Đề cương ôn tập Hình học Lớp 10 - Chương 3: Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng - Bài 8: Ba đường cônic

Nội dung text: Đề cương ôn tập Hình học Lớp 10 - Chương 3: Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng - Bài 8: Ba đường cônic

1. §8. BA ĐƯỜNG CÔNIC I. Đường chuẩn của elip và hypebol. Không chỉ có parabol mới có đường chuẩn, elip và hypebol cũng có đường chuẩn được định nghĩa tương tự như sau 1. Đường chuẩn của elip. x 2 y2 a a. Định nghĩa: Cho (E): + = 1. Khi đó đường thẳng D : x + = 0 được gọi là đường chuẩn của elip, a2 b2 1 e a ứng với tiêu điểm F (- c;0); Đường thẳng D : x - = 0 được gọi là đường chuẩn của elip, ứng với tiêu 1 2 e điểm F2 (c;0). MF MF b. Tính chất: Với mọi điểm M thuộc (E) ta có 1 = 2 = e(e 1) d (M ;D 1 ) d (M ;D 2 ) II. Định nghĩa ba đường cônic MF Cho điểm F cố định và đường thẳng D cố định không đi qua F. Tập hợp các điểm M sao cho tỉ số bằng d (M ;D ) một số dương e cho trước được gọi là ba đường cônic Điểm F gọi là tiêu điểm, D được gọi là đường chuẩn và e gọi là tâm sai của đường cônic. Chú ý: Elip là đường cônic có tâm sai e 1 B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI. DẠNG 1. Nhận dạng cônic và xác định tiêu điểm, đường chuẩn của các đường cônic. 1. Phương pháp giải. • Để nhận dạng đường cônic ta dựa vào tâm sai: đường cônic có tâm sai e 1 là hypebol. • Từ phương trình của đường cônic ta xác định được dạng của nó từ đó xác định được tiêu điểm và đường chuẩn của nó. 2. Các ví dụ. Ví dụ 1: x 2 y2 a) Xác định tiêu điểm của + = 1. 5 4 A. F1 (- 1;0) B. F2 (1;0)
2. C. F2 (1;0),F1 (- 1;0) D. F2 (2;0),F1 (- 2;0) x 2 y2 Xác định đường chuẩn của + = 1 5 4 A. x + 6 = 0 hoặc x - 5 = 0 B. x + 6 = 0 hoặc x - 6 = 0 C. x + 7 = 0 hoặc x - 7 = 0 D. x + 5 = 0 hoặc x - 5 = 0 x 2 y2 b) Xác định tiêu điểm của - = 1. 7 10 A. F1 (- 17;0) B. F2 ( 17;0) C. F2 ( 17;0),F1 (- 17;0) D. F2 (2;0),F1 (- 2;0) x 2 y2 Xác định đường chuẩn của - = 1 7 10 7 7 A. x + = 0 hoặc x - = 0 B. x + 6 = 0 hoặc x - 6 = 0 17 17 C. x + 7 = 0 hoặc x - 7 = 0 D. x + 5 = 0 hoặc x - 5 = 0 c) Xác định tiêu điểm của y2 = 18x . æ 9 ö æ9 ö A. F ç- ;0÷ B. F ç ;0÷ èç 2 ø÷ èç2 ø÷ C. F2 ( 17;0),F1 (- 17;0) D. F2 (2;0),F1 (- 2;0) Xác định đường chuẩn của y2 = 18x 9 A. x + = 0 B. x + 7 = 0 C. x - 7 = 0 D. x + 5 = 0 2 Lời giải: a) Dễ thấy đây là phương trình chính tắc của đường elip ïì a2 = 5 ïì ï a = 5 2 2 2 c 1 Ta có íï Þ í Þ c = a - b = 5 - 4 = 1 do đó c = 1, tâm sai e = = ï b2 = 4 ï b = 2 a îï îï 5 5 Vậy ta có tiêu điểm là F (- 1;0) tương ứng có đường chuẩn có phương trình là x + = 0 hay x + 5 = 0 1 1 5 5 và tiêu điểm là F (1;0) tương ứng có đường chuẩn có phương trình là x - = 0 hay x - 5 = 0. 2 1 5
