nghiệm khi m 1; 5 S 1; 5 . Vậy tổng các phần tử của tập S bằng 6. §Þa chØ: Sè nhµ 37, ng¸ch 66/36, ngâ 66 ®ường Hå Tïng MËu, Trang 12 quËn CÇu GiÊy, Tp Hµ Néi. §iÖn tho¹i liªn hÖ: 0988.258.350. Facebook: SH Academy ThÇy c« cÇn mua file Word xin liªn hÖ qua sè ®iÖn thoai 0988.258.350
  13. Trung Tâm Luyện Thi SH Academy Thạc sĩ Phạm Văn Hoan Bài 3. Gọi S là tập hợp giá trị thực của tham số m sao cho phương trình x9 3x3 9x m 3 3 9x m có đúng hai nghiệm thực. Tích tất cả phần tử của tập S là A. 1. B. 64. C. 81. D. 121. Lời giải 3 3 Ta có x9 3x3 9x m 3 3 9x m x3 3x3 3 9x m 3 3 9x m 1 . Xét hàm đặc trưng f t t3 3t TXĐ: D 2 Đạo hàm f t 3t 3 0, t R nên nó đồng biến trên R . Mặt khác, theo 1 ta có f x3 f 3 9x m x3 3 9x m hay m x9 9x * . Đặt g x x9 9x , ta có g x 9x8 9 ; g x 0 x 1. Bảng biến thiên: x 1 1 g x 0 0 g x 8 8 Phương trình đã cho có đúng hai nghiệm thực phương trình * có đúng hai nghiệm thực m 8 hoặc m 8 . Do đó S  8; 8 . Tích các phần tử của S bằng 64. Bài 4. Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của tham số m để phương trình 3 m 33 m 3cos x cos x có nghiệm thực ? A. 2 B. 1 C. 3 D. 4 Lời giải Ta có 3 m 33 m 3cos x cos x m 33 m 3cos x cos3 x m 3cos x 3 3 m 3cos x cos 3 x 3cos x 3 3 m 3cos x 33 m 3cos x cos 3 x 3cos x Xét hàm đặc trưng f t t3 3t TXĐ: D Đạo hàm f t 3t 2 3 0 t Do đó f t là hàm đồng biến trên . Suy ra f 3 m 3cos x f cos x 3 m 3cos x cos x m cos 3x 3cos x 1 Đặt u cos x u  1;1 . Phương trình 1 trở thành: m u3 3u g u Xét hàm số g u u3 3u TXĐ: D §Þa chØ: Sè nhµ 37, ng¸ch 66/36, ngâ 66 ®ường Hå Tïng MËu, Trang 13 quËn CÇu GiÊy, Tp Hµ Néi. §iÖn tho¹i liªn hÖ: 0988.258.350. Facebook: SH Academy ThÇy c« cÇn mua file Word xin liªn hÖ qua sè ®iÖn thoai 0988.258.350
  14. Trung Tâm Luyện Thi SH Academy Thạc sĩ Phạm Văn Hoan Đạo hàm g u 3u2 3 0 u 1  1;1 Bảng biến thiên u 1 1 g u 0 0 g u 2 2 Từ BBT ta thấy, phương trình g u m có nghiệm khi 2 m 2 . Vậy m 1; 2. Bài 5. Tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình e3m em 2 x 1 x2 1 x 1 x2 có nghiệm là 1 1 1 1 A. 0; ln 2 B. ; ln 2 C. 0; D. ln 2; 2 2 e 2 Lời giải 1 t 2 Đặt t x 1 x2 . 2 2 t 1 2x 1 x Khi đó: e3m em t t 2 1 e3m em t 3 t . Xét hàm đặc trưng f u u3 u f u 3u2 1. Hàm số luôn đồng biến. e3m em t 3 t f em f t em t . 1 Phương trình có nghiệm khi 1 t em 2 em 2 m ln 2 . 2 Bài 6. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để tồn tại cặp số x; y thỏa mãn 2x y 1 3x 2 y 2 2 e e x y 1, đồng thời thỏa mãn log2 2x y 1 m 4 log2 x m 4 0 . A. 3. B. 4 . C. 5. D. 6 . Lời giải Ta có: e2x y 1 e3x 2 y x y 1 e2x y 1 2x y 1 e3x 2 y 3x 2y . Xét hàm số f t et t trên . Ta có f t et 1 0 nên hàm số đồng biến trên . Do đó phương trình có dạng: f 2x y 1 f 3x 2y 2x y 1 3x 2y y 1 x . 2 2 Thế vào phương trình còn lại ta được: log2 x m 4 log2 x m 4 0 . 2 2 Đặt t log2 x , phương trình có dạng: t m 4 t m 4 0. 8 Để phương trình có nghiệm thì 0 3m2 8m 0 0 m . 3 Do đó có 3 số nguyên m thỏa mãn. §Þa chØ: Sè nhµ 37, ng¸ch 66/36, ngâ 66 ®ường Hå Tïng MËu, Trang 14 quËn CÇu GiÊy, Tp Hµ Néi. §iÖn tho¹i liªn hÖ: 0988.258.350. Facebook: SH Academy ThÇy c« cÇn mua file Word xin liªn hÖ qua sè ®iÖn thoai 0988.258.350
  15. Trung Tâm Luyện Thi SH Academy Thạc sĩ Phạm Văn Hoan Bài 7. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để phương trình 2x2 mx 1 log 2 x2 mx 1 x 2 có hai nghiệm thực phân biệt ? 2 x 2 A. 3. B. 4 . C. 2 . D. 1. Lời giải x 2 0 Điều kiện: 2 . 2x mx 1 0 2x2 mx 1 Ta có log 2 x2 mx 1 x 2 2 x 2 2 2 log2 2x mx 1 2x mx 1 log2 x 2 x 2 f 2x2 mx 1 f x 2 1 1 Xét hàm số f t log t t với t 0; có f t 1 0 , t 0; 2 t ln 2 f t đồng biến trên 0; nên 1 2x2 mx 1 x 2 . x 2 x 2 Từ đó 2 2 2 . 2x mx 1 x 2 x m 4 x 3 0 2 YCBT 2 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 lớn hơn 2 2 m 4 12 0 x1 2 x2 2 0 x 2 x 2 0 1 2 m x1 x2 4 0 x1x2 2 x1 x2 4 0 m 4 m 4 0 3 2 4 m 4 0 m 8 9 9 m m 2 2 Mà m * m 1;2;3;4. §Þa chØ: Sè nhµ 37, ng¸ch 66/36, ngâ 66 ®ường Hå Tïng MËu, Trang 15 quËn CÇu GiÊy, Tp Hµ Néi. §iÖn tho¹i liªn hÖ: 0988.258.350. Facebook: SH Academy ThÇy c« cÇn mua file Word xin liªn hÖ qua sè ®iÖn thoai 0988.258.350
