Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án)

117 trang Thái Huy 14/09/2023 1672

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

bo_30_de_thi_hoc_sinh_gioi_toan_lop_8.docx

Nội dung text: Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án)

Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 1 Câu 1: Cho a, b là bình phương của hai số nguyên lẻ liên tiếp. Chứng minh rằng ab a b 1 chia hết cho 48. Câu 2: a) Giải phương trình: 2 2 2x2 x 2016 4 x2 5x 2015 4 2x2 x 2016 x2 5x 2015 b) Cho các số a, b, c, d thỏa mãn abcd 1. Tính giá trị của biểu thức 1 1 1 1 M abc ab a 1 bcd bc b 1 acb cd c 1 abd ad d 1 Câu 3: Cho đa thức P x thỏa mãn khi chia cho x 3 thì dư 17 ; khi chia cho x 1 dư 3. tìm dư của phép chia P x cho x2 4x 3 Câu 4: Cho tam giác ABC nhọn có các đường cao AA ; BB ; CC , trực tâm H AH BH CH a) Tính tổng AA BB CC b) Gọi AI là phân giác của tam giác ABC; IM, IN theo thứ tự là phân giác của các góc AIC; AIB ( M AC , N AB ). Chứng minh AN.BI.CM BN.IC.AM AB BC CA 2 c) Tam giác ABC phải thỏa mãn điều kiện gì thì biểu thức đạt giá AA 2 BB 2 CC 2 trị nhỏ nhất Câu 5: 1 1 1 Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn 2016 . x y z x y y z z x Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P x2 y2 y2 z2 z2 x2 DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn HƯỚNG DẪN Câu 1: Ta có ab a b 1 a 1 b 1 Vì a, b là bình phương của hai số nguyên lẻ liên tiếp nên a 2n 1 2 , b 2n 3 2 , ( n ¢ ), suy ra ab a b 1 a 1 b 1 16n n 1 2 n 2 Vì n , n 1 , n 2 là tích của ba số nguyên liên tiếp nên n n 1 n 2 chia hết 2 cho 3, mà 16,3 1 nên 16n n 1 n 2 48 nên ab a b 148. Câu 2: a) Đặt 2x2 x 2016 a ; x2 5x 2015 b , ta có a2 4b2 4ab a 2b 2 0 a 2b , từ đó tìm ra x Câu 3: Vì đa thức chia là x2 4x 3 có bậc hai nên đa thức dư có dạng ax b Ta có P x x 1 x 3 .Q x ax b P 3 17 3a b 17 và P 1 3 a b 3 Do đó a 7 ; b 4 nên đa thức dư có dạng 7x 4 Câu 4: A B' C' M x N H B I C A' D a) Ta có DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 1 1 1 S AA .BC ; S BA .AH ; S CA .AH ABC 2 BHA 2 CHA 2 A B A C .AH S S AA AHB AHC 2 AA .BC SABC AH 2 Chứng minh tương tự ta có: AB B C .BH BC AC .CH S S BH S S CH AHB BHC 2 ; BHC AHC 2 BB .AC CC .AB SABC BB SABC CC 2 2 AH BH CH S S S S S S 2S AHB AHC AHB BHC BHC AHC ABC 2 AA BB CC SABC SABC b) Theo tính chất đường phân giác trong tam giác ta có: AN AI BI AB CM IC ; ; , từ đó suy ra BN BI IC AC AM AI AN BI CM AI AB IC AB IC AB AC . . . . . . 1 AN.BI.CM BN.IC.AM BN IC AM BI AC AI AC BI AC AB c) Vẽ Cx  CC , gọi D là điểm đối xứng với A qua Cx Ta có tam giác BAD vuông tại A và CD CA; AD 2CC Xét ba điểm B, C, D, ta có BD BC CD BAD vuông tại A nên AB2 AD2 BD2 AB2 AD2 BC CD 2 AB2 4CC 2 BC AC 2 4CC 2 BC AC 2 AB2 Chứng minh tương tự ta có: 4AA 2 AB AC 2 BC 2 4BB 2 AB BC 2 AC 2 DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 2 2 AB BC CA 2 2 2 4 AA BB CC AB BC CA 2 2 2 4 AA BB CC Đẳng thức xảy ra BC AC; AC AB; AB BC ABC đều Câu 5: 2 1 1 4 Áp dụng các bất đẳng thức 2 a2 b2 a b ; a b a b Ta có x y y z z x 2 x y 2 y z 2 z x P x2 y2 y2 z2 z2 x2 2 x2 y2 2 y2 z2 2 z2 x2 2 x y 2 y z 2 z x 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 P 2 2 2 2 2. x y y z z x x y y z z x 4 x y y z z x 2 1 1 1 P 2. 2016 4 x y z 3 Vậy minP 2016 x y z 2016 ĐỀ SỐ 2 Câu 1: a) Phân tích đa thức A x 2 x 4 x 6 x 8 15 thành nhân tử b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên a thì a5 5a3 4a chia hết cho 120 Câu 2: 2 1 4 1 x 2 x 4 a) Cho y x ; z x và x 1. Tính z theo y 1 1 x2 x4 x2 x4 b) Cho xy xz yz 1 và x, y, z 1. x y z 4xyz Chứng minh rằng 1 x2 1 y2 1 z2 1 x2 1 y2 1 z2 DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Câu 3: b2 c2 a2 a b c a c b a) Cho x ; y và a b c 0;bc 0;b c a 0 2bc a b c b c a Tính giá trị biểu thức P x y xy 1 3 b) Chứng minh rằng nếu a, b, c khác nhau thì b c c a a b 2 2 2 a b a c b c b a c a c b a b b c c a Câu 4: Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn hơn đường chéo BD. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của B và D xuống đường thẳng AC. Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của C xuống đường thẳng AB và AD. a) Tứ giác BEDF là hình gì? Hãy chứng minh điều đó? b) Chứng minh rằng: CH.CD = CB.CK. c) Chứng minh rằng: AB.AH AD.AK AC 2 . Câu 5: Tìm đa thức f(x) biết rằng: f(x) chia cho x 2 dư 10, f(x) chia cho x 2dư 24, f(x) chia cho x2 4 được thương là 5x và còn dư. HƯỚNG DẪN Câu 2: a) Ta có 2 1 2 1 2 1 x x x 2 2 2 2 2x y 1 x 1 x x 1 1 1 x2 x2 x2 x2 x2 x2 2 1 2 1 2 1 2 x 2 x 2 x 2 2 y 1 x 1 x x x 1 1 1 x2 x2 x2 x2 x2 x2 DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 2x2 2 1 2 1 x 2 x 2 y 1 2 2x 2 2x x . x x4 2 1 2 2 y 1 x2 x2 x2 x2 x2 1 x2 x2 y 1 1 2 2 y 1 y 1 y 1 y 1 y 1 y 1 y 1 y 1 y 1 y 1 y 1 2y2 2 y2 1 z y 1 1 y 1 y 1 2 2 y 1 y 1 4y 2y y 1 y 1 y 1 y 1 y 1 y 1 y 1 b) Ta có 2 2 2 2 2 2 x y z x 1 y 1 z y 1 x 1 z z 1 x 1 y 1 x2 1 y2 1 z2 1 x2 1 y2 1 z2 x 1 y2 1 z2 y 1 x2 1 z2 z 1 x2 1 y2 x xy2 1 z2 y yx2 1 z2 z zx2 1 y2 x xz2 xy2 xy2 z2 y yz2 yx2 yx2 z2 z zy2 zx2 zx2 y2 xyz yz xz xy x 1 xy xz y 1 xy yz z 1 xz yz Theo đề bài thì xy xz yz 1 nên ta có xyz yz xz xy x.yz y.xz z.xy xyz yz xz xy 3xyz xyz yz xz xy 3 4xyz Câu 3: a) Ta có x y xy 1 x 1 y 1 2 b2 c2 a2 b c a2 b c a b c a x 1 1 2bc 2bc 2bc a b c a c b a b c a c b a b c b c a y 1 1 a b c b c a a b c b c a DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 2 2 a b c a c b a2 b c b c a2 4bc y 1 1 a b c b c a a b c b c a a b c b c a 3 3 3 b c a b c a 4bc 3 P x y xy 1 x 1 y 1 . 2 8 2bc b c a b c a b) Ta có b c c a a b 1 1 1 1 1 1 a b a c b c b a c a c b a b a c b c b a c a c b b c c a a b 1 1 1 1 1 1 a b a c b c b a c a c b a b c a b c a b c a b c b c c a a b 2 2 2 a b a c b c b a c a c b a b b c c a Câu 4: H B C F 1 2 O E A D K a) Ta có: BE  AC BE // DF (1) DF  AC Xét BEO và DFO có: BO = OD (vì O là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành ABCD) µ ¶ O1 O2 (đối đỉnh) B· EO D· FO 900 Do đó BEO DFO (cạnh huyền-góc nhọn) Suy ra BE = DF (2) DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Từ (1) và (2) suy ra tứ giác BEDF là hình bình hành. b) Xét CBH và CDK có: C· KD C· HB 900 Vì tứ giác ABCD là hình bình hành nên ·ABC ·ADC H· BC K· DC (cùng bù với hai góc bằng nhau) Do đó CBH ~ CDK (g.g) CH CB CH.CD CK.CB . CK CD c) Ta có: AF AD AFD ~ AKC AD.AK AF.AC AK AC CD CF AB CF CFD ~ AHC mà CD AB AB.AH AC.CF AC AH AC AH Do đó AB.AH AD.AK AC.CF AF.AC AC CF AF AC.AC AC 2 . ĐỀ SỐ 3 Câu 1: a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x4 2013x2 2012x 2013 x2 2x 2x2 1 2 b) Rút gọn biểu thức sau A 2 2 3 1 2 . 2x 8 8 4x 2x x x x Câu 2: a) Giải phương trình sau: (2x2 x 2013)2 4(x2 5x 2012)2 4(2x2 x 2013)(x2 5x 2012) b) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn 2x2 5xy 3y2 7 Câu 3: x2 n 1 n n2 x2 1 Cho P 7.2016n 12.1997n với n N ; Q . x2 n 1 n n2 x2 1 DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Chứng minh: a) P chia hết cho 19. b) Q không phụ thuộc vào x và Q 0 . Câu 4: Cho hình vuông ABCD, trên cạnh AB lấy điểm E và trên cạnh AD lấy điểm F sao cho AE AF . Vẽ AH vuông góc với BF (H thuộc BF), AH cắt DC và BC lần lượt tại hai điểm M, N. a) Chứng minh rằng tứ giác AEMD là hình chữ nhật b) Biết diện tích tam giác BCH gấp bốn lần diện tích tam giác AEH Chứng minh rằng AC 2EF 1 1 1 c) Chứng minh rằng AD2 AM 2 AN 2 Câu 5: Cho a,b,c là ba số dương thoả mãn abc 1. 1 1 1 3 Chứng minh rằng . a3 (b c) b3 (c a) c3 (a b) 2 Câu 6: Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AA’, BB’, CC’ cắt nhau tại H a) Chứng minh AB C ~ ABC HA HB HC b) Tính tổng AA BB CC c) Gọi AI là phân giác của tam giác ABC; IM, IN theo thứ tự là phân giác của các góc AIC; AIB ( M AC , N AB ). Chứng minh AN.BI.CM BN.IC.AM AB BC CA 2 d) Tam giác ABC phải thỏa mãn điều kiện gì thì biểu thức đạt giá AA 2 BB 2 CC 2 trị nhỏ nhất DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Tìm đa thức f(x) biết rằng: f(x) chia cho x 2 dư 10, f(x) chia cho x 2dư 24, f(x) chia cho x2 4 được thương là 5x và còn dư. Chứng minh rằng: a(b c)(b c a)2 c(a b)(a b c)2 b(a c)(a c b)2 HƯỚNG DẪN Câu 1 Hướng dẫn giải (4.0 điểm) Ta có x4 2013x2 2012x 2013 0,5 x4 x 2013x2 2013x 2013 1 2 2 x x 1 x x 1 2013 x x 1 0.5 (2.0 điểm) x2 x 1 x2 x 2013 0.5 Kết luận x4 2013x2 2012x 2013 x2 x 1 x2 x 2013 0.5 x 0 ĐK: 0.25 x 2 x2 2x 2x2 1 2 Ta có A 2 2 3 1 2 0.25 2x 8 8 4x 2x x x x 2 x2 2x 2x2 x2 x 2 2 2 2 0.25 2(x 4) 4(2 x) x (2 x) x (2.0 điểm) x2 2x 2x2 (x 1)(x 2) x(x 2)2 4x2 (x 1)(x 2) 0.5 2 2 2 2 2 2(x 4) (x 4)(2 x) x 2(x 2)(x 4) x x3 4x2 4x 4x2 x 1 x(x2 4)(x 1) x 1 . 0.5 2(x2 4) x2 2x2 (x2 4) 2x DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn x 1 x 0 Vậy A với . 0.25 2x x 2 Câu 2 (4.0 điểm) a 2x2 x 2013 Đặt: 2 0.25 b x 5x 2012 Phương trình đã cho trở thành: 0.5 a2 4b2 4ab (a 2b)2 0 a 2b 0 a 2b 1 Khi đó, ta có: 0.5 (2.0 điểm) 2x2 x 2013 2(x2 5x 2012) 2x2 x 2013 2x2 10x 4024 2011 11x 2011 x . 0.5 11 2011 Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x . 0.25 11 2 3 3 2 3 7 Ta có y x 2x 3x 2 2 x 0 x y (1) 0.5 4 8 2 3 3 2 9 15 (x 2) y 4x 9x 6 2x 0 y x 2 (2) 0.5 4 16 2 Từ (1) và (2) ta có x < y < x+2 mà x, y nguyên suy ra y = x + 1 0.25 (2.0 điểm) Thay y = x + 1 vào pt ban đầu và giải phương trình tìm được x = -1; từ đó tìm được hai cặp số (x, y) thỏa mãn bài toán là: 0.5 (-1 ; 0) KL 0.25 Câu 3 (4 điểm) DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Giả sử f(x) chia cho x2 4 được thương là 5x và còn dư là ax b . 0.5 Khi đó: f (x) (x2 4).( 5x) ax+b Theo đề bài, ta có: 7 1 f (2) 24 2a b 24 a 0.5 2 f ( 2) 10 2a b 10 (2.0 điểm) b 17 7 Do đó: f (x) (x2 4).( 5x) x+17 0.5 2 47 Vậy đa thức f(x) cần tìm có dạng: f (x) 5x3 x 17. 0.5 2 Ta có: a(b c)(b c a)2 c(a b)(a b c)2 b(a c)(a c b)2 0 (1) x z a 2 a b c x x y 0.25 Đặt: b c a y b 2 a c b z y z c 2 Khi đó, ta có: 2 0.5 x z x y y z 2 y z x z x y 2 1 2 VT(1) .y .x (x y)(x y).z (2.0 điểm) 2 2 2 2 2 2 4 x z x z y z z y 1 . .y2 . .x2 (x2 y2 )z2 0.5 2 2 2 2 4 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 0.25 (x z ).y (z y ).x (x y ).z 4 4 4 1 1 (x2 y2 ).z2 (x2 y2 ).z2 0 VP (đpcm) 0.25 4 4 (1) KL: . 0.25 DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Câu 4 (6 điểm) A E B H F C D M N 1 (2.0 điểm) Ta có D· AM = A· BF (cùng phụ B· AH ) AB = AD ( gt) 0.75 B· AF = A· DM = 900 (ABCD là hình vuông) ΔADM = ΔBAF (g.c.g) => DM=AF, mà AF = AE (gt) Nên. AE = DM 0.5 Lại có AE // DM ( vì AB // DC ) Suy ra tứ giác AEMD là hình bình hành 0.5 DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Mặt khác. D· AE = 900 (gt) Vậy tứ giác AEMD là hình chữ nhật 0.25 Ta có ΔABH : ΔFAH (g.g) AB BH BC BH 0.5 = hay = ( AB=BC, AE=AF) AF AH AE AH · · · 2 Lại có HAB = HBC (cùng phụ ABH ) 0.5 (2.0 điểm) ΔCBH : ΔEAH (c.g.c) 2 2 SΔCBH BC SΔCBH BC 2 2 = , mà = 4 (gt) = 4 nên BC = (2AE) SΔEAH AE SΔEAH AE 0.5 BC = 2AE E là trung điểm của AB, F là trung điểm của AD Do đó: BD = 2EF hay AC = 2EF (đpcm) 0.5 Do AD // CN (gt). Áp dụng hệ quả định lý ta lét, ta có: AD AM AD CN 0.5 = = CN MN AM MN Lại có: MC // AB ( gt). Áp dụng hệ quả định lý ta lét, ta có: MN MC AB MC AD MC 0.5 3 = = hay = AN AB AN MN AN MN (2.0 điểm) 2 2 2 2 AD AD CN CM CN2 + CM2 MN2 + = + = 2 = 2 = 1 AM AN MN MN MN MN 0.5 (Pytago) 2 2 AD AD 1 1 1 + = 1 2 2 2 (đpcm) 0.5 AM AN AM AN AD Câu 5 2 điểm Trước tiên ta chứng minh BĐT: Với  a, b, c R và x, y, z > 0 ta 2.0 điểm 0.75 có DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 2 a2 b2 c2 a b c (*) x y z x y z a b c Dấu “=” xảy ra x y z Thật vậy, với a, b R và x, y > 0 ta có 2 a2 b2 a b ( ) x y x y a2 y b2 x x y xy a b 2 bx ay 2 0 (luôn đúng) a b Dấu “=” xảy ra x y Áp dụng bất đẳng thức ( ) ta có 2 2 a2 b2 c2 a b c2 a b c x y z x y z x y z a b c Dấu “=” xảy ra x y z 1 1 1 1 1 1 2 2 2 Ta có: a b c a3 (b c) b3 (c a) c3 (a b) ab ac bc ab ac bc Áp dụng bất đẳng thức (*) ta có 0.5 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 a b c a b c a b c (Vì abc 1) ab ac bc ab ac bc 2(ab bc ac) 1 1 1 2 a b c 1 1 1 a2 b2 c2 1 1 1 1 0.25 Hay ab ac bc ab ac bc 2 a b c DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 1 1 1 1 1 1 2 2 2 3 Mà 3 nên a b c a b c ab ac bc ab ac bc 2 0.25 1 1 1 3 Vậy 3 3 3 (đpcm) 0.25 a (b c) b (c a) c (a b) 2 Điểm toàn bài (20 điểm) ĐỀ SỐ 4 Câu 1: 4xy 1 1 Cho biểu thức A 2 2 : 2 2 2 2 y x y x y 2xy x a) Tìm điều kiện của x, y để giá trị của A được xác định. b) Rút gọn A. c) Nêu x; y là các số thực làm cho A xác định và thoả mãn 3x2 y2 2x 2y 1, hãy tìm tất cả các giá trị nguyên dương của A? Câu 2: a) Cho x, y, z là các số nguyên khác 0. Chứng minh rằng nếu a x2 yz ; b y2 xz ; c z2 xy thì ax by cz chia hết cho a b c b) Cho biểu thức A 2a2b2 2b2c2 2a2c2 a4 b4 c4 . Chứng minh rằng nếu a, b, c là ba cạnh của một tam giác thì A 0 Câu 3: Cho tam giác ABC vuông cân ở A. Điểm M trên cạnh BC. Từ M kẻ ME, MF lần lượt vuông góc với AB, AC ( E AB , F AC ) a) Chứng minh FC.BA CA.BE AB2 b) Chu vi tứ giác MEAF không phụ thuộc vào vị trí của điểm M. c) Tìm vị trí điểm M để diện tích tứ giác MEAF lớn nhất DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn d) Chứng tỏ đường thẳng đi qua M vuông góc với EF luôn đi qua một điểm cố định Câu 4: a) Tìm số nguyên a sao cho a4 4 là số nguyên tố b) Giải phương trình nghiệm nguyên x2 xy 2014x 2015y 2016 0 Câu 5: Cho hai số không âm a và b thoả mãn a b 1. a b Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức S . a 1 b 1 HƯỚNG DẪN Câu 1: a) Điều kiện: x y; y 0 b) A = 2x(x+y) c) Cần chỉ ra giá trị lớn nhất của A, Từ đó tìm được tất cả các giá trị nguyên dương của A Từ (gt): 3x2 + y2 + 2x – 2y = 1 2x2 + 2xy + x2 – 2xy + y2 + 2(x – y) = 1 2x(x + y) + (x – y)2 + 2(x – y) + 1 = 2 A + (x – y + 1)2 = 2 A = 2 – (x – y + 1)2 2 (do (x – y + 1) 0 (với mọi x ; y) A 2 1 x y 1 0 x 2 + A = 2 khi 2x x y 2 3 x y;y 0 y 2 (x y 1)2 1 + A = 1 khi 2x x y 1 x y;y 0 DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 2 1 x 2 Từ đó, chỉ cần chỉ ra được một cặp giá trị của x và y, chẳng hạn: 2 3 y 2 Vậy A chỉ có thể có 2 giá trị nguyên dương là: A = 1; A = 2 Câu 2: a) Ta có ax x3 xyz ; by y3 xyz ; cz z3 xyz ax by cz x3 y3 z3 3xyz x y 3 3xy x y 3xyz z3 ax by cz x y z x y 2 x y z z2 3xy x y z 2 2 2 ax by cz x y z x 2xy y xz yz z 3xy x y z ax by cz x y z x2 2xy y2 xz yz z2 3xy ax by cz x y z x2 y2 z2 xz yz xy ax by cz x y z a b c Vậy ax by cz chia hết cho a b c b) Ta có A 2a2b2 2b2c2 2a2c2 a4 b4 c4 2 A 4a2b2 a4 b4 c4 2a2b2 2b2c2 2a2c2 2ab 2 a2 b2 c2 A 2ab a2 b2 c2 2ab a2 b2 c2 A a b 2 c2 c2 a b 2 A a b c a b c c a b c a b Vì a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác nên A 0 Câu 3: DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn B E M A F C a) Chứng minh FC.BA CA.BE AB2 và chu vi tứ giác MEAF không phụ thuộc vào vị trí của điểm M. b) Tìm vị trí điểm M để diện tích tứ giác MEAF lớn nhất c) Chứng tỏ đường thẳng đi qua M vuông góc với EF luôn đi qua một điểm cố định BE EM a) Xét BEM ~ BAC BE.AC AB.EM AB.BE (vì EM BE ) AB AC CF FM CFM ~ CAB CF.AB FM.CA AE.AB (vì MF AE ; AB AC ) CA AB FC.BA CA.BE AB.BE AE.AB AB BE AB AB.AB AB2 PMEAF 2 AE EM 2 AE BE 2AB không đổi b) Ta có SMEAF AE.EM vì AE BE AE EM AB không đổi nên AE.EM lớn nhất AE EM AE BE khi đó E là trung điểm của AB, M là trung điểm của BC Cách khác Ta có 2 2 AB S AE.EM mà AE EM 4AE.EM AE.EM MEAF 4 AB2 Vậy MaxS AE EM AE BE MEAF 4 DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Câu 4: 2 2 a) a4 4 a2 4a2 4 4a2 a2 2 2a 2 a2 2a 2 a2 2a 2 Vì a2 2a 2 a 1 2 1; a2 2a 2 a 1 2 1 1 với mọi a Để a4 4 là số nguyên tố thì a2 2a 2 1 hoặc a2 2a 2 1. Từ đó tìm được a 1 hoặc a 1 b) Ta có x2 xy 2014x 2015y 2016 0 x x y 1 2015 x y 1 1 x y 1 x 2015 1 Từ đó tìm được x, y Câu 5: Ta có a b 1 1 4 4 2 S 2 2 2 a 1 b 1 a 1 b 1 a 1 b 1 3 3 2 1 Vậy MaxS x y 3 2 ĐỀ SỐ 5 Câu 1: x2 3x 3 1 6x Cho biểu thức P 3 2 2 : 3 2 x 3x 9x 27 x 9 x 3 x 3x 9x 27 a) Rút gọn P b) Với x 0 thì P không nhận những giá trị nào? c) Tìm các giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên Câu 2: DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn x y 2 x y a) Cho x y 1 và xy 0 . Chứng minh rằng 0 y3 1 x3 1 x2 y2 3 b) Cho a và b là các số tự nhiên thoả mãn 2a2 a 3b2 b . Chứng minh rằng a b và 3a 3b 1 là các số chính phương. Câu 3: Giải các phương trình 3 3 1 3 3 a) x 3 x 4 1 x 0 4 4 3 x 3 x b) x x 2 x 1 x 1 Câu 4: Cho tam giác ABC vuông tại A ( AC AB ), AH  BC ( H BC ). Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD HA . Đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E. a) Chứng minh BEC ~ ADC . Tính độ dài đoạn BE theo m AB b) Gọi M là trung điểm của đoạn BE. Chứng minh BHM ~ BEC . Tính ·AHM GB HD c) Tia AM cắt BC tại G. Chứng minh BC AH HC Câu 5: 3 1 a) Cho a 0 ; b 0 và a b 1. Chứng minh 14 ab a2 b2 1 2 b) Cho a 0 ; b 0 và a b 1. Chứng minh 4ab 11 a2 b2 ab HƯỚNG DẪN Câu 1: x 3 a) P x 3 DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn x 3 3 P 1 b) P Px 3P x 3 P 1 x 3 P 1 x x 3 P 1 P 1 0 3 P 1 P 1 P 1 0 P 1 Ta có x 0 x 0 0 P 1 P 1 P 1 0 P 1 P 1 0 Vậy P không nhận giá trị từ -1 đến 1 Câu 2: a) Ta có 4 4 x y x4 x y4 y x y x y y3 1 x3 1 x3 1 y3 1 x 1 y 1 x2 x 1 y2 y 1 4 4 x y x y x y (vì x y 1 x 1 y; y 1 x ) y3 1 x3 1 xy x2 x 1 y2 y 1 2 2 2 2 x y x y x y x y x y x y x y 1 y3 1 x3 1 xy x2 x 1 y2 y 1 xy x2 y2 x2 y x2 xy2 xy x y2 y 1 2 2 x y x y x y 1 3 3 2 2 2 2 y 1 x 1 xy x y x y xy x y xy x y 1 2 2 2 2 x y x y x y 1 x y x y 1 3 3 y 1 x 1 xy x2 y2 x2 y2 2xy 2 xy x2 y2 x y 2 2 2 2 2 x y x y x y 1 x y x y 2xy 1 2xy 2 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 y 1 x 1 xy x y 3 xy x y 3 xy x y 3 x y 3 x y 2 x y Vậy 0 y3 1 x3 1 x2 y2 3 b) Ta có 2a2 a 3b2 b 2a2 2b2 a b b2 a b 2a 2b 1 b2 2a2 a 3b2 b 3a2 3b2 a b a2 a b 3a 3b 1 a2 DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Suy ra a b 2 2a 2b 1 3a 3b 1 ab 2 Gọi 2a 2b 1,3a 3b 1 d . Chứng minh được d 1 Suy ra 3a 3b 1 là số chính phương nên a b là số chính phương. ĐỀ SỐ 6 Câu 1: a) Cho a3 3ab2 5 và b3 3a2b 10 . Tính S a2 b2 2017 b) Cho a1,a2 , a2016 là các số tự nhiên có tổng bằng 2016 . 3 3 3 Chứng minh rằng: a1 a2 a2016 chia hết cho 3. Câu 2: a b c a) Cho a b c 0 ; x y z 0 ; 0 . Chứng minh ax2 by2 cz2 0 x y z b) Giải phương trình 12x 7 2 3x 2 2x 1 3 Câu 3: Giải phương trình nghiệm nguyên 4x2 8x 38 6y2 Câu 4: Cho tam giác ABC nhọn ( AB AC ). Các đường cao AE, BF cắt nhau tại H. Gọi M trung điểm của BC, qua H vẽ đường thẳng a vuông góc với HM, a cắt AB, AC lần lượt tại I và K. a) Chứng minh ABC ~ EFC . b) Qua C kẻ đường thẳng b song song với đường thẳng IK, b cắt AH, AB theo thứ tự tại N và D. Chứng minh NC ND và HI HK . AH BH CH c) Gọi G là giao điểm của CH và AB. Chứng minh 6 HE HF HG Câu 5: Cho a,b,c,d,e 0 thỏa mãn điều kiện a b c d e 4 . DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn a b c d a b c a b Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P abcde HƯỚNG DẪN Câu 1: a) Ta có 2 a3 3ab2 5 a3 3ab2 25 a6 6a4b2 9a2b4 25 2 b3 3a2b 10 b3 3a2b 100 b6 6a2b4 9a4b2 100 a6 3a4b2 3a2b4 b6 125 3 a2 b2 125 a2 b2 5 2017 b) Ta có: 20163 2016 3 a1 a2 a2016 3 3 3 3 3 3 3 Xét hiệu A a1 a2 a2016 a1 a2 a2016 a1 a1 a2 a2 a2016 a2016 Vì a3 a a(a 1)(a 1) là tích của ba số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 3. 