Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 6 (Có đáp án)

105 trang Thái Huy 14/09/2023 9759

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 6 (Có đáp án)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

bo_30_de_thi_hoc_sinh_gioi_toan_lop_6_co_dap_an.doc

Nội dung text: Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 6 (Có đáp án)

Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 6 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 6 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN TOÁN 6 ĐỀ SỐ 1 Bài 1.(5,0 điểm). Cõu 1. Tớnh. a) A = 2 + 22 + 222 + 2222 + + 22 2 50 chữ số 2 b) B = + + + + + Cõu 2. Cho C = + + + + Chứng minh rằng : C > Bài 2. ( 3,0 điểm). Tỡm số tự nhiờn x, biết: a) 1 + 2 +3 +4 + + x = 820 b) x + 2x + 3x + + 99x + 100x = 15150 Bài 3.( 6,0 điểm). Cõu 1: Chứng minh rằng : a) A = 75.( 41975 + 4 1974 + + 42 +5 ) + 25 chia hết cho 41976 b) B = 10n + 72n – 1 chia hết cho 81 với n là số tự nhiờn. Cõu 2. Tỡm số nguyờn n để phõn số cú giỏ trị là một số nguyờn. Bài 4.( 4,0 điểm ). a) Cho 2016 đường thẳng, trong đú bất cứ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau khụng cú ba đường thẳng nào cắt nhau tại một điểm . Em hóy tớnh số giao điểm của 2016 đường thẳng đú. b) Cho n đường thẳng, trong đú bất cứ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau khụng cú ba đường thẳng nào cắt nhau tại một điểm. Biết rằng số giao điểm của cỏc đường thẳng đú là 1128. Tớnh n. Bài 5. ( 2,0 điểm ) Tỡm số tự nhiờn a nhỏ nhất sao cho a chia cho 3 dư 2, chia cho 5 dư 3, chia cho 7 dư 4. ĐÁP ÁN Bài 1. (5,0 điểm). Cõu 1. (3,0 điểm) DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 6 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn Điểm a) (1,5 điểm) A = 2 + 22 + 222 + 2222 + + 22 2 50 chữ số 2 = 2. ( 1 + 11 + 111 + 1111 + + 11 1 ) 50 chữ số 1 0,25 9A = 2.( 9 + 99 + 999 + 9999 + + 99 9 ) 50 chữ số 9 0,25 9A = 2. 0,25 = 2. 0,25 = 2. ( 11 10 – 50) 50 chữ số 1 0,25 = 2. 11 1060 = 22 2120 48 chữ số1 48 chữ số 2 0,25 Suy ra A = 22 2120 : 9 48 chữ số 2 b) ( 1,5 điểm ) B = + + + + + 2B = + + + + + 0,25 = - + - + - + + - + - 0, 5 = - 0,25 = Suy ra B = : 2 = 0,25 0,25 Cõu 2.( 2,0 điểm ) DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 6 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn C = ( + + + ) + ( + + + ) + ( + + + ) +( + 0,50 + + ) C . 25 + . 25 + .25 + 25 0,50 C > + + + = ( + + + 0,50 C > + > + = 0,50 Bài 2: ( 3 điểm ) a) (1,5 điểm) 1 + 2 +3 +4 + + x = 820 Tớnh tổng : 1 + 2 +3 +4 + + x Vỡ cỏc số hạng của tổng là cỏc số tự nhiờn liờn tiếp từ 1 đến x nờn số số hạng của tổng là:( x – 1) : 1 + 1 = x ( số hạng ) 0,25 Vậy tổng trờn là: ( x + 1).x : 2 0,25 Theo bài ra ta cú 1 + 2 +3 +4 + + x = 820 nờn ( x + 1).x : 2 = 820 ( x + 1 ).x = 2. 820 ( x + 1 ).x = 23.5.41 ( x + 1 ).x = 40.41 0,50 Vỡ x và x + 1 là 2 số tự nhiờn liờn tiếp mà x < x + 1 nờn x = 40 và x + 1 = 41 0,25 Vậy x = 40 0,25 b) (1,5 điểm) x + 2x + 3x + + 99x + 100x = 15150 ( 1 + 2 + 3 + + 99 + 100).x = 15150 0,50 [ ( 1 + 100) + ( 2 + 99) + ( 3 + 98) + ( 50 + 51) ].x = 15150 0,25 Cú 50 cặp số hạng ( 101 + 101 + 101 + + 101).x = 15150 Cú 50 số hạng 0,25 DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 6 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn 101.50.x = 15150 5050x = 15150 0,25 x = 3 Vậy x = 3. 0,25 Bài 3: ( 6,0 điểm) Cõu 1. ( 4,0 điểm ) a) (2,0 điểm) Đặt M = 41975 + 4 1974 + + 42 +5 = 41975 + 4 1974 + + 42 + 4 + 1 4M = 4.( 41975 + 4 1974 + + 42 + 4 + 1) = 41976 + 4 1975 + + 43 + 42 + 4 0,25 4M – M = ( 41976 + 4 1975 + + 43 + 42 + 4) – (41975 + 4 1974 + + 42 + 4 + 1) 0,25 3M = 41976 – 1 0,25 1976 M = (4 – 1): 3 0,25 => A = 75. (41976 – 1): 3 + 25 0,25 = 25. (41976 – 1) + 25 0,25 1976 = 25. 4 - 25 + 25 0,25 = 25. 41976 chia hết cho 41976 0,25 b) (2,0 điểm) B = 10n + 72n – 1 = 10n – 1 – 9n + 81n = 99 9 – 9n + 81n n chữ số 9 0, 50 = 9. ( 11 1 – n) + 81n n chữ số 1 0,25 Theo dấu hiệu chia hết cho 9 thỡ chỉ cú những số cú tổng cỏc chữ số chia hết cho 9 thỡ chia hết cho 9. Nờn số n và số cú tổng cỏc chữ số bằng n cú cựng số dư trong phộp chia cho 9. 0,50 Suy ra ( 11 1 – n ) chia hết cho 9 n chữ số 1 0,25 DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 6 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn Suy ra 9. ( 11 1 – n ) chia hết cho 81 n chữ số 1 Mà 81n chia hết cho 81 0,25 Nờn 9. ( 11 1 – n) + 81n chia hết cho 81 n chữ số 1 Do đú B = 10n + 72n – 1 chia hết cho 81 0,25 Cõu 2. ( 2,0 điểm ) Điều kiện : n Z Ta cú = = 2 - 0,25 Để phõn số cú giỏ trị là một số nguyờn thỡ cú giỏ trị là một số nguyờn Suy ra 3n + 1 là ước của 5 nờn 3n + 1 nhận cỏc giỏ trị là : 1; -1; 5; -5 0,25 + Nếu 3n + 1 = 1 thỡ n = 0 ( Thỏa món điều kiện) 0,25 + Nếu 3n + 1 = - 1 thỡ n = ( Khụng thỏa món điều kiện) 0,25 + Nếu 3n + 1 = 5 thỡ n = (Khụng thỏa món điều kiện) 0,25 + Nếu 3n + 1 = -5 thỡ n = -2 ( Thỏa món điều kiện) 0,25 Thử lại với n = 0 ta đươc phõn số = -3( là số nguyờn) 0,25 Thử lại với n = -2 ta đươc phõn số = 3( là số nguyờn) Vậy n= 0 hoặc n = -2 thỡ phõn số cú giỏ trị là một số nguyờn 0,25 Bài 4: ( 4,0 điểm) a. ( 1,5 điểm ) DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 6 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn - Chọn 1 đường thẳng kết hợp với 2015 đường thẳng cũn lại ta được 2015 giao điểm. 0,50 - Làm như vậy với 2016 đường thẳng ta cú số giao điểm là: 2015.2016 giao điểm 0,50 - Nhưng làm như vậy mỗi giao điểm đó được tớnh hai lần nờn thực tế số giao điểm cú là: 2015.2016 : 2 = 2031120 giao điểm 0,50 b. (2,5 điểm ) - Chọn 1 đường thẳng kết hợp với n-1 đường thẳng cũn lại ta được n-1 giao điểm. 0,50 - Làm như vậy với n đường thẳng ta cú số giao điểm là: n.(n-1) giao điểm. 0,50 - Nhưng làm như vậy mỗi giao điểm đó được tớnh hai lần nờn thực tế số giao điểm cú là: n.( n-1) : 2 giao điểm 0,50 - Theo bài ra ta cú : n.( n-1) : 2 = 1128 n. ( n- 1) = 2. 1128 0, 50 n . (n-1) = 24.3.47 n . (n-1) = 48.47 Vỡ n-1 và n là hai số tự nhiờn liờn tiếp và n-1 a + 52 105 - Suy ra : a + 52 = 105k ( k = 1, 2, 3, ) 0,25 a = 105k – 52 - Lần lượt thử k = 1, 2, 3, mà a là số tự nhiờn nhỏ nhất nờn với k = 1 ta được 0,25 DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 6 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn a = 105 – 52= 53. Vậy a = 53. 0,25 ĐỀ SỐ 2 PHẦN I: Thớ sinh chỉ ghi kết quả vào bài làm: Cõu 1: Số A= 5.7.9.11.17- 121 cú phải là số nguyờn tố khụng? Cõu 2: Tỡm số nguyờn tố p sao cho p+2; p+6 và p+8 cũng là số nguyờn tố Cõu 3: Tỡm số tự nhiờn x sao cho : 10x+23 chia hết cho 2x+1 Cõu 4: Tỡm số a,b N * . Biết rằng a.b= 6144;ƯCLN(a,b)=32 Cõu 5: Tỡm x,y,z Z biết: 20 x y 11 z 2019 1 Cõu 6: Tìm giá trị n nguyên dương: a) .16n 2n ; b) 27 < 3n < 243 8 Cõu 7:. Tớnh tổng cỏc số tự nhiờn lẻ từ 1 đến 999 Cõu 8: Tỡm số tự nhiờn nhỏ nhất , biết rằng khi chia số này cho 29 thỡ dư 5 cũn khi chia cho 31 thỡ dư 28 DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 6 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn 6 5 9 Cõu 9:. Rỳt gọn phõn số: 4 .9 6 .120 84.312 611 Cõu 10; Trờn đường thẳng uv lấy n điểm. Cú tất cả 2020 cặp tia đối nhau tạo thành trong hỡnh vẽ (Cỏc tia trựng nhau được xem là chỉ là một tia).Tớnh n? PHẦN II: Thớ sinh trỡnh bày bài làm vào tờ giấy thi Cõu 11: a) Tỡm cặp số nguyờn (x,y) thoả món: (2x-1)(2y+1)=-35. b) Tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức Q = 9 – (x + 2019) 2 Cõu 12: Viết tổng sau dưới dạng một lũy thừa của 2. 2 2 22 23 24 25 22019 Cõu 13: Ba ụ tụ chở khỏch cựng khởi hành lỳc 6h sỏng từ một bến xe và đi theo 3 hướng khỏc nhau. Xe thứ nhất quay về bến sau 1h 5 phỳt và sau 10 phỳt lại đi, xe thứ 2 quay về bến sau 56 phỳt và lại đi sau 4 phỳt, xe thứ 3 quay về bến sau 48 phỳt và sau 2 phỳt lại đi. Hóy tớnh khoảng thời gian ngắn nhất để 3 xe lại cựng xuất phỏt từ bến lần thứ 2 trong ngày và lỳc đú là mấy giờ? Cõu 14: Tỡm x biết: a) (x+3)(x2 +1)= 0 b) (x+5)(9+x 2 ) < 0 Cõu 15: Cho đoạn thẳng AB và trung điểm M của nú. CA CB a. Chứng tỏ rằng nếu C là điểm thuộc tia đối của tia BA thỡ CM 2 CA CB b. Chứng tỏ rằng nếu C là điểm nằm giữa M và B thỡ CM . 2 Hết DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 6 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn HƯỚNG DẪN CHẤM THI TOÁN 6 CÂU HƯỚNG DẪN ĐIỂM 1 Hợp số 1.0 2 P=5 1.0 3 x 0;1;4 1.0 4 a=32;b=192 hoặc a=64;b=96 hoặc a=96;b=64 hoặc a=192;b=32 1.0 5 x=20;y=11;x=2019 1.0 6 a) n=1 b) n =4 1.0 7 250000 1.0 8 121 1.0 9 4 1.0 5 10 1010 1.0 11 a) (x,y)=(0;17);(18;-1);(-2;3);(4;-3) 1.0 b) – (x + 2019) 2 0 nờn 9 – (x + 2019) 2 9 Q 9.Dấu “=” xảy ra x+2019=0 x = -2019. Giỏ trị lớn nhất của Q là 9 1.0 12 Đặt M=2 2 22 23 24 25 22019 Ta cú: M=2M-M=2(2 2 22 23 24 25 22019 )-(2 1 2 22 23 24 25 22019 )=2 2020 13 - Gọi a là thời gian để 3 xe cựng xuất phỏt tại bến lần thứ 2 0,50 a là BCNN (75,60,50) 0,5 Tỡm được BCNN (75,60,50) = 300 (phỳt) = 5 giờ. 0,50 Sau 5h 3 xe lại cựng xuất phỏt. Lỳc đú là 11h 0,5 14 a) (x+3)(x2 +1)= 0 x+3=0 hoặc x 2 1 0 x 3 cũn x 2 1 0 khụng 0,50 xảy ra b) (x+5)(9+x 2 ) 0 với mọi x nờn 0,5 x+5<0 x<-5 15 0,50 A M C B CA = MA + CM 0,50 CB = MB – CM 0,25 Trừ được CA - CB = 2CM (Do MA = MB) 0,50 CA CB CM 0,25 2 A M B C 0,5 CA = CM + MA 0,50 CB = CM – MB 0,25 Cộng được CA + CB = 2CM (Do MA = MB) 0,50 CA CB CM 0,25 2 DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 6 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn Lưu ý: Mọi cỏch giải khỏc đỳng đều cho điểm tối đa DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 6 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 3 Cõu 1. (4,5 điểm) Tớnh giỏ trị cỏc biểu thức sau: a) A = (-1).(-1)2.(-1)3.(-1)4 (-1)2010.(-1)2011 131313 131313 131313 b) B = 70.( + + ) 565656 727272 909090 2a 3b 4c 5d 2a 3b 4c 5d c) C = + + + biết = = = . 3b 4c 5d 2a 3b 4c 5d 2a Cõu 2. (3,5 điểm) Tỡm x là cỏc số tự nhiờn, biết: a) x 1 = 8 2 x 1 2 2 0,4 1 3 b) x : (9 - ) = 9 11 2 2 8 8 1,6 9 11 Cõu 3 (3,5 điểm) a) Tỡm tất cả cỏc cặp số tự nhiờn (x,y) sao cho 34x5y chia hết cho 36 . b) Khụng quy đồng mẫu số hóy so sỏnh 9 19 9 19 A ; B 10 2010 10 2011 10 2011 102010 Cõu 4. (3,5 điểm) Cho A = n 1 n 4 a) Tỡm n nguyờn để A là một phõn số. b) Tỡm n nguyờn để A là một số nguyờn. Cõu 5. (6,0 điểm)Cho tam giỏc ABC cú ABC = 550, trờn cạnh AC lấy điểm D (D khụng trựng với A và C). a) Tớnh độ dài AC, biết AD = 4cm, CD = 3cm. b) Tớnh số đo của DBC, biết ABD = 300. c) Từ B dựng tia Bx sao cho DBx = 900. Tớnh số đo ABx. d) Trờn cạnh AB lấy điểm E (E khụng trựng với A và B). Chứng minh rằng 2 đoạn thẳng BD và CE cắt nhau. .Hết . ĐÁP ÁN - BIỂU CHẤM DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 6 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn CÂU NỘI DUNG ĐIỂM Cõu 1 a) (1,5 đ) 1,5 (4,5 A = -1.1.(-1).1 (-1).1(-1) = -1 đ) b) (1,5 đ) 13 13 13 1 1 1 B = 70.( + + ) = 70.13.( + + ) 1,0 56 72 90 7.8 8.9 9.10 1 1 = 70.13.( - ) = 39 0,5 7 10 c) (1,5 đ) 2a 3b 4c 5d Đặt = = = = k 0,5 3b 4c 5d 2a 2a 3b 4c 5d Ta cú . . . = k4 => k4 = 1 k = 1. 