Chuyên đề Toán học 10 - Bài 1: Thống kê (Có đáp án)

Nội dung text: Chuyên đề Toán học 10 - Bài 1: Thống kê (Có đáp án)

1. THỐNG KÊ Vấn đề cần nắm: Thống kê là khoa học nghiên cứu tập hợp nhiều lĩnh vực khác nhau gồm: phân 1. Bảng phân bố tần số, tích, giải thích trình bày và biểu diễn các dữ liệu. Ngày nay thống kê được áp dụng tần suất để nghiên cứu các lĩnh vực khoa học công nghệ hoặc các vấn đề xã hội. Trong chương trình học phổ thông hầu hết các môn đều liên quan đến thống kê. 2. Số trung bình cộng, trung vị, mốt Chủ đề này giúp chúng ta nắm vững một số phương pháp trình bày số liệu và thu gọn số liệu nhờ các số đặc trưng. 3. Phương sai và độ lệch chuẩn A. Lý thuyết 1. Giả sử dãy n số liệu thống kê đã cho có k giá trị khác nhau k n . Gọi xi là một giá trị bất kì trong k giá trị đó. Ta có: + Số lần xuất hiện xi trong dãy số liệu đã cho gọi là tần số của giá trị đó, kí hiệu là ni . n + Số f i được gọi là tần suất của giá trị x . i n i
2. Ví dụ 1: Thống kê một điểm kiểm tra 45 phút của 40 học sinh của một lớp 10 năm học 2017 - 2018 cho ta kết quả như sau: 3 5 7 9 10 6 8 3 4 6 5 7 8 10 9 3 6 4 7 9 10 6 9 7 4 5 3 3 7 9 6 10 8 7 5 4 8 9 7 Chọn phát biểu sai trong các phát biểu sau: A. Trong 40 số liệu thống kê trên, số giá trị khác nhau là 8 B. Giá trị 9 có tần số là 6 C. Giá trị 10 có tần suất là 10% D. Giá trị 10 có tần suất là 4 Lời giải + Các giá trị khác nhau: x1 3, x2 4, x3 5, x4 6, x5 7, x6 8, x7 9, x8 10 A đúng. + Giá trị x7 9 xuất hiện 6 lần Tân số là 6 B đúng. 4 + Giá trị x 10 xuất hiện 4 lần Tần suất là hay 10% C đúng D sai. 8 10 Đáp án D. Chú ý: + Bạn đọc tham khảo bằng phân bố tần số, tần suất ở bảng bên. + Trong bảng phân bố tần suất thì tỉ số tần suất tính dưới dạng phần trăm. 2. Giả sử n là số liệu thống kê đã cho được phân vào k lớp ( k n ). Xét lớp thứ i ( i 1,2, ,k ), trong k lớp đó ta có: + Số ni các số liệu thống kê thuộc lớp thứ i được gọi là tần suất của lớp đó. n + Số f i gọi là tần số của lớp thứ i. i n
3. Ví dụ 2: Để giải thử một đề trắc nghiệm 35 câu, thời gian (giây) học sinh A làm từng câu được cho bởi bảng số liệu thống kê sau: Các số liệu thống kê được phân vào các lớp 1,0;1,5 , 1,5;2,0 , 2,0;2,5 , 2,5;3,0 , 3,0;3,5 , 3,5;4,0 . Chọn phát biểu sai trong các phát biểu sau: A. Tần số của lớp 3,0;3,5 là 4 2 B. Tần suất của lớp 2,0;2,5 là 7 C. Tần suất của lớp 3,0;3,5 là 10%. D. Số các lớp trong số liệu thống kê trên là 6. Lời giải + Có 4 số liệu thống kê thuộc lớp 3,0;3,5 A đúng. + Có 10 số liệu thống kê thuộc lớp 2,0;2,5 10 2 Tần suất là 28,57% B đúng. 35 7 + Có 4 số liệu thống kê thuộc lớp 3,0;3,5 4 Tần suất là 11,43% C sai. 35 Đáp án C. Lưu ý: Bạn đọc có thể tham khảo bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp ở bảng bên. 3. Các số đặc trưng của mẫu số liệu a. Nếu mẫu số liệu có kích thước n là x1, x2 , , xn thì: +) Số trung bình x được xác định theo công thức: 1 x x x x . n 1 2 n
