Đề cương ôn tập học kỳ II môn Toán Lớp 11 - Năm học 2013-2014

Nội dung text: Đề cương ôn tập học kỳ II môn Toán Lớp 11 - Năm học 2013-2014

1. ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP HỌC KỲ II NĂM 2013 – 2014 MÔN: TOÁN 11 A. Giải tích Bài 1. Tìm các giới hạn sau 6n3 2n2 3 2n 1 a. lim b. lim c. lim(n2 3n 1 n ) n3 3n 2 n2 3 d. lim( 3 n3 6n2 4n n ) e. lim(2n 3 n 1 ) f. lim(n2 n 3 n ) 1 3n 4.3n 7n 1 4n 1 6n 2 g. lim h. lim i. lim 4 3n 2.5n 7n 5n 8n Bài 1. Tìm các giới hạn sau x2 3x x2 5x 4 x3 3x2 9x 2 2 x a. lim b. lim c. lim d. lim x 1 x3 2 x 4 x 4 x 2 x3 x 6 x 2 x 7 3 3x 5 1 3 1 4x 1 x x 1 x 4 3 e. lim f. lim g. lim h. lim x 2 x 2 x 0 x x 0 3 x 1 1 x 0 x x2 3x 3 2x2 15 x2 5x 3 2x3 3x i. lim j. lim k. lim ℓ. lim x 2 x 2 x 3 x2 9 x 1 (x 1)2 x x3 1 9x 4x3 x2 3x 2x m. lim n. lim o. lim ( x2 2x 3 x) x 3 2x2 x 3x 1 x p. lim ( x2 x 1 x2 x 1) q. lim ( x3 x2 x 1) r. lim 3x2 5x x x x Bài 2. Xác định m để hàm số có giới hạn tại xo. mx 1 x 2 mx x 0 a. f (x) x 2 2 tại xo = 2 b. f (x) x2 1 1 tại xo = 0 x 2 x 0 x 2 x Bài 3. Xét sự liên tục của hàm số x3 x 6 2 x 2 x 3x 4 x 1 x2 x 2 a. f(x) = tại xo = 1 b. f(x) = tại xo = 2 2x 3 x 1 11 x 2 3 x 3 2 2 x 1 x 1 x 1 x 1 c. f(x) = tại xo = 1 d. f(x) = x 1 tại xo = 1 1 x 1 x 2 x 1 4 Bài 4. Tìm m hoặc a để hàm số liên tục. 1 x 1 x 2 x 0 x x 2 x khi x 2 a. f(x) = tại xo = 0 b. f(x) = x 2 tại xo = –2 4 x a x 0 2x 4m khi x 2 x 2 x3 x2 2x 2 x 1 c. f(x) = x 1 liên tục trên R. 3x 5m x 1 x2 1 x 1 d. f(x) = x 1 liên tục trên R. 1 m x 1 Bài 5. Chứng minh rằng phương trình x5 – 5x³ + 4x – 1 = 0 có 5 ngiệm trên (–2; 2).
2. Bài 6. Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có ngiệm với mọi giá trị của tham số m: a. m(x – 1)³(x – 2) + 2x – 3 = 0 b. x4 + mx² – 2mx – 2 = 0 Bài 7. Tìm đạo hàm a. y = x³ – 3x + 1 b. y = x4 – 8x² + 12 c. y = (x² + x)(5 – 3x²) d. y = (2x² + 5)³ 2x 3 2x2 6x 5 3 e. y = x2 3x 2 f. y = g. y = h. y = x 2 2x 4 (x2 x 1)3 3 1 i. y = x1 x2 j. y = 6 x k. y = ℓ. y = sin² 2x – 2cos 2x x x2 2x m. y = 3sin (3x – 2) – 4cos 2x. n. y = sin 2x cos 3x o. y = sin 2x 1 p. y = 2sin 2x q. y = 3sin² x + 2cos³ x r. y = (1 + tan x)² s. y = cos x sin² x 1 sin x t. y = u. y = tan³ 2x + 3tan (2x – π/4) v. y = 2 tan2 x 2 sin x Bài 8. Cho hàm số: y = x³ + 4x + 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị trong các trường hợp sau a. Tại điểm có hoành độ xo = 1 b. Tiếp tuyến có hệ số góc k = 31 c. Tiếp tuyến Song song với đường thẳng d: y = 7x + 3 1 d. Vuông góc với đường thẳng Δ: y = –x 5 . 16 B. Hình học Bài 9. Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O; SA vuông góc với (ABCD); SA = a6 . Gọi AM, AN lần lượt là các đường cao của tam giác SAB và SAD. a. Chứng minh rằng các mặt bên của chóp là các tam giác vuông. Tính tổng diện tích các tam giác đó. b. Gọi P là trung điểm của SC. Chứng minh rằng OP vuông góc với (ABCD). c. Chứng minh BD vuông góc với (SAC), MN vuông góc với (SAC). d. Chứng minh SC vuông góc với (AMN). e. Tính góc tạo bởi SC và mặt phẳng (ABCD). Bài 10. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, SA vuông góc với (ABC). Kẻ AH, AK lần lượt vuông góc với SB, SC tại H và K, có SA = AB = a. a. Chứng minh rằng tam giác SBC vuông. b. Chứng minh tam giác AHK vuông và tính diện tích tam giác AHK. c. Tính góc giữa AK và (SBC). Bài 11. Cho tứ diện ABCD có (ABD) vuông góc với (BCD), tam giác ABD cân tại A; M, N lần lượt là trung điểm của BD, BC. a. Chứng minh AM vuông góc với (BCD) b. Chứng minh rằng (ABC) vuông góc với (BCD) c. Kẻ MH vuông góc với AN, chứng minh MH vuông góc với (ABC) Bài 12. Chi tứ diện ABCD, tam giác ABC và ACD cân tại A và B; M là trung điểm của CD. a. Chứng minh rằng (ACD) vuông góc với (BCD) b. Kẻ MH vuông góc với BM tại H, chứng minh rằng AH vuông góc với (BCD) c. Kẻ HK vuông góc với AM tại K, chứng minh rằng HK vuông góc với (ACD) Bài 13. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là một hình thang vuông có BC là đáy bé và góc ACD = 90°. a. Chứng minh rằng tam giác SCD, SBC vuông b. Kẻ AH vuông góc với SB, chứng minh AH vuông góc với (SBC) c. Kẻ AK vuông góc với SC, chứng minh AK vuông góc với (SCD) Bài 14. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a; SA = SB = SC = SD = a2 ; O là tâm của hình vuông ABCD. a. Chứng minh rằng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với (ABCD). b. Chứng minh rằng (SAC) vuông góc với (SBD) c. Tính khoảng cách từ S đến (ABCD) d. Tính góc giữa đường SB và (ABCD). e. Gọi M là trung điểm của CD, hạ OH vuông góc với SM, chứng minh H là trực tâm tam giác SCD f. Tính góc tạo bởi hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD)
3. g. Tính khoảng cách giữa SM và BC; SM và AB. Bài 15. Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với (ABCD) và SA = a; đáy ABCD là hình thang vuông có đáy bé là BC, biết AB = BC = a, AD = 2a. a. Chứng minh các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông b. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SD. c. Gọi M, H lần lượt là trung điểm của AD, SM. Chứng minh rằng AH vuông góc với (SCM) d. Tính góc giữa SD và (ABCD); SC và (ABCD) e. Tính góc giữa SC và (SAD) f. Tính tổng diện tích các mặt của chóp. Bài 16. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc nhau và OA = OB = OC = a. a. Chứng minh các mặt phẳng (OBC), (OAC), (OAB) đôi một vuông góc nhau b. Gọi M là trung điểm của BC, chứng minh rằng (ABC) vuông góc với (OAM) c. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng OA và BC. d. Tính góc giữa (OBC) và (ABC) e. Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC) Bài 17. Cho chóp OABC có OA = OB = OC = a; góc AOC = 120°; góc BOA = 60°; góc BOC = 90°. a. Chứng minh ABC là tam giác vuông b. Gọi M là trung điểm của AC. Chứng minh tam giác BOM là tam giác vuông c. Chứng minh rằng (OAC) vuông góc với (ABC) d. Tính góc giữa (OAB) và (OBC) Bài 18. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân đỉnh C, CA = CB = 2a, hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) vuông góc với mặt đáy, cạnh SA = a. Gọi D là trung điểm của AB. a. Chứng minh rằng (SCD) vuông góc với (SAB) b. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) c. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) Bài 19. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD b. Tính góc giữa câc cạnh bên và mặt đáy c. Tính góc giữa các mặt bên và mặt đáy d. Chứng minh các cặp cạnh đối vuông góc nhau. Bài 20. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’; gọi M, N lần lượt là trung điểm của BB’ và A’B’. a. Tính d(BD, B’C’) b. Tính d(BD, CC’), d(MN, CC’) Bài 21. Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có AB = BC = a; AC = a 2 a. Chứng minh BC vuông góc với AB’. b. Gọi M là trung điểm của AC, chứng minh rằng (BC’M) vuông góc với (ACC’A’) c. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BB’ và AC. Bài 22. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC vuông tại C, CA = a; CB = b, mặt bên AA’B’B là hình vuông. Từ C kẻ đường thẳng CH vuông góc với AB, kẻ HK vuông góc với AA’. a. Chứng minh rằng BC vuông góc với CK, AB’ vuông góc với (CHK) b. Tính góc giữa hai mặt phẳng (AA’B’B) và (CHK) c. Tính khoảng cách từ C đến (AA’B’B)