0,5 3b 4c 5d 2a 2a 3b 4c 5d C = + + + = 4 0,5 3b 4c 5d 2a Cõu 2 a) (2,0 đ) (3,5đ) x 1 8 2 2 =  (x + 1) = 16 = ( 4) 0,75 2 x 1 0,5 +) x + 1 = 4 => x = 3 0,5 +) x + 1 = - 4 => x = -5 (loại) 0,25 Vậy x = 3 b) (1,5 đ) 2 2 2 2 0,4 0,4 1 3 9 11 19 3 9 11 x 1 x : (9 - ) =  x :( ) =  1,0 2 2 8 8 2 2 2 2 8 4 1,6 4 0,4 9 11 9 11 0,5 => x = 2 Cõu 3 a) (1,5 đ) (3,0 Ta cú 36 = 9.4. Mà ƯC(4,9) =1 0,25 đ) Vậy để 34x5y chia hết cho 36 thỡ 34x5y chia hết cho 4 và 9 0,5 34x5y chia hết cho 9 khi 3 + 4 + x + 5 + y9 => 12 + x + y9 (1) 0,25 34x5y chia hết cho 4 khi 5y4 => y = 2 hoặc y = 6 0,25 Với y = 2 thay vào (1) => 14 + x9 => x = 4 0,25 Với y = 6 thay vào (1) => 18 + x9 => x = 0 hoặc x = 9 0,25 Vậy cỏc cặp (x,y) cần tỡm là: (4,2); (0,6) và (9,6) 0,25 b) (1,5 đ) 9 19 9 10 9 Ta cú A 10 2010 10 2011 102010 10 2011 10 2011 0,5 9 19 9 10 9 B 10 2011 102010 10 2011 10 2010 102010 10 10 0,5 Ta thấy => Vậy A > B 102011 102010 0,5 DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 6 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn CÂU NỘI DUNG ĐIỂM Cõu 4 a) (1,0 đ) n 1 (3,0 A = là phõn số khi n + 4 0 => n - 4 1,0 đ) n 4 b) (2,0 đ) n 1 n 4 5 5 A = = 1 0,5 n 4 n 4 n 4 Với n nguyờn, A nhận giỏ trị nguyờn  5 n + 4 hay n + 4 Ư(5) 0,5 Lập luận tỡm ra được n = -9, -5, -3, 1 1,0 Cõu 5 A (6,0 đ) E D B C a) (1,5 đ) 1,5 D nằm giữa A và C => AC = AD + CD = 4 + 3 = 7 cm b) (1,5 đ) Tia BD nằm giữa hai tia BA và BC nờn ABC = ABD + DBC 1,0 => DBC = ABC –ABD = 550 – 300 = 250 0,5 c) (1,5 đ) Xột hai trường hợp: - Trường hợp 1: Tia Bx và BD nằm về hai phớa nửa mặt phẳng cú bờ là AB Tớnh được ABx = 900 – ABD 0,75 Mặt khỏc tia BD nằm giữa hai tia BA và BC nờn 00 900- 550 tia BA thuộc nửa MP chứa điểm A. E thuộc đoạn AB => E thuộc nửa MP bờ BD chứa điểm A => E và C ở 2 nửa MP bờ BD => đường thẳng BD cắt đoạn EC 0,75 DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 6 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn CÂU NỘI DUNG ĐIỂM - Xột đường thẳng CE. 0,5 Lập luận tương tự: ta cú đường thẳng EC cắt đoạn BD. Vậy 2 đoạn thẳng EC và BD cắt nhau. 0,25 DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 6 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 4 Bài 1: ( 2.0 điểm ) 3 3 3 a) Rỳt gọn phõn số: ( 2) .3 .5 .7.8 3.53.24.42 7 15 15 7 b) So sỏnh khụng qua quy đồng: A ; B 10 2005 10 2006 10 2005 10 2006 Bài 2: ( 2.0 điểm ) Khụng quy đồng hóy tớnh hợp lý cỏc tổng sau: 1 1 1 1 1 1 a) A 20 30 42 56 72 90 5 4 3 1 13 b) B 2.1 1.11 11.2 2.15 15.4 Bài 3: ( 2.0 điểm ) Một người bỏn năm giỏ xoài và cam. Mỗi giỏ chỉ đựng một loại quả với số lượng là: 65 kg; 71 kg; 58 kg; 72 kg; 93 kg. Sau khi bỏn một giỏ cam thỡ số lượng xoài cũn lại gấp ba lần số lượng cam cũn lại. Hóy cho biết giỏ nào đựng cam, giỏ nào đựng xoài? Bài 4: ( 3.0 điểm ) Cho gúc AOB và gúc BOC là hai gúc kề bự . Biết gúc BOC bằng năm lần gúc AOB. a) Tớnh số đo mỗi gúc. b) Gọi OD là tia phõn giỏc của gúc BOC. Tớnh số đo gúc AOD. c) Trờn cựng nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AC chứa tia OB,OD, vẽ thờm 2006 tia phõn biệt (khụng trựng với cỏc tia OA;OB;OC;OD đó cho) thỡ cú tất cả bao nhiờu gúc? Bài 5: ( 1.0 điểm ) Cho p và p + 4 là các số nguyên tố( p > 3) . Chứng minh rằng p + 8 là hợp số DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 6 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn A.Đáp án và biểu điểm Bài 1: ( 2.0 điểm ) Thang Đáp án điểm a) 0.5 0.5 7 15 7 8 7 b)A 0.5 102005 102006 102005 102006 102006 15 7 7 8 7 B 102005 102006 102005 102005 102006 8 8 0.5 A B 102006 102005 Bài 2: ( 2.0 điểm ) 1 1 1 1 1 1 1 1 a) A ( ) 20 30 42 90 4.5 5.6 6.7 9.10 0.5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 ( ) ( ) 4 5 5 6 6 7 9 10 4 10 20 0.5 5 4 3 1 13 5 4 3 1 13 b) B 7.( ) 0.5 2.1 1.11 11.2 2.15 15.4 2.7 7.11 11.14 14.15 15.28 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 13 1 7.( ) 7.( ) 3 2 7 7 11 11 14 14 15 15 28 2 28 4 4 0.5 Bài 3: ( 2.0 điểm ) Tổng số xoài và cam lỳc đầu: 65+ 71+ 58+ 72+ 93 = 359 (kg) Vỡ số xoài cũn lại gấp ba lần số cam cũn lại nờn tổng số xoài và cam cũn lại là số chia hết cho 4, mà 359 chia cho 4 dư 3 nờn giỏ cam bỏn đi cú khối lượng 0.5 chia cho 4 dư 3. 0.25 Trong cỏc số 65; 71; 58; 72; 93 chỉ cú 71 chia cho 4 dư 3 . 0.5 Vậy giỏ cam bỏn đi là giỏ 71 kg. 0.25 Số xoài và cam cũn lại : 359 - 71= 288 (kg) 0.25 Số cam cũn lại : 288:4 = 72(kg) Vậy: cỏc giỏ cam là giỏ đựng 71 kg ; 72 kg . 0.25 cỏc giỏ xoài là giỏ đựng 65 kg ; 58 kg; 93 kg. Bài 4: ( 3.0 điểm ) Vẽ hỡnh đỳng B D A ODeThi.edu.vnC
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 6 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn 0 a)Vỡ gúc AOB và gúc BOC là hai gúc kề bự nờn: AOB + BOC =180 0.5 mà BOC = 5AOB nờn: 6AOB = 1800 Do đú: AOB = 1800 : 6 = 300 ; BOC = 5. 300 = 1500 0.5 b)Vỡ OD là tia phõn giỏc của gúc BOC nờn BOD = DOC = 1 BOC = 750. 2 0.5 Vỡ gúc AOD và gúc DOC là hai gúc kề bự nờn: AOD + DOC =1800 0 0 0 0 Do đú AOD =180 - DOC = 180 - 75 = 105 0.5 c) Tất cả cú 2010 tia phõn biệt. Cứ 1 tia trong 2010 tia đú tạo với 2009 tia cũn 0.5 lại thành 2009 gúc. Cú 2010 tia nờn tạo thành 2010.2009gúc, nhưng như thế 2010.2009 mỗi gúc được tớnh hai lần .Vậy cú tất cả =2 019 045 gúc 2 0.5 Bài 5: ( 1.0 điểm ) P có dạng 3k + 1; 3k + 2 k N 0.5 Dạng p = 3k + 2 thì p + 4 là hợp số trái với đề bài p = 3k + 1 p + 8 = 3k + 9  3 p + 8 là hợp số 0.5 DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 6 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 5 Bài 1 : (5 điểm) Thực hiện cỏc phộp tớnh sau một cỏch hợp lý : a) 102 112 122 : 132 142 . b) 1.2.3 9 1.2.3 8 1.2.3 7.82 2 3.4.216 c) 11.213.411 169 d) 1152 - (374 + 1152) + (-65 + 374) e) 13 - 12 + 11 + 10 - 9 + 8 - 7 - 6 + 5 - 4 + 3 + 2 - 1 Bài 2 : (4 điểm) Tỡm x, biết: a) 19x 2.52 :14 13 8 2 42 b) x x 1 x 2 x 30 1240 c) 11 - (-53 + x) = 97 d) -(x + 84) + 213 = -16 Bài 3 : (2 điểm) Tỡm hai số tự nhiờn a và b, biết: BCNN(a,b)=300; ƯCLN(a,b)=15 và a+15=b. Bài 4 : (3 điểm) a) Tỡm số nguyờn x và y, biết : xy - x + 2y = 3. 101102 1 b) So sỏnh M và N biết rằng : M . 101103 1 101103 1 N . 101104 1 Bài 5 : (6 điểm) Cho đoạn thẳng AB, điểm O thuộc tia đối của tia AB. Gọi M, N thứ tự là trung điểm của OA, OB. a) Chứng tỏ rằng OA < OB. b) Trong ba điểm O, M, N điểm nào nằm giữa hai điểm cũn lại ? c) Chứng tỏ rằng độ dài đoạn thẳng MN khụng phụ thuộc vào vị trớ của điểm O (O thuộc tia đối của tia AB). DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 6 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn B - PHẦN ĐÁP ÁN : Bài 1 : (5 điểm) Thực hiện cỏc phộp tớnh sau một cỏch hợp lý : Đỏp ỏn Điểm a) 102 112 122 : 132 142 100 121 144 : 169 196 1 365:365 1 b) 1.2.3 9 1.2.3 8 1.2.3 7.82 1.2.3 7.8. 9 1 8 1.2.3 7.8 0 0 1 2 2 2 3.4.216 3.22.216 32. 218 c) 13 11 9 11 9 13 22 36 11.2 .4 16 11.213. 22 24 11.2 .2 2 1 32.236 32.236 32.236 32.2 2 11.213.222 236 11.235 236 235 11 2 9 d) 1152 - (374 + 1152) + (-65 + 374) = 1152 - 374 - 1152 + (-65) + 374 1 = (1152 - 1152) + (-65) + (374 - 374) = -65 e) 13 - 12 + 11 + 10 - 9 + 8 - 7 - 6 + 5 - 4 + 3 + 2 - 1 = 1 = 13 - (12 - 11 - 10 + 9) + (8 - 7 - 6 + 5) - (4 - 3 - 2 + 1) = 13 Bài 2 : (4 điểm) Tỡm x : Cõu Đỏp ỏn Điểm a. 19x 2.52 :14 13 8 2 42 x 14. 13 8 2 42 2.52 :19 1  x 4 b. x x 1 x 2 x 30 1240 x x x 1 2 30 1240  31 So hang 30. 1 30 31x 1240 1 2 31x 1240 31.15 775 x 25 31 c. 11 - (-53 + x) = 97 x 11 97 ( 53) 33 1 d. -(x + 84) + 213 = -16 (x 84) 16 213 (x 84) 229 1 x 84 229 x 229 84 145 Bài 3 : (3 điểm) DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 6 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn Đỏp ỏn Điểm Từ dữ liệu đề bài cho, ta cú : + Vỡ ƯCLN(a, b) = 15, nờn ắt tồn tại cỏc số tự nhiờn m và n khỏc 0, sao cho: a = 15m; b = 15n (1) và ƯCLN(m, n) = 1 (2) + Vỡ BCNN(a, b) = 300, nờn theo trờn, ta suy ra : BCNN 15m; 15n 300 15.20 BCNN m; n 20 (3) 3 + Vỡ a + 15 = b, nờn theo trờn, ta suy ra : 15m 15 15n 15. m 1 15n m 1 n (4) Trong cỏc trường hợp thoả món cỏc điều kiện (2) và (3), thỡ chỉ cú trường hợp : m = 4, n = 5 là thoả món điều kiện (4). Vậy với m = 4, n = 5, ta được cỏc số phải tỡm là : a = 15 . 4 = 60; b = 15 . 5 = 75 Bài 4 : (2 điểm) Cõu Đỏp ỏn Điểm Chứng minh đẳng thức: - (-a + b + c) + (b + c - 1) = (b - c + 6) - (7 - a + b) + c. Biến đổi vế trỏi của đẳng thức, ta được : VT = -(-a + b + c) + (b + c - 1) = -(-a) - (b + c) + (b + c) + (-1) = a - 1 a. Biến đổi vế phải của đẳng thức, ta được : 1 VP = (b - c + 6) - (7 - a + b) + c = b + (-c) + 6 - 7 + a - b + c = [b + (-b)] + [(-c) + c] + a + [6 + (-7)] = a - 1 So sỏnh, ta thấy : VT = VP = a - 1 Vậy đẳng thức đó được chứng minh. Với a > b và S = -(-a - b - c) + (-c + b + a) - (a + b), ta cú : S a b c c b a a b S ( a b)+c ( c) (b a) (a b) S ( a b) a b Tớnh S : theo trờn ta suy ra : S a b * Xột với a và b cựng dấu, ta cú cỏc trường hợp sau xảy ra : + a và b cựng dương, hay a > b > 0, thỡ a + b > 0 : S a b a b + a và b cựng õm, hay 0 > a > b, thỡ a + b b, nờn suy ra : a > 0 và b -b > 0, do đú a b a ( b) 0, suy ra: S a b a b + a b , hay -b > a > 0, do đú a b a ( b) 0, hay a b 0 DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 6 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn suy ra : S a b (a b) a ( b) Vậy, với : + S a b (nếu b < a < 0) + S a b (nếu b < a < 0, hoặc b < 0 < a b ) Bài 5 : (6 điểm) Cõu Đỏp ỏn Điểm Hỡnh a b vẽ o m n Hai tia AO, AB đối nhau, nờn điểm A nằm giữa hai điểm O và B, suy ra : a. 2 OA < OB. Ta cú M và N thứ tự là trung điểm của OA, OB, nờn : OA OB OM ; ON b. 2 2 2 Vỡ OA < OB, nờn OM < ON. Hai điểm M và N thuộc tia OB, mà OM < ON, nờn điểm M nằm giữa hai điểm O và N. Vỡ điểm M nằm giữa hai điểm O và N, nờn ta cú : OM MN ON suy ra : MN ON OM OB OA AB c. hay : MN 2 2 2 Vỡ AB cú độ dài khụng đổi, nờn MN cú độ dài khụng đổi, hay độ dài đoạn thẳng MN khụng phụ thuộc vào vị trớ của điểm O (O thuộc tia đối của tia AB). DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 6 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 6 Cõu 1 (6 điểm): Thực hiện cỏc phộp tớnh 136 28 62 21 a) . 15 5 10 24 b) [528: (19,3 - 15,3)] + 42(128 + 75 - 32) – 7314 5 5 5 1 1 c) 6 11 9 :8 6 6 20 4 3 Cõu 2 (4 điểm): Cho A = 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6+ + 19 - 20 a) A cú chia hết cho 2, cho 3, cho 5 khụng? b) Tỡm tất cả cỏc ước của A. Cõu 3 (4 điểm): a) Chứng minh rằng: Hai số lẻ liờn tiếp bao giờ cũng nguyờn tố cựng nhau. b) Tỡm x biết: 1 + 5 + 9 + 13 + 16 + + x = 501501 Cõu 4 (6 điểm): Cho tam giỏc ABC cú BC = 5cm. Trờn tia đối của tia CB lấy điểm M sao cho CM = 3cm. a) Tớnh độ dài BM. b) Cho biết Bã AM = 800, Bã AC =600. Tớnh Cã AM . c) Lấy K thuộc đoạn thẳng BM sao cho CK = 1cm. Tớnh độ dài BK. DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 6 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn ĐÁP ÁN Cõu 1 (6 điểm): Thực hiện cỏc phộp tớnh a) (2 điểm): 272 168 186 21 29 21 203 11 = . . 8 30 30 30 24 3 24 24 24 b) (2 điểm): = (528 : 4) + 42. 171 - 7314 = 132 + 7182 - 7314 = 0 c) (2 điểm): 5 41 1 1 25 5 41 3 = 11 9 : .2. 6 6 4 4 3 6 6 25 5 41 125 246 371 71 = 2 6 25 150 150 150 150 Cõu 2 (4 điểm): a) (2 điểm): A = (1-2) + (3-4) + (5-6) + + (19-20) (cú 10 nhúm) (0,5đ) = (-1) + (-1) + (-1) + + (-1) (cú 10 số hạng) (0,5đ) = 10. (-1) = -10 (0,5đ) Vậy A2, A  3, A  5. (0,5đ) b) (2 điểm): Cỏc ước của A là: 1, 2, 5, 10. (nờu được mỗi ước cho 0,25đ) Cõu 3 (4 điểm): a) (2 điểm): Hai số lẻ liờn tiếp cú dạng 2n + 1 và 2n + 3 (n N). (0,5đ) Gọi d là ước số chung của chỳng. Ta cú: 2n + 1d và 3n + 3  d (0,5đ) nờn (2n + 3) - (2n + 1)  d hay 2 d nhưng d khụng thể bằng 2 vỡ d là ước chung của 2 số lẻ. (0,5đ) Vậy d = 1 tức là hai số lẻ liờn tiếp bao giờ cũng nguyờn tố cựng nhau. (0,5đ) b) (2 điểm) Ta cú: 5 = 2 + 3; 9 = 4 + 5; 13 = 6 + 7; 16 =7 + 8 (0,5đ) Do vậy x = a + (a+1) (a N) (0,25đ) Nờn 1 + 5 + 9 + 13 + 16 + + x = 1+2+3+4+5+6+7+ +a+(a+1) = 501501 (0,25đ) Hay (a+1)(a+1+1): 2 = 501501 (0,25đ) (a+1)(a+2) = 1003002 = 1001 . 1002 (0,25đ) Suy ra: a = 1000 (0,25đ) Do đú: x = 1000 + (1000 + 1) = 2001. (0,25đ) Cõu 4 (6 điểm): a) (2 điểm): Hai điểm M và B thuộc hai tia đối nhau CM và CB nờn điểm C nằm giữa hai điểm B và M (1đ) Do đú: BM= BC + CM = 5 + 3 = 8 (cm) (1đ) DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 6 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn b) (2 điểm): Do C nằm giữa hai điểm B và M nờn tia AC nằm giữa hai tia AB và AM (1đ) ã ã ã 0 0 0 B Do đú CAM BAM BAC = 80 - 60 = 20 (1đ) C K1 M K2 c) (2 điểm): + Nếu K thuộc tia CM thỡ C nằm giữa B và K (ứng với điểm K1 trong hỡnh vẽ) (0,5đ) Khi đú BK = BC + CK = 5 + 1 = 6 (cm) (0,5đ) + Nếu K thuộc tia CB thỡ K nằm giữa B và C (ứng với điểm K2 trong hỡnh vẽ) (0,5đ) Khi đú BK = BC - CK = 5 - 1 = 4 (cm) (0,5đ) DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 6 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 7 Cõu 1(3,0 điểm): Tớnh giỏ trị của cỏc biểu thức sau: a. 24.5 [131 (13 4)2 ] 3 28.43 28.5 28.21 b. 5 5.56 5.24 5.63 Cõu 2(4,0 điểm): Tỡm cỏc số nguyờn x biết. 3 5 24 5 a. x . 