›
›
›

Chuyên đề Đại số Lớp 10: Hàm số bậc nhất

pdf 31 trang thaodu 5180
Download
Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Chuyên đề Đại số Lớp 10: Hàm số bậc nhất", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

  • pdfchuyen_de_dai_so_lop_10_ham_so_bac_nhat.pdf

Nội dung text: Chuyên đề Đại số Lớp 10: Hàm số bậc nhất

  1. Tải tài liệu toán file word miễn phí tại toanpt.com §2: HÀM SỐ BẬC NHẤT A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT. 1. Định nghĩa: Hàm số bậc nhất là hàm số có dạng y ax b (a 0) . 2. Sự biến thiên TXĐ: D Hàm số số đồng biến khi a 0 và nghịch biến khi a 0 Bảng biến thiên x x y ax b y ax b ( a 0 ) ( a 0 ) 3. Đồ thị. Đồ thị của hàm số y ax b (a 0) là một đường thẳng có hệ số góc bằng a , cắt trục b hoành tại A ;0 và trục tung tại Bb0; a Chú ý: Nếu a0 y b là hàm số hằng, đồ thị là đường thẳng song song hoặc trùng với trục hoành. Phương trình xa cũng là một đường thẳng(nhưng không phải là một hàm số) vuông góc với trục tọa độ và cắt tại điểm có hoành độ bằng a. Cho đường thẳng d có hệ số góc k , d đi qua điểm M x00; y , khi đó phương trình của đường thẳng d là: y y00 a x x . B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.  DẠNG TOÁN 1: XÁC ĐỊNH HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ SỰ TƯƠNG GIAO GIỮA ĐỒ THỊ CÁC HÀM SỐ . 1. Phương pháp giải. Để xác định hàm số bậc nhất ta là như sau Gọi hàm số cần tìm là y ax b,0 a . Căn cứ theo giả thiết bài toán để thiết lập và giải hệ phương trình với ẩn ab, , từ đó suy ra hàm số cần tìm. Cho hai đường thẳng d1: y a 1 x b 1 và d2:. y a 2 x b 2 Khi đó: aa12 a) d1 và d2 trùng nhau ; bb12 aa12 b) d1 và d2 song song nhau ; bb12 c) d1 và d2 cắt nhau aa12. Và tọa độ giao điểm là nghiệm của hệ phương trình y a x b 11 y a22 x b d) d1 và d2 vuông góc nhau aa12. 1. 2. Các ví dụ minh họa. Ví dụ 1. Cho hàm số bậc nhất có đồ thị là đường thẳng d . Tìm hàm số đó biết: 55
  2. Tải tài liệu toán file word miễn phí tại toanpt.com a) d đi qua AB(1;3), (2; 1) A. yx42 B. yx23 C. yx45 D. yx47 b) d đi qua C(3; 2) và song song với : 3xy 2 1 0 13 3 13 33 33 A. yx B. yx C. yx D. yx 22 22 22 22 c) d đi qua M(1;2) và cắt hai tia Ox, Oy tại PQ, sao cho S OPQ nhỏ nhất. A. yx22 B. yx23 C. yx24 D. yx21 d) d đi qua N 2; 1 và dd' với d' : y 4 x 3 . 11 11 11 11 A. yx B. yx C. yx D. yx 42 43 42 42 Lời giải: Gọi hàm số cần tìm là y ax b,0 a a) Vì Ad và Bd nên ta có hệ phương trình 34a b a 1 2a b b 7 Vậy hàm số cần tìm là yx47 3 a 31 b) Ta có : yx. Vì d / / nên 2 (1) 22 1 b 2 Mặt khác C d23 a b (2) 3 a Từ (1) và (2) suy ra 2 13 b 2 3 13 Vậy hàm số cần tìm là yx 22 b c) Đường thẳng d cắt trục Ox tại P ;0 và cắt Oy tại Qb0; với ab0, 0 a 11bb2 Suy ra S OP OQ b (3) OPQ 2 2aa 2 Ta có M d22 a b b a thay vào (3) ta được 2 2 a 2 a S 2 OPQ 22aa Áp dụng bất đẳng thức côsi ta có 22aa 2 . 2S 4 aa22OPQ 2 a Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a 2 ab24 a 0 Vậy hàm số cần tìm là yx24. 56
  3. Tải tài liệu toán file word miễn phí tại toanpt.com d) Đường thẳng d đi qua N 2; 1 nên 12ab (4) 1 1 Và d d' 4. a 1 a thay vào (4) ta được b . 4 2 11 Vậy hàm số cần tìm là yx. 42 Ví dụ 2: Cho hai đường thẳng d: y x 2 m , d ' : y 3 x 2( m là tham số) a) Chứng minh rằng hai đường thẳng dd,' cắt nhau và tìm tọa độ giao điểm của chúng A. M2 m 1; 3 m 1 B. M m2; 3 m 2 C. M m1; 3 m 1 D. M m1; 3 m 1 b) Tìm m để ba đường thẳng dd,' và d" : y mx 2 phân biệt đồng quy. A. m 1 B. m 3 C. m 1 D. m 2 Lời giải: a) Ta có aadd13' suy ra hai đường thẳng dd,'cắt nhau. Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng dd,' là nghiệm của hệ phương trình y x21 m x m suy ra dd,' cắt nhau tại M m1; 3 m 1 y3 x 2 y 3 m 1 b) Vì ba đường thẳng d, d ', d " đồng quy nên Md" ta có m 1 3m 1 m m 1 2 m2 2 m 3 0 m 3 Với m 1 ta có ba đường thẳng là d: y x 2,': d y 3 x 2,": d y x 2, phân biệt và đồng quy tại M 0; 2 . Với m 3 ta có dd'" suy ra m 3 không thỏa mãn Vậy m 1 là giá trị cần tìm. Ví dụ 3: Cho đường thẳng d:1 y m x m và d' : y m2 1 x 6 a) Tìm m để hai đường thẳng dd,' song song với nhau A. m 0 và m 3 B. m 0 và m 2 C. m 0 và m 1 D. m 0 và m 4 b) Tìm m để đường thẳng d cắt trục tung tại A , d' cắt trục hoành tại B sao cho tam giác OAB cân tại O A. m 4 B. m 2 C. m 3 D. m 1 Lời giải: a) Với m 1 ta có d: y 1, d ' : y 6 do đó hai đường thẳng này song song với nhau Với m 1 ta có d: y 2 x 1, d ' : y 6 suy ra hai đường thẳng này cắt nhau tại 7 M ;6 2 Với m 1 khi đó hai đường thẳng trên là đồ thị của hàm số bậc nhất nên song song m 1 mm112 m 1 với nhau khi và chỉ khi m 0 m 6 m 0 m 6 Đối chiếu với điều kiện m 1 suy ra m 0 . Vậy m 0 và m 1 là giá trị cần tìm. 57