3 3 3 Suy ra A3, mà a1 a2 a2016 3 nên a1 a2 a2016 3 Câu 2: a) Ta có x2 y z 2 ; y2 x z 2 ; z2 x y 2 (vì x y z 0 ) Suy ra ax2 by2 cz2 a y z 2 b x z 2 c x y 2 ax2 by2 cz2 a y2 2yz z2 b x2 2xz z2 c x2 2xy y2 ax2 by2 cz2 ay2 2ayz az2 bx2 2bxz bz2 cx2 2cxy cy2 ax2 by2 cz2 y2 a c z2 a b x2 b c 2 cxy bxz ayz a b c ax2 by2 cz2 y2 b z2 c x2 a 2.0 (vì 0 ayz bxz cxy 0) x y z ax2 by2 cz2 0 b) Đặt 12x 7 t , sau đó tìm t, rồi tìm x DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Câu 3: 4x2 8x 38 6y2 2x2 4x 19 3y2 2 x 1 2 21 3y2 3 7 y2 (*) Ta có 2 x 1 2 2 7 y2 2 nên y lẻ, mà y2 7 y2 1 Từ đó tìm được các số x, y Câu 4: A F K G H I B E M C N D CE CA a) Ta có AEC : BFC (g-g) nên suy ra CF CB CE CA Xét ABC và EFC có và góc C chung nên suy ra ABC : EFC (c-g-c) CF CB b) Vì CN //IK nên HM  CN M là trực tâm HNC MN  CH mà CH  AD (H là trực tâm tam giác ABC) nên MN // AD Do M là trung điểm BC nên NC = ND IH = IK ( theo Ta let) AH S S S S S S c) Ta có: AHC ABH AHC ABH AHC ABH HE SCHE SBHE SCHE SBHE SBHC DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn BH S S CH S S Tương tự ta có BHC BHA và BHC AHC BF SAHC CG SBHA AH BH CH S S S S S S AHC ABH BHC BHA BHC AHC HE HF HG SBHC SAHC SBHA S S S S S S = AHC ABH BHC BHA + BHC AHC 6 . Dấu ‘=’ khi tam giác ABC đều, mà theo gt SBHC SBHC SAHC SAHC SBHA SBHA thì AB < AC nên không xảy ra dấu bằng. Câu 5: Ta có x y 2 0 x2 2xy y2 0 x y 2 4xy . Dấu đẳng thức xảy ra khi x y Áp dụng liên tiếp bất đẳng thức x y 2 4xy , ta có 42 a b c d e 2 4 a b c d e a b c d 2 4 a b c d a b c 2 4 a b c a b 2 4ab 16. a b c d 2 . a b c 2 . a b 2 256 a b c d .e a b c .d. a b .c.ab a b c d . a b c . a b 256 P 16 abcd 16 1 a b c d e 4 a b 4 a b c d e 1 Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c d c 2 a b c d 1 a b e 2 ĐỀ SỐ 7 DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Câu 1: 1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử 2 a) x 1 4 x2 x 1 b) x8 98x4 1 x x 5 y y 5 2 xy 3 2. Tính giá trị biểu thức A với x y 2016 x x 6 y y 6 2xy Câu 2: 14x2 8x 9 a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A 3x2 6x 9 b) Cho ba số thực a, b, c thỏa mãn a, b, c khác 0 và a b c 0 . a2 b2 c2 3 Chứng minh đẳng thức a2 b2 c2 b2 c2 a2 c2 a2 b2 2 Câu 3: a) Cho n N * chứng minh rằng A 2n 11n 22n 32n chia hết cho 14 b) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn 2y 2 x x y 1 x 2 2y 2 xy Câu 4: Cho tam giác ABC nhọn có trực tâm H, trọng tâm G. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của BC, AC. Gọi O là giao điểm các đường trung trực của BC và AC. a) Chứng minh OMN ~ HAB b) Chứng minh ba điểm H, G, O thẳng hàng và GH 2GO Câu 5: Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x 2y 4z 12 . 2xy 8yz 4zx Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P x 2y 2y 4z 4z x DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn HƯỚNG DẪN Câu 1: 1) 2 2 2 a) x 1 4 x2 x 1 x 1 2 x x 1 1 2 2 x 1 4 x2 x 1 x 1 2 x2 x 1 2 2x x 1 1 2 x 1 4 x2 x 1 x 1 2 2x2 2x 1 2x2 2x 1 2x2 2x 1 x2 2x 2 2 2 b) x8 98x4 1 x4 2x4 1 96x4 x4 1 96x4 2 x4 1 2. x4 1 .8x2 64x4 16x2 x4 1 32x4 2 2 x4 1 8x2 16x2 x2 1 2 2 x4 1 8x2 4x3 4x x4 4x3 8x2 4x 1 x4 4x3 8x2 4x 1 x x 5 y y 5 2 xy 3 2) A x x 6 y y 6 2xy 2 x y 5 x y 6 x y 6 x y 1 x y 1 2015 x y 2 6 x y x y 6 x y x y 2016 Câu 2: 2 2 2 14x2 8x 9 2 x 2x 3 12x 12x 3 2 3 2x 1 2 a) Ta có A 3x2 6x 9 3 x2 2x 3 3 3 x2 2x 3 3 b) Ta có a b c 0 a b c a2 b2 2bc c2 a2 b2 c2 2bc Tương tự ta có: b2 c2 a2 2ac ; c2 a2 b2 2ab , do đó a2 b2 c2 a2 b2 c2 a3 b3 c3 a2 b2 c2 b2 c2 a2 c2 a2 b2 2bc 2ac 2ab 2abc DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Mặt khác ta có a3 b3 c3 a b 3 3ab a b c3 a b c a b 2 a b c c2 3ab a b a3 b3 c3 0. a b 2 a b c c2 3ab c 3abc a2 b2 c2 3 Vậy a2 b2 c2 b2 c2 a2 c2 a2 b2 2 Câu 3: a) Ta có A 2n 11n 22n 32n 2n 11n 4n 9n 11n 4n 9n 2n 11 4 .A 9 2 .B Vì 11n có tận cùng bằng 1, 9n có tận cùng bằng 1 hoặc 9 nên A chẵn Vì 2;7 1 nên A chia hết cho 14 b) Ta có 2y 2 x x y 1 x 2 2y 2 xy x2 2y2 xy 2y2 x x y 1 0 x2 x 2y2 2y2 x xy y 1 x x 1 2y2 x 1 y x 1 1 x 1 x 2y2 y 1 Câu 4: a) Chứng minh M· ON B· HA (hai góc có cạnh tương ứng song song) O· MN H· AB (hai góc có cạnh tương ứng song song) Do đó OMN ~ HAB OM MN 1 GM 1 b) Chứng minh OMG ~ HAG (c.g.c) vì ; ; H· AG O· MG AH AB 2 AG 2 từ đó chứng minh ba điểm H, G, O thẳng hàng OG OM 1 Ta có OMG ~ HAG GH 2GO GH AH 2 DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Câu 5: 1 1 4 1 1 1 1 Với x, y là các số dương, ta có x y x y x y 4 x y 2xy 8yz 4zx 1 2xy 2xy 8yz 8yz 4zx 4zx P x 2y 2y 4z 4z x 4 x 2y 2y 4z 4z x 2xy 8yz 4zx 1 1 P 4y 2x 8z .2 x 2y 8z 6 x 2y 2y 4z 4z x 4 4 x 4 Vậy maxP 6 y 2 z 1 ĐỀ SỐ 8 Câu 1: a) Phân tích đa thức a a 2b 3 b 2a b 3 1 1 1 1 1 1 b) Cho 2 ; 2 . Chứng minh a b c abc a b c a2 b2 c2 Câu 2: 2 2 1 2 1 2 1 1 2 a) Giải phương trình 8 x 4 x 2 4 x 2 x x 4 x x x x b) Tìm các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn y2 2xy 3x 2 0 . Câu 3: Cho tam giác ABC có BC a,CA b, AB c . Độ dài các đường phân giác trong của tam giác kẻ từ các đỉnh A, B, C lần lượt là la ,lb ,lc . 1 1 1 1 1 1 Chứng minh rằng: la lb lc a b c DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Câu 4: Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy một điểm M bất kỳ trên cạnh AC. Từ C vẽ một đường thẳng vuông góc với tia BM, đường thẳng này cắt tia BM tại D, cắt tia BA tại E. a) Chứng minh EA.EB ED.EC và E· AD E· CB · 0 2 b) Cho BMC 120 và SAED 36cm . Tính SEBC ? c) Chứng minh rằng khi điểm M di chuyển trên cạnh AC thì BM.BD CM.CA có giá trị không đổi. d) Kẻ DH  BC H BC . Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng BH, DH. Chứng minh CQ  PD . Câu 5: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện a2 b2 c2 3. a2 b2 c2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 1 ab bc 1 bc ca 1 ca ab HƯỚNG DẪN Câu 1: a) a a 2b 3 b 2a b 3 3 3 a a b b b a b a a a b 3 3b a b b3 b a b 3 3a a b a3 a a b 3 3ab a b ab3 b a b 3 3ab a b a3b a b 3 a b ab a b a b a b a b a b 2 ab a b 3 a b b) HS tự làm DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Câu 2: 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 a) 8 x 4 x 2 4 x 2 x x 4 ĐK: x 0 x x x x 2 2 1 2 1 2 1 1 2 8 x 4 x 2 x 2 x x 4 x x x x 2 1 2 1 2 1 2 1 2 8 x 4 x 2 x 2 x 2 2 x 4 x x x x 2 1 2 1 2 8 x 2 2 8 x 2 x 4 x x x 4 2 16 b) y2 2xy 3x 2 0 x2 2xy y2 x2 3x 2 x y 2 x 1 x 2 (*) VT của (*) là số chính phương; VP của (*) là tích của hai số nguyên liên tiếp nên phải có 1 số bằng 0. x 1 0 x 1 y 1 x 2 0 x 2 y 2 Câu 3: M A B C D Gọi AD là đường phân giác trong góc A, qua C kẻ đường thẳng song song với AD cắt đường thẳng AB tại M. Ta có B· AD ·AMC (hai góc ở vị trí đồng vị) DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn D· AC ·ACM (hai góc ở vị trí so le trong) Mà B· AD D· AC nên ·AMC ·ACM hay ACM cân tại A, suy ra AM AC b AD BA c Do AD / /CM nên CM BM b c c AD 1 1 1 1 Mà CM AM AC 2b (1) b c 2b la 2 b c 1 1 1 1 1 1 1 1 Tương tự ta có: (2); (3) lb 2 c a la 2 b c Cộng (1), (2), (3) theo vế, ta có đpcm Câu 5: 2 a2 b2 c2 a b c Với a,b,c ¡ ; x, y, z 0 , ta có x y z x y z Ta có 2 a2 b2 c2 a b c P 1 ab bc 1 bc ca 1 ca ab 3 2ab 2ac 2bc a b c 2 a b c 2 P 1 a2 b2 c2 2ab 2ac 2bc a b c 2 Vậy minP 1 a b c 1 ĐỀ SỐ 9 Câu 1: x5 x2 Cho biểu thức A x3 x2 x a) Rút gọn A b) Tìm x để A A 0 c) Tìm x để A đạt giá trị nhỏ nhất DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Câu 2: a) Tìm các số x, y, z biết x2 y2 z2 xy yz zx và x2015 y2015 z2015 32016 b) Chứng minh rằng với n ¥ thì n5 và n luôn có chữ số tận cùng giống nhau Câu 3: 1 4 1 4 1 4 1 1 3 5 29 4 4 4 4 a) Tính giá trị biểu thức A 4 1 4 1 4 1 4 1 2 4 6 30 4 4 4 4 x y b) Chứng minh bất đẳng thức 2 với x, y cùng dấu (với x 0 ; y 0 ) y x x2 y2 x y Áp dụng tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 2 2 3 5 ( x 0 ; y 0 ) y x y x Câu 4: Cho hình thang ABCD ( AB / /CD ) có hai đường chéo cắt nhau tại O. Đường thẳng qua O và song song với đáy AB cắt các cạnh bên theo thứ tự tại M và N. a) Chứng minh OM ON 1 1 2 b) Chứng minh rằng AB CD MN 2 2 c) Biết SAOB 2015 (đvdt); SCOD 2016 (đvdt); Tính SABCD . Câu 5: Cho ba số x, y, z thỏa mãn x y z 3. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B xy yz xz HƯỚNG DẪN Câu 3: 2 4 1 2 1 2 2 1 2 1 a) Ta có a a a a a a a 4 2 2 2 DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1 3 3 3 3 29 29 29 29 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 4 4 4 4 30 30 30 30 2 2 2 2 2 2 2 1 1 Mặt khác k 1 k 1 k 2 k 2 2 1 12 1 1 Vậy A 2 1 302 30 1861 2 x y 2 b)Vì x, y cùng dấu nên xy 0 , do đó 2 (*) x2 y2 2xy x y 0 ( ) y x Bất đẳng thức ( ) đúng nên bất đẳng thức (*) đúng. x y x2 y2 Đặt t t 2 2 , khi đó ta có: y x y2 x2 P t 2 3t 3 t 2 t 1 1 Nếu x, y cùng dấu nên t 2 t 2 0 ; t 1 0 t 2 t 1 0 P 1 Vậy P 1 t 2 x y (1) x y Nếu x, y trái dấu thì 0 ; 0 t 0 t 1 0 ;t 2 0 y x t 1 t 2 0 P 1 (2) Từ (1) và (2) suy ra với mọi x 0 ; y 0 thì P 1 t 2 x y Vậy minP 1 x y Câu 4: DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn A B M N O D C OM AO ON BN AO BN a) Ta có MO / /DC ; NO / /DC ; ON / / AB DC AC DC BC AC BC OM ON Do đó OM ON DC DC b) Ta có OM DM OM AM 1 1 DM AM DM AM AD ; OM 1 AB AD DC AD AB CD AD AD AD AD ON CN ON BN 1 1 CN BN CN BN BC ; ON 1 AB CB CD BC AB CD CB BC BC BC 1 1 1 1 1 1 2 . OM ON 2 .MN 2 AB CD AB CD AB CD MN SAOB OB SBOC OB SBOC SAOB c) Ta có ; ; SBOC .SAOD SAOB .SDOC SAOD OD SDOC OD SDOC SAOD 2 Mà SAOD SBOC SAOB .SDOC SAOD , khi đó ta có 2 2 2 2015 .2016 SAOD SAOD 2015.2016 2 2 2 SABCD SAOB SAOD SBOC SCOD SAOB 2SAOD SCOD 2015 2.2015.2016 2016 4031 Câu 5: Cách 1 Ta có x2 y2 z2 xy yz zx x2 y2 z2 xy yz zx 0 DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 2x2 2y2 2z2 2xy 2yz 2zx 0 x y 2 y z 2 z x 2 0 (luôn đúng) Ta có 9 x y z 2 x2 y2 z2 2 xy yz zx 3 xy yz zx 9 xy yz zx 3 3 Vậy maxB 3 x y z 1 Cách 2 Ta có B xy yz xz xy z x y xy 3 x y x y B xy 3 x y x y 2 x2 y2 xy 3x 3y 2 2 2 y 3 3y 6y 9 y 3 3 2 B x x y 1 3 3 2 4 2 4 Vậy maxB 3 x y z 1 ĐỀ SỐ 10 Câu 1: a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử a10 a5 1. n n2 n3 b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì biểu thức A có giá trị là 3 2 6 một số nguyên. Câu 2: a) Cho an 1 2 3 n . Chứng minh rằng an an 1 là một số chính phương 2 b) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì phân số 10n 9n 4 tối giản 20n2 20n 9 Câu 3: DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn x2 y2 x y a) Cho x 0 ; y 0 . Tìm giá trị nhỏ nhất P 3 2 2 8 10 y x y x b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình x2 25 y y 6 Câu 4: Cho hình bình hành ABCD. Qua A kẻ đường thẳng tùy ý cắt BD, BC, CD lần lượt ở E, K, G. Chứng minh: a) AE 2 EK.EG 1 1 1 b) AE AK AG c) Khi đường thẳng d thay đổi thì tích BK.DG có giá trị không đổi Câu 5: Cho ba số thực a, b, c không âm sao cho a b c 1. Chứng minh b c 16abc . Dấu đẳng thức xảy ra khi nào? HƯỚNG DẪN Câu 1: a) a10 a5 1 a10 a9 a8 a9 a8 a7 a7 a6 a5 a6 1 a10 a5 1 a8 a2 a 1 a7 a2 a 1 a5 a2 a 1 a 1 a2 a 1 a3 1 a10 a5 1 a2 a 1 a8 a7 a5 a4 a3 a 1 2 n n2 n3 n3 3n2 2n n n 3n 2 n n 1 n 2 b) Ta có A 3 2 6 6 6 