3 35 6 b. (7x 11)3 ( 3)2.15 208 c. 2x 7 20 5.( 3) Cõu 3(5,0 điểm): a, Một số tự nhiờn chia cho 7 dư 5,chia cho 13 dư 4. Nếu đem số đú chia cho 91 thỡ dư bao nhiờu? b, Học sinh khối 6 khi xếp hàng; nếu xếp hàng 10, hàng 12, hàng15 đều dư 3 học sinh. Nhưng khi xếp hàng 11 thỡ vựa đủ. Biết số học sinh khối 6 chưa đến 400 học sinh.Tớnh số học sinh khối 6? Cõu 4(6,0 điểm): Cho gúc bẹt xOy. Trờn cựng một nửa mặt phẳng cú bờ xy,vẽ cỏc tia Oz và Ot sao cho xã Oz 700 ; ãyOt 550 . a. Chứng tỏ tia Oz nằm giữa hai tia Ox và Ot ? b. Chứng tỏ tia Ot là tia phõn giỏc của gúc yOz? c.Vẽ tia phõn giỏc On của gúc xOz. Tớnh gúc nOt? Cõu 5(2,0 điểm): Cho n là số nguyờn tố lớn hơn 3. Hỏi n2 + 2006 là số nguyờn tố hay là hợp số. Hết DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 6 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn ĐÁP ÁN Cõu Nội dung Thang điểm Cõu 16.5 (131 92 ) 0.5 1(4điểm) 80 50 0.5 a (1,5) 30 0.5 3 28 43 5 1 b (1,5) .( ) 0.5 5 5 56 24 3 3 28 129 35 56 0.5 .( ) 5 5 168 168 168 3 28 108 0,25 . 5 5 168 3 18 5 5 3 0.25 cõu 2 0.5 (4điểm) 0.5 a (1,0) b (1,5) (7x 11)3 ( 3)2.15 208 0.5 (7x 11)3 9.15 208 (7x 11)3 73 0.5 18 7x 11 7 x 7 0.5 (khụng thỏa món) c (1,5) 2x 7 20 5.( 3) 0.5 2x 7 5 [2x 7 5 [2x 12 [x 6 0.5 2x 7 5 2x 2 x 1 0.5 Vậy x 1;6 Cõu3(4,0) Gọi số đú là a 0.25 Vỡ a chia cho 7 dư 5, chia cho 13 dư 4 a (2,0) a 97;a 913 mà (7,13)=1 nờn 1.0 a 97.13 a+9=91k a=91k-9 =91k-91+82=91(k-1)+82 (k N) Vậy a chia cho 91 dư 82. 1.0 0.25 b (2,0) Gọi số Hs khối 6 là a (3<a<400) 0.25 Vỡ khi xếp hàng 10,hàng 12, hàng 15 đều dư 3 DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 6 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn a 310;12;15 a 3 BC(10,12,15) ta cú 0.5 BCNN(10,12,15)=60 a 3 60;120;180;240;300;360;420;  0.5 a 63;123;183;243;303;363;423;  mà a11;a 400 0.75 a=363 Vậy số HS khối 6 là 363 học sinh. 0.5 Cõu 4 (6,0) z t n Vẽ hỡnh 0.5 x O y a (1,5) Vỡ gúc xOy là gúc bẹt nờn suy ra trờn cựng một nưả mặt phẳng cú bờ xy cú xã Ot và tảOy là hai gúc kề bự. 0 xã Ot +tảOy =1800 xã Ot 180 550 xã Ot 1250 0.75 Trờn cựng một nửa mặt phẳng cú bờ chứa tia Ox cú: ã ã 0 0 xOz xOt(70 125 ) Tia Oz nằm giữa hai tia Ox và Ot. 0.75 b (2,0) Trờn cựng một nửa mặt phẳng cú bờ xy ,ta cú xã Oz và zãOy là hai gúc kề bự xã Oz zãOy 1800 hay 0.75 700 zãOy 1800 zãOy 1800 700 1100 Trờn cựng một nửa mặt phẳng cú bờ chứa tia Oy cú: ãyOt ãyOz(550 1100 ) Tia Ot nằm giữa hai tia Oy và Oz (1) nờn ta cú: ãyOt tảOz ãyOz hay 550 tảOz 1100 tảOz 1100 550 550 ãyOt tảOz( 550 ) (2).Từ (1) và (2) suy ra Ot là tia phõn 0.75 giỏc của gúc yOz. 0.5 DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 6 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn c (2,0) Vỡ xã Oy là gúc bẹt nờn suy ra tia Ox và tia Oy là hai tia đối nhau Hai tia Ox và Oy nằm trờn hai nửa mặt phẳng đối nhau cú bờ chứa tia Oz (1) 0.5 Vỡ On là tia phõn giỏc của gúc xOz nờn xã Oz 700 nã Oz 350 và hai tia On và Ox cựng nằm trờn 2 2 mặt phẳng cú bờ chứa tia Oz (2) 0.5 Ta lại cú tia Ot là tia phõn giỏc của gúc yOz (theo b,) Hai tia Ot và Oy cựng nằm trờn một nửa mặt phẳng cú bờ chứa tia Oz (3) . Từ (1),(2), (3) suy ra tia On và tia Ot 0.5 nằm trờn hai nửa mặt phẳng đối nhau cú bờ chứa tia Oz tia Oz nằm giữa hai tia On và Ot nờn ta cú: nã Oz zã Ot nã Ot hay nã Ot 350 550 900 .Vậy nã Ot 900 0.5 Câu 5 n là số nguyờn tố, n > 3 nờn n khụng chia hết cho 3. 0.5 (2,0) Vậy n2 chia hết cho 3 dư 1 0.5 do đú n2 + 2006 = 3m + 1 + 2006 = 3m+2007 0.75 = 3( m+669) chia hết cho 3. Vậy n2 + 2006 là hợp số. 0.25 DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 6 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 8 Bài 1(1,5đ): Tìm x a) 5x = 125; b) 32x = 81 ; c) 52x-3 – 2.52 = 52.3 Bài 2 (1,5đ) Cho a là số nguyên. Chứng minh rằng: a 5 5 a 5 Bài 3 (1,5đ) Cho a là một số nguyên. Chứng minh rằng: a) Nếu a dương thì số liền sau a cũng dương. b) Nếu a âm thì số liền trước a cũng âm. c) Có thể kết luận gì về số liền trước của một số dương và số liền sau của một số âm? Bài 4 (2đ) Cho 31 số nguyên trong đó tổng của 5 số bất kỳ là một số dương. Chứng minh rằng tổng của 31 số đó là số dương. Bài 5 (2đ). Cho các số tự nhiên từ 1 đến 11 được viết theo thứ tự tuỳ ý sau đó đem cộng mỗi số với số chỉ thứ tự của nó ta được một tổng. Chứng minh rằng trong các tổng nhận được, bao giờ cũng tìm ra hai tổng mà hiệu của chúng là một số chia hết cho 10. Bài 6 (1,5đ): Cho tia Ox. Trên hai nữa mặt phẳng đối nhău có bờ là Ox. Vẽ hai tia Oy và Oz sao cho góc xOy và xOz bắng 1200. Chứng minh rằng: a) xã Oy xã Oz ãyOz b) Tia đối của mỗi tia Ox, Oy, Oz là phân giác của góc hợp bởi hai tia còn lại. Đáp án: Bài 1 (1,5đ) a).5x = 125  5x = 53 => x= 3 b) 32x = 81 => 32x = 34 => 2x = 4 => x = 2 c). 52x-3 – 2.52 = 52.3 52x: 53 = 52.3 + 2.52 52x: 53 = 52.5 52x = 52.5.53  52x = 56 => 2x = 6 => x=3 Bài 2. Vì a là một số tự nhiên với mọi a Z nên từ a a = {0,1,2,3,4}. Nghĩa là a ={0,1,-1,2,-2,3,-3,4,-4}. Biểu diễn trên trục số cácc số này đều lớn hơn -5 và nhỏ hơn 5 do đó -5<a<5. DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 6 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn Bài 3.Nếu a dương thì số liền sau cũng dương. Ta có: Nếu a dương thì a>0 số liền sau a lớn hơn a nên cũng lớn hơn 0 nên là số dương b)Nếu a âm thì số liền trước a cũng âm. Ta có: Nếu a âm thì a<0 số liền trước a nhỏ hơn a nên cũng nhỏ hơn 0 nên là số âm. Bài 4 (2đ). Trong các số đã cho ít nhất có 1 số dương vì nếu trái lại tất cả đều là số âm thì tổng của 5 số bất kỳ trong chúng sẽ là số âm trái với giả thiết. Tách riêng số dương đó còn 30 số chi làm 6 nhóm. Theo đề bài tổng các số của mỗi nhóm đều là số dương nên tổng của 6 nhóm đều là số dương và do đó tổng của 31 số đã cho đều là số dương. Bài 5 (2đ): Vì có 11 tổng mà chỉ có thể có 10 chữ số tận cùng đều là các số từ 0 , 1 ,2, ., 9 nên luôn tìm được hai tổng có chữ số tận cùng giống nhau nên hiệu của chúng là một số nguyên có tận cùng là 0 và là số chia hết cho 10. Bài 6 (1,5đ).Ta có: xã 'Oy 600 , xã 'Oz 600 và tia Ox’ nằm giữa hai tia Oy, Oz nên ãyOz ãyOx' xã 'Oz 1200 vậy xã Oy ãyOz zãOx Do tia Ox’ nằm giữa hai tia Oy, Oz và xã 'Oy xã 'Oz nên Ox’ là tia phân giác của góc hợp bởi hai tia Oy, Oz. Tương tự tia Oy’ (tia đối của Oy) và tia Oz’ (tia đối của tia Oz) là phân giác của góc xOz và xOy. DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 6 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 9 Bài 1( 8 điểm ) 1. Tìm chữ số tận cùng của các số sau: a) 571999 b) 931999 2. Cho A= 9999931999 - 5555571997 Chứng minh rằng A chia hết cho 5. a 3 . Cho phân số ( a<b) cùng thêm m đơn vị vào tử và mẫu thì phân số mới lớn hơn b a hay bé hơn ? b 4. Cho số 155*710* 4*16 có 12 chữ số . chứng minh rằng nếu thay các dấu * bởi các chưc số khác nhau trong ba chữ số 1,2,3 một cách tuỳ thì số đó luôn chia hết cho 396. 5. chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 1 1 a) 2 4 8 16 32 64 3 1 2 3 4 99 100 3 b) 3 32 33 34 399 3100 16 Bài 2( 2 điểm ) Trên tia Ox xác định các điểm A và B sao cho OA= a(cm), OB=b (cm) a) Tính độ dài đoạn thẳng AB, biết b< a 1 b) Xác định điểm M trên tia Ox sao cho OM = (a+b). 2 DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 6 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn Đáp án: Bài 1: 1. Tìm chữ số tận cùng của các số sau: ( 1 điểm ) Để tìm chữ số tận cùng của các số chỉ cần xét chữ số tận cùng của từng số : a) 571999 ta xét 71999 Ta có: 71999 = (74)499.73 = 2041499. 343 Suy ra chữ số tận cùng bằng 3 ( 0,25 điểm ) Vậy số 571999 có chữ số tận cùng là : 3 b) 931999 ta xét 31999 Ta có: 31999 = (34)499. 33 = 81499.27 Suy ra chữ số tận cùng bằng 7 (0,25 điểm ) 2. Cho A = 9999931999 - 5555571997 . chứng minh rằng A chia hết cho 5 Để chứng minh A chia hết cho 5 , ta xét chữ số tận cùng của A bằng việc xét chữ số tận cùng của từng số hạng. Theo câu 1b ta có: 9999931999 có chữ số tận cùng là 7 Tương tự câu 1a ta có: (74)499.7 =2041499.7 có chữ số tận cùng là 7 ( 0,25 điểm ) Vậy A có chữ số tận cùng là 0, do đó A chia hết cho 5. ( 0,25 điểm ) 3 (1 điểm )Theo bài toán cho a <b nên am < bm ( nhân cả hai vế với m) ( 0,25 điểm ) ab +am < ab+bm ( cộng hai vế với ab) ( 0,25 điểm ) a(b+m) < b( a+m) a a m b b m 4.(1 điểm ) Ta nhận thấy , vị trí của các chữ số thay thế ba dấu sao trong số trên đều ở hàng chẵn và vì ba chữ số đó đôi một khác nhau, lấy từ tập hợp 1;2;3 nên tổng của chúng luôn bằng 1+2+3=6. Mặt khác 396 = 4.9.11 trong đó 4;9;11 đôi một nguyên tố cùng nhau nên ta cần chứng minh A = 155*710* 4*16 chia hết cho 4 ; 9 và 11. Thật vậy : +A  4 vì số tạo bởi hai chữ số tận cùng của A là 16 chia hết cho 4 ( 0,25 điểm ) + A  9 vì tổng các chữ số chia hết cho 9 : 1+5+5+7+1+4+1+6+(*+*+*)=30+6=36 chia hết cho 9 ( 0,25 điểm ) + A  11 vì hiệu số giữa tổng các chữ số hàng chẵn và tổng các chữ số hàng lẻ là 0, chia hết cho 11. {1+5+7+4+1)-(5+1+6+(*+*+*)}= 18-12-6=0 ( 0,25 điểm ) Vậy A  396 5(4 điểm ) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 a) (2 điểm ) Đặt A= (0,25 điểm ) 2 4 8 16 32 64 2 22 23 24 25 26 1 1 1 1 1 2A= 1 (0,5 điểm ) 2 22 23 24 25 1 26 1 2A+A =3A = 1- 1 (0,75 điểm ) 26 26 1 3A < 1 A < (0,5 điểm ) 3 1 2 3 4 99 100 2 3 3 4 99 100 b) Đặt A= 3A= 1- 3 32 33 34 399 3100 3 32 33 33 398 399 DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 6 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn (0,5 điểm ) 1 1 1 1 1 100 1 1 1 1 1 4A = 1- 4A< 1- (1) Đặt B= 3 32 33 398 399 3100 3 32 33 398 399 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1- 3B= 2+ (0,5 điểm ) 3 32 33 398 399 3 32 397 398 1 3 4B = B+3B= 3- < 3 B < (2) 399 4 3 3 Từ (1)và (2) 4A < B < A < (0,5 điểm ) 4 16 Bài 2 ( 2 điểm ) a) (1 điểm )Vì OB <OA ( do b<a) nên trên tia Ox thì điểm B nằm giữa điểm O và điểm A. Do đó: OB +OA= OA Từ đó suy ra: AB=a-b. O B A x 1 a b 2b a b a b b)(1 điểm )Vì M nằm trên tia Ox và OM = (a b) b 2 2 2 2 OA OB 1 = OB + OB AB 2 2 M chính là điểm thuộc đoạn thẳng AB sao cho AM = BM DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 6 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 10 Câu 1: (2đ) Thay (*) bằng các số thích hợp để: a) 510* ; 61*16 chia hết cho 3. b) 261* chia hết cho 2 và chia 3 dư 1 Câu 2: (1,5đ) Tính tổng S = 1.2 + 2.3 + 3.4 + + 99.100 Câu 3: (3,5 đ) Trên con đường đi qua 3 địa điểm A; B; C (B nằm giữa A và C) có hai người đi xe máy Hùng và Dũng. Hùng xuất phát từ A, Dũng xuất phát từ B. Họ cùng khởi hành lúc 8 giờ để cùng đến C vào lúc 11 giờ cùng ngày. Ninh đi xe đạp từ C về phía A, gặp Dũng luc 9 giờ và gặp Hùng lúc 9 giờ 24 phút. Biết quãng đường AB dài 30 km, vận tốc của ninh bằng 1/4 vận tốc của Hùng. Tính quãng đường BC Câu 4: (2đ) Trên đoạn thẳng AB lấy 2006 điểm khác nhau đặt tên theo thứ từ từ A đến B là A1; A2; A3; ; A2004. Từ điểm M không nằm trên đoạn thẳng AB ta nối M với các điểm A; A1; A2; A3; ; A2004 ; B. Tính số tam giác tạo thành Câu 5: (1đ) 8 56 Tích của hai phân số là . Thêm 4 đơn vị vào phân số thứ nhất thì tích mới là . 15 15 Tìm hai phân số đó. DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 6 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn ĐÁP ÁN Câu 1 a) Để 510* ; 61*16 chia hết cho 3 thì: 5 + 1 + 0 + * chia hết cho 3; từ đó tìm được * = 0; 3; 6; 9 (1đ) b) Để 261* chia hết cho 2 và chia 3 dư 1 thì: * chẵn và 2 + 6 + 1 + * chia 3 dư 1; từ đó tìm được * = 4 (1đ) Câu 2 S = 1.2 + 2.3 + 3.4 + + 99.100 3.S = (1.2 + 2.3 + 3.4 + + 99.100).3 (0,5đ) = 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 + + 99.100.3 = 1.2.3 +2.3.(4 - 1) + 3.4.(5 - 2) + + 99.100.(101 - 98) (0,5đ) = 1.2.3 - 1.2.3 + 2.3.4 - 2.3.4 + 3.4.5 - - 98.99.100 + 99.100.101 S = 99.100.101: 3 = 33. 