Đề olympic môn Toán Lớp 10 - Năm học 2018-2019 - Sở giáo dục và đào tạo Hà Nội (Có đáp án)

Nội dung text: Đề olympic môn Toán Lớp 10 - Năm học 2018-2019 - Sở giáo dục và đào tạo Hà Nội (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI ĐỀ OLYMPIC MÔN TOÁN 10 CỤM TRƯỜNG THPT THANH XUÂN- NĂM HỌC 2018 – 2019 CẦU GIẤY-THƯỜNG TÍN Môn: Toán Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian phát đề) Câu 1. Cho hàm số y x2 22 x 1 . a) Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị P của hàm số 1 . 2 b) Tìm m để phương trình x 2 x 2 m 0 có hai nghiệm x1 và x2 thỏa mãn: xx12 13 . Câu 2. a) Giải bất phương trình sau: x22 4 x 2 x 5 x 3 0 2x22 xy y 5 x y 2 0 b) Giải hệ phương trình sau: . 22 x y x y 40 x2 4 x m c) Tìm m để bất phương trình: 23 nghiệm đúng  x ? xx2 23 Câu 3. Cho tam giác ABC ; đặt a BC,, b AC c AB . Gọi M là điểm tùy ý. a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P MA2 MB 2 MC 2 theo abc,, . b) Giả sử a 6 cm, b 2 cm, c 1 3 cm . Tính số đo góc nhỏ nhất của tam giác và diện tích tam giác . Câu 4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD. Gọi H là hình chiếu của A lên BD ; I là trung điểm của BH . Biết đỉnh A 2;1 , phương trình đường chéo BD là: xy 5 19 0 , 42 41 điểm I ; . 13 13 a) Viết phương trình tham số đường thẳng AH . Tìm tọa độ điểm H ? b) Viết phương trình tổng quát cạnh AD . Câu 5. Cho ba số dương abc,, thỏa mãn: abc2 2 2 1. Chứng minh rằng a b c 33 . b2 c 2 c 2 a 2 a 2 b 2 2 HẾT 1
2. HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1. Cho hàm số y x2 22 x 1 . a) Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị P của hàm số 1 . 2 b)Tìm m để phương trình x 2 x 2 m 0 có hai nghiệm x1 và x2 thỏa mãn: xx12 13 . Lời giải a) Tập xác định: D . Tọa độ đỉnh I 1;1 . Hệ số a 10 nên hàm số đồng biến trên khoảng 1; và nghịch biến trên khoảng ;1 . Bảng biến thiên: + Đồ thị: có trục đối xứng là đường thẳng x 1. đi qua các điểm A 0;2 ; B 2;2 . b) x22 2 x 2 m 0 x 2 x 2 m . 1 Số nghiệm của phương trình chính là số giao điểm của với đường thẳng d: y m , trong đó d là đường thẳng luôn song song hoặc trùng với Ox . Dựa vào đồ thị ta thấy phương trình có nghiệm thỏa mãn mm 55 . 2
3. Câu 2. a) Giải bất phương trình sau: x22 4 x 2 x 5 x 3 0 2x22 xy y 5 x y 2 0 b) Giải hệ phương trình sau: . 22 x y x y 40 x2 4 x m c) Tìm m để bất phương trình: 23 nghiệm đúng  x ? xx2 23 Lời giải x 3 2 a) Điều kiện 2xx 5 3 0 1 . x 2 1 + Ta thấy x 3, x là nghiệm của bất phương trình đã cho. 2 x 3 2 2 + Khi 1 thì 2xx 5 3 0 , suy ra 2xx 5 3 0 nên: x 2 22 2 x 4 x 4 x 2 x 5 x 3 0 xx 40 . x 0 1 Suy ra trường hợp này bất phương trình có tập nghiệm S2 ; 4  ; . 2 1 Vậy bất phương trình có tập nghiệm là S ; 4  ;  3  . 2 2x22 xy y 5 x y 2 0 b) 22 x y x y 40 Ta có: 2xxyy2 2 5 xy 2 0 y2 2 xyyxyxxyx 22 2 4 2 0 y y 2 x 1 x y 2 x 1 2 y 2 x 1 0 yx 2 y x 2 y 2 x 1 0 . yx 21 Như thế: yx 2 2 2 2x22 xy y 5 x y 2 0 x 2 x x 2 x 4 0 22 x y x y 40 yx 21 2 2 x 2 x 1 x 2 x 1 4 0 x 1 yx 2 y 1 2xx2 4 2 0 4 x . yx 21 5 2 5xx 4 0 13 y 5 4 13 Vậy hệ có nghiệm xy; là: 1;1 ; ; . 55 3
