›
›
›

Bài tập về Hàm số mũ và logarit trong đề thi THPT Quốc gia

docx 23 trang thaodu 6400
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bài tập về Hàm số mũ và logarit trong đề thi THPT Quốc gia", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docxbai_tap_ve_ham_so_mu_va_logarit_trong_de_thi_thpt_quoc_gia.docx

Nội dung text: Bài tập về Hàm số mũ và logarit trong đề thi THPT Quốc gia

  1. SƯU TẦM HÀM SỐ MU LOG (Tham khảo THPTQG 2019) Đặt a log 2 , khi đó log 27 bằng TRONG ĐỀ THI BỘ GIÁO DỤC Câu 5: 3 16 3a 3 4 4a 5 A. .B. .C. . D. . Câu 1: (THPT QG 2017 Mã đề 105) Rút gọn biểu thức Q b3 : 3 b với b 0 . 4 4a 3a 3 4 4 5 Lời giải A. Q b 3 B. Q b 3 C. Q b9 D. Q b2 3 3 1 3 Ta có: log16 27 log2 3 . . Lời giải 4 4 log3 2 4a 5 5 1 4 Q b3 : 3 b b3 : b3 b 3 Câu 6: (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) Với a là số thực dương tùy ý, ln 5a ln 3a bằng: Câu 2: (Đề thử nghiệm THPT QG 2017) Cho biểu thức P 4 x.3 x2. x3 , với ln 5a 5 ln 5 A. B. C. ln 2a ln D. x 0. Mệnh đề nào dưới đây đúng? ln 3a 3 ln 3 1 13 1 2 Lời giải 2 24 4 3 A. P x B. P x C. P x D. P x 5 Lời giải ln 5a ln 3a ln . 3 Ta có, với x 0: Câu 7: (Mã đề 103 BGD&ĐT NĂM 2018) Với a là số thực dương tùy ý, 3 7 7 13 13 4 4 4 3 2 3 3 2 3 4 4 ln 7a ln 3a P x. x . x x. x .x 2 x. x 2 x.x 6 x 6 x 24 . bằng Câu 3: (Đề tham khảo lần 2 2017) Tính giá trị của biểu thức ln 7a ln 7 7 A. B. C. ln D. ln 4a 2017 2016 ln 3a ln 3 3 P 7 4 3 4 3 7 Lời giải A. P 1 B. P 7 4 3 7a 7 2016 ln 7a ln 3a ln ln . C. P 7 4 3 D. P 7 4 3 3a 3 Lời giải Câu 8: (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) Với a là số thực dương tùy ý, 2016 3 2017 2016 log bằng: P 7 4 3 4 3 7 7 4 3 . 7 4 3 4 3 7 3 a 2016 1 7 4 3 1 7 4 3. A. 1 log3 a B. C.3 D.lo g3 a 1 log3 a log3 a Câu 4: (Tham khảo THPTQG 2019) Với a và b là hai số thực dương tùy ý, Lời giải log ab2 bằng 3 Ta có log3 log3 3 log3 a 1 log3 a . 1 a A. .2Bl.o g a logb log a 2logb .C. .2 loD.g a . logb log a logb 2 Câu 9: (THPT QUỐC GIA 2018 - MÃ ĐỀ 102) Với a là số thực dương tùy ý, Lời giải log3 3a bằng: Ta có log ab2 log a logb2 log a 2log b = log a 2logb A. .3B.lo .gC3. a 3 log3 a 1 log3 a . D. .1 log3 a
  2. Lời giải Lời giải 1 log a 3 Theo tính chất của lôgarit: a 0,b 0:ln ab lna lnb Câu 10: (Tham khảo 2018) Với a là số thực dương bất kì, mệnh đề nào dưới đây đúng? log b 2 log c 3 Câu 15: (THPT QG 2017 Mã đề 110) Cho a và a . Tính 1 1 A. log 3a 3loga B. log a3 log a C. log a3 3log a D. log 3a log a P log b2c3 . 3 3 a Lời giải A. P 108 B. P 13 C. P 31 D. P 30 Lời giải Câu 11: (THPTQG năm 2017 Mã đề 104) Cho a là số thực dương tùy ý khác 1 . Ta có: 2 3 . Mệnh đề nào dưới đây đúng? loga b c 2loga b 3loga c 2.2 3.3 13 1 1 A. log a log 2. B. log a .C. log a . D. log a log 2. Câu 16: (Đề minh họa lần 1 2017) Cho các số thực dương a,b với a 1 . Khẳng 2 a 2 log a 2 log 2 2 a 2 a định nào sau đây là khẳng định đúng ? Lời giải 1 A. log 2 ab log b B. log 2 ab 2 2log b a a a a Theo tính chất của logarit. 2 1 1 1 Câu 12: (THPT QG 2017 Mã đề 110) Cho a là số thực dương khác 1 . Mệnh đề C. log 2 ab loga b D. log 2 ab loga b a 4 a 2 2 nào dưới đây đúng với mọi số dương x , y . Lời giải x log x x 1 1 1 1 A. log a B. log log x y log ab log a log b .log a .log b .log b a a a Ta có: a2 a2 a2 a a a y loga y y 2 2 2 2 x x Câu 17: (THPTQG năm 2017 Mã đề 104) Với mọi a , b , x là các số thực C. loga loga x loga y D. loga loga x loga y y y dương thoả mãn log 2 x 5log2 a 3log2 b . Mệnh đề nào dưới đây Lời giải đúng? Theo tính chất của logarit. A. x 3a 5b B. x 5a 3b C. x a5 b3 D. x a5b3 Lời giải (Đề tham khảo lần 2 2017) Cho a là số thực dương a 1 và log a .3 Câu 13: 3 a 5 3 5 3 5 3 Mệnh đề nào sau đây đúng? Có log 2 x 5log2 a 3log2 b log2 a log2 b log2 a b x a b . 1 A. P 3 B. P 1C. P 9 D. P 1 3 Câu 18: (THPT QG 2017 Mã đề 105) Cho log a 2 và log b . Tính Lời giải 3 2 2 I 2log log 3a log b2 . 3 3 3 3 1 log a log a 9 3 a 1 . 4 3 a 3 5 A. I 0 B. I 4 C. I D. I Câu 14: (Đề thử nghiệm THPT QG 2017) Với các số thực dương a, bbất kì. 2 4 Mệnh đề nào dưới đây đúng. Lời giải a ln a a A. ln ab lna lnb.B. ln ab lna.lnb. C. ln . D. ln ln b ln a. b ln b b
  3. 2 Lời giải I 2log log 3a log b 2log log 3 log a 2log 2 b 3 3 1 3 3 3 2 4 Ta có: 3 1 3 2a 3 3 2 . log2 log2 2a log2 b log2 2 log2 a log2 b 1 3log2 a log b 2 2 b Câu 19: (THPT QG 2017 Mã đề 105) Cho a là số thực dương khác .2 Tính Câu 23: Cho loga x 3,logb x 4 với a , b là các số thực lớn hơn 1. Tính a2 I log a . P log x. 4 ab 2 7 1 12 1 1 A. P B. P C. P 12 D. P A. I B. I 2 C. I D. I 2 12 12 7 2 2 Lời giải Lời giải 1 1 1 12 P logab x 2 log ab log a log b 1 1 7 a2 a x x x I log a log a 2 3 4 2 4 2 2 Câu 24: (Đề minh họa lần 1 2017) Đặt a log2 3,b log5 3. Hãy biểu diễn log6 45 Câu 20: Cho là số thực dương khác . Tính I log a. theo a và b . a 1 a 2 1 a 2ab 2a 2ab A. I B. I 0 C. I 2. D. I 2 A. log6 45 B. log6 45 2 ab