6 Vì n n 1 n 2 là tích của ba số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 6 Câu 2: a) Ta có an 1 1 2 3 n n 1 n n 1 2 a a 2 1 2 3 n n 1 2. n 1 n 1 là số chính phương n n 1 2 DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn b) Gọi d là ƯCLN của 10n2 9n 4 và 20n2 20n 9 10n2 9n 4d 20n2 18n 8d 2n 1d d là số tự nhiên lẻ. 2 2 20n 20n 9d 20n 20n 9d Mặt khác 2n 1d 4n2 4n 1d 5n2 5n 5d 4d mà d lẻ nên d 1. Vậy phân số trên tối giản. Câu 3: 2 x2 y2 x y x y x y a) P 3 2 2 8 10 3 2 8 10 y x y x y x y x x y Đặt t , khi đó ta có P 3 t 2 2 8t 10 3t 2 8t 4 3t 2 t 2 y x Nếu x, y cùng dấu nên t 2 t 2 0 ; 3t 2 0 3t 2 t 2 0 P 0 Vậy P 0 t 2 x y (1) x y Nếu x, y trái dấu thì 0 ; 0 t 0 3t 2 0 ;t 2 0 y x 3t 2 t 2 0 P 0 (2) Từ (1) và (2) suy ra với mọi x 0 ; y 0 thì P 0 t 2 x y Vậy minP 0 x y b) x2 25 y y 6 y2 6y 9 x2 16 x2 y 3 2 16 Từ đó tìm được x, y. Câu 4: DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn A B E K D C G AE BE a) Vì AB / /DG (1) EG ED BE EK BK / / AD (2) ED AE AE EK Từ (1) và (2) suy ra AE 2 EG.EK EG AE AE DE AE DE AE DE b) Ta có AD / /BK (3) EK EB AE EK DE EB AK BD AE BE AE BE AE BE AB / /DG (4) EG ED AE EG BE ED AG BD AE AE DE BE DE BE 1 1 1 1 1 1 AE 1 AK EG BD BD BD AK AG AE AK AG BK AB KC GC c) Ta có và nhân từng vế của đẳng thức trên ta được KC CG AD DG BK AB BK.DG AD.AD không đổi AD DG Câu 5: Ta có a b 2 4ab , do đó ta có: a b c 2 a b c 2 4a b c Mà a b c 1 nên 1 4a b c b c 4a b c 2 ( a,b,c 0 nên b c 0) Lại có b c 2 4bc b c 16abc a b c 1 1 Dấu đẳng thức xảy ra b c , a b c 4 2 DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 11 Câu 1: a) Cho a, b là hai số tự nhiên lẻ. Chứng minh rằng a2 b2 chia hết cho 8 b) Cho a, b, c là các số thực khác nhau. b c c a a b 2 2 2 Chứng minh rằng a b a c b c b a c a c b a b b c c a Câu 2: a) Tìm ba số nguyên tố mà tích của chúng bằng năm lần tổng của chúng. b) Giải phương trình 5x 3 3 2x 4 3 3x 1 3 Câu 3: Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng p2 1 chia hết cho 24. Câu 4: Tam giác ABC có BA BC , BE là phân giác và BD là trung tuyến của tam giác. Đường thẳng qua C vuông góc với BE cắt BE, BD, BA lần lượt tại F, G và K. DF cắt BC tại M. Chứng minh rằng: a) M là trung điểm của đoạn thẳng BC DA BK b) 1 DE DF c) Đường thẳng GE song song với đường thẳng BC Câu 5: Cho a 0 ; b 0 ; a và b thỏa mãn 2a 3b 6 ; 2a b 4 . Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức A a2 2a b DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn HƯỚNG DẪN Câu 1: a) Ta có a2 1 b2 1 a 1 a 1 b 1 b 1 Vì a 1 a 1 là tích của 2 số tự nhiên chẵn liên tiếp nên chia hết cho 8, tương tự b 1 b 1 chia hết cho 8. Vậy a2 b2 chia hết cho 8 b) Ta có: b c c a a b 1 1 1 1 1 1 a b a c b c b a c a c b a b a c b c b a c b c a b c c a a b 1 1 1 1 1 1 a b a c b c b a c a c b a b a b b c b c c a c a b c c a a b 2 2 2 a b a c b c b a c a c b a b b c c a Câu 2: a) Gọi a, b, c là ba số nguyên tố cần tìm ta có: abc 5 a b c . Tích ba số nguyên tố abc chia hết cho 5 nên có một số bằng 5. Giả sử a 5 được 5bc 5 5 b c bc 5 b c b 1 c 1 6 vì b, c là các số nguyên dương có vai trò như nhau nên ta có các hệ: b 1 1 b 2 b 1 2 b 3 và (loại) c 1 6 c 7 c 1 3 c 4 Kết luận: Ba số nguyên tố cần tìm là 2, 5, 7 b) Đặt 5x 3 a ; 2x 4 b , suy ra a3 b3 a b 3 Câu 3: DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Ta có p 1 p p 1 chia hết cho 3 mà p không chia hết cho 3 (p nguyên tố) nên p 1 p 1 chia hết cho 3. Vì p lẻ nên p 2k 1 ( k ¥ ) nên p 1 p 1 4k k 1 8 Vậy p2 1 chia hết cho 24. Câu 4: B M K G F A D E C a) Xét BKC có BF vừa là đường cao vừa là đường phân giác nên BF là trung tuyến, do đó F là trung điểm của KC suy ra DF / / AB Xét ABC có AD DC và DM / / AB nên M là trung điểm của BC. EA AB EA DE AB DF b) Vì DF / / AB (*) DE DF DE DF Ta có AB BK AK ; AK 2DF nên từ (*) suy ra AD BK AK DF BK 2DF DF BK DF BK 1 ( ) DE DF DF DF DF GB BK GB GD BK DF DB BK c) Từ DF / /BK 1 GD DF GD DF GD DF DC BK DC DB Từ ( ) có 1 (vì DA DC ) suy ra GE / /BC DE DF DE DG Câu 5: Vì b 0 mà 2a b 4 nên a 2 , do đó A a2 2a b 0 Vậy maxA 0 a 2;b 0 2 Từ 2a 3b 6 b 2 a 3 DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 2 2 2 2 22 22 Do đó A a 2a 2 a a 3 3 9 9 22 2 2 Vậy minA a ;b 9 3 3 Tam giác ABC có độ dài ba cạnh là AB = c, AC = b và BC= a. Các phân giác AD, BE và CF cắt nhau tại O. Tính độ dài đoạn thẳng AE theo a, b, c. OB.OC 1 Chứng minh rằng ABC là tam giác vuông khi = . BE.CF 2 A E F O B C EA BA EA BA BA b.c BE là phân giác nên EA .AC EC BC EA EC BA BC BA BC c a OB AB BO AB c c a AO là phân giác của ABE nên: . bc OE AE BE AB AE c a b c c a OC b a Tương tự: . OF a b c OB.OC 1 (c a)(b a) 1 Từ = được BE.CF 2 (a b c)2 2 2(c+a)(b+a) = (a+b+c)2 2cb + 2ca + 2ab + 2a2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn a2 = b2 + c2. Vậy ABC vuông tại A (Theo pitago đảo) ĐỀ SỐ 12 Câu 1: x2 3x 3 1 6x Cho biểu thức P 3 2 2 : 3 2 x 3x 9x 27 x 9 x 3 x 3x 9x 27 a) Rút gọn biểu thức P b) Với x 0 thì P không nhận những giá trị nào? c) Tìm các giá trị nguyên của x để P có giá trị là số nguyên tố. Câu 2: x2 yz y2 xz a) Chứng minh rằng nếu với x y ; xyz 0 ; yz 1; xz 1 thì x 1 yz y 1 xz xy xz yz xyz x y z b) Cho các số tự nhiên m, n thỏa mãn 2m2 m 3n2 n . Chứng minh 3 m n 1 là số chính phương. Câu 3: x5 x4 7x3 5x2 x a) Chứng minh rằng: P luôn luôn là một số tự nhiên với 120 12 24 12 5 mọi x. b) Phân tích đa thức sau thành nhân tử xy x y yz y z zx z x Câu 4: Cho hình vuông ABCD. Gọi E là một điểm trên cạnh BC (E khác B và C). Qua A kẻ Ax vuông góc với AE, Ax cắt CD tại F. Trung tuyến AI của tam giác AEF cắt CD ở K. Đường thẳng kẻ qua E, song song với AB cắt AI ở G. a) Chứng minh AE AF và tứ giác EGFK là hình thoi. b) Chứng minh AKF đồng dạng với CAF và AF 2 FK.FC DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn c) Khi E thay đổi trên BC, chứng minh chu vi tam giác EKC không đổi. Câu 5: Cho a, b, c là các số thực dương và a b c 1 a2 b2 c2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức b c c a a b HƯỚNG DẪN Câu 2: x2 yz y2 xz a) Ta có x 1 yz y 1 xz x2 yz y 1 xz y2 xz x 1 yz x2 y x3 xy y2 z xy2 z2 xy2 xy3 z x2 z x2 yz2 x2 y x3 xy y2 z xy2 z2 xy2 xy3 z x2 z x2 yz2 0 xy x y xyz x2 yz xz y2 z x2 y2 0 x y xy xyz x y z z x y 0 Vì x y x y 0 xy xyz x y z z x y 0 xy xz yz xyz x y z b) Ta có 2 2 2 2 2m m 3n n 3 m n m n m n m m n 3 m n 1 m (*) Gọi d là ƯCLN m n;3m 3n 1 , suy ra m nd ; 3m 3n 1d 3m 3n 3m 3n 1d 6m 1d Từ (*) suy ra m2 d md 6md 1d d 1 Vậy m n và 3m 3n 1 nguyên tố cùng nhau nên 3 m n 1 là số chính phương. Câu 4: DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn B E C K I 1 G D A 2 F a) ABF ADF (g.c.g) suy ra AE AF Tam giác AEF cân tại A mà AI là trung tuyến nên AI  EF hay GI  EF AEG AFG (c.g.c) nên GE GF mà GE / /GF (gt) nên tứ giác EGFK là hình bình hành mà GI  EF nên tứ giác EGFK là hình thoi. b) Xét AKF và CAF có Fµ chung C· AF ·ACF 450 AF KF Do đó AKF ~ CAF AF 2 CF.KF CF AF c) PEKC EC CK KE DK CK KF CD CD 2CD ĐỀ SỐ 13 Câu 1: a) Cho S 1.2.3 2.3.4 3.4.5 n n 1 n 2 với n là số tự nhiên khác 0 Chứng minh rằng 4S 1 là số chính phương b) Tìm các số nguyên x và y thỏa mãn x2 2y2 2xy y 2 (Trích đề thi HSG tỉnh Phú Thọ năm học 2015-2016) Câu 2: DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn x5 4x3 17x 9 x 1 Tính giá trị biểu thức P với x4 3x2 2x 11 x2 x 1 4 (Trích đề thi HSG tỉnh Phú Thọ năm học 2015-2016) Câu 3: 1 1 1 1 Chứng minh rằng nếu a, b, c là ba số thỏa mãn a b c 2016 và thì a b c 2016 một trong ba số a, b, c phải có một số bằng 2016 Câu 4: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Các đường cao BE và CF cắt nhau tại H. a) Chứng minh AEF ~ ABC b) Chứng minh BF.BA CE.CA BC 2 c) Gọi O là giao điểm ba đường trung trực của tam giác ABC, M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng AH 2OM Câu 5: 2016x 3780 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A x2 1 HƯỚNG DẪN Câu 1: a) Ta có S 1.2.3 2.3.4 3.4.5 n n 1 n 2 4S 4.1.2.3 4.2.3.4 4.3.4.5 4.n n 1 n 2 4S 1.2.3.4 2.3.4. 5 1 3.4.5. 6 2 n n 1 n 2 n 3 n 1 4S 1.2.3.4 2.3.4.5 1.2.3.4 3.4.5.6 2.3.4.5 n n 1 n 2 n 3 n 1 n n 1 n 2 4S n n 1 n 2 n 3 Do đó 4S 1 n n 1 n 2 n 3 1 n2 3n n2 3n 2 1 2 2 2 2 2 4S n 3n 2 n 3n 1 n 3n 1 DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn b) Ta có x2 2y2 2xy y 2 x2 2xy y2 y2 y 2 x y 2 2 y y 1 2 Vì x y 0 2 y y 1 0 1 y 2 mà y ¢ y 1;0;2 Với y 1 x 1 Với y 0 x2 2 (loại) Với y 2 x 2 Câu 2: x 1 Từ x2 3x 1 0 x2 x 1 4 Ta có x4 3x2 2x 11 x4 3x3 x2 3x3 2x2 2x 11 x2 x2 3x 1 3x3 2x2 2x 11 x4 3x2 2x 11 x2 x2 3x 1 3x3 9x2 3x 11x2 x 11 x4 3x2 2x 11 x2 x2 3x 1 3x x2 3x 1 11x2 x 11 x4 3x2 2x 11 x2 x2 3x 1 3x x2 3x 1 11x2 33x 11 32x x4 3x2 2x 11 x2 x2 3x 1 3x x2 3x 1 11 x2 3x 1 32x x4 3x2 2x 11 x2.0 3x.0 11.0 32x 32x x5 4x3 17x 9 x5 3x4 x3 3x4 5x3 17x 9 x3 x2 3x 1 3x4 5x3 17x 9 x5 4x3 17x 9 x3 x2 3x 1 3x4 9x3 3x2 4x3 3x2 17x 9 x5 4x3 17x 9 x3 x2 3x 1 3x2 x2 3x 1 4x3 3x2 17x 9 x5 4x3 17x 9 x3 x2 3x 1 3x2 x2 3x 1 4x3 12x2 4x 9x2 21x 9 x5 4x3 17x 9 x3 x2 3x 1 3x2 x2 3x 1 4x x2 3x 1 9x2 21x 9 x5 4x3 17x 9 x3 x2 3x 1 3x2 x2 3x 1 4x x2 3x 1 9 x2 3x 1 6x DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn x5 4x3 17x 9 x3.0 3x2.0 4x.0 9.0 6x 6x 32x 16 Vậy P 6x 3 Câu 4: A E F H O B C D M K c) Gọi K là điểm đối xứng với A qua O. Chứng minh tứ giác BHCK là hình bình hành, M là trung điểm của BC nên M là trung điểm của HK. Lại có O là trung điểm của AK suy ra OM là đường trung bình của của tam giác AHK nên AH 2OM Câu 5 2 2016x 3780 252x2 252 252x2 2016x 4032 504 x 4 A 252 252 x2 1 x2 1 x2 1 ĐỀ SỐ 14 Câu 1: 2 4 x 1 1 4 1 x Cho biểu thức M 4 2 2 x 2 x x 1 x 1 1 x a) Rút gọn M b) Tìm giá trị nhỏ nhất của M DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Câu 2: a) Chứng minh rằng với n ¢ thì n2 3n 1 n 2 n3 2 chia hết cho 5 b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình 3xy 4x 9y 7 Câu 3: x 2 4x 1 x 2 5x 1 a) Giải phương trình 2 x 1 2x 1 b) Tìm số nguyên dương n để n5 1 chia hết cho n3 1 Câu 4: Cho hình vuông ABCD cạnh a, điểm E thuộc BC, điểm F thuộc AD sao cho CE AF . Các đường thẳng AE, BF cắt đường thẳng CD theo thứ tự ở M, N. a) Chứng