Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 (Có đáp án)

129 trang Thái Huy 14/09/2023 4534

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 (Có đáp án)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

bo_30_de_thi_hoc_sinh_gioi_toan_lop_11_co_dap_an.doc

Nội dung text: Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 (Có đáp án)

Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 1 KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 11 Môn thi: Toán Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian giao đề) (Đề thi gồm 01 trang và có 5 câu) C©u 1: sin3 x.sin 3x cos3 x.cos3x 1 1)Gi¶i ph¬ng tr×nh: (1) tan(x ) tan(x ) 8 6 3 2)Giải bất phương trình sau: x2 x 6 3 x 2 x2 5x 3 0 x 3 2 x2 10 C©u 2: Cho các tập hợp các số nguyên liên tiếp như sau:{1},{2,3},{4,5,6}, {7,8,9,10}, , trong đó mỗi tập hợp chứa nhiều hơn tập hợp ngay trước nó 1 phần tử, và phần tử đầu tiên của mỗi tập hợp lớn hơn phần tử cuối cùng của tập hợp ngay trước nó 1 đơn vị. Gọi Sn là tổng của các phần tử trong tập hợp thứ n. Tính S999. u1 2012 Câu 3 Cho dãy số (u ) xác định như sau: n 2 (n N*) un 1 2012un un u u u u Tìm lim( 1 2 3 n ). u2 u3 u4 un 1 Câu 4 Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. P và Q là hai điểm lần lượt trên hai cạnh AB và AD sao 2 3 cho AP AB;AQ AD. I và J là hai điểm lần lượt thuộc đoạn B’Q và A’P sao cho IJ song 3 4 IB' song với AC. Hãy xác định tỉ số . QB' Câu 5 a) Cho a, b, c là 3 số thực dương thỏa mãn a.b.c = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: a 2 b2 c2 S . (ab 2)(2ab 1) (bc 2)(2bc 1) (ac 2)(2ac 1) b) Cho a, b, c 0 và a2 b2 c2 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức a3 b3 c3 P 1 b2 1 c2 1 a2 DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Hết ĐÁP ÁN THI HSG Câu Nội dung Điểm Câu 1 §iÒu kiÖn sin x .cos x 0 6 6 sin 2x 0 x m m ¢ * 3 6 2 sin x .cos x 0 3 3 Ta cã tan x tan x cot x .tan x 1. 6 3 3 3 Suy ra (1) 1 1 sin3 xsin 3x cos3 x cos3x sin2 xsin xsin 3x cos2 xcos x cos3x 8 8 1 1 sin2 xcos2x cos4x cos2 xcos2x cos4x sin2 x cos2 x cos2x cos2 x sin2 x .cos4x 4 4 1 1 1 1 cos 2x cos 2x cos 4x cos 2x1 cos 4x cos3 2x cos 2x x k k ¢ 4 4 8 2 6 KÕt hîp ®iÒu kiÖn (*) ta ®îc x k k ¢ . 6 Điều kiện: x 3 Khi đó ta có: x 3 2 x2 6x 9 x2 x2 9 9 2x2 18 2x2 20 2 x2 10 x 3 2 x2 10 x 3 2 x2 10 0 Bất phương trình đã cho tương đương với x2 x 6 3 x 2 x2 5x 3 0 x2 x 6 3 x 2 x2 5x 3 2 x2 x 6 3 x 2 x2 5x 3 6 x x2 x 6 x x 2 6 x2 x 6 x x 2 x 2 x2 34x 108 0 x 17 181 x2 34x 108 x 17 181 KL : S 3;17 181  17 181; DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Câu 2 Ta thấy tập hợp thứ n chứa n số nguyên liên tiếp mà số cuối cùng là n n 1 1 2 3 4 n . Khi đó Sn là tổng của n số hạng trong một cấp 2 n n 1 số cộng có số hạng đầu u , công sai d=-1(coi số hạng cuối cùng trong 1 2 tập hợp thứ n là số hạng đầu của cấp số cộng này), ta có 1 1 2 Sn n 2u1 n 1 d n n 1 . 2 2 1 2 Vậy S999 .999 999 1 498501999 2 Câu 3 2 - CM được dãy tăng : un 1 un 2012un 0 n - giả sử có giới hạn là a thì : a 2012a 2 a a 0 2012 VL nên limun = u u2 (u u ) 1 1 1 - ta có : n n n 1 n ( ) un 1 un 1un 2012un 1un 2012 un un 1 1 1 1 1 Vậy : S .lim( ) 2 . 2012 n u1 un 1 2012 DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Câu 4 12 IB' QB' 29 đáp số 12/29. Câu 5a a 2 1 4 4 1 2 1 2 1 1 (ab 2)(2ab 1) (b )(2b ) (b 2b )2 9 (b )2 a a a a a đáp số : 1/3 Câu 5b a3 b3 c3 Ta có: P + 3 = b2 c 2 a 2 1 b2 1 c 2 1 a 2 6 a3 a 2 1 b2 b3 b2 1 c2 P 4 2 2 1 b2 2 1 b2 4 2 2 1 c2 2 1 c2 4 2 c3 c 2 1 a 2 a6 b6 c6 33 33 33 2 1 a 2 2 1 a 2 4 2 16 2 16 2 16 2 3 3 9 P (a 2 b2 c 2 ) 2 2 23 2 2 26 8 9 3 9 3 3 P 26 23 2 2 2 2 2 2 2 Để PMin khi a = b = c = 1 DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 2 SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG TRƯỜNG TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN MÔN: TOÁN Thời gian: 180 phút 3 2 Câu 1(4 điểm). Cho hàm số y x 3x mx 2 (m là tham số) có đồ thị là (Cm). Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu cách đều đường thẳng y x 1. Câu 2(4 điểm). æ ö ç p÷ 1)Giải phương trình cosx + cos3x = 1+ 2 sinç2x + ÷ èç 4ø÷ 2)Giải phương trình x 4 x2 2 x 4 x2 Câu 3(4 điểm). 2 y 2 3y 2 1)Giải hệ phương trình x 2 x 2 3x 2 y u 1 1 2)Cho dãy số (u ) xác định như sau 1 (1). Chứng minh dãy số (u ) n u ,n 2 n n 3 u n 1 có giới hạn hữu hạn khi n Câu 4(2 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC cân tại A , có đỉnh A( 1;4) và các điểm B, C thuộc đường thẳng : x y 4 0 . Xác định tọa độ điểm B và C, biết diện tích tam giác ABC bằng 18. Câu 5(3 điểm). 0 2 4 2014 2013 1) Chứng minh rằng 3C2014 5C2014 7C2014 2017C2014 1010.2 . 2) Cho tập A 1;2;3;4;5;6;7;8;9 . Lập ngẫu nhiên một số có 3 chữ số khác nhau với các chữ số chọn từ tập A. Tính xác suất để số lập được chia hết cho 6. Câu 6(3 điểm). Cho hình chóp S.ABCD , đáy ABCD là hình chữ nhật có AB a, BC b , SA SB SC SD c . K là hình chiếu vuông góc của P xuống AC . a/ Tính độ dài đoạn vuông góc chung của SA và BK . b/ Gọi M , N lần lượt là trung điểm của đoạn thẳng AK và CD . Chứng minh: Các đường thẳng BM và MN vuông góc nhau Hết (Giám thị coi thi không giải thích gì thêm. Học sinh không được sử dụng tài liệu) DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO ĐAP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG THPT CHU VĂN AN VÒNG TRƯỜNG MÔN: TOÁN Thời gian: 180 phút Câ Nội dung Điể u m 1. Ta có: y ' 3x2 6x m . 2 Hàm số có CĐ, CT y ' 3x 6x m 0 có 2 nghiệm phân biệt x1; x2 ' 9 3m 0 m 3 (*) 1,0 Gọi hai điểm cực trị là A x1; y1 ; B x2 ; y2 1 1 2m m Thực hiện phép chia y cho y ta được: y x y ' 2 x 2 3 3 3 3 2m m 2m m y1 y x1 2 x1 2 ; y2 y x2 2 x2 2 3 3 3 3 Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là : 2m m 1,0 y 2 x 2 3 3 Các điểm cực trị cách đều đường thẳng y x 1 xảy ra 1 trong 2 trường hợp: TH1: Đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị song song hoặc trùng với đường thẳng 1,0 2m 3 y x 1 2 1 m (thỏa mãn) 3 2 TH2: Trung điểm I của AB nằm trên đường thẳng y x 1 y1 y2 x1 x2 2m m yI xI 1 1 2 x1 x2 2 2 x1 x2 2 2 2 3 3 2m 2m 3 .2 6 m 0 3 3 1,0 3 Vậy các giá trị cần tìm của m là: m 0;  2 2. 1)PT Û 2cos2x cosx = 1+ sin 2x + cos2x Û cos2x(2cosx - 1) = 1+ 2sin x cosx 0,5 Û (cos2 x - sin2 x)(2cosx - 1) = (cosx + sin x)2 écosx + sin x = 0 (1) Û ê ê(cosx - sin x)(2cosx - 1) = cosx + sin x (2) ëê æ ö ç p÷ p p 0,5 (1) Û 2 sinçx + ÷= 0 Û x + = kp Û x = - + kp èç 4ø÷ 4 4 DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn é é p êcosx = 0 êx = + kp ê æ ö ê 2 (2) Û 2cosx(cosx - sin x - 1) = 0 Û ê ç p÷ Û ê (k Î ¢ ) 2 cosçx + ÷= 1 ê p p ê èç 4ø÷ êx + = ± + k2p ëê ë 4 4 0,5 p p Vậy pt có nghiệm là x = - + kp , x = + kp,x = k2p (k Î ¢ ). 4 2 2) Điều kiện 2 x 2 PT (x 2) (x 1) 4 x2 (x 2)2 (x 1)2(4 x2) 1,0 x(x 2)(x2 2) 0 x 0,x 2,x 2 Thử lại điều kiện thỏa mãn 0,5 3 1) ĐK: xy 0 3x2 y y2 2 (1) Hệ . Trừ vế hai phương trình ta được 2 2 3y x x 2 (2) 2 2 2 2 x y 0 1,0 3x y 3xy y x 3xy(x y) (x y)(x y) 0 3xy x y 0 TH 1. x y 0 y x thế vào (1) ta được 3x3 x2 2 0 x 1 y2 2 x2 2 TH 2. 3xy x y 0. Từ 3y y 0 , 3x x 0 x2 y2 3xy x y 0 . Do đó TH 2 không xảy ra. 1,0 Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (1 ; 1) 3 5 2)Chứng minh bằng phương pháp qui nạp được un với mọi n = 1,2, 2 0,5 Chứng minh được dãy (un ) giảm 3 5 Do đó (un ) tồn tại giới hạn. Giả sử limun a thì a n 2 0,5 1 3 5 Chuyển qua giới hạn hệ thức (1) ta được a a2 3a 1 0 a 3 a 2 1,0 3 5 Vậy limun n 2 4. Gọi H là hình chiếu của A trên , suy ra H là trung điểm BC. 9 Khi đó: AH d(A, BC) 2 1 S BC.AH BC 4 2 ABC 2 BC 2 97 AB AC AH 2 4 2 1,5 DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 97 Suy ra B và C thuộc đường tròn tâm A và bán kính R 2 Do đó B và C là giao điểm của và đường tròn nên tọa độ điểm B và C 97 (x 1)2 (y 4)2 là nghiệm của hệ: 2 x y 4 0 1,5 11 3 3 5 3 5 11 3 Giải được: B ( ; ),C ( ; ) hoặc B ( ; ),C ( ; ) 2 2 2 2 2 2 2 2 5. 0 2 4 2014 A 3C2014 5C2014 7C2014 2017C2014 1) 2 4 2014 0 2 4 2014 2C2014 4C2014 2014C2014 3 C2014 C2014 C2014 C2014 0,5 0 2 4 2014 2013 Tính được C2014 C2014 C2014 C2014 2 k k 1 Chứng minh kC2014 2014C2013 ,k,n ¥ ,0 k n. 2 4 2014 1 3 2013 2012 Suy ra, 2C2014 4C2014 2014C2014 2014 C2013 C2013 C2013 2014.2 0,5 0,5 Vậy A 2014.22012 3.22013 1010.22013 . 2) - Số chia hết cho 6 là số chia hết cho 3 và số đó là số chẵn. - Số chia hết cho 3 là số a1a2 a3 có tổng ba chữ số (a1 a2 a3 ) chia hết cho 3. - Số chẵn là số chó chữ số tận cùng chia hết cho 2. Để lập được số có 3 chữ số khác nhau từ tập A sao cho số đó chia hết cho 6 ta chia làm hai giai đoạn. 1/ chọn bộ ba chữ số khác nhau từ tạp A sao cho tổng 3 chữ số cộng lại chia hết cho 3 và trong ba chữ số đó có ít nhất 1 chữ số chẵn. 2/ Xếp mỗi bộ chọn được thành số có 3 chữ số sao cho số tận cùng phảit là số chẵn. Để chọn và xếp khoa học ta nên chia ra ba trường hợp nhỏ như sau: TH1: trong 3 chữ số chỉ có một chữ số chẵn, gồm có các bộ số sau: 1;2;3 , 1;2;9, 1;3;8, 1;4;7 , 1;5;6 , 2;3;7, 2;7;9, 3;4;5 , 3;6;9 , 3;7;8, 4;5;9 , 5;6;7, 7;8;9 . 1 Với trường hợp này: số cách chọn và xếp là: NTH1 C13 *1* 2*1 = 26 TH2: trong 3 chữ số chỉ có hai chữ số chẵn, gồm có các bộ số sau: 1;2;6, 1;6;8 , 2;3;4, 2;4;9, 2;5;8 , 2;6;7 , 3;4;8, 4;5;6, 4;8;9 6;7;8 Với trường hợp này số ccáh chọn và xếp là: N C1 * 2* 2*1 = 40 TH 2 10 0,5 TH3: trong 3 chữ số chọn được đề là chữ số chẵn, gồm có các bộ số sau: 2;4;6 , 4;6;8 1 Với trường hợp này số ccáh chọn và xếp là: NTH 3 C2 *3! = 12 DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Số cách chọn số có 3 chữ số khác nhau sao cho số đó chia hết cho 6 là: NTH1 NTH 2 NTH 3 = 78 0,5 3 Phép thử: lập số có 3 chữ số khác nhau từ A n  A9 504 A: là biến cố lập được số có ba chữ số khác nhau sao cho số đó chia hết cho 6. N(A) NTH1 NTH 2 NTH 3 N(A) 78 Xác suất của biến cố A: P(A) 0.155 N() 504 0,5 6. _S _D _N _C _K _M _O _A _B a) + Theo giả thiết ta được: SO  ABCD SAC  ABCD . Mà BK  SAC và B BK  AC BK  SA . + Gọi H là hình chiếu của K xuống SA HK  SA và HK  BK ( vì HK  SAC ) HK là đoạn vuông góc chung của SA và BK . Suy ra được: BH  SA và HBK vuông tại K . 1,0 1 1 1 a 2b2 + Do ABC vuông đỉnh A nên: BK2 . BK2 AB2 BC2 a 2 b2 a 2 c2 .a SI.AB + SAB cân đỉnh S , BH là đường cao nên HB 4 SA c + Do HBK vuông tại K nên: (4c2 a 2 )a 2 a 2b2 HK2 HB2 BK2 4c2 a 2 b2 (4c2 a 2 b2 )a 4 a 2 (4c2 a 2 b2 ) HK2 HK 4c2 (a 2 b2 ) 2c (a 2 b2 )    b) + 2BM BA BK ( vì M là trung điểm của AK ) 1,0     1    1  + MN MB BC CN (AB KB) BC BA 2 2 DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn  1   + MN KB BC . 2 + Do đó:       4BM.MN (BA BK).(KB 2BC)         = BA.KB 2BA.BC BK.KB 2BK.BC       = BA.KB BK.KB 2BK.BC     = KB.