ab Lời giải a 2ab 2a2 2ab C. log 45 D. log 45 Với a là số thực dương khác 1 ta được: 6 ab b 6 ab b I log a log 1 a 2log a 2 a a Lời giải a2 log 3 2a 2 a Câu 21: Với ,a b là các số thực dương tùy ý và a khác 1 , đặt log 32.5 2a 2 2log2 3 log2 5 2a log2 3.log3 5 log5 3 b a 2ab 3 6 log6 45 P loga b log 2 b . Mệnh đề nào dưới đây đúng? a log2 2.3 1 log2 3 1 a 1 a 1 a ab b A. P 9loga b B. P 27loga b C. P 15loga b D. P 6loga b CASIO: Sto\Gán A log2 3, B log5 3 bằng cách: Nhập log2 3 Lời giải \shift\Sto\A tương tự B 3 6 6 A 2AB P log b log 2 b 3 log b log b 6 log b . Thử từng đáp án A: log 45 1,34 ( Loại) a a a 2 a a AB 6 Câu 22: (Đề thử nghiệm THPT QG 2017) Với các số thực dương a, bbất kì. A 2AB Thử đáp án C: log6 45 0 ( chọn ) Mệnh đề nào dưới đây đúng? AB 2a3 2a3 1 Câu 25: (THPTQG năm 2017 Mã đề 104) Với các số thực dương x , y tùy ý, A. log 2 1 3log 2 a log 2 b .B. .log 2 1 log 2 a log 2 b b b 3 đặt log3 x , log3 y  . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 2a3 2a3 1 3 3 C. .lD.og . 1 3log a log b log 1 log a log b x x 2 2 2 2 2 2 A. log 9  B. log  b b 3 27 27 y 2 y 2
  4. 3 Câu 28: (Đề tham khảo lần 2 2017) Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn x C. log 9  D. 27 b y 2 , a b và log b 3 . Tính P log . a 1 a b 3 a x a log  27 A. P 5 3 3 B. P 1 3 y 2 C. P 1 3 D. P 5 3 3 Lời giải Lời giải 3 x 3 1 Cách 1: Phương pháp tự luận. log log x 3log y log x log y  . 27 y 2 27 27 2 3 3 2 b 1 1 log log b 1 3 1 a a 3 1 Câu 26: (THPT QG 2017 Mã đề 105) Với mọi số thực dương a và b thỏa mãn P a 2 2 1 3 . 2 2 1 a b 8ab , mệnh đề nào dưới đây đúng? b loga b 1 log b 1 3 2 loga a 1 1 a 2 A. log a b log a log b B. log a b log a log b 2 2 Cách 2: Phương pháp trắc nghiệm. 1 C. log a b 1 log a log b D. log a b 1 log a log b 2 Chọn a 2 , b 2 3 . Bấm máy tính ta được P 1 3 . Lời giải: 2 Ta có a2 b2 8ab a b 10ab . Lấy log cơ số 10 hai vế ta được: 2 log a b log 10ab 2log a b log10 log a log b . 1 Hay log a b 1 log a log b . 2 Câu 27: (THPT QG 2017 Mã đề 110) Cho x, y là các số thực lớn hơn 1 thoả 1 log x log y mãn x2 9y2 6xy . Tính M 12 12 . 2log12 x 3y 1 1 1 A. .M B. .C. M M .D. M 1 2 3 4 Lời giải 2 Ta có x2 9y2 6xy x 3y 0 x 3y . 1 log x log y log 12xy log 36y2 Khi đó M 12 12 12 12 1 . 2log x 3y 2 log 36y2 12 log12 x 3y 12
  5. HÀM SỐ Câu 33: (Đề minh họa lần 1 2017) Tìm tập xác định D của hàm số y log x2 2x 3 Câu 29: (THPTQG năm 2017 Mã đề 104) Tìm tập xác định củaD hàm số 2 3 y x2 x 2 . A. D ; 13; B. D  1;3 C. D ; 1  3; D. D 1;3 A. D R B. D 0; C. D ; 1  2; D. D R \ 1;2 Lời giải Lời giải Vì 3 ¢ nên hàm số xác định khix2 x 2 0 x 1; x 2 . Vậy 2 2 y log2 x 2x 3 . Hàm số xác định khi x 2x 3 0 x 1 D R \ 1;2. hoặc x 3 1 Vậy tập xác định: D ; 1  3; Câu 30: Tập xác định D của hàm số y x 1 3 là:. Câu 34: (THPT QG 2017 Mã đề 105) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m A. D ;1 B. D 1; C. D ¡ D. D ¡ \1 2 để hàm số y log x 2x m 1 có tập xác định là ¡ . Lời giải A. m 2 B. m 0 C. m 0 D. m 2 Hàm số xác định khi . Vậy . x 1 0 x 1 D 1; Lời giải Để hàm số có tâp xác định ¡ khi và chỉ khi Câu 31: (THPTQG năm 2017 Mã đề 104) Tìm tập xác định D của hàm số 2 2 x 2x m 1 0, x ¡ . y log3 x 4x 3 2 0 1 1. m 1 0 m 0 . A. .D 2 2;1 B. 3 ;.2 2 D 1;3 C. D ;1  3; .D. .D ;2 2  2 2; Câu 35: (THPTQG năm 2017 Mã đề 104) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y ln(x2 2x m 1) có tập xác định là ¡ . Lời giải A. m 0 B. 0 m 3 C. mhoặc 1 m 0 D. m 0 2 x 1 Điều kiện x 4x 3 0 . Lời giải x 3 x 3 Để hàm số có tâp xác định ¡ khi và chỉ khi Câu 32: Tìm tập xác định D của hàm số y log 5 . a 1 0(ld) x 2 2 x 2x m 1 0,x ¡ . A. D ¡ \{ 2} B. D ( 2; 3) 1 1 m 0 m 0 C. D ( ; 2)  [3; ) D. D ( ; 2)  (3; ) Lời giải Câu 36: (Đề tham khảo lần 2 2017) Tìm đạo hàm của hàm số y log x . Tập xác định của là tập các số x để 1 ln10 1 1 A. y B. y C. y D. y x 3 x 3 x x x ln10 10ln x 0 x 3 x 2 0 x 2 x 2 Lời giải Suy ra . D ; 2  3; 1 1 Áp dụng công thức log x , ta được y . a xln a xln10
  6. Câu 37: (THPT QG 2017 Mã đề 110) Tính đạo hàm của hàm số Câu 40: (Đề thử nghiệm THPT QG 2017) Tính đạo hàm của hàm số y = ln 1+ x +1 . y log2 2x 1 . 2 1 2 1 1 1 A. y B. y C. y D. y A. y B. y 2x 1 2x 1 2x 1 ln 2 2x 1 ln 2 2 x 1 1 x 1 1 x 1 Lời giải 1 2 y y 2x 1 C. D. 2 x 1 1 x 1 x 1 1 x 1 Ta có y log2 2x 1 . 2x 1 ln 2 2x 1 ln 2 Lời giải 2 Câu 38: (Tham khảo THPTQG 2019) Hàm số f x log2 x 2x có đạo hàm 1 x 1 1 ln 2 1 y ln 1 x 1 . A. . f xB. f x . 1 x 1 2 x 1 1 x 1 x2 2x x2 2x ln 2 2x 2 ln 2 2x 2 ln x C. .Df . x f x . Câu 41: (Đề tham khảo lần 2 2017) Cho hàm số y , mệnh đề nào dưới đây x2 2x x2 2x ln 2 x Lời giải đúng? 1 1 u x A. 2y xy 2 . B. .y xy 2 Áp dụng công thức loga u x . u x .ln a x x 1 1 2 C. .y xyD. . 2 2y xy 2 x 2x 2x 2 x x Vậy f x . x2 2x ln 2 x2 2x ln 2 Lời giải 1 x 1 .x ln x Câu 39: (Đề minh họa lần 1 2017) Tính đạo hàm của hàm số y ln x .x x .ln x x 1 ln x 4x Cách 1. y x2 x2 x2 1 2 x 1 ln 2 1 2 x 1 ln 2 A. y ' 2x B. y ' 2x 2 2 1 2 1 ln x .x2 x2 1 ln x .x 2x 1 ln x 1 2 x 1 ln 2 1 2 x 1 ln 2 y x C. y ' 2 D. y ' 2 4 4 2x 2x x x Lời giải x 2x 1 ln x 1 2 1 ln x 3 2ln x 4 3 3 x x x x x x 1 .4 x 1 . 4 4x x 1 .4x.ln 4 Ta có: y ' 2 2 1 ln x 3 2ln x 2 2ln x 3 2ln x 1 4x 4x Suy ra: .2y xy 2. x x2 x3 x2 x2 4x. 1 x.ln 4 ln 4 1 x.2ln 2 2ln 2 1 2 x 1 ln 2 2 x 2x 1 4x 4 2 Cách 2. Ta có xy ln x , lấy đạo hàm hai vế, ta được y xy x
