Chuyên đề Hình học Lớp 10: Một số vấn đề liên quan đến Đường tròn

Nội dung text: Chuyên đề Hình học Lớp 10: Một số vấn đề liên quan đến Đường tròn

1. Một số vấn đề liên quan đến Đường tròn I. Phương trình đường tròn Đường tròn (C) tâm I(a; b) và bán kính R. Phương trình có dạng: (x – a)2 + (y – b)2 = R2 (1) Nếu ta khai triển hằng đẳng thức (1) và chuyển R2 về vế trái ta được dạng : x2 + y2 - 2ax – 2by + c = 0 (2) II. Viết phương trình đường tròn Để viết phương trình đường tròn ta cần tâm I(a; b) và bán kính R sau đó thay vào (1) ta được phương trình đường tròn Cách xác định tâm I và bán kính R 1) Viết phương trình đường tròn tâm I(a; b) và bán kính R ( Ta biết tâm I và bán kính R) 2) Viết phương trình đường tròn tâm I(a; b) và đi qua điểm M(x0; y0) Tâm I(a; b) đã cho     Bán kính R IM IM (Tìm tọa độ vecto IM sau đó độ dài IM = IM R ) 3) Viết phương trình đường tròn nhận AB làm đường kính ( A, B có cho tọa độ) Tâm I(a; b) là trung điểm của AB (Tìm tọa độ trung điểm I của AB)  AB  AB Bán kính R = (Tìm tọa độ vecto AB sau đó tính độ dài AB R ) 2 2 4) Viết phương trình đường tròn tâm I(a; b) và tiếp xúc với đường thẳng (hay là tiếp tuyến) Tâm I(a; b) đã cho Bán kính R = d(I; ) (Tìm khoảng cách từ I đến ) 5) Viết phương trình đường tròn qua 3 điểm A, B, C ( với A, B, C có tọa độ) Sử dụng phương trình đường tròn dạng (2): x2 + y2 - 2ax – 2by + c = 0 Thay lần lượt tọa độ các điểm A, B, C vào (2) ta được hệ 3 phương trình 3 ẩn a, b, c Giải hệ ta được a, b, c và thay a, b, c vào (2) ta được pt cần tìm III. Cho phương trình dạng: x2 + y2 - 2ax – 2by + c = 0 Xem phương trình trên có phải là phương trình đường tròn không?. Nếu là đường tròn hãy xác định tâm và bán kính Tìm a = hệ số đứng trước x chia cho - 2 (lấy cả dấu) b = hệ số đứng trước y chia cho - 2 (lấy cả dấu) c = hằng số không chứa x, y Nếu a2 + b2 – c > 0. ta kết luận phương trình trên là phương trình đường tròn Khi đó tâm I(a; b) và bán kính R = a 2 b2 c Chú ý: + Đường tròn tâm I bán kính R tiếp xúc với đường thẳng d I, R + Cho đường tròn C tâm I a,b bán kính R C tiếp xúc với Ox R b C tiếp xúc với Oy R a IV. Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn Ta biết tiếp tuyến với đường tròn là một đường thẳng : ax + by + c = 0 1) Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn (C) tại điểm M(x0; y0) ( M (C) và (C) có thể cho dạng (1) hoặc dạng (2)) Từ (C) xác định tâm I Qua M(x0 ; y0 ) Khi đó :  VTPT n IM 2) Viết phương trình tiếp tuyến với đường tròn (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm M(x0; y0)
2. ( M (C) và (C) có thể cho dạng (1) hoặc dạng (2)) Từ (C) xác định tâm I và bán kính R Lập phương trình đường thẳng đi qua M theo hệ số gốc k : y = k(x – x0) + y0 kx – y – kx0 + y0 = 0 (*) Điều kiện để là tiếp tuyến của (C) là khoảng cách từ I dến bằng bán kính Tính d(I; ) sau đó cho d(I; ) = R giải tìm k, thay k vào (*) ta được phương trình cần tìm BÀI TẬP Bài tập 1: Viết pt đường tròn C trong mỗi trường hợp sau: a) C có tâm I 2;0 ; bán kính R 2 b) C có tâm I 2;0 và đi qua điểm A 3; 3 c) C có tâm I 5;1 và tiếp xúc với đường thẳng : x 2y 2 0 d) C có đường kính là AB với A 1;4 ; B 3;0 e) C đi qua 3 điểm A 5;3 ; B 6;2 ;C 3; 1 f) C có tâm nằm trên đường thẳng : 2x y 4 0 và tiếp xúc với hai trục tọa độ g) C đi qua điểm M 2; 1 và tiếp xúc với các trục tọa độ. h) C đi qua điểm A 1,2 ; B 3;1 và tâm I nằm trên d : 7x 3y 1 0 Đáp số: a) C : x 2 2 y2 4 b) C : x 2 2 y2 10 c) C : x 5 2 y 1 2 5 2 2 2 2 2 2 4 4 16 d) C : x 2 y 2 5 e) C : x y 8x 2y 12 0 f) x y 3 3 9 2 2 2 2 g) C2 : x 5 y 5 25 h) C : x y x 3y 10 0 Bài tập 2: Viết phương trình đường tròn C đi qua điểm A 1; 2 và tiếp xúc với đường thẳng d : 7x y 5 0 tại điểm M 1;2 Giải Vậy phương trình đường tròn C : x 6 2 y 3 2 50 Bài tập 3: Cho đường tròn C : x2 y2 2x 4y 0 a) Tìm tâm và bán kính của C b) Viết pt tiếp tuyến của C tại điểm A 1;1 c) Viết pt tiếp tuyến của C đi qua điểm B 4;7 d) Viết pt tiếp tuyến của biếtC tiếp tuyến song song với đường thẳng 3x 4y 1 0 e) Viết pt tiếp tuyến của C biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 2x y 3 0 Giải a) C có tâm I 1;2 ; bán kính R 5 b) Gọi là tiếp tuyến cần tìm Phương trình của là: 2 x 1 1 y 1 0 2x y 1 0 1 c) Với a , pttt phải tìm là: x 2y 10 0 2 Với a 2 , pttt phải tìm là: 2x y 1 0 d) / /d :3x 4y 1 0 phương trình có dạng: 3x 4y c 0 1 :3x 4y 5 5 5 0; 2 :3x 4y 5 5 5 0 e) Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm là: 1 : x 2y 10 0; 2 : x 2y 0