Đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Đề số 2 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 - Đề số 2 (Có đáp án)

1. Câu 1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử a) x y z 3 x3 y3 z3 b) x4 2014x2 2013x 2014 Câu 2 2 2 2013 x 2013 x x 2014 x 2014 19 a) Tìm x, biết: 2013 x 2 2013 x x 2014 x 2014 2 49 b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n ta có B a5 a chia hết cho 30. Câu 3 Cho tam giác ABC vuông tại A, D là điểm di động trên cạnh BC. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm D lên AB, AC. a) Xác định vị trí của điểm D để tứ giác AEDF là hình vuông. b) Xác định vị trí của điểm D sao cho 3AD + 4EF đạt giá trị nhỏ nhất. Câu 4 Tìm tất cả các số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng khi ta thêm 1 đơn vị vào chữ số hàng nghìn, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm 5 đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng đơn vị ta vẫn được một số chính phương. Câu 5 Cho a, b dương và a2012 b2012 a2013 b2013 a2014 b2014 . Tính a2015 b2015 Câu 6.
2. ĐÁP ÁN Câu 1 (2 điểm). Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) x y z 3 x3 y3 z3 b) x4 2014x2 2013x 2014 Hướng dẫn a) x y z 3 x3 y3 z3 x y z 3 x3 y3 z3 y z x y z 2 2 x y z x x2 y z y2 yz z2 y z 3x2 3xy 3yz 3xz 3 y z x x y z x y 3 y z x y x z b) x4 2014x2 2013x 2014 x4 x 2014x2 2014x 2014 x x3 1 2014 x2 x 1 x x 1 x2 x 1 2014 x2 x 1 x2 x 1 x2 x 2014 Câu 2 (2 điểm). 2 2 2013 x 2013 x x 2014 x 2014 19 a) Tìm x, biết: . 2013 x 2 2013 x x 2014 x 2014 2 49 b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n ta có: B a5 a chia hết cho 30. Hướng dẫn a) ĐKXĐ: x 2013; x 2014 Đặt x 2014 a a 0 Ta có: 2 a 1 a 1 a a2 19 a 1 2 a 1 a a2 49 a2 a 1 19 3a2 3a 1 49 49a2 49a 49 57a2 57a 19 8a2 8a 30 0 2a 3 2a 5 0 3 a 2 5 a 2 4031 4023 x hoặc x . 2 2 b) Ta có:
3. B a5 a B a a4 1 B a a2 1 a2 1 B a a2 1 a2 4 5 B a a2 1 a2 4 5a a2 1 B a 2 a 1 a a 1 a 2 5a a2 1 Vì a 2 a 1 a a 1 a 2 là tích của 5 số tự nhiên liên tiếp nên tồn tại một số là bội của 5, do đó a 2 a 1 a a 1 a 2 M5 (1) 5a a2 1 M5 (2) Từ (1) và (2) suy ra BM5 Câu 3 (2 điểm). Cho tam giác ABC vuông tại A, D là điểm di động trên cạnh BC. Gọi E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm D lên AB, AC. a) Xác định vị trí của điểm D để tứ giác AEDF là hình vuông. b) Xác định vị trí của điểm D sao cho 3AD + 4EF đạt giá trị nhỏ nhất. Hướng dẫn C D F A E B a) Tứ giác AEDF là hình chữ nhật (vì Eµ Aµ F$ 90o ) Để tứ giác AEDF là hình vuông thì AD là tia phân giác của B·AC . b) Do tứ giác AEDF là hình chữ nhật nên AD = EF Suy ra 3AD + 4EF = 7AD 3AD + 4EF nhỏ nhất AD nhỏ nhất, AD nhỏ nhất khi D là hình chiếu của A trên BC. Câu 4 (2 điểm). Tìm tất cả các số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng khi ta thêm 1 đơn vị vào chữ số hàng nghìn , thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng trăm, thêm 5 đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng đơn vị , ta vẫn được một số chính phương. Hướng dẫn Gọi số phải tìm là abcd với a,b,c,d ¥ ,0 a,b,c,d 9,a 0
4. Theo đề bài ta có: 2 abcd k 2 a 1 b 3 c 5 d 3 m Suy ra: abcd k 2 với k,m ¥ ,31 k m 100 2 abcd 1353 m Do đó m2 k 2 1353 m k m k 123.11 41.33 Vì k,m ¥ nên m k m k . Do đó: m k 123 m 67 m k 41 m 37 hoặc m k 11 k 56 m k 33 k 4 Kết luận đúng abcd = 3136 Câu 5 (2 điểm) Cho a, b dương và a2012 b2012 a2013 b2013 a2014 b2014 . Tính a2015 b2015 . Hướng dẫn Ta có: a2012 b2012 a2013 b2013 a2014 b2014 a b a2012 b2012 a2011 b2011 .ab a2014 b2014 a b ab 1 (vì a2012 b2012 a2013 b2013 a2014 b2014 ) a 1 b 1 0 a 1 b 1 Với a = 1 thì b2012 b2013 b 1 hoặc b 0 (loại) Với b = 1 thì a2012 a2013 a 1 hoặc a 0 (loại) Vậy a = 1, b = 1 Do đó a2015 b2015 2 .