Các dạng Toán Lớp 10 thường gặp - Các hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác

Nội dung text: Các dạng Toán Lớp 10 thường gặp - Các hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác

1. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP TOÁN 10 CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀ GIẢI TAM GIÁC 0H2-3 MỤC LỤC PHẦN A. CÂU HỎI 1 DẠNG 1. ĐỊNH LÝ COSIN, ÁP DỤNG ĐỊNH LÝ COSIN ĐỂ GIẢI TAM GIÁC 1 DẠNG 2. ĐỊNH LÝ SIN, ÁP DỤNG ĐỊNH LÝ SIN ĐỂ GIẢI TAM GIÁC 3 DẠNG 3. DIỆN TÍCH TAM GIÁC, BÁN KÍNH ĐƯỜNG TRÒN 4 DẠNG 4. ỨNG DỤNG THỰC TẾ 6 PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO 6 DẠNG 1. ĐỊNH LÝ COSIN, ÁP DỤNG ĐỊNH LÝ COSIN ĐỂ GIẢI TAM GIÁC 6 DẠNG 2. ĐỊNH LÝ SIN, ÁP DỤNG ĐỊNH LÝ SIN ĐỂ GIẢI TAM GIÁC 10 DẠNG 3. DIỆN TÍCH TAM GIÁC, BÁN KÍNH ĐƯỜNG TRÒN 11 DẠNG 4. ỨNG DỤNG THỰC TẾ 16 PHẦN A. CÂU HỎI DẠNG 1. ĐỊNH LÝ COSIN, ÁP DỤNG ĐỊNH LÝ COSIN ĐỂ GIẢI TAM GIÁC Câu 1. Cho tam giác AB , Cmệnh đề nào sau đây đúng? A. .a 2 b2 c2 2bc cos B.A . a2 b2 c2 2bc cos A C. .a 2 b2 c2 2bc cosD.C . a2 b2 c2 2bc cos B Câu 2. Cho tam giác ABC , có độ dài ba cạnh là BC a, AC b, AB c . Gọi ma là độ dài đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A , R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác và S là diện tích tam giác đó. Mệnh đề nào sau đây sai? b2 c2 a2 A. .m 2 B. . a2 b2 c2 2bc cos A a 2 4 abc a b c C. .S D. . 2R 4R sin A sin B sin C Câu 3. Cho tam giác ABC có a 8,b 10 , góc C bằng 600 . Độ dài cạnh c là? A. .c 3 21 B. . c C.7 . 2 D. . c 2 11 c 2 21 Câu 4. Cho ABC có b 6,c 8, µA 600 . Độ dài cạnh a là: A. 2 13. B. 3 12. C. 2 37. D. 20. Câu 5. Cho ABC có B 600 ,a 8,c 5. Độ dài cạnh b bằng: A. 7. B. 129. C. 49. D. 129 . Câu 6. Cho ABC có AB 9 ;BC 8 ;Bµ 600 . Tính độ dài AC . A. . 73 B. . 217 C. . 8 D. . 113 Câu 7. Cho tam giác AB cóC AB 2, AC và1 A 6 0Tính0. độ dài cạnh BC. A. BC 2. B. BC 1. C. BC 3. D. BC 2. 1
2. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Câu 8. Tam giác ABC có a 8,c 3, Bµ 600. Độ dài cạnh b bằng bao nhiêu? A. 49. B. 97 C. 7. D. 61. Câu 9. (LẦN 01_VĨNH YÊN_VĨNH PHÚC_2019) Tam giác ABC có Cµ 1500 , BC 3, AC 2. Tính cạnh AB ? A. . 13 B. 3. C. . 10 D. . 1 4 Câu 10. Cho a;b; clà độ dài 3cạnh của tam giác ABC . Biết b ;7 c ;5 cos A . Tính độ dài của .a 5 7 2 23 A. .3 2 B. . C. . D. . 