Đề cương ôn tập Đại số Lớp 10 - Chương 4: Bất đẳng thức - Bài 6: Dấu của tam thức bậc hai

Nội dung text: Đề cương ôn tập Đại số Lớp 10 - Chương 4: Bất đẳng thức - Bài 6: Dấu của tam thức bậc hai

1. §6. DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT. 1. Tam thức bậc hai Tam thức bậc hai (đối với x ) là biểu thức dạng ax2 + bx + c . Trong đó a,b,c là nhứng số cho trước với a ¹ 0 . Nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 được gọi là nghiệm của tam thức bậc hai f (x)= ax2 + bx + c ; D = b2 - 4ac và D ' = b'2- ac theo thứ tự được gọi là biệt thức và biệt thức thu gọn của tam thức bậc hai f (x)= ax2 + bx + c . 2. Dấu của tam thức bậc hai Dấu của tam thức bậc hai được thể hiện trong bảng sau f (x)= ax2 + bx + c, (a ¹ 0) D 0, " x Î ¡ ïì b ïü D = 0 a. f (x)> 0, " x Î ¡ \í - ý îï 2aþï a. f (x)> 0, " x Î (- ¥ ; x1)È(x2 ;+ ¥ ) D > 0 a. f (x) 0 ax2 + bx + c > 0," x Î R Û íï îï D 0 ax2 + bx + c ³ 0," x Î R Û íï îï D £ 0 ïì a < 0 ax2 + bx + c < 0," x Î R Û íï îï D < 0 ïì a < 0 ax2 + bx + c £ 0," x Î R Û íï îï D £ 0 B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI. ➢ DẠNG TOÁN 1: XÉT DẤU CỦA BIỂU THỨC CHỨA TAM THỨC BẬC HAI. 1. Phương pháp giải. Dựa vào định lí về dấu của tam thức bậc hai để xét dấu của biểu thức chứa nó. * Đối với đa thức bậc cao P(x) ta làm như sau Phân tích đa thức P(x) thành tích các tam thức bậc hai (hoặc có cả nhị thức bậc nhất) Lập bảng xét dấu của P(x) . Từ đó suy ra dấu của nó . P(x) * Đối với phân thức (trong đó P(x), Q(x) là các đa thức) ta làm như sau Q(x) Phân tích đa thức P(x), Q(x) thành tích các tam thức bậc hai (hoặc có cả nhị thức bậc nhất) P(x) Lập bảng xét dấu của . Từ đó suy ra dấu của nó. Q(x) 2. Các ví dụ minh họa. Ví dụ 1: Xét dấu của các tam thức sau a) 3x2 - 2x + 1
