Chuyên đề Hình học Lớp 10 - Hệ thức lượng trong tam giác và ứng dụng thực tiễn - Ngô Trang

Nội dung text: Chuyên đề Hình học Lớp 10 - Hệ thức lượng trong tam giác và ứng dụng thực tiễn - Ngô Trang

1. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VÀ ỨNG DỤNG THỰC TIỄN A – LÝ THUYẾT 1. Hệ thức lượng trong tam giác vuông: a2 b 2 c 2 (Pythagoras). b2 a. b , c2 a. c 1 1 1 h2 b . c a h b c h2 b 2 c 2 2. Định lý cosin Cho tam giác ABC có BC a, AC b và AB c . A Ta có 2 2 2 a b c 2 bc .cos A ; b c b2 c 2 a 2 2 ca .cos B ; c2 a 2 b 2 2 ab .cos C . B a C Hệ quả b2 c 2 a 2 c 2 a 2 b 2 a 2 b 2 c 2 cosABC ; cos ; cos . 2bc 2 ca 2 ab Nhận xét: Cho tam giác ABC . Giả sử c là cạnh lớn nhất: Nếu c2 a 2 b 2 thì là tam giác tù tại C. Nếu c2 a 2 b 2 thì ABC là tam giác nhọn tại C. Nếu c2 a 2 b 2 thì ABC là tam giác vuông tại C. 2. Định lí sin Cho tam giác ABC có BC a, AC b , AB c và R là bán kính đường tròn A ngoại tiếp. Ta có b a b c c 2R sinABC sin sin I B a C 3. Độ dài đường trung tuyến Cho tam giác ABC có ma,, m b m c lần lượt là các trung tuyến kẻ từ ABC, , . Ta có A 2 2 2 2 b c a ma ; 24 b 2 2 2 c 2 a c b mb ; 24 a2 b 2 c 2 B a C m2 . c 24 GV: Ngô Trang 1
2. 4. Công thức tính diện tích tam giác Cho tam giác ABC có ● ha,, h b h c là độ dài đường cao lần lượt tương ứng với các cạnh BC, CA , AB ; ● R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác; ● r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác; abc ● p là nửa chu vi tam giác; 2 ● S là diện tích tam giác. Khi đó ta có: 1 1 1 S ah bh ch 2a 2 b 2 c 1 1 1 bcsin A ca sin B ab sin C 2 2 2 abc 4R pr p p a p b p c . 6. Một vài công thức nhanh Cho tam giác đều cạnh a . Ta có: a 3 +) Độ dài đường cao h 2 a +) Bán kính đường tròn ngoại tiếp R 3 a2 3 +) Diện tích tam giác đều cạnh a là S . 4 B. HỆ THỐNG BÀI TẬP TỰ LUẬN DẠNG 1: MỘT SỐ BÀI TOÁN GIẢI TAM GIÁC, TÍNH CẠNH, GÓC, CHIỀU CAO, DIỆN TÍCH Ví dụ 1: ( c.g.c ) Cho tam giác ABC có AB a,2 AC a và BAC 1200 . Tính độ dài cạnh BC và diện tích S của tam giác và bán kính đường tròn ngoại tiếp. Lời giải +) Ta có: BC2 AB 2 AC 2 2 AB . AC .cos A 7 a 2 . Suy ra BC a 7 . 13a2 +) Diện tích tam giác ABC là: S AB. AC .sin A . 22 +) Bán kính đường tròn ngoại tiếp BC 7aa 2 21 2R sin A sin1200 3 Ví dụ 2: ( c.c.c ) Cho tam giác ABC với ba cạnh a 13, b 14, c 15. Tính đường cao hc và bán kính đường tròn ngoại tiếp . Lời giải GV: Ngô Trang 2