(BA BK 2.BC)      = KB.(BA BC BK BC)        = KB.(CA CK) KB.CA KB.CK 0 Vậy: BK  MN . 1,0 DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 3 MÔN: TOÁN LỚP 11 Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) Câu I.(5đ) Giải các phương trình sau: 1) x6 5x2 2 0 ; 2) 3 12 x 3 14 x 2 Câu II.(5đ) a2 ( p a) b2 ( p b) c2 ( p c) Cho tam ABC thỏa mãn: sin A cos A abc Chứng minh ABC vuông: Câu III.(4đ) k k 2 k 1 Tìm k ¥ sao cho: C14 C14 2C14 Câu IV.(3đ) Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giác với chu vi 2 p . 1 1 1 1 1 1 Chứng minh: 2 p a p b p c a b c Câu V.(3đ) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có trọng tâm G( 2, 0) biết phương trình các cạnh AB, AC theo thứ tự là: 4x y 14 0; 2x 5y 2 0 . Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C? Hết DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh Số báo danh HƯỚNG DẪN CHẤM: TOÁN LỚP 11 Chú ý: Cách giải khác hướng dẫn chấm, mà đúng thì vẫn cho điểm theo thang điểm Câu Nội dung Điểm 1) x6 - 5x2 + 2 = 0 x6 - 4x2 - x2 + 2 = 0 x2(x4 - 4) - (x2 - 2) = 0 0,5đ x2(x2 + 2)(x2 - 2) - (x2 - 2) = 0 (x2 - 2)(x4 + 2x2 - 1) =0 0,5đ x2 2 0 4 2 0,25đ x 2x 1 0 +) x2 - 2 = 0 x2 = 2 x = 2 . 0,25đ x2 1 2 +) x4 + 2x2 - 1 = 0 0,5đ 2 x 1 2.(loai) 0,25đ x2 = 1 2 x 1 2. I Kết luận: PT đã cho có 4 nghiệm: x = 2 ; x 1 2. 0,25đ (5đ) 2) 3 12 x 3 14 x 2 0,25đ Đặt u = 3 12 x ; v = 3 14 x . Ta có: 0,5đ u v 2 u v 2 3 3 3 u v 26 (u v) 3uv(u v) 26 u 3 u v 2 v 1 0,5đ uv 3 u 1 v 3 +) u = 3 3 12 x = 3 12 - x = 27 x = - 15. 0,5đ +) u = - 1 3 12 x = - 1 12 - x = - 1 x = 13. 0,5đ Kết luận: PT đã cho có 2 nghiệm: x = - 15, x = 13. 0,25đ DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn a2 ( p a) b2 ( p b) c2 ( p c) a2 (b c a) b2 (a c b) c2 (a b c) VT abc 2abc 0,5 a(b2 c2 a2 ) b(a2 c2 b2 ) c(a2 b2 c2 ) = 2abc 1 II b2 c2 a2 a2 c2 b2 a2 b2 c2 = cosA + cosB + cosC (5đ) 2bc 2ac 2ab 1 Khi đó dẳng thức đã cho sin A cosA = cosA+cosB+cosC sinA= cosB+cosC 0.5 A A A B -C A B -C 2 s in c o s 2 s in c o s c o s c o s 2 2 2 2 2 2 1 B A B C A C B 2 V A B C v u ô n g A C B A B C C 1 2 §iÒu kiÖn k N , 1 k 12. Ta cã : 14! 14! 14! C k C k 2 2C k 1 2 III 14 14 14 k! 14 k ! k 2 ! 12 k ! k 1 ! 13 k ! 1 (4đ) 1 1 2 1 14 k 13 k k 2 k 1 k 1 13 k k 2 k 1 14 k 13 k 2 k 2 14 k 1 4k 2 48k 128 0 k 8  k 4 (tho¶ m·n ®iÒu kiÖn k N , 1 k 12) 1 1 1 4 Chứng minh x, y 0 : (1) x y x y 1 1 1 4 4 Áp dụng (1) ta có: p a p b 2 p a b c 1 1 1 4 4 1 1 4 4 IV ; (3đ) p b p c 2 p b c a p c p a 2 p c a b 1 1 1 1 1 1 Do đó 2 p a p b p c a b c 1 Dấu dẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c Tọa độ A là nghiệm của hệ 4x y 14 0 x 4 A(–4, 2) 2x 5y 2 0 y 2 0,25 Vì G(–2, 0) là trọng tâm của ABC nên V 3x x x x x x 2 (3đ) G A B C B C (1) 0,75 3yG yA yB yC yB yC 2 Vì B(xB, yB) AB yB = –4xB – 14 (2) DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 2xC 2 1 C(xC, yC) AC y ( 3) C 5 5 Thế (2) và (3) vào (1) ta có xB xC 2 xB 3 yB 2 1 2xC 2 4xB 14 2 xC 1 yC 0 5 5 Vậy A(–4, 2), B(–3, –2), C(1, 0) Hết DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 4 SỞ GD-ĐT HÀ NAM ĐỀ THI HSG TOÁN 11 (Thời gian làm bài :180 phút ) 2 n Câu 1 : (4 điểm) Cho 3 n N .Tìm nghiệm x (0,  / 2 ) của PT sinn x cosn x n.2 2 Câu 2: (4 điểm) Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn ab = 1 + c(a + b). a b c2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P 1 a2 1 b2 1 c2 Câu 3: ( 4 điểm) GPT 1 x3 2 x2 2 5 Câu 4: (4 điểm) Cho thập giac lồi . a) tìm số tam giác có ít nhất 1 cạnh là cạnh của thập giác đó. b) số tam giác không co cạnh nào là cạnh của thập giác đó. Câu 5 (2điểm) Cho tam giác ABC nhọn ,phía bên ngoài của tam giác ABC dựng hai tam giác đều ABM và ACN.Tìm một phép dời hình biến đoạn thẳng MC thành đoạn BN .Từ đó suy ra MC=BN Câu 6 (2 điểm) Giải HPT: 2 2 x y x y 2 2 2 x y y x 2 Hết DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐÁP ÁN Câu 1: (4 điểm) Ta có : n(2 n) n(2 n) n n n 2 n 2 n n n 2 sin x sin x 2  2 . n 2 2 .(sin x) n.2 2 sin x (n 2)sô n(2 n) n(2 n) n n n 2 n 2 n n n 2 cos x cos x 2  2 . n 2 2 .(cos x) n.2 2 cos x (n 2)sô Cộng vế ta được 2 n 2 n 2 n 2(sinn x cosn x) (n 2).2 2 n.2 2 .(sin2 x cos2 x) n.2 2 2 n sinn x cosn x 2 2 . Dấu bằng xẩy ra sinx=cosx= 1/ 2 x / 4 Câu 2 (4 điểm) đặt a tan , b tan  , c tan với ,  0; ,  ;0 2 2 Từ giả thiết ta có ab 1 c(a b) tan .tan  1 tan (tan tan  ) 1 tan tan  tan 1 tan tan  tan(  ) tan(  ) 2   k vì   nên   mà 2 2 2 1 P tan .cos2 tan .cos2 tan2 .cos2 (sin 2 sin 2 2sin2  ) 2 1 P [2sin(  )cos(  ) 2sin2  ] = cos2 cos cos(  ) +1 2 2 cos(  ) cos2 (  ) 5 P cos 1 2 4 4 5 cos2 (  )=1   12 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi cos(  ) 1 cos 0 cos = 2 2  3 a b 2 3 , c 3 DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 5 Vậy GTLN của P bằng khi và chỉ khi a b 2 3 , c 3 4 Câu 3: (4 điểm) GPT Đặt u= x 1 và v= x2 x 1 (u,v không âm) u 2 2 2 5u u 2 v ta đc 5uv 2(u v ) 2( ) 2 v v u 1 v 2 u TH1 2 vô nghiệm v x  1 5 37 u 2 x 1 x2 x 1 x TH2 1/ 2 2 v 5 37 x 2 5 37 5 37 Nghiệm của PT là x ; x 2 2 Câu 4 :(4 điểm) a) TH1 : số tam giác có đúng 1 cạnh là cạnh của thập giác là 6 x 10 = 60 tam giác TH2 số tam giác có 2 cạnh là cạnh của thập giác là 10 tam giác vi với mối đỉnh cùng hai cạnh chứa đỉnh đó tạo thành 1 tam giác Vậy số tam giác ít nhất 1 cạnh là cạnh của thập giác là :60+10= 70 tam giác 3 b) Tổng số tam giác tạo thành từ 10 đỉnh là: c 10 120 Vậy số tam giác không co cạnh nào là cạnh của thập giác là:120-70 =50 tam giác Câu 5 Qua phép quay Q thì điểm M biến thành B;điểm C biến thành điểm N .Do đó ,qua phép quay ( A;600 ) Q thì đoạn MN biến thành đoạn BN .Vậy MC=BN ( A;600 ) DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 5 ĐỀ THI HSG KHỐI 11 (Thời gian 90’ không kể thời gian phát đề) Câu 1: (3 đ) 1. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: 2 8 2x x2 x2 2x m 0 . 2. Giải hệ phương trình : y 2 2 3y 2 x 2 x 2 3x 2 y Câu 2: (3 đ) Cho hình lăng trụ ABCD. A’C’B’D’ có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, B· AD 600 . Gọi M là trung điểm cạnh AA’ và N là trung điểm cạnh CC’. 1. Chứng minh rằng 4 điểm B’, M, D, N cùng thuộc 1 mặt phẳng. 2. Hãy xác định độ dài cạnh AA’ theo a để tứ giác B’MDN là hình vuông. Câu 3: (2đ) 1. Giải bất phương trình : x 1 ln ln x2 x 1 0 2 2. Tìm các giá trị x, y nguyên thoả mãn : 2 2 y 8 2 log 2 x 2x 3 7 y 3y Câu 4 : (2 đ). 1. Giải phương trình : cosx + cos2x + cos4x + cos5x = - 1/2. 2. Gọi , ,  là các góc mà tâm I của đường tròn nội tiếp ABC nhìn xuống 3 cạnh BC, CA, AB. 3 3 Giả sử: sin .sin.sin = . Chứng minh ABC là tam giác đều. 8 (Hết) DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐÁP ÁN ĐỀ THI HSG KHỐI 11. (Thời gian 90’ không kể thời gian phát đề) Người ra đề: Nguyễn Xuân Đàn. Câu 1 : (3 đ). 1. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: 2 8 2x x2 x2 2x m 0 . 2 2 t 2t 8 m 1 Đặt 8 2x x t o t 3. Khi đó Pt 0 t 3 Pt (1) là Pt hoành độ giao điểm của (P): y = t2 – 2t – 8 và d: y = m. trên hệ trục toạ độ Oty. Dựa vào đồ thi ta có: y • m > - 5 ∨ m 0. Giả sử 0 < x y y x 2 2 x y 2 2 1 x y 1 y y 2 2 Câu 2 : (3 đ). 1. Chứng minh 4 điểm B’, M, D, N cùng thuộc 1 mặt phẳng. Ta có A’M //= NC A’MCN là hình bình hành A’C & MN cắt nhau tại trung DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn điểm mỗi đường. Mặt khác A’B’CD là hình bình hành A’C & B’D cắt nhau tại trung điểm mỗi đường B’, M, D, N cùng thuộcmột mặt phẳng, và B’MDN là hình bình hành 2. Tính độ dài cạnh AA’ theo a để tứ giác B’MDN là hình vuông. Ta có AC ⊥ BD MN ⊥ BD. Để tứ giác B’MDN là hình vuông MN ⊥ B’D & MN = B’D = a 3 . Khi đó MN ⊥ (BDD’B’) AC’ ⊥ (BDD’B’) = ( ) . Vậy cứ mỗi BDB’ được xác định trên mf ( ) cố định thì ta có một độ dài BB’ = AA’ B ' D BD AA' B ' D BD a 3 a AA' a 3 a . B’ A ’ C’ D’ M I N B A Câu 3: (2đ) D C x 1 1. Giải bất phương trình : ln ln x2 x 1 0 D = R* 2 x 1 ln ln x 2 x 1 x 1 2. x 2 x 1 2 ❖ Nếu x + 1 > 0 x > -1 Bpt 2 x2 – 3x + 1 0, y. 2 2 y 8 2 2 2 2 log 2 x 2x 3 (y 8).log 2 x 2x 3 (y 8).log 2 2 y 8 y2 + 8 7 – y2 – y 2y2 – 3y + 1 0 1/2 y 1. Vì y Z y = 1. 2 9 2 Với y = 1 BPt log 2 x 2x 3 9 x 2x 3 2 x 1 Kiểm tra lại đúng Nghiệm nguyên của hệ là: x = - 1, y = 1. Câu 4 : (2 đ). 1. Giải phương trình : cosx + cos2x + cos4x + cos5x = - 1/2. ❖ Nếu x = k2 pt 5 = - 1/2 Vậy x = k2 không là nghiệm của pt. ❖ Nếu x k2 nhân hai vế của pt với 2sinx/2 ta có pt DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 3x x 5x 3x 7x 5x 9x 7x sin sin sin sin sin sin sin sin 2 2 2 2 2 2 2 2 11x 9x x 11x 2k sin sin sin sin 0 x 2 2 2 2 11 k2 ❖ Vì x k2 nghiệm của pt là: x = ; Với k  11. 11 2. Ta có: 3 3 3 3 sin .sin.sin = sin A.sin B.sin C do A B  C  1800 8 8 3 1 3 1 3 3 3 3 VT sin A.sin B.sin C sin A sin B sin C . 27 27 2 8 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ABC là tam giác đều. DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 6 Së GD&§T Hµ tÜnh §Ò thi chän häc sinh giái To¸n 11 Trêng THPT ®øc thä Thêi gian: 180 phót (Kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò) §Ò bµi C©u 1. (2,0 ®iÓm) Gi¶i ph¬ng tr×nh 3 x 1 3 x 1 3 5x C©u 2. (1,5 ®iÓm) Chøng minh r»ng víi mäi sè thùc x, y, z kh¸c 0, ta cã: x2 y2 z2 x y z y2 z2 x2 y z x u1 11 C©u 3. (2,0 ®iÓm) Cho d·y sè (un) x¸c ®Þnh bëi: un 1 10un 1 9n,n N. T×m c«ng thøc tÝnh un theo n. C©u 4. (2,0 ®iÓm) Tæng cña m nh÷ng sè nguyªn d¬ng liªn tiÕp b»ng 2008. X¸c ®Þnh c¸c sè ®ã. C©u 5. (2,5 ®iÓm) Cho h×nh l¨ng trô tam gi¸c ABC. A’B’C’. Gäi I, J, K lÇn lît lµ t©m cña c¸c h×nh b×nh hµnh ACC’A’, BCC’B’, ABB’A’. a) Chøng minh r»ng (IJK) song song víi c¸c mÆt ®¸y. b) Chøng minh r»ng c¸c ®êng th¼ng AJ, CK, BI ®ång quy. ___HÕt___ DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn §¸p ¸n vµ thang ®iÓm C©u 1. (5 ®iÓm) 3 x 1 3 x 1 3 5x 2x 3 3 x2 1 3 x 1 3 x 1 5x 5 3 x2 1 3 5x x 4x3 5x 0 x 0;x . 2 5 Thö l¹i ta thÊy ph¬ng tr×nh cã 3 nghiÖm: x = 0; x = . 2 C©u 2: (4 ®iÓm) Ta cã: x2 x 1 2 2 y y y2 y 1 2 2 z z z2 z 2 2 x x Céng ba bÊt ®¼ng thøc trªn, ta ®îc: x2 y2 z2 x y z 3 2 (1) 2 2 2 y z x y z x ¸p dông bÊt ®¼ng thøc Cauchy cho ba sè d¬ng, ta ®îc: x2 y2 z2 x2 y2 z2 3 3 . . 