2. A. 3x2 - 2x + 1³ 0, " x Î ¡ B. 3x2 - 2x + 1> 0, " x Î ¡ C. 3x2 - 2x + 1 0 Û x Î (- 1; 5) B. - x2 + 4x + 5 0 Û x Î (- ¥ ;- 1)È(5;+ ¥ ) D. - x2 + 4x + 5 0 " x Î ¡ \íï ýï îï 2þï îï 2þï ïì 3ïü ïì 3ïü C. - 4x2 + 12x- 9 0 " x Î ¡ \íï - ýï îï 2þï îï 2þï d) 3x2 - 2x- 8 æ 4ö A. 3x2 - 2x- 8 0 Û x Î ç- ; 2÷ èç 3 ø÷ e) 25x2 + 10x + 1 ïì 1ïü ïì 1ïü A. 25x2 + 10x + 1> 0 " x Î ¡ \íï ýï B. 25x2 + 10x + 1 0 " x Î ¡ \íï - ýï îï 5þï îï 5þï f) - 2x2 + 6x- 5 A. - 2x2 + 6x- 5 > 0 " x Î ¡ B. - 2x2 + 6x- 5 £ 0 " x Î ¡ C. - 2x2 + 6x- 5 ³ 0 " x Î ¡ D. - 2x2 + 6x- 5 0 suy ra 3x2 - 2x + 1> 0, " x Î ¡ éx = - 1 b) Ta có - 2 + + = Û ê x 4x 5 0 ê ëx = 5
3. Bảng xét dấu x - ¥ - 1 5 + ¥ - x2 + 4x + 5 - 0 + | - Suy ra - x2 + 4x + 5 > 0 Û x Î (- 1; 5) và - x2 + 4x + 5 0 Û x Î ç- ¥ ;- ÷È(2;+ ¥ ) và 3x2 - 2x- 8 0 suy ra 25x2 + 10x + 1> 0 " x Î ¡ \íï - ýï îï 5þï f) Ta có D ' = - 1 0 và D ' = m2 - 3m+ 2 . * Nếu 1 0 " x Î R . ém = 1 * Nếu ê Þ D = Þ ³ " Î và = Û = - ê ' 0 f (x) 0 x R f (x) 0 x m ëm = 2 ém > 2 * Nếu ê Þ D > Þ có hai nghiệm ê ' 0 f (x) ëm 0 Û x Î (- ¥ ; x1 )È(x2 ;+ ¥ ) +) f (x) < 0 Û x Î (x1 ; x2 ) . Ví dụ 3: Xét dấu của các biểu thức sau a) (- x2 + x- 1)(6x2 - 5x + 1)
4. æ1 1ö A. (- x2 + x- 1)(6x2 - 5x + 1) dương khi và chỉ khi x Î ç ; ÷ èç3 2ø÷ æ1 1ö B. (- x2 + x- 1)(6x2 - 5x + 1) âm khi và chỉ khi x Î ç ; ÷ èç3 2ø÷ æ 1ö æ1 ö C. (- x2 + x- 1)(6x2 - 5x + 1) dương khi và chỉ khi x Î ç- ¥ ; ÷Èç ;+ ¥ ÷ èç 3ø÷ èç2 ø÷ æ 1ö D. (- x2 + x- 1)(6x2 - 5x + 1) âm khi và chỉ khi x Î ç- ¥ ; ÷ èç 3ø÷ x2 - x- 2 b) - x2 + 3x + 4 x2 - x- 2 A. âm khi và chỉ khi x Î (2; 4), - x2 + 3x + 4 x2 - x- 2 B. dương khi và chỉ khi x Î (2; 4), - x2 + 3x + 4 x2 - x- 2 C. dương khi và chỉ khi x Î (- ¥ ;- 1)È(- 1; 2). - x2 + 3x + 4 x2 - x- 2 D. âm khi và chỉ khi x Î (- 1; 2)È(4;+ ¥ ). - x2 + 3x + 4 c) x3 - 5x + 2 A. x3 - 5x + 2 âm khi và chỉ khi x Î (- 1- 2;- 1+ 2)È(2;+ ¥ ) B. x3 - 5x + 2 dương khi và chỉ khi x Î (- 1- 2;- 1+ 2) C. x3 - 5x + 2 âm khi và chỉ khi x Î (- 1- 2;- 1+ 2) D. x3 - 5x + 2 dương khi và chỉ khi x Î (- 1- 2;- 1+ 2)È(2;+ ¥ ) x2 - x + 6 d) x- - x2 + 3x + 4 x2 - x + 6 A. x- dương khi và chỉ khi x Î (- 2;- 1)È(4;+ ¥ ) - x2 + 3x + 4 x2 - x + 6 B. x- dương khi và chỉ khi x Î (4;+ ¥ ) - x2 + 3x + 4 x2 - x + 6 C. x- âm khi và chỉ khi x Î (- ¥ ;- 2)È(3; 4) - x2 + 3x + 4 x2 - x + 6 D. x- âm khi và chỉ khi x Î (- ¥ ;- 2)È(- 1;1)È(3; 4) - x2 + 3x + 4 Lời giải:
5. 1 1 a) Ta có - x2 + x- 1= 0 vô nghiệm, 6x2 - 5x + 1= 0 Û x = hoặc x = 2 3 Bảng xét dấu x 1 2 - ¥ + ¥ 3 3 - x2 + x- 1 - 0 - | - 6x2 - 5x + 1 + | - 0 + (- x2 + x- 1)(6x2 - 5x + 1) - 0 + 0 - æ1 1ö Suy ra (- x2 + x- 1)(6x2 - 5x + 1) dương khi và chỉ khi x Î ç ; ÷ èç3 2ø÷ æ 1ö æ1 ö (- x2 + x- 1)(6x2 - 5x + 1) âm khi và chỉ khi x Î ç- ¥ ; ÷Èç ;+ ¥ ÷ èç 3ø÷ èç2 ø÷ éx = - 1 éx = - 1 b) Ta có 2 - - = Û ê - 2 + + = Û ê x x 2 0 ê , x 3x 4 0 ê ëx = 2 ëx = 4 Bảng xét dấu x - ¥ - 1 2 4 + ¥ x2 - x- 2 + 0 - 0 + | + - x2 + 3x + 4 - 0 + | + 0 - x2 - x- 2 2 - || - 0 + || - - x + 3x + 4 x2 - x- 2 x2 - x- 2 Suy ra dương khi và chỉ khi x Î (2; 4), âm khi và chỉ khi - x2 + 3x + 4 - x2 + 3x + 4 x Î (- ¥ ;- 1)È(- 1; 2)È(4;+ ¥ ). c) Ta có x3 - 5x + 2 = (x- 2)(x2 + 2x- 1) Ta có x2 + 2x- 1= 0 Û x = - 1± 2 Bảng xét dấu x - ¥ - 1- 2 - 1+ 2 2 + ¥ x- 2 - 0 - 0 - | + x2 + 2x- 1 + 0 - | + 0 + x3 - 5x + 2 - 0 + 0 - 0 + Suy ra x3 - 5x + 2 dương khi và chỉ khi x Î (- 1- 2;- 1+ 2)È(2;+ ¥ ), x3 - 5x + 2 âm khi và chỉ khi x Î (- ¥ ;- 1- 2)È(- 1+ 2; 2). 2 x2 - x + 6 - x3 + 2x2 + 5x- 6 (x- 1)(- x + x + 6) d) Ta có x- = = - x2 + 3x + 4 - x2 + 3x + 4 - x2 + 3x + 4 éx = - 2 éx = - 1 Ta có - 2 + + = Û ê - 2 + + = Û ê x x 6 0 ê , x 3x 4 0 ê ëx = 3 ëx = 4 Bảng xét dấu x - ¥ - 2 - 1 1 3 4 + ¥ x- 1 - | - | - 0 + | + | + - x2 + x + 6 - 0 + | + | + 0 - | - - x2 + 3x + 4 - | - 0 + | + | + 0 -
6. x2 - x + 6 - x 2 - 0 + || - 0 + 0 - || + - x + 3x + 4 x2 - x + 6 x2 - x + 6 Suy ra x- dương khi và chỉ khi x Î (- 2;- 1)È(1; 3)È(4;+ ¥ ), x- âm khi - x2 + 3x + 4 - x2 + 3x + 4 và chỉ khi x Î (- ¥ ;- 2)È(- 1;1)È(3; 4). 3. Bài tập luyện tập. Bài 4.84: Xét dấu các tam thức sau a) f (x) = - 2x2 + 3x- 1 1 A. f (x) 0 Û x Î (- ¥ ; )È(1;+ ¥ ) . 2 1 C. f (x) 0," x Î ¡ C. g(x) 0 " x Î R .B. g(x) £ 0 " x Î R . C. g(x) ³ 0 " x Î R .D. g(x) 0 (trái dấu với a) Û x Î ( ;1) 2 1 * f (x) 0 , có D = 0 Þ g(x) > 0 (cùng dấu với a) " x ¹ và g( ) = 0 . 4 2 2 c) Tam thức g(x) có a = - 2 > 0 , có D = - 7 < 0 Þ g(x) < 0 (cùng dấu với a) " x Î R . Bài 4.85: Xét dấu các biểu thức sau a) f (x) = (x2 - 5x + 4)(2- 5x + 2x2 ) A. x 1 - ¥ 1 2 4 + ¥ 2
