Chuyên đề Toán Lớp 6 - Chuyên đề 14: Hình bình hành, hình thoi (Có lời giải chi tiết)

Nội dung text: Chuyên đề Toán Lớp 6 - Chuyên đề 14: Hình bình hành, hình thoi (Có lời giải chi tiết)

1. CHUYÊN ĐỀ 14: HÌNH BÌNH HÀNH, HÌNH THOI PHẦN I.TÓM TẮT LÍ THUYẾT. 1. Hình bình hành a) Nhận biết hình bình hành Trong hình bình hành: Hai cạnh kề - Các cạnh đối song song với nhau. Đỉnh - Các cạnh đối bằng nhau. Đường chéo - Các góc đối bằng nhau. Góc - Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. Hai góc đối Cụ thể: Hình bình hành ABCD có AC cắt BD tại O: A B + AB PCD; AD PBC O + AB CD; AD BC + Aµ Cµ; Bµ Dµ D C + OA OC;OB OD b) Chu vi và diện tích hình bình hành - Chu vi hình bình hành: C 2 a b a - Diện tích hình thoi: S a.h , trong đó a là b h cạnh, h là chiều cao tương ứng. 2. Hình thoi a) Nhận biết hình thoi Trong một hình thoi: Đỉnh - Bốn cạnh bằng nhau. Cạnh - Các cạnh đối song song với nhau. Đường chéo - Các góc đối bằng nhau. - Hai đường chéo vuông góc với nhau, cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Cụ thể: Cho hình thoi ABCD có AC cắt BD tại B O + AB BC CD DA AB PCD; AD PBC A + O C µ µ µ µ + A C; B D D + AC  BD;OA OC;OB OD Nhận xét: Hình thoi là hình bình hành. b) Chu vi và diện tích hình thoi
2. - Chu vi hình thoi: C 4a 1 S d d - Diện tích hình thoi: 2 1 2 , trong đó d1;d2 là độ dài hai đường chéo. PHẦN II.CÁC DẠNG BÀI. A. Hình bình hành Dạng 1. Nhận biết hình bình hành I.Phương pháp giải. Các dấu hiệu nhận biết hình bình hành: 1. Tứ giác có các cạnh đối song song là hình bình hành. 2. Tứ giác có các cạnh đối bằng nhau là hình bình hành. 3. Tứ giác có một cặp cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau là hình bình hành. 4. Tứ giác có các góc đối bằng nhau là hình bình hành. 5. Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là hình bình hành. II.Bài toán. Bài 1. Các tứ giác ở hình vẽ bên dưới có là hình bình hành không? Vì sao? Lời giải Cả ba tứ giác là hình bình hành - Tứ giác ABCD là hình bình hành vì có AB // CD và AB = CD = 3 (dấu hiệu nhận biết 3) - Tứ giác EFGH là hình bình hành vì có EH // FG và EH = FH = 3 (dấu hiệu nhận biết 3) - Tứ giác MNPQ là hình bình hành vì có MN = PQ và MQ = NP (dấu hiệu nhận biết 2) Chú ý: - Với các tứ giác ABCD, EFGH còn có thể nhận biết là hình bình hành bằng dấu hiệu nhận biết 2. - Với tứ giác MNPQ còn có thể nhận biết là hình bình hành bằng dấu hiệu nhận biết 5. Dạng 2. Cách vẽ hình bình hành I.Phương pháp giải.
