Đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 6 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 6 (Có đáp án)

1. ĐỀ THI HSG TOÁN 6 Thời gian 120 phút Câu 1( 4 điểm). a) Tính giá trị các biểu thức sau: A = 3 + 32 + 33 + 34 + 3100 b) Tính giá trị biểu thức B = x2 + 2xy2 – 3xy -2 tại x = 2 và y = 3 Câu 2 (4 điểm). a) Cho a; b N và ( 11a + 2b)  12. Chứng minh ( a + 34b)  12 b) Tìm các số tự nhiên x; y biết: (x - 3)( y + 1) = 7 c) Khi chia số tự nhiên a cho các số: 5; 7; 11 thì được số dư lần lượt là 3; 4; 6. Tìm số a biết 100 < a < 200 Câu 3 ( 4 điểm) 1. Tìm tất cả các cặp số tự nhiên (x,y) sao cho 34x5y chia hết cho 36 . 2. Cho x x 1 x 2 x 3 6x a) Chứng minh x 0 b) Tìm x Z thỏa mãn đẳng thức trên Câu 4 ( 2 điểm) 2 a) Tìm n nguyên để (n – n – 1)  n – 1 b) Tìm ƯCLN(2n + 1; 3n +1) Câu 5. (6,0 điểm): Trên tia Ox, vẽ hai điểm A và B sao cho OA = 2cm, OB = 4cm a) Trong ba điểm O, A, B điểm nào nằm giữa hai điểm còn lại? Vì sao? b) Tính độ dài đoạn thẳng AB. c) Điểm A có phải là trung điểm của đoạn thẳng OB không? Vì sao? d) Trên tia đối của tia BA lấy điểm D sao cho BD = 2BA. Chứng tỏ rằng B là trung điểm của đoạn thẳng OD .Hết .
2. ĐÁP ÁN - BIỂU CHẤM CÂU NỘI DUNG ĐIỂM Câu 1 a) (1,5 đ) (4,0 A = 3 + 32 + 33 + 34 + 3100 đ) => 3A = 32 + 33 + 34 + 3100 + 3101 2 => 3A – A = 3101 – 3 101 => A = 3 3 2 b) B = x2 + 2xy2 – 3xy -2 tại x = 2 và y = 3 vì y = 3 => y = 3 2 B = 20 tại x = 2; y = 3; B = 56 tại x = 2; y = -3 Câu 2 a) Cho a; b N và ( 11a + 2b)  12. Chứng minh ( a + 34b)  12 (3,5đ) 0,5 Từ 12a + 36b 12 => ( 11a + 2b) + ( a + 34b) 12   0,5 Mà ( 11a + 2b)  12 => ( a + 34b)  12 b) Tìm các số tự nhiên x; y biết: (x - 3)( y + 1) = 7 Vì (x - 3)( y + 1) = 7 mà 7 = 1.7 = 7.1 = (-1).(-7)=(-7)(-1)ta có x 3 1 x 4 x 3 7 x 10 * * y 1 7 y 6 y 1 1 y 0 1,0 x 3 1 x 2 x 3 7 x 4 * * y 1 7 y 8 y 1 1 y 2 0,5 Vì x; y là số tự nhiên nên các cặp (x;y) = ( 4;6); (10;0) c) Khi chia số tự nhiên a cho các số: 5; 7; 11 thì được số dư lần lượt là 3; 4; 6. Tìm số a biết 100 a = 5k + 3 ; a=7q + 4 ; a=11p + 6 0,5 => 2a - 1 BC (5; 7; 11) Tìm được a = 193 0,5 Câu 3 Ta có 36 = 9.4. Mà ƯC(4,9) =1 (3,0 Vậy để 34x5y chia hết cho 36 thì 34x5y chia hết cho 4 và 9 đ) 0,5 34x5y chia hết cho 9 khi 3 + 4 + x + 5 + y 9 => 12 + x + y 9 (1) 0,5 34x5y chia hết cho 4 khi 5y 4 => y = 2 hoặc y = 6 Với y = 2 thay vào (1) => 14 + x 9 => x = 4 0,5 Với y = 6 thay vào (1) => 18 + x 9 => x = 0 hoặc x = 9 Vậy các cặp (x,y) cần tìm là: (4,2); (0,6) và (9,6) 0,5 2. Cho x x 1 x 2 x 3 6x