7. x2 - 5x + 4 + | + 0 – | – 0 + 2x2 - 5x + 2 + 0 – | + 0 + | + f(x) + 0 + 0 + 0 – 0 + B. x 1 - ¥ 1 2 4 + ¥ 2 x2 - 5x + 4 + | + 0 – | + 0 + 2x2 - 5x + 2 + 0 + | – 0 + | + f(x) + 0 – 0 + 0 + 0 + C. x 1 - ¥ 1 2 4 + ¥ 2 x2 - 5x + 4 + | + 0 + | – 0 + 2x2 - 5x + 2 + 0 – | + 0 + | + f(x) + 0 – 0 + 0 – 0 + D. x 1 - ¥ 1 2 4 + ¥ 2 x2 - 5x + 4 + | + 0 – | – 0 + 2x2 - 5x + 2 + 0 – | – 0 + | + f(x) + 0 – 0 + 0 – 0 + 8 b) f (x) = x2 - 3x- 2- . x2 - 3x A. x - ¥ -1 0 1 2 3 4 + ¥ x2 - 3x + | + 0 + | – | – 0 + | + x2 - 3x- 4 + 0 – | + | – | – | – 0 + x2 - 3x + 2 + | + | + 0 – 0 + | + | + f(x) + || – 0 + || – || + 0 – || + B.
8. x - ¥ -1 0 1 2 3 4 + ¥ x2 - 3x + | + 0 – | + | – 0 + | + x2 - 3x- 4 + 0 – | – | + | – | – 0 + x2 - 3x + 2 + | + | + 0 – 0 + | + | + f(x) + || – 0 + || – || + 0 – || + C. x - ¥ -1 0 1 2 3 4 + ¥ x2 - 3x + | + 0 – | – | + 0 + | + x2 - 3x- 4 + 0 – | – | – | + | – 0 + x2 - 3x + 2 + | + | + 0 – 0 + | + | + f(x) + || – 0 + || – || + 0 – || + D. x - ¥ -1 0 1 2 3 4 + ¥ x2 - 3x + | + 0 – | – | – 0 + | + x2 - 3x- 4 + 0 – | – | – | – | – 0 + x2 - 3x + 2 + | + | + 0 – 0 + | + | + f(x) + || – 0 + || – || + 0 – || + Lời giải: Bài 4.85: a) Ta có: x2 - 5x + 4 = 0 Û x = 1; x = 4 1 2- 5x + 2x2 = 0 Û x = 2; x = 2 Bảng xét dấu: x 1 - ¥ 1 2 4 + ¥ 2 x2 - 5x + 4 + | + 0 – | – 0 + 2x2 - 5x + 2 + 0 – | – 0 + | + f(x) + 0 – 0 + 0 – 0 + (x2 - 3x)2 - 2(x2 - 3x)- 8 (x2 - 3x + 2)(x2 - 3x- 4) b ) Ta có: f (x) = = x2 - 3x x2 - 3x Bảng xét dấu x - ¥ -1 0 1 2 3 4 + ¥
9. x2 - 3x + | + 0 – | – | – 0 + | + x2 - 3x- 4 + 0 – | – | – | – | – 0 + x2 - 3x + 2 + | + | + 0 – 0 + | + | + f(x) + || – 0 + || – || + 0 – || + Bài 4.86: Xét dấu các biểu thức sau 1 1 1 a) - - x + 9 x 2 A. f (x) ³ 0 Û x Î (- 6;- 3)È(2;0) B. f (x) 0 Û ç ; ÷ ç ÷ èç 2 2 ø÷ æ ö ç 2 - 4 2 - 2 2 + 4 2 - 2 ÷ C. f (x) ³ 0 Û ç ; ÷ ç ÷ èç 2 2 ø÷ æ ö æ ö ç 2 - 4 2 - 2 ÷ ç 2 + 4 2 - 2 ÷ D. f (x) > 0 Û x Î ç- ¥ ; ÷Èç ;+ ¥ ÷ ç ÷ ç ÷ èç 2 ø÷ èç 2 ø÷ 3x + 7 c) + 5 x2 - x- 2 5x2 - 2x- 3 æ 3 ö A. Û Î - ¥ - Èç- ÷ 2 0 x ( ; 1) ç ;1÷ x - x- 2 èç 5 ø÷ 5x2 - 2x- 3 æ 3ö C. Û Î ç- - ÷È 2 0 x ç 1; ÷ (1; 2) x - x- 2 èç 5ø÷ d) x3 - 3x + 2 A. f (x)> 0 Û x Î (- 2;+ ¥ )