  7. Tiếp tục lấy đạo hàm hai vế của biểu thức trên, ta được Lời giải 1 1 y y xy , hay 2y xy . Tập xác định D 0; x2 x2 Ta có f x x ln x f x g x ln x 1 . x x Câu 42: (THPT QG 2017 Mã đề 105) Cho hàm số y a , y b với a, b là hai Ta có g 1 1 nên đồ thị hàm số đi qua điểm 1;1 . Loại hai đáp án B số thực dương khác 1, lần lượt có đồ thị là C và C như hình bên. và D 1 2 1 Mệnh đề nào dưới đây đúng? Và lim g x lim ln x 1 . Đặt t . Khi x 0 thì t . x 0 x 0 x C C 2 1 1 Do đó lim g x lim ln 1 lim ln t 1 nên loại x 0 t t t đáp án A (Có thể dùng máy tính để tính tiệm cận đứng của y ln x 1 ) Câu 44: (Đề thử nghiệm THPT QG 2017) Cho ba số thực dương kháca,b, c . 1 x x x O Đồ thị các hàm số y a , y b , y c được cho trong hình vẽ bên A. 0 b a 1 B. 0 a 1 b C. 0 b 1 a D. 0 a b 1 Lời giải Theo hình ta thấy hàm y ax là hàm đồng biến nên a 1 , còn hàm y bx là hàm nghịch biến nên 0 b 1 . Suy ra 0 b 1 a. Mệnh đề nào dưới đây đúng? Câu 43: (Đề tham khảo lần 2 2017) Cho hàm số f x x ln x . Một trong bốn đồ A. a b c B. a c b C. b c a D. c a b thị cho trong bốn phương án A, B, C, D dưới đây là đồ thị của hàm số Lời giải y f x . Tìm đồ thị đó? x x x Đường thẳng x 1 đồ thị các hàm số y a , y b , y c tại các điểm có tung độ lần lượt là y a, y b, y c như hình vẽ: A. Hình 1 B. Hình 2C. Hình 3 D. Hình 4 Từ đồ thị kết luận a c b
  8. Câu 45: (Đề thử nghiệm THPT QG 2017) Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của 2 tham số m để hàm số y ln x 1 mx 1 đồng biến trên khoảng ; A. ; 1 B. ; 1 C.  1;1 D. 1; Lời giải 2x Ta có: y m . x 2 1 Hàm số y ln x2 1 mx 1 đồng biến trên khoảng ; y 0,x ; . 2x g(x) m,x ; .Ta có x 2 1 2x2 2 g (x) 2 0 x 1 x2 1 Bảng biến thiên: 2x Dựa vào bảng biến thiên ta có: g(x) m,x ; x 2 1 m 1
  9. PHUONG TRÌNH BẤT PHUONG TRÌNH A. .S 1; B. . S 1; 2x 1 Câu 46: (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) Phương trình 5 125 có nghiệm C. S 2; . D. .S ; 2 là Lời giải 3 5 A. B.x C. x x 1 D. x 3 Bất phương trình tương đương 5x 1 5 1 x 1 1 x 2. 2 2 Lời giải Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S 2; . Ta có: 52x 1 125 52x 1 53 2x 1 3 x 1 . Câu 52: (THPT QG 2017 Mã đề 110) Tìm nghiệm của phương trình 2x 1 Câu 47 (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) Phương trình 2 32 có nghiệm là log2 1 x 2 . 5 3 A. Bx. x 2 C. D.x x 3 A. x 3 . B. .xC. . 4 D. .x 3 x 5 2 2 Lời giải Lời giải Ta có log2 1 x 2 1 x 4 x 3 . Ta có 22x 1 32 22x 1 25 2x 1 5 x 2 . Câu 48: (Đề thử nghiệm THPT QG 2017) Tìm nghiệm của phương trình (Mã đề 103 BGD&ĐT NĂM 2018) Tập nghiệm của phương trình x 1 Câu 53 3 27 2 A. x 9 B. x 3C. x 4 D. x 10 log3(x 7) 2 là Lời giải A. B{ . 15; 15} { 4;4} C. D.4   4 x 1 3 3 3 x 1 3 x 4. Lời giải 2 x 4 Câu 49: (Tham khảo THPTQG 2019) Tập nghiệm của bất phương trình 2 log3(x 7) 2 x 7 9 2 3x 2x 27 là x 4 A. . ; 1 B. .C. 3; 1;3 . D. . ; 1  3; Câu 54: (THPT QUỐC GIA 2018 - MÃ ĐỀ 102) Tập nghiệm của phương trình 2 Lời giải log2 x 1 3 là 2 Bất phương trình tương đương với 3x 2x 33 x2 2x 3 A. 3;3 . B. .C. 3 . 3D. . 10; 10 2         x 2x 3 0 1 x 3 . Lời giải Câu 50: (Tham khảo 2018) Tập nghiệm của bất phương trình 22x 0 Câu 55: (Đề thử nghiệm THPT QG 2017) Tìm tập nghiệm củaS bất phương 2 x Bất phương trình trở thành: t - 64t < 0 Û 0 < t < 64 Û 0 < 2 < 64 Û x < 6 . trình log1 x 1 log1 2x 1 Câu 51: (Đề tham khảo lần 2 2017) Tìm tập nghiệm S của bất phương trình 2 2 1 1 5x 1 0 . A. .SB. 2; S ;2 .C. S ;2 . D. .S 1;2 5 2 Lời giải
  10. x 1 1 x 1 0 1 Xét phương trình log x 1 log x 1 1 Điều kiện: 1 x (*) 25 2 5 2x 1 0 x 2 2 x 1 5 x 4 . Câu 60: (Đề minh họa lần 1 2017) Giải phương trình log4 (x 1) 3. log 1 x 1 log 1 2x 1 x 1 2x 1 x 2 0 x 2 2 2 A. x 63 B. x 65 C. x 80 D. x 82 Lời giải 1 S ;2 ĐK: x 1 0 x 1 Kết hợp (*) . 3 2 Phương trình log4 x 1 3 x 1 4 x 65 Câu 56: (THPTQG năm 2017 Mã đề 104) Tìm tất cả các giá trị thực của m để Câu 61: (Tham khảo THPTQG 2019) Tập nghiệm của phương trình x 2 phương trình 3 m có nghiệm thực. log2 x x 2 1 là A. m 1 B. m 0 C. m 0 D. m 0 A. .B0. 0;1 .C. . 1;D.0 . 1 Lời giải         Để phương trình 3x m có nghiệm thực thì m 0 . Lời giải x 0 Ta có: log x2 x 2 1 x2 x 2 2 . Cho phương trình x x 1 Khi đặt x ta được phương trình 2 Câu 57: 4 2 3 0. t 2 x 1 nào sau đây A. 4t 3 0 B. t 2 t 3 0 C. t 2 2t 3 0 D. 2t 2 3t 0 Câu 62: (THPT QG 2017 Mã đề 105) Tìm tập nghiệm S của phương trình Lời giải log3 2x 1 log3 x 1 1 . Phương trình 4 x 2.2 x 3 0 A. S 1 B. S  2 C. S 3 D. S 4 Câu 58: (THPTQG năm 2017 Mã đề 104) Tìm nghiệm của phương trình Lời giải log2 x 5 4 . 1 A. x 21 B. x 3 C. x 11 D. x 13 2x 1 0 x Lời giải ĐK: 2 x 1. x 1 0 x 1 ĐK: x 5 0 x 5 log2 x 5 4 x 5 16 x 21 Câu 59: (THPT QG 2017 Mã đề 105) Tìm nghiệm của phương trình Ta có log3 2x 1 log3 x 1 1 1 log x 1 . 2x 1 2x 1 25 2 log 1 3 x 4 (thỏa) 3 x 1 x 1 23 A. x 6 B. x 4 C. x D. x 6 2 Câu 63: (Đề tham khảo lần 2 2017) Tìm tập nghiệm S của phương trình log x 1 log x 1 3 . Lời giải 2 2 Điều kiện: x 1 A. S  3;3 B. S 4 C. S 3 D. S  10; 10 Lời giải
