›
›
›

Bộ 35 Đề thi Toán nâng cao Lớp 6 (Có đáp án)

docx 128 trang Thái Huy 14/09/2023 20836
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Bộ 35 Đề thi Toán nâng cao Lớp 6 (Có đáp án)", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • docxbo_35_de_thi_toan_nang_cao_lop_6_co_dap_an.docx

Nội dung text: Bộ 35 Đề thi Toán nâng cao Lớp 6 (Có đáp án)

  1. Bộ 35 Đề thi Toán nâng cao Lớp 6 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn DeThi.edu.vn
  2. Bộ 35 Đề thi Toán nâng cao Lớp 6 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ THI TOÁN NÂNG CAO LỚP 6 (CÓ ĐÁP ÁN) ĐỀ SỐ 1 Câu 1. (6 điểm) Thực hiện phép tính 136 28 62 21 a) . 15 5 10 24 b) 528: 19,3 15,3 42 128 75 32 7314 5 5 5 1 1 c) 6 . 11 9 :8 6 6 20 4 3 Câu 2. (4 điểm) Cho A 1 2 3 4 5 6 19 20 a) Acó chia hết cho 2, cho 3, cho 5 không ? b) Tìm tất cả các ước của A Câu 3. (4 điểm) a) Chứng minh rằng: Hai số lẻ liên tiếp bao giờ cũng nguyên tố cùng nhau b) Tìm x biết: 1 5 9 13 17 x 501501 Câu 4. (6 điểm) Cho tam giác ABC có BC 5cm.Trên tia đối của tia CB lấy điểm M sao cho CM 3cm a) Tính độ dài BM b) Cho biết B· AM 800 ,B· AC 600.Tính C· AM c) Lấy K thuộc đoạn thẳng BM sao cho CK 1cm.Tính độ dài BK DeThi.edu.vn
  3. Bộ 35 Đề thi Toán nâng cao Lớp 6 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐÁP ÁN Câu 1. 272 168 186 21 29 7 203 a) . . 30 30 30 24 3 8 24 b) 528: 4 42.171 7314 132 7182 7314 0 5 41 1 1 25 5 41 3 c) . 11 9 : .2. 6 6 4 4 3 6 6 25 5 41 371 6 25 150 Câu 2. A 1 2 3 4 5 6 19 20 1 1 1 1 10. 1 10 a) Vậy AM2, AM5 , A không chia hết cho 3 b) Các ước của A: 1, 2, 5, 10 Câu 3. a) Hai số lẻ liên tiếp có dạng 2n 1và 2n 3 n ¥ Gọi d là ước số chung của chúng. Ta có 2n 1Md,2n 3Md Nên 2n 3 2n 1 Md 2Md nhưng d không thể bằng 2 vì d là ước chung 2 số lẻ, vậy d 1tức là hai số lẻ liên tiếp bao giờ cũng nguyên tố cùng nhau b) Ta có: 5 2 3;9 4 5;13 6 7;17 8 9 Do vậy x a a 1 a ¥ Nên: 1 5 9 13 16 x 1 2 3 4 5 6 7 a (a 1) 501501 Hay a 1 a 1 1 : 2 501501 a 1 a 2 1003002 1001.1002 a 1000 x 1000 1000 1 2001 DeThi.edu.vn
  4. Bộ 35 Đề thi Toán nâng cao Lớp 6 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Câu 4. A B M K2 C K1 a) Hai điểm M và B thuộc hai tia đối nhau CM và CB nên diểm C nằm giữa hai điểm B và M Do đó: BM BC CM 5 3 8(cm) b) Do C nằm giữa hai điểm B và M nên tia AC nằm giữa hai tia AB, AM . Do đó C· AM B· AM B· AC 800 600 200 c) Nếu K thuộc tia CM thì C nằm giữa B và K (ứng với điểm K1 trong hình vẽ) Khi đó BK BC CK 5 1 6cm Nếu K thuộc tia CB thì K nằm giữa B và C (ứng với điểm K2 trong hình vẽ) Khi đó BK BC CK 5 1 4(cm) DeThi.edu.vn
  5. Bộ 35 Đề thi Toán nâng cao Lớp 6 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 2 Câu 1.Tính giá trị của các biểu thức sau: a)24.5 131 13 4 2 3 28.43 28.5 28.21 b) 5 5.56 5.24 5.63 Câu 2. Tìm các số nguyên x biết: 3 5 24 5 a) x . 3 35 6 b) 7x 11 3 3 2 .15 208 c) 2x 7 20 5. 3 Câu 3. a) Một số tự nhiên khi chia cho 7 dư 5, chia cho 13 dư 4. Nếu đem số đó chia cho 91 thì dư bao nhiêu ? b) Học sinh khối 6 khi xếp hàn; nếu xếp hàng 10, hàng 12, hàng 15 đều dư 3 học sinh. Nhưng khi xếp hàng 11 thì vừa đủ. Biết số học sinh khối 6 chưa đến 400 học sinh. Tính số học sinh khối 6 Câu 4. Cho góc bẹt xOy.Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ xy, vẽ các tia Oz,Ot sao cho x· Oz 700 , ·yOt 550 a) Chứng tỏ Oz nằm giữa hai tia Ox,Ot b) Chứng tỏ tia Ot là tia phân giác của ·yOz c) Vẽ tia phân giác Oncủa x· Oz.Tính n· Ot DeThi.edu.vn
  6. Bộ 35 Đề thi Toán nâng cao Lớp 6 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐÁP ÁN Câu 1. a) 16.5 (131 92 ) 80 50 30 3 28 43 5 1 3 28 129 35 56 b) . . 5 5 56 24 3 5 5 168 168 168 3 28 108 3 18 . 3 5 5 168 5 5 Câu 2. 125 4 a) x x 3; 2; 1;0 27 7 b) 7x 11 3 3 2 .15 208 9.15 208 343 73 18 7x 11 7 x (ktm) 7 c) 2x 7 20 5( 3) 2x 7 5 2x 7 5 2x 12 x 6 2x 7 5 2x 2 x 1 Câu 3. a) Gọi số đó là a, Vì a chia cho 7 dư 5, chia cho 13 dư 4 a 9M7,a 9M13và 7,13 1 a 9M7.13 a 9 91k a 91k 9 91k 91 82 91 k 1 82 k ¥ Vậy a chia cho 91 dư 82 b) Gọi số học sinh khối 6 là a 3 a 400 Vì xếp hàng 10,12,15đều dư 3 a 3 M10;12;15 a 3 BC 10;12;15 ta có BCNN(10;12;15) 60 a 3 60;120;180;240;300;360;420;  a 63;123;183;243;303;363;423; ,aM11,a 400 a 363 Vậy số học sinh khối 6 là 363 em Câu 4. DeThi.edu.vn
  7. Bộ 35 Đề thi Toán nâng cao Lớp 6 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn z t n x y O a) Vì x· Oy là góc bẹt trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ xy có x· Ot và t¶Oy là hai góc kề bù. x· Ot t¶Oy 1800 x· Ot 1800 550 1250 Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ chứa tia Ox có: x· Oz x· Ot(700 1250 ) Oz nằm giữa hai tia Ox,Ot b) Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ xy, ta có x· Oz và z·Oy là hai góc kề bù x· Oz z·Oy 1800 hay 700 z·Oy 1800 z·Oy 1100 Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ chứa tia Oy có: ·yOt ·yOz 550 1100 TiaOt nằm giữa hai tia Oy, Oz (1) nên ta có: ·yOt t¶Oz ·yOz hay 550 t¶Oz 1100 t¶Oz 550 ·yOt t¶Oz(2) Từ (1) và (2) suy ra Ot là tia phân giác của ·yOz c) Vì x· Oy là góc bẹt nên suy ra Ox,Oy là hai tia đối nhau 2tiaOx,Oy nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ chứa tia Oz (1) x· Oz Vì On là tia phân giác x· Oz nên n· Oz 350 và hai tia On, Ox cùng nằm 2 trên mặt phẳng có bờ chứa tia Oz (2) Ta lại có tia Ot là tia phân giác ·yOz (theo câu b) Hai tia Ot, Oy cùng nằm trên mộ nửa mặt phẳng có bờ chứa tia Oz (3) DeThi.edu.vn
  8. Bộ 35 Đề thi Toán nâng cao Lớp 6 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Từ 1 , 2 , 3 suy ra On và Ot nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ chứa tia Oz Oz nằm giữa 2 tia On,Ot nên ta có: n· Oz z· Ot n· Ot hay n· Ot 350 550 900.Vậy n· Ot 900 DeThi.edu.vn
  9. Bộ 35 Đề thi Toán nâng cao Lớp 6 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 3 Câu 1. a) Chứng tỏ rằng tổng sau không chia hết cho 10 A 405n 2405 m2 m,n ¥ ;m 0 b) Tìm số tự nhiên n để biểu thức sau là số tự nhiên: 2n 2 5n 17 3n B n 2 n 2 n 2 c) Tìm các chữ số x, y sao cho : C x1995yM55 Câu 2. 10 10 10 10 a) Tính tổng: M 56 140 260 1400 3 3 3 3 3 b) Cho S .Chứng minh: 1 S 2 10 11 12 13 14 Câu 3. Hai người đi mua gạo. Người thứ nhất mua gạo nếp, người thứ hai mua gạo tẻ. Giá gạo tẻ rẻ hơn giá gạo nếp là 20%.Biết khối lượng gạo tẻ người thứ hai mua nhiều hơn khối lượng gạo nếp là 20%.Hỏi người nào trả ít tiền hơn ? ít hơn mấy % so với người kia. Câu 4. Cho hai điểm M và N nằm cùng phía đối với A, nằm cùng phía đối với B. Điểm M nằm giữa A và B. Biết AB 5cm, AM 3cm,BN 1cm.Chứng tỏ rằng: a) Bốn điểm A,B,M , N thẳng hàng b) Điểm N là trung điểm của đoạn thẳng MB. c) Vẽ đường tròn tâm N đi qua B và đường tròn tâm A đi qua N, chúng cắt nhau tại C. Tính chu vi CAN DeThi.edu.vn
  10. Bộ 35 Đề thi Toán nâng cao Lớp 6 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐÁP ÁN Câu 1. a) Ta có: 405n 5 ; 2405 2404.2 6 .2 2 m2 là số chính phương nên có chữ số tận cùng khác 3 Vậy A có chữ số tận cùng khác 0 nên A không chia hết cho 10. 2n 9 5n 17 3n 2n 9 5n 17 3n 4n 26 b)B n 2 n 2 n 2 n 2 n 2 4 n 2 18 18 B 4 n 2 n 2 18 Để B là số tự nhiên thì ¥ n 2 U (18) 1;2;3;6;9;18 n 2 n 2 1 n 1(ktm) n 2 2 n 0 n 2 3 n 1 n 2 6 n 4 n 2 9 n 7 n 2 18 n 16 Vậy n 0;1;4;7;16 c) Ta có: 55 5.11mà 5;1 1 x1995yM5 Do đó C x1995yM55 x1995yM11 y 0 x 7 y 5 x 1 Câu 2. 10 10 10 5 5 5 a)M 56 140 1400 4.7 7.10 25.28 5 1 1 1 1 1 1 5 1 1 5 6 5 . . . 3 4 7 7 10 25 28 3 4 28 3 28 14 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 b)S 1 S 1 10 11 12 13 14 15 15 15 15 15 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 S S 2 10 11 12 13 14 10 10 10 10 10 2 2 1 S 2 Câu 3. Gọi giá gạo nếp là a (đồng/kg); khối lượng gạo nếp đã mua là b kg DeThi.edu.vn
  11. Bộ 35 Đề thi Toán nâng cao Lớp 6 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 80 120 Suy ra giá gạo tẻ là a;khối lượng gạo tẻ đã mua là b 10 100 80 120 96 Số tiền người thứ nhất phải trả là a. b ab 100 100 100 Vậy người thứ hai trả ít tiền hươn người thứ nhất là: 96 ab ab : ab 4% 100 Câu 4. a) Bốn điểm A,B,M , N thẳng hàng vì chúng cùng nằm trên đường thẳng MN b) BM AB AM M , N tia AB mà BM BN(2 1) N nằm giữa B và M MN BM BN 1cm BN N là trung điểm của BM c) Đường tròn tâm N đi qua B nên CN NB 1cm Đường tròn tâm A đi qua N nên AC AN AM MN 4cm Chu vi CAN : AC CN NA 4 4 1 9cm DeThi.edu.vn
  12. Bộ 35 Đề thi Toán nâng cao Lớp 6 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 4 Câu 1. Tìm x biết: 5 4 3 19 3 1 1 27 26 19 13 4 59 118 13.16 14.17 3 27 1 1 1 x . 4 33 13.15 14.16 15.17 Câu 2. Tìm số tự nhiên a,bthỏa mãn điều kiện: a 2b 49 và a,b a,b 56 Câu 3. Tìm các chữ số a,b sao cho số 2a3b chia hết cho 6 và chia hết cho 7. Câu 4. Cho ·AMC 600.Tia Mxlà tia đối của tia MA, My là phân giác của C· Mx,Mt là tia phân giác của x· My a) Tính góc AMy b) Chứng minh rằng MC vuông góc với Mt Câu 5. Chứng minh rằng: 21999 7714 DeThi.edu.vn
  13. Bộ 35 Đề thi Toán nâng cao Lớp 6 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐÁP ÁN Câu 1. Tử số vế trái 1 1 1 1 1 1 1 1 Tử số vế phải: . 13.16 14.17 3 13 16 14 17 1 1 1 1 1 Mẫu số vế phải: . 2 13 16 14 17 1 2 3 27 3 13 x . x 3 27 3 4 33 2 12 x . 4 33 Câu 2. Gọi a,b d a 2b 49 49Md;a,b d 56 56Md 56,49 Md d 0;7 Nếu d 1 ab a,b a,b 1 56 a,b 55 ab 55 A 1 55 5 11 B 55 1 11 5 Thay vào a 2b 49 cả 4 giá trị trên đều không thỏa mãn Nếu d 7 ab 7.a,b a 7a';b 7b'; a',b' 1 a'b' 7 a' 1;b' 7 a 7,b 49(ktm) a' 7,b' 1 a 49,b 7(ktm) Vậy không có hai số a,bthỏa mãn điều kiện đề bài. Câu 3. 2a3bM7,M6 b 0;2;4;6;8 2a3bM3 2030 10a b M3 a b 2 M3 a b 1;4;7;10;13;16 2030 10a b M7 2a b M7 b 0 2aM7 a b 0;7 a 7 b 2 2a 2 M7 a 6 a b 8(ktm) b 4 2a 4 M7 a 5 a b 9(ktm) b 6 2a 6 M7 a 4 a b 10 b 8 2a 8 M7 a 3 a b 11(ktm) Vậy a 7;b 0 hoặc a 4;b 6 DeThi.edu.vn
  14. Bộ 35 Đề thi Toán nâng cao Lớp 6 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Câu 5. 10 2 1024 238 238 210 3.73 210 3238. 73 22380 3238.7714 3 7 343 28 256 35 28 5 3 243 Mặt khác: 47 47 3238 33.3235 33. 35 33. 28 25.2376 2381 3238 2381 22380 3238.7714 22380 2381.7714 21999 7714 DeThi.edu.vn
  15. Bộ 35 Đề thi Toán nâng cao Lớp 6 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 5 Câu 1. Thực hiện dãy tính 5 7 24 21 39 23 22 . 9 12 42 165 143 3,12 8,76 Câu 2. Tìm số tự nhiên nhỏ nhất có chữ số hàng đơn vị là 5, chia cho 11 dư 4, chia cho 13 dư 6 và chia hết cho 7 Câu 3. Trên tia Ox, cho 3 điểm A,B,C phân biệt.Chứng mnh rằng: a) Nếu OA OB OC thì điểm B nằm giữa O và C b) Nếu OA AB BC OC thì điểm B nằm giữa A và C Câu 4. Ba máy bơm cùng bơm vào một bể lớn, nếu dùng cả máy một và máy hai thì sau 1 giờ 20 phút sẽ dầy bể, dùng máy 2 và máy 3 thì sau 1 giờ 30 phút bể sẽ đầy còn nếu dùng máy 1 và máy 3 thì bể sẽ đầy sau 2 giờ 24 phút. Hỏi nếu mỗi máy bơm được dùng một mình thì sẽ đầy bể bao lâu ? DeThi.edu.vn
  16. Bộ 35 Đề thi Toán nâng cao Lớp 6 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐÁP ÁN 10 Câu 1. 9 Câu 2. Gọi số đó là x 11k 4 xM5, xM7 xM35 x 35q 2q 11k 4 q kM2 2 k 2n n ¥ q 11n 2 13l 6 35q 13q' 6 9q 13l 6 q 4l 6 M9 9 9r 3 4l 9r 3 l r 3 M4 4 r 4m 1 m ¥ 1 9m 3 q 13m 5 11n 2 13m 5 13m 3 n 2m 3 M11 11 Theo đề bài x là giá trị nhỏ nhất 2m 3 11 m 4 q 57 x 35.57 1995 Câu 4. 3 2 5 Mỗi giờ máy 1 và 2 bơm được bể, máy 2 và 3 bơm bể, máy 1 và 3 bơm 4 3 12 bể 3 2 5 11 Nên 1 giờ ba máy bơm: : 2 bể 4 3 12 12 Máy ba bơm một mình 6 giờ sẽ đầy bể Máy 1 bơm 1 mình 4 giờ sẽ đầy bể Máy 2 bơm 1 mình 2 giờ sẽ đầy bể. DeThi.edu.vn