10. B. f (x)> 0 Û x Î (- ¥ ;- 2) C. f (x) 0 Û x Î (- 6;- 3)È(2;0) f (x) 0 Û x Î ç- ¥ ; ÷Èç ;+ ¥ ÷ ç ÷ ç ÷ èç 2 ø÷ èç 2 ø÷ æ ö ç 2 - 4 2 - 2 2 + 4 2 - 2 ÷ f (x) Û Î - ¥ - Èç- ÷È + ¥ 2 0 x ( ; 1) ç ;1÷ (2; ) x - x- 2 èç 5 ø÷ 5x2 - 2x- 3 æ 3ö Và 0 Û x Î (- 2;+ ¥ )\{1} f (x)< 0 Û x Î (- ¥ ;- 2) Bài 4.87: Tùy theo giá trị của tham số m g(x) = (m- 1)x2 + 2(m- 1)+ m- 3 , Khẳng định nào sau đây đúng là sai? A. m = 1Þ g(x) < 0 " x Î R é 3ù B. T = ê0; ú có hai nghiệm phân biệt ëê 2ûú ïì a < 0 C. m < 1Þ íï Þ g(x) < 0 " x Î R . îï D ' < 0 D. Cả A, B, C đều sai Lời giải: Bài 4.87: Nếu m = 1Þ g(x) = - 2 < 0 " x Î R
11. Nếu m ¹ 1, khi đó g(x) là tam thức bậc hai có a = m- 1 và D ' = 2(m- 1) , do đó ta có các trường hợp sau: é 3ù * T = ê0; ú có hai nghiệm phân biệt ëê 2ûú m- 1- 2(m- 1) m- 1+ 2(m- 1) x = và x = . 1 m- 1 2 m- 1 Þ g(x) > 0 Û x Î (- ¥ ; x1 )È(x2 ;+ ¥ ); g(x) 0, D 'm = - 20 0 với mọi m Do đó phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m . 2 b) Ta có D = ( 3m- 2) - 4(m2 + 5)= - m2 - 4 3m- 16 2 2 Vì tam thức - m - 4 3m- 8 có am = - 1 0 1 1 ê A. - 4 D. m £ 2 Lời giải: a) Với m = 0 thì f (x)= - x- 1 lấy cả giá trị dương(chẳng hạn f (- 2)= 1) nên m = 0 không thỏa mãn yêu cầu bài toán Với m ¹ 0 thì f (x)= mx2 - x- 1 là tam thức bậc hai dó đó ì ì ï m - 4 îï 4
12. 1 Vậy với - - D. m B. m ³ C. m £ D. m > 4 4 4 4 Lời giải: a) Tam thức - 4x2 + 5x- 2 có a = - 4 0, " x Û x2 - x + m > 1, " x Û x2 - x + m > 0, " x ïì a = 1> 0 1 Û íï Û m > îï D = 1- 4m thì biểu thức k(x) luôn dương. 4 Ví dụ 4: Chứng minh rằng hàm số sau có tập xác định là ¡ với mọi giá trị của m . mx a) y = (2m2 + 1)x2 - 4mx + 2 2x2 - 2(m+ 1)x + m2 + 1 b) y = m2x2 - 2mx + m2 + 2 Lời giải: a) ĐKXĐ: (2m2 + 1)x2 - 4mx + 2 ¹ 0 Xét tam thức bậc hai f (x)= (2m2 + 1)x2 - 4mx + 2