6 2 8 Câu 11. Cho x· Oy 30.Gọi A, Blà 2 điểm di động lần lượt trên Ox,O saoy cho AB . Độ2 dài lớn nhất của OB bằng bao nhiêu? A. 4. B. 3. C. 6. D. 2. Câu 12. Cho a;b; clà độ dài cạnh3 của một tam giác. Mệnh đề nào sau đây không đúng? A. .a 2 ab B.ac . C. . D. . a2 c2 b2 2ac b2 c2 a2 2bc ab bc b2 Câu 13. Cho tam giác ABC có AB cm,4 BC 7cm, AC cm.9 Tính cos .A 2 1 1 2 A. .c os A B. . C.c o. s A D. . cos A cos A 3 2 3 3 Câu 14. Cho tam giác ABC có a2 b2 c2 0 . Khi đó: A. Góc C 900 B. Góc C 900 C. Góc C 900 D. Không thể kết luận được gì về góc C. Câu 15. Cho tam giác ABC thoả mãn: b2 c2 a2 3bc . Khi đó: A. A 300. B. A 450. C. A 600. D. A 750 . Câu 16. Cho các điểm A(1;1), B(2;4),C(10; 2). Góc B· AC bằng bao nhiêu? A. 900 . B. 600. C. 450. D. 300. Câu 17. Cho tam giác ABC , biết a 24,b 13,c 15. Tính góc A ? A. 33034'. B. 117049'. C. 28037'. D. 58024'. Câu 18. Cho tam giác ABC , biết a 13,b 14,c 15. Tính góc B ? A. 59049'. B. 5307'. C. 59029'. D. 62022'. Câu 19. (TH&TT LẦN 1 – THÁNG 12) Cho tam giác ABC biết độ dài ba cạnh BC, CA, AB lần lượt là a, b, c và thỏa mãn hệ thức b b2 a2 c c2 a2 với b c . Khi đó, góc B· AC bằng A. .4 5 B. . 60 C. . 90 D. . 120 Câu 20. (KSCL lần 1 lớp 11 Yên Lạc-Vĩnh Phúc-1819) Tam giác AB Ccó AB c, BC a, CA . b Các cạnh a, b, c liên hệ với nhau bởi đẳng thức b b2 a2 c a2 c2 . Khi đó góc B· AC bằng bao nhiêu độ. A. .3 0 B. . 60 C. . 90 D. . 45 Câu 21. (THPT KINH MÔN - HD - LẦN 2 - 2018) Cho tam giác AB Cvuông cân tại Avà M là điểm 2
3. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP nằm trong tam giác ABC sao cho MA: MB : MC 1: 2 :3 khi đó góc AMB bằng bao nhiêu? A. .1 35 B. . 90 C. . 150 D. . 120 Câu 22. Cho tam giác ABC , chọn công thức đúng trong các đáp án sau: b2 c2 a2 a2 c2 b2 A. m2 . B. m2 . a 2 4 a 2 4 a2 b2 c2 2c2 2b2 a2 C. m2 . D. m2 . a 2 4 a 4 Câu 23. Tam giác ABC có AB 9cm, BC 1 cm,5 AC 1 cm.2 Khi đó đường trung tuyến AM của tam giác có độ dài là A. .1 0 cm B. . 9 cm C. . D.7, 5. cm 8 cm Câu 24. Cho tam giác ABC có AB 3, BC 5 và độ dài đường trung tuyến BM 13 . Tính độ dài AC . 9 A. 11 . B. 4 . C. . D. . 10 2 Câu 25. Cho ABC vuông ở A, biết Cµ 30, AB 3. Tính độ dài trung tuyến AM ? 5 7 A. 3 B. 4 C. D. 2 2 Câu 26. Tam giác ABC có a 6,b 4 2,c 2. M là điểm trên cạnh BC sao cho BM 3 . Độ dài đoạn AM bằng bao nhiêu? 1 A. 9 . B. 9. C. 3. D. 108. 2 2 2 2 Câu 27. Gọi S ma mb mc là tổng bình phương độ dài ba trung tuyến của tam giác ABC . Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng? 3 A. .S B. . (a2 b2 c2 ) S a2 b2 c2 4 3 C. .S D. .(a2 b2 c2 ) S 3(a2 b2 c2 ) 2 Câu 28. Cho ABC có AB ;2 AC ;3 Aµ 60 . 0Tính độ dài đường phân giác trong góc Acủa tam giác ABC . 12 6 2 6 3 6 A. . B. . C. . D. . 5 5 5 5 DẠNG 2. ĐỊNH LÝ SIN, ÁP DỤNG ĐỊNH LÝ SIN ĐỂ GIẢI TAM GIÁC Câu 29. Cho tam giác ABC . Tìm công thức sai: a a csin A A. 2R. B. sin A . C. bsin B 2R. D. sin C . sin A 2R a Câu 30. Cho ABC với các cạnh AB c, AC b, BC . aGọi R,r ,lầnS lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp và diện tích của tam giác ABC . Trong các phát biểu sau, phát biểu nào sai? abc a A. .S B. . R 4R sin A 1 C. .S aD.bs i.n C a2 b2 c2 2abcosC 2 3
4. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Câu 31. Cho tam giác ABC có góc B· AC 60 và cạnh BC 3 . Tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . A. .R 4 B. . R 1 C. . RD. 2 . R 3 Câu 32. Trong mặt phẳng, cho tam giác ABC có AC 4 cm , góc µA 60 , Bµ 45 . Độ dài cạnh BC là A. .2 6 B. . 2 2 3C. . D.2 . 3 2 6 Câu 33. Cho ABC có AB 5 ;Aµ 40 ;Bµ 60 . Độ dài BC gần nhất với kết quả nào? A. .3 ,7 B. . 3,3 C. . 3,5 D. . 3,1 Câu 34. Cho tam giác ABC thoả mãn hệ thức b c 2a . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng? A. cos B cosC 2cos A. B. sin B sin C 2sin A. 1 C. .s in B sin C sin A D. sin B cosC 2sin A. 2 Câu 35. Tam giác ABC có a 16,8 ; Bµ 56013' ; Cµ 710 . Cạnh c bằng bao nhiêu? A. 29,9. B. 14,1. C. 17,5. D. 19,9. Câu 36. Tam giác ABC có µA 68012' , Bµ 34044' , AB 117. Tính AC ? A. 68. B. 168. C. 118. D. 200. DẠNG 3. DIỆN TÍCH TAM GIÁC, BÁN KÍNH ĐƯỜNG TRÒN Câu 37. Chọn công thức đúng trong các đáp án sau: 1 1 1 1 A. S bcsin A. B. S acsin A. C. S bcsin B. D. S bcsin B. 2 2 2 2 Câu 38. Cho hình thoi ABCD có cạnh bằng .a Góc B· AD 30 . Diện tích hình thoi ABCD là a2 a2 a2 3 A. . B. . C. . D. . a2 4 2 2 Câu 39. Tính diện tích tam giác ABC biết AB 3, BC 5, CA 6 . A. 56 . B. . 48 C. . 6 D. . 8 Câu 40. Cho ABC có a 6,b 8,c 10. Diện tích S của tam giác trên là: A. 48. B. 24. C. 12. D. 30. Câu 41. Cho ABC có a 4,c 5, B 1500.Diện tích của tam giác là: A. 5 3. B. 5. C. 10. D. 10 3. Câu 42. Một tam giác có ba cạnh là 13,14,15 . Diện tích tam giác bằng bao nhiêu? A. 84. B. 84 . C. 42. D. 168. Câu 43. Cho các điểm A(1; 2), B( 2;3),C(0;4). Diện tích ABC bằng bao nhiêu? 13 13 A. . B. 13. C. 26. D. . 2 4 4
5. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Câu 44. Cho tam giác ABC có A(1; 1), B(3; 3),C(6;0). Diện tích ABC là A. 12. B. 6. C. 6 2. D. 9. Câu 45. Cho tam giác ABC có a 4,b 6,c 8 . Khi đó diện tích của tam giác là: 2 A. 9 15. B. 3 15. C. 105. D. 15. 3 Câu 46. Cho tam giác ABC . Biết AB 2 ; BC 3 và ·ABC 60 . Tính chu vi và diện tích tam giác ABC . 3 3 3 A. 5 7 và . B. 5 7 và . 2 2 3 3 3 C. 5 7 và . D. 5 19 và . 2 2 Câu 47. Tam giácABC có các trung tuyến ma 1 ,5 mb 1 ,2 mc .Diện9 tích S của tam giácABC bằng A. .7 2 B. . 144 C. . 54 D. . 108 3 Câu 48. Cho tam giác ABC có b 7;c 5;cos A . Độ dài đường cao h của tam giác ABC là. 5 a 7 2 A. . B. . 