Bộ 29 Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 môn Toán (Có đáp án)

159 trang Đình Phong 11/10/2023 2547

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bộ 29 Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 môn Toán (Có đáp án)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

bo_29_de_thi_tuyen_sinh_vao_lop_10_mon_toan_co_dap_an.docx

Nội dung text: Bộ 29 Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 môn Toán (Có đáp án)

Bộ 29 Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán (Có đáp án) - DeThi.edu.vn DeThi.edu.vn
Bộ 29 Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 1 ĐÊ THI TUYỂN SINH PTTH TRẮC NGHIỆM (2đ) Câu 1. Giá trị của 12. 27 bằng: A. 12 B. 18 C. 27 D. 324 Câu 2. Đồ thị hàm số y= mx + 1 (x là biến, m là tham số) đi qua điểm N(1; 1) . Khi đó gí trị của m bằng: A. m = - 2 B. m = - 1 C. m = 0 D. m = 1 Câu 3: Gọi là góc tạo bởi đường thẳng y x 3 với trục Ox, gọi  là góc tạo bởi đường thẳng y 3x 5 với trục Ox. Trong các phát biểu sau,phát biểu nào sai ? A. 450 . B.  900 . C. 900 . D.  . Câu 4. Tất cả các giá trị x để biểu thức x 1 có nghĩa là: A. x 1 D. x 1 2x y 3 Câu 5. Hệ phương trình có nghiệm (x;y) là x y 6 A. (1;1). B. (7;1). C. (3;3). D. (3;-3). Câu 6. Cho hai đường tròn (O;3cm) và (O, ;5cm), có OO, = 7cm. Số điểm chung của hai đường tròn là A. 1. B. 2. C. 3. D. 4. Câu 7. Hệ phương trình nào sau đây có nghiệm duy nhất ? x 2 y 6 1 x 2 y 3 1 x 2 y 6 2 x 2 y 6 6 A. B. C. D. x y 3 2 x y 3 2 x y 3 3 x y 3 3 Câu 8: Phương trình x2 + mx - 9 =0 có nghiệm kép khi: A. m = 6 B. m = -6 C. m = 6 D. Mét kÕt qu¶ kh¸c TỰ LUẬN (8 đ): Câu 1 (1.5 điểm) Rút gọn các biểu thức sau : a) M = 27 + 5 12 - 2 3 1 1 a b) N = : , với a > 0 và a 4 a 2 a 2 a 4 Câu 2 ( 1.5 điểm) Cho phương trình: x2 2(m 1)x 2m 0 DeThi.edu.vn
Bộ 29 Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 1) Giải phương trình khi m = 1 2) CMR PT luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m. 3) Gọi hai nghiệm của PT là x1; x2 . Tìm giá trị của m để x1; x2 là độ dài hai cạnh của một tam giác vuông có cạnh huyền bằng 12 . Câu 3 : (1,0 điểm) Cho Parabol (P): y x 2 và đường thẳng (d): y 2x m2 9. 1) Tìm toạ độ các giao điểm của Parabol (P) và đường thẳng (d) khi m = 1. 2) Tìm m để đường thẳng (d) cắt Parabol (P) tại hai điểm nằm về hai phía của trục tung. Câu 4 : (3,0 điểm) Cho tứ giác ABCD nội tiếp nửa đường tròn (O) đường kính AD. Hai đường chéo AC va BD cắt nhau tại E. Kẻ EF vuông góc với AD (F AD; F O). a) Chứng minh: Tứ giác ABEF nội tiếp; b) Chứng minh: Tia CA là tia phân giác của góc BCF; c) Gọi M là trung điểm của DE. Chứng minh: CM.DB = DF.DO Câu 5.(1,0 điểm) : Giải phương trình : x x2 9 x 9 22 x 1 2 ĐÁP ÁN 1 2 3 4 5 6 7 8 A C C D D B B D Câu 1 (1.5 điểm): Rút gọn các biểu thức sau a)M= 27 5 12 2 3 32.3 5 22.3 2 3 3 3 5.2 3 2 3 (3 10 2) 3 11 3 1 1 a b)N = : a 2 a 2 a 4 a 2 a 2 a N = : ( a 2)( a 2) ( a 2)( a 2) 2 a ( a 2)( a 2) N =  ( a 2)( a 2) a N = 2. Câu 2 (1.5 điểm): a) Với m = 1 ta có phương trình: DeThi.edu.vn
Bộ 29 Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán (Có đáp án) - DeThi.edu.vn x2 2(1 1)x 2 0 x2 4x 2 0 ' ( 2)2 1.2 = 2 x1 2 2 ' 2 x2 2 2 Vậy b) ' (m 1)2 1. 2m = m2 2m + 1 - 2m = m2 1 0 m Vậy PT luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m c) TheoVi et : x1 x2 2(m 1); x1.x2 2m x1; x2 là độ dài hai cạnh của một tam giác vuông có cạnh huyền bằng 12 nên: x1; x2 > 0 => S= x1 x2 > 0 và P= x1x2 >0 từ đó suy ra m > 0 2 x2 x2 )2 x 12 Vµ : 1 2 12 (x1 x2 2x1 2 4(m 1)2 - 2.2m = 12 m2 m 2 = 0 PT cã d¹ng :a b c 1 1 ( 2) 0 m1 1 hoÆc m2 2 (Lo¹i) Vậy m = 1. Bài 3 : (1,0 điểm): 1/ Với m = 1 ta có (d): y = 2x + 8 Phương trình hoành độ điểm chung của (P) và (d) là x2 = 2x + 8 x2 – 2x – 8 = 0 Giải ra x = 4 => y = 16 x = -2 => y = 4 Tọa độ các giao điểm của (P) và (d) là (4 ; 16) và (-2 ; 4) 2/ Phương trình hoành độ điểm chung của (d) và (P) là x2 – 2x + m2 – 9 = 0 (1) Để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt nằm về hai phía của trục tung thì phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu DeThi.edu.vn
Bộ 29 Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ac < 0 m2 – 9 < 0 (m – 3)(m + 3) < 0 Giải ra có – 3 < m < 3 Câu 4: (3,0 điểm) B C E M D A O F a, Ta có: ABD 900 (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) hay ABE 900 Mặt khác: AFE 900 (EF  AD). ABE AFE 1800 . Vậy tứ giác ABEF nội tiếp. b, Chứng minh: CA là tia phân giác của góc BCF. Ta có: ACD 900 (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) hay ECD 900 Mặt khác: DFE 900 (EF  AD). ECD DFE 1800 . Vậy tứ giác CDFE nội tiếp. ECF EDF (cùng chắn cung EF) hay ACF ADB (1) Mặt khác tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) nên ACB ADB (cùng chắn cung AB) (2) Từ (1), (2) ACF ACB . Vậy CA là tia phân giác của góc BCF. c) Chứng minh: CM.DB = DF.DO Ta có: BOD cân tại O, suy ra OBD ODB (3) 1 Bên cạnh đó DMF cân tại M do (MF = MD = DE ), suy ra MFD MDF (4) 2 Từ (3) và (4) suy ra OBD MFD (5). Xét BOD và FMD có: OBD MFD (Từ (5)) ADB (Chung) BOD đồng dạng với MFD (góc - góc) DeThi.edu.vn
Bộ 29 Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán (Có đáp án) - DeThi.edu.vn DM DF DM DO 1 mà CM DM DE (CM là đường trung tuyến của DO DB DF DB 2 tam giác vuông DCE), nên: DM DO CM DO CM.DB = DF.DO Điều phải chứng minh. DF DB DF DB Câu 5.(1,0 điểm) Giải phương trình : x x2 9 x 9 22 x 1 2 2 2 2 2 2 2 x 9 x 9x 22 x 1 x 9 x 9 9 x 1 22 x 1 Đặt x – 1 = t; x2 9 = m ta có: m2 9mt 22t2 22t2 9mt m2 0 m m Giải phương trình này ta được t ;t 2 11 m x2 9 ➢ Với t ta có : x 1 x2 2x 11 0 vô nghiêm 2 2 m x2 9 ➢ Với t ta có : x 1 x2 11x 2 0 11 11 11 129 121 8 129 > 0 phương trình có hai nghiệm x 1,2 2 DeThi.edu.vn
Bộ 29 Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 2 Phần I- Trắc nghiệm (2,0 điểm) Hãy chọn phương án trả lời đúng và viết chữ cái đứng trước phương án đó vào bài làm. 2 Câu 1. Biểu thức 3 2 có giá bằng A. 2- 3 B. 7 4 3 C. 3 2 D. 7 2 3 Câu 2. Giá trị của m để hai đường thẳng y= 9x + m- 1 và y= m2x+ 2 song song là: A. m= 3 hoặc m=-3 B. m= 3 C. m = -3 D. m R ax+y=0 Câu 3. Giá trị của a và b để hệ phương trình có nghiệm (x;y) =(-1;2) là: x+by=1 A. a=2; b=1 B. a= -2;b=0 C. a= -2; b=1 D. a= 2; b=0 Câu 4. Đồ thị của hàm số y= ax2 đi qua điểm M(-1;-3) giá trị của a bằng: A. 3 B. 1 C. -1 D. -3 Câu 5. Phương trình 2x+3 x có tập nghiệm là: A. 1;3 B. 3 C. 1;1 D. 1; 3 Câu 6. Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, có BH= 1cm, CH= 2cm. Độ dài AH bằng. A. 1cm B. 2cm C. 3cm D. 2 cm Câu 7. Đường tròn (O;R) có chu vi bằng 4 (cm). Diện tích hình tròn (O;R) bằng. A. 2 cm2 B. 4 cm2 C. 4 2 cm2 D. 8 cm2 Câu 8. Một hình trụ có chiều cao và bán kính đáy cùng bằng 2cm. Thể tích của hình trụ bằng A. 2 cm3 B. 4 cm3 C. 16 cm3 D. 8 cm3 Phần II- Tự luận (8,0 điểm) Bµi 1: 1 x 1 x 1 Cho biÓu thøc: Q x víi x>0 vµ x 1. x x 1 x 1 1)Rót gän Q. 2)T×m x ®Ó Q = 8. 1 2 x y 3 x Bµi 2: Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh: 1 x x y x 2 2 Bµi 3: Cho ph¬ng tr×nh: m 2 x2 1 2m x m 3 0 (x lµ Èn, m lµ tham sè) 9 1)Gi¶i ph¬ng tr×nh khi m . 2 2)Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh ®· cho cã nghiÖm víi mäi m 3)T×m tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ cña m sao cho ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt vµ nghiÖm nµy gÊp 3 lÇn nghiÖm kia. Bµi 4: (3 ®iÓm). Cho tam gi¸c ABC (AB kh¸c AC) néi tiÕp ®êng trßn (O). §êng ph©n gi¸c trong AD vµ ®êng trung tuyÕn AM cña tam gi¸c (D thuéc BC, M thuéc BC) t¬ng øng c¾t ®êng trßn (O) t¹i P vµ Q (P vµ Q kh¸c A). Gäi I lµ ®iÓm ®èi xøng víi D qua M. 1)KÎ ®êng cao AH cña tam gi¸c ABC. Chøng minh AD lµ ®êng ph©n gi¸c cña gãc OAH. 2)Chøng minh tø gi¸c PMIQ néi tiÕp. DeThi.edu.vn
Bộ 29 Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 3)So s¸nh DP vµ MQ. Bµi 5: a)Gi¶i ph¬ng tr×ng: 3x2 6x 7 5x2 10x 14 4 2x x2 . b)Cho 0 y x 1 t×m GTLN cña P x y y x Hết §¸p ¸n I. Tr¾c nghiÖm (2,0 ®iÓm) C©u 1 2 3 4 5 6 7 8 §¸p ¸n A C A D B D B D Bµi 1: (1,5 ®iÓm) 1 x 1 x 1 Cho biÓu thøc: Q x víi x>0 vµ x 1. x x 1 x 1 1)Rót gän Q. 2 2 x 1 x 1 x 1 x 1 2 x 1 2x 2 víi x > 0 vµ x 1ta cã: Q . . x x 1 x 1 x x 1 x 2)T×m x ®Ó Q = 8. víi x>0 vµ x 1, Q = 8 2x 2 2 8 x 4 x 1 0 t 4t 1 0 t 0;t 1 t1 2 3 t / m ;t2 2 3 t / m x 2 2 t1 2 3 x x 2 3 7 4 3;t2 2 3 x x 2 3 7 4 3 . So s¸nh víi ®iÒu kiÖn vËy Q = 8 x 7 4 3 Bµi 2: (1 ®iÓm) 1 2 x y 3 x Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh: §K: x 0 ta cã: 1 x x y x 2 2 1 1 2 x y 3 2 x y 3 x x 1 4 x x y x 2 x y 2 2 x 1 a 2b 3 a 2b 3 7a 7 1 x 1 §Æt 1/x = a; x + y = b ta cã: 4a b 2 8a 2b 4 b 2 x y 3 x y 2 Bµi 3: (2 ®iÓm) DeThi.edu.vn
Bộ 29 Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Cho ph¬ng tr×nh: m 2 x2 1 2m x m 3 0 (x lµ Èn, m lµ tham sè) 9 1)Gi¶i ph¬ng tr×nh khi m . 2 2 ta cã x - 4x + 3 = 0, mµ a + b + c = 1 + (-4) + 3 = 0 suy ra x1 = 1; x2 = c/a = 3 2)Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nh ®· cho cã nghiÖm víi mäi m. +)Víi m + 2 = 0 hay m = -2 pt trë thµnh: 5x -5 = 0 suy ra x = 1. (1) +)Víi m + 2 0 m 2 . XÐt 1 2m 2 4 m 2 m 3 4m2 4m 1 4m2 4m 24 24 0 2 Tõ (1) vµ (2) suy ra pt trªn cã nghiÖm víi mäi m. 3)T×m tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ cña m sao cho ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ph©n biÖt vµ nghiÖm nµy gÊp 3 lÇn nghiÖm kia. Theo ý 2 nhËn thÊy pt cã 2 nghiÖm ph©n biÖt khi m 2 . L¹i cã a + b + c = (m + 2) + (1 - 2m) + m 3 (m -3) = 0 suy ra x1 = 1; x2 = . §Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm nµy b»ng 3 lÇn nghiÖm kia khi m 2 m 3 3 m 4,5 t / m m 2 chØ khi m 2 m 3 3m 6 m 3 1 3m 9 m 2 m 5,5 t / m m 2 m 2 3 Lu ý: c¶ 3 ý cã thÓ lµm theo c¸ch ®Æc biÖt sÏ dÔ h¬n Bµi 4: (3 ®iÓm). Cho tam gi¸c ABC (AB kh¸c AC) néi tiÕp ®êng trßn (O). §êng ph©n gi¸c trong AD vµ ®- êng trung tuyÕn AM cña tam gi¸c (D thuéc BC, M thuéc BC) t¬ng øng c¾t ®êng trßn (O) t¹i P vµ Q (P vµ Q kh¸c A). Gäi I lµ ®iÓm ®èi xøng víi D qua M. A 1)KÎ ®êng cao AH cña tam gi¸c ABC. Chøng minh AD lµ ®- êng ph©n gi¸c cña gãc OAH. -Ta chøng minh ®îc OP lµ trung trùc cña BC. -OP // AH suy ra H· AP = A· PO ( so le) (1). Mµ OAP lµ tam O gi¸c c©n suy ra O· PA = O· AP (2) Tõ (1) vµ (2) suy ra AP lµ ph©n gi¸c gãc OAH. 2)Chøng minh tø gi¸c PMIQ néi tiÕp. D M I B C Gäi P’ lµ giao ®iÓm thø 2 cña PO víi ®êng trßn, nèi P’Q c¾t H BC t¹i I’, ta cã P· 'QP = 900 ( ) vµ l¹i cã: P· MI' = 900 (c/m · · trªn) suy ra MI’QP néi tiÕp ( ) MPI ' MQI ' (t/c gãc néi Q tiÕp ). P Mµ D· PM M· QI '(gãc néi tiÕp cïng ch¾n cung cña ®tr(O)) Suy ra D· PM = M· PI' suy ra PM lµ trung tuyÕn tam gi¸c DPI’ suy ra DM = MI’ suy ra I trïng víi I’ hay ta cã ®iÒu ph¶i c/m. C¸ch kh¸c: Tï 2 ®Ønh I vµ Q cïng nh×n MP díi hai gãc b»ng nhau (2 gãc nµy cïng b»ng gãc MDP do tÝnh chÊt tam gi¸c c©n vµ yÕu tè gãc néi tiÕp, gãc cã ®Ønh bªn trong ®êng trßn) 3)So s¸nh DP vµ MQ. DP PI MQ (®êng kÝnh lµ d©y cung lín nhÊt). Chøng minh dÊu b»ng x¶y ra lµ v« lý. DeThi.edu.vn
Bộ 29 Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Bµi 5 : a) VT 5,VP 5 suy ra 4 2x x2 5 x2 2x 1 0 x 1 b)Ta cã : 1 1 1 1 Gi¶i: Tõ gt ta cã: x x2 y x y.x2 2 y.x2. x y x y y x 4 4 4 4 2 x x x 1 1 Suy ra P dÊu b»ng x¶y ra khi: y x 0,25 1 4 y 0 y x 1 4 DeThi.edu.vn
