Đề cương ôn tập Đại số Lớp 10 - Chương 3: Phương trình và hệ phương trình - Bài 4: Hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn

Nội dung text: Đề cương ôn tập Đại số Lớp 10 - Chương 3: Phương trình và hệ phương trình - Bài 4: Hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn

1. Đ4. HỆ PHƯƠNG TRèNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN A. TểM TẮT Lí THUYẾT 1. Hệ hai phương trỡnh bậc nhất hai ẩn. a) Định nghĩa: Hệ phương trỡnh bậc nhất hai ẩn là hệ phương trỡnh cú dạng ùỡ a x + b y = c ớù 1 1 1 (a2 + b2 ạ 0, a2 + b2 ạ 0) ù + = 1 1 2 2 ợù a2x b2 y c2 b) Giải và biện luận hệ hai phương trỡnh bậc nhất hai ẩn: a1 b1 c1 b1 a1 c1 Tớnh cỏc định thức: D = , Dx = , Dy = . a2 b2 c2 b2 a2 c2 Xột định thức Kết quả ổ D D ử ỗ x y ữ D 0 Hệ cú nghiệm duy nhất ỗx = ; y = ữ ố D D ứữ Dx 0 hoặc Dy 0 Hệ vụ nghiệm D = 0 Dx = Dy = 0 Hệ cú vụ số nghiệm Chỳ ý: Để giải hệ phương trỡnh bậc nhất hai ẩn ta cú thể dựng cỏc cỏch giải đó biết như: phương phỏp thế, phương phỏp cộng đại số. 2. Hệ phương trỡnh bậc nhất nhiều ẩn Nguyờn tắc chung để giải cỏc hệ phương trỡnh nhiều ẩn là khử bớt ẩn để đưa về cỏc phương trỡnh hay hệ phương trỡnh cú số ẩn ớt hơn. Để khử bớt ẩn, ta cũng cú thể dựng cỏc phương phỏp cộng đại số, phương phỏp thế như đối với hệ phương trỡnh bậc nhất hai ẩn B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI. ➢ DẠNG TOÁN 1: GIẢI HỆ PHƯƠNG TRèNH BẬC NHẤT HAI ẨN, BA ẨN. 1. Phương phỏp giải. • Sử dụng phương phỏp cộng đại số, phương phỏp thế, dựng định thức. 2. Cỏc vớ dụ minh họa. Vớ dụ 1: Tỡm số nghiệm của cỏc hệ phương trỡnh sau ùỡ 5x- 4y = 3 a) ớù ợù 7x- 9y = 8 A.1 nghiệmB.2 nghiệm C.3 nghiệm D. Vụ nghiệm ùỡ 2x + y = 11 b) ớù ợù 5x- 4y = 8 A.1 nghiệmB.2 nghiệm C.3 nghiệm D. Vụ nghiệm ỡ ù 2x + 4y = - 1 c) ớù ù ợù 2x + 4 2y = 5
2. A.1 nghiệmB.2 nghiệm C.3 nghiệm D. Vụ nghiệm ỡ ù 3x- y = 1 d) ớù ù ợù 5x + 2y = 3 A.1 nghiệmB.2 nghiệm C.3 nghiệm D. Vụ nghiệm Lời giải 5 - 4 3 - 4 5 3 a) Ta cú D = = - 17 , D = = 5, D = = 19 7 - 9 x 8 - 9 y 7 8 ổD D ử ổ ử ỗ x y ữ ỗ 5 19ữ Suy ra hệ phương trỡnh cú nghiệm là (x; y)= ỗ ; ữ= ỗ- ;- ữ ốỗ D D ứữ ốỗ 17 17ứữ 2 1 11 1 2 11 b) Ta cú D = = - 13 , D = = - 52, D = = - 39 5 - 4 x 8 - 4 y 5 8 ổD D ử ỗ x y ữ Suy ra hệ phương trỡnh cú nghiệm là (x; y)= ỗ ; ữ= (4; 3) ốỗ D D ứữ 2 4 - 1 4 c) ) Ta cú D = = 0 , Dx = = - 4 2 - 20 ạ 0 2 4 2 5 4 2 Suy ra hệ phương trỡnh vụ nghiệm 3 - 1 1 - 1 3 1 d) Ta cú D = = 11 , Dx = = 2 + 3, Dy = = - 2 5 2 3 2 5 3 ổD D ử ổ + ử ỗ x y ữ ỗ 2 3 2 ữ Suy ra hệ phương trỡnh cú nghiệm là (x; y)= ỗ ; ữ= ỗ ;- ữ ốỗ D D ứữ ốỗ 11 11ứữ Vớ dụ 2: Tỡm số nghiệm của cỏc hệ phương trỡnh sau ùỡ (x + 3)y- 5) = xy a) ớù ợù (x- 2)(y + 5) = xy A.1 nghiệmB.2 nghiệm C.3 nghiệm D. Vụ nghiệm ỡ ù x- y = 2 b) ớù ù ợù 2x- y = - 1 A.1 nghiệmB.2 nghiệm C.3 nghiệm D. Vụ nghiệm
3. ùỡ 3(x + y) ù = - 7 ù x- y c) ớ ù 5x- y 5 ù = ù ợù y- x 3 A.1 nghiệmB.2 nghiệm C.3 nghiệm D. Vụ nghiệm Lời giải ùỡ xy- 5x + 3y- 15 = xy a) Hệ phương trỡnh tương đương với ớù ợù xy + 5x- 2y- 10 = xy ùỡ - 5x + 3y = 15 ùỡ y = 25 ùỡ x = 12 Û ớù Û ớù Û ớù ợù 5x- 2y = 10 ợù 5x- 2y = 10 ợù y = 25 Vậy hệ phương trỡnh cú nghiệm là (x; y)= (12; 25) ỡ ù x- y = ± 2 b) Hệ phương trỡnh tương đương vớiớ ù ợù 2x- y = - 1 ỡ ỡ ù x- y = 2 ù x- y = - 2 Û ớ (1) hoặc ớ (2) ù ù ợù 2x- y = - 1 ợù 2x- y = - 1 ỡ ùỡ ù x = - 1- 2 ù x = - 1- 2 Ta cú (1)Û ớ Û ớù ù ù ợù 2x- y = - 1 ợù y = - 1- 2 2 ỡ ùỡ ù x = - 1+ 2 ù x = - 1- 2 (2)Û ớ Û ớù ù ù ợù 2x- y = - 1 ợù y = - 1+ 2 2 Vậy hệ phương trỡnh cú nghiệm (x; y) là (- 1- 2;- 1- 2 2) và (- 1- 2;- 1+ 2 2) c) ĐKXĐ: x ạ y ỡ ù 3(x + y) = - 7(x- y) Hệ phương trỡnh tương đương với ớù ù - = - ợù 3(5x y) 5(y x) ùỡ 10x- 4y = 0 ùỡ x = 0 Û ớù Û ớù (khụng thỏa món) ợù 20x- 8y = 0 ợù y = 0 Vậy hệ phương trỡnh vụ nghiệm. Vớ dụ 3: Tỡm số nghiệm của hệ phương trỡnh sau
4. ùỡ 6 5 ù + = 3 ù x y a) ớ ù 9 10 ù - = ù 1 ợù x y A.1 nghiệmB.2 nghiệm C.3 nghiệm D. Vụ nghiệm ùỡ 6 2 ù + = 3 ù x- 2y x + 2y b) ớ ù 3 4 ù + = - ù 1 ợù x- 2y x + 2y A.1 nghiệmB.2 nghiệm C.3 nghiệm D. Vụ nghiệm ùỡ 6x- 3 2y ù - = 5 ù y- 1 x + 1 c) ớ ù 4x- 2 4y ù - = ù 2 ợù y- 1 x + 1 A.1 nghiệmB.2 nghiệm C.3 nghiệm D. Vụ nghiệm ỡ ù 2 x- 6 + 3 y + 1 = 5 d) ớ ù ợù 5 x- 6 - 4 y + 1 = 1 A.1 nghiệmB.2 nghiệm C.3 nghiệm D. 4 nghiệm Lời giải ùỡ x ạ 0 a) ĐKXĐ: ớù ợù y ạ 0 ỡ ù 1 ùỡ 1 ù u = ù u = ù x ùỡ 6u+ 5v = 3 ù Đặt ớù . Hệ đó cho trở thành ớù Û ớù 3 ù 1 ù 9u- 10v = 1 ù 1 ù v = ợù ù v = ợù y ợù 5 ùỡ 1 1 ù = ù x 3 ùỡ x = 3 Ta được hệ phương trỡnh: ớù Û ớù (thỏa món) ù 1 1 ù y = 5 ù = ợù ợù y 5 Vậy hệ phương trỡnh cú nghiệm là (x; y)= (3; 5). ùỡ x- 2y ạ 0 ùỡ x ạ 0 b) ĐKXĐ: ớù Û ớù ợù x + 2y ạ 0 ợù y ạ 0