  16. Trung Tâm Luyện Thi SH Academy Thạc sĩ Phạm Văn Hoan Bài 8. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình: 3x2 3x m 1 log x2 5 x 2 m có hai nghiệm phân biệt đều lớn hơn 1. 2 2x2 x 1 A. Vô số B. 2 C. 4 D. 3 Lời giải 3x2 3x m 1 Ta có log x2 5 x 2 m 2 2x2 x 1 2 2 2 log2 3x 3x m 1 log2 2x x 1 x 5x 2 m 2 2 2 2 log2 3x 3x m 1 log2 2x x 1 2 2x x 1 3x 3x m 1 1 2 2 2 2 log2 3x 3x m 1 3x 3x m 1 log2 2x x 1 1 2 2x x 1 2 2 2 2 log2 3x 3x m 1 3x 3x m 1 log2 4x 2x 2 4x 2x 2 Xét hàm đặc trưng f t log2 t t TXĐ: D 0; 1 Đạo hàm f t 1 0 t 0 t ln 2 Do đó f t là hàm đồng biến trên 0; . Vì vậy f 3x2 3x m 1 f 4x2 2x 2 3x2 3x m 1 4x2 2x 2 x2 5x 1 m Xét hàm số g x x2 5x 1 trên khoảng 1; 5 Đạo hàm g x 2x 5 0 x 1; 2 Bảng biến thiên x 1 2,5 g x 0 g x 3 21 4 21 Từ BBT ta thấy, phương trình g x m có hai nghiệm phân biệt lớn hơn 1 khi m 3 4 Vậy m 5; 4 . §Þa chØ: Sè nhµ 37, ng¸ch 66/36, ngâ 66 ®ường Hå Tïng MËu, Trang 16 quËn CÇu GiÊy, Tp Hµ Néi. §iÖn tho¹i liªn hÖ: 0988.258.350. Facebook: SH Academy ThÇy c« cÇn mua file Word xin liªn hÖ qua sè ®iÖn thoai 0988.258.350
  17. Trung Tâm Luyện Thi SH Academy Thạc sĩ Phạm Văn Hoan 2x2 x m Bài 9. Cho phương trình log x2 x 4 m. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số 3 x2 1 m  2018;2018 để phương trình có hai nghiệm trái dấu? A. 2022. B. 2021. C. 2016. D. 2015. Lời giải 2x2 x m Ta có log x2 x 4 m 3 x2 1 2 2 2 log3 2x x m log3 x 1 x x 4 m 2 2 2 2 log3 2x x m log3 x 1 3 x 1 2x x m 1 2 2 2 2 log3 2x x m 2x x m log3 x 1 1 3 x 1 2 2 2 2 log3 2x x m 2x x m log3 3x 3 3x 3 Xét hàm đặc trưng f t log3 t t TXĐ: D 0; 1 Đạo hàm f t 1 0 t 0 t ln 3 Do đó f t là hàm đồng biến trên 0; . Vì vậy f 2x2 x m f 3x2 3 2x2 x m 3x2 3 x2 x 3 m 0 Phương trình x2 x 3 m 0 có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi ac 0 3 m 0 m 3 Từ 4 đến 2018 có 2015 số nguyên. 4a 2b 5 Bài 10. Cho a , b là hai số thực dương thỏa mãn log a 3b 4 . Tìm giá trị nhỏ 5 a b nhất của biểu thức T a2 b2 1 5 3 A. . B. . C. . D. 1. 2 2 2 Lời giải 4a 2b 5 Ta có log5 a 3b 4 a b log5 4a 2b 5 log5 5 a b 5 a b 4a 2b 5 log5 4a 2b 5 4a 2b 5 log5 5 a b 5 a b (*) Xét hàm số f t log5 t t TXĐ: D 0; 1 Đạo hàm f t 1 0 t 0 t ln 5 Do đó f t đồng biến trên 0; nên §Þa chØ: Sè nhµ 37, ng¸ch 66/36, ngâ 66 ®ường Hå Tïng MËu, Trang 17 quËn CÇu GiÊy, Tp Hµ Néi. §iÖn tho¹i liªn hÖ: 0988.258.350. Facebook: SH Academy ThÇy c« cÇn mua file Word xin liªn hÖ qua sè ®iÖn thoai 0988.258.350
  18. Trung Tâm Luyện Thi SH Academy Thạc sĩ Phạm Văn Hoan (*) f 4a 2b 5 f 5 a b 4a 2b 5 5 a b a 5 3b 2 2 2 2 2 2 3 5 5 T a b T 5 3b b 10b 30b 25 10 b . 2 2 2 5 Vậy GTNN T . 2 Bài 11. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên dương của tham số m để bất phương trình sau x6 3x4 m3 x3 4x2 mx 2 0 đúng với mọi x 1;3. Tổng tất cả các phần tử thuộc S bằng: A. 3 B. 2 C. 1 D. 4 Lời giải Ta có x6 3x4 m3x3 4x2 mx 2 0 x6 3x4 4x2 2 m3x3 mx 3 x6 3x4 3x2 1 x2 1 mx mx 3 3 x2 1 x2 1 mx mx Xét hàm số f t t3 t TXĐ: D Đạo hàm f t 3t 2 1 0 t . Do đó f t là hàm đồng biến trên . Suy ra f x2 1 f mx x2 1 mx . x2 1 Vì x 1;3 nên x2 1 mx m g x x x2 1 Xét hàm số g x trên 1;3. x x2 1 x 1 1;3 Đạo hàm g x 2 0 x x 11;3 Bảng biến thiên x 1 3 g x 0 g x 10 3 2 Vì m g x nên m min g x 2 . Do đó S 1; 2 . 1;3 Vậy tổng các phần tử của S bằng 3. §Þa chØ: Sè nhµ 37, ng¸ch 66/36, ngâ 66 ®ường Hå Tïng MËu, Trang 18 quËn CÇu GiÊy, Tp Hµ Néi. §iÖn tho¹i liªn hÖ: 0988.258.350. Facebook: SH Academy ThÇy c« cÇn mua file Word xin liªn hÖ qua sè ®iÖn thoai 0988.258.350