100 . 101 = 333300 (0,5đ) Câu 3 Thời gian đi từ A đến C của Hùng là: 11 - 8 = 3 (giờ) Thời gian đi từ B đến C của Dũng là: 11 - 8 = 3 (giờ) Quãng đường AB là 30 km do đó cứ 1 giờ khoảng cách của Hùng và Dũng bớt đi 10 km. Vì vậy lúc 9 giờ Hùng còn cách Dũng là 20 km, lúc đó Ninh gặp Dũng nên Ninh cũng cách Hùng 20 km. Đến 9 giờ 24 phút, Ninh gặp Hùng do đó tổng vận tốc của Ninh và Hùng là: 24 20.60 20 : 50(km / h) 60 24 Do vận tốc của Ninh bằng 1/4 vận tốc của Hùng nên vận tốc của Hùng là: [50 : (1 + 4)] . 4 = 40 (km/h) Từ đó suy ra quãng đường BC là: 40 . 3 - 30 = 90 (km) Đáp số: BC = 90 km Câu 4: (2đ) Trên đoạn thẳng AB có các điểm A; A1; A2; A3; ; A2004 ; B do đó, tổng số điểm trên AB là 2006 điểm suy ra có 2006 đoạn thẳng nối từ M đến các điểm đó. Mỗi đoạn thẳng (ví dụ MA) có thể kết hợp với 2005 đoạn thẳng còn lại và các đoạn thẳng tương ứng trên AB để tạo thành 2005 tam giác. DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 6 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn Do đó 2006 đoạn thẳng sẽ tạo thành 2005 . 2006 = 4022030 tam giác (nhưng lưu ý là MA kết hợp với MA1 để được 1 tam giác thì MA1 cũng kết hợp với MA được 1 tam giác và hai tam giác này chỉ là 1) Do đó số tam giác thực có là: 4022030 : 2 = 2011015 Câu 5: (1đ) 8 56 Tích của hai phân số là . Thêm 4 đơn vị vào phân số thứ nhất thì tích mới là 15 15 56 8 48 suy ra tích mới hơn tích cũ là - = đây chính là 4 lần phân số thứ hai. Suy ra 15 15 15 48 12 4 phân số thứ hai là : 4 = = Từ đó suy ra phân số thứ nhất là: 15 15 5 8 4 2 : = 15 5 3 DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 6 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 11 a3 2a2 1 Câu 1 : (2 điểm) Cho biểu thức A a3 2a2 2a 1 a. Rút gọn biểu thức b. Chứng minh rằng nếu a là số nguyên thì giá trị của biểu thức tìm được của câu a) là một phân số tối giản. Câu 2: (1 điểm) Tìm tất cả các số tự nhiên có 3 chữ số abc sao cho abc n2 1 và cba (n 2)2 Câu 3:a. (1 điểm) Tìm n để n2 + 2006 là một số chính phương b. (1 điểm) Cho n là số nguyên tố lớn hơn 3. Hỏi n2 + 2006 là số nguyên tố hay là hợp số. a n a Câu 4: (2 điểm) a. Cho a, b, n N* Hãy so sánh và b n b 1011 1 1010 1 b. Cho A = ; B = . So sánh A và B. 1012 1 1011 1 Câu 5: (2 điểm) Cho 10 số tự nhiên bất kỳ : a1, a2, , a10. Chứng minh rằng thế nào cũng có một số hoặc tổng một số các số liên tiếp nhau trong dãy trên chia hết cho 10. Câu 6: (1 điểm) Cho 2006 đường thẳng trong đó bất kì 2 đườngthẳng nào cũng cắt nhau. Không có 3 đường thẳng nào đồng qui. Tính số giao điểm của chúng. DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 6 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn Đáp án đề THI HSG toán 6 Câu 1: a3 2a2 1 (a 1)(a2 a 1) a2 a 1 Ta có: A = a3 2a2 2a 1 (a 1)(a2 a 1) a2 a 1 Điều kiện đúng a ≠ -1 ( 0,25 điểm). Rút gọn đúng cho 0,75 điểm. b.Gọi d là ước chung lớn nhất của a2 + a – 1 và a2+a +1 ( 0,25 điểm). Vì a2 + a – 1 = a(a+1) – 1 là số lẻ nên d là số lẻ Mặt khác, 2 = [ a2+a +1 – (a2 + a – 1) ]  d Nên d = 1 tức là a2 + a + 1 và a2 + a – 1 nguyên tố cùng nhau. ( 0, 5 điểm) Vậy biểu thức A là phân số tối giản. ( 0,25 điểm) Câu 2: abc = 100a + 10 b + c = n2-1 (1) cba = 100c + 10 b + c = n2 – 4n + 4 (2) (0,25 điểm) Từ (1) và (2) 99(a-c) = 4 n – 5 4n – 5  99 (3) (0,25 điểm) Mặt khác: 100  n2-1  999 101  n2  1000 11 n31 39 4n – 5  119 (4) ( 0, 25 điẻm) Từ (3) và (4) 4n – 5 = 99 n = 26 Vậy: abc = 675 ( 0 , 25 điểm) Câu 3: (2 điểm) a) Giả sử n2 + 2006 là số chính phương khi đó ta đặt n2 + 2006 = a2 ( a Z) a2 – n2 = 2006 (a-n) (a+n) = 2006 (*) (0,25 điểm). + Thấy : Nếu a,n khác tính chất chẵn lẻ thì vế trái của (*) là số lẻ nên không thỏa mãn (*) ( 0,25 điểm). + Nếu a,n cùng tính chẵn hoặc lẻ thì (a-n)2 và (a+n) 2 nên vế trái chia hết cho 4 và vế phải không chia hết cho 4 nên không thỏa mãn (*) (0,25 điểm). Vậy không tồn tại n để n2 + 2006 là số chính phương. (0,25 điểm). b) n là số nguyên tố > 3 nên không chia hết cho 3. Vậy n2 chia hết cho 3 dư 1 do đó n2 + 2006 = 3m + 1 + 2006 = 3m+2007= 3( m+669) chia hết cho 3. Vậy n2 + 2006 là hợp số. ( 1 điểm). Bài 4: Mỗi câu đúng cho 1 điểm a a a Ta xét 3 trường hợp b 1 b 1 b 1 (0,5 điểm). a 1 a n a n a TH1: b a=b thì b n thì b n = b =1. (0 , vì ,5 điểm). a TH1: b 1 a>b a+m > b+n. a n a b Mà b n có phần thừa so với 1 là b n a a b a b a b a n a b có phần thừa so với 1 là b , vì b n b (0,25 điểm). DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 6 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn 1011 1 b) Cho A = ; 1012 1 a a n a (1011 1) 11 1011 10 rõ ràng A A n) ĐPCM. Câu 6: Mỗi đường thẳng cắt 2005 đường thẳng còn lại tạo nên 2005 giao điểm. Mà có 2006 đường thẳng có : 2005x 2006 giao điểm. Nhưng mỗi giao điểm được tính 2 lần số giao điểm thực tế là: (2005x 2006):2 = 1003x 2005 = 2011015 giao điểm. DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 6 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 12 Cõu 1: (4 điểm) Tớnh: a) A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2013 2014 2015 2016 2.4.10 4.6.8 14.16.20 b) B 3.6.15 6.9.12 21.24.30 Cõu 2: (6 điểm) 102014 2016 102015 2016 a) So sỏnh A và B 102015 2016 102016 2016 1 1 1 1 119 b) Tỡm x biết: ( ).x 1.2.3.4 2.3.4.5 3.4.5.6 7.8.9.10 720 c) Chứng minh rằng: nếu p và p2+2 là cỏc số nguyờn tố thỡ p3+2 cũng là số nguyờn tố. Cõu 3: (4 điểm) a) Tỡm số tự nhiờn n để phõn số 2n 1 là phõn số rỳt gọn được. n 2 b) Trong đợt tổng kết năm học tại một trường THCS, tổng số học sinh giỏi của ba lớp 6A, 6B, 6C là 90 em. Biết rằng 2 số học sinh giỏi của lớp 6A bằng 1 số học sinh 5 3 giỏi của lớp 6B và bằng 1 số học sinh giỏi của lớp 6C. Tớnh số học sinh giỏi mỗi lớp. 2 Cõu 4: (4 điểm) Cho tam giỏc ABC cú ÃCB 600 , AB=6cm. Trờn cạnh AB lấy điểm D (D khỏc A,B) sao cho AD=2cm. a) Tớnh độ dài đoạn thẳng BD. b) Tớnh số đo của DãCB biết ÃCD 200 . c) Dựng tia Cx sao cho Dã Cx 900 . Tớnh ÃCx . d) Trờn cạnh AC lấy điểm E (E khỏc A,C). Chứng minh hai đoạn thẳng CD và BE cắt nhau. 1 1 1 4 Cõu 5: (2 điểm) Tỡm bộ ba số nguyờn dương a, b, c sao cho: a b c 5 HẾT Cỏn bộ coi thi khụng giải thớch gỡ thờm Họ và tờn thớ sinh: Số bỏo danh: DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 6 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn Đỏp ỏn Điể Cõu m 1.1 (2.0 Tớnh A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2013 2014 2015 2016 điểm) A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2013 2014 2015 2016 Tớnh được số cỏc số hạng của A là (2016 - 1) : 1 + 1 = 2016 số hạng 0,75 Nhúm 4 số hạng liờn tiếp vào một nhúm: A (1 2 3 4) (5 6 7 8) (2013 2014 2015 2016) 0.75 A 1444 44(4 4444)2 4.4 4 44(4 4443) 4.504 2016 cú 504 sụ' 0.5 Vậy A=-2016 2.4.10 4.6.8 14.16.20 1.2 B (2.0 3.6.15 6.9.12 21.24.30 điểm) 2.4.10 4.6.8 14.16.20 8.(1.2.5 2.3.4 7.8.10) 8 B 1.75 3.6.15 6.9.12 21.24.30 27.(1.2.5 2.3.4 7.8.10) 27 8 Vậy B= 0.25 27 2.1 102014 2016 102015 2016 (2.0 So sỏnh A 2015 và B 2016 điểm) 10 2016 10 2016 102014 2016 (102014 2016)(102016 2016) Ta cú A 102015 2016 (102015 2016)(102016 2016) 104030 2016.(102014 102016 ) 20162 0.75 (102015 2016)(102016 2016) 104030 2016.102014.101 20162 (1) (102015 2016)(102016 2016) 102015 2016 (102015 2016)(102015 2016) Ta cú B 102016 2016 (102016 2016)(102015 2016) 104030 2.2016.102015 20162 (102016 2016)(102015 2016) 0.75 104030 20.2016.102014 20162 (2) (102016 2016)(102015 2016) Từ (1) và (2) suy ra A>B 0.25 Vậy A>B 0.25 1 1 1 1 119 2.2 Tỡm x biết: ( ).x (1) (2.0 1.2.3.4 2.3.4.5 3.4.5.6 7.8.9.10 720 điểm) DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 6 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn 1 1 1 1 Ta cú: 1.2.3.4 2.3.4.5 3.4.5.6 7.8.9.10 1 1 1 1 1 1 1 ( ) 3 1.2.3 2.3.4 2.3.4 2.3.4 7.8.9 8.9.10 1 1 1 1 119 ( ) . 1,25 3 6 720 3 720 1 119 119 Nờn từ (1) suy ra: . .x =>x=3 0.5 3 720 720 Vậy x=3 0.25 2.3 Chứng minh rằng: nếu p và p2+2 là cỏc số nguyờn tố thỡ p3+2 cũng là số nguyờn tố. (2.0 điểm) Ta nhận xột rằng mọi số nguyờn tố lớn hơn 3 thỡ chia cho 3 đều cú 0.5 dạng p=3k+1 hoặc p=3k+2 ( k N * ) Với p=3k+1 thỡ p2+2=9k2+6k+3 chia hết cho 3. 0.5 Với p=3k+2 thỡ p2+2=9k2-6k+6 chia hết cho 3 Vỡ p là nguyờn tố nờn p 2 khi đú trong cả 2 trường hợp trờn thỡ p 2+2 đều lớn hơn 3 và chia hết cho 3. Tức là p2+2 là hợp số 0.75 => p2+2 chỉ là nguyờn tố khi p=3 (khi đú p2+2=11 là số nguyờn tố) => p3+2=27+2=29 là số nguyờn tố Vậy nếu p và p2+2 là cỏc số nguyờn tố thỡ p3+2 cũng là số nguyờn tố. 0.25 3.1 Tỡm số tự nhiờn n để phõn số 2n 1 là phõn số rỳt gọn được. (2.0 n 2 điểm) Gọi d là ƯCLN(2n+1,n+2) (d N * ) Ta cú 2n+1Md, n+2Md => [(2n+4)-(2n+1)]Md 0.75 => 3Md Vỡ d N * nờn d {1;3} 0.75 Để phõn số 2n 1 rỳt gọn được thỡ d=3 n 2 => n+2=3k ( k N * ) => n=3k-2 ( k N * ) 0.5 2n 1 Vậy với n=3k-2 ( k N * ) thỡ phõn số là phõn số rỳt gọn được. n 2 Trong đợt tổng kết năm học tại một trường THCS, tổng số học sinh giỏi của ba lớp 2 1 3.2 6A, 6B, 6C là 90 em. Biết rằng số học sinh giỏi của lớp 6A bằng số học sinh 5 3 (2.0 1 điểm) giỏi của lớp 6B và bằng số học sinh giỏi của lớp 6C. Tớnh số học sinh giỏi mỗi 2 lớp. Số học sinh giỏi của lớp 6B bằng DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 6 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn 2 1 6 : ( số học sinh giỏi lớp 6A) 5 3 5 0.5đ Số học sinh giỏi lớp 6C bằng 2 1 4 : ( số học sinh giỏi lớp 6A) 0.5đ 5 2 5 Số học sinh giỏi của cả 3 lớp bằng 6 4 1 3 ( số học sinh giỏi lớp 6A) 0.5đ 5 5 Vậy số học sinh giỏi lớp 6A là 90: 3 = 30 học sinh, của lớp 6B là 36 học sinh và của lớp 6C là 24 học sinh 0.5đ Cho tam giỏc ABC cú ÃCB 600 , AB=6cm. Trờn cạnh AB lấy điểm D sao cho AD=2cm. 4 a) Tớnh độ dài đoạn thẳng BD. (4.0 b) Tớnh số đo của gúc DCB biết ãACD 200 . điểm) c) Dựng tia Cx sao cho Dã Cx 900 . Tớnh ÃCx . d) Trờn cạnh AC lấy điểm E. Chứng minh hai đoạn thẳng CD và BE cắt nhau. E E Trường hợp 1 Trường hợp 2 a) D nằm giữa A và B => AD+BD=AB=>BD=6-2=4cm 0.75 KL 0.25 b) Tia CD nằm giữa hai tia CA và tia CB => ãACD DãCB ÃCB 0.75 => DãCB =400 KL 0.25 c) Xột hai trường hợp: - Trường hợp 1: Hai tia CD và Cx nằm về một phớa so với đường thẳng CB Tớnh được gúc ACx = 900- ãACD = 700 0.5 K.L - Trường hợp 2: Hai tia CD và Cx nằm về hai phớa so với đường thẳng CB Tớnh được gúc ACx = 900 + ãACD = 1100 0.5 K.L DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 6 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn - Xột đường thẳng CD. Do CD cắt AB nờn đường thẳng CD chia mặt phẳng làm 2 nửa: 1 nửa MP cú bờ CD chứa điểm B và nửa MP bờ CD chứa điểm A => tia CA thuộc nửa MP chứa điểm A. E thuộc đoạn AC => E thuộc nửa MP bờ CD chứa điểm A => E và B ở 2 nửa MP bờ CD 0.5 => đường thẳng CD cắt đoạn EB - Xột đường thẳng BE. Lập luận tương tự: ta cú đường thẳng EB cắt đoạn CD. Vậy 2 đoạn thẳng EB và CD cắt nhau. 0.5 1 1 1 4 5 Tỡm bộ ba số nguyờn dương a, b, c sao cho: (1.0 a b c 5 điểm) Khụng làm mất tớnh tổng quỏt, ta giả sử: a b c khi đú ta cú: 3 4 15 , a 0.5 a 5 4 Nếu a=1 thỡ khụng thể được, do đú a= 2 hoặc a=3 1 1 3 Nếu a=2 thỡ b c 10 2 3 20 Suy ra , b b 10 3 0.5 Suy ra b=4 hoặc b= 5 hoặc b=6 vỡ 3 < 1 10 3 Suy ra cỏc số a, b, c thỏa món là (a=2,b=4,c=20) và (a=2,b=5,c=10) 1 1 7 Nếu a=3 thỡ b c 15 0.5 2 7 30 từ đú , b suy ra b=3 hoặc b=4. Khụng cú trường hợp nào thỏa b 15 7 món K.L cú 12 bộ số thỏa món là cỏc hoỏn vị của hai bộ ba số (2,4,20) và 0.5 (2,5,10) DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 6 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 13 Bài 1. a, Rỳt gọn biểu thức: 2 2 2 2 7 5 17 293 A = = 3 3 3 3 7 5 17 293 b, Tớnh nhanh: 1 + 3 – 5 – 7 + 9 + 11 - – 397 – 399 1 1 1 1 Bài 2. a, Cho A = 2 2 32 4 2 100 2 3 Chứng minh rằng A< 4 b, So sỏnh 1720 và 3115. Bài 3. a, Tỡm cỏc số x, y N biết (x + 1) . (2 y – 1) = 12 b, Tỡm x biết: (x + 1 ) + (x + 2) + (x + 3) + + (x + 100) = 5750 2n 1 Bài 4. Tỡm số nguyờn n sao cho là số nguyờn. n 5 Bài 5. Tỡm tất cả cỏc số nguyờn tố P sao cho P2 + 2p cũng là số nguyờn tố. Bài 6. Tỡm số tự nhiờn nhỏ nhất chia cho 5 dư 3, chia cho 7 dư 4. 