3 (2) y2 z2 x2 y2 z2 x2 x2 y2 z2 x y z Tõ (1) vµ (2) suy ra: 2 2 2 2 2 y z x y z x Tõ ®ã ta cã bÊt ®¼ng thøc cÇn chøng minh. C©u 3: Ta cã: u1 11 10 1 u2 10.11 1 9 102 100 2 u3 10.102 1 9.2 1003 1000 3 n Dù ®o¸n un = 10 + n (1) Chøng minh: 1 Ta cã: u1 = 11 = 10 + 1 c«ng thøc (1) ®óng víi n = 1. k Gi¶ sö c«ng thøc (1) ®óng víi n = k ta cã: uk = 10 + k DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn k k+1 Ta cã: uk + 1 = 10(10 + k) + 1 - 9k = 10 + (k + 1). C«ng thøc (1) ®óng víi n = k + 1. n VËy un = 10 + n, n ¥ . C©u 4. (4 ®iÓm) Gi¶ sö tæng cña m sè nguyªn d¬ng liªn tiÕp b¾t ®Çu tõ sè k b»ng 2008: k + (k + 1) + (k + 2) + + (k + m - 1) = 2008 m m 1 mk 2008 2 m 2k m 1 4016 24.251 NÕu m lÎ 2k + m - 1 ch½n. Khi ®ã: m = 251, 2k + m - 1 = 24 (kh«ng x¶y ra) 2k m 1 251 m 16 NÕu m ch½n 2k + m - 1 lÎ. Ta cã: 4 m 2 k 118 VËy c¸c sè cÇn t×m lµ 118, 119, 133. C©u 5. (3 ®iÓm) Trªn tia BI, lÊy ®iÓm H sao cho BH = a. Khi ®ã BH = AB = BC nªn ta cã: ABM HBM(c.g.c) vµ CBN = HBN(c.g.c). Do ®ã: MH = AM vµ NH = CN. B· HM B· AM 900 vµ B· HN B· CN 900. Suy ra M, H, N th¼ng hµng, BI vu«ng gãc víi Mn t¹i H vµ MN = AM + NC. A B 1 1 VËy S BH.MN a AM NC . BMN 2 2 1 3 V× AM = 3MD nªn MD a;AM a. 4 4 M §Æt NC = x, ¸p dông ®Þnh lý Pitago cho H tam gi¸c vu«ng MDN, ta cã: D I N C MN 2 MD2 DN 2 AM NC 2 MD2 DC NC 2 2 2 3 a 2 a a x a x x 4 16 7 1 3 a 25 2 Suy ra : S BMN a a a . 2 4 7 56 DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 7 SỞ GDĐT HÀ TĨNH TRƯỜNG THPT BC NGUYỄN ĐÌNH LIỄN TỔ TOÁN – TIN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG MÔN TOÁN THỜI GIAN 180 PHÚT Câu 1(2đ): Giải phương trình 2 3 2x 5x 1 7 x 1 Câu 2(2đ): Giải hệ phương trình x ( x 2 )( 2 x y ) 9 x 2 4 x y 6 Câu 3(2đ): Tình gới hạn sau 2 x 1 3 x 2 1 lim x 0 sin x 1 1 1 Câu 4(3đ): Nhận dạng tam giác ABC biết: 4 sin2 A sin2 B sin2 C Câu 5(1đ): Cho 2 số thực dương x; y thỏa mãn: x2 y2 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = x + xy Họ và tên: . SBD: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐÁP ÁN 2 3 Câu 1(2đ): Giải PT 2x 5x 1 7 x 1 (1) ĐK: x 1 2 2 (1) 2(x x 1) 3(x 1) 7 (x 1)(x x 1) Đặt: x 1 a(a 0); x2 x 1 b(b  0) . Khi đó pt trở thành 2 2 2b 3a 7ab (2b a)(b 3a) 0 2 a 2b x 1 2 x x 1 b 3a x2 x 1 3 x 1 x 4 6 Câu 2(2đ): Giải hệ PT x ( x 2 )( 2 x y ) 9 2 x 4 x y 6 2 2 (x 2x)(2x y) 9 x 2x 3 (x2 2x) (2x y) 6 2x y 3 x 1 x 3 y 1 hoặc y 9 / 2 2 x 1 3 x 2 1 Câu 3(2đ): A = lim x 0 sin x x ( 2x 1 1) ( 3 x2 1 1) lim lim x 0 sin x x 0 x 2x 1 1 3 x 2 1 1 lim lim x 0 x x 0 x 2 x lim lim = x 0 2x 1 1 x 0 3 (x2 1)2 3 x2 1 1 = 1 1 1 1 3 Câu 4(3đ): P = 2 2 2 sin A sin B sin C 3 sin2 A.sin2 B.sin2 C DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 3 3 2 2 2 27 Mà : sinA.sinB.sinC sin A.sin B.sin C nên 8 64 3.4 P 4 . Dấu “=” xảy ra khi A = B = C 3 Mà theo gt ta có: P = 4 suy ra ABC đều Câu 5(1đ): P = x + x.y với x2 y2 1 . Áp dụng BĐT Côsi ta có: 2 3 2( x ) 2 3 x (1) 4 2 2 x 3y 2 3x.y (2) Lấy (1) + (2) vế theo vế ta được: 2 2 3 3(x y ) 2 3(x x.y) 2 9 3 3 2 3 ( x x.y) x x.y 2 4 3 3 3 1 Vậy Pmax = x và y = 4 2 2 DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 8 MÔN: TOÁN LỚP 11 Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) Câu I.(5đ) Giải các phương trình sau: 1) x6 5x2 2 0 ; 2) 3 12 x 3 14 x 2 Câu II.(5đ) a2 ( p a) b2 ( p b) c2 ( p c) Cho tam ABC thỏa mãn: sin A cos A abc Chứng minh ABC vuông: Câu III.(4đ) k k 2 k 1 Tìm k ¥ sao cho: C14 C14 2C14 Câu IV.(3đ) Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giác với chu vi 2 p . 1 1 1 1 1 1 Chứng minh: 2 p a p b p c a b c Câu V.(3đ) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có trọng tâm G( 2, 0) biết phương trình các cạnh AB, AC theo thứ tự là: 4x y 14 0; 2x 5y 2 0 . Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C? Hết Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Họ và tên thí sinh Số báo danh HƯỚNG DẪN CHẤM: TOÁN LỚP 11 Chú ý: Cách giải khác hướng dẫn chấm, mà đúng thì vẫn cho điểm theo thang điểm Câu Nội dung Điểm 1) x6 - 5x2 + 2 = 0 x6 - 4x2 - x2 + 2 = 0 x2(x4 - 4) - (x2 - 2) = 0 0,5đ x2(x2 + 2)(x2 - 2) - (x2 - 2) = 0 (x2 - 2)(x4 + 2x2 - 1) =0 0,5đ x2 2 0 4 2 0,25đ x 2x 1 0 +) x2 - 2 = 0 x2 = 2 x = 2 . 0,25đ x2 1 2 +) x4 + 2x2 - 1 = 0 0,5đ 2 x 1 2.(loai) 0,25đ x2 = 1 2 x 1 2. I Kết luận: PT đã cho có 4 nghiệm: x = 2 ; x 1 2. 0,25đ (5đ) 2) 3 12 x 3 14 x 2 0,25đ Đặt u = 3 12 x ; v = 3 14 x . Ta có: 0,5đ u v 2 u v 2 3 3 3 u v 26 (u v) 3uv(u v) 26 u 3 u v 2 v 1 0,5đ uv 3 u 1 v 3 +) u = 3 3 12 x = 3 12 - x = 27 x = - 15. 0,5đ +) u = - 1 3 12 x = - 1 12 - x = - 1 x = 13. 0,5đ Kết luận: PT đã cho có 2 nghiệm: x = - 15, x = 13. 0,25đ DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn a2 ( p a) b2 ( p b) c2 ( p c) a2 (b c a) b2 (a c b) c2 (a b c) VT abc 2abc 0,5 a(b2 c2 a2 ) b(a2 c2 b2 ) c(a2 b2 c2 ) = 2abc 1 II b2 c2 a2 a2 c2 b2 a2 b2 c2 = cosA + cosB + cosC (5đ) 2bc 2ac 2ab 1 Khi đó dẳng thức đã cho sin A cosA = cosA+cosB+cosC sinA= cosB+cosC 0.5 A A A B -C A B -C 2 s in c o s 2 s in c o s c o s c o s 2 2 2 2 2 2 1 B A B C A C B 2 V A B C v u ô n g A C B A B C C 1 2 §iÒu kiÖn k N , 1 k 12. Ta cã : 14! 14! 14! C k C k 2 2C k 1 2 III 14 14 14 k! 14 k ! k 2 ! 12 k ! k 1 ! 13 k ! 1 (4đ) 1 1 2 1 14 k 13 k k 2 k 1 k 1 13 k k 2 k 1 14 k 13 k 2 k 2 14 k 1 4k 2 48k 128 0 k 8  k 4 (tho¶ m·n ®iÒu kiÖn k N , 1 k 12) 1 1 1 4 Chứng minh x, y 0 : (1) x y x y 1 1 1 4 4 Áp dụng (1) ta có: p a p b 2 p a b c 1 1 1 4 4 1 1 4 4 IV ; (3đ) p b p c 2 p b c a p c p a 2 p c a b 1 1 1 1 1 1 Do đó 2 p a p b p c a b c 1 Dấu dẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi a b c Tọa độ A là nghiệm của hệ 4x y 14 0 x 4 A(–4, 2) 2x 5y 2 0 y 2 0,25 Vì G(–2, 0) là trọng tâm của ABC nên V 3x x x x x x 2 (3đ) G A B C B C (1) 0,75 3yG yA yB yC yB yC 2 Vì B(xB, yB) AB yB = –4xB – 14 (2) DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 2xC 2 1 C(xC, yC) AC y ( 3) C 5 5 Thế (2) và (3) vào (1) ta có xB xC 2 xB 3 yB 2 1 2xC 2 4xB 14 2 xC 1 yC 0 5 5 Vậy A(–4, 2), B(–3, –2), C(1, 0) Hết DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 9 Trêng thpt cÈm thuû i Kú thi chän häc sinh giái cÊp trêng Khèi 11 THPT M«n thi: To¸n (Thêi gian lµm bµi: 180 phót ) C©u 1: (4 ®iÓm) 2 1) Gi¶i ph¬ng tr×nh: 2tan x cot x tan2 x sin 2x 2) T×m m ®Ó ph¬ng tr×nh: 4(sin4 x cos4 x) 4(sin6 x cos6 x) sin2 4x m cã nghiÖm x ( ; ) . 8 4 A C 1 C©u 2: (2 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC tho¶ m·n tan .tan . Chøng minh r»ng 2 2 3 SinA, SinB, SinC lËp thành cÊp sè céng. C©u 3: (6 ®iÓm) u 1;u 2 1 2 1. Cho d·y sè (u ) x¸c ®Þnh nh sau 3 1 n u u u n 2 n 1 2 n 2 n 1 a/ X¸c ®Þnh sè h¹ng tæng qu¸t un b/ T×m limun n 1 6x 3 1 9x 2. T×m giíi h¹n sau: lim x 0 x2 C©u 4: (4 ®iÓm) 1. TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: 2006 1 2004 3 2 2005 2007 C = 2009 .C2008 2009 .C2008 2009 .C2008 C2008 . 20 2. Khai triÓn P(x) (1 3x) thành 2 20 P(x) a0 a1x a2 x a20 x . T×m Max(a1,a2, ,a20 ) DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn C©u 5: (4 ®iÓm) Cho tam gi¸c S.ABCD ®¸y là h×nh thang, ®¸y lín BC=2a, ®¸y bÐ AD=a, AB=b. MÆt bªn SAD là tam gi¸c ®Òu. M là mét ®iÓm di ®éng trªn AB, mp(P) qua ®iÓm M và song song víi SA, BC. 1. T×m thiÕt diÖn cña S.ABCD víi mÆt ph¼ng mp(P). ThiÕt diÖn là h×nh g×? 2. TÝnh diÖn tÝch thiÕt diÖn theo a và x = AM ( 0 < x < b). T×m gi¸ trÞ cña x ®Ó diÖn tÝch thiÕt diÖn lín nhÊt. HÕt. Hä tªn thÝ sinh Sè b¸o danh . ThÝ sinh kh«ng ®îc sö dông tµi liÖu, gi¸m thÞ kh«ng gi¶i thÝch g× thªm. Trêng thpt cÈm thuû i Kú thi chän häc sinh giái cÊp trêng Khèi 11 THPT §Ò thi chÝnh thøc ®¸p ¸n – híng dÉn chÊm m«n To¸n (Thêi gian lµm bµi: 180 phót ) C©u Néi dung §iÓm 1.(2 ®iÓm) +) §iÒu kiÖn 0.5® +) T×m ®îc tanx = 1 hoÆc tanx = 0 0.5® +) Gi¶i ®óng vµ lo¹i nghiÖm ®óng. §S: x k 4 1.0® 2.(2 ®iÓm) C©u 1 +) §a PT vÒ d¹ng: 2cos2 4x cos4x 2m 1 (1) 0.5® (4 ®) +) §Æt t = cos4x víi x ( ; ) t (-1; 0) 0.5 ® 8 4 +) XÐt f(t) = 2t2 + t trªn (-1; 0) cã b¶ng biÕn thiªn Vµ PT (1) cã nghiÖm khi ®êng th¼ng y = 2m +1 (song song hoÆc 0.5® trïng 0x )c¾t f(t) trªn (-1; 0) 1 +) §S: m ( ;1) 0.5® 2 DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn A C sin sin 2 2 1 A C A C A C A C cos 2sin sin cos cos 1.0® A C 3 2 2 2 2 2 C©u 2 cos cos 2 2 (2 ®) B A C B B A C A C B 2sin cos 4sin cos 2sin cos (cos 0) 2 2 2 2 2 2 2 2sinB sin A sinC 10.® 1. (4 ®iÓm) 1 un 1 un un un 1 v u u a. BiÕn ®æi ta ®îc 2 ®Æt n 1 n 1 n khi ®ã 1 vn 1 vn n 2 nghÜa là d·y v ,v , v , là mét cÊp sè céng cã sè 2 2 3 n 1 1.0® h¹ng ®Çu v2 1;q 2 vn u n u n 1  vn 1 u n 1 u n 2  u n u1 v2 v3 vn v2 u 2 u1  n 2 n 2 1 1 1 C©u 3 u 1 1 3 n (6 ®) 2 2 2 0.5® 0.5® n 2 1 2.0® lim un lim 3 3 b. n n 2 2. (2®iÓm) 1 6x (1 3x) (1 3x) 3 1 9x lim lim 1.0® x 0 x2 x 0 x2 9 27 27x 9 27 lim lim 9 x 0 1 6x 1 3x x 0 (1 3x)2 (1 3x) 3 1 3x 3 (1 3x)2 2 2 1.0® DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 1. (2 ®iÓm) ¸p dông c«ng thøc nhÞ thøc Niut¬n ta cã: 2008 2008 0 2007 1 2006 2 2005 3 2007 2008 (x 1) x C2008 x C2008 x C2008 x C2008 xC2008 C2008 , 2008 2008 0 2007 1 2006 2 2005 3 2007 2008 0.5® (x 1) x C2008 x C2008 x C2008 x C2008 xC2008 C2008 . (x 1)2008 (x 1)2008 x2007C1 x2005C3 x3C2005 xC2007 2 2008 2008 2008 2008 . (x 1)2008 (x 1)2008 x2006C1 x2004C3 x2C2005 C2007 . 0.5® 2x 2008 2008 2008 2008 Tõ ®¼ng thøc trªn cho x = 2009 ta ®îc 2008 2008 (2010) (2008) 2006 1 2004 3 2 2005 2007 C©u 4 2009 C2008 2009 C2008 2009 C2008 C2008 . (4 ®) 2.2009 (2010)2008 (2008)2008 VËy C = . 1.0® 2.2009 2. (2 ®iÓm) k k Ta cã ak C20.3 , ak 0, k ¥ ak 1 2(20 k) XÐt tØ sè A 0.5 ak k 1 59 Khi k th× A>1 do ®ã ak 1 ak k 0,1, 14 4 1 59 Khi k th× A<1 do ®ã a a k 15,16, 20 4 k 1 k 15 15 MÆt kh¸c a15 a14 . VËy max(a1,a2, a20)= a15 C20.3 0.5 1. (2 ®iÓm) S +) Tõ M kÎ ®êng th¼ng song song BC và Q SA, lÇn lît c¾t DC t¹i N, SB t¹i Q. P 2.0 +) Tõ Q kÎ ®êng th¼ng song song víi BC c¾t SC t¹i P. suy ra ®îc MNPQ là 2a C B thiÕt diÖn. DÔ dàng chøng minh ®îc MNPQ là h×nh thang c©n M b C©u 5 N x (4 ®) A DP a Q . 2.(2 ®iÓm) 1.0 * TÝnh diÖn tÝch thiÕt diÖn MNPQ Sö dông ®Þnh lý Talets ta suy ra ®îc N H K M DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn b x MQ=NP= .a ; b x ab ax ba ax 3 PQ= .2a , MN = tõ ®ã tÝnh ra ®îc QK= . b b b 2 ¸p dụng c«ng thøc 1 3a2 S MN PQ .QK b x b 3x MNPQ 2 4b2 *T×m x ®Ó SMNPQ ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt 1.0 2 3a2 3a2 3b 3x b 3x 3a2 SMNPQ 2 3b 3x b 3x 2 12b 12b 2 12 b x Dấu "=" xảy ra khi 3 Chó ý: - Häc sinh gi¶i theo c¸ch kh¸c nÕu ®óng vÉn cho ®iÓm tèi ®a DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 10 Trêng thpt cÈm thuû i Kú thi chän häc sinh giái cÊp trêng Khèi 11 THPT M«n thi: To¸n (Thêi gian lµm bµi: 180 phót ) Bµi 1(5 ®iÓm) a) Gi¶i ph¬ng tr×nh: cos 2 x cos 2 ( 2x) sin 2 ( 3x) 1 2 b) Cho a,b R . Chøng minh r»ng trong hai ph¬ng tr×nh sau ph¶i cã Ýt nhÊt mét ph¬ng tr×nh cã nghiÖm: 2008sin x a cos x b 2008tan x a cot x 2.b Bµi 2 ( 5 ®iÓm) a) D·y sè u1 ,u2 ,u3 , ,un ®îc x¸c ®Þnh nh sau: u1 0, u2 u1 1, u3 u2 1, , un un 1 1 1 1 Chøng minh r»ng: (u u u ) . n 1 2 n 2 b) T×m giíi h¹n cña d·y sè cã sè h¹ng tæng qu¸t: 2 2 2 un . 