Đề kiểm tra chọn đội tuyển chính thức dự thi học sinh giỏi Quốc gia môn Toán năm 2019 - Sở giáo dục và đào tạo Quảng Bình (Có đáp án)

Nội dung text: Đề kiểm tra chọn đội tuyển chính thức dự thi học sinh giỏi Quốc gia môn Toán năm 2019 - Sở giáo dục và đào tạo Quảng Bình (Có đáp án)

1. SỞ GD&ĐT QUẢNG BÌNH KỲ KIỂM TRA CHỌN ĐỘI TUYỂN CHÍNH THỨC DỰ THI HSG QUỐC GIA NĂM 2019 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi thứ nhất: 21/08/2018. u1 1 Câu 1. (5 điểm) Cho dãy số un thỏa mãn 1 * u 1  n . n 1 un 1 a) Chứng minh rằng: dãy số có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó. 2018 2 b) Chứng minh rằng: uk 4036. k 1 Câu 2: (5 điểm) Cho tam giác ABC nhọn AB AC có H là trực tâm, nội tiếp đường tròn (O). BE, CF là các đường cao của tam giác ABC(,)E AC F AB . Đường thẳng EF cắt BC tại G, đường thẳng AG cắt đường tròn (O) tại M. a) Gọi T là trung điểm của BC. Chứng minh: GH AT . b) Lấy điểm P nào đó trên tia BC (P nằm ngoài đoạn BC). Đường tròn (O) cắt AP tại I và cắt đường tròn đường kính AP tại Q (I, Q đều khác A). AQ cắt BC tại J. Chứng minh rằng: đường thẳng IJ luôn đi qua một điểm cố định. n n 1 n 2 Câu 3. (5 điểm) Cho P( x ) x an 1 x a n 2 x a 1 x a 0 là đa thức với hệ số thực, n là số nguyên dương chẵn và có n nghiệm thực (không nhất thiết phân biệt). Giả sử y là số thực dương thỏa mãn với mọi số thực t y thì P( t ) 0 . Chứng minh rằng: nP(0) n P ( y ) y . Câu 4. (5 điểm) Cho 2018 số nguyên dương a1, a 2 , , a 2018 và số nguyên a 1 sao cho 2019 a chia hết cho a1. a 2 a 2018 . Chứng minh rằng: a a 1 không chia hết cho a a1 1 a a 2 1 a a 2018 1 . HẾT
2. SỞ GD&ĐT QUẢNG BÌNH KỲ KIỂM TRA CHỌN ĐỘI TUYỂN CHÍNH THỨC DỰ THI HSG QUỐC GIA NĂM 2019 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi thứ nhất: 21/08/2018. HƯỚNG DẪN CHẤM (Đáp án, hướng dẫn này có 6 trang) Yªu cÇu chung * Đáp án chỉ trình bày một lời giải cho mỗi bài. Trong bài làm của học sinh yêu cầu phải lập luận lô gic chặt chẽ, đầy đủ, chi tiết và rõ ràng. * Trong mỗi bài, nếu học sinh giải sai ở bước giải trước thì cho điểm 0 đối với những bước giải sau có liên quan. Ở câu hình, nếu học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai thì cho điểm 0. * Điểm thành phần của mỗi bài nói chung phân chia đến 0,5 điểm. Đối với điểm thành phần lớn hơn 0,5 điểm thì tuỳ tổ giám khảo thống nhất để chiết thành từng 0,5 điểm. * Học sinh có lời giải khác đáp án (nếu đúng) vẫn cho điểm tối đa tuỳ theo mức điểm của từng bài. * Điểm của toàn bài là tổng (không làm tròn số) của điểm tất cả các bài BÀI NỘI DUNG ĐIỂM u1 1 Cho dãy số un thỏa mãn 1 * u 1  n . n 1 un 1 5,0 Câu 1 a) Chứng minh: dãy số có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó. điểm 2018 2 b) Chứng minh rằng: uk 4036. k 1 2,5 1a điểm