  4. Tải tài liệu toán file word miễn phí tại toanpt.com y m1 x m x 0 b) Ta có tọa độ điểm A là nghiệm của hệ Am0; x 0 ym y m221 x 6 m 1 x 6 0 Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ (*) yy00 Rõ ràng m 1 hệ phương trình (*) vô nghiệm 6 x 6 Với m 1 ta có (*) 1 m2 B ;0 1 m2 y 0 6 Do đó tam giác OAB cân tại Om 1 m2 mm3 6 mm3 6 mm3 6 mm3 60 m 2 (thỏa mãn) mm3 60 m 2 Vậy m 2 là giá trị cần tìm. 3. Bài tập luyện tập. Bài 2.16: Cho hàm số bậc nhất có đồ thị là đường thẳng d . Tìm hàm số đó biết: a) d đi qua AB(1;1), (3; 2) 25 25 22 25 A. yx B. yx C. yx D. yx 33 33 33 53 b) d đi qua C(2; 2) và song song với :xy 1 0 A. yx1 B. yx4 C. yx1 D. yx2 c) d đi qua M(1;2) và cắt hai tia Ox, Oy tại PQ, sao cho OPQ cân tại O. A. yx13 B. yx3 C. yx3 D. yx2 d) d đi qua N 1; 1 và dd' với d' : y x 3 . A. yx3 B. yx22 C. yx23 D. yx2 Lời giải: Bài 2.16: Gọi hàm số cần tìm là y ax b,0 a a) Vì Ad và Bd nên ta có hệ phương trình 2 a 1 ab 25 3 yx 3 2ab 5 33 b 3 a 1 b) Ta có :1yx . Vì d / / nên b 1 Mặt khác C d2 2 a b b 4 Vậy hàm số cần tìm là yx4 b c) Đường thẳng d cắt trục Ox tại P ;0 và cắt Oy tại Qb0; với ab0, 0 a 58
  5. Tải tài liệu toán file word miễn phí tại toanpt.com b bl0( ) Ta có OP OQ b b a 10 a a 1 Ta có M d23 a b b Vậy hàm số cần tìm là yx3 . d) Đường thẳng d đi qua N 1; 1 nên 1 ab Và d d'1 a suy ra b 2 . Vậy hàm số cần tìm là yx2 . Bài 2.17: Tìm m để ba đường thẳng dy: 2,': xdy x 6,'': dymx2 5 m 3 phân biệt đồng quy. 53 5 23 5 33 5 33 A. m B. m C. m D. m 4 4 4 2 Lời giải: Bài 2.17: Tọa độ giao điểm(nếu có) của hai đường thẳng dd,' là nghiệm của hệ phương y22 x x trình suy ra dd,' cắt nhau tại M 2; 4 y x64 y Vì ba đường thẳng d, d ', d " đồng quy nên Md" ta có 5 33 4 2m22 5 m 3 2 m 5 m 1 0 m 4 5 33 Dễ thấy với m ba đường thẳng đó phân biệt và đồng quy 4 5 33 Vậy m là giá trị cần tìm 4  DẠNG TOÁN 2: XÉT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SÔ BẬC NHẤT. 1. Các ví dụ minh họa. Ví dụ 1: Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau a) yx36 13 b) yx 22 Lời giải: a) TXĐ: D , a 30 suy ra hàm số đồng biến trên y Bảng biến thiên x yx36 3 y Đồ thị hàm số yx36 đi qua AB2;0 , 1; 3 -2 -1O 1 x 1 b) TXĐ: D , a 0 suy ra hàm số nghịch biến trên 2 3/2 Bảng biến thiên O 1 3 x 59
  6. Tải tài liệu toán file word miễn phí tại toanpt.com x 13 yx 22 13 3 Đồ thị hàm số yx đi qua AB3;0 , 0; 22 2 Ví dụ 2. Cho các hàm số : y2 x 3, y x 3, y 2. a) Vẽ đồ thị các hàm số trên b) Dựa vào đồ thị hãy xác định giao điểm của các đồ thị hàm số đó Lời giải: a) Đường thẳng yx23 đi qua các điểm y 3 AB0; 3 , ;0 2 Đường thẳng yx3 đi qua các điểm 3 2 AC0; 3 , 3;0 -3 -1 O 1 x Đường thẳng y 2 song song với trục hoành và cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -2 -2 b) Đường thẳng y2 x 3, y x 3 cắt nhau tại -3 A 0; 3 , Đường thẳng y x3, y 2 cắt nhau tại A' 1; 2 , Đường thẳng y2 x 3, y 2 cắt nhau 1 tại A" ; 2 . 2 Ví dụ 3: Cho đồ thị hàm số có đồ thị C (hình y vẽ) a) Hãy lập bảng biến thiên của hàm số trên 3 3; 3 2 b) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số 1 trên 4; 2 -4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 x Lời giải: -1 a) Bảng biến thiên của hàm số trên 3; 3 -2 -3 x 3 2 1 3 2 2 y 1 2 b) D ự a vào đ ồ th ị hàm số đã cho ta có max 3 khi và chỉ khi x 4 4;2 min 0 khi và chỉ khi x 2 4;2 60
  7. Tải tài liệu toán file word miễn phí tại toanpt.com 2. Bài tập luyện tập. 3 Bài 2.18: Cho các hàm số : y2 x 3, y x 2, y . 2 a) Vẽ đồ thị các hàm số trên b) Dựa vào đồ thị hãy xác định giao điểm của các đồ thị hàm số đó Lời giải: Bài 2.18: a) Đồ thị hàm số yx23 đi qua 3 AB0; 3 , ;0 y 2 Đồ thị hàm số yx2 đi qua AB' 0; 2 , ' 2;0 3 2 3 3 Đồ thị hàm số y đi qua M 0; và song song với trục 2 2 hoành -2 O x b) Giao điểm của hai đồ thị hàm số y2 x 3, y x 2 là 17 M ; 1 33 3 33 Giao điểm của hai đồ thị hàm số y2 x 3, y là M ; 2 2 42 3 13 Giao điểm của hai đồ thị hàm số y x2, y là M ; 2 2 22 Bài 2.19: Cho đồ thị hàm số có đồ thị C (hình vẽ) y a) Hãy lập bảng biến thiên của hàm số trên 3; 3 3 b) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên 2; 2 2 Lời giải: Bài 2.19: -3 -2 -1 O 1 2 3 x a) Bảng biến thiên của hàm số trên 3; 3 x 3 3 1 0 3 -3 2 2 2 0 y 0 3 b) Dựa vào đồ thị hàm số đã cho ta có max 2 khi và chỉ khi x 0 2;2 min 2 khi và chỉ khi x 2 2;2 61
