Đề cương ôn tập Đại số Lớp 10 - Chương 4: Bất đẳng thức

64 trang hangtran11 10/03/2022 5400

Download

Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "Đề cương ôn tập Đại số Lớp 10 - Chương 4: Bất đẳng thức", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

Tài liệu đính kèm:

de_cuong_on_tap_dai_so_lop_10_chuong_4_bat_dang_thuc.doc

Nội dung text: Đề cương ôn tập Đại số Lớp 10 - Chương 4: Bất đẳng thức

BẤT ĐẲNG THỨC A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT. 1. Định nghĩa : Cho a, b là hai số thực. Các mệnh đề "a > b", "a B" là mệnh đề chứa biến. Chứng minh bất đẳng thức A > B (với điều kiện nào đó) nghĩa là chứng minh mệnh đề chứa biến " A > B" đúng với tất cả các giá trị của biến(thỏa mãn điều kiện đó). Khi nói ta có bất đẳng thức A > B mà không nêu điều kiện đối với các biến thì ta hiểu rằng bất đẳng thức đó xảy ra với mọi giá trị của biến là số thực. 2. Tính chất : * a > b và b > c Þ a > c * a > b Û a + c > b + c * a > b và c > d Þ a + c > b + d * Nếu c > 0 thì a > b Û ac > bc Nếu c b Û ac b ³ 0 Þ a > b * a ³ b ³ 0 Û a2 ³ b2 * a > b ³ 0 Þ an > bn 3. Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối. * - a £ a £ a với mọi số thực a . * x 0 ) éx > a * > Û ê ( Với > ) x a ê a 0 ëx < - a 4. Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân (Bất đẳng thức Cauchy) a) Đối với hai số không âm a + b Cho a ³ 0, b ³ 0 , ta có ³ ab . Dấu '=' xảy ra khi và chỉ khi a = b 2 Hệ quả : * Hai số dương có tổng không đổi thì tích lớn nhất khi hai số đó bằng nhau * Hai số dương có tích không đổi thì tổng nhỏ nhất khi hai số đó bằng nhau b) Đối với ba số không âm a + b + c Cho a ³ 0, b ³ 0, c ³ 0 , ta có ³ 3 abc . Dấu '=' xảy ra khi và chỉ khi a = b = c 3
B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI. DẠNG TOÁN 1: SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍCH CHẤT CƠ BẢN. 1. Phương pháp giải. Để chứng minh bất đẳng thức(BĐT) A ³ B ta có thể sử dụng các cách sau: Ta đi chứng minh A- B ³ 0 . Để chứng minh nó ta thường sử dụng các hằng đẳng thức để phân tích A- B thành tổng hoặc tích của những biểu thức không âm. Xuất phát từ BĐT đúng, biến đổi tương đương về BĐT cần chứng minh. 2. Các ví dụ minh họa. Loại 1: Biến đổi tương đương về bất đẳng thức đúng. Ví dụ 1 : Cho hai số thực a,b,c . Chứng minh rằng các bất đẳng thức sau 2 a2 + b2 æa + bö a) ab £ b) ab £ ç ÷ 2 èç 2 ø÷ 2 2 c) 3(a2 + b2 + c2 )³ (a + b + c) d) (a + b + c) ³ 3(ab + bc + ca) Lời giải: a) Ta có a2 + b2 - 2ab = (a- b)2 ³ 0 Þ a2 + b2 ³ 2ab . Đẳng thức Û a = b . 2 æa + bö b) Bất đẳng thức tương đương với ç ÷ - ab ³ 0 èç 2 ø÷ 2 Û a2 + 2ab + b2 ³ 4ab Û (a- b) ³ 0 (đúng) ĐPCM. Đẳng thức xảy ra Û a = b c) BĐT tương đương 3(a2 + b2 + c2 )³ a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca 2 2 2 Û (a- b) + (b- c) + (c- a) ³ 0 (đúng) ĐPCM. Đẳng thức xảy ra Û a = b = c d) BĐT tương đương a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca ³ 3(ab + bc + ca) 2 2 2 Û 2(a2 + b2 + c2 )- 2(ab + bc + ca)³ 0 Û (a- b) + (b- c) + (c- a) ³ 0 (đúng) ĐPCM. Đẳng thức xảy ra Û a = b = c Nhận xét: Các BĐT trên được vận dụng nhiều, và được xem như là "bổ đề" trong chứng minh các bất đẳng thức khác. Ví dụ 2 : Cho năm số thực a,b,c,d,e . Chứng minh rằng a2 + b2 + c2 + d2 + e2 ³ a(b + c + d + e) . Lời giải: Ta có : a2 + b2 + c2 + d2 + e2 - a(b + c + d + e) = a2 a2 a2 a2 = ( - ab + b2 )+ ( - ac + c2 )+ ( - ad + d2 )+ ( - ae + e2 ) 4 4 4 4
a a a a = ( - b)2 + ( - c)2 + ( - d)2 + ( - e)2 ³ 0 Þ đpcm. 2 2 2 2 a Đẳng thức xảy ra Û b = c = d = e = . 2 1 1 2 Ví dụ 3 : Cho ab ³ 1 . Chứng minh rằng : + ³ . a2 + 1 b2 + 1 1+ ab Lời giải: 1 1 2 1 1 1 2 Ta có + - = ( - )+ ( - ) a2 + 1 b2 + 1 1+ ab a2 + 1 1+ ab b2 + 1 1+ ab ab- a2 ab- b2 a- b b a a- b b- a + a2b- b2a = + = ( - ) = . (a2 + 1)(1+ ab) (b2 + 1)(1+ ab) 1+ ab 1+ b2 1+ a2 1+ ab (1+ b2 )(1+ a2 ) a- b (a- b)(ab- 1) (a- b)2 (ab- 1) = = ³ 0 (Do ab ³ 1) . 1+ ab (1+ b2 )(1+ a2 ) (1+ ab)(1+ b2 )(1+ a2 ) 1 1 2 Nhận xét : Nếu - 1 x2 + 4x c) x12 + x4 + 1> x9 + x Lời giải: a) Bất đẳng thức tương đương với x4 - 4x + 3 ³ 0 2 Û (x- 1)(x3 + x2 + x- 3)³ 0 Û (x- 1) (x2 + 2x + 3)³ 0 2 é 2 ù Û (x- 1) ê(x + 1) + 1ú³ 0 (đúng với mọi số thực x ) ë û Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = 1. b) Bất đẳng thức tương đương với x4 - x2 - 4x + 5 > 0 2 2 Û x4 - 2x2 + 1+ x2 - 4x + 4 > 0 Û (x2 - 1) + (x- 2) > 0 2 2 2 2 Ta có (x2 - 1) ³ 0,(x- 2) ³ 0 Þ (x2 - 1) + (x- 2) ³ 0 ïì x2 - 1= 0 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi íï (không xảy ra) ï îï x- 2 = 0 2 2 Suy ra (x2 - 1) + (x- 2) > 0 ĐPCM. c) Bất đẳng thức tương đương với x12 - x9 + x4 - x + 1> 0 + Với x 0, 1- x5 > 0 do đó x12 - x9 + x4 - x + 1> 0 . + Với x ³ 1 : Ta có x12 - x9 + x4 - x + 1= x9 (x3 - 1)+ x(x3 - 1)+ 1
Vì x ³ 1 nên x3 - 1³ 0 do đó x12 - x9 + x4 - x + 1> 0 . Vậy ta có x12 + x4 + 1> x9 + x . Ví dụ 5: Cho a,b,c là các số thực. Chứng minh rằng a) a4 + b4 - 4ab + 2 ³ 0 2 2 b) 2(a4 + 1)+ (b2 + 1) ³ 2(ab + 1) c) 3(a2 + b2 )- ab + 4 ³ 2(a b2 + 1 + b a2 + 1) Lời giải: a) BĐT tương đương với (a4 + b4 - 2a2b2 )+ (2a2b2 - 4ab + 2)³ 0 2 2 Û (a2 - b2 ) + 2(ab- 1) ³ 0 (đúng) Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = ± 1 . b) BĐT tương đương với 2(a4 + 1)+ (b4 + 2b2 + 1)- 2(a2b2 + 2ab + 1)³ 0 Û (a4 + b4 - 2a2b2 )+ (2a2 - 4ab + 2b2 )+ (a4 - 4a2 + 1)³ 0 Û (a2 - b2 )2 + 2(a- b)2 + (a2 - 1)2 ³ 0 (đúng) Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = ± 1 . c) BĐT tương đương với 6(a2 + b2 )- 2ab + 8- 4(a b2 + 1 + b a2 + 1)³ 0 é ù é ù Û êa2 - 4a b2 + 1 + 4 b2 + 1 ú+ êb2 - 4b a2 + 1 + 4 a2 + 1 ú+ a2 - 2ab + b2 ³ 0 ë ( )û ë ( )û ( ) 2 2 2 Û (a- 2 b2 + 1) + (b- 2 a2 + 1) + (a- b) ³ 0 (đúng) Đẳng thức không xảy ra. Ví dụ 6: Cho hai số thực x, y thỏa mãn x ³ y . Chứng minh rằng; 3 a) 4(x3 - y3 )³ (x- y) b) x3 - 3x + 4 ³ y3 - 3y Lời giải: 3 a) Bất đẳng thức tương đương 4(x- y)(x2 + xy + y2 )- (x- y) ³ 0 é 2 ù Û (x- y)ê4(x2 + xy + y2 )- (x- y) ú³ 0 Û (x- y)é3x2 + 3xy + y2 ù³ 0 ë û ëê ûú éæ ö2 2 ù êç y÷ 3y ú Û 3(x- y)êçx + ÷ + ú³ 0 (đúng với x ³ y ) ĐPCM. èç 2ø÷ 4 ëê ûú Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y . b) Bất đẳng thức tương đương x3 - y3 ³ 3x- 3y- 4
1 3 Theo câu a) ta có x3 - y3 ³ (x- y) , do đó ta chỉ cần chứng minh 4 1 3 (x- y) ³ 3x- 3y- 4 (*), Thật vậy, 4 3 BĐT (*) Û (x- y) - 12(x- y)+ 16 ³ 0 é 2 ù Û (x- y- 2)ê(x- y) + 2(x- y)- 8ú³ 0 ë û 2 Û (x- y- 2) (x- y + 4)³ 0 (đúng với x ³ y ) Đẳng thức xảy không xảy ra. Loại 2: Xuất phát từ một BĐT đúng ta biến đổi đến BĐT cần chứng minh Đối với loại này thường cho lời giải không được tự nhiên và ta thường sử dụng khi các biến có những ràng buộc đặc biệt * Chú ý hai mệnh đề sau thường dùng é ù a Î ëa;bûÞ (a- a)(a- b)£ 0 (*) é ù a,b,c Î ëa;bûÞ (a- a)(b- a)(c- a)+ (b - a)(b - b)(b - c)³ 0(* *) Ví dụ 7 : Cho a,b,c là độ dài ba cạnh tam giác. Chứng minh rằng : a2 + b2 + c2 c Þ ac + bc > c2 . Tương tự bc + ba > b2 ; ca + cb > c2 cộng ba BĐT này lại với nhau ta có đpcm Nhận xét : * Ở trong bài toán trên ta đã xuất phát từ BĐT đúng đó là tính chất về độ dài ba cạnh của tam giác. Sau đó vì cần xuất hiện bình phương nên ta nhân hai vế của BĐT với c. Ngoài ra nếu xuất phát từ BĐT |a- b|< c rồi bình phương hai vế ta cũng có được kết quả. Ví dụ 8 : Cho a,b,c Î [0;1]. Chứng minh : a2 + b2 + c2 £ 1+ a2b + b2c + c2a Lời giải: Cách 1: Vì a,b,c Î [0;1]Þ (1- a2 )(1- b2 )(1- c2 ) ³ 0 Û 1+ a2b2 + b2c2 + c2a2 - a2b2c2 ³ a2 + b2 + c2 (*) Ta có : a2b2c2 ³ 0; a2b2 + b2c2 + c2a2 £ a2b + b2c + c2a nên từ (*) ta suy ra a2 + b2 + c2 £ 1+ a2b2 + b2c2 + c2a2 £ 1+ a2b + b2c + c2a đpcm. Cách 2: BĐT cần chứng minh tương đương với a2 (1- b)+ b2 (1- c)+ c2 (1- a)£ 1 é ù 2 2 2 Mà a,b,c Î ë0;1û Þ a £ a,b £ b,c £ c do đó a2 (1- b)+ b2 (1- c)+ c2 (1- a)£ a(1- b)+ b(1- c)+ c(1- a) Ta chỉ cần chứng minh a(1- b)+ b(1- c)+ c(1- a)£ 1
é ù Thật vậy: vì a,b,c Î ë0;1û nên theo nhận xét (* *) ta có abc + (1- a)(1- b)(1- c)³ 0 Û a + b + c- (ab + bc + ca)£ 1 Û a(1- b)+ b(1- c)+ c(1- a)£ 1 vậy BĐT ban đầu được chứng minh Ví dụ 9 : Cho các số thực a,b,c thỏa mãn : a2 + b2 + c2 = 1. Chứng minh : 2(1+ a + b + c + ab + bc + ca)+ abc ³ 0 . Lời giải: Vì a2 + b2 + c2 = 1Þ a,b,c Î [- 1;1] nên ta có : (1+ a)(1+ b)(1+ c) ³ 0 Û 1+ a + b + c + ab + bc + ca + abc ³ 0 (*) (1+ a + b + c)2 Mặt khác : ³ 0 Û 1+ a + b + c + ab + bc + ca ³ 0 ( ) 2 Cộng (*) và ( ) ta có đpcm. Ví dụ 10: Chứng minh rằng nếu a ³ 4,b ³ 5,c ³ 6 và a2 + b2 + c2 = 90 thì a + b + c ³ 16 Lời giải: Từ giả thiết ta suy ra a < 9,b < 8,c £ 7 do đó áp dụng (*) ta có (a- 4)(a- 9)£ 0,(b- 5)(b- 8)£ 0,(c- 6)(c- 7)£ 0 nhân ra và cộng các BĐT cùng chiều lại ta được: a2 + b2 + c2 - 13(a + b + c)+ 118 £ 0 suy ra 1 a + b + c ³ (a2 + b2 + c2 + 118)= 16 vì a2 + b2 + c2 = 90 13 vậy a + b + c ³ 16 dấu “=” xảy ra khi a = 4,b = 5,c = 7 é ù Ví dụ 11: Cho ba số a, b, c thuộc ë- 1;1û và không đồng thời bằng không. Chứng minh rằng a4b2 + b4c2 + c4a2 + 3 ³ 2 a2012 + b2012 + c2012 Lời giải: é ù 2 2 2 Vì ba số a, b, c thuộc ë- 1;1û nên 0 £ a ,b ,c £ 1 Suy ra(1- b2 )(1+ b2 - a4 ) ³ 0 Û a4 + b4 - a4b2 £ 1 (*) 4 2012 4 2012 é ù Mặt khác a ³ a ,b ³ b đúng với mọi a, b thuộc ë- 1;1û Suy ra a4 + b4 - a4b2 ³ a2012 + b2012 - a4b2 ( ) a4b2 + c2012 + 1 Từ (*) và ( ) ta có a2012 + b2012 £ a4b2 + 1 hay ³ 1 a2012 + b2012 + c2012
b4c2 + a2012 + 1 c4a2 + b2012 + 1 Tương tự ta có ³ 1 và ³ 1 a2012 + b2012 + c2012 a2012 + b2012 + c2012 a4b2 + b4c2 + c4a2 + a2012 + b2012 + c2012 + 3 Cộng vế với ta được ³ 3 a2012 + b2012 + c2012 a4b2 + b4c2 + c4a2 + 3 Hay ³ 2 ĐPCM. a2012 + b2012 + c2012 3. Bài tập luyện tập Bài 4.0. Cho các số thực a, b, c là số thực. Khẳng định nào sau đây đúng nhất. a) A. a + b + c ³ 2 ab + 2 bc + 2 ca B. 2a + 2b + 2c ³ ab + bc + ca C. a + b + c ³ 3 ab + 2 bc + ca D. a + b + c ³ ab + bc + ca b) A. a2 + b2 + 1³ ab + 3a + 2b B. a2 + b2 + 1³ ab + a + b 1 C. a2 + b2 + 1³ 2ab + a + b D. a2 + b2 + 1³ ab + a + b 2 c) 3 A. a2 + b2 + c2 + ³ 2(a + b + c) B. a2 + b2 + c2 + 3 ³ 2(a + b + c) 2 1 1 1 C. 2a2 + 2b2 + 2c2 + 3 ³ 2(a + b + c) D. a2 + b2 + c2 + 3 ³ 2(a + b + c) 2 2 2 d) 2 A. a2 + b2 + c2 ³ 3(ab + bc- ca) B. a2 + b2 + c2 ³ (ab + bc- ca) 3 C. a2 + b2 + c2 ³ 2(ab + bc- ca) D. a2 + b2 + c2 ³ 2(ab + bc- ca) Lời giải: 2 2 2 Bài 4.0: a) BĐT Û ( a - b) + ( b - c) + ( c - a) ³ 0 b) BĐT (a- b)2 + (a- 1)2 + (b- 1)2 ³ 0 c) BĐT (a- 1)2 + (b- 1)2 + (c- 1)2 ³ 0 d) BĐT (a- b + c)2 ³ 0 Bài 4.1: Cho a,b,c,d là số dương. Khẳng định nào sau đây đúng nhất? a)
a a + c a a a- c a A. 1. B. < với < 1. b b + c b b b- c b a a + c a a a + c a C. < với < 1.D. < với = 1 . b b + c b b b + c b b) a b c a b c A. + + < 1 B. + + < 2 a + b b + c c + a a + b b + c c + a a b c a b c C. + + < 3 D. + + < 4 a + b b + c c + a a + b b + c c + a c) a b c d A. 1< + + + < 3 a + b + c b + c + d c + d + a d + a + b a b c d B. 1< + + + < 2 a + b + c b + c + d c + d + a d + a + b a b c d C. 1< + + + < 4 a + b + c b + c + d c + d + a d + a + b a b c d 5 D. 1< + + + < a + b + c b + c + d c + d + a d + a + b 2 d) a + b b + c c + d d + a 5 A. 2 < + + + < a + b + c b + c + d c + d + a d + a + b 2 a + b b + c c + d d + a B. 2 < + + + < 4 a + b + c b + c + d c + d + a d + a + b a + b b + c c + d d + a C. 2 < + + + < 5 a + b + c b + c + d c + d + a d + a + b a + b b + c c + d d + a D. 2 < + + + < 3 a + b + c b + c + d c + d + a d + a + b Lời giải: Bài 4.1: a) BĐT (a – b)c < 0 a a + c b b + a c c + b b) Sử dụng câu a), ta được: < , < , < . a + b a + b + c b + c a + b + c c + a a + b + c Cộng các BĐT vế theo vế, ta được đpcm. a a a c) Sử dụng tính chất phân số, ta có: < < a + b + c + d a + b + c a + c