3. Dựa vào các tính chất của hình bình hành để vẽ hình bình hành. II. Bài toán. Bài 1. Vẽ hình bình hành ABCD có AB 6cm , BC 4cm . Lời giải Bước 1. Vẽ đoạn thẳng AB 6cm A B C Bước 2. Vẽ đường thẳng đi qua B. Trên đường thẳng đó lấy điểm C sao cho BC 4cm A B D C Bước 3. Vẽ đường thẳng đi qua A và song song với BC, đường thẳng qua C và song song với AB. Hai đường thẳng này cắt nhau tại D, ta được hình bình hành ABCD. A B Bài 2.Cho trước hai đoạn thẳng AB và CD như hình vẽ. Vẽ hình bình hành ABCD nhận AB và CD làm cạnh. B A C Lời giải Bước 1. - Vẽ một phần đường tròn tâm B bán kính AC. B D - Vẽ một phần đường tròn tâm C bán kính AB. Hai đườngtròn này cắt nhau tại D. Bước 2. Nối D với B, D với C, ta được hình bình hành ABCD. A C Bài 3. Vẽ hình bình hành có độ dài một cạnh bằng 5cm , một cạnh bằng 3cm . Lời giải
4. Bước 1. Vẽ đoạn thẳng AB 5cm A B C Bước 2. Vẽ đường thẳng đi qua B . Trên đường thẳng đó lấy điểm C sao cho BC 3cm A B D C Bước 3. Vẽ đường thẳng đi qua A và song song với BC , đường thẳng qua C và song song với AB . Hai đường thẳng này cắt nhau tại D, ta được hình bình hành ABCD . A B Dạng 3. Tính chu vi và diện tích hình bình hành I.Phương pháp giải. Dựa vào công thức tính chu vi và diện tích hình bình hành; mối quan hệ giữa các cạnh của hình bình hành. II.Bài toán. Bài 1. Cho hình bình hành có cạnh đáy là bằng 15 cm và cạnh bên bằng 7 cm và có chiều cao là 5 cm . Hãy tính chu vi và diện tích hình bình hành đó. Lời giải Chu vi của hình bình hành là: C 2.(15 7) 44 (cm) 2 Diện tích hình bình hành là: S 15.5 75 (cm ) Bài 2. Cho hình bình hành có chu vi là 384 cm , độ dài cạnh đáy bằng 5 lần cạnh kia, bằng 8 lần chiều cao. Tính diện tích của hình bình hành. Lời giải 5a Gọi cạnh bên a , ta có: cạnh đáy 5a , chiều cao 8 Chu vi hình bình hành = (cạnh bên + cạnh đáy) x 2 = 384 suy ra a 5a x 2 384 hay a 30cm
5. Do đó, cạnh bên 32cm , cạnh đáy 160cm , chiều cao 20cm Vì thế, diện tích hình bình hành là 20 x 160 3600 cm2 Bài 3. Một mảnh đất hình bình hành, biết cạnh đáy bằng 23 m , mở rộng mảnh đất bằng việc tăng cạnh đáy mảnh đất này thêm 5 m thì được mảnh đất hình bình hành mới có diện tích lớn hơn mảnh đất ban đầu là 115 m2 . Tính diện tích mảnh đất hình bình hành ban đầu. Lời giải Dựa vào công thức tính diện tích hình bình hành: - Theo đầu bài, diện tích mảnh đất hình hành mới bằng 115 m2 . - Do đó, chiều cao của mảnh đất là 115 : 5 = 23 m . - Vì thế diện tích mảnh đất hình bình hành ban đầu là 23. 23 529 m2 . Bài 4. Một mảnh đất hình bình hành có cạnh đáy là 27 m . Người ta thu hẹp lại mảnh đất do bằng việc cắt giảm đáy của hình bình hành này khoảng 5 m nên hình bình hành mới có diện tích nhỏ hơn mảnh đất ban đầu là 15 m2 . Tính diện tích mảnh đất hình bình hành ban đầu. Lời giải Theo đầu bài, diện tích mảnh đất hình thoi bị cắt đi là 15 m2 . Do đó, chiều cao của mảnh đất là 15 : 5 = 3 m2 . Vì thế, diện tích của mảnh đất hình bình hành ban đầu là 3. 27 = 81 m2 . Bài 5. Mảnh đất hình bình hành có cạnh đáy là 47m , mở rộng mảnh đất bằng cách tăng các cạnh đáy của hình bình hành này thêm 7m thì được mảnh đất hình bình hành mới có diện tích hơn diện tích mảnh đất ban đầu là 189m2 . hãy tính diện tích mảnh đất ban đầu. Lời giải Phần diện tích tăng thêm chính là diện tích hình bình hành có cạnh đáy 7m và chiều cao là chiều cao của mảnh đất hình bình hành ban đầu. Chiều cao mảnh đất là: 189 : 7 27 m Diện tích mảnh đất hình bình hành ban đầu là: 27 x 47 1269 m2 Bài 6. Cho hình bình hành có chu vi là 480cm , có độ dài cạnh đáy gấp 5 lần cạnh kia và gấp 8 lần chiều cao. Tính diện tích hình bình hành Lời giải Ta có nửa chu vi hình bình hành là: 480 : 2 240 cm Nếu như coi cạnh kia là 1 phần thì cạnh đáy chính là 5 phần như vậy. Ta có cạnh đáy hình bình hành là: 240 : 5 1 x 5 200 cm Tính được chiều cao của hình bình hành là: 200 : 8 25 cm Diện tích của hình bình hành là: 200 x 25 5000 cm2 Bài 7. Cho hình bình hành có chu vi là 364cm và độ dài cạnh đáy gấp 6 lần cạnh kia; gấp 2 lần chiều cao. Hãy tính diện tích hình bình hành đó Lời giải Nửa chu vi hình bình hành là: 364 : 2 182 cm