2 Bài 7. Số sỏch ở ngăn A bằng số sỏch ở ngăn B. Nếu chuyển 3 quyển từ ngăn A sang 3 1 ngăn B thỡ số sỏch ở ngăn A bằng số sỏch ở ngăn B. Tỡm số sỏch ở mỗi ngăn. 7 Bài 8. Cho gúc XOY = 1500 kẻ tia OZ sao cho XOZ = 400 Tớnh số đo gúc YOZ? Bài 9. Cho 100 điểm trong đú cú đỳng 3 điểm thẳng hàng, cứ qua hai điểm ta vẽ một đường thẳng. Hỏi cú tất cả bao nhiờu đường thẳng DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 6 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn Đỏp ỏn mụn Toỏn 6 Cõu 1. a, (1 điểm) 1 1 1 1 2( ) 2 A = 7 5 17 293 = 1 1 1 1 3 3( ) 17 5 17 293 b, (1 điểm) 1 + 3 – 5 – 7 + 9 + 11 – – 397 – 399 = 1 + 3 – 5 – 7 + 9 + 11 – – 397 – 399 + 401 – 401 = 1 + (3 – 5 – 7 + 9) + + (395 – 397 – 399 + 401) – 401 = 1 + 0 + + 0 – 401 = 1 – 401 = -401 Cõu 2.a, ( 1 điểm) 1 1 1 1 1 1 1 1 A = 1620 = (24)20 = 280 3115 3 ta cú: P2 + 2p = (P2 – 1) + (2p +1) DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 6 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn Ta cú P2 – 1 = (P – 1) (P + 1) là tớch 2 số chẵn liờn tiếp nờn chia hết cho 3. 2p + 1 = (2 + 1). M luụn chia hết cho 3. Nờn P2 + P chia hết cho 3 nờn P2 + 2p là số nguyờn tố. Vậy, với P = 3 thỡ P2 = 2p là số nguyờn tố. Cõu 6. Gọi a là số chia cho 5 dư 3, chia cho 7 dư 4 ta cú: a + 17 chia hết cho 5, chia hết cho 7 mà a + 17 là số nhỏ nhất 17 + a là BCNN (5, 7) = 35 a + 17 = 35 a = 18 Vậy, với a = 18 thỡ a là số nhỏ nhất chia cho 5 dư 3, chia cho 7 dư 4. 2 Bài 7. Số sỏch ở ngăn A bằng số sỏch ở ngăn B nờn số sỏch ở ngăn A bằng 3 2 2 số sỏch của cả 2 ngăn. 2 3 5 3 Sau khi chuyển 3 quyển từ ngăn A sang ngăn B thỡ số sỏch ngăn A bằng số sỏch ở 7 3 3 ngăn B hay bằng số sỏch ở cả 2 ngăn. 3 7 10 Vỡ số sỏch ngăn A ban đầu hơn số sỏch ở ngăn A sau khi chuyển là 3 quyển. Nờn ta cú 2 3 1 chỉ số 3 quyển sỏch là: 5 10 10 1 Số sỏch cả hai ngăn là: 3: =30 (quyển) 10 2 Số sỏch ở ngăn A là 30 12 (quyển) 5 Số sỏch ở ngăn B là: 30 – 12 = 18 (quyển). Bài 8. z Trường hợp 1: OZ nằm trong gúc XOY XOZ = 400 x XOY = 150 XOZ 1800 400 y YOZ = 3600 - (XOZ + XOY) 0 0 0 o = 360 – (40 + 150 ) Z = 1700 Cõu 9: Chia 100 điẻm thành 2 tập hợp A gồm 3 điểm thẳng hàng, tập hợp B gồm 97 điểm cũn lại. Số đường thẳng trong tập hợp A là 1 DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 6 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn 97.96 Số đường thẳng trong tập hợp B là 4656 2 Số đường thẳng qua 1 điểm thuộc tậphợp A và điểm thuộc tập hợp B là 3.97 = 291. Vậy số đường thẳng đi qua 100 điểm trong đú cú 3 điểm thẳng hàng là: 1 + 4656 + 291 = 4948 đường thẳng. DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 6 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 14 Bài 1 : (2 điểm) Tớnh giỏ trị biểu thức sau 1 1 1 a / 4 12 5 7 6 7 b / 2 4 6 8 2014 3 5 7 9 2011 1 1 1 1 1 c / 1 1 1 1 1 3 6 10 15 780 Bài 2 : (2 điểm) a/ Tỡm số nguyờn a , biết : 13 a 1 4 44 24 15 2011 0 b/ Cho biểu thức : A 2010 20102 20103 20102009 20102010 Chứng minh rằng A chia hết cho 2011 c/ Cho B 802 79.80 1601 Chứng minh rằng : B là bỡnh phương của một số tự nhiờn . Bài 3 : (2 điểm) 2011 2012 2013 a/ So sỏnh S với 3 , biết S 2012 2013 2011 b/ Với n số tự nhiờn thỏa món 6n + 1 và 7n – 1 là hai số tự nhiờn khụng nguyờn tố cựng nhau thỡ ước chung lơn nhất của 6n + 1 và 7n – 1 là bao nhiờu ? Bài 4 : (4 điểm) Cho điểm O nằm ngoài đường thăng xy . Trờn cựng một nửa mặt phẳng cú bờ chứa đường thẳng xy , kẻ tia Oz , Ot sao cho zã Ot 1300 , ãyOt 1000 a/ Tia Oz là phõn giỏc của ãyOt khụng? tại sao ? b/ Gọi Om là phõn giỏc của zã Ot , On là tia đối của tia Ot . Tớnh số đo gúc mOn ? c/ Lấy thờm 19 điểm phõn biệt trờn đường thẳng xy ( cỏc điểm này khụng trựng với điểm O ) và một điểm A nằm ngoài đường thẳng xy . Hỏi vẽ được bao nhiờu tam giỏc nhận 3 trong cỏc điểm trờn làm đỉnh . DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 6 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn ĐÁP ÁN ĐỀ THI HSG TOÁN LỚP 6 Thời gian làm bài 150 phỳt Bài 1 : (2 điểm) Tớnh giỏ trị biểu thức sau 1 1 1 1 1 1 1 1 1 36 1 6 a / 4 12 5 4 12 .5 4 2 . 4 2 5 2 3 7 6 7 7 6 6 7 7 6 7 7 7 b / 2 4 6 8 2014 3 5 7 9 2011 Nhận xột : 2 4 6 8 2014 Cú 1007 số hạng ; 3 5 7 9 2011 Cú 1005 số hạng 2 3 4 5 6 7 2010 2011 2012 2014 Cú 1006 nhúm 1 1 1 1 4026 Cú 1005 số hạng -1 1005 4026 3021 1 1 1 1 1 2 5 9 14 779 4 10 18 28 1558 c / 1 1 1 1 1 . . . . . . 3 6 10 15 780 3 6 10 15 780 6 12 20 30 1560 1.4 2.5 3.6 4.7 38.41 1.2.3 38 4.5.6 41 1 41 41 . . . . . 2.3 3.4 4.5 5.6 39.40 2.3.4 39 3.4.5.6 40 39 3 107 Bài 2 : (2 điểm) 13 a 1 4 44 24 15 2011 0 44 24 15 2011 13 a 1 4 44.1 1 a/ 13 a 1 4 43 13 a 1 39 a 1 4 3 a 1 3 a 4 Thảo món a 1 3 a 2 b/ A 2010 20102 20103 20102009 20102010 Cú 2010số hạng A 2010 20102 20103 20104 20102009 20102010 2010. 1 2010 20103. 1 2010 20102009. 1 2010 2010.2011 20103.2011 20102009.2011 2011. 2010 20103 20102009 chia hết cho 2011 Nờn A chia hết cho 2011 c/ Cho B 802 79.80 1601 80 80 79 1601 80.1 1601 1681 412 Vậy B là bỡnh phương của một số tự nhiờn 41 Bài 3 : (2 điểm) 2011 2012 2013 1 1 1 1 S 1 1 1 2012 2013 2011 2012 2013 2011 2011 a/ 1 1 1 1 3 2011 2012 2011 2013 1 1 1 1 Vỡ ; 2011 2012 2011 2013 DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 6 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn 1 1 1 1 1 1 1 1 Nờn 0; 0 3 3 2011 2012 2011 2013 2011 2012 2011 2013 Vậy S>3 b/ Gọi d là ước chung lớn nhất của 6n + 1 và 7n – 1 ( d thuộc N*) Ta cú : 6n + 1 d 7. 6n + 1 d 7. 6n + 1 6. 7n - 1 d 42n +7-42n+6 d d 1;13 7n - 1 d 6. 7n - 1 d Mà 6n + 1 và 7n – 1 là hai số tự nhiờn khụng nguyờn tố cựng nhau .Nờn d 1 d 13 Vậy ước chung lớn nhất của 6n + 1 và 7n – 1 là 13 Bài 4 : (4 điểm) Cho điểm O nằm ngoài đường thăng xy . Trờn cựng một nửa mặt phẳng cú bờ chứa đường thẳng xy , kẻ tia Oz , Ot sao cho zã Ot 1300 , ãyOt 1000 a/ Vỡ điểm O nằm trờn đường thẳng xy nờn hai tia Ox và Oy là hai tia đối nhau Nờn xã Oy, ãyOz là hai gúc kề bự xã Oy ãyOz 1800 ãyOz 500 Trờn cựng một nửa mặt phẳng cú bờ chứa tia Oy cú xã Oy ãyOz 500 1000 Nờn tia Oz năm giữa tia Oy và Ot (1) zãOy tảOz ãyOt zãOy 500 2 Từ (1) và (2) suy ra Oz là phõn giỏc của gúc yOt b/ Vỡ Om là phõn giỏc của zã Ot 1 Nờn zãOm tãOm .500 250 2 Vỡ On là tia đối của tia Ot .Nờn nãOm &tãOm là hai gúc kề bự nãOm tãOm 1800 nãOm 1800 250 1550 c/ Xột 20 điểm tờn đường thẳng xy Chọn một điểm nối nối điểm đú lần lượt với 19 điểm cũn lại ta vẽ được 9 đoạn thẳng Làm như vậy với 20 điểm ta được 19.20 đoạn thẳng Như vậy mỗi đoạn thẳng đó được tớnh hai lần Do đú tất cả chỉ cú 19.29:2 đoạn thẳng *Vỡ qua ba điểm khụng thẳng hàng ta vẽ được một tam giỏc Nờn cứ nối hai điểm đầu của một đoạn thẳng nằm trờn đường thẳng xy với điểm A nằm ngoài đường thẳng xy ta xẽ vĩe được một tam giỏc DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 6 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn Vậy số tam giỏc vẽ được bằng số đoạn thẳng nằm trờn đường thẳng xy Như vậy ta cú 190 tam giỏc. DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 6 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 15 Câu 1: (2đ) Cho 2 tập hợp A n N / n(n 1) 12; B x Z / x 3 a) Tìm giao của 2 tập hợp. b) Có bao nhiêu tích ab (Với a A;b B) được tạo thành, cho biết những tích là ước của 6. Câu 2: (3đ) a) Cho C = 3 + 32 + 33 + 34 + 3100 Chứng tỏ C chia hết cho 40. b) Cho các số 0,1,3,5,7,9. Hởi có thể thiết lập được bao nhiêu số có 4 chữ số chia hết cho 5 từ 6 chữ số đã cho. Câu 3: (3đ) Tính tuổi của anh và em biết rằng 5/8 tuổi anh hơn 3/4 tuổi em là 2 năm và 1/2 tuổi anh hơn 3/8 tuổi em là 7 năm. Câu 4: (2đ) a) Cho góc xoay có số đo 1000. Vẽ tia OZ sao cho góc ZOY = 350. Tính góc XOZ trong từng trường hợp. b) Diễn tả trung điểm M của đoạn thẳng AB bằng các cách khác nhau. DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 6 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn Đáp án toán lớp 6 Câu 1: Liệt kê các phân tử của 2 tập hợp a) A = {0,1,2,3}; B = {-2,-1,0,1,2} 0,5đ A  B 0,1,2 0,5đ b) Có 20 tích được tạo thành 0,5đ -2 -1 0 1 2 0 0 0 0 0 0 1 -2 -1 0 1 2 2 -4 -2 0 2 4 3 -6 -3 0 3 6 Những tích là ước của 6: 1, 2, 3, 6 0,5đ Câu 2: a) B = (3 + 32 + 33 + 34) + +(397 + 398 + 399 + 3100 ) 0,5đ = 3(1+3+32+33) + + 397(1+3+32+33) 0,5đ = 40.(3+35+39+ + 397):40 0,5đ b) Mỗi số có dạng abc0, abc5 0,5đ - Với abc0 + Có 5 cách chọn chữ số hàng nghìn (Vì chữ số hàng nghìn không phải là số 0) 0,5đ + Có 6 cách chọn chữ số hàng trăm 0,5đ + Có 6 cách chọn chữ số hàng chục Vậy 5.6.6 = 180 số. 0,5đ - Với abc5 Cách chọn tương tự và cũng có 180 số. Vậy ta thiết lập được 360 số có 4 chữ số chia hết cho 5 từ 6 chữ số đã cho. 0,5đ Câu 3: 1/2 Tuổi anh thì hơn 3/8 tuổi em là 7 năm. Vậy tuổi anh hơn 6/8 tuổi em là 14 năm 0,5đ Mà 5/8 tuổi anh lớn hơn 3/4 tuổi em là 2 năm. nên 1-5/8 = 3/8 tuổi anh = 14-2 = 12 năm. 1đ DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 6 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn Vậy tuổi anh là 12:3/8 = 32 tuổi. 0,5đ 3/4 tuổi em = 32-14 = 18 tuổi 0,5đ 3/4 tuổi em là: 18:3/4 = 24 tuổi. 0,5đ Câu 4: a) Có 2 cách vẽ tia OZ(có hình vẽ) Góc XOZ = 650 hoặc 1350 1,0 đ b) Có thể diễn tả trung điểm M của đoạn thẳng AB bằng 3 cách khác nhau MA MB AB AB M là trung điểm của đoạn thẳng AB MA MB 1,0đ MA MB 2 DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 6 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 16 Câu 1: Cho 2 tập hợp A n N / n(n 1) 12 B x Z / x 3 a) Tìm giao của 2 tập hợp. b) Có bao nhiêu tích ab (Với a A;b B) được tạo thành, cho biết những tích là ước của 6. Câu 2: a) Cho C = 3 + 32 + 33 + 34 + 3100 Chứng tỏ C chia hết cho 40. b) Cho các số 0,1,3,5,7,9. Hởi có thể thiết lập được bao nhiêu số có 4 chữ số chia hết cho 5 từ 6 chữ số đã cho. Câu 3: Tính tuổi của anh và em biết rằng 5/8 tuổi anh hơn 3/4 tuổi em là 2 năm và 1/2 tuổi anh hơn 3/8 tuổi em là 7 năm. Câu 4: a) Cho góc xoay có số đo 1000. Vẽ tia OZ sao cho góc ZOY = 350. Tính góc XOZ trong từng trường hợp. b) Diễn tả trung điểm M của đoạn thẳng AB bằng các cách khác nhau. DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 6 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn Đáp án toán lớp 6 (đề số 16) Câu 1: Liệt kê các phân tử của 2 tập hợp a) A = {0,1,2,3}; B = {-2,-1,0,1,2} 0,5đ A  B 0,1,2 0,5đ b) Có 20 tích được tạo thành 0,5đ -2 -1 0 1 2 0 0 0 0 0 0 1 -2 -1 0 1 2 2 -4 -2 0 2 4 3 -6 -3 0 3 6 Những tích là ước của 6: 1, 2, 3, 6 0,5đ Câu 2: a) B = (3 + 32 + 33 + 34) + +(397 + 398 + 399 + 3100 ) 0,5đ = 3(1+3+32+33) + + 397(1+3+32+33) 0,5đ = 40.(3+35+39+ + 397):40 0,5đ b) Mỗi số có dạng abc0, abc5 0,5đ - Với abc0 + Có 5 cách chọn chữ số hàng nghìn (Vì chữ số hàng nghìn không phải là số 0) 0,5đ + Có 6 cách chọn chữ số hàng trăm 0,5đ + Có 6 cách chọn chữ số hàng chục Vậy 5.6.6 = 180 số. 0,5đ - Với abc5 Cách chọn tương tự và cũng có 180 số. Vậy ta thiết lập được 360 số có 4 chữ số chia hết cho 5 từ 6 chữ số đã cho. 0,5đ Câu 3: 1/2 Tuổi anh thì hơn 3/8 tuổi em là 7 năm. Vậy tuổi anh hơn 6/8 tuổi em là 14 năm 0,5đ Mà 5/8 tuổi anh lớn hơn 3/4 tuổi em là 2 năm. nên 1-5/8 = 3/8 tuổi anh = 14-2 = 12 năm. 1đ Vậy tuổi anh là 12:3/8 = 32 tuổi. 0,5đ 3/4 tuổi em = 32-14 = 18 tuổi 0,5đ 3/4 tuổi em là: 18:3/4 = 24 tuổi. 0,5đ DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 6 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn Câu 4: a) Có 2 cách vẽ tia OZ(có hình vẽ) Góc XOZ = 650 hoặc 1350 1,0 đ b) Có thể diễn tả trung điểm M của đoạn thẳng AB bằng 3 cách khác nhau MA MB AB AB M là trung điểm của đoạn thẳng AB MA MB MA MB 2 DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 6 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 17 Câu 1:( 2 điểm ) Các phân số sau có bằng nhau không? Vì sao? 23 23232323 2323 232323 ; ; ; 99 99999999 9999 999999 Câu 2:( 2 điểm ) Tính giá trị của biểu thức sau: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A = ( + - ):( + - + . . ) + 1:(30. 