minh rằng CM.DN a2 b) Gọi K là giao điểm của NA và MB. Chứng minh rằng M· KN 900 c) Các điểm E và F có vị trí như thế nào thì MN có độ dài nhỏ nhất? Câu 5: Cho các số dương a, b, c thỏa mãn a2 b2 c2 abc a b c Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P a2 bc b2 ca c2 ab HƯỚNG DẪN Câu 4: K A B F E N D C M DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn a) Ta có CM CE CE AF AF AB ; ; suy ra CM.DN AB2 a2 AB BE BE AD AD ND CM AB CM AD b) Ta có AB CN CB CN Do đó ADN ~ MCB (c.g.c) suy ra C· MB D· AN ; ·AND D· AN 900 ·AND C· MB 900 N· KM 900 c) MN nhỏ nhất CM ND nhỏ nhất Ta có CM DN 2 CM DN 2 4CM.DN CM DN 2 4a2 4a2 CM DN 2 nhỏ nhất bằng 4a2 khi CM DN a E, F theo thứ tự là trung điểm của BC, AD. Độ dài MN nhỏ nhất bằng 3a khi và chỉ khi E, F theo thứ tự là trung điểm của BC, AD. Câu 5: Cho các số dương a, b, c thỏa mãn a2 b2 c2 abc a b c Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P a2 bc b2 ca c2 ab Ta có a 1 1 a 2 a bc 4 a bc Do đó a b c 1 1 a 1 b 1 c 1 a2 b2 c2 ab bc ac P 2 2 2 a bc b ca c ab 4 a bc b ca c ab 4 abc 2 2 2 a b c 1 a b c 1 2 2 2 P 2 2 2 (vì ab bc ca a b c ) a bc b ca c ab 2 abc 2 1 Vậy maxP a b c 3 2 DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 15 Câu 1: Cho biểu thức: 2x 3 2x 8 3 21 2x 8x2 P 2 2 : 2 1 4x 12x 5 13x 2x 20 2x 1 4x 4x 3 a) Rút gọn P 1 b) Tính giá trị của P khi x 2 c) Tìm giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên d) Tìm x để P 0 Câu 2: a) Chứng minh rằng: Với mọi a ¢ nếu a và b không chia hết cho 3 thì a6 b6 chia hết cho 9 b) Cho a b 2 b c 2 c a 2 4. a2 b2 c2 ab ac bc Chứng minh rằng a b c Câu 3: a) 2x 8x 1 2 4x 1 9 b) x2 y2 2x 4y 10 0 với x, y nguyên dương Câu 4: Cho hình thang ABCD ( AB / /CD ), O là giao điểm hai đường chéo. Qua O kẻ đường thẳng song song với AB cắt DA tại E, cắt BCtại F. a) Chứng minh SAOD SBOC 1 1 2 b) Chứng minh AB CD EF c) Gọi K là điểm bất kì thuộc OE. Nêu cách dựng đường thẳng đi qua K và chia đôi diện tích tam giác DEF Câu 5: DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 1 1 2 a b c b Cho a,b,c 0 và . Tìm giá trị nhỏ nhất P a c b 2a b 2c b Câu 6: 1 1 1 1 Chứng minh rằng nếu a, b, c là ba số thỏa mãn a b c 2016 và thì a b c 2016 một trong ba số a, b, c phải có một số bằng 2016 HƯỚNG DẪN Câu 2: a) Chứng minh rằng: Với mọi a ¢ nếu a và b không chia hết cho 3 thì a6 b6 chia hết cho 9 Vì a không chia hết cho 3 thì a có dạng a 3k 1 hoặc a 3k 2 Nếu a 3k 1 a2 9k 2 6k 1 chia 3 dư 1 Nếu a 3k 2 a2 9k 2 12k 4 chia 3 dư 1 Tương tự với b, từ đó suy ra a2 b2 3 2 2 2 Ta có a6 b6 a2 b2 a2 a2b2 b2 a2 b2 a2 b2 3a2b2 2 Vì a2 b2 3 , a2 b2 3a2b2 3 nên a6 b6 chia hết cho 9 Câu 4: A B K E F O I M N D C EO AO AB AO b) Vì EO // DC . Mặt khác AB // CD DC AC DC OC DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn AB AO AB AO EO AB AB BC AO OC AB BC AC DC AB DC EF AB AB DC 2 1 1 2 2DC AB DC AB.DC EF DC AB EF c) Dựng trung tuyến EM M DF . Dựng EN // MK N DF , nối K với N. KN là đường thẳng phải dựng. Chứng minh Ta có SEDM SEMF (1) Gọi giao điểm của EM và KN là I thì SIKE SIMN (chứng minh phần a) (2) Từ (1) và (2) suy ra SEDNI SIMN SKIMF SIKE SEDNI SIKE SKIMF SIMN Vậy SEDNK SKNF . ĐỀ SỐ 16 Câu 1: a b c a) Cho a b c 0 ; x y z 0 ; 0 . Chứng minh rằng ax2 by2 cz2 0 x y z 2 b2 c2 a2 a2 b c b) Cho x ; y . Tính giá trị của biểu thức x y xy 2bc b c 2 a2 Câu 2: a) Giải phương trình x6 7x3 8 0 b) Chứng minh rằng: Nếu 2n 1 và 3n 1 ( n N ) đều là các số chính phương thì n chia hết cho 40 Câu 3: a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A 2x2 y2 2xy 4x 2y 5 DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 9x2 b) Giải phương trình x2 40 x 3 2 Câu 4: Cho hình vuông ABCD. Lấy điểm E bất kỳ trên BC, trên tia đối của tia CD lấy điểm F sao cho CF CE . K là giao điểm của FE và BD, O là giao điểm của AC và BD; DE cắt BF tại H; M là trung điểm của EF. a) Chứng minh DH  BF b) Chứng minh tứ giác OKMC là hình chữ nhật c) Chứng minh ba điểm A, H, K thẳng hàng Câu 5: Cho tam giác ABC nhọn ba đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Gọi M, N, S lần AM BN CS lượt là điểm đối xứng của H qua BC, AC, AB. Tính AD BE CF 4x2 Bài tập tương tự bài 3b). Giải phương trình x2 5 x 2 2 HƯỚNG DẪN Câu 2: b) Do 2n 1 là số chính phương lẻ nên 2n 1 chia cho 8 dư 1, suy ra n là số chẵn. Vì 3n 1 là số chính phương lẻ nên 3n 1 chia cho 8 dư 1, suy ra 3n8 n8 (1) Do 2n 1 và 3n 1 đều là số chính phương lẻ nên có tận cùng bằng 1; 5; 9 do đó khi chia cho 5 thì có dư là 1; 0; 4 Mà 2n 1 3n 1 5n 2 , do đó 2n 1 và 3n 1 khi chia cho 5 đều dư 1. Suy ra 2n5 và 3n5 suy ra n5 (2) Từ (1) và (2) suy ra nBCNN 5;8 hay n chia hết cho 40 Câu 3: a) A 2x2 y2 2xy 4x 2y 5 y x 1 2 x 3 2 5 5 DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn b) ĐKXĐ: x 3 9x2 x2 40 x 3 2 3x 9x2 3x x2 2x. 40 2x. x 3 x 3 2 x 3 2 3x 6x2 x 40 0 x 3 x 3 2 x2 6x2 40 0 x 3 x 3 x2 Đặt t , ta có phương trình t 2 6t 40 0 t 10 t 4 0 x 3 Câu 4: A B K H E O P M 1 1 D C F µ µ 0 a) Ta có CEF vuông cân tại C nên F1 C1 45 suy ra FK / / AC . Vì AC  BD mà FK / / AC nên FK  DB Xét BDF có hai đường cao BC và FK cắt nhau tại E nên E là trực tâm của BDF , do đó DH  BF . DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn b) Ta có C· OK O· KM K· MC 900 nên tứ giác OKMC là hình chữ nhật c) Gọi P là giao điểm của OM và HC, ta có HO OC , CM HM nên OM là đường trung trực của HC nên P là trung điểm của HC. Ta có OP là đường trung bình của tam giác AHC nên OM / / AH . Lại có tứ giác AKMO là hình bình hành nên OM / / AK . Do đó A, K, H thẳng hàng (Theo tiên đề Ơ-Clit) Câu 5: N A E S F H B D C M AM BN CS AD DM BE EN CF FS DM EN FS Ta có 1 1 1 AD BE CF AD BE CF AD BE CF AM BN CS DM EN FS 3 mà DM HD ; NE HE ; FH SF , do đó AD BE CF AD BE CF AM BN CS DH HE HF 3 AD BE CF AD BE CF 1 1 1 HD.BC HE.AC FH.AB S HD S HE S FH BHC 2 ; AHC 2 ; AHB 2 S 1 AD S 1 BE S 1 CF ABC AH.BC ABC BE.AC ABC CF.AB 2 2 2 DH HE HF S S S S BHC AHC AHB ABC 1 AD BE CF SABC SABC DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn AM BN CS DH HE HF Do đó 3 1 3 4 AD BE CF AD BE CF ĐỀ SỐ 17 Câu 1: 2 2 a) Cho x2 y2 2 và M x2 1 y2 1 2x2 y2 . Chứng minh giá trị của biểu thức M không phụ thuộc vào biến x, y. b) Tìm số tự nhiên n để giá trị biểu thức n3 2n2 2n 4 là số nguyên tố Câu 2: x 1 1 3x x2 1 x2 2x 1 Cho biểu thức A 2 3 : 3x x 1 x 1 1 x x 1 a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn A 2 b) Tìm các giá trị của x để A và có giá trị là số nguyên A Câu 3: 21 a) Giải phương trình x2 4x 6 0 x2 4x 10 b) Chứng minh rằng nếu n 1 và 2n 1 ( n ¥ ) đều là các số chính phương thì n chia hết cho 24 Câu 4: Cho tam giác ABC đều. Một đường thẳng song với BC cắt cạnh AB, AC lần lượt tại D và E. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của DE và BE. Gọi O là trọng tâm của tam giác ADE. a) Chứng minh OMN ~ OEC b) Chứng minh ON  NC DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Câu 5: Cho x, y là các số dương thỏa mãn x y 1. 1 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 4xy x2 y2 xy HƯỚNG DẪN Câu 1: 2 2 2 a) M x2 1 y2 1 2x2 y2 x2 y2 2 x2 y2 2 22 2.2 2 2 b) n3 2n2 2n 4 n2 2 n 2 Để giá trị biểu thức là số nguyên tố thì n 2 1 n 3 (vì n2 2 2 ) Câu 2: a) ĐKXĐ: x 1 x 1 1 3x x2 1 x2 2x 1 1 A 2 3 : 2 3x x 1 x 1 1 x x 1 x x 1 2 b) Để ¢ thì 2 A hay A Ư . A 2 2 2 1 3 3 4 2 Vì x x 1 x 0 A A 1 x x 1 1 x x 1 0 2 4 4 3 Suy ra x 0 hoặc x 1 (loại) Câu 3: a) ĐKXD: x ¡ 21 x2 4x 6 0 , đặt x2 4x 8 t , ta có phương trình x2 4x 10 21 t 2 0 (t 2 ) t 2 b) HS tự làm DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Câu 4: A O D E M N B C OM 1 OM 1 MN 1 MN 1 a) Ta có OA OE , nên ; BD CD ; nên OA 2 OE 2 BD 2 EC 2 OM MN Do đó và O· MN O· EC 1500 nên OMN ~ OEC (c.g.c) OE EC ON OC b) Từ OMN ~ OEC suy ra O· NM O· CE ; M· ON E· OC và OM OE Vì M· ON E· OC N· OC M· OE nên ONC ~ OME (c.g.c) O· NC O· ME 900 ĐỀ SỐ 18 Câu 1: 4xy 1 1 Cho biểu thức A 2 2 : 2 2 2 2 y x y x y 2xy x a) Rút gọn A b) Tìm x, y thỏa mãn 3x2 y2 2x 2y 1 0 và A 2 Câu 2: DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn a) Phân tích đa thức thành nhân tử x4 2016x2 2015x 2016 b) Cho A 11 155 56 với n ¥ * . Chứng minh A là số chính phương (n chữ số 1) (n - 1 chữ số 5) Câu 3: a) Cho a; b; c là ba số đôi một khác nhau thỏa mãn (a b c)2 a2 b2 c2 a2 b2 c2 Tính giá trị của biểu thức P a2 2bc b2 2ac c2 2ab b) Tìm tất cả các số x, y, z nguyên thỏa mãn x2 y2 z2 – xy – 3y – 2z 4 0 Câu 4: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a, biết hai đường chéo cắt nhau tại O. Lấy điểm I thuộc cạnh AB, điểm M thuộc cạnh BC sao cho I·OM 900 (I và M không trùng các đỉnh của hình vuông). a) Chứng minh BIO CMO và tính diện tích tứ giác BIOM theo a. b) Gọi N là giao điểm của tia AM và tia DC, K là giao điểm của BN và tia OM. Chứng minh tứ giác IMNB là hình thang và B· KM B· CO . 1 1 1 c) Chứng minh CD2 AM 2 AN 2 Câu 5: Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh BC, AC, AB lần lượt là a, b, c. Các đường a b c 2 cao tương ứng là ha, hb, hc. Tam giác đó là tam giác gì khi biểu thức 2 2 2 ha hb hc đạt giá trị nhỏ nhất? HƯỚNG DẪN Câu 1: a) Rút gọn A 2x(x y) b) Ta có DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 3x2 y2 2x 2y 1 0 2x2 2xy x2 2xy y2 2x 2y 1 0 (2x2 2xy) (x2 2xy y2 ) (2x 2y) 1 0 2x(x y) (x y)2 2(x y) 1 0 A (x y)2 2(x y) 1 2 A (x y 1)2 2 2 (x y 1)2 2 x y 1 0 ( x y; y 0) Thay y x 1 vào A 2x(x y) ta được: x 1 2 2x x x 1 2 2x x 1 0 x 1 2x 1 0 1 x 2 Với x 1, ta có y 0 (loại) 1 3 Với x , ta có y (thoả mãn) 2 2 1 3 Vậy x, y cần tìm là x và y 2 2 Câu 2: a) x4 2016x2 2015x 2016 x2 x 1 x2 x 2016 b) Ta có A 1 1 15 5 56 1 1 15 5 5 1 1 1 1 4.1 1 1 1 n n 1 n n 2n(c/s1) n(c/s1) 2 10 02 2n n 2n n n 2  10 1 10 1 10 4.10 4 (10 2) (n 1)cs0 4. 