2 2 2 2 2 2 2 n c¨n Bµi 3 (5 ®iÓm) a) Trªn mÆt ph¼ng cho ®a gi¸c låi 10 c¹nh T A1 A2 An . XÐt c¸c tam gi¸c cã 3 ®Ønh lµ 3 ®Ønh cña ®a gi¸c T . Hái trong sè c¸c tam gi¸c ®ã cã bao nhiªu tam gi¸c mµ 3 c¹nh cña nã ®Òu kh«ng ph¶i lµ ba c¹nh cña ®a gi¸c T ? b) T×m c¸c gi¸ trÞ nguyªn d¬ng cña x tho¶ m·n 0 2007 1 2006 2 2005 k 2007 k 2007 0 x C2008C2008 C2008C2007 C2008C2006 C2008C2008 k C2008 C1 2008.2 Bµi 4 (5 ®iÓm) Cho h×nh lËp ph¬ng ABCD.A1B1C1D1 . a) H·y t×m ®iÓm M trªn ®êng chÐo BD cña mÆt ABCD vµ ®iÓm N trªn ®êng chÐo CD1 cña mÆt bªn CDD1C1 sao cho MN // AC1. b) Gäi I vµ J lÇn lît lµ trung ®iÓm cña A1D1 vµ B1 B . Chøng minh r»ng IJ  AC1. DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Trêng thpt cÈm thuû i Kú thi chän häc sinh giái cÊp trêng Khèi 11 THPT §Ò thi chÝnh thøc ®¸p ¸n – híng dÉn chÊm m«n To¸n (Thêi gian lµm bµi: 180 phót ) C©u Néi dung ®iÓm C©u 1 5 ®iÓm a) 2 ®iÓm Gi¶i ph¬ng tr×nh: cos 2 x cos 2 ( 2x) sin 2 ( 3x) 1 (1) 2 +) Ta cã (1) cos 2 x cos 2 2x cos 2 3x 1 (2) +) §Æt t cos 2 x , ®iÒu kiÖn t 0;1 (*) 0.5 t 0 1 +) Khi ®ã (2) trë thµnh: t(8t 2 10t 3) 0 t 0.5 2 3 t 4 +) Gi¶i t×m nghiÖm x 0.5 +) KÕt luËn: NghiÖm cña ph¬ng tr×nh ®· cho lµ: 0.5 x k , k Z ; x l , l Z ; x m , m Z 2 4 2 6 b) 3 ®iÓm *) Cã hai trêng hîp x¶y ra: +) Trêng hîp 1: 20082 a 2 b 2 th× (1) cã nghiÖm 0.5 +) Trêng hîp 2: 20082 a 2 b 2 2008tan 2 x 2.b tan x a 0 (3) Ta cã (2) 0.5 sin x 0 NhËn xÐt: (2) cã nghiÖm khi vµ chØ khi (3) cã nghiÖm tan x 0 0.5 Ta cã: *) (b 2) 2 4a.2008 2(a 2 20082 2a.2008) 2(a 2008) 2 0 b 2 *) S 0 (lu«n ®óng, do cã 20082 a 2 b 2 nªn b 0 1 2008 Do ®ã (3) cã nghiÖm kh¸c 0 +) KÕt luËn: 0.5 C©u 2 5 ®iÓm a) 2 ®iÓm 0.25 Ta chän sè un 1 sao cho un 1 un 1 Khi ®ã ta cã: DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 2 u1 0 2 2 2 u2 (u1 1) u1 2u1 1 2 2 2 u3 (u2 1) u2 2u2 1 u 2 (u 1) 2 u 2 2u 1 n 1 n n n 1 Suy ra: 2 2 2 2 2 2 2 2 u1 u2 u3 un 1 u1 u2 u3 un 2(u1 u2 u3 un ) n 2 2(u1 u2 u3 un ) un 1 n n 0.5 1 1 (u u u u ) n 1 2 3 n 2 +) KÕt luËn: 0.25 b) Ta cã: 2 2cos 2cos 4 22 2 2 2cos 2cos 8 23 0.75 2 2 2 2 2cos 2n 1 n c¨n (Chøng minh b»ng quy n¹p) 0.5 n 2 sin n 1 1 1 1 1 2 n Ta cã un . . 2 sin n 1 1 2 cos cos cos cos sin 22 23 24 2n 1 2 sin 2n 1 lim un lim ( . ) 0.75 n n 2 2 2n 1 C©u 3 5 ®iÓm a) 2 ®iÓm 3 0.5 +) Sè tam gi¸c ph©n biÖt cã 3 ®Ønh lµ 3 trong c¸c ®Ønh cña ®a gi¸c T lµ C10 120 +) øng víi mçi c¹nh cña ®a gi¸c T sÏ cã 8 c¸ch chän c¸c ®Ønh cßn l¹i ®Ó t¹o thµnh mét tam gi¸c chøa c¹nh nµy. Suy ra sè tam gi¸c cã Ýt nhÊt mét c¹nh lµ c¹nh cña ®a 0.5 gi¸c T lµ 80 (tam gi¸c). +) Trong 80 tam gi¸c trªn cã 10 tam gi¸c cã 2 c¹nh lµ 2 c¹nh cña ®a gi¸c T ®îc lÆp l¹i hai lÇn. 0.5 +) KÕt luËn: Sè c¸c tam gi¸c cÇn t×m lµ (120 – 80) + 10 = 50 (tam gi¸c) 0.5 b) T×m c¸c gi¸ trÞ nguyªn d¬ng cña x tho¶ m·n 0 2007 1 2006 2 2005 k 2007 k 2007 0 x 3 ®iÓm C2008C2008 C2008C2007 C2008C2006 C2008C2008 k C2008 C1 2008.2 DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 2008! (2008 k)! +) Ta cã C k C 2007 k . 2008C k 2008 2008 k k!(2008 k)! (2007 k)! 2007 1 +) Do ®ã 0 2007 1 2006 2 2005 k 2007 k 2007 0 x C2008C2008 C2008C2007 C2008C2006 C2008C2008 k C2008 C1 2008.2 0 1 2 2007 x 2008(C2007 C2007 C2007 C2007 ) 2008.2 0.75 0 1 2 2007 x C2007 C2007 C2007 C2007 2 0.75 22007 2 x x 2007(t / m) +) KÕt luËn: 0.5 C©u 4 5 ®iÓm a) 3 ®iÓm D1 I C1 B1 A- 1 J N D C M A B §Æt AB a, AD b, AA1 c . Ta cã AC1 a b c * V× MN // AC1 nen k R : MN k AC1 hay MN ka kb kc (1) 1 MÆt kh¸c ta cã: MN MB BC CN nDB BC mCD1 n(a b) b m(c a) (n m)a (1 n)b mc (2) 0.75 DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 1 k 3 n m k 1 Tõ (1) vµ (2) ta suy ra 1 n k m 3 0.75 m k 2 n 3 2 1 VËy víi MB DB va CN CD th× MN // AC 3 3 1 1 0.5 b) Gäi I vµ J lÇn lît lµ trung ®iÓm cña A1D1 vµ B1 B . Chøng minh r»ng IJ  AC1. 2 ®iÓm 0.5 +) AC1 a b c 1 1 0.5 +) IJ a b c 2 2 1 1 0.75 +) IJ.AC (a b c)(a b c) 0 1 2 2 +) VËy IJ  AC1 (®pcm). 0.25 DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 11 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI KHỐI 11 TRƯỜNG THPT HOÀI ĐỨC A MÔN TOÁN (Thời gian: 90 phút không kể thời gian giao đề) Câu 1 (2 điểm): a) Tính tan ; 12 u1 1 b) Cho dãy số u n 2 - 3 * Tính u2009. un 1 , n N 1 ( 3 - 2)u n Câu 2: (2 điểm): Giải và biện luận theo m phương trình lượng giác: 3 2m2 - 2m(cosx sinx) cosx - sinx. 2 Câu 3: (2 điểm): a) Trong hộp có 4 viên bi xanh, 6 viên bi đỏ và 9 viên bi vàng. Các viên bi chỉ khác nhau về màu sắc. Người ta lấy ngẫu nhiên 6 viên bi trong chúng. Tính xác suất để số viên bi xanh và bi đỏ bằng nhau. P b) Giải bất phương trình với hai ẩn n, k N: . n 5 60A k 2 (n - k)! n 3 Câu 4: (4điểm): Trong không gian, cho hai tia chéo nhau Ax và By. Các điểm M, N lần lượt thay đổi trên Ax, By sao cho AM = 2BN. Chứng minh rằng: a) Trung điểm I của đoạn MN thuộc một tia cố định. b) Đường thẳng MN luôn song song với một mặt phẳng cố định. DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI KHỐI 11 TRƯỜNG THPT HOÀI ĐỨC A MÔN TOÁN Câu Ý Trình bày nội dung Điểm 1 a) 2tan 1 1 tan 12 tan 2 2 3tan -1 0 ; 0,5 12 12 2 12 12 3 3 1 tan 12 tan - 3 - 2 0 (loai) 12 . Vậy tan 2 - 3 0,5 12 tan - 3 2 12 b) Viết lại dãy u1 1 u1 1 0,25 u n tan u n : (Câu a) u 12 u tan u n 1 n 1 n 12 1- u .tan n 12 αn arctanu n . Với 1 = arctan1 1 = . Từ đó: 0,5 4 u n tan n -1 4 12 2008 7 Tính ra được: u 2009 tan tan - cot - 2 3 0,25 4 12 12 12 2 Coi pt là ptb2 ẩn m, tính ra: ’ = (cosx - 1)(sinx + 1) 0 0,5 x Pt (cosx -1)(sinx 1) 0 4m2 - 4(cosx sinx)m 3 2(sinx - cosx) 0 0,5 sinx cosx (cosx -1)(sinx 1) 0 m 2 1 1 m - m 2 Giải ra được: 2 hoặc 0,5 x k2 x - k2 2 DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 1 1 m - 1 m 2 Kết luận: m ptVN0; 2 ; 0,5 2 x k2 x - k2 2 3 6 a) Số phần tử của không gian mẫu là  = C19 27132. 0,25 Gọi Ai, Bi là biến cố lấy được i viên bi xanh, đỏ. Biến cố 0,25 lấy được số viên bi xanh bằng bi đỏ là: T = A0B0  A1B1  A 2B2  A3B3 0 0 6 1 1 4 2 2 2 3 3 0 n(T) = C4C6C9 C4C6C9 C4C6C9 C4C6C9 6428. 0,25 Tính được P(T) 0,236915819 0,24. 0,25 b) k n Bpt 0,25 (n 5)(n 4)(n - k 1) 60 Với n 4 thì bpt VN0 0,5 Với n = 0, 1, 2, 3 có các N0: (0, 0), (1, 0), (1, 1), (2, 2), 0,25 (3, 3) 4 a) Kẻ tia Bx’ song song cùng chiều với tia Ax M x 0,5 Lấy điểm K Bx’ sao A ABKM là h.b.hành. I Trong mặt phẳng O z x’ phẳng (By, Bx’) K BK = 2BN nên trung 0,5 điểm J của NK luôn B J t nằm trên tia Bt cố N 1 định IJ // AB y 0,5 2 Gọi O là trung điểm AB thì tứ giác OBJI là h.b.hành nên điểm I thuộc tia Oz song song và cùng chiều với tia Bt. Vậy điểm I thuộc tia cố định Oz. 0,5 b) Trên tia Ax, By lần lượt lấy các điểm cố định M 0, N0 sao DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn AM BN MA NB cho AM0 = 2BN0 0,75 AM0 BN0 M 0M N0 N Theo định lý Ta lét đảo suy ra MN, M 0N0, AB thuộc ba 0,75 mặt phẳng song song theo thứ tự là ( ), (β), (). Mặt khác AB và M0N0 chéo nhau và hai mp(β), () lần lượt chứa chúng và song song với nhau nên (β), () cố 0,5 định. Vậy MN luôn song song với một mặt phẳng cố định. DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 12 Trêng THPT §Ò thi chän häc sinh giái khèi 11 THPT Gia ViÔn B M«n: To¸n.(§Ò gåm 1 trang) (Thêi gian lµm bµi 180 phót) Bµi I: (6®iÓm). 1) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: A = sin 8 200 sin 8 400 sin 8 800 . 2x x 2 y y 2 2) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh: 2y y z z 2 3 3z 3xz z x Bµi II: (5®iÓm). 6 2 1) Cho d·y sè (un) tho¶ m·n ®iÒu kiÖn: u , u 2 u víi mäi n=1, 2, Chøng 1 2 n 1 n n minh r»ng d·y sè (un) cã giíi h¹n vµ t×m Lim2 2 un . 14 6 x 2) Gi¶i ph¬ng tr×nh: 5 . 4 x 4 5x 1 x Bµi III: (6®iÓm). Cho h×nh chãp S.ABCD cã ®¸y ABCD lµ h×nh ch÷ nhËt, c¹nh bªn SA vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng (ABCD). C¹nh SC cã ®é dµi b»ng a, hîp víi ®¸y gãc vµ hîp víi mÆt bªn SAB mét gãc  . 1) TÝnh ®é dµi c¸c c¹nh SA, AB theo a, ,  . 2) Khi 300 , h·y x¸c ®Þnh sin  ®Ó diÖn tÝch ®¸y ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt. Bµi IV: (3®iÓm). 1 1 1 1 1 1 Cho c¸c sè thùc d¬ng a, b, c tho¶ m·n ®iÒu kiÖn: 15 10 2007 . a 2 b 2 c 2 ab bc ca T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc: 1 1 1 P . 5a 2 2ab 2b 2 5b 2 2bc 2c 2 5c 2 2ca 2a 2 HÕt DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ®¸p ¸n ®Ò thi chän häc sinh giái khèi 11 THPT M«n: To¸n.(§¸p ¸n gåm 3 trang). Bµi I: 1) Chøng minh 200, 400, 800 lµ c¸c nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: 4sin2(3x) = 3. 0,5® Do ®ã sin2200, sin2400, sin2800 lµ c¸c nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: 64t 3 96t 2 36t 3 0 . 0,5® Hay 4 sin2200, 4 sin2400, 4 sin2800 lµ c¸c nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: X 3 6X 2 9X 3 0 . (1) 2 0 2 0 2 0 §Æt X 1 4sin 20 , X 2 4sin 40 , X 3 4sin 80 . Khi ®ã X 1 , X 2 , X 3 lµ ba nghiÖm ph©n biÖt cña ph¬ng tr×nh (1), v× vËy theo ®Þnh lý Vi-et ta cã: X 1 X 2 X 3 6, X 1 X 2 X 2 X 3 X 3 X 1 9 . 0,5® 4 4 4 4 BiÓu thøc cÇn tÝnh ®îc viÕt l¹i lµ 4 A X 1 X 2 X 2 . HiÓn nhiªn X 1 , X 2 , X 3 lµ c¸c sè kh¸c kh«ng. Do X 1 , X 2 , X 3 lµ c¸c nghiÖm cña (1) nªn ta cã: 4 3 2 2 2 X 1 6X 1 9X 1 3X 1 6(6X 1 9X 1 3) 9X 1 3X 1 , t¬ng tù ®èi víi X 2 , X 3 ta cã ®îc: 4 2 2 2 4 . A 27(X 1 X 2 X 3 ) 51(X 1 X 2 X 3 ) 54 4 2 4 A 27(X 1 X 2 X 3 ) 2(X 1 X 2 X 2 X 3 X 3 X 1 ) 51.6 54 234 . 1,0® 117 Do ®ã A . 128 0,5® 2x y(1 x 2 ) 2 1 2) HÖ ®· cho ®îc viÕt l¹i lµ: 2y z(1 y ) . KiÓm tra thÊy x 1, y 1, z 3 2 3 3z z x(1 3z ) kh«ng tho¶ m·n hÖ, nªn: 0,5® DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 2x y 2 1 x 2y HÖ l¹i ®îc viÕt l¹i lµ: z 2 . §Æt x = tg(t) th× ta cã y = tg(2t), z = tg(4t) 1 y 3z z 3 x 1 3z 2 1,0® Do ®ã x = tg(12t). Do vËy: tg(t) = tg(12t) 12t = t + k ,k Z t k ,k Z . 11 1,0® k 2k 4k Nh vËy hÖ ®· cho cã c¸c nghiÖm lµ tg ,tg ,tg trong ®ã k = 0,1, ,10. 11 11 11 0,5® 5 Bµi II: 1) Ta cã u1 2sin 2cos . 12 12 0,5® 5 Tõ hÖ thøc truy håi b»ng ph¬ng ph¸p chøng minh quy n¹p ta cã ®îc un 2cos , n = 1, 6.2n 2, Tõ c«ng thøc x¸c ®Þnh sè h¹ng tæng qu¸t cña d·y, ta dÔ dµng chøng minh d·y sè cã giíi h¹n. 5 sin n 1 n 5 n 1 5 6.2 5 5 1,0® Lim2 2 2cos Lim2 sin Lim . 6.2n 6.2n 1 5 6 6 6.2n 1 1,0® 4 x 0 4 2) §iÒu kiÖn ®Ó ph¬ng tr×nh x¸c ®Þnh lµ: 4 5x 0 0 x . x 5 0 1 x 0,5® 14 6 x §Æt f (x) ,ta kiÓm tra ®îc f(x) lµ hµm ®ång biÕn trong kho¶ng [0; 4 x 4 5x 1 x 4/5). 1,0® MÆt kh¸c f(1/2) = 5 nªn x =1/2 lµ nghiÖm duy nhÊt cña ph¬ng tr×nh. 1,0® Bµi III: S 1) DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn A D O B C Do SA  (ABCD) nªn gãc gi÷a SC vµ mÆt ph¼ng (ABCD) lµ SCA . 0,5® Ta chøng minh ®îc r»ng BC  (SAB) do ®ã gãc  gi÷a SC vµ mÆt bªn (SAB) lµ  BSC . 0,5® ¸p dông hÖ thøc lîng trong tam gi¸c vu«ng SAC, SBC ta cã: SA asin , SB a cos , BC asin  . 