b b b c c c Tương tựta có 0; x, y Î R ) . c + a c + b b) ³ . với a > b > 0; c > ab . c2 + a2 c2 + b2 a + b c + b 1 1 2 c) + ³ 4 với a,b,c > 0 và + = 2a- b 2c- b a c b d) a(b- c)2 + b(c- a)2 + c(a- b)2 > a3 + b3 + c3 với a,b,c là ba cạnh của tam giác Lời giải: 2 Bài 4.2: a) BĐT Û abx2 + (a2 + b2 )xy + aby2 ³ (a + b) xy 2 Û ab(x- y) ³ 0 (đúng) (c + a)2 (c + b)2 b) Bình phương 2 vế, ta phải chứng minh: ³ c2 + a2 c2 + b2 Û (a- b)(c2 - ab) ³ 0 . Điều này hiển nhiên đúng do giải thiết. 1 1 2 a 1 a c 1 c c) Ta có + = Þ = + , = + a c b b 2 2c b 2 2a a c 1 a 1 c + 1 + 1 + + 1 + + 1 BĐT Û b + b ³ 4 Û 2 2c + 2 2a ³ 4 a c a c 2 - 1 2 - 1 1+ - 1 1+ - 1 b b c a 2 2 3c 1 3a 1 3 a + c 2 Û + + + ³ 4 Û ³ 3 Û (a- c) ³ 0 (đúng) 2a 2 2c 2 2 ac d) BĐT Û (a + b- c)(b + c- a)(c + a- b) > 0 (đúng) Bài 4.3: Cho x ³ y ³ z ³ 0 . Chứng minh rằng: a) xy3 + yz3 + zx3 ³ xz3 + zy3 + yx3 x2 y y2z z2x x2z y2x z2 y b) + + ³ + + . z x y y z x Lời giải: Bài 4.3: a) BĐT Û - x3 y + xy3 + x3z- y3z- xz3 + yz3 £ 0
Û (x- y)(y- z)(z- x)(x + y + z) £ 0 (đúng vì x ³ y ³ z ³ 0 ) 1 b) BĐT Û (x- y)(y- z)(x- z)(xy + yz + zx) ³ 0 (đúng vì x ³ y ³ z ³ 0 ) xyz Bài 4.4: Cho bốn số dương a, b, c, d . Chứng minh rằng: 1 1 1 + £ . 1 1 1 1 1 1 + + + a b c d a + c b + d Lời giải: 1 1 1 1 1 1 Bài 4.4: Ta có: + £ Û + £ 1 1 1 1 1 1 a + b c + d a + b + c + d + + + a b c d a + c b + d ab cd (a + c)(b + d) ab cd (a + c)(b + d) ab(c + d)+ cd(a + b) (a + c)(b + d) Û + £ Û £ a + b c + d a + b + c + d (a + b)(c + d) a + b + c + d abc + abd + acd + bcd ab + ad + bc + cd Û £ ac + ad + bc + bd a + b + c + d Û (a + b + c + d)(abc + abd + acd + bcd)£ (ab + ad + bc + cd)(ac + ad + bc + bd) 2 Û 2abcd £ a2d2 + b2c2 Û a2d2 - 2abcd + b2c2 ³ 0 Û (ad- bc) ³ 0 . Do bất đẳng thức cuối cùng đúng nên bất đẳng thức cần chứng minh cũng đúng. Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi ad = bc . é ù Bài 4.5: Cho a,b,c Î ë1; 3û và thoả mãn điều kiện a + b + c = 6 . Giá trị lớn nhất của P = a2 + b2 + c2 A.14B.13 C.12D.11 Lời giải: é ù Bài 4.5: Vì a,b,c Î ë1; 3û do đó ta có (a- 1)(b- 1)(c- 1)+ (3- a)(3- b)(3- c)³ 0 2 Û 2(ab + bc + ca)- 8(a + b + c)+ 26 ³ 0 Û (a + b + c) - 8(a + b + c)+ 26 ³ a2 + b2 + c2 Mà a + b + c = 6 suy ra a2 + b2 + c2 £ 14 . DẠNG TOÁN 2: SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY(côsi) ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM GIÁ TRI LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT. 1. Phương pháp giải. Một số chú ý khi sử dụng bất đẳng thức côsi: * Khi áp dụng bđt côsi thì các số phải là những số không âm * BĐT côsi thường được áp dụng khi trong BĐT cần chứng minh có tổng và tích
* Điều kiện xảy ra dấu ‘=’ là các số bằng nhau * Bất đẳng thức côsi còn có hình thức khác thường hay sử dụng 2 æ ö2 2 2 2 2 (x+ y) çx + y÷ Đối với hai số: x + y ³ 2xy; x + y ³ ; xy £ ç ÷ . 2 èç 2 ø÷ 3 a3 + b3 + c3 æa + b + cö Đối với ba số: abc £ , abc £ ç ÷ 3 èç 3 ø÷ 2. Các ví dụ minh họa. Loại 1: Vận dụng trực tiếp bất đẳng thức côsi Ví dụ 1: Cho a,b là số dương thỏa mãn a2 + b2 = 2 . Chứng minh rằng æa böæa b ö 5 a) ç + ÷ç + ÷³ b) + ³ + 2 + 2 ç ÷ç 2 2 ÷ 4 (a b) 16ab (1 a )(1 b ) èçb aø÷èçb a ø÷ Lời giải: a) Áp dụng BĐT côsi ta có a b a b a b a b 2 + ³ 2 . = 2, + ³ 2 . = b a b a b2 a2 b2 a2 ab æa böæa b ö 4 Suy ra ç + ÷ç + ÷³ (1) ç ÷ç 2 2 ÷ èçb a÷øèçb a ø÷ ab Mặt khác ta có 2 = a2 + b2 ³ 2 a2b2 = 2ab Þ ab £ 1 (1) æa böæa b ö Từ (1) và (2) suy ra ç + ÷ç + ÷³ ĐPCM. ç ÷ç 2 2 ÷ 4 èçb aø÷èçb a ø÷ Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = 1. 5 b) Ta có (a + b) = (a2 + 2ab + b2 )(a3 + 3ab2 + 3a2b + b3 ) Áp dụng BĐT côsi ta có a2 + 2ab + b2 ³ 2 2ab(a2 + b2 ) = 4 ab và (a3 + 3ab2 )+ (3a2b + b3 )³ 2 (a3 + 3ab2 )(3a2b + b3 ) = 4 ab(1+ b2 )(a2 + 1) Suy ra (a2 + 2ab + b2 )(a3 + 3ab2 + 3a2b + b3 )³ 16ab (a2 + 1)(b2 + 1) 5 Do đó (a + b) ³ 16ab (1+ a2 )(1+ b2 ) ĐPCM. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = 1. Ví dụ 2: Cho a,b,c là số dương. Chứng minh rằng æ 1öæ 1öæ 1ö a) ça + ÷çb + ÷çc + ÷³ 8 èç bø÷èç cø÷èç aø÷ b) a2 (1+ b2 )+ b2 (1+ c2 )+ c2 (1+ a2 ) ³ 6abc
3 c) (1+ a)(1+ b)(1+ c) ³ (1+ 3 abc) d) a2 bc + b2 ac + c2 ab £ a3 + b3 + c3 Lời giải: a) Áp dụng BĐT côsi ta có 1 a 1 b 1 c a + ³ 2 , b + ³ 2 , c + ³ 2 b b c c a a æ 1öæ 1öæ 1ö a b c Suy ra ça + ÷çb + ÷çc + ÷³ 8 . . = 8 ĐPCM. èç bø÷èç cø÷èç aø÷ b c a Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c . b) Áp dụng BĐT côsi cho hai số dương ta có 1+ a2 ³ 2 a2 = 2a , tương tự ta có 1+ b2 ³ 2b, 1+ c2 ³ 2c Suy ra a2 (1+ b2 )+ b2 (1+ c2 )+ c2 (1+ a2 ) ³ 2(a2b + b2c + c2a) Mặt khác, áp dụng BĐT côsi cho ba số dương ta có a2b + b2c + c2a ³ 3 a2b.b2c.c2a = 3abc Suy ra a2 (1+ b2 )+ b2 (1+ c2 )+ c2 (1+ a2 ) ³ 6abc . ĐPCM. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1. c) Ta có (1+ a)(1+ b)(1+ c) = 1+ (ab + bc + ca)+ (a + b + c)+ abc Áp dụng BĐT côsi cho ba số dương ta có 2 ab + bc + ca ³ 3 3 ab.bc.ca = 3(3 abc) và a + b + c ³ 3 3 abc 2 3 Suy ra (1+ a)(1+ b)(1+ c) ³ 1+ 3(3 abc) + 3 3 abc + abc = (1+ 3 abc) ĐPCM Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c . d) Áp dụng BĐT côsi cho hai số dương ta có æb + cö æa + cö æa + bö a2 bc £ a2 ç ÷, b2 ac £ b2 ç ÷, c2 ab £ c2 ç ÷ èç 2 ø÷ èç 2 ø÷ èç 2 ø÷ a2b + b2a + a2c + c2a + b2c + c2b Suy ra a2 bc + b2 ac + c2 ab £ (1) 2 Mặt khác theo BĐT côsi cho ba số dương ta có a3 + a3 + b3 b3 + b3 + a3 a3 + a3 + c3 a2b £ , b2a £ , a2c £ , 3 3 3 c3 + c3 + a3 b3 + b3 + c3 c3 + c3 + b3 c2a £ , b2c £ , c2b £ 3 3 3 Suy ra a2b + b2a + a2c + c2a + b2c + c2b £ 2(a3 + b3 + c3 ) (2) Từ (1) và (2) suy ra a2 bc + b2 ac + c2 ab £ a3 + b3 + c3
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c . Ví dụ 3: Cho a,b,c,d là số dương. Chứng minh rằng a + b + c + d a) ³ 4 abcd 4 æa b c d ö b) ç + + + ÷ + + ³ ç 3 3 3 3 ÷(a b)(b c) 16 èçb c d a ø÷ a + b + c 8abc c) + ³ 4. 3 abc (a + b)(b + c)(c + a) Lời giải: a) Áp dụng BĐT côsi ta có a + b ³ 2 ab,c + d ³ 2 cd và ab + cd ³ 2 ab. cd = 2 4 abcd a + b + c + d 2 ab + 2 cd Suy ra ³ ³ 4 abcd ĐPCM. 4 4 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = d . b) Áp dụng câu a) ta có a b c d a b c d 4 + + + ³ 4 4 . . . = b3 c3 d3 a3 b3 c3 d3 a3 abcd æa b c d ö 4 Suy ra ç + + + ÷ + + ³ = ĐPCM ç 3 3 3 3 ÷(a b)(c d) .2 ab.2 cd 16 èçb c d a ø÷ abcd Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = d . c) Áp dụng câu a) ta có 3 3 a + b + c 8abc æa + b + c÷ö 8abc 8(a + b + c) VT = 3. + ³ 4 4 ç ÷ = 4 4 3 ç 3 ÷ 3 abc (a + b)(b + c)(c + a) èç 3 abc ø÷ (a + b)(b + c)(c + a) 27(a + b)(b + c)(c + a) 3 8(a + b + c) Như vậy ta chỉ cần chứng minh 4 4 ³ 4 27(a + b)(b + c)(c + a) 3 Û 8(a + b + c) ³ 27(a + b)(b + c)(c + a) (*) Áp dụng BĐT côsi cho ba số ta có 3 3 æ(a + b)+ (b + c)+ (c + a)ö 8(a + b + c) ç ÷ (a + b)(b + c)(c + a)£ ç ÷ = èç 3 ø÷ 27 Suy ra BĐT (*) đúng nên BĐT ban đầu đúng. ĐPCM. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c . Nhận xét: BĐT câu a) là bất đẳng côsi cho bốn số không âm. Ta có BĐT côsi cho n số không âm như sau: Cho n số không âm ai , i = 1,2, ,n.
a + a + + a Khi đó ta có 1 2 n ³ n a a a . n 1 2 n Ví dụ 4: Cho a,b,c là số dương thỏa mãn a2 + b2 + c2 = 3. Chứng minh rằng a) a2b + b2c + c2a £ 3 ab bc ca 3 b) + + £ 3+ c2 3+ a2 3+ b2 4 Lời giải: 2 a) Ta có (a2 + b2 + c2 ) = 9 Û a4 + b4 + c4 + 2a2b2 + 2b2c2 + 2c2b2 = 9 (1) Áp dụng BĐT côsi ta có a4 + b4 ³ 2a2b2 , b4 + c4 ³ 2b2c2 , c4 + a4 ³ 2c2a2 Cộng vế với vế lại ta được a4 + b4 + c4 ³ a2b2 + b2c2 + c2a2 (2) Từ (1) và (2) ta có a2b2 + b2c2 + c2a2 £ 3 (3) Áp dụng BĐT côsi ta có a2 + a2b2 ³ 2 a2 .a2b2 = 2a2b , tương tự ta có b2 + b2c2 ³ 2b2c, c2 + c2a2 ³ 2c2a Cộng vế với vế ta được a2 + b2 + c2 + a2b2 + b2c2 + c2a2 ³ 2(a2b + b2c + c2a) (4) Từ giả thiết và (3), (4) suy ra a2b + b2c + c2a £ 3 ĐPCM Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1. b) Áp dụng BĐT côsi ta có 3+ a2 = 3+ (3- b2 - c2 )= (3- b2 )+ (3- c2 )³ 2 (3- b2 )(3- c2 ) bc bc 1 b2 c2 1 æ b2 c2 ö 1 æ b2 c2 ö Þ £ = £ ç + ÷= ç + ÷ 2 2 . 2 ç 2 2 ÷ ç 2 2 2 2 ÷ 2 2 ç ÷ ç ÷ 3+ a 2 (3- b )(3- c ) 2 3- c 3- b 4 è3- c 3- b ø 4 èb + a c + a ø æ 2 2 ö æ 2 2 ö ab 1 ç a b ÷ ca 1 ç c a ÷ Tương tự ta có £ ç + ÷, £ ç + ÷ 3+ c2 4 èça2 + c2 b2 + c2 ø÷ 3+ b2 4 èçc2 + b2 a2 + b2 ÷ø ab bc ca 3 Cộng vế với vế ta được + + £ ĐPCM. 3+ c2 3+ a2 3+ b2 4 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1. Loại 2: Kĩ thuật tách, thêm bớt, ghép cặp. • Để chứng minh BĐT ta thường phải biến đổi (nhân chia, thêm, bớt một biểu thức) để tạo biểu thức có thể giản ước được sau khi áp dụng BĐT côsi. • Khi gặp BĐT có dạng x + y + z ³ a + b + c (hoặc xyz ³ abc ), ta thường đi chứng minh x + y ³ 2a (hoặc ab £ x2 ), xây dựng các BĐT tương tự rồi cộng(hoặc nhân) vế với vế ta suy ra điều phải chứng minh. • Khi tách và áp dụng BĐT côsi ta dựa vào việc đảm bảo dấu bằng xảy ra(thường dấu bằng xảy ra khi các biến bằng nhau hoặc tại biên). Ví dụ 5: Cho a,b,c là số dương. Chứng minh rằng:
ab bc ac a b c 1 1 1 a) + + ³ a + b + c b) + + ³ + + c a b b2 c2 a2 a b c Lời giải: ab bc ab bc a) Áp dụng BĐT côsi ta có + ³ 2 . = 2b c a c a bc ac ac ba Tương tự ta có + ³ 2c, + ³ 2a . a b b c Cộng vế với vế các BĐT trên ta được æab bc acö ab bc ac 2ç + + ÷³ 2(a + b + c)Û + + ³ a + b + c ĐPCM èç c a b ø÷ c a b Đẳng thức xảy ra khi a = b = c . a 1 a 1 2 b) Áp dụng BĐT côsi ta có + ³ 2 . = b2 a b2 a b b 1 2 c 1 2 Tương tự ta có + ³ , + ³ c2 b c a2 c a Cộng vế với vế các BĐT trên ta được a b c 1 1 1 2 2 2 a b c 1 1 1 + + + + + ³ + + Û + + ³ + + ĐPCM. b2 c2 a2 a b c a b c b2 c2 a2 a b c Đẳng thức xảy ra khi a = b = c . Ví dụ 6: Cho a,b,c dương sao cho a2 + b2 + c2 = 3. Chứng minh rằng a3b3 b3c3 c3a3 a) + + ³ 3abc c a b ab bc ca b) + + ³ 3. c a b Lời giải: a3b3 b3c3 a3b3 b3c3 a) Áp dụng BĐT côsi ta có + ³ 2 . = 2b3ac c a c a b3c3 c3a3 c3a3 a3b3 Tương tự ta có + ³ 2abc3 , + ³ 2a3bc a b b c æ 3 3 3 3 3 3 ö ça b b c c a ÷ 2 2 2 Cộng vế với vế ta có 2ç + + ÷³ 2abc(a + b + c ) èç c a b ø÷ a3b3 b3c3 c3a3 Û + + ³ 3abc . ĐPCM c a b Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1 . 2 æab bc caö b) BĐT tương đương với ç + + ÷ ³ 9 èç c a b ø÷
2 2 2 2 2 2 æabö æbcö æcaö æabö æbcö æcaö Û ç ÷ + ç ÷ + ç ÷ + 2(a2 + b2 + c2 )³ 9 Û ç ÷ + ç ÷ + ç ÷ ³ 3 èç c ø÷ èç a ø÷ èç b ÷ø èç c ø÷ èç a ÷ø èç b ø÷ 2 2 2 2 æabö æbcö æabö æbcö Áp dụng BĐT côsi ta cóç ÷ + ç ÷ ³ 2 ç ÷ .ç ÷ = 2b2 èç c ø÷ èç a ø÷ èç c ø÷ èç a ø÷ 2 2 2 2 æbcö æcaö æcaö æabö Tương tự ta có ç ÷ + ç ÷ ³ 2c2 , ç ÷ + ç ÷ ³ 2a2 èç a ø÷ èç b ø÷ èç b ø÷ èç c ø÷ 2 2 2 æabö æbcö æcaö Cộng vế với vế và rút gọn ta được ç ÷ + ç ÷ + ç ÷ ³ 3 ĐPCM. èç c ø÷ èç a ø÷ èç b ø÷ Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1 . Ví dụ 7: Cho a,b,c là số dương thỏa mãn a + b + c = 3 . Chứng minh rằng a) 8(a + b)(b + c)(c + a)£ (3+ a)(3+ b)(3+ c) b) (3- 2a)(3- 2b)(3- 2c)£ abc Lời giải: a) Áp dụng BĐT côsi ta có 2 2 æ(a + b)+ (b + c)ö (3+ a) ç ÷ (a + b)(b + c)£ ç ÷ = èç 2 ø÷ 4 2 2 (3+ c) (3+ a) Tương tự ta có (b + c)(c + a)£ , (c + a)(a + b)£ 4 4 2 2 Nhân vế với vế lại ta được é + + + ù £ é + + + ù ëê(a b)(b c)(c a)ûú 64 ëê(3 a)(3 b)(3 c)ûú Suy ra 8(a + b)(b + c)(c + a)£ (3+ a)(3+ b)(3+ c) ĐPCM Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1 . b) * TH1: Với (3- 2a)(3- 2b)(3- 2c)£ 0 : BĐT hiển nhiên đúng. * TH2: Với (3- 2a)(3- 2b)(3- 2c)> 0 : + Nếu cả ba số (3- 2a), (3- 2b), (3- 2c) đều dương. Áp dụng BĐT côsi ta có 2 æ(3- 2a)+ (3- 2b)÷ö ç ÷ 2 (3- 2a)(3- 2b)£ ç ÷ = c , tương tự ta có èç 2 ø÷ (3- 2b)(3- 2c)£ a2 , (3- 2c)(3- 2a)£ b2 2 Nhân vế với vế ta được é - - - ù £ 2 2 2 ëê(3 2a)(3 2b)(3 2c)ûú a b c Hay (3- 2a)(3- 2b)(3- 2c)£ abc .