  19. Trung Tâm Luyện Thi SH Academy Thạc sĩ Phạm Văn Hoan Bài 12. Tìm m để phương trình x6 6x4 m3 x3 15 3m2 x2 6mx 10 0 có đúng hai nghiệm 1 phân biệt thuộc ;2 . 2 11 5 9 7 A. m 4. B. 2 m . C. 0 m . D. m 3. 5 2 4 5 Lời giải Ta có x6 6x4 m3 x3 15 3m2 x2 6mx 10 0 3 3 x2 2 3 x2 2 mx 1 3 mx 1 f x2 2 f mx 1 (*) Xét hàm số f t t3 3t . TXĐ: D = ¡ Đạo hàm f t 3t 2 3 0,t ¡ Hàm số f t đồng biến trên ¡ . x2 1 Nên (*) x2 2 mx 1 x2 mx 1 0 m (vì x 0 không là nghiệm của phương x trình(*)) x2 1 1 Xét hàm số g x trên ;2 . x 2 1 x 1 ;2 1 2 Ta có g x 1 g x 0 x2 1 x 1 ;2 2 Bảng biến thiên x 1 1 2 2 g x 0 g x 5 5 2 2 2 1 Dựa vào bảng biến thiên suy ra phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt thuộc ;2 khi 2 5 và chỉ khi 2 m . 2 §Þa chØ: Sè nhµ 37, ng¸ch 66/36, ngâ 66 ®ường Hå Tïng MËu, Trang 19 quËn CÇu GiÊy, Tp Hµ Néi. §iÖn tho¹i liªn hÖ: 0988.258.350. Facebook: SH Academy ThÇy c« cÇn mua file Word xin liªn hÖ qua sè ®iÖn thoai 0988.258.350
  20. Trung Tâm Luyện Thi SH Academy Thạc sĩ Phạm Văn Hoan Bài 13. Cho hàm số f (x) 8x3 36x2 53x 25 m 3 3x 5 m với m là tham số. Có bao nhiêu số nguyên m thuộc đoạn  2019;2019 sao cho f (x) 0 x 2;4. A. 2020. B. 4038. C. 2021. D. 2022. Lời giải Ta có f (x) 0 8x3 36x2 53x 25 m 3 3x 5 m 0 8x3 36x2 56x 30 3x 5 m 3 3x 5 m 0 8x3 36x2 56x 30 3x 5 m 3 3x 5 m 8x3 3.4x2.3 54x 27 2x 3 3x 5 m 3 3x 5 m 3 3 2x 3 2x 3 3 3x 5 m 3 3x 5 m Xét hàm đặc trưng f t t3 t TXĐ: D Đạo hàm f t 3t 2 1 0 t Do đó f t là hàm đồng biến trên . Suy ra f 2x 3 f 3 3x 5 m 2x 3 3 3x 5 m 8x3 36x2 54x 27 3x 5 m 8x3 36x2 51x 22 m Xét hàm số g x 8x3 36x2 51x 22 trên đoạn 2;4 6 2 x 2;4 2 4 Đạo hàm g x 24x 72x 51 0 6 2 x 2;4 4 Bảng biến thiên x 2 4 g x g x 118 0 Từ BBT ta thấy m g x m min g x 0 . 2; 4 Từ 2019 đến 0 có 2020 giá trị nguyên. §Þa chØ: Sè nhµ 37, ng¸ch 66/36, ngâ 66 ®ường Hå Tïng MËu, Trang 20 quËn CÇu GiÊy, Tp Hµ Néi. §iÖn tho¹i liªn hÖ: 0988.258.350. Facebook: SH Academy ThÇy c« cÇn mua file Word xin liªn hÖ qua sè ®iÖn thoai 0988.258.350
  21. Trung Tâm Luyện Thi SH Academy Thạc sĩ Phạm Văn Hoan Bài 14. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình sau có nghiệm thực? 3 2sin x 2 m 3sin x sin3 x 6cos2 x 9cos x m 6 2sin x 2 2sin x 1 1. A. 22 . B. 20 . C. 24 . D. 21. Lời giải 3 Ta có 2sin x 2 m 3sin x sin3 x 6cos2 x 9cos x m 6 2sin x 2 2sin x 1 1 3 sin x 2 m 3sin x 3 sin x 2 sin x 1 2 sin x 2 m 3sin x 8 2 2 1 3 sin x 2 m 3sin x 3 sin x 2 2 sin x 2 m 3sin x 2 1 3 3 2 m 3sin x m 3sin x 22 sin x 2 sin x Xét hàm f t 2t t3 trên . Đạo hàm f t 2t.ln 2 3t 2 0,t Do đó hàm số liên tục và đồng biến trên . f m 3sin x f 2 sin x m 3sin x 2 sin x * Đặt t sin x , t  1;1. Khi đó * trở thành: m t3 6t 2 9t 8,t  1;1 . Xét hàm g u u3 6u2 9u 8,u  1;1 u 3 1;1 Ta có: g u 3u2 12u 9 , g u 0 . u 1  1;1 Bảng biến thiên u 1 1 g u g u 24 4 Vậy m 4;24 , có 21 giá trị nguyên của m thảo mãn điều kiện bài toán. Bài 15. Tìm tập hợp S tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 2 x 1 2 x m 2 .log 2 x 2x 3 4 .log 2 2 x m 2 có đúng ba nghiệm phân biệt là 1 3 1 3 1 3 1 3 A. S ;1;  B. S ; 1;  C. S ;1;  D. S ;1;  2 2 2 2 2 2 2 2 Lời giải 2 x 1 2 x m Ta có 2 .log 2 x 2x 3 4 .log 2 2 x m 2 2 2 2 2 x 1 .log x 1 2 22 x m.log 2 x m 2 f x 1 f 2 x m 2 2 t Xét hàm số f t 2 .log2 t 2 trên nửa khoảng [0;+¥) §Þa chØ: Sè nhµ 37, ng¸ch 66/36, ngâ 66 ®ường Hå Tïng MËu, Trang 21 quËn CÇu GiÊy, Tp Hµ Néi. §iÖn tho¹i liªn hÖ: 0988.258.350. Facebook: SH Academy ThÇy c« cÇn mua file Word xin liªn hÖ qua sè ®iÖn thoai 0988.258.350
