Đề khảo sát chất lượng học sinh giỏi tháng 11 môn Toán Lớp 11 - Năm học 2015-2016 - Trường THPT Liễn Sơn (Có đáp án)

Nội dung text: Đề khảo sát chất lượng học sinh giỏi tháng 11 môn Toán Lớp 11 - Năm học 2015-2016 - Trường THPT Liễn Sơn (Có đáp án)

1. TRƯỜNG THPT LIỄN SƠN ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HSG TOÁN 11 NĂM HỌC : 2015 – 2016 THÁNG 04 NĂM 2016 Thời gian làm bài : 180 phút u1 3 Câu 1. (2.0 điểm) Cho dãy số un xác định bởi un 21 * . Tính u2017 . un 1 , n N 1 1 2 u n * Câu 2. (1.5 điểm) Tìm nN thỏa mãn : 123 PPPnPP1232016 n , với Pn là số các hoán vị của tập hợp có n phần tử. 3xy x 2 . 2 x y y Câu 3. (1.5 điểm) Giải hệ phương trình : 23xy 2 2 y. 2 x y 4 x y Câu 4. (1.5 điểm) Cho hình chóp S.ABC có SC vuông góc với mặt phẳng ABC và tam giác ABC vuông tại B. Biết ABaACa ,3 và góc giữa hai mặt phẳng SABSAC , 13 bằng với sin . Tính độ dài SC theo a. 19 Câu 5. (1.5 điểm) Trong mặt phẳng O x y , cho hình thang ABCD vuông tại A và D, có CD 22 AB AD. Gọi E là điểm thuộc đoạn AB sao cho ABAE 3 , điểm F thuộc đoạn BC sao cho tam giác DEF cân tại E. Biết E 2 ;4 , đường thẳng EF có phương trình 280xy và đỉnh D thuộc đường thẳng 380xy . Tìm tọa độ các đỉnh của hình thang ABCD. Câu 6. (1.0 điểm) Cho abc,, là các số thực dương thỏa mãn abc 6 . Tìm giá trị lớn abc 5 ab 9 bc 8 ca nhất của biểu thức : Q 4a 3 b 5 b 4 c 3 c 5 a HẾT
2. ĐÁP ÁN KHẢO SÁT HSG TOÁN 11 THÁNG 04 NĂM 2016 CÂU NỘI DUNG VẮN TẮT ĐIỂM Câu 1 u1 3 Cho dãy số un xác định bởi un 21 * unNn 1 , 112 u n Tính u2017 . 2.0 Chứng minh được : ta n 2 1 8 un tan Ta được : u 8 n 1 1.tan u n 8 Chứng minh bằng qui nạp được unn tan1 38 Vậy u2017 tan 2016. tan 3 3 8 3 Câu 2 * Tìm nN thỏa mãn : 123 PPPnPP1232016 n , với Pn là số các hoán vị của tập hợp có n phần tử. * 1.5 Ta có Pk P k 11 k! k 1 ! k 1 !. k 1 k 1 . P k  k N Áp dụng đẳng thức trên, ta có PPP211 1 PPP322 2 PPP433 3 PPnPnnn 1 Suy ra : Pnn 1 1 P 1 2 P 2 3 P 3 nP P 2016 n 2015 Câu 3 3xy x 2 . 2 x y 1 y Giải hệ phương trình : 23xy 2 2 y. 2 x y 4 x 2 y
3. 3xy 1.5 ĐK : y 0, 0 y xxx 1 2 13.2.1 x a yyyy y Hệ Đặt , ta có hệ 2 1 xxx 1 b 13.214 y yyyy abaa 21321 2 13241 aaab abaaaab21.13224 2 abaa211320 ab 12 132 aa x 2 abxy 1212 thay vào 1 được yy 3 23 2yy 2 y yyy. 12 22.11 yyy 2 y 2 0 22 yy y 4. 7. 0 yy 27 y y 4 y 2 x o 8 14 yx 11 11 Thử lại chỉ có xy; 0;2 thỏa mãn 1 34aa2 1 321aaax y a 0 Thay vào 1 được 2 x 2 x x 4 y 4 Kết luận : Hệ đã cho có hai nghiệm x;0;2 yx y ,;4;4 Câu 4 Cho hình chóp S.ABC có SC vuông góc với mặt phẳng ABC và tam giác ABC vuông tại B. Biết AB a,3 AC a và góc giữa hai mặt phẳng 13 SAB , SAC bằng với sin . Tính độ dài SC theo a. 19
4. S 1.5 H K C A B Gọi H, K là hình chiếu của C lên SA, SB. Ta chứng minh được CK  (SAB), SA  (CHK) . Suy ra C H K vuông tại K và SA  KH . Do đó C H K . Đặt SC x 0 . Trong tam giác vuông SAC ta có 1 1 1 3a 2 x2 CH 2 . CH 2 CA2 CS 2 3a 2 x2 2a 2 x2 Tương tự, trong tam giác vuông SBC ta có CK 2 . 2a 2 x2 22 131313CK 2 23 ax sin 191919CH 2 32 ax22 xa6 Vậy S C a 6 Câu 5 Trong mặt phẳng O x y , cho hình thang ABCD vuông tại A và D, có CDABAD 22. Gọi E là điểm thuộc đoạn AB sao cho ABAE 3 , điểm F thuộc đoạn BC sao cho tam giác DEF cân tại E. Biết E 2 ;4 , đường thẳng EF có phương trình 280xy và đỉnh D thuộc đường thẳng 380xy . Tìm tọa độ các đỉnh của hình thang ABCD.
5. P 1.5 E B A F D C Gọi P là điểm đối xứng với D qua A. Do B A A D A P nên D B P vuông tại B, D B C vuông tại B, suy ra P, B, C thẳng hàng. Vì E P E D E F nên E là tâm đường tròn ngoại tiếp P D F AEDDFPDEBF nội tiếp DEFDBF 900 D E E F Phương trình DExyD:2602;2 DEADAEAEAE22222 102 A a;8 3 a , AE2 2 A 1;5 EBEAB 24;2 DCABC 24;4 Câu 6 Cho abc,, là các số thực dương thỏa mãn abc 6 . Tìm giá trị lớn nhất abcabbcca 598 của biểu thức : Q 435435abbcca x,,0 y z 1.0 345 Đặt xyz ,, 345 abc 6 xyz 9 8 5 32x y z Q abc 3 4 4 5 5 3 x y y z z x a b b c c a 3 3x 2 y z 3.Q . y z x y x z 13 2 x y x z 3.Q 2 y z x y x z 1 1 3 2 2 x y y z z x
6. 1113322 8 xyyzzx 1345133 .6 Q 88416 xyz 35 Dấu = xảy ra khi xyzabc;;2;2;2;;;2; 22 3 Vậy m a xQ đạt được khi abc; ; 2 ;2 ;2 16