6. Cạnh đáy gấp 6 lần cạnh kia nên nửa chu vi sẽ gấp 7 lần cạnh kia. Cạnh đáy hình bình hành là: 182 : 7 x 6 156 cm Chiều cao hình bình hành là: 156 : 2 78 cm Diện tích hình bình hành là: 156 x 78 12168 cm2 Bài 8. Một hình bình hành có cạnh đáy là 71cm . Người ta thu hẹp hình bình hành đó bằng cách giảm các cạnh đáy của hình bình hành đi 19cm được hình bình hành mới có diện tích nhỏ hơn diện tích hình bình hành ban đầu là 665cm2 . Tính diện tích hình bình hành ban đầu. Lời giải Phần diện tích giảm đi chính là diện tích hình bình hành có cạnh đáy là 19cm và chiều cao là chiều cao mảnh đất hình bình hành ban đầu. Chiều cao hình bình hành là: 665 : 19 35 cm Diện tích hình bình hành đó là: 71 x 35 2485 cm2 Bài tập tự luyện Bài 9. Tính diện tích hình bình hành, biết độ dài đáy là 4 m , chiều cao là 13dm . Hướng dẫn giải Đổi về cùng đơn vị đo rồi tính Áp dụng công thức tính diện tích hình bình hành ta có: 40.13 520 dm2 Bài 10. Tính diện tích hình bình hành biết độ dài đáy là 14 m , chiều cao bằng nửa độ dài đáy. Hướng dẫn giải 14 Áp dụng công thức tính diện tích hình bình hành ta có: 14. 98 m2 2 Bài 11. Tính diện tích hình bình hành, biết tổng số đo độ dài đáy và và chiều cao là 24cm , độ dài đáy hơn chiều cao 4cm . Hướng dẫn giải Độ dài đáy của hình bình hành là 24 4 : 2 14 m Chiều cao cua hình bình hành là 14 4 10 m Diện tích của hình bình hành là 14.10 140 m2 Bài 12. Một hình bình hành có diện tích bằng 24cm2 , độ dài đáy là 6cm . Tính chiều cao của hình bình hành đó. Hướng dẫn giải Chiều cao của hình bình hành 24 : 6 4 (cm) Bài 13. Một hình bình hành có diện tích bằng 2m² , độ dài đáy bằng 20dm . Tính chiều cao của hình bình hành đó.
7. Hướng dẫn giải Diện tích 2m2 200dm2 Chiều cao của hình bình hành 200 : 20 10 (dm) Bài 14. Một hình bình hành có diện tích bằng diện tích hình vuông cạnh 6cm , chiều cao bằng 4cm . Tính độ dài đáy của hình đó. Hướng dẫn giải Diện tích hình bình hành là 6.6 36m2 Dộ dài đáy của hình bình hành là 36 : 4 9m Bài 15. Một mảnh vườn hình bình hành có độ dài đáy bằng 50m , chiều cao bằng 40m . Trên mảnh vườn đó người ta trồng các cây bưởi. Cứ 4 m2 trồng 1 cây bưởi. Hỏi cả mảnh vườn đó trồng được bao nhiêu cây bưởi? Hướng dẫn giải Diện tích mảnh vườn: 50.40 2000m2 Mảnh vườn trồng được cây bưởi là 2000 : 4 500 cây B. Hình thoi Dạng 1. Nhận biết hình thoi I. Phương pháp giải. Các dấu hiệu nhận biết hình thoi: 1. Tứ giác có bốn cạnh bằng nhau là hình thoi 2. Hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau là hình thoi. 3. Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi. 4. Hình bình hành có một đường chéo là đường phân giác của một góc là hình thoi. II.Bài toán. Bài 1. Giải thích vì sao các hình vẽ dưới đây là hình thoi. Lời giải Các tứ giác ở hình 102a, b, c, e là hình thoi. - Hình 102a: ABCD là hình thoi (theo dấu hiệu nhận biết số 1) - Hình 102b: EFGH là hình thoi (theo dấu hiệu nhận biết 4) - Hình 102c: KINM là hình thoi (t heo dấu hiệu nhận biết 3) Dạng 2. Cách vẽ hình thoi