1,0® ¸p dông ®Þnh lý Pitago cho tam gi¸c vu«ng SAB ta cã: AB SB 2 SA2 a cos 2  sin 2 . 1,0® 1 2) Khi 300 , ta cã diÖn tÝch h×nh ch÷ nhËt ABCD lµ S a 2 sin  cos 2  . 2 1,0® 2 2 2 2 4 2 2 4 2sin  2cos  1 1 4 4S a 2sin  (2cos  1) a a . 2 4 1,0® 1 1 DÊu “=” x¶y ra khi vµ chØ khi 2sin 2  2cos 2  1 sin 2  sin  . 4 2 1,0® Bµi IV: ¸p dông bÊt ®¼ng thøc gi÷a trung b×nh céng vµ trung b×nh nh©n ®èi víi 3 sè thùc d¬ng x, 1 1 1 9 y, z ta cã: , (1). DÊu “=” x¶y ra khi vµ chØ khi x = y = z. x y z x y z 0,5® Ta cã 5a 2 2ab 2b 2 (2a b) 2 (a b) 2 (2a b) 2 . DÊu “=” x¶y ra a = b. 1 1 1 1 1 1 Do ®ã . DÊu “=” x¶y ra a b . 5a 2 2ab 2b 2 2a b 9 a a b 1 1 1 1 1 1 T¬ng tù ta cã: . DÊu “=” x¶y ra b c . 5b 2 2bc 2c 2 2b c 9 b b c DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 1 1 1 1 1 1 . DÊu “=” x¶y ra c a . 5c 2 2ca 2a 2 2c a 9 c c a 1 1 1 1 V× vËy: P . 3 a b c 1,0® 2 1 1 1 1 1 1 1 Tõ c¸c bÊt ®¼ng thøc: . DÊu “=” x¶y ra a b c . a 2 b 2 c 2 3 a b c 2 1 1 1 1 1 1 1 . DÊu “=” x¶y ra a b c . ab bc ca 3 a b c 2 2 15 1 1 1 10 1 1 1 KÕt hîp víi gi¶ thiÕt ta cã ®îc: 2007 hay 3 a b c 3 a b c 1 1 1 6021 . DÊu a b c 5 a b c 1 6021 “=” x¶y ra 1 1 1 6021 a b c . 1,0® 3 5 a b c 5 1 6021 1 6021 VËy gi¸ trÞ lín nhÊt cña P b»ng ®¹t ®îc khi a b c . 3 5 3 5 0,5® DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 13 SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO HÀ NỘI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 11 TRƯỜNG THPT HAI BÀ TRƯNG Môn: Toán Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1:(6 điểm) 1). Giải phương trình: 2sinx.(1 + cos2x) + sin2x = 1+ 2cosx. 2). Tính các góc của tam giác ABC, biết rằng: 17 2sin A.cos B.sin C 3(cos A sin B cosC) . 4 Bài 2:(4 điểm) Một ngân hàng câu hỏi Toán có 30 câu hỏi khác nhau gồm: 5 câu hỏi khó, 10 câu hỏi trung bình và 15 câu hỏi dễ. Từ ngân hàng này lập một đề thi gồm 5 câu hỏi khác nhau. Tính xác suất để sao cho trong mỗi đề được chọn nhất thiết phải có đủ cả 3 loại câu hỏi (khó, trung bình, dễ) và số câu hỏi dễ không ít hơn 2? Bài 3: (6 điểm) Cho hình thang vuông ABCD có A = D = 900, AB = 2a, CD = a, AD = 3a và M là điểm bất kỳ thuộc đoạn thẳng AD. 1). Xác định vị trí của điểm M để hai đường thẳng BM và CM vuông góc với nhau. 2). Lấy điểm S thuộc đường thẳng vuông góc với mp(BCD) tại M sao cho SM = AM, xét mặt phẳng (P) qua điểm M và vuông góc với SA. Mặt phẳng (P) cắt hình chóp SABCD theo thiết diện là hình gì?. Tính diện tích của thiết diện theo a, x biết x = AM và 0 < x 3a?. Bài 4: (4 điểm) Cho dãy số (an) được xác định bởi: a1 = 1 và an + 1 = an + 2n – 1 với mọi n 1. Xét dãy số (bn) mà: bn = an + 1 – an với mọi n 1. 1). Chứng minh rằng dãy số (bn) là một cấp số cộng. Hãy xác định số hạng đầu và công sai của cấp số cộng đó. 2). Cho số nguyên dương N. Hãy tính tổng N số hạng đầu tiên của dãy số (bn) theo N. Từ đó, hãy suy ra số hạng tổng quát của dãy số (an). Hết DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO HÀ NỘI ĐÁP ÁN TRƯỜNG THPT HAI BÀ TRƯNG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 11 Môn: Toán Thời gian làm bài: 120 phút Bài 1: (6 điểm) 1). Ta có PT (2cosx + 1).(sin2x – 1) = 0 2 Đáp số: x k2 , x k (k Z) 3 4 2 2 2 3 3 3 2). Đẳng thức cos A sin B cosC 0 2 2 2 Đáp số: A = C = 300 ; B = 1200. Bài 2: (4 điểm) - Số đề thi thỏa mãn yêu cầu bài toán là: 56875. - Tổng số đề thi có thể có là: 142506. 625 - Xác suất cần tìm là: P . 1566 Bài 3: (6 điểm) 1). x = a và x = 2a có 2 vị trí của M thỏa ycbt. 2). – Thiết diện cần tìm là hình thang vuông MNEF(hình vẽ). 2(9a x)x - Diện tích cần tìm: S (0 < x 3a) S 12 F E A B M N D C Bài 4: (4 điểm) 1). Từ giả thiết bn = 2n – 1 (bn) là một cấp số cộng với số hạng đầu b1 = 1 và công sai d = 2. 2 2). + Tổng N số hạng đầu của dãy (bn) là: SN = N 2 + Số hạng tổng quát của dãy (an) là: an = n – 2n + 2. Hết DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 14 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 11 THÀNH PHỐ ĐÀ NẴNG ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi: TOÁN Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu I (2,0 điểm) 1) Giải phương trình lượng giác sin2 3xcos2x sin2 x 0. 2 x 2 y 8 2) Giải hệ phương trình 2 2 x 4 y y 4 x 4. Câu II (2,0 điểm) 1) Cho a, b, c là ba hằng số và (un ) là dãy số được xác định bởi công thức: un a n 1 b n 2 c n 3 (n ¥ *). Chứng minh rằng limun 0 khi và chỉ khi a b c 0. n 2) Các số a, b, c (theo thứ tự đó) lập thành một cấp số nhân có tổng bằng 26. Tìm các số đó, biết rằng: nếu một cấp số cộng có a là số hạng thứ nhất, b là số hạng thứ ba thì c là số hạng thứ chín. Câu III (2,0 điểm) n 1) Chứng minh rằng: với mọi số tự nhiên n, số 23 1 chia hết cho 3n 1 nhưng không chia hết cho 3n 2. 2) Từ tập hợp tất cả các số tự nhiên có năm chữ số mà các chữ số đều khác 0, lấy ngẫu nhiên một số. Tính xác suất để trong số tự nhiên được lấy ra chỉ có mặt ba chữ số khác nhau. Câu IV (3,0 điểm) 1) Cho hình hộp ABCD.A'B'C 'D'. Trên cạnh AB lấy điểm M khác A và B. Gọi (P) là mặt phẳng đi qua M và song song với mặt phẳng (ACD'). a) Trình bày cách dựng thiết diện của hình hộp và mặt phẳng (P). b) Xác định vị trí của M để thiết diện nói trên có diện tích lớn nhất. 2) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và M là trung điểm của SC. Một mặt phẳng (P) chứa AM và lần lượt cắt các cạnh SB, SD tại các điểm B', 4 SB' SD' 3 D' khác S. Chứng minh rằng:. 3 SB SD 2 Câu V (1,0 điểm) DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Khảo sát tính chẵn - lẻ, tính tuần hoàn và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y sin sin x . HẾT Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Chữ ký của giám thị 1: Chữ ký của giám thị 2: DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn CÂU NỘI DUNG ĐÁP ÁN ĐIỂM 1) Giải phương trình lượng giác sin2 3x cos 2x sin2 x 0. Câu I 2 x 2 y 8 2) Giải hệ phương trình 2 2 x 4 y y 4 x 4. 2,0 đ Có: sin 3x 3sin x 4sin3 x (3 4sin2 x)sin x (1 2cos 2x)sin x, 0,25 2 2 nên PT [(1 2cos 2x) cos 2x 1]sin x 0 0,25 (4cos3 2x 4cos2 2x cos 2x 1)sin2 x 0 I.1 2 2 (1,0đ) (1 cos 2x)(1 4cos 2x)sin x 0 0,25 sin x 0 x k 2 (với k nguyên) cos 2x 1 0,25 x 2cos 2u Điều kiện: x; y [ 2;2]. Đặt với u,v [0; 2 ] y 2cos 2v (1 cos 2u)(1 cos 2v) 2 HPT cos 2u sin 2v cos 2vsin 2u 1 0,25 2 2 sin u cosv 1/ 2 sin(u v) sin(u v) 2 sin u cos v 1/ 2 I.2 sin 2(u v) 1 u v u v (1,0đ) 4 4 0,25 sin(u v) 1/ 2 u v 4 u 4 (thỏa) u v 4 u v v 0 4 0,25 x 2cos 0 Kết luận: nghiệm hệ phương trình là 2 y 2cos0 2 0,25 1) Cho a, b, c là ba hằng số và un là dãy số được xác định bởi công thức: un a n 1 b n 2 c n 3 (n ¥ *). Chứng minh rằng limun 0 khi và chỉ khi a b c 0. Câu II n 2) Các số a, b, c (theo thứ tự đó) lập thành một cấp số nhân có tổng bằng 26. Tìm các số đó, biết rằng: nếu một cấp số cộng có a là số hạng thứ nhất, b là số hạng thứ ba thì c là số hạng thứ chín. 2,0 đ un n 2 n 3 Đặt vn a b c vn a b c khi n II.1 n 1 n 1 n 1 (1,00đ) Ta có: un vn n 1 0,25 cho nên: nếu a b c 0 thì lim un ( ) 0. n 0,25 DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Ngược lại nếu a b c 0 a b c thì khi n ta có b 2c un b n 2 n 1 c n 3 n 1 0 n 2 n 1 n 3 n 1 0,50 Gọi u1 a, u2 b, u3 c là ba số theo thứ tự lập thành một cấp số nhân có công bội q; (vn) là cấp số cộng có công sai d với v1 a,v3 b,v9 c . Khi đó ta có: u1 v1 a u1 v1 a u2 v3 b aq a 2d (1) Dễ thấy q = 1 d = 0, nên: 2 u3 v9 c aq a 8d (2) u1 u2 u3 26 3a 10d 26. (3) 0,50 II.2 26 (1,00đ) q = 1 a b c 3 0,25 Nếu q 1 (ad 0) hệ trên trở thành 2d a q 1 q 3 q2 4q 3 0 a = 2, b = 6, c = 18 a d 2 3a 10d 26 0,25 n 1) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n; số 23 1 chia hết cho 3n 1 nhưng không chia Câu hết cho 3n 2. III 2) Từ tập hợp tất cả các số tự nhiên có năm chữ số mà các chữ số đều khác 0, lấy ngẫu nhiên một số. Tính xác suất để trong số tự nhiên được lấy ra chỉ có mặt ba chữ số khác nhau. 2,0 đ 3n Đặt An = 2 1 1 1 2 n = 0 thì A0 = 2 1 = 3 chia hết cho 3 mà không chia hết cho 3 0,25 k 3 k+1 k+2 k+1 Giả sử Ak = 2 1chia hết cho 3 mà không chia hết cho 3 (Ak = B.3 ; với B nguyên, không chia hết cho 3).Ta có: 3 2 III.1 3k 1 3k 3k 3k 3k Ak+1 = 2 1 2 1 2 1 2 2 1 0,25 (1,0đ) 2 3k k 1 k 1 2 3k k 2 3 2k 1 3k Ak+1 Ak Ak 32 = B 3 B 3 32 = 3 B 3 B 2 0,25 k Dễ thấy: B3.32k 1 chia hết cho 3 mà B 23 không chia hết cho 3 (vì B không chia hết cho 3) k nên B2.32k 1 23 không chia hết cho 3 k+2 k+3 Ak+1 chia hết cho 3 , nhưng không chia hết cho 3 . Kết luận: 0,25 5 Ta có:  9 59.049 0,25 Ý.2 Gọi A là biến cố cần tìm xác suất, ta có: 3 (1,0đ) Số cách chọn 3 chữ số phân biệt a, b, c từ 9 chữ số thập phân khác 0 là C9 . Chọn 2 chữ số còn lại từ 3 chữ số đó, có 2 trường hợp rời nhau sau đây: TH1. Cả 2 chữ số còn lại cùng bằng 1 trong 3 chữ số a, b, c: có 3 cách; mỗi hoán vị từ 5! hoán vị của 5 chữ số (chẳng hạn) a, a, a, b, c tạo ra một số tự nhiên n; nhưng cứ 3! hoán vị 0,25 DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn của các vị trí mà a, a, a chiếm chỗ thì chỉ tạo ra cùng một số n, nên trong TH1 này có cả 5! thảy 3 60 số tự nhiên. 3! TH2. 1 trong 2 chữ số còn lại bằng 1 trong 3 chữ số a, b, c và chữ số kia bằng 1 chữ số khác trong 3 chữ số đó: có 3 cách; mỗi hoán vị từ 5! hoán vị của 5 chữ số (chẳng hạn) a, a, b, b, c tạo ra một số tự nhiên n; nhưng cứ 2! hoán vị của các vị trí mà a, a chiếm chỗ và 2! hoán vị của các vị trí mà b, b chiếm chỗ thì chỉ tạo ra cùng một số n, nên trong TH2 này có cả thảy 5! 3 90 số tự nhiên. 2!2! 9! Vậy:  (60 90)C3 150  150  7  4 3 12600 . A 9 3!6! 0,25  12.600 1.400 Kết luận: P A A 0,213382106  59.049 6.561 0,25 1) Cho hình hộp ABCD.A' B 'C ' D '. Trên cạnh AB lấy điểm M khác A và B. Gọi (P) là mặt phẳng đi qua M và song song với mặt phẳng (ACD '). a) Trình bày cách dựng thiết diện của hình hộp và mặt phẳng (P). Câu b) Xác định vị trí của M để thiết diện nói trên có diện tích lớn nhất. IV 2) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và M là trung điểm của SC. Một mặt phẳng (P) chứa AM và lần lượt cắt các cạnh SB, SD tại các điểm B', D' khác S. Chứng 4 SB ' SD ' 3 minh rằng: . 