+ Nếu hai trong ba số(3- 2a), (3- 2b), (3- 2c) âm và một số dương. Không mất tính tổng quát giả sử 3- 2a < 0, 3- 2b < 0 suy racó 6- 2a- 2b < 0 Û c < 0 (không xảy ra) Vậy BĐT được chứng minh. Đẳng thức xảy ra Û a = b = c = 1 . a2 b2 c2 a + b + c Ví dụ 8: Cho a,b,c là số dương. Chứng minh rằng + + ³ . b + c c + a a + b 2 Lời giải: Áp dụng BĐT Côsi cho hai số thực dương ta có : a2 b + c a2 b + c + ³ 2 . = a . b + c 4 b + c 4 b2 c + a c2 a + b Tương tự ta có + ³ b; + ³ c . c + a 4 a + b 4 Cộng ba BĐT này lại với nhau ta đươc : a2 b2 c2 a + b + c + + + ³ a + b + c b + c c + a a + b 2 a2 b2 c2 a + b + c Û + + ³ b + c c + a a + b 2 Đẳng thức xảy ra Û a = b = c . a2 b + c Lưu ý :Việc ta ghép + và đánh giá như trên là vì những lí do sau: b + c 4 Thứ nhất là ta cần làm mất mẫu số ở các đại lượng vế trái (vì vế phải không có phân số), chẳng hạn đại a2 lượng khi đó ta sẽ áp dụng BĐT côsi cho đại lượng đó với một đại lượng chứa b + c . b + c Thứ hai là ta cần lưu ý tới điều kiện xảy ra đẳng thức ở BĐT côsi là khi hai số đó bằng nhau. Ta dự đoán a2 a dấu bằng xảy ra khi a = b = c khi đó = và b + c = 2a do đó ta ghép như trên. b + c 2 Ví dụ 9: Cho a,b,c là số dương thỏa mãn a + b + c = 3 . Chứng minh rằng: a b c 3 2 a) + + ³ b + 1 c + 1 a + 1 2 a3 b3 c3 3 b) + + ³ b + 3 c + 3 a + 3 2 Lời giải: a b c a) Đặt P = + + b + 1 c + 1 a + 1 Áp dụng BĐT côsi ta có
a a 2a(b + 1) a a 2a(b + 1) 3 2a + + ³ 3 3 . . = b + 1 b + 1 4 b + 1 b + 1 4 2 Tương tự ta có b b 2b(c + 1) 3 2b c c 2c(a + 1) 3 2c + + ³ , + + ³ c + 1 c + 1 4 2 a + 1 a + 1 4 2 Cộng vế với vế ba BĐT trên ta được 2 3 2 2P + (ab + bc + ca + a + b + c)³ (a + b + c) 4 2 15 2 2 Û P ³ - (ab + bc + ca) (vì a + b + c = 3 ) 8 8 2 Mặt khác ta có (a + b + c) ³ 3(ab + bc + ca) (theo ví dụ 1) Do đó ab + bc + ca £ 3 15 2 2 3 2 Suy ra Û P ³ - .3 = ĐPCM. 8 8 2 Đẳng thức xảy ra Û a = b = c = 1 . a3 b3 c3 b) Đặt Q = + + b + 3 c + 3 a + 3 a2 b2 c2 Ta có Q = + + a(b + 3) b(c + 3) c(a + 3) Áp dụng BĐT côsi ta có 4 a(b + 3) = 2 4a(b + 3)£ 4a + b + 3 a2 4a2 Suy ra ³ , tương tự ta có a(b + 3) 4a + b + 3 b2 4b2 c2 4c2 ³ , ³ b(c + 3) 4b + c + 3 c(a + 3) 4c + a + 3 4a2 4b2 4c2 Cộng vế với vế lại ta được Q ³ + + = L 4a + b + 3 4b + c + 3 4c + a + 3 Áp dụng BĐT côsi ta có 4a2 1 4a2 1 + (4a + b + 3)³ 2 . (4a + b + 3) = a 4a + b + 3 16 4a + b + 3 16 Tương tự ta có 4b2 1 4c2 1 + (4b + c + 3)³ b, + (4c + a + 3)³ c 4b + c + 3 16 4c + a + 3 16 1 é ù Cộng vế với vế lại ta được L + ê5(a + b + c)+ 9ú³ a + b + c 16 ë û
3 3 Vì a + b + c = 3 nên L ³ suy ra Q ³ ĐPCM 2 2 Đẳng thức xảy ra Û a = b = c = 1 . Ví dụ 10: Cho a,b,c là số dương thỏa mãn abc = 1 . Chứng minh rằng 1 1 1 + + + 3 ³ 2(a + b + c). a2 b2 c2 Lời giải: 2 2 2 Ta có é - - ùé - - ùé - - ù= - - - ³ ëê(a 1)(b 1)ûúëê(b 1)(c 1)ûúëê(c 1)(a 1)ûú (a 1) (b 1) (c 1) 0 Do đó không mất tính tổng quát giả sử (a- 1)(b- 1)³ 0 Û ab + 1³ a + b Û 2(ab + c + 1)³ 2(a + b + c) 1 1 1 Do đó ta chỉ cần chứng minh + + + 3 ³ 2(ab + c + 1) a2 b2 c2 1 1 1 Û + + + 1³ 2(ab + c) a2 b2 c2 1 1 2 1 2 Áp dụng BĐT côsi ta có + ³ = 2c, + 1³ = 2ab (do abc = 1 ) a2 b2 ab c2 c 1 1 1 Cộng vế với vế ta được + + + 1³ 2(ab + c) ĐPCM. a2 b2 c2 Đẳng thức xảy ra Û a = b = c = 1 . Ví dụ 11: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 (x- 1) 1 a) = với > b) = + với > - f (x) x 2 g(x) 2x 2 x 1 x- 2 (x + 1) 3 1 1 c) h(x)= x + với x ³ 2 d) k(x)= 2x + với 0 2 nên x- 2 > 0, > 0 . Áp dụng BĐT côsi ta có x- 2 1 1 x- 2 + ³ 2 (x- 2). = 2 x- 2 x- 2 Suy ra f (x)³ 4 1 2 Đẳng thức xảy ra Û x- 2 = Û (x- 2) = 1 Û x = 1(loại) hoặc x = 3 (thỏa mãn) x- 2 Vậy min f (x)= 4 khi và chỉ khi x = 3 . b) Do x > - 1 nên x + 1> 0 . Áp dụng BĐT côsi ta có
1 1 = + + + + - ³ + + - = g(x) (x 1) (x 1) 2 2 3 3 (x 1).(x 1). 2 2 1 (x + 1) (x + 1) 1 3 Đẳng thức xảy ra Û + = Û + = Û = (thỏa mãn) x 1 2 (x 1) 1 x 0 (x + 1) Vậy min g(x)= 1 khi và chỉ khi x = 0 . æ3 3xö x c) Ta có h(x)= ç + ÷+ èçx 4 ø÷ 4 3 3x 3 3x Áp dụng BĐT côsi ta có + ³ 2 . = 3 x 4 x 4 æ3 3xö x 2 7 Mặt khác x ³ 2 suy ra h(x)= ç + ÷+ ³ 3+ = èçx 4 ø÷ 4 4 2 ïì 3 3x ï = Đẳng thức xảy ra Û í x 4 Û x = 2 ï îï x = 2 7 Vậy min h(x)= khi và chỉ khi x = 2 . 2 1 7 d) Ta có k(x)= x + x + + 8x2 8x2 1 1 3 Áp dụng BĐT côsi ta có x + x + ³ 3 3 x.x. = 8x2 8x2 2 1 7 7 3 7 Mặt khác 0 < x £ Þ ³ suy ra k(x)³ + = 5 2 8x2 2 2 2 ïì 1 ï x = ï 2 1 Đẳng thức xảy ra Û íï 8x Û x = ï 1 2 ï x = îï 2 1 Vậy min k(x)= 5 khi và chỉ khi x = . 2 Loại 3: Kĩ thuật tham số hóa Nhiều khi không dự đoán được dấu bằng xảy ra(để tách ghép cho hợp lí) chúng ta cần đưa tham số vào rồi chọn sau sao cho dấu bằng xảy ra. Ví dụ 12: Cho a,b,c là số dương thỏa mãn a2 + b2 + c2 = 1. Tìm giá trị lớn nhất của A = (1+ 2a)(1+ 2bc) Phân tích Rõ ràng ta sẽ đánh giá biểu thức A để làm xuất hiện a2 + b2 + c2 .
a2 Trước tiên ta sẽ đánh giá a qua a2 bởi a2 + m2 ³ 2ma Þ 2a £ + m (với m > 0 ) m Do b,c bình đẳng nên dự đoán dấu bằng A đạt giá trị nhỏ nhất khi b = c nên ta đánh giá 2bc £ b2 + c2 . æ 2 ö æ ö2 ça ÷ 2 2 çx + y÷ Suy ra A £ ç + m+ 1÷(1+ b + c )= B . Tiếp tục ta sẽ sử dụng BĐT côsi dưới dạng xy £ ç ÷ để èçm ø÷ èç 2 ø÷ là xuất hiện a2 + b2 + c2 nên ta sẽ tách như sau 2 æa2 + m2 + m + 1+ b2 + c2 ÷ö 1 2 2 2 2 1 ç( ) ( )÷ B = a + m + m 1+ b + c £ ç ÷ ( )( ) ç ÷ m mèç 2 ÷ø 1 2 Suy ra A £ (m2 + m+ 2) 4m Dấu bằng xảy ra khi a = m, b = c,a2 + m2 + m = 1+ b2 + c2 và a2 + b2 + c2 = 1. 2 Từ đây ta có m = . Do đó ta có lời giải như sau: 3 Lời giải: 4 4 3a2 2 Áp dụng BĐT côsi ta có a2 + ³ a Þ 2a £ + và 2bc £ b2 + c2 9 3 2 3 æ 2 ö ç3a 2 ÷ 2 2 Suy ra A £ ç + + 1÷(b + c + 1) èç 2 3 ø÷ Áp dụng BĐT côsi ta có æ ö2 ç 2 10 2 2 ÷ æ 2 ö æ ö ça + + b + c + 1÷ ç3a 2 ÷ 2 2 3 ç 2 10÷ 2 2 3 ç 9 ÷ 98 ç + + 1÷(b + c + 1)= ça + ÷(b + c + 1)£ ç ÷ = èç 2 3 ø÷ 2 èç 9 ø÷ 2 ç 2 ÷ 27 ç ÷ èç ø÷ ïì 2 ï a = ï 3 ïì 2 ï ï a = 98 ï b = c ï 3 Suy ra A £ , đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi í Û íï 27 ï 2 10 2 2 ï 5 ï a + = b + c + 1 ï b = c = ï 9 ï ï ïî 18 ï 2 2 2 îï a + b + c = 1 98 2 5 Vậy max A = khi và chỉ khi a = và b = c = . 27 3 18 Ví dụ 13: Cho a,b,c là số dương thỏa mãn 2a + 4b + 3c2 = 68 . Tìm giá trị nhỏ nhất của A = a2 + b2 + c3 . Phân tích Ta cần đánh giá biểu thức A qua biểu thức 2a + 4b + 3c2 . Do đó ta sẽ cho thêm vào các tham số vào và đánh giá như sau ( m,n, p dương)
c3 c3 a2 + m2 ³ 2am, b2 + n2 ³ 2bn và + + 4p3 ³ 3pc2 2 2 Suy ra a2 + b2 + c3 + m2 + n2 + 4p3 ³ 2am+ 2bn+ 3pc (*) Để 2am+ 2bn+ 3pc2 có thể bội số của 2a + 4b + 3c2 thì 2m 2n 3p n = = Û m = = p 2 4 3 2 Mặt khác dấu bằng ở BĐT (*) xảy ra khi a = m,b = n,c = 2p 2 Hay a = m,b = 2m,c = 2m Þ 2m+ 4.(2m)+ 3(2m) = 68 17 Û 12m2 + 10m- 68 = 0 Û m = 2 (nhận) hoặc m = - (loại) 6 Suy ra p = 2,n = 4 do đó ta có lời giải như sau Lời giải: Áp dụng bĐT côsi ta có c3 c3 a2 + 4 ³ 4a, b2 + 16 ³ 8b và + + 32 ³ 6c2 2 2 Cộng vế với vế ta được a2 + b2 + c3 + 52 ³ 4a + 8b + 6c2 , kết hợp với 2a + 4b + 3c2 = 68 Suy ra a2 + b2 + c3 ³ 84 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = 2,b = 4,c = 4 Vậy min A = 84 Û a = 2,b = 4,c = 4 . Ví dụ 14: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau x2 - x + 3 a) A = với x < 1 1- x3 b) B = - x2 + 4x + 21- - x2 + 3x + 10 với - 2 £ x £ 5 . Lời giải: x2 - x + 3 a) Ta có A = (1- x)(x2 + x + 1) Áp dụng BĐT côsi cho hai số dương ta có 2 1 1 2(1- x)+ x + x + 1 x2 - x + 3 (1- x)(x2 + x + 1) = 2(1- x). x2 + x + 1 £ = 2 2 2 2 2 x2 - x + 3 Suy ra A ³ = 2 2 x2 - x + 3 2 2 - 3± 13 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2(1- x)= x2 + x + 1 Û x2 + 3x- 1= 0 Û x = 2
- 3± 13 Vậy min A = 2 2 khi x = x< 1 2 x + 11 x + 11 b) Ta có B = = - x2 + 4x + 21 + - x2 + 3x + 10 (x + 3)(7 - x) + (x + 2)(5- x) Với - 2 £ x £ 5 thì x + 11 ; x + 3 ; 7 - x ; x + 2 ; 5- x là các số không âm nên theo BĐT côsi ta có : æ ö 1 1 ç(2x + 6)+ (7 - x)÷ x + 13 (x + 3)(7 - x) = (2x + 6)(7 - x) £ ç ÷= (1) 2 2 èç 2 ø÷ 2 2 æ ö 1 1 ç(2x + 4)+ (5- x)÷ x + 9 (x + 2)(5- x) = (2x + 4)(5- x) £ ç ÷= (2) 2 2 èç 2 ø÷ 2 2 x + 11 Từ (1) và (2) suy ra (x + 3)(7 - x) + (x + 2)(5- x) £ , từ đó ta có B ³ 2 . 2 1 Dấu bằng xảy ra Û (1) và (2) đồng thời xảy ra dấu bằng Û x = . 3 1 Vậy min B = 2 Û x = . - 2£ x£ 5 3 Loại 4: Kĩ thuật côsi ngược dấu. Ví dụ 15: Cho a,b,c là các số thực dương. Tìm giá trị lớn nhất của bc ca ab P = + + . a + 2 bc b + 2 ca c + 2 ab Lời giải: bc 1 æ a ö 1 æ a ö = ç - ÷£ ç - ÷ Áp dụng BĐT côsi ta có ç1 ÷ ç1 ÷ a + 2 bc 2 èç a + 2 bc ø÷ 2 èç a + b + cø÷ æ ö æ ö ca 1 ç b ÷ ab 1 ç c ÷ Tương tự ta có £ ç1- ÷, £ ç1- ÷ b + 2 ca 2 èç a + b + cø÷ c + 2 ab 2 èç a + b + cø÷ Cộng vế với vế các BĐT trên ta được 1 æ a b c ö P £ ç3- - - ÷= 1 2 èç a + b + c a + b + c a + b + cø÷ Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c Vậy min P = 1 Û a = b = c Ví dụ 16: Cho a,b,c là các số thực không âm thỏa mãn a + b + c = 3 . Chứng minh rằng a b c 3 a) + + ³ . 1+ b2 1+ c2 1+ a2 2 a2 b2 c2 b) + + ³ 1 a + 2b3 b + 2c3 c + 2a3 Lời giải: a) Áp dụng BĐT côsi ta có:
2 2 a a(1+ b - b ) ab2 ab2 ab = = a- ³ a- = a- 1+ b2 1+ b2 1+ b2 2b 2 b bc c ca Tương tự ta có ³ b- và ³ c- 1+ c2 2 1+ a2 2 Cộng vế theo vế các BĐT trên ta được: a b c ab + bc + ca ab + bc + ca + + ³ a + b + c- = 3- 1+ b2 1+ c2 1+ a2 2 2 2 Mặt khác ta có (a + b + c) ³ 3(ab + bc + ca)Þ ab + bc + ca £ 3 . a b c 3 3 Do đó + + ³ 3- = ĐPCM. 1+ b2 1+ c2 1+ a2 2 2 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1 b) Theo bất đẳng thức Côsi ta có : 3 3 a2 a(a + 2b )- 2ab 2ab3 2b 3 a2 = ³ - = - . 3 3 a a a + 2b a + 2b 3 3 ab6 3 b2 2c 3 b c2 2a 3 c Tương tự ta có ³ b- , ³ c- b + 2c3 3 c + 2a3 3 Cộng vế theo vế các BĐT trên ta được: a2 b2 c2 2 + + ³ a + b + c- b 3 a2 + a 3 c2 + c 3 b2 a + 2b3 b + 2c3 c + 2a3 3 ( ) Mặt khác a + b + c = 3 do đó ta chỉ cần chứng minh: b 3 a2 + c 3 b2 + a 3 c2 £ 3 . Thật vậy, theo bất đẳng thức Côsi ta có : 1 2ab + b b 3 a2 £ b.(a + a + 1)= 3 3 2bc + c 2ca + a Tương tự ta có c 3 b2 £ , a 3 c2 £ 3 3 Cộng vế theo vế các BĐT trên ta có: 2ab + b 2bc + c 2ca + a 2 1 b 3 a2 + c 3 b2 + a 3 c2 £ + + = (ab + bc + ca)+ (a + b + c) 3 3 3 3 3 2 1 Từ đó suy ra: b 3 a2 + c 3 b2 + a 3 c2 £ .3+ .3 = 3 ĐPCM. 3 3 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1. Ví dụ 17: Cho a,b,c là các số thực không âm thỏa mãn a2 + b2 + c2 = 1. c b a Chứng minh rằng + + ³ 1 1+ ab 1+ ac 1+ bc Lời giải: c b a Đặt P = + + 1+ ab 1+ ac 1+ bc