3. Từ cách cho dãy số ta có: u 0,  n * n 3 7 17 Ta có u ;; u u u u 22 3 5 1 4 12 2 1 Xét hàm số f( x ) 1 , ta có f x liên tục và nghịch biến trên x 1 1,0 0; 1 f ( x ) 2,  x 0. 1 * Ta có un 1 1 f ( u n ),  n ()un bị chặn. 1 un uu1 3 f(u 1 ) fu ( 3 ) uu 2 4 fu ( 2 ) fu ( 4 ) uu 3 5 suy ra dãy()u2n 1 tăng và dãy()u2n giảm. 0,5 Theo tiêu chuẩn Weierstrass suy ra (u2n 1 ),( u 2 n ) là các dãy hội tụ. Giả sử limu2n a ; lim u 2 n 1 b ( a , b  1;2 ) Do hàm f liên tục nên: 0,5 Từ u2n 1 f( u 2 n ) lim u 2 n 1 lim f ( u 2 n ) b f ( a ) Từ u2n 2 f( u 2 n 1 ) lim u 2 n 2 lim f ( u 2 n 1 ) a f ( b ) . 1 b 1 1 a Giải hệ phương trình a b 2 . 1 a 1 0,5 1 b Vậy limun 2 . 2,5 1b điểm Từ giả thiết, ta thấy un 1,  n 1. 2 2 0,5 2 1 2 un Mà un 1 2 1 2 2 . un 1 un 1 2 2 Do đó : un 1 2 u n 2. 0,5 2 2 Ta lại có u1 1 suy ra un 2 nếu n lẻ; un 2 nếu n chẵn. 0,5
4. 2 0,5 22 un 2 Với mọi n lẻ ta có un 1 2 2 2 u n . un 1 2 2 un u n 1 4 . 2018 2 2 2 2 2 2 2 Do đó uk u1 u 2 u 3 u 4 u 2017 u 2018 1009.4 k 1 0,5 2018 2 uk 4036. k 1 Câu 2 Cho tam giác ABC nhọn AB AC có H là trực tâm, nội tiếp 5,0 điểm đường tròn (O). BE, CF là các đường cao của tam giác ABC (,)E AC F AB . Đường thẳng EF cắt BC tại G, đường thẳng AG cắt (O) tại M. a) Gọi T là trung điểm của BC. Chứng minh GH AT . b) Lấy điểm P nào đó trên tia BC( P nằm ngoài đoạn BC). Đường tròn (O) cắt AP tại I và cắt đường tròn đường kính AP tại Q ( I, Q đều khác A). AQ cắt BC tại J. Chứng minh rằng: đường thẳng IJ luôn đi qua một điểm cố định. 2a 2,5 điểm A L E M F H O I D G B J K T C P Q R
5. Ta có tứ giác BCEF nội tiếp nên GE GF GB GC GM GA 0,5 Mặt khác GB GC GM GA 0,5 Từ đó suy ra GE GF GM GA Do đó tứ giác AMFE nội tiếp Hơn nữa ta có tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn đường kính AH nên M 0,5 nằm trên đường tròn đường kính AH hay MH MA Gọi R là giao điểm của MH với (O) ta có AMR 900 nên AR là đường 0,5 kính của (O) suy ra tứ giác HBRC là hình bình hành Do đó HR cắt BC tại trung điểm của BC hay M, H ,T thẳng hàng. 0,5 Vậy H là trực tâm của tam giác AGT nên GH AT . 2b 2,5 điểm Gọi K là giao điểm của IJ với (O). Ta chứng minh K cố định. Thật vậy: 0,5 Gọi D là giao điểm của AH với BC, Gọi L là giao điểm của KD với (O) ( L khác K) 0,5 vì ADP 900 suy ra D thuộc đường tròn đường kính AP 0,5 Ta có QDJ QAP QAI QKI QKJ suy ra tứ giác DKQJ nội tiếp 0,5 Do đó JDL KQJ KQA KLA suy ra AL//BC nên L cố định Mặt khác D cố định nên K cố định. 0,5 Cho P( x ) xn a x n 1 a x n 2 a x a là đa thức với hệ số thực, n 1 n 2 1 0 Câu 3 n là số nguyên dương chẵn và có n nghiệm thực (không nhất thiết 5,0 phân biệt). Giả sử y là số thực dương thỏa mãn với mọi số thực điểm t y thì P( t ) 0 . Chứng minh rằng: nP(0) n P ( y ) y .