  17. Bộ 35 Đề thi Toán nâng cao Lớp 6 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 6 Câu 1. 1) Tính giá trị của các biểu thức sau: 2 a)2. 6 24 : 4 2014 1 1 7 1 b) 1 2 3 : 1 3 4 3 4 12 2 5 2 2) Tìm x,biết: x x x 6 3 Câu 2. 1) Tìm x ¢ ,biết: x x x x 1  1 2) Tìm các chữ số x, y sao cho 2014xyM42 a 1 1 3) Tìm các số nguyên a,bbiết: 7 2 b 1 Câu 3. 1) Tìm số tự nhiên n để n 3 n 1 là số nguyên tố 2) Cho n 7a5 8b4. Biết a b 6và n chia hết cho 9. Tìm a, b a 3) Tìm phân số tối giản lớn nhất a,b ¥ * sao cho khi chia mỗi phân số b 4 6 a ; cho ta được kết là số tự nhiên. 75 165 b Câu 4. 1) Trên tia Ox lấy hai điểm M, N sao cho OM 3cm,ON 7cm a) Tính độ dài đoạn thẳng MN b) Lấy điểm P trên tia Ox sao cho MP 2cm.Tính OP c) Trong trường hợp M nằm giữa O và P. Chứng tỏ rằng P là trung điểm của đoạn thẳng MN 2) Cho 2014 điểm, trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Có bao nhiêu tam giác mà các đỉnh là 3 trong 2014 đỉnh đó. Câu 5. 1 2 3 4 2014 1) Cho tổng gồm 2014 số hạng: S . Chứng 4 42 43 44 42014 1 minh rằng S 2 2) Tìm tất cả các số tự nhiên n,biết rằng n S(n) 2014,trong đó S(n) là tổng các chữ số của n. DeThi.edu.vn
  18. Bộ 35 Đề thi Toán nâng cao Lớp 6 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐÁP ÁN Câu 1. 2 1)a)2. 6 24 : 4 2014 2. 36 24 : 4 2014 2020 1 1 7 1 1 1 7 1 1 1 b) 1 2 3 : 1 3 4 : : 1 2 4 12 2 3 4 12 2 12 12 5 2 5 2 1 2)x x x x x x x 6 3 6 3 6 Câu 2. 1)x x x x 1  1 x x 2x 1 1 2x 2 x 1 2)2014xy 201400 xy 42.4795 10 xyM42 10 xyM42 Do 0 xy 100 xy 32;74 x; y 3;2 ; 7;4  a 1 1 2a 7 1 3) 2a 7 b 1 14 7 2 b 1 14 b 1 Do a,b ¢ 2a 7 U (14) 1; 2; 7; 14 Vì 2a 7 lẻ nên 2a 7 7; 1;1;7 a 0;3;4;7 Vậy a,b 0; 3 ; 3; 15 ; 4;13 ; 7;1  Câu 3. 1) Để n 3 n 1 là số nguyên tố thì một trong hai thừa số n 3;n 1phải bằng 1. Mà n 3 n 1 1 n 1 1 n 0.Khi đó n 3 3là số nguyên tố Vậy n 0thỏa đề 2) Ta có: n 7a5 8b4M9 7 a 5 8 b 4M9 a b 3;12 Mà a b 6nên a b 3 a b 12 a 9,b 3 14 a 14b 14Ma 3) Ta có: : ¥ 75 b 75a bM75 16 a 16b Tương tự: : ¥ 16Ma, bM175 165 b 165a a Để là số lớn nhất thì a UCLN(14,16) 2 b Và b BCNN(75;165) 825 a 2 Vậy b 825 DeThi.edu.vn
  19. Bộ 35 Đề thi Toán nâng cao Lớp 6 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Câu 4. x O P M P N 1) a) Do M, N cùng thuộc tia Ox mà OM ON nên M nằm giữa hai điểm O, N OM MN ON 3 MN 7 MN 4cm b) Th1: nếu P nằm giữa M và N thì M nằm giữa O và P OP OM MP OP 3 2 5cm Th2: Nếu P nằm giữa O và N thì OM OP PM 3 OP 2 OP 1cm c) M nằm giữa O và P nên OP ON(5cm 7cm) nên P nằm giữa O và N OP PN ON 5 PN 7 PN 2(cm) Do đó MP PN , mà P nằm giữa M và N nên P là trung điểm của MN. 2) Số tam giác cần đếm có dạng ABC, đỉnh A có n cách chọn, đỉnh B có n 1 cách chọn, đỉnh C có (n – 2 ) cách chọn. Như vậy có: n n 1 n 2 tam giác nhưng mỗi tam giác được tính 6 lần nên số tam n n 1 n 2 giác là: 6 Câu 5. 2 3 2014 1)4S 1 4 42 42013 1 1 1 2014 3S 4S S 1 4 42 42013 42014 1 1 1 1 1 1 3S 1 .Dat M 1 4 42 42013 4 42 42013 1 1 1 4M 4 1 4 42 42012 1 4 3M 4M M 4 4 M 42013 3 4 4 4 1 3S S 3 9 8 2 2) Nếu n là số có ít hơn 4 chữ số thì n 999 và S(n) 27 Suy ra n S(n) 999 27 1026 2014(ktm) DeThi.edu.vn
  20. Bộ 35 Đề thi Toán nâng cao Lớp 6 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Mặt khác n n S(n) 2014 nên n là số có ít hơn 5 chữ số. Vậy n là số tự nhiên có 4 chữ số, suy ra S n 9.4 36. Do vậy, n 2014 36 1978 n 19ab Vì 1978 n 2014 n 20cd *Nếu n 19ab.Ta có:19ab 1 9 a b 2014 1910 11a 2b 2014 11a 2b 104 aM2 Và 11a 104 2b 104 2.9 86 8 10 a,aM2 a 8 b 8 n 1988(tm) *Nếu n 20cd.Ta có:20cd 2 0 c d 2014 2002 11c 2d 2014 11c 2d 12 cM2 c 0 d 6 n 2006(tm) Và 11c 12 c 1 2d 1(ktm) Vậy n 1988;2006 DeThi.edu.vn
  21. Bộ 35 Đề thi Toán nâng cao Lớp 6 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 7 Câu 1.Tính giá trị của các biểu thức sau: a)24.5 131 13 4 2 3 28.43 28.5 28.21 b) 5 5.56 5.24 5.63 Câu 2. Tìm các số nguyên x biết: 3 5 24 5 a) x . 3 35 6 b) 7x 11 3 3 2 .15 208 c) 2x 7 20 5. 3 Câu 3. c) Một số tự nhiên khi chia cho 7 dư 5, chia cho 13 dư 4. Nếu đem số đó chia cho 91 thì dư bao nhiêu ? d) Học sinh khối 6 khi xếp hàn; nếu xếp hàng 10, hàng 12, hàng 15 đều dư 3 học sinh. Nhưng khi xếp hàng 11 thì vừa đủ. Biết số học sinh khối 6 chưa đến 400 học sinh. Tính số học sinh khối 6 Câu 4. Cho góc bẹt xOy.Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ xy, vẽ các tia Oz,Ot sao cho x· Oz 700 , ·yOt 550 d) Chứng tỏ Oz nằm giữa hai tia Ox,Ot e) Chứng tỏ tia Ot là tia phân giác của ·yOz f) Vẽ tia phân giác Oncủa x· Oz.Tính n· Ot DeThi.edu.vn
  22. Bộ 35 Đề thi Toán nâng cao Lớp 6 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐÁP ÁN Câu 1. a) 16.5 (131 92 ) 80 50 30 3 28 43 5 1 3 28 129 35 56 b) . . 5 5 56 24 3 5 5 168 168 168 3 28 108 3 18 . 3 5 5 168 5 5 Câu 2. 125 4 a) x x 3; 2; 1;0 27 7 b) 7x 11 3 3 2 .15 208 9.15 208 343 73 18 7x 11 7 x (ktm) 7 c) 2x 7 20 5( 3) 2x 7 5 2x 7 5 2x 12 x 6 2x 7 5 2x 2 x 1 Câu 3. c) Gọi số đó là a, Vì a chia cho 7 dư 5, chia cho 13 dư 4 a 9M7,a 9M13và 7,13 1 a 9M7.13 a 9 91k a 91k 9 91k 91 82 91 k 1 82 k ¥ Vậy a chia cho 91 dư 82 d) Gọi số học sinh khối 6 là a 3 a 400 Vì xếp hàng 10,12,15đều dư 3 a 3 M10;12;15 a 3 BC 10;12;15 ta có BCNN(10;12;15) 60 a 3 60;120;180;240;300;360;420;  a 63;123;183;243;303;363;423; ,aM11,a 400 a 363 Vậy số học sinh khối 6 là 363 em DeThi.edu.vn
  23. Bộ 35 Đề thi Toán nâng cao Lớp 6 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Câu 4. z t n x y O d) Vì x· Oy là góc bẹt trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ xy có x· Ot và t¶Oy là hai góc kề bù. x· Ot t¶Oy 1800 x· Ot 1800 550 1250 Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ chứa tia Ox có: x· Oz x· Ot(700 1250 ) Oz nằm giữa hai tia Ox,Ot e) Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ xy, ta có x· Oz và z·Oy là hai góc kề bù x· Oz z·Oy 1800 hay 700 z·Oy 1800 z·Oy 1100 Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ chứa tia Oy có: ·yOt ·yOz 550 1100 TiaOt nằm giữa hai tia Oy, Oz (1) nên ta có: ·yOt t¶Oz ·yOz hay 550 t¶Oz 1100 t¶Oz 550 ·yOt t¶Oz(2) Từ (1) và (2) suy ra Ot là tia phân giác của ·yOz f) Vì x· Oy là góc bẹt nên suy ra Ox,Oy là hai tia đối nhau 2tiaOx,Oy nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ chứa tia Oz (1) x· Oz Vì On là tia phân giác x· Oz nên n· Oz 350 và hai tia On, Ox cùng nằm 2 trên mặt phẳng có bờ chứa tia Oz (2) Ta lại có tia Ot là tia phân giác ·yOz (theo câu b) Hai tia Ot, Oy cùng nằm trên mộ nửa mặt phẳng có bờ chứa tia Oz (3) DeThi.edu.vn
  24. Bộ 35 Đề thi Toán nâng cao Lớp 6 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Từ 1 , 2 , 3 suy ra On và Ot nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ chứa tia Oz Oz nằm giữa 2 tia On,Ot nên ta có: n· Oz z· Ot n· Ot hay n· Ot 350 550 900.Vậy n· Ot 900 DeThi.edu.vn
  25. Bộ 35 Đề thi Toán nâng cao Lớp 6 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 8 Phần I. Thí sinh chỉ ghi kết quả vào bài làm Câu 1. Số A 5.7.9.11.27 121có phải là số nguyên tố không ? Câu 2. Tìm số nguyên tố p sao cho p 2, p 6, p 8 cũng là số nguyên tố Câu 3. Tìm số tự nhiên x sao cho: 10x 23chia hết cho 2x 1 Câu 4. Tìm số a,b ¥ *. Biết rằng : a.b 6144,UCLN(a,b) 32 Câu 5. Tìm x, y, z ¢ biết: 20 x y 11 z 2019 1 Câu 6. Tìm giá trị n nguyên dương: a) .16n 2n b)27 3n 243 8 Câu 7. Tính tổng các số tự nhiên lẻ từ 1 đến 999 Câu 8. Tìm số tự nhiên nhỏ nhất, biết rằng khi chia số này cho 29 thì dư 5 còn khi chia cho 31 thì dư 28 46.95 69.120 Câu 9. Rút gọn phân số 84.312 611 Câu 10. Trên đường thẳng uv lấy n điểm. Có tất cả 2020 cặp tia đối nhau tạo thành trong hình vẽ (các tia trùng nhau được xem chỉ là 1 tia). Tính n Phần II. Tự luận Câu 11. a) Tìm cặp số nguyên (x,y) thỏa mãn 2x 1 2y 1 35 b) Tìm GTLN của biểu thức Q 9 x 2019 2 Câu 12. Viết tổng sau dưới dạng một lũy thừa của 2 22 22 23 24 25 22019 Câu 13. Ba ô tô chở khách cùng khởi hành lúc 6 giờ sáng từ một bến xe và đi theo 3 hướng khác nhau. Xe thứ nhất quay về bến sau 1 giờ 15 phút và sau 10 phút lại đi, xe thứ 2 quay về bến sau 56 phút và lại đi sau 4 phút, xe thứ 3 quay về bến sau 48 phút và sau 2 phút lại đi. Hãy tính khoảng thời gian ngắn nhất để 3 xe lại cùng xuất phát từ bến lần thứ 2 trong ngày và lúc đó là mấy giờ. Câu 14. Tìm x biết: a) x 3 x2 1 0 b) x 5 9 x2 0 Câu 15. Cho đoạn thẳng AB và trung điểm M của nó CA CB a) Chứng tỏ rằng nếu C là điểm thuộc tia đối của tia BA thì CM 2 CA CB b) Chứng tỏ rằng nếu C là điểm nằm giữa M và B thì CM 2 DeThi.edu.vn
  26. Bộ 35 Đề thi Toán nâng cao Lớp 6 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐÁP ÁN 1) Hợp số 2) P=5 3) x 0;1;4 a 32,b 192 a 64,b 96 4) a 96,b 64 a 192,b 32 5) x 20, y 11, z 2019 6) a)n 1 b)n 4 7) 250000 8) 121 4 9) 5 10) 1010 11) a) x, y 0;17 ; 18; 1 ; 2;3 ; 4; 3 b) x 2019 2 0 9 x 2019 2 9 Q 9.Dấu “=” xảy ra x 2019 0 x 2019 Giá trị lớn nhất của Q là 9 12) Đặt M 22 22 23 24 22019 Ta có M 2M M 2 22 22 23 24 22019 22 22 23 24 22019 22020 13) Gọi a là thời gian để 3 xe cùng xuất phát tại bến lần thứ 2 a là BCNN(75,60,50) 300 (phút)=5 giờ Sau 5 giờ 3 xe lại cùng xuất phát. Lúc đó là 11 giờ 14) 2 x 3 0 a) x 3 x 1 0 2 x 3 x 1 0(ktm) b) Vì 9 x2 0 x 5 0 x 5 15) A M C B DeThi.edu.vn
  27. Bộ 35 Đề thi Toán nâng cao Lớp 6 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn CA MA CM CB MB CM CA CB CA CB 2CM (Do MA MB) CM 2 C A M B CA CM MA CB CM MB CA CB 2CM (Do MA MB) CA CB CM 2 DeThi.edu.vn
  28. Bộ 35 Đề thi Toán nâng cao Lớp 6 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 9 Câu I: (4.0 điểm). Thực hiện phép tính 5.(22.32)9.(22)6 - 2.(22.3)14.34 1) A = 5.228.318 - 7.229.318 é 12 12 12 5 5 5 ù ê12 - - - 5 + + + ú ê ú 158158158 2) B = 81.ê 7 289 85 : 13 169 91ú. ê 4 4 4 6 6 6 ú 711711711 ê 4 - - - 6 + + + ú ëê 7 289 85 13 169 91ûú Câu II: (4.0 điểm)1) So sánh P và Q 2010 2011 2012 2010 2011 2012 Biết P = + + và Q 2011 2012 2013 2011 2012 2013 2) Tìm hai số tự nhiên a và b, biết: BCNN(a, b) = 420; ƯCLN(a, b) = 21 và a + 21 = b. Câu III: (4.0 điểm) 1) Chứng minh rằng: Nếu 7x + 4yM37 thì 13x + 18yM37 æ ö2 æ ö3 æ ö4 æ ö2012 2013 1 3 ç3÷ ç3÷ ç3÷ ç3÷ 3 2) Cho A = + + ç ÷ + ç ÷ + ç ÷ + + ç ÷ và B : 2 . Tính B – A 2 2 èç2ø÷ èç2ø÷ èç2ø÷ èç2ø÷ 2 Câu IV. (6.0 điểm) Chox·Ay , trên tia Ax lấy điểm B sao choAB = 6 cm . Trên tia đối của tia Ax lấy điểm D sao cho AD = 4 cm. 1) Tính BD. · 2) Lấy C là một điểm trên tia Ay. BiếtB·CD = 80° ,B·CA = 45° . Tính ACD 3) Biết AK = 2 cm (K thuộc BD). Tính BK Câu V: (2.0 điểm) x 3 1 1) Tìm các số tự nhiên x, y sao cho: - = 9 y 18 10n - 3 2) Tìm số tự nhiên n để phân số B = đạt GTLN. Tìm giá trị lớn nhất 4n - 10 đó. - HẾT – DeThi.edu.vn
  29. Bộ 35 Đề thi Toán nâng cao Lớp 6 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn DeThi.edu.vn
  30. Bộ 35 Đề thi Toán nâng cao Lớp 6 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn KẾT QUẢ - ĐÁP SỐ Câu Nội dung Điể m 5.(22.32)9.(22)6 - 2.(22.3)14.34 0.5 a) Ta có: A = 5.228.318 - 7.229.318 5.218.318.212 - 2.228.314.34 = 5.228.318 - 7.229.318 0.5 5.230.318 - 229.318 = 28 18 2 .3 (5 - 7.2) 0.5 229.318(5.2 - 1) 2.9 = = = - 2 228.318(5 - 14) - 9 0.5 Câu 1 KL: b) Ta có: é 12 12 12 5 5 5 ù ê12 - - - 5 + + + ú 0.5 ê ú 158158158 B = 81.ê 7 289 85 : 13 169 91ú. ê 4 4 4 6 6 6 ú 711711711 ê 4 - - - 6 + + + ú ëê 7 289 85 13 169 91ûú é æ ö æ öù ê ç 1 1 1 ÷ ç 1 1 1 ÷ú 12ç1- - - ÷ 5ç1+ + + ÷ ê èç 7 289 85ø÷ èç 13 169 91ø÷ú 158.1001001 = 81.ê : ú. 0.5 ê æ 1 1 1 ö æ 1 1 1 öú 711.1001001 ê4ç1- - - ÷ 6ç1+ + + ÷ú ê ç ÷ ç ÷ú ëê è 7 289 85ø è 13 169 91øûú æ ö ç12 5÷ 158 18 2 324 1,0 = 81.ç : ÷. = 81. . = = 64,8 èç 4 6ø÷ 711 5 9 5 2010 + 2011+ 2012 a) Ta có: Q = = Câu 2 2011+ 2012 + 2013 2010 2011 2012 = + + 2011+ 2012+ 2013 2011+ 2012 + 2013 2011+ 2012 + 2013 1.0 DeThi.edu.vn
  31. Bộ 35 Đề thi Toán nâng cao Lớp 6 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 2010 2010 Ta có: Q 2011 2012 2013 0.25 b) Từ dữ liệu đề bài cho, ta có: + Vì ƯCLN(a, b) = 21, nên tồn tại các số tự nhiên m và n khác 0, sao cho: a = 21m ; b = 21n (1) và ƯCLN(m, n) = 1 (2) 0.5 + VìBCNN (a,b) = 420 , nên theo trên, ta suy ra: 0.5 Þ BCNN(21m; 21n) = 420 = 21.20 Þ BCNN(m; n) = 20 (3) + Vì a + 21 = b, nên theo trên, ta suy ra: Þ 21m + 21 = 21n Þ 21.(m + 1) = 21n Þ m + 1 = n (4) 0.5 Trong các trường hợp thoả mãn các điều kiện (2)và (3),thì chỉ có Trường hợp: m = 4, n = 5 hoặc m = 2, n = 3 là thoả mãn điều kiện (4) 0.5 DeThi.edu.vn