  11. Điều kiện . Phương trình đã cho trở thành 2 log x 4 x 16 x 1 log2 x 1 3 2 Bpt 2 log x 1 x 2 x 1 8 x 3 2 Kết hợp điều kiện ta có S 0; 2  16; . Đối chiếu điều kiện, ta được nghiệm duy nhất của phương trình là x 3 S 3 Câu 67: (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) Gọi S là tập hợp tất cả giá trị nguyên của tham số m sao cho phương trình Câu 64: (THPT QG 2017 Mã đề 110) Tìm tập nghiệm S của phương trình 16x m.4x 1 5m2 45 0 có hai nghiệm phân biệt. Hỏi S có bao log x 1 log x 1 1. nhiêu phần tử? 2 1 2 A. B13. 3 C. D.6 4 3 13  A. S  B. S 3 C. S 2 5; 2 5 D. S 2 5 Lời giải     x 2  Đặt t 4 , t 0 . Phương trình trở thành: Lời giải t 2 4mt 5m2 45 0 (1). x 1 0 Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương Điều kiện x 1 . x 1 0 trình (1) có hai nghiệm phân biệt t 0 . 2 Phương trình tương đương ' 0 m 45 0 3 5 m 3 5 1 5m2 45 0 m 3 m 3 3 m 3 5 . log x 1 log x 1 1 2log x 1 log x 1 log 2 P 0 2 2 2 2 2 2 S 0 4m 0 m 0 2 log x 1 log 2 x 1 x2 2x 1 2x 2 2 2 Vì m nguyên nên m 4;5;6 . Vậy S có 3 phần tử. x 2 5 L x2 4x 1 0 Câu 68: (Mã đề 103 BGD&ĐT NĂM 2018) Gọi S là tất cả các giá trị nguyên x x 1 2 x 2 5 của tham số m sao cho phương trình 4 m.2 2m 5 0 có hai nghiệm phân biệt. Hỏi S có bao nhiêu phần tử. (Đề minh họa lần 1 2017) Giải bất phương trình log 3x 1 3 . Câu 65: 2 A. B.3 5 C. D2. 1 1 10 Lời giải A. x 3 B. x 3 C. x 3 D. x x x 1 2 x x 2 3 3 Ta có: 4 m.2 2m 5 0 4 2m.2 2m 5 0 (1) 2 2 Lời giải Đặt t 2 x , t 0 . Phương trình (1) thành: t 2m.t 2m 5 0 (2) 1 Yêu cầu bài toán (2) có 2 nghiệm dương phânbiệt Đkxđ: 3x 1 0 x 3 Bất phương trình 3x 1 23 3x 9 x 3 (t/m đk). ' 0 m2 2m2 5 0 5 m 5 10 Vậy bpt có nghiệm x > 3 . S 0 2m 0 m 0 m 5. 2 2 Tìm tập nghiệm của bất phương trình 2 . P 0 2m 5 0 5 5 Câu 66: S log2 x 5log2 x 4 0 m hoac m A. S [2 ;16]B. S (0 ; 2]  [16 ; ) C. ( ; 2][16; ) D. S ( ;1] [4 ; ) 2 2 Lời giải Điều kiện x 0 Do m nguyên nên m 2 . Vậy S chỉ có một phần tử
  12. Câu 69: (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị Suy ra 0 x 1 f 0 f x f 1 2 f x 4 vì nguyên của tham số m sao cho phương trình 9x m.3x 1 3m2 75 0 có hai nghiệm phân biệt. Hỏi S có bao nhiêu phần tử? f 0 2, f 1 4. A. B8. 4 C. 19 D. 5 Lời giải Vậy phương trình 1 có nghiệm thuộc khoảng 0;1 khi m 2;4 . x x 1 2 x 2 x 2 (Tham khảo 2018) Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số để 9 m.3 3m 75 0 1 3 3m.3 3m 75 0 Câu 71: m phương trình 16x 2.12x (m 2).9x 0 có nghiệm dương? Đặt t 3x , t 0 A. 1 B. 2 C. 4 D. 3 Phương trình trở thành: t 2 3mt 3m2 75 0 2 Lời giải x x x 1 có hai ngiệm phân biệt khi và chỉ khi 2 có hai nghiệm dương phân biệt Phương trình 16 2.12 (m 2).9 0 có nghiệm x 0; 2x x 4 4 Phương trình tương đương 2. (m 2) 0 có nghiệm 2 3 3 300 3m 0 10 m 10 x 0; 3m 0 m 0 5 m 10 x 2 3m 75 0 m 5 4 Đặt t ,t 1; 3 m 5 2 Do m nguyên nên m 6;7;8;9 t 2.t (m 2) 0,t 1; t 2 2.t 2 m,t 1; Câu 70: (Đề thử nghiệm THPT QG 2017) Tìm tập hợp các giá trị của tham số 2 x x Xét y t 2.t thực m để phương trình 6 3 m 2 m 0 có nghiệm thuộc khoảng 0;1 . A. 3;4 B. 2;4 C. 2;4 D. 3;4     Lời giải x x 6 x 3.2 x Ta có: 6 3 m 2 m 0 1 m 2 x 1 Phương trình có nghiệm t 1; khi 2 m 1 m 3 6 x 3.2 x Câu 72: (Tham khảo 2018) Tổng giá trị tất cả các nghiệm của phương trình Xét hàm số f x xác định trên ¡ , có 2 x 1 2 log3 x.log9 x.log27 x.log81 x bằng 12x.ln 3 6x.ln 6 3.2x.ln 2 3 f x 2 0,x ¡ nên hàm số f x đồng 82 80 2x 1 A. B. C. 9 D. 0 9 9 biến trên ¡ Lời giải Điều kiện x 0 . Phương trình đã cho tương đương với
  13. x 9 Câu 75: (THPT QUỐC GIA 2018 - MÃ ĐỀ 102) Gọi S là tập hợp các giá trị 1 1 1 2 log x 2 x x 1 2 log . .log x. log x. log x (log x)4 16 3 nguyên của tham số m sao cho phương trình 25 m.5 7m 7 0 3 3 3 3 3 1 2 3 4 3 log3 x 2 x có hai nghiệm phân biệt. Hỏi S có bao nhiêu phần tử. 9 A. .7B. . C. 1 2 .D. . 3 Câu 73: (Tham khảo THPTQG 2019) Tổng tất cả các nghiệm của phương trình x Lời giải log3 7 3 2 x bằng x x 1 2 A. 2 . B. 1. C. .7 D. . 3 Xét phương trình 25 m.5 7m 7 0 1 . Lời giải Đặt t 5x t 0 . Phương trình trở thành t 2 5mt 7m2 7 0 2 . Điều kiện xác định của phương trình là x x YCBT Phương trình 1 có hai nghiệm phân biệt 7 3 0 3 7 x log3 7 . 9 x x 2 x x Phương trình 2 có hai nghiệm phân biệt t1,t2 0 log3 7 3 2 x 7 3 3 7 3 x 3 x 25m2 4 7m2 7 0 Đặt t 3 , với 0 t 7 , suy ra x log3 t 0 2 21 7 13 S 0 5m 0 1 m . Ta có phương trình t 2 7t 9 0 có hai nghiệm t và 3 1 2 P 0 7m2 7 0 7 13 t . 