  22. Trung Tâm Luyện Thi SH Academy Thạc sĩ Phạm Văn Hoan 1 Đạo hàm f t 2t.ln 2.log t 2 2t. 0 , t 0 . 2 t 2 ln 2 2 f t đồng biến trên 0; x 1 2 x m (1) Khi x m , (1) x2 4x 1 2m 0 (2) Khi x m , (1) x2 2m 1 (3) TH1: (2) có nghiệm kép x0 , (3) có hai nghiệm phân biệt khác x0 . 3 3 3 Khi đó m thì (2) có nghiệm x 2 , (3) có hai nghiệm phân biệt x 2 . 2 2 2 TH2: (3) có nghiệm kép x0 , (2) có hai nghiệm phân biệt khác x0 . 1 1 1 Khi đó m thì (3) có nghiệm x 0 , (2) có hai nghiệm x 2 2 . 2 2 2 TH3: (2) và (3) có chung một nghiệm x0 , khi đó x0 m m 1, thử lại m 1 thỏa yêu cầu bài toán. 1 3 Vậy S ;1;  . 2 2 2 x m 2 x 2 x Bài 16. Cho phương trình 4 log 2 x 2x 3 2 log 1 2 x m 2 0 . Tìm tất cả các 2 giá trị thực của tham số m để phương trình trên có đúng hai nghiệm thực phân biệt. 1 3 1 A. m hoặc m . B. m . 2 2 2 3 3 1 C. m . D. m hoặc m . 2 2 2 Lời giải 2 x m 2 x 2 x Ta có 4 log 2 x 2x 3 2 log 1 2 x m 2 0 2 1 2 x m 2 x2 2x 2 log2 x 2x 3 2 log2 2 x m 2 2 log2 x 2x 3 log 2 x m 2 2 . 3 x2 2x 3 3 2 2 x m 2 2 log u 2u log u Xét hàm số f u 2 2 với u 2 . 23 u 8 u 1 u 2 Đạo hàm f u 2 .log2 u.ln 2 0, u 2 . 8 u.ln 2 Suy ra hàm số f u đồng biến trên 2; nên 2 f x2 2x 3 f 2 x m 2 x 1 2 x m x2 4x 1 2m 0 1 2 x 1 2m 0 2 Phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt. §Þa chØ: Sè nhµ 37, ng¸ch 66/36, ngâ 66 ®ường Hå Tïng MËu, Trang 22 quËn CÇu GiÊy, Tp Hµ Néi. §iÖn tho¹i liªn hÖ: 0988.258.350. Facebook: SH Academy ThÇy c« cÇn mua file Word xin liªn hÖ qua sè ®iÖn thoai 0988.258.350
  23. Trung Tâm Luyện Thi SH Academy Thạc sĩ Phạm Văn Hoan TH1: Phương trình 1 có hai nghiệm phân biệt, phương trình 2 vô nghiệm, suy ra 3 2m 0 1 1 m . Suy ra m thỏa 1* . 2m 1 0 2 2 TH2: Phương trình 2 có hai nghiệm phân biệt, phương trình 1 vô nghiệm, suy ra 3 2m 0 3 3 m . Suy ra m thỏa 2* . 2m 1 0 2 2 3 TH3: Phương trình 1 có nghiệm kép suy ra m , khi đó nghiệm của phương trình 1 là x 2 , 2 3 nghiệm của phương trình 2 là x 2 , suy ra phương trình đã cho có 3 nghiệm. Suy ra m 2 không thỏa 3* . 1 TH4: Phương trình 2 có nghiệm kép suy ra m , khi đó nghiệm của phương trình 2 là x 0 , 2 1 nghiệm của phương trình 1 là x 2 2 , suy ra phương trình đã cho có 3 nghiệm. Suy ra m 2 không thỏa 4* . TH5: Phương trình 1 có hai nghiệm phân biệt, phương trình 2 có hai nghiệm phân biệt nhưng hai phương trình này có nghiệm giống nhau. 3 2m 0 1 3 Khi đó m . 2m 1 0 2 2 Gọi a , b b a là hai nghiệm của phương trình 1 , theo định lí Vi-ét ta có a b 4 3 . a.b 2m 1 Vì a , b cũng là nghiệm của phương trình 2 nên a b 0 4 a.b 2m 1 Từ 3 và 4 ta suy ra m  5* . 1 3 Từ 1* , 2* , 3* , 4* và 5* suy ra m hoặc m thỏa mãn ycbt. 2 2 2tan 2 x m Bài 17. Tìm m để phương trình tan 4 x tan 2 x 3tan x. 3 m có hai nghiệm phân biệt tan x thuộc nửa khoảng 0; ? 3 A. 1 m 3 . B. 1 m 0 . C. 1 m 0 . D. 1 m 3 . Lời giải Đặt t tan x t 0; 3 . Bài toán trở thành: §Þa chØ: Sè nhµ 37, ng¸ch 66/36, ngâ 66 ®ường Hå Tïng MËu, Trang 23 quËn CÇu GiÊy, Tp Hµ Néi. §iÖn tho¹i liªn hÖ: 0988.258.350. Facebook: SH Academy ThÇy c« cÇn mua file Word xin liªn hÖ qua sè ®iÖn thoai 0988.258.350
  24. Trung Tâm Luyện Thi SH Academy Thạc sĩ Phạm Văn Hoan 2t 2 m Tìm m để phương trình t 4 t 2 3t.3 m có hai nghiệm phân biệt thuộc nửa khoảng 0; 3 t 2t 2 m Ta có t 4 t 2 3t.3 m t m t 4 t 2 3t.3 2t m t Vì t 0 nên chia cả hai vế cho t ta được: 3 m m m m 3 3 3 3 3 t t 3 2t t 3t 2t 3 2t t t t t Xét hàm đặc trưng f u u3 3u TXĐ: D Đạo hàm f u 3u2 3 0 u Do đó f u là hàm đồng biến trên . m m m 3 3 3 4 2 Suy ra f t f 2t t 2t t 2t t 2t m t t t 4 2 Xét hàm số g t t 2t trên nửa khoảng 0; 3 t 0 0; 3 3 Đạo hàm g t 4t 4t 0 t 1 0; 3  t 1 0; 3 Bảng biến thiên t 0 1 3 g t 0 0 g t 0 3 1 Từ BBT, phương trình g t m có hai nghiệm phân biệt khi 1 m 0 . Bài 18. Cho phương trình sin x 2 cos 2x 2 2cos3 x m 1 2cos3 x m 2 3 2cos3 x m 2 . 2 Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình trên có đúng 1 nghiệm x 0; ? 3 A. 3. B. 4 . C. 2 . D. 1. Lời giải §Þa chØ: Sè nhµ 37, ng¸ch 66/36, ngâ 66 ®ường Hå Tïng MËu, Trang 24 quËn CÇu GiÊy, Tp Hµ Néi. §iÖn tho¹i liªn hÖ: 0988.258.350. Facebook: SH Academy ThÇy c« cÇn mua file Word xin liªn hÖ qua sè ®iÖn thoai 0988.258.350