6. Gọi x1, x 2 , , xn là n nghiệm của P x . Nếu tồn tại i 1,2, , n sao cho xi y thì P xi 0 (mâu thuẫn vì xi là nghiệm của P x ) 1,0 Vậy ta có 0 y x ( i 1, n ) i Theo định lý Bezout,ta có: P x x x x x x x . 1 2 n Vì n chẵn nên: 1,5 P0 1n x x x x x x 0 1 2n 1 2 n Py yxyx 1 2 yx n xyxy 1 2 xy n 0 Ta cần chứng minh: 1,0 n n x1 x 2 xn y x 1 y x 2 y x n y Áp dụng BĐT Minkowski thứ II ta có: n n xxx1 2 n yxyyxy 1 2 yxy n 1,0 n n n n y xyxyxyy1 2 n xyxyxy 1 2 n Suy ra điều phải chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi x1 x 2 xn 0,5 Câu 4 Cho 2018 số nguyên dương a1, a 2 , , a 2018 và số nguyên a > 1 sao cho a 2019 5,0 chia hết cho a1. a 2 a 2018 . Chứng minh rằng a a 1 không chia điểm hết cho a a1 1 a a 2 1 a a 2018 1 Ta chứng minh bài toán trong trường hợp thay số 2018 bởi số n nguyên dương bất kì. n 1 Giả sử a a1 1 a a 2 1 a an 1 a a 1, khi đó tồn tại k nguyên n 1 dương để a a 1 k a a1 1 a a 2 1 a an 1 1 1,0 Ta chứng minh k =1. Thật vậy Xét theo mod a 1 , ta có an 1 a 1  1 mod a 1 và kaa 1 1 aa 2 1 aa n 1  kaaa 1 2 n mod a 1
7. Do đó ka1 a 2 an  1 mod a 1 2 . Dễ thấy k a Nếu k a 1 thì VP 1 a 1 an a n 1 a 1 (mâu thuẫn). Suy ra k 1;2; ; a 1 1,0 Theo giả thiết a1 a 2 an ; a 1 1 nên chỉ có duy nhất k 1;2; ; a 1 thỏa a mãn (2) và dễ thấy k a1 a 2 an Nếu k > 1 thì k; a k 1, mà VT 1  1 mod a nên mâu thuẫn. 1,0 Do đó k = 1 Khi đó a a a a và an 1 a 1 a a 1 a a 1 a a 1 1 2 n 1 2 n Từ đó suy ra 1,0 aaaa 1 1 aa  1 1 mod aaa 1 1 a 1 1  a 1 2n 1 2 n Mặt khác a1 1 a 2 1 an 1 1 a . Dấu đẳng thức xảy ra khi n = 1 và a a 1 1,0 Khi đó a2 a 1 2 a 1 a 1 (vô lý). Bài toán được chứng minh. Xét trường hợp n = 2018, ta có điều phải chứng minh cho bài toán.
8. SỞ GD&ĐT QUẢNG BÌNH KỲ KIỂM TRA CHỌN ĐỘI TUYỂN CHÍNH THỨC DỰ THI HSG QUỐC GIA NĂM 2019 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi thứ hai: 22/08/2018. Câu 5: (6 điểm) Tìm tất cả các hàm số f : thỏa mãn hệ thức fxy()()()()()() fxy fx fy fxfy với mọi số thực x,y. Câu 6: (7 điểm) Cho tam ABC có M là trung điểm BC . Gọi DEF,, lần lượt là tiếp điểm của đường tròn ()I nội tiếp tam giác ABC với các cạnh BC, CA và AB . Đường thẳng EF cắt các đường thẳng BI, CI và AM lần lượt tại XY, và N . a) Giả sử BC, cố định và A thay đổi trong mặt phẳng sao cho BAC không đổi(00 180 0 ) . Chứng minh: độ dài đoạn thẳng XY không đổi. b) Giả sử tam giác ABC không cân. Chứng minh: ba điểm NID,, thẳng hàng và NX AC . NY AB Câu 7. (7 điểm) Cho số nguyên dương n 2. Điền các số 1,2,3, ,n2 vào tất cả các ô vuông của một bảng vuông kích thước n n , mỗi số một ô vuông. Chứng minh rằng: tồn tại hai ô vuông kề nhau (có chung một cạnh) mà hiệu hai số trong đó không nhỏ hơn n. HẾT