Áp dụng BĐT côsi ta có c abc abc (ca)(cb) ca + cb = c- ³ c- = c- ³ c- 1+ ab 1+ ab 2 ab 2 4 b ba + bc a ab + ac Tương tự ta ta có ³ b- , £ a- 1+ ac 4 1+ bc 4 ab + bc + ca Cộng vế theo vế các BĐT trên ta được: P ³ a + b + c- 2 2 2 (a + b + c) - 1 Mặt khác a2 + b2 + c2 = 1Þ (a + b + c) = 1+ 2(ab + bc + ca) (*)Hay ab + bc + ca = 2 2 (a + b + c) - 1 (a + b + c- 1)(3- a- b- c) Suy ra P ³ a + b + c- = + 1 (1) 4 4 Từ giả thiết ta có a,b,c Î [0;1]Þ 3- a- b- c ³ 0 (2) Và từ (*) suy ra a + b + c ³ 1 (3) Từ (1), (2) và (3) suy ra P ³ 1 . ĐPCM Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi trong ba số a, b, c có một số bằng 1 và hai số còn lại bằng 0. 3. Bài tập luyện tập. 2 x 2 y 2 z 1 1 1 Bài 4.6: Cho x, y,z dương. Chứng minh rằng + + £ + + . x3 + y2 y3 + z2 z3 + x2 x2 y2 z2 Lời giải: Bài 4.6: Áp dụng BĐT Côsi cho hai số thực dương ta có: 2 x 2 x 1 x3 + y2 ³ 2xy x Þ £ = . x3 + y2 2xy x xy 2 y 1 2 z 1 1 1 1 Tương tự: £ ; £ Þ VT £ + + . y3 + z2 yz z3 + x2 zx xy yz zx 1 1 1 1 1 1 Mặt khác: a2 + b2 + c2 ³ ab + bc + ca Þ + + £ + + xy yz zx x2 y2 z2 1 1 1 Vậy : VT £ + + Þ đpcm. Đẳng thức xảy ra Û x = y = z = 1 . x2 y2 z2 Bài 4.7: Cho các số dương x, y, z thỏa mãn xyz = 1. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1+ x3 + y3 1+ y3 + z3 1+ z3 + x3 P = + + xy yz zx A. 3 3 B. 2 3 C. 4 3 D. 5 3 Lời giải:
1+ x3 + y3 3 Bài 4.7: Áp dụng BĐT Cô-si, ta có:1+ x3 + y3 ³ 3xy Þ ³ xy xy 1+ y3 + z3 3 1+ z3 + x3 3 Chứng minh tương tự, ta được: ³ , ³ yz yz zx zx Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên, ta được: + 3 + 3 + 3 + 3 3 3 æ ö 1 x y 1 y z 1+ z + x ç 1 1 1 ÷ + + ³ 3ç + + ÷ (1) xy yz zx èç xy yz zx ø÷ 1 1 1 3 Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có: + + ³ = 3 (2) xy yz zx 3 xyz Từ (1) và (2), ta có điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1. a b c d Bài 4.8: Với các số dương a, b, c, d sao cho: + + + = 1 1+ a 1+ b 1+ c 1+ d Giá trị lớn nhất của P = abcd 1 1 A. B.1 C.2D. 81 64 Lời giải: 1 a b c d bcd Bài 4.8: = 1- = + + ³ 3 3 1+ a 1+ a 1+ b 1+ c 1+ d (1+ b)(1+ c)(1+ d) 1 Xây dựng các BĐT tương tự rồi nhân vế với vế ta được abcd £ 81 a b c Bài 4.9: Với các số dương a, b, c sao cho: + + = 1 1+ b 1+ c 1+ a æ1+ b öæ1+ c öæ1+ a ö Giá trị nhỏ nhất của P = ç - 1÷ç - 1÷ç - 1÷ èç a ø÷èç b ø÷èç c ø÷ A.3B.4 C.6D.8 Lời giải: a 1+ b- a b c bc Bài 4.9: 1- = = + ³ 2 1+ b 1+ b 1+ c 1+ a (1+ c)(1+ a) Chứng minh tương tự, ta thu được:
(1+ b- a)(1+ c- b)(1+ a- c)³ 8abc æ1+ b öæ1+ c öæ1+ a ö Û ç - 1÷ç - a÷ç - 1÷³ 8 èç a ø÷èç b ø÷èç c ø÷ Bài 4.10: Cho ba số dương x, y,z thoả mãn hệ thức xyz(x + y + z)= 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = (x + y)(x + z). A.2B.4 C.6D.8 Lời giải: Bài 4.10: Ta có 1= xyz(x + y + z)= yz(x2 + xy + xz) Áp dụng BĐT côsi ta có P = (x + y)(x + z)= yz + (x2 + xy + zx)³ 2 yz.(x2 + xy + zx) = 2 Suy ra min P = 2 . Bài 4.11: Cho ba số thực dương a,b,c thỏa mãn ab + bc + ca = 1 . Giá trị lớn nhất của a b c P = + + 1+ a2 1+ b2 1+ c2 3 1 A. B. C.1D.2 2 2 Lời giải: a a a 1 æ a a ö Bài 4.11: Ta có = = £ ç + ÷ 2 2 ç ÷ 1+ a ab + cb + ca + a (a + b)(a + c) 2 èa + b a + cø b 1 æ b b ö c 1 æ c c ö Tương tự £ ç + ÷, £ ç + ÷. 2 ç ÷ 2 ç ÷ 1+ b 2 èa + b b + cø 1+ c 2 èa + c b + cø Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên suy ra điều phải chứng minh. Bài 4.12: Cho ba số thực dương a,b,c thỏa mãn a + b + c = 1 . Giá trị lớn nhất của ab bc ca P = + + . c + ab a + bc b + ca 3 1 A. B. C.1D.2 2 2 Lời giải: Bài 4.12: Áp dụng BĐT côsi ta có ab ab ab 1 æab ab ö = = £ ç + ÷ ç ÷ c + ab c(a + b + c)+ ab (c + a)(c + b) 2 èc + a c + bø æ ö æ ö bc 1 ç bc bc ÷ ca 1 ç ca ca ÷ Tương tự ta có £ ç + ÷, £ ç + ÷ a + bc 2 èça + b a + cø÷ b + ca 2 èçb + a b + cø÷ ab bc ca 1 Cộng vế với vế các BĐT trên ta được + + £ . c + ab a + bc b + ca 2
Bài tập tự luận 3 6 Bài 4.13: Cho ba số thực dương a,b,c . Chứng minh rằng 1+ ³ . ab + bc + ca a + b + c Lời giải: 3(a + b + c) Bài 4.13: BĐT Û a + b + c + ³ 6 ab + bc + ca 2 3(a + b + c) 3(a + b + c) Áp dụng BĐT côsi ta có a + b + c + ³ 2 ab + bc + ca ab + bc + ca 2 3(a + b + c) Do đó ta chỉ cần chứng minh 2 ³ 6 ab + bc + ca 2 Û (a + b + c) ³ 3(ab + bc + ca) (đúng) Bài 4.14: Cho ba số thực dương a,b,c thỏa mãn abc = 1 . 1 1 1 Giá trị nhỏ nhất của P = + + a(1+ b) b(1+ c) c(1+ a) 3 1 A. B. C.1D.4 2 2 Lời giải: æ ö ç 1 1 1 ÷ Bài 4.14: Ta có (1+ abc)ç + + ÷+ 3 = èça(1+ b) b(1+ c) c(1+ a)ø÷ æ ö æ ö æ ö ç1+ abc ÷ ç1+ abc ÷ ç1+ abc ÷ = ç + 1÷+ ç + 1÷+ ç + 1÷ ça(1+ b) ÷ çb(1+ c) ÷ çc(1+ a) ÷ è ø è ø è ø 1+ a + ab + abc 1+ b + bc + abc 1+ c + ca + abc = + + a(1+ b) b(1+ c) c(1+ a) 1+ a b(1+ c) 1+ b c(1+ b) 1+ c a(1+ b) = + + + + + a(1+ b) a(1+ b) b(1+ c) b(1+ c) c(1+ a) c(1+ a) Áp dụng BĐT côsi ta có 1+ a 1+ b 1+ c 1+ a 1+ b 1+ c + + ³ 3 3 . . = 3 a(1+ b) b(1+ c) c(1+ a) a(1+ b) b(1+ c) c(1+ a) b(1+ c) c(1+ b) a(1+ b) b(1+ c) c(1+ b) a(1+ b) + + ³ 3 3 . . = 3 a(1+ b) b(1+ c) c(1+ a) a(1+ b) b(1+ c) c(1+ a) æ ö ç 1 1 1 ÷ Suy ra (1+ abc)ç + + ÷+ 3 ³ 6 èça(1+ b) b(1+ c) c(1+ a)ø÷ 1 1 1 3 Û + + ³ ĐPCM. a(1+ b) b(1+ c) c(1+ a) 2 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1 Bài 4.15: Cho ba số thực dương a,b,c thỏa mãn a + b + c = 3 .
a + b b + c c + a Giá trị nhỏ nhất của P = + + . 2ab 2bc 2ca A.3B.2 C.4D.1 Lời giải: Bài 4.15: Áp dụng BĐT côsi ta có a + b b + c c + a a + b b + c c + a + + ³ 3 3 . . 2ab 2bc 2ca 2ab 2bc 2ca a + b b + c c + a Do đó ta chỉ cần chứng minh . . ³ 1 (*) 2ab 2bc 2ca a + b b + c c + a 2 ab 2 bc 2 ca 2 Ta có . . ³ . . = (1) 2ab 2bc 2ca 2ab 2bc 2ca abc Mặt khác 3 = a + b + c ³ 3 3 abc Þ abc £ 1 (2) Từ (1) và (2) suy ra (*) đúng. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1. Bài tập tự luận æ aöæ böæ cö æ a + b + cö÷ Bài 4.16: Cho ba số thực dương a,b,c . Chứng minh rằng ç1+ ÷ç1+ ÷ç1+ ÷³ 2ç1+ ÷. ÷ ÷ ÷ ç 3 ÷ èç bø÷èç cø÷èç aø÷ èç abc ø÷ Lời giải: a b c b c a a + b + c Bài 4.16: Ta có BĐT Û + + + + + ³ 2. b c a a b c 3 abc a a a a a a 3a Áp dụng BĐT côsi ta có + + ³ 3 3 . . = b c a b c a 3 abc b b b 3b c c c 3c Tương tự ta có + + ³ , + + ³ c a b 3 abc a b c 3 abc Cộng vế với vế các BĐT trên ta được a b c b c a a + b + c + + + + + + 3 ³ 3. b c a a b c 3 abc a + b + c Mặt khác theo BĐT côsi ta có ³ 3 3 abc a b c b c a a + b + c Do đó + + + + + ³ 2. ĐPCM. b c a a b c 3 abc Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c . Bài 4.17: Cho a,b,c là độ dài ba cạnh tam giác. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2a 2b 2c P = + + 2b + 2c- a 2c + 2a- b 2a + 2b- c A. min P = 6 B. min P = 26 C. min P = 5 D. min P = 5 Lời giải: Bài 4.17: Áp dụng BĐT Côsi ta có:
2a a 6 a 6 = ³ 2b + 2c- a 3a(2b + 2c- a) a + b + c 2b b 6 2c c 6 Tương tự: ³ ; ³ 2c + 2a- b a + b + c 2a + 2b- c a + b + c Cộng 3 BĐT trên ta được: 6(a + b + c) P ³ = 6 . Đẳng thức xảy ra Û a = b = c . a + b + c Vậy min P = 6 . Bài tập tự luận Bài 4.18: Với các số dương a, b, c, chứng minh rằng: a) a3 + b3 + c3 ³ ab2 + bc2 + ca2 a3 b3 c3 b) + + ³ ab + bc + ca b c a a6 b6 c6 a4 b4 c4 c) + + ³ + + b3 c3 a3 c a b Lời giải: Bài 4.18: a) Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có: a3 + b3 + b3 ³ 3ab2 , b3 + c3 + c3 ³ 3bc3 , c3 + a3 + a3 ³ 3ca2 Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên, ta được: 3(a3 + b3 + c3 )³ 3(ab2 + bc2 + ca2 ) Û a3 + b3 + c3 ³ ab2 + bc2 + ca2 Dấu đẳng thức xảy ra Û a = b = c a3 b3 c3 b) Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có: + ab ³ 2a2 , + bc ³ 2b2 , + ca ³ 2c2 b c a a3 b3 c3 Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên, ta được: + + + ab + bc + ca ³ 2(a2 + b2 + c2 ) (1) b c a Lại có, a2 + b2 + c2 ³ ab + bc + ca (2) a3 b3 c3 Từ (1) và (2) suy ra: + + + ab + bc + ca ³ 2(ab + bc + ca) b c a a3 b3 c3 Û + + ³ ab + bc + ca b c a Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c .
a6 a6 b6 3a4 c) Áp dụng BĐT côsi + + ³ .Chứng minh tương tự, ta thu được: b3 b3 c3 c a6 b6 c6 a4 b4 c4 + + ³ + + b3 c3 a3 c a b Bài 4.19: Với các số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện ab + bc + ca = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của P = a3 + b3 + c3 1 1 1 1 A. B. C. D. 3 2 13 12 Lời giải: 1 Bài 4.19: Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có: a3 + b3 + ³ ab 3 3 3 1 1 b3 + c3 + ³ bc 3, c3 + a3 + ³ ca 3 3 3 3 3 Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên, ta được: 1 2(a3 + b3 + c3 )+ ³ 3(ab + bc + ca)= 3 3 2 1 Þ 2(a3 + b3 + c3 )³ Þ a3 + b3 + c3 ³ 3 3 1 Dấu đẳng thức xảy ra a = b = c = 3 Bài 4.20: Với các số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện 4(a + b + c)= 3abc . 1 1 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của : P = + + a3 b3 c3 3 13 23 A. B. C. D.2 8 8 8 Lời giải: 1 1 1 3 Bài 4.20: Ta có: 4(a + b + c)= 3abc Û + + = ab bc ca 4 1 1 1 3 1 Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có: + + ³ . a3 b3 8 2 ab 1 1 1 3 1 1 1 1 3 1 + + ³ . , + + ³ . b3 c3 8 2 bc c3 a3 8 2 ca Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên, ta được: æ1 1 1 ö 3 3 æ1 1 1 ö 9 1 1 1 3 ç + + ÷+ ³ ç + + ÷= Û + + ³ 2ç 3 3 3 ÷ ç ÷ 3 3 3 èça b c ÷ø 8 2 èçab bc ca÷ø 8 a b c 8
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 2 Bài tập tự luận Bài 4.21: Với các số dương a, b, c. Chứng minh rằng: a3 b3 c3 1 a) + + ³ (a + b + c) b(b + c) c(c + a) a(a + b) 2 a3 b3 c3 2 b) + + ³ + + 2 2 2 (a b c) (b + 2c) (c + 2a) (a + 2b) 9 Lời giải: Bài 4.21: a) Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có: a3 b b + c a3 b b + c 3 + + ³ 3 3 . . = a b(b + c) 2 4 b(b + c) 2 4 2 b3 c c + a 3 c3 a a + b 3 Tương tự, ta có: + + ³ b, + + ³ c c(c + a) 2 4 2 a(a + b) 2 4 2 Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên, ta được: a3 b3 c3 3 + + + a + b + c ³ (a + b + c) b(b + c) c(c + a) a(a + b) 2 a3 b3 c3 1 Û + + ³ (a + b + c) b(b + c) c(c + a) a(a + b) 2 Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c b) Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có: a3 b + 2c b + 2c a3 b + 2c b + 2c a + + ³ = 2 3 3 2 . . (b + 2c) 27 27 (b + c) 27 27 3 b3 c + 2a c + 2a b Tương tự, ta có: + + ³ , 2 (c + 2a) 27 27 3 c3 a + 2b a + 2b c + + ³ 2 (a + 2b) 27 27 3 Cộng vế với vế của các bất đẳng thức trên, ta được: a3 b3 c3 a + b + c a + b + c + + + ³ 2 2 2 (b + 2c) (c + 2a) (a + 2b) 9 3 a3 b3 c3 2(a + b + c) Û + + ³ 2 2 2 (b + 2c) (c + 2a) (a + 2b) 9 Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c Bài 4.22: Cho x, y,z dương thỏa mãn và xyz = 1. Chứng minh rằng : x3 + y3 + z3 ³ x + y + z .
