Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 11 THPT - Năm học 2018-2019 - Sở giáo dục và đào tạo Thanh Hóa (Có đáp án)

Nội dung text: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 11 THPT - Năm học 2018-2019 - Sở giáo dục và đào tạo Thanh Hóa (Có đáp án)

1. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THANH HÓA NĂM HỌC 2018-2019 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi: TOÁN- Lớp 11THPT Số báo danh Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 21 tháng 3 năm 2019 (Đề thi có 01 trang, gồm 05 câu) Câu I(4,0 điểm) 1. Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị( củaP) hàm số y x2 2mx , biết3 rằng ( cóP) trục đối xứng là đường thẳng x 2 . 2. Giải phương trình .x 2 7 x 2 x 1 x2 8x 7 1 Câu II(4,0 điểm) 2sin 2x cos2x 7sin x 4 3 1. Giải phương trình 1. 2cos x 3 3 2 2 y 4y 4y x 1 y 5y 4 x 1 2. Giải hệ phương trình x, y ¡ . 2 2 2 2 2 x 3x 3 6x 7 y x 1 y 1 3x 2 Câu III(4,0 điểm) 1 2 1. Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn 4x2 4y2 z2 2x 2y z . Tìm giá trị lớn nhất 2 của biểu thức: 8x3 8y3 z3 P . 2x 2y z 4xy 2yz 2xz u1 2 2. Cho dãy số un xác định . Tìm số hạng tổng quát un và tính u 4u 3.4n , n * n 1 n ¥ 2n2 3n 1 lim . un Câu IV(4,0 điểm) 1. Có bao nhiêu số tự nhiên có 8 chữ số, trong đó có hai chữ số lẻ khác nhau và ba chữ số chẵn khác nhau, mà mỗi chữ số chẵn có mặt đúng hai lần. 8 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trọng tâm G ;0 và nội tiếp đường 3 tròn C tâm I . Biết rằng các điểm M 0;1 , N 4;1 lần lượt đối xứng với I qua các đường thẳng AB, AC và đường thẳng BC qua điểm K 2; 1 . Viết phương trình đường tròn C . Câu V(4,0 điểm) 1. Cho hình chóp S.ABCD , có đáy ABCD là hình bình hành tâm O . Gọi là mặt phẳng     không đi qua S và cắt các cạnh SA, SB, SC, SD lần lượt tại M , N, P,Q thỏa mãn SA 2SM ;SC 3SP 2 2 SB SB SD . Tính tỉ số khi giá trị biểu thức T 4 đạt giá trị nhỏ nhất. SN SN SQ Ai cần các chuyên đề ôn thi HSG cấp Tỉnh lớp 12, 11 môn Toán liên hệ 0915718478 (Mr Minh)
2. 2. Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD.A1B1C1D1 , mặt phẳng thay đổi và song song với hai đáy của lăng trụ lần lượt cắt các đoạn thẳng AB1, BC1,CD1, DAtại1 M , N, P,Q . Hãy xác định vị trí của mặt phẳng để tứ giác MNPQ có diện tích nhỏ nhất. HẾT SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THANH HÓA NĂM HỌC 2018-2019 ĐỀ CHÍNH THỨC Môn thi: TOÁN- Lớp 11 THPT Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 21 tháng 3 năm 2019 HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ THANG ĐIỂM (Gồm có 06 trang) Câu NỘI DUNG Điểm I 1. Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị (P) của hàm số y x2 2mx 3 , biết rằng( P) 2,0 4,0 có trục đối xứng là đường thẳng x 2 . điểm Do (P) có trục đối xứng là x 2 nên m 2 0,5 Ta được hàm số y x2 4x 3 Bảng biến thiên như sau : 0,75 Đồ thị: Có đỉnh I 2; 1 và trục đối xứng là đường thẳng x 2 và có hình dạng như sau: 0,75 2. Giải phương trình x 2 7 x 2 x 1 x2 8x 7 1 (1). 2,0 Điều kiện xác định của bất phương trình là x 1;7 (*). 0,5 Phương trình (1) x 1 2 7 x 2 x 1 7 x. x 1 x 1 7 x. x 1 2 7 x x 1 0 0,5 x 1 x 1 7 x 2 7 x x 1 0 Ai cần các chuyên đề ôn thi HSG cấp Tỉnh lớp 12, 11 môn Toán liên hệ 0915718478 (Mr Minh)
3. x 1 7 x x 1 2 0 . x 1 7 x 0 x 1 7 x x 1 2 0 x 1 2 0,5 x 4 x 5 Đối chiếu điều kiện (*) tập nghiệm của phương trình là S 4;5 . 0,5 II 2sin 2x cos 2x 7sin x 4 3 4,0 1. Giải phương trình 1. 2,0 2cos x 3 điểm 5 Điều kiện: x k2 (*). 6 0,5 Phương trình tương đương 2sin 2x cos 2x 7sin x 4 3 2cos x 3 2sin 2x cos 2x 7sin x 2cos x 4 0 2 2sin 2x 2cos x 1 2sin x 7sin x 4 0 0,5 2cos x 2sin x 1 2sin x 1 sin x 3 0 2sin x 1 0 2sin x 1 sin x 2cos x 3 0 . sin x 2cos x 3 0 Giải (1) : 0,5 x k2 1 6 sin x 2 5 x k2 6 Giải (2): sin x 2cos x 3 vô nghiệm vì 12 22 32 . Đối chiếu điều kiện (*) phương trình có họ nghiệm x k2 k ¢ . 0,5 6 2. Giải hệ phương trình y3 4y2 4y x 1 y2 5y 4 x 1 1 2,0 . 2 2 2 2 2 x 3x 3 6x 7 y x 1 y 1 3x 2 2 2 Điều kiện: x (*) 0,25 3 Phương trình (1) y y 2 2 x 1 y 2 2 y x 1 2 y x 1 y 2 x 1 0 y x 1 0,5 2 2 vì x y 2 x 1 0. 3 Ai cần các chuyên đề ôn thi HSG cấp Tỉnh lớp 12, 11 môn Toán liên hệ 0915718478 (Mr Minh)
4. Thế y x 1 vào phương trình (2) ta có: 2 x2 3x 3 6x 7 x 1 x 1 2 x 3x 2 2 x2 3x 3 6x 7 x3 x2 x 1 x 3x 2 0,5 2 x2 3x 3 1 x 3x 2 x x3 7x 6 x2 3x 2 3x 2 x2 2 x x2 3x 2 x 3 x2 3x 3 1 3x 2 x 2 2 x x 3x 2 x 3 0 x2 3x 3 1 3x 2 x x2 3x 2 0 3 0,25 2 x . x 3 0 4 x2 3x 3 1 3x 2 x Giải (3) ta được x 1; x 2 2 x Giải (4): phương trình x 3 0 x2 3x 3 1 3x 2 x 2 x x 2 1 0 2 0,5 x 3x 3 1 3x 2 x 2 x2 3x 3 3x 2 2 x 0 vô nghiệm vì vế trái luôn dương với x . x2 3x 3 1 3x 2 x 3 Đối chiếu điều kiện (*) suy ra tập nghiệm hệ là S  1; 2 , 2; 3  . III 1 2 1. Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn 4x2 4y2 z2 2x 2y z . Tìm 4,0 2 điểm giá trị lớn nhất của biểu thức: 2,0 8x3 8y3 z3 P . 2x 2y z 4xy 2yz 2xz 2 2 2 2 2 1 2 2 2 z z Ta có 4x 4y z 2x 2y z 2 x y x y . 2 2 2 z 1 2 Đặt t ta có x2 y2 t 2 x y t 0,5 2 2 1 2 1 2 Mặt khác xy yt tx x y t x2 y2 t 2 x y t 2 4 8x3 8y3 z3 x3 y3 t3 P 2x 2y z 4xy 2yz 2xz x y t xy yt tx 3 3 3 3 3 3 4 x y t 1 4x 4y 4t P 3 0,5 x y t 16 x y t x y t x y t 4x 4y 4t a b c 4 Đặt: a ;b ;c với a,b,c đều dương. x y t x y t x y t ab bc ca 4 4 Không giảm tính tổng quát giả sử a mina,b,c a b c 3a a 0; . 0,5 3 Ai cần các chuyên đề ôn thi HSG cấp Tỉnh lớp 12, 11 môn Toán liên hệ 0915718478 (Mr Minh)