Bộ 29 Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 3 Së gd - ®t Thanh Ho¸ ®Ò thi vµo líp 10 chuyªn lam s¬n trêng thpt sÇm s¬n m«n: TOÁN tin thêi gian: 150' Ngêi ra ®Ò: Cao §øc Lùc §Ò bµi: Bµi 1: (1 ®iÓm) Cho biÓu thøc: 2 x 1 x 1 1 x P = x 1 x 1 2 x 2 P Rót gän biÓu thøc P vµ t×m x ®Ó 2 x Bµi 2: (2 ®iÓm) Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau: a) x x x x 5 5 b) (x2 + 3x + 2) (x2 + 7x + 12) = 3 Bµi 3: (2 ®iÓm) a) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc: P = 2 - 5x2 - y2 - 4xy + 2x b) T×m tÊt c¶ c¸c nghiÖm nguyªn d¬ng cña ph¬ng tr×nh: xy + yz + zx = 2(x + y + z) Bµi 4: (3 ®iÓm) Cho ®êng trßn (O) vµ d·y cung BC cè ®Þnh. Gäi A lµ mét ®iÓm di ®éng trªn cung lín BC cña ®êng trßn (O) (A kh¸c B vµ C). Tia ph©n gi¸c cña gãc ACB c¾t ®êng trßn (O) t¹i mét ®iÓm D (D C). LÊy mét I trªn d©y cung CD sao cho ®o¹n th¼ng DI = DB. §êng th¼ng BI c¾t ®êng trßn (O) ë mét ®iÓm K (K kh¸c B). a) Chøng minh tam gi¸c KAC lµ tam gi¸c c©n. b) Chøng minh ®êng th¼ng AI lu«n lu«n ®i qua mét ®iÓm J cè ®Þnh trªn ®êng trßn (O). Tõ ®ã x¸c ®Þnh vÞ trÝ cña ®iÓm A ®Ó ®é dµi ®o¹n AI lín nhÊt. DeThi.edu.vn
Bộ 29 Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán (Có đáp án) - DeThi.edu.vn c) Trªn tia ®èi AB lÊy mét ®iÓm M sao cho ®o¹n th¼ng AM = AC. T×m tËp hîp c¸c ®iÓm M khi A di ®éng trªn cung lín AB cña ®êng trßn (O). Bµi 5: (2 ®iÓm) a) T×m nghiÖm nguyªn cña hÖ ph¬ng tr×nh x 2 2y 2 xy 2x 2y 7 0 x3 y 3 x y 8 0 b) Chøng minh bÊt ®¼ng thøc: a3 b3 c3 a 2 b2 b2 c2 c2 a 2 9 2abc c2 ab a 2 bc b2 ac 2 Trong ®ã a, b, c lµ c¸c sè thùc d¬ng. DeThi.edu.vn
Bộ 29 Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ®¸p ¸n: Bµi 1: (1 ®iÓm) a) Rót gän biÓu thøc: 2 x 1 x 1 1 x P x 1 x 1 2 x 2 §iÒu kiÖn: x > 0 vµ x 1 0,25® x 2 x 1 2 x 1 1 x 4 x 1 x 2 1 x P 0,5® x 1 2 x 1 x 4x x P 1 x 1 b) 2 2 x , x > 0 0,25® x x 3 Bµi 2: (2 ®iÓm) a) Gi¶i ph¬ng tr×nh x x x x 5 5 (1) 1® §iÒu kiÖn: x 5 §Æt x x 5 t (víi x t 0) Khi ®ã ph¬ng tr×nh (1)  x x t 5 0,25® * NÕu t x - 5 0  x t x 5  x x t x x 5 x x t x x 5 Hay 5 5  0 x - t t v« lý 0,25® VËy t = 5 do ®ã x x 5 5 x 25 x 5 DeThi.edu.vn
Bộ 29 Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán (Có đáp án) - DeThi.edu.vn x 25 x 25  2 2 x 30 x 25 x 5 x 51x 63 0 VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt x = 30 0,25® b) Gi¶i ph¬ng tr×nh: (x2 + 3x + 2)(x2 + 7x + 12) = 3 (1 ®iÓm)  (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) = 3 0,25®  (x + 1)(x + 4)(x + 2)(x + 3) = 3  (x2 + 5x + 4)(x2 + 5x + 6) = 3 (*) 0,25® §Æt x2 + 5x + 4 = t Khi ®ã ph¬ng tr×nh (*)  t(t + 2) = 3 0,25® 2  t + 2t - 3 = 0  t1 = - 3, t2 = 1 Víi t = 1 => x2 + 5x + 3 = 0 5 13 5 13 => x ; x 1 2 2 2 Víi t = -3 => x2 + 5x + 7 = 0 => ph¬ng tr×nh v« nghiÖm.VËy ph¬ng tr×nh cã 2 5 13 5 13 ngiÖm x , x 1 2 2 2 Bµi 3: a) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc: P = 2 - 5x2 - y2 - 4xy + 2x (1®) => P = 3 - (2x + y)2 - (x-1)2 3 dÊu b»ng x¶y ra khi x = 1; y = -2 b) T×m tÊt c¶ c¸c nghiÖm nguyªn d¬ng cña PT: xy + yz + yx = 2( x + y + z) (2) (1®) XÐt 2 trêng hîp: TH1: NÕu 3 sè x,y,z ®Òu kh«ng nhá h¬n 2 Khi ®ã ta cã: xy + yz + zx x2 + y2 + z2 > 2x + 2y + 2z = 2(x + y + z) DÊu b»ng x¶y ra khi vµ chØ khi: x = y = z =2 (0,25®) TH2: Tån t¹i Ýt nhÊt 1 sè nhá h¬n 2 ch¼ng h¹n: z = 1 DeThi.edu.vn
Bộ 29 Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán (Có đáp án) - DeThi.edu.vn (Khi cho x = 1; hoÆc y = 1 ta cã c¸c nghiÖm kh¸c nhau) Lóc ®ã PT (1) trë thµnh xy = 2x + y + 1 *NÕu cã Ýt nhÊt 1 sè nhá h¬n 4: Víi y = 2 th× x = 3 vµ x= 3 th× y = 2 Víi y = 3 th× x = 2 vµ x = 2 th× y = 3 (0,25®) *NÕu c¶ 2 sè x, y ®Òu kh«ng nhá h¬n 4: Tõ (x - 4)(y - 4) xy 2x + 2y + 2(x + y -8) 2x + y + 1 (3) Ta sÏ chøng minh b»ng quy n¹p r»ng: xy xy (4) Th× tõ (3) vµ (4) => xy > 2x + y + 1 nghÜa lµ PT (2) v« nghiÖm víi x 4; y 4 Víi y = 4 th× tõ x4 = x.x3 > 4x nªn (4) ®óng. Gi¶ sö (4) ®óng víi y = k 4 Ta cã xk+1 = x xk > x.xk x.4k = x(k+3k) > x(k+1) NghÜa lµ (4) ®óng víi k + 1. VËy theo quy n¹p (4) ®óng víi mäi x 4; y 4 (0,25®) Tãm l¹i ph¬ng tr×nh (2) cã nghiÖm (x,y,z) lµ: (2,2,2); (1,2,3); (1,3,2); (2,1,3);(2,3,1); (3,1,2); (3,2,1) (0,25®) Bµi 4: (3®) a) (1®) Ta cã s® DBK = 1/2 s®(DA + AK) s® DIB = 1/2 s®(BD + KC) mµ s® BD = s® DA vµ DBI c©n t¹i D (0,5®) nªn s® AK = s® KC => AK=CK hay KAC c©n t¹i K (0,5®) b) Tõ c©u a ta thÊy I lµ t©m ®êng trßn néi tiÕp ABC (v× I lµ giao ®iÓm 2 ®êng ph©n gi¸c BK vµ CD). Nªn ®êng th¼ng AI lu«n ®i qua trung ®iÓm J cña cung BC (kh«ng chøa A). NhËn xÐt r»ng JIC = JCI nªn JIC c©n t¹i J DeThi.edu.vn
Bộ 29 Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán (Có đáp án) - DeThi.edu.vn => IJ = JC (kh«ng ®æi) (0,5®) Do ®ã ®é dµi AI lín nhÊt AJ lín nhÊt AJ lµ ®êng kÝnh cña ®êng trßn (O). Hay A lµ ®iÓm chÝnh gi÷a cña cung lín BC. (0,5®) c) PhÇn thuËn: Theo gt AMC lµ c©n t¹i A => BMC = 1/2 BAC gi¶ sö s® BAC = 2 (kh«ng ®æi) Th× khi ®ã A di ®éng t©m cung lín BC víi ®êng trßn (O) c¾t cung chøa gãc dùng trªn ®o¹n BC vÒ phÝa ®iÓm O. 0,5® PhÇn ®¶o: TiÕp tuyÕn Bx víi ®êng trßn (O) c¾t cung chøa gãc dùng trªn BC t¹i X. LÊy ®iÓm M bÊt k× trªn cung CX lµ mét phÇn cña cung chøa gãc dùng trªn ®o¹n BC (M X; M C) Nèi MB c¾t (O) t¹i A. Th× A thuéc cung lín BC Khi ®ã v× BAC = 2 => ACM = => ACM c©n t¹i A hay AC = AM KÕt luËn: Quü tÝch ®iÓm M lµ cung CX ®ã lµ mét phÇn cung chøa gãc dùng trªn ®o¹n BC cè ®Þnh vÒ phÝa ®iÓm O kh«ng kÓ 2 ®iÓm X vµ C. (0,5®) x D . X M . O K B . C J Bµi 5: a) T×m nghiÖm nguyªn cña hÖ PT: (1®) DeThi.edu.vn
Bộ 29 Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán (Có đáp án) - DeThi.edu.vn x2 - 2y2 + xy + 2x - 2y + 7 = 0 (1) x3 + y3 + x - y - 8 = 0 (2) (x + y + 2)(x - y) = - 7 (1') => x3 + y3 + x - y = 8 (2') Tõ (1') do x, y nguyªn nªn ta cã c¸c trêng hîp: TH1: x - y = - 1 => x + 2y + 2 = 7 => x = 1 vµ y = 2 (tho¶ m·n (2)) (0,5®) TH2: x - y = 1 => x + 2y + 2 = -7 => x + 2y = -9 => y kh«ng nguyªn TH3: x - y = -7 => x + 2y + 2 = 1 => (x,y) = (-5,2) kh«ng tho¶ m·n TH4: x - y = 7 => x + 2y + 2 = -1 => x + 2y = -3 => y kh«ng nguyªn. Tãm l¹i hÖ ®· cho cã nghiÖm duy nhÊt (x,y) = (1,2) (0,5 ®) b) Chøng minh B§T: a3 + b3 + c 3 a2 + b2 b2 + c 2 c 2 + a2 9 + + + 2abc c 2 + ab a2 + bc b2 + ac 2 Gäi vÕ tr¸i cña B§T lµ A th× ta cã: a 2 b 2 c2 b 2 c2 a 2 b 2 c2 a 2 A 2bc 2ac 2ab a 2 bc c2 ab b 2 ac a 2 bc b 2 c2 b 2 ac c2 a 2 c2 ab a 2 b 2 3 (0,5®) 2bc a 2 bc 2ac b 2 ac 2ab c2 ab 2 ¸p dông B§T x2 + y2 2xy ta cã: a 2 bc 2bc b 2 ac 2ac c2 ab 2ab 3 A ( ) ( ) ( ) 2bc a 2 bc 2ac b 2 ac 2ab c2 ab 2 ¸p dông B§T c« Si cho 3 sè trong dÊu ngoÆc ®¬n. Ta cã: 3 9 A 2 + 2 + 2 - = 2 2 §T x¶y ra a = b = c (0,5®) DeThi.edu.vn
Bộ 29 Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 4 Së GD vµ ®µo t¹o Thanh Ho¸ TRêng THPt NguyÔn THÞ lîi §Ò thi vµo 10 chuyªn lam s¬n (To¸n chung) Thêi gian : 150 phót Bµi 1 (1,5 ®iÓm) : 1 1 2 1 1 x3 y x x y y3 Cho A1 = [( ). ] : x y x y x y xy 3 yx3 a- T×m tËp x¸c ®Þnh, rót gän A1. b- Cho xy = 16, T×m MinA1?. (TrÝch tuyÓn chän c¸c ®Ò luyÖn thi vµo 10 cña t¸c gi¶ Vò §×nh Hoµng) Bµi 2 (1 ®iÓm) : TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc : A = (3x3 + 8x2 + 2)2006. ( 5 2)( 3 17 5 38 ) Víi x = 5 14 6 5 (TrÝch dùa trªn 150 ®Ò häc sinh giái toµn quèc líp 9) Bµi 3 (1,5 ®iÓm) : Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh : x2y + 2 = y2 xy2 + 2 = x2 (TrÝch 23 chuyªn ®Ò gi¶i to¸n s¬ cÊp) Bµi 4 (2 ®iÓm) : Cho hµm sè : y = x2 (P) vµ y = x + m (D) (m lµ tham sè). 1- T×m m sao cho (D) c¾t (P) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A vµ B. 2- T×m ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng (d) vu«ng gãc víi (D) vµ (d) tiÕp xóc víi (P). 3a- ThiÕt lËp c«ng thøc tÝnh kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®iÓm A vµ B. 3b- ¸p dông t×m m sao cho kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®iÓm A, B lµ 3 3 (TrÝch 1001 bµi to¸n s¬ cÊp cña t¸c gi¶ NguyÔn §øc §ång). Bµi 5(4 ®iÓm) : Cho ABC ®Òu. O lµ trung ®iÓm cña BC. M thuéc AB, N thuéc AC sao cho gãc MON = 600. a- Chøng minh r»ng BC2 = 4BM.CN. DeThi.edu.vn
Bộ 29 Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán (Có đáp án) - DeThi.edu.vn b- Chøng minh OM, ON lÇn lît lµ hai tia ph©n gi¸c cña c¸c gãc CMN vµ MNC. c- Chøng minh MN lu«n tiÕp xóc víi 1 ®êng trßn cè ®Þnh. d- X¸c ®Þnh M, N ®Ó diÖn tÝch tam gi¸c OMN lµ lín nhÊt Së GD vµ ®µo t¹o Thanh Ho¸ TRêng THPt NguyÔn THÞ lîi híng dÉn vµ biÓu chÊm vµo 10 chuyªn lam s¬n (To¸n chung) Thêi gian : 150 phót Bµi Néi dung §iÓm 1a 1.0 §iÒu kiÖn : x > 0 0,25 y > 0 §Æt A1 = B : C 2( x y ) x y 2 x y Víi B = xy ( x y ) xy xy xy x 2 xy y ( x y)2 B = xy xy 0,5 x 3 y 3 y x x y §Æt C = V× x > 0 vµ y > 0 xy 3 yx 3 ( x y )(x xy y) xy ( x y ) C = xy (x y) ( x y )( x y) x y C = xy (x y) xy 0,25 ( x y)2 xy ( x y) VËy A = B : C = . 0,25 xy x y xy DeThi.edu.vn
Bộ 29 Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 1b 0,5 4 Víi xy = 16 v× x > 0 vµ y > 0 xy = 4 y = x 4 x x 2 4 VËy A1 = A 1 0,25 4 4 4 Min A1 = 1 . DÊu "=" s¶y ra x x = 4 vµ y = 4 0,25 x 2 1.00 ( 5 2) 3 ( 5 2) 3 Ta cã : x = 0,5 5 (3 5 ) 2 ( 5 2)( 5 2) 1 x = 0,25 5 3 5 3 Thay x = 1 vµo A ta cã : A = ( 3. 1 + 8. 1 + 2)2006. 3 27 9 0,25 VËy A = 32006 3 1,5 x2y + 2 = y2 (1) xy2 + 2 = x2 (2) LÊy (1) trõ (2) vÕ víi vÕ ta cã : xy (x - y) + (x - y)(x + y) = 0 (x - y) (xy + x + y) = 0 x = y 0,5 xy + x + y = 0 VËy TH1 : x = y x = y xy2 + 2 = x2 x3 - x2 + 2 = 0 ( x + 1)(x2 - 2x + 2) = 0 x = y VËy x1 = y1 = -1 lµ nghiÖm cña hÖ. 0,5 2 2 TH2 : x y + 2 = y xy + x + y = 0 (3) DeThi.edu.vn
Bộ 29 Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Tõ (3) ta cã : (x +1) y = -x y = x ( V× x -1) x 1 Thay vµo (1) : x4 + x3 - x2 - 4x - 2 = 0 (4) Gi¶ sö vÕ tr¸i (4) ph©n tÝch ®îc díi d¹ng : x4 + x3 - x2 - 4x - 2 = (x2 + ax + b) (x2 + cx + d) x4 + x3 - x2 - 4x - 2 = x4 + (a +c)x3 + (b + ac + d)x2 + (ad + bc)x + bd a = 2 b = 2 c = -1 d = -1 2 2 (x + 2x + 2)(x - x - 1) = 0 x2 = 1- 5 vµ x3 = 1+ 5 1 5 1 5 0,5 y3 = vµ y4 = 2 5 2 5 KL : VËy hÖ ®· cho cã 3 nghiÖm. 4.1 0,5 Ph¬ng tr×nh hoµnh ®é giao ®iÓm cña (P) vµ (D) lµ : 0,25 x2 = x + m x2 - x - m = 0 (*) §Ó (D) c¾t (P) t¹i hai ®iÓm A, B ph©n biÖt th× ph¬ng tr×nh (*) ph¶i cã hai nghiÖm ph©n biÖt : 0,25 ' > 0 m > - 1 4 4.2 0,5 §êng th¼ng (d) vu«ng gãc víi (D) cã hÖ sè gãc b»ng - 1 , vËy (d) cã ph¬ng tr×nh lµ : y = - x + b (d) 0,25 Ph¬ng tr×nh hoµnh ®é giao ®iÓm cña (d) vµ (P) lµ : x2 + x - b = 0 ( ) §Ó (d) tiÕp xóc víi (P) th× ph¬ng tr×nh ( ) cã nghiÖm kÐp = 0 1 + 4b = 0 b = - 1 4 VËy ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng (d) lµ : y = - x - 1 0,25 4 4.3a 0,75 DeThi.edu.vn
Bộ 29 Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Gäi A (xA; yA) vµ B (xB; yB) lµ giao ®iÓm cña (P) vµ (D). ThiÕt lËp c«ng thøc tÝnh AB : 2 2 2 Ta cã : AB = (xA- xB) + (yA - yB) víi yA = xA + m vµ yB = xB + m 0,25 2 2 AB = 2[(xA + xB) - 4xAxB] 0,25 V× xA, xB lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh (*) nªn theo ®Þnh lý ViÐt ta cã : xA + xB =1 2 xA. xB = m Thay vµo AB = 2(1 + 4m). 0,25 4.3b 0,25 25 Víi AB = 3 3 th× 2(1 + 4m) = 27 m = 0,25 8 5a 1.0 BC2 = 4BM . CN A 4OB2 = 4BM . CN M H OB BM N K CN OC 0,5 Ta cÇn chøng minh OBM  NOC B O C ThËt vËy : V× B = C = 600 MOC = 600 + MOB = 600 + NOC 0,5 MOC = NOC () 5b 1.0 Ta chøng minh OMB  NMO Ta cã : OBM = MON = 600 0,25 BO CN (theo c©u a) BM CO OMB = OMN 0,25 T¬ng tù chøng minh trªn ta cã : ONC = ONM 0,5 4c 1.0 DeThi.edu.vn
Bộ 29 Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán (Có đáp án) - DeThi.edu.vn KÎ OH, OK vu«ng gãc víi MN vµ AB. Do MO lµ tia ph©n gi¸c cña gãc BMN OH = OK kh«ng ®æi. NÕu gäi c¹nh cña tam gi¸c ABC ®Òu c¹nh a a 3 th× ®êng cao AO = 0,5 2 OK = a 3 4 VËy MN lu«n tiÕp xóc víi mét ®êng trßn cè ®Þnh t©m O vµ b¸n kÝnh 0,5 OK = a 3 4 4d 1.0 1 S OMN = MN. OH DiÖn tÝch cña OMN lín nhÊt khi MN lín nhÊt. 2 XÐt tam gi¸c AMN cã A = 600 . Trong hai gãc AMN vµ ANM chØ nhiÒu nhÊt cã 1 gãc lín h¬n 600 0,5 Gi¶ sö gãc ANM lín h¬n 600 MN AM AK Max MN = AK. khi ®ã N  A vµ diÖn tÝch tam gi¸c OMN lín nhÊt khi 0,5 nã b»ng diÖn tÝch tam gi¸c OAK. Ghi chó: - NÕu häc sinh kh«ng vÏ h×nh th× kh«ng chÊm ®iÓm bµi h×nh./. - NÕu häc sinh gi¶i c¸ch kh¸c mµ ®óng th× vÉn cho ®iÓm tèi ®a. DeThi.edu.vn