1009 – 160) 7 23 1009 23 7 1009 7 23 1009 Câu 3 :( 2 điểm ) a, Tìm số tự nhiên x , biết : 1 1 1 23 ( + + . . . + ) . x = 1.2.3 2.3.4 8.9.10 45 b,Tìm các số a, b, c , d N , biết : 30 1 = 1 43 a 1 b 1 c d Câu 4 : ( 1 điểm ) Một số tự nhiên chia cho 120 dư 58, chia cho 135 dư 88. Tìm a, biết a bé nhất ? Câu5( 2 điểm ) : Góc tạo bởi 2 tia phân giác của 2 góc kề bù, bằng bao nhiêu? Vì sao? Câu 6 ( 1 điểm) : Cho 20 điểm, trong đó có a điểm thẳng hàng. Cứ 2 điểm, ta vẽ một đường thẳng. Tìm a , biết vẽ được tất cả 170 đường thẳng . DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 6 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn Đáp án đề thi 23 23.101 2323 23 23.10101 232323 Câu 1: a, Ta thấy; 99 99.101 9999 99 99.10101 999999 23 23.1010101 23232323 99 99.1010101 99999999 23 2323 232323 23232323 Vậy; 99 9999 999999 99999999 b, Ta phải chứng minh , 2. x + 3 . y chia hết cho 17, thì 9 . x + 5 . y chia hết cho 17 Ta có 4 (2x + 3y ) + ( 9x + 5y ) = 17x + 17y chia hết cho 17 Do vậy ; 2x + 3y chia hết cho 17 4 ( 2x +3y ) chia hết cho 17 9x + 5y chia hết cho 17 Ngược lại ; Ta có 4 ( 2x + 3y ) chia hết cho 17 mà ( 4 ; 17 ) = 1 2x + 3y chia hết cho 17 Câu 2 ; Ta viết lại A như sau : 1 1 1 ( ).23.7.1009 1 A= 23 7 1009 + 1 1 1 1 1 1 ( . . ).23.7.1009 (23 7).1009 161 1 23 7 1009 23 7 1009 7.1009 23.1009 23.7 1 = + = 1 7.1009 23.1009 23.7 1 23.1009 7.1009 23.7 1 1 1 1 1 1 1 23 Câu 3; a, ( ) . x = 2 1.2 2.3 2.3 3.4 9.10 45 1 1 1 23 .( ) . x = x = 2 2 2 90 45 30 1 1 1 1 b, = 43 13 1 1 43 1 1 1 4 1 30 30 2 2 1 13 3 4 => a =1 ; b = 2 ; c = 3 ; d = 4 a 120.q1 58 9a 1080q1 522 Câu 4; Ta có (q1, q2 N ) a 135.q2 88 8a 1080.q2 704 Từ ( 2 ) , ta có 9 . a = 1080 . q2 + 704 + a ( 3 ) Kết hợp ( 1 ) với ( 2 ) , ta được a = 1080 . q – 180 Vì a nhỏ nhất, cho nên, q phải nhỏ nhất y t => q = 1 => a = 898 B- Phần hình học Câu 5; Gọi Ot , Ot, là 2tia phân giác của 2 t, kề bù góc xOy và yOz Giả sử , xOy = a ; => yOz = 180 – a 1 1 Khi đó ; tOy = a t,Oy = ( 180 – a) z 2 2 x 1 1 => tOt, = a (180 a ) = 900 O 2 2 DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 6 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn Câu 6; Giả sử trong 20 điểm, không có 3 điểm nào thẳng hàng. Khi đó, số đường thẳng vẽ được là; 19 . 20:2 = 190 Trong a điểm, giả sử không có 3 điểm nào thẳng hàng.Số đường thẳng vẽ được là ; (a – 1 ) a : 2 . Thực tế, trong a điểm này ta chi vẽ được 1 đường thẳng. Vậy ta có ; 190 – ( a- 1)a : 2 + 1 = 170 => a = 7 DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 6 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 18 Bài 1: (1đ) Tính nhanh. 1 5 5 2 5 1 5 3 a) . . . . . 7 9 9 7 9 7 9 7 3 9 b) 4.11. . 4 121 c) 41 . 36 + 59 . 90 + 41 . 84 + 59 . 30. d) 4 . 51 . 7 + 2 . 86 . 7 + 12 . 2 . 7 Bài 2: (2đ) Tìm x biết. 27 11 a) x 3 . 11 9 b) 7.7 x 1 434 (x N) 2 c) (2x 14) : 2 3 : 2 1 0 d) (x 3)(2x 7) 0 Bài 3: (2đ) a) Tìm các số nguyên x; y biết (x - 1).(y + 1) = 5 b) Chứng minh rằng: tổng sau là hợp số abcabc + 22. Bài 4: (1đ) Sắp xếp các số sau đây theo thứ tự tăng dần 245; 336 ; 427 ; 518 Bài 5: (1đ) Tìm các giá trị a nguyên thỏa mản đẳng thức a3 2a2 5a 6 0. Bài 6: (2đ) Cho 2 góc kề nhau xOy; xOz sao cho xOy = 1000, xOz = 1300 a) Tia Ox có nằm giữa 2 tia Oy, Oz không? b) Tính yOz. DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 6 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn Đáp án toán lớp 6 Bài 1: (2đ) 5 1 2 1 3 5 5 a) . .1 0.5đ 9 7 7 7 7 9 9 3 9 9 27 b) (4. ).(11. ) 3. 0.5đ 4 121 11 11 41. 36 84 59. 90 30 41.120 59.120 C) 120. 41 59 0.5đ 120.100 12000 d) 28.51 28.43 28.6 0.25đ 28. 51 43 6 0.25đ 28.100 2800 Bài 2: (2đ) Mỗi câu hàm đúng 0,5đ a) x 3 3 => không có giá trị của x 0.5đ x 2 3 b) 7 x 2 7 3 0.5đ x 1 Vậy x = 1 c) Thực hiện đưa đẳng thức về dạng: 2x 14 20 0.5đ 2x 6 x 3 Vậy x = 3 d) x 3 2x 7 0 x 3 0 x 3 Vậy x = 3; x = 3,5 0.5đ 2x 7 0 x 3,5 Bài 3: (2đ) Câu a: (1đ) Ta có: (x – 1)(y + 1) = 5 . 1 = 1 . 5 = (-1).(-5) = (-5).(-1) 0.25đ Suy ra: DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 6 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn +) x – 1 = 5 và y + 1 = 1 => x = 6 và y = 0 +) x – 1 = và y + 1 = 5 => x = 2 và y = 4 +) x – 1 = - 1 và y + 1 = - 5 => x = 0 và y = - 6 +) x – 1 = - 5 và y + 1 = - 1 => z = - 4 và y = - 2 Vậy x = 6; y = 0 x = 2; y = 4 x = 0; y = - 6 x = - 4; y = - 2 Câu b: (1đ) abcabc 22 abc.1001 22. abc.11.91 22. 0.5đ 11. 91.abc 2 nên abc abc + 22 là hợp số 0.5đ Bài 5: (1đ) Giả sử cố một số a0 thỏa mản đẳng thức đã cho nghĩa là: 3 2 a0 2a0 5a0 6 0 0.25đ 3 a0 a0 2 2a0 a0 Do 6a0 0.5đ 5a0 a0 0a0 => a0 phải là một trong các ước của 6. Mà Ư(6) = 1; 2; 3; 6. Thử chọn tìm được giá trị của a cần tìm là. 2; -1 ; -3 0.25đ Vậy a 2; 1; 3 Bài 6: (2đ) y - Vẽ hình đúng 0.25đ a) 0.75đ 1000 x’ - Giả sử tia Ox nằm giữa hai x tia Oy, Oz thì yOz = yOx + xOz 1030 = 1000 + 1300 = 2300 > 1800 (vô lý) z DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 6 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn => tia Ox không nằm giữa 2 tia Oy, Oz b) 1đ - Gọi Ox’ là tia đối của tia Ox - Thì tia Ox nằm giữa 2 tia Oy; Oz - Tính x’Oy = 800 ; x’Oz = 600 (Dựa vào 2 góc kề bù) - Tính được yOz = x’Oy + x’Oz = 800 + 600 = 1400 DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 6 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 19 Bài 1 : 3 đ Người ta viết các số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ 1 đến 2006 liền nhau thành một số tự nhiên L . Hỏi số tự nhiên L có bao nhiêu chữ sô . Bài 2 : (3đ) Có bao nhiêu chữ số gồm 3 chữ số trong đó có chữ số 4 ? Bài 3 : (4đ) Cho băng ô gồm 2007 ô như sau : 17 36 19 Phần đầu của băng ô như trên . Hãy điền số vào chố trống sao cho tổng 4 số ở 4 ô liền nhau bằng 100 và tính : a) Tổng các số trên băng ô . b) Tổng các chữ số trên băng ô . c) Số điền ở ô thứ 1964 là số nào ? DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 6 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn đáp án Bài 1 : Có 9 số có 1 chữ số từ 1 đến 9 ( 0.25đ) Có 90 số có 2 chữ số từ 10 đến 99 (0.5đ) Có 900 số có 3 chữ số từ 100 đến 999 (0.5đ) Các số có 4 chữ số là từ 1000 đến 2006 có : 2006 - 1000 + 1 = 1007 số (0.5đ) Số chữ số của số tự nhiên L là : 9 + 90.2 + 900.3 + 1007.4 = 6917 (chữ số ) (1.25đ) Bài 2 : Có 900 số có 3 chữ số từ 100 đến 999 (0.25đ) Ta chia 900 sô thành 9 lớp , mỗi lớp có 100 số (0.25đ) có cùng chữ số hàng trăm . Lớp thứ nhất gồm 100 số từ 100 đến 199 Lớp thứ hai gồm 100 số từ 200 đến 299 Lớp thứ 9 gồm 100 số từ 900 đến 999 (05đ) Xét 9 lớp thì lớp thứ 4 cả 100 số đều có chữ số 4 ở hàng trăm . 8 lớp còn lại hàng trăm khác 4 nên chữ số 4 nếu có thì ở hàng chục và hàng đơn vị (0.25đ) . Xét lớp thứ nhất thì các số có chữ số 4 làm hàng đơn vị gồm : 104, 114 194 (có 10 số ) (05đ) các số có 4 chữ số làm hàng chục là 140,141,142, 149 (có 10 số) (0.5đ) Nhưng số 144 có mặt ở trong cả 2 trờng hợp vậy ở lớp thứ nhất số lợng số có chữ số 4 là : 10 + 10 - 1 = 19 (số) (0.25đ) Bảy lớp còn lại cũng theo quy luật ấy . Vậy số lợng số có 3 chữ số có chữ số 4 là : 100 + 19.8 = 252 số (0.5đ) Bài 3 : Ta dùng các số 1; 2; 3 .để đánh số cho các ô phần đầu băng ô (0.25đ) . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 28 17 19 36 28 17 19 36 28 17 Vì các ô số 4; 5; 6; 7 và 3; 4; 5; 6 nên số ở ô số 3 và ô số 7 bằng nhau ô số 3 là 19 (0.5đ) 100 - (17 + 19 + 36) = 28 Vậy ô số 1 là số 28 ( 0.25đ) 100 - (17 + 19 + 36) = 28 . Vậy số điền ô thứ 5 là số 28 ( 0.25đ) số điền ở ô số 6 cũng là số 17 (0.25đ) Ta có : 2007 = 501.4 + 3 Vậy ta có 501 nhóm 4 ô , d 3 ô cuối là ô thứ 2005; 2006; 2007 với các số 28; 17; 19 (0.5đ) a) Tổng các số trên băng ô là : 100.501 + 28 +17 +19 = 50164 (1đ) DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 6 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn b) Tổng các chữ số ở mỗi nhóm ô là : 2 + 8 +1 + 7 +1 +9 + 3 + 6 = 37 (0.5đ) Tổng các chữ số trên băng ô là : 37.501 + 2 + 8 + 1 + 7 +1 +9 = 18567 c) 1964  4 . vậy số điền ở ô thứ 1964 là số 36 . (0.5đ) DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 6 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 20 Bài 1 (4.0 điểm) : Tớnh giỏ trị biểu thức a/ A 2 5 8 11 2012 1 1 1 1 1 b/ B 1 1 1 1 1 2 3 4 2011 2012 Bài 2 (4.0 điểm) : a/ Tỡm x, y nguyờn biết : 2x (3y – 2) + (3y – 2) = -55 1 1 1 1 1 b/ Chứng minh rằng : 42 62 82 (2n)2 4 2n 1 3n 5 4n 5 Bài 3 (3.0 điểm ) : Cho biểu thức : A n 3 n 3 n 3 a/ Tỡm n để A nhận giỏ trị nguyờn. b/ Tỡm n để A là phõn số tối giản Bài 4 (3.0 điểm) : Tỡm số nguyờn tố ab ( a > b > 0 ), sao cho ab ba là số chớnh phương Bài 5 (4.0 điểm) : Cho nửa mặt phẳng bờ AB chứa hai tia đối OA và OB. a/ Vẽ tia OC tạo với tia OA một gúc bằng ao, vẽ tia OD tạo với tia OCC một gúc bằng (a + 10)o và với tia OB một gúc bằng (a + 20)o Tớnh ao b/ Tớnh gúc xOy, biết gúc AOx bằng 22o và gúc BOy bằng 48o c/ Gọi OE là tia đối của tia OD, tớnh số đo gúc kề bự với gúc xOD khi gúc AOC bằng ao Bài 6 (3.0 điểm) : Cho A 102012 102011 102010 102009 8 a/ Chứng minh rằng A chia hết cho 24 b/ Chứng minh rằng A khụng phải là số chớnh phương. Hết DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 6 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn ĐÁP ÁN CÂ NỘI DUNG ĐIỂ U M a/ A 2 5 8 11 2012 2.0 A (2 2012)(2012 2) :3 1: 2 675697 1 1 1 1 1 b/ B 1 1 1 1 1 2 3 4 2011 2012 Cõu 2 1 3 1 4 1 2011 1 2012 1 1 B 2 2 3 3 4 4 2011 2011 2012 2012 2.0 1 2 3 2010 2011 B . . . 2 3 4 2011 2012 1 B 2012 a/ Tỡm x, y nguyờn biết : 2x (3y – 2) + (3y – 2) = -55 =>(3y – 1)(2x + 1) = -55 55 => 2x 1 (1) 3y 2 Để x nguyờn thỡ 3y – 2 Ư(-55) = 1;5;11;55; 1; 5; 11; 55 +) 3y – 2 = 1 => 3y = 3 => y = 1, thay vào (1) => x = 28 +) 3y – 2 = 5 => 3y = 7 => y = 7 (Loại) 3 +) 3y – 2 = 11 => 3y = 13 => y =13 (Loại) 3 2.0 +) 3y – 2 = 55 => 3y = 57 => y = 19 , thay vào (1) => x = -1 +) 3y – 2 = - 1 => 3y = 1 => y = 1 (Loại) 3 Cõu +) 3y – 2 = -5 => 3y = -3 => y = -1, thay vào (1) => x = 5 2 +) 3y – 2 = -11 => 3y = -9 => y = -3 , thay vào (1) => x = 2 +) 3y – 2 = -55 => 3y = -53 => y = 53 (Loại) 3 Vậy ta cú 4 cặp số x, y nguyờn thoả món là (x ; y ) = (28 ; 1) , (-1 ; 19) , (5 ; -1), (2 ; -3) 1 1 1 1 1 b/ Chứng minh rằng : 42 62 82 2n2 4 Ta cú 1 1 1 1 A 2 2 2 2 4 6 8 (2n) 2.0 1 1 1 1 A (2.2)2 (2.3)2 (2.4)2 (2.n)2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A 2 2 2 2 4 2 3 4 n 4 1.2 2.3 3.4 (n 1)n DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 6 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A 4 1 2 2 3 3 4 (n 1) n 1 1 1 A 1 (ĐPCM) 4 n 4 2n 1 3n 5 4n 5 Cho biểu thức : A n 3 n 3 n 3 a/ Tỡm n để A nhận giỏ trị nguyờn. Ta cú : 2n 1 3n 5 4n 5 (2n 1) (3n 5) (4n 5) 2n 1 3n 5 4n 5 n 1 A n 3 n 3 n 3 n 3 n 3 n 31.0 n 3 4 4 A 1 (2) n 3 n 3 A nguyờn khi n – 3 Ư(4) = 1;2;4; 1; 2; 4=> n 4;5;7;2;1; 1 Cõu 3 b/ Tỡm n để A là phõn số tối giản n 1 Ta cú : A (Theo cõu a) n 3 Xột n = 0 ta cú phõn số A = 1 là phõn số tối giản 3 Xột n 0 ; 3 1.0 Gọi d là ước chung của (n + 1) và (n – 3) => (n + 1)  d và (n – 3)  d => (n + 1) - (n – 3) chia hết cho d => 4 chia hết cho d => d = 1 ; 2; 4 => d lớn nhất bằng 4 => A khụng phải là phõn số tối giản Kết luận : Với n = 0 thỡ A là phõn số tối giản Tỡm số nguyờn tố ab ( a > b > 0 ), sao cho ab ba là số chớnh phương Ta cú : ab ba (10a b) (10b a) 10a b 10b a 9a 9b 9(a b) 32 (a b) Vỡ => a,b 1;2;3;4;5;6;7;8;9 => 1 a- b 8 Cõu Để ab ba là số chớnh phương thỡ a – b = 1; 4 3.0 4 +) a – b = 1 (mà a > b) ta cú cỏc số ab là : 98 ; 87 ; 76; 65; 54 ; 43; 32; 21 Vỡ ab là số nguyờn tố nờn chỉ cú số 43 thoả món +) a – b = 4 (mà a > b) ta cú cỏc số ab là : 95 ; 84 ; 73; 62; 51 Vỡ ab là số nguyờn tố nờn chỉ cú số 73 thoả món Kết luận : Vậy cú hai số thoả món điều kiện bài toỏn là 43 và 73 Cõu Hỡnh vẽ 2.0 DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 6 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn 6 C D y o (a+10)o (a+20) x 22o ao 48o A O B E Cho nửa mặt phẳng bờ AB chứa hai tia đối OA và OB. a/ Vẽ tia OC tạo với tia OA một gúc bằng ao, vẽ tia OD tạo với tia OCC một gúc bằng (a + 10)o và với tia OB một gúc bằng (a + 20)o.Tớnh ao Do OC, OD nằm trờn cựng một nửa mặt phẳng bờ AB và Cã OD Cã OA(a 10 a) . Nờn tia OC nằm giữa hai tia OA v à OD => ãAOC Cã OD Dã OB ãAOB => ao + (a + 10)o + (a + 20)o = 180o => 3.ao + 30o = 180o => ao = 50o b/ Tớnh gúc xOy, biết gúc AOx bằng 22o và gúc BOy bằng 48o Tia Oy nằm giữa hai tia OA v à OB Ta cú : ãAOy 180o Bã Oy 180o 48o 132o ãAOx 22o 1.0 Nờn tia Ox nằm giữa hai tia OA và Oy => ãAOx xã Oy ãAOy 22o xã Oy 132o xã Oy 132o 22o 110o c/ Gọi OE là tia đối của tia OD, tớnh số đo gúc kề bự với gúc xOD khi gúc AOC bằng ao V ỡ tia OC nằm giữa hai tia OA và OD nờn o o o o o o o ãAOC Cã OD ãAOD ãAOD a a 10 2a 10 2.50 10 110 1.0 Vỡ Ã Ox ãAOD(22o 110o ) nờn tia Ox nằm giữa hai tia OA và OD => Ã Ox xãOD ãAOD 22o xãOD 110o xãOD 110o 22o 88o Vậy số đo gúc kề bự với gúc xOD cú số đo là : 180o – 88o = 92o Cho A 102012 102011 102010 102009 8 a/ Chứng minh rằng A chia hết cho 24 Ta cú : A 103 102009 102008 102007 102006 8 8.125 102009 102008 102007 102006 8 Cõu A 8. 