8 C. 8 3 D. 80 3 2 Câu 49. Cho tam giác ABC có AB 2a; AC 4 avà B· AC 120 . Tính diện tích tam giác ABC ? A. .S 8a2 B. . SC. .2 a2 3 D. . S a2 3 S 4a2 Câu 50. Cho tam giác ABC đều cạnh .a Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC bằng a 3 a 3 a 3 a 2 A. . B. . C. . D. . 2 3 4 2 Câu 51. Cho tam giác ABC có chu vi bằng 12 và bán kính đường tròn nội tiếp bằng 1. Diện tích của tam giác ABC bằng A. .1 2 B. . 3 C. . 6 D. . 24 Câu 52. (THI HK1 LỚP 11 THPT VIỆT TRÌ 2018 - 2019) Cho tam giác ABC đều cạnh 2 .a Tính bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . 2a 4a 8a 6a A. . B. . C. . D. . 3 3 3 3 Câu 53. Cho tam giác ABC có BC ,6 AC 2và AB 3 . 1Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC bằng: A. . 5 B. . 3 C. . 2 D. . 2 Câu 54. Cho tam giác ABC có AB 3 , AC 4 , BC 5 . Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác bằng 8 4 3 A. .1 B. . C. . D. . 9 5 4 Câu 55. Cho ABC có S 84,a 13,b 14,c 15. Độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp R của tam giác trên là: A. 8,125. B. 130. C. 8. D. 8,5. Câu 56. Cho ABC có S 10 3 , nửa chu vip 10 . Độ dài bán kính đường tròn nội tiếp rcủa tam giác trên là: A. 3. B. 2. C. 2. D. 3. Câu 57. Một tam giác có ba cạnh là 26,28,30. Bán kính đường tròn nội tiếp là: A. 16. B. 8. C. 4. D. 4 2. 5
6. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Câu 58. Một tam giác có ba cạnh là 52,56,60. Bán kính đường tròn ngoại tiếp là: 65 65 A. . B. 40. C. 32,5. D. . 8 4 Câu 59. Tam giác với ba cạnh là 5;12;13 có bán kính đường tròn ngoại tiếp là? 13 11 A. 6. B. 8. C. . D. . 2 2 Câu 60. Tam giác với ba cạnh là 5;12;13 có bán kính đường tròn nội tiếp tam giác đó bằng bao nhiêu? A. 2. B. 2 2. C. 2 3. D. 3. Câu 61. Tam giác với ba cạnh là 6;8;10 có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng bao nhiêu? A. 5. B. 4 2. C. 5 2. D. 6 . Câu 62. Cho hình chữ nhật ABC Dcó cạnh AB 4, BC , 6 M là trung điểm của BC, làN điểm trên cạnh CD sao cho ND 3NC . Khi đó bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN bằng 3 5 5 2 A. .3 5 B. . C. . 5 2 D. . 2   2 Câu 63. Cho tam giác đều ABC ;gọi D là điểm thỏa mãn DC 2BD . Gọi R và r lần lượt là bán kính R đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp của tam giác ADC. Tính tỉ số . r 5 5 7 7 7 5 5 7 5 7 A. . B. . C. . D. . 