5. ỡ ù 1 ùỡ 7 ù u = ù u = ù x- 2y ùỡ 6u+ 2v = 3 ù Đặt ớ . Hệ đó cho trở thành ớù Û ớù 9 ù 1 ù 3u+ 4v = - 1 ù 5 ù = ợù ù = - ù v ù v ợù x + 2y ợù 6 ùỡ 7 1 ỡ ỡ ù = ù 9 ù 3 ù ù x- 2y = ù x = ù 9 x- 2y ù ù Ta được hệ phương trỡnh: ớ Û ớù 7 Û ớù 70 (thỏa món) ù 5 1 ù 6 ù 87 ù - = ù + = - ù = - ù ù x 2y ù y ợù 6 x + 2y ợù 5 ợù 140 ổ3 87 ử Vậy hệ phương trỡnh cú nghiệm là (x; y)= ỗ ;- ữ. ốỗ70 140ứữ ùỡ x ạ - 1 c) ĐKXĐ: ớù ợù y ạ 1 ùỡ 2x- 1 ù = ỡ ù u ỡ ù u = 2 ù y- 1 ù 3u- 2v = 5 ù Đặt ớ . Hệ đó cho trở thành ớ Û ớ 1 ù y ợù 2u- 4v = 2 ù v = ù v = ợù 2 ợù x + 1 ùỡ 2x- 1 ù = ỡ ù 2 ỡ ù x = 0 ù y- 1 ù 2x- 2y = - 1 ù Ta được hệ phương trỡnh: ớ Û ớ Û ớ 1 ù y 1 ợù x- 2y = - 1 ù y = ù = ợù 2 ợù x + 1 2 ổ 1ử Vậy hệ phương trỡnh cú nghiệm là (x; y)= ỗ0; ữ. ốỗ 2ứữ ỡ ù u = x- 6 ùỡ 2u+ 3v = 5 ùỡ u = 1 d) Đặt ớù ,u ³ 0,v ³ 0 , hệ phương trỡnh trở thành ớù Û ớù ù ù - = ù = ợù v = y + 1 ợù 5u 4v 1 ợù v 1 ùỡ ộ = ù ờx 7 ỡ ù ờ ù 1= x- 6 ùỡ x- 6 = ± 1 ù ởx = 5 Thay vào ta cú ớù Û ớù Û ớù ù 1= y + 1 ù y + 1= ± 1 ù ộy = 0 ợù ợù ù ờ ù ờ ợù ởy = - 2 Vậy hệ phương trỡnh cú nghiệm (x; y) là (7;0),(7;- 2),(5;0), (5;- 2). ùỡ 3x + y- 3z = 1 (1) ù Vớ dụ 4: Tỡm số nghiệm của hệ phương trỡnh sau ớù x- y + 2z = 2 (2) ù ợù - x + 2y + 2z = 3 (3) A.1 nghiệmB.2 nghiệm C.3 nghiệm D. Vụ nghiệm Lời giải
6. Cỏch 1(Phương phỏp cộng đại số): Hệ phương trỡnh tương đương với ỡ ỡ ỡ ù 7y + 3z = 10 ù 25z = 25 ù x = 1 ù ù ù ớ y + 4z = 5 Û ớ y + 4z = 5 Û ớù y = 1 ù ù ù ợù - x + 2y + z = 3 ợù - x + 2y + z = 3 ợù z = 1 Vậy hệ phương trỡnh cú nghiệm là (x; y; z)= (1;1;1). Cỏch 2(Phương phỏp thế): Ta cú (2)Û x = y- 2z + 2 thế vào (1) ta được 3(y- 2z + 2)+ y- 3z = 1 Û 4y- 9z = - 5 (*) (3)Û x = 2y + 2z- 3 thế vào (1) ta được 3(2y + 2z- 3)+ y- 3z = 1 Û 3z = 10- 7y thế vào (*) ta được 4y- 3(10- 7y)= - 5 Û y = 1ị x = z = 1 Vậy hệ phương trỡnh cú nghiệm là (x; y; z)= (1;1;1). 3. Bài tập luyện tập. Bài 3.45: Tỡm số nghiệm của cỏc hệ phương trỡnh sau ùỡ 3x- y = 1 a) ớù ợù 6x- 2y = 5 A.1 nghiệmB.2 nghiệm C.3 nghiệmD. Vụ nghiệm ỡ ù ( 2 + 1)x + y = 2 - 1 b) ớù ù ợù 2x- ( 2 - 1)y = 2 2 A.1 nghiệmB.2 nghiệm C.3 nghiệmD. Vụ nghiệm ùỡ 3 2 ù x + y = 16 ù c) ớù 4 3 ù 5 3 ù x- y = 11 ợù 2 5 A.1 nghiệm B.2 nghiệm C.3 nghiệm D. Vụ nghiệm ổ 136 1905ử Bài 3.45: a) Vụ nghiệm b) (x; y)= (1;- 2) c) (x; y)= ỗ- ;- ữ ốỗ 73 73 ứữ Bài 3.46: Tỡm số nghiệm của hệ phương trỡnh sau ùỡ x + 2y- 3z = 2 ù a) ớù x- 3y + z = 5 ù ợù x- 5y = 1