Lời giải: Bài 4.22: Áp dụng BĐT Côsi cho ba số thực không âm ta có : x3 + 1+ 1³ 3 3 x3 .1.1 = 3x Û x3 + 2 ³ 3x .Tương tự : y3 + 2 ³ 3y; z3 + 2 ³ 3y Cộng ba BĐT trên lại với nhau ta được : x3 + y3 + z3 + 6 ³ 3(x + y + z) Mặt khác : x + y + z ³ 3 3 xyz = 3 Þ 2(x + y + z) ³ 6 . Þ x3 + y3 + z3 + 6 ³ (x + y + z)+ 2(x + y + z) Þ x3 + y3 + z3 ³ x + y + z đpcm. Đẳng thức xảy ra Û x = y = z = 1 . Bài 4.23: Cho a,b,c dương và a + b + c = 1 .Chứng minh rằng: 9(a4 + b4 + c4 ) ³ a2 + b2 + c2 . Lời giải: Bài 4.23: Áp dụng BĐT Côsi ta có: 1 2 1 2 1 2 a4 + ³ a2 ; b4 + ³ b2 ; c4 + ³ b2 cộng ba BĐT lại với nhau 81 9 81 9 81 9 1 a2 + b2 + c2 a2 + b2 + c2 Þ a4 + b4 + c4 + ³ + . 27 9 9 1 1 Mặt khác: a2 + b2 + c2 ³ (a + b + c)2 = Þ 9(a4 + b4 + c4 ) ³ a2 + b2 + c2 đpcm. 3 3 1 Đẳng thức xảy ra Û a = b = c = . 3 Bài 4.24: Cho x, y,z dương thỏa mãn x + y + z = 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của: 1 1 1 P = (1+ )4 + (1+ )4 + (1+ )4 . x y z A.768 B.244 C.453D.489 Lời giải: 1 1 1 Bài 4.24: Đặt a = 1+ ; b = 1+ ; c = 1+ Þ a + b + c ³ 12 x y z Ta có : a4 + 44 + 44 + 44 ³ 4 4 412 a4 = 44 a Û a4 + 3.44 ³ 44 a. Tương tự b4 + 3.44 ³ 44 b; c4 + 3.44 ³ 44 c cộng ba BĐT trên lại với nhau ta được a4 + b4 + c4 + 9.44 ³ 44 (a + b + c) ³ 12.44 Þ a4 + b4 + c4 ³ 3.44 = 768 đpcm 1 Đẳng thức xảy ra Û a = b = c = 4 Û x = y = z = . 3 Bài 4.25: Cho a,b dương thỏa mãn a + b = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của: 1 1 a) P = + ab a2 + b2 A.6B.8 C.9D.1
1 2 b) P = + + 4ab a2 + b2 ab A.11B.12 C.14D.17 æ 1 öæ 1 ö c) = ç 2 + ÷ç 2 + ÷ P ça 2 ÷çb 2 ÷ èç b ø÷èç a ø÷ 289 29 28 289 A. B. C. D. 16 16 16 26 Lời giải: Bài 4.25: a) Áp dụng BĐT côsi ta có 1 1 1 æ1 1 ö 1 1 2 4 + = + ç + ÷³ + 2 ³ + 2 = 6 b) Áp dụng 2 2 ç 2 2 ÷ 2 2 2 2 ab a + b 2ab è2ab a + b ø 2ab 2ab(a + b ) (a + b) (a + b) BĐT côsi ta có 1 2 æ 1 1 ö 5 æ1 ö = + + = ç + ÷+ + ç + ÷. A 2 2 4ab ç 2 2 ÷ ç 4ab÷ a + b ab èça + b 2abø÷ 4ab èç4ab ø÷ 4 5 1 ³ + + = + + = . A 2 2 4 .4ab 4 5 4 11 (a + b) (a + b) 4ab 2 æ 1 öæ 1 ö a2b2 + 1 a2b2 + 1 æ 1 ö c) Ta có ç 2 + ÷ç 2 + ÷= = ç + ÷ ça 2 ÷çb 2 ÷ 2 . 2 çab ÷ èç b ø÷èç a ø÷ b a èç abø÷ 1 æ 1 ö 15 Ta có: ab + = çab + ÷+ (1) ab èç 16abø÷ 16ab 1 1 1 Áp dụng BĐT Côsi ta có: ab + ³ 2 ab. = (2) 16ab 16ab 2 1 a + b 1 1 mà = ³ ab nên ab £ Þ ³ 4 (3) 2 2 4 ab 1 1 15 17 Từ (1) (2) (3) Þ ab + ³ + .4 = ab 2 16 4 2 æ 1 öæ 1 ö æ17ö 289 Þ ç 2 + ÷ç 2 + ÷³ ç ÷ = ça 2 ÷çb 2 ÷ ç ÷ èç b ø÷èç a ø÷ èç 4 ø÷ 16 Bài 4.26: Cho hai số thực dương a,b . Chứng minh rằng æ 3öæ 3ö æ 1öæ 1ö ça2 + b + ÷çb2 + a + ÷³ ç2a + ÷ç2b + ÷ . èç 4ø÷èç 4ø÷ èç 2ø÷èç 2ø÷ Lời giải: 1 3 1 Bài 4.26: Áp dụng BĐT côsi ta có a2 + ³ a Þ a2 + b + ³ a + b + 4 4 2 1 3 1 b2 + ³ b Þ b2 + a + ³ a + b + 4 4 2
2 æ 3öæ 3ö æ 1ö Suy ra ça2 + b + ÷çb2 + a + ÷³ ça + b + ÷ (1) èç 4÷øèç 4÷ø èç 2ø÷ 2 2 æ 1öæ 1ö æ2a + 2b + 1ö æ 1ö Theo BĐT côsi ta lại có ç2a + ÷ç2b + ÷£ ç ÷ = ça + b + ÷ (2) èç 2ø÷èç 2ø÷ èç 2 ø÷ èç 2ø÷ Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh. Bài 4.27: Cho các số thực dương x, y,z thỏa mãn xy + yz + zx = 3 .Tìm giá trị nhỏ nhất của 1 4 P = + xyz (x + y)(y + z)(z + x) 3 1 A. B.1 C.2D. 2 2 Lời giải: Bài 4.27: Trước tiên, ta dễ dàng có xyz £ 1 1 4 Áp dụng côsi ta có + xyz (x + y)(y + z)(z + x) 1 é 1 4 ù 1 2 2 = + ê + ú³ + ê ú 2xyz ë2xyz (x + y)(y + z)(z + x)û 2xyz xyz(x + y)(y + z)(z + x) 1 2 2 = + 2xyz (xy + xz)(yz + yx)(zx + zy) 1 2 2 3 ³ + = 3 2 æxy + xz + yz + yx + zx + zyö 2 ç ÷ èç 3 ø÷ Bài 4.28: Cho x, y,z dương thỏa mãn x + y + z = 3 . Chứng minh rằng x3 y3 z3 1 2 + + ³ + (xy + yz + zx) y3 + 8 z3 + 8 x3 + 8 9 27 Lời giải: 2 x3 (y + 2) (y - 2y + 4) x x3 9x + y- y2 - 6 Bài 4.28: Ta có + + ³ Þ ³ y3 + 8 27 27 3 y3 + 8 27 Tương tự ta có y3 9y + z- z2 - 6 z3 9z + x- x2 - 6 ³ , ³ nên z3 + 8 27 x3 + 8 27 10(x + y + z)- (x2 + y2 + z2 )- 18 12- (x2 + y2 + z2 ) VT ³ = mà ta lại có 27 27 2 2 2 2 2 2 2 12- (x + y + z ) 3+ (x + y + z) - (x + y + z ) 1 2 = = + (xy + yz + zx) 27 27 9 27
Từ đó suy ra điều phải chứng minh . Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1. Bài 4.29: Cho a,b,c dương . Chứng minh rằng a2 b2 c2 1 + + ³ (a + b + c) 3a2 + 8b2 + 14ab 3b2 + 8c2 + 14bc 3c2 + 8a2 + 14ca 5 Lời giải: 1 Bài 4.29: Áp dụng BĐT côsi ta có 3a2 + 8b2 + 14ab = (a + 4b)(3a + 2b)£ (4a + 6b)= 2a + 3b 2 a2 a2 Þ ³ 3a2 + 8b2 + 14ab 2a + 3b a2 2a + 3b 2a a2 8a- 3b Mặt khác + ³ Þ ³ 2a + 3b 25 5 2a + 3b 25 a2 8a- 3b Do đó ³ 3a2 + 8b2 + 14ab 25 b2 8b- 3c c2 8c- 3a Tương tự ta có ³ , ³ 3b2 + 8c2 + 14bc 25 3c2 + 8a2 + 14ca 25 Cộng vế với vế các BĐT trên ta được điều phải chứng minh. Bài 4.30: Cho ba số thực dương x, y,z . Tìm giá trị nhỏ nhất 16x 16y 16z P = 1+ + 1+ + 1+ y + z z + x x + y A.9B.3 C.6D.12 Lời giải: Bài 4.30: Áp dụng bất đẳng thức BĐT côsi ta có æ ö 16x ç 16x ÷ 2(8x + 5y + 5z) 6 1+ £ ç1+ ÷+ 9 = y + z èç y + zø÷ y + z 16x 8x + 5y + 5z Suy ra 1+ £ (*) . Sử dụng (*), ta có y + z 3(y + z) 16x 16x æ ö 16x ç 16x ÷ y + z y + z 6x 1+ = ç 1+ - 1÷+ 1= + 1³ + 1= + 1. Tương y + z èç y + z ø÷ 16x 8x + 5y + 5z x + y + z 1+ + 1 + 1 y + z 3(y + z) 16y 6y 16z 6z tự, ta cũng có 1+ ³ + 1, 1+ ³ + 1. z + x x + y + z x + y x + y + z Từ đó suy ra điều phải chứng minh. Bài 4.31: Cho a,b,c là số dương thỏa mãn abc ³ 1. Chứng minh rằng a2 + 1 + b2 + 1 + c2 + 1 £ 2 (a + b + c)
Lời giải: 2 Bài 4.31: Ta có a2 + 1 = (a + 1) - 2a = (a + 1- 2a)(a + 1+ 2a) 1 = (2 + 2)(a + 1- 2a)(2- 2)(a + 1+ 2a) 2 Áp dụng BĐT côsi ta có 1 (2 + 2)(a + 1- 2a)+ (2- 2)(a + 1+ 2a) a2 + 1 £ = 2 (a- a + 1) 2 2 Tương tự ta có b2 + 1 £ 2 (b- b + 1), c2 + 1 £ 2 (c- c + 1) Cộng vế với vế các BĐT ta có a2 + 1 + b2 + 1 + c2 + 1 £ 2 (a + b + c- a - b - c + 3) (1) Mặt khác theo BĐT côsi ta có a + b + c ³ 3 3 abc ³ 1 (2) Từ (1) và (2) suy ra a2 + 1 + b2 + 1 + c2 + 1 £ 2 (a + b + c) Bài 4.32: Cho a,b,c là số dương. Chứng minh rằng 2 æa b cö æ1 1 1ö a) ç + + ÷ ³ (a + b + c)ç + + ÷ èçb c aø÷ èça b cø÷ a3 b3 c3 b) + + ³ 3 3 3 1 a3 + (b + c) b3 + (c + a) c3 + (a + b) Lời giải: a2 b2 c2 a b c a b b c a c Bài 4.32: a) BĐT Û + + + 2( + + ) ³ 3+ + + + + + b2 c2 a2 c a b b a c b c a a2 b2 c2 a b c a b b Û + + + + + ³ 3+ + + b2 c2 a2 c a b b a c Áp dụng BDT côsi ta có có : a2 2a b2 2b a2 2a b2 2b c2 2c + 1³ ; + 1³ ; + 1³ ; + 1³ ; + 1³ b2 b c2 c b2 b c2 c a2 a a b b a b c Mặt khác + + + + + ³ 6 b a c c a b Cộng các vế các BĐT lại ta có ĐPCM. a3 1 b + c b) Ta có = với = 3 3 x a3 + (b + c) 1+ x a Áp dụng BĐT côsi ta có
1 1 2 2 2a2 = ³ = = 3 2 2 2 1+ x 1+ x x2 - x + 1 x + 2 æb + cö (b + c) + 2a2 ç ÷ + 1 èç a ø÷ 2 2 2 2a a Mặt khác ta có + £ 2 + 2 Þ ³ (b c) 2(b c ) 2 2 2 2 (b + c) + 2a2 a + b + c a3 a2 Do đó ta có ³ 3 2 2 2 a3 + (b + c) a + b + c b3 b2 c3 c2 Tương tự ta có ³ ³ 3 2 2 2 , 3 2 2 2 b3 + (c + a) a + b + c c3 + (a + b) a + b + c Cộng vế với vế các BĐT trên ta được điều phải chứng minh. Bài 4.33: Cho x, y, z là các số thực không âm thỏa mãn x3 + y3 + z3 = 3 . Tìm giá trị lớn nhất P = xy + yz + zx- xyz . A.2B.3 C.4D.6 Lời giải: Bài 4.33: Không mất tính tổng quát giả sử (1- x)(1- y) ³ 0 Û x + y- xy £ 1 Suy ra z(x + y- xy) £ z Þ xy + yz + zx- xyz £ xy + z x3 + y3 + 1 z3 + 1+ 1 Mặt khác, theo BĐT côsi ta có xy = 3 x3 .y3 .1 £ ; z = 3 z3 .1.1 £ . 3 3 x3 + y3 + z3 + 3 Suy ra xy + z £ = 2 ĐPCM. 3 3x2 Bài 4.34: Cho x, y,z dương thỏa mãn y2 + yz + z2 = 1- . Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu 2 thức P = x + y + z . A. 2 B.2C.1 D. 3 Lời giải: 3x2 Bài 4.34: y2 + yz + z2 = 1- 2 1 1 1 1 1 Û ( x2 + y2 )+ ( x2 + z2 )+ yz + (x2 + y2 + z2 ) = 1. 2 2 2 2 2 1 1 1 1 Ta có x2 + y2 ³ xy, x2 + z2 ³ yz 2 2 2 2 1 Suy ra (x + y + z)2 £ 1 Û P £ 2 2 Bài 4.40: Cho x, y,z dương thỏa mãn xy + yz + zx = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của: x2 y2 z2 T = + + x + y y + z z + x
1 1 1 1 A. minT = B. minT = C. minT = D. minT = 2 12 22 32 Lời giải: x2 x(x + y)- xy xy xy Bài 4.40: Ta có: = = x- ³ x- x + y x + y x + y 2 y2 yz z2 zx Chứng minh tương tự: ³ y- ; ³ z- y + z 2 z + x 2 xy + yz + zx 1 1 1 Suy ra: T ³ x + y + z- = x + y + z- ³ 1- = 2 2 2 2 (vì x + y + z ³ xy + yz + zx = 1) 1 1 Vậy minT = khi x = y = z = . 2 3 Bài 4.41: Cho x, y,z dương thỏa mãn x + y + z = 3 .Tìm giá trị nhỏ nhất của x2 y2 z2 A = + + . x + y2 y + z2 z + x2 3 3 A. minA = B. minA = 1 C. minA = 3 D. minA = 22 2 Lời giải: Bài 4.41: Theo BĐT côsi ta có æ xy2 yz2 zx2 ö 1 = + + - ç + + ÷³ - + + A x y z 2 2 2 ÷ 3 ( xy yz zx) èçx + y y + z z + x ø÷ 2 Lại có 1 1 xy + yz + zx £ [(x + 1)y + (y + 1)z + (z + 1)x]= (x + y + z + xy + yz + zx) 2 2 1 1 £ (3+ (x + y + z)2 ) = 3 2 3 3 Þ A ³ . Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1 2 3 Vậy minA = 2 DẠNG 3: ĐẶT ẨN PHỤ TRONG BẤT ĐẲNG THỨC. 1. Phương pháp giải. Điều quan trọng trong kĩ thuật này là phát hiện ra ẩn phụ (ẩn phụ có thể là x = f (a,b,c), y = g(a,b,c), z = h(a,b,c) hoặc là chỉ một ẩn phụ t = f (a;b;c)). Ẩn phụ có thể có ngay trong biểu thức của bất đẳng hoặc qua một số phép biến đổi, đánh giá. 2. Các ví dụ minh họa. Ví dụ 1: Cho các số dương a,b,c.
