Đề chính thức thi Học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán - Năm học 2021-2022 - Sở giáo dục và đào tạo Ninh Bình

Nội dung text: Đề chính thức thi Học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán - Năm học 2021-2022 - Sở giáo dục và đào tạo Ninh Bình

1. SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NINH BÌNH THI VMO NĂM HỌC 2021-2022 MÔN TOÁN V1 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 180 phút Ngày thi 16/09/2021 Thời gian làm bài :180 phút Tên : Trương Quang An .Địa chỉ : Xã Nghĩa Thắng ,Huyện Tư Nghĩa ,Tỉnh Quảng Ngãi.Điện thoại : 0708127776 2 15 xn Bài 1.(5đ). Cho dãy số()xn xác định bởi x11 a, 1 a 3, xn ,  n *. 2(xn 1) Chứng minh dãy số ();xfn có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó. Bài 2.(5đ). Tìm tất cả hàm số ();xfn thỏa fx(2 fy ( ) xfy ( )) xyxy  xy, Bài 3.(5đ). Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) và trung tuyến AM của tam giác ABC cắt (O) tại D khác A. Gọi E,F,G,H lần lượt là trung điểm của cạnh AB,BD,CD,CA.Gọi S,T lần lượt là chân phân giác trong góc M của các tam giác EMG, FMH.Các đường thẳng AB và CD cắt nhau X và AC,DB cắt nhau tại Y a.Chứng minh MS vuông góc MT. b.Các đường thẳng MS ,FH cắt nhau U,MT và EG cắt nhau tại V.Chứng minh UV song song XY xy Bài 4.(5đ). a.Tìm số nguyên dương tìm số cặp (x,y) nguyên dương sao cho d xy xy b.Với mỗi số nguyên dương n>1 gọi f(n) là số cặp (x,y) nguyên dương sao cho là xy ước nguyên dương của n.tìm tất cả các giá trị n để f(n)=231. SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NINH BÌNH THI VMO NĂM HỌC 2021-2022 MÔN TOÁN V2 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 180 phút Ngày thi 17/09/2021 Thời gian làm bài :180 phút Tên : Trương Quang An .Địa chỉ : Xã Nghĩa Thắng ,Huyện Tư Nghĩa ,Tỉnh Quảng Ngãi.Điện thoại : 0708127776 Bài 5.(6đ). Cho dãy đa thức (Px (n )) xác định bởi 22 Px1()3,()5 xPx 2 x 2 x 2, Pxn 2 ()3 xPx n 1 ()(2 xx 1)(), Pxn n  * và tìm tất 32 cả n sao cho đa thức Pxn () chia hết cho đa thức Q() x x x x
2. Bài 6.(7đ). Cho tam giác ABC nhọn AB<AC có trực tâm H và đường cao AD.Gọi K là giao điểm của AD và đường tròn đường kính BC.Trên các đoạn CH,BH lần lượt lấy các điểm R,S sao cho BK=BR và CK=CS.Gọi X là giao điểm BR và CS. a.Chứng minh AX vuông góc RS và đường thẳng SR đi qua tâm vị tự ngoài của 2 đường tròn tâm B bán kính BK và tâm C bán kính CK. b.Gọi T là giao điểm của HX và BC.Chứng minh bốn điểm S,D,T,R cùng nằm trên 1 đường tròn Bài 7.(7đ). Cho số nguyên dương n 3.Gọi S={1,2,3, ,n} và Ai với1 im là tập con khác nhau và gồm ít nhất hai phần tử của S sao cho nếu AAAAAAi j ,, j  k  k  i  với i,j,k đôi một phân biệt 1 i , j , k mthì AAAi j  k  a.Khi m=5 hãy chỉ ra có thể xây dựng m=15 tập hợp AAA1, 2 , , 15 thỏa mãn yêu cầu b.Tìm giá trị lớn nhất của m
3. Em giải câu hàm số ạ. Cho x = 0: f(f(y)) = y, nên f song ánh. Trong đề thay x bởi y, thay y bởi x, kết hợp f đơn ánh được: 2x + (x+1)f(y) = 2y + (y+1)f(x) (1) Cho x = 0 vào (1) được f(y) = (2 + f(0))y + f(0), với mọi y thuộc R. Nên f(x) = ax + b với mọi x. Thay vào giả thiết được f(x) = -x - 3 với mọi x. Bài hàm ạ. Từ đề cho x=0 ta được f(f(y))=y hay f là một song ánh. Từ đề, thay đổi vai trò x,y ta được 2x+f(y)+xf(y)=2y+f(x)+yf(x) cho x=0 ta được f(x)=ax+b thay vào giải hệ tìm a,b thì không có hàm số nào thỏa mãn đề bài.