3 SB SD 2 3,0 đ IV.1.a (0,75đ) Trong mp(ABCD), qua M vẽ đường thẳng song song với AC cắt DB, BC lần lượt tại E, N. Trong mp(BDD’B’), qua E vẽ đường thẳng song song với D’O (O=ACBD) cắt B’D’ tại F. Trong mp(A’B’C’D’), qua F vẽ đường thẳng song song với AC cắt A’D’, D’C’ lần lượt tại R, Q. Trong mp(AA’D’D), qua R vẽ đường thẳng song song với AD’ cắt AA’ tại S. Trong mp(CC’D’D), qua Q vẽ đường thẳng song song với CD’ cắt CC’ tại P. 0,50 DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Thiết diện là lục giác MNPQRS 0,25 Do các mặt đối diên của hình hộp song song nên các cạnh đối của lục giác thiết diên MNPQRS song song và 3 cặp cạnh đó lần lượt song song với các cạnh tam giác ACD’. Các tam giác JKI, ACD’, RQI, JMS, NKP đồng dạng MJ MA NC NK PC PK QD ' QI MJ=NK và PK=QI MN MB NB NM PC ' PQ QC ' QP Các tam giác RQI, JMS, NKP bằng nhau (gọi diện tích của chúng là S 1 và gọi diện tích các tam giác JKI, ACD’ lần lượt là S2, S) 0,25 AM Đặt k; ta có điều kiện 0 k 1 và có: AB IV.1.b 2 2 2 S1 JM AM AM 2 2 (1,25đ) k S1 = k S S AC DC AB 0,25 2 2 2 S2 JK JM MK JM MK 2 2 k 1 S2 =( k + 2k +1)S S AC AC AC AC 0,25 Diện tích thiết diện: Std S2 3S1 2 2 1 3 1 3S 1 Std 2S( k k ) 2S k (dấu bằng xảy ra k ) 2 4 2 2 2 0,25 1 S lớn nhất k M là trung điểm của AB 2 0,25 S Lấy I = AMB'D' và O = ACBD, ta có: S, O, I là các điểm chung của 2 D' M mặt phẳng (SAC) và (SBD) S, O, I thẳng hàng. I Và I là trọng tâm các mặt chéo SAC D P C SI 2 O B' SO 3 A VI.2 N B (1,00đ) 0,25 SD SB Vẽ BP // B'I và DN // D'I P, N SO OP ON . Đặt x ; y SD ' SB ' SB SD SP SN 2SO 3 x y 2 3 x, y [1;2] (*) SB ' SD ' SI SI SI 2 0,25 2 1 1 3 2 4 Suy ra: 3 x y xy x y 3 0,25 Từ (*): 1 x 2 x2 3x 2 0 x(3 x) 2 x  y 2 3 3 x y 3 1 1 3 xy 2 xy 2 x y 2 0,25 DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Khảo sát tính chẵn – lẻ, tính tuần hoàn và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số Câu V y sin sin x . 1,0đ Tập xác định của hàm số y f (x) sin sin x là D ¡ (đối xứng qua 0) x ¡ , f ( x) f (x). Vậy, f chẵn (f không lẻ vì nó không đồng nhất bằng 0) 0,25 V x ¡ , f (x 2 ) f (x). Vậy, f tuần hoàn 0,25 (1,0đ) Tập giá trị của hàm số t sin x là 0;  nên 0,25 min f min sin t 0, max f max sin t 1 0 t 0 t 0,25 DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 15 SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 11 THPT ————————— ĐỀ THI MÔN: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC (Dành cho học sinh THPT chuyên Vĩnh Phúc ) Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề. ———————————— Câu I (4 điểm) 1. Giải phương trình: 3 1 cos2 x 3 1 sin x.cos x sin x cos x 3 0 x2 2y2 1 2 2 2. Giải hệ phương trình: 2y 3z 1 x, y, z ¡ xy yz zx 1 Câu II (2 điểm) Giả sử A, B,C, D lần lượt là số đo các góc D· AB, ·ABC, B· CD,C· DA của tứ giác lồi ABCD bất kì. A B C 1. Chứng minh rằng sin A sin B sin C 3sin . 3 A 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P sin sin B sin C sin D . 3 Câu III (1 điểm) Gọi A là tập hợp các số tự nhiên có tám chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên thuộc vào tập A. Tính xác suất để chọn được một số thuộc A và số đó chia hết cho 9 . Câu IV (2,0 điểm) Cho tam giác ABC. Phân giác trong của các góc A, B, C cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC lần lượt tại các điểm A1, B1,C.1 Đường thẳng AA cắt1 đường thẳng C Ctại1 điểm ; I đường thẳng AA1 cắt đường thẳng BC tại điểm N ; đường thẳng B Bcắt1 đường thẳng A1C1 tại điểm P . Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác IPC1 . Đường thẳng OP cắt đường thẳng BC tại điểm M. Biết rằng BM MN và B· AC 2·ABC . Tính các góc của tam giác ABC. Câu V (1 điểm) 1 Cho hàm số f : 0; 0; thỏa mãn điều kiện f 3x f f 2x 2x với mọi 2 x 0 . Chứng minh rằng f x x với mọi x 0 . Hết Chú ý: Giám thị coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: SBD: DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI CHỌN HSG LỚP 11 VÒNG TỈNH TỈNH VĨNH PHÚC HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN (Dành cho học sinh các trường THPT chuyên) Đáp án gồm 5 trang Câu Nội dung Điểm I I.1 (2 điểm) 4điểm 3 1 cos2 x 3 1 sin x.cos x sin x cos x 3 0 0,5 3 cos2 x 1 3 sin x.cos x cos2 x sin x.cos x sin x cos x 0 3 sin2 x 3 sin x.cos x cos2 x sin x.cos x sin x cos x 0 3 sin x sin x cos x cos x sin x cos x sin x cos x 0 0,5 sin x cos x 3 sin x cos x 1 0 2 sin x 0 sin x cos x 0 4 0,5 3 sin x cos x 1 1 sin x 6 2 x k 4 x k 4 x k2 x k2 k ¢ 6 6 0,5 2 5 x k2 x k2 3 6 6 I.2 (2 điểm) +) Nếu x 0 thay vào hệ ta có hệ vô nghiệm 0,25 +) Nếu x 0 ta đặt y ax; z bx thay vào hệ ta được 0,25 x2 1 2a2 1 2 2 2 2 2 1 2a 2a 3b 4a 3b 1 1 x2 2a2 3b2 1 2 2 0,5 1 2a a ab b 2a a 1 b a 1 0 x2 a ab b 1 a 1 2 2 2 2 4a 3b 1 4a 3b 1 b 1 a 1 2a 1 b a 1 0 a 1 2a 1 b 0 b 1 2a 2 0,5 2a 3a 1 0 a 1 +) Nếu thay vào (1) không thỏa mãn b 1 0,25 DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn a 1 b 1 b 1 2a a 1 +) Nếu thay vào (1) không thỏa mãn, thay 2 1 2a 3a 1 0 a b 1 2 b 0 1 a 0,25 2 vào (1) ta có x 2 . Do đó nghiệm của hệ là b 0 1 1 x; y; z 2; ;0 , 2; ;0 2 2 II II.1 (1 điểm) 2điểm x y Nhận xét. Nếu 0 x,0 y; thì 2 x y x y x y sin x sin y 2sin cos 2sin . Dấu bằng xảy ra khi x y 0,25 2 2 2 Sử dụng nhận xét trên ta có A B C A B A B 4C sin A sin B sin C sin 2sin 2sin 3 2 6 0,5 A B A B 4C A B C 4sin 2 6 4sin 2 3 A B C sin A sin B sin C 3sin . Dấu bằng xảy ra khi A B C . 0,25 3 II.2 (1 điểm) B C D 2 0,25 Đặt t , ta có A 2 3t; t 1 3 3 3 Khi đó theo phần II.1 ta có 0,25 2 3t 3 5 P sin 3sin t cost sin t 3 2 2 2 2 3 5 2 2 Khi đó P sin t cos t 7 0,25 2 2 3 5 Đẳng thức xảy ra khi cost ; sin t 2 28 28 0,25 Vậy max P 7 B C D t, A 2 3t (với t xác định bởi (1) và (2)) III +) Trước hết ta tính n(A). Với số tự nhiên có tám chữ số đôi một khác nhau 7 1điểm thì chữ số đầu tiên có 9 cách chọn và có A9 cho 7 vị trí còn lại. Vậy 7 0,25 n A 9A9 +) Giả sử B 0;1;2; ;9 ta thấy tổng các phần tử của B bằng 459 nên số có DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn chín chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 9 sẽ được tạo thành từ 8 chữ số đôi một khác nhau của các tập B \ 0; 9; B \ 1; 8; B \ 2; 7; B \ 3; 6; B \ 4; 5 0,5 8 7 nên số các số loại này là A8 4.7.A7 . 8 7 A8 4.7.A7 1 Vậy xác suất cần tìm là 7 . 9.A9 9 0,25 IV * Dễ thấy I·PC 900 , do đó O là trung điểm của IC . 0,5 2điểm 1 1 * I·OP 2I·C P C· AB C· C B BC // OP 1 1 1 0,5 * Do BM=MN; OI OC1 IN // C1B 1 Do đó C· IA B· AC , mà C· IA B· AC ·ACB 1 1 2 0,5 1 Vậy B· AC B· AC ·ACB B· AC ·ACB 2 Cùng với B· AC 2·ABC ta được B· AC ·ACB 720 ; ·ABC 360 C A1 N B1 I M 0,5 P B A O C1 V 1 f (3x) f f (2x) 2x (1) 1điểm 2 1 2x 2x 2x 0,25 Từ (1) suy ra f (x) f f f (x) , x 0 (2) 2 3 3 3 Khi đó 1 2x 2x 2 1 2x 2x 1 2x 2x 4 2 f (x) f f . f f x 2 3 3 3 2 3 3 3 3 3 27 3 0,25 2 1 2 Xét dãy (a ) , (n=1,2, ) được xác định như sau: a và a a2 . n 1 3 n 1 3 n 3 DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp theo n rằng với mỗi n ¥ * luôn có f (x) an x với x 0 (3) Thật vậy, khi n 1 thì theo (2), ta có ngay (3) Giả sử mệnh đề (3) đúng với n k . Khi đó 1 2x 2x 1 2x 2x 1 2x 2x f (x) f f a . f a .a . 0,25 2 3 3 2 k 3 3 2 k k 3 3 a2 2 k .x a .x 3 k 1 Vậy (3) đúng với n k 1. * Tiếp theo ta chứng minh lim an 1. Thật vậy, ta thấy ngay an 1 n ¥ . Do đó: 1 a a (a 1)(a 2) 0, suy ra dãy (a ) tăng ngặt. n 1 n 3 n n n 0,25 1 2 Dãy (a ) tăng và bị chặn trên nên hội tụ. Đặt lim a l thì l l 2 với l 1, n n 3 3 suy ra l 1. Vậy lim an 1.Do ®ã tõ (3) suy ra f (x) x víi mäi x 0 (®pcm). DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 16 SÔÛ GIAÙO DUÏC VAØ ÑAØO TAÏO BÌNH ÑÒNH ÑEÀ THI CHON HOÏC SINH GIOÛI LÔÙP 11 TRÖÔØNG THPT CHUYEÂN LEÂ QUYÙ ÑOÂN Moân: Toaùn o0o Thôøi gian: 150 phuùt Baøi 1. Chöùng minh raèng vôùi moïi soá thöïc a, b, c thì phöông trình sau luoân coù nghieäm: acos4x + bcos2x + csin2x = 0 ˆ Baøi 2. Cho hình choùp S.ABCD thoaû ASB BSC CSA vaø caùc maët beân coù dieän tích baèng nhau. Xeùt haøm sin x neáu 0 x 2 f(x) x 2 cos 1 neáu x 2 2 Tìm max [f(A) + f(B) + f(C)], vôùi A, B, C laø soá ño caùc goùc tam giaùc ABC. Baøi 3. Cho daõy (un) vaø (vn) ñöôïc xaùc ñònh nhö sau: n un+1 – 3un = 2 u1 = 1 n n vn = a + (m + 1)2 – 3 + un. a, m N* vaø a  1(mod 8) Chöùng minh raèng daõy (vn) coù chöùa ít nhaát moät soá chính phöông. Baøi 4. Caùc soá thöïc a, b, c, d thoaû 0 a b c d 1 2 d 3 a b c 2 d 1 b c Chöùng minh raèng: a4 + b4 + c4 – d4 17. o0o DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn HÖÔÙNG DAÃN CHAÁM Baøi 1 (5ñ). Xeùt phöông trình acos4x + bcos2x + csin2x = 0 (1) 1) Neáu b = c = 0 thì (1)  acos4x = 0 (ñieàu kieän baøi toaùn thoaû). 2) Neáu b2 + c2 > 0 (2) Ñaët f(x) = acos4x + bcos2x + csin2x thì f(x) luoân xaùc ñònh vaø lieân tuïc vôùi moïi x. Ta caàn chöùng minh toàn taïi , sao cho f( )f() 0 (*) Töø (2) ta coù (c+b)2 + (c-b)2 > 0. Do ñoù ñeå chöùng minh (*) ta xeùt 2 tröôøng hôïp: a) Neáu b+c 0 , ñeå choïn ,  ta xeùt 2 nghieäm cuûa phöông trình sin2x = cos2x 2 f( ) (a b) 8 2 5 Ta coù f( ).f( ) 0 5 2 8 8 f( ) (a b) 8 2 b) Neáu b-c 0 ta xeùt phöông trình sin2x = - cos2x 3 2 f( ) (a b) 8 2 3 7 Ta coù f( ).f( ) 0 7 2 8 8 S f( ) (a b) 8 2 c Vaäy trong moïi tröôøng hôïp (*) ñöôïc chöùng minh. Baøi 2 (5ñ). a Ñaët ASB ,BSC ,CSA  b C thì   vaø SA = a, SB = b, SC = c. A Töø giaû thieát ta coù absin bcsin casin  B sin sin sin  (2) c a b Döïng tam giaùc PQR coù P PQR ,PRQ ,RQ b Söû duïng ñònh lí sin ta chöùng minh ñöôïc PQ = a, PR = c.  Do ñoù tam giaùc PQR baèng caùc maët Q b R beân cuûa hình choùp. Do ñoù SA = BC = a, SB = CA = b, SC = AB = c. Vaäy SABC laø töù dieän gaàn ñeàu, do ñoù tam giaùc ABC nhoïn. Töø ñoù coù 3 3 f(A) + f(B) + f(C) = sinA + sin B + sinC . 2 DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 3 3 Do ñoù max [f(A) + f(B) + f(C)] = khi SABC laø töù dieän ñeàu. 2 Baøi 3. (2ñ) n n Söû duïng phöông trình sai phaân ta ñöôïc un = 3 – 2 n Do ñoù vn = a + m.2 Ñeå cm baøi toaùn ta cm boå ñeà: Vôùi k, n N* vaø n 3 thì taäp k n A = at t 1 vôùi at = t(2t+1) vaø k = 2 laø heä thaëng dö ñaày ñuû (mod k) (*). Ta cm phaûn chöùng: Giaû söû 1 i j k (1) thì ai – aj  k i(2i 1) j(2j 1)k (i j)[2(i j) 1]k 2n (i j)k (do 2(i j) 1 leû) i j k maâu thuaãn (1) Vaäy (*) ñöôïc cm. Söû duïng (*) ta giaûi baøi toaùn: Töø (*) thì l = 2s vôùi s 3 luoân coù heä thaëng dö ñaày ñuû chöùa caùc phaàn töû daïng 2t(2t 1) i(i 1) t(2t+1) = 2 2 Do ñoù vôùi moïi t thuoäc N* thì toàn taïi I sao cho i(i 1) t  (mod 2s ) (s 3) 2 Do a 1 (mod 8) neân a = 8t + 1  4i(i+1) +1 (mod 2s)  (2i + 1)2 (mod 2s). Do ñoù a – (2i + 1)2 = j.2s  (2i + 1)2 = a - j.2s vôùi j thuoäc N* vaø s 3.  b2 = a – j.2s, b thuoäc N* . Baøi toaùn ñöôïc chöùng minh. Baøi 4 (5ñ). Aùp duïng Coâsi cho 4 soá ta coù 1 + 3a4 4a3 (1) 24 + 3b4 8b3 (2) d4 + 3c4 4dc3 (3) Coäng laïi ta coù 17 + 3(a4+b4+c4) + d4 4a3 + 8b3 + 4dc3 (4) 1 2 d 2 d d Ñaët , , thì a b c b c c DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 4a3+8b3+4dc3 = 4a4(  ) + 4b4(  )+4c4  = 4a4 + 4(b4-a4) +4(c4-b4)  12a4 + 8(b4-a4) +4(c4-b4) = 4(a4 + b4 + c4). (ñpcm). DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 17 ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 11 CẤP TRƯỜNG Môn : TOÁN Thời gian làm bài : 150 phút , không kể thời gian phát đề Câu 1 ( 2,0 điểm). Giải phương trình sau: x2 x 2013 2013 Câu 2 ( 3,0 điểm). Cho phương trình (2sin x 1)(2cos 2x 2sin x m) 1 2cos2x ( Với m là tham số) a, Giải phương trình với m = 1 b, Tìm m để phương trình có đúng 2 nghiệm thuộc 0;  Câu 3 (5,0 điểm). x2 y2 3x 4y 1 a, Giải hệ phương trình : 2 2 3x 2y 9x 8y 3 n 4 3 5 1 b, Tìm hệ số của x trong khai triển sau: nx 3 biết n là số nguyên thoả mãn hệ x thức 2C1 C 2 n2 20 . n n Câu 4 .