Bộ 29 Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 5 Së GD & §T thanh ho¸ ®Ò thi chung vµo líp 10 Trêng THPT Qu¶ng X¬ng 1 M«n: To¸n (Thêi gian 150 phót, kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò) C©u 1:(2®) a. Rót gän biÓu thøc 2 3 6 8 4 P 2 3 4 b. TÝnh : 3 5 2 7 3 5 2 7 Bµi 2:(1,5®) a. Cho ph¬ng tr×nh (m+1)x2 - 3mx + 4m =0 a. Gi¶i ph¬ng tr×nh víi m= -2 b. T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm d¬ng Bµi 3:(2®) T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh x6 = y3 - 3y2 + 3y + 1 Bµi 4:(3 ®) Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A vµ ®iÓm I trªn c¹nh AC. §êng trßn ®êng kÝnh IC c¾t c¹nh BC ë E vµ c¾t BI ë D Chøng minh r»ng: a. Tø gi¸c ABCD néi tiÕp 2. I lµ t©m ®êng trßn néi tiÕp ADE 3. AB, CD, EI ®ång quy BC Bµi 5:(1,5) Cho h×nh vu«ng ABCD, trªn c¹nh BC lÊy M sao cho BM ; KÐo dµi 3 BC DC vÒ phÝa C ®o¹n CN , AM c¾t BN t¹i I cµ CI c¾t AB t¹i K. Gäi H lµ h×nh 2 chiÕu cña M xuèng AC DeThi.edu.vn
Bộ 29 Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Chøng minh K, M, H th¼ng hµng hÕt Hä tªn thÝ sinh: Sã b¸o danh: Së GD & §T thanh ho¸ ®¸p ¸n ®Ò thi vµo líp 10 - THPT Lam s¬n Trêng THPT Qu¶ng X¬ng 1 M«n: To¸n Bµi 1 a. ( 2 3 2) ( 2 3 2) 2 1,0 ® P 1 2 2 3 2 3 3 3 b. §Æt A 5 2 7 5 2 7 A 14 3A 3 2 2 => A - 2A + 2A - 4A + 7A - 14 = 0 1,0 ® (A - 2)(A2 + 2A + 7) = 0 => A = 2 VËy 3 5 2 7 3 5 2 7 =2 Bµi 2: 0,5® 2 2 x1 2 a. Khi m = -2 pt lµ: -x + 6x - 8 = 0 => x - 6x + 8 = 0 => x2 4 b. §Ó ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm d¬ng th× 0 7m 2 16m 0 x1 x2 0  m 0,5® 0 x1 x2 0 m 1 16 m 0 16 => 7  m 1 7 0,5® m 1 m 0 DeThi.edu.vn
Bộ 29 Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Bµi 3: (2 ®iÓm) x6 = y3 - 3y2 +3y +1 => x6 - (y3 - 3y2 + 3y - 1) = 2 => (x2 )3 - (y - 1)3 0,5® = 2 => (x2 - y + 1)[x4 + x2(y - 1) + (y - 1)2] = 2 (*) y 1 3 Do x4 + x2(y - 1) + (y - 1)2 = (x2 + )2 + (y 1) 2 0 2 4 x 2 y 1 1 (A) 4 2 2 x x (y 1) (y 1) 2 VËy (*) x 2 y 1 2 0,5® (B) 4 2 2 x x (y 1) (y 1) 1 x 2 y (A) => HÖ nµy kh«ng cã nghiÖm nguyªn 4 2 3x 3x 1 0 0,25® x 2 1 y x 1 0,5® (B) => 4 2 x 2x 1 0 y 0 VËy ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm nguyªn (1; 0) vµ (-1; 0) 0,25® B B¸i 4: (3 ®iÓm) 1 E 1. Tam gi¸c ABCD cã gãc BAC = gãc BDC = 900 0,5® I 1 A 1 2 2 C vËy ABCD lµ tø gi¸c néi tiÕp 1 2 D Gãc A1 = gãc B1 ; gãc B1 = gãc A2 > gãc A1 = gãc A2 VËy AI lµ ®êng ph©n gi¸c trong cña gãc EAD 1,0 ® ta l¹i cã gãc C1 = D1 ; gãc C1 = D2 > gãc D1 = gãc D2 vËy ID lµ ph©n gi¸c trong cña gãc ADE DeThi.edu.vn
Bộ 29 Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán (Có đáp án) - DeThi.edu.vn VËy I lµ t©m ®êng trßn néi tiÕp tam gi¸c AED 3. do BA  AI ; vËy BA lµ ph©n gi¸c ngoµi gãc EAD. T¬ng tù CD lµ ®êng ph©n gi¸c ngoµi gãc ADE cßn IE lµ ph©n gi¸c trong 1,5® gãc AED cña tam gi¸c ADE. VËy 3 ®êng th¼ng BA, CD, EI ®ång quy B K Bµi 5 A AB BM 1 M AI c¾t DC t¹i N ; do I CD CM 2 0,5® > CP = 2AB H D C N P > PN = 3CN BK BI AB L¹i cã 0,5® CN IN PN (do tam gi¸c BIK ®ång d¹ng tam gi¸c NIC vµ tam gi¸c ABI ®ång d¹ng tam gi¸c DNI) BK 2 2 1 > BK CN BC BM CN 3 3 3 vËy tam gi¸c ABM = tam gi¸c CBK => gãc BAM = gãc BCK 0,5® => tø gi¸c ABIC néi tiÕp => AI  CK => KM  AC do MH  AC VËy K, M, H cïng n¨m trªn mét ®êng th¼ng DeThi.edu.vn
Bộ 29 Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 6 sí gi¸o dôc ®µo t¹o kú thi tuyÓn sinh vµo líp 10 thanh ho¸ THPT chuyªn Lam s¬n m«n: to¸n (chuy£n to¸n) (Thêi gian 150 phót – kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò) Bµi 1 (1,5 ®iÓm) 3a 9a 3 a 1 a 2 Cho A a a 2 a 2 1 a 1. Rót gän A. 2. T×m tÊt c¶ c¸c sè nguyªn a ®Ó A lµ mét sè nguyªn. Bµi 2 ( (1,5 ®iÓm) 3. 1. Chøng minh r»ng tån t¹i hai sè nguyªn d¬ng kh¸c nhau x, y sao cho hai sè xy + x vµ xy + y ®Òu lµ c¸c sè chÝnh ph¬ng. 4. Cã hay kh«ng hai sè nguyªn d¬ng kh¸c nhau x, y trong kho¶ng (668; 2005) sao cho hai sè xy + x vµ xy + y ®Òu lµ c¸c sè chÝnh ph¬ng. Bµi 3 ( (2 ®iÓm) x 1 y 1 a 5. Víi gi¸ trÞ nµo cña a th× hÖ sau cã nghiÖm. x y 2a 1 6. Gi¶i ph¬ng tr×nh x 3 4 x 1 x 8 6 x 1 5 Bµi 4 ( (2 ®iÓm) Trªn hÖ trôc to¹ ®é vu«ng gãc Oxy: 1. VÏ tËp hîp c¸c ®iÓm M cã to¹ ®é (x; y) tho¶ m·n: x 1 y 2 1 x 1 y 2 1 2. T×m m ®Ó hÖ ph¬ng tr×nh sau cã nghiÖm: 2 x y m x y 1 x y 0 Bµi 5 ( (3 ®iÓm) 1.Cho ABC vu«ng t¹i C, cã ®êng cao CH. Hai ®iÓm I vµ K lÇn lît lµ giao ®iÓm cña 3 ®êng ph©n gi¸c cña CHA vµ CHB. §êng th¼ng IK c¾t c¸c c¹nh CA, CB lÇn lît t¹i M, N. a. Chøng minh r»ng c¸c tø gi¸c AMIH vµ BNKH néi tiÕp. b. KÎ Cx vu«ng gãc víi MN , Chøng minh r»ng Cx lu«n ®i qua mét ®iÓm cè ®Þnh c. Gi¶ sö AB cè ®Þnh C di chuyÓn trªn ®êng trßn ®êng kÝnh AB. T×m vÞ trÝ cña C ®Ó diÖn tÝch CMN lµ lín nhÊt. 2. Cho ®êng th¼ng x’x vµ hai ®iÓm A, B kh«ng n»m trªn x’x. H·y dùng ®iÓm M thuéc x’x sao cho x’MA = xMB . HÕt Hä vµ tªn ch÷ ký thÝ sinh: Sè b¸o danh: DeThi.edu.vn
Bộ 29 Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Hä vµ tªn ch÷ ký gi¸m thÞ : Sè 1 : Sè 2 : sí gi¸o dôc ®µo t¹o híng dÉn vµ biÓu ®iÓm chÊm Lam s¬n. thanh ho¸ n¨m häc 2006 – 2007 m«n: to¸n (chuyªn to¸n) (§¸p ¸n nµy gåm cã 4 trang) Tªn bµi Néi dung §iÓm Bµi 1 1,5 3a 9a 3 a 1 a 1 a 2 a 2 0,25 1/ A a 2 a 1 3a 9a 3 a 1 a 4 a 3 a 2 0,75 0,25 a 2 a 1 a 2 a 1 a 1 a 2 a 1 a 2 a 1 a 1 0,25 2 2 0,25 2/ A 1 §Ó A Z ⇔ Z , víi a 0, a 1 a 1 a 1 a 1 2; 1; 1; 2 0,25 0,75 Víi a 1 = - 2 Víi a = - 1 < 0 (lo¹i) Víi a 1 = - 1 a = 0 Víi a 1 = 1 a = 4 Víi a 1 = 2 a = 9 0,25 Bµi 2 1,5 1/ Ta cã x = 1, y = 8 xy + x = 9 = 32 , 0,5 vµ xy + y = 16 = 42 . 0,5 DeThi.edu.vn
Bộ 29 Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Tªn bµi Néi dung §iÓm 2/ Gi¶ sö ∃ m2 , n2 sao cho: m2 = xy + x , n2 = xy + y. 0,25 0,25 Gi¶ sö y > x xy + x > x2 m2 > x2 m > x Ta cã y – x = xy + y – (xy + x) = n2 – m2 (m + 1)2 – 1,0 2 m 0,25 2 2 y – x > (x + 1) – x = 2x + 1 y > 3x + 1 0,25 V× x (668; 2005) y > 3.668 + 1 = 2005 y (668; 2005). Bµi 3 2,0 1. §iÒu kiÖn x 1; y - 1. §Æt x 1 u, y 1 v u 0, v 0 0,25 u v a u, v 0 Khi ®ã hÖ 2 2 u v 2a 1 u v a u, v 0 u v a u, v 0 1 0,25 u v 2 2uv 2a 1 uv a2 2a 1 1,0 2 Khi ®ã ®Ó hÖ cã nghiÖm khi vµ chØ khi a 0, 1 a2 – 2a – 1 0 vµ ph¬ng tr×nh :t 2 at a 2 2a 1 0 cã 2 0,25 a 0 2 nghiÖm a 2a 1 0 1 2 a 2 6 2 2 a 2 a 2a 1 0 0,25 x 3 4 x 1 x 8 6 x 1 5 2. 0,25 x 1 4 x 1 4 x 1 6 x 1 9 5 2 2 x 1 2 x 1 3 5 0,25 x 1 2 x 1 3 5 NÕu x 1 3 0 x 1 9 x 10 Khi ®ã ph¬ng tr×nh 1,0 x 10 x 10 x 10 x 10 0,25 x 1 2 x 1 3 5 x 1 3 x 10 (1) NÕu x 1 3 0 x 1 9 x 10 Khi ®ã ph¬ng tr×nh: 0,25 1 x 10 1 x 10 (2) x 1 2 x 1 3 5 KÕt hîp (1) vµ (2) ®îc 1 x 10 DeThi.edu.vn
Bộ 29 Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Tªn bµi Néi dung §iÓm Bµi 4 2,0 1/ Cã 4 trêng hîp x¶y ra : y x 1, y 2 0,25 ❖ M thuéc ®o¹n AB A dm x y 4 3 0,25 x 1, y 2 ❖ M thuéc ®o¹n BC D B x y 0 2 m d 1,0 x 1, y 2 0,25 ❖ M thuéc ®o¹n CD 1 C x y 4 x 1, y 2 ❖ M thuéc ®o¹n DA O 1 2 x 0,25 x y 2 VËy tËp hîp c¸c ®iÓm M lµ - 1 h×nh vu«ng ABCD. 2/ Ph¬ng tr×nh x 1 y 2 1cã ®å thÞ lµ h×nh vu«ng ABCD 0,25 Ph¬ng tr×nh: x y 2 m x y 1 x y 0 0,25 x y x y 1 m x y 1 0 y x 1 x y 1 x y m 0 y x m 1,0 ❖ Gäi d : y = x – 1 §êng th¼ng d kh«ng cã ®iÓm chung víi h×nh vu«ng ABCD nªn khi ®ã hÖ v« nghiÖm. 0,25 ❖ Gäi dm : y = x + m lµ hä ®êng th¼ng song song víi ®- êng ph©n gi¸c gãc (I) vµ song song c¹nh AD, BC cña h×nh 0,25 vu«ng ABCD, c¾t trôc tung t¹i ®iÓm cã tung ®é lµ m. Khi ®ã 0 m 2 d m cã ®iÓm chung víi h×nh vu«ng ABCD nªn hÖ cã nghiÖm. VËy 0 m 2 th× hÖ cã nghiÖm. Bµi 5 3,5 1/ 2,0 DeThi.edu.vn
Bộ 29 Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Tªn bµi Néi dung §iÓm a) Ta cã CIH ∽ BKH v× : 0,25 CHI = BHK = 450 , ICH = 1 ACH = 1 CBH = KBH 2 2 0,25 HI HK HIK HCB HKI = HBC HC HB ∽ 0,25 HKN + HBN = 1800. tø gi¸c BNHK néi tiÕp . Tõ HIK ∽ HCB HIK = HCB = CAB 0,25 HAM + HIM = 1800 tø gi¸c BNHK néi tiÕp . b) Theo c©u a) ta cã tø gi¸c BNHK néi tiÕp CNK = KHB = 450 CMN c©n CM = CN 0,25 0,5 Cx lµ ®êng ph©n gi¸c cña gãc vu«ng ACB Cx c¾t ®êng trßn ®êng kÝnh AB t¹i ®iÓm chÝnh gi÷a E cña 0,25 cung AB (®èi diÖn víi C qua AB) cè ®Þnh. c) Ta cã CMI = CHI (g.c.g) CM = CH 1 1 1 0,25 Mµ S CM.CN CM 2 CH 2 CMN 2 2 2 DiÖn tÝch CMN lín nhÊt ⇔ H  O ⇔ C lµ giao cña 0,25 Cx  AB t¹i O (cã 2 ®iÓm C) C 0,5 N D K A MI B H O E 2/ 1,5 DeThi.edu.vn
Bộ 29 Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Tªn bµi Néi dung §iÓm Ph©n tÝch : Gi¶ sö ®· dùng ®îc ®iÓm M : x’MA = 2. xMB KÎ ®êng ph©n gi¸c y’My MB’ ®èi xøng cña MB qua x’x n»m trªn y’My. VÏ ®êng trßn (C) t©m B’ b¸n kÝnh R = BB’/2 0,5 ®êng th¼ng AM tiÕp xóc víi (C). Tõ ®ã c¸ch dùng C¸ch dùng : ❖ Dùng B’ ®èi xøng cña B qua x’x BB' ❖ Dùng ®êng trßn C(B’, ) 2 0,5 ❖ Dùng tiÕp tuyÕn AT, AT’ víi ®êng trßn (C) (T, T’ lµ tiªp ®iÓm) M = AT  x’x lµ ®iÓm cÇn t×m . Cßn M’ = AT’  x’x cho ta xM’A = 2.x’M’B (lo¹i) Chøng minh : Ta cã xMB = xMB’ (v× MB’ ®èi xøng víi MB qua x’x) x’MA = TMH = 2.xMB. 0,5 1,5 BiÖn luËn : Bµi to¸n lu«n cã mét nghiÖm h×nh (v× trêng hîp M’ = AT’  x’x bÞ lo¹i) A B y’ x’ H M’ x M T’ B’ T y DeThi.edu.vn
Bộ 29 Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 7 §Ò thi tuyÓn sinh vµo líp 10 THPT Lam S¬n (Thêi gian: 150 phót) Bµi 1: ( 2 ®iÓm ) 1. Rót gän biÓu thøc sau: 2 3 2 3 A 2 2 3 2 2 3 2. G¶i ph¬ng tr×nh sau: 3 x 1 1 2 x 1 2 x Bµi 2: ( 2 ®iÓm) G¶i hÖ ph¬ng tr×nh: 2x2 – y2 = 1 xy + x2 = 2 Bµi 3: ( 2 diÓm) Cho ph¬ng tr×nh: x2 – 2(m + 2)x + m2 – 1 = 0 1. G¶i ph¬ng tr×nh víi m = 0 2. Khi ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm x1, x2. LËp ph¬ng tr×nh bËc hai cã c¸c nghiÖm lµ: 2 2 y1 = 4x1 – 1; y2 = 4x 2 –1 Bµi 4: ( 3 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC cã 3 gãc nhän vµ AB > AC. VÏ trung tuyÕn AM vµ ph©n gi¸c AD cña tam gi¸c ABC ( M, D thuéc ®o¹n BC ). §êng trßn qua 3 ®iÓm A, D, M c¾t AB, AC theo thø tù t¹i E, F 1.Chøng minh: BA BE BD . CA CF CD 2.Chøng minh BE = CF 3.Gi¶ sö tam gi¸c ABC cã AB = 15 cm, AC = 8 cm, ®êng cao AH cña tam gi¸c ABC b»ng 5 cm. TÝnh ®é dµi ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC. Bµi 5: ( 1 ®iÓm) DeThi.edu.vn
Bộ 29 Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Cho h×nh chãp S.ABC cã: SA = SB = SC = a, ASB = 900, BSC = 600, ASC = 1200. Gäi I lµ trung ®iÓm cña c¹nh AC. Chøng minh r»ng: SI  (ABC) ®¸p ¸n ®Ò thi vµo líp 10 - THPT lan s¬n (M«n to¸n) Bµi 1: (2 ®iÓm) 1. (1 ®iÓm) 4 2 3 ( 3 1) 2 Ta cã: 2 3 2 2 4 2 3 ( 3 1) 2 2 3 2 2 ( 3 1) 2 ( 3 1) 2 ( 3 1) 2 ( 3 1) 2 ( 3 1) 2 ( 3 1) 2 A= 2 2 3 1 3 1 2(3 3) 2(3 3) 6( 3 1) 6( 3 1) 2 2 2 2 3 1 3 1 2 3 = 2 6 6 6 2. (1 ®iÓm) §iÒu kiÖn: x 1 ®Æt t = x 1 ; t 0 ph¬ng tr×nh ®· cho trë thµnh; t3 + 4t2 + 5t = 0 t(t2 + 4t + 5) = 0 t 0 2 t 4t 5 0 (v« nghiÖm) víi t = 0 x 1 0 x = 1 VËy ph¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt x = 1 Bµi 2: (2 ®iÓm) 4x 2 2y 2 2 => 4x2 - 2y2 = xy + x2 3x2 - xy - 2y2 = 0 (*) 2 xy x 2 DeThi.edu.vn
Bộ 29 Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Víi y = 0 hÖ ®· cho trë thµnh: 2x 2 1 v« nghiÖm 2 x 2 Víi y 0 chia c¶ 2 vÕ cña Pt (*) cho y2 ta ®îc x x 3( ) 2 2 0 y y t 1 x ®Æt t = ta cã: 3t2 - t - 2 = 0 => 2 y t 3 x 1 x 1 x 1 Víi t = 1 ta cã y ; ; y 1 y 1 2 2 2x y 1 x 2 2 Víi t ta cã y 3 v« nghiÖm 3 2 2 2x y 1 x 1 x 1 VËy HPT cã nghiÖm ; ; y 1 y 1 Bµi 3: (2 ®iÓm) 1. (1 ®iÓm) m = 0 pt trë thµnh: x2 - 4x - 1 = 0 pt cã hai nghiÖm ph©n biÖt x1 = 2 - 5 ; x2 = 2 + 5 2. Gi¶ sö pt cã 2 nghiÖm ph©n biÖt x1, x2 ta cã 2 x1 + x2 = 2(m + 2); x1.x2 = m - 1 theo bµi ra ta cã 2 y1 + y2 = 4[(x1 + x2) - 2x1x2] - 2 2 2 y1.y2 = 16(x1x2) - 4[(x1 + x2) - 2x1x2] + 1 => y1y2 lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh X2 - (8m2 + 64m + 70)X + 16m4 - 40m2 - 64m - 55 = 0 A Bµi 4: F E B N C M D DeThi.edu.vn