4. c) Ta có xx2 23 x 1 2 2 0,  x nên: x2 4 x m 2x22 4 x 6 x 4 x m 3x2 8 x m 6 0 (1) 23 . 2 22 2 xx 23 x 4 x m 3 x 6 x 9 2x 2 x 9 m 0 (2) Yêu cầu bài toán trở thành tìm m để mỗi bất phương trình (1), (2) nghiệm đúng với mọi x thuộc . Ta thấy: 2 (1) đúng với mọi x thuộc 42 3 m 6 0 m . 1 3 17 (2) đúng với mọi x thuộc 12 2 9 m 0 m . 2 2 2 17 Vậy m ; . 32 Câu 3. Cho tam giác ABC ; đặt a BC,, b AC c AB . Gọi M là điểm tùy ý. c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P MA2 MB 2 MC 2 theo abc,, . d) Giả sử a 6 cm, b 2 cm, c 1 3 cm . Tính số đo góc nhỏ nhất của tam giác và diện tích tam giác . Lời giải a) Gọi G là trọng tâm tam giác GA GB GC 0 . 2 2 2 Ta có P MA2 MB 2 MC 2 MA MB MC . 2 2 MA MG GA MG22 2. MG GA GA 2 2 Với MB MG GB MG22 2. MG GB GB 2 2 MC MG GC MG22 2. MG GC GC 2 2 2 MA MB MC 3 MG2 GA 2 GB 2 GC 2 Khi đó P 3 MG2 GA 2 GB 2 GC 2 và Pmin MG2 min MG min M  G . 2 2 2 24 2 4 b c a 1 2 2 2 GA ma 22b c a 9 9 2 4 9 2 2 2 24 2 4 a c b 1 2 2 2 Mặt khác GB mb 22a c b . 9 9 2 4 9 2 2 2 24 2 4 a b c 1 2 2 2 GC mc 22a b c 9 9 2 4 9 1 2 2 2 Suy ra Pmin a b c . 9 b) * Ta có . Vì b min a , b , c  suy ra góc B trong tam giác có số đo nhỏ nhất. Áp dụng định lí Cosin trong tam giác , ta được: 4
5. b2 a 2 c 2 2 ac cos B 2 a2 c 2 b 2 6 1 3 4 6 2 3 2 cos BB 45  . 22ac 2. 6. 1 3 2 6 6 2 Vậy B 45 . 1 1 2 * Diện tích tam giác ABC : S acsin B . 6.2. 3 . 2 2 2 Vậy S 3 (đvdt). Câu 4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD. Gọi H là hình chiếu của A lên BD ; I là trung điểm của BH . Biết đỉnh A 2;1 , phương trình đường chéo BD là: xy 5 19 0 , 42 41 điểm I ; . 13 13 c) Viết phương trình tham số đường thẳng AH . Tìm tọa độ điểm H ? d) Viết phương trình tổng quát cạnh AD . Lời giải a) B C I H A D : có véc tơ pháp tuyến là nBD 1;5 . AH BD nên AH nhận véc tơ pháp tuyến của : làm vec tơ chỉ phương của mình. Vậy AH qua A 2;1 có véc tơ chỉ phương là uAH 1;5 nên phương trình tham số của xt 2 đường thẳng là: . yt 15 b) H   AH BD nên tọa độ H thỏa mãn hệ phương trình: x 22 t x t 32 43 y 1 5 t y 1 5 t H ; . 13 13 xy 5 19 0 6 t 13 32 43 Vì là trung điểm với H ; nên tọa độ B 4;3 . 13 13 Có AD AB nên đường thẳng nhận véc tơ AB 2;2 làm véc tơ pháp tuyến. 5
6. Đường thẳng AD đi qua điểm A 2;1 và có véc tơ pháp tuyến AB 2;2 nên có phương trình tổng quát là: 2 x 2 2 y 1 0 x y 3 0 . Lời giải a) B C I H A D BD : xy 5 19 0 có vtpt là nBD 1;5 . AH BD nên vtcp uAH vtpt nBD 1;5 . qua A 2;1 xt 2 Vậy AH : . yt 15 vtcp uAH 1;5 b) H   AH BD nên tọa độ H thỏa mãn hệ phương trình: x 22 t x t 32 43 y 1 5 t y 1 5 t H ; . 13 13 xy 5 19 0 6 t 13 42 41 32 43 xBIH 2 x x Vì I ; là trung điểm BH với H ; nên tọa độ BB: 4;3 . 13 13 13 13 yBIH 2 y y AB 2;2 . Có AD AB nên vtpt nAD AB 2;2 . qua A 2;1 Vậy AD : 2 x 2 2 y 1 0 x y 3 0 . vtpt nAD 2;2 Câu 5. Cho ba số dương abc,, thỏa mãn: abc2 2 2 1. Chứng minh rằng a b c 33 . b2 c 2 c 2 a 2 a 2 b 2 2 Lời giải: Do abc, , 0 thỏa mãn nên abc, , 0;1 . a b c 3 3 a b c 3 3 Ta có . b2 c 2 c 2 a 2 a 2 b 2 2 1 a2 1 b 2 1 c 2 2 6
7. 1 3 3 Ta sẽ chứng minh aa2 ,  0;1 (1). 12 a2 1 3 3 2 4 Thật vậy 2 2 2 2 a a 1 a a 1 a 1 a (*). 1 a 2 33 27 Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho ba số dương 2a2 , 1 a 2 , 1 a2 ta có: 3 222 2aaa 1 1 8 4 2a2 . 1 a 2 . 1 a2 a2. 1 a 2 . 1 a2 27 27 27 2 aa.1 2 . 33 1 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 2a22 1 a a . 3 Vậy (*) luôn đúng. b 33 1 Tương tự ta có: bb2 ,  0;1 (2). Dấu “=” xảy ra b . 12 b2 3 c 33 1 c c2 ,  c 0;1 (3). Dấu “=” xảy ra c . 12 c2 3 a b c 33 Lấy (1), (2), (3) cộng theo vế ta có: . b2 c 2 c 2 a 2 a 2 b 2 2 1 Dấu “=” xảy ra abc . 3 7