3. CÂU NỘI DUNG ĐIỂM a) Chứng minh x 0 Vì x 0; x 1 0; x 2 0 => x x 1 x 2 x 3 0 0,5 => 6x 0 => x 0 0,5 b) Tìm x Z thỏa mãn đẳng thức trên Vì x 0 => x x 1 x 2 x 3 6x  x + x+1+x+2 = 6x 0,5  3x - 6x = -3  x = 1 (t/m) 0,5 2 Câu 4 a) Tìm n nguyên để (n – n – 1)  n – 1 (2,0 2 đ) Ta có: n – n – 1  n – 1  n(n-1) – 1  n – 1 0,5 => -1 n – 1 => n – 1  1;1 => n 0;2  0,5 b) Tìm ƯCLN(2n + 1; 3n +1) 0,5 Gọi d là ƯCLN của 2n + 1 và 3n +1 0,5 => 3(2n+1) – 2(3n+1)  d => 1 d => d = 1 => ƯCLN(2n + 1; 3n +1) = 1 5 O A B D x 0,5 Ta có OA = 2cm ; OB = 4cm . Vì 2cm OA AB = 4 – 2 = 2 => AB = 2 cm 0,5 Vì OA + AB = OB và OA = AB = 2cm 0,5 Nên A là trung điểm của OB 0,5 Ta có BD = 2 . BA = 2.2 = 4 cm => BD = BO = 4 cm (1) 0,5 Vì O và D nằm trên hai tia đối nhau gốc B nên B nằm giữa O và D => 0,5 OB + BD = OD (2) Từ (1) và (2) suy ra B là trung điểm của OD
4. ĐỀ THI KHẢO SÁT HSG TOÁN 7 Thời gian 120 phút Câu 1( 3 điểm). a) Tính giá trị các biểu thức sau: 3 2 3 4 3 A = 15 5.15 5 B = (7 7 ) 183 6.182 63 493 b) Tìm số tự nhiên n biết: 1 .3n = 7.32 .92 – 2.3n 3 Câu 2 (3 điểm). a) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = 4 1 (x ) 2 5 3 x b) Tìm các số x; y biết: x + y = x.y = (y 0) y c) Cho số nguyên tố p lớn hơn 3, chứng minh p2 – 1 chia hết cho 24 Câu 3 ( 4 điểm) a 1 b 2 c 2 1. Tìm các số a,b,c biết: và 3a – 2b + c = 105 2 3 4 1 2 1 2. Tìm x,y,z biết: x y x y z 0 2 3 2 Câu 4 ( 2 điểm) 2 a) Tìm n nguyên để (2n + 3n +2)  n + 1 1 1 1 1 1 1 b) Cho A = (1 - )(1 )(1 )(1 ) (1 ) So sánh A với 2 3 4 5 20 21 Câu 5( 6 điểm) Cho tam giác ABC có B C . Gọi AD, AE theo thứ tự là đường phân giác trong, phân giác ngoài của góc A ( D,E thuộc đường thẳng BC). a. Chứng minh rằng:  ADC –  ADB =  B –  C 1 b. Kẻ đường cao AH. Chứng minh rằng:  AEB =  HAD = (B C ) 2 c. Tính số đo của các góc: ADB, ADC và HAD, biết B C = 400 Câu 6 ( 2 điểm): Cho m,n là hai số chính phương lẻ liên tiếp. Chứng minh rằng: mn – m – n + 1  192 .Hết .