3. Diện tích: S p( p 13)( p 14)( p 15) 84 . 2.S 56 Đường cao cần tìm: h . c 15 5 abc 13.14.15 65 Bán kính đường tròn ngoại tiếp . SR 84 4RR 4 8 Ví dụ 3: ( 2 góc, 1 cạnh ) Cho tam giác ABC có B 60  , C 45  , AB c 2 2 . Giải tam giác Lời giải +) ABC 18000 75 . AB AC ABsin B 2 2 sin 600 +) Áp dụng định lí sin ta có: AC 23. sinC sin B sinC sin 450 Cách 1 ( Nếu cho trước biết sin 750 hoặc được sử dụng máy tính ) AB BC ABsin A 2 sin 750 +) Áp dụng định lí sin ta có: BC 62 . sinC sin A sinC sin 450 Cách 2 ( Nếu không cho trước ) b2 c 2 a 2 2 ca .cos B 12 8 aa20 4 2 .cos60 a 26 aa2 2 2 4 0 . Vì a 0 nên a 26. a 26 Ví dụ 4: ( 2 cạnh và 1 góc đối diện ) Cho tam giác có AB c 2 2, AC b 2 3 và C 45 . Giải tam giác. Lời giải Cách 1 ( Nếu cho trước biết hoặc được sử dụng máy tính ) cb 2 2 2 3 2 3sin 450 3 B 600 +) Áp dụng định lí sin ta có: sin B sinC sin B 0 0 sin 45 sin B 22 2 B 120 Trường hợp 1: Nếu B 600 thì A 750 . Khi đó tính cạnh a như ví dụ trên. Trường hợp 2: Nếu B 1200 thì A 150 . Ví dụ 5: Cho tam giác ABC có AB 3, BC 5 và độ dài đường trung tuyến BM 13 . Tính độ dài AC , chu vi và diện tích ABC . Lời giải A 3 M 13 B C 5 GV: Ngô Trang 3
4. +) Xét ABC , theo công thức tính độ dài đường trung tuyến, ta có: BA2 BC 2 AC 2 2 352 2AC 2 BM 2 13 AC 4 24 24 +) Chu vi tam giác ABC là AB AC BC 3 4 5 12. AB AC BC 12 Ta có: p 6 . 22 +) Diện tích tam giác ABC là: S ppAB pAC pBC 6 6 3 6 4 6 5 36 6 . Ví dụ 6: Cho tam giác ABC có AB 3 , BC 4 và diện tích S 33 . Tính cạnh AC Lời giải 1 13 B 60 Ta có: S . AB . BC .sin B nên 3 3 .3.4.sinBB sin 2 22 B 120 +) B 60 áp dụng định lí côsin ta có: 1 AC2 AB 2 BC 2 2 AB . BC .cos B 9 16 2.3.4. 13 AC 13 . 2 +) B 120 áp dụng định lí côsin ta có: 2 2 2 1 AC AB BC 2 AB . BC .cos B 9 16 2.3.4. 37 AC 37 . 2 3 Ví dụ 7: Cho tam giác ABC có AB 2 3 , AC 3 và cos A . Hãy tính cạnh còn lại của tam giác 9 ABC và tính độ dài đường trung tuyến ứng với cạnh AB Lời giải Theo định lí côsin trong tam giác ta có: 2 3 BC2 AB 2 AC 2 2 AB . AC .cos A 3 2 233 2.3.2. 25 5 BC 9 Theo công thức đường trung tuyến ta lại có: 2 AB2 BC 2 AC 235 2 2 2 3 BM2 14 BM 14 2 4 2 4 Ví dụ 8: Cho ABC cân tại A có C 30  , BC 5 cm . Tính diện tích ABC và bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC . GV: Ngô Trang 4
5. Lời giải BC 55 BCA 30  ; 120  . Áp dụng định lý sin ta có : 2RR sinA 2.sin120 3 * Tính diện tích: Cách 1: Áp dụng định lý côsin ta có: AB2 AC 2 BC 2 2. AC . BC .cos C . 35 Do ABC cân tại A ta có: AC2 AC 2 5 2 2. AC .5.cos30  5 2 2. AC .5. 0 AC 2 3 1 1 5 5 25 3 S . AB . AC .sin A . . .sin120  ABC 2 233 12 Cách 2: Kẻ AH BC 5 1 5 3 ACH có H 90  AH CH .tan30   263 1 1 5 3 25 3 S . AH . BC . .5 . ABC 2 2 6 12 Ví dụ 9: Cho tam giác ABC có hai trung tuyến BM và CN hợp với nhau một góc 120, biết BM 12 , CN 15 . Tính độ dài các cạnh của tam giác Lời giải *Tính BC A N M G B C Gọi BM CN G G là trọng tâm của tam giác ABC . 2 2 GB BM 8, GC CN 10 GM 4 , GN 5 . 3 3 Áp dụng định lý cos trong tam giác GBC có: BC2 GB 2 GC 2 2 GB . GC .cos120  244 BC 2 61 . * Tính AB, AC GV: Ngô Trang 5