Bộ 29 Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 1. Ta cã: tam gi¸c BDE ®ång d¹ng víi tam gi¸c BAM ( gãc B chung, gãc MAB = gãc BDE) BD BE => => BA.BE = BD.BM (1) BA BM t¬ng tù ta cã: tam gi¸c CMF ®ång d¹ng víi tam gi¸c CAD CM CF => => CA.CF = CM.CD (2) CA CD BA.BE BD.BM Chia 2 vÕ cña (1) cho (2) ta cã CA.CF CM.CD BA BE BD mµ CM = BM => . => ®pcm CA CF CD BA BD 2. Theo tÝnh chÊt ph©n gi¸c ta cã: CA CD BE theo c©u a => 1 => BE = CF (®pcm) CF 3. Gäi O lµ t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC nèi A víi O c¾t (O) t¹i N => gãc ANB = gãc ACB => tam gi¸c vu«ng ABN ®ång d¹ng tµm gi¸c vu«ng AHC AB AH AB.AC A => AN =24 (cm) AN AC AH VËy ®é dµi ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC lµ l = 2R = 24 75,36 (cm) B H C S N Bµi 5: (1 ®iÓm) Theo gi¶ thiÕt ta cã: SI  AC (1) mÆt kh¸c ta cã I C AB = a 2 (tam gi¸c SAB vu«ng c©n) A DeThi.edu.vn B
Bộ 29 Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán (Có đáp án) - DeThi.edu.vn BC = a (tam gi¸c SBC ®Òu) ta cã: AI a 3 sin(gãc ASI) = AI = SA.sin(gãc ASI) = a.sin600 = => AC = a 3 SA 2 xÐt tam gi¸c ABC , cã AC2 = AB2 + BC2 1 a 3 => tam gi¸c ABC vu«ng t¹i B => BI = AC = AI => BI = 2 2 a t¬ng tù ta cã SI = AS.cos(gãc ASI) = 2 XÐt tam gi¸c SIB cã SB2 = SI2 + IB2 = a2 => tam gi¸c SIB vu«ng t¹i I => SI  IB (2) Tõ (1) vµ (2) => SI  (ABC) => ®pcm DeThi.edu.vn
Bộ 29 Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 8 së gd & ®t thanh ho¸ ®Ò thi tuyÕn sinh vµo líp 10 lam s¬n truêng thpt ®Æng thai mai m«n : To¸n ( ®Ò chung) thêi gian: 150 phót C©u1: (2®) 2 x 2 1 1.TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: A x x 2 1 1 a b Víi x , trong ®ã a>0 ; b>0. 2 b a 2.Chøng minh r»ng biÓu thøc : x x a x a x 2a a 4 lµ b×nh ph¬ng cña mét ®a thøc. C©u2: (2®) 1.Cho ph¬ng tr×nh : 3x 2 5x m 0 x¸c ®Þnh m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm 2 2 5 x1 ; x2 tho¶ m·n : x x . 1 2 9 m 1 x my 3m 1 2.Cho hÖ ph¬ng tr×nh: 2x y m 5 X¸c ®Þnh tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ cña tham sè m ®Ó hÖ cã nghiÖm duy nhÊt (x ; y) sao cho: S x 2 y 2 ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt. C©u3: (2®) 1.Gi¶i ph¬ng tr×nh: 5 x 2x 7 2.Cho Parabol (P) cã ph¬ng tr×nh : y x 2 (1) vµ ®êng th¼ng (D) cã ph¬ng tr×nh : y x m (2) T×m m sao cho ®å thÞ cña hai hµm sè trªn c¾t nhau t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A , B vµ kho¶ng c¸ch AB 3 2 . C©u4: (2®) 1.Cho c¸c sè d¬ng a,b,c thay ®æi vµ tho¶ m·n : a+b+c=4. CMR: a b b c c a 4 . DeThi.edu.vn
Bộ 29 Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 2.Cho ABC (AB=AC) . tõ trung ®iÓm M cña c¹nh BC kÎ MH  AC t¹i H. Gäi I lµ trung ®iÓm cña MH , AI c¾t BC t¹i N; BH c¾t AM t¹i K vµ AI t¹i P . Chøng minh r»ng MKPN néi tiÕp ®îc. C©u5: (2®) : Trong mp(P) cho ABC vu«ng t¹i A . Trªn ®êng th¼ng vu«ng gãc víi mp(P) t¹i A lÊy mét ®iÓm S sao cho SA=BC=1. §Æt AB=x. (0<x<1) 1.TÝnh thÓ tÝch cña tø diÖn SABC theo x. 2.Víi gi¸ trÞ nµo cña x th× thÓ tÝch trªn ®¹t GTLN. së gd & ®t thanh ho¸ ®¸p ¸n ®Ò thi tuyÕn sinh vµo líp 10 lam s¬n truêng thpt ®Æng thai mai m«n : To¸n ( ®Ò chung) thêi gian: 150 phót C©u1: (2®) 1.(1®) 2 1 a b a b 2 2 *Ta cã : x 1 1 0,25® 4 b a 4ab 2 a b 2 ab 2 a b A 0,5® a b a b a b a b 2 ab 2 ab 2 a b a b *NÕu a b th× A a b a b b 2 a b b a *NÕu a b th× A 0,25® a b a b a 2.(1®) *§Æt A x x a x a x 2a a 4 x x a x a x 2a a 4 x 2 ax x 2 ax 2a 2 a 4 0,5® *§Æt x 2 ax t 0,25® DeThi.edu.vn
Bộ 29 Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 2 A t t 2a2 a4 t 2 2a2t a4 t a2 2 *VËy A x 2 ax a 2 ®pcm 0,25® C©u2: (2®) 1.(1®) 25 *§Ó ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm x1,x2 th× 0 25 12m 0 m 12 (*) 5 x1 x2 (1) *Theo ®Þnh lý vi-Ðt ta cã : 3 0,25® m x .x (2) 1 2 3 5 5 *Tõ x 2 x 2 x x x x (3) 1 2 9 1 2 1 2 9 1 Thay (1) vµo (3) ta ®îc : x x (4) 0,25® 1 2 3 5 x x x 1 1 2 3 1 *Tõ (1) vµ (4) ta cã hÖ : 2 0,25® 1 x2 x1 x2 3 3 *Thay vµo (2) m 1 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn (*) 0,25® 2.(1®) x 1 x 1 *NÕu m=0 th× hÖ cã d¹ng 2x y 5 y 3 Khi ®ã S x 2 y 2 10 0,25® m 1 x my 3m 1 (1) *NÕu m 0 th× hÖ ®· cho 2 2mx my m 5m (2) LÊy (2) trõ ®i (1) ta ®îc : m 1 x m 1 2 0,25® Khi m = -1 th× hÖ cã v« sè nghiÖm , kh«ng tho¶ m·n §K bµi to¸n. x m 1 Khi m -1 th× hÖ cã nghiÖm duy nhÊt 0,25® y m 3 S x 2 y 2 m 1 2 m 3 2 2m 2 4m 10 2 m 1 2 8 8 0,25® VËy S min 8 m 1 0,25® C©u3: (2®) 1.(1®) 2x 7 0 5 x 2x 7 5 x 2x 7 2 0,5® 5 x 2x 7 DeThi.edu.vn
Bộ 29 Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 7 7 x x 2 0,25® 2 11 4x 2 27x 44 0 x 4; x 4 11 x 0,25® 4 2.(1®) *Ph¬ng tr×nh hoµnh ®é giao ®iÓm cña (P) vµ (D) lµ: x 2 x m x 2 x m 0 (1) *§Ó cã hai giao ®iÓm A , B th× (1) ph¶i cã hai nghiÖm ph©n biÖt tøc : 1 0 1 4m 0 m (*) 0,25® 4 *Gi¶ sö A x1; y1 ; B x2 ; y2 (h×nh vÏ) 2 2 2 2 2 Ta thÊy AB AH BH x2 x1 y 2 y1 0,25® y2 x2 m *Do A,B (D) nªn : y1 x1 m 2 2 2 2 2 suy ra AB x2 x1 x2 x1 2 x2 x1 2 x1 x2 8x1.x2 x1 x2 1 *¸p dung ®Þnh lý vi-Ðt ta cã : Suy ra x1.x2 m AB2 2 1 4m 0,25® *Theo gi¶ thiÕt AB 3 2 AB 2 18 2 1 4m 18 m 2 tho¶ m·n (*) *VËy gi¸ trÞ cÇn t×m lµ m=2 0,25® C©u4: (2®) 1(1®) *Do a,b,c >0 vµ tõ gi¶ thiÕt ta cã : a b a b c 4 a b 2 a b 2 a b (1) 0,5® DeThi.edu.vn
Bộ 29 Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán (Có đáp án) - DeThi.edu.vn *Hoµn toµn t¬ng tù ta còng cã: b c 2 b c (2) c a 2 c a (3) 0,25® *Céng vÕ víi vÕ cña (1),(2) vµ (3) ta cã: 2 a b c 2 a b b c c a Hay 4 a b b c c a ®pcm 0,25® 2.(1®) *KÎ ®êng cao BD cña ABC BD MH H lµ trung ®iÓm cña DC (v× M lµ trung ®iÓm cña BC) 0,25® BC DC * BDC  AHM AM HM 0,25® BC CH Mµ DC 2CH; HM 2MI nªn AM MI 0,25®   *Suy ra BCH  AMI CBH MAI     Mµ BKM AKP (® ®) APK KMB 1v *VËy MKPN cã hai gãc ®èi nhau mçi gãc b»ng 1v nªn nã néi tiÕp ®- îc. ( 0,25®) DeThi.edu.vn
Bộ 29 Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán (Có đáp án) - DeThi.edu.vn C©u5: (2®) 1.(1®) 1 *ThÓ tÝch tø diÖn : V .SA.S 0,25® SABC 3 ABC 1 1 *DiÖn tÝch ABC: S AB.AC x 1 x 2 0,25® ABC 2 2 1 1 1 * V 1 x 1 x 2 x 1 x 2 0,5® SABC 3 2 6 2.(1®) 1 1 x 2 1 x 2 1 *¸p dông B§T c«si: V x 1 x 2  0,5® SABC 6 6 2 12 1 2 * V ®vdt x2 1 x2 x 0,25® max 12 2 1 2 *VËy V ®¹t gi¸ trÞ LN b»ng khi x 0,25®. SABC 12 2 DeThi.edu.vn
Bộ 29 Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 9 së gd&®t thanh hãa trêng thpt tÜnh gia 3 ®Ò thi vµo 10 chuyªn lam s¬n (®Ò thi chung –vßng 1) m«n thi :to¸n thêi gian :150 phót C©u 1 Gi¶i ph¬ng tr×nh : 8 x 5 x =5 C©u 2 Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh sau 2x3+ 3x2y = 5 y3 + 6xy2 = 7 C©u 3: T×m c¸c sè x,y nguyªn tháa m·n ®¼ng thøc x2 + xy + y2 = x2y2 C©u 4: Cho nöa ®êng trßn (O) ®êng kÝnh AB = 2R ( R>0). M, N lµ 2 ®iÓm thuéc nöa ®êng trßn ®ã sao cho M thuéc cung AN vµ tæng kho¶ng c¸ch tõ A, B ®Õn MN b¼ng R 3 . 1) TÝnh ®é dµi MN theo R. 2) Gäi giao ®iÓm AN vµ BM lµ I, giao ®iÓm cña AM vµ BN lµ K. Chøng minh r»ng 4 ®iÓm M, N, I, K cïng n»m trªn ®êng trßn. TÝnh b¸n kÝnh cña ®êng trßn ®ã theo R. 3) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña diÖn tÝch tam gi¸c KAB theo R khi MN thay ®æi nh- ng vÉn tháa m·n gi¶ thiÕt cña bµi to¸n. C©u 5: Cho x, y lµ hai sè thùc tháa m·n : x2-2y2=5 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc S= x y 1 DeThi.edu.vn
Bộ 29 Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ®¸p ¸n ®Ò thi vµo chuyªn lam s¬n (§Ò thi chung - vßng 1) C©u 1: ( 1.5®iÓm ) §Æt x =t (0 t 5) (0.25®) Ph¬ng tr×nh trë thµnh : 8 t 5 t 5. B×nh ph¬ng hai vÕ ta cã t 2 3t 40 6 (0.25®) t 2 3t 4 0 (0.25®) t 4;t 1 (0.25®) so s¸nh ®iÒu kiÖn => t=1 tháa m·n (0.25®) x 1 x 1 (0.25®) KÕt luËn : Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x=1. C©u 2: (2®iÓm) 8x3+ 12x2y = 20 (2x+y)3 = 27 (1) y3 + 6xy2 = 7 y3+6xy2 =7 (0.5®) 2x+y=3 (2) 2y3- 9y2 +7 =0 (3) (0.5®) gi¶i (3) ta ®îc: y=1; y= 7 105 (0.5®) 4 VËy hÖ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm : 5 105 7 105 5 105 7 105 (1;1) ; ( ; );( ; ) (0.5®) 8 4 8 4 C©u 3: ( 2®) x 2 Víi y 2 Ta cã x2y2 4x2 x2y2 4y2 (0,25®) x 2y2 2(x2+y2) = x2+y2+x2+y2 x2+y2 +2 xy >x2+y2 +xy ( 0,5®) Víi x= 2 ph¬ng tr×nh kh«ng cã nghiÖm nguyªn (0,5®) Víi y= 2 Thö x=0 => y=0 (0,25®) Thö x=1=> y=-1 (0,25®) Thö x=-1 => y=1 (0,25®) DeThi.edu.vn
Bộ 29 Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán (Có đáp án) - DeThi.edu.vn KL hÖ cã nghiÖm (0;0) ;(1;-1) ;(-1;1). C©u 4: (3®iÓm) K A' M H N B' I A O P B 1. ( 1 ®iÓm) Dùng AA’ ,BB’ vu«ng gãc víi MN Gäi H lµ trung ®iÓm cña MN OH  MN (0,25®) XÐt h×nh thang AA’B’B ta cã OH= 1 (AA’+BB’)= R 3 (0,25®) 2 2 ¸p dông Pi ta go trong tam gi¸c R  MH = => MN =R vµ OMN ®Òu (0,5®) 2 2. ( 1 ®iÓm) Do  KMN =1vu«ng  KNI = 1vu«ng  M,N,I,K thuéc ®êng trßn ®êng kÝnh IK (0,25®) Gäi O’ lµ trung ®iÓm cña IK 1  AKN = (s® AB - s® MN ) = 600 (0,25®) 2 =>  MO’N = 2  MKN = 1200 (0,25®) MN 3 R 3  MN=O’M 3 hay MO’ = (0,25®) 3 3  ®êng trßn ®i qua M,N,I,K lµ ®êng trßn d¬ng kÝnh BK= R 3 3 3. (1®iÓm) DeThi.edu.vn
Bộ 29 Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán (Có đáp án) - DeThi.edu.vn K n»m trªn cung chøa gãc 600 dùng trªn ®o¹n AB =2R nªn diÖn tÝch KAB lín nhÊt ®êng cao KP lín nhÊt (0.5®) KAB ®Òu (0.25®) AB 2 3 => diÖn tÝch KAB = R 2 3 (0.25®) 4 C©u 5: (1 ®iÓm) §Æt t = x-y+1 => y=x+1-t => 5=x2-2y2=x2-2(x+1-t)2 x2+4(1-t)x+2t2-4t +7= 0 (0.5®) §Ó tån t¹i x,y th× ' 0 2 10 2 10 2t2-4t- 3 0 t  t (0.25®) 2 2 10 => Min t 1 (0.25®) 2 DeThi.edu.vn
Bộ 29 Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 10 Së gi¸o dôc ®µo t¹o thanh ho¸ Trêng THPT BC sè 1 TÜnh gia §Ò thi vµo líp 10 chuyªn lam s¬n m«n to¸n chung §Ò ®Ò xuÊt Thêi gian 150’ Bµi: 1(2.5®) 1. Gi¶i ph¬ng tr×nh: 8 x x 2 2. Chøng minh r»ng: a\ ax2+(ab + 1)x + b = 0 cã nghiÖm víi mäi a, b b\ T×m a vµ b ®Ó ph¬ng tr×nh ®· cho cã nghiÖm duy nhÊt x=1/2 Bµi 2:(2®) Cho hÖ ph¬ng tr×nh x2 y 2 4 x y m a\ Gi¶i hÖ víi m=2 b\T×m m ®Ó hÖ ph¬ng tr×nh ®· cho cã nghiÖm Bµi :3(3®) Cho tam gi©c ABC vu«ng t¹i A cã ®é dµi c¸c c¹nh lµ BC = a, AC= b, AB=c; VÒ phÝa ngoµi cña tam gi¸c ABC ta dùng 2 nöa ®êng trßn ®êng kÝnh AB vµ AC. C¸t tuyÕn di ®éng qua c¾t nöa ®êng trßn ®êng kÝnh AB ë D vµ nöa ®êng trßn ®êng kÝnh AC t¹i E. a\ Chøng minh r»ngtø gi¸c BDCE lµ h×nh thang vu«ng vµ trung ®iÓm O cña BC c¸ch ®Òu D vµ E. b\T×m quÜ tÝch trung ®iÓm M cña DE c\ Gäi P lµ chu vi cña tø gi¸c BDCE. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña P theo a,b,c Bµi 4:(1.5®) DeThi.edu.vn
Bộ 29 Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Cho h×nh chãp tam gi¸c ®Òu S.ABC cã ®é dµi c¸c c¹nh bªn vµ ®¸y ®Òu b»ng a a\ Gäi O lµ trung ®iÓm cña ®êng cao SH. Chøng minh r»ng AO vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng (BOC) b\TÝnh thÓ tÝch h×nh chãp O.ABC Bµi 5: Cho a>0, b>0, c>0. Chøng minh r»ng: a3 b3 c3 ab bc ca b c a Së gi¸o dôc ®µo t¹o thanh ho¸ Trêng THPT BC sè 1 TÜnh gia §¸p ¸n líp 10 chuyªn lam s¬n m«n to¸n chung §Ò ®Ò xuÊt Thêi gian150’ Bµi: 1(2.5®) 1. Gi¶i ph¬ng tr×nh: 8 x x 2 x 2 0.5® 2 8 x (x 2) x 2 0.25® x 1; x 4 x 4 0.25® 2. Chøng minh r»ng DeThi.edu.vn