2 2 Mà m ¢ m 2;3 . Vậy có 2 giá trị nguyên của tham số m . Vậy có hai nghiệm x , x tương ứng. 1 2 Câu 76: (THPT QG 2017 Mã đề 105) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m Ta có x1 x2 log3 t1 log3 t2 log3 t1.t2 2 để bất phương trình log2 x 2log2 x 3m 2 0 có nghiệm thực. Theo định lý Vi-ét ta có t .t 9 , nên x x log 9 2 . 1 2 1 2 3 2 A. m 1 B. m 1 C. m 0 D. m Câu 74: Tìm giá trị thực của m để phương trình log2 x mlog x 2m 7 0 có 3 3 3 Lời giải hai nghiệm thực x1,x2 thỏa mãn x1x2 81. A. B. C. D. 2 m 4 m 44 m 81 m 4 Đặt t log2 x x 0 , ta có bất phương trình : t 2t 3m 2 0 . Lời giải 2 Để BPT luôn có nghiệm thực thì 3 3m 0 m 1 . Đặt t log3 x ta được t m t 2 m 7 0 , tìm điều kiện để phương Câu 77: (THPT QG 2017 Mã đề 110) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m trình có hai nghiệm t ,t 1 2 để phương trình 4x 2x 1 m 0 có hai nghiệm thực phân biệt t t log x log x log x x log 81 4 1 2 3 1 3 2 3 1 2 3 A. m ;1 B. m 0;1 Theo vi-et suy ra t1 t2 m m 4 (Thay lại m 4 và đề bài ta thấy C. m 0;1 D. m 0; phương trình có hai Lời giải nghiệm thực x1,x2 thỏa mãnx1x2 81 )
  14. 2 x x 1 x x m 4 Phương trình , . 4 2 m 0 2 2.2 m 0 1 Dựa vào BBT, phương trình có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi m 0. Đặt t 2x 0 . Phương trình 1 trở thành: t2 2t m 0 , 2 . Phương trình 1 có hai nghiệm thực phân biệt phương trình 2 Vì m  2017;2017 và m ¢ nên chỉ có 2018 giá trị m nguyên thỏa có hai nghiệm thực phân biệt và lớn hơn 0 yêu cầu là m 2017; 2016; ; 1;4 . 1 m 0   0 2 S 0 0 0 m 1. Chú ý: Trong lời giải, ta đã bỏ qua điều kiện mx 0 vì với phương 1 P 0 trình loga f x loga g x với 0 a 1 ta chỉ cần điều kiện f x 0 m 0 (hoặc g x 0 ). 1 (Đề tham khảo lần 2 2017) Hỏi có bao nhiêu giá trị m nguyên trong 2 3 Câu 78: Câu 79: (Đề tham khảo lần 2 2017) Hỏi phương trình 3x 6x ln x 1 1 0 2017;2017 để phương trình log mx 2log x 1 có nghiệm duy   có bao nhiêu nghiệm phân biệt? nhất? A. 2 B. 1 C. 3 D. 4 A. .2 017 B. 4014. C. 2018. D. 4015. Lời giải Lời giải Điều kiện: x 1 . Điều kiện x 1 và x ¹ 0 . Phương trình đã cho tương đương với 3x2 6x 3ln x 1 1 0 . 2 2 x 1 log mx 2log x 1 mx x 1 m x Xét hàm số y 3x2 6x 3ln x 1 1 liên tục trên khoảng 1; . 2 x 1 3 6x2 3 Xét hàm f x x 1, x 0 ; y 6 x 1 . x x 1 x 1 x2 1 x 1 f x 2 0 2 x x 1 l y 0 2x2 1 0 x (thỏa điều kiện). 2 Lập bảng biến thiên
  15. 2 2 Dựa vào bảng biến thiên Vì f 0 , f 0 và lim y nên đồ thị hàm số cắt m 0,917 m 20;20 m  19; 18; ; 1 . 2 2 x trục hoành tại 3 điểm phân biệt. Vậy có 19 giá trị nguyên của m thỏa ycbt. Câu 80: (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho phương trình Câu 81: (Mã đề 103 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho phương trình x 5 m log5 x m với m là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của x 7 m log7 x m với m là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m 20;20 để phương trình đã cho có nghiệm? m 25;25 để phương trình đã cho có nghiệm ? A. B2.0 19 C. 9 D. 21 A. B.9 25 C. 24 D. 26 Lời giải Lời giải Điều kiện: x m ĐK: x m x x m 5t 7 m t Đặt: t log x m 5x x 5t t 1 . Đặt t log x m ta có 7 x x 7t t 1 5 x 7 t 5 m t 7 m x Do hàm số f u 7u u đồng biến trên ¡ , nên ta có 1 t x . Xét hàm số f u 5u u f u 5u ln 5 1 0,u ¡ . Khi đó: x x x x . 1 x t x 5 m m x 5 7 m x m x 7 Do đó: . x x Xét hàm số g x x 7 g x 1 7 ln7 0 x log7 ln7 . Xét hàm số f x x 5x , x m Bảng biến thiên: Do: 5x 0 m x , suy ra phương trình có nghiệm luôn thỏa điều kiện. x x 1 f x 1 5 ln 5 , f x 0 1 5 ln 5 0 x log5 . ln 5 Từ đó phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi Bảng biến thiên: m g log7 ln7 0,856 (các nghiệm này đều thỏa mãn điều kiện vì x m 7 x 0 ) x ∞ ≈ 0,295 +∞ Do m nguyên thuộc khoảng 25;25 , nên m  24; 16; ; 1 y' + 0 ≈ 0,917 Câu 82: (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho phương trình y x 2 m log2 x m với m là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên ∞ ∞ của m 18;18 để phương trình đã cho có nghiệm? A. B.9 19 C. 17 D. 18
  16. Lời giải ĐK: x m x 2 m t x t Đặt t log x m ta có 2 x 2 t 1 2 t 2 m x Do hàm số f u 2u u đồng biến trên ¡ , nên ta có 1 t x . Khi đó: 2x m x m x 2x . x x Từ bảng biến thiên ta thấy các giá trị của tham số để phương trình có Xét hàm số g x x 2 g x 1 2 ln2 0 x log2 ln 2 . 1 Bảng biến thiên: nghiệm là: m ; g log 3 . Vậy số giá trị nguyên của ln 3 m 15;15 để phương trình đã cho có nghiệm là:14 . Từ đó phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi m g log2 ln 2 0,914 (các nghiệm này đều thỏa mãn điều kiện vì x m 2x 0 ) Do m nguyên thuộc khoảng 18;18 , nên m  17; 16; ; 1 . Câu 84: (THPT QUỐC GIA 2018 - MÃ ĐỀ 102) Cho phương trình x 3 m log 3 (x m) với m là tham số . Có bao nhiêu giá trị nguyên của m 15;15 để phương trình đã cho có nghiệm? A. .1 6 B. .C. 9 14. D. .15 Lời giải x x Ta có: 3 m log 3 x m 3 x log 3 (x m) x m (*) . t t Xét hàm số f (t) 3 t , với t ¡ . Có f'(t) 3 ln 3 1 0,t ¡ nên hàm số f t đồng biến trên tập xác định. Mặt khác phương trình (*) có dạng: f (x) f log3 (x m) . Do đó ta có f (x) f log3 (x m) x x x log3 (x m) 3 x m 3 x m Xét hàm số g x 3x x , với x ¡ . Có g'(x) 3x ln 3 1 , g'(x) 0 1 x log3 ln 3 Bảng biến thiên