1 (33 34)2 9 9 9 9 9  (n 1)c/s3 là số chính phương. Câu 3: a) Ta có a b c 2 a2 b2 c2 ab bc ac 0 DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn a2 2bc a2 bc ac ab a a c b a c a c a b a2 a2 a2 , tương tự: a2 2bc a2 ab ac bc (a b)(a c) b2 b2 c2 c2 ; b2 2ac b a b c c2 2ac c a c b a2 b2 c2 (a b)(a c)(b c) P 1 (a b)(a c) (a b)(b c) (a c)(b c) (a b)(a c)(b c) b) Ta có Cách 1 x2 y2 z2 – xy – 3y – 2z 4 0 2 y 2 3 2 x z 1 y 2 0 2 4 Cách 2 Nhân cả hai vế với 4, đưa về dạng 2x y 2 4 z 1 2 3 y 2 2 0 Có các giá trị x, y, z là (1;2;1) Câu 4: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a, biết hai đường chéo cắt nhau tại O. Lấy điểm I thuộc cạnh AB, điểm M thuộc cạnh BC sao cho I·OM 900 (I và M không trùng các đỉnh của hình vuông). a) Chứng minh BIO CMO và tính diện tích tứ giác BIOM theo a. b) Gọi N là giao điểm của tia AM và tia DC, K là giao điểm của BN và tia OM. Chứng minh tứ giác IMNB là hình thang và B· KM B· CO . 1 1 1 c) Chứng minh CD2 AM 2 AN 2 DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn N K B C M I 1 2 O A D a) Xét BIO và CMO có I·BO M· CO 450 OB OC µ ¶ · O1 O2 (cùng phụ với BOM ) Do đó BIO CMO (cạnh huyền-góc nhọn), suy ra SBIO SCMO mà 1 1 S S S hay S S S S S a2 BMOI BOI BMO BMOI CMO BMO BOC 4 ABCD 4 b) Từ BIO CMO BI CM BM AM AI AM Vì CN / / AB IM / /BN nên tứ giác IMNB là hình thang BC MK AI MK Vì OM OI nên IOM vuông cân tại O do đó B· KM I·MO 450 B· CO AB AM AD AM AD NC AD2 NC 2 c) Vì AB / /NC ( AB AD ) NC MN NC MN AM MN AM 2 MN 2 AD AN AD MC AD2 MC 2 Vì AD / /MC MC MN AN MN AN 2 MN 2 AD2 AD2 NC 2 MC 2 MN 2 1 1 1 1 Từ đó suy ra 1 AM 2 AN 2 MN 2 MN 2 MN 2 AM 2 AN 2 AD2 CD2 Cách 2 DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn N K B C M I 1 2 O A D E Qua A kẻ tia Ax vuông góc AN cắt CD tại E .Chứng minh ADE ABM (g.c.g) AE AM AD.NE AN.AE Ta có ANE vuông tại A có AD  NE nên S AEN 2 2 AD.NE AN.AE (AD.NE)2 (AN.AE)2 Áp dụng định lí pitagota vào ANE ta có AN 2 AE 2 NE 2 AD2.(AN 2 AE 2 ) AN 2.AE 2 AN 2 AE 2 1 1 1 1 AN 2.AE 2 AD2 AE 2 AN 2 AD2 1 1 1 Mà AE AM và CD AD CD2 AM 2 AN 2 Câu 5: DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn A N hc x M B C D Qua C vẽ Cx song song với AB, lấy điểm D đối xứng với A qua Cx, khi đó tứ giác AMCN là hình chữ nhật nên AD 2NC , AC CD Xét ba điểm B, C, D, ta có BD BC CD Theo định lý Pytago ta có AB2 AD2 BD2 2 2 2 2 2 2 2 AB 4NC BC CD c 4hc a b 4hc a b c 2 2 2 2 Chứng minh tương tự ta có: 4hb a c b ; 4ha b c a 2 2 a b c 4 ha hb hc a b c 4 , dấu đẳng thức xảy ra khi a b c ha hb hc ĐỀ SỐ 19 Câu 1: a) Cho số x nguyên dương thỏa mãn x x 1 x 2 x 3 24 . 2 Tính giá trị biểu thức P x2015 x2016 1 2 2 2 2 2 1 2 b) Giải phương trình x 1 1 1 8 1 x x x Câu 2: DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn a 1 a 1 8a a2 a 11 2 Cho biểu thức A 2 : 2 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị nhỏ nhất của A Câu 3: 2 a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử Q x x 2 2 1 2x2 8x 2 b) Cho a b c 0 ( a 0 , b 0 , c 0 ). a2 b2 c2 Rút gọn biểu thức P a2 b2 c2 b2 c2 a2 c2 a2 b2 Câu 4: 1) Cho hình vuông ABCD. Điểm P thay đổi trên đường chéo BD ( P B ; P D ) Gọi Q, R lần lượt là hình chiếu của P lên AB và AD. a) Chứng minh ba đường thẳng BR, DQ, CP đồng quy b) Xác định vị trí của điểm P để SAQPR lớn nhất 2) Cho tam giác ABC cân tại A có BC 4cm . Hai điểm D và E lần lượt nằm trên các cạnh AC và AB sao cho AD 2DC , AE 2EB và BD  CE . Tính SABC . 3) Cho tứ giác ABCD. Qua trung điểm M của đường chéo BD dựng đường thẳng song song với AC cắt cạnh AD tại E. Chứng minh CE chia tứ giác ABCD thành hai phần có diện tích bằng nhau Câu 5: Cho các số thực a, b, c thỏa mãn a2 b2 c2 8 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S 2016ac ab bc HƯỚNG DẪN DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Câu 1: a) x x 1 x 2 x 3 24 vì x ¥ * nên x x 1 x 2 x 3 1.2.3.4 x 1 2 Vậy P 12015 2 12016 1 b) Câu 2: 4a a) Rút gọn A a2 a 9 b) Ta có 2 a 1 4a 4 a2 a 9 5a a2 6a 9 a 3 0 a2 a 9 5a a2 a 9 5 a2 a 9 5 4 Vậy minA a 3 5 Câu 5: 2 b2 a c a2 b2 c2 2ac 8 2ac Ta có ab bc b a c 4 ac 2 2 2 S 2016ac ab bc 2016ac ab bc 2016ac 4 ac 2015ac 4 a2 c2 a2 b2 c2 a2 b2 c2 Mặt khác ta có ac ac 4 2 2 2 Suy ra S 2015. 4 4 8064 , vậy minS 8064 a 2;b 0;c 2 ĐỀ SỐ 20 Câu 1: a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử x4 y z y4 z x z4 x y b) Cho n là tổng của hai số chính phương. Chứng minh rằng n2 cũng là tổng của hai số chính phương. Câu 2: DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn a2 b2 c2 b2 c2 a2 c2 a2 b2 Cho biểu thức M 2ab 2bc 2ac Chứng minh rằng: a) Nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác thì M 1 b) Nếu M 1 thì hai trong ba phân thức đã cho của biểu thức M bằng 1, phân thức còn lại bằng -1. Câu 3: x4 x2 1 a) Cho x2 4x 1 0 . Tính giá trị biểu thức A x2 14 4 54 4 94 4 214 4 b) Rút gọn biểu thức P 34 4 74 4 114 4 234 4 Câu 4: a) Gọi H là hình chiếu của đỉnh B trên đường chéo AC của hình chữ nhật ABCD, M và K theo thứ tự là trung điểm của AH và CD. Tính B· MK . b) Cho tam giác ABC nhọn trực tâm H, trên đoạn BH lấy điểm M và trên trên đoạn CH lấy điểm N sao cho ·AMC ·ANB 900 . Chứng minh rằng AM AN . Câu 5: Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện a b c 1. ab bc ca 1 Chứng minh rằng c 1 a 1 b 1 4 HƯỚNG DẪN Câu 1: a) x4 y z y4 z x z4 x y 4 4 4 4 4 4 x y z y x z z x y x y z y y z x y z x y x4 y z y4 y z y4 x y z4 x y y z x4 y4 x y z4 y4 DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn y z x y x y x2 y2 x y z y z y z2 y2 2 2 2 2 x y y z x y x y z y z y x y y z x z x2 y2 z2 xy yz xz 2 2 b) Ta có n a2 b2 , khi đó n2 a2 b2 a4 2a2b2 b4 a2 b2 2ab 2 Câu 2: Vì a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác nên a,b,c 0 và a b c 0 ; a c b 0 ; c b a 0 a2 b2 c2 b2 c2 a2 c2 a2 b2 Đặt A ; B ; C 2ab 2bc 2ac Ta cần chứng minh M A B C 1 hay A 1 B 1 C 1 0 Ta có: a2 b2 c2 a2 2ab b2 c2 a b c a b c A 1 2ab 2ab 2ab b2 c2 a2 b2 2bc c2 a2 b c a b c a B 1 2bc 2bc 2bc c2 a2 b2 c2 2ac a2 b2 c a b c a b C 1 2ac 2ac 2ac Suy ra a b c a b c b c a b c a c a b c a b A 1 B 1 C 1 2ab 2bc 2ac c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b 2abc a b c c a b c a b c a b c a b 2abc a b c ca cb c2 ab ac a2 bc ba b2 2abc DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn a b c bc ba b2 c2 ca cb ac a2 ab a b c b c a c a b 2abc 2abc Từ đó suy ra M 1 0 hay M 1 b) Ta có a b c b c a c a b M 1 M 0 0 a b c b c a c a b 0 2abc Ta xét ba trường hợp a b c b c a Nếu a b c 0 thì A 1 0 ; B 1 0; C 1 0; 2bc Suy ra A 1; B 1;C 1 2 2 2 2 2 2 ( + ― )( + + ) = + ― + 1 = + ― + 2 = TH2: Nếu b-c+a =0 Thì A+1 2 2 = 2 0; 2 2 2 2 2 2 ( ― ― )( ― + ) ― ( ― + )( ― + ) + ― ― 1 = + ― ― 2 = = = 0 C-1= 2 2 2 2 B-1=0; Suy ra A=-1; B=1;C=1 ( ― ― )( ― + ) ―( ― + )( ― + ) = = = TH3: Nếu c-a+b =0 Thì A-1 2 2 0; 2 2 2 2 2 2 ( ― ― )( ― + ) ― ( ― + )( ― + ) + ― ― 1 = + ― ― 2 = = = 0 C-1= 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( + ― )( + + ) + ― + 1 = + ― + 2 = = B+1= 2 2 2 0; Suy ra A=1; B=-1;C=1 Như vậy trường hợp nào cũng có hai trong ba phân thức A, B, C bằng 1, phân thức còn lại bằng -1. Câu 3: x2 x 1 x2 x 1 a) Ta có x2 4x 1 0 x2 x 1 3x 3 ; 5 x x 2 2 2 x4 x2 1 x 1 x x2 x 1 x2 x 1 A . 3.5 15 x2 x2 x x b) Ta có 2 2 n4 4 n2 22 n2 2 4n2 n2 2n 2 n2 2n 2 n 1 2 1 n 1 2 1 DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 14 4 54 4 94 4 214 4 P 34 4 74 4 114 4 234 4 2 2 2 2 2 2 0 1 2 1 4 1 6 1 20 1 22 1 1 . 22 1 42 1 62 1 82 1 222 1 242 1 242 1 Câu 4: B C P K H M A D a) Gọi P là trung điểm của BH suy ra PM là đường trung bình của tam giác ABH nên PM//AB mà AB BC nên PM  BC và P là trực tâm của tam giác BMC. Từ đó tứ giác MPCK là hình bình hành nên MK//PC mà PC AB nên MKAB. b) Gọi P, Q lần lượt là chân đường cao kẻ từ B và C. Tam giác vuông AMC có đường cao MP => AM2=AP.AC Tam giác vuông ANB có đường cao NQ => AN2=AQ.AB Xét tam giác APB và AQC có: Góc A chung Góc APB=AQC=90 độ => tam giác đồng dạng => AP.AC=AQ.AB => AM2=AN2 => AM=AN ĐỀ SỐ 21 Câu 1: DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn y x x2 y xy2 Cho biểu thức P 2 2 . 2 2 x x y xy y x y a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức P b) Tính giá trị của P khi x y 0 và thoả mãn 2x2 2y2 5xy Câu 2: x 2 3 x 3 2 a) Giải phương trình 3 x 2 2 x 3 b a 2 a b b) Chứng minh rằng nếu a b 1 ( a,b 0 ) thì a3 1 b3 1 a2b2 3 c) Tìm dư trong phép chia f x x168 x84 x43 x21 x cho x2 1 Câu 3: a) Cho bốn số a, b, c, d thoả mãn điều kiện a2 b2 2 và a d b c 1 Chứng minh rằng c2 d 2 2ad 2bc 2ab 2 5125 1 b) Cho A . Chứng minh rằng A là hợp số. 525 1 p2 11p 33 c) Tìm tất cả các số nguyên tố p thoả mãn 1 p2 3 Câu 4: Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Trên cạnh BC lấy điểm E, từ A kẻ đường thẳng vuông góc với AE cắt đường thẳng CD tại F. Gọi I là trung điểm của EF. AI cắt CD tại M. Qua E dựng đường thẳng song song với CD cắt AI ở N a) Chứng minh tứ giác MENF là hình thoi b) Chứng minh chu vi tứ giác CME không đổi khi E chuyển động trên BC c) Tính diện tích tam giác ADI theo a khi BE 2EC d) Xác định vị trí của E trên cạnh BC để diện tích tam giác CME lớn nhất Câu 5: DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 21 21 21 Cho x, y, z khác 0 và đôi một khác nhau thoả mãn 0. 4x 4y 4z yz xz xy Tính giá trị biểu thức A x2 2yz y2 2xz z2 2xy HƯỚNG DẪN Câu 1: x y a) ĐKXĐ: x, y 0 2 2 y x x2 y xy2 x y xy x y x y P 2 2 . 2 2 . 