13. Ta có a = 2m2 + 1> 0, D ' = 4m2 - 2(2m2 + 1)= - 2 0 " x Î ¡ Do đó với mọi m ta có (2m2 + 1)x2 - 4mx + 2 ¹ 0, " x Î ¡ Vậy tập xác định của hàm số là D = ¡ 2x2 - 2(m+ 1)x + m2 + 1 b) ĐKXĐ: ³ 0 và m2x2 - 2mx + m2 + 2 ¹ 0 m2x2 - 2mx + m2 + 2 Xét tam thức bậc hai f (x)= 2x2 - 2(m+ 1)x + m2 + 1 và 2 2 2 2 Ta có a f = 2 > 0, D f ' = (m+ 1) - 2(m + 1)= - m + 2m- 1= - (m- 1) £ 0 Suy ra với mọi m ta có f (x)= 2x2 - 2(m+ 1)x + m2 + 1³ 0, " x Î ¡ (1) Xét tam thức bậc hai g(x)= m2x2 - 2mx + m2 + 2 Với m = 0 ta có g(x)= 2 > 0 , xét với m ¹ 0 ta có 2 2 2 2 2 2 ag = m > 0, D g ' = m - m (m + 2)= - m (m + 1) 0, " x Î ¡ (2) 2x2 - 2(m+ 1)x + m2 + 1 Từ (1) và (2) suy ra với mọi m thì ³ 0 và m2x2 - 2mx + m2 + 2 ¹ 0 đúng m2x2 - 2mx + m2 + 2 với mọi giá trị của x Vậy tập xác định của hàm số là D = ¡ 3. Bài tập luyện tập. Bài 4.88: Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì a) Phương trình x2 - 2(m+ 2)x- (m+ 3)= 0 luôn có nghiệm b) Phương trình (m2 + 1)x2 + ( 3m- 2)x + 2 = 0 luôn vô nghiệm Lời giải: 2 Bài 4.88: a) Ta có D = (m+ 2) + m+ 3 = m2 + 5m+ 7 2 Vì tam thức m + 5m+ 7 có am = 1> 0, D 'm = - 2 - 1 C. m £ - 1 D. m îï D ' = 1- 4m < 0 4
14. 1 Vậy với - 0, D ' = 4m2 - 8(2m2 + 1)= - 12m2 - 8 0 Xét tam thức bậc hai f (x)= x2 + 2(1- m)x + 2m2 + 3 2 Ta có a = 1> 0, D ' = (1- m) - (2m2 + 3)= - m2 - 2m- 2 0, " x Î ¡ Vậy tập xác định của hàm số là D = ¡ Bài 4.91: Tìm m để a) 3x2 - 2(m+ 1)x- 2m2 + 3m- 2 ³ 0 " x Î R A. m - 1 C. m £ - 1 D. Vô nghiệm b) Hàm số y = (m+ 1)x2 - 2(m- 1)x + 3m- 3 có nghĩa với mọi x. A. m < 1 B. m ³ 1 C. m £ - 1 D. m < - 1 x + m c) £ 1 " x Î R x2 + x + 1
15. ém > 1 A. £ B. £ C. £ £ D. ê 0 m m 1 0 m 1 ê ëm 0 * m ¹ - 1Þ (1) Û íï Û m ³ 1 îï D ' = (m- 1)(- 2m- 4) £ 0 c) Ta có x2 + x + 1> 0 " x Î ¡ ì 2 x + m x + m ï x + 1- m ³ 0 (1) Þ £ 1 Û - 1£ £ 1 Û í 2 2 ï 2 x + x + 1 x + x + 1 îï x + 2x + m+ 1³ 0 (2) (1) đúng " x Î ¡ Û 1- m ³ 0 Û m £ 1 (2) đúng " x Î ¡ Û D ' = - m £ 0 Û m ³ 0 Vậy 0 £ m £ 1 là những giá trị cần tìm