  8. Tải tài liệu toán file word miễn phí tại toanpt.com  DẠNG TOÁN 3: ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ CHỨA DẤU TRỊ TUYỆT ĐỐI y ax b . 1. Phương pháp giải. Vẽ đồ thị C của hàm số y ax b ta làm như sau Cách 1: Vẽ C1 là đường thẳng y ax b với phần đồ thị sao cho hoành độ x thỏa mãn b b x , Vẽ C là đường thẳng y ax b lấy phần đồ thị sao cho x . Khi đó a 2 a C là hợp của hai đồ thị C1 và C2 . Cách 2: Vẽ đường thẳng y ax b và y ax b rồi xóa đi phần đường thẳng nằm dưới trục hoành. Phần đường thẳng nằm trên trục hoành chính là C . Chú ý: Biết trước đồ thị C: y f x khi đó đồ thị C1 : y f x là gồm phần : - Giữ nguyên đồ thị C ở bên phải trục tung; - Lấy đối xứng đồ thị C ở bên phải trục tung qua trục tung. Biết trước đồ thị C: y f x khi đó đồ thị C2 : y f x là gồm phần: - Giữ nguyên đồ thị C ở phía trên trục hoành - Lấy đối xứng đồ thị C ở trên dưới trục hoành và lấy đối xứng qua trục hoành. 2. Các ví dụ minh họa. Ví dụ 1. Vẽ đồ thị của các hàm số sau 20x khi x a) y . b) yx33. x khi x 0 Lời giải: y y a) Với x 0 đồ thị hàm số yx2 là phần đường thẳng đi qua hai điểm 2 OA0;0 , 1; 2 nằm bên phải của đường thẳng x 0 . Với x 0 đồ thị hàm số yx là phần -2 O 1 x O 1 x đường thẳng đi qua hai điểm BC1;1 , 2; 2 nằm bên trái của đường thẳng x 0 . b) Vẽ hai đường thẳng yx33 và yx33 và lấy phần đường thẳng nằm trên trục hoành Ví dụ 2: Vẽ đồ thị của các hàm số sau 62
  9. Tải tài liệu toán file word miễn phí tại toanpt.com a) yx2 b) yxy 2 Lời giải: x20 khi x a) Cách 1: Ta có y x20 khi x Vẽ đường thẳng yx2 đi qua hai điểm A 0; 2 ,B 2;0 và lấy phần đường thẳng bên phải của trục tung x Vẽ đường thẳng yx2 đi qua hai điểm -2 O 1 2 AC0; 2 , 2;0 và lấy phần đường thẳng bên -2 trái của trục tung. Cách 2: Đường thẳng d:2 y x đi qua A 0; 2 ,B 2;0 . y Khi đó đồ thị của hàm số yx2 là phần đường thẳng d nằm bên phải của trục tung và phần đối xứng của nó qua trục tung b) Đồ thị yx2 là gồm phần: 2 - Giữ nguyên đồ thị hàm số yx2 ở phía trên trục hoành - Lấy đối xứng phần đồ thị hàm số yx2 ở -2 O 1 2 x phía dưới trục hoành và lấy đối xứng qua trục hoành. Ví dụ 3: Cho đồ thị (C ) : y 3 x 2 2 x 6 a) Vẽ ()C b) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên với x 3; 4 A. maxy 4 B. miny 2 C.Cả A, B đều đúng D.Cả A, B 3;4 3;4 đều sai Lời giải: x khi x 3 y a) Ta có y5 x 12 khi 2 x 3 x khi x 2 3 Vẽ đường thẳng yx đi qua hai điểm OA0;0 , 1;1 2 và lấy phần đường thẳng bên phải của đường thẳng x 3 1 Vẽ đường thẳng yx5 12 đi qua hai điểm -3 -2 -1 O 1 2 3 x BC3; 3 , 2; 2 và lấy phần đường thẳng nằm giữa -1 của hai đường thẳng xx2, 3. -2 Vẽ đường thẳng yx đi qua hai điểm -3 OD0;0 , 1; 1 và lấy phần đường thẳng bên trái 63
  10. Tải tài liệu toán file word miễn phí tại toanpt.com của đường thẳng x 2 b) Dựa vào đồ thị hàm số ta có maxy 4 khi và chỉ khi x 4 3;4 miny 2 khi và chỉ khi x 2 3;4 Ví dụ 4: Lập bảng biến thiên của các hàm số sau a) y x22 x21 x . b) y x2 4 x 4 x 1 . Từ đó tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của các hàm số đó trên 2; 2 Lời giải: 2x 1 khi x 1 a) Ta có y x x1 1 khi 0 x 1 1 2x khi x 0 Bảng biến thiên x 0 1 y 1 1 Ta có yy2 5, 2 3 Dựa vào bảng biến thiên ta có maxy 5 khi và chỉ khi x 2 2;2 miny 1 khi và chỉ khi x 0;1 2;2 11khi x b) Ta có y x2 x 1 2 x 3 khi 2 x 1 12khi x Bảng biến thiên x 2 1 1 1 y 1 1 Ta có yy2 1, 2 1 Dựa vào bảng biến thiên ta có maxy 1 khi và chỉ khi x 2 2;2 miny 1 khi và chỉ khi x 1 2;2 64
  11. Tải tài liệu toán file word miễn phí tại toanpt.com 3. Bài tập luyện tập Bài 2.20: Vẽ đồ thị hàm số yx2 3. Từ đó suy ra đồ thị của: C1 : y 2 x 3, C2 : y 2 x 3 , C3 : y 2 x 3 Lời giải: Bài 2.20: Đồ thị hàm số yx23 đi qua AB0; 3 , 2;1 ta gọi là C Khi đó đồ thị hàm số C1 : y 2 x 3 là phần được xác định như sau Ta giữ nguyên đồ thị C ở bên phải trục tung; lấy đối xứng đồ thị C ở phần bên phải trục tung qua trục tung. C2 : y 2 x 3 là phần đồ thị C nằm phái trên trục hoành và đồ thị lấy đối xứng qua trục hoành của phần nằm trên trục hoành của C . C3 : y 2 x 3 là phần đồ thị C1 nằm phái trên trục hoành và đồ thị lấy đối xứng qua trục hoành của phần nằm trên trục hoành của C1 . y y y 1 1 3 O 2 x O 2 x (C) -2 -1 O 1 2 x -3 Bài 2.21: Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau y x224 x 4 3 x 2 x 1 Từ đó tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của các hàm số đó trên 0; 2 . A. B. C. D. Lời giải: Bài 2.21: Ta có y x2 3 x 1 2x 1 Khi x 2 4x 5 Khi 1 x 2 y 2x 1 Khi x 1 1 Bảng biến thiên O 1 2 x x 1 2 -1 1 y -3 -3 maxy 1 khi và chỉ khi x 1 0;2 miny 3 khi và chỉ khi x 2 . 0;2 65