6. AB2 BC 2 AC 2 BM 2 24 Cách 1: Ta có hệ phương trình: AC2 BC 2 AB 2 CN 2 24 2 2 AB 2 61 AC 2 122 2AB22 AC 88 24 2 22 2 AB 2 AC 412 AC 2 61 AB2 152 24 AB2 196 AB 14 . 2 AC 304 AC 4 19 Cách 2: Ta có: BGN 180  BGC 60  , MGC 180  BGC 60  . Áp dụng định lý cos, ta được: BN2 GB 2 GN 2 2 GB . GN .cos60  49 BN 7 AB 2 BN 14 . MC2 GM 2 GC 2 2 GM . GC .cos60  76 MC 2 19 AC 2 MC 4 19 . sinABC sin sin Ví dụ 10: Cho tam giác ABC biết BC 10 và thỏa . Tính độ dài các cạnh và số đo 12 3 các góc của tam giác? Lời giải BC AC AB Theo định lý sin trong tam giác ABC ta có: . sinABC sin sin sinABC sin sin Mà 12 2 BC AC AB nên 12 2 AC 2 BC 20 AB 2 BC 10 3 Áp đụng định lý cos trong tam giác ABC ta có: AB2 AC 2 BC 2 400 300 100 3 cosA A 300 2.AB . AC 2.20.10 3 2 BC2 AC 2 AB 2 100 400 300 3 cosC C 600 2.BC . AC 2.20.10 2 B 900 Ví dụ 11: Cho tam giác ABC có cạnh AB 14, góc Cˆ 120 , tổng hai cạnh còn lại là 16. Tính độ dài hai cạnh còn lại Lời giải Ta có: AB2 BC 2 AC 2 2 BC . AC .cos Cˆ 196 BC 2 AC 2 2 BC . AC .cos120  196 BC22 AC BC . AC 1 GV: Ngô Trang 6
7. Ta lại có : BC AC 16 AC 16 BC thay vào 1 ta được 196 BC2 16 BC 2 BC 16 BC BC2 16 BC 60 0 BC 10 BC 6 +) Với BC 10 AC 6 +) Với BC 6 AC 10 Vậy: BC 10 và AC 6 hoặc BC 6 và AC 10. 1 3 Ví dụ 12: Cho tam giác ABC có AB 4 , AC 6 , cos B , cosC . Tính cạnh BC . 8 4 Lời giải 63 7 Ta có: sinBB 1 cos2 , sinCC 1 cos2 . 8 4 9 cosABCBCBC cos( ) sin .sin cos .cos . 16 Do đó BC AB22 AC 2 AB . AC .cos A 5. Vậy BC 5 . Ví dụ 13: Cho tam giác ABC vuông tại A , AB a 3 , AC a. Phân giác trong góc A cắt BC tại M . Tính AM Lời giải 13a2 Ta có S AB. AC ABC 22 11 S AB. AM .sin 4500 , S AC . AM .sin 45 , ABM22 ACM AM S S S a62 a ABC ABM ACM 4 23a a 3 2 6 Vậy AM . 26 2 Ví dụ 14: Cho hình chữ nhật ABCD biết AD 1 . Giả sử E là trung điểm AB và thỏa mãn 1 sin BDE Tính độ dài cạnh AB . 3 Lời giải A E B D C Đặt AB 20 x x AE EB x . GV: Ngô Trang 7
8. Vì góc BDE nhọn nên cosBDE 0 suy ra 22 cosBDE 1 sin2 BDE 3 Theo định lí Pitago ta có: DE2 AD 2 AE 2 11 x 2 DE x 2 BD2 DC 2 BC 2 4 x 2 1 BD 4 x 2 1 Áp dụng định lí côsin trong tam giác BDE ta có DE2 DB 2 EB 22 2 4 x 2 2 2 x 2 1 cos BDE 2DE . DB 3 2 2 2 2 2 1 x 4 x 1 1 x 4 x 1 2 2 2 2 4 2 4 2 22.1 x 4 x 1 3.2 x 1 84 x 5 x 194 x 4 x 1 2 4x4 4 x 2 1 0 2 x 2 1 x (Do x 0 ) 2 Vậy độ dài cạnh AB là 2 . Ví dụ 15: Cho tam giác ABC có các cạnh AB c;; BC a AC b .Tính góc BCA của tam giác ABC biết ab và a a2 c 2 b b 2 c 2 . Lời giải Ta có: a a2 c 2 b b 2 c 2 a3 b 3 c 2 a b 0 . a b a2 ab b 2 c 2 a b 0 . a b a2 ab b 2 c 2 0 . Do ab nên a2 ab b 2 c 2 0 a2 b 2 c 2 1 cos BCA . Do đó: BCA 120 . 2ab 2 BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn bán kính bằng 3, biết AB 3000 , 45 . Tính độ dài trung tuyến kẻ từ A . Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại B có AB 1. Trên tia đối của AC lấy điểm D sao cho CD AB. Giả sử CBD 300 . Tính AC. 53 Bài 3: Cho tam giác ABC có A 600 , a 10, r . Tính R, b, c 3 Bài 4: Cho tam giác ABC có AB 10, AC 4 và A 600 .Tính chu vi của tam giác, tanC 15 Bài 5: Tam giác ABC cân tại C , có AB 9cm và AC cm . Gọi D là điểm đối xứng của B qua C . 2 Tính độ dài cạnh AD. Bài 6: Cho tam giác ABC Gọi a là độ dài đoạn phân giác trong góc BAC . Tính a theo b và c . GV: Ngô Trang 8