9. SỞ GD&ĐT QUẢNG BÌNH KỲ KIỂM TRA CHỌN ĐỘI TUYỂN CHÍNH THỨC DỰ THI HSG QUỐC GIA NĂM 2019 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi thứ hai: 22/08/2018. HƯỚNG DẪN CHẤM (Đáp án, hướng dẫn này có 5 trang) yªu cÇu chung * Đáp án chỉ trình bày một lời giải cho mỗi bài. Trong bài làm của học sinh yêu cầu phải lập luận lô gic chặt chẽ, đầy đủ, chi tiết và rõ ràng. * Trong mỗi bài, nếu học sinh giải sai ở bước giải trước thì cho điểm 0 đối với những bước giải sau có liên quan. Ở câu 2 nếu học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai thì cho điểm 0. * Điểm thành phần của mỗi bài nói chung phân chia đến 0,5 điểm. Đối với điểm thành phần lớn hơn 0,5 điểm thì tuỳ tổ giám khảo thống nhất để chiết thành từng 0,5 điểm. * Học sinh có lời giải khác đáp án (nếu đúng) vẫn cho điểm tối đa tuỳ theo mức điểm của từng bài. * Điểm của toàn bài là tổng (không làm tròn số) của điểm tất cả các bài Câu Nội dung Điểm 1 Tìm tất cả các hàm số f : thỏa mãn hệ thức: 6.0 điểm fxy()()()()()() fxy fx fy fxfy với mọi số thực x, y. Trong (1) thay x=y=0 ta thấy 2f (0) f2 (0). Suy ra f (0) 2 hoặc f (0) 0 0,5 Trường hợp 1: f (0) 2 0,5 Thay x=0 vào (1) ta được f( y ) 2 2 f(y) 2f(y) hay f()() y f y Trong (1) thay y bởi –y và kết hợp với f()() y f y ta có 0,5 f( x y ) f(xy) f(x) f(y) f(x)f(y) (2) Từ (1) và (2) suy ra f( x y ) f(x y) với mọi x, y . 0,5 Từ đó suy ra f() x là hàm hằng mà f(0)=2 nên f(x)=2 Trường hợp 2: f (0) 0 0,5 Thay x=0 vào (1) ta thu được f()() y f y , với mọi y (3) Trong (1) thay y bởi –y và kết hợp (3) ta thu được 0,5 f( x y ) f(xy) f(x) f(y) f(x)f(y) (4)
10. Cộng (1) và (3) theo vế, ta có f( x y ) f(x y) 2f(x) với mọi x, y 0,5 (5) Trong (5) thay x=y và kết hợp f (0) 0 ta được f(2 x) 2f(x) 0,5 Vậy (5) trở thành f( x y ) f(x y) f(2x) Đặt u x y, v x y ta có f (u) f(v) f(u v) với mọi u, v 0,5 Hay f( x y ) f(x) f(y) với mọi x, y (6) Vậy f là hàm cộng tính trên Từ (4) và (6) suy ra f( xy ) f(x)f(y) với mọi x, y (7) 0,5 Vậy f là hàm nhân tính trên Từ đó ta được hàm số f : thỏa mãn f (0) 0 và điều kiện (6), (7) là 0,5 f( x ) 0 và f() x x Thử lại ta thấy cả ba hàm số f( x ) 0 , f( x ) 2 f() x x đều thỏa mãn 0,5 2 Cho tam ABC có M là trung điểm BC . Gọi DEF,, lần lượt là tiếp điểm 7.0 điểm của đường tròn ()I nội tiếp tam giác ABC với các cạnh BC, CA và AB . Đường thẳng EF cắt các đường thẳng BI, CI và AM lần lượt tại XY, và N . a) Giả sử BC, cố định và A thay đổi trong mặt phẳng sao cho BAC không đổi (00 180 0 ) . Chứng minh độ dài đoạn thẳng XY không đổi. b) Giả sử tam giác ABC không cân. Chứng minh ba điểm NID,, NX AC thẳng hàng và . NY AB
11. K H A X E N Y F I C D J M B 2a 2,5 điểm Xét tứ giác IEXC 0,5 A ta có XEC FEA 900 (1) 2 BCA   XIC 900 (2) 2 2 2 Từ (1) và (2) suy ra XEC XIC 0,5 Suy ra tứ giác IEXC nội tiếp mà IE BC suy ra CXI 900 hay BXC 900 (3) Tương tự ta có BYC 900 (4) 0,5 Từ (3) và (4) suy ra Tứ giác BCXY nội tiếp (5) 0 0,5 Mặt khác IEC IXC 90 Suy ra tứ giác ICXE nội tiếp. BAC Suy ra XCY XCI FEI (6) 0,5 2 2 Ta có B, C cố định kết hợp với (5) và (6) suy ra XY không đổi.