  32. Bộ 35 Đề thi Toán nâng cao Lớp 6 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Vậy với m = 4, n = 5 hoặc m = 2, n = 3 ta được các số phải tìm là: a = 21.4 = 84 ; b = 21.5 = 105 a) Ta có: 5(13x + 18y) - 4(7x + 4y) = 65x + 90y - 28x - 16y 0.5 = 37x + 74y = 37(x + 2y)M37 Hay 5(13x + 18y) - 4(7x + 4y)M37 (*) 0.5 0.5 Vì 7x + 4yM37, mà (4;37) = 1 nên 4(7x + 4y)M37 0.5 Do đó, từ (*) suy ra: 5(13x + 18y)M37, mà (5; 37) = 1 nên 13x + 18yM37 b) Ta có: æ ö2 æ ö3 æ ö4 æ ö2012 1 3 ç3÷ ç3÷ ç3÷ ç3÷ A = + + ç ÷ + ç ÷ + ç ÷ + + ç ÷ 1 2 2 èç2ø÷ èç2ø÷ èç2ø÷ èç2ø÷ ( ) 0.5 2 3 2013 3 3 æ3ö æ3ö æ3ö æ3ö ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ Þ A = + ç ÷ + ç ÷ + ç ÷+ + ç ÷ (2) 2 4 èç2ø÷ èç2ø÷ èç2ø÷ èç2ø÷ 0.5 Câu 3 Lấy (2)– (1)ta được: 2013 3 æ3ö 3 1 3 A - A = ç ÷ + - - ç ÷ 2 è2ø 4 2 2 0.5 2013 1 æ3ö 1 32013 1 A = ç ÷ + Þ A = + ç ÷ 2012 2 èç2ø÷ 4 2 2 0.5 32013 32013 5 VậyB - A = - + 22014 22012 2 DeThi.edu.vn
  33. Bộ 35 Đề thi Toán nâng cao Lớp 6 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Hình vẽ: y C 0.5 x D A B a) Vì B thuộc tia Ax , D thuộc tia đối của tia Ax 0.5 Þ A nằm giữa D và B 0.5 Þ BD = BA + AD = 6 + 4 = 10 (cm). KL: 0.5 b) Vì A nằm giữa D và B Þ Tia CA nằm giữa 2 tia CB và CD 0.5 Þ A·CD + A·CB = B·CD 0.5 Câu 4 0.5 A·CD = B·CD – A·CB = 80° – 45° = 35° KL: . 0.5 c) * Trường hợp 1: K thuộc tia Ax 0.25 - Lập luận chỉ ra được K nằm giữa A và B 0.25 - Suy ra: AK + KB = AB KB = AB – AK = 6 – 2 = 4 (cm) 0.25 0.25 * Trường hợp 2: K thuộc tia đối của tia Ax - Lập luận chỉ ra được A nằm giữa K và B 0.25 - Suy ra: KB = KA + AB 0.25 KB = 6 + 2 = 8 (cm) 0.25 DeThi.edu.vn
  34. Bộ 35 Đề thi Toán nâng cao Lớp 6 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn * Kết luận: Vậy KB = 4 cm hoặc KB = 8 cm 0.25 x 3 1 x 1 3 2x - 1 3 a) Từ - = Û - = Û = 9 y 18 9 18 y 18 y 0.25 Û (2x – 1).y = 54 = 1.54 = 2.27 = 3.18 = 6.9 Vì x là số tự nhiên nên 2x – 1 là ước số lẻ của 54. Ta có bảng sau: 2x – 1 1 3 9 27 0.25 x 1 2 5 14 0.25 y 54 18 6 2 0.25 Câu 5 Vậy (x;y) = (1;54); (2;18); (5;6); (14;2) 10n - 3 22 0.25 b) B = = 2,5 + 4n - 10 4n - 10 22 22 Vì n Î ¥ nên B = 2,5 + đạt GTLN khi đạt 0.25 4n - 10 4n - 10 GTLN. 22 Mà đạt GTLN 4n – 10 là số nguyên dương nhỏ nhất. 4n - 10 0.25 11 - Nếu 4n – 10 = 1 thì n ¥ (loại) 4 0.25 - Nếu 4n – 10 = 2 thìn = 3 (thỏa mãn) Vậy GTLN của B = 13,5 khin = 3 . DeThi.edu.vn
  35. Bộ 35 Đề thi Toán nâng cao Lớp 6 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 10 Câu 1 (3điểm)Thực hiện phép tính a) A = 21 . 82 – 11 . 82 + 90 . 82 + 8 . 125 . 16 12 12 12 5 5 5 12 5 158158 b) B = 45. 7 289 85 : 13 169 91 . 3 3 3 4 4 4 3 4 316316 7 289 85 13 169 91 c) C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 97 98 99 100 Câu 2 (2điểm) a. Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất sao cho a chia cho 5 dư 4, chia cho 7 dư 5, chia cho 11 dư 6 b. Tìm các chữ số x, y biết rằng số 71x3y chia hết cho 15 Câu 3 (2điểm) Tìm số nguyên x thỏa mãn: 3x 2 a ) Phân số: đạt giá trị nguyên x 1 b) 2x 1 4 15 Câu 4 (2điểm).Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox, vẽ tia Oy và Ot sao cho x· Oy = 350; góc xOt= 700 a. Tính góc yOt. Tia Oy có phải là tia phân giác của góc xOt không? b. Gọi Om là tia đối tia Ox. Tính góc mOt. c. Gọi tia Oa là tia phân giác của góc mOt. Tính góc aOy. Câu 5: (1điểm) 1 1 1 1 Chứng minh rằng 1 22 32 42 1002 Hết DeThi.edu.vn
  36. Bộ 35 Đề thi Toán nâng cao Lớp 6 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn HƯỚNG DẪN MÔN:TOÁN Câu Đáp án Điểm a. (1 điểm) A = 21 . 82 – 11 . 82 + 90 . 82 + 8 . 125 . 16 =82.(21 – 11 + 90 + 125.2) 0, 5điểm = 64.(21 – 11 + 90 + 350) = 64 . 450 = 2880 0, 5điểm b. (1 điểm) 12 12 12 5 5 5 12 5 158158 15. 7 289 85 : 13 169 91 . 3 3 3 4 4 4 3 4 316316 7 289 85 13 169 91 1 1 1 1 1 1 12 1 5 1 7 289 85 13 169 91 158.1001 15. : . 1 1 1 1 1 1 316.1001 1 3 1 4 1 7 289 85 13 169 91 (3điểm) 0, 5điểm 12 5 158 28 1 15. : . 15. . 14 3 4 316 15 2 0, 5điểm c. (1 điểm) C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 97 98 99 100 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 97 98 99 100 0, 5điểm 8 16 24 200 8(1 2 3 25) 8.(25 1).25: 2 2600 DeThi.edu.vn
  37. Bộ 35 Đề thi Toán nâng cao Lớp 6 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 0, 5điểm a. (1 điểm) Vì a chia cho 5 dư 4, chia cho 7 dư 5, chia cho 11 dư 6 nên (a + 16) M 5; 7; 11 => a + 16 BC(5; 7; 11) 0,25điểm BCNN(5; 7 ; 11) = 5.7.11 = 385 0,25điểm => BC(5; 7; 11) = {0; 385; 770, 1155; } 0,25điểm Do a là số tự nhiên nhỏ nhất nên a + 16 = 385 => a = 369 0,25 điểm b. (1 điểm) Vì 15 = 3.5 và (3;5) = 1 nên 71x3y M15 khi 71x3y M5 và 71x3y M3 0,25 2 Ta có: 71x3yM5 y 0;5 điểm (2điểm) * Với y = 0 ta được số 71x30 Có tổng các chữ số là: 7 + 1 +3 +0 +x = 11 +x 71x30M3 11 xM3 nên x 1;4;7 0,25 điểm * Với y = 5 ta được số 71x35 Có tổng các chữ số là: 7 + 1 +3 +x +5 = 16 +x 71x30M3 16 xM3 nên x 2;5;8 0,25 điểm Các số chia hết cho 15 là : 71130 ; 71430 ; 71730 ; 71235 và 0,25 71535 ; 71835 điểm a. (1,0điểm) 3 3x 2 3x 3 3 2 3(x 1) 5 3(x 1) 5 5 (2điểm) 3 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 DeThi.edu.vn
  38. Bộ 35 Đề thi Toán nâng cao Lớp 6 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 0,25 điểm 5 Để biểu thức đã cho đạt giá trị nguyên thì đạt giá trị x 1 nguyên=> x- 1 là ước của 5 mà Ư(5) = 1; 5 nên x- 1∈ 0,25 1; 5 điểm 1) x- 1=1  x=2 2)x-1 =-1x=0 3)x-1=-5x=-4 4)x-1=5x=6 Vậy x có thể nhận các giá trị: 0,2;-4;6 0,5 điểm b. (1,0điểm) 2x 1 4 15 2x 1 15 4 2x 1 19 2x 1 19 hoặc 2x 1 19 0, 5 điểm 1)2x 1 19 2x 20 x 10 2)2x 1 19 2x 18 x 9 0, 5 điểm Vẽ hình đúng 0, 5 điểm 0, 5 điểm DeThi.edu.vn
  39. Bộ 35 Đề thi Toán nâng cao Lớp 6 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn a. (0,5điểm) Vì tia Oy, Ot thuộc một nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox và x· Oy x· Ot(350 700 ) nên tia Ot nằm giữa hai tia Ox, Oy (1) Nên ta có x· Oy ·yOt x· Ot 4 Thay x· Oy 350 x· Ot 700 ta được: 0,25 0 · 0 · 0 0 0 · · điểm (2điểm) 35 yOt 70 yOt 70 35 35 => xOy yOt (2) Từ (1) và (2) Suy ra tia Oy là tia phân giác của góc xOt 0,25 điểm b. (0,5điểm) Om là tia đối của tia Ox nên m· Ox 1800 mà 0 0 x· Ot x·Om(70 180 ) nên Ot nằm giữa hai tia Om, Ox 0,25 suy ra điểm x· Ot t·Om x·Om;Thay : x· Ot 700 ;m· Ot 1800 Ta có: 700 t·Om 1800 t·Om 1800 700 1100 0,25 điểm c. (0,5điểm) Oa là tia phân giác của góc mOt nên: m· Ot 1100 m· Oa a· Ot 550 2 2 0,25điể Tia Ot nằm giữa hai tia Oa và Oy nên : m a· Ot t·Oy a· Oy Thay : a· Ot 550 ; t·Oy 350 a· Oy 550 350 900 DeThi.edu.vn
  40. Bộ 35 Đề thi Toán nâng cao Lớp 6 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 0,25 điểm 1 1 1 1 Ta có < = - 22 2.1 1 2 1 1 1 1 < = - 32 2.3 2 3 1 1 1 1 2 < = - 100 99.100 99 100 0,5 điểm 5 Cộng vế với vế ta có: (1điểm) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + < - + - + + - 22 32 1002 1 2 2 3 99 100 1 1 1 1 99 + + + <1- = <1 22 32 1002 100 100 1 1 1 1 0,5 điểm Vậy: 1 (-ĐPCM- 22 32 42 1002 DeThi.edu.vn
  41. Bộ 35 Đề thi Toán nâng cao Lớp 6 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 11 Câu 1( 4 điểm). a) Tính giá trị các biểu thức sau: A = 3 + 32 + 33 + 34 + 3100 b) Tính giá trị biểu thức B = x2 + 2xy2 – 3xy -2 tại x = 2 và y = 3 Câu 2 (4 điểm). a) Cho a; b N và ( 11a + 2b) M 12. Chứng minh ( a + 34b) M12 b) Tìm các số tự nhiên x; y biết: (x - 3)( y + 1) = 7 c) Khi chia số tự nhiên a cho các số: 5; 7; 11 thì được số dư lần lượt là 3; 4; 6. Tìm số a biết 100 < a < 200 Câu 3 ( 4 điểm) 1. Tìm tất cả các cặp số tự nhiên (x,y) sao cho 34x5y chia hết cho 36 . 2. Cho x x 1 x 2 x 3 6x a) Chứng minh x 0 b) Tìm x Z thỏa mãn đẳng thức trên Câu 4 ( 2 điểm) a) Tìm n nguyên để (n2 – n – 1) M n – 1 b) Tìm ƯCLN(2n + 1; 3n +1) Câu 5. (6,0 điểm): Trên tia Ox, vẽ hai điểm A và B sao cho OA = 2cm, OB = 4cm a) Trong ba điểm O, A, B điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại? Vì sao? DeThi.edu.vn
  42. Bộ 35 Đề thi Toán nâng cao Lớp 6 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn b) Tính độ dài đoạn thẳng AB. c) Điểm A có phải là trung điểm của đoạn thẳng OB không? Vì sao? d) Trên tia đối của tia BA lấy điểm D sao cho BD = 2BA. Chứng tỏ rằng B là trung điểm của đoạn thẳng OD .Hết . DeThi.edu.vn
  43. Bộ 35 Đề thi Toán nâng cao Lớp 6 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐÁP ÁN - BIỂU CHẤM CÂU NỘI DUNG ĐIỂM Câu a) (1,5 đ) 1 A = 3 + 32 + 33 + 34 (4,0 + 3100 đ) => 3A = 32 + 33 + 34 + 3100 2 + 3101 => 3A – A = 3101 – 3 101 => A = 3 3 2 b) B = x2 + 2xy2 – 3xy -2 tại x = 2 và y = 3 vì y = 3 => y = 3 2 B = 20 tại x = 2; y = 3; B = 56 tại x = 2; y = -3 Câu a) Cho a; b N và ( 11a + 2b) M 12. 2 Chứng minh ( a + 34b) M12 (3,5đ) 0,5 Từ 12a + 36b M 12 => ( 11a + 2b) + ( a + 34b) M 12 0,5 Mà ( 11a + 2b) M 12 => ( a + 34b) M 12 b) Tìm các số tự nhiên x; y biết: (x - 3)( y + 1) = 7 Vì (x - 3)( y + 1) = 7 mà 7 = 1.7 = 7.1 = (-1).(-7)=(-7)(-1)ta có 1,0 DeThi.edu.vn
  44. Bộ 35 Đề thi Toán nâng cao Lớp 6 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn CÂU NỘI DUNG ĐIỂM x 3 1 x 4 * * y 1 7 y 6 x 3 7 x 10 0,5 y 1 1 y 0 x 3 1 x 2 * * y 1 7 y 8 x 3 7 x 4 y 1 1 y 2 0,5 Vì x; y là số tự nhiên nên các cặp 0,5 (x;y) = ( 4;6); (10;0) c) Khi chia số tự nhiên a cho các số: 0,5 5; 7; 11 thì được số dư lần lượt là 3; 4; 6. Tìm số a biết 100 a = 5k + 3 ; a=7q + 4 ; a=11p + 6 => 2a - 1 BC (5; 7; 11) Tìm được a = 193 Câu Ta có 36 = 9.4. Mà ƯC(4,9) =1 3 Vậy để 34x5y chia hết cho 36 thì (3,0 34x5y chia hết cho 4 và 9 đ) 0,5 34x5y chia hết cho 9 khi 3 + 4 + x + 5 + yM9 => 12 + x + yM9 (1) 0,5 34x5y chia hết cho 4 khi 5yM4 => y = 2 hoặc y = 6 0,5 Với y = 2 thay vào (1) => 14 + xM9 0,5 => x = 4 DeThi.edu.vn
  45. Bộ 35 Đề thi Toán nâng cao Lớp 6 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn CÂU NỘI DUNG ĐIỂM Với y = 6 thay vào (1) => 18 + xM9 => x = 0 hoặc x = 9 Vậy các cặp (x,y) cần tìm là: (4,2); (0,6) và (9,6) 2. Cho x x 1 x 2 x 3 6x a) Chứng minh x 0 Vì x 0; x 1 0; x 2 0 => x x 1 x 2 x 3 0 0,5 => 6x 0 => x 0 b) Tìm x Z thỏa mãn đẳng thức 0,5 trên Vì x 0 => x x 1 x 2 x 3 6x  x + 0,5 x+1+x+2 = 6x 0,5  3x - 6x = -3  x = 1 (t/m) Câu a) Tìm n nguyên để (n2 – n – 1) 4 M n – 1 (2,0 0,5 đ) Ta có: n2 – n – 1 M n – 1  n(n-1) – 1 M n – 1 0,5 => -1 M n – 1 => n – 1 1;1 => n 0;2 b) Tìm ƯCLN(2n + 1; 3n +1) 0,5 DeThi.edu.vn
  46. Bộ 35 Đề thi Toán nâng cao Lớp 6 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn CÂU NỘI DUNG ĐIỂM Gọi d là ƯCLN của 2n + 1 và 3n 0,5 +1 => 3(2n+1) – 2(3n+1) M d => 1M d => d = 1 => ƯCLN(2n + 1; 3n +1) = 1 5 O A B 0,5 D x Ta có OA = 2cm ; OB = 4cm . Vì 0,5 2cm OA AB = 4 – 2 = 2 => AB = 2 cm Vì OA + AB = OB và OA = 0,5 AB = 2cm 0,5 Nên A là trung điểm của OB Ta có BD = 2 . BA = 2.2 = 4 cm 0,5 => BD = BO = 4 cm (1) 0,5 Vì O và D nằm trên hai tia đối nhau gốc B nên B nằm giữa O và D => OB + BD = OD (2) Từ (1) và (2) suy ra B là trung điểm của OD DeThi.edu.vn
  47. Bộ 35 Đề thi Toán nâng cao Lớp 6 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 12 Câu 1( 3 điểm). a) Tính giá trị các biểu thức sau: 3 2 3 4 3 A = 15 5.15 5 B = (7 7 ) 183 6.182 63 493 1 b) Tìm số tự nhiên n biết: .3n = 7.32 .92 – 2.3n 3 Câu 2 (3 điểm). 4 a) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = 1 (x ) 2 5 3 x b) Tìm các số x; y biết: x + y = x.y = (y 0) y c) Cho số nguyên tố p lớn hơn 3, chứng minh p2 – 1 chia hết cho 24 Câu 3 ( 4 điểm) a 1 b 2 c 2 1. Tìm các số a,b,c biết: và 3a – 2b + c = 105 2 3 4 1 2 1 2. Tìm x,y,z biết: x y x y z 0 2 3 2 Câu 4 ( 2 điểm) a) Tìm n nguyên để (2n2 + 3n +2) M n + 1 1 1 1 1 1 1 b) Cho A = (1 - )(1 )(1 )(1 ) (1 ) So sánh A với 2 3 4 5 20 21 Câu 5( 6 điểm) Cho tam giác ABC có B C . Gọi AD, AE theo thứ tự là đường phân giác trong, phân giác ngoài của góc A ( D,E thuộc đường thẳng BC). a. Chứng minh rằng:  ADC –  ADB =  B –  C 1 b. Kẻ đường cao AH. Chứng minh rằng:  AEB =  HAD = ( B C ) 2 c. Tính số đo của các góc: ADB, ADC và HAD, biết B C = 400 DeThi.edu.vn
  48. Bộ 35 Đề thi Toán nâng cao Lớp 6 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Câu 6 ( 2 điểm): Cho m,n là hai số chính phương lẻ liên tiếp. Chứng minh rằng: mn – m – n + 1 M192 .Hết . DeThi.edu.vn