9. 5 13 Bài 7: Tam giác ABC có AB 3, BC 8. Gọi M là trung điểm của BC . Biết cos AMB và 26 AM 3. Tính độ dài cạnh AC . Bài 8: Tam giác ABC có trọng tâm G . Hai trung tuyến BM 6, CN 9 và BGC 1200 . Tính độ dài AB . Bài 9: Tam giác ABC có độ dài ba trung tuyến lần lượt là 9; 12; 15 . Diện tích của tam giác ABC ? DẠNG 2: NHẬN DẠNG TAM GIÁC Ví dụ 1: Cho tam giác ABC thỏa mãn điều kiện sinB 2sin C . c osA . Chứng minh rằng tam giác ABC cân. Lời giải b c b2 c 2 a 2 sinB 2sin C . c osA 2 . 22 2R 2 R 2 bc ac ac. Vậy tam giác ABC cân ( đpcm). cosA cos B cos C a Ví dụ 2: Nhận dạng tam giác ABC thỏa mãn: . a b c bc Lời giải b2 c 2 a 2 cos A b2 c 2 a 2 Ta có: cos A . Tương tự, ta có 2bc a2 abc bcaacbabcabc222222222222 VT 2abc 2 abc 2 abc 2 abc a2 b 2 c 2 a Nên từ giả thiết suy ra a2 b 2 c 2 2 a 2 a 2 b 2 c 2 2abc bc Vậy tam giác ABC vuông tại A . sinABC sin sin Ví dụ 3: Cho tam giác ABC thỏa . Chứng minh tam giác ABC đều ma m b m c Lời giải Theo định lí sin ta có: sin Aa a b c sin Bb 2R . sinABC sin sin sin Aa sinCc sinABC sin sin Khi đó: ma m b m c sin A m a m 2 2 2 2 2 2 a a 222a 2 c b 2 b 2 c a 2 2 2 2 ab  sin Bmb bmb a mba b m 44 sin A m a m a2 m 2 c 2 m 2 2a2 2 b 2 c 2 2 b 2 2 c 2 a 2 a a ca ac22  sin Cmc cmc 44 GV: Ngô Trang 9
10. 2 2 2 a b a b a b c 0 ab abc . 2 2 2 ac a c a c a b c 0 Vậy tam giác ABC đều. Ví dụ 4: Cho ABC có AB c ; BC a ; AC b . a) Chứng minh rằng: Nếu cos ACB 3cos 1 thì B 60. 1 cosB 2 a c b) Chứng minh rằng: Nếu thì ABC cân sin B 4ac22 Lời giải a) Ta có: cos ACBBB 3cos 1 cos 180 3cos 1 1 cosBBBB 3cos 1 cos 60  2 1 cosB 2 a c (1 cos B )2 2 a c b) Ta có: 2 sinB4ac22 sin B 2 a c (1 2cosB cos22 B ) sin B 2 a c 2 a c sin2 B 2 a c 1 cosBa 2 2a c 2 a 2 a .cos B 1 cos2 B 2 a c c2 a 2 b 2 20a c a22 b a b 2ac ABC là tam giác cân tại C. Ví dụ 5: Cho tam giác ABC có các cạnh BC a;; AC b AB c và thỏa mãn hệ thức a2 b 2 c 2 bc . Chứng minh rằng: BAC 120 . Lời giải Theo định lý cosin ta có: a2 b 2 c 2 2 bc .cos A Mà: a2 b 2 c 2 bc 1 Do đó: cosA  BAC 120 . 2 BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Nhận dạng tam giác ABC biết a.sin A b sin B c sin C ha h b h c a3 c 3 b 3 b2 Bài 2: Cho ABC thoả mãn điều kiện: a c b . Chứng minh rằng ABC đều. a 2 b cos C 1 1 3 Bài 3: a, Cho ABC thoả mãn Tìm góc B. b c a b a b c 1 1 1 a b, Cho ABC thoả mãn Tìm góc A. b c a b c bc GV: Ngô Trang 10