Bộ 29 Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán (Có đáp án) - DeThi.edu.vn a\ ax2+(ab + 1)x + b = 0 cã nghiÖm víi mäi a, b Víi a=0; ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x=-b 0.25® Víi a 0 ta cã (ab 1)2 4ab =(ab – 1)2 0 0.25® KÕt luËn: ph¬ng tr×nh cã nghiÖm víi mäi a, b b\ T×m a vµ b ®Ó ph¬ng tr×nh ®· cho cã nghiÖm duy nhÊt x=1/2 NÕu a=0; ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt x=1/2 th× b=-1/2 0.25® NÕu a 0 th× pt cã nghiÖm duy nhÊt khi ab=1 0.25® Khi ®ã a ab 1 b 0 4 2 1 a 4b 4 b 2 ab 1 a 2 0.5® KÕt luËn: §Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt x=1/2 th× b=-1/2 vµ a=-2 0.5® Bµi 2:(2®) a\ Gi¶i hÖ víi m=2 x 2 y 2 4 x y 2 §Æt S=x+y; P=xy 0.25® Gi¶i ®îc S=2; P=0 0.25® x 2 x 0 Suy ra vµ 0.5® y 0 y 2 DeThi.edu.vn
Bộ 29 Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán (Có đáp án) - DeThi.edu.vn b\§Ó hÖ ph¬ng tr×nh ®· cho cã nghiÖm khi ph¬ng tr×nh: x2 + (m – x)2 =4 cã nghiÖm 0.25® 2x 2 2mx m 2 4 0 cã nghiÖm 2 ' m 4 0 0.25® 2 m 2 0.25® KÕt luËn: §Ó hÖ ph¬ng tr×nh ®· cho cã nghiÖm khi 2 m 2 0.25® Bµi :3(3®) a\: Ta cã BD  DE CE  DE Suy ra tø gi¸c BDEC lµ h×nh thang vu«ng 0.25® M lµ trung ®iÓm cña DE suy ra OM B lµ ®êng trung b×nh cña h×nh thang BDEC 0.25® nªn OM  DE 0.25® VËy O c¸ch ®Òu D vµ E K 0.25® D O C A I M E b\Tõ c©u a ta cã: AM  AO 0.25® suy ra quÜ tÝch cña M lµ ®êng trßn ®êng kÝnh AO 0.25® Giíi h¹n: Khi D trïng B th× E trïng A Khi D trïng A th× E trïng C 0.25® Nªn quÜ tÝch cña M lµ nöa ®êng trßn ®êng kÝnh KI 0.25® c\ §Æt BD=x; DA=y; AE=z; EC=t DeThi.edu.vn
Bộ 29 Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ta cã P=x+y+z+t+BC 0.25® mÆt kh¸c: x+y 2(x 2 y 2 ) 2AB 2 c 2 z+t 2(z 2 t 2 ) 2AC 2 b 2 0.25® vËy P lín nhÊt khi x=y; z=t vµ Pmax= 2 (b+c)+a 0.5® Bµi 4:(1.5®) S O C A H B a\ Ta cã HA=HB=HC=a 3 3 1 a HO= SC 2 HC 2 2 6 a OA=OB=OC= OH 2 HC 2 0.25® 2 ¸p dông ®Þnh lý pitago suy ra OA, OB, OC ®«i mét vu«ng gãc nªn OA  (BOC) 0.25® 1 1 a a 2 3 a 3 2 b\ VO.ABC= OH.S ABC 0.5® 3 3 6 2 12 Bµi 5: V× a>0, b>0, c>0 Ta cã: DeThi.edu.vn
Bộ 29 Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán (Có đáp án) - DeThi.edu.vn a 3 b3 ab(a b) a 3 0. 5® b 2 a(a b) b b3 T¬ng tù: c 2 b(b c) c c 3 a 2 c(c a) 0.25® a a3 b3 c3 Céng vÕ víi vÕ ta ®îc ab bc ca (®pcm) 0.25® b c a DeThi.edu.vn
Bộ 29 Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 11 §Ò thi tuyÓn sinh vµo trêng lam s¬n M«n: To¸n Thêi gian: 150 phót C©u 1: ( 2 ®iÓm) T×m x biÕt: x3 3x x2 1 x2 4 x3 3x (x2 1) x2 4 3 3 x 2006 2 2 x 2 C©u 2: (3 ®iÓm) Cho x y 0 4 CMR: x 3 (x y)(y 1)2 C©u 3: (2 ®iÓm) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh trªn tËp sè nguyªn tè x t 2 2 2 y 2t 1 2 z 3t 4 C©u 4: ( 3 ®iÓm) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt cña hµm sè: 12x2 8x2 3 f (x) (2x2 1)2 C©u 5: (2 ®iÓm) Cho ABC , O lµ ®iÓm miÒn trong cña ABC , c¸c tia OA, OB, OC lÇn lît c¾t c¸c c¹nh BC, AC, AB theo thø tù A1, B1, C1, (C) lµ ®êng trßn néi tiÕp tiÕp xóc 3 c¹nh cña ABC t¹i M, N, P. Chøng minh r»ng: OA OB OC a) 1 1 1 1 AA1 BB1 CC1 S b) S ABC MNP 4 DeThi.edu.vn
Bộ 29 Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán (Có đáp án) - DeThi.edu.vn §¸p ¸n §Ò thi vµo trêng lam s¬n M«n: To¸n Thêi gian: 150 phót C©u 1 x3 3x (x2 1) x2 4 x3 3x (x2 1) x2 4 0,5 §Æt: a 3 3 (2 ®iÓm) 2 2 a3 x3 3x 3ab (2) x3 3x (x2 1) x2 4 x3 3x (x2 1) x2 4 Trong ®ã: b 3 3 2 2 (x3 3x)2 (x2 1)2 (x2 4) 0,25 3 1 4 (2) a3 x3 3x 3a 0 0,25 (a x)(a2 ax x2 3 0) a x 2 2 a ax x 3 0 a 0 2 2 2 Víi: x 3 0 a ax x 3 0 a x x 2 x x 2006 x2 x 2006 0 1 8025 0,5 x x 2 x 2 2 1 8025 0,25 VËy ph¬ng tr×nh (1) cã mét nghiÖm x 2 C©u 2 ¸p dông bÊt ®¼ng thøc c«si cho 4 sè d¬ng sau ®©y: 0,5 (2 ®iÓm) 8 2x 2y; y 1; y 1; (x y)(y 1)2 8 2 8 2x 2y 2(y 1) 44 2(x y)(y 1) (x y)(y 1)2 (x y)(y 1)2 0,5 4 x 1 4 (x y)(y 1)2 4 0,5 x 3 (x y)(y 1)2 8 0,5 DÊu = x¶y ra 2x 2y 2(y 1) x 2; y 1 (x y)(y 1)2 DeThi.edu.vn
Bộ 29 Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán (Có đáp án) - DeThi.edu.vn C©u 3 Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh: (2 ®iÓm) * XÐt t = 7k (k Z) 0,5 v× t lµ sè nguyªn tè t = 7 x 47 y 97 (tho¶ m·n) z 151 t 7 * XÐt t = 7k 1 (k Z) 0,5 t2  1 (mod 7) x 1 z  0 (mod 7) z = 7 t = 1 y 1 (Trêng hîp nµy kh«ng tho¶ m·n) * XÐt t = 7k 2 (k Z) 0,5 t2  4 (mod 7) x 2 y  0 (mod 7) y = 7 t = 2 z 16 (Trêng hîp nµy kh«ng tho¶ m·n) * XÐt t = 7k 3 (k Z) 2 t  2 (mod 7) 0,5 x 7 t 3 x  0 (mod 7) (tho¶ m·n) y 17 z 31 VËy hÖ ph¬ng tr×nh trªn cã 2 nghiÖm: (x, y, z,t) (47,97,151,7) (7,17,31,3) C©u 4 12x 4 8x 2 3 0,5 Tõ: f (x) (2 ®iÓm) (2x 2 1) 2 §Æt : tgu x 2, x 2 2 3tg 4u 4tg 2u 3 0,75 f (x) g(u) (1 tg 2u) 2 DeThi.edu.vn
Bộ 29 Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 3cos 4 u 4sin 2 u cos 2 u 3sin 4 u sin 2 2u 3 (sin 2 u cos 2 u) 2 2 2 5 0,5 Do : 0 sin 2u 1 g(u) 3 2 g(u) 3 u 0 x 0 5 1 g(u) u x 2 4 2 5 0,25 Max f (x) = 3 ; Min f (x) x 0 1 x 2 2 C©u 5 C©u a: §Æt: S S ABC A 0,25 (2 ®iÓm) S1 S OBC C1 B1 S 2 S OAC O S3 S OAB B S S1 S 2 S3 A1 C OA S OB S OC S 0,25 Ta cã: 1 1 ; 1 2 ; 1 3 AA1 S BB1 S CC1 S OA OB OC S S S S S S 1 1 1 1 2 3 1 2 3 1 AA1 BB1 CC1 S S S S =>®pcm C©u b: §Æt: S1 S ANP A S 2 S BMP S1 b S3 S CMN P N Ta cÇn chøng minh: c S3 C S1 S 2 S3 3 B S2 a M S 4 ( p a) 2 ( p b) 2 ( p c) 2 3 0,25 (1) bc ac ab 4 Theo bÊt ®¼ng thøc bunhiac«pski ta cã: 0,5 DeThi.edu.vn
Bộ 29 Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 2 2 2 ( p a) ( p b) ( p c) 2 (ab bc ca) P (2) bc ac ab (a b c) 2 0,25 VT(1) (3) 4(ab bc ca) 2 (a b c) 3 0,5 MÆt kh¸c: (4) 4(ab bc ca) 4 ( p a) 2 ( p b) 2 ( p c) 2 3 Tõ (1) (2) (3) (4): bc ac ab 4 DÊu = x¶y ra ABC ®Òu 0,25 DeThi.edu.vn
Bộ 29 Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 12 Së GD&§T Thanh ho¸ §Ò xuÊt §Ò thi vµo líp 10 chuyªn lam s¬n M«n: To¸n. (Thêi gian lµm bµi: 150 phót ) Bµi 1: (2 ®iÓm) Cho ph¬ng tr×nh: x2 - (2m +1)x + m2 +m - 6 = 0 1) X¸c ®Þnh m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ®Òu ©m 3 3 2) X¸c ®Þnh m ®Ó ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm x1, x2 th¶o m·n x1 - x2  =50 Bµi 2: (2 ®iÓm) 1) T×m ®a thøc f(x) biÕt: f(x) chia cho x-1 d -3 f(x) chia cho x+1 d 3 f(x) chia cho (x-1)(x + 1) d ®îc th¬ng lµ 2x vµ cßn d. 2) Gi¶i ph¬ng tr×nh sau: (6x + 7)2 (3x + 4) (x+1) =6 Bµi 3: (2 ®iÓm) x4 y2 1 1) T×m tÊt c¶ c¸c x, y tháa m·n 5 3 x y 1 2) Cho n lµ sè tù nhiªn n 2. Chøng minh 1 1 1 1 1 2 22 32 n2 n Bµi 4: (2 ®iÓm) Cho hai ®iÓm A, B cè ®Þnh vµ ®iÓm M di ®éng sao cho MAB lµ tam gi¸c cã 3 gãc nhän. Gäi H lµ trùc t©m cña tam gi¸c MAB vµ K lµ ch©n ®êng cao vÏ tõ M cña tam gi¸c MAB. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt KH.KM. Bµi 5: (2 ®iÓm) Dùng tam gi¸c ABC biÕt trung ®iÓm cña hai c¹nh tam gi¸c vµ biÕt ®êng ph©n gi¸c trong kÎ tíi mét trong hai c¹nh nµy cña tam gi¸c n»m trªn mét ®êng th¼ng ®· cho. DeThi.edu.vn
Bộ 29 Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Híng dÉn chÊm thi vµo 10 chuyªn lam s¬n M«n: To¸n. C©u Néi dung §iÓm C©u 1 2 1 1 TÝnh = (2m +1) 2 - 4(m2+m-6) = 25 0,5 x1 = m+ 3; x2 = m-2 x1 m 3 0 m 3 §Ó hai nghiÖm ®Òu ©m 0,5 x2 m 2 0 2 1 3 3 3 3 Ta cã x1 - x2 = (m+3) - (m-2)  =50  3m2 +3m +7 =10 3m2 + 3m -3 =0 0,5 1 5 1 5 m vµ m 2 2 0,5 §¸p sè 1 5 2 C©u 2 2 1 1 Theo bµi ra ta cã f(x) = (x + 1) (x -1)2x + (ax +b) f(1) = a +b = -3 0,5 f(-1) = -a +b = 3 a b 3 a 3 Ta cã hÖ: a b 3 b 0 0,5 VËy f(x) = (x+1)(x-1)2x -3x= 2x3 - 5x 2 1 1 1 (3x2 7x 4 )(3x2 7x 4) (*) 12 2 7 1 1 §Æt (3x2 +7x +4) =y 3(x )2 6 2 2 2 y 1 1 3 0,5 Ph¬ng tr×nh y(y+ ) = 12y2 +y - 6 = 0 y= 12 2 3 y (loai) 4 DeThi.edu.vn
Bộ 29 Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 2 2 5 2 * Víi y= 3x2 +7x+4 = x ; x 3 3 1 3 2 3 5 x 3 0,5 §¸p sè 2 x 3 C©u 3 2 1 x4 y2 1 (1) HÖ 5 3 x y 1 (2) Do (1) ta cã -1 x 1; -1 y 1 - NÕu x 1 (v« lý) 0,5 - NÕu y 1 (v« lý) - NÕu 0 x5 + y5 >1 (v« lý) VËy x= 0 hoÆc x =1 Víi x= 0 th× y =1 tháa m·n hÖ 0,5 Víi x =1 th× y =0 tháa m·n hÖ 2 2 NhËn xÐt k N; k 2 ta cã 1 1 1 1 0,5 k 2 (k 1)k k 1 k VËy tõ bµi to¸n ta cã 1 1 1 1 1 1 1 1 22 32 n2 1.2 1.3 (n 1)n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 3 3 4 n 1 n 1 2 n Hay 1 1 1 1 1 2 22 32 n2 n 0,5 C©u 4 2 DeThi.edu.vn
Bộ 29 Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán (Có đáp án) - DeThi.edu.vn M E H A B K llllllllllllllllllllll - Ta cã: KAH~ KMB (g.g) KA KH 0,5 = KH.KM =KA.KB KM KB - NhËn xÐt: (KA- KB)2 0 dÊu "=" khi KA= KB KA2 - 2KA.KB +KB2 0 2KA.KB KA2+KB2 2 2 4KA.KB KA +KB + 2KA.KB 1,0 (KA KB)2 AB2 KA.KB 4 4 AB2 VËy KA.KBmax = KH.KMmax = 4 K lµ trung ®iÓm cña AB MAB c©n t¹i M (v× ®êng cao lµ ®êng trung tuyÕn) 0,5 C©u 5 2 C (d) M N B A N' - Gi¶ sö ®· dùng ®îc tam gi¸c ABC tháa m·n. Gäi N' lµ ®iÓm ®èi xøng N qua (d) , N' AB. MÆt kh¸c MN// AB (®êng trung b×nh) 0,75 AN'//MN tõ ®ã ta cã c¸ch dùng: DeThi.edu.vn
Bộ 29 Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán (Có đáp án) - DeThi.edu.vn - Dùng N' ®èi xøng N qua (d). Tõ N' dùng ®êng th¼ng t//MN, t 0,25 c¾t d t¹i A. Dùng C ®èi xøng víi A qua N. §êng th¼ng CM c¾t AN' t¹i B Tam gi¸c ABC lµ tam gi¸c cÇn dùng. Ta dÔ dµng chøng minh 0,5 tam gi¸c ABC tháa m·n c¸c ®iÒu kiÖn bµi to¸n BiÖn luËn: - t//d bµi to¸n v« nghiÖm 0,5 - t giao d t¹i mét ®iÓm bµi to¸n cã 1 nghiÖm - t trïng d bµi to¸n v« sè nghiÖm h×nh DeThi.edu.vn
Bộ 29 Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 13 §Ò thi vµo líp 10 THPT chuyªn Lam S¬n Thêi gian 180 phót M«n: To¸n chung x3 x 1 1 C©u I. ( 3 ®iÓm) Cho biÓu thøc: A x 1 x x 1 x x 1 a. Rót gän biÓu thøc A b. Víi gi¸ trÞ nµo cña m th× A=4 C©u II. (4 ®iÓm). Cho Parabon (P) cã ph¬ng tr×nh y x2 vµ ®êng th¼ng (dm) cã ph¬ng tr×nh: y=2(m-1)x-(2m-4) a. Chøng minh r»ng víi mäi m th× Parabon lu«n c¾t ®êng th¼ng (dm) t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt. b. Gäi x1, x2 lµ hoµnh ®é giao ®iÓm cña (P) vµ (dm). T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña y x2 x2 1 2 C©u III. (). Cho tø gi¸c ABCD néi tiÕp ®êng trßn t©m O. gäi H, i theo thø tù lµ h×nh chiÕu cña B trªn AC, CD. Gäi M, N theo thø tù lµ trung ®iÓm cña AD, HI. Chøng minh r»ng: a. V ABD vµ V HBI ®ång d¹ng b. M¼NB 900 . C©u IV. (4,5 ®iÓm). Cho h×nh chãp SABCD. §¸y ABCD lµ h×nh vu«ng c¹nh a. C¹nh SA vu«ng gãc víi ®¸y ABCD. a. Chøng minh r»ng: SC  BD . b. Gäi M, N theo thø tù lµ h×nh chiÕu cña A lªn SB, SD. Chøng minh r»ng: SC  (AMN) . C©u V. Cho ph¬ng tr×nh: x4 ax3 bx2 ax 1 0(1) trong ®ã: a,b R DeThi.edu.vn
Bộ 29 Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 4 a. BiÕt (1) cã Ýt nhÊt 1 nghiÖm thùc. Chøng minh r»ng: a2 b2 . 5 x 20 8 y 2005 2165 b. Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh: x 2005 y 20 8 2165 ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM CHẤM Môn Toán chung thi vào lớp 10 chuyên Lam Sơn C©u I Néi dung §iÓm a, §/K: x>1 0,25 x x 1 x x 1 A x x 2 x 1 0,5 ( x x 1)( x x 1) A (x 1) 2 x 1 1 0,5 A ( x 1 1)2 0,25 b, x 1 1 2 0.5 §Ó A 4 x 1 1 2 x 1 3 (1) 0,5 (2) x 1 1 NhËn thÊy pt(2) VN. A 4 x 1 3. 0,5 x 10. C©u II 4,0 a, Ph¬ng tr×nh hoµnh ®é giao ®iÓm cña (p) vµ (dm) lµ: x2 2(m 1)x (2m 4) 0(*) cã V' (m 1)2 (2m 4) 0,75 m 2 4m 5 (m 2)2 1 0,m 0,75 DeThi.edu.vn
Bộ 29 Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Ph¬ng tr×nh lu«n cã 2 nghiÖm ph©n biÖt hay parabon (p) 0,5 lu«n c¾t ®êng th¼ng (dm) t¹i 2 ®iÓm ph©n biÖt a, Theo gi¶ thiÕt x1,x2 lµ hoµnh ®é giao ®iÓm cña (p) vµ (dm) Theo c©u a ta cã m vµ theo viet ta cã: 0,5 x x 2(m 1) 1 2 x x (2m 4) 1 2 y x2 x2 (x x )2 2x x 1 2 1 2 1 2 0,5 y 4(m 1)2 2(2m 4) y 4 m2 2m 1 m 2 y 4 m2 m 1 0,5 1 5 1 y 4 (m )2 4(m )2 5 5 2 4 2 0,5 y nhËn gi¸ trÞ nhá nhÊt lµ -5 khi m 1 . 2 C©u III 5,0 a, ¼ 0 Ta cã BHC 90 (gt) B ¼ 0 BIC 90 (gt) 0,5 A H,I cïng nh×n BC Tõ tø gi¸c BHIC néi tiÕp H H 1 M 1 ¼ABC B¼IH N C 0,5 vµ B¼CH B¼DA I D (gãc néi tiÕp cïng ch¾n 1 cung) 0,5 B¼IH B¼DA (1) 0,5 DeThi.edu.vn