3. b) Đây là phương trình chính tắc của đường hypebol 2 ì ïì a = 7 ï a = 7 c 17 Ta có íï Þ íï Þ c2 = a2 + b2 = 17 do đó c = 17 , tâm sai e = = ï b2 = 10 ï b = 10 a 7 îï îï 7 Vậy ta có tiêu điểm là F1 (- 17;0) tương ứng có đường chuẩn có phương trình là x + = 0 hay 17 7 7 7 x + = 0 và tiêu điểm là F2 ( 17;0) tương ứng có đường chuẩn có phương trình là x - = 0 hay 17 17 7 7 x - = 0 . 17 c) Đây là phương trình chính tắc của parabol Ta có 2p = 18 Þ p = 9 æ9 ö 9 Vậy tiêu điểm là F ç ;0÷, đường chuẩn có phương trình là x + = 0. èç2 ø÷ 2 Ví dụ 2: Cho cônic có tiêu điểm F (- 1;1), đi qua điểm M (1;1) và đường chuẩn D : 3x + 4y - 5 = 0. Cônic này là elip, hypebol hay là parabol? A.elipB.hypebolC.parabolD.Đường tròn Lời giải: 3 + 4 - 5 2 Ta có MF = 2, d (M ;D ) = = 32 + 42 5 MF Suy ra = 5 > 1 suy ra đây là elip d (M ;D ) DẠNG 2. Viết phương trình đường cônic. 1. Phương pháp giải. • Dựa vào các dạng của đường cônic mà giả thiết đã cho để viết phương trình • Dựa vào định nghĩa của ba đường cônic 2. Các ví dụ. Ví dụ 1: Cho đường thẳng D : x - y + 1 = 0 và điểm F (1;0). Viết phương trình của đường cônic nhận F làm tiêu điểm và D là đường chuẩn trong mỗi trường hợp sau a) Tâm sai e = 3 A. 2x 2 + y2 - xy + 10x - 6y + 1 = 0 B. x 2 + y2 - 6xy + 10x - 6y + 1 = 0 C. x 2 + y2 - xy + 10x - 6y + 1 = 0 D. 2x 2 + y2 - 6xy + 10x - 6y + 1 = 0
4. 1 b) Tâm sai e = 2 A. 3x 2 + 3y2 + 2xy - x + y + 3 = 0 B. 3x 2 + y2 + xy - 10x + 2y + 3 = 0 C. x 2 + y2 + xy - 10x + 2y + 3 = 0 D. 3x 2 + 3y2 + 2xy - 10x + 2y + 3 = 0 c) Tâm sai e = 1 A. 2xy - 4x + 2y + 3 = 0 B. 2xy - 4x + 2y - 2 = 0 C. 2xy + x + 2y = 0 D. 2xy - 4x + 2y = 0 Lời giải: Gọi M (x;y ) là điểm thuộc đường cônic cần tìm. Khi đó theo định nghĩa ta có MF = e Û MF = e.d (M ;D ) (*). d (M ;D ) 2 x - y + 1 Ta có MF = (1- x ) + y2 , d (M ;D ) = 2 2 x - y + 1 a) Tâm sai e = 3 thì (* ) Û (1- x ) + y2 = 3. 2 Û 2(x 2 - 2x + 1 + y2 ) = 3(x 2 + y2 + 1- 2xy + 2x - 2y ) Û 2x 2 + y2 - 6xy + 10x - 6y + 1 = 0 Vậy phương trình đường cônic cần tìm là 2x 2 + y2 - 6xy + 10x - 6y + 1 = 0 1 2 1 x - y + 1 b) Tâm sai e = thì (* ) Û (1- x ) + y2 = . 2 2 2 Û 4(x 2 - 2x + 1 + y2 ) = x 2 + y2 + 1- 2xy + 2x - 2y Û 3x 2 + 3y2 + 2xy - 10x + 2y + 3 = 0 Vậy phương trình đường cônic cần tìm là 3x 2 + 3y2 + 2xy - 10x + 2y + 3 = 0 . 2 x - y + 1 c) Tâm sai e = 1 thì (* ) Û (1- x ) + y2 = 2 Û x 2 - 2x + 1 + y2 = x 2 + y2 + 1- 2xy + 2x - 2y Û 2xy - 4x + 2y = 0 Vậy phương trình đường cônic cần tìm là 2xy - 4x + 2y = 0. Ví dụ 2: Cho điểm A(0; 3) và hai đường thẳng D : x - 2 = 0, D ' : 3x - y = 0 a) Viết phương trình chính tắc đường elip có A là một đỉnh và một đường chuẩn là D