4. +) Phương sai s2 được xác định theo công thức: 1 2 2 2 s2 x x x x x x . n 1 2 n +) Độ lệch chuẩn s được xác định theo công thức: s s2 . b. Nếu mẫu số liệu cho dưới dạng một bảng phân bố tần số thì: +) Số trung bình x được xác định theo công thức: 1 x n x n x n x f x f x f x . n 1 1 2 2 k k 1 1 2 2 k k +) Phương sai 1 2 2 2 s2 n x x n x x n x x n 1 1 2 2 k k 2 2 2 f1 x1 x f2 x2 x fk xk x . Trong đó: ni , fi lần lượt là tần số, tần suất của giá trị xi ;n là số các số liệu thống kê n1 n2 nk n . c. Nếu mẫu số liệu cho bởi bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp: +) Số trung bình x được xác định theo công thức: 1 x n c n c n c f c f c f c . n 1 1 2 2 k k 1 1 2 2 k k +) Phương sai 1 2 2 2 2 2 s2 n c x n c x n c x f c x f c x n 1 1 2 2 k k 1 1 2 2 2 fk ck x Trong đó ci ;ni ; fi lần lượt là các giá trị đại diện, tần số, tần suất của lớp thứ i. n là số các số liệu thống kê ( n1 n2 nk n ). Lưu ý:
5. + Phương sai và độ lệch chuẩn đều dùng để đánh giá mức độ phân tán của các số liệu thống kê (so với số trung bình cộng) nhưng khi cần chú ý đến đơn vị đo thì ta dùng độ lệch chuẩn s (giá trị càng nhỏ thì mức độ phân tán số liệu càng nhỏ) 2 + Phương sai còn được tính theo công thức: s2 x2 x Đối với bảng phân bố tần số, tần suất thì k k 2 1 2 2 x  ni xi  fi xi n1 n2 nk n . n i 1 i 1 Đối với bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp thì k k 2 1 2 2 x  nici  fici n1 n2 nk n . n i 1 i 1 4. Số trung vị: Kí hiệu: M e + Nếu số phần tử của số liệu thống kê lẻ thì n 1 M Số giá trị thứ (n là số các số liệu thống kê). e 2 + Nếu số phần tử của số liệu thống kê chẵn thì n n M = Trung bình cộng của giá trị thứ và 1. e 2 2 5. Mốt: Kí hiệu: M O Mốt là giá trị có tần số lớn nhất
6. Ví dụ 1: Một xạ thủ bắn 30 viên đạn vào bia kết quả được ghi lại trong bảng phân bổ tần số sau: Lớp Tần số 6 4 7 3 8 8 9 9 10 6 Cộng 30 Khi đó điểm số trung bình cộng là (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm): A. 8,33B. 8,34C. 8,31D. 8,32 Lời giải n x n x n x n x n x 4.6 3.7 5.8 9.9 6.10 Cách 1: x 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 8,33 n 30 Cách 2: Sử dụng máy tính Casio fx - 570 VNPLUS + Nhập (vào chế độ thống kê). + Nhập (hiển thị cột tần số). + Nhập (nhập giá trị). + Nhập , sau đó ấn . + Tính giá trị trung bình: Ấn x 8,3333333 Đáp án A.
7. Ví dụ 2: Tuổi các học viên của một lớp học Tiếng Anh tại một trung tâm được ghi lại ở bảng tần số ghép lớp như sau: Lớp Tần số [16; 20) 10 [20; 24) 12 [24; 28) 14 [28; 32) 9 [32; 36) 5 Khi đó độ lệch chuẩn của bảng số liệu là (kết quả làm tròn đến hàng phần chục): A. 24,8B. 5,3C. 5,0D. 25,0 Lời giải Cách 1: + Giá trị đại diện mỗi lớp: c1 18;c2 22;c3 26;c4 30;c5 34 + Số trung bình cộng: n c n c n c n c n c 10.18 12.22 14.26 9.30 5.34 x 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 25 n1 n2 n3 n4 n5 50 + Độ lệch chuẩn: 10 18 25 2 12 22 25 2 14 26 25 2 9 30 25 2 5 34 25 2 s s2 50 5,0 Cách 2: Sử dụng máy tính Casio fx - 570 VNPLUS + Nhập (vào chế thống kê). + Nhập (hiển thị cột tần số). + Nhập (nhập giá trị).
8. + Nhập (nhập tần số), sau đó ấn . + Nhập  x 4,983813801 (Lưu ý: Đối với Ví dụ 2, phương sai s2 24,9 ). Đáp án C.