11. b c a Bài 4: Cho tam giác ABC thoả mãn . Chứng minh tam giác ABC vuông. cosBBC cosC sin sin 1 Bài 5: Nhận dạng tam giác ABC biết S ab 2 DẠNG 3: CHỨNG MINH MỘT SỐ HỆ THỨC Ví dụ 1: : Chứng minh trong tam giác ABC ta có; a, a b.cos C c .cos B b2 c 2 a 2 b, cot A 4S Lời giải abc222 acbabcacb 222222222 2 a 2 a, Ta có: b.cos C c .cos B b . c . a 2ab 2 ac 2 a 2 a 2 a cosA b2 c 2 a 2 2 S 1 b, Ta có: cotA : (vì S bc.sin A ) sinA 2 bc bc 2 Suy ra Ví dụ 2: : Cho tam giác ABC có AB c,, BC a CA b và R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Chứng minh rằng: a2 b 2 c 2 2 R a sin A b sin B c sin C . Lời giải aa2 Theo định lý hàm sin, ta có: sinA a sin A . 22RR b2 c2 Tương tự ta có: bBsin và cCsin . 2R 2R abc2 2 2 Từ đó suy ra: asin A b sin B c sin C 2R a2 b 2 c 2 2 R a sin A b sin B c sin C (đpcm). Ví dụ 3: : Cho tam giác ABC có các góc ABC,, thỏa mãn sin2BCA sin 2 2sin 2 . Chứng minh: A 60 . Lời giải a b c Theo định lý hàm sin, ta có: sinABC ,sin ,sin . 2RRR 2 2 b2 c 2 a 2 Ta có: sin2B sin 2 C sin 2 A 2 b 2 c 2 2 a 2 . 4RRR2 4 2 4 2 Theo bất đ ng thức Cô si ta có: b2 c 2 2 a 2 2 b 2 c 2 2 bc a 2 bc . b2 c 2 a 2 a 2 Theo định lý hàm cos, ta có: a2 b 2 c 2 2 bc cos A cos A . 22bc bc aa221 ì bc a2 nên cosAA 600 . 2bc 2 a2 2 GV: Ngô Trang 11
12. Ví dụ 4: Cho tam giác ABC vuông ở A , gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác. Đặt IA x, IB y , 1 1 1 2 IC z . Chứng minh rằng : x2 y 2 z 2 yz Lời giải rr r r Ta có: x ; y ; z . 0 BC B C sin 45 sin sin sin 2 2 2 BCBCCB sin sin cos sin cos yz r r Suy ra: r2 r 2 2 2 2 a BCBCBC x sin sin sin cos tan tan 2 2 2 2 2 2 yz22 a2 (1) x2 Áp dụng định lí cosin cho tam giác BIC ta có 2 2 2 2 2 2 0 BC a y z 2 yz cos BIC a y z 2 yz cos 180 2 a2 y 2 z 2 2 yz cos135 0 a2 y 2 z 2 yz 2 (2) yz22 1 1 1 2 Từ (1) và (2) ta có : y22 z yz 2 . x2 x2 y 2 z 2 yz BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Chứng minh trong tam giác ABC ta có a) sinABCCB sin cos sin cos b) ha 2 R sin B sin C cosA cosB cosC a2 b 2 c 2 c, cBbCcos cos ccosA aC cos a cos Bb cosA 2 abc Bài 2: Cho tam giác ABC có a4 b 4 c 4 . Chứng minh tam giác ABC nhọn và 2sin2 ABC tan tan Bài 3: Cho tam giác ABC , chứng minh a) SRABC 22 sin sin sin . b) S Rr(sin A sin B sin C ) . GV: Ngô Trang 12
13. DẠNG 4: MỘT SỐ BÀI TOÁN ỨNG DỤNG THỰC TIỄN. Ví dụ 1: Từ hai vị trí A và B của một tòa nhà, người ta quan sát đỉnh C của ngọn núi. Biết rằng độ cao AB 70 m , phương nhìn AC tạo với phương nằm ngang một góc 30, phương nhìn BC tạo với phương nằm ngang một góc 15 30 (như hình vẽ). Tính độ cao CH của ngọn núi so với mặt đất. Lời giải C 15°30' B I 70 m 30° A H Cách 1: CH CH + Ta có: tanCAH AH . AH tan30 CI CI CH 70 + Lại có: tanCBI BI . BI tan15 30 tan15 30 CH CH 70 70 + Do AH BI nên . tan30 tan15  30 tan30  tan15  30 70.tan30  + Vậy CH 134,7 m . tan30 tan15  30 Cách 2: + Ta có: ABC 90  15  30 105  30 . ACB 180  ABC BAC 180     60 105 30 14 30 . + Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC , ta có: AC AB 70.sin105 30 AC . sinABC sin ACB sin14 30 CH 70.sin105 30 + Lại có: sinCAH CH AC .sin30  .sin30  134,7 m . AC sin14 30 GV: Ngô Trang 13