  25. Trung Tâm Luyện Thi SH Academy Thạc sĩ Phạm Văn Hoan ĐKXĐ: 2cos3 x m 2 0 m 2cos3 x 2 2 1 1 3 3 1 Vì x 0; nên cos x 1 cos x 1 2 2cos x 3 2 8 4 7 4 2cos3 x 2 4 7 Mà m 2cos3 x 2 nên m 4 Ta có sin x 2 cos2x 2 2cos3 x m 1 2cos3 x m 2 3 2cos3 x m 2 2 3 3 3 sin x 2 1 2sin x 2 2cos x m 2 1 2cos x m 2 3 2cos x m 2 3 2sin3 x sin x 2 2cos3 x m 2 2cos3 x m 2 Xét hàm đặc trưng f t 2t3 t TXĐ: D Đạo hàm f t 6t 2 1 0 t . Vậy hàm số f t đồng biến trên Suy ra f sin x f 2cos3 x m 2 sin x 2cos3 x m 2 2 Vì x 0; nên 0 sin x 1, bình phương hai vế ta được: 3 sin2 x 2cos3 x m 2 1 cos2 x 2cos3 x m 2 2cos3 x cos2 x 1 m 1 3 2 Đặt u cos x u ;1 . Phương trình trở thành 2u u 1 m . 2 3 2 1 Xét hàm số g u 2u u 1 trên ;1 . 2 1 u 0 ;1 2 Đạo hàm g u 6u 2 2u 0 1 1 u ;1 3 2 Bảng biến thiên u 1 1 0 1 2 3 g u 0 0 28 g u 4 27 1 1 §Þa chØ: Sè nhµ 37, ng¸ch 66/36, ngâ 66 ®ường Hå Tïng MËu, Trang 25 quËn CÇu GiÊy, Tp Hµ Néi. §iÖn tho¹i liªn hÖ: 0988.258.350. Facebook: SH Academy ThÇy c« cÇn mua file Word xin liªn hÖ qua sè ®iÖn thoai 0988.258.350
  26. Trung Tâm Luyện Thi SH Academy Thạc sĩ Phạm Văn Hoan m 1 m 1 Từ BBT, phương trình g u m có một nghiệm khi: 28 28 m 4 4 m 27 27 7 7 28 Kết hợp với điều kiện m , ta được: m 1 hoặc m . Vậy m 1. 4 4 27 BÀI TẬP TƯƠNG TỰ DÀNH CHO BẠN ĐỌC TỰ GIẢI Bài 19. Cho phương trình x3 +(m-12) 4x-m = 4x ( 4x-m -3) . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình đã cho có hai nghiệm thực phân biệt ? A. 3 B. 4 C. 2 D. 1 Bài 20. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để bất phương trình sau có nghiệm với mọi x 1;2? 1 m3 x3 3x2 4 m x 2 0 A. 3 B. 2 C. 1 D. 4 Bài 21. Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên của tham số m  2019;2019 để bất phương trình 1 m3 x3 3 2 m3 x2 13 m 3m3 x 10 m m3 0 đúng với mọi x 1;3. Số phần tử của tập S là A. 4038. B. 2021. C. 2022. D. 2020. Bài 22. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để phương trình 3 m 33 m 3sin x sin x có nghiệm thực ? A. 1 B. 2 C. 4 D. 3 Bài 23. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số thực m nhỏ hơn 10 sao cho phương trình m m ex ex có nghiệm thực? A. 9. B. 8. C. 10. D. 7. Bài 24. Tìm các giá trị của m để phương trình ln m ln m x x có nhiều nghiệm nhất . A. m 0. B. m 1. C. m e. D. m 1. Bài 25. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình cos2 x cos x m m có nghiệm ? A. 3 B. 5 C. 2 D. 4 x Bài 26. Cho phương trình 3 m log3 x m với m là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m 15;15 để phương trình đã cho có nghiệm. A. 16. B. 9. C. 14. D. 15. x Bài 27. Cho phương trình 5 m log5 x m với m là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m 20;20 để phương trình đã cho có nghiệm? A. 20. B. 19. C. 9. D. 21. §Þa chØ: Sè nhµ 37, ng¸ch 66/36, ngâ 66 ®ường Hå Tïng MËu, Trang 26 quËn CÇu GiÊy, Tp Hµ Néi. §iÖn tho¹i liªn hÖ: 0988.258.350. Facebook: SH Academy ThÇy c« cÇn mua file Word xin liªn hÖ qua sè ®iÖn thoai 0988.258.350
  27. Trung Tâm Luyện Thi SH Academy Thạc sĩ Phạm Văn Hoan 3 Bài 28. Phương trình 2x 2 m 3x x3 6x2 9x m 2x 2 2x 1 1 có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi m (a;b) đặt T b2 a2 thì: A. T 36 . B. T 48. C. T 64 . D. T 72 . VẤN ĐỀ 3. TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT 2 x2 y 1 2x y Bài 1. Xét các số thực dương x, y thoả mãn 2018 2 . Giá trị nhỏ nhất Pmin của biểu x 1 thức P 2y 3x bằng 3 5 7 1 A. P B. P C. P D. P min 4 min 6 min 8 min 2 Lời giải 2 2 2 x y 1 2x y 2 x y 1 2x y Ta có 2018 log 2018 log 2 2018 2018 2 x 1 x 1 2 2 2 x y 1 log2018 2x y log2018 x 1 2 2 