5. ĐÁP ÁN - BIỂU CHẤM CÂU NỘI DUNG ĐIỂM Câu 1 a) Tính giá trị các biểu thức sau: (3,0đ) 153 5.152 53 53 (7 4 73 ) A = = B = = 36 183 6.182 63 63 493 1,5 b) Tìm số tự nhiên n biết: 1 .3n = 7.32 .92 – 2.3n 3 1,5  3-1.3n + 2.3n = 7.36  3n-1 = 36  n = 7 Câu 2 a) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = 4 1 (3,0đ) (x ) 2 5 3 1 Vì (x + )2 + 5 5 với mọi x R 3 0,5 4 4 1 => dấu “=” xảy ra khi x = - . 1 2 5 3 (x ) 5 3 Giá trị lớn nhất là 4 tại x = - 1 . 0,5 5 3 x b) Tìm các số x; y biết: x + y = x.y = (y 0) y x 0,5 Vì x + y = x.y => x = y(x-1) => x 1 y Mặt khác x + y = x => x + y = x + y => y = -1 y 0,5 Khi đó x – 1 = x(-1) => x = 1 2 c) Cho số nguyên tố p lớn hơn 3, chứng minh p2 – 1 chia hết cho 24 Ta có: p là số nguyên tố lẻ nên p không chia hết cho 3 p2 – 1 = (p - 1)( p + 1) 0,5 Vì p lẻ nên p-1 và p+1 là số chẵn liên tiếp nên (p - 1)( p + 1)  8 Mặt khác p-1; p; p+1 là ba số nguyên liên tiếp mà p không chia hết cho 3 2 nên (p - 1) hoặc ( p + 1)  3. Vì (3;8)=1 nên p – 1 24 0,5 a 1 b 2 c 2 Câu 3 1. Tìm các số a,b,c biết: và 3a – 2b + c = 105 (3,0 2 3 4 a 1 b 2 c 2 3(a 1) đ)  b = -2 và c = 2(a+1) -2 0,5 2 3 4 2 3a 1  b = và c = 2a thay vào3a – 2b + c = 105 tính được 0,5 2 a = 52; b = 155 c = 104 2 1,0
6. CÂU NỘI DUNG ĐIỂM 1 2 1 2. Tìm x,y,z biết: x y x y z 0 2 3 2 1 2 1 0,5 Vì x 0; y 0; x y z 0 2 3 2 1 2 1 Mà x y x y z 0 nên 2 3 2 0,5 * x - 1 = 0  x = 1 ; y + 2 = 0 => y = - 2 Tính được z = - 2 1,0 2 2 3 3 3 2 Câu 4 a) Tìm n nguyên để (2n + 3n +2)  n + 1 2 2 (2,0 Ta có: 2n + 3n +2 n + 1  2n + 2n + n +1 + 1  n + 1 0,5 đ) => 1  n + 1 => n + 1  1;1 0,5 => n 0; 2 1 1 1 1 1 1 2 3 18 19 1 b) A = (1 - )(1 )(1 )(1 ) (1 ) = . . . 2 3 4 5 20 2 3 4 19 20 20 0,5 => A > 1 0,5 21 5 0,5 A E B H D C a. Vì AD là tia phân giác góc A nên: BAD = CAD 0,5 Vì các góc ADC và ADB theo thứ tự là các góc ngoài của tam giac ABD 0,5 và ACD nên: ADC = B + BAD; ADB = C + CAD. 0,5 Suy ra: ADC – ADB = B + BAD – C – CAD = B - C b. Ta có : AEB = HAD ( hai góc có cạnh tương ứng vuông góc) 0,5 0 0 ACD + ADB = 180  ADC = 180 – ADB 0,5 Kết hợp với câu a Ta được (1800 - ADB) = B – C => 2ADB 1800 – (B – C) 1 => ADB = 900 – ( B – C) 0,5 2 Trong tam giác HAD, ta có: HAD = 900 – ADH = 900 – ADB 0,5 = 900 – [900 - 1 ( B – C)] = 1 ( B – C) 2 2
7. CÂU NỘI DUNG ĐIỂM c. Theo giả thiết ta có 0,5 0 ADC – ADB = 40 0,5 ADC + ADB = 1800 0,5 => ADB = 700 ; ADC = 1100 => HAD = 200 0,5 Câu 6 Cho m,n là hai số chính phương lẻ liên tiếp. Chứng minh rằng: mn – m – n + 1  192 m,n là hai số chính phương lẻ liên tiếp nên chúng có dạng m = ( 2k – 1)2 và n = ( 2k + 1)2 0,5 Do đó: mn-m-n+1= 16k2(k-1)(k+1) 0,5 2 Ta có (k-1)k(k+1)  3 và (k-1)k.k(k+1)  4 nên (k-1)k (k+1)  12 0,5 2 16k (k-1)(k+1)  16.12=192 0,5