5. x 2 y2 x 2 y2 x 2 y2 x 2 y2 A. + = 1 B. + = 1 C. + = 1 D. + = 1 7 3 8 3 9 3 6 3 b) Viết phương trình chính tắc đường hypebol có D là một đường chuẩn và D ' là tiệm cận. x 2 y2 x 2 y2 x 2 y2 x 2 y2 A. - = 1 B. - = 1 C. - = 1 D. - = 1 4 36 4 360 40 36 40 360 Lời giải: x 2 y2 a) Gọi phương trình chính tắc elip là + = 1, a > b > 0 a2 b2 Vì A(0; 3) là một đỉnh của elip nên b = 3 a a2 elip có một đường chuẩn là D nên = 2 Û = 2 Û a2 = 2c (*) e c Ta lại có b2 = a2 - c Þ 3 = a2 - c Þ c = a2 - 3 thay vào (*) ta có a2 = 2(a2 - 3) Û a2 = 6 x 2 y2 Vậy phương trình chính tắc elip cần tìm là + = 1. 6 3 x 2 y2 b) Gọi phương trình chính tắc elip là - = 1,a > 0,b > 0 a2 b2 a a2 a2 Hypebol có một đường chuẩn là D nên = 2 Û = 2 Û c = (1) e c 2 b Hypebol có một đường tiệm cận là D ' nên = 3 Û b = 3a (2) a Mặt khác b2 = c2 - a2 (3) 2 2 4 2 æa ö a Thay (1), (2) vào (3) ta được (3a) = ç ÷ - a2 Û 10a2 = Û a2 (40 - a2 ) = 0 Û a2 = 40 èç 2 ø÷ 4 Suy ra b2 = 9a2 = 360 x 2 y2 Vậy phương trình chính tắc hypebol cần tìm là - = 1. 40 360 DẠNG 3. Sự tương giao gữa các đường cônic và với các đường khác. 1. Phương pháp giải. Cho hai đường cong f (x;y ) = a, g(x;y ) = b khi đó ïì f (x;y ) = a • Số giao điểm của hai đường cong trên chính là số nghiệm của hệ phương trình íï ï g x;y = b îï ( )
6. ïì f (x;y ) = a • Tọa độ giao điểm(nếu có) của hai đường cong là nghiệm của hệ íï ï g x;y = b îï ( ) 2. Các ví dụ. x 2 y2 x 2 y2 Ví dụ 1: Cho đường thẳng D : 2x - y + m = 0, elip (E): + = 1 và hypebol (H): - = 1 6 3 1 8 a) Với giá trị nào của m thì D cắt (E) tại hai điểm phân biệt ? A. - 3 0 Û - 3 3 < m < 3 3 . ì ï 2x - y + m = 0 ïì y = x + m ï 2 2 ï b) Xét hệ phương trình í x y Û í 2 2 ï - = 1 ï 7x - 2mx - m - 8 = 0(* ) îï 1 8 î Do ac = - 7.(m2 + 8) < 0 nên phương trình (*) có hai nghiệm trái dấu suy ra D cắt (H) tại hai điểm phân biệt có hoành độ trái dấu nhau Vậy D cắt (H) tại hai điểm phân biệt thuộc hai nhánh khác nhau của (H) ïì x 2 y2 ï + = 1 ï c) Tọa độ giao điểm của (E) và (H) là nghiệm của hệ: í 6 3 (I ) ï x 2 y2 ï - = 1 îï 1 8 ïì 22 ï x = ± ï Giải hệ (I) ta được íï 17 ï 10 ï y = ± 2 îï 17 Tọa độ giao điểm của (E) và (H) là nghiệm của hệ (I) nên thỏa mãn phương trình æx 2 y2 ö æx 2 y2 ö 62 27ç + ÷+ 4ç - ÷= 31 hay x 2 + y2 = èç 6 3 ø÷ èç 1 8 ø÷ 17