4. Bài hàm em làm như sau ạ: Từ đề bài cho x = -1 ta được f(-2) = -1 Cũng từ đề bài cho y = -2 ta được f(x-1) = -x-2 = -(x-1) - 3 Từ đó suy ra f(x) = -x-3 với mọi x thuộc R
5. Câu cuối nhưng mà do e đọc nhầm đề, nếu giả thiết dấu ≠ thay bởi dấu = thì lời giải như sau: Xét 2 tập A[i], A[j] sao cho chúng là tập con phân biệt của S +)Nếu tồn tại A[m]⊂S mà -A[m]∩A[i]≠∅ -A[m]∩A[j]=∅ (hoặc i,j ngược lại) >không thỏa mãn yêu cầu ở giả thiết Tức là, ta chỉ cần chọn các tập con A[i] sao cho: + hoặc không có tập nào giao nhau đôi một +hoặc tất cả tập con giao nhau ít nhất là một phần tử và tất cả các tập là tập con của một trong các tập trên! TH1: không có tập nào giao nhau đôi một Tập có n phần tử > nhiều nhất là có n+1 tập con đôi một không giao nhau TH2: tất cả tập con giao nhau ít nhất là một phần tử và tất cả các tập là tập con của một trong các tập trên Giải thích cách chọn: Nếu ta chọn như trên:"tất cả tập con giao nhau ít nhất là một phần tử" thì hiển nhiên thỏa đề bài, tuy nhiên , nếu xem xét kĩ, ta có thể thấy tất các tập con của tập nào đó trong mấy tập trên thì đều giao với tập gốc và hoặc giao hoặc k giao với tập khác được chọn trước thì vẫn thỏa mãn!! Ta sẽ đếm số tập max: Vì các tập giao đôi một nhau ít nhất 1 phần tử nên tồn tại tập trong đó là tập S luôn!! Ta sẽ chọn các tập con giao nhau tiếp theo bắt đầu từ tập S Dễ thấy các tập con gôm k+1 phần tử trở lên thì đôi một giao nhau ít nhất 1 phần tử với n=2k+1 hoặc n=2k Ta chọn tiếp: xét tập con bất kì gồm k phần tử, lúc này ta chọn được k tập đôi một giao nhau ít nhất 1 phần tử Từ k tập nãy mới chọn, ta chọn tiếp tục được nhiều nhất k-1 tập con có k-1 phần tử đôi một giao nhau. Tuy nhiên với mỗi tập k-1 phần tử này, luôn tồn tại 2 tập có k+1 phần tử đã chọn ở trên là phân biệt với chúng, tức là không thể chọn thêm được từ các tập con nữa!!
6. Từ đó ta lập được công thức sau: k+(k+1)Cn +(k+2)Cn + +(n-1)Cn (*) Với n lẻ ta được: 2k+1=n tức (*)= k+ 2^(n-1)-2 Với n chẵn ta thu đc So sánh với TH1, ta nhận thấy TH2 sẽ chọn được nhiều hơn!!
7. Bài cuối ngày 2: Ở đây ta kí hiệu X+{a} là phép hợp X và {a} Ta sẽ chứng minh quy nạp rằng m=2^(n-1)-1 n=3, kiểm tra m=4 Giả sử đúng đến n, chứng minh cho n+1: TH1: tồn tại x (1 2^(n-1) với mọi x từ 1 đến (n+1)
8. Xét (n+1) thì có >2^(n-1) tập chứa nó nên tồn tại các cặp tập hợp chứa (n+1) là A+{n+1}, B+{n+1} sao cho A,B là phân hoạch của [n], giả sử |A|=m; |B|=n Chia các tập A_i thành hai loại: Loại 1: Tập con của A_i và B_i Loại 2: Đều có giao khác rỗng khác (n+1) với A_i và B_i Nhận xét: Nếu X thuộc loại 1, thì X hoặc là tập con của A hoặc là tập con của B , áp dụng quy nạp thì sẽ có <=(2^m-1)+(2^n-1) Nếu X thuộc loại 1, thì sẽ có <=(2^m-1)(2^n-1) tập như vậy Do đó có <=(2^m)2^(n)-1=2^n-1 nên ta thu được đpcm