a + b 6b + 8c 3a + 2b + c a) Chứng minh rằng + + ³ 7 a + b + c 2a + b b + c a + b b + c c + a b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P = + + . a + b + c b + c + 4a c + a + 16b Lời giải: a) Đặt x = a + b + c, y = 2a + b, z = b + c Suy ra a = x- z, b = - 2x + y + 2z, c = 2x- y- z - x + y + z 4x- 2y + 4z x + y Bất đẳng thức trở thành + + ³ 7 x y z y z 4x 4z x y Û - 1+ + + - 2 + + + ³ 7 x x y y z z æ ö æ ö æ ö çy 4x÷ çz x÷ ç4z y÷ Û ç + ÷+ ç + ÷+ ç + ÷³ 10 (*) èçx y ø÷ èçx zø÷ èç y z ø÷ y 4x z x 4z y Áp dụng BĐT côsi ta có + ³ 4, + ³ 2, + ³ 4 x y x z y z Suy ra BĐT (*) đúng. ĐPCM. ïì 2x = y ï Đẳng thức xảy ra Û íï x = z Û 2x = y = 2z suy ra không tồn tại a,b,c. ï îï 2z = y Dấu đẳng thức không xảy ra. b) Đặt x = a + b + c, y = b + c + 4a, z = c + a + 16b y- x z- x 21x- 5y- z Suy ra a = , b = , c = 3 15 15 - 6x + 5y + z 4x- y 16x- z Khi đó ta có P = + + 15x 3y 15z y 4x z 16x 4 Þ P = + + + - 3x 3y 15y 15z 5 y 4x 4 z 16y 8 Áp dụng BĐT côsi ta có + ³ , + ³ 3x 3y 3 15y 15z 15 4 8 4 16 5b 5c Suy ra P ³ + - = , đẳng thức xảy ra Û 4x = 2y = z Û a = = 3 15 5 15 3 7 16 5b 5c Vậy min P = khi và chỉ khi a = = . 15 3 7 Ví dụ 2: Cho a,b,c là ba cạnh của tam giác có chu vi là 2p . Chứng minh rằng a b c b + c c + a a + b + + ³ + + p- a p- b p- c p- a p- b p- c Lời giải:
Đặt x = p- a; y = p- b; z = p- c suy ra a = y + z; b = z + x; c = x + y . Do a,b,c là ba cạnh của tam giác nên x, y,z dương Bất đẳng thức cần chứng minh được đưa về dạng: y + z z + x x + y y + z z + x x + y + + ³ 2 + + 2 + + 2 + x y z x y z æ ö y + z ç y + z÷ y + z Áp dụng bất đẳng thức côsi ta có: 4 2 + £ ç2 + ÷+ 4 = + 6 x èç x ø÷ x z + x z + x x + y x + y Tương tự ta có 4 2 + £ + 6, 4 2 + £ + 6 y y z z Cộng vế với vế các BĐT trên ta được æ ö ç y + z z + x x + y ÷ y + z z + x x + y ç + + + + + ÷£ + + + 4ç 2 2 2 ÷ 18 èç x y z ø÷ x y z æ ö y + z z + x x + y 1 çy + z z + x x + y ÷ Vì vậy ta chỉ cần chứng minh + + ³ ç + + + 18÷ x y z 4 èç x y z ø÷ y + z z + x x + y Û + + ³ 6 . x y z æ ö æ ö æ ö y + z z + x x + y çy x÷ çy z ÷ çx z÷ Ta có + + = ç + ÷+ ç + ÷+ ç + ÷ x y z èçx yø÷ èçz yø÷ èçz xø÷ y x y x y z x z Áp dụng BĐT côsi ta có + ³ 2 . = 2, + ³ 2, + ³ 2 x y x y z y z x y + z z + x x + y Suy ra + + ³ 6 . ĐPCM. x y z Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c hay tam giác đều. Nhận xét : Đối với BĐT có giả thiết a,b,c là ba cạnh của tam giác thì ta thực hiện phép đặt ẩn phụ a + b- c a- b + c - a + b + c x = , y = , z = thì khi đó a = y + z; b = z + x; c = x + y và x, y,z dương. 2 2 2 Ta chuyển về bài toán với giả thiết x, y,z dương không còn ràng buộc là ba cạnh của tam giác. 1590 3 Ví dụ 3: Cho x, y,z là số dương. Chứng minh rằng x3 + 2y3 + 3z3 ³ (x + y + z) 1331 Lời giải: æ ö3 æ ö3 æ ö3 ç x ÷ ç y ÷ ç z ÷ Ta có BĐT Û ç ÷ + 2ç ÷ + 3ç ÷ ³ èçx + y + zø÷ èçx + y + zø÷ èçx + y + zø÷ x y z Đặt a = , b = , c = Þ a,b,c dương và a + b + c = 1 x + y + z x + y + z x + y + z
1590 BĐT trở thành a3 + 2b3 + 3c3 ³ 1331 Áp dụng BĐT côsi ta có 3 3 3 3 3 3 æ6 ö æ6 ö 18 æ3 ö æ3 ö 18 æ2 ö æ2 ö 18 a3 + ç ÷ + ç ÷ ³ a , 2b3 + 2ç ÷ + 2ç ÷ ³ b , 3c3 + 3ç ÷ + 3ç ÷ ³ c èç11ø÷ èç11ø÷ 11 èç11ø÷ èç11ø÷ 11 èç11ø÷ èç11ø÷ 11 Cộng vế với vế các BĐT trên ta được 588 18 18 a3 + 2b3 + 3c3 + ³ (a + b + c)= 1331 11 11 1590 Suy ra a3 + 2b3 + 3c3 ³ . 1331 Nhận xét: Phương pháp đặt ẩn phụ trên được áp dụng khi BĐT là đồng bậc(Người ta gọi là phương pháp chuẩn hóa) 3 Ví dụ 4: Cho x, y,z là số dương thỏa mãn x + y + z £ 2 1 1 1 15 Chứng minh rằng x + y + z + + + ³ . x y z 2 Lời giải: Áp dụng bất đẳng thức côsi ta có: 1 1 1 1 1 1 1 9 + + ³ 3 3 và x + y + z ³ 3 3 xyz nên + + ³ x y z xyz x y z x + y + z 1 1 1 9 Suy ra x + y + z + + + ³ x + y + z + x y z x + y + z 3 Đặt t = x + y + z Þ 0 < t £ 2 9 9 15 Khi đó ta chỉ cần chứng minh x + y + z + = t + ³ x + y + z t 2 Áp dụng BĐT côsi ta có 9 9 27 9 27 15 t + = t + + ³ 2 t. + = ĐPCM. t 4t 4t 4t 3 2 4. 2 1 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = . 2 1 1 1 Ví dụ 5: Cho ba số thực dương a,b,c thỏa mãn + + = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu a + 2 b + 2 c + 2 4 thức P = a + b + c + . 3 abc Lời giải:
1 1 1 Ta có + + = 1 Û 4 = abc + ab + bc + ca a + 2 b + 2 c + 2 2 Áp dụng BĐT côsi ta có ab + bc + ca ³ 3 3 (abc) 2 Suy ra 4 = abc + ab + bc + ca ³ abc + 3 3 (abc) = t3 + 3t2 , với t = 3 abc . 2 Þ t3 + 3t2 - 4 £ 0 Û (t - 1)(t + 2) £ 0 Û t £ 1 Cũng theo BĐT côsi ta có 4 4 P = a + b + c + ³ 3 3 abc + 3 abc 3 abc 4 æ 3ö 1 Suy ra P ³ 3t + = ç3t + ÷+ t èç t ø÷ t 3 3 1 Áp dụng BĐT côsi ta có 3t + ³ 2 3t. = 6 , mặt khác t £ 1Þ ³ 1 t t t 4 Do đó P ³ 3t + ³ 7 , đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi t = 1 hay a = b = c = 1 t Vậy min P = 7 Û a = b = c = 1 æ öæ öæ ö ç 1÷ç 1÷ç 1÷ Ví dụ 6: Cho x, y, z dương thỏa mãn ç1+ ÷ç1+ ÷ç1+ ÷= 8 . èç xø÷èç y÷øèç z÷ø x2 + y2 + z2 + 14xyz Tìm giá trị lớn nhất của = P 2 4(x + y + z) + 15xyz Lời giải: æ öæ öæ ö ç 1÷ç 1÷ç 1÷ Ta có ç1+ ÷ç1+ ÷ç1+ ÷= 8 Û 8xyz = 1+ x + y + z + xy + yz + zx + xyz èç xø÷èç yø÷èç zø÷ 2 Û x2 + y2 + z2 + 14xyz = (x + y + z) + 2(x + y + z)+ 2 (1) æ öæ öæ ö ç 1÷ç 1÷ç 1÷ 8 Áp dụng BĐT côsi ta có: 8 = ç1+ ÷ç1+ ÷ç1+ ÷³ Þ xyz ³ 1 (2) èç xø÷èç yø÷èç zø÷ xyz 2 (x + y + z) + 2(x + y + z)+ 2 t2 + 2t + 2 Từ (1) và (2) ta có £ = với + + = > . P 2 2 x y z t 0 4(x + y + z) + 15 4t + 15 2 t2 + 2t + 2 1 - t2 + 6t - 9 (t - 3) Xét - = = - £ 0 4t2 + 15 3 12t2 + 45 12t2 + 45 t2 + 2t + 2 1 1 Suy ra £ do đó P £ 4t2 + 15 3 3 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi t = 3 hay x = y = z = 1
1 Vậy max P = khi và chỉ khi x = y = z = 1 3 3. Bài tập luyên tập. 25x 4y 9z Bài 4.42: Cho x, y,z dương , CMR + + > 12 y + z z + x x + y Lời giải: Bài 4.42: Đặt a = y + z,b = z + x,c = x + y ( với a,b,c dương) b + c- a c + a- b a + b- c Þ x = , y = ,z = 2 2 2 25(b + c- a) 4(c + a- b) 9(a + b- c) æ25b 4aö æ25c 9aö æ4c 9bö 2VT = + + = ç + ÷+ ç + ÷+ ç + ÷- 38 a b c èç a b ÷ø èç a c ÷ø èç b c ÷ø Dấu bằng ³ 20 + 30 + 12 = 24 Þ VT ³ 12 ì 2 2 ì ï 25b = 4a ï 5b = 2a xảy ra khi í Û íï Þ 5b + 5c = 5a Þ x = 0 (vô lí) ï 2 2 ï îï 25c = 9a îï 5c = 3a Bài 4.43: Cho các số dương a,b,c. Tìm giá trị nhỏ nhất của 4a b + 3c 8c P = + - a + b + 2c 2a + b + c a + b + 3c A.12 2 - 17 B. 12 2 - 13 C. 12 2 - 14 D. 14 2 - 17 Lời giải: Bài 4.43: Đặt x = a + b + 2c, y = 2a + b + c, z = a + b + 3c Suy ra a = - 2x + y + z, b = 5x- y- 3z, c = z- x - 8x + 4y + 4z 2x- y - 8x + 8z Bất phương trình trở thành + - ³ 12 2 - 17 x y z æ ö æ ö ç4y 2x÷ ç4z 8x÷ Û + ç + ÷+ ç + ÷³ 12 2 (*) èç x y ø÷ èç x z ø÷ 4y 2x 4z 8x Áp dụng BĐT côsi ta có + ³ 4 2, + ³ 8 2 x y x z Cộng vế với vế lại suy ra BĐT (*) đúng. ĐPCM. Bài 4.44: Cho x, y, z là các số dương thoả mãn xyz ³ x + y + z + 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất của P = x + y + z . A.6B.7 C.9D.10 Lời giải: Bài 4.44: Áp dụng BĐT Côsi ta có 3 (x + y + z) x + y + z ³ 3 3 xyz Þ ³ xyz 27
3 (x + y + z) Mặt khác xyz ³ x + y + z suy ra ³ x + y + z + 2 27 3 t 2 Đặt t = x + y + z,t > 0 ta có ³ t + 2 Û t3 - 27t - 54 ³ 0 Û (t - 6)(t + 3) ³ 0 Û t ³ 6 27 Suy ra x + y + z ³ 6 , đẳng thức xảy ra Û x = y = z = 2 . Bài 4.45: Cho a,b,c là các số thực dương. a11 b11 c11 3 a6 + b6 + c6 + 9 Chứng minh rằng + + + ³ bc ca ab a2b2c2 2 Lời giải: a11 a11 Bài 4.45: Sử dụng bất đẳng thức côsi ta có + abc ³ 2 .abc = 2a6 bc bc b11 c11 Tương tự ta có + abc ³ 2b6 , + abc ³ 2c6 ca ab a11 b11 c11 Từ đó suy ra + + ³ 2(a6 + b6 + c6 )- 3abc bc ca ab 3 a6 + b6 + c6 + 9 Vậy ta chỉ cần chứng minh 2(a6 + b6 + c6 )- 3abc + ³ a2b2c2 2 6 Hay là 3(a6 + b6 + c6 )+ - 6abc ³ 9 a2b2c2 Bây giờ lại sử dụng bất đẳng thức côsi ta được a6 + b6 + c6 ³ 3a2b2c2 6 Do đó ta chỉ cần chứng minh 9a2b2c2 + - 6abc ³ 9 a2b2c2 6 Đặt t = abc,t > 0 . BĐT trở thành 9t2 + - 6t ³ 9 t2 Sử dụng bất đẳng thức côsi ta được 6 6 6 9t2 + - 6t ³ 9t2 + - 3(t2 + 1) = 6t2 + - 3 ³ 12- 3 = 9 ĐPCM. t2 t2 t2 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1 Bài 4.46: Cho x, y,z là số không âm thoatr mãn x2 + y2 + z2 + xyz = 4 . Giá trị lớn nhất của P = x + y + z . A.3B.7 C.9D.1 Lời giải: é ù Bài 4.46: Từ điều kiện suy ra x, y,z Î ë0; 2û. Áp dụng BĐT Côsi ta có: 3 27(2- x)(2- y)(2- z) £ (2- x + 2- y + 2- z) 3 Û é - + + + + + - ù£ - - - 27 ëê8 4(x y z) 2(xy yz zx) xyzûú (8 x y z) 3 Û 27 é8- 4 x + y + z + 2 xy + yz + zx + x2 + y2 + z2 - 4ù£ 8- x- y- z ëê ( ) ( ) ( ) ûú ( )
é 2 ù 3 Û 27 ê4- 4(x + y + z)+ (x + y + z) ú£ (8- x- y- z) ë û Đặt t = x + y + z, t ³ 0 ta có 3 Û 27(t2 - 4t + 4) £ (6- t) Û t3 + 9t2 - 108 £ 0 2 Û (t - 3)(t + 6) £ 0 Û t £ 3 Suy ra x + y + z £ 3 . Bài 4.47: Cho x, y,z là số thực thỏa mãn x2 + y2 + z2 = 2 . Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức P = x3 + y3 + z3 - 3xyz . A. min P = - 2 2 , maxP = 2 2 .B. min P = - 4 2 , maxP = 4 2 .C. min P = - 3 2 , maxP = 3 2 .D. min P = - 5 2 , maxP = 5 2 . Lời giải: Bài 4.47: Giả thiết của bài toán và P là những đa thức đối xứng ba biến nên ta biểu diễn các đa thức này qua ba đa thức đối xứng cơ bản x + y + z, xy + yz + zx, xyz . Ta có: x2 + y2 + z2 + 2(xy + yz + zx) = (x + y + z)2 x3 + y3 + z3 - 3xyz = (x + y + z)(x2 + y2 + z2 - xy- yz- zx) . Suy ra: (x + y + z)2 - 2 P = (x + y + z)(x2 + y2 + z2 - xy- yz- zx) = (x + y + z)(2- ) 2 t2 - 2 t3 Đặt t = x + y + z ,t ³ 0 suy ra P = t(2- ) = - + 3t . 2 2 t3 Ta sẽ đi chứng minh - + 3t £ 2 2 Û t3 + 4 2 ³ 6t 2 Thật vậy theo BĐT côsi ta có t3 + 4 2 = t3 + 2 2 + 2 2 ³ 3 t3 .2 2.2 2 = 6t Do đó P £ 2 2 . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi t = 2 . Ta có P = 2 2 chẳng hạn khi x = 2 , y = z = 0 , P = - 2 2 chẳng hạn khi x = - 2 , y = z = 0 , Vậy min P = - 2 2 , maxP = 2 2 . Nhận xét : t3 1) Việc chúng biết phải đi chứng minh - + 3t £ 2 2 là do chúng ta dự đoán được dấu bằng xảy ra tại 2 biên. 2) Ta có mọi đa thức đối xứng ba ẩn luôn biểu diễn qua được các đa thức đối xứng sơ cấp a = x + y + z;b = xy + yz + zx;c = xyz . Hơn nữa giữa ba đa thức đối xứng sơ cấp này luôn có sự đánh giá qua lại giữa chúng, cụ thể a2 ³ 3b ³ 9 3 c2 . Với bài toán trên từ giả thiết ta có:
a2 - 2 a2 - 2b = 2 Û b = tức là ta đã thay thế b bởi a do đó khi biểu diễn P = x3 + y3 + z3 - 3xyz thì 2 chỉ còn hai biến là a và c. Mặt khác ta luôn đánh giá được c qua a (hoặc a qua c) và lúc đó trong P chỉ còn một biến là a hoặc c. Bài 4.48: Cho x, y,z Î (0;1) và xyz = (1- x)(1- y)(1- z) . Tìm giá trị nhỏ nhất của P = x2 + y2 + z2 3 A. B.1C.2D.3 4 Lời giải: Bài 4.48: Ta có xyz = (1- x)(1- y)(1- z) Û 1- (x + y + z)+ xy + yz + zx = 2xyz 2 Û x2 + y2 + z2 = 2- 2(x + y + z)+ (x + y + z) - 4xyz æ ö3 çx + y + z÷ Áp dụng BĐT côsi ta có ç ÷ ³ xyz nên èç 3 ÷ø æ ö3 2 2 2 2 çx + y + z÷ x + y + z ³ 2- 2(x + y + z)+ (x + y + z) - 4ç ÷ èç 3 ø÷ Đặt t = x + y + z thì 0 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của P = . (x- 1)(y- 1) t2 Đặt t = x + y; t > 2 . ta có xy £ . 4 t3 - t2 - xy(3t - 2) t2 P = . Do 3t - 2 > 0 và - xy ³ - nên ta có xy- t + 1 4 2 3 2 t (3t - 2) t - t - 2 t 4 P ³ 4 = = t - 2 + + 4 ³ 8 t2 t - 2 t - 2 - t + 1 4 ïì x + y = 4 ïì x = 2 min P = min f (t) = f (4) = 8 đạt được khi íï Û íï . (2;+ ¥ ) îï xy = 4 îï y = 2 Bài 4.49: Cho các số thực x, y thỏa x ¹ - 2y . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : (2x2 + 13y2 - xy)2 - 6xy + 9 P = . (x + 2y)2 A.5B.2 C.3D.6 Lời giải:
Bài 4.49: Áp dụng BĐT côsi ta có 6(2x2 + 13y2 - xy)- 6xy 2x2 + 13y2 - 2xy P ³ = 6. = 6.Q (x + 2y)2 (x + 2y)2 2t2 - 2t + 13 x Rõ ràng ¹ ta có = = y 0 Q 2 , t (t + 2) y 2 (t - 3) Xét - = ³ Þ ³ Þ ³ Q 1 2 0 Q 1 P 6 (t + 2) ì ï 3 ï x = ± 3 ï 28 Suy ra min P = 6 Û í . ï 3 ï y = ± îï 28 Bài 4.50 Cho a,b,c là ba số thực không âm có tổng bằng 3. Tìm giá trị lớn nhất của : P = a + ab + 2abc 9 A.5B. C.3D.6 2 Lời giải: 2 (x- y) Sử dụng bất đẳng thức AM-GM dạng xy £ ta có 4 2 2 æ 1ö æ 1ö çb + c + ÷ ç3- a + ÷ æ 1ö èç 2ø÷ èç 2ø÷ a(7 - 2a)2 b + 2abc = 2a.bçc + ÷£ 2a. = 2a. = èç 2ø÷ 4 4 8 Do đó, chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được a(7 - 2a)2 9 a + £ Û (4- a)(2a- 3)2 ³ 0 (Luôn đúng với 0 £ a £ 3 ). 8 2 æ3 1ö Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi(a,b,c) = ç ,1, ÷ èç2 2ø÷ DẠNG 4: SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ. 1. Phương pháp giải. Điều quan trọng dạng toán này là cần phát hiện ra được bất đẳng thức phụ. Bất đẳng thức phụ có thể là những BĐT cơ bản đã có hoặc là chúng ta từ đặc điểm của BĐT cần chứng minh chúng ta dự đoán và đưa ra BĐT phụ từ đó vận dụng vào bài toán. 2. Các ví dụ minh họa. Ví dụ 1: Cho a,b,c là số dương. Chứng minh rằng: a b c a + b + c a) + + ³ b3 c3 a3 abc 1 1 1 1 b) + + £ a3 + b3 + abc b3 + c3 + abc c3 + a3 + abc abc