Bộ 29 Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán (Có đáp án) - DeThi.edu.vn T¬ng tù tao cã ¼ABD H¼BI (2) Tõ (1) vµ (2) ta cã VABD : VHBI (g.g) b, Theo trªn ta cã VABD : VHBI L¹i cã BM,BN lÇn lît lµ 2 trung tuyÕn cña chóng BM BA (3) 0,5 BN BH L¹i cã: ¼ABM H¼BN (cÆp gãc t¬ng øng cña 2 tam gi¸c ®ång d¹ng) 0,5 ¼ABM M¼BN (4) Tõ (3) vµ (4) ta cã: VABH : VMBN ( c.g.c) ¼AHB M¼NB 2,0 Mµ: ¼AHB 900 (gt) M¼NB 900 C©u 4,5 IV S N M D A B C a, Theo gt ta cã SA  (ABCD) SA  BD 0,5 Mµ: AC  BD (gt) 0,5 BD  (SAC) 0,5 BD  SC 0,5 b, Ta cã: BC  AB (gt) 0,5 BC  SA (gt) DeThi.edu.vn
Bộ 29 Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán (Có đáp án) - DeThi.edu.vn BC  (SAD) 0,5 0,5 BCAM AM  (SBC) L¹i cã: SBAM  0,5 AM  SC (1) Chøng minh t¬ng tù ta cã: AN  SC (2) Tõ (1) vµ (2) ta cã: SC  (AMN) 0,5 C©u V a, Gi¶ sö (1) cã mét nghiÖm x R ta cã: 0 x4 ax3 bx2 ax 1 0(2) 0 0 0 0 x 0 0 1 1 (2) (x2 ) a(x ) b 0(3) 0,25 0 x2 0 x 0 0 1 1 ®Æt: x y y2 2 x2 0,25 0 x 0 0 x2 0 0 0 VËy (3) y2 ay b 2 0 0 0 (y2 2)2 (ay b)2 (a2 b2)(y2 1) theo 0,25 0 0 0 Bunhiac«pSki 2 y2 2 0 a2 b2 y2 1 0 2 1 Nhng y2 x2 4 0,25 0 0 x2 0 0,25 §Æt: y2 4 t,t 0 0 2 t 2 9 a2 b2 t 1 t 5 t 5 0,5 2 2 4 9 9 4 5t 16 a b t t 5 t 5 5 5 5t 25 0,25 DeThi.edu.vn 1,5 1,5
Bộ 29 Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 4 5t 16 a2 b2 (v× t 0, 0 ) 5 5t 25 DÊu “=” x¶y ra khi t=0 y2 4 x2 1 0 0 4 2 Víi x 1 a ,b 0 5 5 4 2 Víi x 1 a ,b 0 5 5 b, x 20*8 y 2005 2165(1) HÖ y 20*8 x 2005 2165(2) §/K: x, y 160 LÊy (1)-(2) ta cã: x 20*8 y 2005 x 2005 y 20*8 2 (x 20*8)(y 2005) 2 (x 2005)(y 20*8) x y 2 2 y 2005 x 20*8 2165 0,25 KÕt hîp víi (1) y 2005 x 20*8 1 0,25 y 2005 x 20*8 2165(1) HÖ y 2005 x 20*8 1(3) 0,25 LÊy (1)-(3) ta cã: 2 x 20*8 2164 x 20*8 1082 0,25 x 160 10822 x 1170884 HÖ cã nghiÖm duy nhÊt x=y=1170884 DeThi.edu.vn
Bộ 29 Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 14 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 LAM SƠN TRƯỜNG THPT NGUYỄN QUÁN NHO MÔN TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề Câu I (2 điểm) 2 Cho (x + x2 3 )(y + y 3 ) = 3 Hãy tính giá trị của biểu thức P = x + y ( Đề thi TS vào lớp 10 chuyên ĐHTH năm học 1995 – 1996) Câu II (2 điểm) 2 2 x Giải phương trình: x ( ) = 1 x 1 (Tự ra) Câu III (2 điểm) Giải phương trình nghiệm nguyên 3 1 x x2 x3 y (Đề thi HSG quốc gia toàn quốc bảng A năm 1992) Câu IV (1 điểm) Chứng minh rằng  x, y R*, ta có: 2 2 y x y x 4 3( ) y2 x2 y y (Đề thi QG chọn HSG Toán lớp 9 năm 1995) Câu V (3 điểm) Cho tia Ax, một điểm E khác điểm A, E Ax. Từ E, vẽ tia Ey. Hai điểm C và d phân biệt, khác điểm E, cho trước trên tia Ey. Một điểm B chạy trên tia Ex. Các đường thẳng AC và BD cắt nhau ở M, AD và Bc cắt nhau ở N. 1. Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn cắt tia Ey tại một điểm F cố định 2. Hãy xác định một vị trí của điểm B trên tia Ex sao cho các tam giác MCD và NCD có diện tích bằng nhau (Đề thi TS vào lớp 10 chuyên Toán ĐHSP HN năm 1993) DeThi.edu.vn
Bộ 29 Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán (Có đáp án) - DeThi.edu.vn SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA ĐÁP ÁN, THANG ĐIỂM ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 LAM SƠN TRƯỜNG THPT NGUYỄN QUÁN NHO MÔN TOÁN DeThi.edu.vn
Bộ 29 Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Câu Nội dung Điểm Nhân 2 vế của đẳng thức đã cho với (x - x2 3 ) ta được: Câu I 2 2 -3(y + y 3 ) = 3(x - x 3 ) (1) 0.5 điểm Nhân 2 vế của đẳng thức đã cho với (x - x2 3 ) ta được: 2 2 điểm -3(x + x2 3 ) = 3(y - y 3 ) (2) 0.5 điểm Cộng (1) và (2) theo vế với vế ta nhận được: 6(x +y) = 0, suy ra x + y = 0 Vậy E = x + y = 0 1 điểm Câu II ĐK: x 1 0.25 2 2 điểm 2 x 2 Pt đang xét + x 1 0 x ( ) x 1 2 điểm x 1 1 điểm x 2 1 2 x x 1 2 ( 1) x x 1 1 2 x 1 0.25 điểm Giải (2) vô nghiệm vì có biệt thức âm. Vậy phương trình có 2 nghiệm là nghiệm của (1), đó là: 2 1 2 2 1 ; x1 2 2 1 2 2 1 ; x2 2 0.5 điểm 2 2 1 3 Ta có: 1 x x (x ) 0 Câu III 2 4 2 2 11 29 7 11x 5x 5 (x ) 0 10 10 nên (1 x x2 x3 ) – ( x2 x 1) < 1 x x2 x3 < (1 x x2 x3 )+(5 x2 11x 7 ) 2 điểm 3 3 3 3 Do đó, x3 y (x 2) y (x 1) . Thay vào phương trình 2 3 3 3 x 0 ban đầu ta có: 1 x x x = y (x 1) x(x + 1) = 0 x 1 DeThi.edu.vn
Bộ 29 Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Vậy nghiệm nguyên của phương trình đã cho là: (0; 1) và (-1; 0) 2 2 y x y Bất đẳng thức cần chứng minh P x 4 3( ) 0 2 2 y y Câu IV y x 2 2 2 2 x y 2 y y 2 Đặt z = , ta có: x 2 x 2 y y z 2 2 2 2 z y x y x 0.5 điểm Thay vào P ta được: P = z2 2 4 3z = z2 3z 2 (z 1)(z 2) Vì x, y 0 theo giả thiết ta có: 1 điểm x y x y • Với x, y trái dấu thì , cùng âm do đó z = 0, suy ra P (z 1)(z 2) 0 với mọi x, y x y R*. Đẳng thức chỉ xảy ra khi với x, y cùng dấu. Từ đó suy ra y y 0.25 x = y. điểm DeThi.edu.vn
Bộ 29 Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán (Có đáp án) - DeThi.edu.vn x Câu V D 3 điểm Bài này F học sinh M N phải vẽ hình mới chấm C điểm P A E B 1. Dùng định lý Mê-nê-la-uyt (Xem hình) FC ND MA FC NA MC Trong tam giác CDA có: 1 (1) FD NA MC FD ND MA 0.5 điểm EC BD AM EC BM AC Trong tam giác CAD có: 1 (2) ED BM AC ED BD AM 0.5 điểm NA BD CM EC BM AC Trong tam giác ADN có: 1 (3) ND BM CA ED BD AM FC EC FC EC Từ (1), (2) và (3) suy ra: : 1 . FD ED FD ED Vậy F cố định. 2. Ta sẽ chứng minh rằng nếu EA = EB thì MN // AB. Thật vậy, giả sử rằng EA = EB mà đường thẳng MN cắt đường thẳng AB tại P. Khi đó ta cũng dùng định lý Mê-nê-la-uyt tương tự trên lần lượt cho PA EA các tam giác ABC, ABM, CBM thì được 1, vô lý 0.75 PB EB điểm Từ MN // AB, suy ra FM = FN và hai tam giác MCD và NCD có diện tích bằng nhau. Vậy một vị trí thích hợp của B trên tia Ex là điểm thỏa mãn đẳng thức EB = EA 0.75 điểm DeThi.edu.vn
Bộ 29 Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 15 §Ò thi tuyÓn sinh vµo líp 10 chuyªn lam s¬n M«n : To¸n häc - Thêigian lµm bµi : 150 phót §Ò thi b¶ng A 1. Chøng minh: a 4; b 5; c 6 vµ a2 + b2 + c2 = 90 th× a b c 16 . (2®iÓm) a 3 3a (a 2 1) a 2 4 2 2. §¬n gi¶n biÓu thøc: víi a 2 (1®iÓm) a 3 3a (a 2 1) a 2 4 2 3. Cho ph¬ng tr×nh: ax2 + bx + c = 0. Chøng minh ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ ®Ó ph¬ng tr×nh cã 2 nghiÖm mµ nghiÖm nµy b»ng k lÇn nghiÖm kia lµ: k b 2 (k 1) 2 ac 0 (k 0) (*)( víi gi¶ thiÕt lµ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm). (2®iÓm) 4. Cho tam gi¸c ABC (A = 900) hai c¹nh gãc vu«ng lµ lµ b vµ c. LÊy ®iÓm m [BC] sao cho = ( 0 0 vµ 90 0 ) . Chøng minh: bc AM (2®iÓm) b cos c sin 5. Cho tø diÖn ABCD cã AB = BC = CA = AD = DB = a 2 vµ CD = 2a. a) Chøng minh AB  CD b)TÝnh thÓ tÝch tø diÖn ABCD. (1®iÓm) 6. T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh: x2 + x3 + x4 + x5 = 271440 (2®iÓm) Híng dÉn chÊm C©u 1: 1 (n 1) n n n 1 a) ta cã (n 1) n n n 1 (n 1)2 n n2 (n 1) 1.0 (n 1) n n n 1 1 1 = n(n 1) n n 1 DeThi.edu.vn
Bộ 29 Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán (Có đáp án) - DeThi.edu.vn b) ¸p dông ®¼ng thøc trªn víi n = 1, n = 2 n = 99. 0.25 1 1 Ta cã 1 2 2 2 1 1 1 3 2 2 3 2 3 0.5 1 1 1 (100 99 99 100 99 100 céng theo tõng vÕ 1 9 S = 1 - 100 10 VËy S = 9 10 C©u 2: §iÒu kiÖn : x 0 Gäi M (x, y) lµ ®iÓm cÇn t×m => (x, y) lµ nghiÖm cña 0.25 y x 1 1 HÖ 0.25 y2 3y x 2x 0 2 Gi¶i (2) ta cã y1 = 2 x 0.25 y2 = x 2 0.25 Víi y1 = 2 x (1) trë thµnh x + 1 = x  ( x 1) = 0  x = 1 Víi y2 = x (1) trë thµnh x + 1 = x  x - x + 1 = 0 1 2 3  ( x - ) + = 0 v« n0 2 4 0.25 vËy ®iÓm M cÇn t×m: M (1, 2) C©u 3: Gi¶i sö n2 + 2006 lµ sè chÝnh ph¬ng => n2 + 2006 = m2 (m Z) 0.25 DeThi.edu.vn
Bộ 29 Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Ta cã m2 - n2 = 2006  (m - n) (m + n) = 2006 NÕu m, n kh¸c tÝnh ch½n lÎ => m2, n2 kh¸c tÝnh ch½n lÎ => m2 - n2 lµ sè 0.25 lÎ => v« lÝ Hay m, n cïng tÝnh ch½n lÎ 0.25 Khi ®ã (m n)2 (m n)(m n)4 m n2 0.25 Nhng 2006 kh«ng chia hªt cho 4 vËy kh«ng tån t¹i n N ®Ó 2 n + 2006 lµ sè chÝnh ph¬ng 0.25 C©u 4: Gäi C lµ giao ®iÓm cña 0A vµ (0) I lµ trung ®iÓm 0C => I cè ®Þnh 0.25 XÐt tam gi¸c 0IM vµ tam gi¸c 0MA Cã gãc ¤ chung. 0.25 0I 0M 1 (gt) 0M 0A 2 => tam gi¸c 0IM  tam gi¸c 0MA => AM = 2IM. 0.25 VËy MA + 2MB = 2 (IM + MB) 2BI kh«ng ®æi §¼ng thøc x¶y ra  B, M, I th¼ng hµng. KL: P = MA + 2MB nhá hhÊt = 2BI khi B, M, I th¼ng hµng. Khi ®ã M 0.254 lµ giao ®iÓm cña BI vµ (0). C©u 5: ¸p dông ®Þnh lý ta lÐt BE CE DF CF AE EF AF EF AF DF 1 0.5 AE AF nh©n 2 vÕ víi AE.AF ta cã BE. AF + AE.DF = AE. AF L¹i cã AE. AF = AC . EF = 2 S AEF 0.5 Nªn BE. AF + AE . DF = AC. EF (1) DeThi.edu.vn
Bộ 29 Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán (Có đáp án) - DeThi.edu.vn MÆt kh¸c: AF2 = CP . EF => AF = CF.EF 0.5 DF2 = CE. EF -> DF = CE.EF Thay vµo (1): BE CF.EF DF CE.EF AC.EF 0.5  BE CF + DF CE = AC EF C©u 6: Ta cã : x, y, z N* 1 1 1 x + y + z = xyz  1 (1) xy xz yz 0.25 Do x ,y, z cã vai trß b×nh ®¼ng nh nhau nªn ta gi¶ sö 1 1 1 1 1 1 3 1 x y z nªn (1) 1 = 0.25 xy yz xz x2 x2 x2 x2 2 * -> x 3 do x N => x = 1 0.25 khi ®ã ta cã 1 + y + z = yz  (z-1) (y-1) = 2 z 1, y 1 N y 1 1 y 2 do => => z 1 y 1 z 1 2 z 3 0.25 vËy 3 sè cÇn t×m lµ 1, 2 , 3 DeThi.edu.vn
Bộ 29 Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 16 §Ò thi tuyÓn sinh vµo líp 10 THPT chuyªn Lam S¬n M«n To¸n-Thêi gian: 150 phót Bµi 1: (2 ®iÓm) Cho biÓu thøc x x2 4x x x2 4x A = x x2 4x x x2 4x 1. T×m ®iÒu kiÖn cña x ®Ó biÓu thøc A cã nghÜa. 2. Rót gän A. 3. T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó A< 5 . Bµi 2: (2 ®iÓm) 1. Gi¶i ph¬ng tr×nh: (12x-1)(6x-1)(4x-1)(3x-1) = 330 2. Gi¶i ph¬ng tr×nh: x x 11 x x 11 4 Bµi 3: (2 ®iÓm) Cho hÖ ph¬ng tr×nh: x+y=2a-1 x2+y2=a2+2a-3 1. Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh khi a=2. 2. T×m a ®Ó hÖ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm (x;y) mµ xy nhá nhÊt. Bµi 4: (3 ®iÓm) Cho tam gi¸c cã c¸c gãc nhän ABC néi tiÕp ®êng trßn t©m O. H lµ trùc t©m cña tam gi¸c, M lµ mét ®iÓm trªn cung BC kh«ng chøa ®iÓm A. 1. X¸c ®Þnh vÞ trÝ ®iÓm M ®Ó tø gi¸c BHCM lµ h×nh b×nh hµnh. 2. Gäi N vµ E lÇn lît lµ c¸c ®iÓm ®èi xøng cña ®iÓm M qua c¸c ®êng th¼ng AB vµ AC. Chøng minh r»ng 3 ®iÓm N, H, E th¼ng hµng. 3. X¸c ®Þnh vÞ trÝ ®iÓm M ®Ó NE cã ®é dµi lín nhÊt. Bµi 5: (1 ®iÓm) T×m nghiÖm nguyªn d¬ng cña ph¬ng tr×nh: (x+2y)(3x+7y) = 216 DeThi.edu.vn
Bộ 29 Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Híng dÉn chÊm C©u 1: 1 (n 1) n n n 1 a) ta cã (n 1) n n n 1 (n 1)2 n n2 (n 1) 1.0 (n 1) n n n 1 1 1 = n(n 1) n n 1 b) ¸p dông ®¼ng thøc trªn víi n = 1, n = 2 n = 99. 0.25 1 1 Ta cã 1 2 2 2 1 1 1 3 2 2 3 2 3 0.5 1 1 1 (100 99 99 100 99 100 céng theo tõng vÕ 1 9 S = 1 - 100 10 9 VËy S = 10 C©u 2: §iÒu kiÖn : x 0 Gäi M (x, y) lµ ®iÓm cÇn t×m => (x, y) lµ nghiÖm cña 0.25 y x 1 1 HÖ 0.25 y2 3y x 2x 0 2 Gi¶i (2) ta cã y1 = 2 x 0.25 y2 = x 2 0.25 Víi y1 = 2 x (1) trë thµnh x + 1 = x  ( x 1) = 0  x = 1 Víi y2 = x (1) trë thµnh x + 1 = x  x - x + 1 = 0 1 2 3  ( x - ) + = 0 v« n0 2 4 0.25 DeThi.edu.vn
Bộ 29 Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán (Có đáp án) - DeThi.edu.vn vËy ®iÓm M cÇn t×m: M (1, 2) C©u 3: Gi¶i sö n2 + 2006 lµ sè chÝnh ph¬ng => n2 + 2006 = m2 (m Z) 0.25 Ta cã m2 - n2 = 2006  (m - n) (m + n) = 2006 NÕu m, n kh¸c tÝnh ch½n lÎ => m2, n2 kh¸c tÝnh ch½n lÎ => m2 - n2 lµ sè 0.25 lÎ => v« lÝ Hay m, n cïng tÝnh ch½n lÎ 0.25 Khi ®ã (m n)2 (m n)(m n)4 m n2 0.25 Nhng 2006 kh«ng chia hªt cho 4 vËy kh«ng tån t¹i n N ®Ó n2 + 2006 lµ sè chÝnh ph¬ng 0.25 C©u 4: Gäi C lµ giao ®iÓm cña 0A vµ (0) I lµ trung ®iÓm 0C => I cè ®Þnh 0.25 XÐt tam gi¸c 0IM vµ tam gi¸c 0MA Cã gãc ¤ chung. 0.25 0I 0M 1 (gt) 0M 0A 2 => tam gi¸c 0IM  tam gi¸c 0MA => AM = 2IM. 0.25 VËy MA + 2MB = 2 (IM + MB) 2BI kh«ng ®æi §¼ng thøc x¶y ra  B, M, I th¼ng hµng. KL: P = MA + 2MB nhá hhÊt = 2BI khi B, M, I th¼ng hµng. Khi ®ã M 0.254 lµ giao ®iÓm cña BI vµ (0). C©u 5: ¸p dông ®Þnh lý ta lÐt DeThi.edu.vn
