Chuyên đề Toán 8 - Chủ đề 8: Rút gọn phân thức

Nội dung text: Chuyên đề Toán 8 - Chủ đề 8: Rút gọn phân thức

1. SĐT: 0937351107 CHỦ ĐỀ 8: RÚT GỌN PHÂN THỨC A/ PHƯƠNG PHÁP: - Phân tích cả tử và mẫu thành nhân tử (nếu cần) để tìm nhân tử chung. - Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung đó. - Chú ý: Có khi cần đổi dấu ở tử hoặc mẫu để nhận ra nhân tử chung của tử và mẫu Tính chất: A = - ( - A) B/ BÀI TẬP ÁP DỤNG: DẠNG 1: Rút gọn phân thức đã cho. * Thực hiện các bước của rút gọn một phân thức. * Chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến tức là ta đi rút gọn biểu thức sao cho kết quả rút gọn là một hằng số. Bài 1. Rút gọn các phân thức sau: 14xy5 (2x 3y) 8xy(3x 1)3 20x2 45 a) ; b) c) 21x2 y(2x 3y)2 12x3 (1 3x) (2x 3)2 5x2 10xy 80x3 125x 2 d) e) f) 9 (x 5) 2(2y x)3 3(x 3) (x 3)(8 4x) x2 4x 4 2 3 3 2 g) 32x 8x 2x h) 5x 5x i) x 5x 6 . x3 64 x4 1 x2 4x 4 10xy2 (x y) x2 xy x y 2 J) k) l) 3x 12x 12 15xy(x y)3 x2 xy x y x4 8x 2 2 x2 xy n) 7x 14x 7 m) 2a 2ab o) 3x2 3x ac ad bc bd y2 x2 2 ơ) 2x 2y p) 2 2a q) x 6x 9 x2 2xy y2 a3 1 x2 8x 15 4 3 7 4 2 2 v) x 2x u) x x ư) (x 2) (x 2) 2x4 x3 x6 1 16x
2. SĐT: 0937351107 24,5x2 0,5y2 3 2 x) y) a 3a 2a 6 ; z) (a b)(c d) . 3,5x2 0,5xy a2 2 (b2 a2 )(d 2 c2 ) Bài 2. Đổi dấu ở tử hoặc ở mẫu rồi rút gọn phân thức: y2 x2 a) 45x(3 x) ; b) . 15x(x 3)3 x3 3x2y 3xy2 y3 Bài 3. Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x. x2 y2 a) ; b) 2ax 2x 3y 3ay ; (x y)(ay ax) 4ax 6x 6y 6ay DẠNG 2: Chứng minh đẳng thức. Để chứng minh đẳng thức ta biến đổi một vế (hoặc biến đổi cả hai vế) của đẳng thức bằng cách rút phân thức của vế đó sao cho hai vế của đẳng thức bằng nhau. Bài 1. Chứng minh các đẳng thức sau: x2 y 2xy2 y3 xy y2 x2 3xy 2y2 1 a) ; b) . 2x2 xy y2 2x y x3 2x2 y xy2 2y3 x y Bài 2. Chứng minh các đẳng thức sau: x5 1 2x2 xy y2 x y a) x4 x3 x2 x 1 ; b) . x 1 2x2 3xy y2 x y DẠNG 3: Tính giá trị biểu thức: Bước 1: Rút gọn biểu thức đó cho đơn giản Bước 2: + Nếu bài cho biết rõ giá trị của biến thì thay giá trị đó vào biểu thức rút gọn để tính. + Nếu bài cho đẳng thức liên hệ giữa các biến, thì rút biến này theo biến kia rồi thay vào biểu thức rút gọn sao cho biến bị triệt tiêu, từ đó tính được giá trị của biểu thức. Bài 1: Tính giá trị của các biểu thức sau: 4 4 3 2 a) ax a x với a = 3, x = 1 ; b) x x 6x với x = 98 a2 ax x2 3 x3 4x x3 3x 1 x4 2x3 1 c) với x = ; d) với x = ; 3x3 x5 2 2x2 x3 2 2 7 e) 10ab 5a với a = 1 , b = 1 ; f) a 1 với a = 0,1; 16b2 8ab 6 7 a15 a8 x2 9y2 g) 2x 4y với x + 2y = 5; h) với 3x - 9y = 1. 0,2x2 0,8y2 1,5x 4,5y