log2018 x 2x 1 2x 4x 2 4x 2y log2018 2x y 2 2 log2018 x 2x 1 2 x 2x 1 log2018 2x y 2 2x y Xét hàm: f t log2018 t 2t ,t 0 1 Đạo hàm f t 2 0 ,t 0. t ln 2018 Do đó hàm f t đồng biến trên khoảng 0; . Mà * f x2 2x 1 f 2x y x2 2x 1 2x y y x2 1 2 2 3 7 7 Khi đó: P 2y 3x 2x 3x 2 2 x 4 8 8 7 3 Vậy P khi x . min 8 4 Bài 2. Xét các số thực x , y x 0 thỏa mãn 1 2018x 3 y 2018xy 1 x 1 2018 xy 1 y x 3 2018x 3 y Gọi m là giá trị nhỏ nhất của biểu thức T x 2y . Mệnh đề nào sau đây đúng ? A. m 0;1 . B. m 1;2 . C. m 2;3 . D. m 1;0 . Lời giải 1 Ta có 2018x 3 y 2018xy 1 x 1 2018 xy 1 y x 3 2018x 3 y 2018x 3y 2018 x 3y x 3 y 2018 xy 1 2018xy 1 xy 1 f x 3y f xy 1 1 §Þa chØ: Sè nhµ 37, ng¸ch 66/36, ngâ 66 ®ường Hå Tïng MËu, Trang 27 quËn CÇu GiÊy, Tp Hµ Néi. §iÖn tho¹i liªn hÖ: 0988.258.350. Facebook: SH Academy ThÇy c« cÇn mua file Word xin liªn hÖ qua sè ®iÖn thoai 0988.258.350
  28. Trung Tâm Luyện Thi SH Academy Thạc sĩ Phạm Văn Hoan Xét hàm số f t 2018t 2018 t t , với t Đạo hàm f t 2018t ln 2018 2018 t ln 2018 1 0 , t . Do đó f t đồng biến trên nên 1 x 3y xy 1 x 1 2 x 1 y x 3 x 1 y T x . x 3 x 3 2 x 1 Xét hàm số f x x , với x 0; có đạo hàm x 3 x2 6x 5 4 f x 1 2 2 0 , x 0; . x 3 x 3 2 Do đó f x đồng biến trên 0; f x f 0 . 3 2 Dấu “ ” xảy ra x 0 m . 3 1 Bài 3. Cho các số thực x , y với x 0 thỏa mãn 5x 3 y 5xy 1 x y 1 1 5 xy 1 3y . Gọi 5x 3 y m là giá trị nhỏ nhất của biểu thức T x 2y 1. Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. m 0;1 . B. m 1;2 . C. m 2;3 . D. m 1;0 . Lời giải 1 Ta có: 5x 3 y 5xy 1 x y 1 1 5 xy 1 3y 5x 3 y 5x 3y 5 x 3y x 3 y 5 xy 1 5xy 1 xy 1 . Xét hàm số f t 5t 5 t t có f t 5t ln5 5 t ln5 1 0 , t . Do đó hàm số f t đồng biến trên f x 3y f xy 1 x 3y xy 1 x 1 y 3 x x 1 y (do x 0 nên x 3 0 ) 3 x 2x 2 x2 2x 1 x 2y 1 x 1 T . x 3 x 3 2 2 x 2x 1 x 6x 5 Xét hàm số g x với x 0 có g x 2 0 , x 0 . x 3 x 3 1 1 1 Do đó: g x g 0 , x 0 hay x 2y 1 , x 0 . Vậy m 0;1 . 3 3 3 x2 y2 2 1 Bài 4. Cho x , y là các số thực thỏa mãn điều kiện: 3 .log2 x y 1 log2 1 xy . Tìm 2 giá trị lớn nhất của biểu thức M 2 x3 y3 3xy . §Þa chØ: Sè nhµ 37, ng¸ch 66/36, ngâ 66 ®ường Hå Tïng MËu, Trang 28 quËn CÇu GiÊy, Tp Hµ Néi. §iÖn tho¹i liªn hÖ: 0988.258.350. Facebook: SH Academy ThÇy c« cÇn mua file Word xin liªn hÖ qua sè ®iÖn thoai 0988.258.350
  29. Trung Tâm Luyện Thi SH Academy Thạc sĩ Phạm Văn Hoan 17 13 A. 3. B. 7 . C. . D. . 2 2 Lời giải x y Điều kiện: . xy 1 2 1 Biến đổi điều kiện thành 3 x y .32 xy 1 .log x y log 2 1 xy 2 2 2 x y 2 2 2 1 xy 3 .log2 x y 3 .log2 2 1 xy * . 3t Xét hàm số f t 3t.log t với t 0. Ta có f t 3t ln 3.log t 0 với mọi t 0. 2 2 t ln 2 Suy ra hàm số f t luôn đồng biến và liên tục trên khoảng 0; . 2 2 2 x y 2 Từ * ta có x y 2 1 xy x2 y2 2 x y 2 2xy xy . 2 2 Đặt u x y , vì x y 2 x2 y2 4 nên 2 u 2 . 2 2 2 2 u 2 u 2 Ta có M 2 x y x y xy 3xy 2 x y 2 xy 3xy 2u 2 3 . 2 2 2 2 2u 6 u 3 u 2 3 Xét hàm số g u u 3 u 2 6u 3 với u 2 . 2 2 2 u 1 Có đạo hàm g u 3u 3u 6 ; g u 0 . u 2 13 Ta có g 2 7 ; g 1 ; g 2 1. 2 x y 1 13 x y 1 Vậy max M max g u khi u 1 hay 2 2 1  2;2 2 x y 2 xy 2 1 3 1 3 x x 2 2 Suy ra hoặc . 1 3 1 3 y y 2 2 Bài 5. Cho hai số thực x , y thỏa mãn: 2y3 7 y 2x 1 x 3 1 x 3 2y2 1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P x 2y . A. P 10 B. P 4 . C. P 6 . D. P 8. Lời giải ĐKXĐ: x 1 Ta có 2y3 7 y 2x 1 x 3 1 x 3 2y2 1 . 2 y3 3y2 3y 1 y 1 2 1 x 1 x 3 1 x 2 1 x . §Þa chØ: Sè nhµ 37, ng¸ch 66/36, ngâ 66 ®ường Hå Tïng MËu, Trang 29 quËn CÇu GiÊy, Tp Hµ Néi. §iÖn tho¹i liªn hÖ: 0988.258.350. Facebook: SH Academy ThÇy c« cÇn mua file Word xin liªn hÖ qua sè ®iÖn thoai 0988.258.350