7. A.1 nghiệmB.2 nghiệm C.3 nghiệmD. Vụ nghiệm ùỡ 3x + y- z = 1 ù b) ớù 2x- y + 2z = 5 ù ợù x- 2y- 3z = 0 A.1 nghiệmB.2 nghiệm C.3 nghiệmD. Vụ nghiệm ùỡ x + 3y + 2z = 8 ù c) ớù 2x + y + z = 6 ù ợù 3x + y + z = 6 A.1 nghiệmB.2 nghiệm C.3 nghiệmD. Vụ nghiệm ùỡ x- 3y + 2z = - 7 ù d) ớù - 2x + 4y + 3z = 8 ù ợù 3x + y- z = 5 A.1 nghiệmB.2 nghiệm C.3 nghiệmD. Vụ nghiệm ùỡ x + 2y- 3z = 2 ùỡ x = 1+ 5y ùỡ x = 1+ 5y ùỡ x = 6 ù ù ù ù Bài 3.46: a) ớù x- 3y + z = 5 Û ớù 1+ 5y + 2y- 3z = 2 Û ớù 7y- 3z = 1 Û ớù y = 1 ù ù ù ù ợù x- 5y = 1 ợù 1+ 5y- 3y + z = 5 ợù 2y + z = 4 ợù z = 2 ổ11 5 1ử b) (x; y; z)= (1;- 1;1) c) (x; y; z)= (0;- 4;10) d) (x; y; z)= ỗ ; ;- ữ ốỗ14 2 7ứữ Bài 3.47: Tỡm số nghiệm của phương trỡnh sau ùỡ x + 5y = 7 a) ớù ợù 3x- 2y = 4 A.1 nghiệmB.2 nghiệm C.3 nghiệm D. Vụ nghiệm ùỡ 1 1 5 ù + = ù x + y x- y 8 b) ớ ù 1 1 3 ù - = ù ợù x- y x + y 8 A.1 nghiệmB.2 nghiệm C.3 nghiệm D. Vụ nghiệm ỡ ù 2 x + y - x- y = 9 c) ớ ù ợù 3 x + y + 2 x- y = 17 A.1 nghiệmB.2 nghiệm C.3 nghiệmD. 4 nghiệm
8. ỡ ù 4 x + y + 3 x- y = 8 d) ớ ù ợù 3 x + y - 5 x- y = 6 A.1 nghiệmB.2 nghiệm C.3 nghiệmD. Vụ nghiệm ùỡ x + 5y = 7 ùỡ 3x + 15y = 21 ùỡ 17y = 17 ùỡ y = 1 Bài 3.47: a) ớù Û ớù Û ớù Û ớù ợù 3x- 2y = 4 ợù 3x- 2y = 4 ợù 3x- 2y = 4 ợù x = 2 1 1 b) ĐKXĐ: x ạ ± y , đặt = u; = v x + y x- y ỡ ỡ ù 5 ỡ ù 1 ù u+ v = ù 2v = 1 ù v = ù 8 ù ù 2 Khi đú, cú hệ mới ớ Û ớ 5 Û ớ ù 3 ù u+ v = ù 1 ù - u+ v = ợù 8 ù u = ợù 8 ợù 8 ùỡ x + y = 8 ùỡ x = 5 Thay trở lại, ta được: ớù Û ớù ợù x- y = 2 ợù y = 3 c) (- 3;- 2), (- 2;- 3), (2; 3), (3; 2) d) (- 1;- 1), (1;1) ➢ DẠNG TOÁN 2: GIẢI VÀ BIỆN LUẬN HỆ HAI PHƯƠNG TRèNH BẬC NHẤT HAI ẨN. 1. Phương phỏp giải. Sử dụng định thức: Tớnh D,Dx ,Dy ổD D ử ỗ x y ữ ã Nếu D ạ 0 thỡ hệ cú nghiệm duy nhất (x; y)= ỗ ; ữ ố D D ữứ ã Nếu D = 0 thỡ ta xột Dx ,Dy ộD ạ 0 Với ờ x khi đú phương trỡnh vụ nghiệm ờD ạ 0 ởờ y Với Dx = Dy = 0 thỡ hệ phương trỡnh cú vụ số nghiệm tập nghiệm của hệ phương trỡnh là tập nghiệm của một trong hai phương trỡnh cú trong hệ. 2. Cỏc vớ dụ minh họa. ùỡ mx- y = 2m Vớ dụ 1: Giải và biện luận hệ phương trỡnh:ớù ợù 4x- my = m+ 6 ổ2m+ 3 m ử A. m ạ 2 và m ạ - 2 hệ phương trỡnh cú nghiệm duy nhất(x; y)= ỗ ;- ữ ốỗ 2 + m 2m+ 1ứữ B. m = 2 hệ phương trỡnh cú nghiệm là (x; y)= (t; 2t - 4), t ẻ R . C. m = - 2 hệ phương trỡnh vụ nghiệm