5. a b c 4 b c 4 a Mà 2 . ab bc ca 4 bc a 4a 4 1 1 3 3 2 Khi đó P a3 b3 c3 a3 b c 3bc b c a 2 a 1 16 16 16 3 2 2a 2 a 2 a 1 2a 2 a 2 a 32 Áp dụng côsi ta được a 2 a . 2 2 3 27 3 32 11 2 0,5 Suy ra P . 1 , đẳng thức xảy ra khi a . 16 27 9 3 11 z y z Vậy giá trị lớn nhất là đạt được khi x y hoặc x . 9 8 4 2 u1 2 2. Cho dãy số un xác định n * . Tìm số hạng tổng quát un 1 4un 3.4 , n ¥ 2,0 2n2 3n 1 un và tính lim . un n n 1 Ta có un 1 4un 3.4 un 4un 1 3.4 với n ¥ ;n 2 . 0,25 n 1 n 2 n 1 Khi đó: un 4un 1 3.4 4 4un 2 3.4 3.4 42.u 2.3.4n 1 42 4u 3.4n 3 2.3.4n 1 43.u 3.3.4n 1 n 2 n 3 n 3 0,75 n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 4 .u1 n 1 .3.4 4 .2 n 1 .3.4 3n 1 4 . 3 1 2 2 2 2n 3n 1 2n 3n 1 n n2 4n lim lim lim . 0 0,5 u 3n 1 4n 1 1 4n n 3 n 3 1 2 2 2 n n n 2 Vì lim n n ; Ta có 0 với n 2 . 1 3 4n n 32.C 2 9 n 1 3 1 3 n 0,5 n 2 2 4n n 1 2n 3n 1 Mà lim 0 suy ra lim n 0 . Vậy un 3n 1 4 ; lim 0 . 9 n 1 4 un IV 1. Có bao nhiêu số tự nhiên có 8 chữ số, trong đó có hai chữ số lẻ khác nhau và ba chữ 2,0 4,0 số chẵn khác nhau, mà mỗi chữ số chẵn có mặt đúng hai lần. điểm Trường hợp 1: Xét các số có 8 chữ số, trong đó có hai chữ số lẻ khác nhau và ba chữ số chẵn khác nhau mà mỗi chữ số chẵn có mặt đúng hai lần, coi chữ số 0 có thể đứng đầu. 0,5 2 3 + Chọn 2 chữ số lẻ khác nhau và 3 chữ số chẵn khác nhau có C5 C5 (cách). + Với mỗi cách chọn trên ta có: số có 8 chữ số, trong đó có hai chữ số lẻ khác nhau và ba 8! chữ số chẵn khác nhau mà mỗi chữ số chẵn có mặt đúng hai lần là: (số). 2!2!2! 0,5 8! Trường hợp này có: C 2.C3. 504000 (số). 5 5 2!2!2! Trường hợp 2: Xét các số có 8 chữ số, trong đó có hai chữ số lẻ khác nhau và ba chữ số chẳn khác nhau mà mỗi chữ số chẵn có mặt đúng hai lần, mà chữ số 0 đứng đầu. 0,5 2 2 + Chọn 2 chữ số lẻ khác nhau và 2 chữ số chẵn khác nhau có C5 C4 (cách). Ai cần các chuyên đề ôn thi HSG cấp Tỉnh lớp 12, 11 môn Toán liên hệ 0915718478 (Mr Minh)
6. + Với mỗi cách chọn trên ta có: số có 8 chữ số, trong đó có hai chữ số lẻ khác nhau và hai 7! chữ số chẵn khác nhau mà mỗi chữ số chẵn có mặt đúng hai lần là: (số). 2!2! 0,5 7! Trường hợp này có: C 2.C 2. 75600 (số). Vậy có: 504000 75600 428400 (số). 5 4 2!2! 8 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trọng tâm G ;0 và nội 3 tiếp đường tròn C tâm I . Biết rằng các điểm M 0;1 , N 4;1 lần lượt đối xứng 2,0 với I qua các đường thẳng AB, AC và đường thẳng BC qua điểm K 2; 1 . Viết phương trình đường tròn C . Gọi H, E lần lượt là trung điểm của MN, BC suy ra H 2;1 . Từ giả thiết ta có các tứ giác IAMB, IANC là hình thoi. 0,5 Suy ra MNCB là hình bình hành. tứ giác AHEI là hình bình hành G là trọng tâm của tam giác HIE . 