  49. Bộ 35 Đề thi Toán nâng cao Lớp 6 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐÁP ÁN - BIỂU CHẤM CÂU NỘI DUNG ĐIỂM Câu a) Tính giá trị các biểu thức sau: 1 3 2 3 3 A = 15 5.15 5 = 5 (3,0đ) 183 6.182 63 63 1,5 4 3 B = (7 7 ) = 36 493 1 b) Tìm số tự nhiên n biết: .3n = 7.32 .92 – 2.3n 3 1,5  3-1.3n + 2.3n = 7.36  3n-1 = 36  n = 7 4 Câu a) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = 1 2 (x ) 2 5 3 (3,0đ) 1 Vì (x + )2 + 5 5 với mọi x R 3 4 4 1 => dấu “=” xảy ra khi x = - . 0,5 1 2 5 3 (x ) 5 3 4 1 Giá trị lớn nhất là tại x = - . 5 3 0,5 x b) Tìm các số x; y biết: x + y = x.y = (y 0) y x Vì x + y = x.y => x = y(x-1) => x 1 0,5 y Mặt khác x + y = x => x + y = x + y => y = -1 y 1 Khi đó x – 1 = x(-1) => x = 2 0,5 DeThi.edu.vn
  50. Bộ 35 Đề thi Toán nâng cao Lớp 6 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn CÂU NỘI DUNG ĐIỂM c) Cho số nguyên tố p lớn hơn 3, chứng minh p2 – 1 chia hết cho 24 Ta có: p là số nguyên tố lẻ nên p không chia hết cho 3 0,5 p2 – 1 = (p - 1)( p + 1) Vì p lẻ nên p-1 và p+1 là số chẵn liên tiếp nên (p - 1)( p + 1) M8 Mặt khác p-1; p; p+1 là ba số nguyên liên tiếp mà p không chia 0,5 hết cho 3 nên (p - 1) hoặc ( p + 1) M3. Vì (3;8)=1 nên p2 – 1M24 Câu a 1 b 2 c 2 1. Tìm các số a,b,c biết: và 3a – 2b + c = 3 2 3 4 105 (3,0 a 1 b 2 c 2 3(a 1) 0,5 đ)  b = -2 và c = 2(a+1) -2 2 3 4 2 3a 1  b = và c = 2a thay vào3a – 2b + c = 105 tính được 0,5 2 155 a = 52; b = c = 104 2 1,0 1 2 1 2. Tìm x,y,z biết: x y x y z 0 2 3 2 1 2 1 Vì x 0; y 0; x y z 0 0,5 2 3 2 1 2 1 Mà x y x y z 0 nên 2 3 2 0,5 DeThi.edu.vn
  51. Bộ 35 Đề thi Toán nâng cao Lớp 6 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn CÂU NỘI DUNG ĐIỂM 1 1 2 2 * x - = 0  x = ; y + = 0 => y = - Tính được z = 1,0 2 2 3 3 2 - 3 Câu a) Tìm n nguyên để (2n2 + 3n +2) M n + 1 4 Ta có: 2n2 + 3n +2M n + 1  2n2 + 2n + n +1 + 1 M n + 1 0,5 (2,0 đ) => 1 M n + 1 => n + 1 1;1 0,5 => n 0; 2 1 1 1 1 1 b) A = (1 - )(1 )(1 )(1 ) (1 ) = 2 3 4 5 20 1 2 3 18 19 1 0,5 . . . 2 3 4 19 20 20 0,5 1 => A > 21 5 0,5 A E B H D C a. Vì AD là tia phân giác góc A nên: BAD = CAD 0,5 Vì các góc ADC và ADB theo thứ tự là các góc ngoài của tam 0,5 giac ABD và ACD nên: DeThi.edu.vn
  52. Bộ 35 Đề thi Toán nâng cao Lớp 6 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn CÂU NỘI DUNG ĐIỂM ADC = B + BAD; ADB = C + CAD. Suy ra: ADC – ADB = B + BAD – C – CAD = B - C 0,5 b. Ta có : AEB = HAD ( hai góc có cạnh tương ứng vuông 0,5 góc) 0,5 ACD + ADB = 1800  ADC = 1800 – ADB Kết hợp với câu a Ta được (1800 - ADB) = B – C => 2ADB 1800 – (B – C) 0,5 1 => ADB = 900 – ( B – C) 0,5 2 Trong tam giác HAD, ta có: HAD = 900 – ADH = 900 – ADB 1 1 = 900 – [900 - ( B – C)] = ( B – C) 2 2 c. Theo giả thiết ta có 0,5 ADC – ADB = 400 0,5 ADC + ADB = 1800 0,5 => ADB = 700 ; ADC = 1100 0,5 => HAD = 200 Câu Cho m,n là hai số chính phương lẻ liên tiếp. 6 Chứng minh rằng: mn – m – n + 1 M192 m,n là hai số chính phương lẻ liên tiếp nên chúng có dạng m = ( 2k – 1)2 và n = ( 2k + 1)2 Do đó: mn-m-n+1= 16k2(k-1)(k+1) 0,5 Ta có (k-1)k(k+1) M3 và (k-1)k.k(k+1) M4 nên (k-1)k2 (k+1) M 0,5 12 2 16k (k-1)(k+1) M16.12=192 0,5 0,5 DeThi.edu.vn
  53. Bộ 35 Đề thi Toán nâng cao Lớp 6 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 13 Câu 1: (4 điểm) Tính giá trị biểu thức: a) A = 1500 - {52 . 23 - 11.[72 - 5.23 + 8.(112 - 121)]} b) B = 32 . 103 - [132 - (52.4 + 22.15)] . 103 c) C = 1 - 2 - 3 + 4 + 5 - 6 - 7 + + 2008 + 2009 - 2010 - 2011. d) D = 1 - 3 + 5 - 7 + + 2005 - 2007 + 2009 - 2011 Câu 2: (4 điểm) Tìm x biết: a) 2 . 52 . 32 + {[2 . 53 - (5. x + 4) . 5] : (22 . 3 . 5)} = 453 x 1 3x 5 2x 5x 3 210 b) 3 2 9 9 420 Câu 3: (4 điểm) a) Chứng minh: C = (2004 + 20042 + 20043 + + 200420) chia hết cho 2005 b) Tìm số tự nhiên nhỏ nhất chia cho 5, cho 7, cho 9 có số dư theo thứ tự là 3, 4, 5. Câu 4: (4 điểm) a) Cho 12 điểm, không có 3 điểm nào thẳng hàng. Nối từng cặp hai điểm trong 12 điểm đó thành các đoạn thẳng. Tính số đoạn thẳng được tạo thành. b) Cho a là số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng (a - 1)(a + 4) chia hết cho 6. Câu 5: (4 điểm) Cho một góc tù BOA. Trong cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng OA, có chứa tia OB, ta vẽ các góc COA bằng 900 ; góc DOB bằng 900. a) Chứng tỏ rằng tia OD nằm giữa hai tia OC và OA. b) Chứng tỏ hai góc AOB và COD là hai góc bù nhau. c) Gọi OM là phân giác của góc AOD, ON là phân giác của góc COB. Tính góc MON? DeThi.edu.vn
  54. Bộ 35 Đề thi Toán nâng cao Lớp 6 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐÁP ÁN Câu 1: (4 điểm) Tính giá trị biểu thức: (Mỗi phần cho 1,5 điểm) Phép tính Điểm Phép tính Điểm a) A = 1500 - {52 . 23 - 11.[49 - 40 0,25 c) C = (1-2-3+4)+(5-6- + 0]} 7+8)+ +(2005-2006 - 2007 0,25 A = 1500 - {200 - 11. 9} +2008) +2009-2010-2011 A = 1500 - 101 0,25 0,5 A= 1399 (có 502 ngoặc, có tổng =0) 0,25 0,25 b) B = 32 . 103 - [169 - 160] . 103 C = 2009-2010-2011 3 3 0,5 0,25 B = 9 . 10 - 9 . 10 C = -2012 B = 0 0,25 d) D = (1 - 3) + (5 - 7) + + (2005 0,25 - 2007) + (2009 - 2011) 0,5 D = (-2)+(-2)+(-2)+ +(-2) có 503 0,25 số -2 0,25 D = - 1006 Câu 2: (4 điểm) Tìm x biết: (mỗi phần 2 điểm) Phép tính Điể Phép tính Điểm m a) 450+{[2 . 53 - (5. x + 4). 5]:60}= 0,25 3x 3 2x ( 5x) 3 3x 5 1 b) 453 9 2 2 0,25 0,5 {[2 . 53 - (5. x + 4). 5]:60}= 453- 3x 5 1 0,25 0 + 450 2 2 0,25 0,5 [2 . 125 - (5. x + 4). 5]:60= 3 3x - 5 = 1 0,25 250 - (5. x + 4). 5 = 3 . 60 =180 x = 6 : 3 = 2 0,25 0,5 (5. x + 4). 5 = 250 - 180 = 70 0,25 0,5 5.x + 4 = 70 : 5 = 14 0,25 DeThi.edu.vn
  55. Bộ 35 Đề thi Toán nâng cao Lớp 6 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 5.x = 14 - 4 = 10 x = 10 : 5 = 2 Câu 3: (4 điểm) a) Chứng minh: C = (2004 + 20042 + 20043 + + 200420) chia hết cho 2005 (2 điểm) C = 2004(1+2004) + 20043(1+2004)+ +200419(1+2004) (1 điểm) 1+2004 = 2005 chia hết cho 2005 (0,5 điểm) => C chia hết cho 2005 (0,5 điểm) b) Tìm số tự nhiên nhỏ nhất chia cho 5, cho 7, cho 9 có số dư theo thứ tự là 3, 4, 5. (2 điểm) Gọi số tự nhiên phải tìm là a. Ta thấy 2a - 1 chia hết cho 5, cho 7, cho 9. Mà BCNN (5,7,9) = 315. vì a nhỏ nhất nên 2a cũng nhỏ nhất. => 2a - 1= 315 => 2a = 316 a = 158 Câu 4: (4 điểm) a) Cho 12 điểm, không có 3 điểm nào thẳng hàng. Nối từng cặp hai điểm trong 12 điểm đó thành các đoạn thẳng. Tính số đoạn thẳng được tạo thành. Nối điểm thứ nhất với 11 điểm còn lại ta được 11 đoạn thẳng. (0,25 điểm) Nối điểm thứ hai với 10 điểm còn lại ta được 10 đoạn thẳng (điểm thứ nhất đã nối với điểm thứ hai ở lần nối thứ nhất) (0,25 điểm) Nối điểm thứ 10 với 2 điểm còn lại ta được 2 đoạn thẳng. (0,25 điểm) Nối điểm thứ 11 với 1 điểm còn lại ta được 1 đoạn thẳng. (0,25 điểm) Vậy tổng số đoạn thẳng là: 11 + 10 + + 2 + 1 (0,5 điểm) DeThi.edu.vn
  56. Bộ 35 Đề thi Toán nâng cao Lớp 6 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn = (11 + 1) + (10 + 2) + (9 + 3) + (8 + 4) + (7 + 5) + 6 = 66 (đoạn thẳng) (0,5 điểm) b) Cho a là số nguyên tố lớn hơn 3. Chứng minh rằng (a - 1)(a + 4) chia hết cho 6. Số nguyên tố lớn hơn 3 là số lẻ, nên a có dạng a = 3n + 1 hoặc a = 3n + 2. (n N) (0,25 điểm) - Nếu a = 3n +1 => (a - 1)(a+4) = (3n)(3n+5) chia hết cho 3 (vì 3n chia hết cho 3) (0,25 điểm) - Nếu a = 3n + 2 => (a-1)(a+4) = (3n+1)(3n+6) chia hết cho 3 (vì 3n+6 chia hết cho 3) (0,25 điểm) Nên (a-1)(a+4) chia hết cho 3 với mọi số nguyên tố lớn hơn 3. (0,25 điểm) Hơn nữa số nguyên tố lớn hơn 3 là số lẻ nên có dạng 2k + 1 (0,25 điểm) Khi đó a- 1 chia hết cho 2 (0,25 điểm) Mà (2,3)=1 nên (a-1)(a+4) chia hêt cho 2.3 = 6 (0,5 điểm) Câu 5: (4 điểm) Cho một góc tù BOA. Trong cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng OA, có chứa tia OB, ta vẽ các góc COA bằng 900 ; góc DOB bằng 900. N C B D M A O - Vẽ hình chính xác cho 0,5 điểm. a) Chứng tỏ đúng tia OD nằm giữa hai tia OC và OA. (0,5 điểm) b) Chứng tỏ hai góc AOB và COD là hai góc bù nhau. (1,5 điểm) DeThi.edu.vn
  57. Bộ 35 Đề thi Toán nâng cao Lớp 6 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn - góc AOB + góc COD = góc AOC + góc COB + góc COD (0,25 điểm) - Mà góc COB + góc COD = góc BOD = 900 (theo đầu bài) (0,25 điểm) - Theo bài lại có góc AOC = 900 (0,25 điểm) - Nên góc AOB + góc COD = 900 + 900 = 1800 (0,25 điểm) - Vậy hai góc bù nhau. (0,5 điểm) c) Tính góc MON? (1,5 điểm) - Vì OM là phân giác của góc AOD nên ta có: góc AOM = góc MOD (0,25 điểm) - ON là phân giác góc COB nên ta có: góc CON = góc NOB (0,25 điểm) Lại có: góc AOC = góc AOD + góc DOC = 900 => góc AOD = 900 - góc DOC (1) Góc DOB = góc DOC + góc COB = 900 => góc COB = 900 - góc DOC (2) (0,25 điểm) Từ (1) và (2) => góc AOD = góc COB (0,25 điểm) => góc AOM = góc MOD = góc CON = góc NOB (0,25 điểm) Nên góc MON = góc MOD + góc DOC + góc CON = góc MOD + góc DOC + góc MOA = góc AOC = 900 (0,25 điểm) DeThi.edu.vn
  58. Bộ 35 Đề thi Toán nâng cao Lớp 6 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 14 Câu 1: (1,0điểm) Thực hiện phép tính( tính hợp lý nếu có thể ) a/ 1968 : 16 + 5136 : 16 -704 : 16 b/ 23. 53 - 3 {400 -[ 673 - 23. (78 : 76 +70)]} Câu 2: ( 1,0điểm) M có là một số chính phương không nếu : M = 1 + 3 + 5 + + (2n-1) ( Với n N , n 0 ) Câu 3: (1,5điểm) Chứng tỏ rằng: a/ (3100+19990) M 2 b / Tổng của 4 số tự nhiên liên tiếp không chia hết cho 4 Câu 4 : (1,0điểm) Tìm số nguyên x, y biết x2y – x + xy = 6 Câu 5: ( 2,0điểm ) Tím tất cả các số nguyên n để: a) n 1 chia hết cho n 2 b) Chứng tỏ rằng 12n 1, 30n 2 là hai số nguyên tố cùng nhau. Câu 6: (2,5điểm) Câu 3: Trên đoạn thẳng AB = 3 cm lấy điểm M. Trên tia đối của tia AB lấy điểm N sao cho AM = AN. a. Tính độ dài đoạn thẳng BN khi BM = 1 cm. b. Hãy xác định vị trí của M (trên đoạn thẳng AB) để BN có độ dài lớn nhất. Câu 7: (1,0điểm) Tìm các cặp số tự nhiên x , y sao cho : (2x + 1)( y – 5) = 12 HẾT (Đề thi gồm có 01 trang). Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: ; Số báodanh DeThi.edu.vn
  59. Bộ 35 Đề thi Toán nâng cao Lớp 6 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn HƯỚNG DẪN CHẤM Câu 1: (1,0 điểm) Ý/Phần Đáp án Điểm a = 16(123+ 321 - 44):16 0,25 = 400 0,25 b =8.125-3.{400-[673-8.50]} 0,25 = 1000-3.{400-273} =619 0,25 Câu 2: (1,0 điểm) Ý/Phần Đáp án Điểm M = 1 + 3 + 5 + + (2n-1) ( Với n N , n 0 ) 0,5 Tính số số hạng = ( 2n-1-1): 2 + 1 = n Tính tổng = ( 2n-1+1 ) n : 2 = 2n2 : 2 = n 2 0,5đ KL: M là số chính phương Câu 3: (1,5 điểm) Ý/Phần Đáp án Điểm Ta có: 3100 = 3.3.3 .3 (có 100 thừa số 3) = (34)25 = 8125 có chữ số tận cùng bằng 1 0,25 a 19990 = 19.19 19 ( có 990 thứa số 19 ) 0,25 = (192)495 = 361495 ( có chữ số tận cùng bằng 1 0,5 Vậy 3100+19990 có chữ số tận cùng bằng 2 nên tổng này chia hết cho 2 Gọi 4 số tự nhiên liên tiếp là : a ; (a +1) ;( a + 2) ;( a 0,25 b + 3 ) ; ( a N ) DeThi.edu.vn
  60. Bộ 35 Đề thi Toán nâng cao Lớp 6 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Ta có : a + (a+1) + (a+2) + (a+3) = 4a + 6 0,25 Vì 4aM 4 ; 6 không chia hết 4 nên 4a+ 6 không chia hết 4 Câu 4 : ( 1,0 điểm) Ý/Phần Đáp án Điểm x2y – x + xy = 6  (xy – 1)(x + 1) = 5 = 1.5 = (-1)(-5) 0,75 Xét 4 trường hợp và kết luận 0,25 (x;y) = (-2;2), (-4;0). Câu 5: (2,0 điểm) Ý/Phần Đáp án Điểm a Để ( n+1) M (n-2) 0.5 Ta có (n+1) = (n 2) 3 Vậy (n+1) M (n-2) khi 3M (n-2) (n-2) Ư(3) = 3; 1;1;3 0,5 => n 1;1;3;5 Gọi d là ƯC của 12n+1 và 30n+2 ( d N* ) 0,25 12n 1Md,30n 2Md 5(12n 1) 2(30n 2) Md (60n+5-60n-4) Md 1M d b mà d N* d = 1 0,5đ Vậy12n 1, 30n 2 là hai số nguyên tố cùng nhau. 0,25 Câu 6: (2,5 điểm) Ý/Phần Đáp án Điểm a HD: - Hình vẽ:N A M B 0,25 - M nằm giữa hai điểm A, B nên MA = AB - MB = 3 - 1 = 2 (cm) 0,25 DeThi.edu.vn