7. Vậy tọa độ giao điểm của (E) và (H) là æ 22 10 ÷ö æ 22 10 ÷ö æ 22 10 ö÷ æ 22 10 ÷ö M ç ;2 ÷, M ç- ;2 ÷, M ç ;- 2 ÷,M ç- ;- 2 ÷ và phương trình đường 1 ç ÷ 2 ç ÷ 3 ç ÷ 4 ç ÷ èç 17 17 ø÷ èç 17 17 ÷ø èç 17 17 ø÷ èç 17 17 ø÷ 62 tròn đi qua các điểm đó phương trình là x 2 + y2 = 17 x 2 y2 x 2 y2 Nhận xét: Để viết phương trình đường tròn qua giao điểm của (E) + = 1, (H) - = 1 a2 b2 a '2 b'2 a b a b ta chọn a,b sao cho + = - = k > 0, a + b > 0 khi đó phương trình đường tròn cần tìm là a2 a '2 b2 b'2 a + b x 2 + y2 = k x 2 y2 Ví dụ 2: Cho elip (E): + = 1 và điểm I(1; 2). Viết phương trình đường thẳng đi qua I biết rằng đường 16 9 thẳng đó cắt elip tại hai điểm A, B mà I là trung điểm của đoạn thẳng AB. A. x + 32y - 73 = 0 B. 9x + 3y - 73 = 0 C. 9x + 32y - 3 = 0 D. 9x + 32y - 73 = 0 Lời giải: r ïì x = 1 + at Cách 1: Đường thẳng D đi qua I nhận u (a;b) làm vectơ chỉ phương có dạng íï (với a2 + b2 ¹ 0) ï y = 2 + bt îï A, B Î D suy ra tọa độ A, B có dạng A = (1 + at1;2 + bt1) , B = (1 + at2;2 + bt2) . ì ì ï 2xI = xA + xB ï a(t1 + t2 ) = 0 I là trung điểm của AB khi và chỉ khi íï Û íï Û t + t = 0 (1) ï 2x = x + x ï b t + t = 0 1 2 îï I A B îï ( 1 2 ) (do a2 + b2 ¹ 0) A, B Î (E ) nên t1, t2 là nghiệm của phương trình (1 + at)2 (2 + bt)2 + = 1 Û (9a2 + 16b2 )t 2 + 2(9a + 32b)t - 139 = 0 16 9 Theo định lý Viet ta có t1 + t2 = 0 Û 9a + 32b = 0 Ta có thể chọn b = - 9 và a = 32. x - 1 y - 2 Vậy đường thẳng d có phương trình = hay 9x + 32y - 73 = 0 32 - 9 Cách 2: Vì I thuộc miền trong của elip (E ) nên lấy tùy ý điểm A(x;y) Î (E) thì đường thẳng IM luôn cắt (E) tại điểm thứ hai là B (x ';y '). ì ì ï 2xI = xA + xB ï x ' = 2 - x I là trung điểm điểm AB khi và chỉ khi íï Û íï Þ M '(2 - x;4 - y ) ï 2x = x + x ï y ' = 4 - y îï I A B îï
8. ïì x 2 y2 ï + = 1 ï M ,M ' Î (E) Û í 16 9 ï (2 - x)2 (4 - y)2 ï + = 1 îï 16 9 4 - 4x 16 - 8y Suy ra + = 0 hay 9x + 32y - 73 = 0 (*) 16 9 Tọa độ điểm M, I thỏa mãn phương trình (*) nên đường thẳng cần tìm là 9x + 32y - 73 = 0 x 2 y2 x 2 y2 Nhận xét: Bài toán tổng quát " Cho elip (E ) : + = 1(a > b > 0) và điểm I (x ;y ) với 0 + 0 0 Û m2 > Û m Î ç- ¥ ;- ÷È ç ;+ ¥ ÷ 4 9 9 èç 3ø÷ èç3 ø÷ æ1 m2 ö Tương tự từ phương trình D thế y = mx vào phương trình (H) ta được ç - ÷x 2 = 1 èç4 9 ø÷ Suy ra D ' cắt (H) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi 1 m2 9 æ 3 3ö - > 0 Û m2 < Û m Î ç- ; ÷ 4 9 4 èç 2 2ø÷