3. SĐT: 0937351107 Bài 2. Cho 3a2 + 3b2 = 10ab và b > a > 0. Tính giá trị của biểu thức P = a b . a b
4. SĐT: 0937351107 BÀI TẬP RÚT GỌN PHÂN THỨC. Bài 1. Rút gọn các phân thức sau: x2 16 x2 4x 3 15x(x y)3 a) (x 0, x 4) b) (x 3) c) (y (x y) 0) 4x x2 2x 6 5y(x y)2 5(x y) 3(y x) 2x 2y 5x 5y x2 xy d) (x y) e) (x y) f) (x y,y 0) 10(x y) 2x 2y 5x 5y 3xy 3y2 2ax2 4ax 2a 4x2 4xy g) (b 0, x 1) h) (x 0, x y) 5b 5bx2 5x3 5x2y (x y)2 z2 x6 2x3y3 y6 i) (x y z 0) k) (x 0, x y) x y z x7 xy6 Bài 2. Rút gọn các biểu thức. 4 2 3 2 a) m m ; b) ab a a b ; 2m2 2m 2 a3b b4 c) xy 1 x y ; d) ax ay bx by ; y z 1 yz ax ay bx by 2 2 2 2 2 e) a b c 2ab ; f) a b ; a2 b2 c2 2ac a2 a b b2 3 a3 (b2 c2 ) b3 (c2 a2 ) c3 (a2 b2 ) g) a 1 ; h) ; 2a2 4a 2 a2 (b c) b2 (c a) c2 (a b) x2 (a b)x ab 2 2 2 2 i) ; j) x a b 2bc 2ax c ; x2 (a b)x ab x2 b2 a2 2bx 2ac c2 3 2 x x 2 k) 3x 2x 4x 5 ; l) . 6x2 3x 9 x2 5x 6 2x 2x 2 n) a b ; m) 1 (2a 3b) ; a x bx 2a 3b 1 3x 3y 4m 4n o) 3 3 ; ơ) 2 2 ; 3x 3y 22n 22m 2 2 2 3 2 p) a (b c) b (c a) c (a b) ; q) 2x 7x 12x 45 ; ab2 ac2 b3 bc2 3x3 19x2 33x 9 x3 y3 z3 3xyz x3 y3 z3 3xyz u) ; ư) . (x y)2 (y z)2 (z x)2 (x y)2 (y z)2 (z x)2
5. SĐT: 0937351107 Bài 3: Rút gọn, rồi tính giá trị các phân thức sau: (2x2 2x)(x 2)2 1 x3 x2y xy2 a) A với x b) B với x 5,y 10 (x3 4x)(x 1) 2 x3 y3 Bài 4: Rút gọn các phân thức sau: a b 2 c2 2 2 2 a) ( ) b) a b c 2ab a b c a2 b2 c2 2ac 3 2 c) 2x 7x 12x 45 3x3 19x2 33x 9 Bài 5: Rút gọn các phân thức sau: 3 3 3 3 3 3 a) a b c 3abc b) x y z 3xyz a2 b2 c2 ab bc ca (x y)2 (y z)2 (z x)2 3 3 3 2 2 2 c) x y z 3xyz d) a (b c) b (c a) c (a b) (x y)2 (y z)2 (z x)2 a4(b2 c2) b4(c2 a2) c4(a2 b2) 2 2 2 24 20 16 4 e) a (b c) b (c a) c (a b) f) x x x x 1 ab2 ac2 b3 bc2 x26 x24 x22 x2 1 Bài 6: Chứng minh các đẳng thức sau: x 2 23 x3 3x 3x(x y) a) (x 0) b) (x y) x x(x2 2x 4) x y y2 x2 x y 3a(x y)2 c) (a 0, x y) 3a 9a2(x y) Bài 7: Tìm giá trị của biến x để: 1 1 a) P đạt giá trị lớn nhất ĐS: max P khi x 1 x2 2x 6 5 x2 x 1 3 b) Q đạt giá trị nhỏ nhất ĐS: minQ khi x 1 x2 2x 1 4 Bài 8: Chứng minh rằng phân thức sau đây không phụ thuộc vào x và y: (x2 a)(1 a) a2x2 1 3xy 3x 2y 2 9x2 1 1 a) b) x ,y 1 (x2 a)(1 a) a2x2 1 y 1 3x 1 3 ax2 a axy ax ay a (x a)2 x2 c) (x 1,y 1) d) x 1 y 1 2x a