9. D.Cả A, B, C đều đỳng Lời giải m - 1 Ta cú D = = 4- m2 = (2- m)(2 + m) 4 - m 2m - 1 D = = - 2m2 + m+ 6 = (2- m)(2m+ 3) x m+ 6 - m m 2m D = = m2 - 2m = m(m- 2) y 4 m+ 6 ùỡ m ạ 2 • Với D ạ 0 Û ớù : Hệ phương trỡnh cú nghiệm duy nhất ợù m ạ - 2 ổD D ử ổ + ử ỗ x y ữ ỗ2m 3 m ữ (x; y)= ỗ ; ữ= ỗ ;- ữ ốỗ D D ứữ ốỗ 2 + m 2m+ 1ứữ • Với D=0 Û m = ± 2 : + Khi m = 2 ta cú D = Dx = Dy = 0 nờn hệ phương trỡnh cú nghiệm là nghiệm của phương trỡnh 2x- y = 4 Û y = 2x- 4 . Do đú hệ phương trỡnh cú nghiệm là (x; y)= (t; 2t - 4), t ẻ R . + Khi m = - 2 ta cú D = 0,Dx ạ 0 nờn hệ phương trỡnh vụ nghiệm Kết luận ổ2m+ 3 m ử m ạ 2 và m ạ - 2 hệ phương trỡnh cú nghiệm duy nhất(x; y)= ỗ ;- ữ ốỗ 2 + m 2m+ 1ứữ m = 2 hệ phương trỡnh cú nghiệm là (x; y)= (t; 2t - 4), t ẻ R . m = - 2 hệ phương trỡnh vụ nghiệm ỡ ù a(x- 1)+ by = 1 Vớ dụ 2: Giải và biện luận hệ phương trỡnh sau: ớù ù - + = ợù b(x 1) ay 1 ổa + b + 1 1 ử A. a ạ b và a ạ - b hệ phương trỡnh cú nghiệm duy nhất (x; y)= ỗ ; ữ ốỗ a + b a + bứữ ổ - at + a + 1ử B. a = b ạ 0 hệ phương trỡnh cú nghiệm là (x; y)= ỗt; ữ ốỗ a ứữ C. a = - b hệ phương trỡnh vụ nghiệm D. Cả A, B, C đều đỳng Lời giải
10. ùỡ ax- a + by = 1 ùỡ ax + by = a + 1 Hệ tương đương: ớù Û ớù ợù bx- b + ay = 1 ợù bx + ay = b + 1 a b Ta cú: D = = a2 - b2 = (a- b)(a + b) b a a + 1 b a a + 1 D = = (a- b)(a + b + 1), D = = a- b x b + 1 a y b b + 1 ùỡ a ạ b • TH1: Với D ạ 0 Û a2 - b2 ạ 0 Û ớù ợù a ạ - b D (a- b)(a + b + 1) Dy 1 Hệ cú nghiệm duy nhất (x; y) là x = x = ; y = = D (a- b)(a + b) D a + b • TH2: Với D = 0 Û a2 - b2 = 0 Û a = ± b : + Khi a = b ta cú D = 0; Dx = 0; Dy = 0 hệ phương trỡnh cú nghiệm là nghiệm của phương trỡnh a(x- 1)+ ay = 1 hay ax + ay = a + 1 (*) - ax + a + 1 Nếu a = 0 thỡ phương trỡnh (*) vụ nghiệm, do đú nếu a ạ 0 thỡ (*) Û y = a ổ - at + a + 1ử Vỡ vậy hệ phương trỡnh cú nghiệm dạng (x; y)= ỗt; ữ ốỗ a ứữ + Khi a = - b ta cú D = 0; Dy = - 2b Nếu b ạ 0 ị D = 0; Dy ạ 0 suy ra hệ phương trỡnh vụ nghiệm ùỡ 0.x + 0.y = 1 Nếu a = b = 0 : Hệ phương trỡnh trở thành ớù ị hệ vụ nghiệm. ợù 0.x + 0.y = 1 Kết luận ổa + b + 1 1 ử a ạ b và a ạ - b hệ phương trỡnh cú nghiệm duy nhất (x; y)= ỗ ; ữ ốỗ a + b a + bứữ ổ - at + a + 1ử a = b ạ 0 hệ phương trỡnh cú nghiệm là (x; y)= ỗt; ữ ốỗ a ứữ a = - b hệ phương trỡnh vụ nghiệm ỡ 2 ù 2m x + 3(m- 1)y = 3 Vớ dụ 3: Tỡm m để hệ vụ nghiệm ớù ù + - = ợù m(x y) y 2 1 1 A. m = 2 và m = B. m = 3 và m = 2 2