Lời giải: Trước tiên ta chứng minh a3 + b3 ³ a2b + b2a . BĐT tương đương với a3 + b3 - a2b- b2a ³ 0 Û a2 (a- b)+ b2 (b- a) ³ 0 Û (a- b)2 (a + b) ³ 0 (đúng với mọi a > 0,b > 0 ) Þ a3 + b3 ³ a2b + b2a . Đẳng thức xảy ra khi a = b. a 1 1 1 a) Ta có a3 + b3 ³ a2b + b2a Û + ³ + b3 a2 b2 ab b 1 1 1 c 1 1 1 Hoàn toàn tương tự ta có + ³ + , + ³ + c3 b2 c2 bc a3 c2 a2 ac a b c 1 1 1 Cộng vế với vế rút gọn ta được + + ³ + + b3 c3 a3 a b c a b c a + b + c Hay + + ³ , đẳng thức xảy ra khi a = b = c . b3 c3 a3 abc b) Theo bài toán trên ta có : a3 + b3 ³ a2b + b2a = ab(a + b) 1 1 c Þ a3 + b3 + abc ³ ab(a + b + c) Þ £ = a3 + b3 + abc ab(a + b + c) abc(a + b + c) 1 a 1 b Tương tự : £ ; £ b3 + c3 + abc abc(a + b + c) c3 + a3 + abc abc(a + b + c) Cộng ba BĐT trên lại với nhau ta có đpcm. Đẳng thức xảy ra khi a = b = c . Ví dụ 2: Cho a,b là các số thực. Chứng minh rằng: a) 3(a + b + 1)2 + 1³ 3ab . 6 b) 64a3b3 (a2 + b2 )2 £ (a + b) Lời giải: 2 æa + bö 3 a) Áp dụng bất đẳng thức ab £ ç ÷ nên ta chứng minh 3(a + b + 1)2 + 1³ (a + b)2 (*) èç 2 ÷ø 4 Thật vậy : (*) Û 12(a + b)2 + 24(a + b)+ 16 ³ 3(a + b)2 Û 9(a + b)2 + 24(a + b)+ 16 ³ 0 Û (3a + 3b + 4)2 ³ 0 (đúng) ĐPCM 2 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = - . 3 b) Dễ thấy bất đẳng thức đúng khi ab £ 0 . 2 æa + bö Xét ab > 0 . Áp dụng BĐT ab £ ç ÷ ta có èç 2 ÷ø 2 2 2 2 2 æa + bö é2ab + (a + b )ù 6 3 3 2 + 2 2 = é 2 + 2 ù £ ç ÷ ê ú = + 64a b (a b ) 16ab ëê2ab(a b )ûú 16ç ÷ ê ú (a b) è 2 ø ë 2 û
6 Suy ra 64a3b3 (a2 + b2 )2 £ (a + b) Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b. Ví dụ 3: Cho a là số dương và b là số thực thỏa mãn a2 + b2 = 5 . 2a3 + a + 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của P = - 2b . a2 Lời giải: 2 Áp dụng bất đẳng thức (a2 + b2 )(c2 + d2 )³ (ac + bd) (*), dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ad = bc . 2 Ta có (a2 + b2 )(1+ 4)= 25 ³ (a + 2b) Û a + 2b £ 5 Suy ra - 2b ³ a- 5 2a3 + a + 1 2a3 + a + 1 1 1 Do đó P = - 2b ³ + a- 5 = 3a + + - 5 (1) a2 a2 a a2 1 1 Áp dụng BĐT côsi ta có a + ³ 2, a + a + ³ 3 a a2 1 1 Do đó 3a + + ³ 5 (2) a a2 Từ (1) và (2) suy sa P ³ 0 . Đẳng thức xảy ra khi a = 1, b = 2 . Vậy min P = 0 Û a = 1, b = 2 . Nhận xét: Bất đẳng thức (*) là bất đẳng thức Bunhiacopxki cho bốn số. Ta có thể tổng quát bất đẳng thức Cho 2n số a1 ,a2 , ,an ,b1 ,b2 , ,bn . Khi đó ta có bất đẳng thức 2 2 2 2 2 2 2 (a1b1 + a2b2 + + anbn ) £ (a1 + a2 + + an )(b1 + b2 + + bn ) . Ví dụ 4: Cho a, b, c dương thỏa mãn a + b + c = 3 . Chứng minh rằng a3 b3 c3 a) + + ³ 3 bc ca ab 1 1 1 b) + + ³ a2 + b2 + c2 a2 b2 c2 Lời giải: a) Áp dụng BĐT a2 + b2 + c2 ³ ab + bc + ca này hai lần ta có : a4 + b4 + c4 = (a2 )2 + (b2 )2 + (c2 )2 ³ a2b2 + b2c2 + c2a2 = (ab)2 + (bc)2 + (ca)2 ³ ³ ab.bc + bc.ca + ca.ab = abc(a + b + c) = 3abc (vì a + b + c = 3 ) a4 + b4 + c4 a3 b3 c3 Suy ra ³ 3 hay + + ³ 3 ĐPCM. abc bc ca ab Đẳng thức xảy ra Û a = b = c 1 1 1 1 1 1 3 b) Áp dụng a2 + b2 + c2 ³ ab + bc + ca ta có + + ³ + + = a2 b2 c2 ab bc ca abc
3 Do đó ta cần chứng minh ³ a2 + b2 + c2 Û abc(a2 + b2 + c2 )£ 3 (*) abc 2 Lại áp dụng (a + b + c) ³ 3(ab + bc + ca)(ví dụ 1) ta có 2 2 (ab + bc + ca) (ab + bc + ca) ³ 3abc(a + b + c)Þ abc £ ( ) 9 3 æa + b + cö Áp dụng bất đẳng thức abc £ ç ÷ và ( ) ta có èç 3 ø÷ 3 2 2 2 2 æ 2 ö ab + bc + ca a + b + c + + ÷ 2 2 2 ( ) ( ) 1ç(a b c) ÷ abc a + b + c £ £ ç ÷ = 3 ( ) ç ÷ 9 9 èç 3 ø÷ Vậy BĐT (*) đúng nên BĐT ban đầu đúng. ĐPCM Đẳng thức xảy ra Û a = b = c . Ví dụ 5: Cho a,b,c là số dương. Chứng minh rằng 1 1 1 1 1 1 1 a) + + £ ( + + ) 2a + b + c 2a + 2b + c a + b + 2c 4 a b c 1 1 1 1 1 1 b) + + ³ + + a + 3b b + 3c c + 3a 2a + b + c a + 2b + c a + b + 2c Lời giải: Áp dụng BĐT Côsi cho hai số thực không âm ta có: ü a + b ³ 2 ab ï ï 1 1 1 1 1 1 ý Þ (a + b)( + ) ³ 2 ab.2 = 4 + ³ 2 ï a b ab a b ab þï 1 1 4 Suy ra + ³ (*). Đẳng thức xảy ra Û a = b . a b a + b a) Áp dụng BĐT (*) ta có: 1 1 1 1 1 1 2 1 1 = £ ( + ) £ ( + + ) 2a + b + c (a + b)+ (a + c) 4 a + b a + c 16 a b c 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2 Tương tự ta có £ ( + + ); £ ( + + ) a + 2b + c 16 a b c a + b + 2c 16 a b c Cộng ba BĐT trên ta có được đpcm. Đẳng thức xảy ra Û a = b = c . b) Áp dụng BĐT (*) ta có: 1 1 4 2 + ³ = . a + 3b a + b + 2c 2a + 4b + 2c a + 2b + c Tương tự 1 1 2 1 1 2 + ³ ; + ³ b + 3c 2a + b + c a + b + 2c c + 3a a + 2b + c 2a + b + c Cộng ba BĐT trên ta có đpcm. Đẳng thức xảy ra Û a = b = c .
Ví dụ 6: Cho a,b,c dương thỏa mãn a + b + c = 1 . Chứng minh rằng a b c 3 a) + + £ . 1+ a 1+ b 1+ c 4 1 1 1 1 b) + + + ³ 30 a2 + b2 + c2 ab bc ca Lời giải: Áp dụng BĐT Côsi cho ba số thực dương ta có : 3 ü a + b + c ³ 3 abc ï ï 1 1 1 3 1 1 1 1 1 ý Þ (a + b + c)( + + ) ³ 3 abc.3 = 9 + + ³ 3 ï a b c 3 abc a b c 3 abc þï 1 1 1 9 Suy ra + + ³ (*) . Đẳng thức xảy ra Û a = b = c . a b c a + b + c a + 1- 1 b + 1- 1 c + 1- 1 3 a) Ta có BĐT Û + + £ a + 1 b + 1 c + 1 4 1 1 1 3 1 1 1 9 Û 3- ( + + ) £ Û + + ³ . a + 1 b + 1 c + 1 4 a + 1 b + 1 c + 1 4 1 1 1 9 9 Áp dụng BĐT (*) ta có + + ³ = đpcm. a + 1 b + 1 c + 1 a + b + c + 3 4 1 Đẳng thức xảy ra Û a = b = c = . 3 1 1 1 9 b) Áp dụng BĐT (*) ta có : + + ³ ab bc ca ab + bc + ca 1 1 1 1 1 9 Þ + + + ³ + a2 + b2 + c2 ab bc ca a2 + b2 + c2 ab + bc + ca 1 1 1 7 = + + + a2 + b2 + c2 ab + bc + ca ab + bc + ca ab + bc + ca 1 1 7 Mặt khác : ab + bc + ca £ (a + b + c)2 = Þ ³ 21 3 3 ab + bc + ca 1 1 1 9 + + ³ = 9 a2 + b2 + c2 ab + bc + ca ab + bc + ca a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) 1 1 1 1 Suy ra : + + + ³ 9 + 21= 30 đpcm. a2 + b2 + c2 ab bc ca 1 Đẳng thức xảy ra Û a = b = c = . 3 1 2 3 6 Ví dụ 7: Cho a,b,c là các số thuộc é0;1ù thỏa mãn + + = . ë û 4a4 + 5 4b4 + 5 4c4 + 5 7 Tìm giá trị lớn nhất của P = ab2c3 Lời giải:
Ta chứng minh bất đẳng thức sau 1 1 2 Với x, y thuộc [0,1], ta luôn có + £ (*) 4x4 + 5 4y4 + 5 4x2 y2 + 5 Thật vậy, BĐT (*) Û (2x4 + 2y4 + 5)(4x2 y2 + 5)£ (4x4 + 5)(4y4 + 5) Û 8x4 y4 - 10x2 y2 + (x4 + y4 )(5- 4x2 y2 )³ 0 Û (5- 4x2 y2 )(x2 - y2 )2 ³ 0 (đúng với x, y Î [0,1]) Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = y . 1 1 2 1 1 2 Áp dụng BĐT (*) ta có: + £ , + £ 4a4 + 5 4c4 + 5 4a2c2 + 5 4b4 + 5 4c4 + 5 4b2c2 + 5 1 1 2 2 2 4 Suy ra + + £ + £ (1) 4a4 + 5 4b4 + 5 4c4 + 5 4a2c2 + 5 4b2c2 + 5 4abc2 + 5 1 1 2 1 1 2 Và + £ , + £ 4b4 + 5 7 b2 c4 + 5 7 c2 4. + 5 4. + 5 2 2 1 1 2 2 2 4 Suy ra + + £ + £ (2) 4b4 + 5 4c4 + 5 7 b2 c2 bc 4. + 5 4. + 5 4. + 5 2 2 2 4 4 8 Ta lại có + £ (3) 2 4abc + 5 bc ab2c3 4. + 5 4. + 5 2 2 1 2 3 2 8 Từ (1), (2) và (3) ta có + + + £ 4 4 4 4a + 5 4b + 5 4c + 5 7 ab2c3 4. + 5 2 8 8 2 Kết hợp giả thiết suy ra ³ Þ ab2c3 £ ab2c3 7 4 4. + 5 2 1 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 4 2 1 1 Vậy max P = khi và chỉ khi a = b = c = 4 . 16 2 3. Bài tập luyện tập. Bài 4.50: Cho a, b, x, y R. Chứng minh bất đẳng thức sau: a2 + x2 + b2 + y2 ³ (a + b)2 + (x + y)2 (1) Lời giải:
Bình phương 2 vế ta được: (1) (a2 + b2 )(x2 + y2 ) ³ ab + xy (*) • Nếu ab + xy 0 thoả mãn x + y + z = 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của 1 1 1 P = x2 + + y2 + + z2 + . x2 y2 z2 A. 82 B. 12 C.1 D.4 d) Cho x, y, z > 0 thoả mãn x + y + z = 3 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = 223+ x2 + 223+ y2 + 223+ z2 . A. 2010 B.2010C.232 D.12 Lời giải: Bài 4.50: Bình phương 2 vế ta được: (1) (a2 + b2 )(x2 + y2 ) ³ ab + xy (*) • Nếu ab + xy 0). a b a + b c) Áp dụng (1) liên tiếp hai lần ta được: 2 1 1 1 æ1 1 1ö 2 + + 2 + + 2 + ³ + + 2 + ç + + ÷ x 2 y 2 z 2 (x y z) ç ÷ x y z èçx y zø÷ 2 æ 9 ö (x + y + z)2 + ç ÷ = 82 . èçx + y + zø÷
1 1 1 9 Chú ý: + + ³ (với x, y, z > 0). x y z x + y + z 2 d) Tương tự câu c). Ta có: P (3 223) + (x + y + z)2 = 2010 . 1 1 4 Bài 4.51: Cho a,b dương. Chứng minh + ³ (1). a b a + b Áp dụng chứng minh các BĐT sau: 1 1 1 æ 1 1 1 ö a) + + ³ 2ç + + ÷; với a, b, c > 0. a b c èça + b b + c c + aø÷ 1 1 1 æ 1 1 1 ö b) + + ³ 2ç + + ÷; với a, b, c > 0. a + b b + c c + a èç2a + b + c a + 2b + c a + b + 2cø÷ 1 1 1 1 1 1 c) Cho a, b, c > 0 thoả + + = 4 . Chứng minh: + + £ 1 a b c 2a + b + c a + 2b + c a + b + 2c ab bc ca a + b + c d) + + £ ; với a, b, c > 0. a + b b + c c + a 2 2xy 8yz 4xz e) Cho x, y,z dương thoả mãn x + 2y + 4z = 12 . Chứng minh: + + £ 6 . x + 2y 2y + 4z 4z + x f) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác, p là nửa chu vi. Chứng minh rằng: 1 1 1 æ1 1 1ö + + ³ 2ç + + ÷. p- a p- b p- c èça b cø÷ Lời giải: 1 1 4 1 1 4 1 1 4 Bài 4.51: a) Áp dụng (1) ba lần ta được: + ³ ; + ³ ; + ³ . a b a + b b c b + c c a c + a Cộng các BĐT vế theo vế ta được đpcm. b) Tương tự câu a). 1 1 1 æ 1 1 1 ö c) Áp dụng a) và b) ta được: + + ³ 4ç + + ÷. a b c èç2a + b + c a + 2b + c a + b + 2cø÷ 1 1 æ1 1ö ab 1 d) Theo (1): £ ç + ÷ £ (a + b) . a + b 4 èça bø÷ a + b 4 Cùng với các BĐT tương tự, cộng vế theo vế ta được đpcm. e) Áp dụng câu d) với a = x, b = 2y, c = 4z thì a + b + c = 12 đpcm. f) Nhận xét:(p – a)+ (p – b)= 2p –(a + b)= c . 1 1 4 4 Áp dụng (1) ta được: + ³ = . p- a p- b (p- a)+ (p- b) c Cùng với 2 BĐT tương tự, cộng vế theo vế, ta được đpcm. 1 1 1 9 Bài 4.52: Cho a,b,c là số dương. Chứng minh + + ³ (1). a b c a + b + c
Áp dụng chứng minh các BĐT sau: æ 1 1 1 ö 3 a) (a2 + b2 + c2 )ç + + ÷³ (a + b + c) với a,b,c dương èça + b b + c c + aø÷ 2 a b c 3 b) + + £ . Với a,b,c dương thoả a + b + c = 1 . a + 1 b + 1 c + 1 4 1 1 1 c) + + ³ 9 . Với a,b,c dương thỏa mãn a + b + c £ 1 a2 + 2bc b2 + 2ac c2 + 2ab 1 2009 d) + ³ 670 . Với a,b,c dương thỏa mãn a + b + c = 3 a2 + b2 + c2 ab + bc + ca Lời giải: æ1 1 1ö Bài 4.52: Ta có: (1) (a + b + c)ç + + ÷³ 9 . Dễ dàng suy từ BĐT Cô–si. èça b cø÷ 1 1 1 9 a) Áp dụng (1) ta được: + + ³ . a + b b + c c + a 2(a + b + c) 9(a2 + b2 + c2 ) 3 3(a2 + b2 + c2 ) 3 VT = . ³ (a + b + c) 2(a + b + c) 2 a + b + c 2 Chú ý: (a + b + c)2 £ 3(a2 + b2 + c2 ) . b) Để áp dụng (1), ta biến đổi P như sau: x + 1- 1 y + 1- 1 z + 1- 1 æ 1 1 1 ö P = + + = 3- ç + + ÷ x + 1 y + 1 z + 1 èçx + 1 y + 1 z + 1÷ø 1 1 1 9 9 9 3 Ta có: + + ³ = . Suy ra: P 3- = . x + 1 y + 1 z + 1 x + y + z + 3 4 4 4 9 9 c) Ta có: P = ³ 9 . a2 + 2bc + b2 + 2ca + c2 + 2ab (a + b + c)2 1 1 1 9 9 d) Ta có + + ³ = ³ 2 2 2 2 2 2 2 1 a + b + c ab + bc + ca ab + bc + ca a + b + c + 2(ab + bc + ca) (a + b + c) 2 2007 3.2007 và + + £ + + nên ³ ³ . 3(ab bc ca) (a b c) 2 669 ab + bc + ca (a + b + c) Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1 ab bc ca Bài 4.53: Cho a,b,c ³ 0 và abc = 1 . Chứng minh rằng : + + £ 1 . a5 + b5 + ab b5 + c5 + bc c5 + a5 + ac Lời giải: a + b + c Bài 4.53: Ta có : a5 + b5 ³ a3b2 + b3a2 = a2b2 (a + b) Þ a5 + b5 + ab ³ ab c ab ab c Þ £ = . a5 + b5 + ab a + b + c a + b + c ab c
bc a ca b Tương tự : £ ; £ b5 + c5 + bc a + b + c c5 + a5 + ac a + b + c Cộng ba BĐT này lại với nhau ta có đpcm. Bài 4.54: Cho ba số thực không âm a, b, c và không có hai số đồng thời bằng không. Tìm giá trị nhỏ a b c ab + bc + ca nhất của biểu thức P = + + + 4 2. b + c c + a a + b a2 + b2 + c2 A. min P = 6 B. min P = 7 C. min P = 8 D. min P = 12 Lời giải: a b c a2 + b2 + c2 Trước tiên, ta sẽ chứng minh kết quả sau: + + ³ (1) b + c c + a a + b ab + bc + ca Nhân hai vế của (1) với ab + bc + ca , và để ý rằng a a abc .(ab + bc + ca) = éa(b + c)+ bcù= a2 + b + c b + c ë û b + c abc abc abc Dễ thấy khi đó, (1) trở thành a2 + + b2 + + c2 + ³ a2 + b2 + c2 b + c c + a a + b æ 1 1 1 ö Hay abcç + + ÷³ 0 (hiển nhiên đúng). Điều phải chứng minh. èçb + c c + a a + b÷ø a2 + b2 + c2 ab + bc + ca 4 2 * Quay trở lại bài toán, sử dụng kết quả trên, ta suy ra P ³ + 4 2. = t2 + , ab + bc + ca a2 + b2 + c2 t a2 + b2 + c2 với t = ab + bc + ca Với cách đặt trên, dễ dàng suy ra t ³ 1. 4 2 Vậy ta sẽ tìm giá trị nhỏ nhất của f (t) = t2 + với t ³ 1. t 2 2 2 2 2 2 2 2 Áp dụng BĐT côsi ta có f (t) = t2 + + ³ 3 3 t2 . . = 6 t t t t Đẳng thức xảy ra khi t = 2 hay a = b > 0, c = 0 hoặc các hoán vị tương ứng. Vậy min P = 6 khi và chỉ khi a = b > 0, c = 0 hoặc các hoán vị tương ứng. C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TỔNG HỢP TỔNG HỢP LẦN 1 Bài 1. Nếu a > b và c > d. thì bất đẳng thức nào sau đây luôn đúng? A. ac > bd .B. a- c > b- d .C. a- d > b- c . D. - ac > - bd . Bài 2. Nếu m > 0 , n - n .B. n – m –n . D. m – n < 0 .