9. æ 3 2ö æ2 3ö Vậy D và D ' đều cắt (H) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi m Î ç- ;- ÷È ç ; ÷ èç 2 3ø÷ èç3 2ø÷ æ 3 2ö æ2 3ö b. Với m Î ç- ;- ÷È ç ; ÷ thì D và D ' cắt (H) tại bốn điểm phân biệt ( ) èç 2 3ø÷ èç3 2ø÷ æ ö æ ö ç - 6m 6 ÷ ç 6m - 6 ÷ Dễ dàng tìm được giao điểm D và (H) là Aç ; ÷; C ç ; ÷ và giao èç 9m2 - 4 9m2 - 4 ø÷ èç 9m2 - 4 9m2 - 4 ø÷ æ ö æ ö ç - 6 - 6m ÷ ç 6 6m ÷ điểm D ' và (H) là B ç ; ÷; D ç ; ÷ A đối xứng với C và B đối xứng èç 9 - 4m2 9 - 4m2 ø÷ èç 9 - 4m2 9 - 4m2 ÷ø với D qua gốc toạ độ O. Mặt khác D ^ D ' do đó tứ giác ABCD là hình thoi. 1 72(m2 + 1) Suy ra SABCD = AC.BD = 2 (9m2 - 4)(9 - 4m2 ) Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có 72(m2 + 1) 144.(m2 + 1) 144 SABCD = ³ = (9m2 - 4)(9 - 4m2 ) (9m2 - 4) + (9 - 4m2 ) 5 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 9m2 - 4 = 9 - 4m2 Û m = ± 1(thỏa mãn ( )) Vậy m = ± 1 thỏa mãn yêu cầu bài toán. Ví dụ 4: Trong mặt phẳng Oxy cho parabol (P): y2 = 8x . Đường thẳng D không trùng với trục Ox đi qua tiêu điểm F của (P) sao cho góc hợp bởi hai tia Fx và Ft là tia của D nằm phía trên trục hoành một góc bằng a (a ¹ 900 ). Chứng minh rằng D Cắt (P) tại hai điểm phân biệt M, N và tìm tập hợp trung điểm I của đoạn MN khi a thay đổi. Lời giải: Theo giả thiết ta có F (2; 0), đường thẳng D có hệ số góc k = tan a ïì y = (x - 2)tan a Suy ra D : y = (x - 2).tan a . Xét hệ phương trình íï (*) ï y2 = 8x îï Suy ra tan a.y2 - 8y - 16tan a = 0 ( ) D ' = 16 + 16tan2 a > 0 do đó phương trình ( ) luôn có hai nghiệm phân biệt, hệ phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt điều này chứng tỏ rằng D Cắt (P) tại hai điểm phân biệt. Gọi tọa độ hai giao điểm đó là M (xM ;yM ), N (xN ;yN ); I (xI ;yI ) là trung điểm của MN Theo định lý Viét ta có:
10. 8 y + y 4 y + y = > 0 Þ y = M N = . M N tan a I 2 tan a x + x 4 Mặt khác từ (*) ta có y + y = (x + x - 4)tan a Þ x = M N = + 2 M N M N I 2 tan2 a 2 æy ö Suy ra x = 4.ç I ÷ + 2 hay y2 = 4x + 8 I èç 4 ø÷ I I p2 Vậy tập hợp điểm I là đường cong có phương trình : y2 = px + .(Cũng gọi là Parapol) 2 Dạng 4. Các bài toán định tính về ba đường cônic. 1. Phương pháp giải. Dựa vào phương trình chính tắc của ba đường cônic và giả thiết để thiết lập và chứng minh một số các tính chất của ba đường cônic. 2. Các ví dụ. x 2 y2 Ví dụ 1: Trong mặt phẳng Oxy cho (E): + = 1 và hai điểm M, N thuộc (E) sao cho OM vuông góc với a2 b2 ON. Chứng minh rằng 1 1 1 1 a) + = + OM 2 ON 2 a2 b2 b) Đường thẳng MN luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định. Lời giải: a) + Dễ thấy một trong hai điểm trùng với bốn đỉnh của (E) thì đẳng thức hiển nhiên đúng + Nếu cả hai điểm không trùng với các đỉnh của (E): 1 Gọi M (x ;y ), N (x ;y ), k (k ¹ 0) là hệ số góc của đường thẳng OM thì hệ số góc của ON là - (vì M M N N k OM vuông góc với ON ). x 2 y2 x 2 y2 Do M , N Î (E ) nên M + M = 1 (1), N + N = 1 (2) a2 b2 a2 b2 Đường thẳng OM có phương trình là y = kx suy ra yM = kxM (3) 1 1 Đường thẳng ON có phương trình là y = - x suy ra y = - x (4) k N k N Thay (3) vào (1) suy ra