  30. Trung Tâm Luyện Thi SH Academy Thạc sĩ Phạm Văn Hoan 3 3 2 y 1 y 1 2 1 x 1 x 1 . Xét hàm số f t 2t3 t trên 0; . Ta có: f t 6t 2 1 0 với t 0 f t luôn đồng biến trên 0; . Vậy 1 y 1 1 x y 1 1 x . P x 2y x 2 2 1 x với x 1 . Xét hàm số g x 2 x 2 1 x trên ;1 . 1 1 x 1 Ta có: g x 1 . g x 0 x 0. 1 x 1 x Bảng biến thiên x 0 1 g x 0 g x 4 3 Từ bảng biến thiên của hàm số g x suy ra giá trị lớn nhất của P là: max g x 4 . ;1 Bài 6. Cho hai số thực x, y thỏa mãn 9x3 2 y 3xy 5 x 3xy 5 0 . Tìm giá trị nhỏ nhất của P x3 y3 6xy 3 3x2 1 x y 2 296 15 18 36 296 15 36 4 6 4 6 18 A. . B. . C. . D. . 9 9 9 9 Lời giải Ta có 9x3 2 y 3xy 5 x 3xy 5 0 27x3 6x 3xy 5 3xy 5 2 3xy 5 . Xét hàm f t t3 2t với t 0; Đạo hàm f t 3t 2 2 0 t 0; nên hàm số liên tục và đồng biến trên 0; . Khi đó ta có 3x 3xy 5 x 0 và 9x2 3xy 5 . +) Với x 0 thì 0 5 l . +) Với x 0 thì P x3 y3 6xy 3 3x2 1 x y 2 x3 y3 6xy 9x2 3 x y 2 x3 y3 6xy 3xy 2 x y 2 §Þa chØ: Sè nhµ 37, ng¸ch 66/36, ngâ 66 ®ường Hå Tïng MËu, Trang 30 quËn CÇu GiÊy, Tp Hµ Néi. §iÖn tho¹i liªn hÖ: 0988.258.350. Facebook: SH Academy ThÇy c« cÇn mua file Word xin liªn hÖ qua sè ®iÖn thoai 0988.258.350
  31. Trung Tâm Luyện Thi SH Academy Thạc sĩ Phạm Văn Hoan x3 y3 3x2 y 3xy2 2 x y 4 3 x y 2 x y 4 9x2 5 5 5 4 5 4 5 Mà x y x 4x 2 4x. . Đặt t x y thì t . 3x 3x 3x 3 3 4 5 4 5 Xét f t t3 2t 4 với t . Khi đó f t 3t 2 2 0 với t . 3 3 4 5 36 296 15 Do đó f t f 3 9 36 296 15 36 296 15 Suy ra P . Vậy GTNN của P là . 9 9 1 ab Bài 7. Xét các số thực dương a ,b thỏa mãn log 2ab a b 3 . Tìm giá trị nhỏ nhất P 2 a b min của P a 2b . 2 10 3 3 10 7 2 10 1 2 10 5 A. P . B. P . C. P . D. P . min 2 min 2 min 2 min 2 Lời giải 1 ab ĐKXĐ: 0 1 ab 0 . a b 1 ab Ta có log 2ab a b 3 2 a b log2 1 ab log2 a b 2 ab 1 a b 1 log2 1 ab 1 2 1 ab log2 a b a b log2 2 2ab 2 2ab log2 a b a b 1 . Xét hàm số: f t log2 t t , t 0 . 1 Đạo hàm f t 1 0 , với mọi t 0. t ln 2 Suy ra hàm số f t đồng biến trên khoảng 0; . 2 b Do đó: 1 f 2 2ab f a b 2 2ab a b a . 1 2b Theo đề bài ta có: a , b 0, suy ra b 2. 2 b Ta có P a 2b 2b g b , với b 0;2 . 1 2b 10 2 5 Đạo hàm: g b 2 2 ; g b 0 b 0;2 . 1 2b 4 10 2 2 10 3 Ta có: lim g x 2; g ; lim g x 4. x 0 4 2 x 2 §Þa chØ: Sè nhµ 37, ng¸ch 66/36, ngâ 66 ®ường Hå Tïng MËu, Trang 31 quËn CÇu GiÊy, Tp Hµ Néi. §iÖn tho¹i liªn hÖ: 0988.258.350. Facebook: SH Academy ThÇy c« cÇn mua file Word xin liªn hÖ qua sè ®iÖn thoai 0988.258.350
  32. Trung Tâm Luyện Thi SH Academy Thạc sĩ Phạm Văn Hoan 2 10 3 Vậy P . min 2 §Þa chØ: Sè nhµ 37, ng¸ch 66/36, ngâ 66 ®ường Hå Tïng MËu, Trang 32 quËn CÇu GiÊy, Tp Hµ Néi. §iÖn tho¹i liªn hÖ: 0988.258.350. Facebook: SH Academy ThÇy c« cÇn mua file Word xin liªn hÖ qua sè ®iÖn thoai 0988.258.350
  33. Trung Tâm Luyện Thi SH Academy Thạc sĩ Phạm Văn Hoan x 4 y Bài 8. Cho x , y là các số thực dương thỏa mãn log2 2x 4 y 1 . Giá trị nhỏ nhất của x y 2x4 2x2 y2 6 x2 biểu thức P 3 bằng x y 9 16 25 A. 4 B. C. D. 4 9 9 Lời giải x 4y Điều kiện : 0 x y x 4y Ta có log2 2x 4y 1 x y x 4y log2 1 2 x 4 y x y x 4y log2 2 x 4 y 2x 2 y x 4 y log2 2 2 x 2 y 2 x 4 y 2x 2y log2 x 4y 2 x 4y log2 2x 2y 2 2x 2y Xét hàm số f t log2 t 2t với t 0; 1 Đạo hàm f t 2 0 với t 0; nên hàm số f t đồng biến trên t 0; . t ln 2 Nên x 4 y 2x 2 y x 2 y . 2x4 2x2 y2 6x2 8 8 8 8 16 Suy ra P 3 y 2 y. . x y 9 9y 9 9 y 9 16 Vậy P min 9 x y Bài 9. Cho các số thực x, y thỏa mãn 0 x, y 1 và log3 x 1 y 1 2 0 . Tìm giá trị 1 xy nhỏ nhất của P với P 2x y . 1 A. B. 2 . C. 1 D. 0 2 Lời giải §Þa chØ: Sè nhµ 37, ng¸ch 66/36, ngâ 66 ®ường Hå Tïng MËu, Trang 33 quËn CÇu GiÊy, Tp Hµ Néi. §iÖn tho¹i liªn hÖ: 0988.258.350. Facebook: SH Academy ThÇy c« cÇn mua file Word xin liªn hÖ qua sè ®iÖn thoai 0988.258.350