14. Ví dụ 2: Các góc nhìn đến đỉnh núi so với mực nước biển được đo từ hai đèn tín hiệu A và B trên biển được thể hiện trên hình vẽ. Nếu các đèn tín hiệu cách nhau 1536 m thì ngọn núi cao bao nhiêu (tính gần đúng sau dấu phẩy hai chữ số)? Lời giải Ta có ATB TBN TAN 12,2  . TB AB AB.sin TAB Áp dụng định lí sin cho tam giác TAB : TB . sinTAB sin ATB sin ATB Xét tam giác vuông TBN ta có: AB.sin TAB .sin TBN 1536.sin 27,4 .sin39,6 TN TB.sin TBN 2132,14 . sin ATB sin12,2 Vậy chiều cao ngọn núi xấp xỉ 2132,14 m. Ví dụ 3: Một người quan sát đứng cách một cái tháp 15m, nhìn thấy đỉnh tháp một góc 450 và nhìn dưới chân tháp một góc 150 so với phương nằm ngang như trong hình vẽ. Tính chiều cao h của tháp. Lời giải B Ta có BC AC.tan BAC 15.tan 450 15 ( m ) CD AC.tan DAC 15.tan150 15 2 3 ( m ) h BD BC CD 45 15 3 m . 15 m A C ậy chiều cao của tháp là 45 15 3 m . D GV: Ngô Trang 14
15. Ví dụ 4: Hai chiếc tàu thủy cùng xuất phát từ một vị trí A , đi th ng theo hai hướng tạo với nhau góc 600 . Tàu B chạy với tốc độ 20 hải lí một giờ. Tàu C chạy với tốc độ 15 hải lí một giờ. Sau hai giờ, hai tàu cách nhau bao nhiêu hải lí? Lời giải Sau 2 giờ tàu B đi được 40 hải lí, tàu C đi được 30 hải lí. Vậy tam giác ABC có AB 40, AC 30 và A 600 . Áp dụng định lí côsin vào tam giác ABC, ta có BC2 AB 2 AC 2 2. AB . AC .cos A 30 2 40 2 2.30.40.cos60 0 900 1600 1200 1300. Vậy BC 1300 36 (hải lí). Sau 2 giờ, hai tàu cách nhau khoảng 36 hải lí. Ví dụ 5: Trong một lần đi khảo sát các đảo thuộc quần đảo Trường Sa của Việt Nam, các nhà khoa học phát hiện có một đảo có dạng hình tròn, tâm của đảo này bị che bởi một bãi đá nhỏ mà các nhà khoa học không thể tới được. Các nhà khoa học muốn đo bán kính của đảo này, biết rằng các nhà khoa học chỉ có dụng cụ là thước th ng dài. Nêu cách để các nhà khoa học tính được bán kính đảo? Lời giải B A C Lấy ba điểm A, B, C khác nhau trên đường tròn (ở các điểm ngoài cùng của đảo). Đo độ dài các đoạn th ng BC a, AC b, AC c . Áp dụng công thức Hê-rông tính diện tích tam giác ABC . abc S p p a p b p c với p . 2 abc abc Lại có: SR 44RS abc Vậy bán kính của đảo được tính theo công thức: R . 4S Ví dụ 6: Một người đứng trên tàu thả neo giữa biển phát hiện trên bờ biển có hai ngọn hải đăng cách nhau 5km . Người đó xác định được các góc tạo thành giữa các đường ngắm của hai ngọn hải đăng và đường th ng từ tàu vuông góc với bờ là 15và 35( hình minh họa). Hãy tính a) Khoảng cách giữa con tàu và ngọn hải đăng thứ nhất b) Khoảng cách giữa con tàu và ngọn hải đăng thứ hai c) Khoảng cách giữa con tàu và bờ biển nối hai ngọn hải đăng GV: Ngô Trang 15