8. I. Phương pháp giải. Dựa vào các tính chất của hình thoi để vẽ hình bình thoi. II. Bài toán. Bài 1. Vẽ hình thoi ABCD có cạnh bằng 4 cm . Lời giải Bước 1. Vẽ đoạn thẳng AB 4 cm . B 3 cm A Bước 2. Vẽ đường thẳng đi qua B. Lấy điểm C B trên đường thẳng đó sao cho BC 4 cm . 3 cm 3 cm A C Bước 3. Vẽ đường thẳng đi qua C và song B song với cạnh AB. Vẽ đường thẳng đi qua A và song song với cạnh BC. 3 cm 3 cm A C Bước 4. Hai đường thẳng này cắt nhau tại D, ta B được hình thoi ABCD. 3 cm 3 cm A C D Bài 2. Vẽ hình thoi ABCD biết AB 3 cm và AC 5 cm . Lời giải Bước 1. Dùng thước vẽ đoạn thẳng AC 5 cm . A C
9. Bước 2. Dùng compa vẽ một phần đường tròn tâm A bán kính 3 cm . A C Bước 3. Dùng compa vẽ một phần đường tròn tâm C bán kính 3 cm , phần đường tròn này cắt B phần đường tròn tâm A ở bước 2 tại hai điểm B và D. A C D Bước 4. Dùng thước vẽ các đoạn thẳng BA, BC, B DA, DC. Ta được hình thoi ABCD. A C D Bài 3. Vẽ hình thoi có cạnh bằng 5 cm. Lời giải Cách vẽ tương tự bài 1 Bài 4. Vẽ bằng thước và compa hình thoi EFGH có cạnh EF = 6 cm; EG = 9 cm. Lời giải Cách vẽ tương tự bài 2 Dạng 3. Tính chu vi và diện tích hình thoi I. Phương pháp giải. Dựa vào công thức tính chu vi và diện tích hình thoi; mối quan hệ giữa các cạnh của hình thoi. II. Bài toán. Bài 1. Tính diện tích hình thoi, biết: a) Độ dài các đường chéo là 30 cm và 7 cm .
10. b) Độ dài các đường chéo là 4 m và 15 dm . Lời giải 2 a)Diện tích của hình thoi là: 30.72 105(cm ) . b) Đổi 4m = 40dm. 2 Diện tích của hình thoi là: 40.152 300(dm ) . Bài 2: Tính diện tích hình thoi MBND biết ABCD là hình vuông và hai đường chéo của hình vuông AC BD 20 cm ( M là điểm chính giữa AO; N là điểm chính giữa OC) A B M O N D C Lời giải Hai đường chéo hình vuông bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường nên OA OC 20 : 2 10(cm) Vì điểm M, N là các điểm chính giữa của OA, OC nên: OM ON OA: 2 10 : 2 5(cm) Do đó hình thoi MBND có độ dài đường chéo MN 2.OM 2.5 10(cm) Đường chéo BD 20(cm) 1 1 2 Diện tích hình thoi MBND là MN.BD 10.20 100(cm ) 2 2 Bài 3. Một miếng bìa hình bình hành có chu vi bằng 2m. Nếu bớt chiều dài đi 2dm thì ta được miếng bìa hình thoi có diện tích 6dm2. Tìm diện tích miếng bài hình bình hành đó. Lời giải AMND là hình thoi nên AM MN DN AD ABCD là hình bình hành nên BC AD AM BC DN AD
11. Chu vi hình bình hành là: AM BC DN AD MB NC 4DN 2MB 2m 20dm 4DN 2.2 20 4DN=16 DN=4(dm) Gọi h là độ dài đường cao của hình thoi AMND kẻ từ điểm M xuống cạnh DN h SAMND : DN 6 : 4 1,5(dm) h đồng thời là độ dài đường cao của hình bình hành ABCD 2 Diện tích hình bình hành là: SABCD CD.h 4 2 .1,5 9(dm ) Bài 4. Một mảnh vườn hình thoi có tổng độ dài hai đường chéo là 220 m , biết đường chéo thứ nhất 2 bằng độ dài đường chéo thứ hai 3 a) Tính diện tích mảnh vườn đó. 1 b) Người ta dành diện tích mảnh vườn để làm nhà ở và vườn hoa. Tính diện tích để làm nhà ở và 16 vườn hoa. Lời giải a) Độ dài đường chéo lớn là 220 : 2 3 .3 132 m Độ dài đường chéo nhỏ là 220 132 =88 m 1 2 Diện tích mảnh vườn là 13288 5808 m 2 1 2 b) Diện tích để làm nhà ở và vườn hoa là 5808 363 m 16 Bài 5. Một mảnh vườn hình thoi có tổng hai đường chéo bằng 71 m , đường chéo thứ nhất hơn đường chéo thứ hai10 m . a) Tìm độ dài mỗi đường chéo. b) Tính diện tích mảnh vườn. c) Trên mảnh đất người ta dành 25% diện tích đất để trồng rau 46,5% diện tích để trồng ngô hỏi diện tích còn lại chiếm bao nhiêu diện tích mảnh vườn? Lời giải a) Đường chéo thứ hai của mảnh vườn là 71 10 : 2 30,5 m Đường chéo thứ nhất của mảnh vườn là 71 30,5 40,5 m 1 2 b) Diện tích mảnh vườn là 30,5 . 40,5 617,625 m 2 c) Số phần trăm diện tích còn lại của mảnh vườn là100 25 46,5 28,5% Bài 6. Một con đường cắt một đám đất hình chữ nhật với các dữ liệu được cho trên hình 153. Hãy tính diện tích phần con đường EBGF (EF//BG) và diện tích phần còn lại của đám đất.