  34. Trung Tâm Luyện Thi SH Academy Thạc sĩ Phạm Văn Hoan 0 x, y 1 0 x, y 1 Điều kiện x y x y 0 . 0 1 xy 1 xy 0 x y Khi đó log3 x 1 y 1 2 0 1 xy log3 x y log3 1 xy x y xy 1 0 log3 x y x y log3 1 xy 1 xy (*) 1 Xét hàm số f (t) log t t với t 0, ta thấy f (t) 1 0,t 0 nên hàm số f (t) 3 t ln3 đồng biến trên khoảng 0; . Suy ra (*) x y 1 xy . Suy ra P 2x y x x y x 1 xy 1 x(1 y) 1. Đẳng thức xảy ra khi x 0 , y 1 (thỏa các điều kiện của đề bài). Vậy, PMin 1. x y Bài 10. Xét các số thực dương x , y thỏa mãn log x x 3 y y 3 xy . Tìm 3 x2 y2 xy 2 5x 4y 4 giá trị P của biểu thức P . max x y 3 A. Pmax 0 B. Pmax 1 C. Pmax 2 D. Pmax 3 Lời giải Ta có: x y log x x 3 y y 3 xy 3 x2 y2 xy 2 3 x y log log 3 x2 y2 xy 3 x y 3 x2 y2 xy 2 3 2 2 2 2 3 x y log 3 3 x y x y xy 2 log 3 x y xy 2 * . Xét hàm số f t t log 3 t , t 0. 1 Đạo hàm f t 1 0, t 0 f t là hàm số đồng biến trên khoảng 0; . ln 3.t 2 Do đó, * 3 x y x2 y2 xy 2 xy x y 3 x y 2 . Mặt khác, ta xét 2 2 2 2 S x2 y2 x y 2xy x y 2 x y 6 x y 4 5 x y 3 5 . Khi đó, ta có: 3x 2y 1 P P 3 x P 2 y 1 6P x y 6 §Þa chØ: Sè nhµ 37, ng¸ch 66/36, ngâ 66 ®ường Hå Tïng MËu, Trang 34 quËn CÇu GiÊy, Tp Hµ Néi. §iÖn tho¹i liªn hÖ: 0988.258.350. Facebook: SH Academy ThÇy c« cÇn mua file Word xin liªn hÖ qua sè ®iÖn thoai 0988.258.350
  35. Trung Tâm Luyện Thi SH Academy Thạc sĩ Phạm Văn Hoan 2 2 2 2 2 2 2 1 6P P 3 x P 2 y x y P 3 P 2 5 2P 10P 13 26P2 38P 64 0 0 P 1. x 2 Vậy Pmax 1 . y 1 x y Bài 11. Xét các số thực dương x, y thỏa mãn log x x 3 y y 3 xy . Tìm 3 x2 y2 xy 2 3x 2y 1 giá trị lớn nhất của P . x y 6 A. 2 B. 1 C. 3 D. 4 Lời giải Ta có: x y log x x 3 y y 3 xy 3 x2 y2 xy 2 2 2 2 2 log 3 x y 3 x y 2 log 3 x y xy 2 x y xy 2 2 2 2 2 log 3 x y 3 x y log 3 3 log 3 x y xy 2 x y xy 2 2 2 2 2 log 3 3 x y 3 x y log 3 x y xy 2 x y xy 2 * . Xét hàm số f t log 3 t t , với t 0. 1 Đạo hàm f t 1 0 , t 0 . t.ln 3 Vậy hàm số f t liên tục và đồng biến trên khoảng 0; . Do đó: f 3 x y f x2 y2 xy 2 3 x y x2 y2 xy 2 1 . 2 Từ 1 xy x y 3 x y 2 . 2 x y 1 Ta có x x xy xy x y 1 xy xy . 2 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x y 1. 2 x y 1 2 Do đó từ 1 , suy ra: x x y 3 x y 2 . 4 Đặt u x y , u 0 . 2 u 1 2 2u 1 u 3u 2 2 2 x y 1 x 3u 22u 3 Suy ra: P 4 g u . x y 6 u 6 4 u 6 3u 2 36u 135 Ta có: g u 2 0 u 3 (nhận). 4 u 6 §Þa chØ: Sè nhµ 37, ng¸ch 66/36, ngâ 66 ®ường Hå Tïng MËu, Trang 35 quËn CÇu GiÊy, Tp Hµ Néi. §iÖn tho¹i liªn hÖ: 0988.258.350. Facebook: SH Academy ThÇy c« cÇn mua file Word xin liªn hÖ qua sè ®iÖn thoai 0988.258.350
  36. Trung Tâm Luyện Thi SH Academy Thạc sĩ Phạm Văn Hoan Bảng biến thiên u 0 3 +¥ g¢(u) + 0 - g(u) 1 1 - -¥ 8 x y 1 x 2 Dựa vào BBT, ta có max P max g u g 3 1 khi và chỉ khi . 0; x y 3 y 1 BÀI TẬP TƯƠNG TỰ DÀNH CHO BẠN ĐỌC TỰ GIẢI 3 5xy Bài 12. Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn điều kiện 5x 2 y x 1 3 x 2 y y x 2 . 3xy 5 Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức T x y A. Tmin 3 2 3 . B. Tmin 2 3 2 . C. Tmin 1 5 . D. Tmin 5 3 2 . Bài 13. Cho hàm số y = f (x) có đồ thị (C), với x, y là các số thực dương thỏa mãn x - 2y log =12xy -3x + 6y +14 . Tiếp tuyến của (C) song song với đường thẳng 2 1+ xy 5x - 242y +1= 0 có phương trình là A. 5x - 242y -14 = 0. B. 5x - 242y + 5 = 0 . C. 5x - 242y +1= 0 . D. 5x - 242y -12 = 0. x2 +5y2 Bài 14. Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn log +1+ x2 -10xy +9y2 £ 0 . Gọi 2 x2 +10xy + y2 x2 xy 9y2 M , m lần lượt là giá trị lớn nhất ,giá trị nhỏ nhất của P .Tính T 10M m ? xy y2 A. 60 . B. 95 . C. 104 . D. 50 . x y z Bài 15. Cho các số thực x, y, z thỏa mãn log x x 2 y y 2 z z 2 . 16 2 2 2 2x 2y 2z 1 x y z Tổng giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức F bằng x y z 1 1 2 2 A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3 §Þa chØ: Sè nhµ 37, ng¸ch 66/36, ngâ 66 ®ường Hå Tïng MËu, Trang 36 quËn CÇu GiÊy, Tp Hµ Néi. §iÖn tho¹i liªn hÖ: 0988.258.350. Facebook: SH Academy ThÇy c« cÇn mua file Word xin liªn hÖ qua sè ®iÖn thoai 0988.258.350