  12. Tải tài liệu toán file word miễn phí tại toanpt.com xx2 44 Bài 2.22: a) Lập bảng biến thiên của hàm số yx2 x 2 b) Biện luận số giao điểm của đồ thị hàm số trên với đường thẳng ym theo m. A. B. C. D. Lời giải: x32 Khi x x 2 Bài 2.22: a) Ta có y x2 x 1 Khi 2 x 2 x 2 x32 Khi x Bảng biến thiên x 2 2 y 1 xx2 44 b) Dựa vào bảng biến thiên của hàm số yx2 ta có số giao điểm của x 2 nó với đường thẳng ym như sau: Với m 1 thì có 1 giao điểm Với m 1 thì có hai giao điểm Với m 1 thì có ba giao điểm  DẠNG TOÁN 4: ỨNG DỤNG CỦA HÀM SỐ BẬC NHẤT TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, LỚN NHẤT. 1. Phương pháp giải. Cho hàm số f x ax b và đoạn ; . Khi đó, đồ thị của y hàm số y = f(x) trên []; là một đoạn thẳng nên ta có một số tính chất: f()  max f(x) = max{f( ); f(}, ,  min f(x) = min{f( ); f(}, , f( )  maxf ( x ) max f ( ) ; f ( ) . ,  Áp dụng các tính chất đơn giản này cho chúng ta O x cách giải nhiều bài toán một cách thú vị, ngắn gọn, hiệu quả. 2. Các ví dụ minh họa. Ví dụ 1: Cho hàm số f x2 x m . Tìm m để giá trị lớn nhất của fx trên 1; 2 đạt giá trị nhỏ nhất. A. m 3 B. m 2 C. m 3 D. m 2 Lời giải: 66
  13. Tải tài liệu toán file word miễn phí tại toanpt.com Dựa vào các nhận xét trên ta thấy maxfx ( ) chỉ có thể đạt được tại x 1 hoặc x 2 . [1;2] Như vậy nếu đặt M = maxfx ( ) thì Mf1 2 m và Mf2 4 m . [1;2] Ta có ff(1) (2) 2mm 4 (2mm ) ( 4) M 1. 2 2 2 24mm Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi m 3 . (2mm )( 4) 0 Vậy giá trị nhỏ nhất của M là 1, đạt được chỉ khi m = 3. Ví dụ 2: Cho hàm số y2 x x2 3 m 4 . Tìm m để giá trị lớn nhất của hàm số y là nhỏ nhất. 3 3 A. m 3 B. m C. m 3 D. m 2 2 Lời giải: 2 Gọi Aymax . Ta đặt t2 x x2 t 1 x 1 do đó 01t Khi đó hàm số được viết lại là y t34 m với t 0;1 suy ra 3mm 4 5 3 Amax t 3 m 4 max 3 m 4 , 5 3 m [0,1] 2 Áp dụng BĐT trị tuyệt đối ta có 3m 4 5 3 m 3 m 4 5 3 m 1 1 3 Do đó A . Đẳng thức xảy ra m . 2 2 3 Vậy giá trị cần tìm là m . 2 Ví dụ 3: Cho a,, b c thuộc 0; 2 . Chứng minh rằng: 24a b c ab bc ca Lời giải: Viết bất đẳng thức lại thành 2b c a 2 b c bc 4 0 Xét hàm số bậc nhất f a2 b c a 2 b c bc 4 với ẩn a 0; 2 Ta có: f0 2 b c bc 4 2 b 2 c 0 f2 2 b c 2 2 b c bc 4 bc 0 Suy ra f a max f0 ; f 2 0 đpcm. Ví dụ 4: Cho các số thực không âm x, y , z thoả mãn xyz3 . Chứng minh rằng x2 y 2 z 2 xyz 4 . Lời giải: Bất đẳng thức t\ưng đương với (y z )22 2 yz x xyz 4 (3x )22 x yz x 2 4 0 yz( x 2) 2 x2 6 x 5 0 2 yz (3x )2 (3x )2 Đặt t yz , do yz 0 và yz ≤ nên t 0; . 24 4 67
  14. Tải tài liệu toán file word miễn phí tại toanpt.com khi đó VT(2) là hàm số bậc nhất của biến t , f( t ) ( x 2) t 2 x2 6 x 5 . 2 3 x Để chứng minh bất đẳng thức (2) ta sẽ chứng minh f 00 và f 0 . 4 2 31 Thật vậy, ta có f0 2 x2 6 x 5 2 x 0 và 25 2 3 x 1 2 f x1 x 2 0 nên bất đẳng thức được chứng minh. 44 Đẳng thức xảy ra xyz1. 3. Bài tập luyện tập. xyz, , 0 7 Bài 2.23: Cho . Chứng minh 02xy yz zx xyz . xyz1 27 Lời giải: Bài 2.23: Từ giả thiết ta có xyz, , 0; 1 xy yz zx2 xyz xy yz (1 x ) zx (1 y ) 0 . ()yz2 (1x )2 Củng từ giả thiết ta suy ra yz . Mặt khác ta lại có 44 77 xy yz zx2 xyz f ()(12) yz x yz x (1) x 0 (2). 27 27 Khi đó ta thấy rằng 1 1 Nếu x khi đó BĐT (2) thành 0 (hiển nhiên đúng). 2 108 1 Nếu x thì f() yz là hàm số bậc nhất. Do đó để chứng minh f( yz ) 0 ta chỉ cần 2 f (0) 0 2 2 7 11 chứng minh 1 x . Dễ thấy f(0) x (1 x ) x 0 và f 0 27 2 108 4 22 11xx7 1 2 f(1 2 x ). x (1 x ) 6xx 1 3 1 0 . Vậy là trong hai 4 4 27 108 trường hợp ta kết luận f( yz ) 0 . Ta đã giải xong bài toán. xyz, , 0 Bài 2.24: Cho . Chứng minh x2 y 2 z 2 xyz 4 . xyz3 Lời giải: ()yz2 (3x )2 Bài 2.24: Từ giả thiết ta có xyz, , 0; 3 và yz . Mặt khác ta thấy 44 22 x2 y 2 z 2 xyz4 x 2 y z 2 yz xyz 4 0 x 2 3 x 2 yz xyz 4 0 f()( yz x 2) yz 2 x2 6 x 50(3). Nếu x 2 thì BĐT (3) sẻ thành 10 (hiển nhiên đúng). 68
  15. Tải tài liệu toán file word miễn phí tại toanpt.com Nếu x 2 thì f() yz là hàm số bậc nhất. Do đó để chứng minh f( yz ) 0 ta chỉ cần f (0) 0 2 2 31 chứng minh 3 x . Dễ thấy f(0) 2 x2 6 x 5 20x và f 0 22 4 22 33xx 1 2 f(2). x 2 x2 65 x (2) x x 10 . Vậy là trong hai trường 4 4 4 hợp ta kết luận f( yz ) 0 . xyz, , 0 1 Bài 2.25: Cho . Chứng minh x3 y 3 z 3 6 xyz . xyz1 4 Lời giải: ()yz2 (1x )2 Bài 2.25: Từ giả thiết ta có xyz, , 0; 1 và yz . Mặt khác ta thấy 44 11 x3 y 3 z 36 xyz x 3 ( y z ) 3 3 yz ( y z ) 6 xyz 0 44 1 x33(1 x ) 3 yz (1 x ) 6 xyz 0 4 1 f()(31) yz x yz x2 x 0(4). 4 1 1 Nếu x thì BĐT (4) sẻ thành 0 (hiển nhiên đúng). 3 36 1 Nếu x thì f() yz là hàm số bậc nhất. Theo TC2 thì để chứng minh f( yz ) 0 ta chỉ 3 f (0) 0 2 2 1 1 cần chứng minh cho 1 x . Dễ thấy f(0) x2 x x 0 và f 0 4 2 4 22 11xx1 3 1 f(3 x 1). x22 x x x x 0 (đúng vì 01x và 4 4 4 4 3 2 1 1 1 x2 x x 0 ). Vậy là trong hai trường hợp ta kết luận f( yz ) 0 . 3 2 12 Bài 2.26: Cho 0a , b , c 1. Chứng minh a2 b 2 c 2 a 2 b b 2 c c 2 a 1. Lời giải: Bài 2.26: Ta có abc222222 abbcca1 ( b 1) abcca 222 1 bc 22 0 . Vì 01a a a2 (b 1) abcca222 1 bc 22 ( b 1) abcca 2222 1 bc 22 c2 b1 a 2 b 2 c 1 b 2 c 2 f ( a 2 ) . Ta chỉ cần chứng minh fa(2 ) 0 (5) là được. Nếu c22 b1 0 c 1 b khi đó BĐT sẻ trở thành b22 c( b b ) 0 (đúng vì 0bc , 1 ). Nếu cb2 10 thì ta có fa()2 là hàm số bậc nhất. Do đó để chứng minh 69