Bộ 29 Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán (Có đáp án) - DeThi.edu.vn BE CE DF CF AE EF AF EF AF DF 1 AE AF 0.5 nh©n 2 vÕ víi AE.AF ta cã BE. AF + AE.DF = AE. AF L¹i cã AE. AF = AC . EF = 2 S AEF 0.5 Nªn BE. AF + AE . DF = AC. EF (1) MÆt kh¸c: AF2 = CP . EF => AF = CF.EF 0.5 DF2 = CE. EF -> DF = CE.EF Thay vµo (1): BE CF.EF DF CE.EF AC.EF 0.5  BE CF + DF CE = AC EF C©u 6: Ta cã : x, y, z N* 1 1 1 x + y + z = xyz  1 (1) xy xz yz 0.25 Do x ,y, z cã vai trß b×nh ®¼ng nh nhau nªn ta gi¶ sö 1 1 1 1 1 1 3 1 x y z nªn (1) 1 = 0.25 xy yz xz x2 x2 x2 x2 2 * -> x 3 do x N => x = 1 0.25 khi ®ã ta cã 1 + y + z = yz  (z-1) (y-1) = 2 z 1, y 1 N y 1 1 y 2 do => => z 1 y 1 z 1 2 z 3 0.25 vËy 3 sè cÇn t×m lµ 1, 2 , 3 DeThi.edu.vn
Bộ 29 Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 17 Së GD&§T Thanh Hãa §Ò thi vµo 10 chuyªn Lam S¬n M«n: To¸n chung Thêi gian:150 phót Bµi 1: (1,5 ®iÓm) Cho hµm sè : y=3x+2m-1 (1). T×m m ®Ó: a. §å thÞ hµm sè (1) ®i qua ®iÓm(1;5) b. §å thÞ hµm sè (1) c¾t 2 trôc 0x,0y t¹i A,B sao cho OAB cã diÖn tÝch b»ng 27 Bµi 2: (2,5 ®iÓm) Cho ph¬ng tr×nh: mx2-2(m+1)x+m+4=0 a. Gi¶i ph¬ng tr×nh khi m=1 b. T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt c. T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm kh¸c 2 Bµi 3: (1,0 ®iÓm) Chøng minh r»ng nÕu 2 a 4 th× -1≤ P ≤5 víi P = a2-3a+1 Bµi 4: (1,5 ®iÓm) T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh: y2=-2(x6-x3y-32) Bµi 5: (3,5 ®iÓm) Cho ®iÓm P cè ®Þnh n»m ngoµi ®êng trßn(O); mét ®êng th¼ng thay ®æi qua P c¾t (O) t¹i A,B . C¸c tiÕp tuyÕn cña (O) t¹i A; B c¾t nhau t¹i M.KÎ MH vu«ng gãc víi PO. a. Chøng minh O,A,B,M,H 1®êng trßn b. Chõng minh khi ®êng th¼ng PAB thay ®æi, M lu«n thuéc 1 ®êng th¼ng cè ®Þnh c. Gäi I lµ trung ®iÓm cña AB; N lµ giao ®iÓm cña MH víi AB. DeThi.edu.vn
Bộ 29 Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Chøng minh: PA.PB = PI.PN. - HÕt - Së GD&§T Thanh hãa ®¸p ¸n vµ biÓu chÊm m«n : to¸n chung K× thi vµo líp 10 chuyªn Lam S¬n (§¸p ¸n nµy gåm cã 3 tê ) Bµi 1: (1,5 ®iÓm) a, §å thÞ HS ®i qua ®iÓm ( 1 ; 5 ) 5 = 3.1 +2.m – 1 m = 3 2 0,5 1 2m b, §å thÞ hµm sè c¾t Ox t¹i A ;0 ; c¾t Oy t¹i B(0;2m-1) 3 0,25 1 1 1 2m 1 DiÖn tÝch( OAB)= OA.OB . 2m 1 2m 1 2 2 2 3 6 0,25 1 Dt( OAB)= (2m 1)2 =27 (2m-1)2=162 2m-1= 9 2 6 0,25 1 9 2 1 9 2 m=  m 2 2 . .0,25 Bµi 2: (2,5 ®iÓm) a, (0,5 ®iÓm) DeThi.edu.vn
Bộ 29 Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán (Có đáp án) - DeThi.edu.vn m=1 ta cã pt: x2-4x+5=0 pt v« nghiÖm. 0,5 b, (1,0 ®iÓm) + m=0 pt trë thµnh -2x+4=0 cã nghiÖm duy nhÊt x=2. . .0,25 + m≠0 pt cã nghiÖm duy nhÊt = (m+1)2-m(m+4)=0 m=1/2. 0,5 VËy víi m=0 hoÆc m=1/2 th× pt cã nghiÖm duy nhÊt . .0,25. c, (1,0 ®iÓm) + m=0 pt trë thµnh -2x+4=0 x=2. . .0,25 + m≠0 =1-2m. 1 m 0 2 0 1 1 §Ó pt cã nghiÖm ≠ 2 m m b 2 2 2 m 1 2a 2 m .0,5 VËy m ≤1/2 th× pt cã nghiÖm≠2. . .0,25 Bµi 3: (1,0 ®iÓm) + P= a2-3a+1 = (a-2)(a-1)-1 . .0,25 V× 2≤a≤4 (a-2)(a-1) ≥0 P≥-1 (DÊu b»ng x¶y ra a=2) . .0,25 + P= a2-3a+1 = (a-4)(a+1) +5 . .0,25 V× 2≤a≤4 (a-4)(a+1) ≤0 P≤ 5 (DÊu b»ng x¶y ra a=4) . 0,25 Bµi 4: (1,5 ®iÓm) DeThi.edu.vn
Bộ 29 Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Ta cã y2=-2(x6-x3y-32) x6 + (y-x3)2=64 . .0,25 x6 ≤64 -2≤x≤2 . 0,25 Do x Z x 2; 1;0;1;2 . 0,25 + x=2 (y-x3)2=0 y=8 + x=1 (y-x3)2=63 do y Z y Ø + x=0 (y-x3)2=64 y=8 V y=-8 . 0,5 + x=-1 (y-x3)2=63 do y Z y Ø + x=-2 (y-x3)2=0 y=-8 NghiÖm pt lµ: (0;8);(0;-8);(2;8);(-2;-8). . 0,25 Bµi 5: (3,5 ®iÓm) a, (0,5 ®iÓm) Do MA,MB lµ tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn (O) nªn OAM=OBM=1v mµ MHPO A,B,H,O,M ®êng trßn ®êng kÝnh OM. 0,5 b, (2,0 ®iÓm) - Gäi C,D lµ giao ®iÓm cña PO víi (O). Ta cã PCB ®ång d¹ng víi PAD PB PC PB.PA=PC.PD (1) PD PA .0,5 - XÐt trong ®êng trßn ®êng kÝnh MO PB PH PBH ®ång d¹ng víi POA PA.PB=PH.PO (2) PO PA 0,5 PC.PD Tõ (1) vµ (2) PH.PO=PC.PD PH PH =const PO 0,5 H cè ®Þnh mµ MHPO cè ®Þnh MH cè ®Þnh M ®t cè ®Þnh ®i quaH vµ PO 0,5 c, (1,0 ®iÓm) Tø gi¸c ONHI néi tiÕp ®êng trßn ®êng kÝnh ON DeThi.edu.vn
Bộ 29 Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán (Có đáp án) - DeThi.edu.vn PNH ®ång d¹ng víi POI PN.PI=PH.PO (3) 0,5 Tõ (2) vµ (3) PN.PI=PA.PB. 0,5 M P B I N C A H O D DeThi.edu.vn
Bộ 29 Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 18 Së GD - §T Thanh Ho¸ Céng hoµ x· héi chñ nghÜa viÖt nam Trêng THPT Th¹ch Thµnh 3 §éc lËp - Tù do - H¹nh phóc ®Ò thi vµo líp 10 – lam s¬n M«n : To¸n Thêi gian: 150 phót Bµi 1: ( 1®iÓm ) 2m 1 4m 2 1 4m 2 4m 1 Rót gän A 2m 1 2m 1 Bµi 2: ( 2 ®iÓm ) x 2006 y 2007 4013 Gi¶i x 2007 y 2006 4013 Bµi 3: ( 1,5 ®iÓm ) Cho x 2 2mx 4m 0 T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x1; x2 tho¶ m·n | x1 - x2 | =1 Bµi 4: ( 1,0 ®iÓm ) T×m c¸c sè nguyªn a, b, c th¶o m·n a 2 b 2 c 2 3 ab 3b 2c Bµi 5: ( 1,5 ®iÓm ) Cho a,b,c d¬ng tho¶ m·n a2 + b2 + c2 = 1 a b c 3 3 Chøng minh r»ng: b 2 c 2 c 2 a 2 a 2 b 2 2 Bµi 6: ( 3,0 ®iÓm ) Cho h×nh vu«ng ABCD trªn AB lÊy ®iÓm P n»m gi÷a A vµ B. nèi CP c¾t DA t¹i I. §êng vu«ng gãc víi CP t¹i C c¾t AB t¹i K a. TÝnh gãc CIK. b. Gäi M lµ giao ®iÓm cña AC vµ BD; N lµ trung ®iÓm IK. Chøng minh M , B, N th¼ng hµng. c. Chøng minh IK 2CK . TÝnh PI theo a vµ x víi AB=a; BP=x. d. Tõ P h¹ PQ vu«ng gãc víi IK ( Q IK) Chøng minh P di ®éng trªn AB th× Q di ®éng trªn mét ®êng trßn cè ®Þnh. DeThi.edu.vn
Bộ 29 Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Së GD - §T Thanh Ho¸ Céng hoµ x· héi chñ nghÜa viÖt nam Trêng THPT Th¹ch Thµnh 3 §éc lËp - Tù do - H¹nh phóc ®¸p ¸n vµ thang ®iÓm ®Ò thi vµo líp 10 – lam s¬n C©u ý Néi dung ®iÓm I 1,0 1 m 2m 1 2m 1 0 2 §iÒu kiÖn: 2m 1 0 1 0,25 m 2 1 0,25 NÕu m : 2 1 A  2m 1 2m 1 2m 1 2m 1 2m 1  1 2m 1 1 2m 1 0,5 NÕu m : A 2 1 2 2m 1 II 2,0 x 2007 0,25 §iÒu kiÖn y 2007 HÖ ph¬ng tr×nh suy ra: 0,5 x 2006 y 2007 x 2007 y 2006 x 2006 y 2007 x 2007 y 2006 x y x 2006 y 2007 4013 0,75 Tõ x y x 2006 y 2007 1 x 2006 x 2007 4013 0.5 x y 4026043 x 2006 y 2007 1 III 1,5 , 0 m2 4m 0 0,75 Yªu cÇu bµi to¸n x x 1 2 2 1 2 x1 2x1x2 x2 1 DeThi.edu.vn
Bộ 29 Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán (Có đáp án) - DeThi.edu.vn m m 4 0 8 5 0,5 2 m 4m 16m 1 0 2 8 5 0,25 VËy m th× ph¬ng tr×nh cã nghiÖm tho¶ m·n 2 x1 x2 1 IV 1,0 Do a,b,c Z nªn : a2 + b2 + c2 + 4 ab + 3b + 2c 0.25 2 2 b b 2 a 3 1 c 2 0 2 2 b 0,5 a 0 2 a 1 b 1 0 b 2 2 c 1 c 2 0 V 1,5 a a a 2 Do a2 + b2 + c2 = 1 nªn b 2 c 2 1 a 2 a 1 a 2 0,25 (1) 2 2 2 3 3 2 2 2 2a 1 a 1 a 2 Mµ 2a 1 a 0,25 3 3 2 4 2 Suy ra a 2 1 a 2 a 1 a 2 27 3 3 0,25 (2) a 3 3 Tõ (1) vµ (2) .a 2 b 2 c 2 2 0,25 a b c 3 3 3 Do ®ã: a 2 b 2 c 2 b 2 c 2 c 2 a 2 a 2 c 2 2 2 0,25 (®pcm) 2a 2 1 a 2 2 2 1 0,25 DÊu “=” x¶y ra 2b 1 b a b c 2 2 3 2c 1 c D C M DeThi.edu.vn A P B K I .Q N
Bộ 29 Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán (Có đáp án) - DeThi.edu.vn VI 3,0 a Do gãc ICK = gãc IAK = 1V tø gi¸c ACKI néi tiÕp 0,25 gãc CIK = gãc CAK = 450 VËy gãc CIK = 450 b 0,75 Do BA = BC B n»m trªn ®êng trung trùc cña AC 0,25 IKA vµ ICK vu«ng; IN = KN 1 AN IK 2 0,25 AN CN 1 CN IK 2 N n»m trªn trung trùc cña AC 0,25 B, N, M n»m trªn trung trùc cña AC nªn B,N,M th¼ng hµng c 1,0 /\ 0 0,25 CIK 45 CIK Vu«ng c©n CI=CK IK 2CK PI AP AP.PC API ~ BPC PI 0,25 PC BP BP (a x) a 2 x 2 hay PI 0,5 x d 1,0 /\ /\ 0,25 Ta cã : PAI PQI =1V tø gi¸c APQI néi tiÕp /\ /\ /\ PAQ CIK 450 AQI 450 0,5 /\ AQ lµ ®êng ph©n gi¸c PAI . VËy P di ®éng trªn AB th× Q di ®éng trªn ®êng th¼ng cè ®Þnh /\ AQ lµ ®êng ph©n gi¸c cña gãc PAI 0,25 DeThi.edu.vn
Bộ 29 Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 19 Së GD-§T Thanh Hãa §Ò tham gia x©y dùng Ng©n hµng Trêng thpt CÇm B¸ Th- íc ®Ò thi vµo 1o lam s¬n Bµi 1( 4®): x x 1 x x 1 a) Cho A = .T×m x ®Ó biÓu thøc A cã nghÜa vµ rót gän A x x x x 3x 2y 2 b) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh 5x 4y 1 Bµi 2(4®): Cho ph¬ng tr×nh x2 – (2m+1)x + m2 – 6 = 0 a) X¸c ®Þnh m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm ©m b) X¸c ®Þnh m ®Ó ph¬ng tr×nh cã hai nghiÖm tháa m·n. 3 3 x 1 x 2 50 1 Bµi 3(2®): Cho hµm sè y x 2 cã ®å thÞ (P) 4 a) VÏ ®å thÞ (P) vµ ®êng th¼ng (d) y= - x- 1 trªn cïng mét hÖ täa ®é b) T×m täa ®é giao ®iÓm cña (P) vµ (d) Bµi 4(4®): a) Cho a 1; b 1 chøng minh: a b 1 b a 1 ab b)T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh: 6x2 + 5y2 = 74 Bµi 5(4®): Cho tam gi¸c ABC vu«ng t¹i A cã ®êng cao AH. Gäi I, J, K lÇn lît lµ t©m ®êng trßn néi tiÕp c¸c tam gi¸c ABC, AHB vµ AHC. a) Chøng minh r»ng AI  JK b) Chøng minh r»ng tø gi¸c BJKC lµ tø gi¸c néi tiÕp. Bµi 6(2®): Cho h×nh chãp tø gi¸c S.ABCD, cã ®¸y ABCD lµ h×nh vu«ng. TÝnh diÖn tÝch xung quanh vµ thÓ tÝch cña h×nh chãp, biÕt SA = AB = a . DeThi.edu.vn
Bộ 29 Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Së GD-§T Thanh Hãa híng dÉn chÊm §Ò tham gia x©y Trêng thpt CÇm B¸ Thíc dùng ng©n hµng ®Ò thi vµo 10 lam s¬n Néi dung §iÓm Bµi 1 C©u a(2®): (4®iÓm) §K: x > 0, x. 0,5 A = 1,5 C©ub(2®): Ta cã: lÊy (1)- (2) ta ®îc x = - 5 thay l¹i vµo (2) ta ®îc y = VËy hÖ ®· cho cã nghiÖm lµ C©u a)(2®): 0,75 Ta cã = (2m+1)2 – 4(m2 + m - 6) = 25 0,75 x1 = m + 3, x2 = m – 2 §Ó hai nghiÖm ®Òu ©m: 0,5 C©u b) (2®): Bµi 2 (4®iÓm) 0,5 0,5 Täa ®é giao giao ®iÓm cña (P) vµ (d) I ( -2; 1 ) 1,0 C©u a)(2®): 0,5 Ta cã a ¸p dông bÊt ®¼ng thøc C«si ta ®îc 0,5 (1) T¬ng tù ta cã: (2) 1,0 Bµi 3: Céng (1) vµ (2) ta ®îc (2®iÓm) C©u b)(2®): Theo gi¶ thiÕt suy ra 5y2 2 mµ (5,2) =1 suy ra y2 2, 2 lµ sè nguyªn tè nªn ta suy ra y 2 (*) Ta còng cã 5y2 Tõ (*) ta suy ra y2 = 0 hoÆc y2 = 4 DeThi.edu.vn
Bộ 29 Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán (Có đáp án) - DeThi.edu.vn - Víi y2 = 0 ta cã 6x2 = 74 do x2 nguyªn nªn ta lo¹i. - Víi y2 = 4 ta cã 6x2 = 54 hay 1,0 VËy nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh lµ: (3,2), (3,-2), (-3,2), (-3,-2) C©u a)(2®): 1,0 Ta thÊy: Bµi 4: T¬ng tù ta cã (4®iÓm) XÐt tam gi¸c ABD, ta cã D o ®ã: Suy ra JD lµ ®êng cao cña tam gi¸c AJK 0,5 Chøng minh t¬ng tù ta cã KE lµ ®êng cao cña tam gi¸c AJK , KE vµ JD c¾t nhau t¹i F. Do vËy F lµ trùc t©m cña tam gi¸c AJK. Hay AI lµ ®êng cao thø 3 cña tam gi¸c AJK, hay AI  JK 1,0 C©ub)(2®): Ta cã: (gãc nhän cã c¹nh t¬ng øng vu«ng gãc) mµ 0,5 suy ra tø gi¸c BJKC néi tiÕp ®îc ®êng trßn 0,5 H¹ SM  BC th× SM lµ ®êng cao cña tam gi¸c ®Òu SBC 0,5 cã c¹nh a nªn SM = a 3 2 0,5 Bµi 5 (4®iÓm) DeThi.edu.vn
Bộ 29 Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 1 1 3 2 Do ®ã Sxq = pd 4a a 3 2 2 2 0,5 V× tø gi¸c ABCD lµ h×nh vu«ng c¹nh a nªn AC = a 2 suy ra a 2 OA= 0,5 2 Theo ®Þnh lý Pitago trong tam gi¸c vu«ng th× a 2 SO= SA2 OA2 2 3 1 1 2 a 2 a Do ®ã VSABCD = Bh a 3 3 2 6 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 Bµi 6 (2®iÓm) 0,25 DeThi.edu.vn
Bộ 29 Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 20 k× thi tuyÓn vµo líp 10 - THPT chuyªn lam s¬n. m«n thi: To¸n häc b¶ng: B Thêi gian: 150 phót ®Ò bµi Bµi 1 (2 ®iÓm) 8x x 1 x x 1 3x x 2 XÐt biÓu thøc : M = : 1 3 9x 1 3x x 1 3x x 1 3x x 1 a. Rót gän biÓu thøc M. 3 b. T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó M = 2 Bµi 2 (2 ®iÓm) XÐt biÓu thøc A = y2 + 5xy +6x2. a. Ph©n tÝch A thµnh nh©n tö. b. T×m c¸c cÆp sè (x; y) tho¶ m·n ®iÒu kiÖn: x - y + 1 = 0 vµ A = 0. Bµi 3 (2 ®iÓm) Gi¶i ph¬ng tr×nh sau: 2x2 + 1 x 2x 1 x2 1 Bµi 4 (2 ®iÓm) Gi¶i ph¬ng tr×nh: x3 + x2 - 4x - 4 = 0. Bµi 5 (2 ®iÓm). Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh sau: x3 y3 1 7 7 4 4 x y x y Bµi 6 (2 ®iÓm) Cho a, b lµ hai sè nguyªn, x¸c ®Þnh a ®Ó: ax17 + bx16 + 1 chia hÕt cho x2 - x - 1. Bµi 7 (2 ®iÓm). Trong mét tam gi¸c ®Òu c¹nh a, ngêi ta gieo vµo ®ã mét c¸ch tuú ý 5 ®iÓm. Chøng minh r»ng tån t¹i Ýt nhÊt mét cÆp ®iÓm mµ kho¶ng c¸ch gi÷a chóng a nhá h¬n . 2 Bµi 8 (2 ®iÓm). DeThi.edu.vn