Bài 3. Nếu a,b và c là các số bất kì và a > b thì bất đẳng nào sau đây đúng? 2 2 A. ac > bc .B. a b + c . D. c- a > c- b . Bài 4. Nếu a > b và c > d thì bất đẳng thức nào sau đây luôn đúng? a b A. .B. a- c > b- d .C. ac > bd . D. a + c > b + d . c d Bài 5. Bất đẳng thức nào sau đây đúng với mọi số thực a? A. 6a > 3a .B. 3a > 6a .C. 6- 3a > 3- 6a .D. 6 + a > 3+ a . Bài 6. Nếu a,b,c là các số bất kì và a bc .D. ac b > 0 , c > d > 0 thì bất đẳng thức nào sau đây không đúng? 2 2 A. ac > bc .B. a- c > b- d .C. a > b . D. ac > bd . Bài 8. Nếu a > b > 0 , c > d > 0. thì bất đẳng thức nào sau đây không đúng? a b a d A. a + c > b + d . B. ac > bd .C. > . D. > . c d b c Bài 9. Sắp xếp ba số 6 + 13 , 19 và 3 + 16 theo thứ tự từ bé đến lớn thì thứ tự đúng là A. 19 , 3 + 16 , 6 + 13 .B. 3 + 16 , 19 , 6 + 13 . C. 19 , 6 + 13 , 3 + 16 .D. 6 + 13 , 3 + 16 , 19 . Bài 10. Nếu a + 2c > b + 2c thì bất đẳng thức nào sau đây đúng? 2 2 1 1 A.- 3a > - 3b .B. a > b . C. 2a > 2b .D. 2b và - 3b c .C. - 3a > - 3c . D. a > c . Bài 12. Một tam giác có độ dài các cạnh là 1,2,x trong đó x là số nguyên. Khi đó, x bằng A.1 .B. 2 .C. 3 .D. 4 . KHÔNG ĐÁP ÁN Bài 13. Với số thực a bất kì, biểu thức nào sau đây có thể nhận giá trị âm? A. a2 + 2a + 1 .B. a2 + a + 1.C. a2 - 2a + 1.D. a2 + 2a- 1. Bài 14. Với số thực a bất kì, biểu thức nào sau đây luôn luôn dương. A. a2 + 2a + 1.B. a2 + a + 1.C. a2 - 2a + 1.D. a2 + 2a- 1. Bài 15. Trong các số 3+ 2 , 15 , 2 + 3 , 4 A. số nhỏ nhất là 15 , số lớn nhất là 2 + 3 . B. số nhỏ nhất là 2 + 3 , số lớn nhất là 4 . C. số nhỏ nhất là 15 , số lớn nhất là 3+ 2 . D. số nhỏ nhất là 2 + 3 , số lớn nhất là 3+ 2 . Bài 16. Cho hai số thực a,b sao cho a > b . Bất đẳng thức nào sau đây không đúng? 4 4 A. a > b . B. - 2a + 1 b- 2 .
Bài 17. Nếu 0 a .B. a > .C. a > a .D. a > a . a a Bài 18. Cho a,b,c,d là các số thực trong đó a,c ¹ 0 . Nghiệm của phương trình ax + b = 0 nhỏ hơn nghiệm của phương trình cx + d = 0 khi và chỉ khi b c b c b a b d A. .C. > .D. > . a d a d d c a c Bài 19. Nếu a + b b thì bất đẳng thức nào sau đây đúng? A. ab > 0 .B. b 0 và b b . C. b + c a + 2bc . 2 Bài 21. Cho f (x)= x- x . Kết luận nào sau đây là đúng? 1 1 A. f (x) có giá trị nhỏ nhất bằng .B. f (x) có giá trị lớn nhất bằng . 4 2 1 1 C. f (x) có giá trị nhỏ nhất bằng - .D. f (x) có giá trị lớn nhất bằng . 4 4 1 Bài 22. Cho hàm số f (x)= . Mệnh đề nào sau đây là đúng ? x2 + 1 A. f (x) có giá trị nhỏ nhất là 0 , giá trị lớn nhất bằng 1 . B. f (x) không có giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất bằng 1 . C. f (x) có giá trị nhỏ nhất là 1 , giá trị lớn nhất bằng 2 . D. f (x) không có giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất. ïì x + y = 1 Bài 23. Với giá trị nào của a thì hệ phương trình íï có nghiệm (x; y) với x.y lớn nhất îï x- y = 2a- 1 1 1 1 A. a = .B. a = .C. a = - .D. a = 1. 4 2 2 Bài 24. Cho biết hai số a và b có tổng bằng 3 . Khi đó, tích hai số a và b 9 9 A. có giá trị nhỏ nhất là .B. có giá trị lớn nhất là . 4 4 3 C. có giá trị lớn nhất là .D. không có giá trị lớn nhất. 2 Bài 25. Cho a- b = 2 . Khi đó, tích hai số a và b A. có giá trị nhỏ nhất là- 1 .B. có giá trị lớn nhất là - 1 . C. có giá trị nhỏ nhất khi a = b.D. không có giá trị nhỏ nhất. 2 2 Bài 26. Cho x + y = 1 , gọi S = x + y . Khi đó ta có A. S £ - 2 . B.S ³ 2 . C.- 2 £ S £ 2 . D. - 1£ S £ 1 .
2 2 Bài 27. Cho x, y là hai số thực thay đổi sao cho x + y = 2 . Gọi m = x + y . Khi đó ta có: A. giá trị nhỏ nhất của m là 2 .B. giá trị nhỏ nhất của m là 4 . C. giá trị lớn nhất của m là 2 .D. giá trị lớn nhất của m là 4 . 2 2 2 x + 1 x Bài 28. Với mỗi x > 2 , trong các biểu thức: , , , , giá trị biểu thức nào là nhỏ x x + 1 x- 1 2 2 nhất? 2 2 2 x A. .B. .C. .D. . x x + 1 x- 1 2 Bài 29. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức x2 + 3x với x Î ¡ là: 3 9 27 81 A.- .B. - .C. - .D. - . 2 4 4 8 Bài 30. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức x2 + 3 x với x Î ¡ là: 9 3 3 A. - .B. - .C. 0 .D. . 4 2 2 Bài 31. Giá trị nhỏ nhất củabiểu thức x2 6 x với x ¡ là: A. - 9 .B. - 6 .C. 0 .D. 3 . Bài 32. Cho biểu thức P = - a + a với a ³ 0 . Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề đúng? 1 1 A. Giá trị lớn nhất của P là . B. Giá trị nhỏ nhất của P là . 4 4 1 1 C. Giá trị lớn nhất của P là .D. P đạt giá trị nhỏ nhất tại a = . 2 4 2 Bài 33. Giá trị lớn nhất của hàm số f (x)= bằng x2 - 5x + 9 11 4 11 8 A. .B. .C. .D. . 4 11 8 11 Bài 34. Cho biểu thức f (x)= 1- x2 . Kết luận nào sau đây đúng? A. Hàm số f (x) chỉ có giá trị lớn nhất, không có giá trị nhỏ nhất. B. Hàm số f (x) chỉ có giá trị nhỏ nhất, không có giá trị lớn nhất. C. Hàm số f (x) có giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất. D. Hàm số f (x) không có giá trị nhỏ nhất và không có giá trị lớn nhất. 2a Bài 35. Cho a là số thực bất kì, P = . Bất đẳng thức nào sau đây đúng với mọi a? a2 + 1 A. P > - 1.B. P > 1 .C. P 0. với a,b,c là những số bất kì.
D. Q ³ 0 với a,b,c là những số bất kì. Bài 37. Số nguyên a lớn nhất sao cho a200 3(a + b)+ ab . Bài 40. Cho hai số thực a,b tùy ý. Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. a + b = a + b B. a + b £ a + b C. a + b a + b . . . . Bài 41. Cho hai số thực a, b tùy ý. Mệnh đề nào sau đây là đúng? a a A. - ab với b ¹ 0 . b - b C. Nếu a a - b . Bài 42. Cho hai số thực a, b tùy ý. Mệnh đề nào sau đây là đúng? A. a- b £ a + b .B. a- b = a + b . C. a- b = a - b .D. a- b > a - b . Bài 43. Bất đẳng thức nào sau đây đúng với mọi số thực x ? 2 A. x > x .B. x > - x .C. x > x2 .D. x ³ x . Bài 44. Nếu a, b là những số thực và a £ b thì bất đẳng thức nào sau đây luôn đúng? 1 1 A. a2 £ b2 .B. £ với ab ¹ 0 . a b C. - b £ a £ b .D. a £ b . Bài 45. Cho a > 0 . Nếu x . x a
Bài 46. Nếu x 0 là x 1 A. 4.B. .C. 2 .D. 2 2 . 2 3 Bài 49. Giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x) = 2x + với x > 0 là x A. 4 3 .B. 6 .C. 2 3 .D. 2 6 . x 2 Bài 50. Giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x) = + với x > 1 là 2 x- 1 5 A. 2 .B. .C. 2 2 .D. 3. 2 x- 2 Bài 51. Cho x ³ 2 . Giá trị lớn nhất của hàm số f (x) = bằng x 1 2 2 1 A. .B. .C. .D. . 2 2 2 2 2 1 Bài 52. Giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x) = 2x + với x > 0 là x 1 A. 2 .B. .C. 2 .D. 2 2 . 2 1 Bài 53. Giá trị nhỏ nhất của hàm số f (x) = 2x + với x > 0 là x2 A. 1 .B. 2 .C. 3 .D. 2 2 . Bài 54. Cho a, b, c, d là các số dương. Hãy điền dấu (> , thì thì > . b d a c b d b d C. a + b + c ³ ab + bc + ca .D. 2 ab( a + b) £ 2ab + a + b . Bài 55. Điền số thích hợp vào chỗ chấm để được mệnh đề đúng A. Giá trị lớn nhất của hàm số y = x- 1 + 3- x với 1£ x £ 3 là . 2 2 khi x = 2
17 5 B. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 2x2 - 5x + 1 là - khi x = 8 4 Bài 56. Cho a2 + b2 + c2 = 1. Hãy xác định tính đúng-sai của các mệnh đề sau: 1 A. ab + bc + ca ³ 0 . Sai B. ab + bc + ca ³ - .Đúng 2 C. ab + bc + ca . a b C. a 0). Bài 58. Suy luận nào sau đây đúng ïì a > b ïì a > b a b A. íï Þ ac > bd . B. íï Þ > . îï c > d îï c > d c d ïì a > b ïì a > b > 0 C. íï Þ a- c > b- d .D. íï Þ ac > bd . îï c > d îï c > d > 0 2 Bài 59. Bất đẳng thức (m+ n) ³ 4mn tương đương với bất đẳng thức nào sau đây 2 2 A. n(m- 1) - m(n- 1) ³ 0 .B. m2 + n2 ³ 2mn . 2 2 C. (m+ n) + m- n ³ 0 .D. (m- n) ³ 2mn . Bài 60. Với mọi a,b ¹ 0 , ta có bất đẳng thức nào sau đây luôn đúng? A. a- b 0 .D. a- b > 0 . Bài 61. Với hai số x, y dương thoả xy = 36 , bất đẳng thức nào sau đây đúng? A. x + y ³ 2 xy = 12 .B. x + y ³ 2xy = 72 . C. 4xy £ x2 + y2 .D. 2xy b > 0 và x = , y = Mệnh đề nào sau đây đúng ? 1+ a + a2 1+ b + b2 A. x > y .B. x < y .
C. x = y .D. Không so sánh được. a b a b c 1 1 1 9 Bài 65. Cho các bất đẳng thức: (I) + ³ 2 (II) + + ³ 3 (III) + + ³ (với a, b, b a b c a a b c a + b + c c > 0). Bất đẳng thức nào trong các bất đẳng thức trên là đúng? A. chỉ I đúng.B. chỉ II đúng.C. chỉ III đúng. D. I, II, III đều đúng. a b c Bài 66. Với a,b,c > 0 . Biểu thức P = + + . Mệnh đề nào sau đây đúng? b + c c + a a + b 3 3 4 3 A. 0 0 và ab > a + b . Mệnh đề nào sau đây đúng ? A. a + b = 4 .B. a + b > 4 .C. a + b 0 . Trong các mệnh đề sau đây mệnh đề sai? a a a + c A. 1Þ > . b b b + c a c a a + c c C. > . b d b b + c d D. Có ít nhất hai trong ba mệnh đề trên là sai. 2 a2 + b2 æa + bö Bài 70. Hai số a,b thoả bất đẳng thức £ ç ÷ thì 2 èç 2 ø÷ A. a b .C. a = b.D. a ¹ b. Bài 71. Cho x, y,z > 0 và xét ba bất đẳng thức 1 1 1 9 x y z (I) x3 + y3 + z3 ³ 3xyz (II) + + £ (III) + + ³ 3 . Bất đẳng thức nào x y z x + y + z y z x là đúng? A. Chỉ I đúng.B. Chỉ I và III đúng.C. Chỉ III đúng. D. Cả ba đều đúng.