2 2 x x y xy y x y xy x y x y y x b) Ta có 2x2 2y2 5xy x 2y 2x y 0 x 2y (vì x y 0 2x y 0 ) 3y Khi đó ta có P 3 y Câu 2: a) ĐKXĐ: x 2 ; x 3 x 2 3 x 3 2 3 x 2 2 x 3 x 2 x 3 3 2 0 3 2 x 2 x 3 13 x 13 x 0 6 x 2 x 3 1 1 13 x 2 0 6 x x 6 b) Ta có 2 2 2 2 b a b4 b a4 a a b a b a b a b a b 1 a b a3 1 b3 1 a3 1 b3 1 a3b3 a3 b3 1 a3b3 a2 ab b2 1 DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 2 2 2 2 b a a b 1 a b a b 1 a b 3 3 2 2 2 2 2 2 a 1 b 1 ab a b 1 1 a b 1 a b 2 2 2 2 a b 1 a b 2 2 2 b a 2 a b 1 a b 2 a b a3 1 b3 1 a2b2 3 1 a2 b2 a2b2 3 c) Đa thức dư có dạng ax b , ta có f x x 1 x 1 .Q x ax b f 1 1 1 1 1 Q x a. 1 1 a b 5 a 2 f 1 1 1 1 1 Q x a. 1 1 a b 1 b 3 Câu 3: a) Ta có c2 d 2 2ad 2bc 2ab c2 d 2 2ad 2bc 2ab 2 a2 b2 4 c2 d 2 2ad 2bc 2ab a d 2 b c 2 a b 2 4 2 a d b c 4 2 4 2 a5 1 b) Đặt 525 a A a4 a3 a2 a 1 a4 9a2 1 6a3 6a 2a2 5a3 10a2 5a a 1 2 2 2 2 2 A a2 3a 1 5a a 1 2 550 3.525 1 526 525 1 550 3.525 1 535 513 A 550 3.525 1 538 513 550 3.525 1 538 513 mà mỗi thừa số đều lớn hơn 1. Vậy A là hợp số. c) Ta có p2 11p 33 1 p2 11p 33 p2 3 2 p2 11p 30 0 p 2 2 p 15 0 p2 3 2 p 7,5 p 2;3;5;7 DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Câu 4: A a B a-x N E x I F a-x D M y C a) Ta có NE / /MF nên N· EF M· FE , do đó EIN FIM IN IM Tứ giác ENFM có hai đường chéo vuông góc với nhau tại trung điểm của mỗi đường nên tứ giác ENFM là hình chũ nhật. b) Ta có ABE ADF nên BE DF PMCE EM MC CE FM MC CE FC CE FD DC CE BE EC DC 2a Vậy chu vi tam giác CME không đổi. 1 1 1 1 1 c) Ta có BE 2EC CE BC S S . S a2 3 ACE 3 ACB 3 2 ABCD 6 AI 1 AIE vuông cân tại I nên (1) AE 2 AD 1 ADC vuông cân tại D nên (2) AC 2 AI AD Từ (1) và (2) suy ra và ·ADI ·ACE 450 nên ADI ~ ACE AE AC 2 2 SADI 1 1 a Suy ra SADI SACE SACE 2 2 12 d) Đặt CE x ; MC y ( x, y 0 ) 2 2 2 2 2 2 Ta có PCEM 2a x y x y , ta có x y 2 xy ; x y 2xy x y 2xy 2 2 2 2a 2a 2a x y x y 2 xy 2xy xy 2 2 xy xy 2 2 2 2 DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 2 1 1 2a 1 2a2 2a2 xy xy 2 SCEM 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2a2 2a Vậy diện tích tam giác CME lớn nhất bằng 2 khi và chỉ khi x y 2 2 2 2 ĐỀ SỐ 22 Câu 1: 2 x 1 1 2x2 4x 1 x2 x Cho biểu thức P : 2 x3 1 x 1 x3 x 3x x 1 a) Tìm điều kiện của x để giá trị của biểu thức được xác định b) Tìm giá trị của x để giá trị của P bằng 0 c) Tìm giá trị của x để P 1 Câu 2: Cho đa thức: A x y y z z x xyz a) Phân tích A thành nhân tử b) Chứng minh rằng nếu x, y, z là các số nguyên và x y z chia hết cho 6 thì A 3xyz chia hết cho 6 Câu 3: a) Cho ba số tự nhiên a, b, c. Chứng minh rằng nếu a b c chia hết cho 3 thì a3 b3 c3 3a2 3b2 3c2 chia hết cho 6. b) Cho các số nguyên a,b,c thoả mãn a b 3 b c 3 c a 3 210 . Tính giá trị của biểu thức A a b b c c a . Câu 4: Cho hình vuông ABCD và các điểm E, F lần lượt trên các cạnh AB, AD sao cho AE AF . Gọi H là hình chiếu của A trên DE. DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn a) Chứng minh AD2 DH.DE b) Chứng minh AHF ~ DHC c) Xác định vị trí của các điểm E và F để diện tích tam giác CDH gấp 9 lần diện tích tam giác AFH. Câu 5: Cho M 2x2 2y2 3xy x y 3 Tính giá trị của M biết xy 1 và x y đạt giá trị nhỏ nhất. HƯỚNG DẪN Câu 1: a) Điều kiện: x 0; x 1; x 1 2 3 2 2 x 1 1 4x 2x2 1 x2 x x 1 1 4x 2x x x 1 x3 x P 2 3 : 3 3 . 2 x x 1 x 1 x 1 x x x 1 x x 2 x3 3x2 3x 1 1 4x 2x2 x2 x 1 x x 1 x3 1 x2 1 x2 1 P . . x3 1 x x 1 x3 1 x 1 x 1 b) Vì x2 1 0 nên không có giá trị nào của x để P 0 c) Vì P 1 nên P 1 hoặc P 1 x2 1 Nếu P 1 thì 1 x2 1 x 1 x x 1 0 x 0; x 1 hai giá trị này không x 1 thỏa mãn điều kiện 2 2 x 1 2 2 1 7 Nếu P 1 thì 1 x 1 x 1 x x 2 0 x 0 với x x 1 2 4 Vây không có giá trị nào của x để P 1 Câu 2: a) A x y z xy yz xz b) Vì x, y, z là các số nguyên và x y z6 nên A6 DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Mặt khác x y z6 nên trong ba số x, y, z phải có ít nhất một số chẵn, suy ra xyz : 2 3xyz6, do đó A 3xyz chia hết cho 6. ĐỀ SỐ 23 Câu 1: a) Tìm a và b để đa thức G x x6 ax2 bx+2 chia hết cho đa thức P x x2 x 1 xy 3x y 4 yz 3y z 4 zx 3z x 4 b) Cho biểu thức M xy 2x 2y 4 yz 2y 2z 4 zx 2z 2x 4 Chứng minh giá trị của biểu thức M luôn là một số nguyên với x 2 và y 2 Câu 2: Cho a, b, c thỏa mãn a2 b2 c2 a b c 2 Chứng minh M a2 1 b2 1 c2 1 viết được dưới dạng bình phương của một biểu thức. Câu 3: a) Chứng minh biểu thức N 2x2 7y2 6xy 10x 30y 45 sau luôn dương với x, y b) Cho a, b, c thỏa mãn a b c 2 b c a 2 c a b 2 4abc và a2013 b2013 c2013 1 1 1 1 Tính giá trị biểu thức M a2015 b2015 c2015 Câu 4: Cho hình chữ nhật ABCD ( AD AB ), gọi O là giao điểm của AC và BD. Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với BD cắt AB, DC và BC lần lượt tại tại M, N và T. Qua M vẽ đường thẳng song song với AC cắt DA và BD tại lần lượt tại E và I , vẽ hình chữ nhật AEFM. a) Cứng minh AF song song với DB b) Chứng minh F và C đối xứng qua I c) Gọi H và G lần lượt là trung điểm của AD và DC. Chứng minh TG  MH DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Câu 5: Tìm x, y nguyên thỏa mãn x2 (y2 3) y y x HƯỚNG DẪN Câu Nội Dung Điểm 1 5đ a/ Ta có G x x6 ax2 bx+2=(x6 1) ax2 bx+3 0,75 2,5đ Ta có x6 1 x3 1 x3 1 x 1 x2 x 1 x3 1 (x2 x 1) 2 2 2 Vây để G(x) chia hết cho x -x+1 thì ax +bx+3 phải chia hết cho x -x+1 0,25 Ta có ax2+bx+3 chia cho x2-x+1 được thương là a dư (a+b)x+3-a 2 2 0,75 Nên để ax +bx+3 chia hết cho x -x+1 thì (a+b)x+3-a=0 với mọi x 0,75 a 3 và b 3 xy 3x y 4 yz 3y z 4 zx 3z x 4 b/ Ta có M= ( 1) ( 1) ( 1) 3 0,5 đ 2,5đ xy 2x 2y 4 yz 2y 2z 4 zx 2z 2x 4 = 0,5đ xy 3x y 4 xy 2x 2y 4 yz 3y z 4 yz+2y+2z-4 zx 3z x 4 zx+2z+2x-4 3 xy 2x 2y 4 yz 2y 2z 4 zx 2z 2x 4 y x z y x z 0,5đ = 3 x(y 2) 2(y 2 y(z 2) 2(z 2) z(x 2) 2(x 2) (y 2) (x 2) (z 2) (y 2) (x 2) (z 2) 0,5đ = 3 (y 2) x 2 (z 2)(y 2) (x 2)(z 2) 1 1 1 1 1 1 = 3 3 x 2 y 2 y 2 z 2 z 2 x 2 0,25 Ta có M=3 Vậy M luôn là một số nguyên với x 2 và y 2. đ 0,25 đ 2 4đ a/ -Nếu x lẻ x 2k 1 2đ 3x 112 32K 1 112 3 9k 1 3 112 3(9 1)(9k 1 9k 2 1) 3 112 0,5đ =24q+3+112=4(8q+28)+3 chia cho 4 dư 3 3x 112 chia cho 4 dư 3 y2 chia cho 4 dư 3 vô lý vì số chính phương chia cho 4 chỉ dư 0 hoặc 1. Vậy x phải chẵn x 2k với k nguyên dương 0,5đ Vây ta có 32k 112 y2 y 3k y 3k 112 112 y 3k 2 Vì y 3k y 3k y 3k 112 y 3k 10 y 3k 14,28,56,112 DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn -Nếu y 3k 14 y 3k 8 2y 22 y 11 x 2 -Nếu y 3k 28 y 3k 4 2y 32 y 16 3x 144 (loại) 0,75 -Nếu y 3k 56 y 3k 2 2y 58 y 29 x 6 đ 112 -Nếu y 3k 112 y 3k 1 2y 113 y (loại) 2 Vây ta có (2;11) ; (6;29) thõa mãn dầu bài 0,25 đ b/ Vì a2 b2 c2 a b c 2 0,5đ 2đ a b c 2 a2 b2 c2 2 ab bc ca 4 2 2 ab bc ca ab bc ca 1 Nên ta có a2 1 a2 ab bc ca (a b)(a c) 0,5đ Tương tự ta có b2 1 b c a b ;c2 1 a c b c 0,5đ 2 Vây ta có M= a b b c a c .Vậy M viết được dưới dạng bình phương của một biểu thức 0,5đ 3 4đ a/ Ta có N= 2x2 7y2 6xy 10x 30y 45 1,5đ 2đ 2N= 4x2 14y2 12xy 20x 60y 90 = . = 2x 3y 5 2 5 y 3 2 20 0 với mọi x, y vì . Vì 2N>0 N>0 0,25 Vậy Biểu thức N luôn nhận giá trị dương với mọi x, y đ 0,25 đ b/ Ta có a b c 2 b c a 2 c a b 2 4abc 1đ 2đ 2 a b c bc2 2abc a2b a2c 2abc b2c 4abc 0 a b c 2 bc2 a2b a2c b2c 0 a b c 2 b2c bc2 a2b a2c 0 a b c 2 bc b c a2 b c 0 (b c) ab ac bc a2 0 a b 0 (b c) a a c b(a c) 0 (a b)(b c)(a c) 0 b c 0 a c 0 0,5đ -Nếu a+b=0 a b a2013 b2013 a2013 b2013 0 mà a2013 b2013 c2013 1 DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 1 c2013 1 c 1 1. Vì a b c2015 1 1 1 1 1 M 1 1 0,5đ a2015 b2015 c2015 b2015 b2015 -Nếu b+c=0 hoặc a+c=0 là tương tự ta đều tính được M=1. Vậy M=1 4 6 E F K M B A I H P O Q D C G N T a/ Gọi K là giao điểm của AF và EM ta có KE=KA ( .) 0,5đ 2đ µ µ 0,5đ EKA cân E1 A1 Tương tự AOD cân ¶A D¶ . 2 1 0,5đ µ ¶ µ ¶ Ta có EM//AC ( ) E1 A2 ( ) A1 D1 ( mà ) 0,5đ Vậy AF//DB b/ C/m được AKIO là hình bình hành KFIO là là hình bình hành 1đ 2đ FI//KO Chỉ ra OK là đường TB của tam giác AFC FC//KO FI  FC F, I, 0,5đ C thảng hàng FI 0,5đ Chi ra FI=KO= IF=IC 2 Vậy F và C đối xứng qua I c/ Gọi P là trung điểm của BC ta có OH, OP là đường trung bình của 0,75 2đ DAC; DBC đ 1 1 OH // DC;OP // DC H,O, P thẳng hàng và OH=OP 2 2 DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Ta có AOM CON (gcg) OM ON HMPN là hình bình hành NP // MH 0,75 Ta có GP là đường TB của tam giác DCB GP//DB, gọi Q là giao đ điểm của TO với GP Vì TO vuông góc với DB nên TQ  GP N là trực tâm tam giác PGC 0,5đ TG  NP Mà NP // MH TG  MH 5 1đ Ta có x2 (y2 3) y y x x2 y2 3x2 y2 xy 0,25 4x2 y2 12x2 4y2 4xy 4x2 y2 11x2 4y2 4xy x2 đ x2 (4y2 11) x 2y 2 -Nếu x 0 y 0 ta có (0;0) là nghiệm của PT -nếu x 0 4y2 11 là số chính phương 4y2 11 a2 với a z 0,25 2y a (2y a) 11 đ Giải PT này tìm được (1;3) và (-1;-3) là nghiệm của PT 0,25 đ 0,25 đ ĐỀ SỐ 24 Câu 1: a) Phân tích đa thức thành nhân tử x5 x 1 b) Chứng minh rằng nếu a4 b4 c4 d 4 4abcd và a,b,c,d 0 thì a b c d Câu 2: a) Cho x, y, z là các số tự nhiên. Chứng minh rằng M 4x x y x y z x z y2 z2 là một số chính phương b) Cho các số thực x, y, z thỏa mãn đồng thời các điều kiện x y z 2, 1 1 1 x2 y2 z2 18 và xyz 1. Tính giá trị của S xy z 1 yz x 1 zx y 1 DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Câu 3: a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A 2x2 3y2 4xy 8x 2y 18 x2 2x 2016 b) Tìm giá trị nhỏ nhất của B với x 0 x2 c) Chứng minh rằng với mọi số nguyên x, y ta có x5 y xy5 chia hết cho 30 Câu 4: Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy một điểm M bất kỳ trên cạnh AC (M khác A và C). Từ C vẽ một đường thẳng vuông góc với tia BM, đường thẳng này cắt tia BM tại D, cắt tia BA tại E, EM cắt BC tại I. a) Chứng minh EA.EB ED.EC b) Chứng minh BM.BD CM.CA BC 2 c) Vẽ đường thẳng vuông góc với AB tại B, đường thẳng vuông góc với CD tại C, chúng cắt nhau tại K. Chứng minh MK luôn đi qua một điểm cố định khi M thay đổi. Câu 5: a) Cho a; b; c là ba cạnh của tam giác. ab bc ac Chứng minh a b c a b c a b c a b c a b c b) Cho tam giác có nửa chu vi p với a, b, c là độ dài ba cạnh. 2 1 1 1 1 1 1 Chứng minh 2 p a p b p c a b c c) Cho a; b; c là độ dài ba cạnh của tam giác. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 4a 9b 16c P b c a a c b a b c DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn HƯỚNG DẪN Câu 2: b) Ta có xy z 1 xy x y 1 x 1 y 1 Tương tự yz x 1 y 1 z 1 và zx y 1 z 1 x 1 1 1 1 x y z 3 Suy ra S x 1 y 1 y 1 z 1 z 1 x 1 x 1 y 1 z 1 1 1 xyz xy yz zx x y z 1 xy yz zx Ta có x y z 2 x2 y2 z2 2 xy yz zx xy yz zx 7 1 Suy ra S 7 Câu 3: a) Ta có: A = 2(x2 + 2xy + y2) + y2 -8x -2y + 18 A = 2[(x+y)2 - 4(x + y) +4] + ( y2 + 6y +9) + 1 A = 2(x + y - 2)2 + (y+3)2 + 1 1 Vậy minA = 1 khi x = 5; y = -3 Câu 5: Vì a; b; c là ba cạnh của tam giác nên: a + b - c > 0; - a + b + c > 0; a - b + c > 0. Đặt x = - a + b + c >0; y = a - b + c >0; z = a + b - c >0 y z x z x y ta có: x + y + z = a + b + c; a ;b ;c 2 2 2 ab bc ac (y z)(x z) (x z)(x y) (x y)(y z) a b c a b c a b c 4z 4x 4y DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 1 xy yz xz 1 1 xy yz xz ( 3x 3y 3z) 3(x y z) (2 2 2 ) 4 z x y 4 2 z x y 1 y x z x y z z x y 3(x y z) ( ) ( ) ( ) 4 2 z x 2 z y 2 y x 1 3(x y z) x y z x y z 4 Mà x + y + z = a + b + c nên suy ra điều phải chứng min ĐỀ SỐ 25 Câu 1: a) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: 2 2 2 2 4 a) 3x x 2 3x 6x 2 1 b) a b c b c a c a b c) 4x 81 b) Cho a; b; c là ba số đôi một khác nhau thỏa mãn ab bc ca 0 a2 b2 c2 Rút gọn biểu thức A a2 2bc b2 2ac c2 2ab Câu 2: 1 1 1 1 1 1 a) Cho 0 . Tính A xyz 3 3 3 x y z x y z b) Với mọi x, y, cho f(x,y) 5x2 2y2 4xy 2x 2060, chứng minh rằng f x, y 2016 Câu 3: a) Chứng minh rằng A 13 23 33 43 20163 là số chính phương. b) Cho a1,a2 , ,a2016 là các số tự nhiên có tổng chia hết cho 5. 