11. 1 1 C. m = 1 và m = D. m = 6 và m = 3 5 Lời giải ỡ 2 ù 2m x + 3(m- 1)y = 3 Hệ phương trỡnh tương đương với ớù ù + - = ợù mx (m 2)y 2 2m2 3(m- 1) Ta cú D = = 2m3 - 7m2 + 3m m m- 2 3 3(m- 1) 2m2 3 D = = - 3m ; D = = 4m2 - 3m x 2 m- 2 y m 2 Hệ đó cho vụ nghiệm xảy ra trong hai trường hợp sau ùỡ D = 0 ùỡ 2m3 - 7m2 + 3m = 0 TH1: ớù Û ớù ù ạ ù - ạ ợù Dx 0 ợù 3m 0 ộ = ùỡ 2 - + = ờm 3 ù m(2m 7m 3) 0 2 Û ớ Û 2m - 7m+ 3 = 0 Û ờ 1 ù m ạ 0 ờm = ợù ởờ 2 ùỡ ộ = ù ờm 3 ù ờ ù ờm = 0 ù ù ờ 1 ù ờm = ù ờ ộ ỡ ỡ 3 2 ù ở 2 m = 3 ù D = 0 ù 2m - 7m + 3m = 0 ù ờ TH2: ớù Û ớ Û ớù m ạ 0 Û ờ ù ạ ù 2 ù ờ 1 ù Dy 0 ù 4m - 3m ạ 0 ù m = ợ ợ ù 3 ởờ 2 ù m ạ ù 4 ù ù ù ợù 1 Vậy hệ vụ nghiệm khi m = 3 và m = 2 ỡ ù x + 2ay = b Vớ dụ 4: Tỡm cỏc giỏ trị của b sao cho với mọi a thỡ hệ phương trỡnh ớ cú nghiệm. ù + - = 2 ợù ax (1 a)y b A. b = 4 B. b = 2 C. b = 0 D. b = 1 Lời giải
12. 1 2a Ta cú: D = = 1- a- 2a2 a 1- a ỡ ù a ạ - 1 2 ù ị D ạ 0 Û 2a + a- 1ạ 0 Û ớ 1 ù a ạ ợù 2 ùỡ a ạ - 1 ù Suy ra ớ 1 thỡ hệ phương trỡnh cú nghiệm ù a ạ ợù 2 ùỡ x- 2y = b Khi a = - 1 , hệ trở thành: ớù , ù 2 ợù x- 2y = - b ộb = 0 Hệ cú nghiệm Û = - 2 Û + 2 = Û ờ b b b b 0 ờ ởb = - 1 1 ùỡ x + y = b Khi a = , hệ trở thành ớù ù 2 2 ợù x + y = 2b ộ b = 0 2 ờ Hệ cú nghiệm Û b = 2b Û ờ 1 ờb = - ởờ 2 ùỡ ộ = ù ờb 0 ù ờ ù ởb = - 1 ù Vậy hệ cú nghiệm với mọi a ẻ Ă khi và chỉ khi ớ ộ = Û b = 0 ù ờ b 0 ù ờ ù ờ 1 ù b = - ợù ởờ 2 Vớ dụ 4: Tựy vào m hóy tỡm giỏ trị lớn nhất nhỏ nhất của biểu thức sau: 2 2 P(x; y)= (x + 2my + 1) + (mx + 2y) 1 A. Vậy m ạ ± 1 thỡ min P(x; y)= 2 , m = ± 1 thỡ min P(x; y)= 2 B. Vậy m ạ ± 1 thỡ min P(x; y)= 0 , m = ± 1 thỡ min P(x; y)= 1 C. Vậy m ạ ± 1 thỡ min P(x; y)= - 1, m = ± 1 thỡ min P(x; y)= 0 1 D. Vậy m ạ ± 1 thỡ min P(x; y)= 0 , m = ± 1 thỡ min P(x; y)= 2 Lời giải ùỡ x + 2my + 1= 0 Ta cú P(x; y)³ 0 , dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ớù (*) ợù mx + 2y = 0
13. 1 2m D = = 2- 2m2 m 2 Nếu D ạ 0 Û 2- 2m2 ạ 0 Û m ạ ± 1 thỡ hệ phương trỡnh (*) cú nghiệm do đú min P(x; y)= 0 . ộm = 1 Nếu = Û ờ D 0 ờ ởm = - 1 2 2 2 Với m = 1 ta cú P(x; y)= (x + 2y + 1) + (x + 2y) = 2(x + 2y) + 2(x + 2y)+ 1 2 ổ 1ử 1 1 ị P(x; y)= 2ỗx + 2y + ữ + ³ ốỗ 2ứữ 2 2 1 1 Suy ra min P(x; y)= Û x + 2y + = 0 2 2 2 2 2 Với m = - 1 ta cú P(x; y)= (x- 2y + 1) + (- x + 2y) = 2(x- 2y) + 2(x- 2y)+ 1 2 ổ 1ử 1 1 ị P(x; y)= 2ỗx- 2y + ữ + ³ ốỗ 2ứữ 2 2 1 1 Suy ra min P(x; y)= Û x- 2y + = 0 2 2 1 Vậy m ạ ± 1 thỡ min P(x; y)= 0 , m = ± 1 thỡ min P(x; y)= 2 3. Bài tập luyện tập. Bài 3.48: Giải và biện luận cỏc hệ phương trỡnh sau: ùỡ mx + 2y = 2m a) ớù ợù x + y = 3 D 2m- 6 Dy m A. mạ 2 hệ phương trỡnh cú một nghiệm duy nhất x = x = ; y = = D m- 2 D m- 2 B. m = 2 ị Dx = - 4 ạ 0 ị hệ phương trỡnh vụ nghiệm C.Cả A, B đều đỳng D.Cả A, B đều sai ùỡ (m+ 1)x- 2y = m- 1 b) ớù ù 2 2 ợù m x- y = m + 2m