0,5 Gọi F HG  IE nên F là trung điểm của IE . Ta cóBC PMN , mà đường thẳng BC qua K 2; 1 nên phương trình đường thẳng BC là: y 1 0 . 0,5  3  1 Mặt khác: HF HG F 3; 2 2 Ta có EF  BC suy ra phương trình của EF : x 3 0 E 3; 1 . Vì F là trung điểm của IE I 3;0 IA HE 5 . 0,5 Vậy phương trình đường tròn C là: x 3 2 y2 5 . V 1. Cho hình chóp S.ABCD , có đáy ABCD là hình bình hành tâm O . Gọi là mặt 4,0 phẳng không đi qua S và cắt các cạnh SA, SB, SC, SD lần lượt tại M , N, P,Q thỏa điểm 2 2     SB SB SD 2,0 mãn SA 2SM ;SC 3SP . Tính tỉ số khi giá trị biểu thức T 4 SN SN SQ đạt giá trị nhỏ nhất. Ai cần các chuyên đề ôn thi HSG cấp Tỉnh lớp 12, 11 môn Toán liên hệ 0915718478 (Mr Minh)
7.     Đặt SB xSN, SD ySQ với x 1; y 1 , khi đó: 2 2 SB SD 2 2 0,5 T 4 x 4y . SN SQ          Ta có: SA SC SB SD 2SO SD SA SC SB .  1  1    2  3  x  0,5 SQ SD SA SC SB SM SP SN (*). y y y y y Vì 4 điểm M , N, P,Q đồng phẳng nên từ (*) ta có: 2 3 x 0,5 1 x y 5 . y y y Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpski ta có: 2 2 1 2 2 1 2 2 x y x.1 2y. x 4y 1 T x 4y 20, 2 4 0,5 dấu ‘=’ khi x 4; y 1 . SB Vậy x 4 . SN 2. Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD.A1B1C1D1 , mặt phẳng thay đổi và song song với hai đáy của lăng trụ lần lượt cắt các đoạn thẳng AB , BC ,CD , DA tại 1 1 1 1 2,0 M , N, P,Q . Hãy xác định vị trí của mặt phẳng để tứ giác MNPQ có diện tích nhỏ nhất. Giả sử mặt phẳng cắt các cạnh AA1, BB1,CC1, DD1 lần lượt tại E, F,G, H . AE BF CG DH 0,5 Do mặt phẳng P ABCD nên ta có: . AA1 BB1 CC1 DD1 Ai cần các chuyên đề ôn thi HSG cấp Tỉnh lớp 12, 11 môn Toán liên hệ 0915718478 (Mr Minh)
8. AE Đặt x, 0 x 1 ;S S với S là hằng số. Ta có S S . AA Y ABCD Y EHGF 1 0,5 EM AM AE EQ A Q A E Suy ra x 1 1 1 x . EF AB1 AA1 EH A1D A1 A S EMQ EQ EM . x 1 x S EMQ x 1 x S EFH . S EFH EH EF Chứng minh tương tự ta có: 0,5 S HPQ x 1 x S HGE ;S PGN x 1 x S HGF ;S NFM x 1 x S GFE . Ta có SY MNPQ S S EMQ S PGH S PGN S NFM 2 S x 1 x S EFH S HEG S HGF S GFE S x 1 x 2S S 1 2x 2x . 2 2 1 1 1 S Ta có 1 2x 2x 2 x SY MNPQ . 2 2 2 2 S 1 Khi đó S đạt giá trị nhỏ nhất là khi x . 0,5 Y MNPQ 2 2 Vậy mặt phẳng đi qua trung điểm các cạnh AA1, BB1,CC1, DD1 . Hết Chú ý: - Các cách làm khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa, điểm thành phần giám khảo tựphân chia trên cơ sở tham khảo điểm thành phần của đáp án. - Các trường hợp khác tổ chấm thống nhất phương án chấm. Ai cần các chuyên đề ôn thi HSG cấp Tỉnh lớp 12, 11 môn Toán liên hệ 0915718478 (Mr Minh)