  16. Tải tài liệu toán file word miễn phí tại toanpt.com f (0) 0 fa(2 ) 0 ta chỉ cần chứng minh cho . Dễ thấy f(0) b2 c 1 b 2 c 2 f (1) 0 1c (1 c b22 ) (1 c ) c 1 b 0 (đúng vì 0bc , 1 ) và f(1) b22 c b b 0 (đúng vì 0bc , 1 ). Vậy là trong hai trường hợp ta kết luận fa(2 ) 0 . Ta đã giải xong bài toán. xyz, , 0 4 Bài 2.27: Cho . Chứng minh x2 y y 2 z z 2 x . xyz1 27 Lời giải: 1 Bài 2.27: Giả sử xmin x , y , z thì từ giả thiết của bài toán ta suy ra 0 x . Mặt 3 441 1 khác ta lại có xyyzzx2 2 2 yx 2 yzzx 2 2 0 . Vì 0 x xx2 27 27 3 3 4 1 4 1 4 yxyzzx2 2 2 yxyzzx 2 2 yzxyz 2 2 fx(). Bây giờ ta 27 3 27 3 27 sẻ chứng minh fx( ) 0 (6) là được. 1 4 Nếu y z2 00 y z thì BĐT (6) thành 0 (hiển nhiên đúng). 3 27 1 Nếu yz2 0 thì fx() là hàm số bậc nhất . Theo TC2 thì để chứng minh fx( ) 0 ta 3 f (0) 0 4 chỉ cần chứng minh cho 1 . Dễ thấy f(0) y2 z ; vì x 0 nên từ giả thiết f 0 27 3 3 1 12 yz 4 yz1. Theo BĐT Côsi ta có y2 z. y . y .(2 z ) . 2 2 3 27 4 1 1 1 4 1 y2 z0 f (0) 0 và f y22 z y z ; vì x nên từ giả thiết ta 27 3 9 3 27 3 2 2 2 1 2 1 1 2 4 1 suy ra yz zyfyyy2 y yyy 3 2 3 3 3 3 9 3 3 27 3 2 1 1 1 y y2 y y y 0 (đúng vì y 0 ). Vậy là trong hai trường hợp ta 3 2 12 kết luận fx( ) 0 . Ta đã giải xong bài toán. Bài 2.28: Chứng minh rằng với m 1 thì x2 2(3 m 1) x m 3 0 với x 1; . Lời giải: Bài 2.28: Ta có x222(3 m 1) x m 30 f ()(61) m x m x 2 x 30 . Ta thấy fm() là hàm số bậc nhất có hệ số của m là 6x 1 0 (do x 1; ). Theo TC1 thì fm() là hàm nghịch biến f( m ) f (1) với m 1. Tức là ta có x222(3 m 1) x m 3 ( x 2) 0 (đúng với x 1; ). Vậy là ta giải quyết xong bài toán. 70
  17. Tải tài liệu toán file word miễn phí tại toanpt.com §3: HÀM SỐ BẬC HAI A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT. 1. Định nghĩa: Hàm số bậc hai là hàm số có dạng y ax2 bx c a 0 . 2. Sự biến thiên TXĐ: D b b Khi a 0 hàm số đồng biến trên ; , nghịch biến trên ; và có giá 2a 2a b b trị nhỏ nhất là khi x . Khi a 0 hàm số đồng biến trên ; , nghịch 4a 2a 2a b b biến trên ; và có giá trị lớn nhất là khi x . 2a 4a 2a Bảng biến thiên x b x b 2a 2a y ax2 bx c y ax2 bx c ( a 0 ) ( a 0 ) 4a 4a 3. Đồ thị. Khi a 0 đồ thị hàm số bậc hai bề lõm hướng lên trên và có tọa độ đỉnh là b I ; 24aa Khi a 0 đồ thị hàm số bậc hai bề lõm hướng lên trên và có tọa độ đỉnh là b I ; 24aa b Đồ thị nhận đường thẳng x làm trục đối xứng. 2a y y b 2a O O 1 x 1 x a 0 a 0 B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.  DẠNG TOÁN 1: XÁC ĐỊNH HÀM SỐ BẬC HAI . 1. Phương pháp giải. Để xác định hàm số bậc hai ta là như sau 71
  18. Tải tài liệu toán file word miễn phí tại toanpt.com Gọi hàm số cần tìm là y ax2 bx c,0 a . Căn cứ theo giả thiết bài toán để thiết lập và giải hệ phương trình với ẩn a,, b c , từ đó suy ra hàm số cần tìm. 2. Các ví dụ minh họa. Ví dụ 1. Xác định parabol P : y ax2 bx c , a 0 biết: a) P đi qua A(2;3) có đỉnh I(1;2) A. y x2 22 x B. C. D. 3 b) c 2 và P đi qua B 3; 4 và có trục đối xứng là x . 2 A. B. y x2 x 1 C. D. 3 1 c) Hàm số y ax2 bx c có giá trị nhỏ nhất bằng khi x và nhận giá trị 4 2 bằng 1 khi x 1. A. B. C. y x2 x 2 D. d) P đi qua M(4; 3) cắt Ox tại N(3;0) và P sao cho INP có diện tích bằng 1 biết hoành độ điểm P nhỏ hơn 3 . A. B. C. D. y x2 44 x Lời giải: a) Vì AP nên 3 4a 2 b c (1). b Mặt khác P có đỉnh I(1;2) nên 1 2ab 0 (2) và IP suy ra 2 a b c 2a (3) 4a 2 b c 3 a 1 Từ (1), (2) và (3) ta có 2a b 0 b 2 a b c23 c Vậy P cần tìm là y x2 23 x . b) Ta có c 2 và P đi qua B 3; 4 nên 4 9a 3 b 2 3 a b 2 (4) 3 b 3 P có trục đối xứng là x nên ba3 thay vào (4) ta được 2 22a 1 3a 3 a 2 a b 1 . 3 1 Vậy P cần tìm là y x2 x 2 . 3 3 1 c) Hàm số y ax2 bx c có giá trị nhỏ nhất bằng khi x nên ta có 4 2 2 b 1 3 1 1 ab0 (5) ,a b c a 2 b 4 c 3 (6) và a 0 22a 4 2 2 Hàm số y ax2 bx c nhận giá trị bằng 1 khi x 1 nên a b c 1(7) 72