14. 1 ổm+ 1 2m ử A. m ạ 1 và m ạ - hệ phương trỡnh cú nghiệm duy nhất(x; y)= ỗ ; ữ 2 ốỗm- 1 m- 1ứữ 1 B. m = - hệ phương trỡnh cú nghiệm là (x; y)= (4t - 1;t), t ẻ R . 2 C. m = 1 hệ phương trỡnh vụ nghiệm D.Cả A, B, C đều đỳng m 2 Bài 3.48: a) Từ hệ phương trỡnh ta cú: D = = m.1- 1.2 = m- 2 1 1 2m 2 D = = 2m.1- 3.2 = 2m- 6 x 3 1 m 2m D = = m.3- 1.2m = 3m- 2m = m y 1 3 ã Nếu D ạ 0 Û m–2ạ 0 Û mạ 2 D 2m- 6 Dy m Suy ra hệ phương trỡnh cú một nghiệm duy nhất: x = x = ; y = = D m- 2 D m- 2 ã Nếu D = 0 Û m = 2 ị Dx = - 4 ạ 0 ị hệ phương trỡnh vụ nghiệm m+ 1 - 2 b) Ta cú D = = 2m2 - m- 1= (m- 1)(2m+ 1) m2 - 1 m- 1 - 2 D = = 2m2 + 3m+ 1= (m+ 1)(2m+ 1) x m2 + 2m - 1 m+ 1 m- 1 D = = (m+ 1)(m2 + 2m)- m2 (m- 1)= 2m(2m+ 1) y m2 m2 + 2m ùỡ m ạ 1 ù • Với D ạ 0 Û ớ 1 : Hệ phương trỡnh cú nghiệm duy nhất ù m ạ - ợù 2 ổD D ử ổ + ử ỗ x y ữ ỗm 1 2m ữ (x; y)= ỗ ; ữ= ỗ ; ữ ốỗ D D ứữ ốỗm- 1 m- 1ứữ ộ = ờ m 1 • Với D = 0 Û ờ 1 : ờm = - ởờ 2 1 + Khi m = - ta cú D = D = D = 0 nờn hệ phương trỡnh cú nghiệm là nghiệm của phương trỡnh 2 x y 1 1 x- 2y = - Û x = 4y- 1. Do đú hệ phương trỡnh cú nghiệm là (x; y)= (4t - 1;t), t ẻ R . 2 2 + Khi m = 1 ta cú D = 0,Dx ạ 0 nờn hệ phương trỡnh vụ nghiệm
15. 1 ổm+ 1 2m ử Kết luận: m ạ 1 và m ạ - hệ phương trỡnh cú nghiệm duy nhất(x; y)= ỗ ; ữ 2 ốỗm- 1 m- 1ứữ 1 m = - hệ phương trỡnh cú nghiệm là (x; y)= (4t - 1;t), t ẻ R . 2 m = 1 hệ phương trỡnh vụ nghiệm ùỡ (m+ 1)x + 8y = 4m Bài 3.49: Tỡm m để hệ phương trỡnh ớù cú nghiệm duy nhất ợù mx + (m+ 3)y = 3m- 1 A. m ạ 1và m ạ 3 .B. m ạ 3 C. m ạ 1 D. m ạ 2 và m ạ 1 m+ 1 8 Bài 3.49: Ta cú: D = = (m+ 1)(m+ 3)- 8m = m2 - 4m+ 3 m m+ 3 Hệ đó cho cú nghiệm duy nhất Û D ạ 0 Û m2 - 4m+ 3 ạ 0 Û m ạ 1và m ạ 3 . ỡ ù - 4x + my = m+ 1 Bài 3.50: Tỡm m để hệ phương trỡnh ớ cú vụ số nghiệm: ù + + = + ợù (m 6)x 2y m 3 A. m = - 1 B. m = - 2 C. m = - 4 D. m = - 3 Bài 3.50: Ta cú: D = - 8- m(m+ 6)= - m2 - 6m- 8 2 Dx = 2(m+ 1)- m(m+ 3)= - m - m+ 2 2 Dy = - 4(m+ 3)- (m+ 1)(m+ 6)= - m - 11m- 18 ùỡ D = 0 ùỡ - m2 - 6m- 8 = 0 ù ù ù ù 2 Hệ cú vụ số nghiệm Û ớ Dx = 0 Û ớ - m - m+ 2 = 0 Û m = - 2 ù ù ù D = 0 ù - 2 - - = ợù y ợù m 11m 18 0 Vậy hệ cú vụ số nghiệm khi m = - 2 . Bài 3.51: Tựy theo giỏ trị của m , hóy tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức : 2 2 P(x; y)= (mx + 2y- 2m) + (x + y- 3) 4 A. m ạ 2 thỡ min P(x; y)= 0 ,B. m = 2 thỡ min P(x; y)= . 