11. x 2 k2x 2 æ1 k2 ö a2b2 M + M = 1 Û x 2 ç + ÷= 1 Û x 2 = a2 b2 M èça2 b2 ø÷ M a2k2 + b2 k2a2b2 Þ y2 = k2x 2 = M M a2k2 + b2 a2b2 (k2 + 1) Do đó OM 2 = x 2 + y2 = M M a2k2 + b2 Tương tự thay (4) vào (2) suy ra 1 2 2 x 2 N æ ö 2 2 2 xN k 2 1 1 2 a k b + = 1 Û x ç + ÷= 1 Û x = a2 b2 N èça2 k2b2 ø÷ N a2 + k2b2 1 a2b2 Þ y2 = x 2 = N k2 N a2 + k2b2 a2b2 (k2 + 1) Do đó ON 2 = x 2 + y2 = N N a2 + k2b2 1 1 b2 + k2a2 a2 + k2b2 (a2 + b2 )(k2 + 1) 1 1 Suy ra + = + = = + . OM 2 ON 2 a2b2 (k2 + 1) a2b2 (k2 + 1) a2b2 (k2 + 1) a2 b2 1 1 1 1 Vậy + = + OM 2 ON 2 a2 b2 b) Gọi H là hình chiếu của O lên đường thẳng MN khi đó OH là đường cao của tam giác vuông MON. Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có 1 1 1 1 1 ab = + = + Û OH = OH 2 OM 2 ON 2 a2 b2 a2 + b2 ab Suy ra MN luôn tiếp xúc với đường tròn cố định tâm O bán kính . a2 + b2 x 2 y2 Ví dụ 2. Cho hypebol (H): - = 1 có các tiêu điểm F , F . Lấy M là điểm bất kì trên (H). Chứng minh a2 b2 1 2 rằng tích khoảng cách từ M đến hai đường tiệm cận là hằng số. Lời giải: Phương trình hai đường tiệm cận của (H) là: b D : y = x hay bx - ay = 0 1 a
12. b D : y = - x hay bx + ay = 0 2 a Giả sử M (xM ;yM ) khi đó theo công thức khoảng cách từ một điểm tới đường thẳng ta có bxM - ayM bxM + ayM d (M ;D 1 ) = ; d (M ;D 2 ) = a2 + b2 a2 + b2 bx - ay bx + ay 2 2 2 2 M M M M b xM - a yM Suy ra d (M ;D 1 )d (M ;D 2 ) = . = a2 + b2 a2 + b2 a2 + b2 x 2 y 2 Mặt khác M thuộc (H) nên : M - M = 1 hay b2x 2 - a2y2 = a2b2 a2 b2 M M a2.b2 Do đó d (M ;D )d (M ;D ) = là hằng số 1 2 a2 + b2 Ví dụ 3. Cho parabol (P):y2 = 2ax . Đường thẳng D bất kỳ đi qua tiêu điểm F có hệ số góc k (k ¹ 0) cắt (P) tại M và N. Chứng minh rằng tích khoảng cách từ M và N đến trục Ox là hằng số. Lời giải: æ a ö Tiêu điểm F (a;0). Vì đi qua tiêu điểm F có hệ số góc k ¹ 0 nên có phương trình: D : y = k çx - ÷ èç 2ø÷ Hoành độ giao điểm của D và (P) là nghiệm của phương trình: 2 æ a ö k2 çx - ÷ = 2ax Û 4k2x 2 - 4(2a + k2a)x + k2a2 = 0 (*) èç 2ø÷ 2 D ' = 4(2a + k2a) - 4k 4a2 = 16a2 (1 + k2 ) > 0 a2 Theo định lý Viet có x .x = M N 4 Mặt khác ta có d (M ;Ox ) = yM ; d (N;Ox ) = yN 2 2 Suy ra d (M ;Ox ).d (N;Ox ) = yM .yN = 4a xM .xN = a