  19. Tải tài liệu toán file word miễn phí tại toanpt.com a b01 a Từ (5), (6) và (7) ta có a2 b 4 c 3 b 1 a b c11 c Vậy P cần tìm là y x2 x 1 . d) Vì P đi qua M(4; 3) nên 3 16a 4 b c (8) Mặt khác P cắt Ox tại N(3;0) suy ra 0 9a 3 b c (9), P cắt Ox tại P nên P t;0 , t 3 b t 3 Theo định lý Viét ta có a c 3t a 1 b Ta có S IH. NP với H là hình chiếu của I ; lên trục hoành IBC 2 24aa 1 Do IH , NP3 t nên St1 . 3 1 4a INP 24a 2 2 bc2t 3 23 8 3t 3 t 3 t 3 t (10) 24a a a a a 3 7at 1 4 Từ (8) và (9) ta có 7a b 3 b 3 7 a suy ra t 3 aa3 3 84 t Thay vào (10) ta có 3t 3 t32 27 t 73 t 49 0 t 1 3 Suy ra a1 b 4 c 3 . Vậy P cần tìm là y x2 43 x . 3. Bài tập luyện tập. Bài 2.29: Xác định phương trình của Parabol (P): y x2 bx c trong các trường hợp sau: a) (P) đi qua điểm A 1; 0 và B 2; 6 A. y x2 3 x – 5 B. y x2 3 x – 4 C. y x2 3 x – 6 D. y x2 3 x – 2 b) (P) có đỉnh I 1; 4 A. y x2 – 2 x 1 B. y 2 x2 – 2 x 5 C. y x2 2 x 5 D. y x2 – 2 x 5 c) (P) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3 và có đỉnh S 2; 1 . A. y x2 4 x 1 B. y 2 x2 4 x 7 C. y x2 4 x 5 D. y x2 4 x 3 Lời giải: 0 1b c b c 1 b 3 Bài 2.29: a) Vì (P) đi qua A, B nên . 6 4 2b c 2 b c 10 c 4 73
  20. Tải tài liệu toán file word miễn phí tại toanpt.com Vậy (P): y x2 3 x – 4 . b 1 b 2 b) Vì (P) có đỉnh I 1; 4 nên 2 . bc2 4 c 5 4 4 Vậy (P): y x2 – 2 x 5 . c) (P) cắt Oy tại điểm có tung độ bằng 3 suy ra c 3 b 2 b 4 (P) có đỉnh S 2; 1 suy ra: 2a a 1 1 4ab 2 3 Bài 2.30: Tìm Parabol y ax2 32 x , biết rằng Parabol đó : a) Qua điểm A 1; 5 A. y4 x2 3 x 3 B. y42 x2 x C. y4 x2 3 x 1 D. y4 x2 3 x 2 b) Cắt trục Ox tại điểm có hoành độ bằng 2 A. y x2 32 x B. y x2 x 2 C. y x2 33 x D. y x2 32 x c) Có trục đối xứng x 3 1 A. y x2 32 x B. y x2 x 2 2 1 1 C. y x2 33 x D. y x2 32 x 2 2 1 11 d) Có đỉnh I ; 24 A. y x2 32 x B. y34 x2 x C. y31 x2 x D. y3 x2 3 x 2 Lời giải: Bài 2.30: a) y4 x2 3 x 2 b) y x2 32 x 1 c) y x2 32 x d) y3 x2 3 x 2 2 Bài 2.31: Xác định phương trình Parabol: 3 a) y ax2 bx 2 qua A(1 ; 0) và trục đối xứng x 2 A. y x2 33 x B. y x2 x 2 C. y x2 32 x D. y x2 35 x b) y ax2 bx 3 qua A(-1 ; 9) và trục đối xứng x 2 A. y2 x2 8 x 3 B. y23 x2 x 74
  21. Tải tài liệu toán file word miễn phí tại toanpt.com C. y2 x2 8 x 3 D. y2 x2 8 x 6 c) y ax2 bx c qua A(0 ; 5) và đỉnh I ( 3; - 4) 1 A. y x2 25 x B. y x2 x 5 3 1 1 C. yxx2 25 D. yxx2 27 3 3 Lời giải: 1 Bài 2.31: a) y x2 32 x b) y2 x2 8 x 3 c) yxx2 25 3  DẠNG TOÁN 2: XÉT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SÔ BẬC HAI. 1. Phương pháp giải Để vẽ đường parabol y ax2 bx c ta thực hiện các bước như sau: b – Xác định toạ độ đỉnh I ; . 24aa b – Xác định trục đối xứng x và hướng bề lõm của parabol. 2a – Xác định một số điểm cụ thể của parabol (chẳng hạn, giao điểm của parabol với các trục toạ độ và các điểm đối xứng với chúng qua trục trục đối xứng). – Căn cứ vào tính đối xứng, bề lõm và hình dáng parabol để vẽ parabol. 2. Các ví dụ minh họa. Ví dụ 1: Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau a) y x2 32 x b) y x2 22 x Lời giải: y b 31 a) Ta có , 2aa 2 4 4 Bảng biến thiên x 3 2 2 y x2 32 x 1 O x -3 -2I -1 1 4 Suy ra đồ thị 31 hàm số y x2 32 x có đỉnh là I ; , đi qua các 24 y điểm ABCD2;0 , 1;0 , 0; 2 , 3; 2 3 Nhận đường thẳng x làm trục đối xứng và hướng 2 2 bề lõm lên trên O 1 x 75
  22. Tải tài liệu toán file word miễn phí tại toanpt.com b b) Ta có 2, 2 24aa Bảng biến thiên x 2 2 y x2 22 x Suy ra đồ thị hàm số y x2 22 x có đỉnh là I 2; 2 , đi qua các điểm OB0;0 , 2 2;0 Nhận đường thẳng x 2 làm trục đối xứng và hướng bề lõm xuống dưới Ví dụ 2: Cho hàm số y x2 68 x a) Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số trên b) Sử dụng đồ thị để biện luận theo tham số m số điểm chung của đường thẳng ym và đồ thị hàm số trên A. B. C. D. c) Sử dụng đồ thị, hãy nêu các khoảng trên đó hàm số chỉ nhận giá trị dương A. B. C. D. d) Sử dụng đồ thị, hãy tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số đã cho trên 1; 5 A. B. C. D. Lời giải: b a) Ta có 3, 1 y 24aa Bảng biến thiên x 3 y=m 2 y x68 x m 1 Suy ra đồ thị hàm số y x2 32 x có đỉnh là I 3; 1 , đi O 1 2 3 4 x qua các điểm AB2;0 , 4;0 -1 Nhận đường thẳng x 3 làm trục đối xứng và hướng bề lõm lên trên b) Đường thẳng ym song song hoặc trùng với trục hoành do đó dựa vào đồ thị ta có Với m 1 đường thẳng ym và parabol y x2 68 x không cắt nhau Với m 1 đường thẳng ym và parabol y x2 68 x cắt nhau tại một điểm(tiếp xúc) 76
  23. Tải tài liệu toán file word miễn phí tại toanpt.com Với m 1 đường thẳng ym và parabol y x2 68 x cắt nhau tại hai điểm phân biệt c) Hàm số nhận giá trị dương ứng với phần đồ thị nằm hoàn toàn trên trục hoành Do đó hàm số chỉ nhận giá trị dương khi và chỉ khi x ; 2 4; . d) Ta có y1 15, y 5 13, y 3 1, kết hợp với đồ thị hàm số suy ra maxy 15 khi và chỉ khi x 1 1;5 miny 1 khi và chỉ khi x 3 1;5 3. Bài tập luyện tập. Bài 2.32: Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau a) y x2 32 x b) y24 x2 x Lời giải: b 31 Bài 2.32: a) Ta có , 2aa 2 4 4 y Bảng biến thiên x 3 2 2 y x2 32 x Suy ra đồ 1 thị hàm số 4 y x2 32 x O 1 2 x 31 có đỉnh là I ; , đi qua các điểm 24 ABCD2;0, 1;0, 0;2, 3;2 3 Nhận đường thẳng x làm trục đối xứng và hướng bề lõm lên trên 2 b b) Ta có 1, 2 y 24aa Bảng biến thiên x 1 2 2 y x2 22 x O 1 2 x Suy ra đồ thị hàm số y24 x2 x có đỉnh là I 1; 2 , đi qua các điểm OB0;0 , 2;0 Nhận đường thẳng x 1 làm trục đối xứng và hướng bề lõm xuống dưới Bài 2.33: Cho hàm số y x2 23 x a) Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số trên b) Tìm m để đồ thị hàm số trên cắt đường thẳng ym tại hai điểm phân biệt 77