125 102009 102008 102007 102006 1 8 (1) 1.5 6 Ta lại cú cỏc số : 102012 ; 102011 ; 102010 ; 102009 cú tổng tổng cỏc chữ số bằng 1, nờn cỏc số 102012 ; 102011 ; 102010 ; 102009 khi chia cho 3 đều cú số dư bằng 1 8 chia cho 3 dư 2. Vậy A chia cho 3 cú số dư là dư của phộp chia (1 + 1 + 1 + 1 + 2) chia DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 6 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn cho 3 Hay dư của phộp chia 6 chia cho 3 (cú số dư bằng 0) Vậy A chia hết cho 3 Vỡ 8 và 3 là hai số nguyờn tố cựng nhau nờn A chia hết cho 8.3 = 24 b/ Chứng minh rằng A khụng phải là số chớnh phương. Ta cú cỏc số : 102012 ; 102011 ; 102010 ; 102009 đều cú chữ số tận cựng là 0 Nờn A 102012 102011 102010 102009 8 cú chữ số tận cựng là 8 1.5 Vậy A khụng phải là số chỉnh phương vỡ số chớnh phương là những số cú chữ số tận cựng là 1 ; 4; 5 ; 6 ; 9 DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 6 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 21 Câu 1 ( 2 điểm ) 5.415.99 - 4.320.89 a) Tính  5.29.619 - 7.229.276 b) Tính tổng 3 3 3 A =  +  + +  2.5 5.8 17.20 Câu 2 ( 2,5 điểm ) a) Tìm số tự nhiên n sao cho 2n + 7 chia hết cho n + 1 b) Tìm các số nguyên tố p sao cho p + 10 ; p + 14 là các số nguyên tố. Câu 3 ( 2, 5 điểm ) 2n + 5 a) Tìm số n Z để phân số  là số nguyên n + 1 b) Số sách ở ngăn A bằng 2/3 số sách ở ngăn B. Nếu chuyển 3 quyển từ ngăn A sang ngăn B thì ngăn A bằng 3/7 số sách ở ngăn B. Tìm số sách mỗi ngăn Câu 4 ( 2 điểm ) Cho ABC điểm D nằm giữa A và C , điểm E nằm giữa A và B, các đoạn thẳng BD, CE cắt nhau tại K, nối DE . Tính xem có bao nhiêu có trong hình vẽ. Câu 5 ( 1 điểm ) Tìm số nguyên lớn nhất, nhỏ nhất biết rằng 1996 x + 2  2000 DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 6 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn đáp án đề 21 Câu 1:(1điểm) 5.230.318 - 22.320.227 229.318(5.2 - 9) a)  =  5.29.219.319 - 7.229.318 228.318(15-14) 2.1 =  = 2 1 b) (1đ): Tính tổng 3 1 1  =  -  2.5 2 5 3 1 1  =  -  5.8 5 8 3 3 3 1 1 1 1 1 1 Vậy:  +  + +  =  -  +  -  + +  -  2.5 3.8 17.20 2 5 5 8 17 20 1 1 9 =  -  =  2 20 20 Câu 2 a) ( 1 điểm ) 2n + 7 chia hết cho n + 1 2n + 7 - 2( n+ 1) chia hết cho n + 1 2n + 7 - 2n -2 chia hết cho n + 1 5 chia hết cho n + 1 n + 1 là ước của 5 n + 1 = 5 n = 4 n + 1 = 1 n = 0 Vậy khi n = 0 , n = 4 thì 2n + 7 chia hết cho n +1 b) ( 1, 5 điểm) vì 10.14 là chẵn p phải lẻ thì p + 10 , p +14 là nguyên tố với p = 3 ta có p + 10 = 13 nguyên tố p + 14 = 17 nguyên tố với p = 3k + 1 ta có p + 10 = 3k + 11 không chia hết cho 3 nguyên tố p + 14 = 3k + 15 chia hết cho 3 là hợp số với p = 3k + 2 ta có p + 10 = 3k + 12 chia hết cho 3 là hợp số p + 14 = 3k + 16 không chia hết cho 3 nguyên tố Vậy với p = 3 là số nguyên tố duy nhất sao cho p + 10 , p +14 là nguyên tố Câu 3 2n + 15 a) ( 1, 5 điểm) Tìm n Z để  là số nguyên n + 1 DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 6 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn 2n 15 2(n 1) 13 13 2n 15 13 ta có = 2 + để là số nguyên thì phải là số nguyên n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 tức là : n + 1 là ước của 13 ( ước nguyên ) của 13 là: 1, 13 do đó n + 1 = 1 n = 0 n + 1 = -1 n = - 2 n + 1 = 13 n= 12 n + 1 = - 13 n = - 14 Vậy các giá trị cần tìm là: n = 0, -2, 12, 14 2 2 b) ( 1điểm ) Lúc đầu ngăn A = (Tổng số sách ) 2 3 5 1 Tổng số sách hai ngăn là: 3: = 30 quyển 10 30.2 Ngăn A có = 12 quyển 5 B có 30 - 12 = 18 quyển Câu 4 ( 2 điểm) ABC AED AEC ABD DEC DEB DEK DKC DBC EBC EBK BKC Câu 5 ( 1 điểm ) đặt A =  x+ 2 ta có 1996 2000 ( 0, 5 điểm) số nguyên A nhỏ nhất lớn hơn 1996 là 1997 nên  x+ 2 = 1997 với x + 2 = 1997 x= 1995 x = - 1999 A nhỏ nhất nên x nhỏ nhất x = - 1999 ( 0, 5 điểm) Số nguyên A lớn nhất nhỏ hơn 2000 là 1999 nên  x+ 2 = 1999 với x + 2 = 1999 x= 1997 x = -2001 A lớn nhất suy ra x lớn nhất suy ra x= 1997 Vậy số nguyên lớn nhất là 1997, số nguyên nhỏ nhất là - 1999 t/m đk DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 6 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 22 Câu hỏi: Bài 1 (2,5đ) a) Tính tổng: S = 1 + 3 + 5 + + 2001 + 2003 b) Tìm số nguyên x thoả mãn | 2x - 2| = x + 18 Bài 2 (1,5đ) Cho biết a + 4b chia hết cho 13 (a,b N). Chứng minh rằng 10 a + b chia hết cho 13. Bài 3 (3đ) a) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n các số sau là hai số nguyên tố cùng nhau. 2n + 3 và 4n + 8 b) Tìm số tự nhiên biết rằng 260 chia cho số đó dư 20 ; 350 chia cho số đó dư 30. Bài 4 (3đ) 5n 3 a) Chứng tỏ rằng phân số là phân số tối giản với mọi n N. 3n 2 188887 b) Tìm phân số bằng phân số . Biết tổng giữa tử và mẫu của phân số là 6. 211109 DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 6 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn Đáp án đề 22 Bài 1 (2,5đ) a) Tính được tổng S có: (2003 - 1) : 2 + 1 = 1002 Vậy S = ( 1 + 2003 ) . 1002 : 2 = (0,5đ) = 1004004 (0,5đ) b) (1,5 điểm) | 2x - 2 | = x + 18 suy ra 2x - 2 = x + 18 (0,25đ) 2x - x = 18 + 2 => x = 20 (0,25đ) Hoặc là: 2x - 2 = - ( x + 18 ) (0,25đ) 16 3x = - 16 => x = (0,5đ) 3 Vậy x = 20 thoả mãn đề bài. ( 0,25đ) Bài 2 (1,5đ) Đặt a + 4b = x ; 10a + b = y (0,25đ) Biết x  13 cần chứng minh y  13 Xét biểu thức: 10 x - y = 10 ( a + 4b ) - ( 10a + b ) (0,5 đ) = 10a + 40b - 10a - b (0,25đ) = 39 b  13 Như vậy 10 x - y  13 (0,25đ) Do đó x  13 nên 10x  13 suy ra y  13 (0,25đ) Bài 3 (3đ) a) (1,5 điểm) Gọi d là ƯCLN (2n + 3 ; 4n + 8) (0,5 đ) => (4n + 8 ) - 2 ( 2n + 3 ) (0,25 đ) = 4n + 8 - 4n - 6 = 2  d (0,25đ) Do d là ước của số lẻ 2n + 3 nên d = 1 (0,5đ) b) (1,5 điểm) Gọi số chia phải tìm là a (a N* ) (0,25đ) Theo bài ra ta có: (260 - 20 )  a và (350 - 30 )  a (0,5đ) Nên a là ƯCLN (240 ; 320 ) = 80 (0,5đ) Vậy a = 80 (0,25đ) Bài 4 (3đ) a) ( 1,5 điểm) Vì n N Gọi ƯCLN (5n + 3 ; 3n + 2 ) = d (d N và d ≥ 1 ) (0,25đ) Ta có 5n + 3  d và 3n + 2  d Do đó 5 ( 3n + 2 )  d và 3 ( 5n + 3 )  d ( 0,5đ) DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 6 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn Suy ra 5 ( 3n + 2 ) - 3 ( 5n + 3 )  d (0,5đ) Hay 15n + 10 - 15n - 9 = 1  d Do đó d = 1 (0,25đ) 5n 3 Vậy phân số là phân số tối giản với mọi n N. 3n 2 b) (1,5điểm) 188887 17 Ta có: = (0,25đ) 211109 19 17k Các phân số phải tìm có dạng (k Z ; k 0 ) (0,5đ) 19k Vì tổng giữa tử và mẫu của phân số là 6 nên: -17k + 19k = 6 => 2k = 6 => k = 3 (0,5đ) 17.3 51 Phân số phải tìm là: = (0,25đ) 19.3 57 DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 6 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 23 3 3 3 Bài 1: ( 2 Điểm ) cho tổng Sn = 1 + 2 + 3 + +n a) Tính S100 ( tổng của 100 số hạng đầu tiên của Sn ). b) áp dụng tìm x N , biết: 1 + 23 + 33 + +x3 = 100. Bài 2: ( 2 Điểm ) a) Cho n N*, chứng minh rằng: A = 199 98 + 36n 54;( n - 1 chữ số 9) b) Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất biết khi chia a cho 39 thì dư 5, cho 40 thì dư 7. Bài 3: ( 2 Điểm ) a) Tìm x nguyên để ( x + 3)( 1 - x ) là số chính phương 18n 3 b) Tìm n N để phân số tối giản. 21n 7 Bài 4: ( 2,5 Điểm ) Cho n điểm A1, A2, , An ( n 2). Trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. a) Tính số đường thẳng nếu n = 20 b) Tìm n biết số đường thẳng kẻ được là 1128 c) Số đường thẳng kẻ được có thể bằng 2004 không ? Bài 5: ( 1,5 Điểm ) a) Tìm các số tự nhiên x, y thoả mãn: 2x + 14 = y2. b) Cho N = 1.3.5 2001. Chứng minh rằng trong ba số nguyên liên tiếp 2N -1; 2N; 2N +1 không có số nào là số chính phương. Họ và tên thí sinh: , SBD: Đáp án đề 23 DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 6 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn Bài 1: ( 2 Điểm ) 3 3 3 2 a) ( 1 Điểm ) .Sn = 1 + 2 + 3 + + n = ( 1 + 2 + 3 + + n) (0,25 đ) 2 n(n 1) = 2 3 3 3 S100 = 1 + 2 + 3 + + 100 2 2 2 100(100 1) 100.101 = ( 1 + 2 + 3 + + 100) = = (0,5 đ) 2 2 =(50. 101)2 = 50502 = 25502500. (0,25 đ) b) ( 1 Điểm ) Ta có: 1 + 23 + 33 + + x3 = 100 ( 1 + 2 + 3 + + x)2 = 100 (0,25 đ) 2 x(x 1) x(x 1) 100 10 x(x 1) 20 mà x và x+ 1 là hai số (0,5 đ) 2 2 tự nhiên liên tiếp suy ra x = 4. (0,25 đ) Bài 2: ( 2 Điểm ). a) ( 1 điểm ) A = 199 98 + 36n + 2.10n - 2 + 36n = 2( 10n -1) + 36n (0,25 đ) A = 2.99 9 + 36n = 18( 11 1) - 18n + 54n = 18( 11 1 - n) + 54n (0,5 đ) ta có: 11 1 - n  3 18( 11 1 - n )  54 A  54. (0,25 đ) b) ( 1 điểm ) Theo đề bài ta có: a = 19k +5 và a = 40q + 17 ( k, q N ) (0,25 đ) suy ra 19k = 40q + 12  19 40q + 12  19 2q + 1219 2(q + 6) 19 ( m N ) (0,5 đ) suy ra q+6  19 q = 19m +13 a = 760m + 537 a nhỏ nhất khi m = 0 a = 537. (0,25 đ) Bài 3: ( 2 Điểm ) a) ( 1 đ ) Ta có: ( x + 3 )( 1 - x ) = y2 ( y N ) y2 0 (x 3)(1 x) 0 (x 3)(x 1) 0 (1) (0,25 đ) Lại có: x + 3 > x - 1 (2) x 3 0 x 3 Từ (1) và (2) suy ra 3 x 1 x 3; 2; 1;0;1 x 1 0 x 1 ( vì x Z ) (0,5 đ) Kiểm tra và trả lời x 3; 1;1 (0,25 đ) b) ( 1 đ ) Gọi d ƯC(18n +3, 21n + 7 ); d nguyên tố. 18n 3d  Ta có:  6(21n 7) 7(18n 30)d 21d d 3;7 (0,25 đ) 21n 7d lại có: 21n + 7 3 d 3 ; và 21n +7 7 (0,25 đ) nếu 18n +37 4n 37 (4n 3) 77 4(n 1)7 n 7k 1,(k N) (0,25 đ) Vậy để phân số tối giản thì n 7k 1 (0,25 đ) DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 6 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn Bài 4: ( 2,5 Điểm ) a) ( 1 đ ) n(n 1) Lập luận đưa đến khẳng định số đường thẳng kẻ được với n điểm là: (0,5 đ) 2 20.19 Với n = 20 số đường thẳng kẻ được là: 190 ( đường thẳng ) (0,5 đ) 2 n(n 1) b) ( 0,75 đ) Ta có: = 1128 n(n – 1) = 2256 = 48.47 n = 48 2 n(n 1) c) ( 0,75 đ ) = 2004 n( n – 1 ) = 4008 ( vô lý ) vì tích hai số nguyên liên 2 tiếp không có tận cùng bằng 8. Vậy số đường thẳng kẻ được không thể là 2004. Bài 5: ( 1,5 Điểm ) a) ( 0,75 đ) Nếu x = 0 thì y2 = 15 ( không thoả mãn ) Nếu x = 1 thì y2 = 16 suy ra y = 4. (0,25 đ) Nếu x 2 thì 2x chia hết cho 4 nên 2x + 14 chia cho 4 dư 2 (0,25 đ) suy ra y2 chiacho 4 dư 2 điều này không thể xảy ra vì số chính phương chia cho 4 chỉ có số dư là 0 hoặc 1. vậy ( x = 1; y = 4 ). (0,25 đ) b) ( 0,75 Ta có: 2N là số chẵn nhưng không chia hết cho 4 nên 2N không là số chính phương. (0,25 đ) N chia hết cho 3 suy ra 2N chia hết cho 3 suy ra 2N - 1 chia cho 3 dư 2 nên 2N - 1 không là số chính phương. (0,25 đ) Giả sử 2N + 1 = k2 ( k N ) 2N = ( k - 1 )( k + 1 ) 2 k - 1 và k + 1 cùng chia hết cho 2 ( k - 1 )( k +1 ) 4 2N  4 ( mâu thuẫn ) suy ra 2N + 1 không là số chính phương. Vậy ba số trên không thể là số chính phương. (0,25 đ) Nếu học sinh giải cách khác mà đúng vẫn cho điểm như đáp án! DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 6 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 24 Bài 1: (4 điểm) cho phân số 1 2 3 9 11 12 13 19 a, Rút gọn phân số. b, Hãy xoá một hạng tử và một số hạng ở mẫu để được một