(4,0 điểm). Cho A, B, C là ba góc của tam giác ABC. cos B cosC a, Chứng minh rằng tam giác ABC vuông nếu : sin A sin B sin C sin2 A sin2 B sin2 C b, Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: M cos2 A cos2 B cos2C 2 2 Câu 5 (3,0 điểm). Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C1) : x y 13,đường tròn (C2) : (x 6)2 y2 25 . a, Tìm giao điểm của hai đường tròn (C1) và (C2) . b, Gọi giao điểm có tung độ dương của (C 1) và (C2) là A viết phương trình đường thẳng đi qua A cắt (C1) và (C2) theo hai dây cung có độ dài bằng nhau. Câu 6 (3,0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a ,cạnh SA = a và vuông góc với mặt phẳng (ABCD) . a, Chứng minh rằng các mặt bên của hình chóp là những tam giác vuông. b, M là điểm di động trên đoạn BC và BM =x ,K là hình chiếu của S trên DM . Tính độ dài đoạn SK theo a và x . Tính giá trị nhỏ nhất của đoạn SK. . Hết DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Họ và tên thí sinh: SBD: ĐÁP ÁN THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 11 CẤP TRƯỜNG Môn : TOÁN Câu Đáp án Điểm Câu 1 x2 x 2013 2013 . ĐK x 2013 0,25 Đặt t x 2013 ( với t t 0) t 2 x 2013 t 2 x 2013 . Ta có hệ PT: 0,5 x2 t 2013 (x t)(x t 1) 0 2 0,5 t x 2013 1 8053 + Với x +t =0 ta được t = -x x 2013 x . Giải ra ta được x là 2 0,25 nghiệm. + Với x – t +1 = 0 ta được : x +1 = t x 1 x 2013 . Giải ra ta được 0,25 1 8049 x là nghiệm 2 0,25 1 8053 1 8049 Đáp số : x , x 2 2 Câu 2 (2sin x 1)(2cos 2x 2sin x m) 1 2cos2x a , Với m =1 ta được phương trình : (2sin x 1)(2cos 2x 2sin x 1) 1 2cos2x (2sin x 1).cos2x 0 0,5 1 5 + sin x x k2  x k2 1,5 2 6 6 + cos 2x 0 x k 0,5 4 2 b, Phương trình đã cho tương đương với : (2sin x 1)(2cos 2x m 1) 0 0,25 1 5 Với sin x x  x 0;  0,25 2 6 6 Để phương trình đã cho có đúng 2 nghiệm thuộc 0; thì phương trình : 0,25 1 m 5 cos2x vô nghiệm hoặc có hai nghiệm x ; x .Từ đó ta được m 3 v m =0 . 0,25 x2 y2 3x 4y 1 x2 3x y2 4y 1 x2 3x 1 0 0,5 Câu 3 2 2 2 2 2 0,5 3x 2y 9x 8y 3 3(x 3x) 2(y 4y) 3 y 4y 0 0,5 3 13 3 13 3 13 3 13 0,5 Ta được nghiệm của hệ là : ;0 ; ;4 ; ;0 ; ;4 ; 0,5 2 2 2 2 DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Câu 4 n 4 3 5 1 , Tìm hệ số của x trong khai triển sau: nx 3 biết n là số nguyên thoả mãn x hệ thức 2C1 C 2 n2 20 . n n Từ hệ thức 2C1 C 2 n2 20 . Đk n 2,n Z n2 3n 40 0 n 8 n 5 n n 0,5 Ta được n= 8 thoả mãn . 0,5 8 8 1 1 k 8 40 14k Ta có : 3 8x5 2 3 x5 C k .28 k.x 3 . Khai triển chứa x4m 3 3  8 0,5 x x k 0 40 14k 4 k 2. 0,5 3 0,5 4 2 6 Vậy hệ số của x là C8 .2 1792 Câu 5 cos B cosC a, Chứng minh rằng tam giác ABC vuông nếu : sin A sin B sin C A 0,5 sin cos B cosC A A A 0,5 Từ sin A 2sin .cos 2 2cos2 1 cos A 0 Â là góc A 0,5 sin B sin C 2 2 cos 2 2 0,5 vuông.Vậy tam giác ABC vuông tại A. sin2 A sin2 B sin2 C sin2 A sin2 B sin2 C b, M M 1 1 cos2 A cos2 B cos2C cos2 A cos2 B cos2C 0,5 3 2 2 2 3 M 1 cos A cos B cos C . Biến đổi về 0,25 cos2 A cos2 B cos2C M 1 3 cos2C cosC.cos(A B) 1 0 0,25 M 1 2 3 3 2 0,25 cos (A B) 4 1 0 4 1 cos (A B) 1 M 1 M 1 3 1 0,25 1 M 3 M 1 4 0,25 2 cos (A B) 1 0,25 0 M 3 1 A B C 60 cosC cos(A B) 2 0,25 Vậy MaxM = 3 khi tam giác ABC đều. 0,25 (C1) cú tõm O(0;0),bỏn kớnh R1 13 DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 0,25 (C2) cú tõm I(6;0),bỏn kớnh R2 5. Giao điểm của (C1) và (C2) là A (2;3) và B(2;-3).Vỡ A cú tung độ dương nên 1,0 A(2;3) Vỡ A cú tung độ dương nên A(2;3) 0,25 Đường thẳng d qua A có pt:a(x-2)+b(y-3)=0 hay ax+by-2a-3b=0 Gọi d d(O,d);d d(I,d) 1 2 0,25 2 2 2 2 2 2 Yờu cầu bài toỏn trở thành: R2 d2 R1 d1 d2 d1 12 2 2 0,25 (4a 3b) (2a 3b) 2 b 0 2 2 2 2 12 b 3ab 0 a b a b b 3a *b=0 ,chọ a=1,suy ra pt d là:x-2=0 0,25 *b=-3a ,chọ a=1,b=-3,suy ra pt d là:x-3y+7=0 a, SA vuông góc với mp(ABCD) nên S 0,25 SA vuông góc với AB và AD. Vậy các tam giác SAB và SAD vuông tại A 0,25 Lại có SA vuông góc với (ABCD) và AB Vuông góc với BC nến SB vuông góc với BC 0,25 Vởy tam giác SBC vuông tại C. A 0,25 Tương tự tam giác SDC vuông tại D. b, Ta có BM =x nên CM = a- x D 0,25 AKD : DCM K 0,25 (vì có AKˆD DCˆM 900 , DAˆK CDˆM ) AK AD AD 0,25 AK DC. B M C DC DM DM 0,25 a2 = . Tam giác SAK vuông tại A nên 0,25 x2 2ax 2a2 2 2 0,25 2 2 x 2ax 3a SK SA AK a 2 2 . x 2ax 2a 0,25 a 6 SK nhỏ nhất khi và chỉ khi AK nhỏ nhất K  O x 0 SK nhỏ nhất 2 0,25 Hết Ghi chú: - Nêú học sinh làm theo cách khác mà đúng vẫn cho điểm tối đa - Chỉ chấm bài hình khi học sinh vẽ hình đầy đủ và chính xác DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 18 ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 11 (cấp trường) MÔN: TOÁN THỜI GIAN LÀM BÀI:150 PHÚT Câu1 (4Điểm) 1 tan x Cho phương trình: cos4x 4 m 2 1 tan2 x 1 1.Giải phương trình với m = 2 2.Tìm m để phương trình có nghiệm x 0; . 4 Câu2(3Điểm) Giải hệ phương trình: x y x y 2 y x y x 1 Câu3 (6Điểm) (x2 2014)2014 1 2014x 2014 1.Tính: lim x 0 x 2008 2 10 2.Cho khai triển: 1 x(1 x ) Tính hệ số của x Câu4: (3Điểm) Tìm các điểm tại đó hàm số: x cos voi x 0 y= x không có đạo hàm 0 voi x 0 Câu5: (4Điểm) Cho tứ diện ABCD có các cạnh: BC = DA = a; CA = DB = b; AB = DC = c. 1.Tính thể tích tứ diện ABCD. 2.Chứng minh rằng: 1 1 1 9 (S là diện tích toàn phần của tứ diện) a2b2 b2c2 c2a2 S 2 .Hết DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 11 MÔN: TOÁN THỜI GIAN LÀM BÀI:150 PHÚT CÂU NỘI DUNG ĐIỂM 1/1 0,5 *Tập xác định:x k 2 *PT tương tương: sin22x-2sin2x+m-1/2=0 0,5 1)Với m=1/2:Thay PT ta được: sin22x-2sin2x=0 sin 2x 0 0,5 sin 2x 2 0,5 k 1/2 x= kết hợp điều kiện nghiệm : x=k 2 0,5 1,0 2)*Đặt t=sin2x do x (0; ) nên 0<t<1 ta được: 4 0,5 t2-2t-1/2=-m với 0<t<1 2 *Xét HS: y=t2-2t-1/2 với 0<t<1 suy ra:-3/2<y<-1/2 (Yêu cầu HS lập bảng) *Để PT có nghiệm khi và chỉ khi 1/2<m<3/2 0,5 x 0 y 0 *Điều kiện: 1,0 x y 0 y x 0 *Hai vế của PT của hệ không âm,bình phương 2vế ta được: 1,0 2 x y 2 x 2 2 y x 2y 1 0,5 x 2 3/1 y 1/ 2 4x y 4 0 1,0 4x 4y 1 0 1,0 x 17 /12 là nghiệm của hệ 1,0 y 5/ 3 (x2 2014)2014 1 2014x 2014 1,0 1) lim = x 0 3/2 x 1,0 (x2 2014)2014 1 2014x (x2 2014) x2 lim x 0 x (x2 2014)(2014 1 2014x 1) x2 = lim = 1,0 x 0 x DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 4 2014 lim(x2 2014) x 0 2014 (1 2014x)2013 2014 (1 2014x)2012 1 0,5 =-2014 0,5 2008 2008 k 2008 2 k 3 k k i k i 3 i 2) 1 x(1 x ) =  c2008 (x x ) c2008ck x ( x ) = k 0 k 0 i 0 2008 k k i k 2i i c2008ck x ( 1) k 0 i 0 k 2i 10 *Hệ số chứa x10 ứng với 0 i k 2008 suy ra: 0 i 10 / 3 Vậy i=0;1;2;3 0,5 i N;k N i 0 k 10 i 1 k 8 * Vậy hệ số chứa x10 là: c10 c0 c8 c1 c6 c2 c4 c3 i 2 k 6 2008 10 2008 8 2008 6 2008 4 i 3 k 4 0,5 *Hàm số có đạo hàm tại các điểm x với x 0 và cos 0 Hay HS có đạo hàm tại các x 0,5 điểm x 0 và x 2/ (2k+1) 0,5 *Tại x=0: lim y lim cos Không tồn tại giới hạn.(Yêu cầu chứng minh cụ thể) 0 0 x x x x *Tại điểm x=2/(2k+1) 2 2 y( ) y( ) x lim y lim 2k 1 2k 1 0 0 x x x x 2 (2k 1) (2k 1) lim cos cos 0 x (2k 1) x 2 (2k 1) x 2 (2k 1) x 2 1 (2k 1) = lim cos 0 2k 1 x x 2 (2k 1) x 5/1 y 2 1 (2k 1) + lim lim sin (2k 1) ) = 0 0 x x 2k 1 x x 2 (2k 1) x 2 0,5 2 1 (2k 1)2 lim sin x 0 2k 1 x x 22 (2k 1) x  2 1 (2k 1)2 2 (2k 1)2 = lim sin x = (2k 1) 1,0 0 2k 1 x x 22 (2k 1) x  2k 1 4 2 0,5 + lim y (2k 1) (tương tự) 5/2 x 0 x 2 0,5 Vậy không tồn tại giới hạn tại điểm x=2/(2k+1) DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn *Tóm lại HS không có đạo hàm tại x=0 và x=2/(2k+1) A 1,0 0,5 D G E C B F 1) *Qua điểm B;C;D dựng các đường thẳng song song các cạnh tam giác BCD như hình vẽ suy ra AD=DE=DG=a;AB=BE=BF=c;AC=CF=CG=b Vậy tam giác AEF;AG F;AGE vuông tại A 2 2 2 AE 2(a2 c2 b2 ) AE AF 4c 2 2 2 2 2 2 * AF AG 4b AF 2(b c a ) 2 2 2 AG AE 4a AG 2(a2 b2 c2 ) 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 *VABCD=1/4VAEG F= AE.A F.AG= (a b c )(b c a )(c a b ) 24 12 2)*Diện tích các mặt của tứ diện bằng nhau và bằng abc/4R=S/4 *BĐT tương đương a2+b2+c2 9R2 *Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC  2  2  2       a2+b2+c2= BC CA AB (OC OB)2 (OA OC)2 (OB OA)2       =6R2-2(OB.OC OCOA OAOB )    =9R2-(OA OB OC )2 9R2     *Dấu bằng xảy ra khi OA OB OC O O trùng trọng tâm G tam giác ABC tam giác ABC đều ABCD là tứ diện đều. DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 19 ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 11 CẤP TRƯỜNG MÔN TOÁN Thời gian làm bài 120 phút Câu 1: ( 2 ,5 điểm) Giải phương trình : cosx.cos2x = 1/4 Câu 2: ( 2 ,5 điểm) Tìm tất cả số nguyên x sao cho x +3 chia hết cho x2 +1 Câu 3: ( 2 ,5 điểm) Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn. Xác định điểm M bên trong tam giác sao cho MA + MB + MC nhỏ nhất. Câu 4: ( 2 ,5 điểm) Cho a,b,c là ba số dương và a+b+c = 3. Chứng minh rằng: 3 3a 5b 3 3b 5c 3 3c 5a 6 ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM Câu1: x=kπ không phải là nghiệm.nhân thêm sinx vào hai vế để đưa về pt sin4x=sinx (1 điểm) Suy ra x=k2π/3 ; x=π/5 +k2π/5 (1 điểm) vì x≠kπ nên pt có các nghiệm x=±2π/3 +k2π; x=±π/5 +k2π; x=±3π/5 +k2π (1/2 điểm) Câu2: x+3 chia hết cho x2+1 suy ra ( x+3 )(x-3)chia hết cho x2+1 (1 điểm) x2+1-10 chia hết cho x2+1 -10 chia hết cho x2+1 (1 điểm) Từ đó tìm được x=0, x=-1, x=1, x=2 (1/2 điểm) Câu3: Dùng phép quay quanh A với góc quay 600 biến M thành M’; C thành C’ (1 điểm) Ta có MA+MB+MC = BM+MM’+M’C’ MA+MB+MC bé nhất khi bốn điểm B,M,M’,C’ thẳng hàng. (1 điểm) Khi đó góc BMA=1200, góc AMC=1200 DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Ta được vị trí của M trong tam giác ABC (1/2 điểm) Câu4: 1 1 3a 5b 8 8 3 3a 5b 3 (3a 5b)8.8 (2 4 4 3 điểm) Tương tự Rồi cộng vế theo vế ta được điều cần chứng minh (1/2 điểm) DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 20 KỲ THI CHỌN HSG LỚP 11 THPT ĐỀ THI MÔN: TOÁN (Dành cho học sinh THPT không chuyên) Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề Câu 1. Giải phương trình sin 2x 3 cos 2x 2 3 sin x cos x 1 3 . Câu 2. 2 2013 a) Xét khai triển: 1 x 1 2x 1 2013x a0 a1x a2 x a2013 x . Tính 1 2 2 2 a2 1 2 2013 . 