  61. Bộ 35 Đề thi Toán nâng cao Lớp 6 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn - AN = AM = 2 (cm). 0,25 - A nằm giữa hai điểm N, B nên BN = AN + AB = 2 + 3 = 5 (cm). 0,25 - BN = AN + AB, AB không đổi nên BN lớn nhất khi AN lớn nhất. 0,5 - AN lớn nhất khi AM lớn nhất. b - AM lớn nhất khi AM = AB. - Lúc đó M trùng với B và BN bằng 6(cm). Câu 7: (1,0 điểm) Ý/Phần Đáp án Điểm (2x+ 1); (y - 5) là các ước của 12 0,25 Ư(12) = 1;2;3;4;6;12  0,25 Vì 2x + 1 là lẻ nên : 2x + 1= 1 x=0 , y =17 0,25 2x + 1= 3 x=1 , y=9 0,25 Vậy với x = 0 thì y = 17 ; Với x = 1 thì y = 9 DeThi.edu.vn
  62. Bộ 35 Đề thi Toán nâng cao Lớp 6 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 15 Câu 1 (2,0 điểm). Tính hợp lí giá trị của các biểu thức: 1) A 42.53 47.156 47.114 7 7 5 21 49 8 2) B . . . 13 15 12 39 91 15 Câu 2 (3,0 điểm). 1) So sánh 3200 và 2300 2) Tìm x, biết: a) x 2034 .5 105 2x 3 27 b) 3 2x 3 Câu 3 (2,0 điểm). 6m 5 1) Tìm số nguyên m sao cho số là số nguyên. 2m 1 2) Cho A 2019 20192 20193 20194 20195 20196 . Chứng tỏ rằng AM2. Câu 4 (2,0 điểm). 1) Cho AB = x (cm), AC = 7 (cm), BC = 2x - 1 (cm). Tìm x sao cho ba điểm A, B, C thẳng hàng. 2 2) Cho x· Oy 1000 , vẽ tia Om nằm giữa hai tia Ox, Oy sao cho x·Om y·Om. 3 Vẽ tia phân giác Oz của y·Om . Tính số đo của x· Oz. Câu 5 (1,0 điểm). a a b Cho phân số 0, chứng minh rằng 2 . b b a –––––––– Hết –––––––– H DeThi.edu.vn
  63. Bộ 35 Đề thi Toán nâng cao Lớp 6 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HSG MÔN: TOÁN - LỚP 6 Câu Phần Nội dung Điểm A 42.53 47. 156 114 42.53 47.42 1 A 42. 53 47 42.100 4200 0.5 (1,0 đ) 0.5 7 7 5 7 7 8 B . . . Câu 1 13 15 12 13 13 15 0.25 (2,0 7 7 5 8 B . điểm) 13 15 12 15 2 0.25 7 5 (1,0 B . 1 13 12 đ) 7 7 49 B . 0.25 13 12 156 0.25 100 3200 32 9100 100 0.25 2300 23 8100 1 Vì 9100 8100 3200 2300 (1,0 0.25 đ) Câu 2 (3,0 điểm) 0.5 x 2034 21 2a x 21 2034 0.5 (1,0 x 2013 0.25 đ) 0.25 DeThi.edu.vn
  64. Bộ 35 Đề thi Toán nâng cao Lớp 6 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 2x 3 27 2 2x 3 81 3 2x 3 0.25 2b 2x 3 9 hoặc 2x 3 9 (1,0 +) 2x 3 9 2x 12 x 6 0.25 đ) +) 2x 3 9 2x 6 x 3 0.25 0.25 6m 5 6m 3 8 3 2m 1 8 8 3 2m 1 2m 1 2m 1 2m 1 0.25 6m 5 8 Để Z khi m Z thì Z khi m Z 2m 1 2m 1 1 2m 1 1; 2; 4; 8 (1,0 đ) Mà 2m 1 là số lẻ 2m 1 1 0.25 m 1;m 0 0.25 Câu 3 0.25 (2,0 A 2019. 1 2019 20193. 1 2019 20195. 1 2019 điểm) A 2019.2020 20193.2020 20195.2020 0.25 A 2020. 2019 20193 20195 2 0.25 (1,0 Vì 2020M2 AM2 đ) 0.25 0.25 Vì AB = x x 0 . Để A, B, C thẳng hàng thì có 3 khả năng xảy 0.25 ra: Câu 4 1 +) TH 1: A nằm giữa B và C AB AC BC (2,0 (1,0 0.25 điểm) đ) x 7 2x 1 x 8 (TM) +) TH 2: B nằm giữa A và C AB BC AC DeThi.edu.vn
  65. Bộ 35 Đề thi Toán nâng cao Lớp 6 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 8 x 2x 1 7 x (TM) 3 0.25 +) TH 3: C nằm giữa A và B AC CB AB 7 2x 1 x x 6 (loại) 8 Vậy x = 8 ; x = 3 0.25 z Vì tia Om nằm giữa hai tia Ox y và Oy m x·Om y·Om x· Oy 1000 2 x·Om y·Om 3 1 2 2 y·Om y·Om 1000 O x 3 5 y·Om 1000 : 600 3 2 0.25 (1,0 2 x·Om .600 400 đ) 3 1 1 Vì tia Oz là tia phân giác của y·Om m· Oz .y·Om .600 300 0.25 2 2 Vì tia Om nằm giữa hai tia Ox và Oz x· Oz x·Om m· Oz 400 300 700 . 0.25 0.25 a Vì 0 , không mất tính tổng quát giả sử a > 0, b > 0 và a b b Câu 5 Ta có thể viết: a b m (m 0) (1,0 a b b m b m b điểm) 1 b a b b m b b m 0.25 DeThi.edu.vn
  66. Bộ 35 Đề thi Toán nâng cao Lớp 6 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn m m Vì b b m và m > 0, b > 0 b b m 0.25 m b m b m b 1 1 1 2 b b m b m b m b m a b Vậy 2 , dấu đẳng thức xảy ra khi a = b. b a 0.25 0.25 DeThi.edu.vn
  67. Bộ 35 Đề thi Toán nâng cao Lớp 6 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 16 Câu 1. Tính nhanh: A 35.34 35.86 65.75 65.45 2 2 2 1 1 1 B 5 9 11 : 3 4 5 7 7 7 7 7 7 5 9 11 6 8 10 C 4 22 23 220 Câu 2. Tìm x biết: a)5x 125 b) x 1 x 2 x 3 x 100 5750 c)261x chia hết cho 2 và chia cho 3 dư 1. Câu 3. 20122012 1 20122011 1 a) So sánh phân số: A và B 20122013 1 20122012 1 8n 193 b) Tìm số tự nhiên n để giá trị của phân số C là một số tự nhiên ? 4n 3 Câu 4. a) Cho x· Oy 1000.Vẽ tia Oz sao cho z·Oy 350.Tính x· Oz b) Trên đoạn thẳng AB lấy 2013điểm khác nhau đặt tên theo thứ tự từ Ađến B là: A, A1, A2 , A3, , A2011,B . Từ điểm M không nằm trên đoạn thẳng AB, ta nối M với các điểm A, A1, A2 , A3, , A2011,B . Tính số tam giác được tạo thành 1 1 1 1 1 1 1 Câu 5. Chứng minh rằng: 2 4 8 16 32 64 3 DeThi.edu.vn
  68. Bộ 35 Đề thi Toán nâng cao Lớp 6 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐÁP ÁN Câu 1. A 35. 34 86 65. 75 45 120. 35 65 120.100 12000 1 1 1 1 1 1 2 2 5 9 11 6 8 10 2 2 B : : 1 1 1 1 1 1 1 7 7 7. 7. 5 9 11 6 8 10 C 4 22 23 220 2C 8 23 24 221 2C C 221 C 221 Câu 2. a)5x 125 53 x 3 b)x 1 x 2 x 3 x 100 5750 100x 101.50 5750 100x 700 x 7 c) 261xM2 x 0;2;4;6;8 Số 261x chia 3 dư 1 nên 9 xchia 3 dư 1 nên x 1;4;7 Để 261x chia hết cho 2 và 3 thì x 4 Câu 3. 20122013 2012 2011 a) Ta có: 2012.A 1 (1) 20122013 1 20122013 1 20122012 2012 2011 2012B 1 (2) 20122012 1 20122012 1 2011 2011 Từ (1) và (2) ta thấy: 20122013 1 20122012 1 Suy ra 2012A 2012B A B 8n 193 2 4n 3 187 187 b) C 2 4n 3 4n 3 4n 3 Để C là số tự nhiên 4n 3 U (187) 1;11;17;187 n 2;46 Câu 4. a) Trường hợp 1: Tia Oz nằm giữa hai tia Ox,Oy DeThi.edu.vn
  69. Bộ 35 Đề thi Toán nâng cao Lớp 6 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn x z y O Tính được: x· Oz 650 Trường hợp 2: Tia Oy nằm giữa hai tia Ox, Oz x z y O Tính được x· Oz 1350 b) Trên đoạn thẳng B có các điểm A, A1, A2 , A3, , A2011,B . Do đó, tổng số điểm trên đoạn thẳng AB là 2013 điểm, như vậy sẽ có 2013 đoạn thẳng nối từ M đến các điểm đó Mỗi đoạn thẳng có thể kết hợp với 2012 đoạn còn lại và các đoạn thẳng tương ứng trên đoạn thẳng AB dể tạo thành 2012 tam giác Như vậy 2013 doạn thẳng sẽ tạo thành 2012.2013 4050156tam giác, nhưng mỗi tam giác được tính hai lần. Do đó số tam giác thực có là: 4050156: 2 2025078tam giác. Câu 5. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 A 2 4 8 16 32 64 2 22 23 24 25 26 1 1 1 1 1 2A 1 2 22 23 24 25 1 26 1 1 A 2A 1 3A 1 A 26 26 3 DeThi.edu.vn
  70. Bộ 35 Đề thi Toán nâng cao Lớp 6 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 17 Câu 1: 2 điểm Tính caùc toång sau baèng caùch hôïp lyù nhaát : 1) 22344 . 36 + 44688 . 82 2) 1 + 2 + 3 + + 2006 + 2007 3) 132 + 128 + 124 + + 72 + 68 Câu 2: 2 điểm Trong caùc soá töï nhieân nhoû hôn 1000, coù bao nhieâu soá chia heát cho 2 nhöng khoâng chia heát cho 5 ? Câu 3: 2 điểm Ñeå ñaùnh soá trang cuûa moät quyeån saùch daøy 2746 trang caàn duøng bao nhieâu chöõ soá ? Câu 4: 2 điểm Tìm x bieát : (x + 1) + (x + 2) + + (x + 98) + (x + 99) = 9900 Câu 5: 2 điểm 1) Cho 2006 ñieåm thaúng haøng. Hoûi coù bao nhieâu ñieåm naèm giöõa hai ñieåm khaùc ? 2) Treân ñöôøng thaúng xy laáy 1003 ñieåm phaân bieät. Hoûi treân ñöôøng thaúng xy coù bao nhieâu tia ? * Chuù yù : Hoïc sinh ñöôïc söû duïng maùy tính boû tuùi. DeThi.edu.vn
  71. Bộ 35 Đề thi Toán nâng cao Lớp 6 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Đáp án Baøi Caâu Noäi dung chaám Ñieåm chi Ñieåm tieát toaøn baøi 22344 . 36 + 44688 . 82 = 22344 . 2 . 18 + 44688 . 82 0.25 1 = 44688 . 18 + 44688 . 82 0.25 = 44688 . (18 + 82) 0.25 = 44688 . 100 = 4 468 800 0.25 1 2.00 1 + 2 + 3 + + 2006 + 2007 (coù 2007 soá haïng) 2 0.50 = [(1+2007) . 2007] : 2 = 2 015 028 132 + 128 + 124 + + 72 + 68 (coù 17 soá haïng) 3 0.50 = [(132 + 68) . 17] : 2 = 1700 Caùc soá chia heát cho 2 nhöng khoâng chia heát cho 5 coù chöõ soá taän cuøng laø 2 ; 4 ; 6 ; 8. 050 Moãi chuïc coù 4 soá. 2 0.50 2.00 Töø 0 ñeán 1000 coù 100 chuïc. 0.50 Vaäy coù 4 . 100 = 400 soá. 0.50 Quyeån saùch coù : Soá trang coù 1 chöõ soá laø : 9 – 1 + 1 = 9 trang 0.25 Soá trang coù 2 chöõ soá laø : 99 – 10 + 1 = 90 0.25 3 trang 2.00 0.25 Soá trang coù 3 chöõ soá laø : 999 – 100 + 1 = 0.25 900 trang DeThi.edu.vn
  72. Bộ 35 Đề thi Toán nâng cao Lớp 6 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Soá trang coù 4 chöõ soá laø : 2746 – 1000 + 1 1.00 = 1747 trang Vaäy soá chöõ soá caàn duøng laø : 1 . 9 + 2 . 90 + 3 . 900 + 4 . 1747 = 9877 chöõ soá (x + 1) + (x + 2) + + (x + 98) + (x + 99) = 9900 {[(x + 1) + (x + 99)] . 99} : 2 0.50 = 9900 0.50 (2x + 100) . 99 = 2 . 9900 4 2.00 0.50 2x + 100 = 200 0.50 2x = 100 x = 50 Trong 2006 ñieåm thaúng haøng coù : 2006 – 2 1 1.00 = 2004 ñieåm naèm giöõa hai ñieåm khaùc. Vôùi moãi ñieåm treân ñöôøng thaúng xy ta coù 5 2.00 ñöôïc hai tia ñoái nhau. 2 1.00 Vaäy vôùi 1003 ñieåm coù : 1003 . 2 = 2006 tia. DeThi.edu.vn
  73. Bộ 35 Đề thi Toán nâng cao Lớp 6 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 18 Câu 1. (2,0 điểm) Thực hiện phép tính: 3 5 61 a)S 1.2 2 2.3 2 30.31 2 12 12 12 4 4 4 12 4 6 12424243 b)B 1 . 19 37 53 : 15 4 2013 . 3 3 3 5 5 5 41 3 5 237373735 19 37 53 15 4 2013 Câu 2. (2,0 điểm) 1 1 1 1 1 1 1 a) Cho A 1 ;B . 2 3 4 2012 1007 1008 2012 2013 A Tính B b) Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho: 1! 2! 3! n!là số chính phương Câu 3. (2,0 điểm) 1 1 1 4 a) Tìm các số tự nhiên a,b,cthỏa mãn a b c 5 b) Tìm 3 số nguyên tố liên tiếp p,q,r sao cho p2 q2 r 2 cũng là số nguyên tố Câu 4. (2,0 điểm) Cho x· Oy 1000.Vẽ tia phân giác Oz của x· Oy; vẽ tia Ot sao cho ·yOt 250 a) Tính số đo các góc : z· Ot, x· Ot b) Ot có phải là tia phân giác của z·Oy không ? Vì sao ? Câu 5. (2,0 điểm) a) Cho A 20122012 22012 và B 20122012 Chứng tỏ rằng khi biểu diễn A,B dưới dạng các số tự nhiên thì số chữ số của Avà số chữ số của B là bằng nhau b) Ký hiệu S n là tổng các chữ số của số tự nhiên n 2 Tìm n sao cho S n n 2013n 6 DeThi.edu.vn
  74. Bộ 35 Đề thi Toán nâng cao Lớp 6 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐÁP ÁN Câu 1. 2n 1 1 1 a) Ta có: ; với n ¥ * 2 n2 2 n n 1 n 1 Do đó: 2 1 1 1 1 1 S 1 2 2 2 2 2 2 3 30 31 1 312 1 960 1 312 312 961 b) Ta có: 12 12 12 4 4 4 12 4 6 124242423 B 1 . 19 37 53 : 15 4 2013 . 3 3 3 5 5 5 41 3 5 237373735 19 37 53 15 4 2013 1 1 1 1 1 1 12. 1 4 1 47 19 37 53 15 4 2013 41.3.1010101 . : . 41 1 1 1 1 1 1 47.5.1010101 3. 1 5. 1 19 37 53 15 4 2013 47 5 41.3 . 4. . 3 41 4 47.5 Câu 2. 1 1 1 1 a) Ta có: A 1 2 3 4 2012 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 3 4 2012 2 4 6 2012 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 2012 2 3 4 1006 1 1 1 B 1007 1008 2012 2013 A A 2013 Suy ra: 1 1 1 B B 2013 A Vậy 1 B b) Xét n 1 1! 12 n 2 1! 2! 3 n 3 1! 2! 3! 9 32 DeThi.edu.vn
  75. Bộ 35 Đề thi Toán nâng cao Lớp 6 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn n 4 1! 2! 3! 4! 33 Với n 4thì n! 1.2.3 n là một số tự nhiên có chữ số tận cùng là 0. Nên 1! 2! n! 33cộng vơi một số có tân cùng là 0 ra số tận cùng là 3 nên không phải là số chính phương Vậy chỉ có 2 giá trị n 1;n 3thỏa đề Câu 3. a) Ta thấy : a,b,clà các số tự nhiên khác 0 Do a,b,ccó vai trò như nhau nên không mất tính tổng quát, giả sử 0 a b c 1 1 1 3 3 4 15 Ta có: a a 1;2;3 a b c a a 5 4 1 1 4 Với a 1thì 1.Không tồn tại b,c ¥ thỏa mãn b c 5 1 1 1 4 1 1 3 Với a 2, ta có: 2 b c 5 b c 10 1 1 2 2 3 20 Do b c nên b b 1;2;3;4;5;6 b c b b 10 3 Kiểm tra các trường hợp ta thấy b 5thì c 10;b 4thì c 20 (thỏa mãn) Các trường hợp còn lại của bkhông thỏa mãn Với a 3 1 1 4 1 7 Ta có: b c 5 3 15 1 1 2 2 7 30 Do b c nên b b 1;2;3;4;5;6;7 b c b b 15 4 Kiểm tra các trường hợp của bta thấy các giá trị của c đều không thỏa mãn c ¥ Vậy các bộ số a;b;c thỏa mãn đề bài là 2;5;10 , 2;4;20 và các hoán vị của chúng. b) Vì p q r nên p2 q2 2 Do vậy p2 q2 r 2 là số nguyên tố thì p2 q2 r 2 phải là số lẻ p2 ,q2 ,r 2 là các số lẻ p,q,r là các số nguyên tố lẻ Trong ba số p,q,r phải có ít nhất 1 số chia hết cho 3 vì nếu không có số nào chia hết cho 3 thì p2 ,q2 ,r 2 chia 3 đều dư 1, khi đó p2 q2 r 2 chia hết cho 3 (mâu thuẫn) p 3(p là số nguyên tố lẻ và nhỏ nhất trong 3 số) q 5,r 7 Kiểm tra p2 q2 r 2 32 52 72 83là số nguyên tố (thỏa mãn) Câu 4. a) Tia Oz là phân giác góc xOy nên ·yOz 500 DeThi.edu.vn
  76. Bộ 35 Đề thi Toán nâng cao Lớp 6 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Xét hai trường hợp: *Trường hợp 1: Ot nằm giữa Oz và Oy z x t y O Mà ·yOt 250 và Ot nằm giữa Oz,Oy nên z· Ot 250 Vì Oz nằm giữa Ox,Oy và Ot nằm giữa Oy,Oz nên Oz nằm giữa Ox,Ot x· Ot 750 *Trường hợp 2: Oy nằm giữa Oz,Ot z x y t O Tia Oy nằm giữa Oz, Ot nên z· Ot 750 Vì Oz nằm giữa Ox,Oy và Oy nằm giữa Ot,Oz nên Oz,Oy nằm giữa Ox,Ot x· Ot 1250 b) –Trường hợp Oy nằm giữa Oz, Ot thì Ot không là phân giác của z·Oy -Trường hợp Ot nằm giữa Oz,Oy ta có: ·yOt 250 và z· Ot 250 nên Ot là phân giác của z·Oy DeThi.edu.vn