phân số mới có giá trị bằng phân số cũ. Bài 2: (6 điểm) a, CMR: (1980m- 1995n)15 với mọi m, n N. b, Tìm số nguyên tố p sao cho p + 10 và p + 14 là số nguyên tố. 2 2 2 2 c, Tính tổng: 1 3 3 5 5 7 99 101 Câu 3: (5 điểm) Có 2 xe ô tô . Xe thứ nhất chạy từ A đến B mất 3 giờ. Xe thứ 2 khởi hành sau xe thứ nhất 1 giờ. Hỏi sau khi xe thứ hai chạy được một giờ thì 2 xe cách nhau mấy phần quãng đường AB. Câu 4 (5 điểm) Trên cùng nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox, xác định tia Oy, Oz sao cho xOy =1200, xOz = 500 . a, Tính yOz ? b, Vẽ tia Ot là tia đối của tiaOy. Nêu tên các cặp góc kề bù có trong hình vẽ. c, Tính số đo góc kề bù với xOy . DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 6 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn Đáp án Đề 24 Câu 1:( 4 điểm) đúng mỗi phần 2 điểm. 1 2 3 9 (1 9) (2 8) (3 7) (4 6) 5 45 1 a, 11 12 13 19 (11 19) (12 18) (13 17) (14 16) 15 135 3 40 1 b, Có thể xoá số 5 ở tử và số 15 ở mẫu: 120 3 41 1 Có thể xoá số 4 ở tử và số 12 ở mẫu: 123 3 39 1 Có thể xoá số 6 ở tử và số 18 ở mẫu: 117 3 Câu 2: (6 điểm) đúng mỗi phần 2 điểm. Số 1980m15 a,  Hiệu ( 1980m- 1995n) 15 1995n15  b, + Với p = 2 thì p + 10 và p + 14 là hợp số không thoả mãn. + Với p = 3 thì p + 10 = 3 + 10 = 13 là số nguyên tố. p + 14 = 3 + 14 = 17 là số nguyên tố. + Với p > 3 p có dạng 6n + 1 hoặc 6n - 1 * Nếu p = 6n + 1 thì p + 14 = 6n + 15  3 * Nếu p = 6n- 1 thì p + 14 = 6n- 9  3 Tức là với p > 3 thì hoặc p + 10 là hợp số hoặc p + 14 là hợp số. Vập p = 3 c, 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 100 1 1 3 3 5 5 7 99 101 1 3 3 5 5 7 99 101 101 101 Câu 3 (5 điểm) Khi xe thứ hai chạy được 1 giờ thì xe thứ nhất chạy được 2 giờ ( 0,5 điểm) Trong 2 giờ xe thứ nhất chạy đựơc 2 quãng đường AB. ( 1 điểm) 3 Trong 1 giờ xe thứ hai chạy đợc 1 quãng đường AB. ( 1 điểm) 2 2 1 7 Tổng quãng đường hai xe chạy là: quãng đường AB. ( 1 điểm) 3 2 6 7 1 Vậy 2 xe gặp nhau, sau đó chạy cách xa nhau thêm là: 1 quãng đường AB. 6 6 ( 1 điểm) Câu 4: ( 5 điểm). y z + Vẽ đúng ( 1 điểm) a, Tính đúng yOz ( 2 điểm) ( Vì xOz < xOy nên tia Oz nằm giữa Oy, Ox. yOz = xOy - zOx = 1200- 500 = 700 ) O x b,Các cặp góc kề bù nhau trong hình là: yOz và zOt; yOx và xOt ( 1 điểm) c, Tính đúng số đo góc kề bù với xOy ( 1 điểm) DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 6 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn ( Kề bù với xOy là xOt : xOy + xOt = 1800 xOt = 1800- xOy = 1800- 1200 = 600 ) DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 6 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 25 Câu 1 (2điểm) Tính : a. 51: {112-[5.23 + (14-6)2]}. b. 1+2+3+4+ +2004. Câu 2(3 điểm) : Tìm số tự nhiên x biết: a. 121+(23.3 - 2x):4 =125 b. 4x-3 + 8.23 = 24.8 c. (x-3)2 - 25: 8 =65: 35 Câu 3 (2điểm) : Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên m thì tích (m +11)(m + 16) luôn là một số chẵn Câu 4 (2điểm) : Cho 3 số tự nhiên : abc ; bca ; cab . Biết : abc và bca chia hết cho 3 Chứng minh rằng cab cũng chia hết cho 3. Câu 5(1điểm) : Cho A =2+22+23+ +22004 Chứng minh rằng A chia hết cho 7. DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 6 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn Đáp án đề 25 Câu 1 (2điểm) : a. 3 2004.(2004 1) b. 1002.2005=2009010 (hoặc = =1002.2005) 2 Câu 2: (2điểm) : a. x=4 b. x=6 c. x=9 Câu 3: + Giả sử m là số tự nhiên chẵn => m=2k (k = 0,1,2 ). Từ đó ta có: (m + 11).(m +16 )= (2k +11).(2k + 16) =(2k +11).(k+8).2 chia hết cho 2 => (m + 11).(m +16 ) là số chẵn. + Giả sử m là số tự nhiên lẻ => m= 2k +1 (k=0,1,2,3 ). Từ đó ta có : (m + 11).(m +16 )= (2k +1 +11).(2k +1+16) =(2k +12).(2k+17) = 2(k+6).(2k+17) chia hết cho 2 . => (m + 11).(m +16 ) là một số chẵn . Vậy (m + 11).(m +16 ) là một số chẵn với mọi số tự nhiên m. Câu 4 : Xét tổng : abc +bca +cab =100a +10b +c +100b + 10c +a +100c +10a +b =111( a + b + c ) chia hết cho 3 Vậy cab chia hết cho 3 Câu 5: A =2+22+23+ +22004 =(2 +22+23)+(24+25+26)+ +(22002+22003+22004) =2(1+2+22)+24(1+2+22)+ +22002 (1+2+22) =(1+2+22)(2+24+ +22002) =7.(2+24+ +22002) chia hết cho 7 Vậy A chia hết cho 7 ĐỀ SỐ 26 DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 6 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn Cõu 1 Chứng minh rằng : 1 + 1 + 1 + + 1 9999931999 - 5555571997 cú chữ số tận cựng là 0 =>Hiệu chia hết cho 5 b/ Đặt S = 11n + 2 + 122n + 1 = (11 2 x 11n ) +(121 x 122n )= 121 . 11n + 12 . 144n S =(133 – 12) . 11n + 12 . 144n = 133 . 11n + (144n – 11n) . 12 Tacú: 133 . 11n chia hết 133; 144n – 11n = chia hết (144 – 11) 144n – 11n chia hết 133 Vậy S = 11n + 1 + 122n + 1 chia hết 133 Cõu 4: Cho 101 đường thẳng trong đú bất cứ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau, khụng cú ba đường thẳng nào đồng quy. Tớnh số giao điểm của chỳng. Giải : . Mỗi đường thẳng cắt 100 đường tẳng cũn lại tạo nờn 100 giao điểm . Cú 101 đường thẳng nờn cú 101.100 giao điểm . nhưng mỗi giao điểm đó được tớnh hai lần nờn chỉ cú 101.100:2= 5050 ( giao điểm) Cõu 5: DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 6 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn Trờn tia Ox xỏc định cỏc điểm A và B sao cho OA= a(cm), OB=b (cm) a) Tớnh độ dài đoạn thẳng AB, biết b< a b) Xỏc định điểm M trờn tia Ox sao cho OM = 1 (a+b). 2 Giải : Vỡ OB <OA ( do b<a) nờn trờn tia Ox thỡ điểm B nằm giữa điểm O và điểm A. Do đú: OB + BA= OA a/ Từ đú suy ra: AB = a – b . b/ OM = 1 (a+b). nghĩa là M là trung điiểm của OA 2 O B A x Cõu 6. Trờn tia Ox cho 4 điểm A, B, C, D. biết rằng A nằm giữa B và C; B nằm giữa C và D ; OA = 5cm; OD = 2 cm ; BC = 4 cm và độ dài AC gấp đụi độ dài BD. Tỡm độ dài cỏc đoạn BD; AC. Giải : O D B A C x Vỡ A nằm giữa B và C nờn BA +AC = BC BA +AC =4 (1) Lõp. luõn B nằm giữa A và D. Theo gt OD < OA D nằm giữa O và A. (Mà OD + DA = OA 2 + DA =5 DA =3 cm Ta cú DB + BA = DA DB +BA =3 (2) (1) –(2) AC – DB = 1 (3) theo đề ra : AC = 2BD thay và (3) Ta cú 2BD – BD = 1 BD = 1 AC = 2BD AC = 2 cm DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 6 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 27 Cõu 1. ( 2,0 điểm) Cho A = 2 + 22 + 23 + 24 + . . . + 220. Tỡm chữ số tận cựng của A. Cõu 2. ( 1,0 điểm) Số tự nhiờn n cú 54 ước. Chứng minh rằng tớch cỏc ước của n bằng n27. Cõu 3. ( 1,5 điểm) Chứng minh rằng: n( n +1)( 2n +1)( 3n + 1)( 4n +1) chia hết cho 5 với mọi số tự nhiờn n. Cõu 4. ( 1,0 điểm) Tỡm tất cả cỏc số nguyờn tố p và q sao cho cỏc số 7p + q và pq + 11 cũng là cỏc số nguyờn tố. Cõu 5. ( 1,5 điểm) a) Tỡm ƯCLN( 7n +3, 8n - 1) với (n €N*). Tỡm điều kiện của n để hai số đú nguyờn tố cựng nhau. b) Tỡm hai số tự nhiờn biết: Hiệu của chỳng bằng 84, ƯCLN của chỳng bằng 28 và cỏc số đú trong khoảng từ 300 đến 440. Cõu 6. ( 1,0 điểm) Tỡm cỏc số nguyờn x, y sao cho: xy – 2x - y = -6. Cõu 7. ( 2,0 điểm) Cho xAy, trờn tia Ax lấy điểm B sao cho AB = 5 cm. Trờn tia đối của tia Ax lấy điểm D sao cho AD = 3 cm, C là một điểm trờn tia Ay. a. Tớnh BD. b. Biết BãCD = 850 ,BãCA = 500. TớnhÃCD . c. Biết AK = 1 cm (K thuộc BD). Tớnh BK. DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 6 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn Đỏp ỏn đề thi học sinh giỏi mụn Toỏn lớp 6 Cõu Đỏp ỏn Điểm A. 2 = (2 + 22 + 23 + 24 + . . . + 220.). 2 = 22 + 23 + 24 + 25 + . . . + 21 2 . 0,5 Nờn A.2 - A = 221 -2 0,5 Cõu 1 A = 221 - 2 (2,0 điểm) Ta cú : 221 = 24.5+1 = (24)5 . 2 = 165 .2 5 5 16 cú tận cựng là 6 . Nờn 16 . 2 cú tận cựng là 6. 2 cú tận 0,5 cựng là 2. 0,5 Vậy A cú tận cựng là 2. Số tự nhiờn n cú 54 ước. Chứng minh rằng tớch cỏc ước của n bằng n27. 0,25 Cõu 2. 0,25 (1,0 điểm) 0,25 0,25 Với mọi số tự nhiờn n ta cú cỏc trường hợp sau: TH1: n chia hết cho 5 thỡ tớch chia hết cho 5. 0,25 TH 2: n chia cho 5 dư 1 thỡ n = 5k +1 4n +1= 20k + 5 chia hết cho 5 tớch chia hết cho 5. 0,25 Cõu 3 TH3: n chia cho 5 dư 2 thỡ n = 5k +2 (1,5 điểm) 2n +1= 10k + 5 chia hết cho 5 tớch chia hết cho 5. 0,25 TH4: n chia cho 5 dư 3 thỡ n = 5k +3 3n +1= 15k + 10 chia hết cho 5 tớch chia hết cho 5. 0,25 TH 5: n chia cho 5 dư 4 thỡ n = 5k +4 n +1= 5k + 5 chia hết cho 5 tớch chia hết cho 5. 0,25 Vậy : n( n +1)( 2n +1)( 3n + 1)( 4n +1) chia hết cho 5 với mọi số tự nhiờn n. 0,25 Cõu 4 Nếu pq + 11 là số nguyờn tố thỡ nú phải là số nguyờn tố lẻ ( vỡ pq + 11 > 2) (1,0 điểm) pq là số chẵn ớt nhất 1 trong 2 số phải chẵn, tức là bằng 2. DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 6 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn + Giả sử p = 2. Khi đú 7p + q = 14 + q ; pq + 11 = 2q + 11. 0,25 Thử q = 2( loại) q = 3( t/m) 0,25 q > 3 cú 1 số là hợp số. p = 2 và q = 3. + Giả sử q = 2. Giải TT như trờn ta được p = 3. 0,25 Vậy p = 2; q = 3 hoặc p = 3; q = 2. 0,25 a) Gọi ƯCLN( 7n +3, 8n - 1) = d với (n €N*) Ta cú: 7n +3M d, 8n - 1M d. 8.( 7n +3) – 7.( 8n - 1) M d 31M d d = 1 hoặc 31. 0,25 Để hai số đú nguyờn tố cựng nhau thỡ d ≠ 31. Mà 7n + 3M 31 7n + 3 - 31M 31 7(n - 4) M 31 n – 4 M 31( vỡ 7 và 31 nguyờn tố cựng nhau) n = 31k + 4( với k là số tự nhiờn) Do đú d ≠ 31 n ≠ 31k + 4. Vậy hai số 7n +3, 8n – 1 nguyờn tố cựng nhau khi n ≠ 31k + 4( với k là 0,25 số tự nhiờn). 0,25 b) Gọi hai số phải tỡm là a và b ( a, b N* , a > b) Ta cú: ƯCLN(a, b) = 28 nờn a = 28k và b = 28q . Trong đú k, q N*và Cõu 5 k, q nguyờn tố cựng nhau. (1,5 điểm) Ta cú : a - b = 84 0,25 k - q = 3 Theo bài ra: 300 ≤ b < a ≤ 440 10 < q < k <16. Chọn hai số cú hiệu bằng 3 trong khoảng từ 11 đến 15 là 11 và 14; 12 và 15. Chỉ cú 11 và 14 là hai số nguyờn tố cựng nhau. nờn q = 11và k = 14. Ta cú : a = 28. 11 = 308 ; b = 28. 14 = 392 Vậy hai số phải tỡm là 308 và 392. 0,25 0,25 xy – 2x - y = -6 (x – 1)( y - 2) = -4. Với x, y là số nguyờn, ta cú 0,5 bảng: x - 1 -1 1 -2 2 -4 4 Cõu 6 y - 2 4 -4 2 -2 1 -1 (1,0 điểm) x 0 2 -1 3 -3 5 y 6 -2 4 0 3 1 Vậy cỏc số x, y thỏa món là: ( x,y) {( 0;6); (2;-2); (-1;4) } DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 6 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn 0,5 0,25 C y D A B x a) Tớnh BD Vỡ B thuộc tia Ax, D thuộc tia đối của tia Ax A nằm giữa D và B BD = BA + AD = 5 + 3 = 8 (cm) 0,25 b) Biết BCD = 850, BCA = 500. Tớnh ACD Cõu 7 Vỡ A nằm giữa D và B => Tia CA nằm giữa 2 tia CB và CD (2,0 điểm) => ACD + ACB = BCD => ACD = BCD - ACB = 850 - 500 = 350 0,5 c) Biết AK = 1 cm (K thuộc BD). Tớnh BK * Trường hợp 1: K thuộc tia Ax - Lập luận chỉ ra được K nằm giữa A và B - Suy ra: AK + KB = AB KB = AB – AK = 5 – 1 = 4 (cm) 0, 5 * Trường hợp 2: K thuộc tia đối của tia Ax - Lập luận chỉ ra được A nằm giữa K và B - Suy ra: KB = KA + AB KB = 5 + 1 = 6 (cm) 0, 5 * Kết luận: Vậy KB = 4 cm hoặc KB = 6 cm (Bài thi của thớ sinh giải theo cỏch khỏc đỳng vẫn cho điểm tối đa) ĐỀ SỐ 28 Bài 1: (1,0điểm) Thực hiện phộp tớnh (tớnh hợp lý nếu cú thể) a/ 1968: 16 + 5136: 16 -704: 16 b/ 23. 53 - 3 {400 -[ 673 - 23. (78: 76 +70)]} DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toỏn Lớp 6 (Cú đỏp ỏn) - DeThi.edu.vn Bài 2: (1,0điểm) M cú là một số chớnh phương khụng nếu: M = 1 + 3 + 5 + + (2n-1) (Với n N , n 0) Bài 3: (1,5điểm) Chứng tỏ rằng: a/ (3100+19990)  2 b / Tổng của 4 số tự nhiờn liờn tiếp khụng chia hết cho 4 Bài 4: (1,0điểm) So sỏnh A và B biết: 17 18 1 17 17 1 A = 17 19 1 , B = 17 18 1 Bài 5: (2,0điểm) Tớm tất cả cỏc số nguyờn n để: n 1 a) Phõn số n 2 cú giỏ trị là một số nguyờn 12 n 1 b) Phõn số 30 n 2 là phõn số tối giản Bài 6: (2,5điểm) Cho gúc xBy = 550.Trờn cỏc tia Bx, By lần lượt lấy cỏc điểm A, C (A B, C B). Trờn đoạn thẳng AC lấy điểm D sao cho gúc ABD = 300 a/ Tớnh độ dài AC, biết AD = 4cm, CD = 3cm b/ Tớnh số đo gúc DBC c/ Từ B vẽ tia Bz sao cho gúc DBz = 900. Tớnh số đo ABz. Bài 7: (1,0điểm) Tỡm cỏc cặp số tự nhiờn x , y sao cho: (2x + 1)(y – 5) = 12 HẾT (Đề thi gồm cú 01 trang). Thớ sinh khụng được sử dụng tài liệu. Cỏn bộ coi thi khụng giải thớch gỡ thờm. Họ và tờn thớ sinh: ; Số bỏodanh DeThi.edu.vn