  24. Tải tài liệu toán file word miễn phí tại toanpt.com A. m 1 B. m 4 C. m 2 D. m 3 c) Sử dụng đồ thị, hãy nêu các khoảng trên đó hàm số chỉ nhận giá trị âm d) Sử dụng đồ thị, hãy tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số đã cho trên 3;1 Lời giải: b Bài 2.33: a) Ta có 1, 4 24aa Bảng biến thiên x 1 4 y x2 23 x y 4 Suy ra đồ thị hàm số y x2 23 x có đỉnh là I 1; 4 , đi qua các điểm AB1;0 , 3;0 2 Nhận đường thẳng x 1 làm trục đối xứng và hướng bề lõm xuống dưới -3 1 x b) Đường thẳng ym song song hoặc trùng với trục hoành do đó dựa vào đồ thị ta có Với m 4 đường thẳng ym và parabol y x2 23 x cắt nhau tại hai điểm phân biệt c) Hàm số nhận giá trị dương ứng với phần đồ thị nằm hoàn toàn trên trục hoành Do đó hàm số chỉ nhận giá trị âm khi và chỉ khi x ; 3 1; . d) maxy 4 khi và chỉ khi x 1 3;1 miny 0 khi và chỉ khi xx3, 1. 3;1  DẠNG TOÁN 3: ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ CHO BỞI NHIỀU CÔNG THỨC VÀ HÀM SỐ CHỨA DẤU TRỊ TUYỆT ĐỐI. 1. Các ví dụ minh họa. Ví dụ 1: Vẽ đồ thị của hàm số sau x22 khi x a) y b) y x2 x 2 x2 22 x khi x Lời giải y x22 khi x a) Đồ thị hàm số y gồm : x2 22 x khi x + Vẽ đường thẳng yx2 đi qua A 2;0 ,B 0; 2 và lấy phần nằm bên phải của đường thẳng x 2 2 + Parabol y x2 x có đỉnh I 1; 2 , trục đối xứng y OC0;0 , 2;0 x 1, đi qua các điểm và lấy phần đồ thị O 1 x nằm bên trái của đường thẳng x 2 b) Vẽ parabol P của đồ thị hàm số y x2 x 2 có đỉnh 78 -1 O 1 2 x
  25. Tải tài liệu toán file word miễn phí tại toanpt.com 15 1 I ; , trục đối xứng x , đi qua các điểm ABCD1;0, 2;0, 0; 2, 1; 2 . 24 2 Khi đó đồ thị hàm số y x2 x 2 gồm + Phần parabol P nằm phía trên trục hoành và phần đối xứng của P nằm dưới trục hoành qua trục hoành. Ví dụ 2: Vẽ đồ thị của hàm số sau a) y x2 32 x b) y x2 32 x c) y x2 33 x d) y x2 4 x 3 x 2 6 1 y Lời giải: a) Vẽ đồ thị hàm số P: y x2 3 x 2 có đỉnh 31 3 2 I ; , trục đối xứng x , đi qua các điểm 24 2 ABCD1;0 , 2;0 , 0; 2 , 3; 2 . Bề lõm hướng lên trên. -2 -1 yO 1 2 x 2 Khi đó đồ thị hàm số y x32 x là P1 gồm phần bên phải trục tung của P và phần lấy đối xứng của nó 2 qua trục tung. 2 b) Đồ thị hàm số y x32 x là P gồm phần y 2 -2 -1 O 1 2 x phía trên trục hoành của P1 và phần đối xứng của P1 nằm phía dưới trục hoành qua trục hoành. 2 3 c) Đồ thị hàm số y x33 x là P3 có được từ việc tịnh tiến P1 đi một đơn vị lên phái trên song song với trục tung. O 1 x d) Ta có 2 y x2 4 x 3 x 2 6 1 x 2 3 x 2 2 1 y Do đó tịnh tiến P1 sang phải đi hai đơn vị song song với trục hoành ta được đồ thị hàm số 2 y x2 3 x 2 2 , tiếp tục tịnh tiến xuống dưới một đơn vị song song với trục tung ta được đồ thị hàm số 2 O 1 2 3 4 x y x2 3 x 2 2 1 -1 2. Bài tập luyện tập. Bài tập 2.34: Vẽ đồ thị của hàm số sau x2 x khi x 1 a) y x2 x21 khi x b) y x2 23 x Lời giải: 79
  26. Tải tài liệu toán file word miễn phí tại toanpt.com x2 x khi x 1 Bài 2.34: a) Đồ thị hàm số y gồm : x2 x21 khi x 11 1 + Parabol y x2 x có đỉnh I ; , trục đối xứng x , đi qua các điểm 24 2 OA0;0 , 1;0 và lấy phần đồ thị nằm bên phải của đường thẳng x 1 19 1 + Parabol y x2 x 2 có đỉnh I ; , trục đối xứng x , đi qua các điểm 24 2 BC1;0 , 2;0 và lấy phần đồ thị nằm bên trái của đường thẳng x 1 b) Vẽ parabol P của đồ thị hàm số y x2 23 x có đỉnh I 1; 4 , trục đối xứng x 1, đi qua các điểm ABCD1;0 , 3;0 , 0; 3 , 2; 3 . Khi đó đồ thị hàm số y x2 23 x gồm phần parabol P nằm phía trên trục hoành và phần đối xứng của P nằm dưới trục hoành qua trục hoành. Bài 2.35: Vẽ đồ thị của hàm số sau x2 2 x 3 khi x 1 a) y x2 23 x b) y x2 2 x 3 khi x 1 Lời giải: Bài 2.35: a) Vẽ đồ thị hàm số P: y x2 2 x 3 có đỉnh I 1; 4 , trục đối xứng x 1, đi qua các điểm ABCD1;0 , 3;0 , 0; 3 , 2; 3 . Bề lõm hướng xuống dưới. 2 Khi đó P1 là đồ thị hàm số y x23 x là gồm phần bên phải trục tung của P và phần lấy đối xứng của nó qua trục tung. b) Gọi P2 là phần đồ thị của P nằm trên trục hoành và lấy đối xứng của phần nằm dưới trục hoành qua trục Ox . x2 2 x 3 khi x 1 Vậy đồ thị hàm số y gồm phần bên đồ thị bên phải đường x2 2 x 3 khi x 1 thẳng x 1 của P2 và phần đồ thị bên trái đường thẳng x 1 của P1 .  DẠNG TOÁN 4: ỨNG DỤNG CỦA HÀM SỐ BẬC HAI TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, LỚN NHẤT. 1. Phương pháp giải. Dựa vào đồ thị(bảng biến thiên) của hàm số y ax2 bx c ( a 0) ta thấy nó đạt giá b trị lớn nhất, nhỏ nhất trên ; tại điểm x hoặc x hoặc x . Cụ thể: 2a TH 1: a 0 bb * Nếu ; minf ( x ) f ( ); max f ( x ) max f ( ), f ( ) 22aa; ; b * Nếu ; minf ( x ) min f ( ), f ( ) ; max f ( x ) max f ( ), f ( ) 2a ; ; bb TH 2: a 0: * Nếu ; maxf ( x ) f ( ); min f ( x ) min f ( ), f ( ) 22aa; ; 80