2 9 9 9 DẠNG 4. ỨNG DỤNG THỰC TẾ Câu 64. Khoảng cách từ A đến B không thể đo trực tiếp được vì phải qua một đầm lầy. Người ta xác định được một điểm C mà từ đó có thể nhìn được A và B dưới một góc 78o24' . Biết CA 250m,CB 120m . Khoảng cách AB bằng bao nhiêu? A. 266m. B. 255m. C. 166m. D. 298m. Câu 65. Hai chiếc tàu thuỷ cùng xuất phát từ vị trí A , đi thẳng theo hai hướng tạo với nhau một góc 600 . Tàu thứ nhất chạy với tốc độ 30km / h , tàu thứ hai chạy với tốc độ 40km / h . Hỏi sau 2 giờ hai tàu cách nhau bao nhiêu km ? A. 13. B. 20 13. C. 10 13. D. 15. Câu 66. Từ một đỉnh tháp chiều cao CD 80m , người ta nhìn hai điểm A và B trên mặt đất dưới các góc nhìn là 72012' và 34026' . Ba điểm A, B, D thẳng hàng. Tính khoảng cách AB ? A. 71m. B. 91m. C. 79m. D. 40m. Câu 67. Khoảng cách từ A đến B không thể đo trực tiếp được vì phải qua một đầm lầy. Người ta xác định được một điểm C mà từ đó có thể nhìn được A và B dưới một góc 56016' . Biết CA 200m , CB 180m . Khoảng cách AB bằng bao nhiêu? A. 180m. B. 224m. C. 112m. D. 168m. Câu 68. Trong khi khai quật một ngôi mộ cổ, các nhà khảo cổ học đã tìm được một chiếc đĩa cổ hình tròn bị vỡ, các nhà khảo cổ muốn khôi phục lại hình dạng chiếc đĩa này. Để xác định bán kính của chiếc đĩa, các nhà khảo cổ lấy 3 điểm trên chiếc đĩa và tiến hành đo đạc thu được kết quả như hình vẽ ( AB 4,3cm; BC 3,7 cm; CA 7,5 cm). Bán kính của chiếc đĩa này bằng (kết quả làm tròn tới hai chữ số sau dấu phẩy). 6
7. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP A. 5,73 cm. B. 6,01cm. C. 5,85cm. D. 4,57cm. Câu 69. (THI HK1 LỚP 11 THPT VIỆT TRÌ 2018 - 2019) Giả sử CD = h là chiều cao của tháp trong đó C là chân tháp. Chọn hai điểm A, B trên mặt đất sao cho ba điểm A, B, C thẳng hàng. Ta đo được AB = 24m, C· AD 630 ; C· BD 480 . Chiều cao h của khối tháp gần với giá trị nào sau đây? A. 61,4 m. B. 18,5 m. C. 60 m. D. 18 m. PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO DẠNG 1. ĐỊNH LÝ COSIN, ÁP DỤNG ĐỊNH LÝ COSIN ĐỂ GIẢI TOÁN Câu 1. Chọn B Theo định lý cosin trong tam giác ABC , ta có a2 b2 c2 2bc cos A . Câu 2. Chọn B Theo định lý hàm số cosin trong tam giác ta có a2 b2 c2 2bc cos A Câu 3. Chọn D. Ta có: c2 a2 b2 2a.b.cosC 82 102 2.8.10.cos600 84 c 2 21 . Câu 4. Chọn A. Ta có: a2 b2 c2 2bc cos A 36 64 2.6.8.cos600 52 a 2 13 . Câu 5. Chọn A. Ta có: b2 a2 c2 2ac cos B 82 52 2.8.5.cos600 49 b 7 . Câu 6. Chọn A Theo định lý cosin có: AC 2 BA2 BC 2 2BA.BC.cos ·ABC 73 AC 73 . Vậy AC 73 . Câu 7. Chọn C Theo định lý cosin ta có: BC AB2 AC 2 2AB.AC.cos600 1 22 12 2.2.1. 3. 2 Câu 8. Chọn C. Ta có: b2 a2 c2 2ac cos B 82 32 2.8.3.cos600 49 b 7 . Câu 9. Chọn A Theo định lí cosin trong ABC ta có: 7
8. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP AB2 CA2 CB2 2CA.CB.cosCµ 13 AB 13 . Chọn A. Câu 10. Chọn A Áp dụng định lí cosin cho tam giác ABC ta có: 4 a2 b2 c2 2bc.cos A 72 52 2.7.5. 18. 5 Suy ra:a 18 3 2 . 8