6. SĐT: 0937351107 2 2 e) x y f) 2ax 2x 3y 3ay (x y)(ay ax) 4ax 6x 9y 6ay Bài 9. Tìm các giá trị của x để các phân thức sau bằng 0. 4 3 4 2 a) x x x 1 ; b) x 5x 4 . x4 x3 2x2 x 1 x4 10x2 9 Bài 10. Viết gọn biểu thức sau dưới dạng một phân thức. A = (x2 - x + 1)(x4 - x2 + 1)(x8 - x4 + 1)(x16 - x8 + 1)(x32 - x16 + 1). HD: Nhân biểu thức A với x2 + x + 1, từ đó xuất hiện những biểu thức liên hợp nhau x2 y2 z2 Bài 11. Rút gọn biết rằng x + y + z = 0. (y z)2 (z x)2 (x y)2 Bài 12. Tính giá trị của phân thức A = 3x 2y , biết rằng 9x2 + 4y2 = 20xy, và 2y < 3x <0. 3x 2y HD 9x2 4y2 12xy 20xy 12xy 8xy 1 Ta có A2 = 9x2 4y2 12xy 20xy 12xy 32xy 4 1 Do 2y < 3x < 0 3x 2y 0,3x 2y 0 A 0 . vậy A = . 2 (14 4)(54 4)(94 4) (214 4) Bài 13. Rút gọn biểu thức: P = . (34 4)(74 4)(114 4) (234 4) HD Xét n4 + 4 = (n2 + 2)2 - 4n2 = (n2 +2n + 2)(n2 - 2n + 2) = [n(n - 2) + 2][n(n + 2) + 2] ( 1.1 2)(1.3 2) (3.5 2)(5.7 2) (19.21 2)(21.23 2) 1.1 2 1 Do đó P =    (1.3 2)(3.5 2) (5.7 2)(7.9 2) (21.23 2)(23.25 2) 23.25 2 577 Bài 14. Cho phân số A = 1 (mẫu có 99 chữ số 0). Tính giá trị của A với 200 chữ số thập 1,00 01 phân. HD 100 Ta có A = 10 . Nhân tử và mẫu với 10100 - 1, ta được: 10100 1 100 100 10100 (10100 1) 99 900 0 A= 200 0,99 900 0 10 1 99 9 100 100 200
7. SĐT: 0937351107 (Theo quy tắc đổi số thập phân tuần hoàn đơn ra phân số). (a2 b2 c2 )(a b c)2 (ab bc ca)2 Bài 15. Cho phân thức: M = (a b c)2 (ab bc ca) a) Tìm các giá trị của a, b, c để phân thức có nghĩa. b) Rút gọn biểu thức M. HD: a) Điều kiện để phân thức M có nghĩa là mẫu thức kác 0. Xét (a + b + c)2 - (ab + bc + ca) = 0 a2 + b2 + c2 + ab + bc + ca = 0. 2a2 + 2b2 + 2c2 +2ab + 2bc + 2ca = 0 (a + b)2 + (b + c)2 + (c + a)2 = 0 a + b = b + c = c + a a = b = c. Vậy điều kiện để phân thức M có nghĩa là a, b, c không đồng thời bằng 0, tức là a2 + b2 + c2 0. b) Do (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca Đặt a2 + b2 + c2 = x; ab + bc + ca = y. Khi đó (a + b + c)2 = x + 2y. x(x 2y) y2 x2 2xy y2 (x y)2 Ta có M = x y a2 b2 c2 ab bc ca x 2y y x y x y (Điều kiện là a2 + b2 + c2 0)