9. 10 bài được điểm 8. Hỏi tần suất có giá trị x 8 C. Bài tập rèn luyện kĩ năng i là bao nhiêu? (kết quả làm tròn đến 2 chữ số thập Xem đáp án chi tiết tại trang 242 phân) Câu 1: Các giá trị xuất hiện nhiều nhất trong A. 2,63%B. 2,11% mẫu số liệu được gọi là: C. 2,10% D. 4,74% A. Độ lệch chuẩnB. Số trung bình Câu 6: Thống kê điểm thi môn Tiếng Anh khối C. Mốt D. Số trung vị 10 của một trường THPT gồm 420 học sinh. Câu 2: Tỉ số giữa tần số và kích thước của mẫu Người ta thấy số bài đạt điểm 10 chiếm tỉ lệ 5%. được gọi là: Hỏi tần số của giá trị xi 10 là bao nhiêu? A. MốtB. Phương sai A. 50B. 21 C. 42D. 10 C. Số trung vị D. Tần suất Câu 7: Cho mẫu số liệu thống kê: Câu 3: Để điều tra số thành viên trong mỗi gia 5;2;1;6;7;5;4;5;9. Mốt M 0 của mẫu số liệu đình của một hcung cư gồm 100 gia đình. Người trên bằng bao nhiêu? ta chọn ra 20 gia đình ở tầng 3 và thu được mẫu số liệu sau: A. 3B. 5 C. 9D. 7 Câu 8: Cho dãy số liệu thống kê: 31;33;34;35;32;30 . Số trung bình cộng của dãy Dấu hiệu điều tra ở đây là gì? số liệu thống kê trên là: A. Số gia đình ở tầng 3 A. 33,5B. 32 C. 32,5D. 24 B. Số con trong mỗi gia đình Câu 9: Ba nhóm học sinh gồm 5 người, 10 C. Số người trong một gia đình người, 15 người. Khối lượng trung bình của mỗi D. Số tầng của chung cư nhóm lần lượt là: 48 kg, 45kg và 40kg. Khối lượng trung bình của cả 3 nhóm học sinh là: Câu 4: Trong các biểu đồ sau, biểu đồ nào thích hợp nhất cho việc thể hiện bảng phân bố tần suất A. 42kgB. 64,5kg ghép lớp? C. 44,3kg D. 43kg A. Biểu đồ hình quạt Câu 10: Cho mẫu số liệu thống kê B. Biểu đồ hình cột 6;4;4;1;9;10;7 . Số liệu trung vị của mẫu số C. Biểu đồ đường gấp khúc liệu thống kê trên là: D. Biểu đồ đa giác tần số A. 1B. 6 C. 4D. 10 Câu 5: Thống kê điểm thi môn Ngữ văn trong Câu 11: Cho dãy số liệu thống kê: 5; 6; 7; 8; 9. một kì thi của 380 em học sinh. Người ta thấy có Phương sai của dãy số liệu thống kê trên là:
10. A. 10B. 7 C. 6D. 2 C. 3715000 đồng D. 3625000 đồng Câu 12: Tiền thưởng (triệu đồng) của cán bộ và Câu 15: Điểm kiểm tra một tiết môn Toán lớp nhân viên trong một công ty được cho ở bảng 10A được cho ở bảng sau: dưới đây: Tiền thưởng 1 2 3 4 5 Cộng Tìm Mốt M ? Tần số 10 12 11 15 2 50 0 A. 6B. 8 C. 9D. 10 Tìm Mốt M 0 ? Câu 16: Điều tra về số học sinh của một trường A. M 0 4 B. M 0 15 THPT như sau: C. M 0 5 D. M 0 11 Khối lớp 10 11 12 Câu 13: Có 100 học sinh tham dự kì thi HSG Số học sinh 400 385 380 Toán (thang điểm 20 điểm) kết quả như sau: Kích thước của mẫu là: Điểm 9 10 11 12 13 14 A. 400B. 385 C. 380D. 1165 Tần số 2 1 2 10 8 8 Câu 16: Thời gian (phút) đi từ nhà đến trường của bạn A trong 30 ngày: Điểm 15 16 17 18 19 Cộng Lớp thời gian (phút) Tần số Tần số 24 18 14 10 3 100 [15; 17) 5 Tính độ lệch chuẩn (kết quả làm tròn đến hai chữ [17; 19) 4 số thập phân). [19; 21) 12 A. 4,67B. 2,16 C. 4,70D. 2,17 Trong 30 ngày được khảo sát, những ngày bạn Câu 14: Tiền thưởng (triệu đồng) của cán bộ và A có thời gian đi đến trường từ 19 phút đến dưới nhân viên trong một công ty được cho ở bảng 23 phút chiếm bao nhiêu %? dưới đây: A. 60%B. 40% Tiền thưởng 2 3 4 5 6 Cộng C. 20% D. 63,33% Tần số 5 15 10 6 4 40 Câu 18: Số quần jeans bán được trong một quý ở một cửa hàng thời trang được thống kê ở bảng Tính tiền thưởng trung bình: sau: A. 3725000 đồngB. 3745000 đồng Size 26 27 28 29