Bộ 29 Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Cho gãc xOy vµ mét ®êng trßn tiÕp xóc víi hai c¹nh cña gãc ®ã t¹i A vµ B. Qua A kÎ ®êng th¼ng song song víi OB c¾t ®êng trßn t¹i ®iÓm C. Gäi K lµ trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng OB, ®êng th¼ng AK c¾t ®êng trßn t¹i ®iÓm E. a. Chøng minh r»ng 3 ®iÓm O, E, C th¼ng hµng. b. §êng th¼ng AB c¾t OC t¹i ®iÓm D. Chøng minh r»ng: OE DE OC DC Bµi 9 (2 ®iÓm). T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc sau: 4 3 2 f(x) = 4x 16x 56x 80x 56 x2 2x 5 Bµi 10 (2 ®iÓm). Gi¶ sö f(x) lµ mét ®a thøc bËc 4 víi hÖ sè nguyªn. Chøng minh r»ng: NÕu f(x) 7 víi x  th× tõng hÖ sè cña f(x) còng 7 . DeThi.edu.vn
Bộ 29 Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ®¸p ¸n §Ò thi ®Ò xuÊt k× thi vµo 10 - thtp chuyªn lam s¬n. m«n thi: To¸n häc b¶ng: B Thêi gian: 150 phót Bµi lµm Thang §¸p ¸n ®iÓm Bµi 1 (2 ®iÓm): 1 §K: x 0, x 3 9 0.25 ® 8x x 3x x 1 3x2 3x x x x 1 3x x 1 a. Ta cã M = 3 9x 1 3 3 x3 x x 3x x 1 = * 9x3 1 3 x3 x x = 3x x 1 0.75 ® 3 x3 x x 3 b. M = víi c¸c ®iÒu kiÖn nªu trªn ph¬ng tr×nh trë 2 3x x 1 2 thµnh: x3 - 7x x 3 0 0.25® 1 §Æt t = x x 2t 2 7t 3 0 t 3,t 1 2 2 0.25® + x x 3 x 3 9 0.25® 1 1 + x x x 2 3 4 0.25® Bµi 2 (2 ®iÓm) a. Ta cã A = y2 - 2xy - 3xy + 6x2 = y(y - 2x) - 3x(y - 2x) = (y - 2x)(y - 3x). 1® b. Ta cã A = 0 y x 0 y 3x 0 0.25® DeThi.edu.vn
Bộ 29 Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán (Có đáp án) - DeThi.edu.vn §Ó tho¶ m·n bµi to¸n ta cã hÖ: x 1 y 2x 0 y 2 ® x y 1 0 0.75 1 x y 3x 0 2 x y 1 0 3 y 2 Bµi 3 (2 ®iÓm). 1 x 0 1 x 1 §K: 2 1 x 0 0.25® ChuyÓn vÕ ph¬ng tr×nh ta ®îc: 1 x 1 2x2 2x 1 x2 B×nh ph¬ng hai vÕ ta ®îc ph¬ng tr×nh hÖ qu¶: 1 x 1 4x4 4x2(1 x2) 4x2 4x 1 x2 8x3 1 x2 2 2 x(1 4 1 x 8x 1 x ) 0 0,75® x 0 2 2 1 4 1 x 8x 1 x 0.(1) Gi¶i (1) ta ®Æt t 1 x2 0 x2 1 t2 0,5® Ta ®îc ph¬ng tr×nh: 1 - 4t +8(1 - t2)t = 0 8t3 - 4t - 1 = 0. (2t + 1)(4t2 - 2t - 1) = 0. 1 5 5 5 t tõ ®ã x 4 8 Thö l¹i ta thu ®îc nghiÖm cña ph¬ng tr×nh lµ: 5 5 x = 0; x 8 0,5® Bµi 4 (2 ®iÓm) Gi¶i ph¬ng tr×nh: x3 + x2 - 4x - 4 = 0 x2(x + 1) - 4(x + 1) = 0. (x + 1)(x2 - 4) = 0 (x + 1)(x - 2)(x + 2) = 0 1® x 1 0 x 1 x 2 0 x 2 x 2 0 x 2 1® DeThi.edu.vn
Bộ 29 Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán (Có đáp án) - DeThi.edu.vn VËy ph¬ng tr×nh cã 3 nghiÖm: x = -1; x = 2; x = -2. Bµi 5 (2 ®iÓm) HÖ ph¬ng tr×nh ®· cho t¬ng ®¬ng víi hÖ: x3 y3 1 x3 y3 1(1) 7 7 4 4 3 3 3 3 x y (x y )(x y ) x y (x y) 0(2) 0,5® + NÕu x = 0 th× kÕt hîp víi (1) ta ®îc y = 1. + NÕu y = 0 th× kÕt hîp víi (1) ta ®îc x = 1. + NÕu x + y = 0 x = -y x3 + y3 = 0 nªn tõ (1) kh«ng tho¶ m·n 0,5® VËy hÖ ph¬ng tr×nh ®· cho cã nghiÖm lµ: (x;y) = (0;1), (1;0) 0,5® Bµi 6 (2 ®iÓm) §Æt f(x) = ax17 + bx16 + 1, f(x) chia hÕt cho x2 - x - 1 cã nghÜa lµ f(x) chia hÕt cho (x - )(x - ) víi ,  lµ hai nghiÖm cña ph¬ng tr×nh x2 - x - 1 = 0 0,5® VËy ta cã: a 17 b 16 1 0 17 16 a b 1 0 0,5® 16  16 a 16 16 (  ) 0,5® V× ,  lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh x2 - x - 1 = 0 nªn ta cã: 16  16 a =  Dïng tæng vµ tÝch, b»ng c¸ch gi¶m bËc ta cã a = 987. 0,5® Bµi 7 (2 ®iÓm) Chia tam gi¸c ®Òu ABC thµnh A 4 tam gi¸c ®Òu b»ng nhau, b»ng c¸ch vÏ 3 ®êng trung b×nh cña tam gi¸c ABC (nh h×nh vÏ) Khi ®ã ta cã: M N MN = NK = MK = a/2 (*) E Theo gi¶ thiÕt, ta ph¶i gieo F 5 ®iÓm vµo 4 tam gi¸c võa dùng. Theo nguyªn t¾c §irichlet th× cã Ýt nhÊt mét tam gi¸c kh«ng B C chøa qu¸ hai ®iÓm. Gi¶ sö tam K gi¸c MNK chøa 2 ®iÓm E, F. MÆt kh¸c, trong tam gi¸c ®Òu MNK, kho¶ng c¸ch gi÷a hai ®iÓm kh«ng lín h¬n ®é dµi c¹nh cña nã. ThËt vËy, gi¶ sö E MN, F MK 2® DeThi.edu.vn
Bộ 29 Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Ta cã: NF NK (1) EF < max(MF, NF) (2). MF MK = NK (3) Tõ (1), (2) vµ (3) suy ra EF MK, dÊu '=' x¶y ra khi E, F trïng víi hai ®Ønh cña tam gi¸c MNK. Do vËy EF MN ( ) Tõ (*) vµ ( ) suy ra: EF a/2 A Bµi 8 (2 ®iÓm) C I E H O K B Ta cã EKB ®ång d¹ng víi KAB (v× cã AKˆB chung, EBˆK KAˆB cïng ch¾n cung BE) KB KA OK KA Nªn KB2 KA.KB OK 2 KE.KA KE KB KI OK Mµ OKˆA chung nªn EKB ®ång d¹ng KAB. EOˆK OAˆW 0,5® Ta l¹i cã OAˆK ACˆE (2) cïng ch¾n cung AE Tõ (1) vµ (2) suy ra EOˆK ACˆE 0,25® XÐt hai tam gi¸c OEK vµ AEC th× OEˆK AEˆC. Suy ra O, E, C th¼ng hµng 0,25® b. Qua E kÎ ®êng th¼ng song song víi OB c¾t AO t¹i I, c¾t AB t¹i H ta cã EI = EH 0,25® OE IE MÆt kh¸c OC AC 0,25® DE EH (3) DC AC 0,25® OE DE Tõ (1), (2) vµ (3) ta cã OC DC 0,25® DeThi.edu.vn
Bộ 29 Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Bµi 9 (2 ®iÓm) Ta cã x2 + 2x5 = (x + 1)2 + 4 > 0 x nªn f(x) lu«n x¸c ®Þnh x 0,25® Thùc hiÖn phÐp chia ®a thøc ta ®îc: 256 f(x) = 4x2 + 8x + 20 + x2 2x 5 256 f(x) = 4(x2 + 2x + 5) + x2 2x 5 256 256 §Æt y = x2 + 2x + 5 > 0, ta cã f(x) = 4y + 2. 4y. 64 y y 0,75® 256 2 y 8 DÊu "=" x¶y ra khi 4y = y 64 y y 8 y = - 8. kh«ng tho¶ m·n y > 0 0,25® Víi y = 8 ta cã x2 + 2x + 5 = 8 x2 + 2x - 3 = 0 x = -3 hoÆc x = 1. 0,5® VËy víi x = -3 hoÆc x = 1 th× f(x) ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt b»ng 64 0,25® Bµi 10 (2 ®iÓm) Gi¶ sö f(x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e Do f(0) = e nªn e 7 0,25® f (1) a b c d e7 a c7 MÆt kh¸c f ( 1) a b c d e7 b d7 0,5® f (2) 16a 8b 4c 2d e7 4a c7 f ( 1) 16a 8b 4c 2d e7 4b d7 0,5® a c7 3a7 a7 VËy 4a c7 c7 c7 b d7 3b7 b7 vµ 4b d7 d7 d7 0,5® VËy c¸c hÖ sè cña f(x) ®Òu chia hÕt cho 7 0,25® DeThi.edu.vn
Bộ 29 Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 21 Së gd - ®t Thanh Ho¸ ®Ò thi vµo líp 10 chuyªn lam s¬n trêng thpt sÇm s¬n m«n: to¸n chung thêi gian: 150' (kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò) Ngêi ra ®Ò: NguyÔn TiÕn Dòng §Ò bµi: x x x x C©u 1: (2 ®iÓm) Cho biÓu thøc: A = 1 1 x 1 x 1 1) Rót gän biÓu thøc A 1 2) T×m x ®Ó 2006 A C©u 2: (2 ®iÓm) 1) Gi¶i ph¬ng tr×nh: x 2 x 1 x 2 x 1 2 2x y 2 5 4x2 y2 6 2x y 2 0 2)Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh: 1 2x y 3 2x y C©u 3: (2 ®iÓm) Cho ph¬ng tr×nh: x 2 m 2 x m 2 1 0 1) Tuú theo gi¸ trÞ cña m kÕt luËn nghiÖm cña ph¬ng tr×nh. 2) Khi ph¬ng tr×nh cã nghiÖm gi¶ sö lµ x1, x2. T×m m ®Ó 2 nghiÖm ph¬ng tr×nh tho¶ 2 2 m·n x1 2x 2 3x1x 2 C©u 4: (3 ®iÓm) 1. Cho ABC vu«ng t¹i A, ®êng cao AH (H n»m trªn c¹nh BC) biÕt AH = 6 13 , BC 13 tÝnh AB; CH. 13 2. Cho h×nh vu«ng ABCD ®iÓm N trªn c¹nh AB, tia CN c¾t tia DA t¹i E, tia Cx vu«ng gãc víi tia CE c¾t tia AB t¹i F, M lµ trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng EF. DeThi.edu.vn
Bộ 29 Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán (Có đáp án) - DeThi.edu.vn a) CMR: ACFE néi tiÕp ®îc, vµ ACE = BCM b) CMR: EA.BC = AC.MB C©u 5: (1 ®iÓm) 3 Chøng minh r»ng bpt x12 - x9 + x4 - x + > 0 cã tËp nghiÖm lµ R. 4 DeThi.edu.vn
Bộ 29 Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ®¸p ¸n: C©u ý Tãm t¾t lêi gi¶i §iÓm 1 §iÒu kiÖn tån t¹i biÓu thøc A: 0 x 1 I 0,25 (1®) x 2 x 1 x 2 x 1 x 1 2 4x A 1 x 0,5 x 1 1 x KÕt luËn: A = 1 - x khi 0 x 1 0,25 2 1 1 2006  2006 0 0,25 (1®) A 1 x 2006x 2005 2005  0 kÕt qu¶: x 1; 1 x 2006 0,75 2005 1 KÕt luËn: 1 x th× 2006 2006 A 1 II Gi¶i ph¬ng tr×nh x 2 x 1 x 2 x 1 2 (1) (1®) §iÒu kiÖn: x 1 2 2 (1)  x 1 1 x 1 1 2 0,25 x 1 1 x 1 1 2 TH1 x 1 1 2 x 1 2  x 2 t/m 0,5 TH2 x 1 1 2 2 x 1 1  x < 2 so s¸nh ®iÒu kiÖn: 1 x < 2 KÕt luËn: nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: 1 x 2 0,25 DeThi.edu.vn
Bộ 29 Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 2x y 2 5 4x 2 y 2 6 2x y 2 0 2 Gi¶i hÖ: 1 (1®) 2x y 3 2x y ®iÒu kiÖn: 2x - y 0 2x y a ®Æt 0,25 2x y b (b 0) a 2 5ab 6b 2 0 (1) Ta ®îc: 1 a 3 (2) b Gi¶i ph¬ng tr×nh (1) do b 0 chia 2 vÕ ph¬ng tr×nh cho b2 2 a a Ta ®îc: 5 6 0 0,25 b b a 2 b Gi¶i ®îc: a 3 b b 1 a 2b a 2 a 2b TH1:   1 2 1 a 3 2b 3b 1 0 b b 2 a 1 Thay vµo ®Æt: 0,25 3 x 2x y 2 4 NÕu a = 2; b = 1:  2x y 1 1 y 2 DeThi.edu.vn
Bộ 29 Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 3 2x y 1 x 1 8 NÕu a = 1; b : 1  2 2x y 1 2 y 4 a 3b a 3b  0,25 TH : 1 2 2 a 3 3b 3b 1 0 (VN) b 3 1 3 1 KÕt luËn: nghiÖm cña hÖ: (x;y) = ; ; ; 4 2 8 4 1 x2 - (m + 2)x + m2 + 1 = 0 III 0,25 (1®) = m2 + 4m + 4 - 4m2 - 4 = 4m - 3m2 = m (4 - 3m) m 0  4 0 m 0; ph¬ng tr×nh cã nghiÖm ph©n biÖt 0,75 3 m 2 x 1 2 m 2 x 2 2 2 4 Khi m 0; ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x1; x2 (1®) 3 DeThi.edu.vn
Bộ 29 Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán (Có đáp án) - DeThi.edu.vn x1 x 2 m 2 Theo ®Þnh lý vi Ðt: 0,5 2 (*) x1.x 2 m 1 2 2 Mµ x1 2x2 3x1x2  x1 x2 x1 2x2 0 x1 x 2 x1 2x 2 2x m 2 TH : x = x thay vµo (*) 1 1 1 2 2 2 x1 m 1 2 m 0 2 m 2 2 m 1 3m 4m 0 4 2 m 3 (t/m) 3x m 2 TH : x = 2x thay vµo (*) 2 2 1 2 2 2 2x 2 m 1 2 m 2 2 m2 1 7m2 8m 1 0 0,5 3 1 m (t / m) 7 m 1 (t / m) 1 4 VËy: m = 0; ;1;  th× t/m yªu cÇu bµi to¸n 7 3 1 1 1 A 1 IV AH 2 AB 2 AC 2 0,5 (1®) AB 2 AC 2 BC 2 B H C DeThi.edu.vn
Bộ 29 Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán (Có đáp án) - DeThi.edu.vn TÝnh ®îc: AB2 = 4 hoÆc AB2 = 9 4 4 9 AB = 2 HB = HC 13 0,5 13 13 13 4 F AB = 3 -> HC = 0, 5 13 KÕt luËn: (vÏ h×nh ®óng) M C B 2 (2®) E A D A, C nh×n EF díi gãc 0,5 900 -> ACFE néi tiÕp ®îc Chøng minh: ACE = BCM -> FEC = FAC = 450 0,5 ECM, MCF, CFM = 450 -> CE = CF ACE = 450 - ECB = BCM Tõ chøng minh trªn: do EAC = MBC = 1350 -> EAC ~ MBC EA MB Hay  EA.BC MB.AC 0,5 AC BC 3 V (1®) Chøng minh tËp nghiÖm bpt: x12 x9 x 4 x 0 (*) 4 Cã tËp nghiÖm R DeThi.edu.vn
Bộ 29 Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 3 x 0 x12 x9 x 4 x 0 lu«n ®óng 0,5 4 x 1 x12 x9 , x4 x (*) lu«n ®óng x9 x6  x9 x6 0 < x < 1 x2 x x2 x 3 3 bpt x12 - x9 + x4 - x + x12 x 6 x 4 x 2 = 4 4 2 2 6 1 2 1 1 = x x 0x R 2 2 4 DeThi.edu.vn
Bộ 29 Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 22 ĐỀ BÀI Phần I- Trắc nghiệm (2,0 điểm) Hãy chọn phương án trả lời đúng và viết chữ cái đứng trước phương án đó vào bài làm. Câu 1: Điều kiện để biểu thức x 1 có nghĩa là A. x 1 B. x 1 C. x 1 D. x 1. Câu 2: Đường thẳng nào sau đây có đúng một điểm chung với đồ thị hàm số y = 4x2? A. y = 4x - 1. B. y = 4x . C. y = 5x - 3. D. y = 3x . Câu 3. Điều kiện để hàm số y = (m-2)x + 8 nghịch biến trên R là A.m ≥ 2. B.m > 2. C.m 0; x 1). x x x 1 x 1 x 1 1) Rút gọn biểu thức A. 2) Chứng minh rằng A - 2 > 0 với mọi x thỏa mãn điều kiện x >0 và x 1. Câu 2 (1,5 điểm) 1) Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị các hàm số: y = x2 và y = - x + 2. 2 2) Xác định các giá trị của m để phương trình x – x + 1 – m = 0 có 2 nghiệm x1, x2 thỏa 1 1 mãn đẳng thức: 5 x1x2 4 0. x1 x2 2 x y x 1 4 Câu 3. (1 điểm). Giải hệ phương trình x y 3 x 1 5 DeThi.edu.vn
Bộ 29 Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Câu 4. (3,0 điểm) Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB = 2R. Vẽ các tia tiếp tuyến Ax, By ( Ax, By và nửa đường tròn cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ AB). Trên nửa đường tròn đã cho lấy điểm M không trùng với A và B, tiếp tuyến tại M cắt Ax, By lần lượt tại E và F. 1) Chứng minh AEMO nội tiếp. 2) Chứng minh EO2 = AE.EF. 3) Kẻ MH vuông góc với AB (H thuộc AB), gọi K là giao điểm của EB và MH. Tính tỉ số MK . MH Bài 5 (1,0điểm) Giải phương trình : x 2 2x 3 x 2 x 2 3x 2 x 3 (1) DeThi.edu.vn