  17. TOÁN THUC TẾ -LÃI SUẤT n Thay số ta được: 1 0,066 2 n log1,066 2 n 10, 85 Câu 85: Một người gửi 50 triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất 6% /năm. Vậy sau ít nhất 1năm.1 Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ mỗi năm số tiền lãi Nhận xét: Đây là bài toán với đáp án không chính xác. Ta không thể sẽ được nhập vào gốc để tính lãi cho năm tiếp theo. Hỏi sau ít nhất bao n làm tròn n log1,066 2 thành 11 vì khi thay vào phương trình 1 d 2 nhiêu năm người đó sẽ nhận được số tiền nhiều hơn 100 triệu đồng bao gồm gốc và lãi ? Giả định trong suốt thời gian gửi, lãi suất không đổi và sẽ không đúng. Lỗi là ở đề bài. người đó không rút tiền ra. Câu 88: (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) Một người gửi tiết kiệm vào một A. 14 năm B. 12 năm C. 1năm1 D. năm13 ngân hàng với lãi suất 6,1%/ năm. Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi Lời giải ngân hàng thì cứ sau mỗi năm số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn để tính n Ta có 50. 1 0,06 100 n log 2 n 12 . lãi cho năm tiếp theo. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm người đó thu được 1,06 (cả số tiền gửi ban đầu và lãi) gấp đôi số tiền gửi ban đầu, giả định trong Câu 86: (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) Một người gửi tiết kiệm vào một khoảng thời gian này lãi suất không thay đổi và người đó không rút tiền ngân hàng với lãi suất 7,5% / năm. Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ra? ngân hàng thì cứ sau mỗi năm số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn để tính A. 1năm3 B. nămC. nămD. 10 11 12 năm lãi cho năm tiếp theo. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm người đó thu được Lời giải (cả số tiền gửi ban đầu và lãi) gấp đôi số tiền gửi ban đầu, giả định trong Gọi x số tiền gửi ban đầu. N N khoảng thời gian này lãi suất không thay đổi và người đó không rút tiền 6,1 6,1 ra? Theo giả thiết 2x x 1 2 1 100 100 A. 1năm1 B. năm9 C. 10năm D. 1năm2 N 6,1 2 1 N log 1,061 2 11,7 Lời giải 100 Gọi A là số tiền ban đầu gửi vào ngân hàng và n là số năm ít nhất để có Vậy sau ít nhất 12 năm người đó thu được số tiền thỏa yêu cầu. được số tiền gấp đôi số tiền ban đầu n n Câu 89: (THPT QUỐC GIA 2018 - MÃ ĐỀ 102) Một người gửi tiết kiệm vào Khi đó: T A 1 r 2A A 1 r n log 2 9,58 . n 1 r một ngân hàng với lãi suất 7,2%/năm. Biết rằng nếu không rút tiền ra Vậy n 10 năm . khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn để Câu 87: (Mã đề 103 BGD&ĐT NĂM 2018) Một người gửi tiết kiệm vào một tính lãi cho năm tiếp theo. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm người đó thu ngân hàng với lãi suất 6, 6% / năm. Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi được (cả số tiền gửi ban đầu và lãi) gấp đôi số tiền gửi ban đầu, giả định ngân hàng thì cứ sau mỗi năm số tiền lãi sẽ được nhập vào vốn để tính trong khoảng thời gian này lãi suất không thay đổi và người đó không lãi cho năm tiếp theo. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm người đó thu được rút tiền ra? (cả số tiền gửi ban đầu và lãi) gấp đôi số tiền gửi ban đầu, giả định trong A. 11 năm. B. 12 năm.C. 9năm.D. 10 năm. khoảng thời gian này lãi xuất không thay đổi và người đố không rút tiền Lời giải ra? Gọi T, A,r,n lần lượt là tổng tiền cả vốn lẫn lãi sau n kì, vốn ban đầu, A. 11 nămB. 10 nămC. 13 nămD. 1 2năm n lãi suất và số kì. T A. 1 r Lời giải Gọi số tiền gửi ban đầu là a , lãi suất là d% / năm. Số tiền người đó thu được gấp đôi số tiền gửi ban đầu: n 2A A 1 r n 2 1 7,2% n n 9,97 Số tiền có được sau n năm là: Tn a 1 d n Theo giả thiết: Tn 2a 1 d 2 Vậy sau ít nhất 10 năm thì số tiền nhận được sẽ gấp đôi số tiền ban đầu.
  18. Câu 90: (Tham khảo 2018) Một người gửi 100 triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất 0,4% / tháng. Biết rằng nếu không rút tiền ta khỏi ngân hàng thì cứ Gọi số tiền vay ban đầu là M , số tiền hoàn nợ mỗi tháng là m , lãi suất sau mỗi tháng, số tiền lãi sẽ được lập vào vốn ban đầu để tính lãi cho một tháng là r . tháng tiếp theo. Hỏi sau 6 tháng, người đó được lĩnh số tiền ( cả vốn Hết tháng thứ nhất, số tiền cả vốn lẫn lãi ông A nợ ngân hàng là ban đầu và lãi) gần nhất với số tiền nào dưới đây, nếu trong khoảng thời M Mr M 1 r . gian này người đó không rút tiền ra và lãi xuất không thay đổi? Ngay sau đó ông A hoàn nợ số tiền m nên số tiền để tính lãi cho tháng A. 102.424.000đồng B. 102.423.000đồng thứ hai là M 1 r m . C. 102.16.000đồng D. 102.017.000đồng Lời giải Do đó hết tháng thứ hai, số tiền cả vốn lẫn lãi ông A nợ ngân hàng là M 1 r m 1 r M 1 r 2 m 1 r . 