Đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 năm 2016 - Đề số 54 (Có đáp án)

Nội dung text: Đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 8 năm 2016 - Đề số 54 (Có đáp án)

1. Bài 1 a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử x4 y z y4 z x z4 x y b) Cho n là tổng của hai số chính phương. Chứng minh rằng n2 cũng là tổng của hai số chính phương. a2 b2 c2 b2 c2 a2 c2 a2 b2 Bài 2. Cho biểu thức M 2ab 2bc 2ac Chứng minh rằng: a) Nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác thì M 1 b) Nếu M 1 thì hai trong ba phân thức đã cho của biểu thức M bằng 1, phân thức còn lại bằng -1. Bài 3 x4 x2 1 a) Cho x2 4x 1 0 . Tính giá trị biểu thức A x2 14 4 54 4 94 4 214 4 b) Rút gọn biểu thức P 34 4 74 4 114 4 234 4 Bài 4 a) Gọi H là hình chiếu của đỉnh B trên đường chéo AC của hình chữ nhật ABCD, M và K theo thứ tự là trung điểm của AH và CD. Tính B·MK . b) Cho tam giác ABC nhọn trực tâm H, trên đoạn BH lấy điểm M và trên trên đoạn CH lấy điểm N sao cho ·AMC ·ANB 900 . Chứng minh rằng AM AN . Bài 5. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện a b c 1 . ab bc ca 1 Chứng minh rằng c 1 a 1 b 1 4
2. Hướng dẫn Bài 1 a) x4 y z y4 z x z4 x y 4 4 4 4 4 4 x y z y x z z x y x y z y y z x y z x y x4 y z y4 y z y4 x y z4 x y y z x4 y4 x y z4 y4 y z x y x y x2 y2 x y z y z y z2 y2 2 2 2 2 x y y z x y x y z y z y x y y z x z x2 y2 z2 xy yz xz 2 2 b) Ta có n a2 b2 , khi đó n2 a2 b2 a4 2a2b2 b4 a2 b2 2ab 2 Bài 2 Vì a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác nên a,b,c 0 và a b c 0 ; a c b 0 ; c b a 0 a2 b2 c2 b2 c2 a2 c2 a2 b2 Đặt A ; B ; C 2ab 2bc 2ac Ta cần chứng minh M A B C 1 hay A 1 B 1 C 1 0 Ta có: a2 b2 c2 a2 2ab b2 c2 a b c a b c A 1 2ab 2ab 2ab b2 c2 a2 b2 2bc c2 a2 b c a b c a B 1 2bc 2bc 2bc c2 a2 b2 c2 2ac a2 b2 c a b c a b C 1 2ac 2ac 2ac Suy ra a b c a b c b c a b c a c a b c a b A 1 B 1 C 1 2ab 2bc 2ac c a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b 2abc a b c c a b c a b c a b c a b 2abc a b c ca cb c2 ab ac a2 bc ba b2 2abc a b c bc ba b2 c2 ca cb ac a2 ab a b c b c a c a b 2abc 2abc Từ đó suy ra M 1 0 hay M 1 b) Ta có a b c b c a c a b M 1 M 0 0 a b c b c a c a b 0 2abc Ta xét ba trường hợp a b c b c a Nếu a b c 0 thì A 1 0 ; B 1 0 ; C 1 0 ; 2bc
3. Suy ra A 1 ; B 1 ;C 1 TH2: Nếu b-c+a =0 Thì A+1 = 0; C-1= B-1=0; Suy ra A=-1; B=1;C=1 TH3: Nếu c-a+b =0 Thì A-1 0; C-1= B+1= 0; Suy ra A=1; B=- 1;C=1 Như vậy trường hợp nào cũng có hai trong ba phân thức A, B, C bằng 1, phân thức còn lại bằng -1. Bài 3 x2 x 1 x2 x 1 a) Ta có x2 4x 1 0 x2 x 1 3x 3 ; 5 x x 2 2 2 x4 x2 1 x 1 x x2 x 1 x2 x 1 A . 3.5 15 x2 x2 x x b) Ta có 2 2 n4 4 n2 22 n2 2 4n2 n2 2n 2 n2 2n 2 n 1 2 1 n 1 2 1 14 4 54 4 94 4 214 4 P 34 4 74 4 114 4 234 4 2 2 2 2 2 2 0 1 2 1 4 1 6 1 20 1 22 1 1 . 22 1 42 1 62 1 82 1 222 1 242 1 242 1 Bài 4 B C P K H M A D Gọi P là trung điểm của BH suy ra PM là đường trung bình của tam giác ABH nên PM//AB mà AB BC nên PM  BC và P là trực tâm của tam giác BMC. Từ đó tứ giác MPCK là hình bình hành nên MK//PC mà PC AB nên MKAB. b)
4. Gọi P, Q lần lượt là chân đường cao kẻ từ B và C. Tam giác vuông AMC có đường cao MP => AM2=AP.AC Tam giác vuông ANB có đường cao NQ => AN2=AQ.AB Xét tam giác APB và AQC có: Góc A chung Góc APB=AQC=90 độ => tam giác đồng dạng => AP.AC=AQ.AB => AM2=AN2 => AM=AN A P Q H N M B C