  77. Bộ 35 Đề thi Toán nâng cao Lớp 6 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Câu 5. a) Giả sử số B 20122012 khi biểu diễn dưới dạng số tự nhiên có n chữ số, ta có: 10002012 20122012 10n 10n 106036 n 6036 Giả sử khi số A 20122012 22012 biểu diễn dưới dạng số tự nhiên thì số A có nhiều hơn n chữ số, tức là A ít nhất có n 1chữ số, suy ra: 20122012 22012 10n 20122012 10n 20122012 22012 22012.10062012 22012.2n 2012.5n 22012. 10062012 1 , do n 6036 10062012 2n 2012.5n 10062012 1 2n 2012.5n 10062012 1.Điều này là vô lý vì 10062012 1là số lẻ, còn 2n 2012.5n là số chẵn Do đó số chữ số của Akhông nhiều hơn số chữ số của B dfcm b) Giả sử khi biểu diễn số tự nhiên n dưới dạng số thập phân, ta có: m m 1 n am.10 am 1.10 a1.10 a0 (với ai là các chữ số, i 0,1,2, ,m;m ¥ ) n am am 1 a1 a0 n S n n2 2013n 6 n n2 6 2014n 6 n 2014 n 2014 (1) n 2 Mà S n 0 n 2013n 6 0 6 n2 6 2013n n 2013 n 2013 (2) n Từ (1) và (2) suy ra n 2013 Thử với n 2013ta có: 2 S 2013 2013 2013.2013 6 6 (thỏa mãn) Vậy số tự nhiên n cần tìm là 2013. DeThi.edu.vn
  78. Bộ 35 Đề thi Toán nâng cao Lớp 6 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 19 Câu 1. (5 điểm) Tìm x : a)5x 125 b)32x 81 c)52x 3 2.52 52.3 Câu 2. (1,5 đ) Cho a là số nguyên. Chứng minh rằng: a 5 5 a 5 Câu 3. (1,5đ) Cho a là một số nguyên. Chứng minh rằng: a) Nếu a dương thì số liền sau a cũng dương b) Nếu a âm thì số liền trước a cũng âm c) Có thể kết luận gì về số liền trước của một số dương và số liền sau của một số âm ? Câu 4. (2đ) Cho 31 số nguyên trong đó tổng của 5 số bất kỳ là một số dương. Chứng minh rằng tổng của 31 số đó là dương. Câu 5. (2đ) Cho các số tự nhiên từ 1 đến 11 được viết theo thứ tự tùy ý sau đó đem cộng với mỗi số với số chỉ thứ tự của nó ta được một tổng. Chứng minh rằng trong các tổng nhận được, bao giờ cũng tìm ra hai tổng mà hiệu của chúng là một số chia hết cho 10 Câu 6. (1,5 đ) Cho tia Ox.Trên hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ là Ox. Vẽ hai tia Oy,Oz sao cho x· Oy, x· Oz bằng 1200.Chứng minh rằng: a) x· Oy x· Oz ·yOz b) Tia đối của mỗi tia Ox,Oy,Oz là phân số của góc hợp bởi hai tia còn lại. DeThi.edu.vn
  79. Bộ 35 Đề thi Toán nâng cao Lớp 6 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐÁP ÁN Câu 1. a)5x 125 5x 53 x 3 b)32x 81 32x 34 2x 4 x 2 c)52x 3 2.52 52.3 52x 3 52.3 2.52 52x 3 53 2x 3 3 x 3 Câu 2. Vì a là một số tự nhiên với mọi a ¢ nên từ a 5ta a 0,1,2,3,4 Nghĩa là a 0;1; 1;2; 2;3; 3;4; 4. Biểu diễn trên trục số các số này đều lớn hơn -5 và nhỏ hơn 5 do đó 5 a 5 Câu 3. Nếu a dương thì số liền sau cũng dương Ta có: a) Nếu a dương thì a 0số liền sau a lớn hơn a nên cũng lớn hơn 0 nên là số dương b) Nếu a âm thì số liền trước cũng âm Ta có: Nếu a âm thì a< 0 số liền trước a nhỏ hơn a nên cũng nhỏ hơn 0 nên là số âm. Câu 4. Trong các số đã cho có ít nhất 1 số dương vì nếu trái lại tất cả đều là số âm thì tổng của 5 số bất kỳ trong chúng sẽ là số âm trái với giả thiết Tách riêng số dương đó còn 30 số chia là 6 nhóm. Theo đề bài tổng các số của mỗi nhóm đều là số dương nên tổng của 6 nhóm đều là số dương và do đó tổng của 31 số đã cho đều là số dương. Câu 5. Vì có 11 tổng mà chỉ có thể có 10 chữ số tận cùng đều là các số từ 0,1,2 9 nên luôn tìm được hai tổng có chữ số tận cùng giống nhau nên hiệu của chúng là một số nguyên có tận cùng là 0 và số là chia hết cho 10. Câu 6. Ta có x· 'Oy 600 , x· 'Oz 600 và tia Ox’ nằm giữa hai tia Oy,Oz nên ·yOz ·yOx' x· 'Oz 1200 . Vậy x· Oy ·yOz z·Ox Do tia Ox'nằm giữa hai tia Oy,Oz và x· 'Oy x· 'Oz nên Ox'là tia phân giác của góc hợp bởi hai tia Oy,Oz Tương tự tia Oy'(tia đối của tia Oy) và tia Oz '(tia đối của tia Oz) là phân giác của x· Oz, x· Oy DeThi.edu.vn
  80. Bộ 35 Đề thi Toán nâng cao Lớp 6 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 20 39 33 21 0,415 : 21 3 65 600 9 Câu 1. Tính: : 15 17 54 75 72 18,25 13 16 36 102 Câu 2. Tìm hai số tự nhiên a,b thỏa mãn điều kiện: a 2b 48 và a,b 3a,b 114 Câu 3. 1) Cho 3 điểm A,B,C thẳng hàng và AB BC AC.Điêmr nào nằm giữa hai điểm còn lại ? Tại sao ? 2) Cho góc aOb và tia Oc nằm giữa hai tia Oa,Ob.Od là tia đối của tia Oc. Chứng minh rằng: a) Tia Od không nằm giữa hai tia Oa và Ob b) Tia Ob không nằm giữa hai tia Oa và Od A Câu 4. Tính tỉ số biết: B 4 6 9 7 7 5 3 11 A B 7.31 7.41 10.41 19.57 19.31 19.43 23.43 23.57 DeThi.edu.vn
  81. Bộ 35 Đề thi Toán nâng cao Lớp 6 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐÁP ÁN Câu 1. 7 0,96. 21 3 21 3 2,24 8 : 3 : 9 5 1 54 75 30 13 16 54 75 28 9 12 12 6 Câu 2. a 2b 48 aM2; 3a,b a,b M3 aM3 aM6 a 2b 48 a 48 a 6;12;18;24;30;36;42 a 6 12 18 24 30 36 42 b 21 18 15 12 9 6 3 a,b 3 6 3 12 3 6 3 a,b 42 36 90 24 90 36 42 a,b a,b129 114 273 84 114 114 129 a 12;b 18 Vậy a 36;b 6 Câu 4. 1 4 6 9 7 1 1  A 5 31.35 35.41 41.50 50.57 31 57 1 1 A 5  A B 1 7 5 3 11 1 1 5 2 B 2 B 2 31.38 38.43 43.46 46.57 31 57 DeThi.edu.vn
  82. Bộ 35 Đề thi Toán nâng cao Lớp 6 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 21 Câu 1. (6 điểm) Thực hiện phép tính 136 28 62 21 a) . 15 5 10 24 b) 528: 19,3 15,3 42 128 75 32 7314 5 5 5 1 1 c) 6 . 11 9 :8 6 6 20 4 3 Câu 2. (4 điểm) Cho A 1 2 3 4 5 6 19 20 c) Acó chia hết cho 2, cho 3, cho 5 không ? d) Tìm tất cả các ước của A Câu 3. (4 điểm) c) Chứng minh rằng: Hai số lẻ liên tiếp bao giờ cũng nguyên tố cùng nhau d) Tìm x biết: 1 5 9 13 17 x 501501 Câu 4. (6 điểm) Cho tam giác ABC có BC 5cm.Trên tia đối của tia CB lấy điểm M sao cho CM 3cm d) Tính độ dài BM e) Cho biết B· AM 800 ,B· AC 600.Tính C· AM f) Lấy K thuộc đoạn thẳng BM sao cho CK 1cm.Tính độ dài BK DeThi.edu.vn
  83. Bộ 35 Đề thi Toán nâng cao Lớp 6 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐÁP ÁN Câu 1. 272 168 186 21 29 7 203 a) . . 30 30 30 24 3 8 24 b) 528: 4 42.171 7314 132 7182 7314 0 5 41 1 1 25 5 41 3 c) . 11 9 : .2. 6 6 4 4 3 6 6 25 5 41 371 6 25 150 Câu 2. A 1 2 3 4 5 6 19 20 1 1 1 1 10. 1 10 c) Vậy AM2, AM5 , A không chia hết cho 3 d) Các ước của A: 1, 2, 5, 10 Câu 3. c) Hai số lẻ liên tiếp có dạng 2n 1và 2n 3 n ¥ Gọi d là ước số chung của chúng. Ta có 2n 1Md,2n 3Md Nên 2n 3 2n 1 Md 2Md nhưng d không thể bằng 2 vì d là ước chung 2 số lẻ, vậy d 1tức là hai số lẻ liên tiếp bao giờ cũng nguyên tố cùng nhau d) Ta có: 5 2 3;9 4 5;13 6 7;17 8 9 Do vậy x a a 1 a ¥ Nên: 1 5 9 13 16 x 1 2 3 4 5 6 7 a (a 1) 501501 Hay a 1 a 1 1 : 2 501501 a 1 a 2 1003002 1001.1002 a 1000 x 1000 1000 1 2001 DeThi.edu.vn
  84. Bộ 35 Đề thi Toán nâng cao Lớp 6 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Câu 4. A B M K2 C K1 d) Hai điểm M và B thuộc hai tia đối nhau CM và CB nên diểm C nằm giữa hai điểm B và M Do đó: BM BC CM 5 3 8(cm) e) Do C nằm giữa hai điểm B và M nên tia AC nằm giữa hai tia AB, AM . Do đó C· AM B· AM B· AC 800 600 200 f) Nếu K thuộc tia CM thì C nằm giữa B và K (ứng với điểm K1 trong hình vẽ) Khi đó BK BC CK 5 1 6cm Nếu K thuộc tia CB thì K nằm giữa B và C (ứng với điểm K2 trong hình vẽ) Khi đó BK BC CK 5 1 4(cm) DeThi.edu.vn
  85. Bộ 35 Đề thi Toán nâng cao Lớp 6 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 22 Câu 1.Tính giá trị của các biểu thức sau: a)24.5 131 13 4 2 3 28.43 28.5 28.21 b) 5 5.56 5.24 5.63 Câu 2. Tìm các số nguyên x biết: 3 5 24 5 a) x . 3 35 6 b) 7x 11 3 3 2 .15 208 c) 2x 7 20 5. 3 Câu 3. e) Một số tự nhiên khi chia cho 7 dư 5, chia cho 13 dư 4. Nếu đem số đó chia cho 91 thì dư bao nhiêu ? f) Học sinh khối 6 khi xếp hàn; nếu xếp hàng 10, hàng 12, hàng 15 đều dư 3 học sinh. Nhưng khi xếp hàng 11 thì vừa đủ. Biết số học sinh khối 6 chưa đến 400 học sinh. Tính số học sinh khối 6 Câu 4. Cho góc bẹt xOy.Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ xy, vẽ các tia Oz,Ot sao cho x· Oz 700 , ·yOt 550 g) Chứng tỏ Oz nằm giữa hai tia Ox,Ot h) Chứng tỏ tia Ot là tia phân giác của ·yOz i) Vẽ tia phân giác Oncủa x· Oz.Tính n· Ot DeThi.edu.vn
  86. Bộ 35 Đề thi Toán nâng cao Lớp 6 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐÁP ÁN Câu 1. a) 16.5 (131 92 ) 80 50 30 3 28 43 5 1 3 28 129 35 56 b) . . 5 5 56 24 3 5 5 168 168 168 3 28 108 3 18 . 3 5 5 168 5 5 Câu 2. 125 4 a) x x 3; 2; 1;0 27 7 b) 7x 11 3 3 2 .15 208 9.15 208 343 73 18 7x 11 7 x (ktm) 7 c) 2x 7 20 5( 3) 2x 7 5 2x 7 5 2x 12 x 6 2x 7 5 2x 2 x 1 Câu 3. e) Gọi số đó là a, Vì a chia cho 7 dư 5, chia cho 13 dư 4 a 9M7,a 9M13và 7,13 1 a 9M7.13 a 9 91k a 91k 9 91k 91 82 91 k 1 82 k ¥ Vậy a chia cho 91 dư 82 f) Gọi số học sinh khối 6 là a 3 a 400 Vì xếp hàng 10,12,15đều dư 3 a 3 M10;12;15 a 3 BC 10;12;15 ta có BCNN(10;12;15) 60 a 3 60;120;180;240;300;360;420;  a 63;123;183;243;303;363;423; ,aM11,a 400 a 363 Vậy số học sinh khối 6 là 363 em Câu 4. DeThi.edu.vn
  87. Bộ 35 Đề thi Toán nâng cao Lớp 6 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn z t n x y O g) Vì x· Oy là góc bẹt trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ xy có x· Ot và t¶Oy là hai góc kề bù. x· Ot t¶Oy 1800 x· Ot 1800 550 1250 Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ chứa tia Ox có: x· Oz x· Ot(700 1250 ) Oz nằm giữa hai tia Ox,Ot h) Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ xy, ta có x· Oz và z·Oy là hai góc kề bù x· Oz z·Oy 1800 hay 700 z·Oy 1800 z·Oy 1100 Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ chứa tia Oy có: ·yOt ·yOz 550 1100 TiaOt nằm giữa hai tia Oy, Oz (1) nên ta có: ·yOt t¶Oz ·yOz hay 550 t¶Oz 1100 t¶Oz 550 ·yOt t¶Oz(2) Từ (1) và (2) suy ra Ot là tia phân giác của ·yOz i) Vì x· Oy là góc bẹt nên suy ra Ox,Oy là hai tia đối nhau 2tiaOx,Oy nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ chứa tia Oz (1) x· Oz Vì On là tia phân giác x· Oz nên n· Oz 350 và hai tia On, Ox cùng nằm 2 trên mặt phẳng có bờ chứa tia Oz (2) Ta lại có tia Ot là tia phân giác ·yOz (theo câu b) Hai tia Ot, Oy cùng nằm trên mộ nửa mặt phẳng có bờ chứa tia Oz (3) DeThi.edu.vn
  88. Bộ 35 Đề thi Toán nâng cao Lớp 6 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Từ 1 , 2 , 3 suy ra On và Ot nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ chứa tia Oz Oz nằm giữa 2 tia On,Ot nên ta có: n· Oz z· Ot n· Ot hay n· Ot 350 550 900.Vậy n· Ot 900 DeThi.edu.vn
  89. Bộ 35 Đề thi Toán nâng cao Lớp 6 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 23 Bài 1.Tìm số nguyên x biết: a)x x 1 x 3 x 5 x 2015 2016 b)2 4 6 8 2x 110 c) 19x 2.52 :14 13 8 2 42 Bài 2. Thực hiện các phép tính sau một cách hợp lý a)1.2.3.4 2015 1.2.3.4 2014 1.2.3.4 2013.20142 2 3.4.216 b) 11.213.411 169 c)2015 374 2015 2014 374 d)1 2 3 4 5 6 7 8 2013 2014 2015 Bài 3. a) Tìm các cặp số nguyên x; y biết: 2x 3y 2 3y 2 55 1 1 1 1 1 b) Chứng minh rằng: 42 62 82 2n 2 4 n 10 Bài 4. Cho biểu thức A n ¥ * 2n a) Tìm điều kiện của n để A là một phân số b) Viết biểu thức Athành tổng hai phân số không cùng mẫu c) Tìm n để Ađạt giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó Bài 5. Cho đoạn thẳng AB, điểm O thuộc tia đối của tia AB. Gọi M , N thứ tự là trung điểm OA,OB a) Chứng tỏ rằng OA OB b) Trong ba điểm O,M , N điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại c) Chứng tỏ rằng độ dài đoạn thẳng MN không phụ thuộc vào vi trí điểm O (O thuộc tia đối tia AB) DeThi.edu.vn
  90. Bộ 35 Đề thi Toán nâng cao Lớp 6 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐÁP ÁN Bài 1. a)2016x 1 3 5 2015 2016 (2015 1).1008 2016x 2016 2 x 503 b)2 4 6 8 2x 110 2 1 2 3 4 x 110 x 1 x 2. 110 x 1 x 110 11.10 x 10 2 c) 19x 2.52 :14 13 8 2 42 19x 50 :14 25 16 x 4 Bài 2. a)1.2.3.4 2014. 2015 1 2014 1.2.3.4 2014.0 0 2 16 2 18 2 3.2 .2 3.2 9.236 b) 2 11.213.222 236 11.235 236 235.9 c)2015 374 2015 2014 374 2014 d)1 2 3 4 5 6 7 8 2013 2014 2015 1 1 1 1 1 2015 1 .1007 2015 1008 Bài 3. a)2x 3y 2 3y 2 55 3y 2 2x 1 55 5.11 5. 11 Sau khi thử các trường hợp ta có x; y 5; 1 DeThi.edu.vn