6 n 0,4 Ta có An A0 1 r 100.000.000 1 102.424.128 Ngay sau đó ông A lại hoàn nợ số tiền m nên số tiền để tính lãi cho 100 tháng thứ ba là 2 Câu 91: (THPT QG 2017 Mã đề 110) Đầu năm 2016 , ông A thành lập một công M 1 r m 1 r m . ty. Tổng số tiền ông A dùng để trả lương cho nhân viên trong năm 2016 Do đó hết tháng thứ ba, số tiền cả vốn lẫn lãi ông A nợ ngân hàng là là 1 tỷ đồng. Biết rằng cứ sau mỗi năm thì tổng số tiền dùng để trả cho 2 3 2 M 1 r m 1 r m 1 r M 1 r m 1 r m 1 r m . nhân viên trong cả năm đó tăng thêm 15% so với năm trước. Hỏi năm nào dưới đây là năm đầu tiên mà tổng số tiền ông A dùng để trả lương Cứ tiếp tục lập luận như vậy ta thấy sau tháng thứ n , n 2 , số tiền cả cho nhân viên trong cả 5 năm lớn hơn 2 tỷ đồng? vốn lẫn lãi ông A nợ ngân hàng là A. Năm 2022 B. Năm 2021 M 1 r n m 1 r n 1 m 1 r n 2 m 1 r m C. Năm 2020 D. Năm 2023 n 1 Lời giải m 1 r 1 M 1 r n . r n n Áp dụng công thức 1. 1 r 2 1. 1 0,15 2 n 4,96 Sau tháng thứ n trả hết nợ thì ta có n 1 Vậy từ năm thứ 5 sau khi thành lập công ty thì tổng tiền lương bắt đầu m 1 r 1 n n M 1 r r lớn hơn 2 tỷ đồng. M 1 r 0 m n . r 1 r 1 Suy ra năm cần tìm là 2016 5 2021 . Thay số với M 100.000.000 , r 1% , n 5 12 60 ta được Câu 92: (Tham khảo THPTQG 2019) Ông A vay ngân hàng 100 triệu đồng với m 2,22 . lãi suất 1%/tháng. Ông ta muốn hoàn nợ cho ngân hàng theo cách: Sau đúng một tháng kể từ ngày vay, ông bắt đầu hoàn nợ; hai lần hoàn nợ Câu 93: (Đề minh họa lần 1 2017) Ông A vay ngắn hạn ngân hàng 100 triệu liên tiếp cách nhau đúng một tháng, số tiền hoàn nợ ở mỗi tháng là như đồng, với lãi suất 12%/năm. Ông muốn hoàn nợ cho ngân hàng theo nhau và ông A trả hết nợ sau đúng 5 năm kể từ ngày vay. Biết rằng mỗi cách: Sau đúng một tháng kể từ ngày vay, ông bắt đầu hoàn nợ; hai lần tháng ngân hàng chỉ tính lãi trên số dư nợ thực tế của tháng đó. Hỏi số hoàn nợ liên tiếp cách nhau đúng một tháng, số tiền hoàn nợ ở mỗi lần là tiền mỗi tháng ôn ta cần trả cho ngân hàng gần nhất với số tiền nào dưới như nhau và trả hết tiền nợ sau đúng 3 tháng kể từ ngày vay. Hỏi, theo đây? cách đó, số tiền m mà ông A sẽ phải trả cho ngân hàng trong mỗi lần A. 2,22 triệu đồng. B. 3triệu,03 đồng. hoàn nợ là bao nhiêu? Biết rằng, lãi suất ngân hàng không thay đổi trong C. 2triệu,25 đồng. D. 2,20 triệu đồng. thời gian ông A hoàn nợ. Lời giải
  19. 100.(1,01)3 (1,01)3 Câu 94: (Đề thử nghiệm THPT QG 2017) Số lượng của loại vi khuẩn A trong A. m (triệu đồng)B. m (triệu đồng) 3 (1,01)3 1 một phòng thí nghiệm được tính theo công thức s t s 0 .2t , trong 3 100.1,03 120.(1,12) đó s 0 là số lượng vi khuẩn A lúc ban đầu, s t là số lượng vi khuẩn C. m(triệu đồng)D. (triệu đồng) m 3 3 (1,12) 1 A có sau t phút. Biết sau 3 phút thì số lượng vi khuẩn A là 625 nghìn Lời giải con. Hỏi sau bao lâu, kể từ lúc ban đầu, số lượng vi khuẩn A là 1 0 Cách 1: Công thức: Vay số tiền A lãi suất r % / tháng. Hỏi trả số tiền triệu con? a là bao nhiêu để n tháng hết nợ A. 48 phút. B. 19 phút.C. 7 phút. D. 12 phút. n 3 A.r . 1 r 100.0,01. 1 0,01 Lời giải a . n 3 s 3 1 r 1 1 0,01 1 Sau 3 phút ta có: s 3 s 0 .23 s 0 78125. 23 Cách 2: Theo đề ta có: ông A trả hết tiền sau 3 tháng vậy ông A hoàn nợ 3 lần Tại thời điểm t số lượng vi khuẩn A là 10 triệu con nên ta có: Với lãi suất 12%/năm suy ra lãi suất một tháng là 1% Hoàn nợ lần 1: t s t 10.000.000 s t s 0 .2 2t 2t Û 2t = 128 Û t = 7 . -Tổng tiền cần trả (gốc và lãi) là : 100.0,01 100 100.1,01 (triệu đồng) s 0 78125 - Số tiền dư : 100.1,01 m (triệu đồng) Hoàn nợ lần 2: - Tổng tiền cần trả (gốc và lãi) là : 100.1,01 m .0,01 100.1,01 m 100.1,01 m .1,01 100. 1,01 2 1,01.m (triệu đồng) - Số tiền dư: 1(triệu00. 1 ,đồng)01 2 1,01.m m Hoàn nợ lần 3: - Tổng tiền cần trả (gốc và lãi) là : 2 3 2 100. 1,01 1,01.m m .1,01 100. 1,01 1,01 m 1,01m (triệu đồng) - Số tiền dư: 1(triệu00. 1 ,đồng)01 3 1,01 2 m 1,01m m 3 3 2 100. 1,01 100. 1,01 1,01 m 1,01m m 0 m 1,01 2 1,01 1 100. 1,01 3 . 1,01 1 1,01 3 m 3 (triệu đồng) 1,01 2 1,01 1 . 1,01 1 1,01 1
  20. NÂNG CAO Ta có 9a2 b2 6ab . Dấu đẳng thức xảy ra khi a 3b . Câu 95: (Đề thử nghiệm THPT QG 2017) Xét các số thực a , b thỏa mãn Do đó, ta có: log 9a2 b2 1 log 3a 2b 1 2 2 a 3a 2b 1 6ab 1 a b 1. Tìm giá trị nhỏ nhất Pmin của biểu thức P loga a 3logb . b b log3a 2b 1 6ab 1 log6ab 1 3a 2b 1 2 log3a 2b 1 6ab 1 .log6ab 1 3a 2b 1 A. Pmin 19 B. Pmin 13 C. Pmin 14 D. Pmin 15 Lời giải 2 log3a 2b 1 3a 2b 1 2 . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi Với điều kiện đề bài, ta có b 3a 0 2 2 log 6ab 1 log 3a 2b 1 2 2 a a a a 3a 2b 1 6ab 1 P loga a 3logb 2loga a 3logb 4 loga .b 3logb b 3a 0 b 3a 0 b b b b b b b (do 2 2 2 log 18a 1 log 2 9a 1 log 18a 1 1 a 9a 1 18a 1 9a 1 4 1 loga b 3logb 2 log 18a 1 0 ) b b 9a 1 3 t log b 0 b Đặt a (vì a b 1 ), ta có b 3a 0 2 7 b . Suy ra a 2b . 