12. 2b 4,5 điểm Dựng đường thẳng d đi qua A song song với BC cắt EF tại K . 0,5 Giả sử ID cắt d tại H và cắt EF tại N' ta chứng minh N' trùng N. Thật vậy: 1,0 Vì các điểm F, H,E cùng nhìn AI dưới một góc vuông nên tứ giác HFIE nội tiếp suy ra IHF FEI EFI IHE Do đó HI là phân giác góc FHE Hơn nửa HI HK nên (')1(,',,)1KN FE AK AN AF AE 0,5 Ta có d// BC , M là trung điểm BC nên (AK , AM , AB , AC ) 1 hay (AK , AN , AF , AE ) 1 Từ đó suy ra N trùng với N'. Gọi J là giao điểm của AI với BC 0,5 Từ tứ giác BCXY nội tiếp, suy ra NXY YXB YCB ICJ BAC   1,0 Mặt khác NIX BID 900 IAC ICA JIC 2 2 2 NX JB Suy ra NIX JIC (*) NI JI NY JB 0,5 Tương tự ta cũng có ( ) NI JI NX JC AC 0,5 Từ (*) và ( ) suy ra NY JB AB 3 Cho số nguyên dương n 2. Điền các số 1,2,3, ,n2 vào tất cả các ô vuông của một bảng vuông kích thước n n , mỗi số một ô vuông. Chứng 7 điểm minh rằng: tồn tại hai ô vuông kề nhau (có chung một cạnh) mà hiệu hai số trong đó không nhỏ hơn n. Gọi k là số nguyên nhỏ nhất sao cho tồn tại một hàng hoặc một cột chỉ chứa 1,0 các số thuộc tập {1,2,,k}
13. 1 11 4 10 16 2 14 5 7 13 8 15 12 3 6 9 Chẳng hạn trong hình vẽ trên, nếu xét theo hàng thì phần tử lớn nhất mỗi hàng là 11,16,15,12, số bé nhất trong đó là 11. Nếu xét theo cột, các số lớn nhất là 11,16,14,15, số bé nhất trong đó là 11. So sánh hàng và cột đó, thấy hàng 1 là hàng chứa các số 1,11,4,10, đều là các số thuộc tập {1,2, ,11} Giả sử số k thuộc hàng r và cột c, các ô còn lại của hàng r đều thuộc tập {1,2, ,k 1}. Nhận xét: Mỗi cột trừ cột c đều chứa ít nhất một số k 1 và không phải tất cả 1,5 các ô cùng cột đều k 1. Suy ra cột thứ i tùy ý phải chứa một cặp (,)ai b i kề nhau mà ai k 1, b i k 1. (1) Nếu tồn tại một ô của cột c chứa số k 1 thì cột c chứa cặp (,)a b kề nhau mà a k, b k 1 1,0 (2) Nếu mọi ô của cột c đều k thì c chứa cặp (,)a b kề nhau mà a k 1, b k . Như vậy, trong mọi trường hợp, tồn tại cặp (,)ai b i kề nhau trong cột thứ i mà max{a , a , , a } A B min{ b , b ,  , b }. 1 2n 1 2 n 1,0 Nếu (1) xảy ra thì A = k, B = k + 1. Nếu (2) xảy ra thì A= k - 1, B = k. n n 1 Từ đó bi B B1 B 2 B n 1 ( B ) n và i 1 2 1,5 n n 1  ai A A 1  ( A n 1) ( A ) n . i 1 2 n 2 Suy ra ()bi a i n nên tồn tại j: bj a j n . i 1 1,0 Điều phải chứng minh.