2 b) Chọn ngẫu nhiên một số có 4 chữ số đôi một khác nhau. Tính xác suất để số được chọn không nhỏ hơn 2013. Câu 3. a) Cho dãy số un được xác định như sau: un u1 1, u2 3,un 2 2un 1 un 1, n 1,2, Tính lim . n n2 b) Cho phương trình: m x 1 x3 4x x3 3x 1 0 ( x là ẩn, m là tham số). Chứng minh với mọi giá trị thực của m phương trình đã cho có ít nhất ba nghiệm thực phân biệt. Câu 4. a) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Chứng minh mặt phẳng A' BD song song với mặt phẳng CB ' D ' . Tìm điểm M trên đoạn BD và điểm N trên đoạn CD’ sao cho đường thẳng MN vuông góc với mặt phẳng (A’BD). b) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a . Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AD, BB’, C’D’. Xác định thiết diện cắt bởi mặt phẳng (MNP) với hình lập phương ABCD.A’B’C’D’, tính theo a diện tích thiết diện đó. Câu 5. Cho a,b,c là các hằng số thực và P x ax3 bx2 cx . Tìm tất cả các số a,b,c sao cho P 2 26 và P x 1 với mọi số thực x sao cho x 1. Hết DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay. KỲ THI CHỌN HSG LỚP 11 THPT ĐÁP ÁN MÔN: TOÁN (Dành cho học sinh THPT không chuyên) I. LƯU Ý CHUNG: - Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có. Khi chấm bài học sinh làm theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa. - Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn. - Với bài hình học nếu thí sinh không vẽ hình phần nào thì không cho điểm tương ứng với phần đó. II. ĐÁP ÁN: Câu Nội dung trình bày Điểm 1(2đ) Ta có sin 2x 3 cos 2x 2 3 sin x cos x 1 3 2sin x.cos x cos x 3 1 2sin2 x 2 3 sin x 3 1 0 0,5 cos x 2sin x 1 2sin x 1 3 sin x 1 0 2sin x 1 cos x 3 sin x 1 0 1 sin x 0,5 2 3 sin x cos x 1 x k2 1 6 +) sin x k ¢ 2 5 0,25 x k2 6 3 1 1 1 +) 3 sin x cos x 1 sin x cos x sin x 2 2 2 6 2 0,25 x k2 6 6 x k2 3 k ¢ 0,5 5 x k2 x k2 6 6 Vậy phương trình đã cho có các họ nghiệm là 5 x k2 , x k2 , x k2 , x k2 k ¢ 6 6 3 2(2đ) 2.a (1,0 điểm) 2013 2 3 Ta có 1 x 1 2x 1 2013x 1  k x  i. j x A.x 0,5 k 1 1 i j 2013 DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 1 2 Suy ra a i. j 1 2 2013 12 22 20132 2  1 i j 2013 2 0,25 2 2 1 2 2 2 1 2013 2014 2013 1007 a2 1 2 2013 . 0,25 2 2 2 2 2.b (1,0 điểm) Ta có n  số cách chọn một số có bốn chữ số đôi một khác nhau 9.9.8.7 A là biến cố chọn ra được một số có bốn chữ số đôi một khác nhau abcd và không 0,25 nhỏ hơn 2013. Ta sẽ tính số các số có bốn chữ số đôi một khác nhau abcd và các số này chỉ có thể xảy ra với a 1, b 0,1, ,9 \ 1 , c 0;1; ;9 \ 1;b và d 0;1; ;9 \ 1;b;c có 7 cách chọn suy ra trong trường hợp này có 9.8.7 số thỏa mãn. 0,5 Từ hai trường hợp trên ta được n A 7.8.9.9 7.8.9 7.8.9.8. Do đó xác suất cần tìm là: 0,25 n A 7.8.9.8 8 P A n  9.9.8.7 9 3(2,0đ) 3.a (1,0 điểm) Ta có un 2 un 1 un 1 un 1, n 1,2, suy ra un 2 un 1 lập thành một cấp số cộng 0,25 có công sai bằng 1 nên un 2 un 1 u2 u1 n.1 n 2 (1) Từ (1) ta được un u1 un un 1 un 1 un 2 u2 u1 n n 1 2 n n 1 0,5 u 1 2 n n 2 u n n 1 1 u 1 lim n lim . Vậy lim n . n n2 n 2n2 2 n n2 2 0,25 3.b (1,0 điểm) Đặt f x m x 1 x3 4x x3 3x 1 ta được f x xác định và liên tục trên ¡ . 0,5 Ta có f 2 1, f 0 1, f 1 1, f 2 3 Do đó ta được f 2 f 0 0, f 0 f 1 0, f 1 f 2 0 nên phương trình 0,5 f x 0 có nghiệm thuộc 2;0 , 0;1 , 1;2 suy ra phương trình có 3 nghiệm phân biệt. 4(3đ) 4.a (1,5 điểm) DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn A D M C B N D' A' 0,5 C' B' Ta có tứ giác BCD’A’ là hình bình hành nên CD ' BA' CD ' BDA' (1) Ta có tứ giác BDD’B’ là hình bình hành nên B ' D ' BD B ' D ' BDA' (2) 0,5 Từ (1) và (2) ta được A' BD CB ' D ' .            Đặt BM x.BD, CN y.CD ' . Khi đó MN MB BC CN xBD AD y.CD '         0,25 x AB AD BC y AA' AB x y AB 1 x AD y AA' Do MN vuông góc (A’BD) nên MN  BD, MN  BA' . Từ đó ta được: 2   x MN.BD 0 1 x x y 0 2x y 1 3   0,25 y x y 0 x 2y 1 MN.BA' 0 y 3  2   1  Do đó BM .BD, CN .CD ' 3 3 4.b (1,5 điểm) A M D S R C B O D' A' N P 0,5 C' B' Q Gọi S là trung điểm của AB, khi đó MS BD MS BDC ' và DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn NS C ' D NS BDC ' suy ra MNS BDC ' . Do MNS BC ' nên (MNS) cắt (BCC’B’) theo giao tuyến qua N song song với BC’ cắt B’C’ tại Q. Do MNS BD B ' D ' nên (MNS) cắt (A’B’C’D’) theo giao tuyến qua Q song song với B’D’ cắt D’C’ tại P’, do P’ là trung điểm của C’D’ nên P’ trùng với P. Do 0,5 MNS C ' D nên (MNS) cắt (CDD’C’) theo giao tuyến qua P song song với C’D cắt DD’ tại R. Do đó thiết diện cắt bởi (MNP) và hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ theo một lục a 2 giác đều MSNQPR cạnh MR và có tâm là O suy ra: 2 0,5 1 3 3a2 3 3a2 S 6S 6. OM.OS.sin 600 . Vậy S MSNQPR OMS 2 4 MSNQPR 4 5(1đ) 1 Đặt f 1 m, f 1 n, f p , khi đó m , n , p 1 và ta có hệ 2 3m n 8p a 3 a b c m a b c m m n a b c n a b c n b 0,5 2 a b c a 2b 4c 8p p 16 p 3m n 8 4 2 c 6 3m n 8p 16 p 3m n Ta có f 2 8. 2 m n 9m n 16 p 9 1 16 26 . 3 3 m 1 a 4 0,25 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi n 1 b 0 p 1 c 3 Ta có f x 4x3 3x , xét 1 x 1 thì tồn tại : x cos a 4 3 0,25 f x 4cos 3cos cos3 suy ra f x 1 với mọi 1 x 1. Vậy b 0 c 3 Hết DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 21 ĐỀ THI Môn Thi : Toán 11 Thời gian làm bài : 180 phút Câu I( 1 điểm): Giải phương trình (sin 2x sin x 4)cos x 2 0 2sin x 3 Câu II(2 điểm): 1/ Từ các chữ số 1;2;3;4;5;6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số đôi một khác nhau sao cho mỗi số đó chia hết cho 3. 2/ Tìm số nguyên dương n sao cho: 1 2.2 2 3.22 3 (2n 1).22n 2n 1 2011 C 2n 1 C 2n 1 C 2n 1 C 2n 1 Câu III(2 điểm) : Cho hàm số: y x3 3x2 2 (C) 1/ Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y 9x 2011. 2/ Tìm tất cả các điểm thuộc đồ thị (C ) mà qua đó kẻ được một và chỉ một tiếp tuyến với đồ thị ( C ). Câu IV(2 điểm): 1/ Chứng minh phương trình : 2x4 mx3 nx2 px 2011 0 có ít nhất 2 nghiệm với  m,n,p R x2 3 2011x 2009 2/ Tính: Lim x 1 x 1 Câu V( 3 điểm) : Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thoi tâm O, cạnh a, góc 3a BAD=600 ; SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD); SO . Gọi E là trung 4 điểm của AD, F là trung điểm của DE. 1/ Chứng minh (SOF) (SAD). 2/ Tính khoảng cách từ O và C đến mặt phẳng (SAD). 3/ Gọi là mặt phẳng qua BC và vuông góc với mặt phẳng (SAD). Xác định thiết diện của hình chóp với mặt phẳng . Tính diện tích của thiết diện này. Hết . DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Đáp án Câu Nội dung Điểm I (Sin2x sin x 4)cos x 2 0,25 Xét phương trình: 0 (1) 2sin x 3 3 Điều kiện: sin x 2 1 Phương trình (1) sin2x.cosx- sin2x+4cosx-2=0 0,5 2 1 1 sin2x(cosx- )+4(cosx- )=0 2 2 1 (cosx- )(sin2x+4)=0 2 x= k2 3 0,25 Đối chiếu với điều kiện: x= k2 3 Vậy phương trình có nghiệm: x= k2 3 II .Đặt A= {1;2;3;4;5;6} 0,5 1 .Các tập hợp con của A gồm có 3 phần tử và tổng của các phần tử đó chia hết cho 3 là: {1;2;3}, {1;2;6}, {2;3;4}, {1;3;5}, {1;5;6},{2;4;6}, {3;4;5}, {4;5;6}. Có 8 tập 0,5 Ứng với mỗi tập hợp trên ta có thể lập được 3=3.2.1=6 (số) thỏa mãn yêu cầu bài toán Vậy có 8.6=48 số cần tìm 2n 1 0 1 2 2 3 3 2n 1 2n 1 2 Ta có (1 x) c2n 1 c2n 1.x c2n 1.x c2n 1.x c2n 1 .x (1) 0,25 Lấy đạo hàm cả hai vế của (1) theo x ta được 0,5 2n 1 2 3 2 2n 1 2n (2n 1)(1 x) ( 1) c2n 1 2c2n 1.x 3.c2n 1.x (2n 1).c2n 1 .x 2n 1 2 3 2 2n 1 2n (2n 1)(1 x) c2n 1 2c2n 1.x 3.c2n 1.x (2n 1).c2n 1 .x (2) Cho x=2 vào hai vế của (2) ta được: 0,25 1 2n 1 2n 2n 1 c2n 1 (2n 1).c2n 1 .2 Khi đó: 2n+1=2011 n=1005. Vậy n=1005. Đường thẳng song song với đường thẳng y=-9x+2011 có phương 0,25 trình dạng y= -9x+m (m 2011) Đường thẳng là tiếp tuyến của (c ) hệ phương trình 0,25 DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn x3 3x2 2 9x m có nghiệm 2 3x 6x 9 x 1 0,5 Giải (2): x 3 Nếu x=-1 thì thế vào phương trình (1) ta được m=-7 (thỏa mãn). phương trình tiếp tuyến: y=-9x-7. Nếu x=3 thì m=25( thỏa mãn) phương trình tiếp tuyến: y= -9x+25 Vậy có 2 phương trình tiếp tuyến:y=-9x-7,y= -9x+25. 3 2 2 Goi M(x0,f(x0) (c ); f(x0)= x0 3x0 2 . 0,25 Đường thẳng với hệ số góc k đi qua điểm M(x 0,f(x0) có phương trình là: y= k(x-x0)+ f(x0) là tiếp tuyến của (c ) hệ phương trình 0,25 3 2 x 3x 2 k(x x0 ) f (x0 ) có nghiệm 2 3x 6x 1 2 2 (x-x0)[-2x +(x0+3)x+x0 -3x0]=0 x x0 0,5 2 2 g(x) 2x (x0 3)x x0 3x0 0 2 2 2 2 = (x0+3) +8(x0 -3x0)=9x0 -18x0+9=9(x0-1) >0 Yêu cầu bài toán g(x)=0 có nghiệm kép x=x0 0 x 3 x0=1 M(1;0) 0 x 4 0 Vậy M(1;0) IV Xét phương trình: 2x4 mx3 nx2 px 2011 0 (1) 1 Xét hàm số: f (x) 2x4 mx3 nx2 px 2011 lim f (x) lim ( 2x4 mx3 nx2 px 2011) x x 0,5  b>0 sao cho f(b) 0 Hàm số f(x) liên tục trên các đoạn [a;0] và [o;b]; f (a). f (0) 0 0,5 f (0). f (b) 0 phương trình có ít nhất 1 nghiệm x1 (a;0) và ít nhất 1 nghiệm x2 (0;b). Vậy phương trình có ít nhất 2 nghiệm. DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 2 x2 3 2 2011(x 1) x2 3 4 lim lim[ 2011] x 1 x 1 x 1 (x 1)( x 3 2) x 1 4021 lim( 2011) x 1 x 3 2 2 V Tam giác ABD đều nên BE  AD ; OF//BE OF  AD (1) 1,0 SO  (ABCD) SO  AD (2) 1 Từ (1) và (2) AD  (SOF) (SAD)  (SOF) 2 Kẻ OH  SF tại H OH  (SAD) d(O;(SAD)) OH 0,25 1 1 1 1 1 64 OH 2 SO2 OF2 9a2 3a2 9a2 0,5 16 16 3a OH 8 0.25 3a O là trung điểm của AC nên d(C;(SAD)) 2d(O;(SAD)) 4 3 Gọi K là hình chiếu của C trên mp(SAD) H là trung điểm của AK mp( )  mp(BCK) ;BC//AD nên mp(BCK) cắt mp(SAD) theo giao tuyến song song với AD.Từ K kẻ đường thẳng song song với AD cắt SD, SA tại M và N .Thiết diện tạo thành là hình thang BCMN 12a2 a 12 SF 2 SO2 OF2 SF 16 4 SH SO2 3 SO2 SH.SF SF SF 2 4 MN cắt SF tại trung điểm I MN là đường trung bình của tam giác SAD AD a MN 2 2 a 3a ( a) 2 (MN BC)CK 9a S 2 4 td 2 2 16 DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 11 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 22 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 11 Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút Câu I: (2 điểm). 1.Giải phương trình: (1 t anx)cos3x (1 cot x)sin3 x 2sin 2x. 2. Tìm các nghiệm trong khoảng ; của phương trình: 2 2sin 3x 1 8sin 2xcos 2x. 4 Câu II: (3 điểm). 1. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau trong đó có 3 số chẵn và 3 số lẻ ? 2. Cho k là số tự nhiên thỏa mãn 5 k 2011. 0 k 1 k 1 5 k 5 k Chứng minh rằng: C5.C2011 C5.C2011 C5.C2011 C2016 . u1 11 3.Cho dãy số (un) xác định bởi : un 1 10un 1 9n,n N. Tìm công thức tính un theo n. Câu III: (2 điểm). 2 2 2 1. Cho Pn= 1 1 1 2.3 3.4 (n 1)(n 2) Gọi U là số hạng tổng quát của P . Tìm lim Un n n n (x2 2012) 3 1 2x 2012 4x 1 2. Tìm giới hạn: lim x 0 x Câu IV: ( 3 điểm). 1. Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a, AC = BD = b, AD = BC = c. M là điểm tùy ý trên cạnh AB, (P) là mặt phẳng qua M và song song với AC và BD cắt BC, CD, DA lần lượt tại N, P, Q. Tìm vị trí của M và điều kiện của a, b, c để thiết diện MNPQ là hình vuông, tính diện tích thiết diện trong trường hợp đó. 2. Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn. Xác định điểm M bên trong tam giác sao cho MA + MB + MC nhỏ nhất. Hết DeThi.edu.vn