  91. Bộ 35 Đề thi Toán nâng cao Lớp 6 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 1 1 1 1 b) 2.2 2 2.3 2 2.4 2 2n 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 . 2 2 2 2 . 4 2 3 4 n 4 1.2 2.3 n 1 .n 1 1 1 . 1 4 n 4 Bài 4. 1 5 a)n ¢ ,n 0 b) 2 n 5 c) A lớn nhất khi lớn nhất vs n ¥ *, n nhỏ nhất n 1 n Bài 5. O M A N B a) Vì O thuộc tia đối của tia AB Anằm giữa O và B OA AB OB OA OB (vì độ dài các đoạn thẳng là số dương) b) Ta có: M , N thứ tự là trung điểm OA,OB nên: OA OB OM ;ON 2 2 Vì OA OB OM ON Hai điểm M và N thuộc tia OB,mà OM ON nên điểm M nằm giữa hai điểm O, N c) Vì điểm M nằm giữa hai điểm O và N nên ta có: OM MN ON MN ON OM OB OA AB MN 2 2 Vì AB có độ dài không đổi, nên MN có độ dài không đổi, hay độ dài đoạn thẳng MN không phụ thuộc vào vị trí của điểm O (O thuộc tia đối của tia AB) DeThi.edu.vn
  92. Bộ 35 Đề thi Toán nâng cao Lớp 6 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 24 219.273 15.49.94 Câu 1. Tính A 69.210 1210 Câu 2. So sánh: 2008 2008 2005 2011 a) 291 và 535 b) B , A x,m,n ¥ * xm xn xm xn Câu 3. Chứng tỏ rằng 71006 31006 M10 Câu 4. Tìm hai số tự nhiên a và b biết: 2a 3b 100và 15.BCNN(a,b) 8.UCLN(a,b) 1990 Câu 5. Tìm x ¥ biết: a) x 11Mx 2 b)x2 4Mx 2 Câu 6. Ba tổ sản xuất làm được một số sản phẩm bằng nhau. Biết rằng tổ 1 có 1 người làm được 16 sản phẩm còn lại mỗi người làm được 11 sản phẩm. Tổ 2 có 1 người làm được 18 sản phẩm còn lại mỗi người làm được 13 sản phẩm. Tổ 3 có 1 người làm được 19 sản phẩm còn lại mỗi người làm được 7 sản phẩm. Tính số sản phẩm mỗi tổ làm được và số người của mỗi tổ, biết rằng số sản phẩm của mỗi tổ không vượt quá 2000. Câu 7. Cho n điểm (n ¥ ,n 3) không có ba điểm nào thẳng hàng. Vẽ các đường thẳng qua từng cặp điểm. Biết rằng vẽ được tất cả 946 đường thẳng. Tính n Câu 8. Cho đoạn AB 7cm.C là một điểm nằm giữa A và B. M, N lần lượt là trung điểm của AC,CB.Tính MN. DeThi.edu.vn
  93. Bộ 35 Đề thi Toán nâng cao Lớp 6 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐÁP ÁN Câu 1. 219.273 15.49.94 219.39 218.39.5 1 69.210 1210 219.39 220.310 2 Câu 2. a)291 290 3218 2518 536 535 291 535 3 3 b) Tách rồi so sánh: , xm xn Xét x 1 A B A B m n Xét x 1: A B m n A B m n Câu 3.Xét chữ số tận cùng Câu 4. Gọi a,b d a dm,b dn, m,n 1 2a 3b 2dm 3dn d 2m 3n 100 d U (100) a,b dm,dn dmn 15a,b 8 a,b 15dmn 8d d(15mn 8) 1990 d U (1990) d UC(100,1990) U (10) 1;2;5;10 Lập bảng giá trị d 1 2 5 10 2m 3n 100 50 20 10 15mn 8 1990 995 398 199 mn Ktm ktm 26 ktm Vì m,n ¥ mn ¥ mn 26;2m 3n 20,d 5 m 26 n 1 Mà m,n 1,m n(doa b) m 13 n 2 Trong các cặp số trên chỉ có cặp m 13,n 2thỏa mãn 2m 3n 20 Vậy a dm 5.13 65,b dn 5.2 10 a)x 3;15 Câu 5. b)x 0;2;6 Câu 6. a 5 BC 11;13;7 0;1001;2002;  a 5;1006;2007 màa 2000,a 5 a 1006 DeThi.edu.vn
  94. Bộ 35 Đề thi Toán nâng cao Lớp 6 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Câu 7. n 44 Câu 8. Lập luận điểm nằm giữa và tính được MN 3,5cm DeThi.edu.vn
  95. Bộ 35 Đề thi Toán nâng cao Lớp 6 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 25 Câu 1. 27 4500 135 550.2 a) Tính tổng S 2 4 6 14 16 18 20062006 1 20062005 1 b) So sánh A và B 20072007 1 20062006 1 Câu 2. a) Chứng minh rằng: C 2 22 23 299 2100 chia hết cho 31 b) Tính tổng C. Tìm x để 22x 1 2 C Câu 3. Một số chia cho 4 dư 3, chia cho 17 dư 9, chia cho 19 dư 13. Hỏi số đó chia cho 1292 dư bao nhiêu. Câu 4. Trong đợt thi đua, lớp 6A có 42 bạn được từ 1 đến 10 điểm trở lên, 39 bạn được 2 điểm 10 trở lên, 14 bạn được từ 3 điểm 10 trở lên,5 bạn được 4 điểm 10, không có ai được trên 4 điểm 10. Tính xem trong đợt thi đua lớp 6A được bao nhiêu điểm 10 ? Câu 5. Cho 25 điểm trong đó không có 3 điểm thẳng hàng. Cứ qua 2 điểm ta vẽ 1 đường thẳng. Hỏi tất cả có bao nhiêu đường thẳng ? Nếu thay 25 điểm bằng n điểm thì số đường thẳng là bao nhiêu ? DeThi.edu.vn
  96. Bộ 35 Đề thi Toán nâng cao Lớp 6 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐÁP ÁN Câu 1. 270.450 270.550 270. 450 550 a)S 3000 2 18 .9 90 2 a a a n b) Ta có nếu 1 n ¥ * b b b n 20062006 1 20062006 1 2005 20062006 2006 A 20062007 1 20062007 2005 1 20062007 2006 2005 2006. 2006 1 20062005 1 B 2006. 20062006 1 20062006 1 Vậy A B Câu 2. a)C 2 22 23 299 2100 2. 1 2 22 23 24 26. 1 2 22 23 24 296. 1 2 22 23 24 31. 2 26 296 M31 b)C 2 22 23 299 2100 2C 22 23 299 2100 2101 C 2C C 2101 2 2101 22x 1 2x 1 101 x 51 Câu 3. Gọi số cần tìm A A 4q1 3 17q2 9 19q3 13 A 25 4 q1 7 17 q2 2 19 q3 2 A 25M4,17,19 A 25 1292k A 1292k 25 1292 k 1 1267 Nên khi chia A cho 1292 ta được dư 1267. Câu 4. Tổng số điểm 10 của lớp 6A là: 42 39 .1 39 14 .2 14 5 .3 5.4 100 (điểm 10) DeThi.edu.vn
  97. Bộ 35 Đề thi Toán nâng cao Lớp 6 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Câu 5. 24.25 n n 1 Có 300đường thẳng. Với n điểm có đường thẳng. 2 2 DeThi.edu.vn
  98. Bộ 35 Đề thi Toán nâng cao Lớp 6 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 26 Bài 1. Tìm x biết: a)x x 1 x 2 x 30 620 b)2 4 6 8 2x 210 Bài 2. a) Chứng tỏ rằng trong 3 số tự nhiên liên tiếp luôn có 1 số chia hết cho 3 b) Chứng minh A 17n 1 17n 2 M3với mọi n ¥ Bài 3. Cho S 1 3 32 33 348 349 a) Chứng tỏ S chia hết cho 4 b) Tìm chữ số tận cùng của S 350 1 c) Chứng tỏ S 2 Bài 4. Tìm 2 số a,b ¥ thỏa mãn: 12a 36b 3211 Bài 5. Cho 2a 7b M3 a,b ¥ . Chứng tỏ 4a 2b M3 Bài 6. Lấy 1 tờ giấy cắt ra thành 6 mảnh. Lấy 1 mảnh bất kỳ cắt ra thành 6 mảnh khác. Cứ thế tiếp tục nhiều lần a) Hỏi sau khi đã cắt một số mảnh nào đó, có thể được tất cả 75 mảnh giấy nhỏ không ? b) Giả sử cuối cùng đếm được 121 mảnh giấy nhỏ. Hỏi đã cắt tất cả bao nhiêu mảnh giấy Bài 7. Cho đoạn thẳng AB 5cm. Hãy xác định vị trí của điểm C trên đoạn thẳng AB sao cho CA CB Bài 8. Vẽ đoạn thẳng AB 5cm.Lấy hai điểm C, D nằm giữa A và B sao cho: AC BD 6cm a) Chứng tỏ điểm C nằm giữa B và D b) Tính độ dài đoạn thẳng CD DeThi.edu.vn
  99. Bộ 35 Đề thi Toán nâng cao Lớp 6 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐÁP ÁN Bài 1. 1 30 .30 a)31x 620 31x 620 31.15 31x 155 x 5 2 2x 2 x b) 210 x 1 x 210 14.15 x 14 2 Bài 2. a) Gọi 3 số tự nhiên liên tiếp là x, x 1, x 2 x ¥ Nếu x 3k(tm), Nếu x 3k 1 x 2 3k 3M3 Nếu x 3k 2 x 1 3k 2 1 3k 3M3 Vậy trong 3 số tự nhiên liên tiếp luôn có 1 số chia hết cho 3 b) Nhận thấy 17n ,17n 1,17n 2là 3 số tự nhiên liên tiếp mà 17n không chia hết cho 3, nên 2 số còn lại có 1 số phải M3 Do đó, A 17n 1 17n 2 M3 Bài 3. a) Ta có: S 1 3 32 33 348 349 4 32. 3 1 348 1 3 4. 1 32 348 M4 b)S 1 3 32 33 34 35 36 37 344 345 346 347 348 349 Các tổng 4 số hạng đều chia hết cho 10, do đó tận cùng bằng 0 Mặt khác: 348 349 34.12 348.3 1 1.3 4 Vậy S có tận cùng bằng 4 c)S 1 3 32 348 349 3S 3 32 33 349 350 350 1 3S S 350 1 S 2 Bài 4. Nhận thấy 12aM4 và 36bM4mà 3211không chia hết cho 4. Vậy không có 2 số tự nhiên nào thỏa mãn. Bài 5. Ta có: 6a 9b M3 2a 7b 4a 2b M3 mà 2a 7b M3 4a 2b M3 Bài 6. DeThi.edu.vn
  100. Bộ 35 Đề thi Toán nâng cao Lớp 6 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn a) Khi ta cắt 1 tờ giấy thành 6 mảnh thì số mảnh giấy tăng thêm 5. Cắt nhiều lần như thế thì tổng số mảnh giấy tăng thêm 5k (k là tờ giấy đem cắt). Ban đầu chỉ có 1 tờ giấy, vậy tổng số các mảnh giấy là 5k 1 Số này chia 5 dư 1: Vậy không thể có được tất cả 75 mảnh giấy nhỏ (vì 75M5 ) b) Ta có: 5k 1 121 k 24. Vậy ta đã cắt được tất cả 24 mảnh giấy Bài 7. A C M B - Gọi M là trung điểm của AB suy ra MA MB và M AB Xét ba trường hợp: a)C  M ta có: MA MB CA CB b) C nằm giữa A và M nên CA MA CA MB (1) M nằm giữa C và B nên MB CB (2) Từ (1) và (2) CA CB c) C nằm giữa M và B CB MB CB MA (3) M nằm giữa A và C nên MA CA(4) Từ (3) và (4) ta có CA CB Tóm lại C MA CA CB Bài 8. A D C B a) C nằm giữa A và B nên: AC CB AB 5cm và AC BD 6 AC CB AC BD CB BD C nằm giữa D và B b) BD BC CD Vì AC BD 6 AC BC CD 6 BC AC CD 6 CD 6 AB 6 5 1. Vậy CD 1cm. DeThi.edu.vn
  101. Bộ 35 Đề thi Toán nâng cao Lớp 6 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 27 Câu 1. (6 điểm) Thực hiện phép tính 136 28 62 21 a) . 15 5 10 24 b) 528: 19,3 15,3 42 128 75 32 7314 5 5 5 1 1 c) 6 . 11 9 :8 6 6 20 4 3 Câu 2. (4 điểm) Cho A 1 2 3 4 5 6 19 20 e) Acó chia hết cho 2, cho 3, cho 5 không ? f) Tìm tất cả các ước của A Câu 3. (4 điểm) e) Chứng minh rằng: Hai số lẻ liên tiếp bao giờ cũng nguyên tố cùng nhau f) Tìm x biết: 1 5 9 13 17 x 501501 Câu 4. (6 điểm) Cho tam giác ABC có BC 5cm.Trên tia đối của tia CB lấy điểm M sao cho CM 3cm g) Tính độ dài BM h) Cho biết B· AM 800 ,B· AC 600.Tính C· AM i) Lấy K thuộc đoạn thẳng BM sao cho CK 1cm.Tính độ dài BK DeThi.edu.vn
  102. Bộ 35 Đề thi Toán nâng cao Lớp 6 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐÁP ÁN Câu 1. 272 168 186 21 29 7 203 a) . . 30 30 30 24 3 8 24 b) 528: 4 42.171 7314 132 7182 7314 0 5 41 1 1 25 5 41 3 c) . 11 9 : .2. 6 6 4 4 3 6 6 25 5 41 371 6 25 150 Câu 2. A 1 2 3 4 5 6 19 20 1 1 1 1 10. 1 10 e) Vậy AM2, AM5 , A không chia hết cho 3 f) Các ước của A: 1, 2, 5, 10 Câu 3. e) Hai số lẻ liên tiếp có dạng 2n 1và 2n 3 n ¥ Gọi d là ước số chung của chúng. Ta có 2n 1Md,2n 3Md Nên 2n 3 2n 1 Md 2Md nhưng d không thể bằng 2 vì d là ước chung 2 số lẻ, vậy d 1tức là hai số lẻ liên tiếp bao giờ cũng nguyên tố cùng nhau f) Ta có: 5 2 3;9 4 5;13 6 7;17 8 9 Do vậy x a a 1 a ¥ Nên: 1 5 9 13 16 x 1 2 3 4 5 6 7 a (a 1) 501501 Hay a 1 a 1 1 : 2 501501 a 1 a 2 1003002 1001.1002 a 1000 x 1000 1000 1 2001 Câu 4. DeThi.edu.vn
  103. Bộ 35 Đề thi Toán nâng cao Lớp 6 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn A B M K2 C K1 g) Hai điểm M và B thuộc hai tia đối nhau CM và CB nên diểm C nằm giữa hai điểm B và M Do đó: BM BC CM 5 3 8(cm) h) Do C nằm giữa hai điểm B và M nên tia AC nằm giữa hai tia AB, AM . Do đó C· AM B· AM B· AC 800 600 200 i) Nếu K thuộc tia CM thì C nằm giữa B và K (ứng với điểm K1 trong hình vẽ) Khi đó BK BC CK 5 1 6cm Nếu K thuộc tia CB thì K nằm giữa B và C (ứng với điểm K2 trong hình vẽ) Khi đó BK BC CK 5 1 4(cm) DeThi.edu.vn
  104. Bộ 35 Đề thi Toán nâng cao Lớp 6 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 28 Câu 1.Tính giá trị của các biểu thức sau: a)24.5 131 13 4 2 3 28.43 28.5 28.21 b) 5 5.56 5.24 5.63 Câu 2. Tìm các số nguyên x biết: 3 5 24 5 a) x . 3 35 6 b) 7x 11 3 3 2 .15 208 c) 2x 7 20 5. 3 Câu 3. g) Một số tự nhiên khi chia cho 7 dư 5, chia cho 13 dư 4. Nếu đem số đó chia cho 91 thì dư bao nhiêu ? h) Học sinh khối 6 khi xếp hàn; nếu xếp hàng 10, hàng 12, hàng 15 đều dư 3 học sinh. Nhưng khi xếp hàng 11 thì vừa đủ. Biết số học sinh khối 6 chưa đến 400 học sinh. Tính số học sinh khối 6 Câu 4. Cho góc bẹt xOy.Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ xy, vẽ các tia Oz,Ot sao cho x· Oz 700 , ·yOt 550 j) Chứng tỏ Oz nằm giữa hai tia Ox,Ot k) Chứng tỏ tia Ot là tia phân giác của ·yOz l) Vẽ tia phân giác Oncủa x· Oz.Tính n· Ot DeThi.edu.vn
  105. Bộ 35 Đề thi Toán nâng cao Lớp 6 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐÁP ÁN Câu 1. a) 16.5 (131 92 ) 80 50 30 3 28 43 5 1 3 28 129 35 56 b) . . 5 5 56 24 3 5 5 168 168 168 3 28 108 3 18 . 3 5 5 168 5 5 Câu 2. 125 4 a) x x 3; 2; 1;0 27 7 b) 7x 11 3 3 2 .15 208 9.15 208 343 73 18 7x 11 7 x (ktm) 7 c) 2x 7 20 5( 3) 2x 7 5 2x 7 5 2x 12 x 6 2x 7 5 2x 2 x 1 Câu 3. g) Gọi số đó là a, Vì a chia cho 7 dư 5, chia cho 13 dư 4 a 9M7,a 9M13và 7,13 1 a 9M7.13 a 9 91k a 91k 9 91k 91 82 91 k 1 82 k ¥ Vậy a chia cho 91 dư 82 h) Gọi số học sinh khối 6 là a 3 a 400 Vì xếp hàng 10,12,15đều dư 3 a 3 M10;12;15 a 3 BC 10;12;15 ta có BCNN(10;12;15) 60 a 3 60;120;180;240;300;360;420;  a 63;123;183;243;303;363;423; ,aM11,a 400 a 363 Vậy số học sinh khối 6 là 363 em Câu 4. DeThi.edu.vn