16. Lời giải Gọi BC, lần lượt là chân ngọn hải đăng thứ nhất và thứ hai. Gọi A là điểm người đứng trên tàu và H là hình chiếu của A lên BC . Theo giả thiết ta có HBA ABC 75  , HCA ACB 55  , BAC 50  Trong tam giác ABC áp dụng định lí sin ta có AB BC BC.sin ACB 5.sin55 AB 5,35 (km) sinACB sin BAC sin BAC sin50 AC BC BC.sin ABC 5.sin 75 AC 6,30 (km) sinABC sin BAC sin BAC sin50 Trong tam giác vuông AHC ta có AH AC.cos HAC 6,30.cos35  5,16 (km). GV: Ngô Trang 16
17. Ví dụ 7: Từ hai vị trí A , B người ta quan sát một cái cây (hình vẽ). Lấy C là điểm gốc cây, D là điểm ngọn cây. A , B cùng th ng hàng với điểm H thuộc chiều cao CD của cây. Người ta đo được AB 10 m , HC 1,7 m , 63 ,  48 . Tính chiều cao của cây đó. Lời giải Ta có 63 BAD 117  ADB 180  117  48  15  AB BD AB.sin BAD Áp dụng định lý sin trong tam giác ABD ta có: BD sinADB sin BAD sin ADB HD Tam giác BHD vuông tại H nên có: sin HBD HD BD.sin HBD BD AB.sin BAD .sin HBD 10.sin117 .sin 48 Vậy HD 25,58m . sin ADB sin15 Suy ra chiều cao của cây là: CD CH HD 1,7 25,58 27,28m . BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Vịnh Vân Phong – tỉnh Khánh Hòa nổi tiếng vì có con đường đi bộ xuyên biển nối từ Hòn Quạ đến đảo Điệp Sơn. Một du khách muốn chèo thuyền kayak từ vị trí C trên Hòn Quạ đến vị trí B trên Bè thay vì đi bộ xuyên qua con đường qua vị trí A rồi mới đến vị trí B . Nếu người đó chèo thuyền với vận tốc không đổi là 4 km/h thì sẽ mất bao nhiêu thời gian biết AB 0,4 km, AC 0,6 km và góc giữa AB và AC là 60 ? GV: Ngô Trang 17
18. Bài 2: Giả sử chúng ta cần đo chiều cao AB của một tòa tháp với B là chân tháp và A là đỉnh tháp. Vì không thể đến chân tháp được nên từ hai điểm C và D có khoảng cách CD 30 m sao cho ba điểm BCD,, th ng hàng người ta đo các góc BCA 43 và góc BDA 67 . Hãy tính chiều cao AB của tòa tháp Bài 3: Một người quan sát đỉnh của một ngọn núi từ hai vị trí khác nhau của tòa nhà. Lần đầu tiên, người đó quan sát đỉnh núi từ tầng trệt với phương nhìn tạo với phương nằm ngang 35và lần thứ hai, người này quan sát tại sân thượng của cùng tòa nhà đó, với phương nhìn tạo với phương nằm ngang 15. Tính chiều cao ngọn núi, biết rằng tòa nhà cao 60m . Bài 4: Để đo chiều cao từ mặt đất đến đỉnh cột cờ của một Kỳ đài trước Ngọ Môn ( Đại Nội – Huế). Người ta cắm hai cọc bằng nhau MA và NB cao 1,5 mét so với mặt đất . Hai cọc này song song . cách nhau 10 mét và th ng hàng so với cột cờ ( xem hình vẽ minh họa ) . Đặt giác kế đứng tại A và B để nhắm đến đỉnh cột cờ, người ta đo được các góc lần lượt là 52 45' và 45 50' so với đường th ng song song với mặt đất . Hãy tính chiều cao của cột cờ ( làm tròn đến 0,01 m). Bài 5: Một người quan sát đỉnh của một ngọn núi nhân tạo từ hai vị trí khác nhau của tòa nhà. Lần đầu tiên người đó quan sát đỉnh núi từ tầng trệt với phương nhìn tạo với phương nằm ngang 350 và lần thứ hai người này quan sát tại sân thượng của cùng tòa nhà đó với phương nằm ngang 150 (như hình vẽ). Tính chiều cao ngọn núi biết rằng tòa nhà cao 60 m . GV: Ngô Trang 18
19. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Câu 1. Cho tam giác ABC bất kỳ có BC a, AC b, AB c . Tính giá trị của cos A. b2 c 2 a 2 b2 c 2 a 2 A. cos A . B. cos A . bc 2bc b2 c 2 a 2 b2 c 2 a 2 C. cos A . D. cos A . bc 2bc Câu 2. Cho tam giác ABC bất kỳ có BC a, AC b, AB c . Gọi mc là độ dài đường trung tuyến kẻ từC . Khi đó: a2 b 2 c 2 c2 a 2 b 2 A. m2 . B. m2 . c 24 c 24 22a2 b 2 c 2 c2 b 2 a 2 C. m2 . D. m2 . c 4 c 24 Câu 3. Cho tam giác ABC là tam giác đều cạnh a . Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC bằng a 3 a 3 a 3 a 2 A. . B. . C. . D. . 2 4 3 2 Câu 4. Cho tam giác ABC có AC 6 , BC 8. Gọi ha , hb lần lượt là độ dài các đường cao xuất phát từ h các đỉnh AB, . Tỉ số a bằng hb 3 4 2 3 A. . B. . C. . D. . 2 3 3 4 Câu 5. Cho tam giác ABC có AB 6, BC 3, AC 5. Độ dài đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh C bằng A. 2 . B. 22. C. 3 . D. 10 . Câu 6. Cho tam giác ABC có S 84, a 13, b 14, c 15. Độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp R của tam giác trên bằng A. 8,125. B. 130. C. 8. D. 8,5. Câu 7. Cho tam giác ABC có BC a, AB c , AC b , R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Chỉ ra đ ng thức sai trong các đ ng thức sau: a a cAsin A. 2.R B. sinA . C. bsin B 2 R . D. sinC . sin A 2R a Câu 8. Cho tam giác ABC có diện tích S 10 3 và nửa chu vi p 10. Bán kính đường tròn nội tiếp r của tam giác đó bằng bao nhiêu? A. 3. B. 2. C. 2. D. 3. Câu 9. Cho tam giác ABC có AB 3 cm, AC 4 cm và diện tích S 33 cm2. Tính độ dài cạnh BC , biết A là góc tù. A. BC 37 cm. B. BC 43 cm. C. BC 19 cm. D. BC 13 cm. Câu 10. Cho hình bình hành ABCDcó AB a , BC a 2 và BAD 135 . Diện tích của hình bình hành ABCD bằng A. a 2 . B. 2a2 . C. 3a2 . D. 2a2 . GV: Ngô Trang 19
20. Câu 11. Tam giác ABC có BC 60  , 45  và AB 5. Hỏi cạnh AC bằng bao nhiêu ? 56 A. AC . B. AC 5 3. C. AC 5 2. D. AC 10. 2 Câu 12. Tam giác ABC có BC 5 , AB 3, AC 4. Lấy điểm D đối xứng với B qua C . Độ dài đoạn th ng AD (làm tròn đến hàng phần chục) là A. 8,5. B. 12, 4. C. 11,1. D. 9,3. Câu 13. Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác đều cạnh a bằng a 3 a 2 a 2 a 5 A. . B. . C. . D. . 6 5 4 7 Câu 14. Cho tam giác vuông, trong đó có một góc bằng trung bình cộng của hai góc còn lại. Cạnh lớn nhất của tam giác đó bằng a . Tính diện tích tam giác đó. a2 2 a2 3 a2 3 a2 6 A. . B. . C. . D. . 4 8 4 10 Câu 15. Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a . Gọi E là trung điểm cạnh BC và F là trung điểm cạnh AE . Tính độ dài đoạn th ng DF . a 13 a 5 a 3 3a A. DF . B. DF . C. DF . D. DF . 4 4 2 4 GV: Ngô Trang 20