12. Lời giải 2 Con đường hình bình hành EBGF có diện tích: SEBGF 50.120 6000m 2 Đám đất hình chữ nhật ABCD có diện tích: SABCD 150.120 18000m 2 Diện tích phần còn lại của đám đất: S SABCD SEBGF 18000 6000 12000m Bài tập tự luyện: Bài 7. Tính diện tích hình thoi có cạnh bằng 17cm , tổng hai đường chéo bằng 46cm . Hướng dẫn giải Độ dài đường chéo bé là 17 3 : 2 7 m . Độ dài đường chéo lớn là 7 3 10 m . 1 Diện tích vườn hoa hình thoi là 710 35 m2 . 2 Bài 8. Tính cạnh của hình thoi có diện tích bằng 24cm2 , tổng hai đường chéo bằng 14cm . Hướng dẫn giải Độ dài đường chéo bé là 56 16 : 2 20 m . Độ dài đường chéo lớn là 20 16 36 m . 1 Diện tích thửa ruộng hình thoi là 2036 360 m2 . 2 Bài 9. Một mảnh vườn hình thoi có tổng độ dài hai đường chéo 120cm . Tính diện tích mảnh vườn hình thoi; biết rằng đường chéo thứ nhất bằng một nửa độ dài đường chéo thứ hai. Hướng dẫn giải Vì đường chéo thứ nhất bằng một nửa đường chéo thứ hai hay đường chéo thứ hai gấp đôi đường chéo thứ nhất. Tổng số phần bằng nhau là 2 1 3 (phần). Độ dài đường chéo thứ nhất là 120 : 3.1 40 cm .
13. Độ dài đường chéo thứ hai là 120 : 3.2 80 cm . 1 Diện tích mảnh vườn hình thoi là 4080 1600 cm2 2 4 Bài 10. Một mảnh đất hình thoi có đường chéo thứ nhất là 175m . Độ dài đường chéo thứ hai bằng đường 7 1 chéo thứ nhất. Người ta sử dụng diện tích mảnh đất ấy để trồng hoa.Tính diện tích trồng hoa. 2 Hướng dẫn giải 4 Độ dài đường chéo thứ hai là 175. 100 m . 7 1 Diện tích mảnh đất hình thoi là 175100 8750 m2 . 2 1 Diện tích trồng hoa là 8750 4375 m2 . 2 Bài 11. Một hình thoi có độ dài đường chéo thứ nhất bằng cạnh hình vuông có chu vi 200m . Tính diện tích hình thoi đó, biết tổng độ dài hai đường chéo là 120m . Hướng dẫn giải Cạnh của hình vuông là 200 : 4 50 m . Đường chéo thứ nhất có độ dài bằng cạnh của hình vuông nên bằng 50m . Độ dài đường chéo thứ hai là 120 50 70m . 1 Diện tích hình thoi là 70.50 1750 m2 . 2 Bài 12. Một mảnh vườn hình thoi có độ dài hai hai đường chéo là 9m và 6 m . Ở giữa vườn người ta xây một bể cá hình tròn bán kính 1,5m phần còn lại để trồng hoa . Tính diện tích phần vườn trồng hoa. Hướng dẫn giải 1 Diện tích mảnh vườn hình thoi là 96 27 m2 . 2 Diện tích bể cá hình tròn là 3,14.1,52 7,065 m2 . Diện tích phần vườn trồng hoa là 27 7,065 19,935 m2 . HẾT