  27. Tải tài liệu toán file word miễn phí tại toanpt.com b * Nếu ; minf ( x ) min f ( ), f ( ) ; max f ( x ) max f ( ), f ( ) 2a ; ; 2. Các ví dụ minh họa. Ví dụ 1: Cho phương trình x222 m 3 x m 3 0 , m là tham số. Tìm m để phương trình có hai nghiệm xx12, và P5( x1 x 2 ) 2 x 1 x 2 giá trị lớn nhất. Lời giải: 2 Ta có 'm 3 m2 3 6 m 12 Phương trình có nghiệm ' 0 6mm 12 0 2 x x23 m Theo định lý Viét ta có 12 2 x12 x m 3 P10 m 3 2 m22 3 2 m 10 m 24 Xét hàm số y2 x2 10 x 24 với x 2; Bảng biến thiên x 5 2 2 12 y2 x2 10 x 24 Suy ra max y 12 khi và chỉ khi x 2 2; Vậy m 2 là giá trị cần tìm. y Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: y33 x42 x 2 1 3 x 2 1 1 Lời giải: Đặt t33 x21, t 1 t 2 x 4 2 x 2 1 Khi đó hàm số trở thành y t2 31 t với t 1 . Bảng biến thiên x 3 1 2 1 y t2 31 t 5 4 5 Suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số y33 x42 x 2 1 3 x 2 1 1 là khi và chỉ khi 4 3 3 19 t hay 3 xx2 1 2 28 Ví dụ 3:Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y x4241 x trên 1; 2 . Lời giải: 81
  28. Tải tài liệu toán file word miễn phí tại toanpt.com Đặt tx2 . Với x 1; 2 ta có t 0; 4 Hàm số trở thành f t t2 41 t với t 0; 4 Bảng biến thiên t 0 2 4 1 1 y t2 31 t 1 t 0 x 0 Suy ra max y max f t 1 khi hay 1;2 0;4 t 4 x 2 miny min f t 1 khi t 2 hay x 2 . 1;2 1;2 Ví dụ 4: Cho các số thực ab, thoả mãn ab 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: a22 b a b P 1. ba22ba Lời giải: ab a b a b a b Đặt t . Ta có t 2 . 2 , ba b a b a b a a2 b 2 a 2 b 2 tt2222 b2 a 2 b 2 a 2 Ta có P t222 t 1 t t 1 Xét hàm số f( t ) t2 t 1 với t ; 2 2; . Bảng biến thiên t 2 1 2 f( t ) t2 t 1 5 1 Từ bảng biến thiên ta có ab minP min f ( t ) 1 khi t 2 hay 2 ab. ; 2 2; ba Ví dụ 5: Cho các số xy, thoả mãn: x22 y1 xy . 13 Chứng minh rằng x4 y 4 x 2 y 2 . 92 Lời giải: Đặt P x4 y 4 x 2 y 2 2 Ta có Pxy(2 2 ) 2 3 xy 2 2 1 xy 3 xy 2 2 2 xy 2 2 2 xy 1 Đặt t xy , khi đó P2 t2 2 t 1 x22 y2 xy 12xy xy 1 Vì nên xy 1 x22 y2 xy 12xy xy 3 82
  29. Tải tài liệu toán file word miễn phí tại toanpt.com 1 Do đó t 1. 3 1 Xét hàm số f( t ) 2 t2 2 t 1 trên ;1 3 b 1 Ta có , ta có bảng biến thiên 22a t 1 1 1 3 2 3 f( t ) 2 t2 2 t 1 2 1 1 9 13 Từ bảng biến thiên ta có minf ( t ) P max f ( t ) 1 1 ;12 92;1 3 3 Suy ra điều phải chứng minh. 3. Bài tập luyện tập Bài 2.36: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số a) y x422 x trên 2;1 b) y x432 x x trên [ 1;1] . Lời giải: Bài 2.36: a) Đặt tx2 , xt2;1 0; 4 Xét hàm số f t t2 2 t , t 0; 4 Suy ra maxy 8 x 2, min y 1 x 1. [-2;1] [-2;1] b) Ta có y x42 x 3 x ( x 2 x ) 2 ( x 2 x ) Đặt t x2 x. Xét hàm số t x2 x với x []1;1 b 1 Ta có , bảng biến thiên là 22a t 1 1 1 2 0 2 2 1 t x x 4 1 Suy ra mint t maxt 2 1;1 4 1;1 1 Khi đó, hàm số được viết lại : f() t t2 t với t ;2 . 4 Bảng biến thiên t 1 1 2 4 2 5 2 f() t t2 t 16 83
  30. Tải tài liệu toán file word miễn phí tại toanpt.com 1 4 Từ bảng biến thiên ta có x 1 maxy max f ( t ) 2 khi t 2 hay xx2 2 [ 1;1] 1 ;2 x 2 4 1 1 1 1 3 miny min f ( t ) khi t hay x22 x2 x 2 x 1 0 x [ 1;1] 1 ;2 4 2 22 4 Bài 2.37:Cho xy, là các số thực thoả mãn: 2(x22 y ) xy 1. 18 70 Chứng minh rằng : 7(x4 y 4 ) 4 x 2 y 2 . 25 33 Lời giải: 2 Bài 2.37: Ta có: 7(x4 y 4 ) 4 x 2 y 2 7 x 2 y 2 2 x 2 y 2 4 x 2 y 2 2 xy 1 112 7 2xyxy2 2 4 2 2 33 xy 147 xy 33147, t 2 t txy 2 4 4 1 Ta có xy1 2( x22 y ) 4 xy xy 3 2 1 Mặt khác 2(x22 y ) xy 1 2 x y 5 xy 1 xy 5 1 1 1 Xét hàm số f t33 t2 14 t 7 , t ; . 4 5 3 70 7 18 1 Ta có max f t t , min f t t 11 11 ; 33 33 ; 25 5 53 53 Bài 2.38: Cho các số thực không âm x, y thay đổi và thỏa mãn xy1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S4 x22 3 y 4 y 3 x 25 xy . Lời giải: Bài 2.38: Do xy1 nên : S16 x2 y 2 12 x 3 y 3 9 xy 25 xy 3 16x22 y 12 x y 3 xy x y 34 xy 26x22 y 2 xy 12 . 2 xy 1 1 Đặt t xy , ta được: S16 t2 2 t 12; 0 xy t 0; . 44 4 1 Xét hàm số f t16 t2 2 t 12 trên đoạn 0; ta tìm được 4 25 Giá trị lớn nhất của S bằng ; 2 84
  31. Tải tài liệu toán file word miễn phí tại toanpt.com xy1 11 Khi 1 xy;; . xy 22 4 191 xy1 Giá trị nhỏ nhất của S bằng ; Khi 16 xy 16 2 3 2 3 2 3 2 3 xy;;hoặc xy;;. 44 44 85