5 5 5 Chứng minh rằng A a1 a2 a2016 chia hết cho 5. Câu 4: Cho điểm M di động trên đoạn thẳng AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ các hình vuông AMCD, BMEF. a) Chứng minh rằng AE  BC DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn b) Gọi H là giao điểm của AE và BC. Chứng minh ba điểm D, H, F thẳng hàng. c) Chứng minh rằng đường thẳng DF luôn đi qua một điểm cố định khi điểm M di động trên đoạn thẳng AB. Câu 5: a2 b2 c2 4 Chứng minh rằng P 1 với mọi a, b, c. a2 3 b2 2 c2 1 a2 4 c2 Câu 6: Tìm các nghiệm nguyên của phương trình: x(x 1)(x 2)(x 3) y2 Câu 7: Cho x; y; z là các số nguyên khác 0. Chứng rằng nếu: x2 yz a; y2 zx b; z2 xy c thì tổng ax by cz chia hết cho tổng a b c . HƯỚNG DẪN Câu Phần Nội dung Điểm 1 3x(x 2)(3x2 6x 2) 1 (3x2 6x)(3x2 6x 2) 1 0.5 a.1 (3x2 6x)2 2(3x2 6x) 1 = (3x2 6x 1)2 0.5 a2 (b c) b2 (c a) c2 (a b) = a2 (b c) b2 (a c) c2 (a b) = a2 (b c) b2 (a b) (b c) c2 (a b) 0.5 a.2 = (a2 b2 )(b c) (c2 b2 )(a b) = (a b)(a b(b c) (b c)(b c)(a b) 0.5 0.5 = (a b)(b c)(a b b c)= (a b)(b c)(a c) 4 2 2 2 2 2 2 2 0.5 a3. 4x 81= (2x ) 36x 81 (6x) = 2x 9 (6x) a.3 = 2x2 6x 9 2x2 6x 9 0.5 a2 b2 c2 Rút gọn biểu thức: A= Ta có: a2 2bc b2 2ac c2 2ab ab ac bc 0 ab ac bc; ac bc ab; ab bc ac 0.5 b 0.5 DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn a 2 b2 c2 A= a 2 ab ac bc b2 bc ab ac c2 ac bc ab 0.5 a2 b2 c2 (a b)(a c) (a b)(b c) (a c)(b c) (a b)(a c)(b c) 1 (a b)(a c)(b c) A 1 1 1 1 1 1 Ta có: 0 2 2 đ x y z x y z 0.5 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 3 3 3 3 x y z x y xy x y z 0.5 1 1 1 1 1 3 3 3 3 z xy z z xyz 1 1 1 1 1 1 3 Vậy: 0. 3 3 3 . x y z x y z xyz 0.5 1 1 1 do đó: A xyz( ) x3 y3 z3 1 1 1 3 xyz 3 3 3 xyz. 3 x y z xyz 0.5 B f(x,y) 5x2 2y2 4xy 2x 2060 1 đ f(x,y) 4x2 2y2 9 4xy 12x 6y x2 10x 25 y2 6y 9 2017 0.5 2 2 2 0.5 f(x,y) 2x y 3 x 5 y 3 2017 f(x,y) 2016 với mọi x,y. 3 a a) Chứng minh : A 13 23 33 43 20163 là số chính phương.Thật vậy: 2 2 2 2 2 2 1 2 3 4 5 2016 A .4.1 .4.2 .4. 3 .4. 4 .4. 5 .4.2016 2 2 2 2 2 2 0.5 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 3 2 2 4 2 2 2016 2 2 A 2 0 3 1 4 2 5 3 2017 2015 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0.5 1.2 0.1 2.3 1.2 3.4 2.3 2016.2017 2015.2016 A 2 2 2 2 2 2 2 2 0.5 2 2016.2017 2 A ; A 1008.2017 ; Vậy A là số chính phương. 2 0.5 b Dễ thấy: a5 a a(a4 1) a(a2 1)(a2 4 5) a(a2 1)(a2 4) 5a(a2 1) (a 2)(a 1)a(a 1)(a 2) 5a(a2 1) 0.5 DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn (a 2)(a 1)a(a 1)(a 2) là tích của 5 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 5; còn 5a(a2 1) là bội của 5 nên chia hết cho 5. 0.5 Vậy; a5 a chia hết cho5 Xét hiệu 5 5 5 0.5 A (a1 a2 a2016 ) (a1 a2 a2016 ) (a1 a2 a2016 ) (a5 a ) (a5 a ) (a5 a ) chia hết cho 5 1 1 2 2 2016 2016 0.5 Mà a1,a2 , a2013 là các số tự nhiên có tổng chia hết cho 5. Do vậy A chia hết cho 5. 4 D C I H O E F 0,5 A K M B a Ta có: CAB = FMB= 450 AC // MF (Vị trí đồng vị) 0,5 mà EB  MC (T/c đường chéo hình vuông) EB  AC 0,5 ∆ACB có: BE  AC; CM  AB E là trực tâm của ∆ACB 0,5 AE  BC; b Gọi O là giao điểm của AC và BD. ∆AHC vuông tại H có HO là đường trung tuyến 0,5 1 1 HO AC DM 2 2 0,5 ∆DHM vuông tại H DHM = 900 0,5 Chứng minh tương tự ta có: MHF = 900 Suy ra: DHM + MHF = 1800 0,5 Vậy ba điểm D, H, F thẳng hàng. c Gọi I là giao điểm của AC và DF. 0,5 Ta có: DMF = 900 MF  DM mà IO  DM IO // MF Vì O là trung điểm của DM nên I là trung điểm của DF 0,5 Kẻ IK  AB (K AB) IK là đường trung bình của hình thang ABFD 0,5 AD BF AM BM AB IK (không đổi) 2 2 2 0,5 DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Do A, B cố định nên K cố định, mà IK không đổi nên I cố định. Vậy đường thẳng DF luôn đi qua một điểm cố định khi điểm M di động trên đoạn thẳng AB 5 Chứng minh rằng: P= a 2 b2 c2 4 1 a 2 b2 3 b2 c2 2 c2 a 2 1 a 2 b2 c2 1 Với mọi a,b,c. Thật vậy, với mọi a,b,c ta có: a 2 a 2 b2 b2 ; 0,5 a 2 b2 3 a 2 b2 c2 4 b2 c2 2 a 2 b2 c2 4 c2 c2 ; c2 a 2 1 a 2 b2 c2 4 0,5 4 4 a 2 b2 c2 1 a 2 b2 c2 4 Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta được: a 2 b2 c2 4 P 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b c 4 a b c 4 a b c 4 a b 0,5c 4 a 2 b2 c2 4 1.Điều phải chứng minh. a 2 b2 c2 4 0,5 ĐỀ SỐ 26 Câu 1: 2x5 x4 2x 1 8x2 4x 2 Cho biểu thức P 4x2 1 8x3 1 a) Rút gọn P b) Tìm các giá trị của x để P 6 Câu 2: a) Cho các số a, b, c, d nguyên dương đôi một khác nhau và thoả mãn: 2a b 2b c 2c d 2d a 6 . Chứng minh A abcd là số chính phương. a b b c c d d a b) Tìm a nguyên để a3 2a2 7a 7 chia hết cho a2 3. DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Câu 3: a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A x 1 2x 1 2x2 3x 1 2017 2 2 x 1 x 1 2x 4 b) Giải phương trình 3 0 x 2 x 4 x 4 Câu 4: a) Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác thỏa mãn a3 b3 c3 3abc . Chứng minh tam giác đều. 1 1 1 b) Cho x, y, z dương và x y z 1. Chứng minh rằng 9 x2 2yz y2 2xz z2 2xy Câu 5: Cho O là trung điểm của đoạn AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là cạnh AB vẽ tia Ax, By cùng vuông góc AB. Trên tia Ax lấy điểm C (khác A), qua O kẻ đường thẳng vuông góc với OC cắt tia By tại D. a) Chứng minh AB2 4AC.BD b) Kẻ OM vuông góc CD tại M. Chứng minh AC CM c) Từ M kẻ MH vuông góc AB tại H. Chứng minh BC đi qua trung điểm MH d) Tìm vị trí của C trên tia Ax để diện tích tứ giác ABDC nhỏ nhất. Câu 6: Cho x, y thoả mãn x2 2xy 7 x y 2y2 10 0 . Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của S x y 1 2016 x y 2015 Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình 2 x y y 2015 4031 x 2016 DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn HƯỚNG DẪN Câu Nội dung 2x5 x4 2x 1 8x2 4x 2 Cho biểu thức: P 4x2 1 8x3 1 a. Rút gọn P b. Tìm các giá trị của x để P = 6 2x5 x4 2x 1 8x2 4x 2 a) P 4x2 1 8x3 1 x4 (2x 1) (2x 1) 2(4x2 2x 1) = (2x 1)(2x 1) (2x 1)(4x2 2x 1) (x4 1)(2x 1) 2 x4 1 2 x4 1 = (2x 1)(2x 1) 2x 1 2x 1 2x 1 2x 1 4 Vậy P = x 1 2x 1 1 b) ĐK: x 1 2 x4 1 P = 6 6 x4 1 12x 6 2x 1 x4 4x2 4 4x2 12x 9 (x2 2)2 (2x 3)2 x2 2 2x 3 (1) hoặc x2 2 2x 3 (2) Ta có (1) x2 2x 1 2 (x 1)2 2 x 1 2 x 1 2 (tmđk) x 1 2 x 1 2 (2) x2 2x 1 4 (x 1)2 4 vô nghiệm x 1 2 Vậy x 1 2 DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn a. Cho các số a, b, c, d nguyên dương đôi một khác nhau và thoả 2a +b 2b+c 2c+d 2d +a mãn: + + 6. a b b+c c d d +a Chứng minh A = abcd là số chính phương. b. Tìm a nguyên để a3 – 2a2 + 7a – 7 chia hết cho a2 + 3. 2a +b 2b+c 2c+d 2d +a a) + + 6 a b b+c c d d +a a b c d 1 +1+ 1 +1+ 6 a b b+c c d d +a a b c d + + 2 a b b+c c d d +a a b c d 1 1 0 a b b+c c d d +a b b d d 2 0 a b b+c c d d +a b(c-a) d(a -c) 0 (a b)(b+c) (c d)(d +a) b(c d)(d a) d(a b)(b c) 0 abc acd bd2 b2d 0 (b d)(ac bd) 0 ac bd 0 ac bd (vì b ≠ d) Vậy A = abcd = (ac)2 là số chính phương +) Thực hiện phép chia a3 – 2a2 + 7a – 7 cho a2 + 3, kết quả : a3 – 2a2 + 7a – 7 = (a2 + 3)(a - 2) + (4a – 1) +) Lập luận để phép chia hết thì 4a -1 phải chia hết cho a2 + 3 (4a 1)(a2 3) (4a 1)(4a 1)(a2 3) (vì a Z nên 4a 1 Z ) DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn (16a2 1)(a2 3) 2 2 16(a 3) 49 (a 3) 49(a2 3) +) Tìm a, thử lại và kết luận a 2;2 a. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = (x – 1)(2x – 1)(2x2 – 3x – 1) + 2017 2 2 x+1 x+1 2x-4 b. Giải phương trình: + -3 0 x-2 x-4 x-4 a) A = (x – 1)(2x – 1)(2x2 – 3x – 1) +2017 = (2x2 – 3x + 1)(2x2 – 3x – 1) +2017 = (2x2 – 3x )2- 1 + 2017 =(2x2 – 3x )2 + 2016 2016 x 0 2 Dấu "=" xảy ra 2x 3x 0 x(2x 3) 0 3 x 2 x 0 3 Vậy A min = 2016 3 x 2 2 2 x+1 x+1 2x-4 b) + -3 0. Điều kiện x 2;4 x-2 x-4 x-4 2 2 x+1 x+1 x-2 + -12 0 (*) x-2 x-4 x-4 x +1 x - 2 x +1 Đặt = a và = b suy ra ab = x - 2 x - 4 x - 4 Phương trình (*) trở thành : a2 + ab – 12b2 = 0 a 3b (a – 3b)(a + 4b) = 0 a 4b DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn x +1 x - 2 + Nếu a = 3b thì = 3. x - 2 x - 4 (x+ 1)(x - 4) = 3(x-2)2 Giải phương trình trên và kết luận phương trình vô nghiệm x +1 x - 2 + Nếu a = -4b thì = 4. x - 2 x - 4 (x+ 1)(x -4) = -4(x-2)2 x 3 Giải phương trình trên ta được 4 (tmđk) x 5 4 + Kết luận nghiệm của phương trình S = { 3; } 5 a. Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác thỏa mãn: a3 + b3 + c3 = 3abc. Chứng minh tam giác đều. b. Cho x, y, z > 0 và x + y + z =1. 1 1 1 Chứng minh rằng : 9 x2 2yz y2 2xz z2 2xy a) C/m: a3 + b3 + c3 - 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca) +) Từ giả thiết suy ra: (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca) = 0 4 a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca = 0 ( vì a + b + c > 0 ) +) Biến đổi được kết quả: (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 = 0 a b 0 b c 0 a = b = c Tam giác đó là đều (đpcm) c a 0 b) Đặt a = x2 + 2yz; b = y2 + 2xz; c = z2 +2xy a, b, c > 0 và a + b + c = (x + y + z)2 = 1 DeThi.edu.vn
Bộ 30 Đề thi học sinh giỏi Toán Lớp 8 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 1 1 1 +) C/m: a b c 9 a b c 1 1 1 9 1 1 1 9 hay 9 (đpcm) a b c a b c x2 2yz y2 2xz z2 2xy Cho O là trung điểm của đoạn AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là cạnh AB vẽ tia Ax, By cùng vuông góc AB. Trên tia Ax lấy điểm C (khác A), qua O kẻ đường thẳng vuông góc với OC cắt tia By tại D. a. Chứng minh AB2 = 4 AC.BD b. Kẻ OM vuông góc CD tại M. Chứng minh AC = CM c. Từ M kẻ MH vuông góc AB tại H. Chứng minh BC đi qua trung điểm MH d. Tìm vị trí của C trên tia Ax để diện tích tứ giác ABDC nhỏ nhất. Vẽ hình và ghi GT, KL y 5 x D I M C K A H O B a) Chứng minh: ΔOAC∽ΔDBO (g-g) OA AC OA.OB AC.BD DB OB AB AB . AC.BD AB2 4AC.BD (đpcm) 2 2 DeThi.edu.vn