  106. Bộ 35 Đề thi Toán nâng cao Lớp 6 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn z t n x y O j) Vì x· Oy là góc bẹt trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ xy có x· Ot và t¶Oy là hai góc kề bù. x· Ot t¶Oy 1800 x· Ot 1800 550 1250 Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ chứa tia Ox có: x· Oz x· Ot(700 1250 ) Oz nằm giữa hai tia Ox,Ot k) Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ xy, ta có x· Oz và z·Oy là hai góc kề bù x· Oz z·Oy 1800 hay 700 z·Oy 1800 z·Oy 1100 Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ chứa tia Oy có: ·yOt ·yOz 550 1100 TiaOt nằm giữa hai tia Oy, Oz (1) nên ta có: ·yOt t¶Oz ·yOz hay 550 t¶Oz 1100 t¶Oz 550 ·yOt t¶Oz(2) Từ (1) và (2) suy ra Ot là tia phân giác của ·yOz l) Vì x· Oy là góc bẹt nên suy ra Ox,Oy là hai tia đối nhau 2tiaOx,Oy nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ chứa tia Oz (1) x· Oz Vì On là tia phân giác x· Oz nên n· Oz 350 và hai tia On, Ox cùng nằm 2 trên mặt phẳng có bờ chứa tia Oz (2) Ta lại có tia Ot là tia phân giác ·yOz (theo câu b) Hai tia Ot, Oy cùng nằm trên mộ nửa mặt phẳng có bờ chứa tia Oz (3) DeThi.edu.vn
  107. Bộ 35 Đề thi Toán nâng cao Lớp 6 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Từ 1 , 2 , 3 suy ra On và Ot nằm trên hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ chứa tia Oz Oz nằm giữa 2 tia On,Ot nên ta có: n· Oz z· Ot n· Ot hay n· Ot 350 550 900.Vậy n· Ot 900 DeThi.edu.vn
  108. Bộ 35 Đề thi Toán nâng cao Lớp 6 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 29 Câu 1. Thực hiện tính 3 21 21 3 54 18 . 17 13 : 67 56 45 5.22 44.65 65.72 293 :100 293 : 0,47 Câu 2. Tìm 2 số tự nhiên thỏa mãn: *)BCNN UCLN 174 *) Tổng của số nhỏ và trung bình cộng 2 số là 57 Câu 3. Cho 5 điểm A,B,C,D,E trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng - Có bao nhiêu đoạn thẳng mà mỗi đoạn thẳng nối 2 trong 5 điểm đã cho. Kể tên các đoạn thẳng ấy - Có thể dựng được một đường thẳng không đi qua điểm nào trong 5 điểm đã cho mà cắt đúng 5 đoạn thẳng trong các đoạn thẳng nói trên không ? Vì sao? Câu 4. Lúc 8 giờ, một người đi xe đap từ A đến B với vận tốc 12km / h . Lát sau người thứ hai cũng đi từ A đến B với vận tốc 20km / h.Tính ra hai người sẽ gặp nhau tại B. Người thứ 2 đi được nửa quãng đường AB thì tăng vận tốc lên 24km/h. Vì vậy 2 người gặp nhau cách B 4km. Hỏi 2 người gặp nhau lúc mấy giờ ? DeThi.edu.vn
  109. Bộ 35 Đề thi Toán nâng cao Lớp 6 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐÁP ÁN 7 Bài 1. 36 Bài 2. a,b a,b 174;3a b 114 bM3;a,bM3và 174M3 a,b M3 aM3 Mà 3a b 114 3a 114 a 38 a 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 b 105 96 87 78 69 60 51 42 33 24 15 6 a,b 3 6 3 6 3 6 3 6 3 6 3 6 a,b 105 96 261 156 345 180 357 168 297 120 165 36 Tổng 108 112 264 162 348 186 360 174 300 126 168 42 Bài 4 Hiệu vận tốc trên nửa quãng dường đầu: 20 12 8(km / h) Hiệu vận tốc trên nửa quãng đường sau: 24 12 12(km / h) 2 Hiệu vận tốc của nửa quãng đường đầu theo dự định bằng hiệu vận tốc trên 3 nửa quãng đường sau. Chỉ xét nửa quãng đường sau, thời gian xe II đuổi kịp xe 2 I trên thực tế bằng thời gian xe II đuổi kịp xe I theo dự định 3 1 Thời gian hai xe đuổi kịp nhau sớm hơn: 4:12 h 20' 3 Thời gian hai xe đuổi kịp nhau theo dự định: 20 ph.3 60 ph 1h Thời gian xe II cần để đuổi kịp xe I trên cả quãng đường: 1.2 2h 4 Thời gian xe I đi trước là: 16:12 h 1h20' 3 Thời gian 2 xe gặp nhau theo dự định: 8h 1h20' 2h 11h20' Do 2 xe trên thực tế gặp nhau sớm hơn dự định 20 phút Hai xe gặp nhau lúc : 11h20' 20' 11h DeThi.edu.vn
  110. Bộ 35 Đề thi Toán nâng cao Lớp 6 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 30 Bài 1. 1) Rút gọn các biểu thức sau: M 3 32 33 34 32015 32016 1 1 1 1 3 2) Chứng tỏ rằng: 22 32 992 1002 4 Bài 2. Tìm số tự nhiên x biết: a)1 3 5 7 2x 1 225 x x 1 x 2 18 b)2 .2 .2 10000   0:5 18chu so0 Bài 3. a) Cho 3a 2bM17 a,b ¥ .Chứng minh : 10a bM17 b) Tìm số x, y nguyên biết xy x y 4 Bài 4. Cho 20 điểm phân biệt trong đó có a điểm thẳng hàng cứ qua 2 điểm ta vẽ được 1 đường thẳng. Tìm a, biết số đường thẳng tạo thành là 170 đường thẳng. Bài 5. Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất sao cho: a chia cho 2 dư 1, a chia cho 3 dư 1, a chia cho 5 dư 4, a chia cho 7 dư 3 DeThi.edu.vn
  111. Bộ 35 Đề thi Toán nâng cao Lớp 6 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐÁP ÁN Bài 1. 1.1)M 3 32 33 34 32015 32016 3M 32 33 34 32016 32017 3 32017 3M M 3 32017 M 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1.2) 22 32 992 1002 4 2.3 3.4 98.99 99.100 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 3 4 2 3 3 4 99 100 4 2 100 4 100 4 1 1 1 1 3 22 32 992 1002 4 Bài 2. a) Với mọi x ¥ ta có 2x 1là số lẻ Đặt A 1 3 5 7 2x 1 Suy ra A là tổng của các số lẻ liên tiếp từ 1 đến 2x 1 2 A 2x 1 1 .x : 2 x (xla sosohang) A x2 225 x 15 x x 1 x 2 18 b)2 .2 .2 1000  0:5 18chu so0 23x 3 1018 :518 218 3x 3 18 x 5 Bài 3. a)3a 2bM17 10 3a 2b M17 30 20b M17 3 10a b 17b M17 Vì 17bM17 3 10a b M17 10a bM17 b)xy x y 4 x y 1 y 1 3 x(y 1) y 1 3 y 1 x 1 3 1.3 3.1 1 .( 3) ( 3).( 1) Sau khi thử các trường hợp ta có x; y 2;2 ; 0; 4 ; 4;0 ; 2; 2  Bài 4. DeThi.edu.vn
  112. Bộ 35 Đề thi Toán nâng cao Lớp 6 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn Giả sử trong 20 điểm không có 3 điểm nào thẳng hàng Gọi 20 điểm đó là A1, A2 , , A20 Vì cứ qua 2 điểm ta vẽ được 1 đường thẳng nên Qua điểm A1 và từng điểm trong 19 điểm còn lại ta vẽ được 19 đường thẳng. Qua điểm A2 và từng điểm tron 18 điểm còn lại ta vẽ được 18 đường thẳng. Qua điểm A19 & A20 ta vẽ được 1 đường thẳng. Do đó số đường thẳng tạo thành là: 1 2 3 19 20 190 (đường thẳng) Với a điểm thẳng hàng thì ta chỉ vẽ được 1 đường thẳng. Vậy trong 20 điểm mà có a điểm thẳng hàng thì số đường thẳng giảm đi là: a 1 a : 2 1 190 170 Giải ra ta được a 1 a 42 6.7 a 7 Bài 5. Gọi số phải tìm là a a 2k 1;a 3q 1;a 5m 4;a 7r 3 k,l,m,q ¥ a 11M2; a 11M3; a 11M5; a 11M7 a 11 BC 2;3;5;7 Mà a là số tự nhiên nhỏ nhất a 11 BCNN(2;3;5;7) 210 a 199 DeThi.edu.vn
  113. Bộ 35 Đề thi Toán nâng cao Lớp 6 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 31 Câu 1. Tính: 101 100 99 3 2 1 423134.846267 423133 a)A b)B 101 100 99 98 3 2 1 423133.846267 423134 Câu 2. a) Chứng minh rằng 1028 8chia hết cho 72 b) Cho A 1 2 22 23 22001 22002 B 22003 So sánh A và B c) Tìm số nguyên tố p để p 6; p 8; p 12; p 14 đều là các số nguyên tố Câu 3. Người ta chia số học sinh lớp 6A thành các tổ, nếu mỗi tổ 9 em thì thừa 1 em, còn nếu mỗi tổ 10 em thì thiếu 3 em. Hỏi có bao nhiêu tổ, bao nhiêu học sinh ? Câu 4. Cho tam giác ABC có BC 5,5cm.Điểm M thuộc tia đối của tia CB sao cho CM 3cm a) Tính độ dài BM b) Biết B· AM 800 ,B· AC 600.Tính C· AM c) Tính độ dài BK thuộc đoạn BM biết CK 1cm 1 1 1 1 Câu 5. Chứng minh rằng: 1 22 32 42 1002 DeThi.edu.vn
  114. Bộ 35 Đề thi Toán nâng cao Lớp 6 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐÁP ÁN Câu 1. 101.51 a)A 101 51 423133.846267 846267 423133 b)B 1 423133.846267 423134 Câu 2. a) Vì 1028 8có tổng các chữ số chia hết cho 9 nên chia hết cho 9 Lại có 1028 8có 3 chữ số tận cùng chia hết cho 8 nên chia hết cho 8 Vậy 1028 8M72 2A 2 22 23 22002 22003 2A A 22003 1 b) A B 1 A B c) Xét phép chia của p cho 5 ta thấy p có 1 trong 5 dạng sau Nếu p 5k, p nguyên tố nên p 5 p 5k 1 p 14 5 k 3 M5(ktm) p 5k 2 p 8 5 k 2 M5(ktm) p 5k 3 p 12 5 k 3 M5(ktm) p 5k 4 p 6 5 k 2 M5(ktm) Vậy p 5 thỏa mãn Câu 3. Giả sử có thêm 4 học sinh nữa thì khi chia cho mỗi tổ 10 em thì cũng còn thừa 1 em như khi chia mỗi tổ 9 em. Vậy cách chia sau hơn cách chia trước 4 học sinh. Mỗi tổ 10 học sinh hơn mỗi tổ 9 học sinh: 10 9 1(học sinh) Do đó số tổ là: 4:1 4(tổ) Số học sinh là: 4.10 3 37 (học sinh) Câu 4. a) C nằm giữa B và M BC CM BM BM 3 5,5 8,5 b) C nằm giữa B và M nên AC là tia nằm giữa 2 tia AB, AM B· AC C· AM B· AM C· AM B· AM B· AC 800 600 200 c) Xét 2 trường hợp: DeThi.edu.vn
  115. Bộ 35 Đề thi Toán nâng cao Lớp 6 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn +Nếu K nằm giữa C và M ta tính được: BK BC CK 5,5 1 6,5(cm) +Nếu K nằm giữa C và B BK 4,5cm Câu 5. 1 1 1 1 1 1 1 22 32 42 1002 1.2 2.3 99.100 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 3 99 100 100 1 1 1 1 1 22 32 42 1002 DeThi.edu.vn
  116. Bộ 35 Đề thi Toán nâng cao Lớp 6 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐỀ SỐ 32 Bài 1 (3,0 điểm) Cho tổng A = 1 + 32 + 34 + 36 + + 32008 Tính giá trị biểu thức: B = 8A - 32010 Bài 2 (4,0 điểm) Cho A = 1.4.7.10 58 + 3.12.21.30 174 a. Tìm chữ số tận cùng của A. b. Chứng tỏ rằng A chia hết cho 377. Bài 3 (4,0 điểm) Tìm số tự nhiên x biết: a. x + (x + 1) + (x + 2) + + (x + 99) = 5450. b. 3.(5x - 1) - 2 = 70. c. 2x + 2x + 1 + 2x + 2 = 960 - 2x + 3 Bài 4 (4,0 điểm) a. Tìm số tự nhiên có hai chữ số khác nhau. Biết rằng: hai chữ số của số đó đều là số nguyên tố. Tích của số đó với các chữ số của nó là số có 3 chữ số giống nhau được tạo thành từ chữ số hàng đơn vị của số đó. b. Cho p là số nguyên tố (p > 3) và 2p + 1 cũng là số nguyên tố. Hỏi 4p + 1 là số nguyên tố hay hợp số? Vì sao? Bài 5 (5,0 điểm) Cho n đường thẳng trong đó bất cứ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau, không có ba đường thẳng nào cùng đi qua một điểm. a. Biết rằng số giao điểm của các đường thẳng đó là 1128. Tính n. b. Số giao điểm của các đường thẳng đó có thể là 2017 được không? Vì sao? Hết DeThi.edu.vn
  117. Bộ 35 Đề thi Toán nâng cao Lớp 6 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn ĐÁP ÁN Bài 1 Hướng dẫn giải Điểm (3,0điểm) A = 1 + 32 + 34 + 36 + + 32008 9A = 32 + 34 + 36 + 38 + + 32010 1,0 Tính được 8A = 32010 - 1 1,0 B = 8A - 32010 = 32010 - 1 - 32010 = -1 1,0 Bài 2 (4,0điểm) a, Tìm chữ số tận cùng của A (2,0 điểm) - Tìm được chữ số tận cùng của tích B = 1.4.7.10 58 là 0 0,75 - Tìm được chữ số tận cùng của tích C = 3.12.21.30 174 là 0 0,75 - Tìm được và kết luận chữ số tận cùng của A là 0 0,5 b, Chứng tỏ rằng A chia hết cho 377 (2,0 điểm) - Nhận xét 377 = 13.29 0,5 - Tìm được quy luật của các thừa số trong tích B là các số tự nhiên chia 3 dư 1, nên B chứa thừa số 13. Do đó B = 1.4.7.10.13 58 0,5 B = 1.4.7.10.13 29.2 Suy ra B chia hết cho 377 - Tìm được quy luật của các thừa số trong tích C là các số tự nhiên chia 9 dư 3, nên C chứa thừa số 39. Do đó C = 3.12.21.30.39 174 0,5 C = 3.12.21.30.(3.13) (6.29) Suy ra C chia hết cho 377 - Kết luận A chia hết cho 377 0,5 Bài 3 (4,0điểm) a, x + (x + 1) + (x + 2) + + (x + 99) = 5450. (1,5 điểm) 100x + (1 + 2+ 3+ + 99) = 5450 0,5 Lí luận tính tổng: 1 + 2+ 3+ + 99 = 4950 0,5 khi đó 100x + 4950 = 5450 100x = 500 0,25 x = 5 0,25 b, 3.(5x - 1) - 2 = 70. (1,5 điểm) 3.(5x - 1) = 70 + 2 3.(5x - 1) = 72 0,5 5x - 1 = 72 : 3 0,5 5x - 1 = 24 DeThi.edu.vn
  118. Bộ 35 Đề thi Toán nâng cao Lớp 6 (Có đáp án) - DeThi.edu.vn 5x = 25 5x = 52 0,5 x = 2 c, 2x + 2x + 1 + 2x + 2 = 960 - 2x + 3 (1,0 điểm) 2x (1 + 2 + 22 + 23) = 960 2x .15 = 960 0,5 2x = 960: 15 2x = 64 2x = 26 0,5 x = 6 Bài 4 (4,0điểm) a, Tìm số tự nhiên có hai chữ số khác nhau (2,0 điểm) - Gọi số cần tìm là ab , (điều kiện của a, b ) 0,25 - Theo đề bài ta có ab .a.b = bbb Suy ra ab .a.b = 111.b 0,75 Hay ab .a = 111 Mà 111 = 3.37 Trong đó: 3 là số nguyên tố; 7 là số nguyên tố; 3 7 thỏa mãn đề bài 0,75 nên ab = 37 Kết luận số cần tìm là 37 0,25 b, Cho p là số nguyên tố (p > 3) và 2p + 1 cũng là số nguyên tố. Hỏi 4p (2,0 điểm) + 1 là số nguyên tố hay hợp số? Vì sao? Vì p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p có dạng 3k + 1 hoặc 3k + 2 (với 0,5 k N, k 1) Nếu p = 3k +1 thì 2p + 1 = 2(3k + 1) + 1 = 3(2k + 1) 0,75 và lí luận chỉ ra 2p + 1 là hợp số, trái với đề bài Do đó p = 3k + 2 khi đó 4p + 1 = 4(3k + 2) + 1 = 3(4k + 3) 0,75 và lí luận chỉ ra 4p + 1 là hợp số Kl Bài 5 (5,0điểm) a, Với n đường thẳng trong đó bất cứ hai đường thẳng nào cũng cắt (3,0 điểm) nhau, không có ba đường thẳng nào cùng đi qua một điểm. Số giao điểm được xác định như sau: Chọn một đường thẳng, đường thẳng này cắt n - 1 đường thẳng còn lại tạo ra n - 1 giao điểm, làm như vậy với n đường thẳng ta được n.(n - 1) giao điểm. Nhưng mỗi giao điểm 1,5 đã được tính 2 lần, nên số giao điểm là n.(n - 1):2 giao điểm - Khi số giao điểm là 1128 ta có: n(n - 1):2= 1128 1,0 DeThi.edu.vn