11. Tần số (số quần 128 105 119 16 bán) Size 30 31 32 Cộng Tần số (số quần 8 2 1 379 bán) Tìm số trung vị M e ? A. 26B. 27 C. 26,5D. 27,5 Câu 19: Sản lượng vải thiều (tạ) thu hoạch được của 20 hộ gia đình trong một hợp tác xã được ghi ở bảng sau Tìm phương sai s2 ? A. 3,4B. 1,84 C. 1,8D. 3,24
12. HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Sắp thứ tự các số liệu thống kê thành một dãy không giảm là: Câu 1: Đáp án C. Câu 2: Đáp án D. 1 4 4 6 7 9 10 Vậy số trung vị là M 6 Câu 3: Đáp án C. e Câu 4: Đáp án A. Chú ý: Cách tìm số trung vị M e Câu 5: Đáp án A. + Sắp thứ tự các số liệu thống kê thành 1 dãy 10 1 không giảm (không tăng). Tần suất f 2,63% 380 38 + Nếu số phần tử lẻ thì M e là số đứng giữa dãy. n Chú ý: f ;n f .N + Nếu số phần tử chẵn thì M là trung bình cộng N e của 2 số đứng giữa dãy. Với f là tần suất (%) Câu 11: Đáp án D. n là tần số + Trung bình cộng của dãy là x 7 N là kích thước mẫu + Phương sai của dãy số liệu thống kê là: Câu 6: Đáp án B. 1 5 7 2 1. 6 7 2 1. 7 7 2 1. 8 7 2 1. 9 7 2 Tần số n f .N 5%.420 21 S 2 5 Câu 7: Đáp án B. 10 S 2 2 Giá trị 5 xuất hiện nhiều lần nhất trong mẫu số 5 liệu (3 lần) Câu 12: Đáp án A. M 0 5 Tiền thưởng 4 triệu đồng được thưởng cho 15 người M 4 Câu 8: Đáp án C. 0 Số trung bình cộng: Câu 13: Đáp án D. 30 31 32 33 34 35 + Điểm trung bình của 100 học sinh là: x 32,5 6 x 15,09 Câu 9: Đáp án D. + Độ lệch chuẩn: Khối lượng trung bình của cả 3 nhóm là: 1 2 2 2. 9 15,09 1. 10 15,09 48.5 45.10 40.15 x 43 (kg) S 100 30 2 3. 19 15,09 Câu 10: Đáp án B.
13. S 2,17 Điểm Tần số Chú ý: Cách sử dụng máy tính bỏ túi 5 1 Bước 1: Vào chế độ thống kê: 6 5 7 6 Bước 2: Hiển thị cột tần số: 8 8 9 9 Bước 3: Nhập các giá trị: nhập lần lượt từng giá 10 6 trị, nhập xong mỗi giá trị ấn phím để lưu M 0 9 vào máy. Câu 16: Đáp án D. Bước 4: Nhập tần số: Sau khi nhập đủ các giá trị, Kích thước của mẫu là: dùng phím để di chuyển con trỏ trở về 400 385 380 1165 đầu cột tần số. Câu 17: Đáp án A. Nhập lần lượt tần số tương ứng với mỗi giá trị. Số ngày bạn A đi học thỏa mãn yêu cầu bài toán Kết thúc ấn phím để thoát khỏi màn hình là: 12 6 18 ngày thống kê hai cột. 18 Bước 5: * Tính giá trị trung bình: Vậy chiếm .100 60% 30 Lưu ý: Có thể tìm tần suất của từng lớp rồi cộng * Tính độ lệch chuẩn s: tần suất của lớp 3 và lớp 4 ta được kết quả. Câu 18: Đáp án B. (Tính phương sai s2 ta ấn tiếp phím ) Số quần bán được là 379 chiếc Số trung vị M là số chính giữa của dãy khi Câu 14: Đáp án A. e xếp số quần bán được thành một dãy không giảm Tiền thưởng trung bình: M là quần có size đứng ở vị trí 190 5.2 15.3 10.4 6.5 4.6 e x 40 M e 27 x 3,725 (triệu đồng) Câu 19: Đáp án D. Câu 15: Đáp án C. Từ bảng số liệu trên ta có bảng phân bổ tần suất: Từ bảng trên có bảng phân bố tần số Sản lượng (tạ) Tần số
14. 12 4 13 2 14 5 15 5 16 1 17 1 18 2 Sản lượng vải trung bình: x 14,4 (tạ) Phương sai s2 là: 2 2 1 12 14,4 2. 13 14,4 s2 20 2 2. 18 14,4 3,24 Lưu ý: Có thể tìm phương sai bằng cách sử dụng máy tính như các ví dụ trên.