Đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 năm 2016 - Đề số 31 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 năm 2016 - Đề số 31 (Có đáp án)

1. Cõu 1 a) Phõn tớch đa thức A x 2 x 4 x 6 x 8 15 thành nhõn tử b) Chứng minh rằng với mọi số nguyờn a thỡ a5 5a3 4a chia hết cho 120 Cõu 2 2 1 4 1 x 2 x 4 a) Cho y x ; z x và x 1 . Tớnh z theo y 1 1 x2 x4 x2 x4 b) Cho xy xz yz 1 và x, y, z 1 . x y z 4xyz Chứng minh rằng 1 x2 1 y2 1 z2 1 x2 1 y2 1 z2 Cõu 3 b2 c2 a2 a b c a c b a) Cho x ; y và a b c 0;bc 0;b c a 0 2bc a b c b c a Tớnh giỏ trị biểu thức P x y xy 1 3 b) Chứng minh rằng nếu a, b, c khỏc nhau thỡ b c c a a b 2 2 2 a b a c b c b a c a c b a b b c c a Cõu 4 Cho hỡnh bỡnh hành ABCD cú đường chộo AC lớn hơn đường chộo BD. Gọi E, F lần lượt là hỡnh chiếu của B và D xuống đường thẳng AC. Gọi H và K lần lượt là hỡnh chiếu của C xuống đường thẳng AB và AD. a) Tứ giỏc BEDF là hỡnh gỡ? Hóy chứng minh điều đú? b) Chứng minh rằng: CH.CD = CB.CK. c) Chứng minh rằng: AB.AH AD.AK AC 2 . Cõu 5 Tỡm đa thức f(x) biết rằng: f(x) chia cho x 2 dư 10, f(x) chia cho x 2dư 24, f(x) chia cho x2 4 được thương là 5x và cũn dư.
2. Hướng dẫn Cõu 2 a) Ta cú 2 1 2 1 2 1 x x x 2 2 2 2 2x y 1 x 1 x x 1 1 1 x2 x2 x2 x2 x2 x2 2 1 2 1 2 1 2 x 2 x 2 x 2 2 y 1 x 1 x x x 1 1 1 x2 x2 x2 x2 x2 x2 2x2 2 1 2 1 x 2 x 2 y 1 2 2x 2 2x x . x x4 2 1 2 2 y 1 x2 x2 x2 x2 x2 1 x2 x2 y 1 1 2 2 y 1 y 1 y 1 y 1 y 1 y 1 y 1 y 1 y 1 y 1 y 1 2y2 2 y2 1 z y 1 1 y 1 y 1 2 2 y 1 y 1 4y 2y y 1 y 1 y 1 y 1 y 1 y 1 y 1 b) Ta cú 2 2 2 2 2 2 x y z x 1 y 1 z y 1 x 1 z z 1 x 1 y 1 x2 1 y2 1 z2 1 x2 1 y2 1 z2 x 1 y2 1 z2 y 1 x2 1 z2 z 1 x2 1 y2 x xy2 1 z2 y yx2 1 z2 z zx2 1 y2 x xz2 xy2 xy2 z2 y yz2 yx2 yx2 z2 z zy2 zx2 zx2 y2 xyz yz xz xy x 1 xy xz y 1 xy yz z 1 xz yz Theo đề bài thỡ xy xz yz 1 nờn ta cú xyz yz xz xy x.yz y.xz z.xy xyz yz xz xy 3xyz xyz yz xz xy 3 4xyz Cõu 3 a) Ta cú x y xy 1 x 1 y 1 2 b2 c2 a2 b c a2 b c a b c a x 1 1 2bc 2bc 2bc a b c a c b a b c a c b a b c b c a y 1 1 a b c b c a a b c b c a 2 2 a b c a c b a2 b c b c a2 4bc y 1 1 a b c b c a a b c b c a a b c b c a
3. 3 3 3 b c a b c a 4bc 3 P x y xy 1 x 1 y 1 . 2 8 2bc b c a b c a b) Ta cú b c c a a b 1 1 1 1 1 1 a b a c b c b a c a c b a b a c b c b a c a c b b c c a a b 1 1 1 1 1 1 a b a c b c b a c a c b a b c a b c a b c a b c b c c a a b 2 2 2 a b a c b c b a c a c b a b b c c a Cõu 4 H B C F 1 2 O E A D K a) Ta cú: BE  AC BE // DF (1) DF  AC Xột BEO và DFO cú: BO = OD (vỡ O là giao điểm hai đường chộo của hỡnh bỡnh hành ABCD) à ả O1 O2 (đối đỉnh) BãEO Dã FO 900 Do đú BEO DFO (cạnh huyền-gúc nhọn) Suy ra BE = DF (2) Từ (1) và (2) suy ra tứ giỏc BEDF là hỡnh bỡnh hành. b) Xột CBH và CDK cú: CãKD CãHB 900 Vỡ tứ giỏc ABCD là hỡnh bỡnh hành nờn ãABC ãADC Hã BC KãDC (cựng bự với hai gúc bằng nhau) Do đú CBH ~ CDK (g.g) CH CB CH.CD CK.CB . CK CD c) Ta cú: AF AD AFD ~ AKC AD.AK AF.AC AK AC CD CF AB CF CFD ~ AHC mà CD AB AB.AH AC.CF AC AH AC AH Do đú AB.AH AD.AK AC.CF AF.AC AC CF AF AC.AC AC 2 .