18a2 1 9a 1 1 2 2 3 3 P 4 1 t 4t 2 8t 4 f t . a t t 2 2 Câu 97: (Mã đề 103 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho a 0, b 0 thỏa mãn 3 8t3 8t 2 3 2t 1 4t 6t 3 2 2 Ta có f (t) 8t 8 2 2 2 log4a 5b 1 16a b 1 log8ab 1 4a 5b 1 2 . Giá trị của a 2b t t t bằng 1 1 Vậy f t 0 t . Khảo sát hàm số, ta có P f 15 . 27 20 min A. B.9 C. 6 D. 2 2 4 3 Lời giải Câu 96: (Mã đề 101 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho a 0 , b 0 thỏa mãn 2 2 Từ giả thiết suy ra log 4a 5b 1 16a b 1 0 và 2 2 log3a 2b 1 9a b 1 log6ab 1 3a 2b 1 2 . Giá trị của a 2b log8ab 1 4a 5b 1 0. bằng Áp dụng BĐT Côsi ta có 7 5 2 2 A. B.6 C. 9 D. log 4a 5b 1 16a b 1 log8ab 1 4a 5b 1 2 2 2 2 2log4a 5b 1 16a b 1 .log8ab 1 4a 5b 1 Lời giải 2 log 16a 2 b 2 1 . 8 ab 1 a 0 , b 0 nên ta có log 6ab 1 0 ; log 3a 2b 1 0 . 2 3a 2b 1 6ab 1 Mặt khác 16a2 b2 1 4a b 8ab 1 8ab 1 a,b 0 ,
  21. suy ra 2 log 16a 2 b2 1 2 . Từ giả thiết ta có 25a2 b2 1 0 , 10a 3b 1 0 , 10a 3b 1 1 , 8ab 1 2 2 10ab 1 1. Khi đó log4a 5b 1 16a b 1 log8ab 1 4a 5b 1 2 Áp dụng Cô-si, ta có 25a2 b2 1 2 25a2b2 1 10ab 1 . Khi đó, log 4 a 5b 1 8ab 1 log 8ab 1 4a 5b 1 b 4a 2 2 log10a 3b 1 25a b 1 log10ab 1 10a 3b 1 2 2 3 log24a 1 32a 1 1 32a 24a a log10a 3b 1 10ab 1 log10ab 1 10a 3b 1 4 . b 4a b 4a b 3 2 (Áp dụng Cô-si). 3 27 5a b Vậy a 2b 6 . 4 4 Dấu “ ” xảy ra khi log10a 3b 1 10ab 1 log10ab 1 10a 3b 1 1 . Câu 98: (Mã đề 104 BGD&ĐT NĂM 2018) Cho a 0 , b 0 thỏa mãn 5 b 2 2 2 11 log2a 2b 1 4a b 1 log4ab 1 2a 2b 1 2. Giá trị của a 2b Suy ra a 2b . 1 2 bằng: a 15 3 2 A. B. C.5 D.4 4 2 Câu 100: (THPTQG năm 2017 Mã đề 104) Xét các số nguyên dương a, b sao Lời giải 2 cho phương trình a ln x bln x 5 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 và phương trình 5log2 x blog x a 0 có hai nghiệm phân biệt x , x Ta có 4a2 b2 4ab , với mọi a,b 0 . Dấu ‘ ’ xảy ra khi b 2a 1 . 3 4 thỏa mãn x x x x . Tính giá trị nhỏ nhất S của S 2a 3b . Khi đó 1 2 3 4 min 2 2 A. Smin 30 B. Smin 25 C. Smin 33 D. Smin 17 2 log2a 2b 1 4a b 1 log4ab 1 2a 2b 1 Lời giải log2a 2b 1 4ab 1 log4ab 1 2a 2b 1 . Mặt khác, theo bất đẳng thức Cauchy ta có Điều kiện x 0 , điều kiện mỗi phương trình có 2 nghiệm phân biệt là b2 20a . log2a 2b 1 4ab 1 log4ab 1 2a 2b 1 2. Dấu ‘ ’ xảy ra khi Đặt t ln x,u log x khi đó ta được at 2 bt 5 0(1) , log 4ab 1 1 4ab 1 2a 2b 1 2 . 2a 2b 1 5t 2 bt a 0(2) . 3 3 15 Từ 1 và 2 ta có 8a2 6a 0 a . Suy ra b . Vậy a 2b . Ta thấy với mỗi một nghiệm t thì có một nghiệm x , một u thì có một 4 2 4 x . b b (THPT QUỐC GIA 2018 - MÃ ĐỀ 102) Cho a 0 , b 0 thỏa mãn Câu 99: t1 t2 t1 t2 a u1 u2 5 2 2 Ta có x1.x2 e .e e e , x3.x4 10 10 , lại có log10a 3b 1 25a b 1 log10ab 1 10a 3b 1 2 . Giá trị của a 2b b b a 5 bằng x1x2 x3 x4 e 10 5 11 b b 5 A. . B. .C.6 .D. 22 . ln10 a a 3 ( do a,b nguyên dương), suy ra 2 2 a 5 ln10 Lời giải b2 60 b 8.
  22. Vậy S 2a 3b 2.3 3.8 30 ,suy ra Smin 30 đạt được a 3,b 8 . Điều kiện: ab 1 . Ta có 9t Câu 101: (THPT QG 2017 Mã đề 105) Xét hàm số f t với m là 1 ab t 2 log 2ab a b 3 log 2 1 ab 2 1 ab log a b a b * 9 m 2 a b 2 2 tham số thực. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của m sao cho . f x f y 1 với mọi số thực x, y thỏa mãn ex y e x y .Tìm số Xét hàm số y f t log2 t t trên khoảng 0; . phần tử của S . 1 A. Vô số B. 1 C. 2 D. 0 Ta có f t 1 0,t 0 .Suy ra hàm số f t đồng biến trên t.ln 2 Lời giải khoảng 0; . x y 4 4 2 Do đó, Ta có f x f y 1 9 m x y log9 m log3 m Đặt . Vì b 2 x y t,t 0 * f 2 1 ab f a b 2 1 ab a b a 2b 1 2 b a x y t 2b 1 e e x y e et t 1 lnt 1 lnt t 0,t 0 (1) . 1 1 t b 2 Xét hàm f t lnt 1 t với t 0 . f t 1 0 t 0 P a 2b 2b g b . t t 2b 1 Bảng biến thiên 5 2 5 10 10 2 g b 2 2 0 2b 1 2b 1 b 2b 1 2 2 4 (vì b 0 ). 10 2 2 10 3 Lập bảng biến thiên ta được P g . min 4 2 Dựa vào bảng biến thiên, ta có f t f 1 ,t 0 1 xy  (2) 1 lnt t 0, t 0 Câu 103: Xét các số thực dương x, y thỏa mãn log3 3xy x 2y 4 . 2 2 x 2y Từ 1 và 2 ta có t 1 log3 m 1 m 3 m 3 Tìm giá trị nhỏ nhất Pmin của P x y Câu 102: (THPT QG 2017 Mã đề 110) Xét các số thực dương ,a bthỏa mãn 2 11 3 9 11 19 1 ab A. P B. P log 2ab a b 3 . Tìm giá trị nhỏ nhất P của P a 2b . min 3 min 9 2 a b min 18 11 29 9 11 19 2 10 3 2 10 5 C. Pmin D. Pmin A. Pmin B. Pmin 21 9 2 2 Lời giải 3 10 7 2 10 1 C. P D. P min 2 min 2 Với x, y dương và kết hợp với điều kiện của biểu thức Lời giải 1 xy log 3xy x 2y 4 ta được 1 xy 0 3 x 2y
  23. 1 xy Biến đổi log 3xy x 2y 4 3 x 2y log3 1 xy log3 x 2y 3 1 xy x 2y log3 3 log3 1 xy log3 3 3 1 xy log3 x 2y x 2y log3 3 1 xy 3 1 xy log3 x 2y x 2y 1 Xét hàm số f t log3 t t trên D 0; 1 f ' t 1 0 với mọi x D nên hàm số f t log3 t t đồng t.ln 3 biến trên D 0; 3 2y Từ đó suy 1 3 1 xy x 2y 3 2y x 1 3y x 1 3y (do y 0 ) 3 2y 3 Theo giả thiết ta có x 0 , y 0 nên từ x ta được 0 y . 1 3y 2 3 2y 3y2 y 3 P x y y 1 3y 3y 1 2 3y y 3 3 Xét hàm số g y với 0 y 3y 1 2 9y2 6y 10 1 11 g' y 2 0 ta được y . 3y 1 3 1 11 2 11 3 Từ đó suy ra min P g . 3 3