5 C.Cả A, B đều đỳngD.Cả A, B đều sai
16. ùỡ mx + 2y- 2m = 0 Bài 3.51: Ta cú P(x; y)³ 0 , dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ớù (*) ợù x + y- 3 = 0 m 2 D = = m- 2 1 1 Nếu D ạ 0 Û m ạ 2 thỡ hệ phương trỡnh (*) cú nghiệm do đú min P(x; y)= 0 . 2 2 2 Nếu D = 0 Û m = 2 ta cú P(x; y)= (2x + 2y- 4) + (x + y- 3) = 5(x + y) - 22(x + y)+ 25 2 ổ 11ử 4 4 ị P(x; y)= 5ỗx + y- ữ + ³ ốỗ 5 ữứ 5 5 4 11 Suy ra min P(x; y)= Û x + y- = 0 5 5 4 Vậy m ạ 2 thỡ min P(x; y)= 0 , m = 2 thỡ min P(x; y)= . 5 ùỡ (2m+ 1)x- 3y = 3m- 2 Bài 3.52: Cho hệ phương trỡnh: ớù . ợù (m+ 3)x- (m+ 1)y = 2m a) Tỡm m để hệ cú nghiệm. A. m ạ - 2 B. m = 2 C. m ạ - 6 D. m ạ - 3 b) Tỡm m để hệ cú nghiệm duy nhất (x;y) thỏa món x ³ 2y . ộỡ ộỡ ộỡ ộỡ ờù m ³ - 1 ờù m ³ 0 ờù m ³ - 1 ờù m ³ 0 ờớ ờớ ờớ ờớ A. ờợù m ạ 2 B. ờợù m ạ 2 C. ờợù m ạ 2 D. ờợù m ạ 2 ờ ờ ờ ờ ởờm < - 4 ởờm < - 2 ởờm < - 2 ởờm < - 4 c) Tỡm m để hệ cú nghiệm duy nhất (x;y) sao cho P = x2 + 3y2 nhỏ nhất . 8 8 2 1 A. m = .B. m = C. m = D. m = 3 9 9 9 Bài 3.52: Ta cú: D = - 2(m- 2)(m+ 2) ; Dx = (m- 2)(1- 3m); Dy = (m- 2)(m+ 3) ỡ ù D = 0 a) Ta cú hệ vụ nghiệm Û ớ Û m = - 2 . ù D2 + D2 ạ 0 ợù x y Vậy hệ cú nghiờm Û m ạ - 2 .
17. ùỡ 3m- 1 ù x = ù 2(m+ 2) b) Hệ cú nghiệm duy nhất Û m ạ ± 2 và ớù . ù m+ 3 ù = - ù y ợù 2(m+ 2) ộỡ ờù m ³ - 1 3m- 1 2(m+ 3) 5m+ 5 ờớ ị x ³ 2y Û ³ - Û ³ 0 Û ờợù m ạ 2 . 2(m+ 2) 2(m+ 2) m+ 2 ờ ởờm 0) ù ợù y = v ùỡ mu+ v = m+ 1 Khi đú hệ cú dạng: ớù ợù ux + mv = 2 ổ ử ỗm 1 ữ 2 Ta cú: D = ỗ ữ= m - 1 ốỗ1 mứữ ổm+ 1 1 ử ổm am+ 1ử ỗ ữ 2 ỗ ữ Du = ỗ ữ= m + m- 2; Dv = ỗ ữ= m- 1 ốỗ 2 mữứ ốỗ1 2 ứữ ã Nếu D ạ 0 Û m2 - 1ạ 0 Û m ạ ± 1 m+ 2 1 Hệ cú nghiệm duy nhất u = và v = m+ 1 m+ 1
18. ùỡ m+ 2 ù ³ 0 ù m+ 1 Vỡ điều kiện u,v > 0 nờn ta cú : ớù Û m > - 1 ù 1 ù ³ 0 ợù m+ 1 ỡ ùỡ 2m+ 3 ù m+ 2 ù = ù x + 1 = ù x 2 ù m+ 1 ù (m+ 1) Khi đú ta được: ớù Û ớ ù 1 ù 1 ù y = ù y = ù ù 2 ợù m+ 1 ợù (m+ 1) ộm = 1 ã Nếu = Û 2 - = Û ờ D 0 m 1 0 ờ ởm = - 1 Với m = 1ị Du = Dv = 0 , hệ cú vụ số nghiệm thoả x + 1 + y = 2 Với m = - 1ị Du = 2 ạ 0 , hệ vụ nghiệm.